Úloha B7 dává výraz, který je třeba zjednodušit. Výsledkem by mělo být pravidelné číslo, které lze zapsat do odpovědního archu. Všechny výrazy jsou podmíněně rozděleny do tří typů:

1. logaritmický,
2. Demonstrace,
3. Kombinovaný.

Exponenciální a logaritmické výrazy v jejich čisté formě téměř nikdy nenajdeme. Je však důležité vědět, jak se počítají.

Obecně je problém B7 řešen celkem jednoduše a je zcela v silách běžného absolventa. Nedostatek jasných algoritmů je kompenzován jeho standardem a jednotností. Můžete se naučit, jak řešit takové problémy jednoduše velký počet cvičení.

Logaritmické výrazy

Naprostá většina problémů B7 obsahuje logaritmy v té či oné podobě. Toto téma je tradičně považováno za obtížné, protože se obvykle studuje v 11. třídě - éře hromadné přípravy na závěrečné zkoušky. Výsledkem je, že mnoho absolventů má velmi mlhavou představu o logaritmech.

Ale v tomto úkolu nikdo nevyžaduje hluboké teoretické znalosti. Setkáme se pouze s nejjednoduššími výrazy, které vyžadují přímočaré uvažování a lze je dobře zvládnout samostatně. Níže jsou uvedeny základní vzorce, které potřebujete znát, abyste se vypořádali s logaritmy:

Kromě toho je třeba umět nahradit odmocniny a zlomky mocninami s racionálním exponentem, jinak v některých výrazech prostě nebude co vyjmout pod znaménkem logaritmu. Náhradní formule:

Úkol. Najít hodnoty výrazu:
kláda 6 270 − kláda 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

První dva výrazy jsou převedeny jako rozdíl logaritmů:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Chcete-li vypočítat třetí výraz, budete muset vybrat stupně - jak v základu, tak v argumentu. Nejprve najdeme vnitřní logaritmus:

Potom - externí:

Konstrukce jako log a log b x se mnohým zdají složité a nepochopené. Mezitím je to jen logaritmus logaritmu, tj. log a (log b x). Nejprve se vypočítá vnitřní logaritmus (dejte log b x = c ) a poté vnější: log a c .

exponenciální výrazy

Exponenciálním výrazem budeme nazývat libovolnou konstrukci tvaru a k , kde čísla a a k jsou libovolné konstanty a a > 0. Metody práce s takovými výrazy jsou poměrně jednoduché a uvažujeme o nich v 8. ročníku algebry.

Níže jsou uvedeny základní vzorce, které musíte znát. Aplikace těchto vzorců v praxi zpravidla nezpůsobuje problémy.

1. an a m = an + m;
2. a n/a m = a n − m ;
3. (an) m = an m;
4. (a b) n = a n b n;
5. (a : b ) n = a n : b n .

Pokud se splní komplexní výraz se stupni, a není jasné, jak k tomu přistupovat, používají univerzální techniku ​​– rozklad na prvočinitele. Díky tomu jsou velká čísla v základech stupňů nahrazena jednoduchými a srozumitelnými prvky. Pak zbývá pouze použít výše uvedené vzorce - a problém bude vyřešen.

Úkol. Najděte hodnoty výrazu: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Řešení. Všechny základny mocnin rozložíme na prvočinitele:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinované úkoly

Pokud znáte vzorce, pak jsou všechny exponenciální a logaritmické výrazy vyřešeny doslova na jednom řádku. V problému B7 však mohou být mocniny a logaritmy kombinovány do poměrně silných kombinací.

Jedním z prvků primitivní algebry úrovní je logaritmus. Název pochází z řečtiny ze slova „číslo“ nebo „stupeň“ a znamená stupeň, o který je nutné zvýšit číslo na základně, abychom našli konečné číslo.

Typy logaritmů

• log a b je logaritmus čísla b k základu a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - dekadický logaritmus (logaritmus základ 10, a = 10);
• ln b - přirozený logaritmus (základ logaritmu e, a = e).

Jak řešit logaritmy?

Logaritmus čísla b k základu a je exponent, který vyžaduje, aby základ a byl zvýšen na číslo b. Výsledek se vyslovuje takto: „logaritmus b na základnu a“. Řešením logaritmických problémů je, že musíte určit daný stupeň čísly podle zadaných čísel. Existuje několik základních pravidel pro určení nebo řešení logaritmu, stejně jako pro transformaci samotného zápisu. Pomocí nich se řeší logaritmické rovnice, nalézají se derivace, řeší integrály a provádí se mnoho dalších operací. Řešením samotného logaritmu je v podstatě jeho zjednodušený zápis. Níže jsou uvedeny hlavní vzorce a vlastnosti:

Pro jakékoli a; a > 0; a ≠ 1 a pro libovolné x; y > 0.

• a log a b = b je základní logaritmická identita
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, pro k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - vzorec pro přechod na nový základ
• log a x = 1/log x a

Jak řešit logaritmy - pokyny pro řešení krok za krokem

• Nejprve si zapište požadovanou rovnici.

Poznámka: pokud je základní logaritmus 10, pak se záznam zkrátí a získá se desetinný logaritmus. Pokud stojí za to přirozené číslo e, pak zapíšeme a zredukujeme na přirozený logaritmus. Znamená to, že výsledkem všech logaritmů je mocnina, na kterou je základní číslo umocněno, aby bylo získáno číslo b.

Přímo řešení spočívá ve výpočtu tohoto stupně. Před řešením výrazu s logaritmem je nutné jej zjednodušit podle pravidla, tedy pomocí vzorců. Hlavní identity najdete tak, že se v článku vrátíte trochu zpět.

