Exponent slouží k usnadnění zápisu operace násobení čísla samotným. Například místo psaní můžete psát 4 5 (\displaystyle 4^(5))(vysvětlení takového přechodu je uvedeno v první části tohoto článku). Exponenty usnadňují psaní dlouhých resp složité výrazy nebo rovnice; mocniny se také snadno sčítají a odečítají, což vede ke zjednodušení výrazu nebo rovnice (např. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Poznámka: pokud potřebujete vyřešit exponenciální rovnici (v takové rovnici je neznámá v exponentu), čtěte.

Kroky

Řešení jednoduchých problémů s pravomocemi

Vynásobte základ exponentu sám o sobě tolikrát, kolikrát se rovná exponentu. Pokud potřebujete vyřešit problém s exponenty ručně, přepište exponent jako operaci násobení, kde se základ exponentu násobí sám. Například vzhledem k titulu 3 4 (\displaystyle 3^(4)). V tomto případě musí být základ stupně 3 vynásoben 4krát: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Zde jsou další příklady:

Nejprve vynásobte první dvě čísla. Například, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Nebojte se – proces výpočtu není tak složitý, jak se na první pohled zdá. Nejprve vynásobte první dva čtyřnásobky a poté je nahraďte výsledkem. Takhle:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Výsledek (v našem příkladu 16) vynásobte dalším číslem. Každý další výsledek se úměrně zvýší. V našem příkladu vynásobte 16 4. Takto:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Pokračujte v násobení výsledku násobení prvních dvou čísel dalším číslem, dokud nezískáte konečnou odpověď. Chcete-li to provést, vynásobte první dvě čísla a poté vynásobte výsledek dalším číslem v pořadí. Tato metoda je platná pro jakýkoli stupeň. V našem příkladu byste měli získat: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Vyřešte následující problémy. Ověřte si svou odpověď na kalkulačce.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Na kalkulačce vyhledejte klíč označený „exp“ nebo „ x n (\displaystyle x^(n))“ nebo „^“. Pomocí tohoto klíče zvýšíte číslo na mocninu. Je prakticky nemožné ručně vypočítat stupeň s velkým exponentem (například stupeň 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ale kalkulačka si s tímto úkolem snadno poradí. Ve Windows 7 lze standardní kalkulačku přepnout do inženýrského režimu; Chcete-li to provést, klikněte na "Zobrazit" -\u003e "Inženýrství". Chcete-li přepnout do normálního režimu, klikněte na "Zobrazit" -\u003e "Normální".

   • Zkontrolujte přijatou odpověď pomocí vyhledávače (Google nebo Yandex). Pomocí klávesy "^" na klávesnici počítače zadejte výraz do vyhledávače, který okamžitě zobrazí správnou odpověď (a případně navrhne podobné výrazy ke studiu).

   Sčítání, odčítání, násobení mocnin

   1. Mocniny můžete sčítat a odečítat, pouze pokud mají stejný základ. Pokud potřebujete sčítat mocniny se stejnými základy a exponenty, můžete operaci sčítání nahradit operací násobení. Například vzhledem k výrazu 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Pamatujte, že titul 4 5 (\displaystyle 4^(5)) může být reprezentován jako 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); tím pádem, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kde 1 + 1 = 2). To znamená, spočítejte počet podobných stupňů a pak vynásobte takový stupeň a toto číslo. V našem příkladu zvedněte 4 na pátou mocninu a výsledek vynásobte 2. Pamatujte, že operace sčítání může být nahrazena operací násobení, např. 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Zde jsou další příklady:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Při násobení mocnin se stejným základem se jejich exponenty sčítají (základ se nemění). Například vzhledem k výrazu x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). V tomto případě stačí přidat indikátory a ponechat základ nezměněný. Takto, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Zde je vizuální vysvětlení tohoto pravidla:

      Při zvýšení mocniny na mocninu se exponenty násobí. Například daný titul. Protože se exponenty násobí, pak (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Smyslem tohoto pravidla je, že násobíte sílu (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na sebe pětkrát. Takhle:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Protože základ je stejný, exponenty se jednoduše sečtou: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Exponent se záporným exponentem by měl být převeden na zlomek (na převrácenou mocninu). Nevadí, když nevíte, co je to reciproční. Pokud dostanete titul se záporným exponentem, např. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), zapište tuto mocninu do jmenovatele zlomku (do čitatele vložte 1) a udělejte exponent kladným. V našem příkladu: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Zde jsou další příklady:

      Při dělení mocnin se stejným základem se jejich exponenty odečítají (základ se nemění). Operace dělení je opakem operace násobení. Například vzhledem k výrazu 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Odečtěte exponent ve jmenovateli od exponentu v čitateli (základ neměňte). Takto, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Stupeň ve jmenovateli lze zapsat takto: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Pamatujte, že zlomek je číslo (mocnina, výraz) se záporným exponentem.

   4. Níže jsou uvedeny některé výrazy, které vám pomohou naučit se řešit problémy s napájením. Výše uvedené výrazy pokrývají materiál uvedený v této části. Chcete-li zobrazit odpověď, zvýrazněte prázdné místo za rovnítkem.

   Řešení úloh se zlomkovými exponenty

   Stupeň se zlomkovým exponentem (například ) se převede na operaci extrakce kořene. V našem příkladu: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nezáleží na tom, jaké číslo je ve jmenovateli zlomkového exponentu. Například, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) je čtvrtý kořen "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Pokud je exponentem nevlastní zlomek, pak lze takový exponent rozložit na dvě mocniny pro zjednodušení řešení úlohy. Na tom není nic složitého – stačí si zapamatovat pravidlo pro násobení mocnin. Například daný titul. Přeměňte tento exponent na odmocninu, jejíž exponent je roven jmenovateli zlomkového exponentu, a poté tento kořen umocněte na exponent rovný čitateli zlomkového exponentu. Chcete-li to provést, pamatujte si to 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). V našem příkladu:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Některé kalkulačky mají tlačítko pro výpočet exponentů (nejprve je třeba zadat základ, poté stisknout tlačítko a poté zadat exponent). Označuje se jako ^ nebo x^y.
   3. Pamatujte, že jakékoli číslo je rovno první mocnině, např. 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Navíc jakékoli číslo vynásobené nebo dělené jednou se rovná samo sobě, např. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) a 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Vězte, že stupeň 0 0 neexistuje (takový stupeň nemá řešení). Když se pokusíte vyřešit takový stupeň na kalkulačce nebo na počítači, dostanete chybu. Ale pamatujte, že jakékoli číslo s mocninou nuly se rovná 1, např. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Ve vyšší matematice, která pracuje s imaginárními čísly: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), kde i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e je konstanta přibližně rovna 2,7; a je libovolná konstanta. Důkaz této rovnosti lze nalézt v jakékoli učebnici vyšší matematiky.

   Varování

   • S rostoucím exponentem jeho hodnota výrazně roste. Pokud se vám tedy odpověď zdá špatná, ve skutečnosti se může ukázat jako pravdivá. Můžete to zkontrolovat vykreslením libovolné exponenciální funkce, například 2 x .

Na youtube kanál našeho webu, abyste byli informováni o všech nových video lekcích.

Nejprve si připomeňme základní vzorce stupňů a jejich vlastnosti.

Součin čísla A stane se samo o sobě nkrát, můžeme tento výraz zapsat jako a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Mocninné nebo exponenciální rovnice- jedná se o rovnice, ve kterých jsou proměnné v mocninách (nebo exponentech) a základem je číslo.

Příklady exponenciálních rovnic:

V tomto příkladu je číslo 6 základ, je vždy dole a proměnná X stupně nebo míry.

Uveďme více příkladů exponenciálních rovnic.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Nyní se podívejme, jak se řeší exponenciální rovnice?

Vezměme si jednoduchou rovnici:

2 x = 2 3

Takový příklad lze vyřešit i v mysli. Je vidět, že x=3. Koneckonců, aby se levá a pravá strana rovnaly, musíte místo x umístit číslo 3.
Nyní se podívejme, jak by mělo být toto rozhodnutí učiněno:

2 x = 2 3
x = 3

Abychom tuto rovnici vyřešili, odstranili jsme stejné důvody(tedy dvojky) a zapsal, co zbylo, to jsou stupně. Dostali jsme odpověď, kterou jsme hledali.

Nyní si shrňme naše řešení.

Algoritmus řešení exponenciální rovnice:
1. Nutno zkontrolovat stejný zda základy rovnice vpravo a vlevo. Pokud důvody nejsou stejné, hledáme možnosti řešení tohoto příkladu.
2. Poté, co jsou základy stejné, rovnat se stupně a řešit výslednou novou rovnici.

Nyní vyřešme několik příkladů:

Začněme jednoduše.

Základy na levé a pravé straně se rovnají číslu 2, což znamená, že můžeme základnu zahodit a srovnat jejich stupně.

x+2=4 Ukázalo se, že nejjednodušší rovnice.
x=4-2
x=2
Odpověď: x=2

V následujícím příkladu můžete vidět, že základy jsou různé, jedná se o 3 a 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Nejprve přeneseme devět na pravou stranu, dostaneme:

Nyní musíte vytvořit stejné základy. Víme, že 9=3 2 . Použijme mocninný vzorec (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Dostaneme 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 nyní je jasné, že základny na levé a pravé straně jsou stejné a rovné třem, což znamená, že je můžeme zahodit a srovnat stupně.

3x=2x+16 dostal nejjednodušší rovnici
3x-2x=16
x=16
Odpověď: x=16.

Podívejme se na následující příklad:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Nejprve se podíváme na základny, základny jsou různé dva a čtyři. A my musíme být stejní. Čtyřnásobek převedeme podle vzorce (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

A také používáme jeden vzorec a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Přidejte do rovnice:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Ze stejných důvodů jsme uvedli příklad. Ale překáží nám další čísla 10 a 24. Co s nimi dělat? Když se podíváte pozorně, můžete vidět, že na levé straně opakujeme 2 2x, zde je odpověď - můžeme dát 2 2x ze závorek:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Vypočítejme výraz v závorkách:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Celou rovnici vydělíme 6:

Představte si 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 základny jsou stejné, zahoďte je a srovnejte stupně.
2x \u003d 2 se ukázalo jako nejjednodušší rovnice. Vydělíme 2, dostaneme
x = 1
Odpověď: x = 1.

Pojďme řešit rovnici:

9 x - 12 x 3 x +27 = 0

Pojďme se transformovat:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dostaneme rovnici:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naše základy jsou stejné, rovny 3. V tomto příkladu je zřejmé, že první trojice má stupeň dvakrát (2x) než druhá (jen x). V tomto případě se můžete rozhodnout substituční metoda. Číslo s nejmenším stupněm je nahrazeno:

Poté 3 2x \u003d (3x) 2 \u003d t 2

Všechny stupně nahradíme x v rovnici za t:

t 2 - 12 t + 27 \u003d 0
Dostaneme kvadratická rovnice. Řešíme přes diskriminant, dostaneme:
D = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3

Zpět k proměnné X.

Vezmeme t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

to znamená,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Byl nalezen jeden kořen. Hledáme druhého z t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpověď: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na stránkách se můžete v sekci POMOC ROZHODNOUT klást otázky, které vás zajímají, určitě vám odpovíme.

Připojte se ke skupině

První úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexní průvodce (2019)

Proč jsou potřebné tituly? Kde je potřebujete? Proč potřebujete trávit čas jejich studiem?

Chcete-li se dozvědět vše o titulech, k čemu jsou, jak využít své znalosti Každodenní život přečtěte si tento článek.

A samozřejmě znalost stupňů vás přiblíží k úspěchu absolvování OGE nebo Jednotnou státní zkoušku a vstoupit na univerzitu svých snů.

Pojďme... (Pojďme!)

Důležitá poznámka! Pokud místo vzorců vidíte bláboly, vymažte mezipaměť. Chcete-li to provést, stiskněte CTRL+F5 (v systému Windows) nebo Cmd+R (v systému Mac).

PRVNÍ ÚROVEŇ

Umocňování je stejná matematická operace jako sčítání, odčítání, násobení nebo dělení.

Nyní vše vysvětlím v lidské řeči velmi jednoduché příklady. Buď opatrný. Příklady jsou elementární, ale vysvětlují důležité věci.

Začněme sčítáním.

Tady není co vysvětlovat. Všechno už víte: je nás osm. Každý má dvě láhve coly. Kolik coly? Správně - 16 lahví.

Nyní násobení.

Stejný příklad s colou lze napsat jiným způsobem: . Matematici jsou mazaní a líní lidé. Nejprve si všimnou nějakých vzorců a pak vymyslí způsob, jak je „spočítat“ rychleji. V našem případě si všimli, že každý z osmi lidí má stejný počet lahví coly a přišli s technikou zvanou násobení. Souhlasíte, je to považováno za jednodušší a rychlejší než.

Chcete-li tedy počítat rychleji, snadněji a bez chyb, stačí si pamatovat násobilka. Samozřejmě vše můžete dělat pomaleji, tvrději a s chybami! Ale…

Zde je tabulka násobení. Opakovat.

A další, hezčí:

A jaké další záludné počítací triky vymysleli líní matematici? správně - zvýšení čísla na mocninu.

Zvyšování čísla na mocninu

Pokud potřebujete vynásobit číslo samo o sobě pětkrát, pak matematici říkají, že musíte toto číslo zvýšit na pátou mocninu. Například, . Matematici si pamatují, že dvě až pátá mocnina je. A takové problémy řeší ve své mysli – rychleji, snadněji a bez chyb.

K tomu potřebujete pouze zapamatujte si, co je barevně zvýrazněno v tabulce mocnin čísel. Věřte mi, že vám to hodně usnadní život.

Mimochodem, proč se říká druhému stupni náměstíčísla a třetí krychle? Co to znamená? Velmi dobrá otázka. Nyní budete mít čtverce i kostky.

Příklad ze života #1

Začněme druhou mocninou čísla.

Představte si čtvercový bazén o rozměrech metry na metry. Bazén je na vaší zahradě. Je horko a moc se mi chce plavat. Ale ... bazén bez dna! Dno bazénu je nutné obložit dlažbou. Kolik dlaždic potřebujete? Abyste to mohli určit, musíte znát oblast dna bazénu.

Jednoduše šťouchnutím prstu spočítáte, že dno bazénu se skládá z kostek metr po metru. Pokud jsou vaše dlaždice metr po metru, budete potřebovat kusy. Je to snadné... Ale kde jsi viděl takovou dlaždici? Dlaždice bude spíše cm na cm a pak vás bude trápit „počítání prstem“. Pak musíte násobit. Takže na jednu stranu dna bazénu položíme dlaždice (kusy) a na druhou také dlaždice. Vynásobením získáte dlaždice ().

Všimli jste si, že jsme vynásobili stejné číslo, abychom určili plochu dna bazénu? Co to znamená? Protože se stejné číslo násobí, můžeme použít techniku ​​umocňování. (Samozřejmě, když máte jen dvě čísla, musíte je ještě vynásobit nebo je umocnit na mocninu. Pokud jich ale máte hodně, pak je umocnění mnohem jednodušší a také je ve výpočtech méně chyb U zkoušky je to velmi důležité).
Takže třicet až druhý stupeň bude (). Nebo můžete říci, že bude třicet čtverečních. Jinými slovy, druhá mocnina čísla může být vždy reprezentována jako čtverec. A naopak, pokud vidíte čtverec, je to VŽDY druhá mocnina nějakého čísla. Čtverec je obrazem druhé mocniny čísla.

Příklad ze života číslo 2

Zde je úkol pro vás, spočítat, kolik polí je na šachovnici pomocí druhé mocniny čísla... Na jedné straně buněk a na druhé také. Chcete-li spočítat jejich počet, musíte vynásobit osm osmi, nebo ... pokud si všimnete, že šachovnice je pole se stranou, můžete odmocnit osm. Získejte buňky. () Tak?

Příklad ze života číslo 3

Nyní krychle nebo třetí mocnina čísla. Stejný bazén. Nyní však musíte zjistit, kolik vody bude nutné do tohoto bazénu nalít. Musíte vypočítat objem. (Mimochodem, objemy a kapaliny se měří v metrech krychlových. Nečekané, že?) Nakreslete bazén: dno o velikosti jeden metr a hloubce metr a zkuste spočítat, kolik krychlí o rozměrech metr na metr vstoupí do vašeho bazén.

Stačí ukázat prstem a počítat! Jedna, dva, tři, čtyři...dvacet dva, dvacet tři... Kolik to vyšlo? Neztratili jste se? Je těžké počítat prstem? Aby! Vezměte si příklad od matematiků. Jsou líní, a tak si všimli, že pro výpočet objemu bazénu je potřeba vynásobit jeho délku, šířku a výšku navzájem. V našem případě bude objem bazénu roven kostkám ... Jednodušší, že?

A teď si představte, jak jsou matematici líní a mazaní, když to příliš zjednodušují. Vše zredukováno na jednu akci. Všimli si, že délka, šířka a výška jsou stejné a že stejné číslo se samo násobí... A co to znamená? To znamená, že můžete použít stupeň. Takže to, co jste kdysi spočítali prstem, udělají v jedné akci: tři v kostce se rovnají. Píše se to takto:

Zůstává pouze zapamatovat si tabulku stupňů. Pokud ovšem nejste líní a mazaní jako matematici. Pokud rádi tvrdě pracujete a děláte chyby, můžete dál počítat prstem.

Abychom vás konečně přesvědčili, že tituly vymysleli povaleči a mazaní lidé, aby řešili své životní problémy, a ne aby vám dělali problémy, zde je pár dalších příkladů ze života.

Příklad ze života #4

Máte milion rublů. Na začátku každého roku si za každý milion vyděláte další milion. To znamená, že každý váš milion se na začátku každého roku zdvojnásobí. Kolik peněz budete mít za roky? Pokud teď sedíte a „počítáte prstem“, pak jste velmi pracovitý člověk a .. hloupý. Ale s největší pravděpodobností dáš odpověď za pár sekund, protože jsi chytrý! Takže v prvním roce - dvakrát dva ... ve druhém roce - co se stalo, o dva více, ve třetím roce ... Stop! Všimli jste si, že číslo se jednou násobí samo sebou. Takže dvě ku páté mocnině je milion! Teď si představte, že máte soutěž a ten, kdo počítá rychleji, dostane tyto miliony ... Má cenu si připomínat stupně čísel, co myslíte?

Příklad ze života číslo 5

Máte milion. Na začátku každého roku vyděláte za každý milion dva další. Je to skvělé, že? Každý milion se ztrojnásobí. Kolik peněz budete mít za rok? Pojďme počítat. První rok - násobte, pak výsledek dalším... Už je to nuda, protože už jste všemu rozuměli: tři se násobí samo sebou krát. Čtvrtá mocnina je tedy milion. Jen je třeba si uvědomit, že tři až čtvrtá mocnina je nebo.

Nyní už víte, že zvýšením čísla na mocninu si značně usnadníte život. Pojďme se dále podívat na to, co můžete dělat s tituly a co o nich potřebujete vědět.

Termíny a pojmy ... abyste se nepletli

Nejprve si tedy definujme pojmy. Co myslíš, co je exponent? Je to velmi jednoduché – jde o číslo, které je „nahoře“ mocniny čísla. Není to vědecké, ale jasné a snadno zapamatovatelné...

No a zároveň co takový základ stupně? Ještě jednodušší je číslo, které je dole, na základně.

Tady máte pro jistotu obrázek.

No a dovnitř obecný pohled pro zobecnění a lepší zapamatování ... Stupeň se základem "" a exponentem "" se čte jako "do stupně" a zapisuje se takto:

Mocnina čísla s přirozeným exponentem

Pravděpodobně už tušíte: protože exponent je přirozené číslo. Ano, ale co je přirozené číslo? Základní! Přirozená čísla jsou ta, která se používají při počítání při výpisu položek: jedna, dvě, tři ... Když počítáme položky, neříkáme: „mínus pět“, „mínus šest“, „mínus sedm“. Neříkáme ani „jedna třetina“ nebo „nula bod pět desetin“. To nejsou přirozená čísla. Jaká jsou podle vás tato čísla?

Čísla jako "mínus pět", "mínus šest", "mínus sedm" odkazují celá čísla. Obecně platí, že celá čísla zahrnují všechna přirozená čísla, čísla opačná k přirozeným číslům (tj. braná se znaménkem mínus) a číslo. Nula je snadno pochopitelná - to je, když není nic. A co znamenají záporná („mínusová“) čísla? Byly však vynalezeny především k označení dluhů: pokud máte na telefonu zůstatek v rublech, znamená to, že dlužíte operátorovi v rublech.

Všechny zlomky jsou racionální čísla. Jak k nim došlo, co myslíte? Velmi jednoduché. Před několika tisíci lety naši předkové zjistili, že jim chybí přirozená čísla pro měření délky, hmotnosti, plochy atd. A přišli na to racionální čísla… Zajímavé, že?

Existují i ​​iracionální čísla. Jaká jsou tato čísla? Zkrátka nekonečné desetinný. Pokud například vydělíte obvod kruhu jeho průměrem, dostanete iracionální číslo.

Souhrn:

Definujme si pojem stupně, jehož exponentem je přirozené číslo (tedy celé a kladné).

1. Jakékoli číslo k první mocnině se rovná samo sobě:
2. Odmocnit číslo znamená vynásobit ho samo sebou:
3. Krychlit číslo znamená vynásobit ho samo sebou třikrát:

Definice. Zvyšte číslo na přirozený stupeň znamená vynásobit číslo samo sebou krát:
.

Vlastnosti stupně

Kde se tyto vlastnosti vzaly? Teď vám to ukážu.

Podívejme se, co je a ?

Podle definice:

Kolik je celkem násobitelů?

Je to velmi jednoduché: k faktorům jsme přidali faktory a výsledkem jsou faktory.

Ale podle definice se jedná o stupeň čísla s exponentem, tedy: , který musel být dokázán.

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení:

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení: Je důležité si uvědomit, že v našem pravidle nezbytně musí to být stejný důvod!
Proto kombinujeme stupně se základnou, ale zůstáváme samostatným faktorem:

pouze pro produkty sil!

V žádném případě to nepište.

2. to je -tá mocnina čísla

Stejně jako u předchozí vlastnosti se vraťme k definici stupně:

Ukazuje se, že výraz se sám násobí jednou, to znamená, že podle definice je to ta mocnina čísla:

Ve skutečnosti to lze nazvat „závorkováním indikátoru“. Ale nikdy to nemůžete udělat úplně:

Připomeňme si vzorce pro zkrácené násobení: kolikrát jsme chtěli psát?

Ale to není pravda, opravdu.

Titul se záporným základem

Do této chvíle jsme diskutovali pouze o tom, jaký by měl být exponent.

Co by ale mělo být základem?

Ve stupních od přirozený indikátor základ může být jakékoliv číslo. Ve skutečnosti můžeme násobit navzájem libovolné číslo, ať už je kladné, záporné nebo sudé.

Zamysleme se nad tím, která znaménka (" " nebo "") budou mít stupně kladných a záporných čísel?

Bude například číslo kladné nebo záporné? ALE? ? U prvního je vše jasné: bez ohledu na to, jak moc kladná čísla vzájemně jsme se nemnožili, výsledek bude pozitivní.

Ale ty negativní jsou o něco zajímavější. Ostatně si pamatujeme jednoduché pravidlo ze 6. třídy: „mínus krát mínus dává plus“. To znamená, popř. Ale když to vynásobíme, vyjde to.

Určete sami, jaké znamení budou mít následující výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli jste to?

Zde jsou odpovědi: V prvních čtyřech příkladech je doufám vše jasné? Jednoduše se podíváme na základ a exponent a použijeme příslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V příkladu 5) také není všechno tak děsivé, jak se zdá: nezáleží na tom, čemu se rovná základna - stupeň je sudý, což znamená, že výsledek bude vždy pozitivní.

Tedy kromě případů, kdy je základ nula. Základ není stejný, že? Očividně ne, protože (protože).

Příklad 6) už není tak jednoduchý!

6 praktických příkladů

Rozbor řešení 6 příkladů

Pokud nebudeme věnovat pozornost osmému stupni, co zde vidíme? Pojďme se podívat na program 7. třídy. Takže, pamatuješ? To je zkrácený násobící vzorec, totiž rozdíl druhých mocnin! Dostaneme:

Pečlivě se podíváme na jmenovatele. Vypadá to hodně jako jeden z faktorů čitatele, ale co je špatně? Špatné pořadí termínů. Pokud by došlo k jejich záměně, mohlo by platit pravidlo.

Ale jak to udělat? Ukazuje se, že je to velmi snadné: zde nám pomáhá sudý stupeň jmenovatele.

Termíny magicky změnily místa. Tento „fenomén“ platí pro jakýkoli výraz v sudé míře: znaménka v závorkách můžeme libovolně měnit.

Ale je důležité si pamatovat: všechny znaky se mění současně!

Vraťme se k příkladu:

A opět vzorec:

Celý pojmenováváme přirozená čísla, jejich protiklady (tedy brané se znaménkem "") a číslo.

kladné celé číslo, a neliší se od přírodního, pak vše vypadá přesně jako v předchozí části.

Nyní se podívejme na nové případy. Začněme s ukazatelem rovným.

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné:

Jako vždy se ptáme sami sebe: proč tomu tak je?

Zvažte nějakou sílu se základnou. Vezměte si například a vynásobte:

Takže jsme číslo vynásobili a dostali jsme stejné, jako bylo -. Jakým číslem se musí vynásobit, aby se nic nezměnilo? Přesně tak, dál. Prostředek.

Totéž můžeme udělat s libovolným číslem:

Zopakujme si pravidlo:

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné.

Ale existují výjimky z mnoha pravidel. A tady je to také tam - toto je číslo (jako základ).

Na jednu stranu se musí rovnat libovolnému stupni – ať násobíte nulu jakkoli sama sebou, stejně dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhou stranu, jako každé číslo na nulový stupeň se musí rovnat. Tak co je na tom pravdy? Matematici se rozhodli nezasahovat a odmítli zvýšit nulu na nulovou mocninu. To znamená, že nyní můžeme nejen dělit nulou, ale také zvýšit na nulovou mocninu.

Pojďme dále. Kromě přirozených čísel a čísel zahrnují celá čísla i záporná čísla. Abychom pochopili, co je záporný stupeň, udělejme totéž jako minule: vynásobíme nějaké normální číslo stejným v záporném stupni:

Odtud je již snadné vyjádřit požadované:

Nyní rozšíříme výsledné pravidlo na libovolnou míru:

Pojďme tedy formulovat pravidlo:

Číslo k záporné mocnině je inverzí stejného čísla ke kladné mocnině. Ale v tu samou dobu základ nemůže být null:(protože to nejde rozdělit).

Pojďme si to shrnout:

I. Výraz není definován v case. Pokud, tak.

II. Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné: .

III. Číslo, které se nerovná nule k záporné mocnině, je inverzí stejného čísla k kladné mocnině: .

Úkoly pro samostatné řešení:

No, jako obvykle, příklady pro nezávislé řešení:

Analýza úloh pro samostatné řešení:

Já vím, já vím, čísla jsou děsivá, ale u zkoušky musíte být připraveni na všechno! Vyřešte tyto příklady nebo rozeberte jejich řešení, pokud jste to nedokázali vyřešit a ve zkoušce se naučíte, jak si s nimi snadno poradit!

Pokračujme v rozšiřování rozsahu čísel „vhodných“ jako exponent.

Nyní zvažte racionální čísla. Jaká čísla se nazývají racionální?

Odpověď: vše, co může být reprezentováno jako zlomek, kde a jsou celá čísla, navíc.

Abychom pochopili, co je "zlomkový stupeň" Uvažujme zlomek:

Uveďme obě strany rovnice na mocninu:

Nyní si zapamatujte pravidlo "od stupně ke stupni":

Jaké číslo musí být zvýšeno na mocninu, abyste získali?

Tato formulace je definicí kořene tého stupně.

Dovolte mi, abych vám připomněl: odmocnina tý mocniny čísla () je číslo, které se po umocnění rovná.

To znamená, že kořen tého stupně je inverzní operace umocňování: .

Ukázalo se, že. Tento speciální případ lze samozřejmě rozšířit: .

Nyní přidejte čitatel: co to je? Odpověď lze snadno získat pomocí pravidla power-to-power:

Ale může být základem jakékoliv číslo? Koneckonců, kořen nelze extrahovat ze všech čísel.

Žádný!

Pamatujte na pravidlo: každé číslo umocněné na sudou mocninu je kladné číslo. To znamená, že je nemožné extrahovat kořeny sudého stupně ze záporných čísel!

A to znamená, že taková čísla nelze umocnit na zlomkovou mocninu se sudým jmenovatelem, to znamená, že výraz nedává smysl.

A co výraz?

Zde ale nastává problém.

Číslo může být reprezentováno jako jiné, redukované zlomky, například, popř.

A ukáže se, že existuje, ale neexistuje, a to jsou jen dva různé záznamy stejného čísla.

Nebo jiný příklad: jednou, pak si to můžete zapsat. Jakmile ale zapíšeme indikátor jiným způsobem, opět máme problém: (to znamená, že jsme dostali úplně jiný výsledek!).

Abyste se vyhnuli takovým paradoxům, zvažte pouze kladný základní exponent se zlomkovým exponentem.

Takže když:

• - přirozené číslo;
• je celé číslo;

Příklady:

Mocniny s racionálním exponentem jsou velmi užitečné pro transformaci výrazů s kořeny, například:

5 praktických příkladů

Rozbor 5 příkladů pro školení

No, teď - to nejtěžší. Nyní budeme analyzovat stupně s iracionálním exponentem.

Všechna pravidla a vlastnosti stupňů jsou zde úplně stejné jako pro stupně s racionálním exponentem, s výjimkou

Ve skutečnosti jsou iracionální čísla podle definice čísla, která nelze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla (to znamená, že iracionální čísla jsou všechna reálná čísla kromě racionálních).

Při studiu titulů s přirozeným, celočíselným a racionálním ukazatelem jsme si pokaždé vytvořili určitý „obraz“, „analogii“ nebo popis ve známějších pojmech.

Například přirozený exponent je číslo násobené sebou samým několikrát;

...nulový výkon- je to jakoby číslo, které se jednou vynásobilo samo sebou, to znamená, že se ještě nezačalo násobit, to znamená, že se samotné číslo ještě ani neobjevilo - výsledkem je tedy pouze určité „číslo prázdné“ , jmenovitě číslo;

...záporný exponent celého čísla- jako by proběhl určitý „obrácený proces“, to znamená, že číslo nebylo samo násobeno, ale rozděleno.

Mimochodem, věda často používá stupeň s komplexním exponentem, to znamená, že exponent není ani skutečné číslo.

Ale ve škole o takových potížích nepřemýšlíme, v ústavu budete mít příležitost porozumět těmto novým konceptům.

KAM JSME JISTÍ, ŽE PŮJDETE! (pokud se naučíte řešit takové příklady :))

Například:

Rozhodněte se sami:

Analýza řešení:

1. Začněme již obvyklým pravidlem pro zvyšování titulu na stupeň:

Nyní se podívejte na skóre. Připomíná vám něco? Připomínáme vzorec pro zkrácené násobení rozdílu čtverců:

V tomto případě,

Ukázalo se, že:

Odpovědět: .

2. Zlomky v exponentech přivedeme do stejného tvaru: buď oba desetinné, nebo oba obyčejné. Dostáváme například:

Odpověď: 16

3. Nic zvláštního, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňů:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Definice stupně

Stupeň je vyjádřením tvaru: , kde:

• — základ stupně;
• - exponent.

Stupeň s přirozeným exponentem (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšení čísla na přirozenou mocninu n znamená vynásobení čísla samo o sobě krát:

Mocnina s celočíselným exponentem (0, ±1, ±2,...)

Pokud je exponent kladné celé čísločíslo:

erekce na nulový výkon:

Výraz je neurčitý, protože na jedné straně je do jakéhokoli stupně toto a na druhé straně jakékoli číslo do tého stupně je toto.

Pokud je exponent celé číslo zápornéčíslo:

(protože to nejde rozdělit).

Ještě jednou o nulách: výraz není v případě definován. Pokud, tak.

Příklady:

Stupeň s racionálním exponentem

• - přirozené číslo;
• je celé číslo;

Příklady:

Vlastnosti stupně

Abychom usnadnili řešení problémů, pokusme se pochopit: odkud se tyto vlastnosti vzaly? Pojďme je dokázat.

Podívejme se: co je a?

Podle definice:

Takže na pravé straně tohoto výrazu se získá následující produkt:

Ale podle definice se jedná o mocninu čísla s exponentem, tedy:

Q.E.D.

Příklad : Zjednodušte výraz.

Řešení : .

Příklad : Zjednodušte výraz.

Řešení : Je důležité si uvědomit, že v našem pravidle nezbytně musí mít stejný základ. Proto kombinujeme stupně se základnou, ale zůstáváme samostatným faktorem:

Další důležitá poznámka: toto pravidlo - pouze pro produkty mocností!

To bych za žádných okolností neměl psát.

Stejně jako u předchozí vlastnosti se vraťme k definici stupně:

Přeuspořádejme to takto:

Ukazuje se, že výraz se sám násobí jednou, to znamená, že podle definice je to -tá mocnina čísla:

Ve skutečnosti to lze nazvat „závorkováním indikátoru“. Ale nikdy to nemůžete udělat úplně:!

Připomeňme si vzorce pro zkrácené násobení: kolikrát jsme chtěli psát? Ale to není pravda, opravdu.

Moc s negativní bází.

Do této chvíle jsme diskutovali pouze o tom, co by mělo být index stupeň. Co by ale mělo být základem? Ve stupních od přírodní indikátor základ může být jakékoliv číslo .

Ve skutečnosti můžeme násobit navzájem libovolné číslo, ať už je kladné, záporné nebo sudé. Zamysleme se nad tím, která znaménka ("" nebo "") budou mít stupně kladných a záporných čísel?

Bude například číslo kladné nebo záporné? ALE? ?

U prvního je vše jasné: bez ohledu na to, kolik kladných čísel navzájem vynásobíme, výsledek bude kladný.

Ale ty negativní jsou o něco zajímavější. Ostatně si pamatujeme jednoduché pravidlo ze 6. třídy: „mínus krát mínus dává plus“. To znamená, popř. Pokud ale vynásobíme (), dostaneme -.

A tak dále ad infinitum: s každým dalším násobením se znaménko změní. Je možné takové formulovat jednoduchá pravidla:

1. dokonce stupeň, - číslo pozitivní.
2. Záporné číslo, postavený v zvláštní stupeň, - číslo negativní.
3. Kladné číslo k libovolné mocnině je kladné číslo.
4. Nula k libovolné mocnině se rovná nule.

Určete sami, jaké znamení budou mít následující výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli jste to? Zde jsou odpovědi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V prvních čtyřech příkladech je doufám vše jasné? Jednoduše se podíváme na základ a exponent a použijeme příslušné pravidlo.

V příkladu 5) také není všechno tak děsivé, jak se zdá: nezáleží na tom, čemu se rovná základna - stupeň je sudý, což znamená, že výsledek bude vždy pozitivní. Tedy kromě případů, kdy je základ nula. Základ není stejný, že? Očividně ne, protože (protože).

Příklad 6) již není tak jednoduchý. Zde musíte zjistit, co je méně: nebo? Pokud si to pamatujete, je to jasné, což znamená, že základna je menší než nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledek bude záporný.

A opět použijeme definici stupně:

Vše je jako obvykle - zapíšeme definici stupňů a rozdělíme je na sebe, rozdělíme do dvojic a dostaneme:

Před analýzou posledního pravidla vyřešme několik příkladů.

Vypočítejte hodnoty výrazů:

Řešení :

Pokud nebudeme věnovat pozornost osmému stupni, co zde vidíme? Pojďme se podívat na program 7. třídy. Takže, pamatuješ? To je zkrácený násobící vzorec, totiž rozdíl druhých mocnin!

Dostaneme:

Pozorně se podíváme na jmenovatele. Vypadá to hodně jako jeden z faktorů čitatele, ale co je špatně? Špatné pořadí termínů. Pokud by byly obráceny, mohlo by být aplikováno pravidlo 3. Ale jak to udělat? Ukazuje se, že je to velmi snadné: zde nám pomáhá sudý stupeň jmenovatele.

Když to vynásobíte, nic se nezmění, že? Ale teď to vypadá takto:

Termíny magicky změnily místa. Tento „fenomén“ platí pro jakýkoli výraz v sudé míře: znaménka v závorkách můžeme libovolně měnit. Ale je důležité si pamatovat: všechna znamení se mění současně! Nelze to nahradit změnou pouze jednoho pro nás nežádoucího mínus!

Vraťme se k příkladu:

A opět vzorec:

Takže teď poslední pravidlo:

Jak to chceme dokázat? Samozřejmě, jako obvykle: rozšíříme koncept stupně a zjednodušíme:

No, teď otevřeme závorky. Kolik bude písmen? časy násobiteli - jak to vypadá? To není nic jiného než definice operace násobení: celkem se ukázalo, že existují multiplikátory. To znamená, že je to podle definice mocnina čísla s exponentem:

Příklad:

Stupeň s iracionálním exponentem

Kromě informací o stupních pro průměrnou úroveň budeme analyzovat stupeň s iracionálním ukazatelem. Všechna pravidla a vlastnosti stupňů jsou zde úplně stejné jako u stupně s racionálním exponentem, s výjimkou - ostatně iracionální čísla jsou z definice čísla, která nelze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla (tj. , iracionální čísla jsou všechna reálná čísla kromě racionálních).

Při studiu titulů s přirozeným, celočíselným a racionálním ukazatelem jsme si pokaždé vytvořili určitý „obraz“, „analogii“ nebo popis ve známějších pojmech. Například přirozený exponent je číslo násobené sebou samým několikrát; číslo do nultého stupně je jakoby číslo, které se jednou násobí samo sebou, to znamená, že se ještě nezačalo násobit, což znamená, že se číslo samotné ještě ani neobjevilo - výsledkem je tedy pouze určitá „příprava čísla“, jmenovitě číslo; stupeň s celočíselným záporným ukazatelem - jako by nastal určitý „obrácený proces“, to znamená, že číslo nebylo vynásobeno samo sebou, ale rozděleno.

Je extrémně obtížné si představit stupeň s iracionálním exponentem (stejně jako je obtížné si představit 4-rozměrný prostor). Jde spíše o čistě matematický objekt, který matematici vytvořili, aby rozšířili pojem stupně na celý prostor čísel.

Mimochodem, věda často používá stupeň s komplexním exponentem, to znamená, že exponent není ani skutečné číslo. Ale ve škole o takových potížích nepřemýšlíme, v ústavu budete mít příležitost porozumět těmto novým konceptům.

Co tedy uděláme, když vidíme iracionální exponent? Snažíme se, abychom se toho zbavili! :)

Například:

Rozhodněte se sami:

1)

2)

3)

Odpovědi:

1. Pamatujte na rozdíl ve vzorcích čtverců. Odpovědět: .
2. Zlomky přivedeme do stejného tvaru: buď obě desetinná, nebo obě obyčejná. Dostáváme například: .
3. Nic zvláštního, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňů:

SHRNUTÍ ODDÍLU A ZÁKLADNÍ VZORCE

Stupeň se nazývá výraz ve tvaru: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentem

stupně, jehož exponentem je přirozené číslo (tedy celé a kladné).

Stupeň s racionálním exponentem

stupně, jehož ukazatelem jsou záporná a zlomková čísla.

Stupeň s iracionálním exponentem

exponent, jehož exponent je nekonečný desetinný zlomek nebo odmocnina.

Vlastnosti stupně

Vlastnosti stupňů.

• Záporné číslo zvýšeno na dokonce stupeň, - číslo pozitivní.
• Záporné číslo zvýšeno na zvláštní stupeň, - číslo negativní.
• Kladné číslo k libovolné mocnině je kladné číslo.
• Nula se rovná jakékoli síle.
• Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná.

TEĎ MÁTE SLOVO...

Jak se vám článek líbí? Dejte mi vědět v komentářích níže, jestli se vám to líbilo nebo ne.

Řekněte nám o svých zkušenostech s vlastnostmi napájení.

Možná máte otázky. Nebo návrhy.

Pište do komentářů.

A hodně štěstí u zkoušek!

Výrazy, konverze výrazů

Mocninné výrazy (výrazy s mocninami) a jejich transformace

V tomto článku budeme hovořit o transformaci výrazů pomocí mocnin. Nejprve se zaměříme na transformace, které se provádějí s výrazy jakéhokoli druhu, včetně mocninných výrazů, jako jsou otevírací závorky, redukující podobné výrazy. A pak budeme analyzovat transformace vlastní konkrétně výrazům se stupni: práce se základem a exponentem, používání vlastností stupňů atd.

Navigace na stránce.

Co jsou mocenské výrazy?

Pojem "mocenské výrazy" se ve školních učebnicích matematiky prakticky nevyskytuje, ale často se objevuje ve sbírkách úloh, zejména určených k přípravě například na Jednotnou státní zkoušku a OGE. Po analýze úloh, ve kterých je nutné provádět nějaké akce s mocninnými výrazy, je jasné, že mocninné výrazy jsou chápány jako výrazy obsahující ve svých záznamech stupně. Proto si pro sebe můžete vzít následující definici:

Definice.

Mocenské výrazy jsou výrazy obsahující mocniny.

Pojďme přinést příklady mocenských výrazů. Navíc je budeme reprezentovat podle toho, jak probíhá vývoj názorů na stupeň s přirozeným ukazatelem na stupeň s reálným ukazatelem.

Jak víte, nejprve se seznámíte se stupněm čísla s přirozeným exponentem, v této fázi první nejjednodušší mocninné výrazy typu 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atd.

O něco později je studována mocnina čísla s celočíselným exponentem, což vede k výskytu mocninných výrazů se zápornými celočíselnými mocninami, jako jsou následující: 3 −2, , a -2 +2 b -3 + c2.

Ve vyšších třídách se opět vracejí ke stupňům. Tam je zaveden stupeň s racionálním exponentem, který vede k výskytu odpovídajících mocninných výrazů: , , atd. Nakonec jsou uvažovány stupně s iracionálními exponenty a výrazy, které je obsahují: , .

Věc se neomezuje jen na vyjmenované mocninné výrazy: dále proměnná proniká do exponentu a existují např. takové výrazy 2 x 2 +1 popř. . A po seznámení se začnou objevovat výrazy s mocninami a logaritmy, například x 2 lgx −5 x lgx.

Takže jsme přišli na otázku, co jsou mocenské výrazy. Dále se naučíme, jak je transformovat.

Hlavní typy transformací mocninných výrazů

Pomocí mocninných výrazů můžete provádět libovolnou ze základních transformací identity výrazů. Můžete například otevřít závorky, vyměnit číselné výrazy jejich hodnoty, přinášejí podobné termíny atd. Přirozeně je v tomto případě nutné dodržet přijatý postup provádění úkonů. Uveďme příklady.

Příklad.

Vypočítejte hodnotu mocninného výrazu 2 3 ·(4 2 −12) .

Řešení.

Podle pořadí akcí nejprve provedeme akce v závorkách. Tam za prvé nahradíme mocninu 4 2 její hodnotou 16 (popřípadě viz.) a za druhé vypočítáme rozdíl 16−12=4 . My máme 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Ve výsledném výrazu nahradíme mocninu 2 3 její hodnotou 8 , načež vypočteme součin 8·4=32 . Toto je požadovaná hodnota.

Tak, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Odpovědět:

2 3 (4 2 -12) = 32 .

Příklad.

Zjednodušte mocenské výrazy 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Řešení.

Je zřejmé, že tento výraz obsahuje podobné výrazy 3 · a 4 · b − 7 a 2 · a 4 · b − 7 a můžeme je redukovat: .

Odpovědět:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Příklad.

Vyjádřete výraz se schopnostmi jako produkt.

Řešení.

Vyrovnat se s úlohou umožňuje zobrazení čísla 9 jako mocniny 3 2 a následné použití zkráceného vzorce pro násobení rozdílu čtverců:

Odpovědět:

Existuje také řada identických transformací, které jsou vlastní mocninným výrazům. Dále je budeme analyzovat.

Práce se základnou a exponentem

Existují stupně, jejichž základem a/nebo ukazatelem nejsou jen čísla nebo proměnné, ale některé výrazy. Jako příklad napišme (2+0,3 7) 5−3,7 a (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Při práci s takovými výrazy je možné nahradit jak výraz v základu stupně, tak výraz v ukazateli shodně stejným výrazem na DPV jeho proměnných. Jinými slovy, podle nám známých pravidel můžeme samostatně převést základ stupně a samostatně - indikátor. Je jasné, že v důsledku této transformace se získá výraz shodně stejný jako ten původní.

Takové transformace nám umožňují zjednodušit vyjádření pomocí pravomocí nebo dosáhnout jiných cílů, které potřebujeme. Například ve výše uvedeném mocninném výrazu (2+0,3 7) 5−3,7 můžete provádět operace s čísly v základu a exponentu, což vám umožní přejít na mocninu 4,1 1,3. A po otevření závorek a vložení podobných členů na základnu stupně (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) dostaneme mocninné vyjádření jednoduššího tvaru a 2·(x+1 ).

Použití vlastností napájení

Jedním z hlavních nástrojů pro transformaci výrazů pomocí mocnin jsou rovnosti, které odrážejí . Připomeňme si ty hlavní. Pro všechna kladná čísla a a b a libovolná reálná čísla r a s platí následující mocninné vlastnosti:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ab) r = a r b r;
• (a:b) r = a r: b r;
• (a r) s =a r s .

Všimněte si, že pro přirozené, celočíselné a kladné exponenty nemusí být omezení pro čísla aab tak přísná. Například pro přirozená čísla m a n platí rovnost a m ·a n =a m+n nejen pro kladná a , ale i záporná a pro a=0 .

Ve škole je hlavní pozornost při transformaci mocenských projevů zaměřena právě na schopnost volby vhodnou nemovitost a aplikujte jej správně. V tomto případě bývají základy stupňů kladné, což umožňuje využívat vlastnosti stupňů bez omezení. Totéž platí pro transformaci výrazů obsahujících proměnné v základech stupňů - oblast nepřípustných hodnot proměnných je obvykle taková, že na ní základy berou pouze kladné hodnoty, který umožňuje volně používat vlastnosti stupňů. Obecně je potřeba si neustále klást otázku, zda je možné v tomto případě uplatnit nějakou vlastnost stupňů, protože nepřesné použití vlastností může vést ke zúžení ODZ a dalším potížím. Tyto body jsou podrobně a s příklady rozebrány v článku transformace výrazů pomocí vlastností stupňů. Zde se omezíme na několik jednoduchých příkladů.

Příklad.

Vyjádřete výraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 jako mocninu se základem a .

Řešení.

Nejprve transformujeme druhý faktor (a 2) −3 pomocí vlastnosti zvýšení mocniny na mocninu: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. V tomto případě bude mít počáteční vyjádření mocniny tvar a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Je zřejmé, že zbývá použít vlastnosti násobení a dělení mocnin se stejným základem, jaký máme
a 2,5 a-6:a-5,5 =
a 2,5-6:a-5,5 =a-3,5:a-5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a2.

Odpovědět:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Mocninné vlastnosti se používají při transformaci mocninných výrazů jak zleva doprava, tak zprava doleva.

Příklad.

Najděte hodnotu mocninného výrazu.

Řešení.

Rovnost (a·b) r =a r ·b r , použitá zprava doleva, umožňuje přejít od původního výrazu k součinu formy a dále. A při násobení mocnin se stejným základem se ukazatele sčítají: .

Transformaci původního výrazu bylo možné provést jiným způsobem:

Odpovědět:

.

Příklad.

Je-li dán mocninný výraz a 1,5 −a 0,5 −6 , zadejte novou proměnnou t=a 0,5 .

Řešení.

Stupeň a 1,5 lze znázornit jako a 0,5 3 a dále na základě vlastnosti stupně ve stupni (a r) s =ar s aplikovaného zprava doleva převést do tvaru (a 0,5) 3 . Takto, a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Nyní je snadné zavést novou proměnnou t=a 0,5 , dostaneme t 3 −t−6 .

Odpovědět:

t 3 −t−6 .

Převod zlomků obsahujících mocniny

Mocninné výrazy mohou obsahovat zlomky s mocninami nebo takové zlomky reprezentovat. Kterákoli ze základních transformací zlomků, které jsou vlastní zlomkům jakéhokoli druhu, jsou pro takové zlomky plně použitelné. To znamená, že zlomky, které obsahují stupně, lze redukovat, redukovat na nového jmenovatele, pracovat samostatně se svým čitatelem a samostatně se jmenovatelem atd. Pro ilustraci výše uvedených slov zvažte řešení několika příkladů.

Příklad.

Zjednodušte vyjádření síly .

Řešení.

Tento výraz síly je zlomek. Pracujme s jeho čitatelem a jmenovatelem. V čitateli otevřeme závorky a poté získaný výraz zjednodušíme pomocí vlastností mocnin a ve jmenovateli uvádíme podobné pojmy:

A také změníme znaménko jmenovatele tak, že před zlomek dáme mínus: .

Odpovědět:

.

Redukce zlomků obsahujících mocniny na nového jmenovatele se provádí podobně jako redukce racionálních zlomků na nového jmenovatele. Současně se také najde další faktor a násobí se jím čitatel a jmenovatel zlomku. Při provádění této akce je třeba si uvědomit, že redukce na nového jmenovatele může vést ke zúžení DPV. Aby k tomu nedocházelo, je nutné, aby dodatečný faktor nezmizel pro žádné hodnoty proměnných z proměnných ODZ pro původní výraz.

Příklad.

Převeďte zlomky na nového jmenovatele: a) na jmenovatele a, b) na jmenovatele.

Řešení.

a) V tomto případě je docela snadné zjistit, jaký další faktor pomáhá dosáhnout požadovaného výsledku. Toto je násobitel a 0,3, protože a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Všimněte si, že na rozsahu přijatelných hodnot proměnné a (toto je množina všech kladných reálných čísel) nezmizí stupeň a 0,3, proto máme právo násobit čitatele a jmenovatele daného zlomku tímto dodatečným faktorem:

b) Při bližším pohledu na jmenovatele zjistíme, že

a vynásobením tohoto výrazu dostaneme součet kostek a , tedy . A to je nový jmenovatel, ke kterému musíme přivést původní zlomek.

Takže jsme našli další faktor. Výraz nezmizí v rozsahu přijatelných hodnot proměnných x a y, proto jím můžeme vynásobit čitatele a jmenovatele zlomku:

Odpovědět:

A) , b) .

Také není nic nového v redukci zlomků obsahujících stupně: čitatel a jmenovatel jsou reprezentovány jako určitý počet faktorů a stejné faktory v čitateli a jmenovateli jsou redukovány.

Příklad.

Zmenšit zlomek: a) , b).

Řešení.

a) Nejprve lze čitatel a jmenovatel zmenšit o čísla 30 a 45, což se rovná 15. Také samozřejmě můžete snížit o x 0,5 +1 a o . Zde je to, co máme:

b) V tomto případě nejsou stejné faktory v čitateli a jmenovateli okamžitě viditelné. Chcete-li je získat, musíte provést předběžné transformace. V tomto případě spočívají v rozkladu jmenovatele na faktory podle vzorce rozdílu čtverců:

Odpovědět:

A)

b) .

Redukce zlomků na nového jmenovatele a redukce zlomků se používá především k provádění operací se zlomky. Akce se provádějí podle známých pravidel. Při sčítání (odečítání) zlomků se redukují na společného jmenovatele, načež se čitatele sčítají (odečítají) a jmenovatel zůstává stejný. Výsledkem je zlomek, jehož čitatel je součinem čitatelů a jmenovatel součinem jmenovatelů. Dělení zlomkem je násobení jeho reciprokou.

Příklad.

Následuj kroky .

Řešení.

Nejprve odečteme zlomky v závorkách. Abychom to udělali, přivedeme je ke společnému jmenovateli, kterým je a poté odečtěte čitatele:

Nyní násobíme zlomky:

Je zřejmé, že je možné snížení o výkon x 1/2, po kterém máme .

Výraz mocniny ve jmenovateli můžete také zjednodušit pomocí vzorce rozdílu čtverců: .

Odpovědět:

Příklad.

Zjednodušte vyjádření síly .

Řešení.

Je zřejmé, že tento zlomek lze snížit o (x 2,7 +1) 2, čímž získáme zlomek . Je jasné, že s mocninami x je třeba udělat něco jiného. K tomu převedeme výslednou frakci na produkt. To nám dává možnost využít vlastnosti dělení mocnin se stejnými základy: . A na konci procesu přecházíme od posledního produktu ke frakci.

Odpovědět:

.

A dodáváme, že je možné a v mnoha případech žádoucí přenášet činitele se zápornými exponenty z čitatele do jmenovatele nebo ze jmenovatele do čitatele změnou znaménka exponentu. Takové transformace často zjednodušují další akce. Například mocninný výraz lze nahradit výrazem .

Převod výrazů s odmocninami

Často ve výrazech, ve kterých jsou vyžadovány některé transformace, spolu se stupni se zlomkovými exponenty, jsou také kořeny. K převodu takového výrazu do požadované podoby ve většině případů stačí přejít pouze ke kořenům nebo pouze k mocninám. Ale protože je pohodlnější pracovat se stupni, obvykle se pohybují od kořenů ke stupňům. Takový přechod je však vhodné provést, když ODZ proměnných pro původní výraz umožňuje nahradit kořeny stupni bez nutnosti přístupu k modulu nebo rozdělení ODZ do více intervalů (podrobně jsme to probrali v článek, přechod od kořenů k mocninám a naopak Po seznámení se stupněm s racionálním exponentem je představen stupeň s iracionálním ukazatelem, který umožňuje hovořit o stupni s libovolným reálným ukazatelem. škola začíná studovat exponenciální funkce, který je analyticky dán stupněm, na jehož základě existuje číslo, a v ukazateli - proměnnou. Setkáváme se tedy s mocninnými výrazy obsahujícími čísla v základu stupně a v exponentu - výrazy s proměnnými a přirozeně vyvstává potřeba provádět transformace takových výrazů.

Je třeba říci, že transformaci výrazů naznačeného typu je obvykle nutné provést při řešení exponenciální rovnice a exponenciální nerovnosti a tyto transformace jsou docela jednoduché. V naprosté většině případů vycházejí z vlastností stupně a jsou zaměřeny většinou na zavedení nové proměnné v budoucnu. Rovnice nám je umožní demonstrovat 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Nejprve se exponenty, v jejichž exponentech se nachází součet nějaké proměnné (nebo výraz s proměnnými) a čísla, nahradí součinem. To platí pro první a poslední výraz výrazu na levé straně:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Dále jsou obě strany rovnosti rozděleny výrazem 7 2 x , který nabývá pouze kladných hodnot na proměnné ODZ x pro původní rovnici (toto je standardní technika řešení rovnic tohoto druhu, nemluvíme o nyní se zaměřte na následné transformace výrazů s mocninami):

Nyní jsou zlomky s mocninami zrušeny, což dává .

Nakonec je poměr mocnin se stejnými exponenty nahrazen mocninami poměrů, což vede k rovnici , což je ekvivalentní . Provedené transformace nám umožňují zavést novou proměnnou, která redukuje řešení původní exponenciální rovnice na řešení kvadratické rovnice

I. V. Boikov, L. D. Romanová Sbírka úkolů pro přípravu na zkoušku. Část 1. Penza 2003.

Čísla s mocninami lze samozřejmě sčítat jako jiné veličiny , a to tak, že je jeden po druhém přidáte se svými znaky.

Takže součet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Součet a3-bn ah5-d4 je a3-bn+h5-d4.

Kurzy stejné mocniny stejných proměnných lze přidat nebo odečíst.

Takže součet 2a2 a 3a2 je 5a2.

Je také zřejmé, že když vezmeme dvě pole a, nebo tři pole a, nebo pět polí a.

Ale stupně různé proměnné a různé stupně identické proměnné, musí být přidáno jejich přidáním k jejich znaménkům.

Takže součet a 2 a a 3 je součet a 2 + a 3 .

Je zřejmé, že druhá mocnina a a krychle a nejsou ani dvojnásobkem druhé mocniny a, ale dvojnásobkem krychle a.

Součet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odčítání pravomoci se provádějí stejným způsobem jako sčítání, s tím rozdílem, že znaky subtrahendu musí být odpovídajícím způsobem změněny.

Nebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobení moci

Čísla s mocninami lze násobit jako jiné veličiny tak, že je napíšeme za sebou, s násobícím znaménkem nebo bez něj.

Takže výsledek vynásobení a 3 b 2 je a 3 b 2 nebo aaabb.

Nebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Výsledek v posledním příkladu lze seřadit přidáním stejných proměnných.
Výraz bude mít tvar: a 5 b 5 y 3 .

Porovnáním několika čísel (proměnných) s mocninami můžeme vidět, že pokud se kterákoli dvě z nich vynásobí, pak výsledkem je číslo (proměnná) s mocninou rovnou součet stupně termínů.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Zde 5 je mocnina výsledku násobení, rovna 2 + 3, součet mocnin členů.

Takže a n .a m = a m+n .

Pro a n se a bere jako faktor tolikrát, kolikrát je mocnina n;

A a m se bere jako faktor tolikrát, kolikrát je stupeň m roven;

Proto, mocniny se stejnými základy lze násobit sečtením exponentů.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Nebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpověď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí i pro čísla, jejichž exponenty jsou - negativní.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. To lze zapsat jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Pokud a + b vynásobíme a - b, výsledkem bude a 2 - b 2: tzn

Výsledek vynásobení součtu nebo rozdílu dvou čísel se rovná součtu nebo rozdílu jejich druhých mocnin.

Pokud se součet a rozdíl dvou čísel zvýší na náměstí, výsledek se bude rovnat součtu nebo rozdílu těchto čísel v Čtvrtý stupeň.

Takže (a - y). (a + y) = a 2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a 4 - y 4)⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y8.

Dělba pravomocí

Čísla s mocninou lze dělit jako jiná čísla odečtením od dělitele nebo jejich umístěním ve tvaru zlomku.

Takže a 3 b 2 děleno b 2 je a 3 .

Nebo:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Zápis 5 děleno 3 vypadá jako $\frac(a^5)(a^3)$. Ale to se rovná 2. V řadě čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
libovolné číslo lze vydělit jiným a exponent bude roven rozdíl ukazatele dělitelných čísel.

Při dělení mocnin se stejným základem se jejich exponenty odečítají..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac(yyy)(yy) = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Nebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí i pro čísla s negativní stupně.
Výsledkem dělení -5 a -3 je -2 .
Také $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 nebo $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Násobení a dělení mocnin je nutné velmi dobře ovládat, protože takové operace jsou v algebře velmi rozšířené.

Příklady řešení příkladů se zlomky obsahujícími čísla s mocninami

1. Zmenšete exponenty v $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpověď: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Zmenšete exponenty v $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpověď: $\frac(2x)(1)$ nebo 2x.

3. Zmenšete exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a přiveďte na společného jmenovatele.
a 2 .a -4 je -2 první čitatel.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitatel.
a 3 .a -4 je a -1 , společný čitatel.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Zmenšete exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a přiveďte na společného jmenovatele.
Odpověď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 nebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydělte a 4 /y 3 a 3 /y 2 . Odpověď: a/y.

9. Vydělte (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.