อนุพันธ์อันดับสามของ x การแก้สมการกำลังสองโดยใช้อนุพันธ์
ในบทเรียนนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีการใช้สูตรและกฎของความแตกต่าง
ตัวอย่าง. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9 การใช้กฎ ฉัน, สูตร 4, 2 และ 1. เราได้รับ:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1
2. y=3x6 -2x+5 เราแก้ปัญหาในทำนองเดียวกันโดยใช้สูตรและสูตรเดียวกัน 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
การใช้กฎ ฉัน, สูตร 3, 5
และ 6
และ 1.
การใช้กฎ IV, สูตร 5 และ 1 .
ในตัวอย่างที่ห้าตามกฎ ฉันอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ และเราเพิ่งพบอนุพันธ์ของพจน์ที่ 1 (ตัวอย่าง 4 ) ดังนั้นเราจะหาอนุพันธ์ อันดับที่ 2และ อันดับ 3ข้อกำหนดและ สำหรับวันที่ 1เราสามารถเขียนผลลัพธ์ได้ทันที
ความแตกต่าง อันดับที่ 2และ อันดับ 3ข้อกำหนดตามสูตร 4
. ในการทำเช่นนี้ เราแปลงรากขององศาที่สามและสี่ในตัวส่วนให้เป็นเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ แล้วตาม 4
สูตรหาอนุพันธ์ของเลขยกกำลัง
ดูตัวอย่างนี้และผลลัพธ์ คุณจับรูปแบบหรือไม่? ดี. ซึ่งหมายความว่าเรามีสูตรใหม่และสามารถเพิ่มลงในตารางอนุพันธ์ของเราได้
ลองแก้ตัวอย่างที่หกและรับอีกหนึ่งสูตร
เราใช้กฎ IVและสูตร 4
. เราลดเศษส่วนที่เกิดขึ้น
เราดูที่ฟังก์ชันนี้และอนุพันธ์ของมัน แน่นอนคุณเข้าใจรูปแบบและพร้อมที่จะตั้งชื่อสูตร:
เรียนรู้สูตรใหม่!
ตัวอย่าง.
1. ค้นหาการเพิ่มอาร์กิวเมนต์และการเพิ่มฟังก์ชัน y= x2ถ้าค่าเริ่มต้นของอาร์กิวเมนต์คือ 4 และใหม่ 4,01 .
สารละลาย.
ค่าอาร์กิวเมนต์ใหม่ x \u003d x 0 + Δx. แทนที่ข้อมูล: 4.01=4+Δx ดังนั้น การเพิ่มอาร์กิวเมนต์ ∆x=4.01-4=0.01. การเพิ่มฟังก์ชันตามนิยามจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าใหม่และค่าก่อนหน้าของฟังก์ชัน เช่น Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0) เนื่องจากเรามีหน้าที่ y=x2, ที่ ∆y\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
คำตอบ: การโต้แย้งที่เพิ่มขึ้น ∆x=0.01; การเพิ่มฟังก์ชัน ∆y=0,0801.
คุณสามารถค้นหาการเพิ่มฟังก์ชันด้วยวิธีอื่น: ∆y\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801
2. ค้นหามุมเอียงของเส้นสัมผัสกับกราฟฟังก์ชัน y=ฉ(x)ที่จุด x 0, ถ้า ฉ "(x 0) \u003d 1.
สารละลาย.
มูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดติดต่อ x 0และเป็นค่าของเส้นสัมผัสของความชันของเส้นสัมผัส (ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์) เรามี: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °เพราะ tg45°=1.
คำตอบ: สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันนี้สร้างมุมที่มีทิศทางบวกของแกน Ox เท่ากับ 45°.
3. รับสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=xn.
ความแตกต่างเป็นการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เมื่อค้นหาอนุพันธ์ จะใช้สูตรที่ได้มาจากพื้นฐานของคำจำกัดความของอนุพันธ์ ในลักษณะเดียวกับที่เราได้รับสูตรสำหรับระดับอนุพันธ์: (x n)" = nx n-1.
