จะอธิบายให้เด็กฟังถึงวิธีการหาค่าของนิพจน์ได้อย่างไร นิพจน์ที่ซับซ้อนด้วยเศษส่วน ขั้นตอน

บ้านและครอบครัว

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. กำหนดแนวทางการดำเนินการ ดำเนินการขั้นแรกในวงเล็บด้านใน 489–296=193 จากนั้นคูณ 193∙8=1544 และ 34∙10=340 การดำเนินการถัดไป: 340+1544=1884 ต่อไป หาร 1884:4=461 แล้วลบ 461–410=60 คุณได้พบคุณค่าของนิพจน์นี้แล้ว

ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์ 2sin 30°∙cos 30°∙tg 30°∙ctg 30° ลดรูปนิพจน์นี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร tg α∙ctg α=1 รับ: 2ซิน 30°∙cos 30°∙1=2ซิน 30°∙cos 30° เป็นที่รู้กันว่าบาป 30°=1/2 และ cos 30°=√3/2 ดังนั้น 2ซิน 30°∙cos 30°=2∙1/2∙√3/2=√3/2 คุณได้พบคุณค่าของนิพจน์นี้แล้ว

ค่าของนิพจน์พีชคณิตจาก หากต้องการค้นหาค่าของนิพจน์พีชคณิตที่มีตัวแปร ให้จัดนิพจน์ให้ง่ายขึ้น ทดแทนค่าเฉพาะสำหรับตัวแปร ทำตามขั้นตอนที่จำเป็น ผลลัพธ์ที่ได้คือตัวเลขซึ่งจะเป็นค่าของนิพจน์พีชคณิตสำหรับตัวแปรที่กำหนด

ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์ 7(a+y)–3(2a+3y) โดยมี a=21 และ y=10 ลดความซับซ้อนของนิพจน์นี้ จะได้: a–2y เสียบค่าที่เหมาะสมของตัวแปรแล้วคำนวณ: a–2y=21–2∙10=1 นี่คือค่าของนิพจน์ 7(a+y)–3(2a+3y) โดยมี a=21 และ y=10

บันทึก

มีอยู่ นิพจน์พีชคณิตซึ่งไม่สมเหตุสมผลกับค่าบางค่าของตัวแปร ตัวอย่างเช่น นิพจน์ x/(7–a) ไม่สมเหตุสมผลหาก a=7 เพราะ ตัวส่วนของเศษส่วนก็หายไป

แหล่งที่มา:

ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของนิพจน์
ค้นหาค่าของนิพจน์ที่ s 14

การเรียนรู้วิธีลดความซับซ้อนของนิพจน์ในคณิตศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่งเพื่อที่จะแก้ปัญหาสมการต่าง ๆ ได้อย่างถูกต้องและรวดเร็ว การลดความซับซ้อนของนิพจน์หมายถึงการลดจำนวนขั้นตอน ซึ่งทำให้การคำนวณง่ายขึ้นและประหยัดเวลา

คำแนะนำ

เรียนรู้การคำนวณกำลังด้วย เมื่อคูณกำลังของ c คุณจะได้ตัวเลขที่มีฐานเท่ากัน และเลขยกกำลังรวมกัน b^m+b^n=b^(m+n) เมื่อหารกำลังด้วยฐานเดียวกันจะได้กำลังของตัวเลขซึ่งฐานนั้นยังคงเหมือนเดิมและเลขยกกำลังจะถูกลบออกและตัวบ่งชี้ตัวหาร b ^ m: b ^ n \u003d b ^ (m-n) จะถูกลบออก จากดัชนีเงินปันผล เมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง จะได้กำลังของจำนวนนั้น ซึ่งฐานของจำนวนนั้นยังคงเท่าเดิม และเลขยกกำลังจะถูกคูณ (b^m)^n=b^(mn)เมื่อยกกำลัง แต่ละค่า ตัวประกอบถูกยกกำลังนี้ (abc)^m=a^m *b^m*c^m

แยกตัวประกอบพหุนาม เช่น แสดงให้เห็นว่าเป็นผลคูณของปัจจัยหลายประการ - และ monomials นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ. เรียนรู้สูตรพื้นฐานสำหรับการคูณแบบย่อ: ผลต่างของกำลังสอง กำลังสองของผลต่าง ผลรวม ผลต่างของลูกบาศก์ ลูกบาศก์ของผลรวม และผลต่าง ตัวอย่างเช่น m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2 เป็นสูตรเหล่านี้เป็นสูตรหลักในการทำให้เข้าใจง่าย ใช้วิธีเน้นรูปกำลังสองเต็มในรูปตรีโกณมิติในรูปแบบ ax^2+bx+c

ลดเศษส่วนให้บ่อยที่สุด ตัวอย่างเช่น (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c) แต่จำไว้ว่าสามารถลดตัวคูณได้เท่านั้น ถ้าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิตคูณด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เท่ากัน ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง มีสองวิธีในการแปลงนิพจน์: แบบลูกโซ่และแบบการกระทำ วิธีที่สองจะดีกว่าเพราะว่า ตรวจสอบผลลัพธ์ของการกระทำระดับกลางได้ง่ายกว่า

บ่อยครั้งในการแสดงออกจำเป็นต้องแยกรากออก รากคู่นั้นนำมาจากนิพจน์หรือตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้น รากของดีกรีคี่จะถูกแยกออกจากนิพจน์ใดๆ

แหล่งที่มา:

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้วยพลัง

ฟังก์ชันตรีโกณมิติเกิดขึ้นเป็นครั้งแรกในฐานะเครื่องมือสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมของการพึ่งพาขนาดของมุมแหลมใน สามเหลี่ยมมุมฉากจากความยาวของด้านข้าง ปัจจุบันมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในกิจกรรมของมนุษย์ทั้งในด้านวิทยาศาสตร์และเทคนิค สำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด คุณสามารถใช้เครื่องมือต่างๆ ได้ - เครื่องมือบางส่วนที่เข้าถึงได้มากที่สุดมีอธิบายไว้ด้านล่าง

คำแนะนำ

ตัวอย่างเช่น ใช้โปรแกรมเครื่องคิดเลขที่ติดตั้งระบบปฏิบัติการเป็นค่าเริ่มต้น จะเปิดขึ้นโดยเลือกรายการ "เครื่องคิดเลข" ในโฟลเดอร์ "ยูทิลิตี้" จากส่วนย่อย "มาตรฐาน" ซึ่งอยู่ในส่วน "โปรแกรมทั้งหมด" ส่วนนี้สามารถเปิดได้โดยคลิกที่ปุ่ม "Start" บนเมนูหลักของห้องผ่าตัด หากคุณใช้เวอร์ชัน Windows 7 คุณสามารถพิมพ์ "เครื่องคิดเลข" ในช่อง "ค้นหาโปรแกรมและไฟล์" ของเมนูหลัก จากนั้นคลิกลิงก์ที่เกี่ยวข้องในผลการค้นหา

นับจำนวนขั้นตอนที่จำเป็นและคิดถึงลำดับที่ควรทำ หากคำถามนี้ทำให้คุณลำบาก โปรดทราบว่าการดำเนินการที่อยู่ในวงเล็บจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงทำการหารและคูณ และการลบจะเสร็จสิ้นครั้งสุดท้าย เพื่อให้ง่ายต่อการจดจำอัลกอริธึมของการกระทำที่ทำขึ้น ในนิพจน์เหนือเครื่องหมายตัวดำเนินการการกระทำแต่ละอัน (+, -, *, :) ด้วยดินสอเส้นเล็ก ให้จดตัวเลขที่สอดคล้องกับการดำเนินการของการกระทำนั้น

ดำเนินการตามขั้นตอนแรกโดยปฏิบัติตามคำสั่งที่กำหนดไว้ นับในใจว่าการกระทำนั้นง่ายต่อการกระทำด้วยวาจา หากจำเป็นต้องมีการคำนวณ (ในคอลัมน์) ให้บันทึกไว้ใต้นิพจน์ โดยระบุหมายเลขลำดับของการดำเนินการ

ติดตามลำดับการกระทำที่ทำไปอย่างชัดเจน ประเมินสิ่งที่ต้องลบออกจากอะไร อะไรที่จะแบ่งออกเป็นอะไร ฯลฯ บ่อยครั้งคำตอบในนิพจน์นั้นไม่ถูกต้องเนื่องจากข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในขั้นตอนนี้

คุณสมบัติที่โดดเด่นการแสดงออกคือการมีอยู่ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ มันถูกระบุด้วยเครื่องหมายบางอย่าง (การคูณ การหาร การลบหรือการบวก) ลำดับของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (หากจำเป็น) จะได้รับการแก้ไขด้วยวงเล็บ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์หมายถึงการค้นหา

สิ่งที่ไม่ใช่การแสดงออก

ไม่ใช่ทุกสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ที่สามารถจัดเป็นนิพจน์ได้

เท่ากับไม่ใช่นิพจน์ ไม่ว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะมีอยู่ในสมการหรือไม่ก็ตาม ก็ไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น a=5 คือความเท่าเทียมกัน ไม่ใช่นิพจน์ แต่ 8+6*2=20 ก็ไม่ถือเป็นนิพจน์เช่นกัน แม้ว่าจะมีการคูณอยู่ก็ตาม ตัวอย่างนี้ยังอยู่ในหมวดหมู่ของความเท่าเทียมกันด้วย

แนวคิดเรื่องการแสดงออกและความเท่าเทียมกันไม่ได้แยกจากกัน แนวคิดแรกเป็นส่วนหนึ่งของแนวคิดหลัง เครื่องหมายเท่ากับเชื่อมโยงสองนิพจน์:
5+7=24:2

สมการนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้น:
5+7=12

นิพจน์จะถือว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่นิพจน์นั้นสามารถทำได้เสมอ 9+:-7 ไม่ใช่นิพจน์ แม้ว่าจะมีสัญญาณของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ก็ตาม เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะทำการดำเนินการเหล่านี้

นอกจากนี้ยังมีรายการทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนิพจน์อย่างเป็นทางการแต่ไม่สมเหตุสมผล ตัวอย่างของการแสดงออกดังกล่าว:
46:(5-2-3)

ต้องหารหมายเลข 46 ด้วยผลลัพธ์ของการกระทำในวงเล็บและมีค่าเท่ากับศูนย์ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ การกระทำนี้ถือเป็นสิ่งต้องห้าม

นิพจน์ตัวเลขและพีชคณิต

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์มีสองประเภท

ถ้านิพจน์ประกอบด้วยตัวเลขและเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น นิพจน์ดังกล่าวจะเรียกว่านิพจน์ตัวเลข หากมีตัวแปรที่แสดงด้วยตัวอักษรในนิพจน์หรือไม่มีตัวเลขเลย นิพจน์จะประกอบด้วยตัวแปรและสัญญาณของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น เรียกว่าพีชคณิต

ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างค่าตัวเลขและค่าพีชคณิตคือนิพจน์ตัวเลขมีเพียงค่าเดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์ตัวเลข 56–2*3 จะเป็น 50 เสมอ ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงได้ นิพจน์พีชคณิตสามารถมีค่าได้หลายค่า เนื่องจากสามารถแทนที่ตัวเลขใดๆ แทนได้ ดังนั้น ถ้าในนิพจน์ b–7 แทน b แทน 9 ค่าของนิพจน์จะเป็น 2 และถ้าเป็น 200 จะเป็น 193

แหล่งที่มา:

นิพจน์ตัวเลขและพีชคณิต

ตามกฎแล้วเด็ก ๆ จะเริ่มเรียนพีชคณิตแล้วในระดับประถมศึกษา หลังจากเชี่ยวชาญหลักการพื้นฐานของการทำงานกับตัวเลขแล้ว พวกเขาจะแก้ปัญหาด้วยตัวแปรที่ไม่รู้จักตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป การค้นหาความหมายของสำนวนประเภทนี้อาจเป็นเรื่องยาก แต่ถ้าคุณทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้ความรู้ระดับประถมศึกษา ทุกอย่างจะเป็นไปอย่างง่ายดายและรวดเร็ว

ค่าของนิพจน์คืออะไร

นิพจน์ตัวเลขคือสัญกรณ์พีชคณิตที่ประกอบด้วยตัวเลข วงเล็บ และเครื่องหมายในกรณีที่สมเหตุสมผล

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากเป็นไปได้ที่จะค้นหาความหมายของสำนวน บันทึกก็จะไม่มีความหมาย และในทางกลับกัน

ตัวอย่างของรายการต่อไปนี้เป็นโครงสร้างตัวเลขที่ถูกต้อง:

3*8-2;
15/3+6;
0,3*8-4/2;
3/1+15/5;

ตัวเลขตัวเดียวจะเป็นนิพจน์ตัวเลข เช่นเดียวกับหมายเลข 18 จากตัวอย่างข้างต้น
ตัวอย่างของโครงสร้างตัวเลขที่ไม่ถูกต้องซึ่งไม่สมเหตุสมผล:

*7-25);
16/0-;
(*-5;

ตัวอย่างตัวเลขที่ไม่ถูกต้องเป็นเพียงชุดของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์และไม่สมเหตุสมผล

วิธีค้นหาค่าของนิพจน์

เนื่องจากมีเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ในตัวอย่างนี้ เราจึงสามารถสรุปได้ว่าเครื่องหมายเหล่านี้อนุญาตให้มีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ได้ ในการคำนวณเครื่องหมายหรืออีกนัยหนึ่งเพื่อค้นหาค่าของนิพจน์ จำเป็นต้องดำเนินการจัดการทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม

เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาโครงสร้างต่อไปนี้: (120-30)/3=30 ตัวเลข 30 จะเป็นค่าของนิพจน์ตัวเลข (120-30)/3

คำแนะนำ:

แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข

ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขคือสถานการณ์ที่ทั้งสองส่วนของตัวอย่างถูกคั่นด้วยเครื่องหมาย "=" นั่นคือส่วนหนึ่งมีความเท่าเทียมกันอย่างสมบูรณ์ (เหมือนกัน) กับอีกส่วนหนึ่งแม้ว่าจะแสดงในรูปแบบของสัญลักษณ์และตัวเลขผสมกันก็ตาม
ตัวอย่างเช่น การสร้างประเภท 2+2=4 ใดๆ ก็สามารถเรียกได้ว่าเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข เพราะถึงแม้จะสลับส่วนต่างๆ กัน ความหมายก็จะไม่เปลี่ยนแปลง: 4=2+2 เช่นเดียวกันสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โครงสร้างที่ซับซ้อนรวมถึงวงเล็บ การหาร การคูณ การดำเนินการเศษส่วน และอื่นๆ

วิธีค้นหาค่าของนิพจน์อย่างถูกต้อง

ในการค้นหาค่าของนิพจน์อย่างถูกต้อง จำเป็นต้องคำนวณตามลำดับการกระทำที่แน่นอน ลำดับนี้สอนในบทเรียนคณิตศาสตร์ และต่อมาในชั้นเรียนพีชคณิตใน โรงเรียนประถม. เป็นที่รู้จักกันว่าเป็นขั้นตอนของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ขั้นตอนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์:

ขั้นตอนแรกคือการบวกและลบตัวเลข
ขั้นตอนที่สองคือการหารและการคูณ
ขั้นตอนที่สาม - ตัวเลขกำลังสองหรือกำลังสาม

โดยการปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้ คุณสามารถกำหนดความหมายของนิพจน์ได้อย่างถูกต้องเสมอ:

ทำตามขั้นตอนตั้งแต่ขั้นตอนที่สามจนถึงขั้นตอนแรกหากไม่มีวงเล็บในตัวอย่าง นั่นคือ สี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือลูกบาศก์แรก จากนั้นหารหรือคูณ จากนั้นจึงบวกและลบเท่านั้น
สำหรับโครงสร้างในวงเล็บ ให้ทำตามขั้นตอนในวงเล็บก่อน จากนั้นดำเนินการตามลำดับข้างต้น หากมีหลายวงเล็บให้ใช้ขั้นตอนจากย่อหน้าแรกด้วย
ในตัวอย่างเศษส่วน ขั้นแรกให้หาผลลัพธ์ในตัวเศษ จากนั้นหารด้วยตัวส่วน จากนั้นหารตัวแรกด้วยวินาที

การค้นหาความหมายของนิพจน์นั้นไม่ใช่เรื่องยากหากคุณเชี่ยวชาญความรู้เบื้องต้นของหลักสูตรประถมศึกษาในพีชคณิตและคณิตศาสตร์ จากข้อมูลข้างต้น คุณสามารถแก้ไขปัญหาใดๆ ก็ได้ แม้จะมีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นก็ตาม

ค้นหารหัสผ่านจาก VK รู้การเข้าสู่ระบบ

การกำหนดงาน:ค้นหาค่าของนิพจน์ (การกระทำที่มีเศษส่วน)

งานนี้เป็นส่วนหนึ่งของการใช้คณิตศาสตร์ในระดับพื้นฐานสำหรับเกรด 11 ที่หมายเลข 1 (การกระทำที่มีเศษส่วน)

เรามาดูกันว่าปัญหาดังกล่าวจะได้รับการแก้ไขด้วยตัวอย่างอย่างไร

ตัวอย่างงานที่ 1:

ค้นหาค่าของนิพจน์ 5/4 + 7/6: 2/3

ลองคำนวณค่าของนิพจน์กัน ในการทำเช่นนี้ เรากำหนดลำดับของการดำเนินการ: การคูณและการหารขั้นแรก จากนั้นจึงบวกและลบ และเราจะดำเนินการที่จำเป็นตามลำดับที่ถูกต้อง:

คำตอบ: 3

ตัวอย่างงานที่ 2:

ค้นหาค่าของนิพจน์ (3.9 - 2.4) ∙ 8.2

คำตอบ: 12.3

ตัวอย่างงานที่ 3:

ค้นหาค่าของนิพจน์ 27 ∙ (1/3 - 4/9 - 5/27)

ลองคำนวณค่าของนิพจน์กัน ในการทำเช่นนี้ เรากำหนดลำดับของการดำเนินการ: การคูณและการหารขั้นแรก จากนั้นจึงบวกและลบ ในกรณีนี้ การดำเนินการในวงเล็บจะถูกดำเนินการก่อนการดำเนินการนอกวงเล็บ และเราจะดำเนินการที่จำเป็นตามลำดับที่ถูกต้อง:

คำตอบ: -8

ตัวอย่างงานที่ 4:

ค้นหาค่าของนิพจน์ 2.7 / (1.4 + 0.1)

คำตอบ: 1.8

ตัวอย่างงานที่ 5:

ค้นหาค่าของนิพจน์ 1 / (1/9 - 1/12)

คำตอบ: 36

ตัวอย่างงานที่ 6:

ค้นหาค่าของนิพจน์ (0.24 ∙ 10^6) / (0.6 ∙ 10^4)

คำตอบ: 40

ตัวอย่างงานที่ 7:

ค้นหาค่าของนิพจน์ (1.23 ∙ 45.7) / (12.3 ∙ 0.457)

คำตอบ: 10

ตัวอย่างงานที่ 8:

ค้นหาค่าของนิพจน์ (728^2 - 26^2) : 754

ระดับแรก

การแปลงนิพจน์ ทฤษฎีโดยละเอียด (2019)

การแปลงนิพจน์

บ่อยครั้งที่เราได้ยินวลีที่ไม่พึงประสงค์นี้: "ลดความซับซ้อนของนิพจน์" โดยปกติแล้ว ในกรณีนี้ เรามีสัตว์ประหลาดประเภทนี้:

“ใช่ ง่ายกว่ามาก” เราพูด แต่คำตอบดังกล่าวมักจะไม่ได้ผล

บัดนี้ข้าพเจ้าจะสอนท่านว่าอย่ากลัวงานเช่นนั้น ยิ่งไปกว่านั้น ในตอนท้ายของบทเรียน คุณเองจะทำให้ตัวอย่างนี้เป็นตัวเลขธรรมดา (แค่!) เอง (ใช่แล้ว ลงนรกด้วยตัวอักษรเหล่านี้)

แต่ก่อนที่คุณจะเริ่มบทเรียนนี้ คุณต้องสามารถจัดการกับเศษส่วนและพหุนามตัวประกอบได้ ดังนั้นก่อนอื่น หากคุณไม่เคยทำสิ่งนี้มาก่อน ต้องแน่ใจว่าได้เชี่ยวชาญหัวข้อ "" และ "" แล้ว

อ่าน? ถ้าใช่คุณก็พร้อมแล้ว

การดำเนินการลดความซับซ้อนขั้นพื้นฐาน

ตอนนี้เราจะวิเคราะห์เทคนิคหลักที่ใช้ในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

สิ่งที่ง่ายที่สุดคือ

1.การนำสิ่งที่คล้ายกัน

มีอะไรคล้ายกันบ้าง? คุณผ่านเหตุการณ์นี้มาแล้วตอนเกรด 7 เมื่อตัวอักษรปรากฏตัวครั้งแรกในวิชาคณิตศาสตร์แทนที่จะเป็นตัวเลข คำที่คล้ายกันคือคำศัพท์ (monomials) ที่มีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น ในผลรวม เช่น เงื่อนไขคือ และ

จำได้ไหม?

การนำคำศัพท์ที่เหมือนกันมาหมายถึงการเพิ่มคำศัพท์ที่คล้ายกันหลายคำเข้าด้วยกันแล้วได้คำศัพท์หนึ่งคำ

แต่เราจะรวมตัวอักษรเข้าด้วยกันได้อย่างไร? - คุณถาม.

นี่เป็นเรื่องง่ายมากที่จะเข้าใจหากคุณจินตนาการว่าตัวอักษรเป็นวัตถุบางชนิด เช่น จดหมายคือเก้าอี้ แล้วการแสดงออกคืออะไร? เก้าอี้สองตัวบวกเก้าอี้สามตัวราคาเท่าไหร่? ถูกต้องเก้าอี้: .

ตอนนี้ลองใช้นิพจน์นี้:

เพื่อไม่ให้สับสน ให้ตัวอักษรที่แตกต่างกันแสดงถึงวัตถุที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น - นี่คือเก้าอี้ (ตามปกติ) และ - นี่คือโต๊ะ แล้ว:

โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้

ตัวเลขที่มีการคูณตัวอักษรในเงื่อนไขดังกล่าวเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์. ตัวอย่างเช่น ใน monomial ค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากัน และเขาก็เท่าเทียมกัน

ดังนั้นกฎสำหรับการนำสิ่งที่คล้ายกัน:

ตัวอย่าง:

นำสิ่งที่คล้ายกัน:

คำตอบ:

2. (และคล้ายกัน เนื่องจากคำเหล่านี้มีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน)

2. การแยกตัวประกอบ

โดยปกติจะเป็นส่วนที่สำคัญที่สุดในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น หลังจากที่คุณได้ให้สิ่งที่คล้ายกันแล้ว ส่วนใหญ่มักจะต้องแยกตัวประกอบนิพจน์ผลลัพธ์ กล่าวคือ นำเสนอเป็นผลิตภัณฑ์ สิ่งนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในเรื่องเศษส่วน เพราะท้ายที่สุดแล้วเพื่อที่จะลดเศษส่วนนั้น ตัวเศษและตัวส่วนจะต้องแสดงเป็นผลคูณ

คุณได้อ่านวิธีการแยกตัวประกอบนิพจน์โดยละเอียดในหัวข้อ "" แล้ว ดังนั้นคุณเพียงแค่ต้องจำสิ่งที่คุณได้เรียนรู้มาที่นี่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แก้ปัญหาบางอย่าง ตัวอย่าง(ที่จะแยกตัวออก):

โซลูชั่น:

3. การลดเศษส่วน

อะไรจะดีไปกว่าการขีดฆ่าเศษและส่วนแล้วโยนมันออกไปจากชีวิตของคุณ?

นั่นคือความงามของตัวย่อ

มันง่ายมาก:

หากตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบเหมือนกัน ก็สามารถลดทอนได้ กล่าวคือ ลบออกจากเศษส่วน

กฎนี้เป็นไปตามคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

นั่นคือสาระสำคัญของการดำเนินการลดก็คือ เราหารเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน (หรือด้วยนิพจน์เดียวกัน)

เพื่อลดเศษส่วน คุณต้องมี:

1) ตัวเศษและส่วน แยกตัวประกอบ

2) ถ้าตัวเศษและส่วนประกอบด้วย ปัจจัยทั่วไปก็สามารถลบออกได้

หลักการผมคิดว่าชัดเจน?

ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่ข้อผิดพลาดทั่วไปอย่างหนึ่งในตัวย่อ แม้ว่าหัวข้อนี้จะเรียบง่าย แต่หลายๆ คนก็ทำทุกอย่างผิดโดยไม่รู้ตัว ตัด- นี่หมายความว่า แบ่งทั้งเศษและส่วนเป็นจำนวนเดียวกัน

ไม่มีตัวย่อถ้าตัวเศษหรือส่วนเป็นผลรวม

ตัวอย่างเช่น: คุณต้องทำให้ง่ายขึ้น

บางคนทำเช่นนี้ซึ่งผิดอย่างยิ่ง

อีกตัวอย่างหนึ่ง: ลด

"คนที่ฉลาดที่สุด" จะทำสิ่งนี้:.

บอกฉันว่ามีอะไรผิดปกติที่นี่? ดูเหมือนว่า: - นี่คือตัวคูณ คุณจึงสามารถลดลงได้

แต่ไม่: - นี่คือตัวประกอบของเทอมเดียวในตัวเศษ แต่ตัวเศษโดยรวมไม่ได้ถูกแยกออกเป็นตัวประกอบ

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง: .

นิพจน์นี้แบ่งออกเป็นตัวประกอบ ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถลดซึ่งก็คือหารทั้งเศษและส่วนด้วยแล้วตามด้วย:

คุณสามารถหารได้ทันทีด้วย:

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดดังกล่าว โปรดจำไว้ว่า ทางที่ง่ายวิธีตรวจสอบว่านิพจน์ถูกแยกตัวประกอบหรือไม่:

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการครั้งสุดท้ายเมื่อคำนวณค่าของนิพจน์คือ "หลัก" นั่นคือหากคุณแทนที่ตัวเลข (ใดๆ) แทนตัวอักษรแล้วลองคำนวณค่าของนิพจน์ ถ้าการกระทำสุดท้ายคือการคูณ เราก็จะได้ผลลัพธ์ (นิพจน์จะแบ่งออกเป็นปัจจัย) ถ้าการกระทำสุดท้ายคือการบวกหรือการลบ แสดงว่านิพจน์นั้นไม่ได้แยกตัวประกอบ (และไม่สามารถลดขนาดได้)

หากต้องการแก้ไขให้แก้ไขด้วยตัวเองสักเล็กน้อย ตัวอย่าง:

คำตอบ:

1. ฉันหวังว่าคุณจะไม่รีบตัดทันทีและ? การ "ลด" หน่วยเช่นนี้ยังไม่เพียงพอที่จะ:

ขั้นตอนแรกควรแยกตัวประกอบ:

4. การบวกและการลบเศษส่วน การนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม.

การบวกและการลบเศษส่วนสามัญเป็นการดำเนินการที่รู้จักกันดี: เรามองหาตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไป แล้วบวก / ลบตัวเศษ จำไว้ว่า:

คำตอบ:

1. ตัวส่วนและเป็นโคไพรม์ กล่าวคือ ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน ดังนั้น LCM ของตัวเลขเหล่านี้จึงเท่ากับผลคูณของมัน นี่จะเป็นตัวส่วนร่วม:

2. ตัวส่วนร่วมในที่นี้คือ:

3. ก่อนอื่นเลย เราเปลี่ยนเศษส่วนคละให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม จากนั้น - ตามรูปแบบปกติ:

ถ้าเศษส่วนมีตัวอักษรเป็นอีกเรื่องหนึ่ง เช่น:

มาเริ่มกันง่ายๆ:

ก) ตัวส่วนไม่มีตัวอักษร

ที่นี่ทุกอย่างเหมือนกับเศษส่วนตัวเลขทั่วไป: เราค้นหาตัวส่วนร่วมคูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไปแล้วบวก / ลบตัวเศษ:

ตอนนี้ในตัวเศษ คุณสามารถนำสิ่งที่คล้ายกัน ถ้ามี และแยกตัวประกอบ:

ลองด้วยตัวเอง:

b) ตัวส่วนประกอบด้วยตัวอักษร

จำหลักการค้นหาตัวส่วนร่วมโดยไม่มีตัวอักษร:

ก่อนอื่น เราจะพิจารณาปัจจัยทั่วไป

จากนั้นเราจะเขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดออกมาครั้งเดียว

แล้วคูณมันด้วยตัวประกอบอื่นๆ ทั้งหมด ไม่ใช่ตัวทั่วไป

ในการหาปัจจัยร่วมของตัวส่วน ขั้นแรกเราจะแยกพวกมันออกเป็นปัจจัยง่ายๆ:

เราเน้นปัจจัยทั่วไป:

ตอนนี้เราเขียนปัจจัยทั่วไปหนึ่งครั้งและเพิ่มปัจจัยที่ไม่ธรรมดา (ไม่ขีดเส้นใต้) ทั้งหมดลงไป:

นี่คือตัวส่วนร่วม.

กลับมาที่ตัวอักษรกันดีกว่า ตัวส่วนจะได้รับในลักษณะเดียวกันทุกประการ:

เราแยกตัวส่วนออกเป็นปัจจัย

กำหนดตัวคูณร่วม (เหมือนกัน)

เขียนปัจจัยทั่วไปทั้งหมดออกมาครั้งเดียว

เราคูณมันด้วยตัวประกอบอื่นๆ ทั้งหมด ซึ่งไม่ใช่ตัวทั่วไป

ดังนั้นตามลำดับ:

1) แบ่งตัวส่วนออกเป็นปัจจัย:

2) กำหนดปัจจัยทั่วไป (เหมือนกัน):

3) เขียนตัวประกอบร่วมทั้งหมดหนึ่งครั้งแล้วคูณด้วยตัวประกอบอื่นๆ ทั้งหมด (ไม่ขีดเส้นใต้):

ตัวส่วนร่วมอยู่ตรงนี้. เศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วยส่วนที่สอง - ด้วย:

อย่างไรก็ตามมีเคล็ดลับอย่างหนึ่ง:

ตัวอย่างเช่น: .

เราเห็นปัจจัยเดียวกันในตัวส่วน เพียงแต่มีตัวบ่งชี้ต่างกันเท่านั้น ตัวส่วนร่วมจะเป็น:

ในขอบเขต

ในระดับ

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น:

จะทำให้เศษส่วนมีตัวส่วนเท่ากันได้อย่างไร?

จำคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

ไม่มีที่ไหนบอกว่าจำนวนเดียวกันสามารถลบ (หรือบวก) จากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนได้ เพราะมันไม่จริง!

ดูด้วยตัวคุณเอง: ยกตัวอย่างเศษส่วนแล้วบวกตัวเลขเข้ากับตัวเศษและตัวส่วนเช่น ได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

ดังนั้น มีกฎอีกข้อหนึ่งที่ไม่สั่นคลอน:

เมื่อคุณนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม ให้ใช้เฉพาะการดำเนินการคูณเท่านั้น!

แต่คุณต้องคูณอะไรถึงจะได้?

ที่นี่และทวีคูณ และคูณด้วย:

นิพจน์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้จะเรียกว่า "ปัจจัยพื้นฐาน" ยกตัวอย่างเป็นปัจจัยเบื้องต้น - เดียวกัน. แต่ - ไม่ใช่: มันถูกแบ่งออกเป็นปัจจัย

แล้วการแสดงออกล่ะ? เป็นประถมศึกษาหรือไม่?

ไม่ได้ เนื่องจากสามารถแยกตัวประกอบได้:

(คุณได้อ่านเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบในหัวข้อ "") แล้ว

ดังนั้นปัจจัยเบื้องต้นที่คุณแยกย่อยนิพจน์ด้วยตัวอักษรจึงมีความคล้ายคลึงกับปัจจัยง่าย ๆ ที่คุณแยกย่อยตัวเลข และเราจะทำเช่นเดียวกันกับพวกเขา

เราเห็นว่าตัวส่วนทั้งสองมีตัวประกอบ. มันจะไปที่ตัวส่วนร่วมที่อยู่ในอำนาจ (จำได้ไหมว่าทำไม?)

ตัวคูณเป็นแบบพื้นฐานและไม่มีอะไรเหมือนกันซึ่งหมายความว่าเศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วย:

ตัวอย่างอื่น:

สารละลาย:

ก่อนที่จะคูณตัวส่วนเหล่านี้ด้วยความตื่นตระหนก คุณต้องคิดก่อนว่าจะแยกตัวประกอบพวกมันอย่างไรก่อน? ทั้งสองเป็นตัวแทนของ:

ยอดเยี่ยม! แล้ว:

ตัวอย่างอื่น:

สารละลาย:

ตามปกติ เราจะแยกตัวประกอบตัวส่วน ในตัวส่วนตัวแรก เราเพียงแต่ใส่มันออกจากวงเล็บ ในวินาที - ความแตกต่างของกำลังสอง:

ดูเหมือนว่าจะไม่มีปัจจัยร่วมกัน แต่ถ้าคุณมองใกล้ ๆ พวกมันก็คล้ายกันมากแล้ว ... และความจริงก็คือ:

เรามาเขียนกัน:

นั่นคือปรากฎดังนี้: ภายในวงเล็บเราสลับเทอมและในเวลาเดียวกันเครื่องหมายหน้าเศษส่วนก็เปลี่ยนไปเป็นตรงกันข้าม รับทราบคุณจะต้องทำเช่นนี้บ่อยๆ

ตอนนี้เรามาถึงตัวส่วนร่วมแล้ว:

เข้าใจแล้ว? ตอนนี้เรามาตรวจสอบกัน

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

คำตอบ:

ที่นี่เราต้องจำอีกสิ่งหนึ่ง - ความแตกต่างของลูกบาศก์:

โปรดทราบว่าตัวส่วนของเศษส่วนที่สองไม่มีสูตร "กำลังสองของผลรวม"! กำลังสองของผลรวมจะมีลักษณะดังนี้:

A คือสิ่งที่เรียกว่ากำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม เทอมที่สองในนั้นคือผลคูณของค่าแรกและค่าสุดท้าย ไม่ใช่ผลคูณสองเท่า กำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวมเป็นปัจจัยหนึ่งในการขยายส่วนต่างของลูกบาศก์:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีเศษส่วนสามตัวอยู่แล้ว?

ใช่แล้ว เหมือนกัน! ก่อนอื่นเรามาทำให้มันเป็นเช่นนั้น จำนวนเงินสูงสุดปัจจัยในตัวส่วนเท่ากัน:

โปรดทราบ: หากคุณเปลี่ยนเครื่องหมายภายในวงเล็บเดียว เครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม เมื่อเราเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บเหลี่ยมที่สอง เครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนจะกลับกันอีกครั้ง เป็นผลให้เขา (เครื่องหมายหน้าเศษส่วน) ไม่เปลี่ยนแปลง

เราเขียนตัวส่วนตัวแรกให้เต็มด้วยตัวส่วนร่วม จากนั้นจึงบวกตัวประกอบทั้งหมดที่ยังไม่ได้เขียน ตั้งแต่ตัวที่สองและตัวที่สาม (และอื่นๆ หากมีเศษส่วนมากกว่า) นั่นคือมันเป็นเช่นนี้:

อืม ... ด้วยเศษส่วนก็ชัดเจนว่าต้องทำอย่างไร แต่แล้วทั้งสองล่ะ?

ง่ายมาก: คุณรู้วิธีบวกเศษส่วนใช่ไหม? ดังนั้นคุณต้องแน่ใจว่าผีสางกลายเป็นเศษส่วน! ข้อควรจำ: เศษส่วนคือการหาร (ตัวเศษจะถูกหารด้วยตัวส่วน ในกรณีที่คุณลืมกะทันหัน) และไม่มีอะไรง่ายไปกว่าการหารตัวเลขด้วย ในกรณีนี้ตัวเลขจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะกลายเป็นเศษส่วน:

ตรงตามที่ต้องการ!

5. การคูณและการหารเศษส่วน

ส่วนที่ยากที่สุดจบลงแล้ว และข้างหน้าเรานั้นง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็สำคัญที่สุด:

ขั้นตอน

ขั้นตอนการคำนวณนิพจน์ตัวเลขมีอะไรบ้าง? โปรดจำไว้ว่าเมื่อพิจารณาถึงคุณค่าของนิพจน์ดังกล่าว:

คุณนับไหม?

มันควรจะทำงาน

ฉันจึงเตือนคุณ

ขั้นตอนแรกคือการคำนวณระดับ

ประการที่สองคือการคูณและการหาร หากมีการคูณและการหารหลายรายการพร้อมกัน คุณสามารถดำเนินการตามลำดับใดก็ได้

และสุดท้าย เราก็ทำการบวกและการลบ อีกครั้งในลำดับใด ๆ

แต่: นิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บได้รับการประเมินไม่เป็นระเบียบ!

ถ้าวงเล็บหลายอันถูกคูณหรือหารกัน ขั้นแรกเราจะประเมินนิพจน์ในวงเล็บแต่ละอันก่อน จากนั้นจึงคูณหรือหารพวกมัน

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีวงเล็บอื่นอยู่ในวงเล็บ? ลองคิดดู: สำนวนบางอย่างเขียนอยู่ในวงเล็บ สิ่งแรกที่ต้องทำเมื่อประเมินนิพจน์คืออะไร? ถูกต้องแล้ว คำนวณวงเล็บเหลี่ยม เราคิดออกแล้ว: ขั้นแรกเราคำนวณวงเล็บด้านใน จากนั้นจึงคำนวณอย่างอื่นทั้งหมด

ดังนั้น ลำดับของการกระทำสำหรับนิพจน์ด้านบนจึงเป็นดังนี้ (การกระทำปัจจุบันจะถูกเน้นด้วยสีแดง นั่นคือการกระทำที่ฉันกำลังดำเนินการอยู่ในขณะนี้):

โอเค มันง่ายมาก

แต่นั่นก็ไม่เหมือนกับสำนวนที่มีตัวอักษรใช่ไหมล่ะ?

ไม่ มันก็เหมือนกัน! แทนที่จะดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้นที่จำเป็นต้องดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตนั่นคือการดำเนินการที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า: นำสิ่งที่คล้ายกันการบวกเศษส่วน การหารเศษส่วน และอื่นๆ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการกระทำของการแยกตัวประกอบพหุนาม (เรามักใช้เมื่อทำงานกับเศษส่วน) ส่วนใหญ่แล้ว สำหรับการแยกตัวประกอบ คุณต้องใช้ i หรือแค่เอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

โดยปกติเป้าหมายของเราคือการแสดงนิพจน์เป็นผลิตภัณฑ์หรือผลหาร

ตัวอย่างเช่น:

ลองทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

1) ขั้นแรก เราทำให้นิพจน์ในวงเล็บง่ายขึ้น ตรงนี้เรามีผลต่างของเศษส่วน และเป้าหมายของเราคือแสดงมันเป็นผลคูณหรือผลหาร ดังนั้นเราจึงนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมแล้วบวก:

เป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นอีก ปัจจัยทั้งหมดที่นี่เป็นปัจจัยเบื้องต้น (คุณยังจำได้ไหมว่าสิ่งนี้หมายถึงอะไร)

2) เราได้รับ:

การคูณเศษส่วน: อะไรจะง่ายกว่านี้

3) ตอนนี้คุณสามารถย่อ:

โอเค ตอนนี้ทุกอย่างจบลงแล้ว ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม?

ตัวอย่างอื่น:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ขั้นแรกให้พยายามแก้ปัญหาด้วยตัวเอง จากนั้นจึงค่อยดูวิธีแก้ปัญหา

ก่อนอื่น เรามากำหนดขั้นตอนกันก่อน ขั้นแรก ให้บวกเศษส่วนในวงเล็บ แทนที่จะเป็นเศษส่วน 2 ตัว จะได้เศษส่วน 1 ตัว จากนั้นเราจะทำการหารเศษส่วน. เราบวกผลลัพธ์ด้วยเศษส่วนสุดท้าย ฉันจะนับขั้นตอนตามแผนผัง:

ตอนนี้ฉันจะแสดงกระบวนการทั้งหมด โดยแต้มสีการกระทำปัจจุบันด้วยสีแดง:

สุดท้ายนี้ ฉันจะให้คำแนะนำที่เป็นประโยชน์สองข้อแก่คุณ:

1.หากมีแบบเดียวกันต้องนำมาทันที ไม่ว่าเราจะมีสิ่งที่คล้ายกันในช่วงเวลาใดก็แนะนำให้นำมาทันที

2. เช่นเดียวกับการลดเศษส่วน: ทันทีที่มีโอกาสที่จะลดจะต้องใช้ ข้อยกเว้นคือเศษส่วนที่คุณบวกหรือลบ หากตอนนี้มีตัวส่วนเท่ากัน ก็ควรปล่อยการลดลงไว้ใช้ภายหลัง

นี่คืองานบางอย่างสำหรับคุณที่จะแก้ไขด้วยตัวเอง:

และสัญญาไว้ตั้งแต่ต้นว่า

วิธีแก้ปัญหา (โดยย่อ):

หากคุณจัดการกับตัวอย่างสามตัวอย่างแรกได้แสดงว่าคุณเข้าใจหัวข้อนี้แล้ว

ตอนนี้ไปเรียนรู้!

การแปลงนิพจน์ สรุปและสูตรพื้นฐาน

การดำเนินการลดความซับซ้อนขั้นพื้นฐาน:

นำมาซึ่งความคล้ายคลึงกัน: หากต้องการเพิ่ม (ลด) คำที่เหมือนกัน คุณต้องเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และกำหนดส่วนของตัวอักษร
การแยกตัวประกอบ:นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ การประยุกต์ ฯลฯ
การลดเศษส่วน: ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนสามารถคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกันได้ โดยค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง
1) ตัวเศษและส่วน แยกตัวประกอบ
2) ถ้ามีตัวประกอบร่วมทั้งตัวเศษและส่วนก็สามารถขีดฆ่าออกได้
สิ่งสำคัญ: สามารถลดตัวคูณได้เท่านั้น!
การบวกและการลบเศษส่วน:
;
การคูณและการหารเศษส่วน:
;

นิพจน์ตัวเลขและพีชคณิต การแปลงนิพจน์

การแสดงออกทางคณิตศาสตร์คืออะไร? เหตุใดการแปลงนิพจน์จึงมีความจำเป็น

อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าคำถามนี้น่าสนใจ... ความจริงก็คือแนวคิดเหล่านี้เป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมด คณิตศาสตร์ทั้งหมดประกอบด้วยนิพจน์และการแปลง ไม่ชัดเจนมาก? ให้ฉันอธิบาย.

สมมติว่าคุณมีตัวอย่างที่ชั่วร้าย ใหญ่มากและซับซ้อนมาก สมมติว่าคุณเก่งคณิตศาสตร์และไม่กลัวสิ่งใดเลย! ตอบทันทีเลยได้ไหม?

คุณจะต้อง ตัดสินใจตัวอย่างนี้ ตามลำดับทีละขั้นตอนตัวอย่างนี้ ลดความซับซ้อน. ตามกฎเกณฑ์บางประการแน่นอน เหล่านั้น. ทำ การแปลงนิพจน์. คุณทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ได้สำเร็จเพียงใด ดังนั้นคุณจึงมีความแข็งแกร่งในด้านคณิตศาสตร์ หากคุณไม่ทราบวิธีการแปลงที่ถูกต้อง ในทางคณิตศาสตร์คุณจะทำไม่ได้ ไม่มีอะไร...

เพื่อหลีกเลี่ยงอนาคตที่น่าอึดอัด (หรือปัจจุบัน ... ) การเข้าใจหัวข้อนี้ไม่ใช่เรื่องเสียหาย)

เริ่มต้นด้วยเรามาค้นหากัน นิพจน์ในคณิตศาสตร์คืออะไร. เกิดอะไรขึ้น นิพจน์ตัวเลขและคืออะไร การแสดงออกทางพีชคณิต

การแสดงออกทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

การแสดงออกทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่กว้างมาก เกือบทุกสิ่งที่เราจัดการในวิชาคณิตศาสตร์คือชุดของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง สูตร เศษส่วน สมการ และอื่นๆ ทั้งหมดประกอบด้วย นิพจน์ทางคณิตศาสตร์.

3+2 คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ค 2 - วัน 2ยังเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์อีกด้วย และเศษส่วนที่ดีต่อสุขภาพ และแม้แต่ตัวเลขตัวเดียว ทั้งหมดนี้ล้วนเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่นสมการคือ:

5x + 2 = 12

ประกอบด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์สองตัวที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ สำนวนหนึ่งอยู่ทางซ้าย และอีกสำนวนหนึ่งอยู่ทางขวา

ใน ปริทัศน์ภาคเรียน " การแสดงออกทางคณิตศาสตร์" ใช้บ่อยที่สุดเพื่อไม่ให้พึมพำ พวกเขาจะถามคุณว่าเศษส่วนธรรมดาคืออะไร แล้วจะตอบยังไง!

คำตอบที่ 1: "มัน... ม-ม-ม-ม... แบบนั้น ... ซึ่ง ... จะเขียนเศษส่วนให้ดีขึ้นได้ไหม? คุณต้องการอันไหน?”

คำตอบที่สอง: " เศษส่วนสามัญนี่คือ (อย่างร่าเริงและสนุกสนาน!) การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยทั้งเศษและส่วน!"

ตัวเลือกที่สองก็น่าประทับใจกว่าใช่ไหม?)

เพื่อจุดประสงค์นี้ คำว่า " การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ “ดีมาก ทั้งถูกต้องและมั่นคง แต่ในทางปฏิบัติต้องมีความชำนาญเป็นอย่างดี” นิพจน์เฉพาะทางคณิตศาสตร์ .

ประเภทเฉพาะเป็นอีกเรื่องหนึ่ง นี้ เป็นอีกเรื่องหนึ่ง!นิพจน์ทางคณิตศาสตร์แต่ละประเภทมี ของฉันชุดกฎและเทคนิคที่ต้องใช้ในการตัดสินใจ ในการทำงานกับเศษส่วน - ชุดเดียว สำหรับการทำงานกับนิพจน์ตรีโกณมิติ - ประการที่สอง สำหรับการทำงานกับลอการิทึม - อันที่สาม และอื่นๆ กฎเหล่านี้อยู่ที่ไหนสักแห่งก็เหมือนกัน แต่บางแห่งก็แตกต่างอย่างมาก แต่อย่ากลัวสิ่งเหล่านี้ คำพูดที่น่ากลัว. เราจะเชี่ยวชาญเรื่องลอการิทึม ตรีโกณมิติ และสิ่งลึกลับอื่นๆ ในส่วนที่เกี่ยวข้อง

ที่นี่เราจะเชี่ยวชาญ (หรือ - ทำซ้ำตามที่คุณต้องการ ... ) นิพจน์ทางคณิตศาสตร์หลักสองประเภท นิพจน์ตัวเลขและนิพจน์พีชคณิต

นิพจน์ตัวเลข

เกิดอะไรขึ้น นิพจน์ตัวเลข? นี่เป็นแนวคิดที่ง่ายมาก ชื่อนี้บอกเป็นนัยว่านี่คือสำนวนที่มีตัวเลข นั่นคือวิธีที่มันเป็น นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลข วงเล็บ และเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เรียกว่านิพจน์ตัวเลข

7-3 เป็นนิพจน์ตัวเลข

(8+3.2) 5.4 ก็เป็นนิพจน์ตัวเลขเช่นกัน

และสัตว์ประหลาดตัวนี้:

เป็นนิพจน์ตัวเลขด้วย ใช่...

จำนวนสามัญ เศษส่วน ตัวอย่างการคำนวณใดๆ ที่ไม่มี x และตัวอักษรอื่นๆ ทั้งหมดนี้เป็นนิพจน์ตัวเลข

คุณสมบัติหลัก ตัวเลขการแสดงออกในนั้น ไม่มีตัวอักษร. ไม่มี. เฉพาะตัวเลขและไอคอนทางคณิตศาสตร์ (หากจำเป็น) มันง่ายใช่มั้ย?

และนิพจน์ตัวเลขสามารถทำได้อย่างไร? โดยปกติแล้วนิพจน์ตัวเลขสามารถนับได้ ในการทำเช่นนี้ บางครั้งการเปิดวงเล็บ เปลี่ยนเครื่องหมาย ย่อ สลับเงื่อนไข - เช่น ทำ การแปลงนิพจน์. แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับที่ด้านล่าง

ที่นี่เราจะจัดการกับกรณีที่ตลกเมื่อมีนิพจน์ตัวเลข คุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรเลยไม่มีอะไรเลย! การดำเนินการที่ดีนี้ การไม่ทำอะไรเลย)- จะถูกดำเนินการเมื่อมีการแสดงออก ไม่สมเหตุสมผล.

เมื่อใดที่นิพจน์ตัวเลขไม่สมเหตุสมผล

แน่นอนว่าถ้าเราเห็นอราคาดาบราบางชนิดอยู่ตรงหน้าเรา เช่น

แล้วเราจะไม่ทำอะไรเลย เนื่องจากยังไม่ชัดเจนว่าจะทำอย่างไรกับมัน เรื่องไร้สาระบางอย่าง เว้นแต่จะนับจำนวนข้อดี ...

แต่ภายนอกมีการแสดงออกที่ค่อนข้างดี ตัวอย่างเช่น:

(2+3) : (16 - 2 8)

อย่างไรก็ตาม สำนวนนี้ก็เช่นกัน ไม่สมเหตุสมผล! ด้วยเหตุผลง่ายๆ ก็คือในวงเล็บที่สอง ถ้าคุณนับ คุณจะได้ศูนย์ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้! นี่เป็นการกระทำที่ต้องห้ามในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำอะไรกับนิพจน์นี้เช่นกัน สำหรับงานใดๆ ที่มีนิพจน์ดังกล่าว คำตอบจะเหมือนเดิมเสมอ: “การแสดงออกไม่สมเหตุสมผล!”

แน่นอนว่าเพื่อที่จะตอบคำถามนี้ ผมต้องคำนวณว่าอะไรจะอยู่ในวงเล็บ และบางครั้งก็มีการหักมุมในวงเล็บ ... ก็ไม่มีอะไรต้องทำ

การดำเนินการต้องห้ามในคณิตศาสตร์มีไม่มากนัก มีอันเดียวในกระทู้นี้ครับ การหารด้วยศูนย์. ข้อห้ามเพิ่มเติมที่เกิดขึ้นในรูทและลอการิทึมจะกล่าวถึงในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

ดังนั้นความคิดในสิ่งที่เป็น นิพจน์ตัวเลข- ได้รับ. แนวคิด นิพจน์ตัวเลขไม่สมเหตุสมผล- ที่ตระหนักรู้. ไปต่อกันดีกว่า

นิพจน์พีชคณิต

หากตัวอักษรปรากฏในนิพจน์ตัวเลข นิพจน์นี้จะกลายเป็น... นิพจน์จะกลายเป็น... ใช่! มันกลายเป็น การแสดงออกทางพีชคณิต. ตัวอย่างเช่น:

5ก 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (ก + ข) 2; ...

สำนวนดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่า การแสดงออกตามตัวอักษรหรือ นิพจน์ที่มีตัวแปรมันเกือบจะเป็นสิ่งเดียวกัน การแสดงออก 5a +คตัวอย่างเช่น - ทั้งตัวอักษรและพีชคณิต และนิพจน์พร้อมตัวแปร

แนวคิด การแสดงออกทางพีชคณิต -กว้างกว่าตัวเลข มัน รวมถึงและนิพจน์ตัวเลขทั้งหมด เหล่านั้น. นิพจน์ตัวเลขก็เป็นนิพจน์พีชคณิตเช่นกัน โดยไม่มีตัวอักษรเท่านั้น ปลาเฮอริ่งทุกตัวเป็นปลา แต่ไม่ใช่ปลาทุกตัวที่เป็นปลาเฮอริ่ง...)

ทำไม ตัวอักษร- ก็เป็นที่ชัดเจน. เนื่องจากมีตัวอักษร ... วลี นิพจน์กับตัวแปรก็ไม่ทำให้งงมากเช่นกัน หากคุณเข้าใจว่าตัวเลขซ่อนอยู่ใต้ตัวอักษร คุณสามารถซ่อนตัวเลขทุกประเภทไว้ใต้ตัวอักษรได้ ... และ 5 และ -18 และอะไรก็ได้ที่คุณต้องการ นั่นคือจดหมายสามารถ แทนที่บน ตัวเลขที่แตกต่างกัน. นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกตัวอักษรเหล่านี้ ตัวแปร.

ในการแสดงออก ย+5, ตัวอย่างเช่น, ที่- ตัวแปร. หรือเพียงแค่พูดว่า " ตัวแปร"โดยไม่มีคำว่า "คุณค่า" ต่างจากห้าซึ่งเป็นค่าคงที่ หรือเพียงแค่ - คงที่.

ภาคเรียน การแสดงออกทางพีชคณิตหมายความว่าในการทำงานกับสำนวนนี้ คุณต้องใช้กฎหมายและกฎเกณฑ์ พีชคณิต. ถ้า เลขคณิตใช้งานได้กับตัวเลขเฉพาะแล้ว พีชคณิต- มีตัวเลขทั้งหมดพร้อมกัน ตัวอย่างง่ายๆ เพื่อการชี้แจง

ในทางคณิตศาสตร์ เราสามารถเขียนแบบนั้นได้

แต่ถ้าเราเขียนความเท่าเทียมกันที่คล้ายกันผ่านนิพจน์พีชคณิต:

ก + ข = ข + ก

เราจะตัดสินใจทันที ทั้งหมดคำถาม. สำหรับ ตัวเลขทั้งหมดจังหวะ. เพื่อสิ่งต่าง ๆ มากมายนับไม่ถ้วน เพราะใต้ตัวอักษร กและ ขโดยนัย ทั้งหมดตัวเลข และไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังมีนิพจน์ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ด้วย นี่คือวิธีการทำงานของพีชคณิต

เมื่อใดที่นิพจน์พีชคณิตไม่สมเหตุสมผล?

ทุกอย่างชัดเจนเกี่ยวกับนิพจน์ตัวเลข คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ และด้วยตัวอักษรจะเป็นไปได้ไหมที่จะรู้ว่าเราหารด้วยอะไร!

ลองใช้นิพจน์ตัวแปรต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง:

2: (ก - 5)

มันสมเหตุสมผลไหม? แต่ใครจะรู้จักเขาล่ะ? ก- เบอร์ไหนก็ได้...

ใดใดใด... แต่มีความหมายเดียวคือ กซึ่งสำนวนนี้ อย่างแน่นอนไม่สมเหตุสมผลเลย! และหมายเลขนั้นคืออะไร? ใช่! 5 ขวบแล้ว! หากเป็นตัวแปร กแทนที่ (พวกเขาพูดว่า - "ทดแทน") ด้วยหมายเลข 5 ในวงเล็บจะกลายเป็นศูนย์ ซึ่งแบ่งแยกไม่ได้ ปรากฎว่าพจน์ของเรา ไม่สมเหตุสมผล, ถ้า ก = 5. แต่สำหรับคุณค่าอื่นๆ กมันสมเหตุสมผลไหม? แทนเลขอื่นได้ไหม

แน่นอน. ในกรณีเช่นนี้ก็พูดง่ายๆ ได้ว่า สำนวน

2: (ก - 5)

สมเหตุสมผลสำหรับค่าใดๆ ก, ยกเว้น a = 5 .

ตัวเลขทั้งชุด สามารถแทนที่นิพจน์ที่กำหนดเรียกว่า ช่วงที่ถูกต้องการแสดงออกนี้

อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรยุ่งยาก เราดูนิพจน์ที่มีตัวแปรแล้วคิดว่า: การดำเนินการที่ต้องห้ามได้รับค่าใดของตัวแปร (หารด้วยศูนย์)?

จากนั้นอย่าลืมดูคำถามของการมอบหมายงาน พวกเขากำลังถามอะไร?

ไม่สมเหตุสมผลเป็นของเรา ความหมายต้องห้ามและจะเป็นคำตอบ

หากถามว่านิพจน์มีค่าเท่าใดของตัวแปร มีความหมาย(รู้สึกถึงความแตกต่าง!) คำตอบจะเป็น หมายเลขอื่นๆ ทั้งหมดยกเว้นของต้องห้าม

ทำไมเราถึงต้องการความหมายของสำนวน? เขาอยู่ เขาไม่... ต่างกันยังไง! ความจริงก็คือแนวคิดนี้มีความสำคัญมากในโรงเรียนมัธยม สำคัญมาก ๆ! นี่เป็นพื้นฐานสำหรับแนวคิดที่มั่นคงเช่นช่วงของค่าที่ถูกต้องหรือขอบเขตของฟังก์ชัน หากไม่มีสิ่งนี้ คุณจะไม่สามารถแก้สมการหรืออสมการที่จริงจังได้เลย แบบนี้.

การแปลงนิพจน์ การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์

เราคุ้นเคยกับนิพจน์ตัวเลขและพีชคณิต ทำความเข้าใจว่าวลี "สำนวนนี้ไม่สมเหตุสมผล" หมายถึงอะไร ตอนนี้เราต้องหาว่าอะไร การแปลงนิพจน์คำตอบนั้นง่ายมากและอุกอาจ) นี่คือการกระทำใด ๆ ที่มีการแสดงออก และนั่นมัน คุณได้ทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ตั้งแต่ชั้นเฟิร์สคลาส

ใช้นิพจน์ตัวเลขเจ๋งๆ 3+5 มันสามารถแปลงได้อย่างไร? ใช่ ง่ายมาก! คำนวณ:

การคำนวณนี้จะเป็นการแปลงนิพจน์ คุณสามารถเขียนนิพจน์เดียวกันได้ด้วยวิธีอื่น:

เราไม่ได้นับอะไรที่นี่ เพียงเขียนนิพจน์ลงไป ในรูปแบบที่แตกต่างนี่จะเป็นการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ด้วย สามารถเขียนได้ดังนี้:

และนี่ก็เป็นการเปลี่ยนแปลงของการแสดงออกด้วย คุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ได้มากเท่าที่คุณต้องการ

ใดๆการดำเนินการกับการแสดงออก ใดๆการเขียนในรูปแบบอื่นเรียกว่าการแปลงนิพจน์ และทุกสิ่ง ทุกอย่างง่ายมาก แต่มีสิ่งหนึ่งที่นี่ กฎที่สำคัญมากสำคัญมากจนสามารถเรียกได้อย่างปลอดภัย กฎหลักคณิตศาสตร์ทั้งหมด แหกกฎนี้ อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้นำไปสู่ข้อผิดพลาด เราเข้าใจมั้ย?)

สมมติว่าเราได้เปลี่ยนการแสดงออกของเราตามอำเภอใจ เช่นนี้:

การเปลี่ยนแปลง? แน่นอน. เราเขียนนิพจน์ในรูปแบบอื่น เกิดอะไรขึ้นที่นี่?

มันไม่ใช่แบบนั้น) ความจริงก็คือการเปลี่ยนแปลง "อะไรก็ตาม"คณิตศาสตร์ไม่ได้สนใจเลย) คณิตศาสตร์ทั้งหมดถูกสร้างขึ้นจากการแปลง โดยที่ รูปร่าง, แต่สาระสำคัญของการแสดงออกไม่เปลี่ยนแปลงสามบวกห้าเขียนในรูปแบบใดก็ได้ แต่ต้องเท่ากับแปด

การเปลี่ยนแปลง การแสดงออกที่ไม่เปลี่ยนสาระสำคัญเรียกว่า เหมือนกัน

อย่างแน่นอน การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันและให้เราค่อยๆ เปลี่ยนตัวอย่างที่ซับซ้อนให้เป็นสำนวนง่ายๆ โดยเก็บไว้ สาระสำคัญของตัวอย่างหากเราทำผิดพลาดในห่วงโซ่ของการเปลี่ยนแปลง เราจะทำการเปลี่ยนแปลงที่ไม่เหมือนกัน จากนั้นเราจะตัดสินใจ อื่นตัวอย่าง. พร้อมคำตอบอื่นๆ ที่ไม่เกี่ยวข้องกับคำตอบที่ถูกต้อง)

นี่คือกฎหลักในการแก้ปัญหา: การปฏิบัติตามอัตลักษณ์ของการเปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างด้วย นิพจน์เชิงตัวเลข 3 + 5 ผมให้เพื่อความชัดเจน ในนิพจน์พีชคณิต การแปลงที่เหมือนกันจะได้รับจากสูตรและกฎเกณฑ์ สมมติว่ามีสูตรในพีชคณิต:

ก(ข+ค) = ab + เอซี

ดังนั้น ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม เราสามารถใช้นิพจน์แทนได้ ก(ข+ค)รู้สึกอิสระที่จะเขียนสำนวน เอบี+เอซี. และในทางกลับกัน. นี้ การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันคณิตศาสตร์ให้ตัวเลือกสองนิพจน์นี้แก่เรา และอันไหนที่จะเขียนขึ้นอยู่กับตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างอื่น. การแปลงที่สำคัญและจำเป็นอย่างหนึ่งคือคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน คุณสามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ลิงค์ แต่ที่นี่ฉันแค่เตือนกฎ: ถ้าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนถูกคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเดียวกัน หรือนิพจน์ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงนี่คือตัวอย่างของการแปลงที่เหมือนกันสำหรับคุณสมบัตินี้:

อย่างที่คุณอาจเดาได้ ห่วงโซ่นี้สามารถดำเนินต่อไปได้ไม่มีกำหนด...) ทรัพย์สินที่สำคัญมาก มันช่วยให้คุณเปลี่ยนสัตว์ประหลาดตัวอย่างทุกประเภทให้กลายเป็นสีขาวและนุ่มฟูได้)

มีหลายสูตรที่กำหนดการแปลงที่เหมือนกัน แต่ที่สำคัญที่สุด - เป็นจำนวนที่สมเหตุสมผล การแปลงพื้นฐานประการหนึ่งคือการแยกตัวประกอบ มันถูกใช้ในคณิตศาสตร์ทั้งหมด - ตั้งแต่ระดับประถมศึกษาถึงขั้นสูง เริ่มจากเขากันก่อน ในบทเรียนถัดไป)

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้