Při sčítání a odčítání logaritmů se dvěma různými čísly, ale se stejným základem, nahraďte jediným logaritmem součin nebo dělení čísel b a c. V tomto případě můžete použít přechodový vzorec na jiný základ (viz výše).

Pokud používáte výrazy pro zjednodušení logaritmu, je třeba si uvědomit určitá omezení. A to je: pouze základ logaritmu a - kladné číslo, ale ne rovno jedné. Číslo b, stejně jako a, musí být větší než nula.

Existují případy, kdy po zjednodušení výrazu nebudete schopni vypočítat logaritmus v číselné podobě. Stává se, že takový výraz nedává smysl, protože mnoho stupňů jsou iracionální čísla. Za této podmínky ponechte mocninu čísla jako logaritmus.

Jak víte, při násobení výrazů mocninami se jejich exponenty vždy sčítají (a b * a c = a b + c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a později, v 8. století, vytvořil matematik Virasen tabulku celočíselných ukazatelů. Právě oni sloužili k dalšímu objevování logaritmů. Příklady použití této funkce najdeme téměř všude tam, kde je potřeba zjednodušit těžkopádné násobení na jednoduché sčítání. Pokud strávíte 10 minut čtením tohoto článku, vysvětlíme vám, co jsou to logaritmy a jak s nimi pracovat. Jednoduchý a přístupný jazyk.

Definice v matematice

Logaritmus je vyjádřením následujícího tvaru: log a b=c, tedy logaritmus libovolného nezáporného čísla (tedy libovolného kladného) "b" podle jeho základu "a" se považuje za mocninu "c". ", na který je nutné zvednout základ "a", aby nakonec dostal hodnotu "b". Analyzujme logaritmus na příkladech, řekněme, že existuje výraz log 2 8. Jak najít odpověď? Je to velmi jednoduché, musíte najít takový stupeň, abyste od 2 do požadovaného stupně dostali 8. Když jsme si v duchu udělali nějaké výpočty, dostaneme číslo 3! A právem, protože 2 na 3 dává v odpovědi číslo 8.

Varianty logaritmů

Pro mnoho žáků a studentů se toto téma zdá složité a nesrozumitelné, ale ve skutečnosti logaritmy nejsou tak děsivé, hlavní je pochopit jejich obecný význam a zapamatovat si jejich vlastnosti a některá pravidla. Tam jsou tři určité typy logaritmické výrazy:

1. Přirozený logaritmus ln a, kde základem je Eulerovo číslo (e = 2,7).
2. Desetinné a, kde základ je 10.
3. Logaritmus libovolného čísla b k základu a>1.

O každém z nich je rozhodnuto standardním způsobem, který zahrnuje zjednodušení, redukci a následnou redukci na jeden logaritmus pomocí logaritmických vět. Chcete-li získat správné hodnoty logaritmů, měli byste si pamatovat jejich vlastnosti a pořadí akcí při jejich rozhodování.

Pravidla a některá omezení

V matematice existuje několik pravidel-omezení, která jsou přijímána jako axiom, to znamená, že nejsou předmětem diskuse a jsou pravdivá. Například nemůžete dělit čísla nulou a je také nemožné vzít odmocninu sudou záporná čísla. Logaritmy mají také svá pravidla, podle kterých se snadno naučíte pracovat i s dlouhými a prostornými logaritmickými výrazy:

• základ "a" musí být vždy větší než nula a zároveň nesmí být roven 1, jinak výraz ztratí svůj význam, protože "1" a "0" se v jakémkoliv stupni vždy rovnají svým hodnotám;
• pokud a > 0, pak a b > 0, ukáže se, že "c" musí být větší než nula.

Jak řešit logaritmy?

Například byl zadán úkol najít odpověď na rovnici 10 x \u003d 100. Je to velmi snadné, musíte si vybrat takovou moc, zvýšit číslo deset, na které dostaneme 100. To je samozřejmě 10 2 \u003d 100.

Nyní znázorněme tento výraz jako logaritmický. Dostaneme log 10 100 = 2. Při řešení logaritmů všechny akce prakticky konvergují k nalezení míry, do jaké musí být zadán základ logaritmu, abychom získali dané číslo.

Chcete-li přesně určit hodnotu neznámého stupně, musíte se naučit pracovat s tabulkou stupňů. Vypadá to takto:

Jak vidíte, některé exponenty lze uhodnout intuitivně, pokud máte technické myšlení a znalost násobilky. Nicméně, pro velké hodnoty potřebujete tabulku stupňů. Využít ho mohou i ti, kteří ve složitých matematických tématech nerozumí vůbec ničemu. Levý sloupec obsahuje čísla (základ a), horní řada čísel je hodnota mocniny c, na kterou je číslo a umocněno. Na průsečíku v buňkách jsou určeny hodnoty čísel, které jsou odpovědí (a c = b). Vezměme si například úplně první buňku s číslem 10 a odmocnime ji, dostaneme hodnotu 100, která je naznačena na průsečíku našich dvou buněk. Všechno je tak jednoduché a snadné, že to pochopí i ten nejskutečnější humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje se, že za určitých podmínek je exponentem logaritmus. Proto lze jakékoli matematické číselné výrazy zapsat jako logaritmickou rovnici. Například 3 4 = 81 lze zapsat jako logaritmus 81 k základu 3, což je čtyři (log 3 81 = 4). Pro záporné mocniny jsou pravidla stejná: 2 -5 = 1/32 zapíšeme jako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z nejvíce fascinujících částí matematiky je téma „logaritmů“. Příklady a řešení rovnic budeme uvažovat o něco níže, hned po prostudování jejich vlastností. Nyní se podívejme, jak vypadají nerovnosti a jak je odlišit od rovnic.

