Tento článek pojednává o tom, jak najít hodnoty matematických výrazů. Začněme jednoduchými číselnými výrazy a poté budeme případy zvažovat, až se jejich složitost zvýší. Na konci uvádíme výraz obsahující označení písmen, závorky, kořeny, speciální matematická znaménka, stupně, funkce atd. Celá teorie bude podle tradice opatřena bohatými a podrobnými příklady.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jak zjistit hodnotu číselného výrazu?

Číselné výrazy mimo jiné pomáhají popsat stav problému v matematickém jazyce. Obecně mohou být matematické výrazy buď velmi jednoduché, skládající se z dvojice čísel a aritmetických znamének, nebo velmi složité, obsahující funkce, stupně, odmocniny, závorky atd. V rámci úkolu je často nutné najít hodnotu výrazu. Jak to udělat, bude diskutováno níže.

Nejjednodušší případy

To jsou případy, kdy výraz neobsahuje nic jiného než čísla a aritmetiku. Chcete-li úspěšně najít hodnoty takových výrazů, budete potřebovat znalost pořadí, ve kterém jsou aritmetické operace prováděny bez závorek, a také schopnost provádět operace s různými čísly.

Pokud výraz obsahuje pouze čísla a aritmetická znaménka " + " , " · " , " - " , " ÷ " , pak se operace provádějí zleva doprava v následujícím pořadí: nejprve násobení a dělení, poté sčítání a odčítání. Uveďme příklady.

Příklad 1. Hodnota číselného výrazu

Nechť je třeba najít hodnoty výrazu 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .

Nejprve provedeme násobení a dělení. Dostaneme:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Nyní odečteme a dostaneme konečný výsledek:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Příklad 2. Hodnota číselného výrazu

Počítejme: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Nejprve provedeme převod zlomků, dělení a násobení:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Nyní provedeme sčítání a odčítání. Seskupíme zlomky a přivedeme je ke společnému jmenovateli:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Požadovaná hodnota je nalezena.

Výrazy se závorkami

Pokud výraz obsahuje závorky, určují pořadí akcí v tomto výrazu. Nejprve se provedou akce v závorkách a poté všechny ostatní. Ukažme si to na příkladu.

Příklad 3. Hodnota číselného výrazu

Najděte hodnotu výrazu 0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) .

Výraz obsahuje závorky, takže nejprve provedeme operaci odčítání v závorkách a teprve potom násobení.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Hodnota výrazů obsahujících závorky v závorkách se zjistí podle stejného principu.

Příklad 4. Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme hodnotu 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Provedeme akce počínaje nejvnitřnějšími závorkami a přesunout se k těm vnějším.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Při hledání hodnot výrazů se závorkami je hlavní věcí sledovat posloupnost akcí.

Výrazy s kořeny

Matematické výrazy, jejichž hodnoty potřebujeme najít, mohou obsahovat kořenové znaky. Navíc samotný výraz může být pod znaménkem kořene. Jak být v takovém případě? Nejprve musíte najít hodnotu výrazu pod kořenem a poté extrahovat kořen z výsledného čísla. Pokud je to možné, je lepší se zbavit odmocnin v číselných výrazech a nahradit je číselnými hodnotami.

Příklad 5. Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme hodnotu výrazu s odmocninami - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Nejprve vypočítáme radikální výrazy.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Nyní můžeme vypočítat hodnotu celého výrazu.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

K nalezení hodnoty výrazu s kořeny je často nutné nejprve transformovat původní výraz. Pojďme si to vysvětlit na dalším příkladu.

Příklad 6. Hodnota číselného výrazu

Kolik je 3 + 1 3 - 1 - 1

Jak vidíte, nemáme možnost nahradit kořen přesnou hodnotou, což komplikuje proces počítání. V tomto případě však můžete použít zkrácený vzorec násobení.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Takto:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Výrazy s pravomocemi

Pokud výraz obsahuje mocniny, musí být jejich hodnoty vypočteny před provedením všech ostatních akcí. Stává se, že samotný exponent nebo základ stupně jsou výrazy. V tomto případě se nejprve vypočítá hodnota těchto výrazů a poté hodnota stupně.

Příklad 7. Hodnota číselného výrazu

Najděte hodnotu výrazu 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Začneme počítat v pořadí.

2 3 4 – 10 = 2 12 – 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Zbývá pouze provést operaci sčítání a zjistit hodnotu výrazu:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Často je také vhodné zjednodušit výraz pomocí vlastností stupně.

Příklad 8. Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme hodnotu následujícího výrazu: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Exponenty jsou opět takové, že nelze získat jejich přesné číselné hodnoty. Zjednodušte původní výraz, abyste našli jeho hodnotu.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Výrazy se zlomky

Pokud výraz obsahuje zlomky, pak při výpočtu takového výrazu musí být všechny zlomky v něm uvedeny jako obyčejné zlomky a vypočítat jejich hodnoty.

Pokud jsou v čitateli a jmenovateli zlomku výrazy, pak se nejprve vypočítají hodnoty těchto výrazů a zaznamená se konečná hodnota samotného zlomku. Aritmetické operace se provádějí ve standardním pořadí. Zvažme příklad řešení.

Příklad 9. Hodnota číselného výrazu

Nalezneme hodnotu výrazu obsahujícího zlomky: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Jak vidíte, v původním výrazu jsou tři zlomky. Nejprve spočítejme jejich hodnoty.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Přepišme náš výraz a vypočítejme jeho hodnotu:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Při hledání hodnot výrazů je často vhodné zmenšit zlomky. Existuje nevyslovené pravidlo: před zjištěním jeho hodnoty je nejlepší zjednodušit jakýkoli výraz na maximum a omezit všechny výpočty na nejjednodušší případy.

Příklad 10. Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme výraz 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Nemůžeme úplně extrahovat kořen pětky, ale můžeme původní výraz zjednodušit pomocí transformací.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Původní výraz má tvar:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Pojďme vypočítat hodnotu tohoto výrazu:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Výrazy s logaritmy

Pokud jsou ve výrazu přítomny logaritmy, jejich hodnota se, pokud je to možné, počítá od samého začátku. Například do výrazu log 2 4 + 2 4 můžete okamžitě zapsat hodnotu tohoto logaritmu místo log 2 4 a poté provést všechny akce. Dostaneme: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Číselné výrazy lze také nalézt pod znaménkem logaritmu a na jeho základně. V tomto případě je prvním krokem zjištění jejich hodnot. Vezměme si výraz log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . My máme:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Pokud není možné vypočítat přesnou hodnotu logaritmu, zjednodušení výrazu pomůže najít jeho hodnotu.

Příklad 11. Hodnota číselného výrazu

Najděte hodnotu výrazu log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Podle vlastnosti logaritmů:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Opět použitím vlastností logaritmů pro poslední zlomek ve výrazu dostaneme:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Nyní můžete přistoupit k výpočtu hodnoty původního výrazu.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Výrazy s goniometrickými funkcemi

Stává se, že ve výrazu jsou goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens a také funkce, které jsou k nim inverzní. Z hodnoty jsou vypočteny před provedením všech ostatních aritmetických operací. Jinak je výraz zjednodušen.

Příklad 12. Hodnota číselného výrazu

Najděte hodnotu výrazu: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Nejprve vypočítáme hodnoty goniometrických funkcí obsažených ve výrazu.

sin - 5 π 2 \u003d - 1

Dosaďte hodnoty ve výrazu a vypočítejte jeho hodnotu:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Hodnota výrazu je nalezena.

Často, aby bylo možné najít hodnotu výrazu s goniometrickými funkcemi, musí být nejprve převeden. Vysvětlíme si to na příkladu.

Příklad 13. Hodnota číselného výrazu

Je potřeba najít hodnotu výrazu cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pro transformaci použijeme goniometrické vzorce pro kosinus dvojitého úhlu a kosinus součtu.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 -1 cos 1-1 = 0.

Obecný případ číselného výrazu

V obecném případě může goniometrický výraz obsahovat všechny výše popsané prvky: závorky, stupně, odmocniny, logaritmy, funkce. Pojďme formulovat obecné pravidlo hledání hodnot takových výrazů.

Jak zjistit hodnotu výrazu

1. Odmocniny, mocniny, logaritmy atd. jsou nahrazeny svými hodnotami.
2. Provedou se akce uvedené v závorkách.
3. Zbývající kroky se provádějí v pořadí zleva doprava. Nejprve - násobení a dělení, poté - sčítání a odčítání.

Vezměme si příklad.

Příklad 14. Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme, jaká je hodnota výrazu - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Výraz je poměrně složitý a těžkopádný. Není náhodou, že jsme vybrali právě takový příklad a snažili se do něj vměstnat všechny výše popsané případy. Jak zjistit hodnotu takového výrazu?

Je známo, že při výpočtu hodnoty komplexního zlomkového tvaru se nejprve hodnoty čitatele a jmenovatele zlomku nacházejí samostatně. Tento výraz budeme postupně transformovat a zjednodušovat.

Nejprve vypočítáme hodnotu radikálního výrazu 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Chcete-li to provést, musíte najít hodnotu sinusu a výraz, který je argumentem goniometrické funkce.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Nyní můžete zjistit hodnotu sinusu:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Vypočteme hodnotu radikálního výrazu:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Se jmenovatelem zlomku je vše jednodušší:

Nyní můžeme zapsat hodnotu celého zlomku:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

S ohledem na to napíšeme celý výraz:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Konečný výsledek:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

V tomto případě jsme byli schopni vypočítat přesné hodnoty pro kořeny, logaritmy, sinusy a tak dále. Pokud to není možné, můžete se jich pokusit zbavit matematickými transformacemi.

Počítání výrazů racionálními způsoby

Číselné hodnoty se musí počítat konzistentně a přesně. Tento proces lze racionalizovat a urychlit využitím různých vlastností operací s čísly. Je například známo, že součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. Vzhledem k této vlastnosti můžeme okamžitě říci, že výraz 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 je roven nule. V tomto případě není vůbec nutné provádět kroky v pořadí popsaném v článku výše.

Vhodné je také použít vlastnost odečítání stejná čísla. Bez provedení jakýchkoliv akcí je možné nařídit, aby hodnota výrazu 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 byla také rovna nule.

Další technikou, která vám umožňuje urychlit proces, je použití identických transformací, jako je seskupování termínů a faktorů a vyjmutí společného faktoru ze závorek. Racionálním přístupem k počítání výrazů se zlomky je redukovat stejné výrazy v čitateli i ve jmenovateli.

