Jak vysvětlit dítěti, jak najít hodnotu výrazu. Složité výrazy se zlomky. Postup

domov a rodinu

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Určete postup. Proveďte první akci ve vnitřních závorkách 489–296=193. Poté vynásobte 193∙8=1544 a 34∙10=340. Další akce: 340+1544=1884. Dále vydělte 1884:4=461 a poté odečtěte 461–410=60. Našli jste hodnotu tohoto výrazu.

Příklad. Najděte hodnotu výrazu 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Zjednodušte tento výraz. K tomu použijte vzorec tg α∙ctg α=1. Získejte: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Je známo, že sin 30º=1/2 a cos 30º=√3/2. Proto 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Našli jste hodnotu tohoto výrazu.

Hodnota algebraického výrazu z . Chcete-li najít hodnotu algebraického výrazu daných proměnnými, výraz zjednodušte. Nahraďte proměnné konkrétními hodnotami. Proveďte nezbytné kroky. Ve výsledku dostanete číslo, které bude hodnotou algebraického výrazu pro dané proměnné.

Příklad. Najděte hodnotu výrazu 7(a+y)–3(2a+3y) s a=21 a y=10. Zjednodušte tento výraz, získáte: a–2y. Zapojte příslušné hodnoty proměnných a vypočítejte: a–2y=21–2∙10=1. Toto je hodnota výrazu 7(a+y)–3(2a+3y) s a=21 a y=10.

Poznámka

Existovat algebraické výrazy, které pro některé hodnoty proměnných nedávají smysl. Například výraz x/(7–a) nedává smysl, pokud a=7, protože jmenovatel zlomku zmizí.

Prameny:

najít nejmenší hodnotu výrazu
Najděte hodnoty výrazů na s 14

Naučit se zjednodušovat výrazy v matematice je prostě nezbytné pro správné a rychlé řešení problémů, různých rovnic. Zjednodušení výrazu znamená snížení počtu kroků, což usnadňuje výpočty a šetří čas.

Návod

Naučte se počítat mocniny pomocí . Když vynásobíte mocniny c, dostanete čísla, jejichž základ je stejný, a exponenty sečtou b^m+b^n=b^(m+n). Při dělení mocnin se stejnými základy se získá mocnina čísla, jehož základ zůstává stejný a exponenty se odečítají a ukazatel dělitele b ^ m: b ^ n \u003d b ^ (m-n) se odečítá z dividendového indexu. Když je mocnina umocněna na mocninu, získá se mocnina čísla, jehož základ zůstává stejný a exponenty se násobí (b^m)^n=b^(mn)Když se umocní na mocninu, každý faktor se zvýší na tuto mocninu. (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Faktorizujte polynomy, tzn. reprezentují je jako produkt několika faktorů - a monomiálů. Vyjměte společný faktor ze závorek. Naučte se základní vzorce pro zkrácené násobení: rozdíl druhých mocnin, druhá mocnina rozdílu, součet, rozdíl kostek, třetí mocnina součtu a rozdílu. Například m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Právě tyto vzorce jsou při zjednodušování hlavní. Použijte metodu zvýraznění celého čtverce v trinomu ve tvaru ax^2+bx+c.

Snižujte zlomky co nejčastěji. Například (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Pamatujte však, že snížit lze pouze multiplikátory. Pokud se čitatel a jmenovatel algebraického zlomku vynásobí stejným nenulovým číslem, pak se hodnota zlomku nezmění. Existují dva způsoby, jak transformovat výrazy: řetězem a akcemi. Druhý způsob je výhodnější, protože. je snazší kontrolovat výsledky meziakcí.

Ve výrazech je často nutné extrahovat kořeny. Sudé odmocniny jsou převzaty pouze z nezáporných výrazů nebo čísel. Kořeny lichých stupňů jsou extrahovány z jakýchkoli výrazů.

Prameny:

zjednodušení výrazů pomocí mocnin

Goniometrické funkce poprvé vznikly jako nástroje pro abstraktní matematické výpočty závislostí velikostí ostrých úhlů v r. pravoúhlý trojuhelník z délek jejích stran. Nyní jsou velmi široce používány ve vědeckých i technických oblastech lidské činnosti. Pro praktické výpočty goniometrických funkcí z daných argumentů můžete použít různé nástroje - některé z nejdostupnějších z nich jsou popsány níže.

Návod

Použijte například program kalkulačky nainstalovaný standardně s operačním systémem. Otevírá se výběrem položky "Kalkulačka" ve složce "Utilities" z podsekce "Standardní" umístěné v sekci "Všechny programy". Tuto sekci lze otevřít kliknutím na tlačítko "Start" v hlavním menu operačního sálu. Pokud používáte verzi Windows 7, můžete jednoduše zadat „Kalkulačka“ do pole „Prohledat programy a soubory“ v hlavní nabídce a poté kliknout na odpovídající odkaz ve výsledcích vyhledávání.

Spočítejte počet potřebných kroků a přemýšlejte o pořadí, ve kterém by měly být provedeny. Pokud vám tato otázka dělá potíže, všimněte si, že nejprve se provádějí akce v závorkách, poté dělení a násobení; a odčítání se provádí jako poslední. Pro snazší zapamatování si algoritmu prováděných akcí zapište do výrazu nad každým znaménkem operátoru akce (+, -, *, :) tenkou tužkou čísla odpovídající provedení akcí.

