Nyní se zabývejme násobení a dělení.

Předpokládejme, že potřebujeme vynásobit +3 -4. Jak to udělat?

Vezměme si takový případ. Tři lidé se zadlužili a každý má dluh 4 dolary. Jaký je celkový dluh? Abyste jej našli, musíte sečíst všechny tři dluhy: $4 + $4 + $4 = $12. Rozhodli jsme se, že součet tří čísel 4 se označí jako 3 × 4. Protože v tomto případě mluvíme o dluhu, před 4 je znak „-“. Víme, že celkový dluh je 12 USD, takže náš problém je nyní 3x(-4)=-12.

Stejný výsledek dostaneme, pokud má podle stavu problému každý ze čtyř lidí dluh 3 dolary. Jinými slovy, (+4)x(-3)=-12. A protože na pořadí faktorů nezáleží, dostáváme (-4)x(+3)=-12 a (+4)x(-3)=-12.

Pojďme si shrnout výsledky. Při vynásobení jednoho kladného a jednoho záporného čísla bude výsledkem vždy záporné číslo. Číselná hodnota odpovědi bude stejná jako v případě kladných čísel. Produkt (+4)x(+3)=+12. Přítomnost znaménka "-" ovlivňuje pouze znaménko, ale neovlivňuje číselnou hodnotu.

Jak vynásobíte dvě záporná čísla?

Bohužel je velmi těžké na toto téma vymyslet vhodný příklad ze života. Je snadné si představit 3 nebo 4 dolary zadlužené, ale je zcela nemožné si představit, že by se -4 nebo -3 lidé zadlužili.

Možná půjdeme jinou cestou. Při násobení se změnou znaménka jednoho z faktorů změní znaménko součinu. Pokud změníme znaménka obou faktorů, musíme změnit znaménka dvakrát značka produktu, nejprve z pozitivního na negativní, a pak naopak, z negativního na pozitivní, to znamená, že produkt bude mít své původní znaménko.

Proto je celkem logické, i když trochu zvláštní, že (-3)x(-4)=+12.

Pozice znamení po vynásobení se to změní takto:

• kladné číslo x kladné číslo = kladné číslo;
• záporné číslo x kladné číslo = záporné číslo;
• kladné číslo x záporné číslo = záporné číslo;
• záporné číslo x záporné číslo = kladné číslo.

Jinými slovy, vynásobením dvou čísel stejným znaménkem dostaneme kladné číslo. Vynásobením dvou čísel s různými znaménky dostaneme záporné číslo.

Stejné pravidlo platí pro děj opačný k násobení – pro.

Můžete si to snadno ověřit spuštěním operace inverzního násobení. Pokud v každém z výše uvedených příkladů vynásobíte podíl dělitelem, získáte dividendu a ujistěte se, že má stejné znaménko, například (-3)x(-4)=(+12).

Protože se blíží zima, je na čase přemýšlet, do čeho svého železného koně převléknout, aby na ledu neuklouzl a na zimních silnicích se cítil sebejistě. Můžete si například vzít pneumatiky Yokohama na webu: mvo.ru nebo některé další, hlavní věc je, že kvalita, více informací a ceny najdete na webu Mvo.ru.

Tabulka 5

Tabulka 6

S určitým roztažením je stejné vysvětlení vhodné pro produkt 1-5, pokud předpokládáme, že „součet“ jednoho

termín se rovná tomuto termínu. Ale součin 0 5 nebo (-3) 5 nelze takto vysvětlit: co znamená součet nula nebo mínus tři členy?

Je však možné faktory přeskupit

Pokud chceme, aby se součin nezměnil při přeskupení faktorů – jako tomu bylo u kladných čísel – pak musíme předpokládat, že

Nyní přejdeme k produktu (-3) (-5). Co se rovná: -15 nebo +15? Obě možnosti dávají smysl. Na jedné straně mínus v jednom faktoru již činí produkt negativním – tím spíše by měl být záporný, pokud jsou oba faktory záporné. Na druhou stranu v tabulce. 7 již má dvě minusy, ale pouze jedno plus a „spravedlivě“ (-3)-(-5) by se mělo rovnat +15. Co tedy preferujete?

