ปัญหา B7 ให้นิพจน์ที่ต้องทำให้ง่ายขึ้น ผลลัพธ์ควรเป็นตัวเลขปกติที่สามารถเขียนลงในกระดาษคำตอบได้ นิพจน์ทั้งหมดแบ่งออกเป็นสามประเภทตามเงื่อนไข:

1. ลอการิทึม,
2. สาธิต,
3. รวม.

นิพจน์เลขชี้กำลังและลอการิทึมในรูปแบบบริสุทธิ์แทบจะไม่เคยพบเลย อย่างไรก็ตาม การรู้วิธีการคำนวณเป็นสิ่งสำคัญ

โดยทั่วไปแล้วปัญหา B7 นั้นแก้ไขได้ค่อนข้างง่ายและอยู่ในอำนาจของผู้สำเร็จการศึกษาโดยเฉลี่ย การขาดอัลกอริธึมที่ชัดเจนได้รับการชดเชยด้วยมาตรฐานและความสม่ำเสมอ คุณสามารถเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวได้ง่ายๆ โดย จำนวนมากการออกกำลังกาย

นิพจน์ลอการิทึม

ปัญหา B7 ส่วนใหญ่ประกอบด้วยลอการิทึมในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง หัวข้อนี้ถือว่ายากตามธรรมเนียมเนื่องจากมักจะเรียนในเกรด 11 ซึ่งเป็นยุคของการเตรียมตัวจำนวนมากสำหรับการสอบปลายภาค เป็นผลให้ผู้สำเร็จการศึกษาจำนวนมากมีความคิดที่คลุมเครือมากเกี่ยวกับลอการิทึม

แต่ในงานนี้ไม่มีใครต้องการความรู้ทางทฤษฎีอย่างลึกซึ้ง เราจะพบเฉพาะสำนวนง่าย ๆ ที่ต้องใช้เหตุผลอย่างตรงไปตรงมาและอาจเชี่ยวชาญได้อย่างอิสระ ด้านล่างนี้เป็นสูตรพื้นฐานที่คุณต้องรู้เพื่อจัดการกับลอการิทึม:

นอกจากนี้ เราต้องสามารถแทนที่รากและเศษส่วนด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะได้ มิฉะนั้น ในบางนิพจน์จะไม่มีอะไรให้ดึงออกจากใต้สัญลักษณ์ของลอการิทึม สูตรทดแทน:

งาน. ค้นหาค่านิพจน์:
ล็อก 6 270 − ล็อก 6 7.5
ล็อก 5 775 − ล็อก 5 6.2

สองนิพจน์แรกจะถูกแปลงเป็นผลต่างของลอการิทึม:
บันทึก 6 270 − บันทึก 6 7.5 = บันทึก 6 (270: 7.5) = บันทึก 6 36 = 2;
ล็อก 5 775 − ล็อก 5 6.2 = ล็อก 5 (775: 6.2) = ล็อก 5 125 = 3

ในการคำนวณนิพจน์ที่สาม คุณจะต้องเลือกองศา - ทั้งในฐานและในอาร์กิวเมนต์ ก่อนอื่น มาหาลอการิทึมภายในกัน:

จากนั้น - ภายนอก:

โครงสร้างเช่น log a log bx ดูซับซ้อนและเข้าใจผิดสำหรับหลายๆ คน ในขณะเดียวกัน นี่เป็นเพียงลอการิทึมของลอการิทึม นั่นคือ บันทึก a (บันทึก b x ) ขั้นแรก ให้คำนวณลอการิทึมภายใน (ใส่ log b x = c ) จากนั้นจึงคำนวณลอการิทึมภายนอก: log a c

นิพจน์ชี้แจง

เราจะเรียกนิพจน์เอ็กซ์โปเนนเชียลในการสร้างรูปแบบ a k โดยที่ตัวเลข a และ k เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจและ a > 0 วิธีการทำงานกับนิพจน์ดังกล่าวค่อนข้างง่ายและมีการพิจารณาในบทเรียนพีชคณิตเกรด 8

ด้านล่างนี้เป็นสูตรพื้นฐานที่คุณต้องรู้ การใช้สูตรเหล่านี้ในทางปฏิบัติจะไม่ทำให้เกิดปัญหา

1. a n a m = a n + m ;
2. n / a m = n − m ;
3. (n ) m = a n m ;
4. (เป็น ข) n = เป็น n b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n .

ถ้าเจอ การแสดงออกที่ซับซ้อนด้วยองศาและไม่ชัดเจนว่าจะเข้าใกล้ได้อย่างไรพวกเขาใช้เทคนิคสากล - การสลายตัวเป็นปัจจัยสำคัญ เป็นผลให้ตัวเลขจำนวนมากในฐานขององศาถูกแทนที่ด้วยองค์ประกอบที่เรียบง่ายและเข้าใจได้ จากนั้นจะใช้สูตรข้างต้นเท่านั้น - และปัญหาจะได้รับการแก้ไข

งาน. ค้นหาค่านิพจน์: 7 9 3 11:21 8 , 24 7:3 6:16 5 , 30 6:6 5:25 2

สารละลาย. เราสลายฐานอำนาจทั้งหมดเป็นปัจจัยหลัก:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189
24 7:3 6:16 5 = (3 2 3) 7:3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21:3 6:2 20 = 3 2 = 6.
30 6:6 5:25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6:3 5:2 5:5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

งานรวม

หากคุณรู้สูตร นิพจน์เอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมทั้งหมดจะแก้ไขตามตัวอักษรในบรรทัดเดียว อย่างไรก็ตาม ในปัญหา B7 นั้น เลขยกกำลังและลอการิทึมสามารถรวมกันเพื่อสร้างชุดค่าผสมที่ค่อนข้างแรง

องค์ประกอบหนึ่งของพีชคณิตระดับดั้งเดิมคือลอการิทึม ชื่อนี้มาจากภาษากรีกจากคำว่า "number" หรือ "degree" และหมายถึงระดับที่จำเป็นต้องเพิ่มตัวเลขที่ฐานเพื่อค้นหาหมายเลขสุดท้าย

ประเภทของลอการิทึม

• log a b คือลอการิทึมของจำนวน b ฐาน a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - ลอการิทึมฐานสิบ (ลอการิทึมฐาน 10, a = 10);
• ln b - ลอการิทึมธรรมชาติ (ฐานลอการิทึม e, a = e)

จะแก้ลอการิทึมได้อย่างไร?

ลอการิทึมของเลข b ถึงฐาน a เป็นเลขยกกำลัง ซึ่งกำหนดให้ฐาน a ต้องยกกำลังเป็นเลข b ผลลัพธ์จะออกเสียงดังนี้: "ลอการิทึมของ b เป็นฐานของ a" วิธีแก้ปัญหาลอการิทึมคือคุณต้องกำหนดระดับที่กำหนดด้วยตัวเลขตามตัวเลขที่ระบุ มีกฎพื้นฐานบางประการสำหรับการกำหนดหรือแก้ลอการิทึม รวมถึงการเปลี่ยนสัญกรณ์ด้วย เมื่อใช้สมการลอการิทึมจะได้รับการแก้ไข พบอนุพันธ์ ปริพันธ์ถูกแก้ไข และดำเนินการอื่น ๆ อีกมากมาย โดยพื้นฐานแล้ว คำตอบของลอการิทึมนั้นก็คือสัญกรณ์อย่างง่าย ด้านล่างนี้เป็นสูตรและคุณสมบัติหลัก:

สำหรับ ; ก > 0; a ≠ 1 และสำหรับ x ใดๆ ; y > 0

• a log a b = b เป็นเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
• บันทึก 1 = 0
• บันทึก a = 1
• บันทึก a (x y ) = บันทึก a x + บันทึก a y
• บันทึก a x/ y = บันทึก a x – บันทึก a y
• บันทึก a 1/x = - บันทึก a x
• บันทึก a x p = p บันทึก a x
• บันทึก a k x = 1/k บันทึก a x สำหรับ k ≠ 0
• บันทึก a x = บันทึก a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่
• บันทึก a x = 1/บันทึก x a

วิธีแก้ลอการิทึม - คำแนะนำทีละขั้นตอนสำหรับการแก้ปัญหา

• ขั้นแรก ให้จดสมการที่ต้องการ

โปรดทราบ: หากลอการิทึมฐานเป็น 10 บันทึกจะถูกทำให้สั้นลง จะได้ลอการิทึมทศนิยม ถ้าคุ้ม จำนวนธรรมชาติ e จากนั้นเราเขียนลงไปโดยลดเป็นลอการิทึมธรรมชาติ หมายความว่าผลลัพธ์ของลอการิทึมทั้งหมดคือพลังในการยกเลขฐานเพื่อให้ได้เลข b

