Zařízení:

• počítač,
• multimediální projektor,
• obrazovka,
• Příloha 1(prezentace v PowerPointu) „Metody řešení exponenciálních rovnic“
• Dodatek 2(Řešení rovnice typu „Tři různé základny stupně" ve Wordu)
• Příloha 3(leták ve Wordu pro praktická práce).
• Dodatek 4(list ve Wordu za domácí úkol).

Během vyučování

1. Organizační fáze

• sdělení tématu lekce (napsané na tabuli),
• potřeba zobecňující hodiny v 10.–11. ročníku:

Fáze přípravy studentů na aktivní asimilaci znalostí

Opakování

Definice.

Exponenciální rovnice je rovnice obsahující v exponentu proměnnou (odpovídá žák).

Poznámka učitele. Exponenciální rovnice patří do třídy transcendentálních rovnic. Tento těžko vyslovitelný název napovídá, že takové rovnice obecně řečeno nelze řešit ve formě vzorců.

Lze je řešit pouze přibližně numerickými metodami na počítačích. Ale co zkušební otázky? Celý trik je v tom, že zkoušející sestaví problém tak, že připustí analytické řešení. Jinými slovy, můžete (a měli byste!) dělat takové identické transformace, které zmenšují dané exponenciální rovnice na nejjednodušší exponenciální rovnici. Toto je nejjednodušší rovnice a nazývá se: nejjednodušší exponenciální rovnice. Je to vyřešené logaritmus.

Situace s řešením exponenciální rovnice připomíná cestu bludištěm, kterou speciálně vymyslel sestavovatel úlohy. Z těchto velmi obecných úvah vyplývají zcela konkrétní doporučení.

Chcete-li úspěšně vyřešit exponenciální rovnice, musíte:

1. Nejen aktivně znát všechny exponenciální identity, ale také najít množiny hodnot proměnné, na které jsou tyto identity definovány, takže při používání těchto identit člověk nezíská zbytečné kořeny, ba co víc, neztrácí řešení rovnice.

2. Aktivně znát všechny exponenciální identity.

3. Přehledně, podrobně a bez chyb provádějte matematické transformace rovnic (přenášejte členy z jedné části rovnice do druhé, nezapomínejte na změnu znaménka, zmenšení zlomku na společného jmenovatele atd.). Tomu se říká matematická kultura. Samotné výpočty by přitom měly být prováděny automaticky rukama a hlava by měla přemýšlet o obecném vodítku řešení. Proměny je nutné provádět co nejpečlivěji a nejpodrobněji. Jen tak bude zaručeno správné a bezchybné řešení. A pamatujte: malá aritmetická chyba může jednoduše vytvořit transcendentální rovnici, kterou v zásadě nelze vyřešit analyticky. Ukázalo se, že jste zabloudili a narazili na stěnu labyrintu.

4. Znát způsoby řešení problémů (tedy znát všechny cesty labyrintem řešení). Pro správnou orientaci v každé fázi budete muset (vědomě nebo intuitivně!):

• definovat typ rovnice;
• zapamatovat si odpovídající typ způsob řešeníúkoly.

Etapa zobecnění a systematizace studovaného materiálu.

Učitel spolu se studenty za zapojení počítače provede přehledové opakování všech typů exponenciálních rovnic a metod jejich řešení a sestaví obecné schéma. (Je použit výukový počítačový program L.Ya. Borevského "Kurz matematiky - 2000", autorem powerpointové prezentace je T.N. Kuptsova.)

Rýže. jeden. Obrázek ukazuje obecné schéma všech typů exponenciálních rovnic.

Jak je vidět z tohoto diagramu, strategií řešení exponenciálních rovnic je nejprve tuto exponenciální rovnici redukovat na rovnici, se stejnými základy , a pak - a se stejnými exponenty.

Po získání rovnice se stejnými základy a exponenty nahradíte tento stupeň novou proměnnou a získáte jednoduchou algebraickou rovnici (obvykle zlomkovou racionální nebo kvadratickou) s ohledem na tuto novou proměnnou.

Vyřešením této rovnice a provedením inverzní substituce skončíte se sadou jednoduchých exponenciálních rovnic, které jsou vyřešeny v obecný pohled pomocí logaritmů.

Oddělují se rovnice, ve kterých se vyskytují pouze součiny (soukromých) mocnin. Pomocí exponenciálních identit je možné tyto rovnice okamžitě přivést k jedné bázi, konkrétně k nejjednodušší exponenciální rovnici.

Zvažte, jak se řeší exponenciální rovnice se třemi různými bázemi stupňů.

(Pokud má učitel výukový počítačový program od L.Ya. Borevského "Kurz matematiky - 2000", pak samozřejmě pracujeme s diskem, pokud ne, můžete si z něj vytisknout tento typ rovnice pro každou lavici, který je uveden níže .)

Rýže. 2. Plán řešení rovnic.

Rýže. 3. Začátek řešení rovnice

Rýže. čtyři. Konec řešení rovnice.

Dělat praktickou práci

Určete typ rovnice a vyřešte ji.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Shrnutí lekce

Hodnocení lekce.

konec lekce

Pro učitele

Schéma odpovědí praktické práce.

Cvičení: ze seznamu rovnic vyberte rovnice zadaného typu (číslo odpovědi uveďte do tabulky):

1. Tři různé základny
2. Dvě různé báze - různé exponenty
3. Základy mocnin - mocniny jednoho čísla
4. Stejné základy, různé exponenty
5. Stejné základy exponentů - stejné exponenty
6. Součin sil
7. Dvě různé základny stupňů - stejné ukazatele
8. Nejjednodušší exponenciální rovnice

1. (součin sil)

2. (stejné základy - různé exponenty)

Přednáška: "Metody řešení exponenciálních rovnic."

1 . exponenciální rovnice.

Rovnice obsahující v exponentu neznámé se nazývají exponenciální rovnice. Nejjednodušší z nich je rovnice ax = b, kde a > 0 a a ≠ 1.

1) Za b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Pro b > 0 má rovnice pomocí monotonie funkce a kořenové věty jediný kořen. Abychom ji našli, musí být b reprezentováno jako b = aс, ax = bс ó x = c nebo x = logab.

exponenciální rovnice podle algebraické transformace vedou ke standardním rovnicím, které se řeší pomocí následujících metod:

1) způsob redukce na jednu bázi;

2) metoda hodnocení;

3) grafická metoda;

4) způsob zavádění nových proměnných;

5) metoda faktorizace;

6) exponenciální - mocninné rovnice;

7) exponenciální s parametrem.

2 . Metoda redukce na jeden základ.

Metoda je založena na následující vlastnosti stupňů: pokud jsou dva stupně stejné a jejich základny jsou stejné, pak jsou jejich exponenty stejné, tj. rovnici je třeba redukovat do tvaru

Příklady. Řešte rovnici:

1 . 3x = 81;

Reprezentujme pravou stranu rovnice ve tvaru 81 = 34 a zapišme rovnici ekvivalentní původní 3 x = 34; x = 4. Odpověď: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> a přejděte na rovnici pro exponenty 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Odpověď: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Všimněte si, že čísla 0,2, 0,04, √5 a 25 jsou mocniny 5. Využijme toho a transformujme původní rovnici takto:

, odkud 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, z čehož najdeme řešení x = -1. Odpověď: -1.

5. 3x = 5. Podle definice logaritmu x = log35. Odpověď: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Přepišme rovnici jako 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, tj..png" width="181" height="49 src="> Odtud x - 4 =0, x = 4. Odpověď: čtyři.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Pomocí vlastností mocnin zapíšeme rovnici ve tvaru e. x+1 = 2, x =1. Odpověď: 1.

Banka úkolů č. 1.

Řešte rovnici:

Test číslo 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez kořenů
	1) 7;1 2) bez kořenů 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) bez kořenů 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda hodnocení.

Kořenová věta: jestliže funkce f (x) roste (klesá) na intervalu I, číslo a je libovolná hodnota nabytá f na tomto intervalu, pak rovnice f (x) = a má na intervalu I jediný kořen.

Při řešení rovnic metodou odhadu se využívá této věty a monotonie vlastnosti funkce.

Příklady. Řešte rovnice: 1. 4x = 5 - x.

Řešení. Přepišme rovnici jako 4x + x = 5.

1. pokud x \u003d 1, pak 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 platí, pak 1 je kořen rovnice.

Funkce f(x) = 4x je rostoucí na R a g(x) = x je rostoucí na R => h(x)= f(x)+g(x) je rostoucí na R jako součet rostoucích funkcí, takže x = 1 je jediným kořenem rovnice 4x = 5 – x. Odpověď: 1.

2.

Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru .

1. pokud x = -1, pak , 3 = 3-pravda, takže x = -1 je kořen rovnice.

2. dokázat, že je jedinečný.

3. Funkce f(x) = - klesá na R, a g(x) = - x - klesá na R => h(x) = f(x) + g(x) - klesá na R, jako součet klesajících funkcí. Takže podle kořenové věty je x = -1 jediným kořenem rovnice. Odpověď: -1.

Banka úkolů č. 2. řešit rovnici

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metoda zavádění nových proměnných.

Metoda je popsána v části 2.1. Zavedení nové proměnné (substituce) se obvykle provádí po transformacích (zjednodušení) členů rovnice. Zvažte příklady.

Příklady. R jíst rovnice: 1. .

Přepišme rovnici jinak: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e.png" width="210" height = "45">

Řešení. Přepišme rovnici jinak:

Označte https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nevhodné.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> je iracionální rovnice. Všimněte si, že

Řešení rovnice je x = 2,5 ≤ 4, takže 2,5 je kořen rovnice. Odpověď: 2.5.

Řešení. Přepišme rovnici do tvaru a vydělme obě strany 56x+6 ≠ 0. Dostaneme rovnici

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, takže..png" width="118" height="56">

Kořeny kvadratické rovnice - t1 = 1 a t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Řešení . Rovnici přepíšeme do tvaru

a všimněte si, že jde o homogenní rovnici druhého stupně.

Vydělte rovnici 42x, dostaneme

Nahraďte https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Odpověď: 0; 0,5.

Banka úkolů č. 3. řešit rovnici

b)

G)

Test #3 s výběrem odpovědí. Minimální úroveň.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) bez kořenů 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) bez kořenů 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test #4 s výběrem odpovědí. Obecná úroveň.

A1	1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) bez kořenů

5. Metoda faktorizace.

1. Řešte rovnici: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Řešení..png" width="169" height="69"> , odkud

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Řešení. Vyjmeme 6x na levé straně rovnice a 2x na pravé straně. Dostaneme rovnici 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Protože 2x >0 pro všechna x, můžeme obě strany této rovnice vydělit 2x, aniž bychom se museli obávat ztráty řešení. Dostaneme 3x = 1ó x = 0.

3.

Řešení. Rovnici řešíme faktoringem.

Vybereme druhou mocninu binomu

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 je kořen rovnice.

Rovnice x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15,x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test #6 Obecná úroveň.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponenciální - mocninné rovnice.

K exponenciálním rovnicím přiléhají tzv. rovnice exponenciální mocniny, tj. rovnice tvaru (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Je-li známo, že f(x)>0 a f(x) ≠ 1, pak rovnici, stejně jako exponenciální, řešíme tak, že se exponenty g(x) = f(x) rovnají.

Pokud podmínka nevylučuje možnost f(x)=0 a f(x)=1, pak musíme při řešení exponenciální mocninné rovnice tyto případy uvažovat.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Řešení. x2 +2x-8 - dává smysl pro libovolné x, protože polynom, takže rovnice je ekvivalentní množině

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Exponenciální rovnice s parametry.

1. Pro jaké hodnoty parametru p má rovnice 4 (5 – 3)•2 +4p2–3p = 0 (1) jednoznačné řešení?

Řešení. Zaveďme změnu 2x = t, t > 0, pak rovnice (1) bude mít tvar t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminant rovnice (2) je D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Rovnice (1) má jednoznačné řešení, pokud rovnice (2) má jeden kladný kořen. To je možné v následujících případech.

1. Pokud D = 0, tedy p = 1, pak rovnice (2) bude mít tvar t2 – 2t + 1 = 0, tedy t = 1, proto má rovnice (1) jednoznačné řešení x = 0.

2. Jestliže p1, pak 9(p – 1)2 > 0, pak rovnice (2) má dva různé kořeny t1 = p, t2 = 4p – 3. Množina systémů splňuje podmínku úlohy

Dosazením t1 a t2 do systémů máme

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Řešení. Nechat pak rovnice (3) bude mít tvar t2 – 6t – a = 0. (4)

Najděte hodnoty parametru a, pro které alespoň jeden kořen rovnice (4) splňuje podmínku t > 0.

Zaveďme funkci f(t) = t2 – 6t – a. Možné jsou následující případy.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Případ 2. Rovnice (4) má jedinečné kladné řešení, jestliže

D = 0, pokud a = – 9, pak rovnice (4) bude mít tvar (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Případ 3. Rovnice (4) má dva kořeny, ale jeden z nich nesplňuje nerovnost t > 0. To je možné, pokud

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Tedy při a 0 má rovnice (4) jediný kladný kořen . Pak rovnice (3) má jedinečné řešení

Pro< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Pokud< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
pokud a = – 9, pak x = – 1;

pokud je  0, pak

Porovnejme metody řešení rovnic (1) a (3). Všimněte si, že při řešení rovnice (1) byla redukována na kvadratickou rovnici, jejíž diskriminant je plný čtverec; takže kořeny rovnice (2) byly okamžitě vypočteny podle vzorce kořenů kvadratické rovnice a poté byly vyvozeny závěry týkající se těchto kořenů. Rovnice (3) byla redukována na kvadratickou rovnici (4), jejíž diskriminant není dokonalý čtverec, proto je při řešení rovnice (3) vhodné použít věty o umístění kořenů čtvercového trinomu a grafický model. Všimněte si, že rovnici (4) lze vyřešit pomocí Vietovy věty.

Pojďme řešit složitější rovnice.

Úkol 3. Řešte rovnici

Řešení. ODZ: x1, x2.

Pojďme představit náhradu. Nechť 2x = t, t > 0, pak v důsledku transformací bude mít rovnice tvar t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Najděte hodnoty a, pro které je alespoň jeden kořen rovnice (*) splňuje podmínku t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odpověď: pokud a > - 13, a  11, a  5, pak pokud a - 13,

a = 11, a = 5, pak nejsou žádné kořeny.

Bibliografie.

1. Guzeev základy vzdělávací technologie.

2. Technologie Guzeev: od recepce k filozofii.

M. "ředitel" č. 4, 1996

3. Guzeev a organizačních forem učení se.

4. Guzeev a praxe integrální vzdělávací technologie.

M. "Vzdělávání lidí", 2001

5. Guzeev z formy lekce - seminář.

Matematika ve škole č. 2, 1987, s. 9 - 11.

6. Vzdělávací technologie Selevko.

M. "Vzdělávání lidí", 1998

7. Školáci Episheva se učí matematiku.

M. "Osvícení", 1990

8. Ivanov připravit lekce - workshopy.

Matematika ve škole č. 6, 1990, str. 37-40.

9. Smirnovův model vyučování matematice.

Matematika ve škole č. 1, 1997, str. 32-36.

10. Tarasenko způsoby organizace praktické práce.

Matematika ve škole č. 1, 1993, str. 27 - 28.

11. O jednom z typů samostatné práce.

Matematika ve škole č. 2, 1994, s. 63 - 64.

12. Chazankin Kreativní dovednostiškolní děti.

Matematika ve škole č. 2, 1989, str. deset.

13. Scanavi. Vydavatel, 1997

14. aj. Algebra a počátky analýzy. Didaktické materiály pro

15. Krivonogovovy úlohy v matematice.

M. "První září", 2002

16. Čerkasov. Příručka pro středoškoláky a

vstup na univerzity. "A S T - tisková škola", 2002

17. Zhevnyak pro uchazeče o studium na univerzitách.

Minsk a RF "Review", 1996

18. Písemná D. Příprava na zkoušku z matematiky. M. Rolf, 1999

19. a další Naučit se řešit rovnice a nerovnice.

M. "Intelekt - Střed", 2003

20. a další Vzdělávací a školicí materiály pro přípravu na E G E.

M. "Intelekt - Střed", 2003 a 2004

21 a další Varianty CMM. Testovací středisko Ministerstva obrany Ruské federace, 2002, 2003

22. Goldbergovy rovnice. "Quantum" č. 3, 1971

23. Volovič M. Jak úspěšně učit matematiku.

Matematika, 1997 č. 3.

24 Okuneve za lekci, děti! M. Osvěta, 1988

25. Jakimanskaja - orientované vzdělávání ve škole.

26. Práce Liimetů na hodině. M. Knowledge, 1975

Co je to exponenciální rovnice? Příklady.

Takže exponenciální rovnice... Nový unikátní exponát na naší všeobecné výstavě široké škály rovnic!) Jako téměř vždy je klíčovým slovem každého nového matematického termínu odpovídající přídavné jméno, které jej charakterizuje. Takže i tady. klíčové slovo v termínu "exponenciální rovnice" je slovo "demonstrativní". Co to znamená? Toto slovo znamená, že neznámá (x) je z hlediska jakéhokoli stupně. A jen tam! To je nesmírně důležité.

Například tyto jednoduché rovnice:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Nebo dokonce tyto příšery:

2 sin x = 0,5

Žádám vás, abyste okamžitě věnovali pozornost jedné důležité věci: in důvody stupně (dole) - pouze čísla. Ale v indikátory stupně (nahoře) - široká škála výrazů s x. Naprosto libovolné.) Vše závisí na konkrétní rovnici. Pokud najednou x vyjde v rovnici někde jinde, kromě indikátoru (řekněme 3 x \u003d 18 + x 2), pak taková rovnice již bude rovnicí smíšený typ. Takové rovnice nemají jasná pravidla pro řešení. Proto je v této lekci nebudeme uvažovat. K radosti studentů.) Zde budeme uvažovat pouze exponenciální rovnice v "čisté" podobě.

Obecně řečeno, ani čistě exponenciální rovnice nejsou jasně vyřešeny ve všech případech a ne vždy. Ale mezi bohatou škálou exponenciálních rovnic existují určité typy, které lze a měly by být vyřešeny. Právě tyto typy rovnic s vámi zvážíme. A příklady určitě vyřešíme.) Takže se pohodlně usadíme a - na cestu! Stejně jako v počítačových „střílečkách“ bude naše cesta procházet úrovněmi.) Od základních po jednoduché, od jednoduchých po střední a od středních po složité. Cestou vás bude čekat i tajný level – triky a metody řešení nestandardních příkladů. Ty, o kterých se ve většině školních učebnic nedočtete... No a na konci vás samozřejmě čeká závěrečný boss v podobě domácích úkolů.)

Úroveň 0. Jaká je nejjednodušší exponenciální rovnice? Řešení nejjednodušších exponenciálních rovnic.

Pro začátek se podívejme na některé upřímné elementární. Někde začít musíte, ne? Například tato rovnice:

2 x = 2 2

I bez jakýchkoliv teorií, jednoduchou logikou a zdravým rozumem je jasné, že x = 2. Jinak to nejde, ne? Žádná jiná hodnota x není dobrá... Nyní se podívejme na záznam rozhodnutí tato skvělá exponenciální rovnice:

2 x = 2 2

X = 2

Co se nám stalo? A stalo se následující. Ve skutečnosti jsme vzali a... prostě vyhodili stejné základny (dvě)! Úplně vyhozený. A co je libo, trefit se!

Ano, skutečně, pokud jsou v exponenciální rovnici vlevo a vpravo stejnýčísla v libovolném stupni, pak lze tato čísla zahodit a jednoduše dát exponenty rovnítko. Matematika umožňuje.) A pak můžete samostatně pracovat s indikátory a řešit mnohem jednodušší rovnici. Je to skvělé, že?

Zde je klíčová myšlenka řešení jakékoli (ano, přesně jakékoli!) exponenciální rovnice: pomocí identických transformací je nutné zajistit, aby levá a pravá v rovnici byla stejný základní čísla v různých stupních. A pak můžete bezpečně odstranit stejné základy a přirovnat exponenty. A pracovat s jednodušší rovnicí.

A teď si pamatujeme železné pravidlo: je možné odstranit stejné základy právě tehdy, když v rovnici nalevo a napravo jsou základní čísla v hrdé osamělosti.

Co to znamená v nádherné izolaci? To znamená bez jakýchkoli sousedů a koeficientů. vysvětluji.

Například v rovnici

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Nemůžete odstranit trojčata! Proč? Protože nalevo nemáme jen osamělou trojku stupně, ale práce 3 3 x-5. Do cesty vám překáží další trojka: koeficient, rozumíte.)

Totéž lze říci o rovnici

5 3 x = 5 2 x +5 x

I zde jsou všechny základy stejné – pět. Ale napravo nemáme ani jeden stupeň pět: je tam součet stupňů!

Stručně řečeno, máme právo odstranit stejné základy pouze tehdy, když naše exponenciální rovnice vypadá takto a pouze takto:

AF (X) = g (X)

Tento typ exponenciální rovnice se nazývá nejjednodušší. Nebo vědecky, kanonický . A ať už ta pokroucená rovnice před námi může být, tak či onak, zredukujeme ji do takové jednoduché (kanonické) podoby. Nebo v některých případech na agregáty rovnic tohoto druhu. Potom lze naši nejjednodušší rovnici přepsat v obecném tvaru takto:

F(x) = g(x)

A to je vše. Toto bude ekvivalentní transformace. Zároveň lze jako f(x) a g(x) použít naprosto jakékoli výrazy s x. To je jedno.

Možná se zvláště zvídavý student zeptá: proč proboha tak snadno a jednoduše zahazujeme stejné základy vlevo a vpravo a dáváme rovnítko mezi exponenty? Intuice je intuice, ale najednou se v nějaké rovnici a z nějakého důvodu tento přístup ukáže jako špatný? Je vždy legální házet stejné základy? Bohužel za rigorózní matematickou odpověď na toto zájem Zeptejte se musíte se hluboce a vážně ponořit do obecné teorie struktury a chování funkcí. A trochu konkrétněji – ve fenoménu přísná monotónnost. Zejména přísná monotónnost exponenciální funkcey= a x. Vzhledem k tomu, že právě exponenciální funkce a její vlastnosti jsou základem řešení exponenciálních rovnic, ano.) Podrobná odpověď na tuto otázku bude uvedena v samostatné speciální lekci věnované řešení složitých nestandardních rovnic s využitím monotonie různých funkcí.)

Vysvětlit tento bod podrobně nyní znamená pouze vyjmout mozek průměrného školáka a předem ho vyděsit suchou a těžkou teorií. Tohle neudělám.) Pro naši hlavní tento momentúkol - Naučte se řešit exponenciální rovnice!Úplně nejjednodušší! Proto, dokud se nezapotíme a směle vyhodíme stejné důvody. to umět, vezmi na slovo!) A pak už řešíme ekvivalentní rovnici f (x) = g (x). Zpravidla je jednodušší než původní exponenciála.

Předpokládá se samozřejmě, že lidé již umí řešit minimálně , a rovnice, již bez x v ukazatelích.) Kdo ještě neví jak, klidně zavřete tuto stránku, projděte se po příslušných odkazech a vyplňte staré mezery. Jinak to budeš mít těžké, ano...

O iracionálních, trigonometrických a jiných brutálních rovnicích, které se také mohou objevit v procesu odstraňování bází, mlčím. Ale nelekejte se, zatím nebudeme uvažovat o upřímném cínu ve stupních: je příliš brzy. Budeme trénovat pouze na nejjednodušších rovnicích.)

Nyní zvažte rovnice, které vyžadují určité dodatečné úsilí k jejich redukci na nejjednodušší. Abychom je odlišili, říkejme jim jednoduché exponenciální rovnice. Pojďme tedy na další úroveň!

Úroveň 1. Jednoduché exponenciální rovnice. Rozpoznejte tituly! přirozené ukazatele.

Klíčová pravidla při řešení jakýchkoli exponenciálních rovnic jsou pravidla pro nakládání s tituly. Bez těchto znalostí a dovedností nebude fungovat nic. Běda. Takže pokud jsou problémy s tituly, pak jste pro začátek vítáni. Kromě toho potřebujeme také . Tyto transformace (až dvě!) jsou základem pro řešení všech rovnic matematiky obecně. A nejen vitríny. Takže kdo zapomněl, projděte se také na odkazu: Oblékl jsem si je z nějakého důvodu.

Ale pouze akce se silami a identickými transformacemi nestačí. Vyžaduje také osobní pozorování a vynalézavost. Potřebujeme stejné důvody, ne? Zkoumáme tedy příklad a hledáme je v explicitní nebo skryté podobě!

Například tato rovnice:

3 2x – 27x +2 = 0

První pohled na důvody. Jsou rozdílní! Tři a dvacet sedm. Na paniku a propadnutí zoufalství je ale příliš brzy. Je čas si to připomenout

27 = 3 3

Čísla 3 a 27 jsou stupněm příbuzné! Navíc, příbuzní.) Proto máme plné právo zapsat:

27 x +2 = (3 3) x+2

A nyní propojujeme naše znalosti o akce s tituly(a varoval jsem tě!). Existuje takový velmi užitečný vzorec:

(am) n = a mn

Nyní, když to spustíte v kurzu, obecně to dopadne dobře:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

Původní příklad nyní vypadá takto:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

Skvělé, základy stupňů se srovnaly. O co jsme usilovali. Polovina práce je hotová.) A nyní spustíme základní transformaci identity – přeneseme 3 3 (x +2) doprava. Nikdo nezrušil základní akce matematiky, ano.) Dostáváme:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Co nám dává tento druh rovnice? A skutečnost, že nyní je naše rovnice redukována do kanonické podoby: vlevo a vpravo jsou stejná čísla (trojice) v mocninách. A obě trojčata - v nádherné izolaci. Odvážně odstraníme trojčata a získáme:

2x = 3(x+2)

Vyřešíme to a dostaneme:

X = -6

To je všechno. Toto je správná odpověď.)

A nyní chápeme průběh rozhodnutí. Co nás v tomto příkladu zachránilo? Zachránila nás znalost stupňů trojky. jak přesně? My identifikovanéčíslo 27 zašifrované tři! Tento trik (šifrování stejné báze pod různá čísla) je jednou z nejoblíbenějších v exponenciálních rovnicích! Pokud není nejoblíbenější. Ano a mimochodem také. Proto je v exponenciálních rovnicích tak důležité pozorování a schopnost rozpoznávat mocniny jiných čísel v číslech!

Praktické rady:

Musíte znát mocniny populárních čísel. V obličeji!

Samozřejmě, každý může zvýšit dvě na sedmou mocninu nebo tři na pátou. Nemyslím, tak alespoň na draftu. Ale v exponenciálních rovnicích je mnohem častěji potřeba nezvyšovat na mocninu, ale naopak zjistit, jaké číslo a do jaké míry se skrývá za číslem řekněme 128 nebo 243. A to už je více komplikovanější než jednoduché umocňování, viďte. Pociťte ten rozdíl, jak se říká!

Vzhledem k tomu, že schopnost rozpoznávat stupně v obličeji je užitečná nejen na této úrovni, ale i na následujících, máme pro vás malý úkol:

Určete, jaké mocniny a jaká čísla jsou čísla:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Odpovědi (samozřejmě rozptýlené):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ano ano! Nedivte se, že odpovědí je více než úkolů. Například 2 8, 4 4 a 16 2 jsou všechny 256.

Úroveň 2. Jednoduché exponenciální rovnice. Rozpoznejte tituly! Záporné a zlomkové exponenty.

Na této úrovni již využíváme naše znalosti titulů naplno. Konkrétně do tohoto fascinujícího procesu zapojujeme negativní a zlomkové ukazatele! Ano ano! Musíme vybudovat moc, že?

Například tato hrozná rovnice:

Opět se nejprve podívejte na základy. Základy jsou různé! A tentokrát si nejsou ani vzdáleně podobné! 5 a 0,04... A k odstranění bází jsou potřeba ty samé... Co dělat?

To je v pořádku! Ve skutečnosti je vše při starém, akorát spojení mezi pětkou a 0,04 je vizuálně špatně viditelné. Jak se dostaneme ven? A přejděme k obvyklému zlomku v čísle 0,04! A tam, jak vidíte, se vše tvoří.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Páni! Ukázalo se, že 0,04 je 1/25! No, kdo by si to pomyslel!)

No, jak? Nyní je spojení mezi čísly 5 a 1/25 lépe vidět? Tak to je...

A nyní, podle pravidel operací s pravomocemi s negativní ukazatel lze napsat pevnou rukou:

To je skvělé. Tak jsme se dostali na stejnou základnu – pět. Nyní nahradíme nepříjemné číslo 0,04 v rovnici 5 -2 a dostaneme:

Opět, podle pravidel operací s pravomocemi, můžeme nyní psát:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Pro každý případ připomínám (najednou, kdo neví), že základní pravidla akce s pravomocemi platí pro žádný ukazatele! Včetně negativních.) Takže klidně vezměte a vynásobte ukazatele (-2) a (x-1) podle odpovídajícího pravidla. Naše rovnice je stále lepší a lepší:

Všechno! Kromě osamělých pětek ve stupních vlevo a vpravo není nic jiného. Rovnice je redukována na kanonickou formu. A pak - po rýhované dráze. Odstraníme pětky a přirovnáme ukazatele:

X 2 –6 X+5=-2(X-1)

Příklad je téměř hotový. Základní matematika středních tříd zůstává - otevíráme (správně!) závorky a shromažďujeme vše vlevo:

X 2 –6 X+5 = -2 X+2

X 2 –4 X+3 = 0

Vyřešíme to a dostaneme dva kořeny:

X 1 = 1; X 2 = 3

To je vše.)

Teď se zamysleme znovu. V tomto příkladu jsme opět museli rozpoznat stejné číslo v různé míře! Totiž vidět zašifrovanou pětku v čísle 0,04. A tentokrát v záporný stupeň! jak jsme to dokázali? V pohybu - v žádném případě. Ale po přechodu z desetinný zlomek 0,04 na obyčejný zlomek 1/25 vše bylo zvýrazněno! A pak celé rozhodnutí šlo jako po másle.)

Proto další zelená praktická rada.

Pokud jsou v exponenciální rovnici desetinné zlomky, pak přejdeme od desetinných zlomků k obyčejným. V běžné zlomky je mnohem snazší rozpoznat mocniny mnoha populárních čísel! Po rozpoznání přejdeme od zlomků k mocninám se zápornými exponenty.

Mějte na paměti, že k takové fintě v exponenciálních rovnicích dochází velmi, velmi často! A osoba není v předmětu. Podívá se třeba na čísla 32 a 0,125 a rozčílí se. Není mu známo, že se jedná o stejnou dvojku, jen v různé míry… Ale vy už jste v předmětu!)

Řešte rovnici:

V! Vypadá to jako tichý horor... Zdání však klame. Toto je nejjednodušší exponenciální rovnice, přestože je děsivá vzhled. A teď vám to ukážu.)

Nejprve se zabýváme všemi čísly sedícími v základech a v koeficientech. Evidentně jsou jiní, to ano. Ale stále to riskujeme a snažíme se je vyrobit stejný! Zkusme se dostat stejné číslo v různých stupních. A nejlépe počet co nejmenší. Začněme tedy dešifrovat!

Se čtyřmi najednou je vše jasné - je to 2 2 . Tak už něco.)

Se zlomkem 0,25 - to ještě není jasné. Nutno zkontrolovat. Používáme praktické rady – přejděte od desítkové k obyčejné:

0,25 = 25/100 = 1/4

Už mnohem lepší. Prozatím je již jasně vidět, že 1/4 je 2 -2. Skvělé a číslo 0,25 je také podobné dvojce.)

Zatím je vše dobré. Ale nejhorší číslo ze všech zůstává - odmocnina ze dvou! Co dělat s touto paprikou? Může být také znázorněn jako mocnina dvou? A kdo ví...

No a zase lezeme do naší pokladnice znalostí o titulech! Tentokrát navíc propojujeme naše znalosti o kořenech. Od průběhu 9. třídy jsme museli snášet, že každý kořen, je-li to žádoucí, lze vždy proměnit v titul se zlomkem.

Takhle:

V našem případě:

Jak! Ukazuje se, že druhá odmocnina ze dvou je 2 1/2. A je to!

To je v pořádku! Všechna naše nepohodlná čísla se ve skutečnosti ukázala jako zašifrovaná dvojka.) Nehádám se, někde velmi sofistikovaně zašifrované. Ale také zvyšujeme profesionalitu při řešení takových šifer! A pak už je vše zřejmé. Čísla 4, 0,25 a odmocninu ze dvou v naší rovnici nahradíme mocninou dvou:

Všechno! Základy všech stupňů v příkladu se staly stejnými - dvěma. A nyní se používají standardní akce se stupni:

a ma n = a m + n

a m:a n = a m-n

(am) n = a mn

Pro levou stranu dostanete:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2 (5 x -16)

Pro pravou stranu bude:

A teď naše zlá rovnice začala vypadat takto:

Pro ty, kteří nepřišli na to, jak přesně tato rovnice dopadla, pak otázka není o exponenciálních rovnicích. Otázka se týká akcí s pravomocemi. Žádal jsem naléhavě, abych to zopakoval těm, kteří mají problémy!

Tady je cílová čára! Získá se kanonický tvar exponenciální rovnice! No, jak? Přesvědčil jsem vás, že to není tak děsivé? ;) Odstraňujeme dvojky a srovnáváme indikátory:

Zbývá pouze vyřešit tuto lineární rovnici. Jak? Samozřejmě s pomocí identických transformací.) Vyřešte, co už tam je! Vynásobte obě části dvěma (pro odstranění zlomku 3/2), posuňte členy s Xs doleva, bez Xs doprava, přineste jedničky, počítejte – a budete šťastní!

Všechno by mělo krásně dopadnout:

X=4

Nyní si rozhodnutí rozmyslete. V tomto příkladu nás zachránil přechod z odmocnina na stupně s exponentem 1/2. Navíc jen taková mazaná transformace nám všude pomohla dosáhnout stejného základu (dvojky), což zachránilo situaci! A nebýt toho, pak bychom měli šanci navždy zamrznout a nikdy se s tímto příkladem nevyrovnat, ano ...

Proto nezanedbáváme následující praktické rady:

Jsou-li v exponenciální rovnici odmocniny, pak přejdeme od odmocnin k mocninám se zlomkovými exponenty. Velmi často pouze taková proměna objasní další situaci.

Samozřejmě, záporné a zlomkové mocniny jsou již mnohem obtížnější. přirozené stupně. Alespoň co se týče zrakového vnímání a hlavně rozpoznávání zprava doleva!

Je jasné, že přímé zvýšení např. dvojky na mocninu -3 nebo čtyřky na mocninu -3/2 tomu tak není. velký problém. Pro ty, kteří vědí.)

Ale jděte třeba hned si to uvědomte

0,125 = 2 -3

Nebo

Tady vládne jen praxe a bohaté zkušenosti, ano. A samozřejmě jasný výhled, Co je záporný a zlomkový exponent. A také - praktické rady! Ano, ano, tyhle zelená.) Doufám, že vám přesto pomohou se lépe orientovat ve všech těch pestrých stupních a výrazně zvýší vaše šance na úspěch! Nezanedbejme je tedy. Nejsem nadarmo v zeleném Občas píšu.)

Na druhou stranu, pokud se stanete „vy“ i s tak exotickými mocnostmi, jako je záporná a zlomková, pak se vaše možnosti v řešení exponenciálních rovnic ohromně rozšíří a budete již schopni zvládnout téměř jakýkoli typ exponenciálních rovnic. No, když ne žádné, tak 80 procent všech exponenciálních rovnic – určitě! Ano, ano, nekecám!

Takže naše první část seznámení s exponenciálními rovnicemi dospěla k logickému závěru. A jako mezitrénink tradičně navrhuji vyřešit trochu po svém.)

Cvičení 1.

Aby moje slova o dešifrování záporných a zlomkových stupňů nebyla marná, navrhuji zahrát si malou hru!

Vyjádřete číslo jako mocninu dvou:

Odpovědi (v nepořádku):

Stalo? Vynikající! Pak uděláme bojovou misi - vyřešíme ty nejjednodušší a jednoduché exponenciální rovnice!

Úkol 2.

Řešte rovnice (všechny odpovědi jsou nepořádek!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Odpovědi:

x=16

X 1 = -1; X 2 = 2

X = 5

Stalo? Opravdu, mnohem jednodušší!

Poté vyřešíme následující hru:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Odpovědi:

X 1 = -2; X 2 = 2

X = 0,5

X 1 = 3; X 2 = 5

A tyto příklady jednoho vlevo? Vynikající! Rostete! Pak je tu pro vás několik dalších příkladů k zakousnutí:

Odpovědi:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; X 2 = 8/3

A je rozhodnuto? No, respekt! Smekám klobouk.) Poučení tedy nebylo marné a počáteční úroveň řešení exponenciálních rovnic lze považovat za úspěšně zvládnutou. Vpřed - další úrovně a složitější rovnice! A nové techniky a přístupy. A nestandardní příklady. A nová překvapení.) To vše - v příští lekci!

Něco nefungovalo? Problémy jsou tedy s největší pravděpodobností v . Nebo v . Nebo obojí zároveň. Tady jsem bezmocný. Opět mohu nabídnout jediné - nebuďte líní a projděte si odkazy.)

Pokračování příště.)

Na youtube kanál našeho webu, abyste byli informováni o všech nových video lekcích.

Nejprve si připomeňme základní vzorce stupňů a jejich vlastnosti.

Součin čísla A stane se samo o sobě nkrát, můžeme tento výraz zapsat jako a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Mocninné nebo exponenciální rovnice- jedná se o rovnice, ve kterých jsou proměnné v mocninách (nebo exponentech) a základem je číslo.

Příklady exponenciálních rovnic:

V tomto příkladu je číslo 6 základ, je vždy dole a proměnná X stupně nebo míry.

Uveďme více příkladů exponenciálních rovnic.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Nyní se podívejme, jak se řeší exponenciální rovnice?

Vezměme si jednoduchou rovnici:

2 x = 2 3

Takový příklad lze vyřešit i v mysli. Je vidět, že x=3. Koneckonců, aby se levá a pravá strana rovnaly, musíte místo x umístit číslo 3.
Nyní se podívejme, jak by mělo být toto rozhodnutí učiněno:

2 x = 2 3
x = 3

Abychom tuto rovnici vyřešili, odstranili jsme stejné důvody(tedy dvojky) a zapsal, co zbylo, to jsou stupně. Dostali jsme odpověď, kterou jsme hledali.

Nyní si shrňme naše řešení.

Algoritmus pro řešení exponenciální rovnice:
1. Nutno zkontrolovat stejný zda základy rovnice vpravo a vlevo. Pokud důvody nejsou stejné, hledáme možnosti řešení tohoto příkladu.
2. Poté, co jsou základy stejné, rovnat se stupně a řešit výslednou novou rovnici.

Nyní vyřešme několik příkladů:

Začněme jednoduše.

Základy na levé a pravé straně se rovnají číslu 2, což znamená, že můžeme základnu zahodit a srovnat jejich stupně.

x+2=4 Ukázalo se, že nejjednodušší rovnice.
x=4-2
x=2
Odpověď: x=2

V následujícím příkladu můžete vidět, že základy jsou různé, jedná se o 3 a 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Nejprve přeneseme devět na pravou stranu, dostaneme:

Nyní musíte vytvořit stejné základy. Víme, že 9=3 2 . Použijme mocninný vzorec (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Dostaneme 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 nyní je jasné, že základny na levé a pravé straně jsou stejné a rovné třem, což znamená, že je můžeme zahodit a srovnat stupně.

3x=2x+16 dostal nejjednodušší rovnici
3x-2x=16
x=16
Odpověď: x=16.

Podívejme se na následující příklad:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Nejprve se podíváme na základny, základny jsou různé dva a čtyři. A my musíme být stejní. Čtyřnásobek převedeme podle vzorce (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

A také používáme jeden vzorec a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Přidejte do rovnice:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Ze stejných důvodů jsme uvedli příklad. Ale překáží nám další čísla 10 a 24. Co s nimi dělat? Když se podíváte pozorně, můžete vidět, že na levé straně opakujeme 2 2x, zde je odpověď - můžeme dát 2 2x ze závorek:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Vypočítejme výraz v závorkách:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Celou rovnici vydělíme 6:

Představte si 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 základny jsou stejné, zahoďte je a srovnejte stupně.
2x \u003d 2 se ukázalo jako nejjednodušší rovnice. Vydělíme 2, dostaneme
x = 1
Odpověď: x = 1.

Pojďme řešit rovnici:

9 x - 12 x 3 x +27 = 0

Pojďme se transformovat:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dostaneme rovnici:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naše základy jsou stejné, rovny 3. V tomto příkladu je zřejmé, že první trojice má stupeň dvakrát (2x) než druhá (jen x). V tomto případě se můžete rozhodnout substituční metoda. Číslo s nejmenším stupněm je nahrazeno:

Poté 3 2x \u003d (3x) 2 \u003d t 2

Všechny stupně nahradíme x v rovnici za t:

t 2 - 12 t + 27 \u003d 0
Dostaneme kvadratickou rovnici. Řešíme přes diskriminant, dostaneme:
D = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3

Zpět k proměnné X.

Vezmeme t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

to znamená,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Byl nalezen jeden kořen. Hledáme druhého z t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpověď: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na stránkách se můžete v sekci POMOC ROZHODNOUT klást otázky, které vás zajímají, určitě vám odpovíme.

Připojte se ke skupině

Řešení exponenciálních rovnic. Příklady.

Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří silně "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc...“)

Co exponenciální rovnice? Toto je rovnice, ve které jsou neznámé (x) a výrazy s nimi indikátory nějaké stupně. A jen tam! To je důležité.

Tady jsi příklady exponenciálních rovnic:

3 x 2 x = 8 x + 3

Poznámka! V základech stupňů (níže) - pouze čísla. V indikátory stupně (nahoře) - široká škála výrazů s x. Pokud se náhle v rovnici objeví x někde jinde než v indikátoru, například:

toto bude rovnice smíšeného typu. Takové rovnice nemají jasná pravidla pro řešení. Zatím o nich nebudeme uvažovat. Zde se budeme zabývat řešení exponenciálních rovnic ve své nejčistší podobě.

Ve skutečnosti ani čistě exponenciální rovnice nejsou vždy jasně vyřešeny. Existují však určité typy exponenciálních rovnic, které lze a měly by být vyřešeny. Toto jsou typy, na které se podíváme.

Řešení nejjednodušších exponenciálních rovnic.

Začněme něčím úplně základním. Například:

I bez jakékoli teorie je jednoduchým výběrem jasné, že x = 2. Nic víc, že!? Žádné další hody s hodnotou x. A nyní se podívejme na řešení této složité exponenciální rovnice:

Co jsme udělali? Ve skutečnosti jsme vyhodili stejné spodky (trojky). Úplně vyhozený. A co potěší, trefte se!

Ve skutečnosti, pokud v exponenciální rovnici nalevo a napravo jsou stejnýčísla v libovolném stupni, tato čísla mohou být odstraněna a rovná se exponenty. Matematika umožňuje. Zbývá vyřešit mnohem jednodušší rovnici. Je to dobré, ne?)

Připomeňme si však ironicky: základny můžete odstranit pouze tehdy, když jsou čísla základů vlevo a vpravo v nádherné izolaci! Bez jakýchkoliv sousedů a koeficientů. Řekněme v rovnicích:

2 x +2 x + 1 = 2 3, nebo

Nemůžete odstranit dvojníky!

No a to nejdůležitější jsme zvládli. Jak se zbavit zla exponenciální výrazy na jednodušší rovnice.

"Tady jsou ty časy!" - říkáš. "Kdo dá takový primitiv na kontrolu a zkoušky!?"

Nucený souhlasit. Nikdo nebude. Teď už ale víte, kam se obrátit při řešení matoucích příkladů. Je třeba si to připomenout, když stejné základní číslo je vlevo - vpravo. Pak bude vše jednodušší. Ve skutečnosti je to klasika matematiky. Vezmeme původní příklad a transformujeme jej na požadované nás mysl. Samozřejmě podle pravidel matematiky.

Zvažte příklady, které vyžadují další úsilí, abyste je přivedli k tomu nejjednoduššímu. Zavolejme jim jednoduché exponenciální rovnice.

Řešení jednoduchých exponenciálních rovnic. Příklady.

Při řešení exponenciálních rovnic platí hlavní pravidla akce s pravomocemi. Bez znalosti těchto akcí nebude nic fungovat.

K akcím s tituly je třeba přidat osobní pozorování a vynalézavost. Potřebujeme stejná základní čísla? Hledáme je tedy v příkladu v explicitní nebo zašifrované podobě.

Podívejme se, jak se to dělá v praxi?

Uveďme si příklad:

2 2x - 8x+1 = 0

První pohled na důvody. Oni... Jsou jiní! Dva a osm. Ale je příliš brzy na to se nechat odradit. Je čas si to připomenout

Dva a osm jsou příbuzní ve stupni.) Je docela možné zapsat:

8 x+1 = (2 3) x+1

Pokud si vzpomeneme na vzorec z akcí s pravomocemi:

(a n) m = a nm,

obecně to funguje skvěle:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Původní příklad vypadá takto:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Přenášíme 2 3 (x+1) doprava (nikdo nezrušil základní matematické akce!), dostaneme:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

To je prakticky vše. Odstranění základny:

Vyřešíme toto monstrum a dostaneme

Toto je správná odpověď.

V tomto příkladu nám pomohla znalost sil dvou. My identifikované v osmičce, zašifrovaná dvojka. Tato technika (kódování společných základen pod různá čísla) je velmi oblíbeným trikem v exponenciálních rovnicích! Ano, dokonce i v logaritmech. Člověk musí být schopen rozpoznat mocniny jiných čísel v číslech. To je nesmírně důležité pro řešení exponenciálních rovnic.

Faktem je, že zvýšení libovolného čísla na jakoukoli mocninu není problém. Násobte, třeba i na kus papíru, a to je vše. Například každý může zvýšit 3 na pátou mocninu. 243 vyjde, pokud znáte násobilku.) Ale v exponenciálních rovnicích je mnohem častěji nutné nezvyšovat na mocninu, ale naopak ... jaké číslo v jakém rozsahu se skrývá za číslem 243, nebo řekněme 343... Tady vám žádná kalkulačka nepomůže.

Musíte znát mocniny některých čísel zrakem, ano... Zacvičíme si?

Určete, jaké mocniny a jaká čísla jsou čísla:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpovědi (v nepořádku, samozřejmě!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Když se podíváte pozorně, můžete vidět zvláštní skutečnost. Existuje více odpovědí než otázek! No, to se stává... Například 2 6 , 4 3 , 8 2 je všech 64.

Předpokládejme, že jste vzali na vědomí informaci o seznámení se s čísly.) Připomínám, že pro řešení exponenciálních rovnic platí celý zásoba matematických znalostí. Včetně nižších středních tříd. Nešel jsi rovnou na střední, že ne?

Například při řešení exponenciálních rovnic velmi často pomáhá uvedení společného činitele mimo závorky (ahoj do 7!). Podívejme se na příklad:

3 2x+4 -11 9 x = 210

A opět první pohled – na pozemek! Základy stupňů jsou různé... Tři a devět. A my chceme, aby byly stejné. No, v tomto případě je touha docela proveditelná!) Protože:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Podle stejných pravidel pro akce s tituly:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

To je skvělé, můžete napsat:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Ze stejných důvodů jsme uvedli příklad. Takže, co bude dál!? Trojky nelze vyhodit... Slepá ulička?

Vůbec ne. Pamatujte na nejuniverzálnější a nejmocnější rozhodovací pravidlo Všechno matematické úkoly:

Pokud nevíte, co dělat, dělejte, co můžete!

Vypadáš, všechno je tvořeno).

Co je v této exponenciální rovnici umět dělat? Ano, levá strana přímo žádá o závorky! Společný faktor 3 2x tomu jasně napovídá. Zkusíme a pak uvidíme:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Příklad je stále lepší a lepší!

Připomínáme, že k odstranění bází potřebujeme čistý stupeň, bez jakýchkoli koeficientů. Vadí nám číslo 70. Vydělíme tedy obě strany rovnice 70, dostaneme:

Op-pa! Všechno bylo v pořádku!

Toto je konečná odpověď.

Stává se však, že se dosáhne vyjíždění ze stejných důvodů, ale nikoli jejich likvidace. To se děje v exponenciálních rovnicích jiného typu. Vezměme tento typ.

Změna proměnné při řešení exponenciálních rovnic. Příklady.

Pojďme řešit rovnici:

4 x - 3 2 x +2 = 0

První - jako obvykle. Pojďme k základně. Na dvojku.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dostaneme rovnici:

2 2x - 3 2x +2 = 0

A tady budeme viset. Předchozí triky nebudou fungovat, ať to otočíte jakkoli. Budeme se muset dostat z arzenálu jiným mocným a všestranným způsobem. Jmenuje se to variabilní substituce.

Podstata metody je překvapivě jednoduchá. Místo jedné složité ikony (v našem případě 2 x) napíšeme jinou, jednodušší (například t). Taková zdánlivě nesmyslná náhrada vede k úžasným výsledkům!) Vše se stává jasným a srozumitelným!

Tak ať

Poté 2 2x \u003d 2x2 \u003d (2x) 2 \u003d t 2

V naší rovnici nahradíme všechny mocniny x za t:

No, svítá?) Kvadratické rovnice ještě nezapomněli? Řešíme přes diskriminant, dostaneme:

Tady jde hlavně o to nepřestat, jak se to stává... Tohle ještě není odpověď, potřebujeme x, ne t. Vracíme se do Xs, tzn. provedení náhrady. Nejprve pro t 1:

to znamená,

Byl nalezen jeden kořen. Hledáme druhého z t 2:

Hm... Vlevo 2 x, Vpravo 1... Zádrhel? Ano, vůbec ne! Stačí si zapamatovat (z akcí s tituly ano ...), že jednota je žádnýčíslo na nulu. Žádný. Cokoli budete potřebovat, my to dáme. Potřebujeme dvojku. Prostředek:

To je vše. Mám 2 kořeny:

Toto je odpověď.

V řešení exponenciálních rovnic na konci se někdy získá nějaký trapný výraz. Typ:

Od sedmičky nefunguje dvojka přes jednoduchý stupeň. Nejsou příbuzní... Jak tady můžu být? Někdo může být zmatený ... Ale ten, kdo četl na tomto webu téma "Co je to logaritmus?" , jen se střídmě usmějte a zapište pevnou rukou naprosto správnou odpověď:

V úlohách "B" na zkoušce taková odpověď nemůže být. Je vyžadováno konkrétní číslo. Ale v úkolech "C" - snadno.

Tato lekce poskytuje příklady řešení nejběžnějších exponenciálních rovnic. Vyzdvihněme to hlavní.

Praktické tipy:

1. Nejprve se podíváme na důvody stupně. Podívejme se, jestli se nedají udělat stejný. Zkusme to udělat aktivním používáním akce s pravomocemi. Nezapomeňte, že čísla bez x lze také převést na stupně!

2. Snažíme se přivést exponenciální rovnici do tvaru, kdy je levá a pravá stejnýčísla v jakékoli míře. Používáme akce s pravomocemi a faktorizace. Co se dá spočítat na čísla – počítáme.

3. Pokud druhá rada nezabrala, zkusíme použít proměnnou substituci. Výsledkem může být snadno řešitelná rovnice. Nejčastěji - čtvercový. Nebo zlomkové, které se také zmenší na čtverec.

4. Pro úspěšné řešení exponenciálních rovnic je potřeba znát stupně některých čísel "od vidění".

Jako obvykle jste na konci lekce vyzváni, abyste něco málo vyřešili.) Na vlastní pěst. Od jednoduchých po složité.

Řešte exponenciální rovnice:

Obtížnější:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Najděte produkt kořenů:

2 3-x + 2 x = 9

Stalo?

No, pak ten nejsložitější příklad (je však vyřešen v mysli...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

co je zajímavější? Pak je tu pro vás špatný příklad. Docela táhne na zvýšenou obtížnost. Naznačím, že v tomto příkladu vynalézavost a nejvíce univerzální pravidlo všechny matematické problémy.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Příklad je jednodušší, pro relaxaci):

9 2 x - 4 3 x = 0

A jako dezert. Najděte součet kořenů rovnice:

x 3 x - 9 x + 7 3 x - 63 = 0

Ano ano! Toto je rovnice smíšeného typu! Což jsme v této lekci nezvažovali. A co za ně považovat, je třeba je vyřešit!) Tato lekce k vyřešení rovnice docela stačí. No, vynalézavost je potřeba ... A ano, sedmá třída vám pomůže (to je nápověda!).

Odpovědi (neuspořádané, oddělené středníky):

jeden; 2; 3; čtyři; neexistují žádná řešení; 2; -2; -5; čtyři; 0.

Je vše úspěšné? Vynikající.

Vyskytl se problém? Žádný problém! Ve zvláštní sekci 555 jsou všechny tyto exponenciální rovnice vyřešeny s podrobným vysvětlením. Co, proč a proč. A samozřejmě jsou zde další cenné informace o práci s nejrůznějšími exponenciálními rovnicemi. Nejen s těmito.)

Poslední zábavná otázka ke zvážení. V této lekci jsme pracovali s exponenciálními rovnicemi. Proč jsem tady neřekl ani slovo o ODZ? V rovnicích je to mimochodem velmi důležitá věc ...

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.