Ve vztahu k

lze nastavit úkol najít kterékoli ze tří čísel z ostatních dvou zadaných. Dané a a pak N se najde umocněním. Pokud je dáno N a pak a je nalezeno extrakcí odmocniny x (nebo umocnění). Nyní zvažte případ, kdy je za daných a a N potřeba najít x.

Nechť číslo N je kladné: číslo a je kladné a nerovná se jedné: .

Definice. Logaritmus čísla N k základu a je exponent, na který musíte zvýšit a, abyste dostali číslo N; logaritmus je označen

V rovnosti (26.1) je tedy exponent nalezen jako logaritmus N k základu a. Příspěvky

mají stejný význam. Rovnost (26.1) je někdy nazývána základní identitou teorie logaritmů; ve skutečnosti vyjadřuje definici pojmu logaritmus. Podle tato definice základ logaritmu a je vždy kladný a odlišný od jednoty; logaritmovatelné číslo N je kladné. Záporná čísla a nula nemají logaritmy. Lze dokázat, že jakékoli číslo s daným základem má dobře definovaný logaritmus. Rovnost tedy znamená . Všimněte si, že podmínka je zde zásadní, jinak by závěr nebyl oprávněný, protože rovnost platí pro všechny hodnoty x a y.

Příklad 1. Najděte

Řešení. Chcete-li získat číslo, musíte zvýšit základ 2 na sílu Proto.

Při řešení takových příkladů můžete zaznamenat v následujícím formuláři:

Příklad 2. Najděte .

Řešení. My máme

V příkladech 1 a 2 jsme snadno našli požadovaný logaritmus reprezentováním logaritmovatelného čísla jako stupně základu s racionálním exponentem. V obecném případě, například pro atd., to nelze provést, protože logaritmus má iracionální hodnotu. Věnujme pozornost jedné otázce související s tímto tvrzením. V § 12 jsme uvedli koncept možnosti určení libovolné reálné mocniny daného kladného čísla. To bylo nezbytné pro zavedení logaritmů, což obecně mohou být iracionální čísla.

Zvažte některé vlastnosti logaritmů.

Vlastnost 1. Jsou-li číslo a základ rovny, pak je logaritmus roven jedné, a naopak, je-li logaritmus roven jedné, pak se číslo a základ rovnají.

Důkaz. Nechat Podle definice logaritmu, máme a odkud

Naopak, nechejte Pak podle definice

Vlastnost 2. Logaritmus jednoty k libovolnému základu je roven nule.

Důkaz. Podle definice logaritmu (nulová mocnina libovolné kladné báze je rovna jedné, viz (10.1)). Odtud

Q.E.D.

Platí i obrácené tvrzení: jestliže , pak N = 1. Opravdu, máme .

Než uvedeme následující vlastnost logaritmů, shodneme se na tom, že dvě čísla a a b leží na stejné straně třetího čísla c, pokud jsou obě větší než c nebo menší než c. Pokud je jedno z těchto čísel větší než c a druhé menší než c, pak řekneme, že leží podél různé strany od s.

Vlastnost 3. Leží-li číslo a základna na stejné straně jednoty, pak je logaritmus kladný; jestliže číslo a základ leží na opačných stranách jednoty, pak je logaritmus záporný.

Důkaz vlastnosti 3 je založen na skutečnosti, že stupeň a je větší než jedna, pokud je základ větší než jedna a exponent je kladný nebo základ méně než jeden a skóre je záporné. Stupeň je menší než jedna, pokud je základ větší než jedna a exponent je záporný, nebo je základ menší než jedna a exponent je kladný.

V úvahu připadají čtyři případy:

Omezíme se na rozbor prvního z nich, zbytek už si čtenář zváží sám.

Nechť tedy exponent v rovnosti není ani záporný, ani roven nule, je tedy kladný, tj. který bylo třeba dokázat.

Příklad 3. Zjistěte, které z následujících logaritmů jsou kladné a které záporné:

Řešení, a) protože číslo 15 a základna 12 jsou umístěny na stejné straně jednotky;

b) , protože 1000 a 2 jsou umístěny na stejné straně jednotky; zároveň není podstatné, že základ je větší než logaritmické číslo;

c), protože 3,1 a 0,8 leží na opačných stranách jednoty;

G); proč?

e) ; proč?