Je dán výraz v následujícím tvaru: log 2 (x-1) > 3 - jedná se o logaritmickou nerovnost, protože neznámá hodnota "x" je pod znaménkem logaritmu. A také ve výrazu se porovnávají dvě veličiny: logaritmus požadovaného čísla v základu dvě je větší než číslo tři.

Nejdůležitější rozdíl mezi logaritmickými rovnicemi a nerovnicemi je v tom, že rovnice s logaritmy (například logaritmus 2 x = √9) implikují jednu nebo více konkrétních číselných hodnot v odpovědi, zatímco při řešení nerovnosti oba rozsah přijatelné hodnoty a body porušující tuto funkci. V důsledku toho není odpovědí jednoduchá množina jednotlivých čísel jako v odpovědi rovnice, ale souvislá řada nebo množina čísel.

Základní věty o logaritmech

Při řešení primitivních úloh při hledání hodnot logaritmu nemusí být jeho vlastnosti známy. Pokud však jde o logaritmické rovnice nebo nerovnice, je v první řadě nutné jasně pochopit a prakticky aplikovat všechny základní vlastnosti logaritmů. S příklady rovnic se seznámíme později, rozeberme si nejprve každou vlastnost podrobněji.

1. Základní identita vypadá takto: a logaB =B. Platí pouze v případě, že a je větší než 0, nerovná se jedné a B je větší než nula.
2. Logaritmus součinu může být reprezentován následujícím vzorcem: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto případě je předpokladem: d, s 1 as 2 > 0; a≠1. Tento vzorec logaritmů můžete doložit příklady a řešením. Nechť log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, pak a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupňů ), a dále podle definice: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, což mělo být prokázáno.
3. Logaritmus podílu vypadá takto: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Věta ve formě vzorce má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec se nazývá "vlastnost stupně logaritmu". Připomíná vlastnosti běžných stupňů a není se čemu divit, protože veškerá matematika spočívá na pravidelných postulátech. Podívejme se na důkaz.

Nechte log a b \u003d t, ukáže se t \u003d b. Zvednete-li obě části na mocninu m: a tn = b n ;

ale protože a tn = (a q) nt/q = b n , tudíž log a q b n = (n*t)/t, pak log a q b n = n/q log a b. Věta byla prokázána.

Příklady problémů a nerovností

Nejběžnějšími typy logaritmických úloh jsou příklady rovnic a nerovnic. Nacházejí se téměř ve všech problémových knihách a jsou také součástí povinné části zkoušek z matematiky. Pro přijetí na univerzitu nebo absolvování přijímací zkoušky v matematice je potřeba vědět, jak takové úlohy správně řešit.

Bohužel, jediný plán nebo schéma řešit a určit neznámá hodnota neexistuje žádný logaritmus, nicméně na každou matematickou nerovnost nebo logaritmickou rovnici lze aplikovat určitá pravidla. Nejprve byste měli zjistit, zda lze výraz zjednodušit nebo zredukovat obecný pohled. Pokud správně použijete jejich vlastnosti, můžete dlouhé logaritmické výrazy zjednodušit. Pojďme se s nimi brzy seznámit.

Při řešení logaritmických rovnic je nutné určit, jaký logaritmus máme před sebou: příklad výrazu může obsahovat přirozený logaritmus nebo dekadický.

Zde jsou příklady ln100, ln1026. Jejich řešení se scvrkává na skutečnost, že musíte určit, do jaké míry bude základna 10 rovna 100 a 1026. Pro řešení přirozené logaritmy je třeba použít logaritmické identity nebo jejich vlastnosti. Podívejme se na příklady řešení logaritmických úloh různých typů.

Jak používat logaritmické vzorce: s příklady a řešeními

Podívejme se tedy na příklady použití hlavních vět o logaritmech.

1. Vlastnost logaritmu součinu se dá využít v úlohách, kde je potřeba rozkládat velká důležitostčísla b do jednodušších faktorů. Například log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpověď je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak vidíte, pomocí čtvrté vlastnosti stupně logaritmu se nám podařilo vyřešit na první pohled složitý a neřešitelný výraz. Je nutné pouze faktorizovat základ a poté vyjmout hodnoty exponentů ze znaménka logaritmu.

Úkoly ze zkoušky

Logaritmy se často vyskytují při přijímacích zkouškách, zejména mnoho logaritmických problémů v jednotné státní zkoušce (státní zkouška pro všechny absolventy škol). Obvykle jsou tyto úkoly přítomny nejen v části A (nejsnadnější testovací část zkouška), ale i v části C (nejobtížnější a nejobjemnější úlohy). Zkouška předpokládá přesnou a dokonalou znalost tématu "Přirozené logaritmy".

Příklady a řešení problémů jsou převzaty z oficiálních POUŽÍVEJTE možnosti. Podívejme se, jak se takové úkoly řeší.

Je dán log 2 (2x-1) = 4. Řešení:
přepišme výraz, trochu jej zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2 , definicí logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4 , tedy 2x = 17; x = 8,5.

• Všechny logaritmy je nejlépe zredukovat na stejný základ, aby řešení nebylo těžkopádné a matoucí.
• Všechny výrazy pod znaménkem logaritmu jsou označeny jako kladné, proto při vyjímání exponentu exponentu výrazu, který je pod znaménkem logaritmu a jako jeho základ, musí být výraz zbývající pod logaritmem kladný.

