สมการของฟังก์ชันกำลังสอง ฟังก์ชันกำลังสอง

สวย

ตั้งชื่อพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่กำหนดให้
เกี่ยวกับแกน y:
ย
(- 2; 6)
(2; 6)
(- 1; 4)
(1; 4)
(0; 0)
(0; 0)
(- 3; - 5)
(3; - 5)
เอ็กซ์

กราฟแสดงว่าแกน OY แบ่งพาราโบลาออกเป็นสมมาตร
ส่วนซ้ายและขวา (กิ่งก้านของพาราโบลา) ที่จุดพิกัด (0; 0)
(บนสุดของพาราโบลา) ค่าของฟังก์ชัน x 2 มีค่าน้อยที่สุด
ฟังก์ชันไม่มีค่าสูงสุด ด้านบนของพาราโบลาคือ
จุดตัดของกราฟกับแกนสมมาตร OY .
ในส่วนของกราฟสำหรับ x ∈ (– ∞; 0 ] ฟังก์ชันลดลง
และสำหรับ x ∈ [ 0; + ∞) เพิ่มขึ้น

กราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 + 3 เป็นพาราโบลาเดียวกัน แต่
จุดสุดยอดอยู่ที่จุดพิกัด (0; 3) .

ค้นหาค่าของฟังก์ชัน
y = 5x + 4 ถ้า:
x=-1
y=-1 y=19
x=-2
y=-6
ย=29
x=3
x=5

ระบุ
ขอบเขตการทำงาน:
ย=16-5x
10
ย
เอ็กซ์
x - ใด ๆ
ตัวเลข
x≠0
1
ย
x 7
4x 1
ย
5
x≠7

เขียนกราฟฟังก์ชัน:
1) Y \u003d 2X + 3
2).U=-2X-1;
3).

10.

ทางคณิตศาสตร์
ศึกษา
หัวข้อ: ฟังก์ชัน y = x2

11.

สร้าง
กำหนดการ
ฟังก์ชั่น
y=x2

12.

ขั้นตอนวิธีสร้างพาราโบลา..
1. กรอกตารางค่า X และ Y
2. ทำเครื่องหมายจุดในระนาบพิกัด
พิกัดที่แสดงอยู่ในตาราง
3. เชื่อมต่อจุดเหล่านี้ด้วยเส้นเรียบ

13.

เหลือเชื่อ
แต่ความจริงแล้ว!
พาราโบลาพาส

14.

เธอรู้รึเปล่า?
วิถีของหินที่ขว้างลงไป
ทำมุมกับขอบฟ้าจะบินตาม
พาราโบลา

15. คุณสมบัติของฟังก์ชัน y = x2

*
คุณสมบัติของฟังก์ชัน
y=
2
x

16.

*โดเมน
ฟังก์ชั่น D(ฉ):
x เป็นจำนวนใดๆ
* ช่วงของค่า
ฟังก์ชั่น E(ฉ):
ค่าทั้งหมดของ y ≥ 0

17.

*ถ้า
x = 0 แล้ว y = 0
กราฟฟังก์ชัน
ผ่านไป
ต้นทาง.

18.

ครั้งที่สอง
ฉัน
*ถ้า
x ≠ 0,
จากนั้น y > 0
จุดกราฟทั้งหมด
ฟังก์ชันยกเว้นจุด
(0; 0) ตั้งอยู่
เหนือแกน x

19.

*ตรงข้าม
ค่า x
สอดคล้องกับหนึ่ง
และมีค่าเท่ากัน
กราฟฟังก์ชัน
สมมาตร
เกี่ยวกับแกน
อุปสมบท

20.

ทางเรขาคณิต
คุณสมบัติของพาราโบลา
* มีความสมมาตร
* แกนตัดพาราโบลาเป็น
สองส่วน: สาขา
พาราโบลา
*จุด (0; 0) – จุดสูงสุด
พาราโบลา
*พาราโบลาสัมผัสแกน
แอ๊บซิสซ่า
แกน
สมมาตร

21.

ค้นหา y ถ้า:
“ความรู้เป็นเครื่องมือ
ไม่ใช่เป้าหมาย"
แอล. เอ็น. ตอลสตอย
x = 1.4
- 1,4
ย = 1.96
x = 2.6
-2,6
ย = 6.76
x = 3.1
- 3,1
ย = 9.61
ค้นหา x ถ้า:
ย=6
y=4
x ≈ 2.5 x ≈ -2.5
x=2 x=-2

22.

สร้างในหนึ่งเดียว
ระบบพิกัด
กราฟของสองฟังก์ชัน
1. โอกาส:
y=x2
Y=x+1
2.กรณี:
Y=x2
y= -1

23.

หา
หลายค่า
x ซึ่ง
ค่าฟังก์ชัน:
น้อยกว่า 4
มากกว่า 4

24.

จุดเป็นของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x2 หรือไม่:
พ(-18; 324)
R(-99; -9081)
เป็นของ
ไม่ได้เป็นของ
ส(17; 279)
ไม่ได้เป็นของ
โดยไม่ต้องทำการคำนวณใด ๆ ให้กำหนดว่า
จุดไม่ได้อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน y = x2:
(-1; 1)
*
(-2; 4)
(0; 8)
(3; -9)
(1,8; 3,24)
สำหรับค่า a ใดที่จุด P(a; 64) เป็นของกราฟของฟังก์ชัน y = x2
ก = 8; ก = - 8
(16; 0)

25.

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการ
แบบกราฟิก
1. สร้างในระบบเดียว
พิกัดของกราฟของฟังก์ชันยืน
ทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ
2. ค้นหา abscissas ของจุดตัด
กราฟ นี่จะเป็นราก
สมการ
3. หากไม่มีจุดตัดกันแล้ว
สมการไม่มีราก

ก่อนหน้านี้ เราศึกษาฟังก์ชันอื่นๆ เช่น ฟังก์ชันเชิงเส้น ให้เราจำรูปแบบมาตรฐานของมัน:

ดังนั้นความแตกต่างพื้นฐานที่ชัดเจน - ในฟังก์ชันเชิงเส้น เอ็กซ์อยู่ในระดับที่หนึ่ง และในหน้าที่ใหม่นั้น ซึ่งเรากำลังเริ่มศึกษา เอ็กซ์ยืนอยู่ในระดับที่สอง

จำไว้ว่ากราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นเส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันอย่างที่เราจะเห็นคือเส้นโค้งที่เรียกว่าพาราโบลา

เริ่มจากการค้นหาว่าสูตรมาจากไหน คำอธิบายคือ: ถ้าเราได้รับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน กเราสามารถคำนวณพื้นที่ได้ดังนี้

ถ้าเราเปลี่ยนความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่ก็จะเปลี่ยนไปด้วย

ดังนั้นหนึ่งในเหตุผลที่มีการศึกษาฟังก์ชั่น

จำได้ว่าตัวแปร เอ็กซ์เป็นตัวแปรอิสระหรืออาร์กิวเมนต์ในการตีความทางกายภาพ ตัวอย่างเช่น เวลา ตรงกันข้าม ระยะทางเป็นตัวแปรตาม ขึ้นอยู่กับเวลา ตัวแปรตามหรือฟังก์ชันเป็นตัวแปร ที่.

นี่คือกฎการติดต่อซึ่งแต่ละค่า เอ็กซ์แมปกับค่าเดียว ที่.

กฎหมายการติดต่อใด ๆ จะต้องเป็นไปตามข้อกำหนดของเอกลักษณ์จากการโต้แย้งไปยังฟังก์ชัน ในการตีความทางกายภาพสิ่งนี้ดูค่อนข้างชัดเจนในตัวอย่างของการพึ่งพาระยะทางตรงเวลา: ในแต่ละช่วงเวลาเราอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นและเป็นไปไม่ได้ในเวลาเดียวกัน t จะเป็นทั้งสองอย่าง 10 และ 20 กิโลเมตรจากจุดเริ่มต้นการเดินทาง

ในเวลาเดียวกัน แต่ละค่าของฟังก์ชันสามารถเข้าถึงได้ด้วยค่าอาร์กิวเมนต์หลายค่า

ดังนั้น เราต้องสร้างกราฟของฟังก์ชัน โดยสร้างตารางขึ้นมา จากนั้น ตามกราฟ ตรวจสอบฟังก์ชันและคุณสมบัติของมัน แต่ก่อนที่จะลงจุดกราฟ เราสามารถพูดบางอย่างเกี่ยวกับคุณสมบัติของกราฟได้ด้วยรูปแบบของฟังก์ชัน: เห็นได้ชัดว่า ที่ไม่สามารถรับค่าลบได้เนื่องจาก

มาทำตารางกันเถอะ:

ข้าว. 1

ง่ายต่อการสังเกตคุณสมบัติต่อไปนี้จากกราฟ:

แกน ที่คือแกนสมมาตรของกราฟ

จุดบนสุดของพาราโบลาคือจุด (0; 0);

เราเห็นว่าฟังก์ชันยอมรับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

ในช่วงที่ ฟังก์ชันกำลังลดลง แต่ในช่วงที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น

ฟังก์ชันรับค่าที่น้อยที่สุดที่จุดยอด ;

ไม่มีค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 1

สภาพ:

การตัดสินใจ:

เพราะว่า เอ็กซ์การเปลี่ยนแปลงตามเงื่อนไขในช่วงเวลาหนึ่ง ๆ เราสามารถพูดเกี่ยวกับฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลา . ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดในช่วงเวลานี้

ข้าว. 2. กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 , x ∈

ตัวอย่างที่ 2

สภาพ:ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน:

การตัดสินใจ:

เอ็กซ์การเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาซึ่งหมายความว่า ที่ลดลงในช่วงเวลา while และเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา while

ดังนั้นขีดจำกัดของการเปลี่ยนแปลง เอ็กซ์และขีดจำกัดของการเปลี่ยนแปลง ที่ซึ่งหมายความว่าในช่วงเวลานี้มีทั้งค่าต่ำสุดของฟังก์ชันและค่าสูงสุด

ข้าว. 3. กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

ให้เราแสดงความจริงที่ว่าค่าเดียวกันของฟังก์ชันสามารถทำได้ด้วยค่าอาร์กิวเมนต์หลายค่า

รูปแบบ y = kx + m ที่มีตัวแปร x, y สองตัว จริงอยู่ ตัวแปร x, y ที่ปรากฏในสมการนี้ (ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้) ถือว่าไม่เท่ากัน: x เป็นตัวแปรอิสระ (อาร์กิวเมนต์) ซึ่งเราสามารถแนบค่าใดๆ ก็ได้ โดยไม่คำนึงถึงค่าใดๆ y เป็นตัวแปรตามเพราะค่าของมันขึ้นอยู่กับค่าของ x ที่เลือก แต่แล้วคำถามตามธรรมชาติก็เกิดขึ้น: มีบ้างไหม แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของแผนเดียวกัน แต่ที่ y แสดงผ่าน x ไม่เป็นไปตามสูตร y \u003d kx + m แต่ด้วยวิธีอื่น คำตอบนั้นชัดเจน: แน่นอนพวกเขาทำ ตัวอย่างเช่น ถ้า x เป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ y เป็นด้านของมัน
พื้นที่ แล้ว y - x 2 ถ้า x คือด้านของลูกบาศก์และ y คือปริมาตร แล้ว y คือ x 3 ถ้า x เป็นด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่ 100 cm 2 และ y เป็นด้านอีกด้าน แล้ว ดังนั้นจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่ในวิชาคณิตศาสตร์นั้นไม่ได้จำกัดอยู่แค่การศึกษาโมเดล y-kx + m เราจะต้องศึกษาโมเดล y \u003d x 2 และโมเดล y \u003d x 3 และโมเดล และอื่น ๆ อีกมากมาย โมเดลที่มีโครงสร้างเหมือนกัน: ทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันคือตัวแปร y และทางด้านขวา - นิพจน์ที่มีตัวแปร x สำหรับแบบจำลองดังกล่าว คำว่า "ฟังก์ชัน" จะคงอยู่ โดยไม่รวมคำคุณศัพท์ "เชิงเส้น"

ในส่วนนี้ เราจะพิจารณาฟังก์ชัน y = x 2 และสร้างมันขึ้นมา กำหนดการ.

ให้ตัวแปรอิสระ x ค่าเฉพาะหลายค่าและคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปรตาม y (โดยใช้สูตร y \u003d x 2):

ถ้า x \u003d 0 แล้ว y \u003d O 2 \u003d 0;
ถ้า x \u003d 1 แล้ว y \u003d I 2 \u003d 1;
ถ้า x = 2 แล้ว y = 2 2 = 4;
ถ้า x \u003d 3 แล้ว y \u003d Z 2 \u003d 9;
ถ้า x \u003d - 1 แล้ว y \u003d (- I 2) - 1;
ถ้า x \u003d - 2 แล้ว y \u003d (- 2) 2 \u003d 4;
ถ้า x \u003d - 3 แล้ว y \u003d (- Z) 2 \u003d 9;
ในระยะสั้นเราได้รวบรวมตารางต่อไปนี้:

เอ็กซ์	0	1	2	3	-1	-2	-3
ที่	0	1	4	9	1	4	9

มาสร้างจุดที่พบ (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9) บนระนาบพิกัด xOy (รูปที่ 54, a)

จุดเหล่านี้อยู่บนเส้นบางเส้น ลองวาดดู (รูปที่ 54, b) เส้นนี้เรียกว่าพาราโบลา

แน่นอน ตามหลักการแล้ว เราจะต้องให้อาร์กิวเมนต์ x ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด คำนวณค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร y และพล็อตจุดผลลัพธ์ (x; y) จากนั้นกำหนดการจะแม่นยำไม่มีที่ติ อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่สมจริงเพราะมีจุดดังกล่าวมากมายนับไม่ถ้วน ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงทำสิ่งนี้: พวกเขาใช้ชุดของคะแนนที่จำกัด สร้างมันขึ้นมา ระนาบพิกัดและดูว่าจุดเหล่านี้ลากเส้นใด หากรูปทรงของเส้นนี้ปรากฏค่อนข้างชัดเจน (ดังเช่นตัวอย่างที่ 1 จาก§ 28) แสดงว่าเส้นนี้ถูกวาด ความผิดพลาดเป็นไปได้หรือไม่? ไม่ได้โดยไม่มีมัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องศึกษาคณิตศาสตร์ให้ลึกขึ้นเรื่อย ๆ เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด

ลองดูรูปที่ 54 เพื่ออธิบายคุณสมบัติทางเรขาคณิตของพาราโบลา

ประการแรกเราสังเกตว่าพาราโบลาดูสวยงามทีเดียว เพราะมันมีความสมมาตร หากเราวาดเส้นขนานกับแกน x เหนือแกน x เส้นนี้จะตัดพาราโบลาที่จุดสองจุดที่อยู่ห่างจากแกน y เท่ากัน แต่ ด้านที่แตกต่างกันจากนั้น (รูปที่ 55) โดยวิธีการเดียวกันสามารถพูดเกี่ยวกับจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ในรูปที่ 54 แต่:

(1; 1) และ (- 1; 1); (2; 4) และ (-2; 4); ค; 9) และ (-3; 9)

กล่าวกันว่าแกน y เป็นแกนสมมาตรของพาราโบลา y=x2 หรือว่าพาราโบลาสมมาตรรอบแกน y

ประการที่สองเราสังเกตเห็นว่าแกนสมมาตรตัดพาราโบลาออกเป็นสองส่วนซึ่งโดยปกติจะเรียกว่ากิ่งก้านของพาราโบลา

ประการที่สามเราสังเกตว่าพาราโบลามีจุดเอกพจน์ที่กิ่งทั้งสองมาบรรจบกันและอยู่บนแกนสมมาตรของพาราโบลา นั่นคือจุด (0; 0) ด้วยลักษณะเฉพาะของมันจึงได้รับชื่อพิเศษ - ด้านบนของพาราโบลา

ประการที่สี่เมื่อกิ่งหนึ่งของพาราโบลาเชื่อมต่อกันที่ยอดกับอีกกิ่งหนึ่ง สิ่งนี้จะเกิดขึ้นอย่างราบรื่นโดยไม่มีการหยุดพัก พาราโบลาเหมือนเดิม "กด" กับแกน abscissa พวกเขามักจะพูดว่า: พาราโบลาแตะแกน x

ทีนี้ลองดูรูปที่ 54 เพื่ออธิบายคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชัน y \u003d x 2

ประการแรกเราสังเกตว่า y - 0 สำหรับ x = 0, y > 0 สำหรับ x > 0 และสำหรับ x< 0.

ประการที่สองโปรดทราบว่าคุณน้ำ = 0 ในขณะที่ไม่มีนาอิบอยู่

ประการที่สามเราสังเกตเห็นว่าฟังก์ชัน y \u003d x 2 ลดลงบนลำแสง (-° °, 0] - สำหรับค่า x เหล่านี้ เคลื่อนไปตามพาราโบลาจากซ้ายไปขวา เรา "ลงเนิน" (ดูรูปที่ . 55). ฟังก์ชั่น y \u003d x 2 เพิ่มขึ้นบนลำแสง ;
b) ในส่วน [- 3, - 1.5];
c) ในช่วงเวลา [- 3, 2]

การตัดสินใจ,

ก) มาสร้างพาราโบลา y \u003d x 2 แล้วเลือกส่วนที่สอดคล้องกับค่าของตัวแปร x จากส่วน (รูปที่ 56) สำหรับส่วนที่เลือกของกราฟ เราจะพบที่ naim = 1 (สำหรับ x = 1), y สูงสุด = 9 (สำหรับ x = 3)

b) มาสร้างพาราโบลา y \u003d x 2 แล้วเลือกส่วนที่สอดคล้องกับค่าของตัวแปร x จากส่วน [-3, -1.5] (รูปที่ 57) สำหรับส่วนที่เลือกของกราฟ เราจะพบชื่อ y \u003d 2.25 (ที่ x \u003d - 1.5), y สูงสุด = 9 (ที่ x = - 3)

c) มาสร้างพาราโบลา y \u003d x 2 แล้วเลือกส่วนที่สอดคล้องกับค่าของตัวแปร x จากส่วน [-3, 2] (รูปที่ 58) สำหรับส่วนที่เลือกของกราฟ เราจะพบว่า y max = 0 (ที่ x = 0), y max = 9 (ที่ x = - 3)

คำแนะนำ. เพื่อไม่ให้พล็อตฟังก์ชัน y - x 2 จุดต่อจุดในแต่ละครั้ง ให้ตัดแม่แบบพาราโบลาออกจากกระดาษหนา ด้วยวิธีนี้ คุณจะสามารถวาดพาราโบลาได้อย่างรวดเร็ว

ความคิดเห็น เสนอให้คุณเตรียมเทมเพลตพาราโบลา เราเท่าเดิม สิทธิ์ของฟังก์ชัน y \u003d x 2 และ ฟังก์ชันเชิงเส้น y = kx + ม. ท้ายที่สุดแล้วกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นเส้นตรงและใช้ไม้บรรทัดธรรมดาเพื่อแสดงเส้นตรง - นี่คือเทมเพลตของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d kx + m ดังนั้น ให้คุณมีเทมเพลตกราฟสำหรับฟังก์ชัน y \u003d x 2

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาจุดตัดของพาราโบลา y \u003d x 2 และเส้น y - x + 2

การตัดสินใจ. ให้เราสร้างพาราโบลา y \u003d x 2 ในระบบพิกัดเดียว ซึ่งเป็นเส้นตรง y \u003d x + 2 (รูปที่ 59) พวกมันตัดกันที่จุด A และ B และตามรูปวาด มันไม่ยากที่จะหาพิกัดของจุด A และ B เหล่านี้: สำหรับจุด A เรามี: x \u003d - 1, y \u003d 1 และสำหรับจุด B เรา มี: x - 2, y \u003d 4.

คำตอบ: พาราโบลา y \u003d x 2 และเส้นตรง y \u003d x + 2 ตัดกันที่จุดสองจุด: A (-1; 1) และ B (2; 4)

โน๊ตสำคัญ.จนถึงขณะนี้เราได้ข้อสรุปที่ค่อนข้างกล้าหาญด้วยความช่วยเหลือของการวาดภาพ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ไม่ไว้ใจภาพวาดมากเกินไป เมื่อพบจุดตัดสองจุดของพาราโบลาและเส้นตรงในรูปที่ 59 และกำหนดพิกัดของจุดเหล่านี้โดยใช้รูปแล้ว นักคณิตศาสตร์มักจะตรวจสอบตัวเองว่า จุด (-1; 1) อยู่บนเส้นและบนจริงหรือไม่ พาราโบลา จุด (2; 4) อยู่บนเส้นตรงและพาราโบลาจริงๆ หรือไม่

ในการทำเช่นนี้คุณต้องแทนที่พิกัดของจุด A และ B ในสมการของเส้นตรงและในสมการของพาราโบลา จากนั้นตรวจสอบให้แน่ใจว่าในทั้งสองกรณีจะได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ในตัวอย่างที่ 2 ทั้งสองกรณีจะได้ค่าเท่ากันที่ถูกต้อง การตรวจสอบดังกล่าวมักทำโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีข้อสงสัยเกี่ยวกับความถูกต้องของรูปวาด

โดยสรุป เราสังเกตเห็นคุณสมบัติที่น่าสงสัยอย่างหนึ่งของพาราโบลา ซึ่งค้นพบและพิสูจน์ร่วมกันโดยนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์

หากเราถือว่าพาราโบลา y \u003d x 2 เป็นหน้าจอ เป็นพื้นผิวสะท้อนแสง และวางแหล่งกำเนิดแสงไว้ที่จุดหนึ่ง รังสีที่สะท้อนจากพาราโบลาของหน้าจอจะสร้างลำแสงคู่ขนานกัน (รูปที่ 60 ). จุดนั้นเรียกว่าจุดโฟกัสของพาราโบลา แนวคิดนี้ใช้ในรถยนต์: พื้นผิวสะท้อนแสงของไฟหน้าเป็นรูปโค้ง และวางหลอดไฟไว้ที่จุดโฟกัส จากนั้นแสงจากไฟหน้าจะเดินทางได้ไกลพอ

การวางแผนตามปฏิทินในวิชาคณิตศาสตร์ วิดีโอในวิชาคณิตศาสตร์ออนไลน์ ดาวน์โหลดคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน

A. V. Pogorelov, เรขาคณิตสำหรับเกรด 7-11, ตำราเรียนสำหรับสถาบันการศึกษา

เนื้อหาบทเรียน สรุปบทเรียนสนับสนุนกรอบการนำเสนอบทเรียนวิธีการเร่งเทคโนโลยีแบบโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การประชุมเชิงปฏิบัติการการตรวจสอบตนเอง การฝึกอบรม กรณีศึกษา ภารกิจ คำถาม การบ้าน การสนทนา คำถามเชิงโวหารจากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง วิดีโอคลิป และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพกราฟิก ตาราง โครงร่าง อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก อุปมาการ์ตูน คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำคม ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความชิปสำหรับสูตรโกงที่อยากรู้อยากเห็น หนังสือเรียนพื้นฐานและอภิธานศัพท์เพิ่มเติมของคำศัพท์อื่นๆ การปรับปรุงตำราและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในหนังสือเรียนอัปเดตชิ้นส่วนในตำราองค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียนแทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบแผนปฏิทินสำหรับปี คำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการของโปรแกรมการอภิปราย บทเรียนแบบบูรณาการ

จะสร้างพาราโบลาได้อย่างไร? มีหลายวิธีในการสร้างกราฟฟังก์ชันกำลังสอง แต่ละคนมีข้อดีและข้อเสีย ลองพิจารณาสองวิธี

เริ่มต้นด้วยการพล็อตฟังก์ชันกำลังสอง เช่น y=x²+bx+c และ y= -x²+bx+c

ตัวอย่าง.

พล็อตฟังก์ชัน y=x²+2x-3

การตัดสินใจ:

y=x²+2x-3 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จากจุดยอด (-1;-4) เราสร้างกราฟของพาราโบลา y=x² (จากจุดเริ่มต้น แทนที่จะเป็น (0;0) - จุดยอด (-1;-4) จาก (-1;- 4) เราไปทางขวาทีละ 1 หน่วยและขึ้นทีละ 1 จากนั้นไปทางซ้ายทีละ 1 และขึ้นทีละ 1 จากนั้น: 2 - ขวา, 4 - ขึ้น, 2 - ซ้าย, 4 - ขึ้น, 3 - ขวา, 9 - ขึ้น 3 - ซ้าย 9 - ขึ้น 7 คะแนนเหล่านี้ไม่เพียงพอจากนั้น - 4 ทางขวา 16 - ขึ้น ฯลฯ )

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y= -x²+bx+c เป็นพาราโบลาที่มีกิ่งชี้ลง ในการสร้างกราฟ เรากำลังมองหาพิกัดของจุดยอด จากนั้นเราจะสร้างพาราโบลา y= -x²

ตัวอย่าง.

พล็อตฟังก์ชัน y= -x²+2x+8

การตัดสินใจ:

y= -x²+2x+8 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลง พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จากด้านบนเราสร้างพาราโบลา y = -x² (1 - ขวา, 1 - ลง; 1 - ซ้าย, 1 - ลง; 2 - ขวา, 4 - ลง; 2 - ซ้าย, 4 - ลง, ฯลฯ ):

วิธีนี้ช่วยให้คุณสร้างพาราโบลาได้อย่างรวดเร็วและไม่ก่อให้เกิดความยุ่งยากหากคุณรู้วิธีพล็อตฟังก์ชัน y=x² และ y= -x² ข้อเสีย: หากพิกัดจุดยอดเป็นตัวเลขเศษส่วน การลงจุดจะไม่สะดวกนัก หากคุณต้องการทราบค่าที่แน่นอนของจุดตัดของกราฟด้วยแกน x คุณจะต้องแก้สมการเพิ่มเติม x² + bx + c = 0 (หรือ -x² + bx + c = 0) แม้ว่าจะสามารถกำหนดจุดเหล่านี้ได้โดยตรงจากรูป

อีกวิธีหนึ่งในการสร้างพาราโบลาคือการหาจุดต่างๆ นั่นคือ คุณสามารถค้นหาจุดต่างๆ บนกราฟแล้ววาดพาราโบลาผ่านจุดเหล่านั้น (โดยคำนึงถึงว่าเส้น x=xₒ คือแกนสมมาตรของมัน) โดยปกติจะใช้จุดบนสุดของพาราโบลา จุดตัดของกราฟกับแกนพิกัด และอีก 1-2 จุด

พล็อตฟังก์ชัน y=x²+5x+4

การตัดสินใจ:

y=x²+5x+4 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น พิกัดจุดยอดพาราโบลา

นั่นคือจุดบนสุดของพาราโบลาคือจุด (-2.5; -2.25)

กำลังมองหา . ที่จุดตัดกับแกน Ox y=0: x²+5x+4=0 ราก สมการกำลังสอง x1=-1, x2=-4 นั่นคือเราได้สองจุดบนกราฟ (-1; 0) และ (-4; 0)

ที่จุดตัดของกราฟกับแกน Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4 ได้คะแนน (0; 4)

หากต้องการปรับแต่งกราฟ คุณสามารถหาจุดเพิ่มเติมได้ สมมติว่า x=1 แล้ว y=1²+5∙1+4=10 นั่นคือ อีกหนึ่งจุดของกราฟ - (1; 10) เราทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนระนาบพิกัด โดยคำนึงถึงความสมมาตรของพาราโบลาเทียบกับเส้นตรงที่ผ่านจุดยอด เราทำเครื่องหมายอีกสองจุด: (-5; 6) และ (-6; 10) แล้ววาดพาราโบลาผ่านจุดเหล่านี้:

พล็อตฟังก์ชัน y= -x²-3x

การตัดสินใจ:

y= -x²-3x เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลง พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จุดบนสุด (-1.5; 2.25) คือจุดแรกของพาราโบลา

ที่จุดตัดของกราฟกับแกน x y=0 นั่นคือ เราแก้สมการ -x²-3x=0 รากของมันคือ x=0 และ x=-3 นั่นคือ (0; 0) และ (-3; 0) เป็นอีกสองจุดบนกราฟ จุด (o; 0) เป็นจุดตัดของพาราโบลากับแกน y ด้วย

ที่ x=1 y=-1²-3∙1=-4 นั่นคือ (1; -4) เป็นจุดเพิ่มเติมสำหรับการลงจุด

การสร้างพาราโบลาจากจุดเป็นวิธีที่ใช้เวลามากกว่าวิธีแรก ถ้าพาราโบลาไม่ตัดแกนวัว จะต้องมีจุดเพิ่มเติม

ก่อนที่จะดำเนินการสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสองในรูปแบบ y=ax²+bx+c ให้พิจารณาการสร้างกราฟของฟังก์ชันโดยใช้การแปลงทางเรขาคณิต กราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ y=x²+c ยังสะดวกที่สุดในการสร้างโดยใช้หนึ่งในการแปลงเหล่านี้ นั่นคือ การแปลคู่ขนาน

รูบริก: |

ดังนั้นหนึ่งในเหตุผลที่มีการศึกษาฟังก์ชั่น

นี่คือกฎการติดต่อซึ่งแต่ละค่า เอ็กซ์แมปกับค่าเดียว ที่.

มาทำตารางกันเถอะ:

ข้าว. 1

ง่ายต่อการสังเกตคุณสมบัติต่อไปนี้จากกราฟ:

แกน ที่คือแกนสมมาตรของกราฟ

จุดบนสุดของพาราโบลาคือจุด (0; 0);

เราเห็นว่าฟังก์ชันยอมรับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

ในช่วงที่ ฟังก์ชันกำลังลดลง แต่ในช่วงที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น

ฟังก์ชันรับค่าที่น้อยที่สุดที่จุดยอด ;

ไม่มีค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 1

สภาพ:

การตัดสินใจ:

ข้าว. 2. กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 , x ∈

ตัวอย่างที่ 2

สภาพ:ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน:

การตัดสินใจ:

ข้าว. 3. กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 , x ∈ [-3; 2]