Pojmenujte souřadnice bodů symetrických k daným bodům
o ose y:
y
(- 2; 6)
(2; 6)
(- 1; 4)
(1; 4)
(0; 0)
(0; 0)
(- 3; - 5)
(3; - 5)
X

Z grafu je patrné, že osa OY rozděluje parabolu na symetrickou
levá a pravá část (větve paraboly), v bodě se souřadnicemi (0; 0)
(vrchol paraboly) hodnota funkce x 2 je nejmenší.
Funkce nemá maximální hodnotu. Vrchol paraboly je
průsečík grafu s osou symetrie OY .
Na úseku grafu pro x ∈ (– ∞; 0 ] funkce klesá,
a pro x ∈ [ 0; + ∞) se zvyšuje.

Graf funkce y \u003d x 2 + 3 je stejná parabola, ale její
vrchol je v bodě se souřadnicemi (0; 3) .

Najděte hodnotu funkce
y = 5x + 4, pokud:
x=-1
y=-1 y=19
x=-2
y=-6
y=29
x=3
x=5

Upřesněte
rozsah funkce:
y=16-5x
10
y
X
x - libovolný
číslo
x≠0
1
y
x 7
4x 1
y
5
x≠7

Nakreslete grafy funkcí:
1). Y \u003d 2X + 3
2).U=-2X-1;
3).

10.

Matematický
studie
Téma: Funkce y = x2

11.

Stavět
plán
funkcí
y=x2

12.

Algoritmus pro konstrukci paraboly..
1. Vyplňte tabulku hodnot X a Y.
2. Označte body v rovině souřadnic,
jehož souřadnice jsou uvedeny v tabulce.
3. Tyto body spojte hladkou čarou.

13.

Neuvěřitelný
ale fakt!
Průsmyk Parabola

14.

Věděl jsi?
Dráha podvrženého kamene
úhlu k obzoru, poletí podél
parabola.

15. Vlastnosti funkce y = x2

*
Vlastnosti funkce
y=
2
X

16.

*Doména
funkce D(f):
x je libovolné číslo.
*rozsah hodnot
funkce E(f):
všechny hodnoty y ≥ 0.

17.

*Pokud
x = 0, pak y = 0.
Graf funkcí
jít skrz
původ.

18.

II
já
*Pokud
x ≠ 0,
pak y > 0.
Všechny body grafu
funkce kromě tečky
(0; 0), nachází se
nad osou x.

19.

*Naproti
x hodnot
odpovídá jednomu
a stejnou hodnotu.
Graf funkcí
symetrický
o ose
ordinovat

20.

Geometrický
vlastnosti paraboly
* Má symetrii
* Osa ořezává parabolu do
dvě části: větve
paraboly
*Bod (0; 0) – vrchol
paraboly
*Parabola se dotýká osy
úsečka
Osa
symetrie

21.

Najděte y, pokud:
„Znalosti jsou nástroj
ne cíl"
L. N. Tolstoj
x = 1,4
- 1,4
y = 1,96
x = 2,6
-2,6
y = 6,76
x = 3,1
- 3,1
y = 9,61
Najděte x, pokud:
y=6
y=4
x ≈ 2,5 x ≈ -2,5
x=2 x=-2

22.

stavět v jednom
souřadnicový systém
grafy dvou funkcí
1. Příležitost:
y=x2
Y=x+1
2.případ:
Y=x2
y= -1

23.

Nalézt
několik významů
x, při kterém
funkční hodnoty:
méně než 4
přes 4

24.

Patří bod do grafu funkce y \u003d x2:
P(-18; 324)
R(-99; -9081)
patří
nepatří
S(17; 279)
nepatří
Bez jakýchkoli výpočtů určete, které
body nepatří do grafu funkce y = x2:
(-1; 1)
*
(-2; 4)
(0; 8)
(3; -9)
(1,8; 3,24)
Pro jaké hodnoty a patří bod P(a; 64) do grafu funkce y = x2.
a = 8; a = -8
(16; 0)

25.