Tímto videem začínám dlouhou sérii lekcí o logaritmických rovnicích. Nyní máte tři příklady najednou, na základě kterých se naučíme řešit ty nejjednodušší úlohy, které se nazývají tak - prvoky.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Dovolte mi připomenout, že nejjednodušší logaritmická rovnice je následující:

log a f(x) = b

Je důležité, aby proměnná x byla přítomna pouze uvnitř argumentu, tedy pouze ve funkci f(x). A čísla a a b jsou jen čísla a v žádném případě to nejsou funkce obsahující proměnnou x.

Základní metody řešení

Existuje mnoho způsobů, jak takové struktury řešit. Většina učitelů ve škole například navrhuje tento způsob: Okamžitě vyjádřete funkci f ( x ) pomocí vzorce F( x) = a b To znamená, že když se setkáte s nejjednodušší konstrukcí, můžete okamžitě přistoupit k řešení bez dalších akcí a konstrukcí.

Ano, samozřejmě, rozhodnutí se ukáže jako správné. Problémem tohoto vzorce je však většina studentů nerozumím, odkud pochází a proč přesně zvedáme písmeno a na písmeno b.

V důsledku toho často pozoruji velmi urážlivé chyby, kdy se například tato písmena zaměňují. Tento vzorec je třeba buď pochopit, nebo si jej zapamatovat, a druhá metoda vede k chybám v nejnevhodnějších a nejdůležitějších okamžicích: u zkoušek, testů atd.

Proto všem svým studentům navrhuji, aby opustili standardní školní vzorec a použili druhý přístup k řešení logaritmických rovnic, který, jak jste pravděpodobně uhodli z názvu, se nazývá kanonická forma.

Myšlenka kanonické formy je jednoduchá. Podívejme se znovu na náš úkol: vlevo máme log a , přičemž písmeno a znamená přesně to číslo a v žádném případě funkci obsahující proměnnou x. Proto tento dopis podléhá všem omezením, která jsou uložena na základě logaritmu. a to:

1 ≠ a > 0

Na druhou stranu ze stejné rovnice vidíme, že logaritmus musí být se rovná číslu b , a na tento dopis nejsou uvalena žádná omezení, protože může mít jakoukoli hodnotu - pozitivní i negativní. Vše závisí na tom, jaké hodnoty funkce f(x) nabývá.

A zde si pamatujeme naše úžasné pravidlo, že libovolné číslo b může být reprezentováno jako logaritmus v základu a od a po mocninu b:

b = log a a b

Jak si zapamatovat tento vzorec? Ano, velmi jednoduché. Zapišme si následující konstrukci:

b = b 1 = b log a a

Samozřejmě v tomto případě vznikají všechna omezení, která jsme si sepsali na začátku. A nyní použijeme základní vlastnost logaritmu a zadáme faktor b jako mocninu a. Dostaneme:

b = b 1 = b log a a = log a a b

V důsledku toho bude původní rovnice přepsána do následujícího tvaru:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

To je vše. Nová funkce již neobsahuje logaritmus a je řešena standardními algebraickými technikami.

Samozřejmě teď někdo namítne: proč bylo vůbec nutné vymýšlet nějakou kanonickou formuli, proč provádět dva zbytečné kroky navíc, když bylo možné okamžitě přejít od původní konstrukce ke konečné formuli? Ano, už jen proto, že většina studentů nechápe, odkud tento vzorec pochází, a v důsledku toho při jeho aplikaci pravidelně chybují.

Ale taková posloupnost akcí, sestávající ze tří kroků, vám umožňuje vyřešit původní logaritmickou rovnici, i když nerozumíte, odkud tento konečný vzorec pochází. Mimochodem, tento záznam se nazývá kanonický vzorec:

log a f(x) = log a a b

Pohodlí kanonické formy spočívá také v tom, že ji lze použít k řešení velmi široké třídy logaritmických rovnic, a to nejen těch nejjednodušších, o kterých dnes uvažujeme.

Příklady řešení

A nyní uvažujme skutečné příklady. Pojďme se tedy rozhodnout:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Přepišme to takto:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Mnoho studentů spěchá a snaží se okamžitě zvýšit číslo 0,5 na sílu, která nám přišla z původního problému. A skutečně, když jste již dobře vyškoleni v řešení takových problémů, můžete tento krok okamžitě provést.

Pokud však nyní toto téma teprve začínáte studovat, je lepší nikam nespěchat, abyste se nedopustili urážlivých chyb. Máme tedy kanonickou formu. My máme:

3x - 1 = 0,5 -3

Toto již není logaritmická rovnice, ale lineární vzhledem k proměnné x. Abychom to vyřešili, pojďme se nejprve zabývat číslem 0,5 na mocninu −3. Všimněte si, že 0,5 je 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Všechno desetinná místa převést na normální, když řešíte logaritmickou rovnici.

Přepíšeme a dostaneme:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Vše jsme dostali odpověď. První úkol je vyřešen.

Druhý úkol

Pojďme k druhému úkolu:

Jak vidíte, tato rovnice již není nejjednodušší. Už jen proto, že rozdíl je vlevo a není jediný logaritmus v jedné základně.