Pokračujte prvním krokem, dodržujte stanovený řád. Počítejte mentálně, pokud jsou akce snadno proveditelné verbálně. Pokud jsou vyžadovány výpočty (ve sloupci), zaznamenejte je pod výraz s uvedením pořadového čísla akce.

Přehledně sledovat sled prováděných akcí, vyhodnocovat, co je od čeho třeba odečíst, co na co rozdělit atd. Velmi často se odpověď ve výrazu ukáže jako nesprávná kvůli chybám v této fázi.

Výrazná vlastnost výraz je přítomnost matematických operací. Označuje se určitými znaky (násobení, dělení, odčítání nebo sčítání). Sled provádění matematických operací je v případě potřeby opraven pomocí závorek. Provádět matematické operace znamená najít.

Co není výraz

Ne každý matematický zápis lze klasifikovat jako výraz.

Rovná se nejsou výrazy. Nezáleží na tom, zda jsou v rovnici přítomny matematické operace nebo ne. Například a=5 je rovnost, nikoli výraz, ale 8+6*2=20 také nelze považovat za výraz, přestože je v něm přítomno násobení. I tento příklad patří do kategorie rovnosti.

Pojmy výraz a rovnost se vzájemně nevylučují, první je součástí druhého. Rovnítko spojuje dva výrazy:
5+7=24:2

Tuto rovnici lze zjednodušit:
5+7=12

Výraz vždy předpokládá, že lze provést matematické operace, které představuje. 9+:-7 není výraz, i když existují známky matematických operací, protože tyto operace nelze provést.

Existují i matematické, které jsou formálními výrazy, ale nedávají smysl. Příklad takového výrazu:
46:(5-2-3)

Číslo 46 musí být vyděleno výsledkem akcí v závorkách a rovná se nule. Nelze dělit nulou, akce je považována za zakázanou.

Numerické a algebraické výrazy

Existují dva druhy matematických výrazů.

Pokud výraz obsahuje pouze čísla a znaménka matematických operací, nazývá se takový výraz číselným výrazem. Pokud jsou ve výrazu spolu s čísly i proměnné označované písmeny nebo vůbec žádná, výraz se skládá pouze z proměnných a znaků matematických operací, nazývá se algebraický.

Zásadní rozdíl mezi číselnou hodnotou a algebraickou hodnotou je v tom, že číselný výraz má pouze jednu hodnotu. Například hodnota číselného výrazu 56–2*3 bude vždy 50, nelze nic měnit. Algebraický výraz může mít mnoho hodnot, protože místo něj lze dosadit libovolné číslo. Pokud tedy ve výrazu b–7 místo b dosadíme 9, bude hodnota výrazu 2, a pokud 200, bude to 193.

Prameny:

Numerické a algebraické výrazy

Děti zpravidla začínají studovat algebru již v základních ročnících. Po zvládnutí základních principů práce s čísly řeší úlohy s jednou nebo více neznámými proměnnými. Najít význam výrazu tohoto druhu může být poměrně obtížné, ale pokud si jej zjednodušíte pomocí znalostí ze základní školy, vše půjde snadno a rychle.

Jaká je hodnota výrazu

Číselný výraz je algebraický zápis sestávající z čísel, závorek a znamének v případě, že to dává smysl.

Jinými slovy, pokud je možné najít význam výrazu, pak záznam není bez významu a naopak.

Příklady následujících položek jsou platné číselné konstrukce:

3*8-2;
15/3+6;
0,3*8-4/2;
3/1+15/5;

Jedno číslo bude také číselným výrazem, jako číslo 18 z výše uvedeného příkladu.
Příklady nesprávných číselných konstrukcí, které nedávají smysl:

*7-25);
16/0-;
(*-5;

Nesprávné číselné příklady jsou pouze souborem matematických symbolů a nedávají žádný smysl.

Jak zjistit hodnotu výrazu

Protože v takových příkladech existují aritmetické znaménka, můžeme dojít k závěru, že umožňují aritmetické výpočty. Pro výpočet znamének nebo jinými slovy pro nalezení hodnoty výrazu je nutné provést příslušné aritmetické manipulace.

Jako příklad uvažujme následující konstrukci: (120-30)/3=30. Číslo 30 bude hodnotou číselného výrazu (120-30)/3.

Návod:

Pojem numerické rovnosti

Numerická rovnost je situace, kdy jsou dvě části příkladu odděleny znakem "=". To znamená, že jedna část je zcela rovna (identická) druhé, i když je zobrazena ve formě jiných kombinací symbolů a čísel.
Například libovolnou konstrukci typu 2+2=4 můžeme nazvat číselnou rovností, protože i když se díly prohodí, význam se nezmění: 4=2+2. Totéž platí pro více složité struktury, včetně závorek, dělení, násobení, zlomkových operací a tak dále.

Jak správně najít hodnotu výrazu

Pro správné nalezení hodnoty výrazu je nutné provádět výpočty podle určitého pořadí akcí. Toto pořadí se vyučuje v hodinách matematiky a později v hodinách algebry základní škola. Je také známý jako kroky aritmetických operací.

Kroky aritmetických operací:

Prvním krokem je sčítání a odečítání čísel.
Druhou fází je dělení a násobení.
Třetí fáze - čísla jsou na druhou nebo krychle.