Algoritmus pro řešení rovnice
graficky
1. Zabudujte do jednoho systému
souřadnice grafů stojících funkcí
na levé a pravé straně rovnice.
2. Najděte úsečky průsečíků
grafy. To budou kořeny.
rovnic.
3. Pokud neexistují žádné průsečíky, pak
rovnice nemá kořeny

Dříve jsme studovali další funkce, například lineární, připomeňme si její standardní formu:

odtud zřejmý zásadní rozdíl – v lineární funkci X stojí na prvním stupni a v té nové funkci, kterou začínáme studovat, X stojí na druhém stupni.

Připomeňme, že grafem lineární funkce je přímka a grafem funkce, jak uvidíme, je křivka zvaná parabola.

Začněme tím, že zjistíme, odkud vzorec pochází. Vysvětlení je toto: pokud dostaneme čtverec se stranou A, pak můžeme vypočítat jeho plochu takto:

Pokud změníme délku strany čtverce, změní se jeho plocha.

Je tedy uveden jeden z důvodů, proč je funkce studována

Připomeňme, že proměnná X je nezávislá proměnná, neboli argument, ve fyzikální interpretaci to může být např. čas. Vzdálenost je naopak závislá proměnná, závisí na čase. Závislá proměnná nebo funkce je proměnná v.

To je zákon korespondence, podle kterého každá hodnota X mapována na jednu hodnotu v.

Jakýkoli korespondenční zákon musí splňovat požadavek jedinečnosti od argumentu k funkci. Ve fyzikální interpretaci to vypadá zcela jasně na příkladu závislosti vzdálenosti na čase: v každém časovém okamžiku jsme v určité specifické vzdálenosti od výchozího bodu a je nemožné, aby současně v čase t byly oba 10 a 20 kilometrů od začátku cesty.

Současně lze každé funkční hodnoty dosáhnout několika hodnotami argumentů.

Potřebujeme tedy sestavit graf funkce, k tomu vytvořit tabulku. Poté podle grafu prozkoumejte funkci a její vlastnosti. Ale ještě před vynesením grafu si můžeme říci něco o jeho vlastnostech formou funkce: to je zřejmé v nemůže nabývat záporných hodnot, protože

Tak si uděláme tabulku:

Rýže. jeden

Z grafu je snadné poznamenat následující vlastnosti:

Osa v je osa symetrie grafu;

Vrchol paraboly je bod (0; 0);

Vidíme, že funkce přijímá pouze nezáporné hodnoty;

V intervalu kde funkce je klesající, ale na intervalu, kde funkce roste;

Funkce nabývá nejmenší hodnoty ve vrcholu, ;

Neexistuje žádná maximální hodnota funkce;

Příklad 1

Stav:

Řešení:

Protože X podmíněně se mění na určitém intervalu, můžeme o funkci říci, že se zvětšuje a mění na intervalu . Funkce má minimální hodnotu a maximální hodnotu na tomto intervalu

Rýže. 2. Graf funkce y = x 2 , x ∈

Příklad 2

Stav: Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce:

Řešení:

X se mění v průběhu intervalu, což znamená v klesá na intervalu while a zvyšuje se na intervalu while .

Takže hranice změny X a hranice změny v, což znamená, že na tomto intervalu je jak minimální, tak maximální hodnota funkce

Rýže. 3. Graf funkce y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Ukažme si skutečnost, že stejné hodnoty funkce lze dosáhnout několika hodnotami argumentu.

Tvar y = kx + m se dvěma proměnnými x, y. Pravda, proměnné x, y objevující se v této rovnici (v tomto matematickém modelu) byly považovány za nerovné: x je nezávislá proměnná (argument), ke které bychom mohli přiřadit libovolné hodnoty, bez ohledu na cokoliv; y je závislá proměnná, protože její hodnota závisela na tom, která hodnota x byla zvolena. Ale pak vyvstává přirozená otázka: existují nějaké matematické modely stejného plánu, ale ty, ve kterých je y vyjádřeno pomocí x ne podle vzorce y \u003d kx + m, ale nějakým jiným způsobem? Odpověď je jasná: samozřejmě, že ano. Pokud je například x strana čtverce a y je jeho
plocha, pak y - x 2 . Je-li x strana krychle a y její objem, pak y je x 3 . Je-li x jedna strana obdélníku o ploše 100 cm 2 a y jeho druhá strana, pak. Proto je přirozené, že se v matematice neomezují pouze na studium modelu y-kx + m, je třeba studovat model y \u003d x 2 a model y \u003d x 3 a model a mnoho dalších modely, které mají stejnou strukturu: na levé straně rovnosti je proměnná y a na pravé straně nějaký výraz s proměnnou x. U takových modelů zůstává zachován termín „funkce“ s vynecháním přídavného jména „lineární“.