Proto se musíte nějak zbavit tohoto rozdílu. V tomto případě je vše velmi jednoduché. Podívejme se blíže na základy: vlevo je číslo pod kořenem:

Obecné doporučení: ve všech logaritmických rovnicích se snažte zbavit radikálů, tj. položek s kořeny, a přejděte k mocenské funkce, jednoduše proto, že exponenty těchto mocnin lze snadno vyjmout ze znaménka logaritmu a nakonec takový zápis značně zjednodušuje a urychluje výpočty. Napišme to takto:

Nyní si připomeneme pozoruhodnou vlastnost logaritmu: z argumentu, stejně jako ze základny, můžete odebírat stupně. V případě základen se stane následující:

log a k b = 1/k loga b

Jinými slovy, číslo, které stálo ve stupni základny, se posune dopředu a zároveň se převrátí, tj. obrácené číslo. V našem případě se jednalo o stupeň základny s ukazatelem 1/2. Proto to můžeme vzít jako 2/1. Dostaneme:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Poznámka: v žádném případě byste se v tomto kroku neměli zbavovat logaritmů. Vzpomeňte si na matematiku 4.–5. třídy a pořadí operací: nejprve se provádí násobení a teprve potom se sčítání a odčítání. V tomto případě odečteme jeden ze stejných prvků od 10 prvků:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Nyní naše rovnice vypadá, jak by měla. Toto je nejjednodušší konstrukce a řešíme ji pomocí kanonické formy:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

To je vše. Druhý problém je vyřešen.

Třetí příklad

Pojďme ke třetímu úkolu:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Připomeňme si následující vzorec:

log b = log 10 b

Pokud jste z nějakého důvodu zmateni psaním lg b , pak při provádění všech výpočtů můžete jednoduše napsat log 10 b . S desítkovými logaritmy můžete pracovat stejným způsobem jako s ostatními: odeberte mocniny, sečtěte a reprezentujte libovolné číslo jako lg 10.

Právě tyto vlastnosti nyní použijeme k řešení problému, protože to není ta nejjednodušší, kterou jsme si zapsali na samém začátku naší lekce.

Nejprve si všimněte, že faktor 2 před lg 5 lze vložit a stane se mocninou základu 5. Kromě toho může být volný člen 3 také reprezentován jako logaritmus - to lze velmi snadno zjistit z našeho zápisu.

Posuďte sami: libovolné číslo může být reprezentováno jako log k základně 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Přepišme původní problém s přihlédnutím k přijatým změnám:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = 25 000 lg

Před námi je opět kanonický tvar a ten jsme získali obcházením fáze transformací, tedy nejjednodušší logaritmická rovnice u nás nikde nepřišla.

To je to, o čem jsem mluvil na samém začátku lekce. Kanonická forma umožňuje řešit širší třídu problémů než standardní školní vzorec, který uvádí většina učitelů školy.

To je vše, zbavíme se znaménka dekadického logaritmu a získáme jednoduchou lineární konstrukci:

x + 3 = 25 000
x = 24997

Všechno! Problém je vyřešen.

Poznámka k rozsahu

Zde bych rád učinil důležitou poznámku o doméně definice. Jistě se nyní najdou studenti a učitelé, kteří řeknou: „Když řešíme výrazy pomocí logaritmu, je nutné mít na paměti, že argument f (x) musí být větší než nula! V tomto ohledu se nabízí logická otázka: proč jsme v žádném z uvažovaných problémů nepožadovali, aby byla tato nerovnost uspokojena?

Neboj se. V těchto případech se neobjeví žádné extra kořeny. A to je další skvělý trik, který umožňuje urychlit řešení. Jen vězte, že pokud se v úloze proměnná x vyskytuje pouze na jednom místě (přesněji v jediném argumentu jediného logaritmu) a nikde jinde v našem případě proměnná x, pak napište definiční obor není třeba protože se spustí automaticky.

Posuďte sami: v první rovnici jsme dostali, že 3x - 1, tedy argument by se měl rovnat 8. To automaticky znamená, že 3x - 1 bude větší než nula.

Se stejným úspěchem můžeme napsat, že ve druhém případě se x musí rovnat 5 2, tj. je jistě větší než nula. A ve třetím případě, kde x + 3 = 25 000, tedy opět zjevně větší než nula. Jinými slovy, rozsah je automatický, ale pouze pokud se x vyskytuje pouze v argumentu pouze jednoho logaritmu.

To je vše, co potřebujete vědět k řešení jednoduchých problémů. Toto pravidlo samo o sobě spolu s transformačními pravidly vám umožní řešit velmi širokou třídu problémů.

Ale buďme upřímní: abychom se konečně vypořádali s touto technikou, abychom se naučili používat kanonickou formu logaritmická rovnice Nestačí se jen podívat na jeden videonávod. Proto si právě teď stáhněte možnosti pro nezávislé řešení, které jsou přiloženy k tomuto videonávodu a začněte řešit alespoň jedno z těchto dvou nezávislých děl.

Zabere vám to jen pár minut. Účinek takového tréninku však bude mnohem vyšší ve srovnání s tím, kdybyste se právě dívali na tento videonávod.

Doufám, že vám tato lekce pomůže porozumět logaritmickým rovnicím. Použijte kanonickou formu, zjednodušte výrazy pomocí pravidel pro práci s logaritmy - a nebudete se bát žádných úkolů. A to je pro dnešek vše, co mám.

Zvážení rozsahu

Nyní si promluvme o oboru logaritmické funkce a také o tom, jak to ovlivňuje řešení logaritmických rovnic. Zvažte konstrukci formuláře

log a f(x) = b

Takový výraz se nazývá nejjednodušší - má pouze jednu funkci a čísla a a b jsou jen čísla a v žádném případě nejsou funkcí, která závisí na proměnné x. Řeší se to velmi jednoduše. Stačí použít vzorec:

b = log a a b

Tento vzorec je jednou z klíčových vlastností logaritmu a při dosazení do našeho původního výrazu dostaneme následující:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

To je již známý vzorec ze školních učebnic. Mnoho studentů bude mít pravděpodobně otázku: protože funkce f ( x ) v původním výrazu je pod logem, jsou na ni uvalena následující omezení:

f(x) > 0

Toto omezení je platné, protože logaritmus záporných čísel neexistuje. Takže možná kvůli tomuto omezení byste měli zavést kontrolu odpovědí? Možná je třeba je nahradit ve zdroji?