Následující vlastnosti 4-6 se často nazývají logaritmická pravidla: umožňují při znalosti logaritmů některých čísel najít logaritmy jejich součinu, kvocient, stupeň každého z nich.

Vlastnost 4 (pravidlo pro logaritmus součinu). Logaritmus součinu několika kladných čísel v daném základu se rovná součtu logaritmů těchto čísel ve stejném základu.

Důkaz. Nechť jsou uvedena kladná čísla.

Pro logaritmus jejich součinu napíšeme rovnost (26.1) definující logaritmus:

Odtud najdeme

Porovnáním exponentů prvního a posledního výrazu získáme požadovanou rovnost:

Všimněte si, že podmínka je nezbytná; logaritmus součinu dvou záporná čísla dává smysl, ale v tomto případě dostaneme

Obecně platí, že pokud je součin několika faktorů kladný, pak se jeho logaritmus rovná součtu logaritmů modulů těchto faktorů.

Vlastnost 5 (pravidlo kvocientového logaritmu). Logaritmus podílu kladných čísel se rovná rozdílu mezi logaritmy děliče a dělitele, bráno ve stejném základu. Důkaz. Důsledně najít

Q.E.D.

Vlastnost 6 (pravidlo logaritmu stupně). Logaritmus mocniny libovolného kladného čísla se rovná logaritmu tohoto čísla krát exponent.

Důkaz. Pro číslo opět napíšeme hlavní identitu (26.1):

Q.E.D.

Následek. Logaritmus odmocniny kladného čísla se rovná logaritmu kořenového čísla děleného exponentem odmocniny:

Platnost tohoto důsledku můžeme dokázat tím, že předložíme jak a použijeme vlastnost 6.

Příklad 4. Logaritmus se základem a:

a) (předpokládá se, že všechny hodnoty b, c, d, e jsou kladné);

b) (předpokládá se, že ).

Řešení a) Je vhodné tento výraz převést na zlomkové mocniny:

Na základě rovnosti (26,5)-(26,7) nyní můžeme napsat:

Všimli jsme si, že s logaritmy čísel se provádějí jednodušší operace než s čísly samotnými: při násobení čísel se jejich logaritmy sčítají, při dělení se odečítají atd.

Proto se ve výpočetní praxi používají logaritmy (viz kap. 29).

Akce inverzní k logaritmu se nazývá potenciace, jmenovitě: potenciace je akce, při které je toto číslo samo nalezeno daným logaritmem čísla. V podstatě potenciace není žádná speciální akce: jde o zvýšení základny na mocninu (rovnou logaritmu čísla). Pojem "zesilování" lze považovat za synonymum s pojmem "umocňování".

Při potenciaci je nutné použít pravidla, která jsou inverzní k pravidlům logaritmu: nahradit součet logaritmů logaritmem součinu, rozdíl logaritmů logaritmem kvocientu atd. Zejména pokud existuje libovolný faktor před znaménkem logaritmu, pak se musí při potenciaci přenést na stupně indikátoru pod znaménkem logaritmu.

Příklad 5. Najděte N, pokud je to známo

Řešení. V souvislosti s právě uvedeným potenciačním pravidlem se faktory 2/3 a 1/3, které jsou před znaménky logaritmů na pravé straně této rovnosti, přenesou na exponenty pod znaménky těchto logaritmů; dostaneme

Nyní nahradíme rozdíl logaritmů logaritmem kvocientu:

abychom získali poslední zlomek v tomto řetězci rovnosti, osvobodili jsme předchozí zlomek od iracionality ve jmenovateli (část 25).

Vlastnost 7. Pokud je základ větší než jedna, pak větší číslo má větší logaritmus (a menší má menší), pokud je základ menší než jedna, pak větší číslo má menší logaritmus (a menší jeden má větší).

Tato vlastnost je také formulována jako pravidlo pro logaritmus nerovností, jejichž obě části jsou kladné:

Při logaritmování nerovnic se základem větším než jedna se zachová znaménko nerovnosti a při logaritmování se základem menším než jedna se znaménko nerovnosti obrátí (viz také bod 80).

Důkaz je založen na vlastnostech 5 a 3. Uvažujme případ, kdy If , then a s logaritmováním dostaneme

(a a N/M leží na stejné straně jednoty). Odtud

Pokud bude následovat, čtenář na to přijde sám.

Co je to logaritmus?

Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří silně "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc...“)

Co je to logaritmus? Jak řešit logaritmy? Tyto otázky mnohé absolventy matou. Tradičně je téma logaritmů považováno za složité, nepochopitelné a děsivé. Zejména - rovnice s logaritmy.

To absolutně není pravda. Absolutně! nevěříš? Dobrý. Nyní na 10–20 minut:

1. Pochopit co je logaritmus.

2. Naučte se řešit celou třídu exponenciální rovnice. I když jste o nich neslyšeli.

3. Naučte se počítat jednoduché logaritmy.

Navíc k tomu budete potřebovat pouze znát násobící tabulku a jak se číslo zvyšuje na mocninu ...

Cítím, že pochybuješ... Dobře, měj čas! Jít!

Nejprve si v duchu vyřešte následující rovnici:

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Jak víte, při násobení výrazů mocninami se jejich exponenty vždy sčítají (a b * a c = a b + c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a později, v 8. století, vytvořil matematik Virasen tabulku celočíselných ukazatelů. Právě oni sloužili k dalšímu objevování logaritmů. Příklady použití této funkce najdeme téměř všude tam, kde je potřeba zjednodušit těžkopádné násobení na jednoduché sčítání. Pokud strávíte 10 minut čtením tohoto článku, vysvětlíme vám, co jsou to logaritmy a jak s nimi pracovat. Jednoduchý a přístupný jazyk.

Definice v matematice

Logaritmus je vyjádřením následujícího tvaru: log a b=c, tedy logaritmus libovolného nezáporného čísla (tedy libovolného kladného) "b" podle jeho základu "a" se považuje za mocninu "c". ", na který je nutné zvednout základ "a", aby nakonec dostal hodnotu "b". Analyzujme logaritmus na příkladech, řekněme, že existuje výraz log 2 8. Jak najít odpověď? Je to velmi jednoduché, musíte najít takový stupeň, abyste od 2 do požadovaného stupně dostali 8. Když jsme si v duchu udělali nějaké výpočty, dostaneme číslo 3! A právem, protože 2 na 3 dává v odpovědi číslo 8.

Varianty logaritmů

Pro mnoho žáků a studentů se toto téma zdá složité a nesrozumitelné, ale ve skutečnosti logaritmy nejsou tak děsivé, hlavní je pochopit jejich obecný význam a zapamatovat si jejich vlastnosti a některá pravidla. Tam jsou tři určité typy logaritmické výrazy:

1. Přirozený logaritmus ln a, kde základem je Eulerovo číslo (e = 2,7).
2. Desetinné a, kde základ je 10.
3. Logaritmus libovolného čísla b k základu a>1.

O každém z nich je rozhodnuto standardním způsobem, který zahrnuje zjednodušení, redukci a následnou redukci na jeden logaritmus pomocí logaritmických vět. Chcete-li získat správné hodnoty logaritmů, měli byste si pamatovat jejich vlastnosti a pořadí akcí při jejich rozhodování.

Pravidla a některá omezení

V matematice existuje několik pravidel-omezení, která jsou přijímána jako axiom, to znamená, že nejsou předmětem diskuse a jsou pravdivá. Například je nemožné dělit čísla nulou a je také nemožné extrahovat kořen sudého stupně ze záporných čísel. Logaritmy mají také svá pravidla, podle kterých se snadno naučíte pracovat i s dlouhými a prostornými logaritmickými výrazy:

• základ "a" musí být vždy větší než nula a zároveň nesmí být roven 1, jinak výraz ztratí svůj význam, protože "1" a "0" se v jakémkoliv stupni vždy rovnají svým hodnotám;
• pokud a > 0, pak a b > 0, ukáže se, že "c" musí být větší než nula.

Jak řešit logaritmy?

Například byl zadán úkol najít odpověď na rovnici 10 x \u003d 100. Je to velmi snadné, musíte si vybrat takovou moc, zvýšit číslo deset, na které dostaneme 100. To je samozřejmě 10 2 \u003d 100.

Nyní znázorněme tento výraz jako logaritmický. Dostaneme log 10 100 = 2. Při řešení logaritmů všechny akce prakticky konvergují k nalezení míry, do jaké musí být zadán základ logaritmu, abychom získali dané číslo.

Chcete-li přesně určit hodnotu neznámého stupně, musíte se naučit pracovat s tabulkou stupňů. Vypadá to takto:

Jak vidíte, některé exponenty lze uhodnout intuitivně, pokud máte technické myšlení a znalost násobilky. Nicméně, pro velké hodnoty potřebujete tabulku stupňů. Využít ho mohou i ti, kteří ve složitých matematických tématech nerozumí vůbec ničemu. Levý sloupec obsahuje čísla (základ a), horní řada čísel je hodnota mocniny c, na kterou je číslo a umocněno. Na průsečíku v buňkách jsou určeny hodnoty čísel, které jsou odpovědí (a c = b). Vezměme si například úplně první buňku s číslem 10 a odmocnime ji, dostaneme hodnotu 100, která je naznačena na průsečíku našich dvou buněk. Všechno je tak jednoduché a snadné, že to pochopí i ten nejskutečnější humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje se, že za určitých podmínek je exponentem logaritmus. Proto lze jakékoli matematické číselné výrazy zapsat jako logaritmickou rovnici. Například 3 4 = 81 lze zapsat jako logaritmus 81 k základu 3, což je čtyři (log 3 81 = 4). Pro záporné mocniny jsou pravidla stejná: 2 -5 = 1/32 zapíšeme jako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z nejvíce fascinujících částí matematiky je téma „logaritmů“. Příklady a řešení rovnic budeme uvažovat o něco níže, hned po prostudování jejich vlastností. Nyní se podívejme, jak vypadají nerovnosti a jak je odlišit od rovnic.

Je dán výraz v následujícím tvaru: log 2 (x-1) > 3 - jedná se o logaritmickou nerovnost, protože neznámá hodnota "x" je pod znaménkem logaritmu. A také ve výrazu se porovnávají dvě veličiny: logaritmus požadovaného čísla v základu dvě je větší než číslo tři.

Nejdůležitější rozdíl mezi logaritmickými rovnicemi a nerovnicemi je v tom, že rovnice s logaritmy (například logaritmus 2 x = √9) implikují jednu nebo více konkrétních číselných hodnot v odpovědi, zatímco při řešení nerovnosti oba rozsah přijatelné hodnoty a body porušující tuto funkci. V důsledku toho není odpovědí jednoduchá množina jednotlivých čísel jako v odpovědi rovnice, ale souvislá řada nebo množina čísel.

Základní věty o logaritmech

Při řešení primitivních úloh při hledání hodnot logaritmu nemusí být jeho vlastnosti známy. Pokud však jde o logaritmické rovnice nebo nerovnice, je nejprve nutné jasně pochopit a prakticky aplikovat všechny základní vlastnosti logaritmů. S příklady rovnic se seznámíme později, rozeberme si nejprve každou vlastnost podrobněji.

1. Základní identita vypadá takto: a logaB =B. Platí pouze v případě, že a je větší než 0, nerovná se jedné a B je větší než nula.
2. Logaritmus součinu může být reprezentován následujícím vzorcem: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto případě je předpokladem: d, s 1 as 2 > 0; a≠1. Tento vzorec logaritmů můžete doložit příklady a řešením. Nechť log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, pak a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupňů ), a dále podle definice: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, což mělo být prokázáno.
3. Logaritmus podílu vypadá takto: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Věta ve formě vzorce má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec se nazývá "vlastnost stupně logaritmu". Připomíná vlastnosti běžných stupňů a není se čemu divit, protože veškerá matematika spočívá na pravidelných postulátech. Podívejme se na důkaz.

Nechte log a b \u003d t, ukáže se t \u003d b. Zvednete-li obě části na mocninu m: a tn = b n ;

ale protože a tn = (a q) nt/q = b n , tudíž log a q b n = (n*t)/t, pak log a q b n = n/q log a b. Věta byla prokázána.

Příklady problémů a nerovností

Nejběžnějšími typy logaritmických úloh jsou příklady rovnic a nerovnic. Nacházejí se téměř ve všech problémových knihách a jsou také součástí povinné části zkoušek z matematiky. Pro přijetí na univerzitu nebo absolvování přijímací zkoušky v matematice je potřeba vědět, jak takové úlohy správně řešit.

Bohužel, jediný plán nebo schéma řešit a určit neznámá hodnota neexistuje žádný logaritmus, nicméně na každou matematickou nerovnost nebo logaritmickou rovnici lze aplikovat určitá pravidla. Nejprve byste měli zjistit, zda lze výraz zjednodušit nebo zredukovat obecný pohled. Pokud správně použijete jejich vlastnosti, můžete dlouhé logaritmické výrazy zjednodušit. Pojďme se s nimi brzy seznámit.

Při rozhodování logaritmické rovnice, je nutné určit, jaký druh logaritmu máme před sebou: příklad výrazu může obsahovat přirozený logaritmus nebo desítkový.

Zde jsou příklady ln100, ln1026. Jejich řešení se scvrkává na skutečnost, že musíte určit, do jaké míry bude základna 10 rovna 100 a 1026. Pro řešení přirozené logaritmy je třeba použít logaritmické identity nebo jejich vlastnosti. Podívejme se na příklady řešení logaritmických úloh různých typů.

Jak používat logaritmické vzorce: s příklady a řešeními

Podívejme se tedy na příklady použití hlavních vět o logaritmech.

1. Vlastnost logaritmu součinu se dá využít v úlohách, kde je potřeba expandovat velká důležitostčísla b do jednodušších faktorů. Například log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpověď je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak vidíte, pomocí čtvrté vlastnosti stupně logaritmu se nám podařilo vyřešit na první pohled složitý a neřešitelný výraz. Je nutné pouze faktorizovat základ a poté vyjmout hodnoty exponentů ze znaménka logaritmu.

Úkoly ze zkoušky

Logaritmy se často vyskytují při přijímacích zkouškách, zejména mnoho logaritmických problémů v jednotné státní zkoušce (státní zkouška pro všechny absolventy škol). Obvykle jsou tyto úkoly přítomny nejen v části A (nejsnadnější testovací část zkouška), ale i v části C (nejobtížnější a nejobjemnější úlohy). Zkouška předpokládá přesnou a dokonalou znalost tématu "Přirozené logaritmy".

Příklady a řešení problémů jsou převzaty z oficiálních POUŽÍVEJTE možnosti. Podívejme se, jak se takové úkoly řeší.

Je dán log 2 (2x-1) = 4. Řešení:
přepišme výraz, trochu jej zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2 , definicí logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4 , tedy 2x = 17; x = 8,5.

• Všechny logaritmy je nejlépe zredukovat na stejný základ, aby řešení nebylo těžkopádné a matoucí.
• Všechny výrazy pod znaménkem logaritmu jsou označeny jako kladné, proto při vyjímání exponentu exponentu výrazu, který je pod znaménkem logaritmu a jako jeho základ, musí být výraz zbývající pod logaritmem kladný.

Takže máme mocniny dvou. Pokud vezmete číslo ze spodního řádku, pak můžete snadno najít sílu, na kterou musíte zvýšit dvojku, abyste toto číslo získali. Chcete-li například získat 16, musíte zvýšit dvě na čtvrtou mocninu. A abyste získali 64, musíte zvýšit dvě na šestou mocninu. To je vidět z tabulky.

A nyní - ve skutečnosti definice logaritmu:

Logaritmus k základu a argumentu x je mocnina, na kterou musí být číslo a zvýšeno, aby bylo získáno číslo x .

Zápis: log a x \u003d b, kde a je základ, x je argument, b je ve skutečnosti to, čemu se rovná logaritmus.

Například 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (základ 2 logaritmu 8 je tři, protože 2 3 = 8). Může také log 2 64 = 6, protože 2 6 = 64.

Operace nalezení logaritmu čísla k danému základu se nazývá logaritmus. Přidejme tedy do naší tabulky nový řádek:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Bohužel ne všechny logaritmy lze tak snadno zvážit. Zkuste například najít log 2 5 . Číslo 5 v tabulce není, ale logika velí, že logaritmus bude ležet někde na segmentu. Protože 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Taková čísla se nazývají iracionální: čísla za desetinnou čárkou lze psát donekonečna a nikdy se neopakují. Pokud se logaritmus ukáže jako iracionální, je lepší jej nechat takto: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Je důležité pochopit, že logaritmus je výraz se dvěma proměnnými (základ a argument). Zpočátku si mnoho lidí plete, kde je základ a kde argument. Abyste předešli nepříjemným nedorozuměním, stačí se podívat na obrázek:

Před námi není nic jiného než definice logaritmu. Zapamatovat si: logaritmus je síla, ke kterému musíte zvednout základ, abyste získali argument. Je to základna, která je zvednutá na mocninu - na obrázku je zvýrazněna červeně. Ukazuje se, že základna je vždy na dně! Toto úžasné pravidlo říkám svým studentům hned na první hodině – a není v tom žádný zmatek.

Přišli jsme na definici - zbývá se naučit počítat logaritmy, tzn. zbavit se znaku "log". Pro začátek si všimneme, že z definice plynou dvě důležité skutečnosti:

1. Argument a základ musí být vždy větší než nula. Vyplývá to z definice stupně racionálním exponentem, na který je redukována definice logaritmu.
2. Základ se musí lišit od jednoty, protože jednotka k jakékoli mocnině je stále jednotkou. Z tohoto důvodu je otázka „k jaké síle musí být člověk povýšen, aby získal dva“ smysl. Takový stupeň neexistuje!

Taková omezení se nazývají platný rozsah(ODZ). Ukazuje se, že ODZ logaritmu vypadá takto: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Všimněte si, že neexistují žádná omezení na číslo b (hodnota logaritmu) není uložena. Logaritmus může být například záporný: log 2 0,5 \u003d -1, protože 0,5 = 2 -1.

Nyní však uvažujeme pouze o číselných výrazech, kde není vyžadována znalost ODZ logaritmu. Všechna omezení již zohlednili kompilátoři problémů. Když však do hry vstoupí logaritmické rovnice a nerovnosti, stanou se požadavky DHS povinnými. V základu a argumentaci totiž mohou být velmi silné konstrukce, které nemusí nutně odpovídat výše uvedeným omezením.

Nyní zvažte obecné schéma pro výpočet logaritmů. Skládá se ze tří kroků:

1. Vyjádřete základ a a argument x jako mocninu s nejmenším možným základem větším než jedna. Po cestě je lepší se zbavit desetinných zlomků;
2. Řešte rovnici pro proměnnou b: x = a b ;
3. Výsledné číslo b bude odpovědí.

To je vše! Pokud se logaritmus ukáže jako iracionální, bude to vidět již v prvním kroku. Požadavek, aby byl základ větší než jedna, je velmi relevantní: snižuje se tím pravděpodobnost chyby a výrazně se zjednodušují výpočty. Podobný desetinná místa: když je hned převedete na obyčejné, bude chyb mnohonásobně méně.

Podívejme se, jak toto schéma funguje na konkrétních příkladech:

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 5 25

1. Představme základ a argument jako mocninu pěti: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Pojďme vytvořit a vyřešit rovnici:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Obdržel odpověď: 2.

Úkol. Vypočítejte logaritmus:

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 4 64

1. Představme základ a argument jako mocninu dvou: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Pojďme vytvořit a vyřešit rovnici:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Obdržel odpověď: 3.

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 16 1

1. Představme základ a argument jako mocninu dvou: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Pojďme vytvořit a vyřešit rovnici:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Obdržela odpověď: 0.

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 7 14

1. Představme základ a argument jako mocninu sedmi: 7 = 7 1 ; 14 není reprezentováno jako mocnina sedmi, protože 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z předchozího odstavce vyplývá, že logaritmus se neuvažuje;
3. Odpověď je žádná změna: log 7 14.

Malá poznámka k poslednímu příkladu. Jak se ujistit, že číslo není přesnou mocninou jiného čísla? Velmi jednoduché – stačí to rozložit na prvočinitele. Pokud v expanzi existují alespoň dva odlišné faktory, číslo není přesnou mocninou.

Úkol. Zjistěte, zda jsou přesné mocniny čísla: 8; 48; 81; 35; čtrnáct .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - přesný stupeň, protože existuje pouze jeden násobitel;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 není přesná mocnina, protože existují dva faktory: 3 a 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - přesný stupeň;
35 = 7 5 - opět ne přesný stupeň;
14 \u003d 7 2 - opět není přesný stupeň;

Všimněte si také, že prvočísla sama o sobě jsou vždy přesné mocniny samých sebe.

Desetinný logaritmus

Některé logaritmy jsou tak běžné, že mají speciální název a označení.

Desetinný logaritmus argumentu x je logaritmus se základem 10, tj. mocninu, na kterou musíte zvýšit číslo 10, abyste získali číslo x. Označení: lg x .

Například log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atd.

Až se od této chvíle v učebnici objeví fráze jako „Najít lg 0,01“, vězte, že se nejedná o překlep. Toto je dekadický logaritmus. Pokud však na takové označení nejste zvyklí, můžete jej vždy přepsat:
log x = log 10 x

Vše, co platí pro běžné logaritmy, platí i pro desetinná místa.

přirozený logaritmus

Existuje další logaritmus, který má svůj vlastní zápis. V jistém smyslu je ještě důležitější než desítkové. Toto je přirozený logaritmus.

Přirozený logaritmus x je základní e logaritmus, tj. mocnina, na kterou je třeba zvýšit číslo e, aby se získalo číslo x. Označení: ln x .

Mnozí se budou ptát: co jiného je číslo e? Jedná se o iracionální číslo, jeho přesnou hodnotu nelze zjistit a zapsat. Zde jsou jen první čísla:
e = 2,718281828459...

Nebudeme se ponořit do toho, co je toto číslo a proč je potřeba. Pamatujte, že e je základem přirozeného logaritmu:
ln x = log e x

Tedy ln e = 1 ; log e2 = 2; ln e 16 = 16 - atd. Na druhou stranu, ln 2 je iracionální číslo. Obecně platí, že přirozený logaritmus jakéhokoli racionální číslo iracionální. Samozřejmě kromě jednoty: ln 1 = 0.

Pro přirozené logaritmy platí všechna pravidla, která platí pro běžné logaritmy.

Logaritmy, jako každé číslo, lze sčítat, odečítat a převádět všemi možnými způsoby. Protože ale logaritmy nejsou úplně obyčejná čísla, existují zde pravidla, která se nazývají základní vlastnosti.

Tato pravidla musí být známa - bez nich nelze vyřešit žádný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.

Sčítání a odčítání logaritmů

Uvažujme dva logaritmy se stejným základem: log A X a log A y. Poté je lze sčítat a odečítat a:

1. log A X+log A y= log A (X · y);
2. log A X−log A y= log A (X : y).

Takže součet logaritmů se rovná logaritmu součinu a rozdíl je logaritmus kvocientu. Poznámka: klíčový moment tady - stejné důvody. Pokud jsou základy odlišné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce vám pomohou vypočítat logaritmický výraz i když se neberou v úvahu jeho jednotlivé části (viz lekce „Co je to logaritmus“). Podívejte se na příklady a uvidíte:

log 6 4 + log 6 9.

Protože základy logaritmů jsou stejné, použijeme součtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Opět platí, že základy jsou stejné, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak vidíte, původní výrazy se skládají ze "špatných" logaritmů, které nejsou uvažovány samostatně. Ale po transformacích vyjdou docela normální čísla. Na základě této skutečnosti mnozí zkušební papíry. Ano, kontrola - podobné výrazy ve vší vážnosti (někdy - prakticky beze změn) jsou nabízeny u zkoušky.

Odstranění exponentu z logaritmu

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme. Co když je v základu nebo argumentu logaritmu stupeň? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje jejich první dvě. Ale stejně je lepší si to zapamatovat – v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Všechna tato pravidla samozřejmě dávají smysl, pokud je dodržen logaritmus ODZ: A > 0, A ≠ 1, X> 0. A ještě něco: naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak, tzn. můžete zadat čísla před znaménkem logaritmu do samotného logaritmu. To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme se stupně v argumentu podle prvního vzorce:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

[Titulek obrázku]

Všimněte si, že jmenovatel je logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 72. My máme:

[Titulek obrázku]

Myslím, že poslední příklad potřebuje objasnění. Kam zmizely logaritmy? Do poslední chvíle pracujeme pouze se jmenovatelem. Předložili základ a argument tam stojícího logaritmu ve formě stupňů a vyjmuli ukazatele - dostali „třípatrový“ zlomek.

Nyní se podívejme na hlavní zlomek. Čitatel a jmenovatel mají stejné číslo: log 2 7. Protože log 2 7 ≠ 0, můžeme zlomek zmenšit - 2/4 zůstanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze čtyřku přenést do čitatele, což bylo provedeno. Výsledkem je odpověď: 2.

Přechod na nový základ

Když mluvíme o pravidlech pro sčítání a odečítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými základy. Co když jsou základy jiné? Co když to nejsou přesné mocniny stejného čísla?

Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na novou základnu. Formulujeme je ve formě věty:

Nechte logaritmus logovat A X. Pak pro libovolné číslo C takové, že C> 0 a C≠ 1, rovnost platí:

[Titulek obrázku]

Zejména pokud dáme C = X, dostaneme:

[Titulek obrázku]

Z druhého vzorce vyplývá, že je možné zaměnit základ a argument logaritmu, ale v tomto případě je celý výraz „převrácen“, tzn. logaritmus je ve jmenovateli.

Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jejich výhodnost lze vyhodnotit pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovnic.

Existují však úkoly, které nelze vyřešit vůbec jinak než přesunem do nového základu. Podívejme se na několik z nich:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů jsou přesné exponenty. Vyjmeme ukazatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Nyní otočme druhý logaritmus:

[Titulek obrázku]

Vzhledem k tomu, že se součin nemění permutací faktorů, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak vymysleli logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:

[Titulek obrázku]

Nyní se zbavme desetinného logaritmu přechodem na nový základ:

[Titulek obrázku]

Základní logaritmická identita

V procesu řešení je často vyžadováno reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu. V tomto případě nám pomohou vzorce:

V prvním případě číslo n se stává exponentem argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to jen hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Říká se tomu základní logaritmická identita.

Ve skutečnosti, co se stane, když číslo b zvýšit k moci tak, že b do této míry dává číslo A? Správně: toto je stejné číslo A. Přečtěte si tento odstavec pozorně znovu - mnoho lidí na něm „visí“.

Stejně jako nové základní převodní vzorce je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

[Titulek obrázku]

Všimněte si, že log 25 64 = log 5 8 - právě vyjmuli čtverec ze základny a argument logaritmu. Vzhledem k pravidlům pro násobení mocnin se stejným základem dostaneme:

[Titulek obrázku]

Pokud někdo neví, tohle byl skutečný úkol ze zkoušky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na závěr uvedu dvě identity, které je obtížné nazvat vlastnostmi – spíše jde o důsledky z definice logaritmu. Neustále se nacházejí v problémech a kupodivu vytvářejí problémy i „pokročilým“ studentům.

1. log A A= 1 je logaritmická jednotka. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k jakékoli základně A od této základny se rovná jedné.
2. log A 1 = 0 je logaritmická nula. Základna A může být cokoliv, ale pokud je argument jedna, logaritmus je nula! protože A 0 = 1 je přímým důsledkem definice.

To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.