Jsou uvedeny hlavní vlastnosti přirozený logaritmus, graf, definiční obor, množina hodnot, základní vzorce, derivace, integrál, rozvoj v mocninné řadě a reprezentace funkce ln x pomocí komplexních čísel.

Definice

přirozený logaritmus je funkce y = ln x, inverzní k exponentu, x \u003d e y , a což je logaritmus k základu čísla e: ln x = log e x.

Přirozený logaritmus je široce používán v matematice, protože jeho derivace má nejjednodušší formu: (ln x)' = 1/ x.

Na základě definice, základem přirozeného logaritmu je číslo E:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf funkce y = ln x.

Graf přirozeného logaritmu (funkce y = ln x) se získá z grafu exponentu zrcadlovým odrazem kolem přímky y = x .

Přirozený logaritmus je definován v kladné hodnoty proměnná x. Monotónně roste na své doméně definice.

Jako x → 0 limita přirozeného logaritmu je mínus nekonečno ( - ∞ ).

Jako x → + ∞ je limita přirozeného logaritmu plus nekonečno ( + ∞ ). Pro velké x se logaritmus zvyšuje poměrně pomalu. Jakákoli mocninná funkce x a s kladným exponentem a roste rychleji než logaritmus.

Vlastnosti přirozeného logaritmu

Oblast definice, množina hodnot, extrémy, nárůst, pokles

Přirozený logaritmus je monotónně rostoucí funkce, takže nemá žádné extrémy. Hlavní vlastnosti přirozeného logaritmu jsou uvedeny v tabulce.

ln x hodnoty

log 1 = 0

Základní vzorce pro přirozené logaritmy

Vzorce vyplývající z definice inverzní funkce:

Hlavní vlastnost logaritmů a její důsledky

Vzorec pro náhradu báze

Libovolný logaritmus lze vyjádřit přirozenými logaritmy pomocí vzorce pro změnu báze:

Důkazy těchto vzorců jsou uvedeny v části "Logaritmus".

Inverzní funkce

Převrácená hodnota přirozeného logaritmu je exponent.

Pokud, pak

Pokud , tak .

Derivát ln x

Derivace přirozeného logaritmu:
.
Derivace přirozeného logaritmu modulo x:
.
Derivát n-tého řádu:
.
Odvození vzorců >> >

Integrální

Integrál se vypočítá integrací po částech:
.
Tak,

Výrazy z hlediska komplexních čísel

Uvažujme funkci komplexní proměnné z:
.
Vyjádřeme komplexní proměnnou z přes modul r a argument φ :
.
Pomocí vlastností logaritmu máme:
.
Nebo
.
Argument φ není jednoznačně definován. Pokud položíme
, kde n je celé číslo,
pak to bude stejné číslo pro různé n.

Proto přirozený logaritmus jako funkce komplexní proměnné není jednohodnotovou funkcí.

Rozšíření výkonové řady

Pro , rozšíření probíhá:

Reference:
V. Bronstein, K.A. Semenďajev, Příručka matematiky pro inženýry a studenty vysokých škol, Lan, 2009.

často vzít číslo E = 2,718281828 . Logaritmy v této bázi se nazývají přírodní. Při provádění výpočtů s přirozenými logaritmy je běžné pracovat se znaménkem ln, ale ne log; zatímco číslo 2,718281828 , definující základ, neuvádějí.

Jinými slovy, formulace bude vypadat takto: přirozený logaritmusčísla X je exponent, na který má být číslo zvýšeno E, Získat X.

Tak, ln(7,389...)= 2 protože E 2 =7,389... . Přirozený logaritmus samotného čísla E= 1 protože E 1 =E a přirozený logaritmus jednoty je roven nule, protože E 0 = 1.

Samotné číslo E definuje limit monotónní ohraničené sekvence

vypočítal to E = 2,7182818284... .

Docela často, aby bylo možné zafixovat číslo v paměti, jsou číslice požadovaného čísla spojeny s nějakým nevyřízeným datem. Rychlost zapamatování prvních devíti číslic čísla E za desetinnou čárkou se zvýší, pokud si všimnete, že rok 1828 je rokem narození Lva Tolstého!

K dnešnímu dni existují poměrně úplné tabulky přirozených logaritmů.

přirozený log graf(funkce y=ln x) je důsledkem vynesení exponentu jako zrcadlového obrazu vzhledem k přímce y = x a vypadá takto:

Přirozený logaritmus lze nalézt pro každé kladné reálné číslo A jako oblast pod křivkou y = 1/X z 1 před A.

Elementární povaha této formulace, která zapadá do mnoha dalších vzorců, v nichž je zapojen přirozený logaritmus, byla důvodem pro vytvoření názvu "přírodní".

Pokud budeme analyzovat přirozený logaritmus, jako reálná funkce reálné proměnné, pak působí inverzní funkce na exponenciální funkci, která se redukuje na identity:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Analogicky se všemi logaritmy převádí přirozený logaritmus násobení na sčítání, dělení na odčítání:

ln(xy) = ln(X) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritmus lze najít pro každý kladný základ, který se nerovná jedné, nejen pro E, ale logaritmy pro jiné základy se liší od přirozeného logaritmu pouze konstantním faktorem a jsou obvykle definovány v podmínkách přirozeného logaritmu.

Po analýze přirozený log graf, dostaneme, že existuje pro kladné hodnoty proměnné X. Monotónně roste na své doméně definice.

V X → 0 limita přirozeného logaritmu je mínus nekonečno ( -∞ ).V x → +∞ limita přirozeného logaritmu je plus nekonečno ( + ∞ ). Na svobodě X logaritmus se zvyšuje poměrně pomalu. Jakákoli funkce napájení x a s kladným exponentem A roste rychleji než logaritmus. Přirozený logaritmus je monotónně rostoucí funkce, takže nemá žádné extrémy.

Používání přirozené logaritmy velmi racionální v průchodu vyšší matematikou. Proto je použití logaritmu vhodné pro nalezení odpovědi na rovnice, ve kterých se neznámé objevují jako exponent. Použití přirozených logaritmů ve výpočtech umožňuje značně usnadnit velký počet matematické vzorce. základní logaritmy E jsou přítomny při řešení značného množství fyzikálních problémů a jsou přirozeně zahrnuty do matematického popisu jednotlivých chemických, biologických a jiných procesů. Logaritmy se tedy používají k výpočtu konstanty rozpadu pro známý poločas rozpadu nebo k výpočtu doby rozpadu při řešení problémů radioaktivity. Vystupují v vedoucí role v mnoha oborech matematiky a praktických věd se používají v oblasti financí k řešení velkého množství problémů, včetně výpočtu složeného úročení.

přirozený logaritmus

Graf přirozené logaritmické funkce. Funkce se pomalu blíží kladnému nekonečnu jako X a rychle se blíží k zápornému nekonečnu, když X má tendenci k 0 („pomalu“ a „rychle“ ve srovnání s jakýmkoli výkonová funkce z X).

přirozený logaritmus je základní logaritmus , kde E je iracionální konstanta rovna přibližně 2,718281 828 . Přirozený logaritmus se obvykle označuje jako ln( X), log E (X) nebo někdy stačí přihlásit ( X) pokud základ E implicitní.

Přirozený logaritmus čísla X(napsáno jako log(x)) je exponent, na který chcete číslo zvýšit E, Získat X. Například, ln(7,389...) rovná se 2, protože E 2 =7,389... . Přirozený logaritmus samotného čísla E (ln(e)) se rovná 1, protože E 1 = E a přirozený logaritmus 1 ( log(1)) je 0, protože E 0 = 1.

Přirozený logaritmus lze definovat pro jakékoli kladné reálné číslo A jako oblast pod křivkou y = 1/X od 1 do A. Jednoduchost této definice, která je v souladu s mnoha dalšími vzorci, které používají přirozený logaritmus, vedla k názvu „přirozený“. Tato definice může být rozšířena na komplexní čísla, která budou diskutována níže.

Pokud uvažujeme přirozený logaritmus jako reálnou funkci reálné proměnné, pak je to inverzní funkce exponenciální funkce, která vede k identitám:

Stejně jako všechny logaritmy i přirozený logaritmus mapuje násobení na sčítání:

Logaritmická funkce je tedy izomorfismus grupy kladných reálných čísel s ohledem na násobení grupou reálných čísel sčítáním, které lze znázornit jako funkci:

Logaritmus lze definovat pro jakýkoli kladný základ jiný než 1, nikoli pouze E, ale logaritmy pro jiné základy se liší od přirozeného logaritmu pouze konstantním faktorem a jsou obvykle definovány v podmínkách přirozeného logaritmu. Logaritmy jsou užitečné pro řešení rovnic, ve kterých jsou neznámé přítomny jako exponent. Například logaritmy se používají k nalezení konstanty rozpadu pro známý poločas rozpadu nebo k nalezení doby rozpadu při řešení problémů radioaktivity. Hrají důležitou roli v mnoha oblastech matematiky a aplikovaných věd, používají se v oblasti financí k řešení mnoha problémů, včetně hledání složeného úročení.

Příběh

První zmínku o přirozeném logaritmu učinil Nicholas Mercator ve své práci Logaritmotechnie, publikované v roce 1668, ačkoli učitel matematiky John Spydell sestavil tabulku přirozených logaritmů již v roce 1619. Dříve se tomu říkalo hyperbolický logaritmus, protože odpovídá ploše pod hyperbolou. Někdy se mu říká Napierův logaritmus, ačkoli původní význam tohoto termínu byl poněkud odlišný.

Konvence notace

Přirozený logaritmus se obvykle označuje jako "ln( X)“, základ 10 logaritmus přes „lg( X)“ a ostatní důvody je obvyklé označovat výslovně symbolem „log“.

V mnoha pracích o diskrétní matematice, kybernetice, informatice autoři používají označení „log( X)" pro logaritmy na základ 2, ale tato konvence není všeobecně přijímána a vyžaduje upřesnění, buď v seznamu použitého zápisu, nebo (pokud takový seznam neexistuje) pomocí poznámky pod čarou nebo komentáře k prvnímu použití.

Závorky kolem argumentu logaritmů (pokud to nevede k chybnému čtení vzorce) se obvykle vynechávají a při umocnění logaritmu se exponent přiřadí přímo znaménku logaritmu: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Anglo-americký systém

Matematici, statistici a někteří inženýři obvykle používají buď "log( X)" nebo "ln( X)" a k označení logaritmu se základem 10 - "log 10 ( X)».

Někteří inženýři, biologové a další odborníci vždy píší „ln( X)" (nebo občas "log e ( X)), když znamenají přirozený logaritmus, a zápis "log( X)" znamená log 10 ( X).

log E je "přirozený" logaritmus, protože se vyskytuje automaticky a v matematice se objevuje velmi často. Zvažte například problém derivace logaritmické funkce:

Pokud základ b rovná se E, pak je derivace jednoduše 1/ X, a kdy X= 1 tato derivace je rovna 1. Další zdůvodnění, pro které je základ E logaritmus je nejpřirozenější, je to, že jej lze celkem jednoduše definovat pomocí jednoduchého integrálu nebo Taylorovy řady, což se o jiných logaritmech říci nedá.

Další zdůvodnění přirozenosti s číslem nesouvisí. Takže například existuje několik jednoduchých řad s přirozenými logaritmy. Volali jim Pietro Mengoli a Nicholas Mercator logaritmus naturalis několik desetiletí, než Newton a Leibniz vyvinuli diferenciální a integrální počet.

Definice

Formálně ln( A) lze definovat jako plochu pod křivkou grafu 1/ X od 1 do A, tedy jako integrál:

Je to skutečně logaritmus, protože splňuje základní vlastnost logaritmu:

To lze demonstrovat za předpokladu, že:

Číselná hodnota

Pro výpočet číselné hodnoty přirozeného logaritmu čísla můžete použít jeho rozšíření v Taylorově řadě ve tvaru:

Chcete-li získat nejlepší míru konvergence, můžete použít následující identitu:

pokud y = (X−1)/(X+1) a X > 0.

Pro ln( X), kde X> 1, tím bližší je hodnota X do 1, vyšší rychlost konvergence. Identity spojené s logaritmem lze použít k dosažení cíle:

Tyto metody se používaly ještě před příchodem kalkulaček, pro které se používaly číselné tabulky a prováděly se manipulace podobné výše popsaným.

Vysoká přesnost

Pro výpočet přirozeného logaritmu s mnohacifernou přesností není Taylorova řada efektivní, protože její konvergence je pomalá. Alternativou je použít Newtonovu metodu k invertování na exponenciální funkci, jejíž řady konvergují rychleji.

Alternativou pro velmi vysokou přesnost výpočtu je vzorec:

kde M označuje aritmeticko-geometrický průměr 1 a 4/sa

m zvolen tak, že p je dosaženo známek přesnosti. (Ve většině případů je pro m dostatečná hodnota 8.) Pokud se použije tato metoda, lze k efektivnímu výpočtu exponenciální funkce použít Newtonovu inverzi přirozeného logaritmu. (Konstanty ln 2 a pi lze předem vypočítat na požadovanou přesnost pomocí kterékoli ze známých rychle konvergentních řad.)

Výpočetní složitost

Výpočetní složitost přirozených logaritmů (s použitím aritmeticko-geometrického průměru) je O( M(n)ln n). Tady n je počet číslic přesnosti, pro které má být vyhodnocen přirozený logaritmus, a M(n) je výpočetní složitost násobení dvěma n-ciferná čísla.

Pokračující zlomky

Ačkoli neexistují žádné jednoduché pokračovací zlomky, které by reprezentovaly logaritmus, lze použít několik zobecněných pokračovacích zlomků, včetně:

Složité logaritmy

Exponenciální funkci lze rozšířit na funkci, která dává komplexní číslo tvaru E X pro libovolné komplexní číslo X, při použití nekonečné řady s komplexem X. Tuto exponenciální funkci lze invertovat a vytvořit tak komplexní logaritmus, který bude mít většinu vlastností běžných logaritmů. Existují však dvě potíže: neexistuje X, pro který E X= 0 a ukázalo se, že E 2pí = 1 = E 0 Protože vlastnost multiplikativnosti platí pro komplexní exponenciální funkci E z = E z+2npi pro všechny složité z a celý n.

Logaritmus nelze definovat v celé komplexní rovině, a přesto je vícehodnotový – jakýkoli komplexní logaritmus lze nahradit „ekvivalentním“ logaritmem přidáním libovolného celočíselného násobku 2. pí. Komplexní logaritmus může být pouze jednohodnotový na řezu komplexní roviny. Například ln i = 1/2 pí nebo 5/2 pí nebo -3/2 pí atd., a ačkoli i 4 = 1,4 log i lze definovat jako 2 pí, nebo 10 pí nebo -6 pí, a tak dále.

viz také

• John Napier - vynálezce logaritmů

Poznámky

1. Matematika pro fyzikální chemii. - 3. - Academic Press, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Výňatek ze strany 9
2. J J O "Connor a E F RobertsonČíslo e . Archiv MacTutor History of Mathematics (září 2001). archivovány
3. Cajori Florian Historie matematiky, 5. vydání. - Knihkupectví AMS, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashmane, Martine Odhad integrálů pomocí polynomů . Archivováno z originálu 12. února 2012.

Logaritmus čísla b k základu a je exponent, na který musíte zvýšit číslo a, abyste dostali číslo b.

Pokud , tak .

Logaritmus je extrémně důležitá matematická veličina, protože logaritmický počet umožňuje nejen řešit exponenciální rovnice, ale také pracovat s indikátory, rozlišovat exponenciální a logaritmické funkce, integrovat je a vést k přijatelnější formě pro výpočet.

V kontaktu s

Všechny vlastnosti logaritmů přímo souvisejí s vlastnostmi exponenciálních funkcí. Například fakt, že znamená, že:

Je třeba poznamenat, že při řešení konkrétních problémů mohou být vlastnosti logaritmů důležitější a užitečnější než pravidla pro práci s mocninami.

Zde jsou některé identity:

Zde jsou hlavní algebraické výrazy:

;

.

Pozornost! může existovat pouze pro x>0, x≠1, y>0.

Pokusme se pochopit otázku, co jsou přirozené logaritmy. Samostatný zájem o matematiku představují dva typy- první má v základu číslo "10" a nazývá se "desetinný logaritmus". Druhá se nazývá přírodní. Základem přirozeného logaritmu je číslo e. Právě o něm budeme v tomto článku hovořit podrobně.

Označení:

• lg x - desítkové;
• ln x - přírodní.

Pomocí identity můžeme vidět, že ln e = 1, stejně jako že lg 10=1.

přirozený log graf

Sestrojíme graf přirozeného logaritmu pomocí standardu klasickým způsobem podle bodů. Pokud si přejete, můžete zkontrolovat, zda stavíme funkci správně, prozkoumáním funkce. Má však smysl naučit se jej stavět "ručně", abyste věděli, jak správně vypočítat logaritmus.

Funkce: y = log x. Napišme si tabulku bodů, kterými bude graf procházet:

Vysvětleme, proč jsme zvolili takové hodnoty argumentu x. Všechno je to o identitě: Pro přirozený logaritmus bude tato identita vypadat takto:

Pro pohodlí si můžeme vzít pět referenčních bodů:

;

;

.

;

.

Počítání přirozených logaritmů je tedy poměrně jednoduchý úkol, navíc zjednodušuje výpočet operací s mocninami a převádí je na normální násobení.

Po sestavení grafu podle bodů získáme přibližný graf:

Oblastí přirozeného logaritmu (tj. všech platných hodnot argumentu X) jsou všechna čísla větší než nula.

Pozornost! Doména definice přirozeného logaritmu zahrnuje pouze kladná čísla! Rozsah nezahrnuje x=0. To je nemožné na základě podmínek existence logaritmu.

Rozsah hodnot (tj. všechny platné hodnoty funkce y = ln x) jsou všechna čísla v intervalu .

přirozený log limit

Při studiu grafu vyvstává otázka - jak se funkce chová, když y<0.

Je zřejmé, že graf funkce má tendenci křížit osu y, ale nebude to možné, protože přirozený logaritmus x<0 не существует.

Přirozená hranice log lze napsat takto:

Vzorec pro změnu základu logaritmu

Vypořádání se s přirozeným logaritmem je mnohem jednodušší než s logaritmem, který má libovolný základ. Proto se pokusíme naučit, jak jakýkoli logaritmus redukovat na přirozený, nebo jej vyjádřit v libovolném základu prostřednictvím přirozených logaritmů.

Začněme logaritmickou identitou:

Potom jakékoli číslo nebo proměnná y může být reprezentována jako:

kde x je libovolné číslo (kladné podle vlastností logaritmu).

Tento výraz lze logaritmizovat na obě strany. Udělejme to s libovolnou bází z:

Použijme vlastnost (jen místo "s" máme výraz):

Odtud dostaneme univerzální vzorec:

.

Zejména, pokud z=e, pak:

.

Podařilo se nám vyjádřit logaritmus na libovolnou základnu prostřednictvím poměru dvou přirozených logaritmů.

Řešíme problémy

Abyste se mohli lépe orientovat v přirozených logaritmech, zvažte příklady několika problémů.

Úkol 1. Je třeba vyřešit rovnici ln x = 3.

Řešení: Pomocí definice logaritmu: if , then , dostaneme:

Úkol 2. Vyřešte rovnici (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Řešení: Pomocí definice logaritmu: if , then , dostaneme:

.

Ještě jednou použijeme definici logaritmu:

.

Takto:

.

Odpověď můžete přibližně vypočítat, nebo ji můžete nechat v tomto tvaru.

Úkol 3. Vyřešte rovnici.

Řešení: Udělejme substituci: t = ln x. Potom bude mít rovnice následující tvar:

.

Máme kvadratickou rovnici. Pojďme najít jeho diskriminant:

První kořen rovnice:

.

Druhý kořen rovnice:

.

Když si pamatujeme, že jsme provedli substituci t = ln x, dostaneme:

Ve statistice a teorii pravděpodobnosti jsou logaritmické veličiny velmi běžné. To není překvapivé, protože číslo e - často odráží rychlost růstu exponenciálních hodnot.

V informatice, programování a počítačové teorii jsou logaritmy zcela běžné, například za účelem uložení N bitů do paměti.

V teoriích fraktálů a dimenzí se neustále používají logaritmy, protože rozměry fraktálů jsou určeny pouze s jejich pomocí.

V mechanice a fyzice neexistuje žádná sekce, kde by nebyly použity logaritmy. Barometrické rozdělení, všechny principy statistické termodynamiky, Ciolkovského rovnice a tak dále jsou procesy, které lze popsat pouze matematicky pomocí logaritmů.

V chemii se logaritmus používá v Nernstových rovnicích, popisech redoxních procesů.

Je úžasné, že i v hudbě se pro zjištění počtu dílů oktávy používají logaritmy.

Přirozený logaritmus Funkce y=ln x její vlastnosti

Důkaz hlavní vlastnosti přirozeného logaritmu

Docela dobrý, že? Zatímco matematici hledají slova, která by vám poskytli dlouhou, spletitou definici, pojďme se blíže podívat na tuto jednoduchou a jasnou definici.

Číslo e znamená růst

Číslo e znamená nepřetržitý růst. Jak jsme viděli v předchozím příkladu, e x nám umožňuje propojit úrok a čas: 3 roky při 100% růstu jsou stejné jako 1 rok při 300%, s výhradou „složeného úroku“.

Můžete nahradit libovolné procento a časové hodnoty (50 % za 4 roky), ale pro pohodlí je lepší nastavit procento jako 100 % (ukáže se 100 % za 2 roky). Přesunutím na 100 % se můžeme soustředit pouze na časovou složku:

e x = e procento * čas = e 1,0 * čas = e čas

Je zřejmé, že e x znamená:

• o kolik poroste můj příspěvek za x jednotek času (za předpokladu 100% nepřetržitého růstu).
• například po 3 časových intervalech dostanu e 3 = 20,08 krát tolik "věcí".

e x je škálovací faktor ukazující, na jakou úroveň porosteme za x časových období.

Přirozený logaritmus znamená čas

Přirozený logaritmus je inverzní k e, takový luxusní termín pro opak. Když už mluvíme o vtípky; latinsky se nazývá logaritmus naturali, odtud zkratka ln.

A co tato inverze nebo opak znamená?

• e x nám umožňuje zapojit čas a získat růst.
• ln(x) nám umožňuje vzít růst nebo příjem a zjistit čas potřebný k jeho získání.

Například:

• e 3 se rovná 20,08. Ve třech časových rozpětích budeme mít 20,08krát více, než jsme začali.
• ln(20.08) bude asi 3. Pokud máte zájem o 20,08násobný nárůst, budete potřebovat 3násobek (opět za předpokladu 100% nepřetržitého růstu).

ještě čteš? Přirozený logaritmus ukazuje čas potřebný k dosažení požadované úrovně.

Tento nestandardní logaritmický počet

Prošli jste logaritmy - jsou to zvláštní stvoření. Jak se jim podařilo proměnit násobení ve sčítání? A co dělení na odčítání? Uvidíme.

Čemu se rovná ln(1)? Intuitivně otázka zní: jak dlouho musím čekat, abych dostal 1krát více, než co mám?

Nula. Nula. Vůbec ne. Už to jednou máte. Vyrůst z úrovně 1 na úroveň 1 nezabere žádný čas.

• log(1) = 0

Dobře, a co ta zlomková hodnota? Jak dlouho bude trvat, než nám zbyde 1/2 toho, co nám zbylo? Víme, že při 100% nepřetržitém růstu ln(2) znamená čas potřebný ke zdvojnásobení. Kdybychom vrátit čas zpět(tj. čekat zápornou dobu), pak dostaneme polovinu toho, co máme.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logické, že? Pokud se vrátíme (čas zpět) o 0,693 sekundy, najdeme polovinu dostupné částky. Obecně můžete zlomek otočit a získat zápornou hodnotu: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. To znamená, že pokud se vrátíme v čase na 1,09násobek, najdeme pouze třetinu současného počtu.

Dobře, a co logaritmus záporného čísla? Jak dlouho trvá "vypěstovat" kolonii bakterií z 1 na -3?

To je nemožné! Nemůžete získat negativní počet bakterií, že ne? Můžete získat maximum (ehm... minimum) nulu, ale neexistuje způsob, jak získat záporný počet těchto malých zvířátek. Záporný počet bakterií prostě nedává smysl.

• ln(záporné číslo) = nedefinováno

"Nedefinováno" znamená, že není potřeba čekat na získání záporné hodnoty.

Logaritmické násobení je prostě k smíchu

Jak dlouho bude trvat čtyřnásobný růst? Samozřejmě, můžete si vzít ln(4). Ale je to příliš snadné, půjdeme jinou cestou.

Čtyřnásobek si můžete představit jako zdvojnásobení (vyžaduje ln(2) časové jednotky) a poté znovu zdvojnásobení (vyžaduje další ln(2) časové jednotky):

• Čas do 4násobného růstu = ln(4) = Čas na zdvojnásobení a poté znovu zdvojnásobení = ln(2) + ln(2)

Zajímavý. Jakékoli tempo růstu, řekněme 20, lze považovat za zdvojnásobení okamžitě po desetinásobném zvýšení. Nebo růst 4krát a pak 5krát. Nebo ztrojnásobení a pak zvýšení 6,666 krát. Vidíte vzor?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritmus A krát B je log(A) + log(B). Tento vztah okamžitě dává smysl, pokud působíte z hlediska růstu.

Pokud máte zájem o 30násobný růst, můžete buď počkat na ln(30) najednou, nebo počkat, až se ln(3) ztrojnásobí a pak další ln(10) vynásobit deseti. Konečný výsledek je stejný, takže čas samozřejmě musí zůstat konstantní (a zůstává).

A co rozdělení? Konkrétně ln(5/3) znamená: jak dlouho trvá, než vyroste 5krát a pak získáte 1/3 z toho?

Skvělé, faktor 5 je ln(5). Růst 1/3krát zabere -ln(3) jednotky času. Tak,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

To znamená: nechte to narůst 5x a pak se „vraťte v čase“ do bodu, kdy z toho množství zůstane jen třetina, takže získáte 5/3 růstu. Obecně se ukazuje

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Doufám, že vám ta podivná aritmetika logaritmů začíná dávat smysl: násobení temp růstu se stává přidáváním jednotek času růstu a dělení se stává odečítáním jednotek času. Neučte se pravidla zpaměti, snažte se je pochopit.

Použití přirozeného logaritmu pro libovolný růst

No, samozřejmě, - říkáte, - je to všechno dobré, pokud je růst 100%, ale co těch 5%, které dostanu?

Žádný problém. „Čas“, který počítáme pomocí ln(), je ve skutečnosti kombinací úrokové míry a času, stejné X z rovnice e x. Pro jednoduchost jsme se právě rozhodli nastavit procento na 100 %, ale můžeme použít libovolné číslo.

Řekněme, že chceme dosáhnout 30násobného růstu: vezmeme ln(30) a dostaneme 3,4 To znamená:

• e x = výška
• e 3,4 = 30

Je zřejmé, že tato rovnice znamená "100% návratnost za 3,4 roku vede k 30násobku." Tuto rovnici můžeme napsat takto:

• e x = e rychlost*čas
• e 100 % * 3,4 roku = 30

Můžeme změnit hodnoty "rate" a "time", pokud rychlost * čas zůstane 3.4. Pokud máme například zájem o 30násobný růst, jak dlouho budeme muset čekat s 5% úrokovou sazbou?

• log(30) = 3,4
• rychlost * čas = 3,4
• 0,05 * čas = 3,4
• čas = 3,4 / 0,05 = 68 let

Uvažuji takto: "ln(30) = 3,4, takže při 100% růstu to bude trvat 3,4 roku. Pokud zdvojnásobím tempo růstu, potřebný čas se zkrátí na polovinu."

• 100 % za 3,4 roku = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200 % za 1,7 roku = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50 % za 6,8 let = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5 % nad 68 let = 0,05 * 68 = 3,4 .

Je to skvělé, že? Přirozený logaritmus lze použít s libovolnou úrokovou sazbou a časem, pokud jejich součin zůstává konstantní. Hodnoty proměnných můžete libovolně přesouvat.

Špatný příklad: Pravidlo sedmdesáti dvou

Pravidlo sedmdesáti dvou je matematická technika, která vám umožní odhadnout, jak dlouho bude trvat, než se vaše peníze zdvojnásobí. Nyní ji odvodíme (ano!), a navíc se pokusíme pochopit její podstatu.

Jak dlouho trvá zdvojnásobení vašich peněz při 100% sazbě, která se každým rokem zvyšuje?

Op-pa. Použili jsme přirozený logaritmus pro případ kontinuálního růstu, a teď mluvíte o ročním přírůstku? Nestal by se tento vzorec pro takový případ nevhodný? Ano, bude, ale u skutečných úrokových sazeb jako 5 %, 6 % nebo dokonce 15 % bude rozdíl mezi každoročním skládáním a neustálým růstem malý. Takže hrubý odhad funguje, ehm, zhruba, takže budeme předstírat, že máme úplně souvislé načítání.

Nyní je otázka jednoduchá: Jak rychle se můžete zdvojnásobit se 100% růstem? ln(2) = 0,693. Zdvojnásobení naší částky při nepřetržitém růstu o 100 % trvá 0,693 jednotky času (v našem případě let).

Co když tedy úroková sazba není 100 %, ale řekněme 5 % nebo 10 %?

Snadno! Protože sazba * čas = 0,693, zdvojnásobíme částku:

• rychlost * čas = 0,693
• čas = 0,693 / kurz

Pokud je tedy růst 10 %, zdvojnásobení bude trvat 0,693 / 0,10 = 6,93 let.

Pro zjednodušení výpočtů vynásobme obě části 100, pak můžeme říci „10“ a ne „0,10“:

• čas zdvojnásobení = 69,3 / sázka, kde je sázka vyjádřena v procentech.

Nyní je čas zdvojnásobit na 5 %, 69,3 / 5 = 13,86 let. 69,3 však není nejvhodnější dividenda. Zvolme blízké číslo, 72, které je pohodlně dělitelné 2, 3, 4, 6, 8 a dalšími čísly.

• čas zdvojnásobení = 72 / sázka

což je pravidlo sedmdesáti dvou. Všechno je zakryté.

Pokud potřebujete najít čas na ztrojnásobení, můžete použít ln(3) ~ 109,8 a získat

• trojnásobný čas = 110 / sázka

Což je další užitečné pravidlo. „Pravidlo 72“ platí pro růst úrokových sazeb, růst populace, kultury bakterií a vše, co roste exponenciálně.

Co bude dál?

Doufám, že vám přirozený logaritmus nyní dává smysl – ukazuje čas, který trvá, než jakékoli číslo exponenciálně naroste. Myslím, že se tomu říká přirozené, protože e je univerzální měřítko růstu, takže ln lze považovat za univerzální způsob, jak určit, jak dlouho trvá růst.

Pokaždé, když uvidíte ln(x), vzpomeňte si na "čas, který trvá xkrát růst". V připravovaném článku popíšu e a ln ve spojení, takže vzduch naplní svěží aroma matematiky.

Doplněk: Přirozený logaritmus e

Rychlý kvíz: kolik bude ln(e)?

• matematický robot řekne: protože jsou definovány jako vzájemně inverzní, je zřejmé, že ln(e) = 1.
• chápající osoba: ln(e) je počet, kolikrát naroste "e" (asi 2,718). Samotné číslo e je však mírou růstu faktorem 1, takže ln(e) = 1.

Myslete jasně.

9. září 2013