Dodržováním následujících pravidel můžete vždy správně určit význam výrazu:

Pokud v příkladu nejsou žádné závorky, postupujte podle kroků od třetího po první. Tedy nejprve čtverec nebo krychli, pak dělit nebo násobit a teprve potom sčítat a odečítat.
U konstrukcí v závorkách proveďte nejprve kroky v závorkách a poté postupujte ve výše uvedeném pořadí. Pokud je závorek více, použijte také postup z prvního odstavce.
V příkladech zlomků nejprve zjistěte výsledek v čitateli, poté ve jmenovateli a poté vydělte první druhou.

Nalezení významu výrazu není obtížné, pokud ovládáte elementární znalosti elementárních kurzů algebry a matematiky. Na základě výše uvedených informací můžete vyřešit jakýkoli problém, dokonce i se zvýšenou složitostí.

Zjistěte heslo od VK, znáte přihlašovací jméno

Formulace úkolu: Najděte hodnotu výrazu (akce se zlomky).

Úloha je součástí USE v matematice na základní úrovni pro ročník 11 na čísle 1 (Akce se zlomky).

Podívejme se, jak se takové problémy řeší na příkladech.

Příklad úlohy 1:

Najděte hodnotu výrazu 5/4 + 7/6: 2/3.

Pojďme vypočítat hodnotu výrazu. K tomu definujeme pořadí operací: nejprve násobení a dělení, pak sčítání a odčítání. A provedeme potřebné akce ve správném pořadí:

Odpověď: 3

Příklad úkolu 2:

Najděte hodnotu výrazu (3.9 - 2.4) ∙ 8.2

Odpověď: 12.3

Příklad úkolu 3:

Najděte hodnotu výrazu 27 ∙ (1/3 - 4/9 - 5/27).

Pojďme vypočítat hodnotu výrazu. K tomu definujeme pořadí operací: nejprve násobení a dělení, pak sčítání a odčítání. V tomto případě jsou akce v závorkách provedeny před akcemi mimo závorky. A provedeme potřebné akce ve správném pořadí:

Odpověď: -8

Příklad úlohy 4:

Najděte hodnotu výrazu 2,7 / (1,4 + 0,1)

Odpověď: 1.8

Příklad úkolu 5:

Najděte hodnotu výrazu 1 / (1/9 - 1/12).

Odpověď: 36

Příklad úlohy 6:

Najděte hodnotu výrazu (0,24 ∙ 10^6) / (0,6 ∙ 10^4).

Odpověď: 40

Příklad úlohy 7:

Najděte hodnotu výrazu (1,23 ∙ 45,7) / (12,3 ∙ 0,457).

Odpověď: 10

Příklad úlohy 8:

Najděte hodnotu výrazu (728^2 - 26^2) : 754.

První úroveň

Konverze výrazů. Detailní teorie (2019)

Konverze výrazů

Často slyšíme tuto nepříjemnou frázi: "zjednodušte výraz." Obvykle v tomto případě máme nějaké monstrum, jako je toto:

"Ano, mnohem jednodušší," říkáme, ale taková odpověď obvykle nefunguje.

Nyní vás naučím nebát se žádných takových úkolů. Navíc si tento příklad na konci lekce sami zjednodušíte na (prostě!) obyčejné číslo (ano, k čertu s těmito písmeny).

Ale než začnete tuto lekci, musíte být schopni zacházet se zlomky a faktorovými polynomy. Proto nejprve, pokud jste to ještě neudělali, ujistěte se, že ovládáte témata "" a "".

Číst? Pokud ano, pak jste připraveni.

Základní zjednodušující operace

Nyní rozebereme hlavní techniky, které se používají ke zjednodušení výrazů.

Nejjednodušší z nich je

1. Přinášet podobné

Co jsou podobné? Prošel jsi tím v 7. třídě, kdy se v matematice místo čísel poprvé objevila písmena. Podobné jsou termíny (monomy) se stejnou písmennou částí. Například v součtu jsou podobné výrazy a.

Pamatováno?

Přinést podobné výrazy znamená přidat několik podobných výrazů k sobě a získat jeden výraz.

Ale jak můžeme dát dohromady písmena? - ptáš se.

To je velmi snadné pochopit, pokud si představíte, že písmena jsou nějaké předměty. Například dopis je židle. Jaký je tedy výraz? Dvě židle plus tři židle, kolik to bude stát? Přesně tak, židle: .

Nyní zkuste tento výraz:

Abyste se nepletli, nechejte různá písmena označovat různé předměty. Například - toto je (jako obvykle) židle a - toto je stůl. Pak:

židle stoly židle stoly židle židle stoly

Čísla, kterými se písmena v takových pojmech násobí, se nazývají koeficienty. Například v monomiálu je koeficient roven. A je rovný.

Takže pravidlo pro uvedení podobného:

Příklady:

Přineste podobné:

Odpovědi:

2. (a jsou podobné, protože tyto výrazy mají tedy stejnou část písmena).

2. Faktorizace

To je obvykle nejdůležitější část při zjednodušování výrazů. Poté, co zadáte podobné, musí být výsledný výraz nejčastěji faktorizován, tedy prezentován jako produkt. To je zvláště důležité ve zlomcích: koneckonců, aby se zlomek zmenšil, musí být čitatel a jmenovatel reprezentován jako součin.