Ne, v nejjednodušších logaritmických rovnicích je další kontrola zbytečná. A právě proto. Podívejte se na náš konečný vzorec:

f(x) = a b

Faktem je, že číslo a je v každém případě větší než 0 - tento požadavek také ukládá logaritmus. Číslo a je základ. V tomto případě se na počet b nevztahují žádná omezení. To ale nevadí, protože bez ohledu na to, o jaký stupeň kladné číslo zvedneme, na výstupu stále dostaneme kladné číslo. Požadavek f (x) > 0 je tedy splněn automaticky.

Co opravdu stojí za kontrolu, je rozsah funkce pod logem. Mohou existovat poměrně složité návrhy a v procesu jejich řešení je určitě musíte dodržovat. Uvidíme.

První úkol:

První krok: převeďte zlomek vpravo. Dostaneme:

Zbavíme se znaménka logaritmu a dostaneme obvyklou iracionální rovnici:

Ze získaných kořenů nám vyhovuje pouze první, protože druhý kořen je menší než nula. Jedinou odpovědí bude číslo 9. To je vše, problém je vyřešen. Nejsou vyžadovány žádné další kontroly, že výraz pod logaritmickým znaménkem je větší než 0, protože není jen větší než 0, ale podle podmínky rovnice je roven 2. Proto je automaticky požadavek "větší než nula" splnil.

Pojďme k druhému úkolu:

Všechno je tu stejné. Přepíšeme konstrukci a nahradíme trojici:

Zbavíme se znamének logaritmu a dostaneme iracionální rovnici:

Umocníme obě části, vezmeme-li v úvahu omezení, a dostaneme:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Výslednou rovnici řešíme přes diskriminant:

D \u003d 49–24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Ale x = −6 nám nevyhovuje, protože pokud toto číslo dosadíme do naší nerovnosti, dostaneme:

−6 + 4 = −2 < 0

V našem případě je požadováno, aby byl větší než 0 nebo v extrémních případech rovný. Ale x = −1 nám vyhovuje:

−1 + 4 = 3 > 0

Jediná odpověď v našem případě je x = −1. To je celé řešení. Vraťme se na úplný začátek našich výpočtů.

Hlavním závěrem této lekce je, že není nutné kontrolovat limity funkce v nejjednodušších logaritmických rovnicích. Protože v procesu řešení se všechna omezení provádějí automaticky.

To však v žádném případě neznamená, že můžete na ověření úplně zapomenout. V procesu práce na logaritmické rovnici se může dobře změnit v rovnici iracionální, která bude mít svá vlastní omezení a požadavky na pravou stranu, což jsme dnes viděli na dvou různých příkladech.

Neváhejte a řešte takové problémy a buďte obzvláště opatrní, pokud je v hádce kořen.

Logaritmické rovnice s různými bázemi

Pokračujeme ve studiu logaritmických rovnic a rozebíráme další dva docela zajímavé triky, se kterými je v módě více řešit složité struktury. Nejprve si však připomeňme, jak se řeší ty nejjednodušší úkoly:

log a f(x) = b

V tomto zápisu jsou a a b jen čísla a ve funkci f (x) musí být proměnná x přítomna a pouze tam, tedy x musí být pouze v argumentu. Tyto logaritmické rovnice transformujeme pomocí kanonické formy. K tomu poznamenáváme

b = log a a b

A b je jen argument. Přepišme tento výraz takto:

log a f(x) = log a a b

To je přesně to, čeho se snažíme dosáhnout, takže jak nalevo, tak napravo existuje logaritmus k základně a. V tomto případě můžeme, obrazně řečeno, škrtnout znaménka log a z hlediska matematiky můžeme říci, že argumenty jednoduše srovnáme:

f(x) = a b

Ve výsledku získáme nový výraz, který se bude řešit mnohem snadněji. Aplikujme toto pravidlo na naše dnešní úkoly.

Takže první design:

Nejprve podotýkám, že vpravo je zlomek, jehož jmenovatelem je log. Když uvidíte výraz jako je tento, stojí za to si zapamatovat úžasnou vlastnost logaritmů:

V překladu do ruštiny to znamená, že jakýkoli logaritmus může být reprezentován jako podíl dvou logaritmů s libovolným základem c. Samozřejmě, 0< с ≠ 1.

Takže: tento vzorec má jeden úžasný speciální případ, kdy se proměnná c rovná proměnné b. V tomto případě dostaneme konstrukci formuláře:

Právě tuto konstrukci pozorujeme ze znaménka vpravo v naší rovnici. Nahradíme tuto konstrukci log a b , dostaneme:

Jinými slovy, ve srovnání s původní úlohou jsme prohodili argument a základ logaritmu. Místo toho jsme museli zlomek obrátit.

Připomínáme, že ze základny lze odebrat jakýkoli stupeň podle následujícího pravidla:

Jinými slovy, koeficient k, což je stupeň základny, se bere jako převrácený zlomek. Vezměme to jako obrácený zlomek:

Zlomkový faktor nelze ponechat v popředí, protože v tomto případě nebudeme moci reprezentovat tento záznam jako kanonickou formu (ostatně v kanonické formě není před druhým logaritmem žádný další faktor). Dejme tedy zlomek 1/4 v argumentu jako mocninu:

Nyní srovnáme argumenty, jejichž základy jsou stejné (a skutečně máme stejné základy), a napíšeme:

x + 5 = 1

x = -4

To je vše. Dostali jsme odpověď na první logaritmickou rovnici. Pozor: v původním problému se proměnná x vyskytuje pouze v jednom logu a je v jeho argumentu. Není tedy třeba kontrolovat doménu a naše číslo x = −4 je skutečně odpovědí.

Nyní přejdeme k druhému výrazu:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Zde budeme muset kromě obvyklých logaritmů pracovat s lg f (x). Jak takovou rovnici vyřešit? Nepřipravenému studentovi se může zdát, že jde o nějaký plecháč, ale ve skutečnosti je vše vyřešeno elementárně.

Podívejte se pozorně na termín lg 2 log 2 7. Co o něm můžeme říci? Základy a argumenty log a lg jsou stejné a to by mělo napovědět. Připomeňme si ještě jednou, jak se stupně odebírají pod znaménkem logaritmu:

log a b n = nlog a b

Jinými slovy, jaká byla síla čísla b v argumentu se stává faktorem před samotným log. Aplikujme tento vzorec na výraz lg 2 log 2 7. Nebojte se lg 2 – to je nejběžnější výraz. Můžete to přepsat takto:

Pro něj platí všechna pravidla, která platí pro jakýkoli jiný logaritmus. Zejména faktor vpředu může být zaveden do síly argumentu. Pojďme psát:

Studenti velmi často tuto akci nevidí, protože není dobré zadávat jeden protokol pod znak druhého. Ve skutečnosti v tom není nic zločinného. Navíc získáme vzorec, který lze snadno vypočítat, pokud si pamatujete důležité pravidlo:

Tento vzorec lze považovat jak za definici, tak za jednu z jeho vlastností. V každém případě, pokud převedete logaritmickou rovnici, měli byste tento vzorec znát stejným způsobem jako reprezentaci libovolného čísla ve formě log.

Vracíme se k našemu úkolu. Přepíšeme jej s ohledem na skutečnost, že první člen napravo od rovnítka bude jednoduše roven lg 7. Máme:

lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)

Přesuneme lg 7 doleva, dostaneme:

lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)

Odečteme výrazy vlevo, protože mají stejný základ:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Nyní se podívejme blíže na rovnici, kterou máme. Je to prakticky kanonická forma, ale vpravo je faktor -3. Uveďme to do správného argumentu lg:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Před námi je kanonický tvar logaritmické rovnice, takže přeškrtneme znaménka lg a srovnáme argumenty:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

To je vše! Vyřešili jsme druhou logaritmickou rovnici. V tomto případě nejsou vyžadovány žádné další kontroly, protože v původním problému bylo x přítomno pouze v jednom argumentu.

Vypíšu znovu Klíčové body tuto lekci.

Hlavním vzorcem, který je studován ve všech lekcích na této stránce věnované řešení logaritmických rovnic, je kanonický tvar. A nenechte se odradit tím, že většina školních učebnic vás učí, jak tento druh problémů řešit jinak. Tento nástroj funguje velmi efektivně a umožňuje vám řešit mnohem širší třídu problémů, než jsou ty nejjednodušší, které jsme studovali na samém začátku naší lekce.

Navíc pro řešení logaritmických rovnic bude užitečné znát základní vlastnosti. A to:

1. Vzorec pro přesun na jednu základnu a speciální případ, kdy překlopíme log (to se nám velmi hodilo v prvním úkolu);
2. Vzorec pro vnášení a odebírání mocnin ze znamení logaritmu. Zde se mnoho studentů zasekne a nevidí přímo, že odebíraná a přiváděná energie může sama o sobě obsahovat log f (x). Není na tom nic špatného. Můžeme zavést jeden log podle znaménka druhého a zároveň výrazně zjednodušit řešení problému, což pozorujeme v druhém případě.

Na závěr bych rád dodal, že není nutné v každém z těchto případů kontrolovat rozsah, protože všude je proměnná x přítomna pouze v jednom znaku log a zároveň je ve svém argumentu. V důsledku toho jsou všechny požadavky na doménu splněny automaticky.

Problémy s variabilní základnou

Dnes se budeme zabývat logaritmickými rovnicemi, které se mnohým studentům zdají nestandardní, ne-li zcela neřešitelné. Mluvíme o výrazech, které nejsou založeny na číslech, ale na proměnných a dokonce funkcích. Takové konstrukce vyřešíme naší standardní technikou, a to prostřednictvím kanonické formy.

Pro začátek si připomeňme, jak se řeší ty nejjednodušší úlohy, které vycházejí z obyčejných čísel. Nejjednodušší konstrukce se tedy nazývá

log a f(x) = b

K vyřešení takových problémů můžeme použít následující vzorec:

b = log a a b

Přepíšeme svůj původní výraz a dostaneme:

log a f(x) = log a a b

Potom srovnáme argumenty, tj. napíšeme:

f(x) = a b

Tím se zbavíme loga a vyřešíme obvyklý problém. V tomto případě budou kořeny získané v řešení kořeny původní logaritmické rovnice. Navíc záznam, kdy jsou levá i pravá strana na stejném logaritmu se stejným základem, se nazývá kanonická forma. Právě na tento rekord se pokusíme zredukovat dnešní stavby. Tak pojďme.

První úkol:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Nahraďte 1 logem x − 2 (x − 2) 1 . Stupeň, který pozorujeme v argumentu, je ve skutečnosti číslo b , které bylo napravo od rovnítka. Přepišme tedy náš výraz. Dostaneme:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

co vidíme? Před námi je kanonický tvar logaritmické rovnice, takže můžeme bezpečně srovnat argumenty. Dostaneme:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Tím ale řešení nekončí, protože tato rovnice není ekvivalentní té původní. Výsledná konstrukce se totiž skládá z funkcí, které jsou definovány na celé číselné ose a naše původní logaritmy nejsou definovány všude a ne vždy.