V této části uvažujeme funkci y = x 2 a sestrojíme ji plán.

Dejme nezávislé proměnné x několik konkrétních hodnot a vypočítejme odpovídající hodnoty závislé proměnné y (pomocí vzorce y \u003d x 2):

pokud x \u003d 0, pak y \u003d O2 \u003d 0;
pokud x \u003d 1, pak y \u003d I 2 \u003d 1;
jestliže x = 2, pak y = 2 2 = 4;
pokud x \u003d 3, pak y \u003d Z 2 \u003d 9;
pokud x \u003d - 1, pak y \u003d (- I 2) - 1;
pokud x \u003d - 2, pak y \u003d (- 2) 2 \u003d 4;
pokud x \u003d - 3, pak y \u003d (- Z) 2 \u003d 9;
Stručně řečeno, sestavili jsme následující tabulku:

X	0	1	2	3	-1	-2	-3
V	0	1	4	9	1	4	9

Sestrojme nalezené body (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), v rovině souřadnic xOy (obr. 54, a).

Tyto body se nacházejí na určité přímce, narýsujme ji (obr. 54, b). Tato přímka se nazývá parabola.

Samozřejmě, v ideálním případě by bylo nutné zadat argumentu x všechny možné hodnoty, vypočítat odpovídající hodnoty proměnné y a vykreslit výsledné body (x; y). Pak by byl rozvrh naprosto přesný, bezchybný. To je však nereálné, protože takových bodů je nekonečně mnoho. Proto matematici dělají toto: vezmou konečnou množinu bodů a postaví je na nich souřadnicová rovina a podívejte se, která čára je nakreslena těmito body. Pokud se obrysy této čáry objeví zcela zřetelně (jak jsme to udělali řekněme v příkladu 1 z § 28), je tato čára nakreslena. Jsou možné chyby? Bez toho ne. Proto je nutné studovat matematiku stále hlouběji, aby existovaly prostředky, jak se vyvarovat chyb.

Zkusme, podíváme-li se na obrázek 54, popsat geometrické vlastnosti paraboly.

Za prvé, poznamenáváme, že parabola vypadá docela krásně, protože má symetrii. Pokud totiž nakreslíme jakoukoli přímku rovnoběžnou s osou x nad osou x, pak tato přímka protne parabolu ve dvou bodech umístěných ve stejné vzdálenosti od osy y, ale podél různé strany z něj (obr. 55). Mimochodem, totéž lze říci o bodech označených na obrázku 54, ale:

(1; 1) a (-1; 1); (2; 4) a (-2; 4); C; 9) a (-3; 9).

Říká se, že osa y je osou symetrie paraboly y=x2 nebo že parabola je symetrická podle osy y.

Za druhé všimneme si, že osa symetrie jakoby rozděluje parabolu na dvě části, které se obvykle nazývají větve paraboly.

Za třetí, poznamenáme, že parabola má singulární bod, ve kterém se obě větve setkávají a který leží na ose symetrie paraboly - bod (0; 0). Vzhledem ke své zvláštnosti dostal zvláštní název – vrchol paraboly.

Čtvrtý když se jedna větev paraboly nahoře spojí s další větví, děje se tak plynule, bez přerušení; parabola, jak to bylo, "tlačí" proti ose x. Obvykle říkají: parabola se dotýká osy x.

Nyní se pokusme, podíváme-li se na obrázek 54, popsat některé vlastnosti funkce y \u003d x 2.

Za prvé, všimneme si, že y - 0 pro x = 0, y > 0 pro x > 0 a pro x< 0.

Za druhé, všimněte si, že y jmen. = 0, zatímco naib neexistuje.

