Takže máme mocniny dvou. Pokud vezmete číslo ze spodního řádku, pak můžete snadno najít sílu, na kterou musíte zvýšit dvojku, abyste toto číslo získali. Chcete-li například získat 16, musíte zvýšit dvě na čtvrtou mocninu. A abyste získali 64, musíte zvýšit dvě na šestou mocninu. To je vidět z tabulky.

A nyní - ve skutečnosti definice logaritmu:

Logaritmus k základu a argumentu x je mocnina, na kterou musí být číslo a zvýšeno, aby bylo získáno číslo x .

Zápis: log a x \u003d b, kde a je základ, x je argument, b je ve skutečnosti to, čemu se rovná logaritmus.

Například 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (základ 2 logaritmu 8 je tři, protože 2 3 = 8). Může také log 2 64 = 6, protože 2 6 = 64.

Operace nalezení logaritmu čísla k danému základu se nazývá logaritmus. Přidejme tedy do naší tabulky nový řádek:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Bohužel ne všechny logaritmy lze tak snadno zvážit. Zkuste například najít log 2 5 . Číslo 5 v tabulce není, ale logika velí, že logaritmus bude ležet někde na segmentu. Protože 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Taková čísla se nazývají iracionální: čísla za desetinnou čárkou lze psát donekonečna a nikdy se neopakují. Pokud se logaritmus ukáže jako iracionální, je lepší jej nechat takto: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Je důležité pochopit, že logaritmus je výraz se dvěma proměnnými (základ a argument). Zpočátku si mnoho lidí plete, kde je základ a kde argument. Abyste předešli nepříjemným nedorozuměním, stačí se podívat na obrázek:

Před námi není nic jiného než definice logaritmu. Pamatovat si: logaritmus je síla, ke kterému musíte zvednout základ, abyste získali argument. Je to základna, která je zvednutá na mocninu - na obrázku je zvýrazněna červeně. Ukazuje se, že základna je vždy na dně! Toto úžasné pravidlo říkám svým studentům hned na první hodině – a není v tom žádný zmatek.

Přišli jsme na definici - zbývá se naučit počítat logaritmy, tzn. zbavit se znaku "log". Pro začátek si všimneme, že z definice plynou dvě důležité skutečnosti:

1. Argument a základ musí být vždy větší než nula. Vyplývá to z definice stupně racionálním exponentem, na který je redukována definice logaritmu.
2. Základ se musí lišit od jednoty, protože jednotka k jakékoli mocnině je stále jednotkou. Z tohoto důvodu je otázka „k jaké síle musí být člověk povýšen, aby získal dva“ smysl. Takový stupeň neexistuje!

Taková omezení se nazývají platný rozsah(ODZ). Ukazuje se, že ODZ logaritmu vypadá takto: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Všimněte si, že neexistují žádná omezení na číslo b (hodnota logaritmu) není uložena. Logaritmus může být například záporný: log 2 0,5 \u003d -1, protože 0,5 = 2 -1.

Zatím však pouze zvažujeme číselné výrazy, kde není vyžadována znalost ODZ logaritmu. Všechna omezení již zohlednili kompilátoři problémů. Ale když odejdou logaritmické rovnice a nerovnostech se požadavky DHS stanou povinnými. V základu a argumentaci totiž mohou být velmi silné konstrukce, které nemusí nutně odpovídat výše uvedeným omezením.

Nyní zvažte obecné schéma pro výpočet logaritmů. Skládá se ze tří kroků:

1. Vyjádřete základ a a argument x jako mocninu s nejmenším možným základem větším než jedna. Po cestě je lepší se zbavit desetinných zlomků;
2. Řešte rovnici pro proměnnou b: x = a b ;
3. Výsledné číslo b bude odpovědí.

To je vše! Pokud se logaritmus ukáže jako iracionální, bude to vidět již v prvním kroku. Požadavek, aby byl základ větší než jedna, je velmi relevantní: snižuje se tím pravděpodobnost chyby a výrazně se zjednodušují výpočty. Podobný desetinná místa: když je hned převedete na obyčejné, bude chyb mnohonásobně méně.

Podívejme se, jak toto schéma funguje na konkrétních příkladech:

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 5 25

1. Představme základ a argument jako mocninu pěti: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Pojďme vytvořit a vyřešit rovnici:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Obdržel odpověď: 2.

Úkol. Vypočítejte logaritmus:

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 4 64

1. Představme základ a argument jako mocninu dvou: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Pojďme vytvořit a vyřešit rovnici:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Obdržel odpověď: 3.

