Odvození vzorce pro derivaci mocninné funkce (x na mocninu a). Uvažují se deriváty kořenů z x. Vzorec pro derivaci mocninné funkce vyššího řádu. Příklady výpočtu derivací.

Derivace x na mocninu a je krát x x na mocninu mínus jedna:
(1) .

Derivace n-té odmocniny x na m-tou mocninu je:
(2) .

Odvození vzorce pro derivaci mocninné funkce

Případ x > 0

Uvažujme mocninnou funkci proměnné x s exponentem a :
(3) .
Zde a je libovolné reálné číslo. Podívejme se nejprve na případ.

K nalezení derivace funkce (3) použijeme vlastnosti mocninné funkce a převedeme ji do následujícího tvaru:
.

Nyní najdeme derivaci použitím:
;
.
Tady .

Vzorec (1) je dokázán.

Odvození vzorce pro derivaci kořene stupně n ze stupně x na stupeň m

Nyní zvažte funkci, která je kořenem následujícího formuláře:
(4) .

Abychom našli derivaci, převedeme odmocninu na mocninnou funkci:
.
Při porovnání se vzorcem (3) to vidíme
.
Pak
.

Podle vzorce (1) najdeme derivaci:
(1) ;
;
(2) .

V praxi není potřeba se učit nazpaměť vzorec (2). Mnohem pohodlnější je nejprve převést odmocniny na mocninné funkce a poté najít jejich derivace pomocí vzorce (1) (viz příklady na konci stránky).

Případ x = 0

Jestliže , pak je exponenciální funkce definována i pro hodnotu proměnné x = 0 . Najděte derivaci funkce (3) pro x = 0 . K tomu používáme definici derivátu:
.

Nahraďte x = 0 :
.
V tomto případě derivací rozumíme pravostrannou limitu, pro kterou .

Tak jsme našli:
.
Z toho je vidět, že na , .
V , .
V , .
Tento výsledek je také získán vzorcem (1):
(1) .
Proto vzorec (1) platí i pro x = 0 .

případ x< 0

Zvažte znovu funkci (3):
(3) .
Pro některé hodnoty konstanty a je definována i pro záporné hodnoty proměnné x. Totiž, nech být racionální číslo. Pak to může být reprezentováno jako neredukovatelný zlomek:
,
kde m a n jsou celá čísla bez společný dělitel.

Pokud je n liché, pak je exponenciální funkce definována také pro záporné hodnoty proměnné x. Například pro n = 3 a m = 1 my máme třetí odmocnina od x:
.
Je také definován pro záporné hodnoty x.

Najdeme derivaci mocninné funkce (3) pro a pro racionální hodnoty konstanty a , pro kterou je definována. Za tímto účelem reprezentujeme x v následujícím tvaru:
.
Pak ,
.
Derivaci najdeme tak, že vyjmeme konstantu ze znaménka derivace a použijeme pravidlo derivace komplexní funkce:

.
Tady . Ale
.
Od té doby
.
Pak
.
To znamená, že vzorec (1) platí také pro:
(1) .

Deriváty vyšších řádů

Nyní najdeme derivace vyššího řádu mocninné funkce
(3) .
Již jsme našli derivaci prvního řádu:
.

Vyjmeme-li konstantu a ze znaménka derivace, najdeme derivaci druhého řádu:
.
Podobně najdeme deriváty třetího a čtvrtého řádu:
;

.

Odtud je jasné, že derivace libovolného n-tého řádu má následující podobu:
.

všimněte si, že pokud a je přirozené číslo , , pak je n-tá derivace konstantní:
.
Pak jsou všechny následující derivace rovny nule:
,
v .

Příklady derivátů

Příklad

Najděte derivaci funkce:
.

Řešení

Převedeme odmocniny na mocniny:
;
.
Pak má původní funkce tvar:
.

Najdeme deriváty stupňů:
;
.
Derivace konstanty je nula:
.

Bez znalosti derivace a metod jejího výpočtu je absolutně nemožné řešit fyzikální úlohy nebo příklady v matematice. Derivát je jedním z nejdůležitější pojmy matematická analýza. Tomuto zásadnímu tématu jsme se rozhodli věnovat dnešní článek. Co je to derivace, jaký má fyzikální a geometrický význam, jak vypočítat derivaci funkce? Všechny tyto otázky lze spojit do jedné: jak porozumět derivaci?