Tabulka 7

Takové rozhovory vás samozřejmě nespletou: ze školního kurzu matematiky jste se pevně naučili, že mínus mínus dává plus. Ale představte si, že se vás váš mladší bratr nebo sestra zeptá: proč? Co to je - učitelův rozmar, náznak vyšších autorit nebo prokazatelná věta?

Obvykle pravidlo násobení záporná čísla vysvětleno na příkladech, jako jsou uvedeny v tabulce. osm.

Tabulka 8

Dá se to vysvětlit i jinak. Napíšeme čísla za sebou

Nyní zapišme stejná čísla vynásobená 3:

Je snadné vidět, že každé číslo je o 3 více než to předchozí. Nyní napišme stejná čísla v opačném pořadí (začínáme například 5 a 15):

Zároveň se ukázalo, že číslo -15 je pod číslem -5, takže 3 (-5) \u003d -15: plus mínus dává mínus.

Nyní zopakujeme stejný postup, vynásobíme čísla 1,2,3,4,5... -3 (už víme, že plus krát mínus se rovná mínus):

Každé další číslo spodní řady je menší než předchozí o 3. Zapišme čísla v obráceném pořadí

a pokračovat:

Ukázalo se, že číslo -5 je 15, takže (-3) (-5) = 15.

Možná by vás tato vysvětlení uspokojila mladší bratr nebo sestra. Ale máte právo se ptát, jak se věci skutečně mají, a je možné dokázat, že (-3) (-5) = 15?

Odpověď zní, že lze dokázat, že (-3) (-5) se musí rovnat 15, pokud pouze chceme, aby obvyklé vlastnosti sčítání, odčítání a násobení zůstaly pravdivé pro všechna čísla, včetně záporných. Nástin tohoto důkazu je následující.

Nejprve dokažme, že 3 (-5) = -15. Kolik je -15? To je opak 15, tj. čísla, které dává dohromady 15 ku 0. Musíme tedy dokázat, že

Téma otevřené lekce: "Násobení záporných a kladných čísel"

Datum: 17.03.2017

Učitel: Kuts V.V.

Třída: 6 g

Účel a cíle lekce:

zavést pravidla pro násobení dvou záporných čísel a čísel s různými znaménky;

podporovat rozvoj matematické řeči, pracovní paměti, dobrovolné pozornosti, vizuálně efektivního myšlení;

formování vnitřních procesů intelektuálního, osobního, emočního rozvoje.

pěstovat kulturu chování při frontální práci, individuální a skupinové práci.

Typ lekce: lekce primární prezentace nových poznatků

Formy studia: frontální, práce ve dvojicích, práce ve skupinách, samostatná práce.

Metody výuky: verbální (rozhovor, dialog); vizuální (práce s didaktickým materiálem); deduktivní (analýza, aplikace znalostí, zobecnění, projektové aktivity).

Pojmy a termíny : modul počtu, kladná a záporná čísla, násobení.

Plánované výsledky učení se

- umět násobit čísla s různými znaménky, násobit záporná čísla;

Aplikujte při řešení úloh pravidlo pro násobení kladných a záporných čísel, opravte pravidla pro násobení desetinných a obyčejných zlomků.

Regulační - umět s pomocí učitele určit a formulovat cíl v hodině; vyslovit posloupnost akcí v lekci; pracovat podle kolektivního plánu; vyhodnotit správnost akce. Naplánujte svou akci v souladu s úkolem; provést potřebné úpravy akce po jejím dokončení na základě jejího posouzení a s přihlédnutím ke vzniklým chybám; vyjádřit svůj odhad.Komunikativní - být schopen ústně formulovat své myšlenky; poslouchat a rozumět řeči druhých; společně dohodnout pravidla chování a komunikace ve škole a dodržovat je.

kognitivní - umět se orientovat ve svém systému znalostí, rozlišit s pomocí učitele nové poznatky od již známých; získat nové znalosti; najít odpovědi na otázky pomocí učebnice, své životní zkušenosti a informace získané v lekci.

