ดังนั้นเราจึงมีกำลังสอง หากคุณใช้ตัวเลขจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณต้องยกกำลังสองเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ 16 คุณต้องยกกำลังสองเป็นสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องยกกำลังสองยกกำลังหก สามารถดูได้จากตาราง

และตอนนี้ - ในความเป็นจริงคำจำกัดความของลอการิทึม:

ลอการิทึมของฐาน a ของอาร์กิวเมนต์ x คือกำลังที่ต้องยกกำลัง a เพื่อให้ได้จำนวน x

สัญลักษณ์: บันทึก a x \u003d b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือสิ่งที่ลอการิทึมเท่ากับ

ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ ล็อก 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เนื่องจาก 2 3 = 8) อาจเป็นบันทึก 2 64 = 6 เพราะ 2 6 = 64

การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขไปยังฐานที่กำหนดเรียกว่าลอการิทึม ลองเพิ่มแถวใหม่ในตารางของเรา:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
บันทึก 2 2 = 1	บันทึก 2 4 = 2	บันทึก 2 8 = 3	บันทึก 2 16 = 4	บันทึก 2 32 = 5	บันทึก 2 64 = 6

น่าเสียดายที่ไม่ใช่ว่าลอการิทึมทั้งหมดจะพิจารณาได้ง่าย เช่น ลองค้นหา log 2 5 เลข 5 ไม่ได้อยู่ในตาราง แต่ตรรกะบอกว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ใดที่หนึ่งในเซ็กเมนต์ เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ: ตัวเลขหลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้เรื่อย ๆ และจะไม่เกิดซ้ำ หากลอการิทึมกลายเป็นอตรรกยะ จะดีกว่าถ้าปล่อยไว้แบบนี้: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัว (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรกหลายคนสับสนว่าฐานอยู่ที่ไหนและอาร์กิวเมนต์อยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ ลองดูรูปภาพ:

ก่อนหน้าเราไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือพลังซึ่งคุณต้องยกฐานเพื่อรับข้อโต้แย้ง เป็นฐานที่ยกกำลัง - ในภาพจะเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ที่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้กับนักเรียนในบทเรียนแรก และไม่มีความสับสน

เราพบคำจำกัดความ - ยังคงต้องเรียนรู้วิธีนับลอการิทึมเช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" ในการเริ่มต้น เราทราบว่ามีข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามมาจากคำนิยาม:

1. อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของระดับโดยเลขยกกำลังตรรกยะ ซึ่งนิยามของลอการิทึมจะลดลง
2. ฐานจะต้องแตกต่างจากความสามัคคีเนื่องจากหน่วยต่ออำนาจใด ๆ ยังคงเป็นหน่วย ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า "ต้องยกกำลังใดจึงจะได้สอง" จึงไม่มีความหมาย ไม่มีปริญญา!

ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ช่วงที่ถูกต้อง(อพดซ). ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1

โปรดทราบว่าไม่มีการจำกัดจำนวน b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นค่าลบ: log 2 0.5 \u003d -1 เนื่องจาก 0.5 = 2 −1 .

อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาอยู่เท่านั้น นิพจน์ตัวเลขโดยที่ไม่จำเป็นต้องรู้ ODZ ของลอการิทึม คอมไพเลอร์ของปัญหาได้คำนึงถึงข้อ จำกัด ทั้งหมดแล้ว แต่เมื่อพวกเขาไป สมการลอการิทึมและความไม่เท่าเทียมกัน ข้อกำหนด DHS จะกลายเป็นข้อบังคับ แท้จริงแล้วในพื้นฐานและการโต้แย้งอาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมาก ซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น

พิจารณาโครงร่างทั่วไปสำหรับการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

1. แสดงฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นเลขยกกำลังที่มีฐานที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งฐาน ระหว่างทางควรกำจัดเศษส่วนทศนิยม
2. แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
3. ผลลัพธ์ของหมายเลข b จะเป็นคำตอบ

