ที่มาของสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง (x ยกกำลัง a) พิจารณาอนุพันธ์ของรากจาก x สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังลำดับที่สูงกว่า ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์

อนุพันธ์ของ x กำลังของ a คือ a คูณ x กำลังของ ลบ 1:
(1) .

อนุพันธ์ของรากที่ n ของ x ยกกำลัง m คือ
(2) .

ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

กรณี x > 0

พิจารณาฟังก์ชันยกกำลังของตัวแปร x ที่มีเลขชี้กำลัง a :
(3) .
นี่คือ a เป็นจำนวนจริงโดยพลการ ลองพิจารณากรณีนี้ก่อน

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) เราใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังและแปลงเป็นรูปแบบต่อไปนี้:
.

ตอนนี้เราพบอนุพันธ์โดยใช้:
;
.
ที่นี่ .

สูตร (1) ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของรากของระดับ n ของ x ถึงระดับ m

ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันที่เป็นรากของรูปแบบต่อไปนี้:
(4) .

ในการหาอนุพันธ์ เราจะแปลงรูทเป็นฟังก์ชันยกกำลัง:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับสูตร (3) เราจะเห็นว่า
.
แล้ว
.

ตามสูตร (1) เราพบอนุพันธ์:
(1) ;
;
(2) .

ในทางปฏิบัติ ไม่จำเป็นต้องจำสูตร (2) การแปลงรากเป็นฟังก์ชันยกกำลังจะสะดวกกว่ามาก แล้วจึงหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร (1) (ดูตัวอย่างที่ส่วนท้ายของหน้า)

กรณี x = 0

ถ้า ฟังก์ชันกำลังจะถูกกำหนดไว้สำหรับค่าของตัวแปร x = 0 . ให้เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) สำหรับ x = 0 . ในการทำเช่นนี้ เราใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์:
.

แทนค่า x = 0 :
.
ในกรณีนี้ โดยอนุพันธ์ เราหมายถึงขีดจำกัดขวามือซึ่ง

ดังนั้นเราจึงพบว่า:
.
จากนี้จะเห็นได้ว่าที่ , .
ที่ , .
ที่ , .
ผลลัพธ์นี้ได้มาจากสูตร (1):
(1) .
ดังนั้น สูตร (1) จึงใช้ได้สำหรับ x = 0 .

กรณี x< 0

พิจารณาฟังก์ชัน (3) อีกครั้ง:
(3) .
สำหรับค่าคงที่บางค่า a มันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าลบของตัวแปร x เช่นกัน กล่าวคือปล่อยให้เป็น จำนวนตรรกยะ. จากนั้นสามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้:
,
โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มี ตัวหารร่วมกัน.

ถ้า n เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะถูกกำหนดไว้สำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย ตัวอย่างเช่น สำหรับ n = 3 และ ม = 1 เรามี รากลูกบาศก์จาก x :
.
นอกจากนี้ยังกำหนดไว้สำหรับค่าลบของ x

ให้เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง (3) สำหรับและสำหรับค่าตรรกยะของค่าคงที่ a ซึ่งกำหนดไว้ ในการทำเช่นนี้ เราแทน x ในรูปแบบต่อไปนี้:
.
แล้ว ,
.
เราหาอนุพันธ์โดยนำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์และใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

.
ที่นี่ . แต่
.
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
.
แล้ว
.
นั่นคือ สูตร (1) ใช้ได้กับ:
(1) .

อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

ตอนนี้เราพบอนุพันธ์อันดับสูงกว่าของฟังก์ชันกำลัง
(3) .
เราพบอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งแล้ว:
.

นำค่าคงที่ a ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ เราพบอนุพันธ์อันดับสอง:
.
ในทำนองเดียวกัน เราพบอนุพันธ์ของคำสั่งที่สามและสี่:
;

.

จากที่นี่เป็นที่ชัดเจนว่า อนุพันธ์ของลำดับที่ n โดยพลการมีรูปแบบดังนี้
.

สังเกตว่า ถ้าเป็น จำนวนธรรมชาติ , , ดังนั้นอนุพันธ์อันดับ n จะเป็นค่าคงที่:
.
จากนั้นอนุพันธ์ที่ตามมาทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์:
,
ที่ .

ตัวอย่างอนุพันธ์

ตัวอย่าง

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
.

สารละลาย

มาแปลงรากเป็นพลังกันเถอะ:
;
.
จากนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:
.

เราพบอนุพันธ์ขององศา:
;
.
อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์:
.

เป็นไปไม่ได้เลยที่จะแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างทางคณิตศาสตร์โดยไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งใน แนวคิดที่สำคัญที่สุดการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความในวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ความหมายเชิงกายภาพและเรขาคณิตคืออะไร วิธีคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คำถามทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมกันเป็นคำถามเดียวได้: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?

ความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของอนุพันธ์

ให้มีฟังก์ชั่น ฉ(x) , กำหนดเป็นบางช่วง (ก,ข) . จุด x และ x0 เป็นของช่วงเวลานี้ เมื่อ x เปลี่ยน ฟังก์ชันเองก็เปลี่ยนด้วย การเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างของค่า x-x0 . ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ การเปลี่ยนแปลงหรือเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชัน ณ จุดสองจุด คำจำกัดความอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์

มิฉะนั้นจะเขียนได้ดังนี้

อะไรคือประเด็นในการหาขีดจำกัดเช่นนี้? แต่อันไหน:

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งจะเท่ากับเส้นสัมผัสของมุมระหว่างแกน OX และเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเวลาของเส้นทางเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

จริง ๆ ตั้งแต่สมัยเรียนใคร ๆ ก็รู้ว่าความเร็วเป็นเส้นทางส่วนตัว x=ฉ(เสื้อ) และเวลา ที . ความเร็วเฉลี่ยในระยะเวลาหนึ่ง:

เพื่อหาความเร็วของการเคลื่อนที่ในแต่ละครั้ง เสื้อ0 คุณต้องคำนวณขีด จำกัด :

กฎข้อที่หนึ่ง: นำค่าคงที่ออก

ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ นอกจากนี้จะต้องทำ เมื่อแก้ตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ ให้ถือเป็นกฎ - หากคุณทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นได้ อย่าลืมทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น .

ตัวอย่าง. ลองคำนวณอนุพันธ์:

กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลรวมของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชัน

เราจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่ให้พิจารณาตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

สารละลาย:

สิ่งสำคัญคือต้องพูดเกี่ยวกับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ที่เกี่ยวกับอาร์กิวเมนต์ระดับกลางโดยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางที่เกี่ยวกับตัวแปรอิสระ

ในตัวอย่างข้างต้น เราพบกับนิพจน์:

ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์ดังกล่าว ก่อนอื่นเราจะพิจารณาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ระดับกลาง จากนั้นจึงคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ

กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

สูตรการหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:

เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นตั้งแต่เริ่มต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นโปรดใช้ความระมัดระวังเมื่อคำนวณอนุพันธ์

หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่น ๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักเรียนได้ ในเวลาอันสั้น เราจะช่วยคุณแก้ปัญหาการควบคุมและจัดการกับงานที่ยากที่สุด แม้ว่าคุณจะไม่เคยจัดการกับการคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม

คำนิยาม.ให้ฟังก์ชัน \(y = f(x) \) ถูกกำหนดในบางช่วงที่มีจุด \(x_0 \) อยู่ภายใน มาเพิ่ม \(\Delta x \) ให้กับอาร์กิวเมนต์เพื่อไม่ให้ออกจากช่วงเวลานี้ ค้นหาส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน \(\Delta y \) (เมื่อผ่านจากจุด \(x_0 \) ไปยังจุด \(x_0 + \Delta x \)) และเขียนความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y )(\เดลต้า x) \). หากมีขีดจำกัดของความสัมพันธ์นี้ที่ \(\Delta x \rightarrow 0 \) ดังนั้นขีดจำกัดที่ระบุจะถูกเรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์\(y=f(x) \) ที่จุด \(x_0 \) และแสดงว่า \(f"(x_0) \)

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

สัญลักษณ์ y มักใช้เพื่อแสดงอนุพันธ์ โปรดทราบว่า y" = f(x) เป็นฟังก์ชันใหม่ แต่มีความเกี่ยวข้องตามธรรมชาติกับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งกำหนดไว้ที่จุด x ทั้งหมดซึ่งมีขีดจำกัดข้างต้นอยู่ เรียกฟังก์ชันนี้ดังนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x).

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ประกอบด้วยดังต่อไปนี้. หากแทนเจนต์ที่ไม่ขนานกับแกน y สามารถวาดเป็นกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุดที่มี abscissa x \u003d a ดังนั้น f (a) จะแสดงความชันของเส้นสัมผัส:
\(k = f"(ก)\)

เนื่องจาก \(k = tg(a) \) ความเท่าเทียมกัน \(f"(a) = tg(a) \) จึงเป็นจริง

และตอนนี้เราตีความคำจำกัดความของอนุพันธ์ในแง่ของความเท่าเทียมกันโดยประมาณ ให้ฟังก์ชัน \(y = f(x) \) มีอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ซึ่งหมายความว่าใกล้กับจุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \ประมาณ f"(x) \) เช่น \(\Delta y \about f"(x) \cdot \เดลต้า\). ความหมายที่มีความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่ได้รับมีดังนี้: การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือ "เกือบเป็นสัดส่วน" กับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ และค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนคือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนด x ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน \(y = x^2 \) ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \around 2x \cdot \Delta x \) นั้นใช้ได้ หากเราวิเคราะห์คำจำกัดความของอนุพันธ์อย่างระมัดระวัง เราจะพบว่ามันมีอัลกอริทึมสำหรับการค้นหา

ลองกำหนดมัน

จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้อย่างไร y \u003d f (x) ?

1. แก้ไขค่า \(x \), หา \(f(x) \)
2. เพิ่ม \(x \) อาร์กิวเมนต์ \(\Delta x \) ย้ายไปยังจุดใหม่ \(x+ \Delta x \) ค้นหา \(f(x+ \Delta x) \)
3. ค้นหาฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. เขียนความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. คำนวณ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ลิมิตนี้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ x

ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x จะเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ขั้นตอนการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x) เรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชัน y = f(x)

ให้เราอภิปรายคำถามต่อไปนี้ ความต่อเนื่องและความแตกต่างของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเกี่ยวข้องกันอย่างไร

ให้ฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x จากนั้นสามารถวาดเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด M (x; f (x)) และจำได้ว่าความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ f "(x) กราฟดังกล่าวไม่สามารถ "แตก" ที่ จุด M คือ ฟังก์ชันต้องต่อเนื่องที่ x

มันเป็นเหตุผล "บนนิ้ว" ให้เราเสนอข้อโต้แย้งที่เข้มงวดมากขึ้น ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ความเสมอภาคโดยประมาณ \(\Delta y \about f"(x) \cdot \Delta x \) จะถือเป็นศูนย์ จากนั้น \(\Delta y \ ) ก็จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์เช่นกัน และนี่คือเงื่อนไขสำหรับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

ดังนั้น, หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ฟังก์ชันนั้นจะต่อเนื่องที่จุดนั้นด้วย.

การสนทนาไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น: ฟังก์ชัน y = |x| ต่อเนื่องทุกที่ โดยเฉพาะที่จุด x = 0 แต่ไม่มีเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่ "จุดร่วม" (0; 0) หากถึงจุดหนึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะวาดเส้นสัมผัสกับกราฟฟังก์ชัน แสดงว่าไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้

อีกหนึ่งตัวอย่าง ฟังก์ชัน \(y=\sqrt(x) \) ต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด รวมทั้งที่จุด x = 0 และเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันมีอยู่ที่จุดใดๆ รวมทั้งที่จุด x = 0 . แต่ ณ จุดนี้เส้นสัมผัสเกิดขึ้นพร้อมกับแกน y นั่นคือมันตั้งฉากกับแกน abscissa สมการของมันอยู่ในรูปแบบ x \u003d 0 ไม่มีความชันสำหรับเส้นตรงดังกล่าว ซึ่งหมายความว่า \ ( f "(0) \) ไม่มีอยู่เช่นกัน

ดังนั้นเราจึงทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติใหม่ของฟังก์ชัน - ความแตกต่าง คุณจะบอกได้อย่างไรว่าฟังก์ชันแตกต่างจากกราฟของฟังก์ชัน

คำตอบนั้นได้รับจริงข้างต้น หาก ณ จุดใดจุดหนึ่งสามารถลากเส้นสัมผัสไปยังกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกน x ได้ แสดงว่า ณ จุดนี้ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ หากถึงจุดหนึ่งเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันไม่มีอยู่หรือตั้งฉากกับแกน x ดังนั้น ณ จุดนี้ ฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ไม่ได้

กฎความแตกต่าง

เรียกการดำเนินการหาอนุพันธ์ ความแตกต่าง. เมื่อดำเนินการนี้ คุณมักจะต้องทำงานกับผลหาร ผลรวม ผลคูณของฟังก์ชัน เช่นเดียวกับ "ฟังก์ชันของฟังก์ชัน" นั่นคือ ฟังก์ชันที่ซับซ้อน ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถหากฎความแตกต่างที่ช่วยให้งานนี้ง่ายขึ้น ถ้า C เป็นจำนวนคงที่และ f=f(x), g=g(x) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ต่อไปนี้เป็นจริง กฎความแตกต่าง:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ อนุพันธ์ของฟังก์ชันผสม:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

ตารางอนุพันธ์ของบางฟังก์ชัน

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

สวัสดีผู้อ่านที่รัก หลังจากอ่านบทความแล้ว คุณอาจมีคำถามเชิงตรรกะ: "ทำไม อันที่จริง สิ่งนี้จำเป็นหรือไม่" ด้วยเหตุนี้ ก่อนอื่นฉันคิดว่าจำเป็นต้องแจ้งให้ทราบล่วงหน้าว่าวิธีการที่ต้องการสำหรับการแก้สมการกำลังสองนั้นนำเสนอจากด้านศีลธรรมและสุนทรียศาสตร์ของคณิตศาสตร์มากกว่าจากด้านการใช้งานจริง ฉันต้องขออภัยล่วงหน้าสำหรับผู้อ่านที่พบว่าคำพูดที่ไม่ชำนาญของฉันรับไม่ได้ ดังนั้นเรามาเริ่มตอกตะปูด้วยกล้องจุลทรรศน์กันเลย

เรามีสมการพีชคณิตของระดับที่สอง (เป็นกำลังสองด้วย) ในรูปแบบทั่วไป:

เรามาต่อจาก สมการกำลังสองเป็นฟังก์ชันกำลังสอง:

เห็นได้ชัดว่าจำเป็นต้องค้นหาค่าดังกล่าวของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันซึ่งจะคืนค่าเป็นศูนย์

ดูเหมือนว่าจะแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta หรือผ่านการจำแนก แต่นั่นไม่ใช่สิ่งที่เรามาที่นี่ หาอนุพันธ์กันเถอะ!

ตามคำจำกัดความของความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์อันดับ 1 เป็นที่ชัดเจนว่าโดยการแทนที่อาร์กิวเมนต์ในฟังก์ชันที่ได้รับข้างต้น เรา (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง) ได้รับ ความเร็วการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดโดยอาร์กิวเมนต์นี้

ครั้งนี้เราได้ "อัตราความเร็ว" ของการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชัน (เช่น การเร่งความเร็ว) ณ จุดใดจุดหนึ่ง หลังจากวิเคราะห์ผลลัพธ์เพียงเล็กน้อย เราสามารถสรุปได้ว่า "ความเร่ง" เป็นค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน - จำสิ่งนี้ไว้

ทีนี้มาจำฟิสิกส์และการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งอย่างสม่ำเสมอ (RUD) กัน เรามีอะไรอยู่ในคลังแสงของเราบ้าง? ถูกต้อง มีสูตรสำหรับกำหนดพิกัดของการเคลื่อนที่ตามแนวแกนในระหว่างการเคลื่อนไหวที่ต้องการ:

ที่ไหน - เวลา - ความเร็วเริ่มต้น - ความเร่ง
มันง่ายที่จะเห็นว่าฟังก์ชันดั้งเดิมของเราเป็นเพียง RUD

สูตรการกระจัดของคันเร่งเป็นผลมาจากการแก้สมการกำลังสองไม่ใช่หรือ

เลขที่ สูตรสำหรับเค้นข้างต้นเป็นผลมาจากการรวมสูตรความเร็วสำหรับ PORD หรือจากกราฟคุณสามารถหาพื้นที่ของตัวเลขได้ จะมีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูออกมา
สูตรการกระจัดของเค้นไม่ได้มาจากการแก้สมการกำลังสองใดๆ นี่เป็นสิ่งสำคัญมาก มิฉะนั้นจะไม่มีประเด็นใดในบทความ

ตอนนี้ยังคงต้องค้นหาว่าอะไรคืออะไรและเราขาดอะไรไป

เรามี "ความเร่ง" แล้ว - เป็นอนุพันธ์อันดับสองที่ได้มาด้านบน แต่เพื่อให้ได้ความเร็วเริ่มต้น โดยทั่วไปเราต้องใช้ค่าใด ๆ (สมมติว่าเป็น ) และแทนที่ลงในอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่งตอนนี้ - เพราะมันจะเป็นลำดับที่ต้องการ

กรณีนี้จึงเกิดคำถามว่าควรเอาตัวไหนดี? เห็นได้ชัดว่าความเร็วเริ่มต้นเท่ากับศูนย์ดังนั้นสูตรสำหรับ "การกระจัดที่คันเร่ง" จึงกลายเป็น:

ในกรณีนี้ เราสร้างสมการสำหรับการค้นหา:

[แทนที่ด้วยอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง]

รากของสมการที่เกี่ยวข้องจะเป็น:

และค่าของฟังก์ชันดั้งเดิมที่มีอาร์กิวเมนต์ดังกล่าวจะเป็น:

ตอนนี้เห็นได้ชัดว่า:

รวบรวมปริศนาทั้งหมดเข้าด้วยกัน:

ที่นี่เรามีวิธีแก้ปัญหาขั้นสุดท้าย โดยทั่วไปแล้วเราไม่ได้ค้นพบอเมริกา - เราเพิ่งมาถึงสูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติในทางอ้อม สิ่งนี้ไม่ได้มีความหมายในทางปฏิบัติ (ในทำนองเดียวกันโดยประมาณ สมการของระดับที่หนึ่ง / วินาทีของรูปแบบใด ๆ (ไม่จำเป็นต้องเป็นแบบทั่วไป) สามารถแก้ไขได้)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดประสงค์ของบทความนี้คือเพื่อกระตุ้นความสนใจในการวิเคราะห์เสื่อ ฟังก์ชันและคณิตศาสตร์โดยทั่วไป

ปีเตอร์อยู่กับคุณ ขอบคุณที่ให้ความสนใจ!