Utváření odpovědného postoje k učení na základě motivace k učení se novým věcem;

Formování komunikativní kompetence v procesu komunikace a spolupráce s vrstevníky v vzdělávací aktivity;

Umět provádět sebehodnocení na základě kritéria úspěšnosti vzdělávacích aktivit; zaměřit se na úspěch v učení.

Během vyučování

Strukturální prvky lekce

Didaktické úkoly

Projektovaná činnost učitele

Projektovaná aktivita studentů

Výsledek

1. Organizační moment

Motivace k úspěšné činnosti

Zkontrolujte připravenost na lekci.

- Dobré odpoledne kluci! Posaďte se! Zkontrolujte, zda máte na lekci vše připraveno: sešit a učebnici, diář a psací potřeby.

Jsem rád, že vás dnes vidím na lekci v dobré náladě.

Dívejte se jeden druhému do očí, usmívejte se, pohledem popřejte kamarádovi dobrou pracovní náladu.

Také vám přeji dobrou dnešní práci.

Kluci, mottem dnešní lekce bude citát francouzského spisovatele Anatole France:

„Učení může být jen zábava. Aby člověk strávil znalosti, musí je s chutí vstřebat.“

Chlapi, kdo mi řekne, co to znamená vstřebávat znalosti s chutí?

Takže dnes budeme na lekci s velkým potěšením vstřebávat znalosti, protože se nám budou v budoucnu hodit.

Proto raději otevíráme sešity a zapisujeme číslo, super práce.

Emocionální nálada

- Se zájmem, s radostí.

Připraveno k zahájení lekce

Pozitivní motivace ke studiu nové téma

2. Aktivace kognitivní činnost

Připravte je na to, aby se naučili nové znalosti a způsoby, jak věci dělat.

Uspořádejte osobní průzkum probíraného materiálu.

Kluci, kdo mi řekne, jaká je nejdůležitější dovednost v matematice? ( Šek). Správně.

Tak já tě teď vyzkouším, jak umíš počítat.

Nyní uděláme matematické cvičení.

Pracujeme jako obvykle, počítáme ústně a odpověď zapisujeme písemně. Dávám ti 1 min.

5,2-6,7=-1,5

2,9+0,3=-2,6

9+0,3=9,3

6+7,21=13,21

15,22-3,34=-18,56

Pojďme zkontrolovat odpovědi.

Odpovědi zkontrolujeme, pokud s odpovědí souhlasíte, tak tleskněte, pokud nesouhlasíte, tak dupejte nohama.

Výborně chlapci.

Řekněte mi, jaké akce jsme provedli s čísly?

Jaké pravidlo jsme použili při počítání?

Formulujte tato pravidla.

Odpovídejte na otázky řešením malých příkladů.

Sčítání a odčítání.

Sčítání čísel s různými znaménky, sčítání čísel se zápornými znaménky a odečítání kladných a záporných čísel.

Připravenost studentů formulovat problematickou problematiku, hledat cesty k řešení problému.

3. Motivace pro stanovení tématu a účelu lekce

Povzbuďte studenty, aby si stanovili téma a účel lekce.

Organizujte práci ve dvojicích.

No, je čas přejít ke studiu nového materiálu, ale nejprve si zopakujme látku z předchozích lekcí. K tomu nám pomůže matematická křížovka.

Tato křížovka ale není obyčejná, je zašifrovaná klíčové slovo, která nám prozradí téma dnešní lekce.

Křížovka leží na vašich stolech, budeme s ní pracovat ve dvojicích. A jednou ve dvojici, pak mi připomeňte, jak je to ve dvojici?

Vzpomněli jsme si na pravidlo práce ve dvojicích, ale nyní začínáme luštit křížovku, dávám vám 1,5 minuty. Kdo dělá všechno, dejte si pera, abych viděl.