นั่นคือทั้งหมด! หากลอการิทึมกลายเป็นอตรรกยะ สิ่งนี้จะถูกเห็นในขั้นตอนแรกแล้ว ข้อกำหนดที่ฐานมากกว่าหนึ่งมีความเกี่ยวข้องมาก: สิ่งนี้ช่วยลดโอกาสเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก คล้ายกับ ทศนิยม: หากคุณแปลเป็นภาษาธรรมดาทันทีจะมีข้อผิดพลาดน้อยลงหลายเท่า

มาดูกันว่าโครงร่างนี้ทำงานอย่างไรกับตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 5 25

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

มาสร้างและแก้สมการกันเถอะ:
บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. ได้รับคำตอบ: 2.

งาน. คำนวณลอการิทึม:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 4 64

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. มาสร้างและแก้สมการกันเถอะ:
   บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. ได้รับคำตอบ: 3.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. มาสร้างและแก้สมการกันเถอะ:
   บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. ได้รับการตอบกลับ: 0.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 7 14

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่ได้แสดงเป็นยกกำลังของเจ็ด เพราะ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. ต่อจากย่อหน้าก่อนหน้านี้ว่าไม่มีการพิจารณาลอการิทึม
3. คำตอบคือไม่เปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14

หมายเหตุเล็กน้อยในตัวอย่างสุดท้าย จะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขไม่ใช่เลขยกกำลังที่แน่นอน ง่ายมาก - เพียงแค่แยกย่อยมันเป็นปัจจัยสำคัญ หากมีตัวประกอบที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองตัวในการขยาย ตัวเลขนั้นไม่ใช่เลขยกกำลังที่แน่นอน

งาน. ค้นหาว่าพลังของตัวเลขคือ: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ระดับที่แน่นอนเพราะ มีตัวคูณเดียวเท่านั้น
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ไม่ใช่เลขยกกำลังที่แน่นอนเพราะมีตัวประกอบสองตัว: 3 และ 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ระดับที่แน่นอน;
35 = 7 5 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง
14 \u003d 7 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง

โปรดทราบว่าจำนวนเฉพาะนั้นเป็นพลังที่แน่นอนของตัวมันเองเสมอ

ลอการิทึมทศนิยม

ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและการกำหนดพิเศษ

ลอการิทึมทศนิยมของอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมฐาน 10 นั่นคือ พลังที่คุณต้องยกเลข 10 เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: lg x .

ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; บันทึก 100 = 2; lg 1,000 = 3 - เป็นต้น

จากนี้ไป เมื่อมีวลีเช่น “ค้นหา lg 0.01” ปรากฏในหนังสือเรียน โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่คุ้นเคยกับการกำหนดดังกล่าว คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
ล็อก x = ล็อก 10 x

ทุกสิ่งที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับทศนิยมเช่นกัน

ลอการิทึมธรรมชาติ

มีลอการิทึมอื่นที่มีสัญกรณ์ของตัวเอง เรียกได้ว่ามีความสำคัญมากกว่าทศนิยมเสียอีก นี่คือลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมธรรมชาติของอาร์กิวเมนต์ x คือฐานล็อก e เช่น กำลังที่ต้องยกเลข e เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: ln x .

หลายคนจะถามว่า: หมายเลข e คืออะไร? นี่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนและเขียนลงไปได้ นี่เป็นเพียงตัวเลขแรก:
จ = 2.718281828459...

เราจะไม่เจาะลึกว่าหมายเลขนี้คืออะไรและทำไมจึงจำเป็น เพียงจำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก e x

ดังนั้น ln e = 1 ; บันทึก e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไป ลอการิทึมธรรมชาติใดๆ จำนวนตรรกยะไม่มีเหตุผล ยกเว้นความสามัคคี: ln 1 = 0

สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ กฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมสามัญนั้นถูกต้อง

ลอการิทึมธรรมชาติ

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ ฟังก์ชันเข้าใกล้อนันต์บวกอย่างช้าๆ เช่น xและเข้าใกล้อินฟินิตี้เชิงลบอย่างรวดเร็วเมื่อ xมีแนวโน้มที่จะเป็น 0 (“ช้า” และ “เร็ว” เมื่อเทียบกับค่าใดๆ ฟังก์ชั่นพลังงานจาก x).

ลอการิทึมธรรมชาติเป็นลอการิทึมฐาน , ที่ไหน อีเป็นค่าคงที่อตรรกยะเท่ากับประมาณ 2.718281 828 ลอการิทึมธรรมชาติมักจะแสดงเป็น ln( x), บันทึก อี (x) หรือบางครั้งก็แค่เข้าสู่ระบบ ( x) ถ้าฐาน อีโดยนัย

ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวน x(เขียนว่า บันทึก (x)) เป็นเลขชี้กำลังที่คุณต้องการเพิ่มตัวเลข อี, ที่จะได้รับ x. ตัวอย่างเช่น, ln(7,389...)เท่ากับ 2 เพราะ อี 2 =7,389... . ลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลขนั่นเอง อี (ln (จ)) เท่ากับ 1 เพราะ อี 1 = อีและลอการิทึมธรรมชาติ 1 ( บันทึก(1)) เป็น 0 เพราะ อี 0 = 1.

ลอการิทึมธรรมชาติสามารถกำหนดสำหรับจำนวนจริงบวกใดๆ กเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ย = 1/xจาก 1 ถึง ก. ความเรียบง่ายของคำจำกัดความนี้ ซึ่งสอดคล้องกับสูตรอื่นๆ มากมายที่ใช้ลอการิทึมธรรมชาติ ได้นำไปสู่ชื่อ "ธรรมชาติ" คำจำกัดความนี้สามารถขยายไปถึงจำนวนเชิงซ้อนซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง

หากเราถือว่าลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันจริงของตัวแปรจริง ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลจะนำไปสู่เอกลักษณ์:

เช่นเดียวกับลอการิทึมทั้งหมด ลอการิทึมธรรมชาติจับคู่การคูณกับการบวก:

ดังนั้น ฟังก์ชันลอการิทึมจึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึ่มของกลุ่มของจำนวนจริงบวกที่เกี่ยวข้องกับการคูณด้วยกลุ่มของจำนวนจริงด้วยการบวก ซึ่งสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันได้:

ลอการิทึมสามารถกำหนดสำหรับฐานบวกใดๆ ที่ไม่ใช่ 1 ไม่ใช่แค่เท่านั้น อีแต่ลอการิทึมสำหรับฐานอื่นแตกต่างจากลอการิทึมธรรมชาติโดยปัจจัยคงที่เท่านั้น และมักจะถูกกำหนดในรูปของลอการิทึมธรรมชาติ ลอการิทึมมีประโยชน์สำหรับการแก้สมการที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ทราบค่า ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมถูกใช้เพื่อค้นหาค่าคงที่การสลายตัวสำหรับครึ่งชีวิตที่ทราบ หรือเพื่อหาเวลาสลายตัวในการแก้ปัญหาของกัมมันตภาพรังสี พวกมันมีบทบาทสำคัญในหลาย ๆ ด้านของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ประยุกต์ ถูกนำมาใช้ในด้านการเงินเพื่อแก้ปัญหาต่าง ๆ รวมถึงการค้นหาดอกเบี้ยทบต้น

เรื่องราว

Nicholas Mercator กล่าวถึงลอการิทึมธรรมชาติเป็นครั้งแรกในงานของเขา ลอการิทึมโมเทคเนียซึ่งตีพิมพ์ในปี 1668 แม้ว่าครูสอนคณิตศาสตร์ John Spydell ได้รวบรวมตารางของลอการิทึมธรรมชาติย้อนกลับไปในปี 1619 ก่อนหน้านี้เรียกว่าลอการิทึมไฮเปอร์โบลาเพราะมันสอดคล้องกับพื้นที่ใต้ไฮเปอร์โบลา บางครั้งเรียกว่าเนเปียร์ลอการิทึม แม้ว่าความหมายเดิมของคำนี้จะแตกต่างออกไปบ้าง

อนุสัญญาสัญกรณ์

ลอการิทึมธรรมชาติมักจะเขียนแทนด้วย "ln( x)”, ฐาน 10 ลอการิทึมผ่าน “lg( x)" และเป็นเรื่องปกติที่จะต้องระบุเหตุอื่นอย่างชัดเจนด้วยสัญลักษณ์ "บันทึก"

ในเอกสารจำนวนมากเกี่ยวกับคณิตศาสตร์แยก ไซเบอร์เนติกส์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ ผู้เขียนใช้สัญกรณ์ "log( x)" สำหรับลอการิทึมถึงฐาน 2 แต่ข้อตกลงนี้ไม่เป็นที่ยอมรับในระดับสากลและต้องมีการชี้แจง ทั้งในรายการสัญกรณ์ที่ใช้หรือ (หากไม่มีรายการดังกล่าว) โดยเชิงอรรถหรือความคิดเห็นเกี่ยวกับการใช้ครั้งแรก

วงเล็บรอบอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม (หากไม่นำไปสู่การอ่านสูตรที่ผิดพลาด) มักจะละไว้ และเมื่อยกลอการิทึมเป็นเลขยกกำลัง เลขชี้กำลังจะระบุโดยตรงกับเครื่องหมายของลอการิทึม: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ล ( 3 )] 2 .

ระบบแองโกลอเมริกัน

นักคณิตศาสตร์ นักสถิติ และวิศวกรบางคนมักจะใช้ "log( x)", หรือ "ln( x)" และเพื่อแสดงลอการิทึมฐาน 10 - "บันทึก 10 ( x)».

วิศวกร นักชีววิทยา และผู้เชี่ยวชาญด้านอื่นๆ มักจะเขียนว่า "ln( x)" (หรือบางครั้ง "บันทึก e ( x)") เมื่อพวกเขาหมายถึงลอการิทึมธรรมชาติและสัญกรณ์ "log( x)" หมายถึงล็อก 10 ( x).

บันทึก อีเป็นลอการิทึม "ธรรมชาติ" เพราะมันเกิดขึ้นโดยอัตโนมัติและปรากฏบ่อยมากในวิชาคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น พิจารณาปัญหาของอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม:

ถ้าฐาน ขเท่ากับ อีแล้วอนุพันธ์ก็แค่ 1/ x, และเมื่อ x= 1 อนุพันธ์นี้เท่ากับ 1 การให้เหตุผลอีกอย่างสำหรับฐาน อีลอการิทึมเป็นธรรมชาติมากที่สุด คือมันสามารถนิยามได้ค่อนข้างง่ายในแง่ของอินทิกรัลอย่างง่ายหรืออนุกรมเทย์เลอร์ ซึ่งไม่สามารถพูดถึงลอการิทึมอื่นได้

การพิสูจน์ความเป็นธรรมชาติเพิ่มเติมไม่เกี่ยวข้องกับตัวเลข ตัวอย่างเช่น มีอนุกรมง่าย ๆ หลายชุดที่มีลอการิทึมธรรมชาติ Pietro Mengoli และ Nicholas Mercator เรียกพวกเขา ลอการิทึมธรรมชาติหลายทศวรรษจนกระทั่งนิวตันและไลบ์นิซพัฒนาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล

คำนิยาม

อย่างเป็นทางการ ln( ก) สามารถกำหนดเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้งของกราฟได้ 1/ xจาก 1 ถึง กเช่น เป็นอินทิกรัล:

มันเป็นลอการิทึมเนื่องจากเป็นไปตามคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม:

สิ่งนี้สามารถแสดงให้เห็นได้โดยตั้งสมมติฐานดังต่อไปนี้:

ค่าตัวเลข

ในการคำนวณค่าตัวเลขของลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลข คุณสามารถใช้ส่วนขยายในอนุกรม Taylor ในรูปแบบ:

เพื่อให้ได้อัตราการบรรจบกันที่ดีที่สุด คุณสามารถใช้เอกลักษณ์ต่อไปนี้:

โดยมีเงื่อนไขว่า ย = (x−1)/(x+1) และ x > 0.

สำหรับ ln( x), ที่ไหน x> 1 ค่ายิ่งใกล้ xถึง 1, the ความเร็วที่เร็วขึ้นการบรรจบกัน ข้อมูลประจำตัวที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมสามารถใช้เพื่อให้บรรลุเป้าหมาย:

วิธีการเหล่านี้ถูกนำมาใช้ก่อนการกำเนิดของเครื่องคิดเลขซึ่งใช้ตารางตัวเลขและดำเนินการจัดการที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น

ความแม่นยำสูง

สำหรับการคำนวณลอการิทึมธรรมชาติที่มีความแม่นยำหลายหลัก อนุกรมเทย์เลอร์ไม่มีประสิทธิภาพเนื่องจากการบรรจบกันช้า อีกทางเลือกหนึ่งคือใช้วิธีของนิวตันเพื่อแปลงเป็นฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล ซึ่งอนุกรมจะลู่เข้าหากันเร็วกว่า

อีกทางเลือกหนึ่งสำหรับความแม่นยำในการคำนวณที่สูงมากคือสูตร:

ที่ไหน มหมายถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิตของ 1 และ 4/วินาที และ

มเลือกอย่างนั้น หน้าได้คะแนนความถูกต้อง (ในกรณีส่วนใหญ่ ค่า 8 สำหรับ m ก็เพียงพอแล้ว) อันที่จริง หากใช้วิธีนี้ การผกผันของลอการิทึมธรรมชาติของนิวตันสามารถนำไปใช้ในการคำนวณฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลได้อย่างมีประสิทธิภาพ (สามารถคำนวณค่าคงที่ ln 2 และ pi ล่วงหน้าได้ตามความแม่นยำที่ต้องการโดยใช้อนุกรมลู่เข้าอย่างรวดเร็วที่รู้จัก)

ความซับซ้อนในการคำนวณ

ความซับซ้อนในการคำนวณของลอการิทึมธรรมชาติ (โดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต) คือ O( ม(น) ล น). ที่นี่ นคือจำนวนหลักที่มีความแม่นยำซึ่งจะต้องหาค่าลอการิทึมธรรมชาติ และ ม(น) คือความซับซ้อนทางการคำนวณของการคูณสอง นตัวเลขหลัก

เศษส่วนต่อไป

แม้ว่าจะไม่มีเศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่ายที่ใช้แทนลอการิทึม แต่สามารถใช้เศษส่วนต่อเนื่องทั่วไปได้หลายแบบ ได้แก่:

ลอการิทึมเชิงซ้อน

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลสามารถขยายเป็นฟังก์ชันที่ให้จำนวนเชิงซ้อนในแบบฟอร์มได้ อี xสำหรับจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ก็ได้ xในขณะที่ใช้อนุกรมอนันต์กับคอมเพล็กซ์ x. ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลนี้สามารถกลับด้านเพื่อสร้างลอการิทึมเชิงซ้อนซึ่งจะมีคุณสมบัติส่วนใหญ่ของลอการิทึมธรรมดา อย่างไรก็ตามมีสองปัญหา: ไม่มี x, ซึ่ง อี x= 0 และปรากฎว่า อี 2ปี่ = 1 = อี 0 . เนื่องจากคุณสมบัติการคูณนั้นใช้ได้สำหรับฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อน ดังนั้น อี ซี = อี ซี+2npiสำหรับคอมเพล็กซ์ทั้งหมด ซีและทั้งหมด น.

ไม่สามารถกำหนดลอการิทึมบนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดได้ และถึงแม้จะเป็นค่าหลายค่าก็ตาม ลอการิทึมเชิงซ้อนใดๆ สามารถแทนที่ด้วยลอการิทึม "สมมูล" ได้โดยการเพิ่มจำนวนเต็มใดๆ คูณด้วย 2 ปี่. ลอการิทึมเชิงซ้อนสามารถมีค่าได้เพียงค่าเดียวบนชิ้นส่วนของระนาบเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่นล ฉัน = 1/2 ปี่หรือ 5/2 ปี่หรือ −3/2 ปี่ฯลฯ และถึงแม้ว่า ฉัน 4 = 1.4log ฉันสามารถกำหนดเป็น 2 ปี่หรือ 10 ปี่หรือ -6 ปี่และอื่น ๆ

ดูสิ่งนี้ด้วย

• John Napier - ผู้ประดิษฐ์ลอการิทึม

หมายเหตุ

1. คณิตศาสตร์เคมีเชิงฟิสิกส์. - อันดับ 3 - สำนักพิมพ์วิชาการ 2548 - หน้า 9 - ISBN 0-125-08347-5, สารสกัดจากหน้า 9
2. JJO "Connor และ EF Robertsonหมายเลข อี MacTutor History of Mathematics archive (กันยายน 2544) เก็บถาวร
3. กาโจรี ฟลอเรียนประวัติคณิตศาสตร์ 5th ed. - ร้านหนังสือ อมส. 2534. - น. 152. - ISBN 0821821024
4. แฟลชแมน, มาร์ตินการประมาณค่าปริพันธ์โดยใช้พหุนาม เก็บจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 12 กุมภาพันธ์ 2555

ลอการิทึมคืออะไร?

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในภาคพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ลอการิทึมคืออะไร? จะแก้ลอการิทึมได้อย่างไร? คำถามเหล่านี้สร้างความสับสนให้กับบัณฑิตจำนวนมาก ตามเนื้อผ้า หัวข้อของลอการิทึมถือว่าซับซ้อน เข้าใจยาก และน่ากลัว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง - สมการกับลอการิทึม

สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงอย่างแน่นอน อย่างแน่นอน! ไม่เชื่อ? ดี. ตอนนี้ ประมาณ 10 - 20 นาที คุณ:

1. ทำความเข้าใจ ลอการิทึมคืออะไร.

2. เรียนรู้การแก้ปัญหาทั้งชั้นเรียน สมการเลขชี้กำลัง. แม้ว่าคุณจะไม่เคยได้ยินพวกเขา

3. เรียนรู้การคำนวณลอการิทึมอย่างง่าย

ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับสิ่งนี้ คุณจะต้องรู้ตารางการคูณเท่านั้น และวิธีเพิ่มจำนวนเป็นเลขยกกำลัง ...

ฉันรู้สึกว่าคุณสงสัย ... เอาล่ะรักษาเวลา! ไป!

ขั้นแรก แก้สมการต่อไปนี้ในใจของคุณ:

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ตัวอย่างเช่น เครื่องคิดเลขจากชุดโปรแกรมพื้นฐานของระบบปฏิบัติการ Windows ลิงก์สำหรับเปิดใช้งานนั้นซ่อนอยู่ค่อนข้างมากในเมนูหลักของระบบปฏิบัติการ - เปิดโดยคลิกที่ปุ่ม "เริ่ม" จากนั้นเปิดส่วน "โปรแกรม" ไปที่ส่วนย่อย "อุปกรณ์เสริม" จากนั้นไปที่ส่วน "ยูทิลิตี้" และสุดท้ายคลิกที่รายการ "เครื่องคิดเลข" คุณสามารถใช้แป้นพิมพ์และกล่องโต้ตอบเปิดโปรแกรมแทนเมาส์และนำทางผ่านเมนู - กดคีย์ผสม WIN + R พิมพ์ calc (นี่คือชื่อของไฟล์ปฏิบัติการของเครื่องคิดเลข) แล้วกดปุ่ม Enter

เปลี่ยนอินเทอร์เฟซของเครื่องคิดเลขเป็นโหมดขั้นสูง ซึ่งช่วยให้คุณ โดยค่าเริ่มต้น จะเปิดในรูปแบบ "ปกติ" และคุณต้องมี "วิศวกรรม" หรือ "" (ขึ้นอยู่กับเวอร์ชันของระบบปฏิบัติการที่คุณใช้) ขยายส่วน "ดู" ในเมนูและเลือกบรรทัดที่เหมาะสม

ป้อนอาร์กิวเมนต์ที่จะคำนวณค่าธรรมชาติ ซึ่งสามารถทำได้ทั้งจากแป้นพิมพ์และโดยการคลิกปุ่มที่เกี่ยวข้องในอินเทอร์เฟซเครื่องคิดเลขบนหน้าจอ

คลิกปุ่มที่มีข้อความว่า ln - โปรแกรมจะคำนวณลอการิทึมเป็นฐาน e และแสดงผล

ใช้หนึ่งในเครื่องคิดเลขเป็นทางเลือกในการคำนวณค่าของลอการิทึมธรรมชาติ เช่น ที่ตั้งอยู่ที่ http://calc.org.ua. อินเทอร์เฟซนั้นง่ายมาก - มีช่องอินพุตช่องเดียวที่คุณต้องพิมพ์ค่าของตัวเลข ซึ่งเป็นลอการิทึมที่คุณต้องการคำนวณ ในบรรดาปุ่มต่างๆ ให้ค้นหาและคลิกปุ่มที่ระบุว่า ln สคริปต์ของเครื่องคิดเลขนี้ไม่ต้องการการส่งข้อมูลไปยังเซิร์ฟเวอร์และการตอบกลับ ดังนั้นคุณจะได้รับผลการคำนวณเกือบจะในทันที คุณสมบัติเดียวที่ต้องพิจารณาคือตัวคั่นระหว่างเศษส่วนและ ทั้งส่วนตัวเลขที่ป้อนจะต้องเป็นจุดตรงนี้ ไม่ใช่

คำว่า " ลอการิทึม" มาจากคำภาษากรีกสองคำคำหนึ่งหมายถึง "จำนวน" และอีกคำหนึ่งคือ "ความสัมพันธ์" แสดงถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการคำนวณตัวแปร (เลขยกกำลัง) ซึ่งต้องเพิ่มค่าคงที่ (ฐาน) เพื่อให้ได้ตัวเลขที่ระบุใต้เครื่องหมาย ลอการิทึมก. ถ้าฐานเท่ากับค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ จะเรียกว่าเลข "e" ดังนั้น ลอการิทึมเรียกว่า "ธรรมชาติ"

คุณจะต้องการ

• การเข้าถึงอินเทอร์เน็ต Microsoft Office Excel หรือเครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

ใช้เครื่องคิดเลขจำนวนมากที่นำเสนอบนอินเทอร์เน็ต - นี่อาจเป็นวิธีที่ง่ายในการคำนวณแบบธรรมชาติ คุณไม่จำเป็นต้องค้นหาบริการที่เหมาะสมเนื่องจากเครื่องมือค้นหาจำนวนมากมีเครื่องคิดเลขในตัวซึ่งค่อนข้างเหมาะสำหรับการทำงานกับ ลอการิทึมอามิ ตัวอย่างเช่น ไปที่หน้าแรกของเครื่องมือค้นหาออนไลน์ที่ใหญ่ที่สุด - Google ไม่ต้องใช้ปุ่มสำหรับป้อนค่าและเลือกฟังก์ชันที่นี่ เพียงพิมพ์การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการในช่องป้อนข้อมูลแบบสอบถาม สมมติว่าจะคำนวณ ลอการิทึมและตัวเลข 457 ในฐาน "e" ป้อน ln 457 ซึ่งจะเพียงพอสำหรับ Google ที่จะแสดงด้วยความแม่นยำของทศนิยมแปดตำแหน่ง (6.12468339) แม้จะไม่ได้กดปุ่มเพื่อส่งคำขอไปยังเซิร์ฟเวอร์

ใช้ฟังก์ชันในตัวที่เหมาะสมหากคุณต้องการคำนวณค่าของธรรมชาติ ลอการิทึมแต่เกิดขึ้นเมื่อทำงานกับข้อมูลในโปรแกรมแก้ไขสเปรดชีตยอดนิยม Microsoft Office Excel ฟังก์ชันนี้ถูกเรียกใช้ที่นี่โดยใช้สัญกรณ์ทั่วไป เช่น ลอการิทึมและตัวพิมพ์ใหญ่ - LN เลือกเซลล์ที่ควรแสดงผลการคำนวณและป้อนเครื่องหมายเท่ากับ - นี่คือวิธีที่รายการในเซลล์ที่อยู่ในส่วนย่อย "มาตรฐาน" ของส่วน "โปรแกรมทั้งหมด" ของเมนูหลักควรเริ่มต้นในโปรแกรมแก้ไขตารางนี้ เปลี่ยนเครื่องคิดเลขเป็นโหมดการทำงานมากขึ้นโดยกดแป้นพิมพ์ลัด Alt + 2 จากนั้นป้อนค่า เป็นธรรมชาติ ลอการิทึมที่คุณต้องการคำนวณ แล้วคลิกปุ่ม ในอินเทอร์เฟซของโปรแกรมที่มีเครื่องหมาย ln โปรแกรมจะทำการคำนวณและแสดงผล

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ ฟังก์ชันเข้าใกล้อนันต์บวกอย่างช้าๆ เช่น xและเข้าใกล้อินฟินิตี้เชิงลบอย่างรวดเร็วเมื่อ xมีแนวโน้มที่จะเป็น 0 (“ช้า” และ “เร็ว” เมื่อเทียบกับฟังก์ชันกำลังใดๆ ของ x).

ลอการิทึมธรรมชาติเป็นลอการิทึมฐาน , ที่ไหน อี (\displaystyle e)เป็นค่าคงที่อตรรกยะเท่ากับประมาณ 2.72 กำหนดให้เป็น ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), บันทึก e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x)หรือบางครั้งก็เฉยๆ บันทึก ⁡ x (\displaystyle \log x)ถ้าฐาน อี (\displaystyle e)โดยนัย กล่าวอีกนัยหนึ่ง คือ ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวน xเป็นเลขยกกำลังที่จะยกเลขนั้น อี, ที่จะได้รับ x. คำจำกัดความนี้สามารถขยายไปถึงจำนวนเชิงซ้อนได้เช่นกัน

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), เพราะ e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), เพราะ e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

ลอการิทึมธรรมชาติสามารถกำหนดได้ในทางเรขาคณิตสำหรับจำนวนจริงที่เป็นบวกใดๆ กเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้ง y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x)))ในระหว่าง [ 1 ; ก ] (\displaystyle ). ความเรียบง่ายของคำจำกัดความนี้ ซึ่งสอดคล้องกับสูตรอื่นๆ มากมายที่ใช้ลอการิทึมนี้ อธิบายที่มาของชื่อ "ธรรมชาติ"

หากเราถือว่าลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันจริงของตัวแปรจริง ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลจะนำไปสู่เอกลักษณ์:

e บันทึก ⁡ a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) บันทึก ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0))

เช่นเดียวกับลอการิทึมทั้งหมด ลอการิทึมธรรมชาติจับคู่การคูณกับการบวก:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)