นี่คือสูตร
ตารางอนุพันธ์มันจะง่ายต่อการจดจำโดยการออกเสียงสูตรทางวาจา:
1. อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์
2. X จังหวะเท่ากับหนึ่ง
3. สามารถนำปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้
4. อนุพันธ์ของดีกรีเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังของดีกรีนี้ตามดีกรีที่มีฐานเท่ากัน แต่เลขชี้กำลังน้อยกว่าหนึ่ง
5. อนุพันธ์ของรากเท่ากับหนึ่งหารด้วยสองของรากเดียวกัน
6. อนุพันธ์ของเอกภาพหารด้วย x ได้ลบหนึ่งหารด้วย x กำลังสอง
7. อนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์
8. อนุพันธ์ของโคไซน์เท่ากับลบไซน์
9. อนุพันธ์ของแทนเจนต์เท่ากับหนึ่งหารด้วยกำลังสองของโคไซน์
10. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์คือ ลบ 1 หารด้วยกำลังสองของไซน์
เราสอน กฎความแตกต่าง.
1.
อนุพันธ์ของผลรวมเชิงพีชคณิตจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของอนุพันธ์
2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของปัจจัยที่หนึ่งคูณสอง บวกผลคูณของปัจจัยที่หนึ่งด้วยอนุพันธ์ของปัจจัยที่สอง
3. อนุพันธ์ของ "y" หารด้วย "ve" เท่ากับเศษส่วนในตัวเศษซึ่ง "y คือเส้นขีดคูณด้วย "ve" ลบ "y คูณด้วยเส้นขีด" และในตัวส่วน - "ve กำลังสอง ".
4. กรณีพิเศษของสูตร 3.
มาเรียนรู้กัน!
หน้าที่ 1 จาก 1 1
คำนิยาม.ให้ฟังก์ชัน \(y = f(x) \) ถูกกำหนดในบางช่วงที่มีจุด \(x_0 \) อยู่ภายใน มาเพิ่ม \(\Delta x \) ให้กับอาร์กิวเมนต์เพื่อไม่ให้ออกจากช่วงเวลานี้ ค้นหาส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน \(\Delta y \) (เมื่อผ่านจากจุด \(x_0 \) ไปยังจุด \(x_0 + \Delta x \)) และเขียนความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y )(\เดลต้า x) \). หากมีขีดจำกัดของความสัมพันธ์นี้ที่ \(\Delta x \rightarrow 0 \) ดังนั้นขีดจำกัดที่ระบุจะถูกเรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์\(y=f(x) \) ที่จุด \(x_0 \) และแสดงว่า \(f"(x_0) \)
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
สัญลักษณ์ y มักใช้เพื่อแสดงอนุพันธ์ โปรดทราบว่า y" = f(x) เป็นฟังก์ชันใหม่ แต่มีความเกี่ยวข้องตามธรรมชาติกับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งกำหนดไว้ที่จุด x ทั้งหมดที่มีขีดจำกัดข้างต้น เรียกฟังก์ชันนี้ดังนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x).
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ประกอบด้วยดังต่อไปนี้. หากแทนเจนต์ที่ไม่ขนานกับแกน y สามารถวาดเป็นกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุดที่มี abscissa x \u003d a ดังนั้น f (a) จะแสดงความชันของเส้นสัมผัส:
\(k = f"(ก)\)
เนื่องจาก \(k = tg(a) \) ความเท่าเทียมกัน \(f"(a) = tg(a) \) จึงเป็นจริง
และตอนนี้เราตีความคำจำกัดความของอนุพันธ์ในแง่ของความเท่าเทียมกันโดยประมาณ ให้ฟังก์ชัน \(y = f(x) \) มีอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ซึ่งหมายความว่าใกล้กับจุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \ประมาณ f"(x) \) เช่น \(\Delta y \about f"(x) \cdot \เดลต้า\). ความหมายที่มีความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่ได้รับมีดังนี้: การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือ "เกือบเป็นสัดส่วน" กับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ และค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนคือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนด x ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน \(y = x^2 \) ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \around 2x \cdot \Delta x \) นั้นใช้ได้ หากเราวิเคราะห์คำจำกัดความของอนุพันธ์อย่างระมัดระวัง เราจะพบว่ามันมีอัลกอริทึมสำหรับการค้นหา
ลองกำหนดมัน
จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้อย่างไร y \u003d f (x) ?