(Příloha 1)

1. Jaká čísla se používají při počítání?

2. Vzdálenost od počátku k libovolnému bodu se nazývá?

3. Nazývají se čísla, která jsou reprezentována zlomkem?

4. Říkají se dvě čísla, která se od sebe liší pouze znaménky?

5. Jaká čísla leží na souřadnicové čáře vpravo od nuly?

6. Přirozená čísla, jejich protější čísla a nula se nazývají?

7. Jaké číslo se nazývá neutrální?

8. Číslo ukazující polohu bodu na přímce?

9. Jaká čísla leží na souřadnicové čáře vlevo od nuly?

Takže čas vypršel. Pojďme zkontrolovat.

Vyluštili jsme celou křížovku a zopakovali tak látku z předchozích lekcí. Zvedni ruku, kdo udělal jen jednu chybu a kdo dvě? (Takže jste skvělí).

No a teď zpět k naší křížovce. Hned na začátku jsem řekl, že obsahuje slovo, které nám prozradí téma hodiny.

Jaké je tedy téma naší lekce?

A co budeme dnes množit?

Představme si, že si k tomu připomeneme typy čísel, které již známe.

Zamysleme se nad tím, jaká čísla už umíme násobit?

Jaká čísla se dnes naučíme násobit?

Napište si do sešitu téma lekce: "Násobení kladných a záporných čísel."

Takže, kluci, přišli na to, o čem budeme dnes mluvit v lekci.

Řekněte mi, prosím, účel naší lekce, co by se měl každý z vás naučit a co byste se měl pokusit naučit do konce lekce?

Kluci, no, abychom dosáhli tohoto cíle, jaké úkoly s vámi budeme muset vyřešit?

Docela správný. To jsou dva úkoly, které s vámi dnes budeme muset vyřešit.

Pracujte ve dvojicích, stanovte si téma a účel lekce.

1.Přirozené

2.Modul

3. Racionální

4.Naproti

5.Pozitivní

6. Celá

7.Nula

8. Souřadnice

9. Negativní

-"Násobení"

Kladná a záporná čísla

"Násobení kladných a záporných čísel"

Účel lekce:

Naučte se násobit kladná a záporná čísla

Nejprve, abyste se naučili násobit kladná a záporná čísla, musíte získat pravidlo.

Za druhé, když získáme pravidlo, co bychom měli dělat? (naučte se jej aplikovat při řešení příkladů).

4. Učení se novým poznatkům a způsobům jednání

Získat nové znalosti k tématu.

- Organizovat práci ve skupinách (učit se nové látky)

- Nyní, abychom dosáhli našeho cíle, zahájíme první úkol, odvodíme pravidlo pro násobení kladných a záporných čísel.

A výzkumná práce nám v tom pomůže. A kdo mi řekne, proč se tomu říká výzkum? - V této práci prozkoumáme, abychom objevili pravidla "Násobení kladných a záporných čísel."

Vaše výzkumná práce bude probíhat ve skupinách, celkem budeme mít 5 výzkumných skupin.

V hlavě jsme si opakovali, jak máme pracovat ve skupině. Pokud někdo zapomněl, pravidla jsou před vámi na obrazovce.

účel vašeho výzkumná práce: Prozkoumáváním úkolů postupně vyvoďte v úloze č. 2 pravidlo "Násobení záporných a kladných čísel", v úloze č. 1 máte celkem 4 úkoly. A k vyřešení těchto problémů vám pomůže náš teploměr, každá skupina má jeden.

Všechny záznamy se zapisují na kus papíru.

Jakmile má skupina řešení prvního problému, ukážete ho na tabuli.

Na práci máte 5-7 minut.

(Dodatek 2 )

Práce ve skupinách (vyplňte tabulku, proveďte průzkum)

Pravidla pro práci ve skupinách.

Práce ve skupinách je velmi snadná

Znát pět pravidel, která je třeba dodržovat:

za prvé: nepřerušuj,

když vypráví

příteli, kolem by mělo být ticho;

za druhé: nekřič nahlas,

a dávat argumenty;

a třetí pravidlo je jednoduše:

rozhodnout, co je pro vás důležité;

za čtvrté: nestačí vědět ústně

musí být zaznamenány;

a za páté: shrnout, přemýšlet,

co jsi mohl dělat.

Mistrovství

znalosti a metody jednání, které jsou určeny cíli lekce

5.Fizminutka

Zjistit správnost asimilace nového materiálu v této fázi, identifikovat mylné představy a jejich nápravu

Dobře, dal jsem všechny vaše odpovědi do tabulky, nyní se podívejme na každý řádek v naší tabulce (viz prezentace)

Jaké závěry můžeme vyvodit ze studia tabulky.

1 řádek. Jaká čísla násobíme? Jaké číslo je odpověď?

2 řádek. Jaká čísla násobíme? Jaké číslo je odpověď?

3 řádek. Jaká čísla násobíme? Jaké číslo je odpověď?

4 řádek. Jaká čísla násobíme? Jaké číslo je odpověď?

A tak jste analyzovali příklady a jste připraveni formulovat pravidla, k tomu jste museli vyplnit mezery ve druhém úkolu.

Jak vynásobit záporné číslo kladným?

- Jak vynásobit dvě záporná čísla?

Pojďme si odpočinout.

Kladná odpověď - sedni si, negativní - vstaň.

5*6

2*2

7*(-4)

2*(-3)

8*(-8)

7*(-2)

5*3

4*(-9)

5*(-5)

9*(-8)

15*(-3)

7*(-6)

násobení kladná čísla, odpověď je vždy kladné číslo.

Násobením záporného čísla kladným číslem vždy vznikne záporné číslo.

Násobením záporných čísel vždy vznikne kladné číslo.

Vynásobením kladného čísla záporným číslem vznikne záporné číslo.

Chcete-li vynásobit dvě čísla různými znaménky,násobit moduly těchto čísel a před výsledné číslo vložte znak "-".

- Chcete-li vynásobit dvě záporná čísla, potřebujetenásobit jejich moduly a před výsledné číslo umístěte znak «+».

Studenti vystupují fyzická cvičení stanovením pravidel.

Zabraňte únavě

7.Primární fixace nového materiálu

Osvojit si schopnost aplikovat získané znalosti v praxi.

Uspořádejte čelní a samostatná práce na pokrytý materiál.

Upravíme pravidla a ve dvojicích si sdělíme stejná pravidla. Dávám vám na to minutu.

Řekněte mi, můžeme nyní přejít k řešení příkladů? Ano, můžeme.

Otevíráme stranu 192 č. 1121

Vše dohromady uděláme 1. a 2. řádek a) 5 * (-6) = 30

b) 9*(-3)=-27

g) 0,7*(-8)=-5,6

h) -0,5 x 6 = -3

n) 1,2*(-14)=-16,8

o) -20,5*(-46)=943

tři lidé u tabule

Na řešení příkladů máte 5 minut.

A vše společně kontrolujeme.

Tvůrčí úkol ve dvojicích. (Příloha 3)

Vložte čísla tak, aby se v každém patře jejich součin rovnal číslu na střeše domu.

Řešit příklady s využitím získaných znalostí

Zvedněte ruce, kdo neměl chyby, dobře ....

Aktivní jednání žáků k uplatnění znalostí v životě.

9. Reflexe (výsledek hodiny, hodnocení výsledků činnosti žáků)

Poskytnout žákům reflexi, tzn. jejich hodnocení jejich činnosti

Uspořádejte shrnutí lekce

Naše lekce skončila, pojďme si to shrnout.

Vraťme se k tématu naší lekce, ano? Jaký byl náš cíl? - Dosáhli jsme tohoto cíle?

Jaké potíže vám toto téma způsobilo?

- Chlapi, dobře, abyste mohli ohodnotit svou práci v lekci, musíte nakreslit smajlík v kruzích, které máte na stolech.