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 16 1

1. Představme základ a argument jako mocninu dvou: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Pojďme vytvořit a vyřešit rovnici:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Obdržela odpověď: 0.

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 7 14

1. Představme základ a argument jako mocninu sedmi: 7 = 7 1 ; 14 není reprezentováno jako mocnina sedmi, protože 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z předchozího odstavce vyplývá, že logaritmus se neuvažuje;
3. Odpověď je žádná změna: log 7 14.

Malá poznámka k poslednímu příkladu. Jak se ujistit, že číslo není přesnou mocninou jiného čísla? Velmi jednoduché – stačí to rozložit na prvočinitele. Pokud v expanzi existují alespoň dva odlišné faktory, číslo není přesnou mocninou.

Úkol. Zjistěte, zda jsou přesné mocniny čísla: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - přesný stupeň, protože existuje pouze jeden násobitel;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 není přesná mocnina, protože existují dva faktory: 3 a 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - přesný stupeň;
35 = 7 5 - opět ne přesný stupeň;
14 \u003d 7 2 - opět není přesný stupeň;

Všimněte si také, že prvočísla sama o sobě jsou vždy přesné mocniny samých sebe.

Desetinný logaritmus

Některé logaritmy jsou tak běžné, že mají speciální název a označení.

Desetinný logaritmus argumentu x je logaritmus se základem 10, tj. mocninu, na kterou musíte zvýšit číslo 10, abyste získali číslo x. Označení: lg x .

Například log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atd.

Až se od této chvíle v učebnici objeví fráze jako „Najít lg 0,01“, vězte, že se nejedná o překlep. Toto je dekadický logaritmus. Pokud však na takové označení nejste zvyklí, můžete jej vždy přepsat:
log x = log 10 x

Vše, co platí pro běžné logaritmy, platí i pro desetinná místa.

přirozený logaritmus

Existuje další logaritmus, který má svůj vlastní zápis. V jistém smyslu je ještě důležitější než desítkové. Toto je přirozený logaritmus.

přirozený logaritmus argumentu x je logaritmický základ e , tj. mocnina, na kterou je třeba zvýšit číslo e, aby se získalo číslo x. Označení: ln x .

Mnozí se budou ptát: co jiného je číslo e? Jedná se o iracionální číslo, jeho přesnou hodnotu nelze zjistit a zapsat. Zde jsou jen první čísla:
e = 2,718281828459...

Nebudeme se ponořit do toho, co je toto číslo a proč je potřeba. Pamatujte, že e je základem přirozeného logaritmu:
ln x = log e x

Tedy ln e = 1 ; log e2 = 2; ln e 16 = 16 - atd. Na druhou stranu, ln 2 je iracionální číslo. Obecně platí, že přirozený logaritmus jakéhokoli racionální číslo iracionální. Samozřejmě kromě jednoty: ln 1 = 0.

Pro přirozené logaritmy platí všechna pravidla, která platí pro běžné logaritmy.

přirozený logaritmus

Graf přirozené logaritmické funkce. Funkce se pomalu blíží kladnému nekonečnu jako X a rychle se blíží k zápornému nekonečnu, když X má tendenci k 0 („pomalu“ a „rychle“ ve srovnání s jakýmkoli výkonová funkce z X).

přirozený logaritmus je základní logaritmus , Kde E je iracionální konstanta rovna přibližně 2,718281 828 . Přirozený logaritmus se obvykle označuje jako ln( X), log E (X) nebo někdy stačí přihlásit ( X) pokud základ E implicitní.

Přirozený logaritmus čísla X(napsáno jako log(x)) je exponent, na který chcete číslo zvýšit E, Získat X. Například, ln(7,389...) rovná se 2, protože E 2 =7,389... . Přirozený logaritmus samotného čísla E (ln(e)) se rovná 1, protože E 1 = E a přirozený logaritmus 1 ( log(1)) je 0, protože E 0 = 1.

Přirozený logaritmus lze definovat pro jakékoli kladné reálné číslo A jako oblast pod křivkou y = 1/X od 1 do A. Jednoduchost této definice, která je v souladu s mnoha dalšími vzorci, které používají přirozený logaritmus, vedla k názvu „přirozený“. Tato definice může být rozšířena na komplexní čísla, která budou diskutována níže.