การแก้ปัญหาโดยตรงอยู่ในการคำนวณระดับนี้ ก่อนที่จะแก้นิพจน์ด้วยลอการิทึม จะต้องทำให้ง่ายขึ้นตามกฎนั่นคือการใช้สูตร คุณสามารถค้นหาข้อมูลประจำตัวหลักได้โดยย้อนกลับไปเล็กน้อยในบทความ

เมื่อบวกและลบลอการิทึมด้วยตัวเลขสองตัวที่ต่างกันแต่มีฐานเดียวกัน ให้แทนที่ด้วยลอการิทึมตัวเดียวด้วยผลคูณหรือการหารของตัวเลข b และ c ตามลำดับ ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้สูตรการเปลี่ยนกับฐานอื่นได้ (ดูด้านบน)

หากคุณกำลังใช้นิพจน์เพื่อลดความซับซ้อนของลอการิทึม มีข้อจำกัดบางประการที่ต้องระวัง และนั่นคือฐานของลอการิทึม a - เท่านั้น จำนวนบวกแต่ไม่เท่ากับหนึ่ง จำนวน b เช่น a ต้องมากกว่าศูนย์

มีหลายกรณีที่ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น คุณจะไม่สามารถคำนวณลอการิทึมในรูปแบบตัวเลขได้ มันเกิดขึ้นที่การแสดงออกนั้นไม่สมเหตุสมผลเพราะหลายองศาเป็นจำนวนอตรรกยะ ภายใต้เงื่อนไขนี้ ให้ปล่อยเลขยกกำลังเป็นลอการิทึม

อย่างที่คุณทราบ เมื่อนำนิพจน์ยกกำลังมาคูณกัน เลขยกกำลังจะรวมกันเสมอ (a b * a c = a b + c) กฎทางคณิตศาสตร์นี้ได้รับมาจากอาร์คิมิดีส และต่อมาในศตวรรษที่ 8 นักคณิตศาสตร์วิระเสนได้สร้างตารางตัวบ่งชี้จำนวนเต็ม พวกเขาเป็นผู้ที่ทำหน้าที่ค้นพบลอการิทึมเพิ่มเติม ตัวอย่างของการใช้ฟังก์ชันนี้พบได้เกือบทุกที่ที่ต้องการลดความซับซ้อนของการคูณที่ยุ่งยากให้เป็นการบวกอย่างง่าย หากคุณใช้เวลา 10 นาทีในการอ่านบทความนี้ เราจะอธิบายให้คุณทราบว่าลอการิทึมคืออะไรและจะใช้งานอย่างไร ภาษาที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้

ความหมายในคณิตศาสตร์

ลอการิทึมเป็นนิพจน์ในรูปแบบต่อไปนี้: log a b=c นั่นคือ ลอการิทึมของจำนวนใดๆ ที่ไม่เป็นลบ (นั่นคือค่าบวกใดๆ) "b" ตามฐาน "a" ถือเป็นกำลังของ "c " ซึ่งจำเป็นต้องเพิ่มฐาน "a" เพื่อให้ได้ค่า "b" ในท้ายที่สุด ลองวิเคราะห์ลอการิทึมโดยใช้ตัวอย่าง สมมติว่ามีนิพจน์ล็อก 2 8. จะหาคำตอบได้อย่างไร? มันง่ายมาก คุณต้องหาระดับที่ตั้งแต่ 2 ถึงระดับที่กำหนด คุณจะได้ 8 หลังจากคำนวณในใจแล้ว เราก็ได้เลข 3! และถูกต้อง เพราะ 2 ยกกำลัง 3 ให้เลข 8 ในคำตอบ

ความหลากหลายของลอการิทึม

สำหรับนักเรียนและนักเรียนหลายคน หัวข้อนี้ดูซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่ในความเป็นจริง ลอการิทึมไม่ได้น่ากลัวนัก สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจความหมายทั่วไปและจดจำคุณสมบัติและกฎบางอย่าง มีสาม บางประเภทนิพจน์ลอการิทึม:

1. ลอการิทึมธรรมชาติ ln a โดยที่ฐานคือเลขออยเลอร์ (e = 2.7)
2. ทศนิยม a โดยที่ฐานคือ 10
3. ลอการิทึมของจำนวน b ใด ๆ กับฐาน a>1

แต่ละคนจะตัดสินใจ ด้วยวิธีมาตรฐานซึ่งรวมถึงการทำให้ง่าย การลดลง และการลดลงในภายหลังเป็นลอการิทึมเดียวโดยใช้ทฤษฎีบทลอการิทึม เพื่อให้ได้ค่าลอการิทึมที่ถูกต้องเราควรจดจำคุณสมบัติและลำดับของการกระทำในการตัดสินใจ

กฎและข้อจำกัดบางประการ

ในวิชาคณิตศาสตร์ มีกฎ-ข้อจำกัดหลายข้อที่ยอมรับได้ว่าเป็นสัจพจน์ กล่าวคือ กฎเหล่านี้ไม่ได้อยู่ภายใต้การอภิปรายและเป็นความจริง ตัวอย่างเช่น คุณไม่สามารถหารตัวเลขด้วยศูนย์ได้ และเป็นไปไม่ได้ที่จะถอดรากเลขคู่ออกจากกัน ตัวเลขติดลบ. ลอการิทึมยังมีกฎของตัวเอง ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้วิธีการทำงานได้อย่างง่ายดาย แม้จะมีนิพจน์ลอการิทึมที่ยาวและกว้างขวาง:

• ฐาน "a" จะต้องมากกว่าศูนย์เสมอและในเวลาเดียวกันต้องไม่เท่ากับ 1 มิฉะนั้นนิพจน์จะสูญเสียความหมายเนื่องจาก "1" และ "0" ในระดับใด ๆ จะเท่ากับค่าของมันเสมอ
• ถ้า a > 0 แล้ว a b > 0 แสดงว่า "c" ต้องมากกว่าศูนย์

จะแก้ลอการิทึมได้อย่างไร?

ตัวอย่างเช่น งานได้รับมอบหมายให้หาคำตอบของสมการ 10 x \u003d 100 มันง่ายมาก คุณต้องเลือกกำลังดังกล่าวโดยเพิ่มจำนวนสิบที่เราได้ 100 แน่นอนว่านี่คือ 10 2 \u003d 100.

ทีนี้ลองแสดงนิพจน์นี้เป็นลอการิทึม เราได้รับล็อก 10 100 = 2 เมื่อแก้ลอการิทึม การดำเนินการทั้งหมดจะบรรจบกันเพื่อหาระดับที่ต้องป้อนฐานของลอการิทึมเพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด

ในการระบุค่าขององศาที่ไม่รู้จักอย่างแม่นยำ คุณต้องเรียนรู้วิธีการทำงานกับตารางองศา ดูเหมือนว่า:

อย่างที่คุณเห็น เลขชี้กำลังบางตัวสามารถเดาได้โดยสัญชาตญาณหากคุณมีความคิดเชิงเทคนิคและความรู้เกี่ยวกับสูตรคูณ อย่างไรก็ตามสำหรับ ค่ามากคุณต้องมีตารางองศา สามารถใช้ได้แม้กระทั่งผู้ที่ไม่เข้าใจอะไรเลยในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน คอลัมน์ด้านซ้ายประกอบด้วยตัวเลข (ฐาน a) แถวบนสุดของตัวเลขคือค่าของเลขยกกำลัง c ซึ่งตัวเลข a จะถูกยกขึ้น ที่จุดตัดในเซลล์จะมีการกำหนดค่าของตัวเลขซึ่งเป็นคำตอบ (a c =b) ตัวอย่างเช่น เซลล์แรกสุดที่มีเลข 10 และยกกำลังสอง เราจะได้ค่า 100 ซึ่งระบุที่จุดตัดของสองเซลล์ ทุกอย่างเรียบง่ายและง่ายดายจนแม้แต่นักมนุษยนิยมที่แท้จริงที่สุดก็ยังเข้าใจ!