Geometrický a fyzikální význam derivace

Nechť existuje funkce f(x) , daný v nějakém intervalu (a,b) . Do tohoto intervalu patří body x a x0. Když se změní x, změní se i samotná funkce. Změna argumentu - rozdíl jeho hodnot x-x0 . Tento rozdíl je zapsán jako delta x a nazývá se přírůstek argumentu. Změna nebo přírůstek funkce je rozdíl mezi hodnotami funkce ve dvou bodech. Definice derivátu:

Derivace funkce v bodě je limitem poměru přírůstku funkce v daném bodě k přírůstku argumentu, když ten má tendenci k nule.

Jinak to lze napsat takto:

Jaký má smysl najít takovou hranici? Ale který:

derivace funkce v bodě je rovna tečně úhlu mezi osou OX a tečně ke grafu funkce v daném bodě.

Fyzikální význam derivátu: časová derivace dráhy je rovna rychlosti přímočarého pohybu.

Opravdu, už od školních dob každý ví, že rychlost je soukromá cesta. x=f(t) a čas t . průměrná rychlost na nějakou dobu:

Chcete-li zjistit rychlost pohybu v čase t0 musíte vypočítat limit:

Pravidlo jedna: vyjměte konstantu

Konstantu lze vyjmout ze znaménka derivace. Navíc se to musí udělat. Při řešení příkladů v matematice berte jako pravidlo - pokud můžete zjednodušit výraz, určitě zjednodušte .

Příklad. Pojďme vypočítat derivaci:

Pravidlo druhé: derivace součtu funkcí

Derivace součtu dvou funkcí je rovna součtu derivací těchto funkcí. Totéž platí pro derivaci rozdílu funkcí.

Tuto větu nebudeme dokazovat, ale uvažujme spíše o praktickém příkladu.

Najděte derivaci funkce:

Pravidlo třetí: derivace součinu funkcí

Derivace součinu dvou diferencovatelných funkcí se vypočítá podle vzorce:

Příklad: najděte derivaci funkce:

Řešení:

Zde je důležité říci o výpočtu derivací komplexních funkcí. Derivace komplexní funkce je rovna součinu derivace této funkce vzhledem k mezilehlému argumentu derivací mezilehlého argumentu vzhledem k nezávislé proměnné.

Ve výše uvedeném příkladu se setkáme s výrazem:

V tomto případě je střední argument 8x až pátá mocnina. Abychom vypočítali derivaci takového výrazu, nejprve uvažujeme derivaci externí funkce vzhledem k mezilehlému argumentu a poté vynásobíme derivací samotného mezilehlého argumentu vzhledem k nezávislé proměnné.

Pravidlo čtyři: Derivace podílu dvou funkcí

Vzorec pro určení derivace podílu dvou funkcí:

Pokusili jsme se mluvit o derivátech pro figuríny od nuly. Toto téma není tak jednoduché, jak se zdá, takže buďte varováni: v příkladech jsou často úskalí, takže buďte opatrní při výpočtu derivací.

S jakýmkoli dotazem na toto a další témata se můžete obrátit na studentský servis. Během krátké doby vám pomůžeme vyřešit nejobtížnější ovládání a poradit si s úkoly, i když jste se výpočtem derivací nikdy předtím nezabývali.

Definice. Nechť je funkce \(y = f(x) \) definována v nějakém intervalu obsahujícím bod \(x_0 \) uvnitř. Inkrementujme \(\Delta x \) na argument, abychom neopustili tento interval. Najděte odpovídající přírůstek funkce \(\Delta y \) (při přechodu z bodu \(x_0 \) do bodu \(x_0 + \Delta x \)) a sestavte vztah \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Pokud existuje limita tohoto vztahu v \(\Delta x \rightarrow 0 \), pak se indikovaná limita nazývá derivační funkce\(y=f(x) \) v bodě \(x_0 \) a označte \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbol y se často používá k označení derivace. Všimněte si, že y" = f(x) je nová funkce, ale přirozeně spojená s funkcí y = f(x), definovanou ve všech bodech x, ve kterých existuje výše uvedená limita. Tato funkce se nazývá takto: derivace funkce y \u003d f (x).

Geometrický význam derivace se skládá z následujícího. Pokud lze tečnu, která není rovnoběžná s osou y, nakreslit ke grafu funkce y \u003d f (x) v bodě s úsečkou x \u003d a, pak f (a) vyjadřuje sklon tečny:
\(k = f"(a)\)

Protože \(k = tg(a) \), platí rovnost \(f"(a) = tg(a) \).

A nyní interpretujeme definici derivace z hlediska přibližných rovností. Nechť funkce \(y = f(x) \) má derivaci v určitém bodě \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znamená, že blízko bodu x je přibližná rovnost \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), tj. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Smysluplný význam získané přibližné rovnosti je následující: přírůstek funkce je „téměř úměrný“ přírůstku argumentu a koeficient úměrnosti je hodnota derivace v daném bodě x. Například pro funkci \(y = x^2 \) platí přibližná rovnost \(\Delta y \přibližně 2x \cdot \Delta x \). Pokud pečlivě analyzujeme definici derivace, zjistíme, že obsahuje algoritmus pro její nalezení.

Pojďme to zformulovat.

Jak najít derivaci funkce y \u003d f (x) ?

1. Opravte hodnotu \(x \), najděte \(f(x) \)
2. Zvyšte argument \(x \) \(\Delta x \), přesuňte se do nového bodu \(x+ \Delta x \), najděte \(f(x+ \Delta x) \)
3. Najděte přírůstek funkce: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Sestavte vztah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Vypočítejte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Tato limita je derivací funkce v x.

Pokud má funkce y = f(x) derivaci v bodě x, pak se nazývá derivovatelná v bodě x. Je volána procedura pro nalezení derivace funkce y \u003d f (x). diferenciace funkce y = f(x).

Proberme následující otázku: jak spolu souvisí spojitost a diferencovatelnost funkce v bodě?

Nechť je funkce y = f(x) diferencovatelná v bodě x. Potom lze ke grafu funkce nakreslit tečnu v bodě M (x; f (x)) a připomeňme si, že sklon tečny je roven f "(x). Takový graf se nemůže "zlomit" v bod M, tj. funkce musí být spojitá v x.

Bylo to uvažování „na prstech“. Uveďme důslednější argument. Pokud je funkce y = f(x) diferencovatelná v bodě x, pak přibližná rovnost \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) platí. nula, pak \(\Delta y \ ) bude mít také tendenci k nule, a to je podmínka spojitosti funkce v bodě.

Tak, je-li funkce diferencovatelná v bodě x, pak je v tomto bodě také spojitá.

Opak není pravdou. Například: funkce y = |x| je spojitá všude, zejména v bodě x = 0, ale tečna ke grafu funkce v „bodu kloubu“ (0; 0) neexistuje. Pokud v určitém bodě není možné nakreslit tečnu ke grafu funkce, pak v tomto bodě neexistuje žádná derivace.

Ještě jeden příklad. Funkce \(y=\sqrt(x) \) je spojitá na celé číselné ose, včetně bodu x = 0. A tečna ke grafu funkce existuje v libovolném bodě, včetně bodu x = 0 Ale v tomto bodě se tečna shoduje s osou y, to znamená, že je kolmá na osu úsečky, její rovnice má tvar x \u003d 0. Pro takovou přímku neexistuje žádný sklon, což znamená, že \ ( f "(0) \) také neexistuje

Seznámili jsme se tedy s novou vlastností funkce – diferencovatelností. Jak můžete zjistit, zda je funkce diferencovatelná od grafu funkce?

Odpověď je vlastně uvedena výše. Pokud lze v určitém bodě nakreslit tečnu ke grafu funkce, která není kolmá k ose x, pak je v tomto bodě funkce diferencovatelná. Pokud v určitém bodě tečna ke grafu funkce neexistuje nebo je kolmá k ose x, pak v tomto bodě funkce není diferencovatelná.

Pravidla diferenciace

Operace nalezení derivace se nazývá diferenciace. Při provádění této operace musíte často pracovat s podíly, součty, součiny funkcí a také s „funkcemi funkcí“, tedy komplexními funkcemi. Na základě definice derivátu můžeme odvodit pravidla diferenciace, která tuto práci usnadňují. Pokud je C konstantní číslo a f=f(x), g=g(x) jsou některé diferencovatelné funkce, pak platí následující pravidla diferenciace:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivace složené funkce:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabulka derivací některých funkcí

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Dobrý den milí čtenáři. Po přečtení článku budete mít pravděpodobně logickou otázku: "Proč je to vlastně nutné?". Proto považuji nejprve za nutné předem informovat, že požadovaná metoda řešení kvadratických rovnic je prezentována spíše z morální a estetické stránky matematiky než ze strany praktické suché aplikace. Předem se také omlouvám těm čtenářům, kterým mé amatérské výroky připadají nepřijatelné. Začněme tedy zatloukat hřebíky mikroskopem.

Máme algebraickou rovnici druhého stupně (je také kvadratická) v obecném tvaru:

Pojďme od kvadratická rovnice na kvadratickou funkci:

Kde je samozřejmě nutné najít takové hodnoty argumentu funkce, ve kterých by vrátil nulu.

Zdá se, že pouze řeší kvadratickou rovnici pomocí Vietovy věty nebo prostřednictvím diskriminantu. Ale kvůli tomu tu nejsme. Vezměme derivát!

Na základě definice fyzikálního významu derivace prvního řádu je zřejmé, že dosazením argumentu do výše získané funkce (zejména) dostaneme Rychlost funkce se změní v bodě daném tímto argumentem.

Tentokrát jsme dostali "rychlost" změny funkce (tj. akcelerace) v konkrétním bodě. Po malé analýze výsledku můžeme dojít k závěru, že "zrychlení" je konstanta, která nezávisí na argumentu funkce - pamatujte si to.

Nyní si připomeňme trochu fyziky a rovnoměrně zrychlený pohyb (RUD). Co máme ve svém arzenálu? Je to tak, existuje vzorec pro určení souřadnic pohybu podél osy během požadovaného pohybu:

Kde - čas, - počáteční rychlost, - zrychlení.
Je snadné vidět, že naše původní funkce je pouze RUD.

Není vzorec posunu pro škrticí klapky důsledkem řešení kvadratické rovnice?

Ne. Vzorec pro škrticí klapku výše je ve skutečnosti výsledkem použití integrálu vzorce rychlosti pro PORD. Nebo z grafu můžete najít oblast obrázku. Vyjde lichoběžník.
Vzorec posuvu pro škrticí klapku nevyplývá z řešení žádných kvadratických rovnic. To je velmi důležité, jinak by článek neměl smysl.

Nyní zbývá zjistit, co je co a co nám chybí.

„Zrychlení“ již máme – jde o derivaci druhého řádu, odvozenou výše. Ale abychom dostali počáteční rychlost , musíme vzít obecně libovolnou (označme ji jako ) a dosadit ji do derivace nyní prvního řádu - protože to bude ta požadovaná.

V tomto případě vyvstává otázka, který z nich je třeba vzít? Je zřejmé, že počáteční rychlost je rovna nule, takže vzorec pro „výtlak na škrticí klapce“ bude:

V tomto případě vytvoříme rovnici pro hledání:

[dosazeno v derivátu prvního řádu]

Kořen takové rovnice vzhledem k bude:

A hodnota původní funkce s takovým argumentem bude:

Nyní je zřejmé, že:

Skládání všech dílků skládačky dohromady:

Zde máme konečné řešení problému. Obecně jsme neobjevili Ameriku – jednoduše jsme došli ke vzorci pro řešení kvadratické rovnice přes diskriminant kruhovým způsobem. To nemá praktický význam (přibližně stejným způsobem lze řešit rovnice prvního / druhého stupně libovolného (ne nutně obecného) tvaru).

Účelem tohoto článku je zejména vzbudit zájem o analýzu mat. funkce a matematika obecně.

Petr byl s vámi, děkuji za pozornost!