V této lekci se naučíme, jak používat vzorce a pravidla diferenciace.

Příklady. Najděte derivace funkcí.

1. y = x 7 + x 5 - x 4 + x 3 - x 2 + x - 9. Použití pravidla já, vzorce 4, 2 a 1. Dostaneme:

y'=7x 6 +5x 4-4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6-2x+5. Řešíme podobně, pomocí stejných vzorců a vzorce 3.

y’=3∙6x 5-2=18x 5-2.

Použití pravidla já, vzorce 3, 5 a 6 a 1.

Použití pravidla IV, vzorce 5 a 1 .

V pátém příkladu podle pravidla já derivace součtu se rovná součtu derivací a právě jsme našli derivaci 1. členu (příklad 4 ), proto najdeme deriváty 2 a 3 podmínky a za 1 termínu, můžeme rovnou napsat výsledek.

Rozlišování 2 a 3 termíny podle vzorce 4 . Za tímto účelem transformujeme kořeny třetího a čtvrtého stupně ve jmenovatelích na mocniny se zápornými exponenty a poté podle 4 vzorce, najdeme derivace mocnin.

Podívejte se na tento příklad a výsledek. Chytili jste vzor? Dobrý. To znamená, že máme nový vzorec a můžeme jej přidat do naší tabulky derivátů.

Vyřešme šestý příklad a odvodíme ještě jeden vzorec.

Používáme pravidlo IV a vzorec 4 . Vzniklé zlomky redukujeme.

Podíváme se na tuto funkci a její derivaci. Vzorec jste samozřejmě pochopili a jste připraveni vzorec pojmenovat:

Učte se nové vzorce!

Příklady.

1. Najděte přírůstek argumentu a přírůstek funkce y= x2 pokud byla počáteční hodnota argumentu 4 a nové 4,01 .

Řešení.

Nová hodnota argumentu x \u003d x 0 + Δx. Dosaďte data: 4,01=4+Δx, tedy přírůstek argumentu Δх= 4,01-4 = 0,01. Přírůstek funkce se podle definice rovná rozdílu mezi novou a předchozí hodnotou funkce, tj. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Protože máme funkci y=x2, pak Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Odpovědět: přírůstek argumentu Δх=0,01; přírůstek funkce Δу=0,0801.

Přírůstek funkce bylo možné najít jiným způsobem: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.

2. Najděte úhel sklonu tečny ke grafu funkce y=f(x) na místě x 0, pokud f "(x 0) \u003d 1.

Řešení.

Hodnota derivace v bodě kontaktu x 0 a je hodnotou tečny sklonu tečny (geometrický význam derivace). My máme: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45°, protože tg45°=1.

Odpovědět: tečna ke grafu této funkce svírá s kladným směrem osy Ox úhel rovný 45°.

3. Odvoďte vzorec pro derivaci funkce y=xn.

Diferenciace je akt nalezení derivace funkce.

Při hledání derivací se používají vzorce, které byly odvozeny na základě definice derivace, stejně jako jsme odvodili vzorec pro stupeň derivace: (x n)" = nx n-1.

Zde jsou vzorce.

Tabulka derivátů bude snazší si zapamatovat vyslovením slovních formulací:

1. Derivace konstantní hodnoty je nula.

2. X zdvih je roven jedné.

3. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace.

4. Derivace stupně se rovná součinu exponentu tohoto stupně stupněm se stejným základem, ale exponent je o jeden méně.

5. Derivace kořene se rovná jedničce dělené dvěma stejnými kořeny.

6. Derivace jednoty dělená x je mínus jedna dělená x na druhou.

7. Derivace sinu se rovná kosinu.

8. Derivace kosinusu se rovná minus sinu.

9. Derivace tečny je rovna jedné dělené druhou mocninou kosinusu.

10. Derivace kotangens je mínus jedna děleno druhou mocninou sinu.

učíme pravidla diferenciace.

1. Derivace algebraického součtu se rovná algebraickému součtu derivačních členů.

2. Derivát součinu se rovná součinu derivace prvního faktoru druhým plus součinu prvního faktoru derivace druhého.

3. Derivace „y“ dělená „ve“ se rovná zlomku, v jehož čitateli „y je tah násobený „ve“ mínus „y, násobený tahem“ a ve jmenovateli – „ve na druhou “.

4. Zvláštní případ formule 3.

Pojďme se společně učit!

Strana 1 z 1 1

Definice. Nechť je funkce \(y = f(x) \) definována v nějakém intervalu obsahujícím bod \(x_0 \) uvnitř. Inkrementujme \(\Delta x \) na argument, abychom neopustili tento interval. Najděte odpovídající přírůstek funkce \(\Delta y \) (při přechodu z bodu \(x_0 \) do bodu \(x_0 + \Delta x \)) a sestavte vztah \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Pokud existuje limita tohoto vztahu v \(\Delta x \rightarrow 0 \), pak se zadaná limita nazývá derivační funkce\(y=f(x) \) v bodě \(x_0 \) a označte \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbol y se často používá k označení derivace. Všimněte si, že y" = f(x) je nová funkce, ale přirozeně spojená s funkcí y = f(x), definovanou ve všech bodech x, ve kterých existuje výše uvedená limita. Tato funkce se nazývá takto: derivace funkce y \u003d f (x).

Geometrický význam derivace se skládá z následujícího. Pokud lze tečnu, která není rovnoběžná s osou y, nakreslit ke grafu funkce y \u003d f (x) v bodě s úsečkou x \u003d a, pak f (a) vyjadřuje sklon tečny:
\(k = f"(a)\)

Protože \(k = tg(a) \), platí rovnost \(f"(a) = tg(a) \).

A nyní interpretujeme definici derivace z hlediska přibližných rovností. Nechť funkce \(y = f(x) \) má derivaci v určitém bodě \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znamená, že blízko bodu x je přibližná rovnost \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), tj. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Smysluplný význam získané přibližné rovnosti je následující: přírůstek funkce je „téměř úměrný“ přírůstku argumentu a koeficient úměrnosti je hodnota derivace v daném bodě x. Například pro funkci \(y = x^2 \) platí přibližná rovnost \(\Delta y \přibližně 2x \cdot \Delta x \). Pokud pečlivě analyzujeme definici derivace, zjistíme, že obsahuje algoritmus pro její nalezení.

Pojďme to zformulovat.

Jak najít derivaci funkce y \u003d f (x) ?

1. Opravte hodnotu \(x \), najděte \(f(x) \)
2. Zvyšte argument \(x \) \(\Delta x \), přesuňte se do nového bodu \(x+ \Delta x \), najděte \(f(x+ \Delta x) \)
3. Najděte přírůstek funkce: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Sestavte vztah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Vypočítejte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Tato limita je derivací funkce v x.

Pokud má funkce y = f(x) derivaci v bodě x, pak se nazývá derivovatelná v bodě x. Je volána procedura pro nalezení derivace funkce y \u003d f (x). diferenciace funkce y = f(x).

Proberme následující otázku: jak spolu souvisí spojitost a diferencovatelnost funkce v bodě?

Nechť je funkce y = f(x) diferencovatelná v bodě x. Potom lze ke grafu funkce nakreslit tečnu v bodě M (x; f (x)) a připomeňme si, že sklon tečny je roven f "(x). Takový graf se nemůže "zlomit" v bod M, tj. funkce musí být spojitá v x.

Bylo to uvažování „na prstech“. Uveďme důslednější argument. Pokud je funkce y = f(x) diferencovatelná v bodě x, pak přibližná rovnost \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) platí. nula, pak \(\Delta y \ ) bude mít také tendenci k nule, a to je podmínka spojitosti funkce v bodě.

Tak, je-li funkce diferencovatelná v bodě x, pak je v tomto bodě také spojitá.

Opak není pravdou. Například: funkce y = |x| je spojitá všude, zejména v bodě x = 0, ale tečna ke grafu funkce v „bodu kloubu“ (0; 0) neexistuje. Pokud v určitém bodě není možné nakreslit tečnu ke grafu funkce, pak v tomto bodě neexistuje žádná derivace.

Ještě jeden příklad. Funkce \(y=\sqrt(x) \) je spojitá na celé číselné ose, včetně bodu x = 0. A tečna ke grafu funkce existuje v libovolném bodě, včetně bodu x = 0 Ale v tomto bodě se tečna shoduje s osou y, to znamená, že je kolmá na osu úsečky, její rovnice má tvar x \u003d 0. Pro takovou přímku neexistuje žádný sklon, což znamená, že \ ( f "(0) \) také neexistuje

Seznámili jsme se tedy s novou vlastností funkce – diferencovatelností. Jak můžete zjistit, zda je funkce diferencovatelná od grafu funkce?

Odpověď je vlastně uvedena výše. Pokud lze v určitém bodě nakreslit tečnu ke grafu funkce, která není kolmá k ose x, pak je v tomto bodě funkce diferencovatelná. Pokud v určitém bodě tečna ke grafu funkce neexistuje nebo je kolmá k ose x, pak v tomto bodě funkce není diferencovatelná.

Pravidla diferenciace

Operace nalezení derivace se nazývá diferenciace. Při provádění této operace musíte často pracovat s podíly, součty, součiny funkcí a také s „funkcemi funkcí“, tedy komplexními funkcemi. Na základě definice derivátu můžeme odvodit pravidla diferenciace, která tuto práci usnadňují. Pokud je C konstantní číslo a f=f(x), g=g(x) jsou některé diferencovatelné funkce, pak platí následující pravidla diferenciace:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivace složené funkce:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabulka derivací některých funkcí

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Bez znalosti derivace a metod jejího výpočtu je absolutně nemožné řešit fyzikální úlohy nebo příklady v matematice. Derivát je jedním z nejdůležitější pojmy matematická analýza. Tomuto zásadnímu tématu jsme se rozhodli věnovat dnešní článek. Co je to derivace, jaký má fyzikální a geometrický význam, jak vypočítat derivaci funkce? Všechny tyto otázky lze spojit do jedné: jak porozumět derivaci?

Geometrický a fyzikální význam derivace

Nechť existuje funkce f(x) , daný v nějakém intervalu (a,b) . Do tohoto intervalu patří body x a x0. Když se změní x, změní se i samotná funkce. Změna argumentu - rozdíl jeho hodnot x-x0 . Tento rozdíl je zapsán jako delta x a nazývá se přírůstek argumentu. Změna nebo přírůstek funkce je rozdíl mezi hodnotami funkce ve dvou bodech. Definice derivátu:

Derivace funkce v bodě je limitem poměru přírůstku funkce v daném bodě k přírůstku argumentu, když ten má tendenci k nule.

Jinak to lze napsat takto:

Jaký má smysl najít takovou hranici? Ale který:

derivace funkce v bodě je rovna tečně úhlu mezi osou OX a tečně ke grafu funkce v daném bodě.

Fyzikální význam derivátu: časová derivace dráhy je rovna rychlosti přímočarého pohybu.

Opravdu, už od školních dob každý ví, že rychlost je soukromá cesta. x=f(t) a čas t . průměrná rychlost na nějakou dobu:

Chcete-li zjistit rychlost pohybu v čase t0 musíte vypočítat limit:

Pravidlo jedna: vyjměte konstantu

Konstantu lze vyjmout ze znaménka derivace. Navíc se to musí udělat. Při řešení příkladů v matematice berte jako pravidlo - pokud můžete zjednodušit výraz, určitě zjednodušte .

Příklad. Pojďme vypočítat derivaci:

Pravidlo druhé: derivace součtu funkcí

Derivace součtu dvou funkcí je rovna součtu derivací těchto funkcí. Totéž platí pro derivaci rozdílu funkcí.

Tuto větu nebudeme dokazovat, ale uvažujme spíše o praktickém příkladu.

Najděte derivaci funkce:

Pravidlo třetí: derivace součinu funkcí

Derivace součinu dvou diferencovatelných funkcí se vypočítá podle vzorce:

Příklad: najděte derivaci funkce:

Řešení:

Zde je důležité říci o výpočtu derivací komplexních funkcí. Derivace komplexní funkce je rovna součinu derivace této funkce vzhledem k mezilehlému argumentu derivací mezilehlého argumentu vzhledem k nezávislé proměnné.

Ve výše uvedeném příkladu se setkáme s výrazem:

V tomto případě je střední argument 8x až pátá mocnina. Abychom vypočítali derivaci takového výrazu, nejprve uvažujeme derivaci externí funkce vzhledem k mezilehlému argumentu a poté vynásobíme derivací samotného mezilehlého argumentu vzhledem k nezávislé proměnné.

Pravidlo čtyři: Derivace podílu dvou funkcí

Vzorec pro určení derivace podílu dvou funkcí:

Pokusili jsme se mluvit o derivátech pro figuríny od nuly. Toto téma není tak jednoduché, jak se zdá, takže buďte varováni: v příkladech jsou často úskalí, takže buďte opatrní při výpočtu derivací.

S jakýmkoli dotazem na toto a další témata se můžete obrátit na studentský servis. Během krátké doby vám pomůžeme vyřešit nejobtížnější ovládání a poradit si s úkoly, i když jste se výpočtem derivací nikdy předtím nezabývali.

Dobrý den milí čtenáři. Po přečtení článku budete mít pravděpodobně logickou otázku: "Proč je to vlastně nutné?". Proto považuji nejprve za nutné předem informovat, že požadovaná metoda řešení kvadratických rovnic je prezentována spíše z morální a estetické stránky matematiky než ze strany praktické suché aplikace. Předem se také omlouvám těm čtenářům, kterým mé amatérské výroky připadají nepřijatelné. Začněme tedy zatloukat hřebíky mikroskopem.

Máme algebraickou rovnici druhého stupně (je také kvadratická) v obecném tvaru:

Přejděme od kvadratické rovnice ke kvadratické funkci:

Kde je samozřejmě nutné najít takové hodnoty argumentu funkce, ve kterých by vrátil nulu.

Zdá se, že pouze řeší kvadratickou rovnici pomocí Vietovy věty nebo prostřednictvím diskriminantu. Ale kvůli tomu tu nejsme. Vezměme derivát!

Na základě definice fyzikálního významu derivace prvního řádu je zřejmé, že dosazením argumentu do výše získané funkce (zejména) dostaneme Rychlost funkce se změní v bodě daném tímto argumentem.

Tentokrát jsme dostali "rychlost" změny funkce (tj. akcelerace) v konkrétním bodě. Po malé analýze výsledku můžeme dojít k závěru, že "zrychlení" je konstanta, která nezávisí na argumentu funkce - pamatujte si to.

Nyní si připomeňme trochu fyziky a rovnoměrně zrychlený pohyb (RUD). Co máme ve svém arzenálu? Je to tak, existuje vzorec pro určení souřadnic pohybu podél osy během požadovaného pohybu:

Kde - čas, - počáteční rychlost, - zrychlení.
Je snadné vidět, že naše původní funkce je pouze RUD.

Není vzorec posunu pro škrticí klapky důsledkem řešení kvadratické rovnice?

Ne. Vzorec pro škrticí klapku výše je ve skutečnosti výsledkem použití integrálu vzorce rychlosti pro PORD. Nebo z grafu můžete najít oblast obrázku. Vyjde lichoběžník.
Vzorec posuvu pro škrticí klapku nevyplývá z řešení žádných kvadratických rovnic. To je velmi důležité, jinak by článek neměl smysl.

Nyní zbývá zjistit, co je co a co nám chybí.

„Zrychlení“ již máme – jde o derivaci druhého řádu, odvozenou výše. Ale abychom dostali počáteční rychlost , musíme vzít obecně libovolnou (označme ji jako ) a dosadit ji do derivace nyní prvního řádu - protože to bude ta požadovaná.

V tomto případě vyvstává otázka, který z nich je třeba vzít? Je zřejmé, že počáteční rychlost je rovna nule, takže vzorec pro „výtlak na škrticí klapce“ bude:

V tomto případě vytvoříme rovnici pro hledání:

[dosazeno v derivátu prvního řádu]

Kořen takové rovnice vzhledem k bude:

A hodnota původní funkce s takovým argumentem bude:

Nyní je zřejmé, že:

Skládání všech dílků skládačky dohromady:

Zde máme konečné řešení problému. Obecně jsme neobjevili Ameriku – jednoduše jsme došli ke vzorci pro řešení kvadratické rovnice přes diskriminant kruhovým způsobem. To nemá praktický význam (přibližně stejným způsobem lze řešit rovnice prvního / druhého stupně libovolného (ne nutně obecného) tvaru).

Účelem tohoto článku je zejména vzbudit zájem o analýzu mat. funkce a matematika obecně.

Petr byl s vámi, děkuji za pozornost!

Operace hledání derivace se nazývá diferenciace.

V důsledku řešení problémů hledání derivací nejjednodušších (a nepříliš jednoduchých) funkcí definováním derivace jako limity poměru přírůstku k přírůstku argumentu se objevila tabulka derivací a přesně definovaná pravidla derivace. . Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) byli první, kdo pracoval v oblasti hledání derivátů.

Proto v naší době, abychom našli derivaci jakékoli funkce, není nutné počítat výše zmíněnou mez poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, ale stačí použít tabulku derivací a pravidla diferenciace. Pro nalezení derivace je vhodný následující algoritmus.

Chcete-li najít derivát, potřebujete výraz pod znakem tahu rozebrat jednoduché funkce a určit, jaké akce (součin, součet, podíl) tyto funkce spolu souvisí. Dále najdeme derivace elementárních funkcí v tabulce derivací a vzorce pro derivace součinu, součtu a kvocientu - v pravidlech derivace. Tabulka derivací a derivačních pravidel jsou uvedeny za prvními dvěma příklady.

Příklad 1 Najděte derivaci funkce

Řešení. Z pravidel derivace zjistíme, že derivace součtu funkcí je součtem derivací funkcí, tzn.

Z tabulky derivací zjistíme, že derivace "X" je rovna jedné a derivace sinu je kosinus. Tyto hodnoty dosadíme do součtu derivací a najdeme derivaci požadovanou podmínkou problému:

Příklad 2 Najděte derivaci funkce

Řešení. Diferencujte jako derivaci součtu, ve které druhý člen s konstantním faktorem, lze vyjmout ze znaménka derivace:

Pokud stále existují otázky, odkud něco pochází, zpravidla se vyjasní po přečtení tabulky derivací a nejjednodušších pravidel diferenciace. Právě k nim jdeme.

Tabulka derivací jednoduchých funkcí

1. Derivace konstanty (čísla). Jakékoli číslo (1, 2, 5, 200...), které je ve výrazu funkce. Vždy nula. To je velmi důležité mít na paměti, protože je to velmi často vyžadováno
2. Derivace nezávisle proměnné. Nejčastěji "x". Vždy se rovná jedné. To je také důležité mít na paměti
3. Derivace stupně. Při řešení problémů je třeba převést jiné než druhé odmocniny na mocninu.
4. Derivace proměnné na mocninu -1
5. Derivát odmocnina
6. Sinusová derivace
7. Kosinové deriváty
8. Tečná derivace
9. Derivace kotangens
10. Derivace arkussinus
11. Derivace arkuskosinusu
12. Derivace arkus tangens
13. Derivace inverzní tečny
14. Derivace přirozeného logaritmu
15. Derivace logaritmické funkce
16. Derivace exponentu
17. Derivace exponenciální funkce

Pravidla diferenciace

1. Derivace součtu nebo rozdílu
2. Derivát produktu
2a. Derivace výrazu násobená konstantním faktorem
3. Derivace kvocientu
4. Derivace komplexní funkce

Pravidlo 1Pokud funkce

jsou v určitém bodě diferencovatelné, pak ve stejném bodě funkce

a

těch. derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí.

Následek. Pokud se dvě diferencovatelné funkce liší konstantou, pak jejich derivace jsou, tj.

Pravidlo 2Pokud funkce

jsou diferencovatelné v určitém bodě, pak je jejich produkt také diferencovatelný ve stejném bodě

a

těch. derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí a derivace druhé.

Důsledek 1. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace:

Důsledek 2. Derivace součinu několika diferencovatelných funkcí se rovná součtu součinů derivace každého z faktorů a všech ostatních.

Například pro tři násobiče:

Pravidlo 3Pokud funkce

v určitém okamžiku rozlišitelné a , pak v tomto bodě je jejich kvocient také diferencovatelný.u/v a

těch. derivace podílu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace čitatele a čitatele a derivace jmenovatele, a jmenovatel je druhá mocnina předchozího čitatele .

Kde hledat na jiných stránkách

Při hledání derivace součinu a kvocientu v reálných úlohách je vždy nutné aplikovat více diferenciačních pravidel najednou, proto je v článku více příkladů na tyto derivace."Derivace produktu a kvocient".

Komentář. Neměli byste zaměňovat konstantu (tedy číslo) za člen v součtu a za konstantní faktor! V případě členu je jeho derivace rovna nule a v případě konstantního faktoru je vyjmuta ze znaménka derivací. Toto je typická chyba, která se vyskytuje v počáteční fáze učení derivátů, ale protože řeší několik jedno-dvousložkových příkladů, průměrný student už tuto chybu nedělá.

A pokud při rozlišování produktu nebo kvocientu máte termín u"proti, kde u- číslo, například 2 nebo 5, tedy konstanta, pak bude derivace tohoto čísla rovna nule, a tudíž celý člen bude roven nule (takový případ je analyzován v příkladu 10) .

Další častou chybou je mechanické řešení derivace komplexní funkce jako derivace jednoduché funkce. Proto derivace komplexní funkce věnovaný samostatnému článku. Nejprve se ale naučíme najít derivace jednoduchých funkcí.

Po cestě se neobejdete bez transformací výrazů. Chcete-li to provést, možná budete muset otevřít příručky v nových oknech Akce se silami a kořeny a Akce se zlomky .

Pokud hledáte řešení pro derivace s mocninou a odmocninou, tedy když funkce vypadá , pak postupujte podle lekce "Derivace součtu zlomků s mocninami a odmocninami".

Pokud máte úkol jako , pak jste v lekci "Derivace jednoduchých goniometrických funkcí".

Příklady krok za krokem - jak najít derivaci

Příklad 3 Najděte derivaci funkce

Řešení. Určujeme části funkčního výrazu: celý výraz představuje součin a jeho faktory jsou součty, z nichž druhý obsahuje konstantní faktor. Aplikujeme pravidlo diferenciace součinu: derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí a derivace druhé:

Dále použijeme pravidlo derivace součtu: derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí. V našem případě v každém součtu druhý člen se znaménkem mínus. V každém součtu vidíme jak nezávislou proměnnou, jejíž derivace je rovna jedné, tak konstantu (číslo), jejíž derivace je rovna nule. Takže "x" se změní na jednu a mínus 5 - na nulu. Ve druhém výrazu je "x" násobeno 2, takže násobíme dva stejnou jednotkou jako derivace "x". Získáme následující hodnoty derivací:

Nalezené derivace dosadíme do součtu součinů a získáme derivaci celé funkce, kterou vyžaduje podmínka problému:

Příklad 4 Najděte derivaci funkce

Řešení. Musíme najít derivaci kvocientu. Aplikujeme vzorec pro derivování kvocientu: derivace kvocientu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace čitatele a čitatele a derivace jmenovatele, a jmenovatelem je druhá mocnina dřívějšího čitatele. Dostaneme:

Derivaci faktorů v čitateli jsme již našli v příkladu 2. Nezapomeňme také, že součin, který je v aktuálním příkladu druhým faktorem v čitateli, je brán se znaménkem mínus:

Pokud hledáte řešení takových problémů, ve kterých potřebujete najít derivaci funkce, kde je souvislá hromada kořenů a stupňů, jako je např. pak vítejte ve třídě „Derivace součtu zlomků s mocninami a odmocninami“ .

Pokud se potřebujete dozvědět více o derivacích sinů, kosinů, tečen a dalších goniometrických funkcí, tedy když funkce vypadá , pak máte lekci "Derivace jednoduchých goniometrických funkcí" .

Příklad 5 Najděte derivaci funkce

Řešení. V této funkci vidíme součin, jehož jedním z faktorů je odmocnina nezávisle proměnné, s jejíž derivací jsme se seznámili v tabulce derivací. Podle pravidla diferenciace součinu a tabulkové hodnoty derivace odmocniny dostaneme:

Příklad 6 Najděte derivaci funkce

Řešení. V této funkci vidíme kvocient, jehož dividenda je druhá odmocnina nezávislé proměnné. Podle pravidla derivace kvocientu, které jsme zopakovali a použili v příkladu 4, a tabulkové hodnoty derivace odmocniny, dostaneme:

Chcete-li se zbavit zlomku v čitateli, vynásobte čitatel a jmenovatel číslem .