Za třetí, všimneme si, že funkce y \u003d x 2 na paprsku klesá (-° °, 0] - pro tyto hodnoty x, pohybující se po parabole zleva doprava, „jedeme z kopce“ (viz obr. 55). Funkce y \u003d x 2 se zvětšuje na nosníku ;
b) na segmentu [- 3, - 1,5];
c) na intervalu [- 3, 2].

Řešení,

a) Sestavíme parabolu y \u003d x 2 a vybereme z ní tu část, která odpovídá hodnotám proměnné x ze segmentu (obr. 56). Pro vybranou část grafu najdeme at naim. = 1 (pro x = 1), y max. = 9 (pro x = 3).

b) Sestavíme parabolu y \u003d x 2 a vybereme z ní tu část, která odpovídá hodnotám proměnné x ze segmentu [-3, -1,5] (obr. 57). Pro vybranou část grafu najdeme y název. \u003d 2,25 (při x \u003d - 1,5), y max. = 9 (při x = -3).

c) Sestavíme parabolu y \u003d x 2 a vybereme z ní tu část, která odpovídá hodnotám proměnné x ze segmentu [-3, 2] (obr. 58). Pro vybranou část grafu najdeme y max = 0 (při x = 0), y max. = 9 (při x = -3).

Rada. Aby se funkce y - x 2 nekreslila pokaždé bod po bodu, vystřihněte si ze silného papíru šablonu paraboly. S ním budete moci velmi rychle nakreslit parabolu.

Komentář. Nabízíme vám přípravu šablony paraboly, jako by vyrovnali práva funkce y \u003d x 2 a lineární funkce y = kx + m. Koneckonců, graf lineární funkce je přímka a k zobrazení přímky se používá obyčejné pravítko - to je šablona grafu funkce y \u003d kx + m. Takže máte také šablonu grafu pro funkci y \u003d x 2.

Příklad 2 Najděte průsečíky paraboly y \u003d x 2 a přímky y - x + 2.

Řešení. Sestrojme parabolu y \u003d x 2 v jednom souřadnicovém systému, přímku y \u003d x + 2 (obr. 59). Protínají se v bodech A a B a podle výkresu není těžké najít souřadnice těchto bodů A a B: pro bod A máme: x \u003d - 1, y \u003d 1 a pro bod B máme mít: x - 2, y \u003d 4.

Odpověď: Parabola y \u003d x 2 a přímka y \u003d x + 2 se protínají ve dvou bodech: A (-1; 1) a B (2; 4).

Důležitá poznámka. Až dosud jsme spíše odvážně vyvozovali závěry pomocí nákresu. Matematici však kresbám příliš nevěří. Poté, co na obrázku 59 nalezne dva průsečíky paraboly a přímky a určí souřadnice těchto bodů pomocí obrázku, obvykle si matematik ověří: zda bod (-1; 1) skutečně leží na přímce i na parabola; leží bod (2; 4) skutečně na přímce i na parabole?

K tomu je třeba dosadit souřadnice bodů A a B v rovnici přímky a v rovnici paraboly a poté se ujistit, že v obou případech bude získána správná rovnost. V příkladu 2 budou v obou případech získány správné rovnosti. Taková kontrola se zvláště často provádí, když jsou pochybnosti o přesnosti výkresu.

Na závěr si všimneme jedné zvláštní vlastnosti paraboly, kterou společně objevili a dokázali fyzikové a matematici.

Pokud parabolu y \u003d x 2 považujeme za stínítko, za odraznou plochu a zdroj světla umístíme do bodu, pak paprsky odražené od paraboly stínítka tvoří rovnoběžný paprsek světla (obr. 60 ). Bod se nazývá ohnisko paraboly. Tato myšlenka se používá v automobilech: odrazný povrch světlometu je parabolický a žárovka je umístěna v ohnisku - pak světlo ze světlometu cestuje dostatečně daleko.

Kalendář-tematické plánování v matematice, video v matematice online, Matematika ve škole ke stažení

A. V. Pogorelov, Geometrie pro ročníky 7-11, Učebnice pro vzdělávací instituce

Obsah lekce shrnutí lekce podpora rámcová lekce prezentace akcelerační metody interaktivní technologie Praxe úkoly a cvičení sebezkouška workshopy, školení, případy, questy domácí úkoly diskuze otázky řečnické otázky studentů Ilustrace audio, videoklipy a multimédia fotografie, obrázky, grafika, tabulky, schémata humor, anekdoty, vtipy, komiksová podobenství, rčení, křížovky, citáty Doplňky abstraktyčlánky čipy pro zvídavé cheat sheets učebnice základní a doplňkový slovníček pojmů ostatní Zkvalitnění učebnic a lekcíopravovat chyby v učebnici aktualizace fragmentu v učebnici prvky inovace v lekci nahrazující zastaralé znalosti novými Pouze pro učitele perfektní lekce kalendářní plán na rok metodická doporučení diskusního pořadu Integrované lekce

Jak postavit parabolu? Existuje několik způsobů, jak znázornit graf kvadratické funkce. Každý z nich má své pro a proti. Zvažme dva způsoby.

Začněme vynesením kvadratické funkce jako y=x²+bx+c a y= -x²+bx+c.

Příklad.

Nakreslete funkci y=x²+2x-3.

Řešení:

y=x²+2x-3 je kvadratická funkce. Graf je parabola s větvemi nahoru. Souřadnice vrcholů paraboly

Z vrcholu (-1;-4) sestavíme graf paraboly y=x² (jako od počátku. Místo (0;0) - vrchol (-1;-4). Z (-1;- 4) jdeme doprava o 1 jednotku a nahoru o 1, pak doleva o 1 a nahoru o 1, pak: 2 - doprava, 4 - nahoru, 2 - doleva, 4 - nahoru, 3 - doprava, 9 - nahoru, 3 - doleva, 9 - nahoru, těchto 7 bodů nestačí, pak - 4 doprava, 16 - nahoru atd.).

Graf kvadratické funkce y= -x²+bx+c je parabola, jejíž větve směřují dolů. Pro sestavení grafu hledáme souřadnice vrcholu a z nich sestavíme parabolu y= -x².

Příklad.

Nakreslete funkci y= -x²+2x+8.

Řešení:

y= -x²+2x+8 je kvadratická funkce. Graf je parabola s větvemi dolů. Souřadnice vrcholů paraboly

Z vrcholu sestavíme parabolu y = -x² (1 - vpravo, 1 - dolů; 1 - vlevo, 1 - dolů; 2 - vpravo, 4 - dolů; 2 - vlevo, 4 - dolů atd.):

Tato metoda vám umožňuje rychle sestavit parabolu a nezpůsobuje potíže, pokud víte, jak vykreslit funkce y=x² a y= -x². Nevýhoda: pokud jsou souřadnice vrcholu zlomková čísla, není vykreslování příliš pohodlné. Pokud chcete znát přesné hodnoty průsečíků grafu s osou x, budete muset dodatečně vyřešit rovnici x² + bx + c = 0 (nebo -x² + bx + c = 0), i když tyto body lze přímo určit z obrázku.

Dalším způsobem, jak postavit parabolu, je pomocí bodů, to znamená, že na grafu můžete najít několik bodů a přes ně nakreslit parabolu (vzhledem k tomu, že přímka x=xₒ je její osou symetrie). Obvykle k tomu berou vrchol paraboly, průsečíky grafu se souřadnicovými osami a 1-2 další body.

Nakreslete funkci y=x²+5x+4.

Řešení:

y=x²+5x+4 je kvadratická funkce. Graf je parabola s větvemi nahoru. Souřadnice vrcholů paraboly

to znamená, že vrchol paraboly je bod (-2,5; -2,25).

Hledají . V průsečíku s osou Ox y=0: x²+5x+4=0. Kořeny kvadratická rovnice x1=-1, x2=-4, to znamená, že jsme dostali dva body na grafu (-1; 0) a (-4; 0).

V průsečíku grafu s osou Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Získali jsme bod (0; 4).

Chcete-li graf zpřesnit, můžete najít další bod. Vezměme x=1, pak y=1²+5∙1+4=10, tedy další bod grafu - (1; 10). Tyto body označíme na souřadnicové rovině. Vezmeme-li v úvahu symetrii paraboly vzhledem k přímce procházející jejím vrcholem, označíme další dva body: (-5; 6) a (-6; 10) a nakreslíme jimi parabolu:

Vykreslete funkci y= -x²-3x.

Řešení:

y= -x²-3x je kvadratická funkce. Graf je parabola s větvemi dolů. Souřadnice vrcholů paraboly

Vrchol (-1,5; 2,25) je prvním bodem paraboly.

V průsečících grafu s osou x y=0, tedy řešíme rovnici -x²-3x=0. Jeho kořeny jsou x=0 a x=-3, tedy (0; 0) a (-3; 0) jsou další dva body v grafu. Bod (o; 0) je zároveň průsečíkem paraboly s osou y.

Při x=1 y=-1²-3∙1=-4, tj. (1; -4) je další bod pro vykreslení.

Sestavení paraboly z bodů je časově náročnější metoda ve srovnání s první. Pokud parabola neprotíná osu Ox, bude potřeba více dalších bodů.

Než budete pokračovat v konstrukci grafů kvadratických funkcí tvaru y=ax²+bx+c, zvažte konstrukci grafů funkcí pomocí geometrických transformací. Grafy funkcí ve tvaru y=x²+c je také nejvýhodnější sestavit pomocí jedné z těchto transformací - paralelního překladu.

Rubrika: |

Dříve jsme studovali další funkce, například lineární, připomeňme si její standardní formu:

odtud zřejmý zásadní rozdíl – v lineární funkci X stojí na prvním stupni a v té nové funkci, kterou začínáme studovat, X stojí na druhém stupni.

Připomeňme, že grafem lineární funkce je přímka a grafem funkce, jak uvidíme, je křivka zvaná parabola.

Začněme tím, že zjistíme, odkud vzorec pochází. Vysvětlení je toto: pokud dostaneme čtverec se stranou A, pak můžeme vypočítat jeho plochu takto:

Pokud změníme délku strany čtverce, změní se jeho plocha.

Je tedy uveden jeden z důvodů, proč je funkce studována

Připomeňme, že proměnná X je nezávislá proměnná, neboli argument, ve fyzikální interpretaci to může být např. čas. Vzdálenost je naopak závislá proměnná, závisí na čase. Závislá proměnná nebo funkce je proměnná v.

To je zákon korespondence, podle kterého každá hodnota X mapována na jednu hodnotu v.

Jakýkoli korespondenční zákon musí splňovat požadavek jedinečnosti od argumentu k funkci. Ve fyzikální interpretaci to vypadá zcela jasně na příkladu závislosti vzdálenosti na čase: v každém časovém okamžiku jsme v určité specifické vzdálenosti od výchozího bodu a je nemožné, aby současně v čase t byly oba 10 a 20 kilometrů od začátku cesty.

Současně lze každé funkční hodnoty dosáhnout několika hodnotami argumentů.

Potřebujeme tedy sestavit graf funkce, k tomu vytvořit tabulku. Poté podle grafu prozkoumejte funkci a její vlastnosti. Ale ještě před vynesením grafu si můžeme říci něco o jeho vlastnostech formou funkce: to je zřejmé v nemůže nabývat záporných hodnot, protože

Tak si uděláme tabulku:

Rýže. jeden

Z grafu je snadné poznamenat následující vlastnosti:

Osa v je osa symetrie grafu;

Vrchol paraboly je bod (0; 0);

Vidíme, že funkce přijímá pouze nezáporné hodnoty;

V intervalu kde funkce je klesající, ale na intervalu, kde funkce roste;

Funkce nabývá nejmenší hodnoty ve vrcholu, ;

Neexistuje žádná maximální hodnota funkce;

Příklad 1

Stav:

Řešení:

Protože X podmíněně se mění na určitém intervalu, můžeme o funkci říci, že se zvětšuje a mění na intervalu . Funkce má minimální hodnotu a maximální hodnotu na tomto intervalu

Rýže. 2. Graf funkce y = x 2 , x ∈

Příklad 2

Stav: Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce:

Řešení:

X se mění v průběhu intervalu, což znamená v klesá na intervalu while a zvyšuje se na intervalu while .

Takže hranice změny X a hranice změny v, což znamená, že na tomto intervalu je jak minimální, tak maximální hodnota funkce

Rýže. 3. Graf funkce y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Ukažme si skutečnost, že stejné hodnoty funkce lze dosáhnout několika hodnotami argumentu.