Proto musíme definiční obor zapsat samostatně. Nebuďme moudřejší a sepišme si nejprve všechny požadavky:

Za prvé, argument každého z logaritmů musí být větší než 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Za druhé, základ musí být nejen větší než 0, ale také odlišný od 1:

x − 2 ≠ 1

V důsledku toho získáme systém:

Ale nelekejte se: při zpracování logaritmických rovnic lze takový systém značně zjednodušit.

Posuďte sami: jednak se po nás požaduje, aby kvadratická funkce byla větší než nula, jednak je tato kvadratická funkce přirovnána k nějakému lineárnímu výrazu, u kterého je také požadováno, aby byla větší než nula.

V tomto případě, pokud požadujeme, aby x − 2 > 0, pak bude automaticky splněn požadavek 2x 2 − 13x + 18 > 0. Můžeme tedy klidně škrtnout nerovnost obsahující kvadratická funkce. Tím se počet výrazů obsažených v našem systému sníží na tři.

Samozřejmě můžeme také škrtnout lineární nerovnost, tj. škrtněte x − 2 > 0 a požadujte, aby 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ale musíte souhlasit, že je mnohem rychlejší a snazší vyřešit nejjednodušší lineární nerovnici, než tato soustava dostaneme stejné kořeny.

Obecně se snažte optimalizovat výpočty, kdykoli je to možné. A v případě logaritmických rovnic škrtněte nejobtížnější nerovnosti.

Pojďme přepsat náš systém:

Zde je takový systém tří výrazů, z nichž dva jsme ve skutečnosti již vymysleli. Píšeme samostatně kvadratická rovnice a vyřešit to:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Před námi je zmenšený čtvercový trojčlen, a proto můžeme použít vzorce Vieta. Dostaneme:

(x − 5) (x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Nyní zpět k našemu systému zjistíme, že x = 2 nám nevyhovuje, protože musíme mít x přísně větší než 2.

Ale x \u003d 5 nám docela vyhovuje: číslo 5 je větší než 2 a zároveň 5 se nerovná 3. Proto bude jediným řešením tohoto systému x \u003d 5.

Vše, úkol je vyřešen, včetně zohlednění ODZ. Přejděme k druhé rovnici. Zde čekáme na zajímavější a smysluplnější výpočty:

První krok: stejně jako minule přivádíme celý tento obchod do kanonické podoby. K tomu můžeme zapsat číslo 9 takto:

Báze s kořenem se nelze dotknout, ale je lepší argument transformovat. Přejděme od kořene k mocnině s racionálním exponentem. Pojďme psát:

Dovolte mi, abych nepřepisoval celou naši velkou logaritmickou rovnici, ale rovnou dal rovnítko mezi argumenty:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4 x + 3 = 0

Před námi je opět zmenšený čtvercový trojčlen, použijeme vzorce Vieta a napíšeme:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Takže jsme dostali kořeny, ale nikdo nám nezaručil, že budou odpovídat původní logaritmické rovnici. Logové značky totiž ukládají další omezení (zde bychom museli systém zapisovat, ale vzhledem k těžkopádnosti celé konstrukce jsem se rozhodl doménu definice vypočítat samostatně).

Nejprve si pamatujte, že argumenty musí být větší než 0, konkrétně:

To jsou požadavky kladené doménou definice.

Hned si všimneme, že vzhledem k tomu, že dáváme rovnítko mezi první dva výrazy systému, můžeme kterýkoli z nich škrtnout. První škrtneme, protože vypadá hrozivěji než to druhé.

Navíc si všimněte, že řešení druhé a třetí nerovnice budou stejné množiny (krychle nějakého čísla je větší než nula, pokud je toto číslo samo větší než nula; podobně jako u kořene třetího stupně - tyto nerovnosti jsou zcela podobné, takže jeden z nich můžeme škrtnout).

Ale s třetí nerovností to nepůjde. Zbavme se znaku radikála vlevo, u kterého obě části zvedneme na kostku. Dostaneme:

Dostáváme tedy následující požadavky:

−2 ≠ x > −3

Který z našich kořenů: x 1 = -3 nebo x 2 = -1 splňuje tyto požadavky? Je zřejmé, že pouze x = −1, protože x = −3 nesplňuje první nerovnost (protože naše nerovnost je přísná). Celkem, když se vrátíme k našemu problému, dostaneme jeden kořen: x = −1. To je vše, problém vyřešen.

Ještě jednou, hlavní body tohoto úkolu:

1. Nebojte se používat a řešit logaritmické rovnice pomocí kanonické formy. Studenti, kteří takový záznam pořídí a nepřejdou přímo od původního problému ke konstrukci jako log a f ( x ) = b , dělají mnohem méně chyb než ti, kteří někam spěchají a přeskakují mezikroky výpočtů;
2. Jakmile se v logaritmu objeví proměnná báze, problém přestává být tím nejjednodušším. Proto je při jeho řešení nutné vzít v úvahu definiční obor: argumenty musí být větší než nula a základy nejen větší než 0, ale také nesmí být rovny 1.

Poslední požadavky na konečné odpovědi můžete klást různými způsoby. Například je možné řešit celý systém obsahující všechny doménové požadavky. Na druhou stranu můžete nejprve vyřešit samotný problém a poté si vzpomenout na doménu definice, vypracovat jej samostatně ve formě systému a aplikovat jej na získané kořeny.

Jaký způsob řešení konkrétní logaritmické rovnice zvolíte, je na vás. V každém případě bude odpověď stejná.

Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a nadcházejících událostech.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě potřeby - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí od vládní agentury na území Ruské federace – zveřejněte své osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud rozhodneme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné účely veřejného zájmu.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.