สมการและอสมการ

ปรากฎว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ เลขชี้กำลังคือลอการิทึม ดังนั้น นิพจน์ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ใดๆ จึงสามารถเขียนเป็นสมการลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น สามารถเขียน 3 4 =81 เป็นลอการิทึมของ 81 ถึงฐาน 3 ซึ่งเป็นสี่ (บันทึก 3 81 = 4) สำหรับพลังลบ กฎจะเหมือนกัน: 2 -5 = 1/32 เราเขียนเป็นลอการิทึม เราจะได้ล็อก 2 (1/32) = -5 หนึ่งในส่วนที่น่าสนใจที่สุดของคณิตศาสตร์คือหัวข้อของ "ลอการิทึม" เราจะพิจารณาตัวอย่างและคำตอบของสมการที่ต่ำกว่าเล็กน้อยทันทีหลังจากศึกษาคุณสมบัติของสมการ ทีนี้มาดูว่าอสมการมีลักษณะอย่างไรและจะแยกมันออกจากสมการได้อย่างไร

นิพจน์ของแบบฟอร์มต่อไปนี้จะได้รับ: log 2 (x-1) > 3 - เป็นอสมการลอการิทึม เนื่องจากค่าที่ไม่รู้จัก "x" อยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม และในนิพจน์จะเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณ: ลอการิทึมของจำนวนที่ต้องการในฐานสองนั้นมากกว่าเลขสาม

ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างสมการลอการิทึมและอสมการคือสมการที่มีลอการิทึม (เช่น ลอการิทึมของ 2 x = √9) หมายถึงค่าตัวเลขเฉพาะหนึ่งค่าหรือมากกว่านั้นในคำตอบ ในขณะที่เมื่อแก้อสมการ ทั้งช่วงของ ค่าที่ยอมรับได้และจุดที่ทำลายฟังก์ชันนี้ ผลที่ตามมา คำตอบจึงไม่ใช่ชุดของตัวเลขเดี่ยวๆ อย่างในคำตอบของสมการ แต่เป็นชุดต่อเนื่องหรือชุดของตัวเลข

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม

เมื่อแก้ไขงานดั้งเดิมในการค้นหาค่าของลอการิทึม คุณสมบัติอาจไม่เป็นที่รู้จัก อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงสมการลอการิทึมหรืออสมการ ก่อนอื่นจำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนและนำไปใช้ในทางปฏิบัติเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของลอการิทึม เราจะทำความคุ้นเคยกับตัวอย่างสมการในภายหลัง ขั้นแรกให้วิเคราะห์แต่ละคุณสมบัติโดยละเอียด

1. ข้อมูลประจำตัวพื้นฐานมีลักษณะดังนี้: a logaB = B ใช้เฉพาะเมื่อ a มากกว่า 0 ไม่เท่ากับ 1 และ B มากกว่าศูนย์
2. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้ในสูตรต่อไปนี้: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2 ในกรณีนี้ ข้อกำหนดเบื้องต้นคือ: d, s 1 และ s 2 > 0; ก≠1 คุณสามารถพิสูจน์สูตรลอการิทึมนี้พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา ให้ล็อก a s 1 = f 1 และล็อก a s 2 = f 2 แล้ว a f1 = s 1 , a f2 = s 2 เราได้ว่า s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (คุณสมบัติระดับ ) และนิยามเพิ่มเติม: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ซึ่งจะต้องพิสูจน์
3. ลอการิทึมของผลหารมีลักษณะดังนี้: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2
4. ทฤษฎีบทในรูปแบบของสูตรใช้รูปแบบต่อไปนี้: log a q b n = n/q log a b

สูตรนี้เรียกว่า "คุณสมบัติของดีกรีของลอการิทึม" มันคล้ายกับคุณสมบัติขององศาธรรมดา และไม่น่าแปลกใจเพราะคณิตศาสตร์ทั้งหมดวางอยู่บนสมมุติฐานปกติ มาดูหลักฐานกันเลย

ให้บันทึก a b \u003d t ปรากฎว่า a t \u003d b หากคุณยกกำลังทั้งสองส่วน m: a tn = b n ;

แต่เนื่องจาก a tn = (a q) nt/q = b n ดังนั้น log a q b n = (n*t)/t จากนั้น log a q b n = n/q log a b ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างปัญหาและอสมการ

ประเภทของปัญหาลอการิทึมที่พบบ่อยที่สุดคือตัวอย่างสมการและอสมการ พบได้ในหนังสือปัญหาเกือบทั้งหมดและยังรวมอยู่ในส่วนบังคับของการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยหรือสอบผ่าน การสอบเข้าในวิชาคณิตศาสตร์คุณจำเป็นต้องรู้วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง

น่าเสียดายที่แผนเดียวหรือแผนเดียวในการจัดการและกำหนด ค่าที่ไม่รู้จักไม่มีลอการิทึม อย่างไรก็ตาม สามารถใช้กฎบางอย่างกับอสมการทางคณิตศาสตร์หรือสมการลอการิทึมได้ ก่อนอื่น คุณควรค้นหาว่านิพจน์สามารถทำให้ง่ายขึ้นหรือลดลงเป็น ปริทัศน์. คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ลอการิทึมแบบยาวได้หากคุณใช้คุณสมบัติอย่างถูกต้อง มาทำความรู้จักกับพวกเขากันเร็ว ๆ นี้

เมื่อแก้สมการลอการิทึม จำเป็นต้องพิจารณาว่าเรามีลอการิทึมประเภทใดอยู่ข้างหน้า ตัวอย่างของนิพจน์อาจมีลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม

นี่คือตัวอย่าง ln100, ln1026 วิธีแก้ปัญหาของพวกเขาคือความจริงที่ว่าคุณต้องกำหนดระดับที่ฐาน 10 จะเท่ากับ 100 และ 1,026 ตามลำดับ สำหรับแนวทางแก้ไข ลอการิทึมธรรมชาติต้องใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมหรือคุณสมบัติของพวกเขา ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาลอการิทึมประเภทต่างๆ

วิธีใช้สูตรลอการิทึม: พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

มาดูตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทหลักเกี่ยวกับลอการิทึมกัน

1. คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถใช้ในงานที่จำเป็นต้องขยาย ความสำคัญอย่างยิ่งจำนวน b เป็นตัวประกอบที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 4 + บันทึก 2 128 = บันทึก 2 (4*128) = บันทึก 2 512 คำตอบคือ 9
2. บันทึก 4 8 = บันทึก 2 2 2 3 = 3/2 บันทึก 2 2 = 1.5 - อย่างที่คุณเห็นโดยใช้คุณสมบัติที่สี่ของระดับของลอการิทึมเราสามารถแก้ไขนิพจน์ที่ซับซ้อนและแก้ไม่ได้ได้ในแวบแรก จำเป็นต้องแยกตัวประกอบฐานแล้วนำค่าเลขยกกำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึม

งานจากการสอบ

ลอการิทึมมักพบในการสอบเข้า โดยเฉพาะปัญหาลอการิทึมจำนวนมากในการสอบ Unified State (การสอบของรัฐสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนทั้งหมด) โดยปกติงานเหล่านี้ไม่ได้มีอยู่เฉพาะในส่วน A (ที่ง่ายที่สุด ส่วนการทดสอบการสอบ) แต่ยังอยู่ในส่วน C (งานที่ยากและใหญ่โตที่สุด) การสอบแสดงถึงความรู้ที่ถูกต้องและสมบูรณ์แบบในหัวข้อ "ลอการิทึมธรรมชาติ"

ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหานำมาจากทางการ ใช้ตัวเลือก. มาดูกันว่างานดังกล่าวได้รับการแก้ไขอย่างไร

รับบันทึก 2 (2x-1) = 4 วิธีแก้ปัญหา:
ลองเขียนนิพจน์ใหม่โดยทำให้มันง่ายขึ้นเล็กน้อย log 2 (2x-1) = 2 2 โดยนิยามของลอการิทึมเราจะได้ 2x-1 = 2 4 ดังนั้น 2x = 17; x = 8.5

• ลอการิทึมทั้งหมดจะลดขนาดลงเป็นฐานเดียวกันได้ดีที่สุด เพื่อไม่ให้คำตอบยุ่งยากและสับสน
• นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมจะถูกระบุว่าเป็นค่าบวก ดังนั้น เมื่อนำเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลังของนิพจน์ซึ่งอยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมและเป็นฐานออก นิพจน์ที่เหลืออยู่ภายใต้ลอการิทึมจะต้องเป็นค่าบวก

ด้วยวิดีโอนี้ ฉันเริ่มบทเรียนชุดยาวเกี่ยวกับสมการลอการิทึม ตอนนี้คุณมีสามตัวอย่างพร้อมกันโดยเราจะเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดซึ่งเรียกว่า - โปรโตซัว.

