ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่นๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญถึงคุณ
• เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ/หรือ ตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณด้วยหากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

พีชคณิตเกรด 11

หัวข้อ: "วิธีการแก้สมการลอการิทึม"

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

การศึกษา: การก่อตัวของความรู้เกี่ยวกับ วิธีทางที่แตกต่างการแก้สมการลอการิทึม ความสามารถในการประยุกต์ใช้ในแต่ละสถานการณ์ และเลือกวิธีการแก้ไขใดๆ

การพัฒนา: การพัฒนาทักษะในการสังเกต เปรียบเทียบ ใช้ความรู้ในสถานการณ์ใหม่ ระบุรูปแบบ พูดคุยทั่วไป การพัฒนาทักษะการควบคุมซึ่งกันและกันและการควบคุมตนเอง

การศึกษา: การศึกษาทัศนคติที่รับผิดชอบต่องานการศึกษา, การรับรู้เนื้อหาในบทเรียนอย่างรอบคอบ, ความถูกต้องของการบันทึก

ประเภทบทเรียน: บทเรียนการทำความคุ้นเคยกับเนื้อหาใหม่

"การประดิษฐ์ลอการิทึมทำให้งานของนักดาราศาสตร์สั้นลง ทำให้ชีวิตของเขายืนยาวขึ้น"
นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวฝรั่งเศส P.S. ลาปลาซ

ระหว่างเรียน

I. การตั้งเป้าหมายของบทเรียน

คำจำกัดความที่ศึกษาของลอการิทึม คุณสมบัติของลอการิทึม และฟังก์ชันลอการิทึมจะช่วยให้เราแก้สมการลอการิทึมได้ สมการลอการิทึมทั้งหมด ไม่ว่าจะซับซ้อนแค่ไหน จะถูกแก้โดยใช้อัลกอริธึมเดียวกัน เราจะพิจารณาอัลกอริทึมเหล่านี้ในวันนี้ในบทเรียน มีไม่กี่คน หากคุณเชี่ยวชาญพวกมัน สมการใดๆ ที่มีลอการิทึมจะเป็นไปได้สำหรับคุณแต่ละคน

เขียนหัวข้อของบทเรียนลงในสมุดบันทึกของคุณ: "วิธีการแก้สมการลอการิทึม" ขอเชิญชวนทุกท่านร่วมมือ

ครั้งที่สอง อัพเดทความรู้พื้นฐาน

มาเตรียมตัวศึกษาหัวข้อบทเรียนกันเถอะ คุณแก้แต่ละงานและเขียนคำตอบคุณไม่สามารถเขียนเงื่อนไขได้ ทำงานเป็นคู่.

1) สำหรับค่า x ใดที่ฟังก์ชันเหมาะสม:

(คำตอบจะถูกตรวจสอบสำหรับแต่ละสไลด์และข้อผิดพลาดจะถูกแยกออก)

2) กราฟฟังก์ชันตรงกันหรือไม่

3) เขียนความเท่าเทียมกันใหม่เป็นความเท่าเทียมกันลอการิทึม:

4) เขียนตัวเลขเป็นลอการิทึมด้วยฐาน 2:

5) คำนวณ:

6) พยายามฟื้นฟูหรือเติมเต็มองค์ประกอบที่ขาดหายไปในความเท่าเทียมกันเหล่านี้

สาม. บทนำสู่วัสดุใหม่

คำสั่งแสดงบนหน้าจอ:

"สมการคือกุญแจสีทองที่ไขงาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด"
นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์สมัยใหม่ S. Koval

พยายามกำหนดนิยามของสมการลอการิทึม (สมการที่ประกอบด้วยค่านิรนามภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม)

พิจารณา สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด:บันทึกเอx = ข(โดยที่ a>0, a ≠ 1) เนื่องจากฟังก์ชันลอการิทึมเพิ่มขึ้น (หรือลดลง) บนเซต ตัวเลขบวกและรับค่าจริงทั้งหมด จากนั้นโดยทฤษฎีบทรูท มันตามว่าสำหรับ b ใดๆ สมการนี้มี และยิ่งกว่านั้น มีเพียงคำตอบเดียวและเป็นค่าบวก

จำคำจำกัดความของลอการิทึม (ลอการิทึมของจำนวน x ยกกำลังฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยกฐาน a เพื่อให้ได้ตัวเลข x) มันตามมาจากนิยามของลอการิทึมว่า เอในเป็นทางออกดังกล่าว

เขียนชื่อ: วิธีการแก้สมการลอการิทึม

1. ตามนิยามของลอการิทึม.

นี่คือวิธีการแก้สมการอย่างง่ายของแบบฟอร์ม

พิจารณา หมายเลข 514(a): แก้สมการ

คุณเสนอวิธีแก้ปัญหาอย่างไร? (ตามนิยามของลอการิทึม)

วิธีการแก้. , ดังนั้น 2x - 4 = 4; x = 4

ในงานนี้ 2x - 4 > 0 เนื่องจาก > 0 ดังนั้น รากภายนอกจึงไม่ปรากฏขึ้น และไม่จำเป็นต้องตรวจสอบ เงื่อนไข 2x - 4 > 0 ไม่จำเป็นต้องเขียนในงานนี้

2. ศักยภาพ(เปลี่ยนจากลอการิทึมของนิพจน์ที่กำหนดเป็นนิพจน์นี้เอง)

พิจารณา หมายเลข 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

คุณสังเกตเห็นคุณลักษณะใด (ฐานเหมือนกันและลอการิทึมของนิพจน์ทั้งสองมีค่าเท่ากัน) สิ่งที่สามารถทำได้? (มีศักยภาพ).

ในกรณีนี้ ควรคำนึงว่าคำตอบใดๆ อยู่ใน x ทั้งหมดที่นิพจน์ลอการิทึมเป็นค่าบวก

วิธีแก้ปัญหา: ODZ:

X2+8>0 อสมการพิเศษ

log5(x2+8) = บันทึก5 23+ บันทึก5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

พัฒนาสมการเดิม

เราได้สมการ x2+8= 8x+8

เราแก้มัน: x2-8x=0

คำตอบ: 0; แปด

ที่ ปริทัศน์ การเปลี่ยนแปลงไปสู่ระบบที่เท่าเทียมกัน:

สมการ

(ระบบมีเงื่อนไขซ้ำซ้อน - สามารถละเว้นหนึ่งในความไม่เท่าเทียมกันได้)

คำถามถึงชั้น: คุณชอบวิธีแก้ปัญหาใดในสามข้อนี้มากที่สุด (อภิปรายวิธีการ).

คุณมีสิทธิที่จะตัดสินใจในทางใดทางหนึ่ง

3. การแนะนำตัวแปรใหม่.

พิจารณา เลขที่ 520(ก.). .

คุณสังเกตเห็นอะไร (มัน สมการกำลังสองเกี่ยวกับ log3x) ข้อเสนอแนะใด ๆ (แนะนำตัวแปรใหม่)

วิธีการแก้. ODZ: x > 0

ให้ จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:. Discriminant D > 0. Roots by Vieta's theorem:.

กลับไปที่การแทนที่: หรือ .

การแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด เราจะได้:

คำตอบ: 27;

4. ลอการิทึมของสมการทั้งสองข้าง

แก้สมการ:.

วิธีแก้ปัญหา: ODZ: x>0 หาลอการิทึมของสมการทั้งสองข้างในฐาน 10:

ใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรี:

(lgx + 3) lgx = 4

ให้ lgx = y แล้ว (y + 3)y = 4

, (D > 0) รากตามทฤษฎีบทเวียตา: y1 = -4 และ y2 = 1

กลับไปที่การเปลี่ยนเราได้รับ: lgx = -4,; logx = 1, .

คำตอบ: 0.0001; สิบ.

5. ลดเหลือฐานเดียว

หมายเลข 523(ค) แก้สมการ:

วิธีแก้ไข: ODZ: x>0. มาต่อกันที่ฐาน 3 กันเลย

6. วิธีการทำงานแบบกราฟิก

№ 509(ง).แก้สมการแบบกราฟิก: = 3 - x

คุณเสนอวิธีแก้ปัญหาอย่างไร? (สร้างกราฟของสองฟังก์ชัน y \u003d log2x และ y \u003d 3 - x ตามจุด และมองหา abscissa ของจุดตัดของกราฟ)

ดูวิธีแก้ปัญหาของคุณบนสไลด์

มีวิธีหลีกเลี่ยงการวางแผน . เป็นดังนี้ : ถ้าหนึ่งในฟังก์ชั่น y = ฉ(x) เพิ่มขึ้นและอื่น ๆ y = ก.(x) ลดลงในช่วงเวลา X จากนั้นสมการฉ(x)=ก.(x) มีอย่างน้อยหนึ่งรูทในช่วงเวลา X.

หากมีรูทก็สามารถเดาได้

ในกรณีของเรา ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นสำหรับ x>0 และฟังก์ชัน y \u003d 3 - x ลดลงสำหรับค่าทั้งหมดของ x รวมถึง x>0 ซึ่งหมายความว่าสมการมีรากไม่เกินหนึ่งราก โปรดทราบว่าสำหรับ x = 2 สมการจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง เนื่องจาก .

“สามารถเรียนรู้การใช้วิธีการที่ถูกต้อง
โดยนำไปประยุกต์ใช้กับตัวอย่างต่างๆ เท่านั้น
นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเดนมาร์ก G.G. Zeiten

ฉันวี การบ้าน

หน้า 39 พิจารณาตัวอย่างที่ 3 แก้ข้อ 514 (ข) ฉบับที่ 529 (ข) ฉบับที่ 520 (ข) ฉบับที่ 523 (ข)

V. สรุปบทเรียน

เราพิจารณาวิธีการใดในการแก้สมการลอการิทึมในบทเรียน

ในบทต่อไป เราจะมาดูสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ วิธีการศึกษามีประโยชน์

กำลังแสดงสไลด์สุดท้าย:

“มีอะไรมากกว่าสิ่งใดในโลกนี้?
ช่องว่าง.
อะไรฉลาดที่สุด?
เวลา.
อะไรสนุกที่สุด?
บรรลุสิ่งที่ต้องการ"
ทาเลส

ฉันต้องการให้ทุกคนบรรลุสิ่งที่พวกเขาต้องการ ขอขอบคุณสำหรับความร่วมมือและความเข้าใจของคุณ

สมการลอการิทึมสมการเรียกว่าซึ่งไม่ทราบ (x) และนิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันลอการิทึม การแก้สมการลอการิทึมถือว่าคุณคุ้นเคยกับ และ
จะแก้สมการลอการิทึมได้อย่างไร?

สมการที่ง่ายที่สุดคือ บันทึก a x = bโดยที่ a และ b เป็นตัวเลขบางตัว x เป็นค่าที่ไม่ทราบ
การแก้สมการลอการิทึมคือ x = a b ที่จัดให้: a > 0, a 1

ควรสังเกตว่าถ้า x อยู่ที่ไหนสักแห่งนอกลอการิทึม เช่น log 2 x \u003d x-2 สมการดังกล่าวเรียกว่าผสมแล้วและต้องใช้วิธีการพิเศษในการแก้สมการ

กรณีที่เหมาะสมที่สุดคือเมื่อคุณเจอสมการที่มีเฉพาะตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึม เช่น x + 2 \u003d log 2 2 เท่านี้ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้คุณสมบัติของลอการิทึมเพื่อแก้สมการ แต่โชคแบบนั้นไม่ได้เกิดขึ้นบ่อย ดังนั้นเตรียมตัวให้พร้อมสำหรับสิ่งที่ยากกว่านี้

แต่ก่อนอื่น เรามาเริ่มด้วยสมการง่ายๆ กันก่อน เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ เป็นที่พึงปรารถนาที่จะมีแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับลอการิทึม

การแก้สมการลอการิทึมอย่างง่าย

ซึ่งรวมถึงสมการเช่น log 2 x \u003d log 2 16 สามารถมองเห็นได้ด้วยตาเปล่าว่าการละเว้นเครื่องหมายของลอการิทึมเราจะได้ x \u003d 16

ในการแก้สมการลอการิทึมที่ซับซ้อนมากขึ้น มักจะนำไปสู่คำตอบของสมการพีชคณิตธรรมดาหรือแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดในบันทึก a x = b ในสมการที่ง่ายที่สุด สิ่งนี้เกิดขึ้นในการเคลื่อนไหวเดียว ด้วยเหตุนี้จึงเรียกว่าง่ายที่สุด

วิธีการวางลอการิทึมด้านบนเป็นหนึ่งในวิธีหลักในการแก้สมการลอการิทึมและอสมการ ในวิชาคณิตศาสตร์ การดำเนินการนี้เรียกว่าโพเทนชิเอชั่น มีกฎหรือข้อจำกัดบางประการสำหรับการดำเนินการประเภทนี้:

• ลอการิทึมมีฐานตัวเลขเท่ากัน
• ลอการิทึมในทั้งสองส่วนของสมการนั้นฟรี กล่าวคือ โดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ และนิพจน์อื่นๆ

สมมติว่าในบันทึกสมการ 2 x \u003d 2log 2 (1- x) ไม่สามารถใช้โพเทนชิ่งได้ - ค่าสัมประสิทธิ์ 2 ทางด้านขวาไม่อนุญาต ในตัวอย่างต่อไปนี้ บันทึก 2 x + บันทึก 2 (1 - x) = บันทึก 2 (1 + x) ข้อจำกัดข้อใดข้อหนึ่งยังไม่เป็นที่น่าพอใจ - มีลอการิทึมสองตัวทางด้านซ้าย นั่นจะเป็นเรื่องหนึ่ง - เรื่องที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง!

โดยทั่วไป คุณสามารถลบลอการิทึมได้ก็ต่อเมื่อสมการมีรูปแบบดังนี้

บันทึก a(...) = บันทึก a(...)

นิพจน์ใดๆ ก็ตามสามารถอยู่ในวงเล็บได้อย่างแน่นอน ซึ่งไม่มีผลกับการดำเนินการ potentiation อย่างแน่นอน และหลังจากกำจัดลอการิทึมแล้ว สมการที่ง่ายกว่าจะยังคงอยู่ - เชิงเส้น สมการกำลังสอง เลขชี้กำลัง ฯลฯ ซึ่งคุณหวังว่าคุณจะรู้วิธีแก้อยู่แล้ว

ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง:

บันทึก 3 (2x-5) = บันทึก 3 x

การใช้ potentiation เราได้รับ:

บันทึก 3 (2x-1) = 2

ตามคำจำกัดความของลอการิทึม กล่าวคือ ลอการิทึมเป็นตัวเลขที่ต้องยกฐานเพื่อให้ได้นิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึม กล่าวคือ (4x-1) เราได้รับ:

อีกครั้งเราได้คำตอบที่ดี ที่นี่เราทำได้โดยไม่ต้องกำจัดลอการิทึม แต่โพเทนชิ่งก็ใช้ได้ที่นี่เช่นกัน เพราะลอการิทึมสามารถสร้างขึ้นจากจำนวนใดก็ได้ และตรงกับที่เราต้องการ วิธีนี้มีประโยชน์มากในการแก้สมการลอการิทึมและอสมการโดยเฉพาะ

มาแก้สมการลอการิทึม log 3 (2x-1) = 2 โดยใช้โพเทนชิเอชันกัน:

ลองแทนเลข 2 เป็นลอการิทึม เช่น บันทึก 3 9 เพราะ 3 2 =9

จากนั้นล็อก 3 (2x-1) = บันทึก 3 9 และอีกครั้งเราได้สมการเดียวกัน 2x-1 = 9 ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน

เราจึงดูวิธีแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด ซึ่งจริงๆ แล้วสำคัญมากเพราะ แก้สมการลอการิทึมแม้แต่สิ่งที่น่ากลัวและบิดเบี้ยวที่สุดก็มักจะลงมาเพื่อแก้สมการที่ง่ายที่สุดเสมอ

ในทุกสิ่งที่เราทำข้างต้น เรามองข้ามสิ่งหนึ่งไปอย่างมาก จุดสำคัญซึ่งจะมีบทบาทชี้ขาดในอนาคต ความจริงก็คือคำตอบของสมการลอการิทึมใดๆ แม้แต่สมการพื้นฐานที่สุด ก็ยังประกอบด้วยสองส่วนที่เท่ากัน อย่างแรกคือการแก้สมการเอง อย่างที่สองคือการทำงานกับพื้นที่ของค่าที่ยอมรับได้ (ODV) นั่นเป็นเพียงส่วนแรกที่เราเชี่ยวชาญ ในตัวอย่างข้างต้น ODD ไม่มีผลกับคำตอบแต่อย่างใด ดังนั้นเราจึงไม่ได้พิจารณา

ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง:

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

ภายนอกสมการนี้ไม่ต่างจากสมการเบื้องต้นซึ่งแก้ได้สำเร็จมาก แต่มันไม่เป็นเช่นนั้น ไม่ แน่นอน เราจะแก้ปัญหานี้ แต่เป็นไปได้มากว่ามันจะผิด เพราะมันมีการซุ่มโจมตีเล็กๆ น้อยๆ อยู่ในนั้น ซึ่งทั้งนักเรียน C และนักเรียนที่ยอดเยี่ยมจะตกหลุมพรางในทันที ลองมาดูกันดีกว่า

สมมติว่าคุณจำเป็นต้องหารากของสมการหรือผลรวมของราก ถ้ามีหลายอย่าง:

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

เราใช้ potentiation ที่นี่มันได้รับอนุญาต เป็นผลให้เราได้สมการกำลังสองปกติ

เราพบรากของสมการ:

มีสองราก

คำตอบ: 3 และ -1

ได้อย่างรวดเร็วก่อนทุกอย่างถูกต้อง แต่ให้ตรวจสอบผลลัพธ์และแทนที่ลงในสมการเดิม

มาเริ่มกันที่ x 1 = 3:

บันทึก 3 6 = บันทึก 3 6

ตรวจสอบสำเร็จ ตอนนี้คิว x 2 = -1:

บันทึก 3 (-2) = บันทึก 3 (-2)

ใช่ หยุด! ภายนอกทุกอย่างสมบูรณ์แบบ สักครู่ - ไม่มีลอการิทึมจากจำนวนลบ! และนี่หมายความว่ารูท x \u003d -1 ไม่เหมาะสำหรับการแก้สมการของเรา ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องจะเป็น 3 ไม่ใช่ 2 ตามที่เราเขียน

ที่นี่เป็นที่ที่ ODZ เล่นบทบาทร้ายแรง ซึ่งเราลืมไป

ฉันขอเตือนคุณว่าภายใต้พื้นที่ของค่าที่ยอมรับได้ ค่าดังกล่าวของ x เป็นที่ยอมรับซึ่งได้รับอนุญาตหรือสมเหตุสมผลสำหรับตัวอย่างดั้งเดิม

หากไม่มี ODZ วิธีแก้ปัญหาใดๆ แม้แต่คำตอบที่ถูกต้อง ของสมการใดๆ ก็จะกลายเป็นลอตเตอรี - 50/50

เราจะถูกจับได้ในขณะที่กำลังแก้ไขตัวอย่างที่ดูเหมือนเบื้องต้นได้อย่างไร และนี่คือช่วงเวลาแห่งศักยภาพ ลอการิทึมหายไป และมีข้อจำกัดทั้งหมดด้วย

จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ปฏิเสธที่จะกำจัดลอการิทึม? และละทิ้งคำตอบของสมการนี้โดยสิ้นเชิง?

ไม่ พวกเราเหมือนฮีโร่ตัวจริงจากเพลงดังเพลงเดียว ลุย!

ก่อนดำเนินการแก้สมการลอการิทึมใดๆ เราจะเขียน ODZ ก่อน แต่หลังจากนั้น คุณสามารถทำทุกอย่างที่ใจต้องการด้วยสมการของเรา หลังจากได้รับคำตอบแล้ว เราเพียงแค่โยนรากเหล่านั้นที่ไม่รวมอยู่ใน ODZ ของเราออก และจดเวอร์ชันสุดท้ายลงไป

ตอนนี้เรามาตัดสินใจว่าจะเขียน ODZ อย่างไร ในการทำเช่นนี้ เราตรวจสอบสมการดั้งเดิมอย่างละเอียดและมองหาตำแหน่งที่น่าสงสัยในนั้น เช่น การหารด้วย x รากของดีกรีคู่ เป็นต้น กว่าเราจะแก้สมการได้ เราก็ไม่รู้ว่า x เท่ากับอะไร แต่เรารู้แน่ว่า x นั้น ซึ่งเมื่อแทนแล้วจะให้หารด้วย 0 หรือแยกออกมา รากที่สองจาก จำนวนลบเห็นได้ชัดว่าในคำตอบไม่เหมาะ ดังนั้น x ดังกล่าวจึงไม่เป็นที่ยอมรับ ในขณะที่ส่วนที่เหลือจะประกอบเป็น ODZ

ลองใช้สมการเดิมอีกครั้ง:

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีการหารด้วย 0 รากที่สองไม่ได้เช่นกัน แต่มีนิพจน์ที่มี x อยู่ในเนื้อหาของลอการิทึม เราจำได้ทันทีว่านิพจน์ภายในลอการิทึมต้องเป็น > 0 เสมอ เงื่อนไขนี้เขียนในรูปแบบของ ODZ:

เหล่านั้น. เรายังไม่ได้แก้ไขอะไรเลย แต่เราได้เขียนเงื่อนไขบังคับสำหรับนิพจน์ย่อยลอการิทึมทั้งหมดแล้ว วงเล็บปีกกาหมายความว่าต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขเหล่านี้พร้อมกัน

ODZ ถูกเขียนไว้ แต่ก็จำเป็นต้องแก้ไขระบบผลลัพธ์ของความไม่เท่าเทียมกันซึ่งเราจะทำ เราได้คำตอบ x > v3 ตอนนี้เรารู้แล้วว่า x ตัวใดไม่เหมาะกับเรา จากนั้นเราก็เริ่มแก้สมการลอการิทึม ซึ่งเราทำข้างต้น

หลังจากได้รับคำตอบ x 1 \u003d 3 และ x 2 \u003d -1 จะเห็นได้ง่ายว่ามีเพียง x1 \u003d 3 เท่านั้นที่เหมาะกับเราและเราเขียนเป็นคำตอบสุดท้าย

สำหรับอนาคต สิ่งสำคัญคือต้องจำสิ่งต่อไปนี้: เราแก้สมการลอการิทึมใดๆ ใน 2 ขั้นตอน อันแรก - เราแก้สมการเอง อันที่สอง - เราแก้เงื่อนไขของ ODZ ทั้งสองขั้นตอนดำเนินการอย่างเป็นอิสระจากกันและเปรียบเทียบเฉพาะเมื่อเขียนคำตอบนั่นคือ เราทิ้งสิ่งที่ไม่จำเป็นทั้งหมดและเขียนคำตอบที่ถูกต้อง

เพื่อรวบรวมเนื้อหา เราขอแนะนำอย่างยิ่งให้ดูวิดีโอ:

ในวิดีโอ ตัวอย่างอื่นๆ ของการแก้บันทึก สมการและการคำนวณหาช่วงเวลาในทางปฏิบัติ

เรื่องนี้ในเรื่องนี้ วิธีแก้สมการลอการิทึมจนกระทั่งทุกอย่าง ถ้าเป็นไปตามการตัดสินใจของล็อก สมการยังไม่ชัดเจนหรือเข้าใจยาก เขียนคำถามของคุณในความคิดเห็น

หมายเหตุ: Academy of Social Education (KSUE) พร้อมที่จะรับนักเรียนใหม่

แก้สมการลอการิทึม ส่วนที่ 1.

สมการลอการิทึมเรียกว่าสมการที่ไม่ทราบอยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม (โดยเฉพาะในฐานของลอการิทึม)

โปรโตซัว สมการลอการิทึมดูเหมือน:

การแก้สมการลอการิทึมใดๆเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนจากลอการิทึมเป็นนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม อย่างไรก็ตาม การกระทำนี้จะขยายช่วงของค่าที่ถูกต้องของสมการและอาจนำไปสู่การปรากฏตัวของรากภายนอก เพื่อหลีกเลี่ยงการปรากฏตัวของรากภายนอกคุณสามารถทำได้หนึ่งในสามวิธี:

1. ทำการเปลี่ยนแปลงที่เท่าเทียมกันจากสมการเดิมสู่ระบบ ได้แก่

ขึ้นอยู่กับความไม่เท่าเทียมกันหรือง่ายกว่า

หากสมการมีค่าไม่ทราบที่ฐานของลอการิทึม:

จากนั้นเราไปที่ระบบ:

2. แยกหาช่วงค่าที่ยอมรับได้ของสมการจากนั้นแก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบที่หาได้ตรงตามสมการหรือไม่

3. แก้สมการแล้ว ทำการตรวจสอบ:แทนที่คำตอบที่พบในสมการเดิม และตรวจสอบว่าเราได้ค่าเท่ากันถูกต้องหรือไม่

สมการลอการิทึมของระดับความซับซ้อนใดๆ ก็ตามจะลดลงเหลือสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดเสมอ

สมการลอการิทึมทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสี่ประเภท:

1 . สมการที่มีลอการิทึมยกกำลังแรกเท่านั้น ด้วยความช่วยเหลือของการเปลี่ยนแปลงและการใช้งาน พวกมันจะถูกลดขนาดให้อยู่ในรูป

ตัวอย่าง. มาแก้สมการกัน:

เปรียบนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม:

ลองดูว่ารูทของสมการของเราตรงหรือไม่:

ใช่มันพอใจ

คำตอบ: x=5

2 . สมการที่มีลอการิทึมยกกำลังอื่นที่ไม่ใช่ 1 (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในตัวส่วนของเศษส่วน) สมการเหล่านี้แก้ได้โดยใช้ การแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร.

ตัวอย่าง.มาแก้สมการกัน:

หาสมการ ODZ กัน:

สมการมีลอการิทึมกำลังสอง ดังนั้นจึงแก้ได้โดยใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

สำคัญ! ก่อนที่จะแนะนำการแทนที่ คุณต้อง "ดึง" ลอการิทึมที่เป็นส่วนหนึ่งของสมการเป็น "ก้อนอิฐ" โดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม

เมื่อลอการิทึม "ดึง" สิ่งสำคัญคือต้องใช้คุณสมบัติของลอการิทึมอย่างระมัดระวัง:

นอกจากนี้ยังมีที่ที่ละเอียดกว่านี้อีกหนึ่งแห่ง และเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดทั่วไป เราจะใช้ความเท่าเทียมกันระดับกลาง: เราเขียนระดับของลอการิทึมในรูปแบบนี้:

เช่นเดียวกัน,

เราแทนที่นิพจน์ที่ได้รับลงในสมการดั้งเดิม เราได้รับ:

ตอนนี้เราเห็นว่าสิ่งที่ไม่รู้จักมีอยู่ในสมการซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ. เราแนะนำการทดแทน: . เนื่องจากสามารถรับค่าจริงใดๆ ก็ได้ เราจึงไม่กำหนดข้อจำกัดใดๆ ให้กับตัวแปร

สมการลอการิทึม เรายังคงพิจารณางานจากส่วน B ของ Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์ต่อไป เราได้พิจารณาคำตอบของสมการบางข้อในบทความ "", "" แล้ว ในบทความนี้ เราจะพิจารณาสมการลอการิทึม ฉันต้องบอกทันทีว่าจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงที่ซับซ้อนเมื่อแก้สมการดังกล่าวที่ USE พวกมันเรียบง่าย

เพียงพอที่จะรู้และเข้าใจเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน เพื่อทราบคุณสมบัติของลอการิทึม ให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงที่ว่าหลังจากการตัดสินใจ เป็นข้อบังคับที่ต้องทำการตรวจสอบ - แทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิมแล้วคำนวณ ด้วยเหตุนี้ จึงควรได้ค่าความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

คำนิยาม:

ลอการิทึมของจำนวน a ยกกำลังฐาน b คือเลขชี้กำลังซึ่งต้องยก b เพื่อให้ได้ a

ตัวอย่างเช่น:

บันทึก 3 9 = 2 เนื่องจาก 3 2 = 9

คุณสมบัติของลอการิทึม:

กรณีพิเศษของลอการิทึม:

เราแก้ปัญหา ในตัวอย่างแรก เราจะทำการตรวจสอบ ตรวจสอบตัวเองดังต่อไปนี้

หารากของสมการ: log 3 (4–x) = 4

เนื่องจาก log b a = x b x = a แล้ว

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

การตรวจสอบ:

บันทึก 3 (4–(–77)) = 4

บันทึก 3 81 = 4

3 4 = 81 ถูกต้อง

คำตอบ: - 77

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ: log 2 (4 - x) = 7

หารากของสมการล็อก 5(4 + x) = 2

เราใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

เนื่องจากบันทึก a b = x b x = a แล้ว

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x=21

การตรวจสอบ:

บันทึก 5 (4 + 21) = 2

บันทึก 5 25 = 2

5 2 = 25 ถูกต้อง

คำตอบ: 21

หารากของสมการ log 3 (14 - x) = log 3 5

คุณสมบัติต่อไปนี้เกิดขึ้น ความหมายมีดังนี้: หากด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ เรามีลอการิทึมที่มีฐานเท่ากัน เราก็สามารถจัดนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมได้

14 - x = 5

x=9

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 9

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ log 5 (5 - x) = log 5 3

หารากของสมการ: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15)

ถ้า log c a = log c b แล้ว a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 6

หารากของสมการ log 1/8 (13 - x) = - 2

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13 - 64

x = -51

ทำการตรวจสอบ

การเพิ่มเล็กน้อย - ที่นี่ใช้คุณสมบัติ

ระดับ().

คำตอบ: - 51

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ: log 1/7 (7 - x) = - 2

หารากของสมการ log 2 (4 - x) = 2 log 2 5

ลองแปลงด้านขวา ใช้คุณสมบัติ:

บันทึก a b m = m∙ บันทึก a b

บันทึก 2 (4 - x) = บันทึก 2 5 2

ถ้า log c a = log c b แล้ว a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: - 21

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

แก้สมการ log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

ถ้า log c a = log c b แล้ว a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x=2.75

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 2.75

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10)

แก้สมการ log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1

ทางด้านขวาของสมการ คุณต้องได้รับนิพจน์ของแบบฟอร์ม:

บันทึก 2 (......)

แสดง 1 เป็นลอการิทึมฐาน 2:

1 = บันทึก 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

บันทึก 2 (2 - x) = บันทึก 2 (2 - 3x) + บันทึก 2 2

เราได้รับ:

บันทึก 2 (2 - x) = บันทึก 2 2 (2 - 3x)

ถ้า log c a = log c b แล้ว a = b แล้ว

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x=0.4

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 0.4

ตัดสินใจด้วยตัวเอง: ต่อไป คุณต้องแก้สมการกำลังสอง อนึ่ง,

รากคือ 6 และ -4

ราก "-4" ไม่ใช่คำตอบ เนื่องจากฐานของลอการิทึมต้องมากกว่าศูนย์ และด้วย "– 4" เท่ากับ " – 5". วิธีแก้ปัญหาคือรูท 6ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 6.

R กินเอง:

แก้สมการ log x –5 49 = 2 ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูท ให้ตอบอันที่น้อยกว่า

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีการแปลงที่ซับซ้อนด้วยสมการลอการิทึมไม่. ก็เพียงพอที่จะรู้คุณสมบัติของลอการิทึมและสามารถนำไปใช้ได้ ในงานของ USE ที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลง นิพจน์ลอการิทึมดำเนินการเปลี่ยนแปลงอย่างจริงจังมากขึ้นและต้องใช้ทักษะที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นในการแก้ปัญหา เราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าว อย่าพลาด!ขอให้ประสบความสำเร็จ!!!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

PS: ฉันจะขอบคุณมากถ้าคุณบอกเกี่ยวกับไซต์ในเครือข่ายสังคมออนไลน์