Prošli jste si podrobnými metodami faktoringu výrazů v tématu "", takže si zde stačí zapamatovat, co jste se naučili. Chcete-li to provést, vyřešte několik příklady(bude zohledněno):

Řešení:

3. Redukce zlomků.

No, co může být hezčího, než vyškrtnout část čitatele a jmenovatele a vyhodit je ze svého života?

V tom je krása zkratky.

Je to jednoduché:

Pokud čitatel a jmenovatel obsahují stejné faktory, lze je redukovat, to znamená odstranit ze zlomku.

Toto pravidlo vyplývá ze základní vlastnosti zlomku:

To znamená, že podstatou redukční operace je to Čitatele a jmenovatele zlomku dělíme stejným číslem (nebo stejným výrazem).

Chcete-li snížit zlomek, potřebujete:

1) čitatel a jmenovatel faktorizovat

2) pokud čitatel a jmenovatel obsahuje společné faktory, lze je smazat.

Princip je, myslím, jasný?

Rád bych vás upozornil na jednu typickou chybu ve zkratce. I když je toto téma jednoduché, ale mnoho lidí dělá všechno špatně, aniž by si to uvědomili střih- to znamená rozdělitčitatel a jmenovatel stejným číslem.

Žádné zkratky, pokud je čitatel nebo jmenovatel součet.

Například: musíte zjednodušit.

Někteří to dělají: což je absolutně špatně.

Další příklad: snížit.

"Nejchytřejší" to udělá:.

Řekni mi, co je tady špatně? Zdálo by se: - toto je násobitel, takže můžete snížit.

Ale ne: - jedná se o faktor pouze jednoho členu v čitateli, ale samotný čitatel jako celek se na faktory nerozkládá.

Zde je další příklad: .

Tento výraz je rozložen na faktory, což znamená, že můžete zmenšit, to znamená vydělit čitatele a jmenovatele a poté:

Můžete okamžitě rozdělit podle:

Abyste se vyvarovali takových chyb, pamatujte lehká cesta jak zjistit, zda je výraz faktorizován:

Aritmetická operace, která se při výpočtu hodnoty výrazu provádí jako poslední, je „hlavní“. To znamená, že pokud místo písmen dosadíte nějaká (jakákoli) čísla a pokusíte se vypočítat hodnotu výrazu, pak pokud je poslední akcí násobení, máme součin (výraz se rozloží na faktory). Pokud je poslední akcí sčítání nebo odčítání, znamená to, že výraz není faktorizován (a tudíž nemůže být redukován).

Chcete-li to opravit, vyřešte to sami příklady:

Odpovědi:

1. Doufám, že jste se hned nevrhli na řezání a? Stále to nestačilo takto „zmenšit“ jednotky:

Prvním krokem by mělo být faktorizace:

4. Sčítání a odčítání zlomků. Přivedení zlomků ke společnému jmenovateli.

Sčítání a odčítání obyčejných zlomků je známá operace: hledáme společného jmenovatele, vynásobíme každý zlomek chybějícím faktorem a sečteme / odečteme čitatele. Připomeňme si:

Odpovědi:

1. Jmenovatelé a jsou coprime, to znamená, že nemají společné faktory. Proto se LCM těchto čísel rovná jejich součinu. Toto bude společný jmenovatel:

2. Zde je společný jmenovatel:

3. Zde nejprve změníme smíšené zlomky na nesprávné a poté - podle obvyklého schématu:

Zcela jiná věc je, pokud zlomky obsahují písmena, například:

Začněme jednoduše:

a) Jmenovatele neobsahují písmena

Zde je vše stejné jako u běžných číselných zlomků: najdeme společného jmenovatele, vynásobíme každý zlomek chybějícím faktorem a přičteme / odečteme čitatele:

nyní v čitateli můžete přinést podobné, pokud existují, a zohlednit je:

Zkus to sám:

b) Jmenovatele obsahují písmena

Připomeňme si princip hledání společného jmenovatele bez písmen:

Nejprve určíme společné faktory;

Pak všechny společné faktory vypíšeme jednou;

a vynásobte je všemi ostatními faktory, nikoli běžnými.

Abychom určili společné faktory jmenovatelů, nejprve je rozložíme na jednoduché faktory:

Klademe důraz na společné faktory:

Nyní jednou vypíšeme společné faktory a přidáme k nim všechny nespolečné (nepodtržené) faktory:

Toto je společný jmenovatel.

Vraťme se k písmenům. Jmenovatelé jsou uvedeni přesně stejným způsobem:

Rozložíme jmenovatele na faktory;

určit společné (shodné) násobiče;

vypište všechny společné faktory jednou;

Násobíme je všemi ostatními faktory, nikoli běžnými.

Takže v pořadí:

1) rozložte jmenovatele na faktory:

2) určete společné (identické) faktory:

3) vypište všechny společné faktory jednou a vynásobte je všemi ostatními (nepodtrženými) faktory:

Společný jmenovatel tu tedy je. První zlomek musí být vynásoben, druhý -:

Mimochodem, existuje jeden trik:

Například: .

Ve jmenovatelích vidíme stejné faktory, jen všechny s jinými ukazateli. Společným jmenovatelem bude:

do té míry

ve stupni.

Pojďme si úkol zkomplikovat:

Jak dosáhnout toho, aby zlomky měly stejného jmenovatele?

Připomeňme si základní vlastnost zlomku:

Nikde není řečeno, že stejné číslo lze odečíst (nebo sečíst) od čitatele i jmenovatele zlomku. Protože to není pravda!

Přesvědčte se sami: vezměte si například libovolný zlomek a do čitatele a jmenovatele přidejte nějaké číslo, například . Co se naučilo?

Takže další neotřesitelné pravidlo:

Když přivedete zlomky ke společnému jmenovateli, použijte pouze operaci násobení!

Ale co je potřeba množit, abyste získali?

Tady a množte se. A vynásobte:

Výrazy, které nelze faktorizovat, budeme nazývat „elementární faktory“. Například je to elementární faktor. - Totéž. Ale - ne: rozkládá se na faktory.

A co výraz? Je to elementární?

Ne, protože to lze faktorizovat:

(o faktorizaci jste již četli v tématu "").

Takže elementární faktory, na které rozkládáte výraz s písmeny, jsou analogií jednoduchých faktorů, na které rozkládáte čísla. A totéž uděláme s nimi.

Vidíme, že oba jmenovatelé mají svůj faktor. To půjde do společného jmenovatele v moci (pamatujete proč?).

Násobitel je elementární a nemají ho společný, což znamená, že první zlomek se jím bude muset jednoduše vynásobit:

Další příklad:

Řešení:

Než tyto jmenovatele v panice vynásobíte, musíte se zamyslet nad tím, jak je zohlednit? Oba představují:

Skvělý! Pak:

Další příklad:

Řešení:

Jako obvykle faktorizujeme jmenovatele. V prvním jmenovateli jej jednoduše vyjmeme ze závorek; ve druhém - rozdíl čtverců:

Zdálo by se, že neexistují žádné společné faktory. Ale když se podíváte pozorně, už jsou si tak podobní... A pravdou je:

Tak napišme:

Tedy dopadlo to takto: uvnitř závorky jsme prohodili pojmy a zároveň se znaménko před zlomkem změnilo na opak. Berte na vědomí, že to budete muset dělat často.

Nyní se dostáváme ke společnému jmenovateli:

Mám to? Teď to zkontrolujeme.

Úkoly pro samostatné řešení:

Odpovědi:

Zde si musíme pamatovat ještě jednu věc - rozdíl kostek:

Pozor, jmenovatel druhého zlomku neobsahuje vzorec „druhá mocnina součtu“! Druhá mocnina součtu by vypadala takto:

A je takzvaný neúplný čtverec součtu: druhý člen v něm je součinem prvního a posledního, nikoli jejich zdvojeným součinem. Neúplná druhá mocnina součtu je jedním z faktorů při expanzi rozdílu kostek:

Co když už jsou tři zlomky?

Ano, totéž! Za prvé, udělejme to tak maximální částka faktory ve jmenovatelích byly stejné:

Pozor: pokud změníte znaménka v jedné závorce, znaménko před zlomkem se změní na opačné. Když změníme znaménka ve druhé závorce, znaménko před zlomkem se opět obrátí. V důsledku toho se on (znak před zlomkem) nezměnil.

První jmenovatel vypíšeme celý ve společném jmenovateli a pak k němu přidáme všechny ještě nezapsané činitele od druhého a pak od třetího (a tak dále, pokud je zlomků více). To znamená, že to jde takto:

Hmm... Se zlomky je jasné, co dělat. Ale co ti dva?

Je to jednoduché: víte, jak sčítat zlomky, že? Takže se musíte ujistit, že se dvojka stane zlomkem! Pamatujte: zlomek je operace dělení (čitatel se dělí jmenovatelem, pro případ, že byste náhle zapomněli). A není nic jednoduššího, než číslo vydělit. V tomto případě se samotné číslo nezmění, ale změní se na zlomek:

Přesně to, co je potřeba!

5. Násobení a dělení zlomků.

No, to nejtěžší je teď za námi. A před námi je to nejjednodušší, ale zároveň nejdůležitější:

Postup

Jaký je postup při výpočtu číselného výrazu? Pamatujte, že vzhledem k hodnotě takového výrazu:

Počítal jsi?

Mělo by to fungovat.

Takže připomínám.

Prvním krokem je výpočet stupně.

Druhým je násobení a dělení. Pokud existuje několik násobení a dělení současně, můžete je provést v libovolném pořadí.

A nakonec provedeme sčítání a odčítání. Opět v libovolném pořadí.

Ale: výraz v závorce je vyhodnocen mimo pořadí!

Pokud se násobí nebo dělí více závorek navzájem, vyhodnotíme nejprve výraz v každé ze závorek a poté je vynásobíme nebo vydělíme.

Co když jsou v závorkách další závorky? No, přemýšlejme: v závorkách je napsán nějaký výraz. Co je třeba udělat jako první při vyhodnocování výrazu? Správně, spočítejte závorky. No, přišli jsme na to: nejprve spočítáme vnitřní závorky, pak vše ostatní.

Pořadí akcí pro výše uvedený výraz je tedy následující (aktuální akce je zvýrazněna červeně, tedy akce, kterou právě provádím):

Dobře, všechno je jednoduché.

Ale to není totéž jako výraz s písmeny, že?

Ne, je to stejné! Pouze místo aritmetických operací je nutné provádět algebraické operace, tedy operace popsané v předchozí části: přinášející podobné, přidávání zlomků, snižování zlomků a tak dále. Jediným rozdílem bude působení faktoringových polynomů (často to používáme při práci se zlomky). Nejčastěji pro faktorizaci potřebujete použít i nebo jednoduše vyjmout společný faktor ze závorek.

Obvykle je naším cílem reprezentovat výraz jako součin nebo kvocient.

Například:

Zjednodušme výraz.

1) Nejprve zjednodušíme výraz v závorkách. Tam máme rozdíl zlomků a naším cílem je reprezentovat jej jako součin nebo kvocient. Přivedeme tedy zlomky ke společnému jmenovateli a přidáme:

Není možné tento výraz dále zjednodušit, všechny faktory jsou zde elementární (pamatujete si ještě, co to znamená?).

2) Dostáváme:

Násobení zlomků: co by mohlo být jednodušší.

3) Nyní můžete zkrátit:

Dobře, teď je po všem. Nic složitého, že?

Další příklad:

Zjednodušte výraz.

Nejprve si to zkuste vyřešit sami a teprve potom se podívejte na řešení.

Nejprve si nadefinujme postup. Nejprve sečteme zlomky v závorkách, místo dvou zlomků vyjde jeden. Poté provedeme dělení zlomků. No a výsledek sečteme s posledním zlomkem. Schematicky očísluji kroky:

Nyní ukážu celý proces a zabarvím aktuální akci červenou barvou:

Na závěr vám dám dva užitečné tipy:

1. Pokud existují podobné, je třeba je okamžitě přinést. V každém okamžiku, kdy máme podobné, je vhodné je hned přinést.

2. Totéž platí pro redukování zlomků: jakmile se naskytne příležitost k redukci, je třeba ji využít. Výjimkou jsou zlomky, které sčítáte nebo odečítáte: pokud nyní mají stejné jmenovatele, pak by se zmenšení mělo nechat na později.

Zde je několik úkolů, které můžete vyřešit sami:

A hned na začátku slíbil:

Řešení (stručné):

Pokud jste si poradili alespoň s prvními třemi příklady, pak jste, považte, téma zvládli.

Nyní k učení!

KONVERZE VÝRAZU. SHRNUTÍ A ZÁKLADNÍ VZORCE

Základní zjednodušující operace:

Přinášet podobné: Chcete-li přidat (zmenšit) podobné výrazy, musíte přidat jejich koeficienty a přiřadit písmennou část.
Faktorizace: vyjmutí společného faktoru ze závorek, použití atd.
Snížení frakce: čitatel a jmenovatel zlomku lze vynásobit nebo vydělit stejným nenulovým číslem, od kterého se hodnota zlomku nemění.
1) čitatel a jmenovatel faktorizovat
2) pokud jsou v čitateli a jmenovateli společné faktory, lze je proškrtnout.
DŮLEŽITÉ: Snížit lze pouze násobitele!
Sčítání a odčítání zlomků:
;
Násobení a dělení zlomků:
;

Numerické a algebraické výrazy. Konverze výrazů.

Co je výraz v matematice? Proč jsou nutné konverze výrazů?

Otázka, jak se říká, je zajímavá... Faktem je, že tyto pojmy jsou základem veškeré matematiky. Veškerá matematika se skládá z výrazů a jejich transformací. Není to moc jasné? Nech mě to vysvětlit.

Řekněme, že máte špatný příklad. Velmi velké a velmi složité. Řekněme, že jste dobří v matematice a ničeho se nebojíte! Můžete odpovědět hned?

Budeš muset rozhodni se tento příklad. Postupně, krok za krokem, tento příklad zjednodušit. Samozřejmě podle určitých pravidel. Tito. dělat konverze výrazu. Jak úspěšně provádíte tyto transformace, tak jste silní v matematice. Pokud nevíte, jak udělat správné transformace, v matematice vám to nejde Nic...

Abychom se vyhnuli takové nepříjemné budoucnosti (nebo přítomnosti ...), není na škodu tomuto tématu porozumět.)

Pro začátek si to pojďme zjistit co je výraz v matematice. Co se stalo číselný výraz a co je algebraický výraz.

Co je výraz v matematice?

Vyjadřování v matematice je velmi široký pojem. Téměř vše, čím se v matematice zabýváme, je soubor matematických výrazů. Jakékoli příklady, vzorce, zlomky, rovnice a tak dále - to vše se skládá matematické výrazy.

3+2 je matematický výraz. c 2 - d 2 je také matematický výraz. A zdravý zlomek a dokonce jedno číslo – to všechno jsou matematické výrazy. Rovnice například zní:

5x + 2 = 12

se skládá ze dvou matematických výrazů spojených znaménkem rovná se. Jeden výraz je vlevo, druhý vpravo.

V obecný pohled termín" matematický výraz" se používá nejčastěji, aby se nemumlalo. Zeptají se vás například, co je to obyčejný zlomek? A jak odpovědět?!

Odpověď 1: "Je to... m-m-m-m... taková věc ... ve které ... Mohu napsat zlomek lépe? Který chcete?"

Druhá odpověď: " Běžný zlomek To je (vesele a radostně!) matematický výraz , která se skládá z čitatele a jmenovatele!"

Druhá možnost je o něco působivější, že?)

Pro tento účel se používá věta „ matematický výraz "velmi dobré. Správné a pevné. Ale pro praktickou aplikaci se musíte dobře orientovat." specifické druhy výrazů v matematice .

Konkrétní typ je jiná věc. Tento docela jiná věc! Každý typ matematického výrazu má těžit soubor pravidel a technik, které je třeba při rozhodování použít. Práce se zlomky - jedna sada. Pro práci s goniometrickými výrazy - druhá. Pro práci s logaritmy - třetí. A tak dále. Někde se tato pravidla shodují, někde se výrazně liší. Těch se ale nebojte hrozná slova. Logaritmy, trigonometrie a další záhadné věci si osvojíme v příslušných částech.

Zde si osvojíme (nebo - opakujte, jak chcete...) dva hlavní typy matematických výrazů. Číselné výrazy a algebraické výrazy.

Číselné výrazy.

Co se stalo číselný výraz? Toto je velmi jednoduchý koncept. Už samotný název napovídá, že se jedná o výraz s čísly. Tak to je. Matematický výraz složený z čísel, závorek a znamének aritmetických operací se nazývá číselný výraz.

7-3 je číselný výraz.

(8+3.2) 5.4 je také číselný výraz.

A toto monstrum:

také číselný výraz, ano...

Obyčejné číslo, zlomek, jakýkoli příklad výpočtu bez x a dalších písmen - to vše jsou číselné výrazy.

hlavní rys číselné výrazy v něm žádná písmena. Žádný. Pouze čísla a matematické ikony (v případě potřeby). Je to jednoduché, že?

A co se dá dělat s číselnými výrazy? Číselné výrazy lze obvykle počítat. K tomu musíte někdy otevírat závorky, měnit znaménka, zkracovat, zaměňovat termíny - tzn. dělat konverze výrazů. Ale o tom více níže.

Zde se budeme zabývat takovým vtipným případem, kdy s číselným vyjádřením nemusíš nic dělat. No, vůbec nic! Tato pěkná operace Nedělat nic)- se provede, když výraz nedává smysl.

Kdy číselný výraz nedává smysl?

Samozřejmě, pokud před sebou vidíme nějaký druh abrakadabra, jako např

tak neuděláme nic. Protože není jasné, co s tím. Nějaký nesmysl. Pokud nepočítám počet plusů...

Ale jsou tam navenek docela slušné projevy. Například toto:

(2+3): (16 - 2 8)

Tento výraz je však také nedává smysl! Z prostého důvodu, že v druhých závorkách – pokud počítáte – dostanete nulu. Nemůžeš dělit nulou! To je v matematice zakázaná operace. Proto ani s tímto výrazem není potřeba nic dělat. Pro jakýkoli úkol s takovým výrazem bude odpověď vždy stejná: "Ten výraz nedává smysl!"

Abych dal takovou odpověď, musel jsem samozřejmě spočítat, co bude v závorkách. A někdy v závorce takový zvrat... No, s tím se nedá nic dělat.

V matematice není tolik zakázaných operací. V tomto vláknu je pouze jeden. Dělení nulou. Další zákazy vznikající v kořenech a logaritmech jsou diskutovány v příslušných tématech.

Takže představa o tom, co je číselný výraz- dostal. pojem číselný výraz nedává smysl- uvědomil. Pojďme dále.

Algebraické výrazy.

Pokud se v číselném výrazu objeví písmena, tento výraz se stane... Výraz se stane... Ano! Stává se algebraický výraz. Například:

5a2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Takové výrazy se také nazývají doslovné výrazy. Nebo výrazy s proměnnými. Je to prakticky to samé. Výraz 5a + c, například - jak doslovný, tak algebraický, a výraz s proměnnými.

pojem algebraický výraz -širší než číselné. To zahrnuje a všechny číselné výrazy. Tito. číselný výraz je také algebraický výraz, pouze bez písmen. Každý sleď je ryba, ale ne každá ryba je sleď...)

Proč doslovný- To je jasné. No, protože tam jsou písmena ... Fráze výraz s proměnnými také není příliš matoucí. Pokud chápete, že pod písmeny se skrývají čísla. Pod písmeny se dají schovat nejrůznější čísla... A 5, a -18 a cokoli chcete. To znamená, že dopis může nahradit na různá čísla. Proto se písmenům říká proměnné.

Ve výrazu y+5, Například, na- variabilní. Nebo jen řekni " proměnná", bez slova „hodnota“. Na rozdíl od pětky, která je konstantní hodnotou. Nebo prostě - konstantní.

Období algebraický výraz znamená, že pro práci s tímto výrazem musíte používat zákony a pravidla algebra. Li aritmetický pak pracuje s konkrétními čísly algebra- se všemi čísly najednou. Jednoduchý příklad pro upřesnění.

V aritmetice se to dá napsat

Ale pokud podobnou rovnost napíšeme pomocí algebraických výrazů:

a + b = b + a

okamžitě se rozhodneme Všechno otázky. Pro všechna čísla mrtvice. Na nekonečné množství věcí. Protože pod písmeny A A b implicitní Všechnočísla. A nejen čísla, ale dokonce i další matematické výrazy. Takto funguje algebra.

Kdy algebraický výraz nedává smysl?

Ohledně číselného vyjádření je vše jasné. Nelze dělit nulou. A s písmeny je možné zjistit, čím se rozdělujeme?!

Vezměme si jako příklad následující výraz proměnné:

2: (A - 5)

Dává to smysl? Ale kdo ho zná? A- jakékoliv číslo...

Jakýkoli, jakýkoli... Ale má to jeden význam A, pro který tento výraz přesně nedává smysl! A jaké je to číslo? Ano! Je 5! Pokud proměnná A nahraďte (říkají - "náhrada") číslem 5, v závorce se ukáže nula. které nelze rozdělit. Ukazuje se tedy, že náš výraz nedává smysl, Pokud a = 5. Ale pro jiné hodnoty A Dává to smysl? Můžete nahradit jiná čísla?

Rozhodně. V takových případech se zjednodušeně říká, že výraz

2: (A - 5)

dává smysl pro jakoukoli hodnotu A, kromě a = 5 .

Celá sada čísel Umět se nazývá náhrada do daného výrazu platný rozsah tento výraz.

Jak vidíte, není to nic složitého. Podíváme se na výraz s proměnnými a zamyslíme se: při jaké hodnotě proměnné se získá zakázaná operace (dělení nulou)?

A pak se určitě podívejte na otázku zadání. na co se ptají?

nedává smysl, je náš zakázaný význam a bude odpověď.

Pokud se ptají, na jakou hodnotu proměnné je výraz má význam(pociťte ten rozdíl!), odpověď bude všechna ostatní čísla kromě zakázaného.

Proč potřebujeme význam výrazu? Je tam, není... Jaký je rozdíl?! Faktem je, že tento pojem se na střední škole stává velmi důležitým. Extrémně důležité! To je základ pro takové pevné koncepty, jako je rozsah platných hodnot nebo rozsah funkce. Bez toho nebudete schopni řešit vážné rovnice nebo nerovnice vůbec. Takhle.

Konverze výrazů. Proměny identity.

Seznámili jsme se s číselnými a algebraickými výrazy. Pochopte, co znamená fráze „výraz nedává smysl“. Teď musíme zjistit co konverze výrazu. Odpověď je jednoduchá, pobuřující.) Jedná se o jakoukoli akci s výrazem. A to je vše. Tyto proměny děláte od první třídy.

Vezměte si cool číselné vyjádření 3+5. Jak to lze převést? Ano, velmi snadno! Vypočítat:

Tento výpočet bude transformací výrazu. Stejný výraz můžete napsat jiným způsobem:

Tady jsme nic nepočítali. Stačí napsat výraz v jiné podobě. To bude také transformace výrazu. Dá se to napsat takto:

A to je také transformace výrazu. Těchto transformací můžete provést, kolik chcete.

Žádný akce na výraz žádný zápis v jiné formě se nazývá transformace výrazu. A všechny věci. Vše je velmi jednoduché. Ale je tu jedna věc velmi důležité pravidlo. Tak důležité, že to lze bezpečně zavolat hlavní pravidlo veškerou matematiku. Porušení tohoto pravidla nevyhnutelně vede k chybám. rozumíme si?)

Řekněme, že jsme svůj výraz libovolně transformovali takto:

Proměna? Rozhodně. Napsali jsme výraz v jiném tvaru, co je tady špatně?

Není to tak.) Faktem je, že proměny "To je jedno" matematika se vůbec nezajímá.) Celá matematika je postavena na transformacích, ve kterých se vzhled, ale podstata výrazu se nemění. Tři plus pět lze napsat v libovolném tvaru, ale musí to být osm.

proměny, výrazy, které nemění podstatu volal identické.

Přesně identické transformace a dovolte nám, krok za krokem, převést složitý příklad do jednoduchého vyjádření, zachování podstatu příkladu. Pokud uděláme chybu v řetězci transformací, uděláme NE identickou transformaci, pak se rozhodneme další příklad. S dalšími odpověďmi, které nesouvisí s těmi správnými.)

Zde je hlavní pravidlo pro řešení jakýchkoli úkolů: soulad s identitou transformací.

Příklad s číselné vyjádření 3 + 5 jsem dal pro přehlednost. V algebraických výrazech jsou shodné transformace dány vzorci a pravidly. Řekněme, že v algebře existuje vzorec:

a(b+c) = ab + ac

Takže v každém příkladu můžeme místo výrazu a(b+c) klidně napište výraz ab+ac. A naopak. Tento identická transformace. Matematika nám dává na výběr z těchto dvou výrazů. A který napsat záleží na konkrétním příkladu.

Další příklad. Jednou z nejdůležitějších a nezbytných transformací je základní vlastnost zlomku. Více podrobností můžete vidět na odkazu, ale zde jen připomínám pravidlo: pokud se čitatel a jmenovatel zlomku vynásobí (vydělí) stejným číslem nebo výrazem, který se nerovná nule, zlomek se nezmění. Zde je příklad identických transformací pro tuto vlastnost:

Jak asi tušíte, v tomto řetězci lze pokračovat donekonečna...) Velmi důležitá vlastnost. Je to to, co vám umožňuje proměnit všechny druhy příkladných monster na bílé a načechrané.)

Existuje mnoho vzorců definujících identické transformace. Ale to nejdůležitější – celkem rozumné množství. Jednou ze základních transformací je faktorizace. Používá se ve všech matematice – od základní až po pokročilé. Začněme s ním. v další lekci.)

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.