1. แก้ไขค่า \(x \), หา \(f(x) \)
2. เพิ่ม \(x \) อาร์กิวเมนต์ \(\Delta x \) ย้ายไปยังจุดใหม่ \(x+ \Delta x \) ค้นหา \(f(x+ \Delta x) \)
3. ค้นหาฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. เขียนความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. คำนวณ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ลิมิตนี้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ x
ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x จะเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ขั้นตอนการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x) เรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชัน y = f(x)
ให้เราอภิปรายคำถามต่อไปนี้ ความต่อเนื่องและความแตกต่างของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเกี่ยวข้องกันอย่างไร
ให้ฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x จากนั้นสามารถวาดเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด M (x; f (x)) และจำได้ว่าความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ f "(x) กราฟดังกล่าวไม่สามารถ "แตก" ที่ จุด M คือ ฟังก์ชันต้องต่อเนื่องที่ x
มันเป็นเหตุผล "บนนิ้ว" ให้เราเสนอข้อโต้แย้งที่เข้มงวดมากขึ้น ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ความเสมอภาคโดยประมาณ \(\Delta y \about f"(x) \cdot \Delta x \) จะถือเป็นศูนย์ จากนั้น \(\Delta y \ ) ก็จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์เช่นกัน และนี่คือเงื่อนไขสำหรับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
ดังนั้น, หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ฟังก์ชันนั้นจะต่อเนื่องที่จุดนั้นด้วย.
การสนทนาไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น: ฟังก์ชัน y = |x| ต่อเนื่องทุกที่ โดยเฉพาะที่จุด x = 0 แต่ไม่มีเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่ "จุดร่วม" (0; 0) หากถึงจุดหนึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะวาดเส้นสัมผัสกับกราฟฟังก์ชัน แสดงว่าไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้
อีกหนึ่งตัวอย่าง ฟังก์ชัน \(y=\sqrt(x) \) ต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด รวมทั้งที่จุด x = 0 และเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันมีอยู่ที่จุดใดๆ รวมทั้งที่จุด x = 0 . แต่ ณ จุดนี้เส้นสัมผัสเกิดขึ้นพร้อมกับแกน y นั่นคือมันตั้งฉากกับแกน abscissa สมการของมันอยู่ในรูปแบบ x \u003d 0 ไม่มีความชันสำหรับเส้นตรงดังกล่าว ซึ่งหมายความว่า \ ( f "(0) \) ไม่มีอยู่เช่นกัน
ดังนั้นเราจึงทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติใหม่ของฟังก์ชัน - ความแตกต่าง คุณจะบอกได้อย่างไรว่าฟังก์ชันแตกต่างจากกราฟของฟังก์ชัน
คำตอบนั้นได้รับจริงข้างต้น หาก ณ จุดใดจุดหนึ่งสามารถลากเส้นสัมผัสไปยังกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกน x ได้ แสดงว่า ณ จุดนี้ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ หากถึงจุดหนึ่งเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันไม่มีอยู่หรือตั้งฉากกับแกน x ดังนั้น ณ จุดนี้ ฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ไม่ได้
กฎความแตกต่าง
เรียกการดำเนินการหาอนุพันธ์ ความแตกต่าง. เมื่อดำเนินการนี้ คุณมักจะต้องทำงานกับผลหาร ผลรวม ผลคูณของฟังก์ชัน เช่นเดียวกับ "ฟังก์ชันของฟังก์ชัน" นั่นคือ ฟังก์ชันที่ซับซ้อน ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถหากฎความแตกต่างที่ช่วยให้งานนี้ง่ายขึ้น ถ้า C เป็นจำนวนคงที่และ f=f(x), g=g(x) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ต่อไปนี้เป็นจริง กฎความแตกต่าง:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
ตารางอนุพันธ์ของบางฟังก์ชัน
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $เป็นไปไม่ได้เลยที่จะแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างทางคณิตศาสตร์โดยไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งใน แนวคิดที่สำคัญที่สุดการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความในวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ความหมายเชิงกายภาพและเรขาคณิตคืออะไร วิธีคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คำถามทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมกันเป็นคำถามเดียวได้: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?
ความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของอนุพันธ์
ให้มีฟังก์ชั่น ฉ(x) , กำหนดเป็นบางช่วง (ก,ข) . จุด x และ x0 เป็นของช่วงเวลานี้ เมื่อ x เปลี่ยน ฟังก์ชันเองก็เปลี่ยนด้วย การเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างของค่า x-x0 . ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ การเปลี่ยนแปลงหรือเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชัน ณ จุดสองจุด คำจำกัดความอนุพันธ์:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์
มิฉะนั้นจะเขียนได้ดังนี้
อะไรคือประเด็นในการหาขีดจำกัดเช่นนี้? แต่อันไหน:
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งจะเท่ากับเส้นสัมผัสของมุมระหว่างแกน OX และเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด
ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเวลาของเส้นทางเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง
จริง ๆ ตั้งแต่สมัยเรียนใคร ๆ ก็รู้ว่าความเร็วเป็นเส้นทางส่วนตัว x=ฉ(เสื้อ) และเวลา ที . ความเร็วเฉลี่ยในระยะเวลาหนึ่ง:
เพื่อหาความเร็วของการเคลื่อนที่ในแต่ละครั้ง เสื้อ0 คุณต้องคำนวณขีด จำกัด :
กฎข้อที่หนึ่ง: นำค่าคงที่ออก
ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ยิ่งไปกว่านั้นจะต้องทำ เมื่อแก้ตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ ให้ถือเป็นกฎ - หากคุณทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นได้ อย่าลืมทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น .
ตัวอย่าง. ลองคำนวณอนุพันธ์:
กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลรวมของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชัน
เราจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่ให้พิจารณาตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร:
ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
สารละลาย: 
สิ่งสำคัญคือต้องพูดเกี่ยวกับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ที่เกี่ยวกับอาร์กิวเมนต์ระดับกลางโดยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางที่เกี่ยวกับตัวแปรอิสระ
ในตัวอย่างข้างต้น เราพบกับนิพจน์:
ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์ดังกล่าว ก่อนอื่นเราจะพิจารณาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ระดับกลาง แล้วจึงคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ
กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน
สูตรการหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:
เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นตั้งแต่เริ่มต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นโปรดใช้ความระมัดระวังเมื่อคำนวณอนุพันธ์
หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่น ๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักเรียนได้ ในเวลาอันสั้น เราจะช่วยคุณแก้ปัญหาการควบคุมและจัดการกับงานที่ยากที่สุด แม้ว่าคุณจะไม่เคยจัดการกับการคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม
สวัสดีผู้อ่านที่รัก หลังจากอ่านบทความแล้ว คุณอาจมีคำถามเชิงตรรกะ: "ทำไม อันที่จริง สิ่งนี้จำเป็นหรือไม่" ด้วยเหตุนี้ ก่อนอื่นฉันคิดว่าจำเป็นต้องแจ้งให้ทราบล่วงหน้าว่าวิธีการที่ต้องการสำหรับการแก้สมการกำลังสองนั้นนำเสนอจากด้านศีลธรรมและสุนทรียศาสตร์ของคณิตศาสตร์มากกว่าจากด้านการใช้งานจริง ฉันต้องขออภัยล่วงหน้าสำหรับผู้อ่านที่พบว่าคำพูดที่ไม่ชำนาญของฉันรับไม่ได้ ดังนั้นเรามาเริ่มตอกตะปูด้วยกล้องจุลทรรศน์กันเลย
เรามีสมการพีชคณิตของระดับที่สอง (เป็นกำลังสองด้วย) ในรูปแบบทั่วไป:
เรามาเปลี่ยนจากสมการกำลังสองไปเป็นฟังก์ชันกำลังสองกัน:
เห็นได้ชัดว่าจำเป็นต้องค้นหาค่าดังกล่าวของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันซึ่งจะคืนค่าเป็นศูนย์
ดูเหมือนว่าจะแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta หรือผ่านการจำแนก แต่นั่นไม่ใช่สิ่งที่เรามาที่นี่ หาอนุพันธ์กันเถอะ! 
ตามคำจำกัดความของความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์อันดับ 1 เป็นที่ชัดเจนว่าโดยการแทนที่อาร์กิวเมนต์ในฟังก์ชันที่ได้รับข้างต้น เรา (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง) ได้รับ ความเร็วการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดโดยอาร์กิวเมนต์นี้
ครั้งนี้เราได้ "อัตราความเร็ว" ของการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชัน (เช่น การเร่งความเร็ว) ณ จุดใดจุดหนึ่ง หลังจากวิเคราะห์ผลลัพธ์เล็กน้อย เราสามารถสรุปได้ว่า "ความเร่ง" เป็นค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน - จำสิ่งนี้ไว้
ทีนี้มาจำฟิสิกส์และการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งอย่างสม่ำเสมอ (RUD) กัน เรามีอะไรอยู่ในคลังแสงของเราบ้าง? ถูกต้อง มีสูตรสำหรับกำหนดพิกัดของการเคลื่อนที่ตามแนวแกนในระหว่างการเคลื่อนไหวที่ต้องการ:
ที่ไหน - เวลา - ความเร็วเริ่มต้น - ความเร่ง
มันง่ายที่จะเห็นว่าฟังก์ชันดั้งเดิมของเราเป็นเพียง RUD
สูตรการกระจัดของคันเร่งเป็นผลมาจากการแก้สมการกำลังสองไม่ใช่หรือ
เลขที่ สูตรสำหรับเค้นข้างต้นเป็นผลมาจากการรวมสูตรความเร็วสำหรับ PORD หรือจากกราฟคุณสามารถหาพื้นที่ของตัวเลขได้ จะมีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูออกมา
สูตรการกระจัดของเค้นไม่ได้มาจากการแก้สมการกำลังสองใดๆ นี่เป็นสิ่งสำคัญมาก มิฉะนั้นจะไม่มีประเด็นใดในบทความ
ตอนนี้ยังคงต้องค้นหาว่าอะไรคืออะไรและเราขาดอะไรไป
เรามี "ความเร่ง" แล้ว - เป็นอนุพันธ์อันดับสองที่ได้มาด้านบน แต่เพื่อให้ได้ความเร็วเริ่มต้น โดยทั่วไปเราต้องใช้ค่าใด ๆ (สมมติว่าเป็น ) และแทนที่ลงในอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่งตอนนี้ - เพราะมันจะเป็นลำดับที่ต้องการ
กรณีนี้จึงเกิดคำถามว่าควรเอาตัวไหนดี? เห็นได้ชัดว่าความเร็วเริ่มต้นเท่ากับศูนย์ดังนั้นสูตรสำหรับ "การกระจัดที่คันเร่ง" จึงกลายเป็น:
ในกรณีนี้ เราสร้างสมการสำหรับการค้นหา:
[แทนที่ด้วยอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง]
รากของสมการที่เกี่ยวข้องจะเป็น:
และค่าของฟังก์ชันดั้งเดิมที่มีอาร์กิวเมนต์ดังกล่าวจะเป็น: 
ตอนนี้เห็นได้ชัดว่า:
รวบรวมปริศนาทั้งหมดเข้าด้วยกัน:
ที่นี่เรามีวิธีแก้ปัญหาขั้นสุดท้าย โดยทั่วไปแล้วเราไม่ได้ค้นพบอเมริกา - เราเพิ่งมาถึงสูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติในทางอ้อม สิ่งนี้ไม่ได้มีความหมายในทางปฏิบัติ (ในทำนองเดียวกันโดยประมาณ สมการของระดับที่หนึ่ง / วินาทีของรูปแบบใด ๆ (ไม่จำเป็นต้องเป็นแบบทั่วไป) สามารถแก้ไขได้)
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดประสงค์ของบทความนี้คือเพื่อกระตุ้นความสนใจในการวิเคราะห์เสื่อ ฟังก์ชันและคณิตศาสตร์โดยทั่วไป
ปีเตอร์อยู่กับคุณ ขอบคุณที่ให้ความสนใจ!
การหาอนุพันธ์เรียกว่าการหาอนุพันธ์
อันเป็นผลมาจากการแก้ปัญหาการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด (และไม่ง่ายมาก) โดยการกำหนดอนุพันธ์เป็นขีด จำกัด ของอัตราส่วนที่เพิ่มขึ้นต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ตารางอนุพันธ์และกฎความแตกต่างที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำปรากฏขึ้น . Isaac Newton (1643-1727) และ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) เป็นคนกลุ่มแรกที่ทำงานในด้านการหาอนุพันธ์
ดังนั้นในยุคของเราเพื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ ไม่จำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ของอัตราส่วนการเพิ่มของฟังก์ชันต่อการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ที่กล่าวถึงข้างต้น แต่ต้องใช้ตารางเท่านั้น ของอนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง อัลกอริทึมต่อไปนี้เหมาะสำหรับการหาอนุพันธ์
ในการหาอนุพันธ์คุณต้องใช้นิพจน์ใต้เครื่องหมายขีด แบ่งฟังก์ชั่นง่ายๆและกำหนดว่าการกระทำใด (ผลรวม ผลหาร)ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน นอกจากนี้ เราพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐานในตารางอนุพันธ์ และสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ ผลรวมและผลหาร - ในกฎของความแตกต่าง ตารางอนุพันธ์และกฎความแตกต่างจะได้รับหลังจากสองตัวอย่างแรก
ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สารละลาย. จากกฎความแตกต่าง เราพบว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เช่น
จากตารางอนุพันธ์ เราพบว่าอนุพันธ์ของ "X" เท่ากับ 1 และอนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ เราแทนค่าเหล่านี้ด้วยผลรวมของอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ที่จำเป็นตามเงื่อนไขของปัญหา:
ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สารละลาย. แยกความแตกต่างเป็นอนุพันธ์ของผลรวม ซึ่งเทอมที่สองที่มีปัจจัยคงที่ สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:
หากยังคงมีคำถามเกี่ยวกับแหล่งที่มา ตามกฎแล้วพวกเขาจะชัดเจนหลังจากอ่านตารางอนุพันธ์และกฎที่ง่ายที่สุดในการแยกความแตกต่าง เรากำลังไปหาพวกเขาตอนนี้
ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย
| 1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (จำนวน) จำนวนใดๆ (1, 2, 5, 200...) ที่อยู่ในนิพจน์ฟังก์ชัน เป็นศูนย์เสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องจำไว้ เนื่องจากจำเป็นต้องใช้บ่อยมาก | |
| 2. อนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ บ่อยที่สุด "x" เท่ากับหนึ่งเสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้ | |
| 3. อนุพันธ์ของปริญญา. เมื่อแก้ปัญหา คุณต้องแปลงค่าที่ไม่ใช่รากที่สองให้เป็นเลขยกกำลัง | |
| 4. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลัง -1 | |
| 5. อนุพันธ์ รากที่สอง | |
| 6. อนุพันธ์ไซน์ | |
| 7. อนุพันธ์โคไซน์ |  |
| 8. อนุพันธ์แทนเจนต์ |  |
| 9. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์ |  |
| 10. อนุพันธ์ของอาร์คไซน์ |  |
| 11. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์ |  |
| 12. อนุพันธ์ของอาร์คแทนเจนต์ |  |
| 13. อนุพันธ์ของแทนเจนต์ผกผัน |  |
| 14. อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ | |
| 15. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม |  |
| 16. อนุพันธ์ของเลขยกกำลัง | |
| 17. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง |
กฎความแตกต่าง
| 1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือผลต่าง |  |
| 2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ |  |
| 2a อนุพันธ์ของนิพจน์คูณด้วยตัวประกอบคงที่ | |
| 3. อนุพันธ์ของผลหาร |  |
| 4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน |  |
กฎข้อที่ 1ถ้าฟังก์ชั่น
มีความแตกต่างได้ในบางจุด จากนั้นที่จุดเดียวกันของฟังก์ชัน
และ
เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้
ผลที่ตามมา ถ้าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันต่างกันโดยค่าคงที่ แสดงว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นจะเป็น, เช่น.
กฎข้อที่ 2ถ้าฟังก์ชั่น
มีความแตกต่างได้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง จากนั้นผลิตภัณฑ์ของพวกเขาก็มีความแตกต่างกันที่จุดเดียวกัน
และ
เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของฟังก์ชันเหล่านี้แต่ละฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น
ผลที่ตามมา 1. สามารถนำปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:
ผลที่ตามมา 2. อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์หลายค่าจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัยและปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด
ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวคูณสามตัว:
กฎข้อที่ 3ถ้าฟังก์ชั่น
แตกต่างได้ในบางจุด และ , เมื่อถึงจุดนี้ ผลหารของมันก็หาอนุพันธ์ได้เช่นกันคุณ/วี และ
เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม .
จะดูหน้าอื่นได้ที่ไหน
เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารในปัญหาจริง จำเป็นต้องใช้กฎการหาอนุพันธ์หลายข้อพร้อมกันอยู่เสมอ ดังนั้นตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้อยู่ในบทความ"อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหาร".
ความคิดเห็นคุณไม่ควรสับสนระหว่างค่าคงที่ (นั่นคือตัวเลข) เป็นคำในผลรวมและเป็นปัจจัยคงที่! ในกรณีของพจน์ อนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ และในกรณีของปัจจัยคงที่ อนุพันธ์นั้นจะถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไปที่เกิดขึ้นใน ชั้นต้นการเรียนรู้อนุพันธ์ แต่เมื่อพวกเขาแก้ตัวอย่างองค์ประกอบหนึ่งส่วนสองหลายๆ ตัว นักเรียนโดยเฉลี่ยจะไม่ทำผิดพลาดอีกต่อไป
และถ้าเมื่อแยกแยะความแตกต่างของผลิตภัณฑ์หรือผลหาร คุณมีคำหนึ่งคำ ยู"โวลต์, ซึ่งใน ยู- ตัวเลข ตัวอย่างเช่น 2 หรือ 5 นั่นคือค่าคงที่ อนุพันธ์ของตัวเลขนี้จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นทั้งเทอมจะเท่ากับศูนย์ (กรณีดังกล่าววิเคราะห์ในตัวอย่างที่ 10) .
ข้อผิดพลาดทั่วไปอีกประการหนึ่งคือคำตอบเชิงกลของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย นั่นเป็นเหตุผล อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนอุทิศให้กับบทความแยกต่างหาก แต่ก่อนอื่นเราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย
ระหว่างทางคุณไม่สามารถทำได้โดยไม่ต้องแปลงนิพจน์ ในการทำเช่นนี้ คุณอาจต้องเปิดในคู่มือ windows ใหม่ การกระทำที่มีอำนาจและรากและ การกระทำที่มีเศษส่วน .
หากคุณกำลังมองหาคำตอบของอนุพันธ์ที่มีเลขยกกำลังและรูท นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะดังนี้ 
จากนั้นทำตามบทเรียน " อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนที่มีกำลังและราก".
หากคุณมีงานเช่น 
คุณอยู่ในบทเรียน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย"
ตัวอย่างทีละขั้นตอน - วิธีหาอนุพันธ์
ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สารละลาย. เรากำหนดส่วนต่างๆ ของนิพจน์ฟังก์ชัน: นิพจน์ทั้งหมดแสดงถึงผลคูณ และปัจจัยของมันคือผลรวม โดยในพจน์ที่สองของพจน์หนึ่งประกอบด้วยปัจจัยคงที่ เราใช้กฎความแตกต่างของผลิตภัณฑ์: อนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้และอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น:
ต่อไป เราใช้กฎความแตกต่างของผลรวม: อนุพันธ์ของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีของเรา ในแต่ละผลรวม เทอมที่สองที่มีเครื่องหมายลบ ในแต่ละผลรวม เราจะเห็นทั้งตัวแปรอิสระ อนุพันธ์ซึ่งมีค่าเท่ากับหนึ่ง และค่าคงที่ (ตัวเลข) ซึ่งอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น "x" จึงกลายเป็นหนึ่งและลบ 5 - เป็นศูนย์ ในนิพจน์ที่สอง "x" จะคูณด้วย 2 ดังนั้นเราจึงคูณสองด้วยหน่วยเดียวกับอนุพันธ์ของ "x" เราได้ค่าอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:
เราแทนที่อนุพันธ์ที่พบเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์และรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่จำเป็นตามเงื่อนไขของปัญหา:
ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สารละลาย. เราต้องหาอนุพันธ์ของผลหาร เราใช้สูตรสำหรับการแยกแยะผลหาร: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนและอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของตัวส่วน และ ตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม เราได้รับ:
เราพบอนุพันธ์ของตัวประกอบในตัวเศษในตัวอย่างที่ 2 แล้ว อย่าลืมว่าผลคูณซึ่งเป็นตัวประกอบที่สองในตัวเศษในตัวอย่างปัจจุบันนั้นใช้เครื่องหมายลบ:
หากคุณกำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาดังกล่าวซึ่งคุณจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันซึ่งมีรากและองศากองต่อเนื่องกัน เช่น 
จากนั้นยินดีต้อนรับเข้าสู่ชั้นเรียน "อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนที่มีกำลังและราก" .
หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ นั่นคือ เมื่อฟังก์ชันมีลักษณะดังนี้ แล้วคุณมีบทเรียน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย" .
ตัวอย่างที่ 5ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลิตภัณฑ์ซึ่งเป็นหนึ่งในปัจจัยที่เป็นรากที่สองของตัวแปรอิสระ โดยมีอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยในตารางอนุพันธ์ ตามกฎความแตกต่างของผลิตภัณฑ์และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้รับ:
ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลหาร เงินปันผลซึ่งเป็นรากที่สองของตัวแปรอิสระ ตามกฎความแตกต่างของผลหารที่เราทำซ้ำและใช้ในตัวอย่างที่ 4 และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้รับ:
หากต้องการกำจัดเศษส่วนในตัวเศษ ให้คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย
