สัมพันธ์กับ

ภารกิจในการค้นหาตัวเลขสามตัวใด ๆ จากอีกสองตัวที่กำหนดสามารถตั้งค่าได้ กำหนด a แล้วหา N ได้โดยการยกกำลัง ถ้าให้ N แล้วหา a ได้โดยการแยกรากของเลขยกกำลัง x (หรือการยกกำลัง) พิจารณากรณีที่กำหนดให้ a และ N จำเป็นต้องหา x

ให้จำนวน N เป็นค่าบวก: จำนวน a เป็นค่าบวกและไม่เท่ากับหนึ่ง: .

คำนิยาม. ลอการิทึมของจำนวน N ฐาน a คือเลขยกกำลังที่คุณต้องยก a เพื่อให้ได้จำนวน N ลอการิทึมแสดงโดย

ดังนั้น ในความเท่าเทียมกัน (26.1) เลขชี้กำลังจะถูกหาเป็นลอการิทึมของ N ยกกำลังฐาน a รายการ

มีความหมายเดียวกัน ความเสมอภาค (26.1) บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์พื้นฐานของทฤษฎีลอการิทึม ในความเป็นจริงมันเป็นการแสดงออกถึงคำจำกัดความของแนวคิดของลอการิทึม โดย คำนิยามนี้ฐานของลอการิทึม a เป็นบวกเสมอและแตกต่างจากเอกภาพ จำนวนลอการิทึม N เป็นบวก เลขติดลบและศูนย์ไม่มีลอการิทึม สามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนใด ๆ ที่มีฐานที่กำหนดมีลอการิทึมที่กำหนดไว้อย่างดี ความเสมอภาคจึงเกิดขึ้น โปรดทราบว่าเงื่อนไขเป็นสิ่งจำเป็นที่นี่ มิฉะนั้นข้อสรุปจะไม่เป็นธรรม เนื่องจากความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ x และ y

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา

วิธีการแก้. ในการรับตัวเลขคุณต้องยกกำลังฐาน 2 ดังนั้น

คุณสามารถบันทึกเมื่อแก้ไขตัวอย่างดังกล่าวในรูปแบบต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา

วิธีการแก้. เรามี

ในตัวอย่างที่ 1 และ 2 เราหาลอการิทึมที่ต้องการได้อย่างง่ายดายโดยแทนเลขลอการิทึมได้ในระดับฐานที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ในกรณีทั่วไป เช่น เป็นต้น ไม่สามารถทำได้ เนื่องจากลอการิทึมมีค่าอตรรกยะ ให้เราใส่ใจกับคำถามหนึ่งข้อที่เกี่ยวข้องกับข้อความนี้ ใน § 12 เราได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการกำหนดพลังที่แท้จริงของจำนวนบวกที่กำหนด สิ่งนี้จำเป็นสำหรับการแนะนำลอการิทึม ซึ่งโดยทั่วไปแล้วอาจเป็นจำนวนอตรรกยะ

พิจารณาคุณสมบัติของลอการิทึม

คุณสมบัติ 1. ถ้าจำนวนและฐานเท่ากัน ลอการิทึมจะเท่ากับหนึ่ง และในทางกลับกัน ถ้าลอการิทึมเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นจำนวนและฐานจะเท่ากัน

การพิสูจน์. ให้ โดยคำจำกัดความของลอการิทึมเรามีและที่ไหน

ตรงกันข้าม ให้ แล้ว ตามคำนิยาม

คุณสมบัติ 2. ลอการิทึมของเอกภาพของฐานใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์

การพิสูจน์. ตามนิยามของลอการิทึม (กำลังศูนย์ของฐานบวกใด ๆ มีค่าเท่ากับหนึ่ง ดู (10.1)) จากที่นี่

คิวอีดี

ประโยคสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้า แล้ว N = 1 อันที่จริง เรามี

ก่อนที่จะระบุคุณสมบัติของลอการิทึมต่อไปนี้ ให้เราตกลงที่จะบอกว่าจำนวนสองตัว a และ b อยู่บนด้านเดียวกันของจำนวนที่สาม c ถ้าทั้งคู่มีค่ามากกว่า c หรือน้อยกว่า c หากหนึ่งในจำนวนเหล่านี้มากกว่า c และอีกจำนวนน้อยกว่า c เราจะบอกว่าพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน ด้านที่แตกต่างกันจาก s

คุณสมบัติ 3. ถ้าจำนวนและฐานอยู่ในด้านเดียวกันของเอกภาพ ดังนั้นลอการิทึมจะเป็นค่าบวก ถ้าจำนวนและฐานอยู่คนละด้านของเอกภาพ ลอการิทึมจะเป็นค่าลบ

การพิสูจน์คุณสมบัติ 3 ขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าระดับของ a มากกว่าหนึ่งถ้าฐานมากกว่าหนึ่งและเลขชี้กำลังเป็นบวกหรือฐาน น้อยกว่าหนึ่งและคะแนนติดลบ ระดับจะน้อยกว่าหนึ่งหากฐานมากกว่าหนึ่งและเลขชี้กำลังเป็นลบ หรือฐานน้อยกว่าหนึ่งและเลขชี้กำลังเป็นบวก

มีสี่กรณีที่ต้องพิจารณา:

เรา จำกัด ตัวเองไว้ที่การวิเคราะห์ของสิ่งแรกผู้อ่านจะพิจารณาส่วนที่เหลือด้วยตัวเขาเอง

ให้เลขชี้กำลังในความเท่าเทียมกันไม่เป็นลบหรือเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นค่าบวก นั่นคือ ซึ่งจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ตัวอย่างที่ 3 จงหาว่าลอการิทึมใดต่อไปนี้เป็นค่าบวกและค่าใดเป็นค่าลบ:

เฉลย ก) เนื่องจากเลข 15 และเลขฐาน 12 อยู่ด้านเดียวกันของหน่วย

b) เนื่องจาก 1,000 และ 2 ตั้งอยู่ด้านเดียวกันของยูนิต ในขณะเดียวกัน ไม่จำเป็นว่าฐานจะต้องมากกว่าเลขลอการิทึม

ค) เนื่องจาก 3.1 และ 0.8 อยู่คนละฟากของเอกภาพ

ช) ; ทำไม

จ) ; ทำไม

คุณสมบัติ 4-6 ต่อไปนี้มักเรียกว่ากฎของลอการิทึม: พวกเขาอนุญาตให้รู้ลอการิทึมของตัวเลขบางตัวเพื่อค้นหาลอการิทึมของผลคูณ ผลหาร ระดับของแต่ละค่า

คุณสมบัติ 4 (กฎสำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์) ลอการิทึมของผลคูณของจำนวนบวกหลายตัวในฐานที่กำหนดจะเท่ากับผลบวกของลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้ในฐานเดียวกัน

การพิสูจน์. ให้เลขบวกมา.

สำหรับลอการิทึมของผลคูณ เราเขียนความเท่ากัน (26.1) ที่กำหนดลอการิทึม:

จากที่นี่เราพบ

การเปรียบเทียบเลขชี้กำลังของนิพจน์แรกและนิพจน์สุดท้าย เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ต้องการ:

โปรดทราบว่าเงื่อนไขเป็นสิ่งสำคัญ ลอการิทึมของผลคูณของสอง ตัวเลขติดลบสมเหตุสมผล แต่ในกรณีนี้เราได้รับ

โดยทั่วไป หากผลคูณของปัจจัยหลายตัวเป็นบวก ลอการิทึมของมันจะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของโมดูลของปัจจัยเหล่านี้

คุณสมบัติ 5 (กฎลอการิทึมผลหาร) ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวกจะเท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของเงินปันผลและตัวหารที่อยู่ในฐานเดียวกัน การพิสูจน์. หาไปเรื่อยๆ

คิวอีดี

คุณสมบัติ 6 (กฎของลอการิทึมของดีกรี) ลอการิทึมของเลขยกกำลังของจำนวนบวกใดๆ จะเท่ากับลอการิทึมของเลขนั้นคูณด้วยเลขยกกำลัง

การพิสูจน์. เราเขียนรหัสประจำตัวหลัก (26.1) อีกครั้งสำหรับหมายเลข :

คิวอีดี

ผลที่ตามมา ลอการิทึมของรากของจำนวนบวกจะเท่ากับลอการิทึมของจำนวนรากหารด้วยเลขชี้กำลังของราก:

เราสามารถพิสูจน์ความถูกต้องของข้อพิสูจน์นี้ได้โดยการนำเสนอวิธีการและการใช้คุณสมบัติ 6

ตัวอย่างที่ 4 ลอการิทึมฐาน a:

ก) (สันนิษฐานว่าค่า b, c, d, e ทั้งหมดเป็นค่าบวก);

b) (สันนิษฐานว่า ).

วิธีแก้ปัญหา a) สะดวกในการส่งนิพจน์นี้ไปยังพลังเศษส่วน:

จากความเท่าเทียมกัน (26.5)-(26.7) ตอนนี้เราสามารถเขียน:

เราสังเกตเห็นว่ามีการดำเนินการที่ง่ายกว่าบนลอการิทึมของตัวเลขมากกว่าตัวตัวเลข: เมื่อคูณตัวเลข ลอการิทึมของพวกมันจะถูกบวก เมื่อหาร พวกมันจะถูกลบ ฯลฯ

นั่นคือเหตุผลที่มีการใช้ลอการิทึมในการฝึกคำนวณ (ดูข้อ 29)

การกระทำที่ผกผันกับลอการิทึมเรียกว่าโพเทนชิเอชัน กล่าวคือ: โพเทนชิเอชันคือการกระทำที่ตัวเลขนี้ถูกพบโดยลอการิทึมที่กำหนดของตัวเลข โดยพื้นฐานแล้ว potentiation ไม่ใช่การกระทำพิเศษใด ๆ มันมาจากการเพิ่มฐานเป็นกำลัง (เท่ากับลอการิทึมของตัวเลข) คำว่า "potentiation" นั้นมีความหมายเหมือนกันกับคำว่า "exponentiation"

เมื่อโพเทนเชียลจำเป็นต้องใช้กฎที่ตรงกันข้ามกับกฎของลอการิทึม: แทนที่ผลรวมของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลิตภัณฑ์, ความแตกต่างของลอการิทึมกับลอการิทึมของผลหาร ฯลฯ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ามี ปัจจัยใด ๆ ที่ด้านหน้าของเครื่องหมายของลอการิทึม จากนั้นในระหว่างการเพิ่มค่าจะต้องถ่ายโอนไปยังองศาตัวบ่งชี้ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 5 ค้นหา N หากทราบ

วิธีการแก้. ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับกฎโพเทนเชียลที่ระบุไว้ ปัจจัย 2/3 และ 1/3 ซึ่งอยู่หน้าเครื่องหมายของลอการิทึมทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ จะถูกโอนไปยังเลขชี้กำลังภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมเหล่านี้ เราได้รับ

ตอนนี้เราแทนที่ความแตกต่างของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลหาร:

เพื่อให้ได้เศษส่วนสุดท้ายในห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียมกันนี้ เราได้แยกเศษส่วนก่อนหน้าออกจากความไม่มีเหตุผลในตัวส่วน (มาตรา 25)

คุณสมบัติ 7. ถ้าฐานมากกว่าหนึ่ง จำนวนที่มากกว่าจะมีค่าลอการิทึมที่มากกว่า (และค่าที่น้อยกว่าจะมีค่าที่เล็กกว่า) ถ้าฐานมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง จำนวนที่มากกว่าจะมีค่าลอการิทึมที่น้อยกว่า (และค่าที่น้อยกว่า อันหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า)

คุณสมบัตินี้ยังกำหนดเป็นกฎสำหรับลอการิทึมของอสมการ ซึ่งทั้งสองส่วนเป็นค่าบวก:

เมื่อใช้ลอการิทึมของอสมการที่มีฐานมากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะถูกรักษาไว้ และเมื่อนำลอการิทึมที่มีฐานน้อยกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะกลับกัน (ดูข้อ 80)

การพิสูจน์เป็นไปตามคุณสมบัติ 5 และ 3 พิจารณากรณีที่ ถ้า แล้ว และ รับลอการิทึม เราได้รับ

(a และ N/M อยู่ด้านเดียวกันของความสามัคคี) จากที่นี่

กรณีต่อไปนี้ผู้อ่านจะคิดออกเอง

ลอการิทึมคืออะไร?

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในภาคพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ลอการิทึมคืออะไร? จะแก้ลอการิทึมได้อย่างไร? คำถามเหล่านี้สร้างความสับสนให้กับบัณฑิตจำนวนมาก ตามเนื้อผ้า หัวข้อลอการิทึมถือว่าซับซ้อน เข้าใจยาก และน่ากลัว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง - สมการกับลอการิทึม

สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงอย่างแน่นอน อย่างแน่นอน! ไม่เชื่อ? ดี. ตอนนี้ ประมาณ 10 - 20 นาที คุณ:

1. ทำความเข้าใจ ลอการิทึมคืออะไร.

2. เรียนรู้การแก้ปัญหาทั้งชั้นเรียน สมการเลขชี้กำลัง. แม้ว่าคุณจะไม่เคยได้ยินพวกเขา

3. เรียนรู้การคำนวณลอการิทึมอย่างง่าย

ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับสิ่งนี้ คุณจะต้องรู้ตารางการคูณเท่านั้น และวิธีเพิ่มจำนวนเป็นเลขยกกำลัง ...

ฉันรู้สึกว่าคุณสงสัย ... เอาล่ะรักษาเวลา! ไป!

ขั้นแรก แก้สมการต่อไปนี้ในใจของคุณ:

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

อย่างที่คุณทราบ เมื่อนำนิพจน์ยกกำลังมาคูณกัน เลขยกกำลังจะรวมกันเสมอ (a b * a c = a b + c) กฎทางคณิตศาสตร์นี้ได้รับมาจากอาร์คิมิดีส และต่อมาในศตวรรษที่ 8 นักคณิตศาสตร์วิระเสนได้สร้างตารางตัวบ่งชี้จำนวนเต็ม พวกเขาเป็นผู้ที่ทำหน้าที่ค้นพบลอการิทึมเพิ่มเติม ตัวอย่างของการใช้ฟังก์ชันนี้พบได้เกือบทุกที่ที่ต้องการลดความซับซ้อนของการคูณที่ยุ่งยากให้เป็นการบวกอย่างง่าย หากคุณใช้เวลา 10 นาทีในการอ่านบทความนี้ เราจะอธิบายให้คุณทราบว่าลอการิทึมคืออะไรและจะใช้งานอย่างไร ภาษาที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้

ความหมายในคณิตศาสตร์

ลอการิทึมเป็นนิพจน์ในรูปแบบต่อไปนี้: log a b=c นั่นคือ ลอการิทึมของจำนวนใดๆ ที่ไม่เป็นลบ (นั่นคือค่าบวกใดๆ) "b" ตามฐาน "a" ถือเป็นกำลังของ "c " ซึ่งจำเป็นต้องเพิ่มฐาน "a" เพื่อให้ได้ค่า "b" ในท้ายที่สุด ลองวิเคราะห์ลอการิทึมโดยใช้ตัวอย่าง สมมติว่ามีนิพจน์ล็อก 2 8. จะหาคำตอบได้อย่างไร? มันง่ายมาก คุณต้องหาระดับที่ตั้งแต่ 2 ถึงระดับที่ต้องการ คุณจะได้ 8 หลังจากคำนวณในใจแล้ว เราก็ได้เลข 3! และถูกต้อง เพราะ 2 ยกกำลัง 3 ให้เลข 8 ในคำตอบ

ความหลากหลายของลอการิทึม

สำหรับนักเรียนและนักเรียนหลายคน หัวข้อนี้ดูซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่ในความเป็นจริง ลอการิทึมไม่ได้น่ากลัวนัก สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจความหมายทั่วไปและจดจำคุณสมบัติและกฎบางอย่าง มีสาม บางประเภทนิพจน์ลอการิทึม:

1. ลอการิทึมธรรมชาติ ln a โดยที่ฐานคือเลขออยเลอร์ (e = 2.7)
2. ทศนิยม a โดยที่ฐานคือ 10
3. ลอการิทึมของจำนวน b ใด ๆ กับฐาน a>1

แต่ละคนจะตัดสินใจ ด้วยวิธีมาตรฐานซึ่งรวมถึงการทำให้ง่าย การลดลง และการลดลงที่ตามมาเป็นลอการิทึมเดียวโดยใช้ทฤษฎีบทลอการิทึม เพื่อให้ได้ค่าลอการิทึมที่ถูกต้องเราควรจดจำคุณสมบัติและลำดับของการกระทำในการตัดสินใจ

กฎและข้อจำกัดบางประการ

ในวิชาคณิตศาสตร์ มีกฎ-ข้อจำกัดหลายข้อที่ยอมรับได้ว่าเป็นสัจพจน์ กล่าวคือ กฎเหล่านี้ไม่ได้อยู่ภายใต้การอภิปรายและเป็นความจริง ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะหารตัวเลขด้วยศูนย์ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากของระดับเลขคู่ออกจากจำนวนลบ ลอการิทึมยังมีกฎของตัวเอง ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้วิธีการทำงานได้อย่างง่ายดาย แม้จะมีนิพจน์ลอการิทึมที่ยาวและกว้างขวาง:

• ฐาน "a" จะต้องมากกว่าศูนย์เสมอและในเวลาเดียวกันต้องไม่เท่ากับ 1 มิฉะนั้นนิพจน์จะสูญเสียความหมายเนื่องจาก "1" และ "0" ในระดับใด ๆ จะเท่ากับค่าของมันเสมอ
• ถ้า a > 0 แล้ว a b > 0 แสดงว่า "c" ต้องมากกว่าศูนย์

จะแก้ลอการิทึมได้อย่างไร?

ตัวอย่างเช่น งานได้รับมอบหมายให้หาคำตอบของสมการ 10 x \u003d 100 มันง่ายมาก คุณต้องเลือกกำลังดังกล่าวโดยเพิ่มจำนวนสิบที่เราได้ 100 แน่นอนว่านี่คือ 10 2 \u003d 100.

ทีนี้ลองแสดงนิพจน์นี้เป็นลอการิทึม เราได้รับล็อก 10 100 = 2 เมื่อแก้ลอการิทึม การดำเนินการทั้งหมดจะบรรจบกันเพื่อหาระดับที่ต้องป้อนฐานของลอการิทึมเพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด

ในการระบุค่าขององศาที่ไม่รู้จักอย่างแม่นยำ คุณต้องเรียนรู้วิธีการทำงานกับตารางองศา ดูเหมือนว่า:

อย่างที่คุณเห็น เลขชี้กำลังบางตัวสามารถเดาได้โดยสัญชาตญาณหากคุณมีความคิดเชิงเทคนิคและความรู้เกี่ยวกับสูตรคูณ อย่างไรก็ตามสำหรับ ค่ามากคุณต้องมีตารางองศา สามารถใช้ได้แม้กระทั่งผู้ที่ไม่เข้าใจอะไรเลยในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน คอลัมน์ด้านซ้ายประกอบด้วยตัวเลข (ฐาน a) แถวบนสุดของตัวเลขคือค่าของเลขยกกำลัง c ซึ่งตัวเลข a จะถูกยกขึ้น ที่จุดตัดในเซลล์จะมีการกำหนดค่าของตัวเลขซึ่งเป็นคำตอบ (a c =b) ตัวอย่างเช่น เซลล์แรกสุดที่มีเลข 10 และยกกำลังสอง เราจะได้ค่า 100 ซึ่งระบุที่จุดตัดของสองเซลล์ ทุกอย่างเรียบง่ายและง่ายดายจนแม้แต่นักมนุษยนิยมที่แท้จริงที่สุดก็ยังเข้าใจ!

สมการและอสมการ

ปรากฎว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ เลขชี้กำลังคือลอการิทึม ดังนั้น นิพจน์ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ใดๆ จึงสามารถเขียนเป็นสมการลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น สามารถเขียน 3 4 =81 เป็นลอการิทึมของ 81 ถึงฐาน 3 ซึ่งเป็นสี่ (บันทึก 3 81 = 4) สำหรับพลังลบ กฎจะเหมือนกัน: 2 -5 = 1/32 เราเขียนเป็นลอการิทึม เราจะได้ล็อก 2 (1/32) = -5 หนึ่งในส่วนที่น่าสนใจที่สุดของคณิตศาสตร์คือหัวข้อของ "ลอการิทึม" เราจะพิจารณาตัวอย่างและคำตอบของสมการที่ลดลงเล็กน้อยทันทีหลังจากศึกษาคุณสมบัติของสมการ ทีนี้มาดูว่าอสมการมีลักษณะอย่างไรและจะแยกมันออกจากสมการได้อย่างไร

นิพจน์ของแบบฟอร์มต่อไปนี้จะได้รับ: log 2 (x-1) > 3 - เป็นอสมการลอการิทึม เนื่องจากค่าที่ไม่รู้จัก "x" อยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม และในนิพจน์จะเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณ: ลอการิทึมของจำนวนที่ต้องการในฐานสองนั้นมากกว่าเลขสาม

ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างสมการลอการิทึมและอสมการคือสมการที่มีลอการิทึม (เช่น ลอการิทึมของ 2 x = √9) หมายถึงค่าตัวเลขเฉพาะหนึ่งค่าหรือมากกว่าในคำตอบ ในขณะที่เมื่อแก้อสมการ ทั้งช่วงของ ค่าที่ยอมรับได้และจุดที่ทำลายฟังก์ชันนี้ ผลที่ตามมา คำตอบจึงไม่ใช่ชุดของตัวเลขเดี่ยวๆ อย่างในคำตอบของสมการ แต่เป็นชุดต่อเนื่องหรือชุดของตัวเลข

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม

เมื่อแก้ไขงานดั้งเดิมในการค้นหาค่าของลอการิทึม คุณสมบัติอาจไม่เป็นที่รู้จัก อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงสมการลอการิทึมหรืออสมการ ก่อนอื่นจำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนและนำไปใช้ในทางปฏิบัติเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของลอการิทึม เราจะทำความคุ้นเคยกับตัวอย่างสมการในภายหลัง ขั้นแรกให้วิเคราะห์แต่ละคุณสมบัติโดยละเอียด

1. ข้อมูลประจำตัวพื้นฐานมีลักษณะดังนี้: a logaB = B ใช้เฉพาะเมื่อ a มากกว่า 0 ไม่เท่ากับ 1 และ B มากกว่าศูนย์
2. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้ในสูตรต่อไปนี้: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2 ในกรณีนี้ ข้อกำหนดเบื้องต้นคือ: d, s 1 และ s 2 > 0; ก≠1 คุณสามารถพิสูจน์สูตรลอการิทึมนี้พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา ให้ล็อก a s 1 = f 1 และล็อก a s 2 = f 2 แล้ว a f1 = s 1 , a f2 = s 2 เราได้ว่า s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (คุณสมบัติระดับ ) และนิยามเพิ่มเติม: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ซึ่งจะต้องพิสูจน์
3. ลอการิทึมของผลหารมีลักษณะดังนี้: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2
4. ทฤษฎีบทในรูปแบบของสูตรใช้รูปแบบต่อไปนี้: log a q b n = n/q log a b

สูตรนี้เรียกว่า "คุณสมบัติของดีกรีของลอการิทึม" มันคล้ายกับคุณสมบัติขององศาธรรมดา และไม่น่าแปลกใจเพราะคณิตศาสตร์ทั้งหมดวางอยู่บนสมมุติฐานปกติ มาดูหลักฐานกันเลย

ให้บันทึก a b \u003d t ปรากฎว่า a t \u003d b หากคุณยกกำลังทั้งสองส่วน m: a tn = b n ;

แต่เนื่องจาก a tn = (a q) nt/q = b n ดังนั้น log a q b n = (n*t)/t จากนั้น log a q b n = n/q log a b ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างปัญหาและอสมการ

ประเภทของปัญหาลอการิทึมที่พบบ่อยที่สุดคือตัวอย่างสมการและอสมการ พบได้ในหนังสือปัญหาเกือบทั้งหมดและยังรวมอยู่ในส่วนบังคับของการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยหรือสอบผ่าน การสอบเข้าในวิชาคณิตศาสตร์คุณจำเป็นต้องรู้วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง

น่าเสียดายที่แผนเดียวหรือแผนเดียวในการจัดการและกำหนด ค่าที่ไม่รู้จักไม่มีลอการิทึม อย่างไรก็ตาม สามารถใช้กฎบางอย่างกับอสมการทางคณิตศาสตร์หรือสมการลอการิทึมได้ ก่อนอื่น คุณควรค้นหาว่านิพจน์สามารถทำให้ง่ายขึ้นหรือลดลงเป็น ปริทัศน์. คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ลอการิทึมแบบยาวได้หากคุณใช้คุณสมบัติอย่างถูกต้อง มาทำความรู้จักกับพวกเขากันเร็ว ๆ นี้

เมื่อตัดสินใจ สมการลอการิทึมจำเป็นต้องพิจารณาว่าเรามีลอการิทึมชนิดใดอยู่ก่อนเรา: ตัวอย่างของนิพจน์อาจมีลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม

นี่คือตัวอย่าง ln100, ln1026 วิธีแก้ปัญหาของพวกเขาคือความจริงที่ว่าคุณต้องกำหนดระดับที่ฐาน 10 จะเท่ากับ 100 และ 1,026 ตามลำดับ สำหรับแนวทางแก้ไข ลอการิทึมธรรมชาติต้องใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมหรือคุณสมบัติของพวกเขา ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาลอการิทึมประเภทต่างๆ

วิธีใช้สูตรลอการิทึม: พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

มาดูตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทหลักเกี่ยวกับลอการิทึมกัน

1. คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถใช้ในงานที่จำเป็นต้องขยาย ความสำคัญอย่างยิ่งจำนวน b เป็นตัวประกอบที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 4 + บันทึก 2 128 = บันทึก 2 (4*128) = บันทึก 2 512 คำตอบคือ 9
2. บันทึก 4 8 = บันทึก 2 2 2 3 = 3/2 บันทึก 2 2 = 1.5 - อย่างที่คุณเห็นโดยใช้คุณสมบัติที่สี่ของระดับของลอการิทึมเราสามารถแก้ไขนิพจน์ที่ซับซ้อนและแก้ไม่ได้ได้ในแวบแรก จำเป็นต้องแยกตัวประกอบฐานแล้วนำค่าเลขยกกำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึม

งานจากการสอบ

ลอการิทึมมักพบในการสอบเข้า โดยเฉพาะปัญหาลอการิทึมจำนวนมากในการสอบ Unified State (การสอบของรัฐสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนทั้งหมด) โดยปกติงานเหล่านี้ไม่ได้มีอยู่เฉพาะในส่วน A (ที่ง่ายที่สุด ส่วนการทดสอบการสอบ) แต่ยังอยู่ในส่วน C (งานที่ยากและใหญ่โตที่สุด) การสอบแสดงถึงความรู้ที่ถูกต้องและสมบูรณ์แบบในหัวข้อ "ลอการิทึมธรรมชาติ"

ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหานำมาจากทางการ ใช้ตัวเลือก. มาดูกันว่างานดังกล่าวได้รับการแก้ไขอย่างไร

รับบันทึก 2 (2x-1) = 4 วิธีแก้ปัญหา:
ลองเขียนนิพจน์ใหม่โดยทำให้มันง่ายขึ้นเล็กน้อย log 2 (2x-1) = 2 2 , โดยนิยามของลอการิทึมเราจะได้ว่า 2x-1 = 2 4 ดังนั้น 2x = 17; x = 8.5

• ลอการิทึมทั้งหมดจะลดขนาดลงเป็นฐานเดียวกันได้ดีที่สุด เพื่อไม่ให้คำตอบยุ่งยากและสับสน
• นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมจะถูกระบุว่าเป็นค่าบวก ดังนั้น เมื่อนำเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลังของนิพจน์ซึ่งอยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมและเป็นฐานออก นิพจน์ที่เหลืออยู่ภายใต้ลอการิทึมจะต้องเป็นค่าบวก

ดังนั้นเราจึงมีกำลังสอง หากคุณใช้ตัวเลขจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณต้องยกกำลังสองเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ 16 คุณต้องยกกำลังสองเป็นสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องยกกำลังสองยกกำลังหก สามารถดูได้จากตาราง

และตอนนี้ - ในความเป็นจริงคำจำกัดความของลอการิทึม:

ลอการิทึมของฐาน a ของอาร์กิวเมนต์ x คือกำลังที่ต้องยกกำลัง a เพื่อให้ได้จำนวน x

สัญลักษณ์: บันทึก a x \u003d b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือสิ่งที่ลอการิทึมเท่ากับ

ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ ล็อก 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เนื่องจาก 2 3 = 8) อาจเป็นบันทึก 2 64 = 6 เพราะ 2 6 = 64

การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขไปยังฐานที่กำหนดเรียกว่าลอการิทึม ลองเพิ่มแถวใหม่ในตารางของเรา:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
บันทึก 2 2 = 1	บันทึก 2 4 = 2	บันทึก 2 8 = 3	บันทึก 2 16 = 4	บันทึก 2 32 = 5	บันทึก 2 64 = 6

น่าเสียดายที่ไม่ใช่ว่าลอการิทึมทั้งหมดจะพิจารณาได้ง่าย เช่น ลองค้นหา log 2 5 เลข 5 ไม่ได้อยู่ในตาราง แต่ตรรกะบอกว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ใดที่หนึ่งในเซ็กเมนต์ เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ: ตัวเลขหลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้เรื่อย ๆ และจะไม่เกิดซ้ำ หากลอการิทึมกลายเป็นอตรรกยะ จะดีกว่าถ้าปล่อยไว้แบบนี้: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัว (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรกหลายคนสับสนว่าฐานอยู่ที่ไหนและอาร์กิวเมนต์อยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ ลองดูรูปภาพ:

ก่อนหน้าเราไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือพลังซึ่งคุณต้องยกฐานเพื่อรับข้อโต้แย้ง เป็นฐานที่ยกกำลัง - ในภาพจะเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ที่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้กับนักเรียนในบทเรียนแรก และไม่มีความสับสน

เราพบคำจำกัดความ - ยังคงต้องเรียนรู้วิธีนับลอการิทึมเช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" ในการเริ่มต้น เราทราบว่ามีข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามมาจากคำนิยาม:

1. อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของระดับโดยเลขยกกำลังตรรกยะ ซึ่งนิยามของลอการิทึมจะลดลง
2. ฐานจะต้องแตกต่างจากความสามัคคีเนื่องจากหน่วยต่ออำนาจใด ๆ ยังคงเป็นหน่วย ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า "ต้องยกกำลังใดจึงจะได้สอง" จึงไม่มีความหมาย ไม่มีปริญญา!

ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ช่วงที่ถูกต้อง(อพดซ). ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1

โปรดทราบว่าไม่มีการจำกัดจำนวน b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นค่าลบ: log 2 0.5 \u003d -1 เนื่องจาก 0.5 = 2 −1 .

อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณานิพจน์ที่เป็นตัวเลขเท่านั้น โดยที่ไม่จำเป็นต้องรู้ ODZ ของลอการิทึม คอมไพเลอร์ของปัญหาได้คำนึงถึงข้อ จำกัด ทั้งหมดแล้ว แต่เมื่อสมการลอการิทึมและอสมการเข้ามามีบทบาท ข้อกำหนด DHS จะกลายเป็นข้อบังคับ แท้จริงแล้วในพื้นฐานและการโต้แย้งอาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมาก ซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น

พิจารณาโครงร่างทั่วไปสำหรับการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

1. แสดงฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นเลขยกกำลังที่มีฐานที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งฐาน ระหว่างทางควรกำจัดเศษส่วนทศนิยม
2. แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
3. ผลลัพธ์ของหมายเลข b จะเป็นคำตอบ

นั่นคือทั้งหมด! หากลอการิทึมกลายเป็นอตรรกยะ สิ่งนี้จะถูกเห็นในขั้นตอนแรกแล้ว ข้อกำหนดที่ฐานมากกว่าหนึ่งมีความเกี่ยวข้องมาก: สิ่งนี้ช่วยลดโอกาสเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก คล้ายกับ ทศนิยม: หากคุณแปลเป็นภาษาธรรมดาทันทีจะมีข้อผิดพลาดน้อยลงหลายเท่า

มาดูกันว่าโครงร่างนี้ทำงานอย่างไรกับตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 5 25

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

มาสร้างและแก้สมการกันเถอะ:
บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. ได้รับคำตอบ: 2.

งาน. คำนวณลอการิทึม:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 4 64

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. มาสร้างและแก้สมการกันเถอะ:
   บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. ได้รับคำตอบ: 3.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. มาสร้างและแก้สมการกันเถอะ:
   บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. ได้รับการตอบกลับ: 0.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 7 14

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่ได้แสดงเป็นยกกำลังของเจ็ด เพราะ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. ต่อจากย่อหน้าก่อนหน้านี้ว่าไม่มีการพิจารณาลอการิทึม
3. คำตอบคือไม่เปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14

หมายเหตุเล็กน้อยในตัวอย่างสุดท้าย จะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขไม่ใช่เลขยกกำลังที่แน่นอน ง่ายมาก - เพียงแค่แยกย่อยมันเป็นปัจจัยสำคัญ หากมีตัวประกอบที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองตัวในการขยาย ตัวเลขนั้นไม่ใช่เลขยกกำลังที่แน่นอน

งาน. ค้นหาว่าพลังของตัวเลขคือ: 8; 48; 81; 35; สิบสี่

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ระดับที่แน่นอนเพราะ มีตัวคูณเดียวเท่านั้น
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ไม่ใช่เลขยกกำลังที่แน่นอนเพราะมีตัวประกอบสองตัว: 3 และ 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ระดับที่แน่นอน;
35 = 7 5 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง
14 \u003d 7 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง

โปรดทราบว่าจำนวนเฉพาะนั้นเป็นพลังที่แน่นอนของตัวมันเองเสมอ

ลอการิทึมทศนิยม

ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและการกำหนดพิเศษ

ลอการิทึมทศนิยมของอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมฐาน 10 นั่นคือ พลังที่คุณต้องยกเลข 10 เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: lg x .

ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; บันทึก 100 = 2; lg 1,000 = 3 - เป็นต้น

จากนี้ไป เมื่อมีวลีเช่น “ค้นหา lg 0.01” ปรากฏในหนังสือเรียน โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่คุ้นเคยกับการกำหนดดังกล่าว คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
ล็อก x = ล็อก 10 x

ทุกสิ่งที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับทศนิยมเช่นกัน

ลอการิทึมธรรมชาติ

มีลอการิทึมอื่นที่มีสัญกรณ์ของตัวเอง เรียกได้ว่ามีความสำคัญมากกว่าทศนิยมเสียอีก นี่คือลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมธรรมชาติของ x คือลอการิทึมฐาน e นั่นคือ กำลังที่ต้องยกเลข e เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: ln x .

หลายคนจะถามว่า: หมายเลข e คืออะไร? นี่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนและเขียนลงไปได้ นี่เป็นเพียงตัวเลขแรก:
จ = 2.718281828459...

เราจะไม่เจาะลึกว่าหมายเลขนี้คืออะไรและทำไมจึงจำเป็น เพียงจำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก e x

ดังนั้น ln e = 1 ; บันทึก e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไป ลอการิทึมธรรมชาติใดๆ จำนวนตรรกยะไม่มีเหตุผล ยกเว้นความสามัคคี: ln 1 = 0

สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ กฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมสามัญนั้นถูกต้อง

ลอการิทึม เช่นเดียวกับตัวเลขใดๆ สามารถเพิ่ม ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดา จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติพื้นฐาน.

ต้องทราบกฎเหล่านี้ - ไม่มีปัญหาลอการิทึมที่ร้ายแรงสามารถแก้ไขได้หากไม่มีกฎเหล่านี้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - ทุกอย่างสามารถเรียนรู้ได้ในหนึ่งวัน มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: log ก xและเข้าสู่ระบบ ก ย. จากนั้นจึงนำมาบวกลบกันได้ และ

1. บันทึก ก x+ บันทึก ก ย= บันทึก ก (x · ย);
2. บันทึก ก x−log ก ย= บันทึก ก (x : ย).

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมจะเท่ากับลอการิทึมของผลคูณ และผลต่างคือลอการิทึมของผลหาร บันทึก: ช่วงเวลาสำคัญที่นี่ - เหตุเดียวกัน. หากฐานแตกต่างกัน กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณ นิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่มีการพิจารณาแต่ละส่วนของมันก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:

บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9.

เนื่องจากฐานของลอการิทึมเหมือนกัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 2 48 − log 2 3

ฐานเหมือนกัน เราใช้สูตรความแตกต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 − log 3 5.

อีกครั้ง ฐานเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงมี:
ล็อก 3 135 − ล็อก 3 5 = ล็อก 3 (135: 5) = ล็อก 3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้แยกพิจารณาต่างหาก แต่หลังจากการแปลงตัวเลขค่อนข้างปกติ จากข้อเท็จจริงนี้หลายคน เอกสารการทดสอบ. ใช่ การควบคุม - การแสดงออกที่คล้ายกันในทุกความจริงจัง (บางครั้ง - โดยแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลง) มีให้ในการสอบ

การลบเลขยกกำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้มาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย เกิดอะไรขึ้นถ้ามีระดับฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

มันง่ายที่จะเห็นว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่จะดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอน กฎทั้งหมดเหล่านี้สมเหตุสมผลหากสังเกตลอการิทึม ODZ: ก > 0, ก ≠ 1, x> 0 และอีกสิ่งหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมด ไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ในทางกลับกันด้วย เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขหน้าเครื่องหมายของลอการิทึมลงในลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่ต้องการบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6

มากำจัดระดับในการโต้แย้งตามสูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

[คำบรรยายภาพ]

โปรดทราบว่าตัวส่วนเป็นลอการิทึมที่มีฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นเลขยกกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 72. เรามี:

[คำบรรยายภาพ]

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องการคำชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้าย เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น พวกเขานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่ยืนอยู่ตรงนั้นในรูปแบบขององศาและนำตัวบ่งชี้ออกมา - พวกเขาได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีตัวเลขเดียวกัน: บันทึก 2 7 เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

เปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้กับฐานเดียวกันเท่านั้น แล้วถ้าฐานต่างกันล่ะ? เกิดอะไรขึ้นถ้าไม่ใช่พลังที่แน่นอนของจำนวนเดียวกัน

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่มาช่วย เรากำหนดในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ให้ลอการิทึมเข้าสู่ระบบ ก x. จากนั้นสำหรับหมายเลขใดๆ คดังนั้น ค> 0 และ ค≠ 1 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

[คำบรรยายภาพ]

โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเราใส่ ค = x, เราได้รับ:

[คำบรรยายภาพ]

ตามมาจากสูตรที่สองที่เป็นไปได้ที่จะแลกเปลี่ยนฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" นั่นคือ ลอการิทึมอยู่ในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป เป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการ

อย่างไรก็ตาม มีงานที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายไปยังรากฐานใหม่ ลองพิจารณาสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 5 16 log 2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองเป็นเลขยกกำลังที่แน่นอน มาดูตัวชี้วัดกัน: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2 บันทึก 2 5;

ทีนี้ลองพลิกลอการิทึมที่สอง:

[คำบรรยายภาพ]

เนื่องจากผลิตภัณฑ์ไม่เปลี่ยนแปลงจากการเรียงสับเปลี่ยนของปัจจัย เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น แล้วจึงหาลอการิทึม

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 9 100 lg 3.

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมตัวแรกเป็นเลขยกกำลัง ลองเขียนและกำจัดตัวบ่งชี้:

[คำบรรยายภาพ]

ตอนนี้มากำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยย้ายไปยังฐานใหม่:

[คำบรรยายภาพ]

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหาจำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้ สูตรจะช่วยเรา:

ในกรณีแรกหมายเลข นกลายเป็นตัวแสดงของการโต้แย้ง ตัวเลข นจะเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นแค่ค่าของลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความได้ เรียกว่าเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวเลข ขยกกำลังให้เป็นอย่างนั้น ขในระดับนี้ให้ตัวเลข ก? ถูกต้อง: นี่คือหมายเลขเดียวกัน ก. อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง - หลายคน "ค้าง" กับมัน

เช่นเดียวกับสูตรการแปลงฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นทางออกเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

[คำบรรยายภาพ]

โปรดทราบว่าล็อก 25 64 = บันทึก 5 8 - เพิ่งนำกำลังสองออกจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม จากกฎสำหรับการคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:

[คำบรรยายภาพ]

หากใครไม่ทราบนี่เป็นงานจริงจากการสอบ :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้ข้อมูลประจำตัวสองอย่างที่ยากต่อการเรียกคุณสมบัติ - แต่สิ่งเหล่านี้เป็นผลมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกเขาพบปัญหาอยู่ตลอดเวลาและสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อย่างน่าประหลาดใจ

1. บันทึก ก ก= 1 คือหน่วยลอการิทึม จำไว้ครั้งแล้วครั้งเล่า: ลอการิทึมของฐานใดๆ กจากฐานนี้เองเท่ากับหนึ่ง
2. บันทึก ก 1 = 0 เป็นศูนย์ลอการิทึม ฐาน กจะเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์เป็นหนึ่ง ลอการิทึมจะเป็นศูนย์! เพราะ ก 0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารแนะนำที่จุดเริ่มต้นของบทเรียน พิมพ์ออกมาและแก้ปัญหา