Vezměme si například výraz 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Bez provedení akcí v závorkách, ale zmenšením zlomku, můžeme říci, že hodnota výrazu je 1 3 .

Hledání hodnot výrazů s proměnnými

Hodnota doslovného výrazu a výrazu s proměnnými se nachází pro konkrétní dané hodnoty písmen a proměnných.

Hledání hodnot výrazů s proměnnými

Chcete-li najít hodnotu doslovného výrazu a výrazu s proměnnými, musíte dané hodnoty písmen a proměnných dosadit do původního výrazu a poté vypočítat hodnotu výsledného číselného výrazu.

Příklad 15. Hodnota výrazu s proměnnými

Vypočítejte hodnotu výrazu 0 , 5 x - y za předpokladu x = 2 , 4 a y = 5 .

Do výrazu dosadíme hodnoty proměnných a vypočítáme:

0,5 x-y = 0,522,4-5=1,2-5=-3,8.

Někdy je možné transformovat výraz tak, aby získal jeho hodnotu bez ohledu na hodnoty písmen a proměnných v něm obsažených. K tomu je potřeba zbavit se písmen a proměnných ve výrazu pokud možno pomocí identických transformací, vlastností aritmetických operací a všech možných dalších metod.

Například výraz x + 3 - x má zjevně hodnotu 3 a pro výpočet této hodnoty není nutné znát hodnotu x. Hodnota tohoto výrazu je rovna třem pro všechny hodnoty proměnné x z jejího rozsahu platných hodnot.

Ještě jeden příklad. Hodnota výrazu x x je rovna jedné pro všechna kladná x.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

První úroveň

Konverze výrazů. Detailní teorie (2019)

Konverze výrazů

Často slyšíme tuto nepříjemnou frázi: "zjednodušte výraz." Obvykle v tomto případě máme nějaké monstrum, jako je toto:

"Ano, mnohem jednodušší," říkáme, ale taková odpověď obvykle nefunguje.

Nyní vás naučím nebát se žádných takových úkolů. Navíc si tento příklad na konci lekce sami zjednodušíte na (prostě!) obyčejné číslo (ano, k čertu s těmito písmeny).

Ale než začnete tuto lekci, musíte být schopni zacházet se zlomky a faktorovými polynomy. Proto nejprve, pokud jste to ještě neudělali, ujistěte se, že ovládáte témata "" a "".

Číst? Pokud ano, pak jste připraveni.

Základní zjednodušující operace

Nyní rozebereme hlavní techniky, které se používají ke zjednodušení výrazů.

Nejjednodušší z nich je

1. Přinášet podobné

Co jsou podobné? Prošel jsi tím v 7. třídě, kdy se v matematice místo čísel poprvé objevila písmena. Podobné jsou termíny (monomy) se stejnou písmennou částí. Například v součtu jsou podobné výrazy a.

Pamatováno?

Přinést podobné výrazy znamená přidat několik podobných výrazů k sobě a získat jeden výraz.

Ale jak můžeme dát dohromady písmena? - ptáš se.

To je velmi snadné pochopit, pokud si představíte, že písmena jsou nějaké předměty. Například dopis je židle. Jaký je tedy výraz? Dvě židle plus tři židle, kolik to bude stát? Přesně tak, židle: .

Nyní zkuste tento výraz:

Abyste se nepletli, nechejte různá písmena označovat různé předměty. Například - toto je (jako obvykle) židle a - toto je stůl. Pak:

židle stoly židle stoly židle židle stoly

Čísla, kterými se písmena v takových pojmech násobí, se nazývají koeficienty. Například v monomiálu je koeficient roven. A je rovný.

Takže pravidlo pro uvedení podobného:

Příklady:

Přineste podobné:

Odpovědi:

2. (a jsou podobné, protože tyto výrazy mají tedy stejnou část písmena).

2. Faktorizace

To je obvykle nejdůležitější část při zjednodušování výrazů. Poté, co zadáte podobné, musí být výsledný výraz nejčastěji faktorizován, tedy prezentován jako produkt. To je zvláště důležité ve zlomcích: koneckonců, aby se zlomek zmenšil, musí být čitatel a jmenovatel reprezentován jako součin.

Prošli jste si podrobnými metodami faktoringu výrazů v tématu "", takže si zde stačí zapamatovat, co jste se naučili. Chcete-li to provést, vyřešte několik příklady(bude zohledněno):

Řešení:

3. Redukce zlomků.

No, co může být hezčího, než vyškrtnout část čitatele a jmenovatele a vyhodit je ze svého života?

V tom je krása zkratky.

Je to jednoduché:

Pokud čitatel a jmenovatel obsahují stejné faktory, lze je redukovat, to znamená odstranit ze zlomku.

Toto pravidlo vyplývá ze základní vlastnosti zlomku:

To znamená, že podstatou redukční operace je to Čitatele a jmenovatele zlomku dělíme stejným číslem (nebo stejným výrazem).

Chcete-li snížit zlomek, potřebujete:

1) čitatel a jmenovatel faktorizovat

2) pokud čitatel a jmenovatel obsahuje společné faktory, lze je smazat.

Princip je, myslím, jasný?

Rád bych vás upozornil na jednu typickou chybu ve zkratce. I když je toto téma jednoduché, ale mnoho lidí dělá všechno špatně, aniž by si to uvědomili střih- to znamená rozdělitčitatel a jmenovatel stejným číslem.

Žádné zkratky, pokud je čitatel nebo jmenovatel součet.

Například: musíte zjednodušit.

Někteří to dělají: což je absolutně špatně.

Další příklad: snížit.

"Nejchytřejší" to udělá:.

Řekni mi, co je tady špatně? Zdálo by se: - toto je násobitel, takže můžete snížit.

Ale ne: - jedná se o faktor pouze jednoho členu v čitateli, ale samotný čitatel jako celek se na faktory nerozkládá.

Zde je další příklad: .

Tento výraz je rozložen na faktory, což znamená, že můžete zmenšit, to znamená vydělit čitatele a jmenovatele a poté:

Můžete okamžitě rozdělit podle:

Abyste se vyvarovali takových chyb, pamatujte lehká cesta jak zjistit, zda je výraz faktorizován:

Aritmetická operace, která se při výpočtu hodnoty výrazu provádí jako poslední, je „hlavní“. To znamená, že pokud místo písmen dosadíte nějaká (jakákoli) čísla a pokusíte se vypočítat hodnotu výrazu, pak pokud je poslední akcí násobení, máme součin (výraz se rozloží na faktory). Pokud je poslední akcí sčítání nebo odčítání, znamená to, že výraz není faktorizován (a tudíž nemůže být redukován).

Chcete-li to opravit, vyřešte to sami příklady:

Odpovědi:

1. Doufám, že jste se hned nevrhli na řezání a? Stále to nestačilo takto „zmenšit“ jednotky:

Prvním krokem by mělo být faktorizace:

4. Sčítání a odčítání zlomků. Přivedení zlomků ke společnému jmenovateli.

Sčítání a odčítání obyčejných zlomků je známá operace: hledáme společného jmenovatele, vynásobíme každý zlomek chybějícím faktorem a sečteme / odečteme čitatele. Připomeňme si:

Odpovědi:

1. Jmenovatelé a jsou coprime, to znamená, že nemají společné faktory. Proto se LCM těchto čísel rovná jejich součinu. Toto bude společný jmenovatel:

2. Zde je společný jmenovatel:

3. Zde nejprve změníme smíšené zlomky na nesprávné a poté - podle obvyklého schématu:

Zcela jiná věc je, pokud zlomky obsahují písmena, například:

Začněme jednoduše:

a) Jmenovatele neobsahují písmena

Zde je vše stejné jako u běžných číselných zlomků: najdeme společného jmenovatele, vynásobíme každý zlomek chybějícím faktorem a přičteme / odečteme čitatele:

nyní v čitateli můžete přinést podobné, pokud existují, a zohlednit je:

Zkus to sám:

b) Jmenovatele obsahují písmena

Připomeňme si princip hledání společného jmenovatele bez písmen:

Nejprve určíme společné faktory;

Pak všechny společné faktory vypíšeme jednou;

a vynásobte je všemi ostatními faktory, nikoli běžnými.

Abychom určili společné faktory jmenovatelů, nejprve je rozložíme na jednoduché faktory:

Klademe důraz na společné faktory:

Nyní jednou vypíšeme společné faktory a přidáme k nim všechny nespolečné (nepodtržené) faktory:

Toto je společný jmenovatel.

Vraťme se k písmenům. Jmenovatelé jsou uvedeni přesně stejným způsobem:

Rozložíme jmenovatele na faktory;

určit společné (shodné) násobiče;

vypište všechny společné faktory jednou;

Násobíme je všemi ostatními faktory, nikoli běžnými.

Takže v pořadí:

1) rozložte jmenovatele na faktory:

2) určete společné (identické) faktory:

3) vypište všechny společné faktory jednou a vynásobte je všemi ostatními (nepodtrženými) faktory:

Společný jmenovatel tu tedy je. První zlomek musí být vynásoben, druhý -:

Mimochodem, existuje jeden trik:

Například: .

Ve jmenovatelích vidíme stejné faktory, jen všechny s jinými ukazateli. Společným jmenovatelem bude:

do té míry

do té míry

do té míry

ve stupni.

Pojďme si úkol zkomplikovat:

Jak dosáhnout toho, aby zlomky měly stejného jmenovatele?

Připomeňme si základní vlastnost zlomku:

Nikde není řečeno, že stejné číslo lze odečíst (nebo sečíst) od čitatele i jmenovatele zlomku. Protože to není pravda!

Přesvědčte se sami: vezměte si například libovolný zlomek a do čitatele a jmenovatele přidejte nějaké číslo, například . Co se naučilo?

Takže další neotřesitelné pravidlo:

Když přivedete zlomky ke společnému jmenovateli, použijte pouze operaci násobení!

Ale co je potřeba množit, abyste získali?

Tady a množte se. A vynásobte:

Výrazy, které nelze faktorizovat, budeme nazývat „elementární faktory“. Například je to elementární faktor. - také. Ale - ne: rozkládá se na faktory.

A co výraz? Je to elementární?

Ne, protože to lze faktorizovat:

(o faktorizaci jste již četli v tématu "").

Takže elementární faktory, na které rozkládáte výraz s písmeny, jsou analogií jednoduchých faktorů, na které rozkládáte čísla. A totéž uděláme s nimi.