บันทึก 0.5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

ฉันขอเตือนคุณว่าสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีดังต่อไปนี้:

บันทึก a f(x) = b

สิ่งสำคัญคือตัวแปร x จะต้องแสดงอยู่ในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น เช่น เฉพาะในฟังก์ชัน f(x) และตัวเลข a และ b เป็นเพียงตัวเลข และไม่มีกรณีใดที่เป็นฟังก์ชันที่มีตัวแปร x

วิธีแก้ไขเบื้องต้น

มีหลายวิธีในการแก้ปัญหาโครงสร้างดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ครูส่วนใหญ่ที่โรงเรียนแนะนำวิธีนี้ แสดงฟังก์ชัน f ( x ) ทันทีโดยใช้สูตร ฉ( x ) = ก ข นั่นคือเมื่อคุณพบกับโครงสร้างที่ง่ายที่สุด คุณสามารถดำเนินการแก้ไขได้ทันทีโดยไม่ต้องดำเนินการและก่อสร้างเพิ่มเติม

ใช่แน่นอนการตัดสินใจจะกลายเป็นถูกต้อง แต่ปัญหาของสูตรนี้คือนักเรียนส่วนใหญ่ ไม่เข้าใจมันมาจากไหนและทำไมเราถึงยกตัวอักษร a ถึงตัวอักษร b

เป็นผลให้ฉันมักจะสังเกตเห็นข้อผิดพลาดที่น่ารังเกียจมาก เช่น เมื่อตัวอักษรเหล่านี้ถูกสับเปลี่ยนกัน สูตรนี้ต้องเข้าใจหรือจำไว้ และวิธีที่ 2 จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดในช่วงเวลาที่ไม่เหมาะสมและสำคัญที่สุด: ในการสอบ การทดสอบ ฯลฯ

นั่นคือเหตุผลที่ฉันแนะนำให้นักเรียนทุกคนเลิกใช้สูตรมาตรฐานของโรงเรียนและใช้วิธีที่สองในการแก้สมการลอการิทึม ซึ่งตามที่คุณเดาได้จากชื่อเรียกว่า รูปแบบบัญญัติ.

ความคิด รูปแบบบัญญัติเรียบง่าย. มาดูปัญหาของเราอีกครั้ง: ทางด้านซ้ายเรามี log a ในขณะที่ตัวอักษร a หมายถึงตัวเลขทั้งหมด และไม่ว่าในกรณีใดฟังก์ชันที่มีตัวแปร x ดังนั้น จดหมายนี้อยู่ภายใต้ข้อจำกัดทั้งหมดที่กำหนดไว้บนฐานของลอการิทึม กล่าวคือ:

1 ≠ ก > 0

ในทางกลับกัน จากสมการเดียวกัน เราจะเห็นว่าลอการิทึมต้องเป็น เท่ากับจำนวน b และไม่มีการกำหนดข้อ จำกัด ในจดหมายฉบับนี้เนื่องจากสามารถใช้ค่าใดก็ได้ - ทั้งค่าบวกและค่าลบ ทุกอย่างขึ้นอยู่กับค่าที่ฟังก์ชัน f(x) ใช้

และที่นี่ เราจำกฎมหัศจรรย์ของเราที่ว่า จำนวน b ใดๆ สามารถแสดงเป็นลอการิทึมในฐาน a จาก a ยกกำลัง b:

b = บันทึก a b

วิธีการจำสูตรนี้? ใช่ง่ายมาก ลองเขียนสิ่งก่อสร้างต่อไปนี้:

b = b 1 = b บันทึก a

แน่นอน ในกรณีนี้ ข้อจำกัดทั้งหมดที่เราเขียนไว้ในตอนแรกเกิดขึ้น ตอนนี้ ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม และป้อนตัวประกอบ b เป็นกำลังของ a เราได้รับ:

b = b 1 = b บันทึก a = บันทึก a b

ดังนั้น สมการเดิมจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a b → f (x) = a b

นั่นคือทั้งหมด ฟังก์ชันใหม่ไม่มีลอการิทึมอีกต่อไปและแก้ไขได้ด้วยเทคนิคพีชคณิตมาตรฐาน

แน่นอนว่าตอนนี้บางคนจะคัดค้าน: เหตุใดจึงจำเป็นต้องคิดสูตรบัญญัติบางประเภทขึ้นมาทำไมจึงต้องทำสองขั้นตอนที่ไม่จำเป็นเพิ่มเติมหากเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนจากโครงสร้างเดิมเป็นสูตรสุดท้ายทันที ใช่ ถ้าเพียงเพราะนักเรียนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าสูตรนี้มาจากไหน และเป็นผลให้ทำผิดเป็นประจำเมื่อนำไปใช้

แต่ลำดับของการกระทำดังกล่าวประกอบด้วยสามขั้นตอน ช่วยให้คุณสามารถแก้สมการลอการิทึมดั้งเดิมได้ แม้ว่าคุณจะไม่เข้าใจว่าสูตรสุดท้ายนั้นมาจากไหน อย่างไรก็ตาม รายการนี้เรียกว่าสูตรบัญญัติ:

ล็อก a f(x) = ล็อก a b

ความสะดวกสบายของรูปแบบบัญญัติยังอยู่ที่ความจริงที่ว่ามันสามารถใช้ในการแก้สมการลอการิทึมในระดับที่กว้างมาก ไม่ใช่แค่สมการที่ง่ายที่สุดที่เรากำลังพิจารณาอยู่ในปัจจุบัน

ตัวอย่างโซลูชัน

และตอนนี้เรามาพิจารณากัน ตัวอย่างจริง. เรามาตัดสินใจกัน:

บันทึก 0.5 (3x - 1) = -3

ลองเขียนใหม่ดังนี้:

ล็อก 0.5 (3x − 1) = ล็อก 0.5 0.5 −3

นักเรียนหลายคนรีบร้อนและพยายามที่จะเพิ่มจำนวน 0.5 เป็นพลังที่มาจากปัญหาเดิม และแน่นอน เมื่อคุณได้รับการฝึกฝนอย่างดีในการแก้ปัญหาดังกล่าวแล้ว คุณสามารถดำเนินการขั้นตอนนี้ได้ทันที

อย่างไรก็ตาม หากตอนนี้คุณเพิ่งเริ่มศึกษาหัวข้อนี้ จะเป็นการดีกว่าที่จะไม่รีบเร่งไปที่ใดก็ได้เพื่อไม่ให้เกิดข้อผิดพลาดที่ไม่เหมาะสม ดังนั้นเราจึงมีรูปแบบบัญญัติ เรามี:

3x - 1 = 0.5 -3

นี่ไม่ใช่สมการลอการิทึมอีกต่อไป แต่เป็นสมการเชิงเส้นที่เกี่ยวกับตัวแปร x เพื่อแก้ปัญหา ก่อนอื่นเรามาจัดการกับเลข 0.5 ยกกำลัง −3 โปรดทราบว่า 0.5 คือ 1/2

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

ทั้งหมด ทศนิยมแปลงเป็นปกติเมื่อคุณแก้สมการลอการิทึม

เราเขียนใหม่และได้รับ:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

เราได้คำตอบทั้งหมดแล้ว งานแรกได้รับการแก้ไขแล้ว

งานที่สอง

ไปที่งานที่สองกันเถอะ:

อย่างที่คุณเห็น สมการนี้ไม่ใช่สมการที่ง่ายที่สุดอีกต่อไป ถ้าเพียงเพราะผลต่างอยู่ทางซ้าย ไม่ใช่ลอการิทึมเดียวในฐานเดียว

ดังนั้นคุณต้องกำจัดความแตกต่างนี้ ในกรณีนี้ทุกอย่างง่ายมาก มาดูฐานกันให้ละเอียดยิ่งขึ้น: ด้านซ้ายคือตัวเลขใต้รูท:

คำแนะนำทั่วไป: ในสมการลอการิทึมทั้งหมด ให้พยายามกำจัดอนุมูล เช่น รายการที่มีราก และไปยัง ฟังก์ชั่นพลังงานเนื่องจากเลขยกกำลังเหล่านี้สามารถดึงออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมได้อย่างง่ายดาย และท้ายที่สุด เครื่องหมายดังกล่าวทำให้การคำนวณง่ายขึ้นและเร็วขึ้นอย่างมาก ลองเขียนแบบนี้:

ตอนนี้เราจำคุณสมบัติที่น่าทึ่งของลอการิทึมได้: จากอาร์กิวเมนต์และจากฐาน คุณสามารถถอดองศาได้ ในกรณีของฐาน จะเกิดสิ่งต่อไปนี้:

ล็อก a k b = 1/k ล็อก b

กล่าวอีกนัยหนึ่งจำนวนที่ยืนอยู่ในระดับฐานจะถูกยกไปข้างหน้าและในเวลาเดียวกันก็พลิกกลับเช่น กลายเป็น หมายเลขย้อนกลับ. ในกรณีของเรา มีระดับของฐานที่มีตัวบ่งชี้ 1/2 เราจึงเอาออกมาเป็น 2/1 ได้ เราได้รับ:

5 2 ล็อก 5 x − ล็อก 5 x = 18
10 บันทึก 5 x − บันทึก 5 x = 18

โปรดทราบ: ไม่ว่าในกรณีใด คุณไม่ควรกำจัดลอการิทึมในขั้นตอนนี้ ลองนึกถึงคณิตศาสตร์ชั้น ป.4-5 และลำดับการดำเนินการ: การคูณจะดำเนินการก่อน แล้วจึงทำการบวกและการลบเท่านั้น ในกรณีนี้ เราจะลบหนึ่งในองค์ประกอบเดียวกันออกจาก 10 องค์ประกอบ:

9 บันทึก 5 x = 18
บันทึก 5 x = 2

ตอนนี้สมการของเราดูเหมือนว่าควรจะเป็น นี้ การออกแบบที่ง่ายที่สุดและเราแก้ปัญหาด้วยรูปแบบบัญญัติ:

ล็อก 5 x = ล็อก 5 5 2
x = 5 2
x=25

นั่นคือทั้งหมด ปัญหาที่สองได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่สาม

ไปที่งานที่สามกันเถอะ:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

จำสูตรต่อไปนี้:

บันทึก b = บันทึก 10 b

หากคุณสับสนด้วยเหตุผลบางอย่าง lg b จากนั้นเมื่อทำการคำนวณทั้งหมดคุณสามารถเขียนบันทึก 10 b . คุณสามารถทำงานกับลอการิทึมฐานสิบได้ในลักษณะเดียวกับแบบอื่นๆ: นำกำลังออก เพิ่ม และแสดงจำนวนใดๆ เป็น lg 10

เป็นคุณสมบัติเหล่านี้ที่เราจะใช้เพื่อแก้ปัญหาเนื่องจากไม่ใช่คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดที่เราเขียนไว้ในตอนต้นของบทเรียน

ในการเริ่มต้น โปรดทราบว่าสามารถแทรกตัวประกอบ 2 ก่อน lg 5 และกลายเป็นกำลังของฐาน 5 นอกจากนี้ เทอมอิสระ 3 ยังสามารถแสดงเป็นลอการิทึม ซึ่งสังเกตได้ง่ายมากจากสัญกรณ์ของเรา

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ตัวเลขใดๆ สามารถแสดงเป็นบันทึกของฐาน 10:

3 = บันทึก 10 10 3 = บันทึก 10 3

ลองเขียนปัญหาเดิมใหม่โดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงที่ได้รับ:

lg (x − 3) = lg 1,000 + lg 25
แอลจี (x − 3) = แอลจี 1,000 25
lg (x - 3) = lg 25,000

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบที่ยอมรับได้อีกครั้ง และเราได้มาโดยผ่านขั้นตอนของการแปลง เช่น สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดไม่ได้เกิดขึ้นกับเรา

นั่นคือสิ่งที่ฉันพูดถึงในตอนต้นของบทเรียน รูปแบบบัญญัติช่วยให้สามารถแก้ปัญหาในชั้นเรียนได้กว้างกว่าสูตรมาตรฐานของโรงเรียน ซึ่งครูส่วนใหญ่มอบให้

นั่นคือทั้งหมดที่ เรากำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมทศนิยม และเราได้โครงสร้างเชิงเส้นอย่างง่าย:

x + 3 = 25,000
x = 24997

ทั้งหมด! แก้ไขปัญหา.

หมายเหตุเกี่ยวกับขอบเขต

ในที่นี้ ข้าพเจ้าขอตั้งข้อสังเกตที่สำคัญเกี่ยวกับขอบเขตของคำนิยาม แน่นอน ตอนนี้มีนักเรียนและครูที่จะพูดว่า: "เมื่อเราแก้นิพจน์ด้วยลอการิทึม จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องจำไว้ว่าอาร์กิวเมนต์ f (x) ต้องมากกว่าศูนย์!" ในเรื่องนี้ คำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: ทำไมในปัญหาที่พิจารณาถึงเราไม่ต้องการให้ความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้รับการตอบสนอง?

ไม่ต้องกังวล ในกรณีเหล่านี้จะไม่มีรากพิเศษปรากฏขึ้น และนี่เป็นอีกหนึ่งเคล็ดลับที่ยอดเยี่ยมที่ช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้เร็วขึ้น เพิ่งรู้ว่าถ้าในปัญหาตัวแปร x เกิดขึ้นในที่เดียวเท่านั้น (แม่นยำยิ่งขึ้นในอาร์กิวเมนต์หนึ่งเดียวของลอการิทึมหนึ่งเดียว) และไม่มีที่อื่นในกรณีของเราที่ตัวแปร x จากนั้นเขียนโดเมน ไม่จำเป็นเพราะมันจะทำงานโดยอัตโนมัติ

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ในสมการแรก เราได้ 3x - 1 นั่นคือ อาร์กิวเมนต์ควรเท่ากับ 8 ซึ่งหมายความว่า 3x - 1 จะมากกว่าศูนย์โดยอัตโนมัติ

ด้วยความสำเร็จเดียวกัน เราสามารถเขียนได้ว่าในกรณีที่สอง x ต้องเท่ากับ 5 2 นั่นคือ มันมากกว่าศูนย์อย่างแน่นอน และในกรณีที่สาม โดยที่ x + 3 = 25,000 นั่นคือ มากกว่าศูนย์อย่างเห็นได้ชัดอีกครั้ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ขอบเขตจะเป็นไปโดยอัตโนมัติ แต่ถ้า x เกิดขึ้นเฉพาะในอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเดียวเท่านั้น

นั่นคือทั้งหมดที่คุณต้องรู้เพื่อแก้ปัญหาง่ายๆ กฎนี้เพียงอย่างเดียวพร้อมกับกฎการแปลงจะช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้หลากหลายประเภท

แต่ขอบอกตามตรง: เพื่อที่จะจัดการกับเทคนิคนี้ในที่สุด เพื่อเรียนรู้วิธีใช้รูปแบบบัญญัติ สมการลอการิทึมแค่ดูวิดีโอสอนอย่างเดียวไม่พอ ดังนั้น ตอนนี้ ให้ดาวน์โหลดตัวเลือกสำหรับโซลูชันอิสระที่แนบมากับวิดีโอบทช่วยสอนนี้ และเริ่มแก้ไขงานอิสระอย่างน้อยหนึ่งงานจากสองงานเหล่านี้

จะใช้เวลาเพียงไม่กี่นาที แต่ผลของการฝึกอบรมดังกล่าวจะสูงกว่ามากเมื่อเทียบกับหากคุณเพิ่งดูวิดีโอบทช่วยสอนนี้

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจสมการลอการิทึม ใช้รูปแบบมาตรฐาน ลดความซับซ้อนของนิพจน์โดยใช้กฎสำหรับการทำงานกับลอการิทึม - และคุณจะไม่กลัวงานใด ๆ และนั่นคือทั้งหมดที่ฉันมีสำหรับวันนี้

การพิจารณาขอบเขต

ตอนนี้ เรามาพูดถึงโดเมนของฟังก์ชันลอการิทึม รวมถึงผลกระทบของสมการลอการิทึม พิจารณาการสร้างแบบฟอร์ม

บันทึก a f(x) = b

นิพจน์ดังกล่าวเรียกว่าง่ายที่สุด - มีฟังก์ชันเดียวเท่านั้นและตัวเลข a และ b เป็นเพียงตัวเลขและไม่ว่าในกรณีใดจะเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x มันแก้ไขได้ง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องใช้สูตร:

b = บันทึก a b

สูตรนี้เป็นหนึ่งในคุณสมบัติหลักของลอการิทึม และเมื่อแทนค่าลงในนิพจน์เดิม เราจะได้ค่าต่อไปนี้:

ล็อก a f(x) = ล็อก a b

ฉ(x) = ก ข

นี่เป็นสูตรที่คุ้นเคยอยู่แล้วจากหนังสือเรียน นักเรียนหลายคนอาจมีคำถาม: เนื่องจากฟังก์ชัน f ( x ) ในนิพจน์ดั้งเดิมอยู่ภายใต้เครื่องหมายล็อก จึงมีการกำหนดข้อจำกัดต่อไปนี้:

ฉ(x) > 0

ข้อจำกัดนี้ใช้ได้เนื่องจากไม่มีลอการิทึมของจำนวนลบ ดังนั้น อาจเป็นเพราะข้อจำกัดนี้ คุณควรแนะนำการตรวจคำตอบ? บางทีพวกเขาจำเป็นต้องเปลี่ยนแหล่งที่มา?

ไม่ ในสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด การตรวจสอบเพิ่มเติมไม่จำเป็น และนั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม ดูสูตรสุดท้ายของเรา:

ฉ(x) = ก ข

ความจริงก็คือจำนวน a ไม่ว่าในกรณีใด ๆ จะมากกว่า 0 - ข้อกำหนดนี้กำหนดโดยลอการิทึมด้วย จำนวน a เป็นฐาน ในกรณีนี้ ไม่มีการจำกัดจำนวนข แต่สิ่งนี้ไม่สำคัญ เพราะไม่ว่าเราจะเพิ่มจำนวนบวกในระดับใด เราจะยังได้จำนวนบวกที่เอาต์พุต ดังนั้น ข้อกำหนด f (x) > 0 จึงสำเร็จโดยอัตโนมัติ

สิ่งที่ควรค่าแก่การตรวจสอบคือขอบเขตของฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายบันทึก อาจมีการออกแบบที่ค่อนข้างซับซ้อน และในกระบวนการแก้ไข คุณต้องปฏิบัติตามอย่างแน่นอน มาดูกัน

งานแรก:

ขั้นตอนแรก: แปลงเศษส่วนทางด้านขวา เราได้รับ:

เรากำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมและรับสมการอตรรกยะตามปกติ:

จากรากที่ได้รับมีเพียงรากแรกเท่านั้นที่เหมาะกับเราเนื่องจากรากที่สองมีค่าน้อยกว่าศูนย์ คำตอบเดียวคือเลข 9 แค่นั้นแหละปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเพิ่มเติมว่านิพจน์ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมมีค่ามากกว่า 0 เนื่องจากไม่ได้มีค่ามากกว่า 0 เท่านั้น แต่โดยเงื่อนไขของสมการแล้วมีค่าเท่ากับ 2 ดังนั้น ข้อกำหนด "มากกว่าศูนย์" จึงเป็นไปโดยอัตโนมัติ พอใจ.

ไปที่งานที่สองกันเถอะ:

ทุกอย่างเหมือนกันที่นี่ เราเขียนโครงสร้างใหม่โดยแทนที่สาม:

เรากำจัดสัญญาณของลอการิทึมและรับสมการอตรรกยะ:

เรายกกำลังสองส่วนโดยคำนึงถึงข้อจำกัด และเราได้รับ:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

เราแก้สมการผลลัพธ์ผ่านการเลือกปฏิบัติ:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = −1

x 2 \u003d -6

แต่ x = −6 ไม่เหมาะกับเรา เพราะหากเราแทนจำนวนนี้ลงในอสมการ เราจะได้:

−6 + 4 = −2 < 0

ในกรณีของเรา กำหนดให้มีค่ามากกว่า 0 หรือในกรณีที่รุนแรงต้องมีค่าเท่ากัน แต่ x = −1 เหมาะกับเรา:

−1 + 4 = 3 > 0

คำตอบเดียวในกรณีของเราคือ x = −1 นั่นคือทางออกทั้งหมด กลับไปที่จุดเริ่มต้นของการคำนวณของเรา

ข้อสรุปหลักจากบทเรียนนี้คือไม่จำเป็นต้องตรวจสอบลิมิตของฟังก์ชันในสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด เนื่องจากในกระบวนการแก้ไขข้อจำกัดทั้งหมดจะถูกดำเนินการโดยอัตโนมัติ

อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าคุณจะลืมการยืนยันไปได้เลย ในกระบวนการทำงานกับสมการลอการิทึม มันอาจกลายเป็นสมการอตรรกยะซึ่งจะมีข้อ จำกัด และข้อกำหนดสำหรับด้านขวาซึ่งเราได้เห็นในวันนี้ในสองตัวอย่างที่แตกต่างกัน

อย่าลังเลที่จะแก้ปัญหาดังกล่าวและระมัดระวังเป็นพิเศษหากมีต้นตอในการโต้เถียง

สมการลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน

เราศึกษาสมการลอการิทึมต่อไปและวิเคราะห์เคล็ดลับที่น่าสนใจอีกสองข้อซึ่งเป็นที่นิยมในการแก้ปัญหาเพิ่มเติม โครงสร้างที่ซับซ้อน. แต่ก่อนอื่น จำวิธีแก้ไขงานที่ง่ายที่สุด:

บันทึก a f(x) = b

ในสัญกรณ์นี้ a และ b เป็นเพียงตัวเลข และในฟังก์ชัน f (x) ตัวแปร x จะต้องมีอยู่ และมีเพียงที่นั่น นั่นคือ x จะต้องอยู่ในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น เราจะแปลงสมการลอการิทึมดังกล่าวโดยใช้รูปแบบบัญญัติ สำหรับสิ่งนี้เราทราบว่า

b = บันทึก a b

และ a b เป็นแค่อาร์กิวเมนต์ ลองเขียนนิพจน์นี้ใหม่ดังนี้:

ล็อก a f(x) = ล็อก a b

นี่คือสิ่งที่เราพยายามทำให้สำเร็จ เพื่อให้ทั้งด้านซ้ายและด้านขวามีลอการิทึมของฐาน a ในกรณีนี้ เราสามารถพูดโดยเปรียบเปรยได้ว่าเครื่องหมายของบันทึกถูกขีดฆ่า และจากมุมมองของคณิตศาสตร์ เราสามารถพูดได้ว่า เราแค่ยกเอาข้อโต้แย้ง:

ฉ(x) = ก ข

เป็นผลให้เราได้รับนิพจน์ใหม่ที่จะแก้ไขได้ง่ายขึ้นมาก ลองใช้กฎนี้กับงานของเราในวันนี้

ดังนั้นการออกแบบแรก:

ก่อนอื่นฉันทราบว่ามีเศษส่วนทางด้านขวาซึ่งตัวส่วนคือบันทึก เมื่อคุณเห็นนิพจน์เช่นนี้ คุณควรจดจำคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมของลอการิทึม:

แปลเป็นภาษารัสเซียหมายความว่าลอการิทึมใด ๆ สามารถแสดงเป็นผลหารของลอการิทึมสองตัวที่มีฐาน c ใด ๆ แน่นอน 0< с ≠ 1.

สูตรนี้มีกรณีพิเศษที่ยอดเยี่ยมเมื่อตัวแปร c เท่ากับตัวแปร ข. ในกรณีนี้ เราได้รับการสร้างแบบฟอร์ม:

นี่คือโครงสร้างที่เราสังเกตได้จากเครื่องหมายด้านขวาในสมการของเรา ลองแทนที่สิ่งก่อสร้างนี้ด้วย log a b เราได้รับ:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อเทียบกับงานเดิม เราได้เปลี่ยนอาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม เราต้องพลิกเศษส่วนแทน

เราจำได้ว่าระดับใด ๆ สามารถนำออกจากฐานได้ตามกฎต่อไปนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าสัมประสิทธิ์ k ซึ่งเป็นระดับของฐาน จะถูกนำออกมาเป็นเศษส่วนกลับด้าน ออกมาเป็นเศษส่วนกลับกัน:

ไม่สามารถทิ้งตัวประกอบที่เป็นเศษส่วนไว้ข้างหน้าได้ เพราะในกรณีนี้ เราจะไม่สามารถแสดงรายการนี้เป็นรูปแบบบัญญัติ (ท้ายที่สุด ในรูปแบบบัญญัติ ไม่มีตัวประกอบเพิ่มเติมหน้าลอการิทึมที่สอง) ดังนั้น ให้ใส่เศษส่วน 1/4 ในอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลัง:

ตอนนี้เราถือเอาอาร์กิวเมนต์ที่มีฐานเหมือนกัน (และเรามีฐานเดียวกันจริงๆ) และเขียน:

x + 5 = 1

x = −4

นั่นคือทั้งหมด เราได้คำตอบของสมการลอการิทึมตัวแรกแล้ว โปรดสังเกต: ในปัญหาเดิม ตัวแปร x เกิดขึ้นในล็อกเดียวเท่านั้น และตัวแปรนั้นอยู่ในอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องตรวจสอบโดเมน และเลข x = −4 ของเราคือคำตอบจริงๆ

ทีนี้ มาดูนิพจน์ที่สองกัน:

ล็อก 56 = ล็อก 2 ล็อก 2 7 − 3 ล็อก (x + 4)

ที่นี่นอกเหนือจากลอการิทึมปกติแล้วเราจะต้องทำงานกับ lg f (x) จะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร? นักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวอาจดูเหมือนเป็นกระป๋อง แต่ในความเป็นจริงทุกอย่างได้รับการแก้ไขเบื้องต้น

ดูคำศัพท์อย่างใกล้ชิด lg 2 log 2 7. What can we say about it? ฐานและอาร์กิวเมนต์ของ log และ lg นั้นเหมือนกัน และสิ่งนี้ควรให้เบาะแสบางอย่าง จำอีกครั้งว่าองศาถูกดึงออกมาจากใต้สัญลักษณ์ของลอการิทึมอย่างไร:

ล็อก a b n = n ล็อก a b

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เลขยกกำลังของ b ในอาร์กิวเมนต์จะกลายเป็นตัวประกอบที่อยู่หน้าล็อกนั่นเอง ลองใช้สูตรนี้กับนิพจน์ lg 2 log 2 7 อย่ากลัว lg 2 - นี่เป็นนิพจน์ทั่วไป คุณสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

สำหรับเขาแล้ว กฎทั้งหมดที่ใช้กับลอการิทึมอื่นๆ นั้นถูกต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปัจจัยที่อยู่ข้างหน้าสามารถถูกนำเข้าสู่พลังของการโต้เถียงได้ มาเขียนกันเถอะ:

บ่อยครั้งที่นักเรียนชี้ว่างไม่เห็นการกระทำนี้ เพราะเป็นการไม่ดีที่จะป้อนบันทึกหนึ่งภายใต้เครื่องหมายของอีกบันทึกหนึ่ง ในความเป็นจริงไม่มีอาชญากรในเรื่องนี้ นอกจากนี้ เราได้สูตรที่ง่ายต่อการคำนวณหากคุณจำกฎสำคัญได้:

สูตรนี้ถือได้ว่าเป็นทั้งคำนิยามและคุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่ง ไม่ว่าในกรณีใด หากคุณแปลงสมการลอการิทึม คุณควรทราบสูตรนี้ในลักษณะเดียวกับการแสดงตัวเลขใดๆ ในรูปของล็อก

เรากลับไปที่งานของเรา เราเขียนใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าเทอมแรกทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับจะเท่ากับ lg 7 เรามี:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

เลื่อน lg 7 ไปทางซ้าย เราได้รับ:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

เราลบนิพจน์ทางซ้ายเพราะมีฐานเดียวกัน:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

ทีนี้มาดูสมการที่เราได้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น เกือบจะเป็นรูปแบบมาตรฐาน แต่มีตัวประกอบ −3 ทางด้านขวา ใส่ไว้ในอาร์กิวเมนต์ lg ที่ถูกต้อง:

lg 8 = lg (x + 4) −3

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบมาตรฐานของสมการลอการิทึม ดังนั้นเราจึงข้ามสัญญาณของ lg และถือเอาอาร์กิวเมนต์:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

นั่นคือทั้งหมด! เราได้แก้สมการลอการิทึมที่สองแล้ว ในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเพิ่มเติม เนื่องจากในปัญหาเดิม x มีอยู่ในอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้น

ฉันจะแสดงรายการอีกครั้ง ประเด็นสำคัญบทเรียนนี้

สูตรหลักที่มีการศึกษาในบทเรียนทั้งหมดในหน้านี้ซึ่งอุทิศให้กับการแก้สมการลอการิทึมคือรูปแบบบัญญัติ และอย่าท้อแท้กับข้อเท็จจริงที่ว่าหนังสือเรียนส่วนใหญ่สอนวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ด้วยวิธีต่างๆ กัน เครื่องมือนี้ทำงานได้อย่างมีประสิทธิภาพมากและช่วยให้คุณสามารถแก้ปัญหาในชั้นเรียนได้กว้างกว่าปัญหาที่ง่ายที่สุดที่เราศึกษาในตอนต้นของบทเรียน

นอกจากนี้ ในการแก้สมการลอการิทึม การรู้คุณสมบัติพื้นฐานจะเป็นประโยชน์ คือ:

1. สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานเดียวและกรณีพิเศษเมื่อเราพลิกบันทึก (สิ่งนี้มีประโยชน์มากสำหรับเราในงานแรก);
2. สูตรสำหรับการนำกำลังเข้าและออกจากใต้สัญลักษณ์ของลอการิทึม ในที่นี้ นักเรียนหลายคนติดค้างและมองไม่เห็นว่ากำลังที่นำออกและนำเข้าในกระป๋องนั้นมีล็อก f (x) อยู่ ไม่มีอะไรผิดปกติกับสิ่งนั้น เราสามารถแนะนำบันทึกหนึ่งตามสัญลักษณ์ของบันทึกอื่นและในขณะเดียวกันก็ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมากซึ่งเป็นสิ่งที่เราสังเกตในกรณีที่สอง

โดยสรุป ฉันต้องการเพิ่มเติมว่าไม่จำเป็นต้องตรวจสอบขอบเขตในแต่ละกรณีเหล่านี้ เนื่องจากทุกที่ที่ตัวแปร x มีอยู่ในเครื่องหมายบันทึกเพียงเครื่องหมายเดียว และในขณะเดียวกันก็อยู่ในอาร์กิวเมนต์ของมัน ด้วยเหตุนี้ โดเมนทั้งหมดจึงเป็นไปตามข้อกำหนดโดยอัตโนมัติ

ปัญหาเกี่ยวกับฐานตัวแปร

วันนี้เราจะพิจารณาสมการลอการิทึมซึ่งสำหรับนักเรียนหลายคนดูเหมือนไม่เป็นมาตรฐานหากไม่สามารถแก้ไขได้อย่างสมบูรณ์ เรากำลังพูดถึงนิพจน์ที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลข แต่ขึ้นอยู่กับตัวแปรและแม้แต่ฟังก์ชัน เราจะแก้ไขโครงสร้างดังกล่าวโดยใช้เทคนิคมาตรฐานของเรา กล่าวคือ ผ่านรูปแบบบัญญัติ

เริ่มต้นด้วยการระลึกถึงวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดซึ่งขึ้นอยู่กับตัวเลขทั่วไป ดังนั้นจึงเรียกการก่อสร้างที่ง่ายที่สุด

บันทึก a f(x) = b

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว เราสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

b = บันทึก a b

เราเขียนนิพจน์เดิมของเราใหม่และได้:

ล็อก a f(x) = ล็อก a b

จากนั้นเราถือเอาข้อโต้แย้งเช่น เราเขียน:

ฉ(x) = ก ข

ดังนั้นเราจึงกำจัดสัญญาณบันทึกและแก้ปัญหาตามปกติ ในกรณีนี้ รากที่ได้รับในการแก้ปัญหาจะเป็นรากของสมการลอการิทึมเดิม นอกจากนี้ เรกคอร์ดเมื่อทั้งด้านซ้ายและด้านขวาอยู่บนลอการิทึมเดียวกันที่มีฐานเดียวกัน จะเรียกว่ารูปแบบบัญญัติ เป็นสัญกรณ์ที่เราจะพยายามลดการก่อสร้างในปัจจุบัน งั้นไปกัน.

งานแรก:

บันทึก x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

แทนที่ 1 ด้วยล็อก x − 2 (x − 2) 1 ระดับที่เราสังเกตได้ในอาร์กิวเมนต์คือ จำนวน b ซึ่งอยู่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ ลองเขียนนิพจน์ของเราใหม่ เราได้รับ:

บันทึก x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = บันทึก x - 2 (x - 2)

เราเห็นอะไร? ก่อนหน้าเราคือรูปแบบมาตรฐานของสมการลอการิทึม ดังนั้นเราจึงสามารถจัดสมการอาร์กิวเมนต์ได้อย่างปลอดภัย เราได้รับ:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

แต่การแก้ปัญหาไม่ได้จบเพียงแค่นั้น เพราะสมการนี้ไม่เทียบเท่ากับสมการเดิม ท้ายที่สุด การสร้างผลลัพธ์ประกอบด้วยฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในเส้นจำนวนทั้งหมด และลอการิทึมดั้งเดิมของเราไม่ได้กำหนดไว้ทุกที่และไม่เสมอไป

ดังนั้นเราจึงต้องจดโดเมนของคำนิยามไว้ต่างหาก อย่าเพิ่งฉลาดไปกว่านี้และเขียนข้อกำหนดทั้งหมดก่อน:

อันดับแรก อาร์กิวเมนต์ของแต่ละลอการิทึมต้องมากกว่า 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

ประการที่สอง ฐานต้องไม่เพียงแค่มากกว่า 0 เท่านั้น แต่ยังแตกต่างจาก 1 ด้วย:

x − 2 ≠ 1

เป็นผลให้เราได้รับระบบ:

แต่อย่าตื่นตระหนก: เมื่อประมวลผลสมการลอการิทึม ระบบดังกล่าวจะง่ายขึ้นอย่างมาก

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ในแง่หนึ่ง เรากำหนดให้ฟังก์ชันกำลังสองมีค่ามากกว่าศูนย์ และในทางกลับกัน ฟังก์ชันกำลังสองนี้ถูกบรรจุด้วยนิพจน์เชิงเส้น ซึ่งจำเป็นต้องให้ค่ามากกว่าศูนย์ด้วย

ในกรณีนี้ หากเราต้องการ x − 2 > 0 ก็จะเป็นไปตามข้อกำหนด 2x 2 − 13x + 18 > 0 โดยอัตโนมัติ ดังนั้น เราสามารถตัดอสมการที่มี ฟังก์ชันกำลังสอง. ดังนั้น จำนวนนิพจน์ที่มีอยู่ในระบบของเราจะลดลงเหลือสามรายการ

แน่นอน เราอาจจะมองข้ามไปเช่นกัน อสมการเชิงเส้นเช่น ขีดฆ่า x − 2 > 0 และกำหนดว่า 2x 2 − 13x + 18 > 0 แต่คุณต้องยอมรับว่าการแก้อสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดเร็วกว่าและง่ายกว่าระบบนี้ที่เราได้รากเดียวกัน

โดยทั่วไป ให้พยายามเพิ่มประสิทธิภาพการคำนวณทุกครั้งที่ทำได้ และในกรณีของสมการลอการิทึม ให้ตัดอสมการที่ยากที่สุดออก

มาเขียนระบบของเราใหม่:

นี่คือระบบของสามนิพจน์ซึ่งสองในนั้นเราได้คิดออกแล้ว เรามาเขียนแยกกัน สมการกำลังสองและแก้ปัญหา:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

ข้างหน้าเราคือทริโนเมียลกำลังสองที่ลดลง ดังนั้นเราสามารถใช้สูตร Vieta ได้ เราได้รับ:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

กลับมาที่ระบบของเรา เราพบว่า x = 2 ไม่เหมาะกับเรา เพราะเรากำหนดให้ x ต้องมากกว่า 2 อย่างเคร่งครัด

แต่ x \u003d 5 เหมาะกับเราค่อนข้างดี: เลข 5 มากกว่า 2 และในเวลาเดียวกัน 5 ไม่เท่ากับ 3 ดังนั้นทางออกเดียวสำหรับระบบนี้คือ x \u003d 5

ทุกอย่างได้รับการแก้ไขรวมทั้งคำนึงถึง ODZ ไปที่สมการที่สองกัน เรากำลังรอการคำนวณที่น่าสนใจและมีความหมายมากขึ้น:

ขั้นตอนแรก: เช่นเดียวกับครั้งที่แล้ว เรานำธุรกิจทั้งหมดนี้มาสู่รูปแบบบัญญัติ ในการทำเช่นนี้เราสามารถเขียนหมายเลข 9 ได้ดังนี้:

ไม่สามารถสัมผัสฐานที่มีรากได้ แต่เป็นการดีกว่าที่จะแปลงอาร์กิวเมนต์ เรามาเปลี่ยนจากรากเป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่มีเหตุผลกัน มาเขียนกันเถอะ:

ผมขอไม่เขียนสมการลอการิทึมขนาดใหญ่ทั้งหมดของเราใหม่ แต่ให้ยกสมการโต้แย้งทันที:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

ก่อนหน้าเราคือตรีโกณมิติกำลังสองที่ลดลงอีกครั้ง เราจะใช้สูตร Vieta และเขียน:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

เราได้ราก แต่ไม่มีใครรับรองเราว่ามันจะพอดีกับสมการลอการิทึมดั้งเดิม ท้ายที่สุดแล้ว สัญญาณบันทึกมีข้อ จำกัด เพิ่มเติม (ที่นี่เราจะต้องเขียนระบบ แต่เนื่องจากความยุ่งยากของการก่อสร้างทั้งหมดฉันจึงตัดสินใจคำนวณขอบเขตของคำจำกัดความแยกกัน)

ก่อนอื่น โปรดจำไว้ว่าอาร์กิวเมนต์ต้องมากกว่า 0 กล่าวคือ:

นี่คือข้อกำหนดที่กำหนดโดยขอบเขตของคำจำกัดความ

เราทราบทันทีว่าเนื่องจากเราเปรียบเทียบนิพจน์สองนิพจน์แรกของระบบซึ่งกันและกัน เราจึงสามารถขีดฆ่านิพจน์ใดๆ ออกได้ ขอข้ามอันแรกไปเพราะมันดูน่ากลัวกว่าอันที่สอง

นอกจากนี้ โปรดทราบว่าคำตอบของอสมการที่สองและสามจะเป็นชุดเดียวกัน (ลูกบาศก์ของจำนวนจำนวนหนึ่งมีค่ามากกว่าศูนย์ หากตัวเลขนี้มีค่ามากกว่าศูนย์ เช่นเดียวกับรากของระดับที่สาม - ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้คือ คล้ายกันหมด ดังนั้นเราข้ามไปอันใดอันหนึ่งได้เลย)

แต่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันที่สาม สิ่งนี้จะไม่ทำงาน กำจัดเครื่องหมายของเครื่องหมายกรณฑ์ทางด้านซ้าย ซึ่งเรายกทั้งสองส่วนเป็นลูกบาศก์ เราได้รับ:

ดังนั้นเราจึงได้รับข้อกำหนดดังต่อไปนี้:

−2 ≠ x > −3

รากใดของเรา: x 1 = -3 หรือ x 2 = -1 ตรงตามข้อกำหนดเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่า x = −1 เท่านั้น เนื่องจาก x = −3 ไม่เป็นไปตามอสมการแรก (เนื่องจากอสมการของเราเคร่งครัด) โดยรวมแล้วกลับไปที่ปัญหาของเรา เราจะได้หนึ่งรูท: x = −1 เท่านี้ก็แก้ปัญหาได้แล้ว

อีกครั้ง ประเด็นสำคัญของงานนี้:

1. อย่าลังเลที่จะใช้และแก้สมการลอการิทึมโดยใช้รูปแบบบัญญัติ นักเรียนที่ทำบันทึกดังกล่าวและไม่ได้เปลี่ยนจากปัญหาดั้งเดิมโดยตรงไปยังโครงสร้างเช่น log a f ( x ) = b ทำข้อผิดพลาดน้อยกว่าผู้ที่รีบร้อนโดยข้ามขั้นตอนการคำนวณขั้นกลาง
2. ทันทีที่ฐานตัวแปรปรากฏขึ้นในลอการิทึม ปัญหาจะสิ้นสุดง่ายที่สุด ดังนั้นเมื่อแก้ปัญหาจำเป็นต้องคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความ: อาร์กิวเมนต์ต้องมากกว่าศูนย์และฐานต้องไม่เพียง แต่มากกว่า 0 เท่านั้น แต่จะต้องไม่เท่ากับ 1 ด้วย

คุณสามารถกำหนดข้อกำหนดสุดท้ายสำหรับคำตอบสุดท้ายได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาทั้งระบบที่มีข้อกำหนดของโดเมนทั้งหมด ในทางกลับกัน คุณสามารถแก้ปัญหาได้เองก่อน จากนั้นจึงจำเกี่ยวกับโดเมนของคำนิยาม แยกงานออกมาในรูปแบบของระบบ และนำไปใช้กับรากที่ได้รับ

คุณจะเลือกวิธีใดในการแก้สมการลอการิทึม ไม่ว่าในกรณีใดคำตอบจะเหมือนกัน

ความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ระบุข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเมื่อใดก็ได้เมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างประเภทข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เราเก็บรวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจเก็บรวบรวมข้อมูลต่างๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งคำบอกกล่าวและการสื่อสารที่สำคัญถึงคุณ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น ดำเนินการตรวจสอบ วิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณแก่บุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอของประชาชนหรือคำขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ นอกจากนี้ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์เพื่อผลประโยชน์สาธารณะอื่นๆ
• ในกรณีของการปรับองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมถึงการดูแลระบบ ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด ตลอดจนการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจึงสื่อสารหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยแก่พนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด