Tato lekce je určena pro ty, kteří se teprve začínají učit exponenciální rovnice. Jako vždy začneme definicí a jednoduchými příklady.

Pokud čtete tuto lekci, pak mám podezření, že již alespoň minimálně rozumíte nejjednodušším rovnicím – lineárním a čtvercovým: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ atd. Umět takové konstrukce řešit je naprosto nezbytné, abychom „neviseli“ v tématu, o kterém se bude nyní diskutovat.

Takže exponenciální rovnice. Dovolte mi uvést několik příkladů:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Některé se vám mohou zdát složitější, některé jsou naopak příliš jednoduché. Všechny je ale spojuje jedna důležitá vlastnost: obsahují exponenciální funkci $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Zavedeme tedy definici:

Exponenciální rovnice je každá rovnice, která obsahuje exponenciální funkci, tzn. výraz ve tvaru $((a)^(x))$. Kromě zadané funkce mohou takové rovnice obsahovat jakékoli další algebraické konstrukce - polynomy, kořeny, trigonometrie, logaritmy atd.

Dobře tedy. Rozuměl definici. Teď otázka zní: jak vyřešit všechny ty svinstva? Odpověď je jednoduchá a složitá zároveň.

Začněme dobrou zprávou: ze své zkušenosti s mnoha studenty mohu říci, že pro většinu z nich jsou exponenciální rovnice mnohem jednodušší než stejné logaritmy a ještě více trigonometrie.

Je tu ale i špatná zpráva: občas sestavení úloh k nejrůznějším učebnicím a zkouškám navštíví „inspirace“ a jejich drogami zapálený mozek začne produkovat tak brutální rovnice, že nejen pro studenty je jejich řešení problematické – i mnoho učitelů se na takových problémech zasekne.

Nemluvme však o smutných věcech. A vraťme se k těm třem rovnicím, které byly dány na samém začátku příběhu. Pokusme se vyřešit každý z nich.

První rovnice: $((2)^(x))=4$. No, na jakou moc se musí zvýšit číslo 2, aby získalo číslo 4? Snad to druhé? Vždyť $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — a dostali jsme správnou číselnou rovnost, tzn. skutečně $x=2$. No, díky, víčko, ale tahle rovnice byla tak jednoduchá, že ji dokázala vyřešit i moje kočka. :)

Podívejme se na následující rovnici:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Tady je to ale trochu složitější. Mnoho studentů ví, že $((5)^(2))=25$ je násobilka. Někteří se také domnívají, že $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ je v podstatě definice záporných exponentů (podobně jako ve vzorci $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Nakonec jen pár vyvolených tuší, že tyto skutečnosti lze kombinovat a výsledkem je následující výsledek:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Naše původní rovnice bude tedy přepsána takto:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Šipka doprava ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

A nyní je to již zcela vyřešeno! Na levé straně rovnice je exponenciální funkce, na pravé straně rovnice je exponenciální funkce, nikde jinde není nic jiného než oni. Proto je možné „vyhodit“ báze a hloupě přirovnat indikátory:

Dostali jsme nejjednodušší lineární rovnici, kterou může vyřešit každý student na několika řádcích. Dobře, na čtyřech řádcích:

\[\začátek(zarovnání)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\konec (zarovnání)\]

Pokud nerozumíte tomu, co se stalo na posledních čtyřech řádcích, vraťte se k tématu „lineární rovnice“ a zopakujte jej. Protože bez jasné asimilace tohoto tématu je příliš brzy na to, abyste se chopili exponenciálních rovnic.

\[((9)^(x))=-3\]

No, jak se rozhodneš? První myšlenka: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, takže původní rovnici lze přepsat takto:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Pak si připomeneme, že při zvyšování stupně na mocninu se ukazatele násobí:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Šipka doprava ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\začátek(zarovnání)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\konec (zarovnání)\]

A za takové rozhodnutí dostáváme upřímně zaslouženou dvojku. Neboť my jsme s vyrovnaností Pokémona poslali znaménko mínus před trojku k síle právě této trojky. A to nemůžete udělat. A právě proto. Podívejte se na různé stupně trojčata:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matice)\]

Při sestavování této tablety jsem se nezvrhl hned, jak jsem to udělal: uvažoval jsem o kladných stupních a záporných a dokonce i o zlomcích ... no, kde je tady alespoň jedno záporné číslo? On není! A nemůže být, protože exponenciální funkce $y=((a)^(x))$ za prvé vždy trvá pouze kladné hodnoty(kolik nevynásobí jedna nebo nevydělí dvěma - stále bude kladné číslo), a za druhé, základ takové funkce, číslo $a$, je z definice kladné číslo!

Jak tedy vyřešit rovnici $((9)^(x))=-3$? Ne, nejsou tam žádné kořeny. A v tomto smyslu jsou exponenciální rovnice velmi podobné těm kvadratickým – také nemusí existovat žádné kořeny. Ale pokud v kvadratických rovnicích je počet kořenů určen diskriminantem (diskriminant je kladný - 2 kořeny, záporný - žádné kořeny), pak v exponenciálních rovnicích vše závisí na tom, co je napravo od rovnítka.

Formulujeme tedy klíčový závěr: nejjednodušší exponenciální rovnice ve tvaru $((a)^(x))=b$ má kořen právě tehdy, když $b>0$. Znáte-li tento jednoduchý fakt, můžete snadno určit, zda vám navržená rovnice má kořeny nebo ne. Tito. má cenu to vůbec řešit nebo rovnou napsat, že tam nejsou kořeny.

Tyto znalosti nám mnohonásobně pomohou, když musíme řešit složitější problémy. Mezitím dost textů - je čas nastudovat základní algoritmus pro řešení exponenciálních rovnic.

Jak řešit exponenciální rovnice

Pojďme tedy formulovat problém. Je nutné vyřešit exponenciální rovnici:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Podle "naivního" algoritmu, který jsme použili dříve, je nutné reprezentovat číslo $b$ jako mocninu čísla $a$:

Pokud je navíc místo proměnné $x$ jakýkoliv výraz, dostaneme novou rovnici, kterou lze již vyřešit. Například:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Šipka doprava ((2)^(x))=((2)^(3))\Šipka doprava x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Šipka doprava ((3)^(-x))=((3)^(4))\Šipka doprava -x=4\Šipka doprava x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Šipka doprava ((5)^(2x))=((5)^(3))\Šipka doprava 2x=3\Šipka doprava x=\frac(3)( 2). \\\konec (zarovnat)\]

A kupodivu toto schéma funguje asi v 90 % případů. A co pak těch dalších 10%? Zbývajících 10 % jsou mírně „schizofrenní“ exponenciální rovnice ve tvaru:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Na jakou moc potřebujete zvýšit 2, abyste získali 3? Zaprvé? Ale ne: $((2)^(1))=2$ nestačí. Ve druhém? Ani jedno: $((2)^(2))=4$ je příliš mnoho. Co pak?

Znalí studenti již pravděpodobně uhodli: v takových případech, kdy není možné vyřešit „krásně“, je s případem spojeno „těžké dělostřelectvo“ - logaritmy. Dovolte mi připomenout, že pomocí logaritmů lze jakékoli kladné číslo vyjádřit jako mocninu jakéhokoli jiného kladného čísla (s výjimkou jedné):

Pamatujete si tento vzorec? Když říkám svým studentům o logaritmech, vždy vás varuji: tento vzorec (je to také základní logaritmická identita nebo chcete-li definice logaritmu) vás bude pronásledovat velmi dlouho a „vynoří se“ ve většině případů. nečekaná místa. No, vynořila se. Podívejme se na naši rovnici a tento vzorec:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Pokud předpokládáme, že $a=3$ je naše původní číslo napravo a $b=2$ je samotný základ exponenciální funkce, na kterou tak chceme zmenšit pravou stranu, dostaneme následující:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Šipka doprava ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Šipka doprava x=( (\log )_(2))3. \\\konec (zarovnat)\]

Dostali jsme trochu zvláštní odpověď: $x=((\log )_(2))3$. V nějaké jiné úloze by s takovou odpovědí mnozí pochybovali a začali své řešení dvakrát prověřovat: co když se někde stala chyba? Spěchám vás potěšit: není zde žádná chyba a logaritmy v kořenech exponenciálních rovnic jsou zcela typickou situací. Tak si zvykejte. :)

Nyní vyřešíme analogicky zbývající dvě rovnice:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Šipka doprava x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Šipka doprava ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Šipka doprava 2x=( (\log )_(4))11\Šipka doprava x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\konec (zarovnat)\]

To je vše! Mimochodem, poslední odpověď může být napsána jinak:

Byli jsme to my, kdo zavedl násobitel do argumentu logaritmu. Ale nikdo nám nebrání přidat tento faktor k základu:

V tomto případě jsou všechny tři možnosti správné – je to tak různé formy záznamy stejného čísla. Který z nich si vyberete a zapíšete do tohoto rozhodnutí, je jen na vás.

Tak jsme se naučili řešit libovolné exponenciální rovnice ve tvaru $((a)^(x))=b$, kde čísla $a$ a $b$ jsou striktně kladná. Tvrdou realitou našeho světa však je, že takové jednoduché úkoly vás potkají velmi, velmi zřídka. Častěji se setkáte s něčím takovým:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\konec (zarovnat)\]

No, jak se rozhodneš? Dá se to vůbec řešit? A pokud ano, jak?

Žádná panika. Všechny tyto rovnice jsou rychle a jednoduše zredukovány na ty jednoduché vzorce, které jsme již uvažovali. Stačí si umět zapamatovat pár triků z kurzu algebry. A samozřejmě zde neexistují žádná pravidla pro práci s tituly. O tom všem teď budu mluvit. :)

Transformace exponenciálních rovnic

První věc, kterou je třeba si zapamatovat, je, že jakákoli exponenciální rovnice, bez ohledu na to, jak může být složitá, musí být tak či onak zredukována na nejjednodušší rovnice – právě ty, které jsme již uvažovali a které víme, jak je vyřešit. Jinými slovy, schéma řešení jakékoli exponenciální rovnice vypadá takto:

1. Zapište původní rovnici. Například: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Udělej nějakou hloupost. Nebo dokonce nějaké svinstvo zvané "transformovat rovnici";
3. Na výstupu získejte nejjednodušší výrazy jako $((4)^(x))=4$ nebo něco podobného. Navíc jedna počáteční rovnice může dát několik takových výrazů najednou.

S prvním bodem je vše jasné - i moje kočka dokáže napsat rovnici na list. I u třetího bodu je to, zdá se, víceméně jasné – takových rovnic jsme již řešili celou hromadu výše.

Ale co druhý bod? Jaké jsou transformace? Co převést na co? A jak?

No, pojďme na to přijít. Nejprve bych rád upozornil na následující. Všechny exponenciální rovnice jsou rozděleny do dvou typů:

1. Rovnice je složena z exponenciálních funkcí se stejným základem. Příklad: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Vzorec obsahuje exponenciální funkce s různými bázemi. Příklady: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ a $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Začněme rovnicemi prvního typu – ty se řeší nejsnáze. A v jejich řešení nám pomůže taková technika, jako je výběr stabilních výrazů.

Zvýraznění stabilního výrazu

Podívejme se znovu na tuto rovnici:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

co vidíme? Čtyři jsou zvýšeny v různé míře. Ale všechny tyto mocniny jsou prosté součty proměnné $x$ s jinými čísly. Proto je třeba pamatovat na pravidla pro práci s tituly:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\konec (zarovnat)\]

Jednoduše řečeno, sčítání exponentů lze převést na součin mocnin a odečítání lze snadno převést na dělení. Zkusme aplikovat tyto vzorce na mocniny z naší rovnice:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(zarovnat)\]

Přepíšeme původní rovnici s ohledem na tuto skutečnost a poté shromáždíme všechny členy vlevo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedenáct; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\konec (zarovnat)\]

První čtyři výrazy obsahují prvek $((4)^(x))$ — vyjmeme ho ze závorky:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\konec (zarovnat)\]

Zbývá vydělit obě části rovnice zlomkem $-\frac(11)(4)$, tzn. v podstatě vynásobte převráceným zlomkem - $-\frac(4)(11)$. Dostaneme:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\konec (zarovnat)\]

To je vše! Původní rovnici jsme zredukovali na nejjednodušší a dostali konečnou odpověď.

Zároveň jsme v procesu řešení objevili (a dokonce vyjmuli ze závorky) společný faktor $((4)^(x))$ - to je stabilní výraz. Může být označena jako nová proměnná, nebo ji můžete jednoduše přesně vyjádřit a získat odpověď. V každém případě je klíčový princip řešení následující:

Najděte v původní rovnici stabilní výraz obsahující proměnnou, kterou lze snadno odlišit od všech exponenciálních funkcí.

Dobrou zprávou je, že téměř každá exponenciální rovnice připouští takto stabilní výraz.

Ale je tu také špatná zpráva: takové výrazy mohou být velmi záludné a může být docela obtížné je rozlišit. Podívejme se tedy na další problém:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Možná teď někoho napadne otázka: „Pašo, jsi ukamenovaný? Zde jsou různé základy - 5 a 0,2. Ale zkusme převést mocninu se základem 0,2. Zbavme se například desetinného zlomku a přivedeme jej na obvyklé:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Jak je vidět, číslo 5 se přesto objevilo, i když ve jmenovateli. Zároveň byl indikátor přepsán na negativní. A nyní si připomeneme jedno z nejdůležitějších pravidel pro práci s tituly:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Šipka doprava ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Tady jsem samozřejmě trochu podváděl. Protože pro úplné pochopení musel být vzorec pro zbavení se negativních ukazatelů napsán takto:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Šipka doprava ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ vpravo))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Na druhou stranu nám nic nebránilo pracovat pouze s jedním zlomkem:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ vpravo))^(-\levá(x+1 \vpravo)))=((5)^(\levá(-1 \vpravo)\cdot \levá(-\vlevo(x+1 \vpravo) \vpravo) ))=((5)^(x+1))\]

Ale v tomto případě musíte být schopni zvýšit stupeň na jiný stupeň (připomínám: v tomto případě se ukazatele sčítají). Ale nemusel jsem zlomky "překlápět" - možná to pro někoho bude jednodušší. :)

V každém případě bude původní exponenciální rovnice přepsána jako:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\konec (zarovnat)\]

Ukazuje se tedy, že původní rovnice je ještě snazší vyřešit než dříve zvažovaná: zde ani nemusíte vybírat stabilní výraz - vše se samo redukovalo. Zbývá pouze zapamatovat si, že $1=((5)^(0))$, odkud dostáváme:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\konec (zarovnat)\]

To je celé řešení! Dostali jsme konečnou odpověď: $x=-2$. Zároveň bych rád poznamenal jeden trik, který nám značně zjednodušil všechny výpočty:

V exponenciálních rovnicích se určitě zbavte desetinné zlomky, převeďte je na normální. To vám umožní vidět stejné základy stupňů a výrazně zjednoduší řešení.

Nyní přejděme ke složitějším rovnicím, ve kterých jsou různé báze, které obecně nejsou vzájemně redukovatelné pomocí mocnin.

Použití vlastnosti exponent

Dovolte mi připomenout, že máme dvě obzvláště drsné rovnice:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\konec (zarovnat)\]

Hlavním problémem je, že není jasné, co a na jakém základě vést. Kde nastavit výrazy? Kde jsou společné důvody? Nic z toho neexistuje.

Ale zkusme jít jinou cestou. Pokud neexistují žádné hotové identické základny, můžete je zkusit najít faktorováním dostupných základen.

Začněme první rovnicí:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\doprava ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\konec (zarovnat)\]

Ale koneckonců můžete udělat opak - vytvořit číslo 21 z čísel 7 a 3. Je to obzvláště snadné udělat vlevo, protože indikátory obou stupňů jsou stejné:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\konec (zarovnat)\]

To je vše! Vyjmuli jste exponent ze součinu a okamžitě jste dostali krásnou rovnici, kterou lze vyřešit na pár řádcích.

Nyní se pojďme zabývat druhou rovnicí. Zde je vše mnohem složitější:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

V tomto případě se zlomky ukázaly jako neredukovatelné, ale pokud by se dalo něco snížit, určitě to zredukujte. Výsledkem jsou často zajímavé podklady, se kterými již můžete pracovat.

Bohužel jsme na nic nepřišli. Ale vidíme, že exponenty vlevo v součinu jsou opačné:

Dovolte mi připomenout: abyste se zbavili znaménka mínus v exponentu, stačí zlomek „přehodit“. Přepišme tedy původní rovnici:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\konec (zarovnat)\]

Na druhém řádku jsme jen uzavřeli součet ze součinu podle pravidla $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$ a v tom druhém jednoduše vynásobili číslo 100 zlomkem.

Nyní si všimněte, že čísla vlevo (u základny) a vpravo jsou poněkud podobná. Jak? Ano, zjevně: jsou to mocnosti stejného čísla! My máme:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \vpravo))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \vpravo))^(2)). \\\konec (zarovnat)\]

Naše rovnice bude tedy přepsána takto:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \vpravo))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \vpravo))^(3\vlevo(x-1 \vpravo)))=((\vlevo(\frac(10)(3) \vpravo))^(3x-3))\]

Zároveň vpravo můžete získat i stupeň se stejným základem, ke kterému stačí zlomek „přehodit“:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Nakonec naše rovnice bude mít tvar:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\konec (zarovnat)\]

To je celé řešení. Jeho hlavní myšlenkou je, že i kdyby různé základny x snažíme se háčkem nebo podvodem zredukovat tyto důvody na jeden a tentýž. V tom nám pomáhají elementární transformace rovnic a pravidla pro práci s mocninami.

Ale jaká pravidla a kdy použít? Jak pochopit, že v jedné rovnici potřebujete rozdělit obě strany něčím a v jiné - rozložit základnu exponenciální funkce na faktory?

Odpověď na tuto otázku přinese zkušenost. Nejprve si vyzkoušejte ruku jednoduché rovnice, a pak postupně úkoly komplikovat - a velmi brzy budou vaše schopnosti stačit na vyřešení jakékoli exponenciální rovnice ze stejného USE nebo jakékoli nezávislé / testovací práce.

A abych vám pomohl v tomto obtížném úkolu, navrhuji stáhnout si sadu rovnic na mém webu pro nezávislé řešení. Všechny rovnice mají odpovědi, takže se můžete vždy sami zkontrolovat.

Zařízení:

• počítač,
• multimediální projektor,
• obrazovka,
• Příloha 1(prezentace v PowerPointu) „Metody řešení exponenciálních rovnic“
• Dodatek 2(Řešení rovnice jako „Tři různé základy stupňů“ ve Wordu)
• Příloha 3(práce ve Wordu pro praktickou práci).
• Dodatek 4(list ve Wordu za domácí úkol).

Během vyučování

1. Organizační fáze

• sdělení tématu lekce (napsané na tabuli),
• potřeba zobecňující hodiny v 10.–11. ročníku:

Fáze přípravy studentů na aktivní asimilaci znalostí

Opakování

Definice.

Exponenciální rovnice je rovnice obsahující v exponentu proměnnou (odpovídá žák).

Poznámka učitele. Exponenciální rovnice patří do třídy transcendentálních rovnic. Tento těžko vyslovitelný název napovídá, že takové rovnice obecně řečeno nelze řešit ve formě vzorců.

Lze je řešit pouze přibližně numerickými metodami na počítačích. Ale co zkušební otázky? Celý trik je v tom, že zkoušející sestaví problém tak, že připustí analytické řešení. Jinými slovy, můžete (a měli byste!) provádět takové identické transformace, které zredukují danou exponenciální rovnici na nejjednodušší exponenciální rovnici. Toto je nejjednodušší rovnice a nazývá se: nejjednodušší exponenciální rovnice. Je to vyřešené logaritmus.

Situace s řešením exponenciální rovnice připomíná cestu bludištěm, kterou speciálně vymyslel sestavovatel úlohy. Z těchto velmi obecných úvah vyplývají zcela konkrétní doporučení.

Chcete-li úspěšně vyřešit exponenciální rovnice, musíte:

1. Nejen aktivně znát všechny exponenciální identity, ale také najít množiny hodnot proměnné, na které jsou tyto identity definovány, takže při používání těchto identit člověk nezíská zbytečné kořeny, ba co víc, neztrácí řešení rovnice.

2. Aktivně znát všechny exponenciální identity.

3. Přehledně, podrobně a bez chyb provádějte matematické transformace rovnic (přenášejte členy z jedné části rovnice do druhé, nezapomínejte na změnu znaménka, zmenšení zlomku na společného jmenovatele atd.). Tomu se říká matematická kultura. Samotné výpočty by přitom měly být prováděny automaticky rukama a hlava by měla přemýšlet o obecném vodítku řešení. Proměny je nutné provádět co nejpečlivěji a nejpodrobněji. Jen tak bude zaručeno správné a bezchybné řešení. A pamatujte: malá aritmetická chyba může jednoduše vytvořit transcendentální rovnici, kterou v zásadě nelze vyřešit analyticky. Ukázalo se, že jste zabloudili a narazili na stěnu labyrintu.

4. Znát způsoby řešení problémů (tedy znát všechny cesty labyrintem řešení). Pro správnou orientaci v každé fázi budete muset (vědomě nebo intuitivně!):

• definovat typ rovnice;
• zapamatovat si odpovídající typ způsob řešeníúkoly.

Etapa zobecnění a systematizace studovaného materiálu.

Učitel spolu se studenty za zapojení počítače provede přehledové opakování všech typů exponenciálních rovnic a metod jejich řešení a sestaví obecné schéma. (Je použit výukový počítačový program L.Ya. Borevského "Kurz matematiky - 2000", autorem powerpointové prezentace je T.N. Kuptsova.)

Rýže. jeden. Obrázek ukazuje obecné schéma všech typů exponenciálních rovnic.

Jak je vidět z tohoto diagramu, strategií řešení exponenciálních rovnic je nejprve tuto exponenciální rovnici redukovat na rovnici, se stejnými základy , a pak - a se stejnými exponenty.

Po získání rovnice se stejnými základy a exponenty nahradíte tento stupeň novou proměnnou a získáte jednoduchou algebraickou rovnici (obvykle zlomkovou racionální nebo kvadratickou) s ohledem na tuto novou proměnnou.

Vyřešením této rovnice a provedením inverzní substituce skončíte se sadou jednoduchých exponenciálních rovnic, které jsou vyřešeny v obecný pohled pomocí logaritmů.

Oddělují se rovnice, ve kterých se vyskytují pouze součiny (soukromých) mocnin. Pomocí exponenciálních identit je možné tyto rovnice okamžitě přivést k jedné bázi, konkrétně k nejjednodušší exponenciální rovnici.

Zvažte, jak se řeší exponenciální rovnice se třemi různými bázemi stupňů.

(Pokud má učitel výukový počítačový program od L.Ya. Borevského "Kurz matematiky - 2000", pak samozřejmě pracujeme s diskem, pokud ne, můžete si z něj vytisknout tento typ rovnice pro každou lavici, který je uveden níže .)

Rýže. 2. Plán řešení rovnic.

Rýže. 3. Začátek řešení rovnice

Rýže. čtyři. Konec řešení rovnice.

Dělat praktickou práci

Určete typ rovnice a vyřešte ji.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Shrnutí lekce

Hodnocení lekce.

konec lekce

Pro učitele

Schéma odpovědí praktické práce.

Cvičení: ze seznamu rovnic vyberte rovnice zadaného typu (číslo odpovědi uveďte do tabulky):

1. Tři různé základny
2. Dvě různé báze - různé exponenty
3. Základy mocnin - mocniny jednoho čísla
4. Stejné základy, různé exponenty
5. Stejné základy exponentů - stejné exponenty
6. Součin sil
7. Dvě různé základny stupňů - stejné ukazatele
8. Nejjednodušší exponenciální rovnice

1. (součin sil)

2. (stejné základy - různé exponenty)

Ve fázi přípravy na závěrečný test si středoškoláci potřebují zlepšit své znalosti na téma „ exponenciální rovnice". Zkušenosti z minulých let ukazují, že takové úkoly způsobují školákům určité potíže. Proto středoškoláci, bez ohledu na úroveň své přípravy, potřebují pečlivě ovládat teorii, zapamatovat si vzorce a pochopit princip řešení takových rovnic. Poté, co se absolventi naučili zvládat tento typ úloh, budou moci při absolvování zkoušky z matematiky počítat s vysokým skóre.

Připravte se na zkouškové testování společně se Shkolkovo!

Při opakování probrané látky se mnoho studentů potýká s problémem najít vzorce potřebné k řešení rovnic. Školní učebnice není vždy po ruce a výběr potřebných informací k tématu na internetu trvá dlouho.

Vzdělávací portál Shkolkovo zve studenty k využívání naší znalostní báze. Realizujeme kompletně nová metoda příprava na závěrečný test. Při studiu na našem webu budete schopni identifikovat mezery ve znalostech a věnovat pozornost přesně těm úkolům, které způsobují největší potíže.

Učitelé "Shkolkovo" shromáždili, systematizovali a prezentovali vše potřebné pro úspěšné doručení POUŽÍVEJTE materiál tím nejjednodušším a nejdostupnějším způsobem.

Hlavní definice a vzorce jsou uvedeny v části "Teoretická reference".

Pro lepší asimilaci látky doporučujeme procvičit si zadání. Pečlivě si projděte příklady exponenciálních rovnic s řešeními uvedenými na této stránce, abyste porozuměli výpočetnímu algoritmu. Poté pokračujte v úkolech v sekci "Katalogy". Můžete začít s nejjednoduššími úkoly nebo přejít rovnou k řešení složitých exponenciálních rovnic s několika neznámými nebo . Databáze cviků na našem webu je neustále doplňována a aktualizována.

Příklady s indikátory, které vám způsobily potíže, můžete přidat do „Oblíbených“. Můžete je tedy rychle najít a probrat řešení s učitelem.

Chcete-li úspěšně složit zkoušku, studujte na portálu Shkolkovo každý den!

Příklady:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Jak řešit exponenciální rovnice

Při řešení jakékoli exponenciální rovnice se snažíme přivést ji do tvaru \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) a poté přejít na rovnost indikátorů, to znamená:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Například:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Důležité! Ze stejné logiky vyplývají pro takový přechod dva požadavky:
- číslo v vlevo a vpravo by měly být stejné;
- stupně vlevo a vpravo musí být "čisté", to znamená, že by neměly existovat žádné, násobení, dělení atd.

Například:

K převedení rovnice do tvaru \(a^(f(x))=a^(g(x))\) a se používají.

Příklad . Vyřešte exponenciální rovnici \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Řešení:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Víme, že \(27 = 3^3\). S ohledem na to rovnici transformujeme.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Vlastností kořene \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) dostaneme, že \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Dále pomocí vlastnosti stupně \((a^b)^c=a^(bc)\) získáme \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Víme také, že \(a^b a^c=a^(b+c)\). Když to aplikujeme na levou stranu, dostaneme: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Nyní si pamatujte, že: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Tento vzorec lze použít i obráceně: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Potom \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Aplikováním vlastnosti \((a^b)^c=a^(bc)\) na pravou stranu dostaneme: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		A nyní máme základy stejné a neexistují žádné rušivé koeficienty atd. Můžeme tedy provést přechod.
		Příklad . Vyřešte exponenciální rovnici \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Řešení: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Znovu použijeme vlastnost stupně \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) v opačný směr. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Nyní si pamatujte, že \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Pomocí vlastností stupně transformujeme: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Pozorně se podíváme na rovnici a vidíme, že se zde nabízí náhrada \(t=2^x\). \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Našli jsme však hodnoty \(t\) a potřebujeme \(x\). Vrátíme se k X a provedeme opačnou substituci. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformujte druhou rovnici pomocí vlastnosti záporné mocniny... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...a řešit až do odpovědi. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Odpovědět : \(-1; 1\). Otázkou zůstává – jak porozumět tomu, kdy použít kterou metodu? Přichází se zkušenostmi. Mezitím jste to nedopracovali, použijte obecné doporučení pro řešení složitých problémů - "když nevíš, co dělat - dělej, co můžeš." To znamená, hledejte, jak můžete rovnici v principu transformovat, a zkuste to udělat - co když to vyjde? Hlavní je dělat pouze matematicky odůvodněné transformace. exponenciální rovnice bez řešení Podívejme se na další dvě situace, které studenty často matou: - kladné číslo na mocninu se rovná nule, například \(2^x=0\); - kladné číslo se rovná mocnině záporné číslo, například \(2^x=-4\). Zkusme to vyřešit hrubou silou. Pokud je x kladné číslo, pak s rostoucím x bude celá mocnina \(2^x\) pouze růst: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Také minulé. Existují záporná x. Při zapamatování vlastnosti \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\ zkontrolujeme: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Navzdory tomu, že se číslo každým krokem zmenšuje, nikdy nedosáhne nuly. Negativní stupeň nás tedy také nezachránil. Dostáváme se k logickému závěru: Kladné číslo k jakékoli mocnině zůstane kladným číslem. Obě výše uvedené rovnice tedy nemají řešení. exponenciální rovnice s různými bázemi V praxi se někdy vyskytují exponenciální rovnice s různými bázemi, které nejsou vzájemně redukovatelné, a zároveň se stejnými exponenty. Vypadají takto: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), kde \(a\) a \(b\) jsou kladná čísla. Například: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Takové rovnice lze snadno vyřešit dělením kteroukoli z částí rovnice (obvykle dělením pravou stranou, tedy \ (b ^ (f (x)) \).Můžete dělit tímto způsobem, protože a kladné číslo je kladné v jakékoli míře (to znamená, že nedělíme nulou.) Dostaneme: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Příklad . Vyřešte exponenciální rovnici \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Řešení: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Zde nemůžeme proměnit pětku ve trojku nebo naopak (alespoň bez použití). Nemůžeme tedy dojít k tvaru \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Ukazatele jsou přitom stejné. Vydělme rovnici pravou stranou, tedy \(3^(x+7)\) (můžeme to udělat, protože víme, že trojka nebude v žádném stupni nula). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Nyní si zapamatujte vlastnost \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) a použijte ji zleva v opačném směru. Vpravo zlomek jednoduše zmenšíme. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Nezdálo se, že by se to zlepšilo. Pamatujte ale na další vlastnost stupně: \(a^0=1\), jinými slovy: "jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná \(1\)". Platí to i obráceně: "jednotku lze vyjádřit jako jakékoli číslo umocněné na nulu." Toho využijeme tak, že základnu vpravo uděláme stejnou jako vlevo. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Zbavíme se základů. Píšeme odpověď. Odpovědět : \(-7\). Někdy není "stejnost" exponentů zřejmá, ale zručné použití vlastností stupně tento problém řeší. Příklad . Vyřešte exponenciální rovnici \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Řešení: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Rovnice vypadá dost smutně... Nejen, že se nedají redukovat základy na stejné číslo (sedm se nebude rovnat \(\frac(1)(3)\)), tak i ukazatele jsou různé... Použijme však exponent levého stupně dvojky. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Mějte na paměti vlastnost \((a^b)^c=a^(b c)\) , transformujte vlevo: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Nyní, když si pamatujeme vlastnost záporné mocniny \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformujeme vpravo: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluja! Skóre je stejné! Jednáme podle nám již známého schématu, rozhodujeme se před odpovědí. Odpovědět : \(2\).

První úroveň

exponenciální rovnice. Komplexní průvodce (2019)

Ahoj! Dnes s vámi probereme, jak řešit rovnice, které mohou být jak elementární (a doufám, že po přečtení tohoto článku pro vás budou téměř všechny), tak i ty, které se obvykle dávají „zásyp“. Prý úplně usnout. Ale pokusím se udělat vše, co je v mých silách, abyste se nyní nedostali do problémů, když budete čelit tomuto typu rovnic. Už se nebudu bít do křoví, ale hned prozradím malé tajemství: dnes se budeme učit exponenciální rovnice.

Než přistoupím k analýze způsobů, jak je vyřešit, okamžitě vám nastíním okruh otázek (celkem malý), které byste si měli zopakovat, než se vrhnete na toto téma. Takže získat nejlepší výsledek, prosím, opakovat:

1. vlastnosti a
2. Řešení a rovnice

Opakované? Báječné! Pak pro vás nebude těžké si všimnout, že kořenem rovnice je číslo. Jste si jistý, že chápete, jak jsem to udělal? Pravda? Pak pokračujeme. Nyní mi odpovězte na otázku, co se rovná třetí mocnině? Máš naprostou pravdu: . Osm je jakou mocninou dvou? Správně - třetí! Protože. Nuže, zkusme nyní vyřešit následující problém: Dovolte mi, abych číslo vynásobil sám jednou a dostanu výsledek. Otázkou je, kolikrát jsem se sám násobil? Můžete to samozřejmě zkontrolovat přímo:

\začátek(zarovnat) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( zarovnat)

Pak můžete dojít k závěru, že jsem se sám od sebe násobil. Jak jinak to lze ověřit? A takto: přímo definicí stupně: . Ale musíte uznat, že kdybych se zeptal, kolikrát se musí násobit dvojka sama sebou, abych dostal, řekněme, řekl byste mi: Nebudu se klamat a množit se, dokud nebudu modrý ve tváři. A měl by naprostou pravdu. Protože jak můžeš stručně zapište všechny akce(a stručnost je sestrou talentu)

kde - to je to samé "krát" když se množíš sám.

Myslím, že víte (a pokud nevíte, tak naléhavě, velmi naléhavě opakujte stupně!), že můj problém bude napsán ve tvaru:

Jak můžete rozumně dojít k závěru, že:

Tak jsem tiše napsal to nejjednodušší exponenciální rovnice:

A dokonce to našel vykořenit. Nezdá se vám, že je všechno docela triviální? Přesně to si myslím taky. Zde je další příklad pro vás:

Ale co dělat? Přece to nelze zapsat jako stupeň (rozumného) čísla. Nezoufejme a povšimněme si, že obě tato čísla jsou dokonale vyjádřena pomocí mocniny stejného čísla. Co? Že jo: . Poté se původní rovnice převede do tvaru:

Odkud, jak jste již pochopili, . Už netahejme a zapisujme definice:

V našem případě s vámi: .

Tyto rovnice se řeší jejich redukcí do tvaru:

s následným řešením rovnice

Ve skutečnosti jsme to udělali v předchozím příkladu: dostali jsme to. A vyřešili jsme s vámi tu nejjednodušší rovnici.

Zdá se, že to není nic složitého, že? Nejprve si procvičíme to nejjednodušší. příklady:

Znovu vidíme, že pravá a levá strana rovnice musí být reprezentována jako mocnina jednoho čísla. Je pravda, že to již bylo provedeno vlevo, ale vpravo je číslo. Ale to je konec konců v pořádku a moje rovnice se zázračně promění v toto:

Co jsem tady musel udělat? jaké pravidlo? Pravidlo Power to Power který zní:

Co když:

Než odpovíme na tuto otázku, vyplňte s vámi následující tabulku:

Není pro nás těžké si všimnout, že čím menší, tím menší hodnota, ale přesto jsou všechny tyto hodnoty větší než nula. A BUDE TO TAK VŽDY!!! Stejná vlastnost platí PRO KAŽDOU ZÁKLADNU S JAKÝKOLI INDEX!! (pro jakékoli a). Co tedy můžeme vyvodit z rovnice? A tady je jeden: to nemá kořeny! Stejně jako každá rovnice nemá kořeny. Nyní cvičme a Pojďme vyřešit několik jednoduchých příkladů:

Pojďme zkontrolovat:

1. Zde se po vás nic nevyžaduje, kromě znalosti vlastností mocnin (o které jsem vás mimochodem požádal, abyste ji zopakovali!) Vše zpravidla vede k nejmenšímu základu: , . Pak bude původní rovnice ekvivalentní následujícímu: Vše, co potřebuji, je použít vlastnosti mocnin: při násobení čísel se stejným základem se exponenty sčítají, při dělení se odečítají. Pak dostanu: No, teď s čistým svědomím přejdu od exponenciální rovnice k lineární: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(zarovnat)

2. Ve druhém příkladu musíte být opatrnější: problém je v tom, že na levé straně nebudeme moci reprezentovat stejné číslo jako mocninu. V tomto případě je to někdy užitečné reprezentují čísla jako součin mocnin s různými základy, ale stejnými exponenty:

Levá strana rovnice bude mít tvar: Co nám to dalo? A tady je co: Čísla s různými základy, ale stejným exponentem lze násobit.V tomto případě se základy násobí, ale exponent se nemění:

Aplikováno na mou situaci to dá:

\begin(zarovnat)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(zarovnat)

Není to špatné, že?

3. Nemám rád, když mám na jedné straně rovnice dva členy a na druhé žádný (někdy je to samozřejmě oprávněné, ale teď tomu tak není). Posuňte minusový výraz doprava:

Nyní, jako dříve, napíšu vše prostřednictvím mocnin trojice:

Přidám mocniny vlevo a dostanu ekvivalentní rovnici

Jeho kořen můžete snadno najít:

4. Stejně jako v příkladu tři, výraz s mínusem - místo na pravé straně!

Vlevo je u mě skoro všechno v pořádku, kromě čeho? Ano, vadí mi „špatný stupeň“ dvojky. Ale to mohu snadno opravit, když napíšu: . Eureka - vlevo jsou všechny základny jiné, ale všechny stupně jsou stejné! Rychle se množíme!

Zde je opět vše jasné: (pokud jste nepochopili, jak magicky jsem dostal poslední rovnost, dejte si na minutu pauzu, dejte si pauzu a znovu si velmi pečlivě přečtěte vlastnosti stupně. Kdo řekl, že můžete přeskočit stupně se záporným exponentem? No, tady jsem asi stejný jako nikdo). Nyní dostanu:

\begin(zarovnat)
& ((2)^(4\levý((x) -9 \vpravo)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(zarovnat)

Zde jsou pro vás úkoly k procvičení, na které uvedu pouze odpovědi (ale ve „smíšené“ podobě). Vyřešte je, zkontrolujte a my budeme pokračovat ve výzkumu!

Připraveni? Odpovědi jako tyhle:

1. jakékoliv číslo

Dobře, dobře, dělal jsem si srandu! Zde jsou obrysy řešení (některá jsou docela stručná!)

Nemyslíte si, že není náhoda, že jeden zlomek vlevo je „převrácený“ druhý? Byl by hřích nevyužít toto:

Toto pravidlo se velmi často používá při řešení exponenciálních rovnic, dobře si ho zapamatujte!

Původní rovnice pak bude:

Řeším to kvadratická rovnice, získáte následující kořeny:

2. Jiné řešení: dělení obou částí rovnice výrazem vlevo (nebo vpravo). Vydělím tím, co je vpravo, pak dostanu:

Kde (proč?!)

3. Ani se nechci opakovat, všechno už je tolik „rozžvýkané“.

4. ekvivalent kvadratické rovnice, kořeny

5. Musíte použít vzorec uvedený v prvním úkolu, pak dostanete, že:

Rovnice se změnila v triviální identitu, která platí pro všechny. Pak je odpovědí libovolné reálné číslo.

No, tady jste a cvičil se v rozhodování nejjednodušší exponenciální rovnice. Nyní vám chci uvést některé příklady ze života, které vám pomohou pochopit, proč jsou v zásadě potřebné. Zde uvedu dva příklady. Jeden z nich je docela každodenní, ale druhý je spíše vědecký než praktický.

Příklad 1 (merkantilní) Ať máte rubly, ale chcete to přeměnit na rubly. Banka vám nabízí, že si od vás tyto peníze vezmete za roční úrokovou sazbu s měsíční kapitalizací úroků (měsíční přírůstek). Otázkou je, na kolik měsíců musíte otevřít vklad, abyste vybrali požadovanou konečnou částku? Docela všední úkol, že? Jeho řešení je však spojeno s konstrukcí odpovídající exponenciální rovnice: Nechť - počáteční částka, - konečná částka, - úroková sazba za období, - počet období. Pak:

V našem případě (pokud je sazba za rok, pak se počítá za měsíc). Proč se dělí na? Pokud neznáte odpověď na tuto otázku, zapamatujte si téma ""! Pak dostaneme následující rovnici:

Tuto exponenciální rovnici již lze vyřešit pouze pomocí kalkulačky (její vzhled to naznačuje, a to vyžaduje znalost logaritmů, se kterými se seznámíme o něco později), což udělám: ... Abychom dostali milion, budeme muset složit zálohu na měsíc ( ne moc rychle, že?).

Příklad 2 (spíše vědecký). I přes jeho určitou „izolovanost“ vám doporučuji, abyste se mu věnovali: pravidelně „klouže ke zkoušce!! (úloha je převzata z „reálné“ verze) Při rozpadu radioaktivního izotopu jeho hmotnost klesá podle zákona, kde (mg) je počáteční hmotnost izotopu, (min.) je doba uplynulá od počáteční okamžik, (min.) je poločas rozpadu. V počátečním okamžiku je hmotnost izotopu mg. Jeho poločas rozpadu je min. Za kolik minut bude hmotnost izotopu rovna mg? Je to v pořádku: prostě vezmeme a nahradíme všechna data ve vzorci, který nám byl navržen:

Rozdělme obě části „v naději“, že nalevo dostaneme něco stravitelného:

No, máme velké štěstí! Stojí vlevo, pak přejdeme k ekvivalentní rovnici:

Kde min.

Jak vidíte, exponenciální rovnice mají velmi reálné uplatnění v praxi. Nyní s vámi chci diskutovat o jiném (jednoduchém) způsobu řešení exponenciálních rovnic, který je založen na vyjmutí společného faktoru ze závorek a následném seskupení členů. Nebojte se mých slov, už jste se s touto metodou setkali v 7. třídě, když jste se učili polynomy. Pokud jste například potřebovali rozložit výraz:

Seskupme: první a třetí termín, stejně jako druhý a čtvrtý. Je jasné, že první a třetí jsou rozdílem čtverců:

a druhý a čtvrtý mají společný faktor tři:

Pak je původní výraz ekvivalentní tomuto:

Kde vyjmout společný faktor již není obtížné:

Tudíž,

Při řešení exponenciálních rovnic se budeme chovat přibližně takto: hledejte mezi pojmy „společnost“ a vyjměte ji ze závorek, a pak – ať se stane cokoli, věřím, že budeme mít štěstí =)) Například:

Vpravo je daleko od mocniny sedmi (kontroloval jsem!) A vlevo - o něco lépe, můžete samozřejmě „odříznout“ faktor a z prvního a z druhého a pak se zabývat co jsi dostal, ale dělejme s tebou opatrněji. Nechci se zabývat zlomky, které nevyhnutelně vznikají „selekcí“, neměl bych tedy raději vydržet? Pak nebudu mít zlomky: jak se říká, vlci jsou sytí a ovce jsou v bezpečí:

Počítejte výraz v závorkách. Kouzelně, kouzlem to dopadne (překvapivě, i když co jiného můžeme čekat?).

Pak o tento faktor snížíme obě strany rovnice. Dostáváme: kde.

Zde je složitější příklad (opravdu trochu):

Tady je problém! Tady nemáme společnou řeč! Není úplně jasné, co teď dělat. A udělejme, co můžeme: za prvé, posuneme „čtyřky“ jedním směrem a „pětky“ druhým:

Nyní vyjmeme „společné“ vlevo a vpravo:

Takže co teď? Jaký je přínos takového hloupého seskupení? Na první pohled to není vůbec vidět, ale podívejme se hlouběji:

No, teď to uděláme tak, že vlevo máme pouze výraz c a vpravo vše ostatní. Jak to můžeme udělat? A takto: Vydělte obě strany rovnice nejprve (takže se zbavíme exponentu napravo) a pak obě strany vydělte (takže se zbavíme číselného faktoru nalevo). Nakonec dostaneme:

Neuvěřitelný! Vlevo máme výraz a vpravo - jen. Pak z toho okamžitě vyvozujeme závěr

Zde je další příklad pro posílení:

Uvedu jeho stručné řešení (neobtěžuji se vysvětlovat), pokuste se sami přijít na všechny „jemnosti“ řešení.

Nyní finální konsolidace pokrytého materiálu. Pokuste se sami vyřešit následující problémy. Dám jen stručná doporučení a tipy na jejich řešení:

1. Vyjmeme společný faktor ze závorek:
2. První výraz reprezentujeme ve tvaru: , obě části vydělte a získejte to
3. , pak se původní rovnice převede do tvaru: No a teď nápověda - hledej, kde jsme ty a já už tuhle rovnici vyřešili!
4. Představte si, jak, jak, ach, no, pak obě části vydělte, abyste dostali nejjednodušší exponenciální rovnici.
5. Vyjměte to ze závorek.
6. Vyjměte to ze závorek.

EXPOZIČNÍ ROVNICE. PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ

Předpokládám, že po přečtení prvního článku, který vyprávěl co jsou exponenciální rovnice a jak je řešit, zvládli jste nezbytné minimum znalostí potřebných k řešení nejjednodušších příkladů.

Nyní rozeberu jinou metodu pro řešení exponenciálních rovnic, je to tato

"metoda zavedení nové proměnné" (neboli substituce).Řeší většinu „obtížných“ úloh na téma exponenciálních rovnic (a nejen rovnic). Tato metoda je jednou z nejpoužívanějších v praxi. Nejprve doporučuji se s tématem seznámit.

Jak jste již z názvu pochopili, podstatou této metody je zavést takovou změnu proměnné, aby se vaše exponenciální rovnice zázračně přeměnila na takovou, kterou již můžete snadno vyřešit. Po vyřešení této velmi „zjednodušené rovnice“ vám zbývá pouze provést „obrácenou náhradu“: tedy vrátit se z nahrazeného k nahrazenému. Pojďme si to, co jsme právě řekli, ilustrovat na velmi jednoduchém příkladu:

Příklad 1:

Tato rovnice je vyřešena „prostou substitucí“, jak ji matematici hanlivě nazývají. Náhrada je zde skutečně nejzřetelnější. To se prostě musí vidět

Původní rovnice pak bude:

Když si dodatečně představíme jak, tak je celkem jasné, co je potřeba vyměnit: samozřejmě, . Co se pak stane původní rovnicí? A tady je co:

Jeho kořeny můžete snadno najít sami:. Co bychom teď měli dělat? Je čas vrátit se k původní proměnné. Co jsem zapomněl uvést? Totiž: při nahrazení určitého stupně novou proměnnou (tedy při nahrazení typu) mě bude zajímat pouze pozitivní kořeny! Sami si snadno zodpovíte proč. Nemáme o vás tedy zájem, ale druhý kořen je pro nás docela vhodný:

Pak kde.

Odpovědět:

Jak vidíte, v předchozím příkladu nás náhradník žádal o ruce. Bohužel ne vždy tomu tak je. Nepřecházejme však rovnou k tomu smutnému, ale procvičíme si ještě na jednom příkladu s celkem jednoduchou náhradou

Příklad 2

Je jasné, že s největší pravděpodobností bude nutné nahradit (toto je nejmenší z mocnin obsažených v naší rovnici), nicméně před zavedením náhrady je třeba na to naši rovnici „připravit“, a to: , . Pak můžete nahradit, v důsledku toho dostanu následující výraz:

Ach hrůza: kubická rovnice s naprosto příšernými vzorci pro její řešení (dobře řečeno obecně). Ale nezoufejme hned, ale zamysleme se nad tím, co bychom měli dělat. Navrhnu podvádění: víme, že abychom dostali "krásnou" odpověď, potřebujeme získat nějakou mocninu trojky (proč by to bylo, co?). A zkusme uhodnout alespoň jeden kořen naší rovnice (začnu hádat od mocnin tří).

První odhad. Není kořen. Běda a ach...

.
Levá strana je rovná.
Pravá část: !
Tady je! Uhádl první kořen. Nyní budou věci jednodušší!

Víte o schématu rozdělení „rohů“? Samozřejmě víte, že to používáte, když dělíte jedno číslo druhým. Málokdo ale ví, že totéž lze udělat s polynomy. Existuje jedna úžasná věta:

Aplikovatelné na mou situaci mi říká, co je beze zbytku dělitelné. Jak se dělení provádí? Takto:

Podívám se na to, který monomiál bych měl násobit, abych získal Clear, pak:

Odečtu výsledný výraz od, dostanu:

Nyní, co musím násobit, abych dostal? Je jasné, že na, pak dostanu:

a znovu odečtěte výsledný výraz od zbývajícího:

No, poslední krok, násobím a odečítám od zbývajícího výrazu:

Hurá, dělení je u konce! Co jsme nashromáždili v soukromí? Samo o sobě: .

Pak jsme dostali následující rozšíření původního polynomu:

Pojďme vyřešit druhou rovnici:

Má kořeny:

Pak původní rovnice:

má tři kořeny:

Poslední kořen samozřejmě zahodíme, protože je menší než nula. A první dva po obráceném nahrazení nám dají dva kořeny:

Odpovědět: ..

Tímto příkladem jsem vás vůbec nechtěl děsit, spíše jsem si dal za cíl ukázat, že ačkoliv jsme měli celkem jednoduchou náhradu, vedlo to k poměrně složité rovnici, jejíž řešení vyžadovalo určité speciální dovednosti od nás. No, nikdo proti tomu není imunní. Ale změna v tomto případě byla docela zřejmá.

Zde je příklad s trochu méně zřejmou substitucí:

Není vůbec jasné, co bychom měli dělat: problém je v tom, že v naší rovnici jsou dvě různé báze a jedna báze nemůže být získána z druhé tím, že bychom ji v žádném (rozumném, přirozeném) stupni zvýšili. Co však vidíme? Obě báze se liší pouze znaménkem a jejich součin je rozdíl čtverců rovný jedné:

Definice:

Čísla, která jsou v našem příkladu bázemi, jsou tedy konjugovaná.

V tom případě by to byl chytrý krok vynásobte obě strany rovnice konjugovaným číslem.

Například na, pak se levá strana rovnice bude rovnat a pravá strana. Pokud provedeme náhradu, naše původní rovnice s vámi bude vypadat takto:

jeho kořeny, ale když si to zapamatujeme, dostaneme to.

Odpovědět: , .

K řešení většiny „školních“ exponenciálních rovnic zpravidla stačí náhradní metoda. Následující úlohy jsou převzaty z USE C1 ( zvýšená hladina potíže). Jste již dostatečně gramotní na to, abyste tyto příklady vyřešili sami. Dám pouze požadovanou náhradu.

1. Řešte rovnici:
2. Najděte kořeny rovnice:
3. Řešte rovnici: . Najděte všechny kořeny této rovnice, které patří do segmentu:

Nyní několik rychlých vysvětlení a odpovědí:

1. Zde stačí poznamenat, že a. Pak bude původní rovnice ekvivalentní této: Tato rovnice je vyřešena nahrazením Proveďte následující výpočty sami. Nakonec se váš úkol zredukuje na řešení nejjednodušší trigonometrie (v závislosti na sinu nebo kosinu). Řešení takových příkladů probereme v dalších částech.
2. Zde se dokonce obejdete bez náhrady: stačí přesunout subtrahend doprava a reprezentovat obě báze prostřednictvím mocnin dvou: a pak okamžitě přejít na kvadratickou rovnici.
3. Třetí rovnice je také řešena poměrně standardním způsobem: představte si jak. Pak nahrazením dostaneme kvadratickou rovnici:

   Už víte, co je to logaritmus? Ne? Pak si naléhavě přečtěte téma!

   První kořen zjevně nepatří do segmentu a druhý je nepochopitelný! To se ale dozvíme velmi brzy! Protože tedy (toto je vlastnost logaritmu!) Porovnejme:

   Odečtením od obou částí dostaneme:

   Levá strana může být reprezentována jako:

   vynásobte obě strany:

   lze pak vynásobit

   Pak srovnejme:

   od té doby:

   Potom druhý kořen patří do požadovaného intervalu

   Odpovědět:

Jak vidíte, výběr kořenů exponenciálních rovnic vyžaduje poměrně hlubokou znalost vlastností logaritmů, proto radím, abyste byli při řešení exponenciálních rovnic co nejopatrnější. Jak víte, v matematice je vše propojeno! Jak říkával můj učitel matematiky: "Nemůžete číst matematiku jako dějepis přes noc."

Zpravidla všechny obtížnost řešení úloh C1 je právě ve výběru kořenů rovnice. Pojďme si to procvičit na dalším příkladu:

Je jasné, že samotná rovnice je řešena celkem jednoduše. Po provedení substituce zredukujeme naši původní rovnici na následující:

Nejprve se podíváme na první kořen. Porovnejte a: od té doby. (vlastnost logaritmické funkce, at). Pak je jasné, že ani první kořen do našeho intervalu nepatří. Nyní druhý kořen: . Je jasné, že (protože funkce je rostoucí). Zbývá porovnat a

od té doby ve stejnou dobu. Tím pádem mohu „zatlouct kolík“ mezi a. Tento kolík je číslo. První výraz je menší než a druhý je větší než. Pak je druhý výraz větší než první a kořen patří do intervalu.

Odpovědět: .

Na závěr se podívejme na další příklad rovnice, kde je nahrazení spíše nestandardní:

Začněme hned tím, co můžete a co - v zásadě můžete, ale je lepší to nedělat. Je možné - reprezentovat vše prostřednictvím mocnin tři, dva a šest. kam to vede? Ano, a k ničemu to nepovede: hromada stupňů, z nichž některých bude docela těžké se zbavit. Co je tedy potřeba? Všimněme si, že a A co nám to dá? A to, že řešení tohoto příkladu můžeme zredukovat na řešení docela jednoduché exponenciální rovnice! Nejprve přepišme naši rovnici jako:

Nyní rozdělíme obě strany výsledné rovnice na:

Eureka! Nyní můžeme nahradit, získáme:

Nyní je řada na vás, abyste vyřešili problémy pro demonstrace a já je pouze přinesu krátké komentáře aby ses neztratil správná cesta! Hodně štěstí!

1. Nejtěžší! Vidět tu náhradu je oh, jak ošklivé! Přesto lze tento příklad zcela vyřešit pomocí výběr celého čtverce. K vyřešení stačí poznamenat, že:

Takže tady je vaše náhrada:

(Všimněte si, že zde, s naší náhradou, nemůžeme zahodit negativní kořen!!! A proč, co myslíte?)

Nyní, abyste vyřešili příklad, musíte vyřešit dvě rovnice:

Oba jsou řešeny "standardní náhradou" (ale ta druhá v jednom příkladu!)

2. Všimněte si toho a proveďte náhradu.

3. Rozšiřte číslo na koprime faktory a zjednodušte výsledný výraz.

4. Čitatele a jmenovatele zlomku vydělte (nebo chcete-li) a proveďte substituci resp.

5. Všimněte si, že čísla a jsou konjugované.

EXPOZIČNÍ ROVNICE. POKROČILÁ ÚROVEŇ

Kromě toho se podívejme na jiný způsob - řešení exponenciálních rovnic logaritmickou metodou. Nemohu říci, že by řešení exponenciálních rovnic touto metodou bylo velmi oblíbené, ale v některých případech nás pouze to může dovést ke správnému řešení naší rovnice. Zvláště často se používá k řešení tzv. smíšené rovnice': tedy takové, kde jsou funkce různých typů.

Například rovnice jako:

v obecném případě ji lze vyřešit pouze logaritmováním obou částí (například podle základny), ve kterém se původní rovnice změní na následující:

Podívejme se na následující příklad:

Je jasné, že nás zajímá pouze ODZ logaritmické funkce. To však vyplývá nejen z ODZ logaritmu, ale z jiného důvodu. Myslím, že pro vás nebude těžké uhodnout, který.

Vezměme logaritmus obou stran naší rovnice k základně:

Jak můžete vidět, logaritmus naší původní rovnice nás rychle dovedl ke správné (a krásné!) odpovědi. Pojďme si to procvičit na dalším příkladu:

Ani zde se není čeho obávat: vezmeme logaritmus obou stran rovnice z hlediska základu, pak dostaneme:

Udělejme náhradu:

Něco nám však uniklo! Všimli jste si, kde jsem udělal chybu? Ostatně pak:

který nesplňuje požadavek (přemýšlejte, odkud pochází!)

Odpovědět:

Zkuste si zapsat řešení exponenciálních rovnic níže:

Nyní zkontrolujte své řešení pomocí tohoto:

1. Obě části logaritmujeme se základnou, protože:

(druhý kořen nám kvůli záměně nevyhovuje)

2. Logaritmus se základnou:

Převedeme výsledný výraz do následující podoby:

EXPOZIČNÍ ROVNICE. STRUČNÝ POPIS A ZÁKLADNÍ VZORCE

exponenciální rovnice

Typ rovnice:

volala nejjednodušší exponenciální rovnice.

Vlastnosti stupně

Řešení přístupy

• Redukce na stejný základ
• Redukce na stejný exponent
• Variabilní substituce
• Zjednodušte výraz a použijte jeden z výše uvedených.