Vidíme, že oba jmenovatelé mají svůj faktor. To půjde do společného jmenovatele v moci (pamatujete proč?).

Násobitel je elementární a nemají ho společný, což znamená, že první zlomek se jím bude muset jednoduše vynásobit:

Další příklad:

Řešení:

Než tyto jmenovatele v panice vynásobíte, musíte se zamyslet nad tím, jak je zohlednit? Oba představují:

Vynikající! Pak:

Další příklad:

Řešení:

Jako obvykle faktorizujeme jmenovatele. V prvním jmenovateli jej jednoduše vyjmeme ze závorek; ve druhém - rozdíl čtverců:

Zdálo by se, že neexistují žádné společné faktory. Ale když se podíváte pozorně, už jsou si tak podobní... A pravdou je:

Tak napišme:

Tedy dopadlo to takto: uvnitř závorky jsme prohodili pojmy a zároveň se znaménko před zlomkem změnilo na opak. Berte na vědomí, že to budete muset dělat často.

Nyní se dostáváme ke společnému jmenovateli:

Mám to? Teď to zkontrolujeme.

Úkoly pro samostatné řešení:

Odpovědi:

Zde si musíme pamatovat ještě jednu věc - rozdíl kostek:

Pozor, jmenovatel druhého zlomku neobsahuje vzorec „druhá mocnina součtu“! Druhá mocnina součtu by vypadala takto:

A je takzvaný neúplný čtverec součtu: druhý člen v něm je součinem prvního a posledního, nikoli jejich zdvojeným součinem. Neúplná druhá mocnina součtu je jedním z faktorů při expanzi rozdílu kostek:

Co když už jsou tři zlomky?

Ano, totéž! Za prvé, udělejme to tak maximální částka faktory ve jmenovatelích byly stejné:

Pozor: pokud změníte znaménka v jedné závorce, znaménko před zlomkem se změní na opačné. Když změníme znaménka ve druhé závorce, znaménko před zlomkem se opět obrátí. V důsledku toho se on (znak před zlomkem) nezměnil.

První jmenovatel vypíšeme celý ve společném jmenovateli a pak k němu přidáme všechny ještě nezapsané činitele od druhého a pak od třetího (a tak dále, pokud je zlomků více). To znamená, že to jde takto:

Hmm... Se zlomky je jasné, co dělat. Ale co ti dva?

Je to jednoduché: víte, jak sčítat zlomky, že? Takže se musíte ujistit, že se dvojka stane zlomkem! Pamatujte: zlomek je operace dělení (čitatel se dělí jmenovatelem, pro případ, že byste náhle zapomněli). A není nic jednoduššího, než číslo vydělit. V tomto případě se samotné číslo nezmění, ale změní se na zlomek:

Přesně to, co je potřeba!

5. Násobení a dělení zlomků.

No, to nejtěžší je teď za námi. A před námi je to nejjednodušší, ale zároveň nejdůležitější:

Postup

Jaký je postup při výpočtu číselného výrazu? Pamatujte, že vzhledem k hodnotě takového výrazu:

Počítal jsi?

Mělo by to fungovat.

Takže připomínám.

Prvním krokem je výpočet stupně.

Druhým je násobení a dělení. Pokud existuje několik násobení a dělení současně, můžete je provést v libovolném pořadí.

A nakonec provedeme sčítání a odčítání. Opět v libovolném pořadí.

Ale: výraz v závorce je vyhodnocen mimo pořadí!

Pokud se násobí nebo dělí více závorek navzájem, vyhodnotíme nejprve výraz v každé ze závorek a poté je vynásobíme nebo vydělíme.

Co když jsou v závorkách další závorky? No, přemýšlejme: v závorkách je napsán nějaký výraz. Co je třeba udělat jako první při vyhodnocování výrazu? Správně, spočítejte závorky. No, přišli jsme na to: nejprve spočítáme vnitřní závorky, pak vše ostatní.

Pořadí akcí pro výše uvedený výraz je tedy následující (aktuální akce je zvýrazněna červeně, tedy akce, kterou právě provádím):

Dobře, všechno je jednoduché.

Ale to není totéž jako výraz s písmeny, že?

Ne, je to stejné! Pouze místo aritmetických operací je nutné provádět algebraické operace, tedy operace popsané v předchozí části: přinášející podobné, přidávání zlomků, snižování zlomků a tak dále. Jediným rozdílem bude působení faktoringových polynomů (často to používáme při práci se zlomky). Nejčastěji pro faktorizaci potřebujete použít i nebo jednoduše vyjmout společný faktor ze závorek.

Obvykle je naším cílem reprezentovat výraz jako součin nebo kvocient.

Například:

Zjednodušme výraz.

1) Nejprve zjednodušíme výraz v závorkách. Tam máme rozdíl zlomků a naším cílem je reprezentovat jej jako součin nebo kvocient. Přivedeme tedy zlomky ke společnému jmenovateli a přidáme:

Není možné tento výraz dále zjednodušit, všechny faktory jsou zde elementární (pamatujete si ještě, co to znamená?).

2) Dostáváme:

Násobení zlomků: co by mohlo být jednodušší.

3) Nyní můžete zkrátit:

Dobře, teď je po všem. Nic složitého, že?

Další příklad:

Zjednodušte výraz.

Nejprve si to zkuste vyřešit sami a teprve potom se podívejte na řešení.

Nejprve si nadefinujme postup. Nejprve sečteme zlomky v závorkách, místo dvou zlomků vyjde jeden. Poté provedeme dělení zlomků. No a výsledek sečteme s posledním zlomkem. Schematicky očísluji kroky:

Nyní ukážu celý proces a zabarvím aktuální akci červenou barvou:

Na závěr vám dám dva užitečné tipy:

1. Pokud existují podobné, je třeba je okamžitě přinést. V každém okamžiku, kdy máme podobné, je vhodné je hned přinést.

2. Totéž platí pro redukování zlomků: jakmile se naskytne příležitost k redukci, je třeba ji využít. Výjimkou jsou zlomky, které sčítáte nebo odečítáte: pokud nyní mají stejné jmenovatele, pak by se zmenšení mělo nechat na později.

Zde je několik úkolů, které můžete vyřešit sami:

A hned na začátku slíbil:

Řešení (stručné):

Pokud jste si poradili alespoň s prvními třemi příklady, pak jste, považte, téma zvládli.

Nyní k učení!

KONVERZE VÝRAZU. SHRNUTÍ A ZÁKLADNÍ VZORCE

Základní zjednodušující operace:

• Přinášet podobné: Chcete-li přidat (zmenšit) podobné výrazy, musíte přidat jejich koeficienty a přiřadit písmennou část.
• Faktorizace: vyjmutí společného faktoru ze závorek, použití atd.
• Snížení frakce: čitatel a jmenovatel zlomku lze vynásobit nebo vydělit stejným nenulovým číslem, od kterého se hodnota zlomku nemění.
  1) čitatel a jmenovatel faktorizovat
  2) pokud jsou v čitateli a jmenovateli společné faktory, lze je proškrtnout.

  DŮLEŽITÉ: Snížit lze pouze násobitele!

• Sčítání a odčítání zlomků:
  ;
• Násobení a dělení zlomků:
  ;

Číselný výraz je záznam čísel ve spojení s aritmetickými operacemi a závorkami. Když jsou proměnné použity ve výrazu spolu s čísly a celý výraz je složen s významem, pak se nazývá algebraický (doslovný) výraz. Pokud výraz obsahuje přímé, derivační, inverzní a další goniometrické funkce, pak se výraz nazývá trigonometrický. Velké množství příkladů a úloh s použitím různých výrazů je podrobně popsáno v kurzu školní matematiky.

Hlavní věci k zapamatování:

1. Hodnota číselného výrazu bude číslo získané provedením aritmetických operací v tomto výrazu. Hlavní věc je důsledně provádět aritmetické operace. Pro jednoduchost celé operace lze kroky očíslovat. Pokud výraz obsahuje závorky, pak nejprve provedeme akci odpovídající znaku v závorce. Dalším krokem bude umocnění. Dále přednostně provádíme násobení nebo dělení a až na samém konci sčítání a odčítání.

Nyní najdeme hodnotu číselného výrazu 5+20*(60-45). Nejprve se zbavme závorek. Provedením akce dostaneme 60-45=15. Nyní máme 5+20*15. Další akcí je násobení 20*15=300. A poslední akcí bude sčítání, provedeme to a dostaneme konečný výsledek 5 + 300 = 305.

2. Ve známém úhlu? Při práci s goniometrickými výrazy budete potřebovat znalost základů trigonometrické vzorce pomoci zjednodušit výraz. Najdeme hodnotu výrazu cos 12? cos 18? - hřích 12? hřích 18?. Pro zjednodušení tohoto výrazu použijeme vzorec cos (? +?) = cos? cos? - hřích? hřích?, pak dostaneme cos 12? cos 18? - hřích 12? sin 18?= cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.

3. Výrazy s proměnnými. Je třeba mít na paměti, že hodnota algebraického výrazu přímo závisí na proměnné. Proměnné lze označovat písmeny řecké nebo latinské abecedy. Když máme dané parametry algebraického výrazu, musíme jej nejprve zjednodušit. Poté je nutné dosadit dané proměnné a provést aritmetické operace. Ve výsledku s danými proměnnými dostaneme číslo, které bude hodnotou algebraického výrazu. Zvažte příklad, kdy potřebujete najít hodnotu výrazu 3(a+y)+2(3a+2y) s a=4 a y=5. Zjednodušte tento výraz a získáte 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Nyní je třeba dosadit hodnotu proměnných a vypočítat, získaný výsledek bude hodnotou výrazu. Takže máme 9a+7y s a=4 a y=5 dostaneme 36+35=71. Všimněte si, že algebraické výrazy ne vždy dávají smysl. Například výraz 15:(b-4) dává smysl pro jakékoli b jiné než b =4.

Nyní, když jsme se naučili sčítat a násobit jednotlivé zlomky, můžeme uvažovat více složité struktury. Co když se například v jedné úloze vyskytne sčítání, odčítání a násobení zlomků?

Nejprve je potřeba převést všechny zlomky na nesprávné. Poté postupně provedeme požadované akce - ve stejném pořadí jako u běžných čísel. A to:

1. Nejprve se provede umocňování – zbavte se všech výrazů obsahujících exponenty;
2. Pak - dělení a násobení;
3. Posledním krokem je sčítání a odčítání.

Samozřejmě, pokud jsou ve výrazu závorky, pořadí akcí se změní - vše, co je uvnitř závorek, je třeba zvážit jako první. A nezapomeňte na nesprávné zlomky: musíte vybrat celou část pouze tehdy, když již byly dokončeny všechny ostatní akce.

Přeložme všechny zlomky z prvního výrazu na nesprávné a poté proveďte následující akce:

Nyní najdeme hodnotu druhého výrazu. Zde zlomky s celá část ne, ale jsou tam závorky, takže nejdříve provedeme sčítání a teprve potom dělení. Všimněte si, že 14 = 7 2 . Pak:

Nakonec zvažte třetí příklad. Zde jsou závorky a stupeň - je lepší je počítat samostatně. Vzhledem k tomu, že 9 = 3 3, máme:

Věnujte pozornost poslednímu příkladu. Chcete-li zlomek zvýšit na mocninu, musíte zvlášť zvýšit čitatel na tuto mocninu a zvlášť jmenovatele.

Můžete se rozhodnout jinak. Pokud si vzpomeneme na definici stupně, problém se zredukuje na obvyklé násobení zlomků:

Vícepatrové zlomky

Dosud jsme uvažovali pouze o „čistých“ zlomcích, kdy čitatel i jmenovatel jsou obyčejná čísla. To je v souladu s definicí číselného zlomku uvedenou v úplně první lekci.

Ale co když je v čitateli nebo jmenovateli umístěn složitější objekt? Například další číselný zlomek? K takovým konstrukcím dochází poměrně často, zejména při práci s dlouhými výrazy. Zde je několik příkladů:

Pro práci s vícepodlažními frakcemi existuje pouze jedno pravidlo: musíte se jich okamžitě zbavit. Odstranění "nadbytečných" podlah je poměrně jednoduché, pokud si pamatujete, že zlomková čára znamená standardní operaci dělení. Proto lze libovolný zlomek přepsat takto:

S využitím této skutečnosti a dodržením postupu snadno zredukujeme jakoukoliv vícepatrovou frakci na běžnou. Podívejte se na příklady:

Úkol. Převeďte vícepatrové zlomky na běžné:

V každém případě přepíšeme hlavní zlomek a nahradíme dělicí čáru znaménkem dělení. Pamatujte také, že jakékoli celé číslo může být reprezentováno jako zlomek se jmenovatelem 1. To znamená, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Dostaneme:

V posledním příkladu byly zlomky zmenšeny před konečným násobením.

Specifika práce s vícepatrovými frakcemi

Ve vícepodlažních zlomcích je jedna jemnost, kterou je třeba vždy pamatovat, jinak můžete získat špatnou odpověď, i když byly všechny výpočty správné. Podívej se:

1. V čitateli je samostatné číslo 7 a ve jmenovateli - zlomek 12/5;
2. Čitatelem je zlomek 7/12 a jmenovatelem je jediné číslo 5.

Takže pro jednu desku jsme dostali dvě zcela odlišné interpretace. Pokud počítáte, odpovědi se budou také lišit:

Aby byl záznam vždy přečten jednoznačně, použijte jednoduché pravidlo: dělicí čára hlavního zlomku musí být delší než vnořená čára. Nejlépe několikrát.

Pokud dodržíte toto pravidlo, pak by měly být výše uvedené zlomky zapsány takto:

Ano, pravděpodobně je ošklivý a zabírá příliš mnoho místa. Ale budete počítat správně. Na závěr několik příkladů, kde se víceúrovňové zlomky skutečně vyskytují:

Úkol. Najít hodnoty výrazu:

Pojďme tedy pracovat s prvním příkladem. Převedeme všechny zlomky na nesprávné a poté provedeme operace sčítání a dělení:

Udělejme totéž s druhým příkladem. Převeďte všechny zlomky na nesprávné a proveďte požadované operace. Abych čtenáře nenudil, vynechám některé zřejmé výpočty. My máme:

Vzhledem k tomu, že čitatel i jmenovatel hlavních zlomků obsahují součty, je pravidlo pro zápis vícepatrových zlomků dodrženo automaticky. Také v posledním příkladu jsme schválně nechali číslo 46/1 ve tvaru zlomku, abychom provedli dělení.

Všiml jsem si také, že v obou příkladech zlomkový sloupec ve skutečnosti nahrazuje závorky: nejprve jsme našli součet a teprve potom - kvocient.

Někdo řekne, že přechod na nevlastní zlomky ve druhém příkladu byl zjevně nadbytečný. Možná je to tak. Tím se ale pojistíme proti chybám, protože příště může být příklad mnohem složitější. Vyberte si sami, co je důležitější: rychlost nebo spolehlivost.

já Výrazy, ve kterých lze spolu s písmeny použít čísla, znaménka aritmetických operací a závorky, se nazývají algebraické výrazy.

Příklady algebraických výrazů:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a2-2ab;

Protože písmeno v algebraickém výrazu může být nahrazeno různými čísly, nazývá se písmeno proměnná a písmeno samotné algebraický výraz- výraz s proměnnou.

II. Pokud jsou v algebraickém výrazu písmena (proměnné) nahrazeny jejich hodnotami a jsou provedeny zadané akce, pak se výsledné číslo nazývá hodnota algebraického výrazu.

Příklady. Najděte hodnotu výrazu:

1) a + 2b-c pro a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| při x = -8; y = -5; z = 6.

Řešení.

1) a + 2b-c pro a = -2; b = 10; c = -3,5. Místo proměnných dosadíme jejich hodnoty. Dostaneme:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| při x = -8; y = -5; z = 6. Dosadíme zadané hodnoty. Pamatujte, že modul záporné číslo se rovná svému opačnému číslu a modulu kladné číslo rovné tomuto číslu. Dostaneme:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Hodnoty písmene (proměnné), pro které má algebraický výraz smysl, se nazývají platné hodnoty písmene (proměnné).

Příklady. Při jakých hodnotách proměnné výraz nedává smysl?

Řešení. Víme, že nelze dělit nulou, proto každý z těchto výrazů nebude dávat smysl s hodnotou písmene (proměnné), která mění jmenovatele zlomku na nulu!

V příkladu 1) je to hodnota a = 0. Pokud místo a dosadíme 0, pak číslo 6 bude potřeba vydělit 0, ale to nelze. Odpověď: výraz 1) nedává smysl, když a = 0.

V příkladu 2) je jmenovatel x - 4 = 0 při x = 4, tedy tato hodnota x = 4 a nelze ji vzít. Odpověď: výraz 2) nedává smysl pro x = 4.

V příkladu 3) je jmenovatel x + 2 = 0 pro x = -2. Odpověď: výraz 3) nedává smysl v x = -2.

V příkladu 4) je jmenovatel 5 -|x| = 0 pro |x| = 5. A protože |5| = 5 a |-5| \u003d 5, pak nemůžete vzít x \u003d 5 a x \u003d -5. Odpověď: výraz 4) nedává smysl pro x = -5 a pro x = 5.
IV. Říká se, že dva výrazy jsou identicky stejné, pokud jsou pro jakékoli přípustné hodnoty proměnných odpovídající hodnoty těchto výrazů stejné.

Příklad: 5 (a - b) a 5a - 5b jsou totožné, protože rovnost 5 (a - b) = 5a - 5b bude platit pro všechny hodnoty a a b. Rovnost 5 (a - b) = 5a - 5b je identita.

Identita je rovnost, která platí pro všechny přípustné hodnoty proměnných v ní obsažených. Příklady vám již známých identit jsou například vlastnosti sčítání a násobení, vlastnost distribuce.

Nahrazení jednoho výrazu jiným, shodně jemu rovným, se nazývá identická transformace nebo jednoduše transformace výrazu. Identické transformace výrazů s proměnnými se provádějí na základě vlastností operací s čísly.

Příklady.

A) převeďte výraz na identicky rovný pomocí distributivní vlastnosti násobení:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m-2n + k).

Řešení. Připomeňme si distribuční vlastnost (zákon) násobení:

(a+b) c=a c+b c(distributivní zákon násobení s ohledem na sčítání: chcete-li vynásobit součet dvou čísel třetím číslem, můžete vynásobit každý člen tímto číslem a sečíst výsledky).
(a-b) c=a c-b c(distributivní zákon násobení s ohledem na odčítání: chcete-li vynásobit rozdíl dvou čísel třetím číslem, můžete vynásobit tímto sníženým a odečteným číslem odděleně a odečíst druhé od prvního výsledku).

1) 10 (1,2x + 2,3r) \u003d 10 1,2x + 10 2,3r \u003d 12x + 23r.

2) 1,5 (a-2b + 4c) = 1,5a-3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transformujte výraz na identicky rovný pomocí komutativních a asociativních vlastností (zákonů) sčítání:

4) x + 4,5 + 2 x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s-3-2,5-2,3s.

Řešení. Aplikujeme zákony (vlastnosti) sčítání:

a+b=b+a(posun: součet se od přeskupení podmínek nemění).
(a+b)+c=a+(b+c)(asociativní: chcete-li k součtu dvou členů přidat třetí číslo, můžete k prvnímu číslu přidat součet druhého a třetího).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

v) přeměňte výraz na identicky rovný pomocí komutativních a asociativních vlastností (zákonů) násobení:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2r · (-jeden); 9) 3a · (-3) · 2s.

Řešení. Aplikujme zákony (vlastnosti) násobení:

a b = b a(posun: permutace faktorů nemění součin).
(a b) c=a (b c)(kombinativní: pro vynásobení součinu dvou čísel třetím číslem můžete vynásobit první číslo součinem druhého a třetího).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2r · (-1) = 7 let.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Pokud je algebraický výraz uveden jako redukovatelný zlomek, pak pomocí pravidla redukce zlomku jej lze zjednodušit, tzn. nahraďte shodně jemu jednodušším výrazem.

Příklady. Zjednodušte pomocí redukce zlomků.

Řešení. Zmenšit zlomek znamená vydělit jeho čitatel a jmenovatel stejným číslem (výrazem) jiným než nula. Frakce 10) se sníží o 3b; zlomek 11) snížit o A a frakce 12) snížit o 7n. Dostaneme:

K formulaci vzorců se používají algebraické výrazy.

Vzorec je algebraický výraz zapsaný jako rovnost, který vyjadřuje vztah mezi dvěma nebo více proměnnými. Příklad: vzorec cesty, který znáte s=v t(s je ujetá vzdálenost, v je rychlost, t je čas). Pamatujte, jaké další vzorce znáte.

Strana 1 z 1 1