Násobení celých čísel, pravidla, příklady. Násobení přirozených čísel a jeho vlastnosti

Zdraví

Pojďme analyzovat koncept násobení na příkladu:

Turisté byli na cestě tři dny. Každý den ušli stejnou cestu 4200 m. Jak daleko ušli za tři dny? Vyřešte problém dvěma způsoby.

Řešení:
Zvažme problém podrobně.

První den turisté zdolali 4200 m. Druhý den stejnou cestu urazili turisté 4200m a třetí den - 4200m. Napišme matematickým jazykem:
4200+4200+4200=12600m.
Vidíme vzor čísla 4200 opakující se třikrát, proto můžeme součet nahradit násobením:
4200⋅3=12600 m.
Odpověď: turisté urazili za tři dny 12 600 metrů.

Zvažte příklad:

Abychom nepsali dlouhý záznam, můžeme ho zapsat jako násobení. Číslo 2 se opakuje 11krát, takže příklad násobení by vypadal takto:
2⋅11=22

Shrnout. Co je to násobení?

Násobení je akce, která nahrazuje opakování termínu m n krát.

Zavolá se zápis m⋅n a výsledek tohoto výrazu součin čísel a volají se čísla m a n multiplikátory.

Podívejme se na příklad:
7⋅12=84
Zavolá se výraz 7⋅12 a výsledek 84 součin čísel.
Volají se čísla 7 a 12 multiplikátory.

V matematice existuje několik zákonů násobení. Zvažte je:

Komutativní zákon násobení.

Zvažte problém:

Dali jsme dvě jablka 5 našim přátelům. Matematicky bude zadání vypadat takto: 2⋅5.
Nebo jsme dali 5 jablek dvěma našim přátelům. Matematicky bude zadání vypadat takto: 5⋅2.
V prvním a druhém případě rozdělíme stejný počet jablek rovný 10 kusům.

Pokud vynásobíme 2⋅5=10 a 5⋅2=10, pak se výsledek nezmění.

Vlastnost komutativního zákona násobení:
Produkt se nemění změnou místa faktorů.
m⋅ n=n⋅m

Asociativní zákon násobení.

Podívejme se na příklad:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 nebo 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 dostaneme,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(A⋅ b) ⋅ C= A⋅(b⋅ C)

Vlastnost asociativního zákona násobení:
Chcete-li vynásobit číslo součinem dvou čísel, můžete je nejprve vynásobit prvním faktorem a poté vynásobit výsledný součin druhým.

Záměna více faktorů a jejich uvedení do závorek nemění výsledek ani produkt.

Tyto zákony platí pro všechny přirozená čísla.

Násobení libovolného přirozeného čísla jednou.

Zvažte příklad:
7⋅1=7 nebo 1⋅7=7
A⋅1=a nebo 1⋅A= A
Při vynásobení libovolného přirozeného čísla jednou bude součin vždy stejné číslo.

Násobení libovolného přirozeného čísla nulou.

6⋅0=0 nebo 0⋅6=0
A⋅0=0 nebo 0⋅A=0
Při vynásobení libovolného přirozeného čísla nulou bude součin roven nule.

Otázky k tématu „Násobení“:

Co je součin čísel?
Odpověď: součin čísel nebo násobení čísel je výraz m⋅n, kde m je člen a n je počet opakování tohoto členu.

K čemu je násobení?
Odpověď: aby se nepsalo dlouhé sčítání čísel, ale aby se psalo zkrácené. Například 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Jaký je výsledek násobení?
Odpověď: smysl díla.

Co znamená násobení 3⋅5?
Odpověď: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Pokud vynásobíte milion nulou, jaký je součin?
Odpověď: 0

Příklad č. 1:
Nahraďte součet součinem: a) 12+12+12+12+12 b) 3+3+3+3+3+3+3+3+3
Odpověď: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27

Příklad č. 2:
Napište ve tvaru součinu: a) a + a + a + a b) c + c + c + c + c + c + c
Řešení:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

Úkol 1:
Máma koupila 3 bonboniéry. Každá krabička obsahuje 8 bonbónů. Kolik sladkostí maminka koupila?
Řešení:
V jedné krabičce je 8 bonbónů a my máme 3 takové krabičky.
8+8+8=8⋅3=24 bonbónů
Odpověď: 24 bonbónů.

Úkol č. 2:
Učitelka výtvarné výchovy řekla svým osmi studentům, aby si na hodinu připravili sedm tužek. Kolik tužek měly děti celkem?
Řešení:
Můžete vypočítat součet úkolu. První student měl 7 tužek, druhý student měl 7 tužek a tak dále.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Záznam se ukázal jako nepohodlný a dlouhý, součet nahradíme produktem.
7⋅8=56
Odpověď je 56 tužek.

Úkol 1.2
Jsou dána dvě celá čísla X a T. Pokud ano různá znamení, pak přiřaďte X hodnotu součinu těchto čísel a T hodnotu jejich rozdílu modulo. Pokud mají čísla stejná znaménka, přiřaďte X hodnotu rozdílu modulo původním číslům a T hodnotu součinu těchto čísel. Zobrazte nové hodnoty X a T na obrazovce.

Úkol je také snadný. „Nedorozumění“ může nastat pouze v případě, že zapomenete, jaký je modulový rozdíl (doufám, že je to součin dvou celých čísel, stále si pamatujete))).

Rozdíl modulo dvě čísla

Modulový rozdíl dvou celých čísel (i když nemusí nutně celých čísel - to je jedno, jde jen o to, že čísla jsou v našem problému celá čísla) - to, řečeno jednoduše, když výsledkem výpočtu je modul rozdílu ze dvou čísel.

To znamená, že se nejprve provede operace odečtení jednoho čísla od druhého. A pak se vypočítá modul výsledku této operace.

Matematicky to lze zapsat takto:

Pokud někdo zapomněl, co je modul nebo jak ho vypočítat v Pascalu, tak viz.

Algoritmus pro určení znamének dvou čísel

Řešení problému je obecně poměrně jednoduché. Obtížnost pro začátečníky může způsobit pouze definice znamének dvou čísel. To znamená, že je třeba odpovědět na otázku: jak zjistit, zda čísla mají stejná nebo různá znaménka.

Za prvé, vyžaduje alternativní srovnání čísel s nulou. To je přijatelné. Ale zdrojový kód bude poměrně velký. Proto je správnější použít následující algoritmus:

Vynásobte čísla mezi sebou
Pokud je výsledek menší než nula, pak mají čísla různá znaménka.
Pokud je výsledek nula nebo větší než nula, pak mají čísla stejná znaménka

Tento algoritmus jsem provedl ve formě samostatného . A samotný program se ukázal být stejný jako v příkladech Pascal a C++ níže.

Řešení úlohy 1.2 v Pascalu kontrolní čísla programu; var A, X, T: celé číslo; //********************************************************** ** **************** // Zkontroluje, zda čísla N1 a N2 mají stejné znaménko. Pokud ano, pak // vrátí TRUE, jinak - FALSE //**************************************** **** ************************** funkce ZnakNumbers(N1, N2: celé číslo) : boolean; begin := (N1 * N2) >= 0; konec; //********************************************************** *** ******************* // HLAVNÍ PROGRAM //****************************** ** ******************************************* begin Write("X = "); ReadLn(X); Napište("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Pokud mají čísla stejná znaménka begin A:= (X - T); //Získejte rozdíl modulo původních čísel T:= X * T; end else //Pokud mají čísla různá znaménka begin A:= X * T; T:= Abs(X - T); konec; X:=A; //Zapíše hodnotu A do X WriteLn("X = ", X); //Výstup X WriteLn("T = ", T); //Output T WriteLn("Konec. Stiskněte ENTER..."); ReadLn; konec.

Řešení úlohy 1.2 v C++#include #include using namespace std; int A, X, T; //********************************************************** ** **************** // Zkontroluje, zda čísla N1 a N2 mají stejné znaménko. Pokud ano, pak // vrátí TRUE, jinak - FALSE //**************************************** **** *********************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( návrat ((N1 * N2 ) >= 0); ) //***************************************************** **************************** // HLAVNÍ PROGRAM //**************** *********************************************************** * int main(int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Pokud mají čísla stejná znaménka ( A = abs(X - T); // Získejte rozdíl modulo původních čísel T = X * T; ) else // Pokud mají čísla různá znaménka ( A = X * T; T = abs(X - T); ) X = A; // Napište hodnotu A vycouvat do X

Optimalizace

Tento jednoduchý program lze dále zjednodušit tím, že nepoužíváte funkci a trochu upravíte zdrojový kód. Tím se trochu sníží celkový počet řádků zdrojového kódu. Jak na to - zamyslete se sami.