Usměvavý emotikon znamená, že všemu rozumíte. Zelená znamená, že rozumíte, ale musíte cvičit a smutný smajlík, pokud nerozumíte vůbec ničemu. (Dej mi půl minuty)

No, kluci, jste připraveni ukázat, jak jste dnes pracovali ve třídě? Takže vychováváme a já vám také vychovávám smajlíka.

Mám z vás dnes na lekci velkou radost! Vidím, že všichni látku pochopili. Kluci, jste skvělí!

Lekce skončila, děkuji za přečtení!

Odpovězte na otázky a zhodnoťte svou práci

Ano, máme.

Otevřenost studentů k přenosu a porozumění jejich jednání, k identifikaci pozitivních a negativních aspektů lekce

10 .Informace o domácích úkolech

Zajistěte pochopení účelu, obsahu a způsobů realizace domácí práce

Poskytuje pochopení účelu domácího úkolu.

Domácí práce:

1. Naučte se pravidla násobení
2. č. 1121 (3. sloupec).
3. Kreativní úkol: sestavte test z 5 otázek s možností výběru.

Zapisujte si domácí úkoly, snažte se je pochopit a pochopit.

Realizace potřeby dosažení podmínek pro úspěšné splnění domácích úkolů všemi žáky, v souladu s zadáním a úrovní rozvoje žáků

Úkol 1. Bod se pohybuje přímočaře zleva doprava rychlostí 4 dm. za sekundu a právě prochází bodem A. Kde bude pohybující se bod po 5 sekundách?

Je snadné zjistit, že bod bude na 20 dm. napravo od A. Zapišme řešení této úlohy v relativních číslech. Za tímto účelem souhlasíme s následujícími znaky:

1) rychlost doprava bude označena znaménkem + a doleva znaménkem -, 2) vzdálenost pohybujícího se bodu z bodu A doprava bude označena znaménkem + a doleva znaménkem znaménko -, 3) časový interval po přítomném okamžiku znaménkem + a do přítomného okamžiku znaménkem -. V našem problému jsou uvedena tato čísla: rychlost = + 4 dm. za sekundu, čas \u003d + 5 sekund a ukázalo se, jak aritmeticky zjistili, číslo + 20 dm., Vyjadřující vzdálenost pohybujícího se bodu od A po 5 sekundách. Ve smyslu problému vidíme, že se týká násobení. Proto je vhodné napsat řešení problému:

(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.

Úkol 2. Bod se pohybuje přímočaře zleva doprava rychlostí 4 dm. za sekundu a právě prochází bodem A. Kde byl tento bod před 5 sekundami?

Odpověď je jasná: bod byl nalevo od A ve vzdálenosti 20 dm.

Řešení je pohodlné, podle podmínek týkajících se znaků a s ohledem na to, že se význam problému nezměnil, zapište jej následovně:

(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.

Úkol 3. Bod se pohybuje přímočaře zprava doleva rychlostí 4 dm. za sekundu a právě prochází bodem A. Kde bude pohybující se bod po 5 sekundách?

Odpověď je jasná: 20 dm. nalevo od A. Proto za stejných podmínek znaménka můžeme zapsat řešení tohoto problému takto:

(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.

Úkol 4. Bod se pohybuje přímočaře zprava doleva rychlostí 4 dm. za sekundu a právě prochází bodem A. Kde byl pohyblivý bod před 5 sekundami?

Odpověď je jasná: na vzdálenost 20 dm. napravo od A. Proto by řešení tohoto problému mělo být napsáno takto:

(– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Uvažované problémy naznačují, jak rozšířit akci násobení na relativní čísla. Máme v úlohách 4 případy násobení čísel se všemi možnými kombinacemi znamének:

1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Ve všech čtyřech případech by se absolutní hodnoty těchto čísel měly vynásobit, součin musí dát znaménko +, když faktory mají stejná znaménka (1. a 4. pád) a podepsat -, když faktory různá znamení (případy 2 a 3).

Odtud vidíme, že součin se nemění z permutace multiplikandu a multiplikátoru.

Cvičení.

Udělejme jeden příklad výpočtu, který zahrnuje jak sčítání, tak odčítání a násobení.

Aby nedošlo k záměně pořadí akcí, věnujte pozornost vzorci

Zde se zapisuje součet součinů dvou dvojic čísel: nejprve se tedy vynásobí číslo a číslem b, poté se vynásobí číslo c číslem d a výsledné součiny se sečtou. Také ve vzorci

musíte nejprve vynásobit číslo b c a poté výsledný součin od a odečíst.

Pokud byste chtěli sečíst součin čísel a a b k c a výsledný součet vynásobit d, pak byste měli napsat: (ab + c)d (srovnej se vzorcem ab + cd).

Pokud by bylo potřeba vynásobit rozdíl čísel a a b c, pak bychom napsali (a - b)c (srovnej se vzorcem a - bc).

Proto obecně stanovíme, že pokud není pořadí akcí označeno závorkami, musíme nejprve provést násobení a poté sčítání nebo odčítání.

Pokračujeme k výpočtu našeho výrazu: nejprve provedeme sčítání ve všech malých závorkách, dostaneme:

Nyní musíme provést násobení uvnitř hranatých závorek a poté odečíst výsledný produkt od:

Nyní provedeme akce uvnitř kroucených závorek: nejprve násobení a poté odčítání:

Nyní zbývá provést násobení a odčítání:

16. Součin několika faktorů. Ať je požadováno najít

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).

Zde je nutné vynásobit první číslo druhým, výsledný součin třetím atd. Není těžké na základě předchozího stanovit, že absolutní hodnoty všech čísel musí být množili mezi sebou.

Pokud by byly všechny faktory kladné, tak na základě předchozího zjistíme, že produkt musí mít také znaménko +. Pokud byl některý faktor negativní

např. (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),

pak součin všech faktorů, které mu předcházejí, by dával znaménko + (v našem příkladu (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, vynásobením výsledného součinu záporným číslem (v našem příkladu +24 krát -1) dostaneme znaménko nového produktu -; vynásobíme-li ho dalším kladným faktorem (v našem příkladu -24 +5), dostaneme opět záporné číslo; protože všechny ostatní faktory se považují za kladné , označení produktu se již nemůže změnit.

Pokud by existovaly dva negativní faktory, pak, argumentujíce výše uvedeným způsobem, by zjistili, že nejprve, dokud nedosáhne prvního negativního faktoru, bude produkt pozitivní, po vynásobení prvním negativním faktorem by se nový produkt ukázal jako být negativní a tak by to bylo a zůstalo, dokud nedosáhneme druhého negativního faktoru; pak vynásobením záporného čísla záporným se nový produkt ukáže jako kladný, což tak zůstane i v budoucnu, budou-li ostatní faktory kladné.

Pokud by existoval i třetí záporný faktor, pak by se kladný součin získaný jeho vynásobením tímto třetím záporným faktorem stal záporným; zůstalo by to tak, kdyby ostatní faktory byly všechny pozitivní. Ale pokud existuje i čtvrtý negativní faktor, pak jeho vynásobením bude produkt pozitivní. Když budeme argumentovat stejným způsobem, zjistíme, že obecně:

Chcete-li zjistit znaménko součinu několika faktorů, musíte se podívat, kolik z těchto faktorů je negativních: pokud neexistují vůbec žádné, nebo pokud existují sudé číslo, pak je produkt pozitivní: pokud negativní faktory liché číslo, pak je produkt negativní.

Tak to teď můžeme snadno zjistit

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.

(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.

Nyní je snadné vidět, že znaménko produktu, stejně jako jeho absolutní hodnota, nezávisí na pořadí faktorů.

Když se zabýváme zlomkovými čísly, je vhodné okamžitě najít součin:

To je výhodné, protože nemusíte dělat zbytečné násobení, protože dříve získaný zlomkový výraz je co nejvíce redukován.