Pokud uvažujeme přirozený logaritmus jako reálnou funkci reálné proměnné, pak je to inverzní funkce exponenciální funkce, která vede k identitám:

Stejně jako všechny logaritmy i přirozený logaritmus mapuje násobení na sčítání:

Logaritmická funkce je tedy izomorfismus grupy kladných reálných čísel s ohledem na násobení grupou reálných čísel sčítáním, které lze znázornit jako funkci:

Logaritmus lze definovat pro jakýkoli kladný základ jiný než 1, nikoli pouze E, ale logaritmy pro jiné základy se liší od přirozeného logaritmu pouze konstantním faktorem a jsou obvykle definovány v podmínkách přirozeného logaritmu. Logaritmy jsou užitečné pro řešení rovnic, ve kterých jsou neznámé přítomny jako exponent. Například logaritmy se používají k nalezení konstanty rozpadu pro známý poločas rozpadu nebo k nalezení doby rozpadu při řešení problémů radioaktivity. Hrají důležitou roli v mnoha oblastech matematiky a aplikovaných věd, používají se v oblasti financí k řešení mnoha problémů, včetně hledání složeného úročení.

Příběh

První zmínku o přirozeném logaritmu učinil Nicholas Mercator ve své práci Logaritmotechnie, publikované v roce 1668, ačkoli učitel matematiky John Spydell sestavil tabulku přirozených logaritmů již v roce 1619. Dříve se tomu říkalo hyperbolický logaritmus, protože odpovídá ploše pod hyperbolou. Někdy se mu říká Napierův logaritmus, ačkoli původní význam tohoto termínu byl poněkud odlišný.

Konvence notace

Přirozený logaritmus se obvykle označuje jako "ln( X)“, základ 10 logaritmus přes „lg( X)“ a ostatní důvody je obvyklé označovat výslovně symbolem „log“.

V mnoha pracích o diskrétní matematice, kybernetice, informatice autoři používají označení „log( X)" pro logaritmy na základ 2, ale tato konvence není všeobecně přijímána a vyžaduje upřesnění, buď v seznamu použitého zápisu, nebo (pokud takový seznam neexistuje) pomocí poznámky pod čarou nebo komentáře k prvnímu použití.

Závorky kolem argumentu logaritmů (pokud to nevede k chybnému čtení vzorce) se obvykle vynechávají a při umocnění logaritmu se exponent přiřadí přímo znaménku logaritmu: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Anglo-americký systém

Matematici, statistici a někteří inženýři obvykle používají buď "log( X)" nebo "ln( X)" a k označení logaritmu se základem 10 - "log 10 ( X)».

Někteří inženýři, biologové a další odborníci vždy píší „ln( X)" (nebo občas "log e ( X)), když znamenají přirozený logaritmus, a zápis "log( X)" znamená log 10 ( X).

log E je "přirozený" logaritmus, protože se vyskytuje automaticky a v matematice se objevuje velmi často. Zvažte například problém derivace logaritmické funkce:

Pokud základ b rovná se E, pak je derivace jednoduše 1/ X, a kdy X= 1 tato derivace je rovna 1. Další zdůvodnění, pro které je základ E logaritmus je nejpřirozenější, je to, že jej lze celkem jednoduše definovat pomocí jednoduchého integrálu nebo Taylorovy řady, což se o jiných logaritmech říci nedá.

Další zdůvodnění přirozenosti s číslem nesouvisí. Takže například existuje několik jednoduchých řad s přirozenými logaritmy. Volali jim Pietro Mengoli a Nicholas Mercator logaritmus naturalis několik desetiletí, než Newton a Leibniz vyvinuli diferenciální a integrální počet.

Definice

Formálně ln( A) lze definovat jako plochu pod křivkou grafu 1/ X od 1 do A, tedy jako integrál:

Je to skutečně logaritmus, protože splňuje základní vlastnost logaritmu:

To lze demonstrovat za předpokladu, že:

Číselná hodnota

Pro výpočet číselné hodnoty přirozeného logaritmu čísla můžete použít jeho rozšíření v Taylorově řadě ve tvaru:

Chcete-li získat nejlepší míru konvergence, můžete použít následující identitu:

pokud y = (X−1)/(X+1) a X > 0.

Pro ln( X), kde X> 1, tím bližší je hodnota X do 1, vyšší rychlost konvergence. Identity spojené s logaritmem lze použít k dosažení cíle:

Tyto metody se používaly ještě před příchodem kalkulaček, pro které se používaly číselné tabulky a prováděly se manipulace podobné výše popsaným.

Vysoká přesnost

Pro výpočet přirozeného logaritmu s mnohacifernou přesností není Taylorova řada efektivní, protože její konvergence je pomalá. Alternativou je použít Newtonovu metodu k invertování na exponenciální funkci, jejíž řady konvergují rychleji.

Alternativou pro velmi vysokou přesnost výpočtu je vzorec:

Kde M označuje aritmeticko-geometrický průměr 1 a 4/sa

m zvolen tak, že p je dosaženo známek přesnosti. (Ve většině případů je pro m dostatečná hodnota 8.) Pokud se použije tato metoda, lze k efektivnímu výpočtu exponenciální funkce použít Newtonovu inverzi přirozeného logaritmu. (Konstanty ln 2 a pi lze předem vypočítat na požadovanou přesnost pomocí kterékoli ze známých rychle konvergentních řad.)

Výpočetní složitost

Výpočetní složitost přirozených logaritmů (s použitím aritmeticko-geometrického průměru) je O( M(n)ln n). Tady n je počet číslic přesnosti, pro které má být vyhodnocen přirozený logaritmus, a M(n) je výpočetní složitost násobení dvěma n-ciferná čísla.

Pokračující zlomky

Ačkoli neexistují žádné jednoduché pokračovací zlomky, které by reprezentovaly logaritmus, lze použít několik zobecněných pokračovacích zlomků, včetně:

Složité logaritmy

Exponenciální funkci lze rozšířit na funkci, která dává komplexní číslo tvaru E X pro libovolné komplexní číslo X, při použití nekonečné řady s komplexem X. Tuto exponenciální funkci lze invertovat a vytvořit tak komplexní logaritmus, který bude mít většinu vlastností běžných logaritmů. Existují však dvě potíže: neexistuje X, pro který E X= 0 a ukázalo se, že E 2pí = 1 = E 0 Protože vlastnost multiplikativnosti platí pro komplexní exponenciální funkci E z = E z+2npi pro všechny složité z a celý n.

Logaritmus nelze definovat v celé komplexní rovině, a přesto je vícehodnotový – jakýkoli komplexní logaritmus lze nahradit „ekvivalentním“ logaritmem přidáním libovolného celočíselného násobku 2. pí. Komplexní logaritmus může být pouze jednohodnotový na řezu komplexní roviny. Například ln i = 1/2 pí nebo 5/2 pí nebo -3/2 pí atd., a ačkoli i 4 = 1,4 log i lze definovat jako 2 pí, nebo 10 pí nebo -6 pí, a tak dále.

viz také

• John Napier - vynálezce logaritmů

Poznámky

1. Matematika pro fyzikální chemii. - 3. - Academic Press, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Výňatek ze strany 9
2. J J O "Connor a E F RobertsonČíslo e . Archiv MacTutor History of Mathematics (září 2001). Archivováno
3. Cajori Florian Historie matematiky, 5. vydání. - Knihkupectví AMS, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashmane, Martine Odhad integrálů pomocí polynomů . Archivováno z originálu 12. února 2012.

Co je to logaritmus?

Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří silně "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc...“)

Co je to logaritmus? Jak řešit logaritmy? Tyto otázky mnohé absolventy matou. Tradičně je téma logaritmů považováno za složité, nepochopitelné a děsivé. Zejména - rovnice s logaritmy.

To absolutně není pravda. Absolutně! nevěřit? Pokuta. Nyní na 10–20 minut:

1. Pochopit co je logaritmus.

2. Naučte se řešit celou třídu exponenciální rovnice. I když jste o nich neslyšeli.

3. Naučte se počítat jednoduché logaritmy.

Navíc k tomu budete potřebovat pouze znát násobící tabulku a jak se číslo zvyšuje na mocninu ...

Cítím, že pochybuješ... Dobře, měj čas! Jít!

Nejprve si v duchu vyřešte následující rovnici:

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Může to být například kalkulačka ze základní sady programů operačního systému Windows. Odkaz na jeho spuštění je skryt zcela v hlavní nabídce operačního systému - otevřete jej kliknutím na tlačítko "Start", poté otevřete jeho sekci "Programy", přejděte do podsekce "Příslušenství" a poté do "Utilities" a nakonec klikněte na položku „Kalkulačka“. Místo myši můžete použít klávesnici a dialog pro spuštění programu a procházet menu - stiskněte kombinaci kláves WIN + R, napište calc (to je název spustitelného souboru kalkulačky) a stiskněte klávesu Enter.

Přepněte rozhraní kalkulačky do pokročilého režimu, který vám umožní . Ve výchozím nastavení se otevře v "normální" podobě a potřebujete "engineering" nebo "" (v závislosti na verzi operačního systému, který používáte). V nabídce rozbalte sekci "Zobrazit" a vyberte příslušný řádek.

Zadejte argument, jehož přirozená hodnota se má vypočítat. To lze provést jak z klávesnice, tak kliknutím na odpovídající tlačítka v rozhraní kalkulačky na obrazovce.