Součet je výsledkem sčítání a slovo může odkazovat nejen na čísla.

Rozdíl je v tom, co získáte po odečtení čísel.

Produkt – to, co se získá po vynásobení, má slovo jiný význam.

Kvocient je to, co se získá po dělení.

já. Matematické pojmy SOUČET, ROZDÍL, PRODUKT, ČÁSTEČNÝ související s matematickými pojmy SČÍTÁNÍ, ODČÍTÁNÍ, NÁSOBENÍ, DĚLENÍ.

Všechny definice jsou zde uvedeny na množině přirozených čísel.

Každé dvojici čísel je přiřazeno číslo, které se jim říká SOUČET.

Součet se skládá z tolika jednotek, kolik je v číslech (termech) dané dvojice.

SOUČET je výsledkem sčítání sčítanců.

Odečítání je inverzní operace sčítání. Spočívá v hledání jednoho z členů součtem a druhého členu. Tato částka se nazývá snížená, tento termín se nazývá odečtený a požadovaný termín se nazývá ROZDÍL.

ROZDÍL je číslo, které je výsledkem odčítání, zbytek odčítání.

Každé dvojici čísel lze přiřadit číslo, které se skládá z tolika jednotek, kolik je v prvním čísle z dvojice, přičemž tolikrát, kolik je jednotek v druhém čísle dvojice. Toto číslo odpovídající tímto způsobem dvojici čísel (nazývají se faktory) se nazývá PRÁCE.

PRÁCE je výsledkem násobení.

Dělení je opakem násobení.

Dělení je hledání jednoho z faktorů podle produktu a druhého faktoru. Tento součin se nazývá dělitelný, tento faktor se nazývá dělitel a požadovaný faktor je SOUKROMÉ, tedy číslo získané vydělením jednoho čísla druhým.

II. DALŠÍ VÝZNAMY SLOV SOUČET, ROZDÍL, VÝROBEK, ČÁSTIC.

Všechna slova použitá jako matematické pojmy mohou mít jiné lexikální významy.

SOUČET v přeneseném smyslu znamená celek, celkové množství něčeho.

Například. Profesionalita učitele spočívá v množství znalostí, dovedností a schopností, které předává svým žákům. Nedostatek požadovaného množství peněz nucen odmítnout nákup.

ROZDÍL má význam odlišnosti, nepodobnosti, odlišnosti v něčem.

Například. Rozdíl v zájmech je mnohem horší než rozdíl ve věku. Přátelství může začít myšlenkou společných názorů a nepřátelství - s rozdílem v názorech.

PRÁCE znamená něco vyrobeného v procesu práce, vytvoření něčeho, produkt práce, kreativity, umění atd.

Například. vysoký kus umění nutí člověka přemýšlet o svém životě. Na soutěži mladých klavíristů hrál chlapec dílo P.I. Čajkovského. Tato krabice je skutečným uměleckým dílem.

SOUKROMÉ- to je něco osobního, osobního, patřícího jen jedné osobě, to je jeho majetek, jeho a jen jeho majetek. A ať jsou to osobní myšlenky, ať je to majetek nebo něco jiného, ale to patří pouze jemu, soukromé osobě.

Například. Kamarád mi dal zápisník s nápisem Private. Je dobré dávat do kontrastu soukromé a veřejné?

Ve skutečnosti všechna čtyři slova v otázce, tedy součet, rozdíl, součin a kvocient, odrážejí čtyři základní matematické operace, které jsou základem. Právě učením se těmto činnostem začíná fascinující cesta do světa matematiky. Takto,

Součet, rozdíl, součin, kvocient - to je výsledek matematických akcí, kterými jsme všichni začínali své seznamování s matematikou. V životě tato slova také používáme, ale dáváme do nich více matematického významu, i když nemůžeme sčítat čísla. Dílo může být i umělecké. To je úplně jiný význam slova, které v životě používáme.

Všechny tyto čtyři termíny se používají především v matematice.

Součet je, když se dvě čísla sečtou;

Rozdíl je odečtením jednoho čísla od druhého;

Kvocient je dělení jednoho čísla druhým;

Součin je násobení jednoho čísla druhým.

Kvocient je výsledkem dělení čísel, součin je výsledkem násobení čísel, součet je výsledkem sčítání čísel, rozdíl je výsledkem odčítání. Jedná se o elementární matematické operace, které lze provádět s čísly.

To jsou matematické pojmy.

Součet je výsledkem sčítání. Čísla, která se sčítají, se nazývají první a druhý člen. Označuje se následujícím znaménkem: +.

Rozdíl je výsledkem odečítání. Čísla, která se odečítají, se nazývají minuend (ten, který je větší) a subtrahend (ten, který je menší). Označuje se tímto znakem: -.

Produkt je výsledkem násobení. Čísla, která se násobí, se nazývají první násobitel a druhý násobitel. Označuje se tímto znakem: *.

Kvocient je výsledkem dělení. Čísla, která dělí, se nazývají dělenec (ten, který je větší), dělitel (ten, který je menší). Označuje se tímto znakem: :.

Všechny tyto pojmy se vyučují na základní škole.

V matematice existují čtyři jednoduché operace, které lze aplikovat na dvě čísla a získat následující výsledky:

součet je výsledkem sčítání čísel,

rozdíl je výsledkem odečtení jednoho čísla od druhého,

součin je výsledkem násobení čísel,

podíl je již výsledkem dělení čísel.

Součet je v matematice číslo, které získáme přičtením jednoho čísla k druhému. Rozdíl je opakem sčítání, když odečtete menší číslo od většího čísla. Součin je číslo, které vznikne vynásobením jednoho čísla druhým. Rozdíl je v opačném čísle produktu. Rozdíl dostaneme takto: vydělíme jedno číslo druhým.

Jsem vzděláním matematik, specializace: učitel matematiky. Celý život působila jako učitelka matematiky na pedagogické univerzitě.

Je nutné provést rezervaci. V budoucnu se budeme bavit o součtu, rozdílu, součinu, kvocientu čísla.

Odpovědi na tyto otázky, i když jsou jednoduché, působí studentům potíže. Abychom se mohli tímto zobecňujícím tématem zabývat podrobněji, upozorňuji na něj užitečný materiál. Poznámka se nazývá „Matematika pro blondýnky“.

Líbila se mi metoda výuky.

Je položena provokativní otázka:

Je rozdíl dělený nebo násobený?

Snaží se zaujmout (žádná z navrhovaných verzí není správná!)))

Pak odpovídají:

Rozdíl je odnést. Výsledek odečítání se nazývá rozdíl.

Získejte totéž:

Součet je sečíst. Výsledek sčítání se nazývá součet.

Produkt se má množit. Výsledek násobení se nazývá součin.

Soukromé je rozdělení. Výsledek dělení se nazývá kvocient.

Tak prostý jazyk jsou vysvětleny správné pojmy součet, rozdíl, součin a kvocient v matematice. Pouze fráze jsou psány mírně zjednodušeně: rozdíl je odečíst, součet je sečíst, součin násobit, kvocient je dělit. Přesněji řečeno, neříkají to.

Tak, výsledek sčítání čísel(termíny) - to jsou jejich součet, výsledek odečítání čísel(sníženo a odečteno) je rozdíl, výsledek násobení čísel(faktory) je práce, a výsledek dělení čísel(dělitelný dělitelem), a dělitel nesmí být roven nule, jinak nelze dělení provést, je soukromé tato čísla.

O jiných významech těchto slov nepřemýšlím, matematika vše zastiňuje.)))

Slova součet, rozdíl, součin a podíl jsou studentům škol a jiných vzdělávacích institucí velmi dobře známá a s těmito definicemi přicházejí v každé hodině matematiky.

1) Součet

Součet je výsledek získaný po sečtení (+) dvou nebo více čísel.

Částka je také konečná cena zboží (splatná částka), celkový soubor znalostí, dojmy a mnoho dalšího.

2) Rozdíl

V matematice to znamená výsledek odečtení čísla (-).

Slovo rozdíl lze také použít jako slovo pro odlišnost něčeho. Například rozdílnost názorů, rozdílnost názorů, rozdílnost ukazatelů atd.

3) Práce

Součin je výsledek získaný po vynásobení čísel (*).

Kromě matematiky se toto slovo používá také jako označení pro výsledek tvůrčího procesu (umělecké dílo), jako sloveso z vyrobit.

4) upřímný

Toto slovo označuje výsledek dělení dvou čísel (:).

Slovo „soukromý“; můžeme slyšet i při označení příslušnosti něčeho k jednomu vlastníkovi (soukromá osoba, soukromý majetek, soukromá věc).