Klikněte na tlačítko označené ln - program spočítá logaritmus se základem e a zobrazí výsledek.

K výpočtu hodnoty přirozeného logaritmu použijte jako alternativu jeden z -kalkulátorů. Například ten, který se nachází na http://calc.org.ua. Jeho rozhraní je extrémně jednoduché - existuje jediné vstupní pole, kam musíte zadat hodnotu čísla, jehož logaritmus chcete vypočítat. Mezi tlačítky najděte a klikněte na to, které říká ln. Skript této kalkulačky nevyžaduje odesílání dat na server a odpověď, takže výsledek výpočtu obdržíte téměř okamžitě. Jedinou funkcí, kterou je třeba vzít v úvahu, je oddělovač mezi zlomkem a celá část zadané číslo zde musí být tečka, nikoli .

Termín " logaritmus“ pochází ze dvou řeckých slov, z nichž jedno znamená „číslo“ a druhé – „vztah“. Označují matematickou operaci výpočtu proměnné (exponentu), na kterou je třeba zvýšit konstantní hodnotu (základ), aby se získalo číslo uvedené pod znaménkem logaritmus A. Pokud se základ rovná matematické konstantě, nazývané číslo "e", pak logaritmus nazývané "přirozené".

Budete potřebovat

• Přístup k internetu, Microsoft Office Excel nebo kalkulačka.

Návod

Použijte mnoho kalkulaček prezentovaných na internetu - to je možná snadný způsob, jak vypočítat přirozené a. Nebudete muset hledat vhodnou službu, protože mnoho vyhledávačů samo o sobě má vestavěné kalkulačky, které jsou docela vhodné pro práci s logaritmus ami. Přejděte například na domovskou stránku největšího online vyhledávače – Google. Nejsou zde vyžadována žádná tlačítka pro zadávání hodnot a výběr funkcí, stačí zadat požadovanou matematickou akci do vstupního pole dotazu. Řekněme počítat logaritmus a čísla 457 v základu „e“ zadávají ln 457 – to bude Google stačit na zobrazení s přesností na osm desetinných míst (6,12468339) i bez stisknutí tlačítka pro odeslání požadavku na server.

Pokud potřebujete vypočítat hodnotu přirozené, použijte příslušnou vestavěnou funkci logaritmus ale vyskytuje se při práci s daty v oblíbeném tabulkovém editoru Microsoft Office Excel. Tato funkce je zde volána pomocí konvenčního zápisu jako logaritmus a velkými písmeny - LN. Vyberte buňku, ve které se má zobrazit výsledek výpočtu, a zadejte rovnítko - takto by měly v této tabulce začínat položky v buňkách obsahujících v podsekci "Standardní" části "Všechny programy" v hlavní nabídce editor. Přepněte kalkulačku do funkčnějšího režimu stisknutím klávesové zkratky Alt + 2. Poté zadejte hodnotu, natural logaritmus kterou chcete vypočítat, a klikněte na tlačítko v rozhraní programu označené symboly ln. Aplikace provede výpočet a zobrazí výsledek.

Související videa

Graf přirozené logaritmické funkce. Funkce se pomalu blíží kladnému nekonečnu jako X a rychle se blíží k zápornému nekonečnu, když X má tendenci k 0 („pomalu“ a „rychle“ ve srovnání s jakoukoli mocninnou funkcí X).

přirozený logaritmus je základní logaritmus , Kde e (\displaystyle e) je iracionální konstanta rovna přibližně 2,72. Označuje se jako ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) nebo někdy jen tak log ⁡ x (\displaystyle \log x) pokud základ e (\displaystyle e) naznačeno . Jinými slovy, přirozený logaritmus čísla X je exponent, na který má být číslo zvýšeno E, Získat X. Tuto definici lze rozšířit i na komplexní čísla.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), protože e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), protože e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Přirozený logaritmus lze také definovat geometricky pro jakékoli kladné reálné číslo A jako oblast pod křivkou y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) mezi [1; a ] (\displaystyle). Jednoduchost této definice, která je v souladu s mnoha dalšími vzorci, které používají tento logaritmus, vysvětluje původ názvu „přírodní“.

Pokud uvažujeme přirozený logaritmus jako reálnou funkci reálné proměnné, pak je to inverzní funkce exponenciální funkce, která vede k identitám:

e log⁡ a = a (a > 0); (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) log ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Stejně jako všechny logaritmy i přirozený logaritmus mapuje násobení na sčítání:

ln⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y. (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)