Pomocí libovolného jazyka můžete stejnou informaci vyjádřit různými slovy a frázemi. Matematický jazyk není výjimkou. Ale stejný výraz může být ekvivalentně zapsán různými způsoby. A v některých situacích je jeden ze záznamů jednodušší. V této lekci budeme hovořit o zjednodušení výrazů.

Lidé komunikují různými jazyky. Pro nás je důležité srovnání dvojice „ruský jazyk – matematický jazyk“. Stejné informace mohou být hlášeny v různých jazycích. Ale kromě toho se může v jednom jazyce vyslovovat jinak.

Například: „Peter se přátelí s Vasyou“, „Vasya se přátelí s Petyou“, „Peter a Vasya jsou přátelé“. Řečeno jinak, ale jedno a totéž. Podle kterékoli z těchto frází bychom pochopili, co je v sázce.

Podívejme se na tuto frázi: "Chlapec Petya a chlapec Vasya jsou přátelé." Chápeme, co je v sázce. Nelíbí se nám však, jak tato fráze zní. Nemůžeme to zjednodušit, říci totéž, ale jednodušeji? "Chlapec a chlapec" - můžete jednou říci: "Chlapci Petya a Vasya jsou přátelé."

"Chlapci" ... Není z jejich jmen jasné, že to nejsou dívky? Odstraňujeme "kluky": "Petya a Vasya jsou přátelé." A slovo "přátelé" lze nahradit "přátelé": "Petya a Vasya jsou přátelé." Výsledkem bylo, že první, dlouhá, ošklivá fráze byla nahrazena ekvivalentním prohlášením, které se snadněji řekne a snáze pochopí. Tuto frázi jsme zjednodušili. Zjednodušit znamená snáze to říci, ale neztratit, nezkreslit význam.

Totéž se děje v matematickém jazyce. Totéž lze říci jinak. Co to znamená zjednodušit výraz? To znamená, že pro původní výraz existuje mnoho ekvivalentních výrazů, tedy těch, které znamenají totéž. A ze všeho toho množství musíme vybrat to nejjednodušší, podle našeho názoru, nebo nejvhodnější pro naše další účely.

Zvažte například číselný výraz. Bude to ekvivalentní .

Bude také ekvivalentní prvním dvěma: .

Ukazuje se, že jsme naše výrazy zjednodušili a našli nejkratší ekvivalentní výraz.

Pro číselné výrazy vždy musíte provést všechny akce a získat ekvivalentní výraz jako jediné číslo.

Zvažte příklad doslovného výrazu . Je zřejmé, že to bude jednodušší.

Při zjednodušování doslovných výrazů musíte provést všechny možné akce.

Je vždy nutné zjednodušit výraz? Ne, někdy pro nás bude výhodnější ekvivalentní, ale delší zápis.

Příklad: Odečtěte číslo od čísla.

Je možné počítat, ale pokud by první číslo bylo reprezentováno jeho ekvivalentním zápisem: , pak by výpočty byly okamžité: .

Čili ne vždy je pro nás zjednodušený výraz pro další výpočty přínosem.

Přesto velmi často stojíme před úkolem, který zní jen jako „zjednodušit výraz“.

Zjednodušte výraz: .

Řešení

1) Proveďte akce v první a druhé závorce: .

2) Vypočítejte produkty: .

Je zřejmé, že poslední výraz má jednodušší formu než počáteční. Zjednodušili jsme to.

Aby se výraz zjednodušil, musí být nahrazen ekvivalentem (rovná se).

Chcete-li určit ekvivalentní výraz, musíte:

1) provést všechny možné akce,

2) využít vlastnosti sčítání, odčítání, násobení a dělení pro zjednodušení výpočtů.

Vlastnosti sčítání a odčítání:

1. Komutativní vlastnost sčítání: součet se od přeskupení členů nemění.

2. Asociativní vlastnost sčítání: chcete-li k součtu dvou čísel přidat třetí číslo, můžete k prvnímu číslu přidat součet druhého a třetího čísla.

3. Vlastnost odečítání součtu od čísla: Chcete-li odečíst součet od čísla, můžete odečíst každý člen samostatně.

Vlastnosti násobení a dělení

1. Komutativní vlastnost násobení: součin se nemění z permutace faktorů.

2. Asociativní vlastnost: Chcete-li vynásobit číslo součinem dvou čísel, můžete je nejprve vynásobit prvním faktorem a poté vynásobit výsledný součin druhým faktorem.

3. Distributivní vlastnost násobení: abyste číslo vynásobili součtem, musíte ho vynásobit každým členem zvlášť.

Podívejme se, jak vlastně provádíme mentální výpočty.

Vypočítat:

Řešení

1) Představte si jak

2) Představme si první násobitel jako součet bitových členů a proveďte násobení:

3) dokážete si představit, jak a provádět násobení:

4) Nahraďte první faktor ekvivalentním součtem:

Distributivní zákon lze použít i v opačném směru: .

Následuj tyto kroky:

1) 2)

Řešení

1) Pro pohodlí můžete použít distribuční zákon, stačí jej použít v opačném směru - vyjměte společný faktor ze závorek.

2) Vyjmeme společný faktor ze závorek

Do kuchyně a chodby je nutné zakoupit linoleum. Kuchyňský kout - chodba -. Existují tři typy linolea: pro a rubly pro. Kolik bude každý z tři typy linoleum? (Obr. 1)

Rýže. 1. Ilustrace stavu problému

Řešení

Metoda 1. Samostatně můžete zjistit, kolik peněz bude zapotřebí k nákupu linolea v kuchyni, a poté jej přidat do chodby a sečíst výsledné práce.

Jedním z nich je zjednodušení algebraických výrazů Klíčové body učení algebry a nesmírně užitečná dovednost pro všechny matematiky. Zjednodušení umožňuje zredukovat složitý nebo dlouhý výraz na jednoduchý výraz, se kterým se snadno pracuje. Základní dovednosti zjednodušování jsou dobré i pro ty, kteří nejsou pro matematiku nadšení. Ponechání si několika jednoduchá pravidla, můžete mnoho nejběžnějších typů algebraických výrazů zjednodušit bez jakýchkoli speciálních matematických znalostí.

Kroky

Důležité definice

1. Podobní členové. Jedná se o členy s proměnnou stejného řádu, členy se stejnými proměnnými nebo volné členy (členy, které proměnnou neobsahují). Jinými slovy, podobné výrazy zahrnují jednu proměnnou ve stejném rozsahu, zahrnují několik stejných proměnných nebo neobsahují proměnnou vůbec. Na pořadí pojmů ve výrazu nezáleží.

   • Například 3x 2 a 4x 2 jsou podobné pojmy, protože obsahují proměnnou "x" druhého řádu (ve druhé mocnině). X a x 2 však nejsou podobné členy, protože obsahují proměnnou "x" různých řádů (první a druhý). Podobně -3yx a 5xz nejsou podobné členy, protože obsahují různé proměnné.

2. Faktorizace. Jedná se o nalezení takových čísel, jejichž součin vede k původnímu číslu. Jakékoli původní číslo může mít několik faktorů. Například číslo 12 lze rozložit na následující řadu faktorů: 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4, takže můžeme říci, že čísla 1, 2, 3, 4, 6 a 12 jsou faktory číslo 12. Faktory jsou stejné jako dělitelé , tedy čísla, kterými je původní číslo dělitelné.

   • Chcete-li například vynásobit číslo 20, napište jej takto: 4×5.
   • Všimněte si, že při faktoringu se bere v úvahu proměnná. Například 20x = 4 (5x).
   • Prvočísla nelze rozložit, protože jsou dělitelná pouze sama sebou a 1.

3. Pamatujte si a dodržujte pořadí operací, abyste se vyhnuli chybám.

   • Závorky
   • Stupeň
   • Násobení
   • Divize
   • Přidání
   • Odčítání

   Casting Like Members

   1. Zapište výraz. Nejjednodušší algebraické výrazy (které neobsahují zlomky, odmocniny atd.) lze vyřešit (zjednodušit) v několika krocích.

      • Například zjednodušte výraz 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definujte podobné členy (členy s proměnnou stejného řádu, členy se stejnými proměnnými nebo volné členy).

      • Najděte v tomto výrazu podobné výrazy. Termíny 2x a 4x obsahují proměnnou stejného řádu (první). Také 1 a -3 jsou volné členy (neobsahují proměnnou). Tedy v tomto výrazu termíny 2x a 4x jsou podobné, a členové 1 a -3 jsou také podobné.

   3. Dejte podobné členy. To znamená je přidat nebo odečíst a výraz zjednodušit.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Přepište výraz s ohledem na dané členy. Získáte jednoduchý výraz s méně výrazy. Nový výraz se rovná původnímu.

      • V našem příkladu: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, to znamená, že původní výraz je zjednodušen a lépe se s ním pracuje.

   5. Dodržujte pořadí, ve kterém jsou operace prováděny při přetypování podobných výrazů. V našem příkladu bylo snadné přinést podobné termíny. V případě složitých výrazů, ve kterých jsou členy uzavřeny v závorkách a jsou přítomny zlomky a odmocniny, však není tak snadné takové termíny přinést. V těchto případech dodržujte pořadí operací.

      • Uvažujme například výraz 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Zde by bylo chybou rovnou definovat 3x a 2x jako obdobné pojmy a citovat je, protože nejdříve je potřeba rozbalit závorky. Proto provádějte operace v jejich pořadí.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Nyní, když výraz obsahuje pouze operace sčítání a odčítání, můžete přetypovat jako výrazy.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12 x + 3

   Udělování závorek násobitele

   1. Najděte největšího společného dělitele (gcd) všech koeficientů výrazu. GCD je největší číslo, kterým jsou dělitelné všechny koeficienty výrazu.

      • Uvažujme například rovnici 9x 2 + 27x - 3. V tomto případě gcd=3, protože jakýkoli koeficient tohoto výrazu je dělitelný 3.

   2. Vydělte každý výraz výrazu gcd. Výsledné členy budou obsahovat menší koeficienty než v původním výrazu.

      • V našem příkladu vydělte každý výrazový výraz 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ukázalo se, že výraz 3x2 + 9x-1. Nerovná se původnímu výrazu.

   3. Napište původní výraz jako rovný součinu gcd krát výsledný výraz. To znamená, že výsledný výraz uzavřete do hranatých závorek a GCD vyjměte ze závorek.

      • V našem příkladu: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Zjednodušení zlomkových výrazů odstraněním násobitele ze závorek. Proč jen vyjmout násobitel ze závorek, jak to bylo dříve? Pak se naučíte zjednodušovat složité výrazy, jako jsou zlomkové výrazy. V tomto případě může uvedení faktoru mimo závorku pomoci zbavit se zlomku (ze jmenovatele).

      • Uvažujme například zlomkový výraz (9x 2 + 27x - 3)/3. Pro zjednodušení tohoto výrazu použijte závorky.
        • Vypočítejte faktor 3 (jako jste to udělali dříve): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Všimněte si, že v čitateli i ve jmenovateli je nyní číslo 3. Toto lze zmenšit a dostanete výraz: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Protože každý zlomek, který má ve jmenovateli číslo 1, je právě roven čitateli, původní zlomkový výraz je zjednodušen na: 3x2 + 9x-1.

   Další techniky zjednodušení

4. Zvažte jednoduchý příklad: √(90). Číslo 90 lze rozložit na následující faktory: 9 a 10 a z 9 extrakt Odmocnina(3) a vyjměte 3 z pod kořenem.
   • √(90)
   • √ (9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Zjednodušení výrazů pomocí pravomocí. V některých výrazech jsou operace násobení nebo dělení termínů se stupněm. V případě násobení členů s jedním základem se jejich stupně sčítají; v případě dělení členů se stejným základem se jejich stupně odečítají.

   • Uvažujme například výraz 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). V případě násobení sečtěte exponenty a v případě dělení je odečtěte.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Následuje vysvětlení pravidla pro násobení a dělení pojmů s titulem.
     • Násobení členů mocninami je ekvivalentní násobení členů samotných. Například, protože x 3 = x × x × x a x 5 = x × x × x × x × x, pak x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), nebo x 8.
     • Podobně dělení pojmů pomocí mocnin je ekvivalentní dělení pojmů samy o sobě. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Protože podobné členy, které jsou v čitateli i ve jmenovateli, lze redukovat, součin dvou „x“ neboli x 2 zůstává v čitateli.

• Vždy si dávejte pozor na znaménka (plus nebo minus) před termíny výrazu, protože mnoho lidí má potíže s výběrem správného znaménka.
• V případě potřeby požádejte o pomoc!
• Zjednodušování algebraických výrazů není jednoduché, ale pokud se vám to dostane do rukou, můžete tuto dovednost používat po celý život.

Výrazy, konverze výrazů

Mocninné výrazy (výrazy s mocninami) a jejich transformace

V tomto článku budeme hovořit o transformaci výrazů pomocí mocnin. Nejprve se zaměříme na transformace, které se provádějí s výrazy jakéhokoli druhu, včetně mocninných výrazů, jako jsou otevírací závorky, redukující podobné výrazy. A pak budeme analyzovat transformace vlastní konkrétně výrazům se stupni: práce se základem a exponentem, používání vlastností stupňů atd.

Navigace na stránce.

Co jsou mocenské výrazy?

Pojem "mocenské výrazy" se ve školních učebnicích matematiky prakticky nevyskytuje, ale často se objevuje ve sbírkách úloh, zejména určených k přípravě například na Jednotnou státní zkoušku a OGE. Po analýze úloh, ve kterých je nutné provádět nějaké akce s mocninnými výrazy, je jasné, že mocninné výrazy jsou chápány jako výrazy obsahující ve svých záznamech stupně. Proto si pro sebe můžete vzít následující definici:

Definice.

Mocenské výrazy jsou výrazy obsahující mocniny.

Pojďme přinést příklady mocenských výrazů. Navíc je budeme reprezentovat podle toho, jak probíhá vývoj názorů na stupeň s přirozeným ukazatelem na stupeň s reálným ukazatelem.

Jak víte, nejprve se seznámíte se stupněm čísla s přirozeným exponentem, v této fázi první nejjednodušší mocninné výrazy typu 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atd.

O něco později je studována mocnina čísla s celočíselným exponentem, což vede k výskytu mocninných výrazů se zápornými celočíselnými mocninami, jako jsou následující: 3 −2, , a -2 +2 b -3 + c2.

Ve vyšších třídách se opět vracejí ke stupňům. Tam je zaveden stupeň s racionálním exponentem, který vede k výskytu odpovídajících mocninných výrazů: , , atd. Nakonec jsou uvažovány stupně s iracionálními exponenty a výrazy, které je obsahují: , .

Věc se neomezuje jen na vyjmenované mocninné výrazy: dále proměnná proniká do exponentu a existují např. takové výrazy 2 x 2 +1 popř. . A po seznámení se začnou objevovat výrazy s mocninami a logaritmy, například x 2 lgx −5 x lgx.

Takže jsme přišli na otázku, co jsou mocenské výrazy. Dále se naučíme, jak je transformovat.

Hlavní typy transformací mocninných výrazů

Pomocí mocninných výrazů můžete provádět libovolnou ze základních transformací identity výrazů. Můžete například rozšířit závorky, nahradit číselné výrazy jejich hodnotami, přidat podobné výrazy a tak dále. Přirozeně je v tomto případě nutné dodržet přijatý postup provádění úkonů. Uveďme příklady.

Příklad.

Vypočítejte hodnotu mocninného výrazu 2 3 ·(4 2 −12) .

Řešení.

Podle pořadí akcí nejprve provedeme akce v závorkách. Tam za prvé nahradíme mocninu 4 2 její hodnotou 16 (popřípadě viz.) a za druhé vypočítáme rozdíl 16−12=4 . My máme 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Ve výsledném výrazu nahradíme mocninu 2 3 její hodnotou 8 , načež vypočteme součin 8·4=32 . Toto je požadovaná hodnota.

Tak, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Odpovědět:

2 3 (4 2 -12) = 32 .

Příklad.

Zjednodušte mocenské výrazy 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Řešení.

Je zřejmé, že tento výraz obsahuje podobné výrazy 3 · a 4 · b − 7 a 2 · a 4 · b − 7 a můžeme je redukovat: .

Odpovědět:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Příklad.

Vyjádřete výraz se schopnostmi jako produkt.

Řešení.

Vyrovnat se s úlohou umožňuje zobrazení čísla 9 jako mocniny 3 2 a následné použití zkráceného vzorce pro násobení rozdílu čtverců:

Odpovědět:

Existuje také řada identických transformací, které jsou vlastní mocninným výrazům. Dále je budeme analyzovat.

Práce se základnou a exponentem

Existují stupně, jejichž základem a/nebo ukazatelem nejsou jen čísla nebo proměnné, ale některé výrazy. Jako příklad napišme (2+0,3 7) 5−3,7 a (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Při práci s takovými výrazy je možné nahradit jak výraz v základu stupně, tak výraz v ukazateli shodně stejným výrazem na DPV jeho proměnných. Jinými slovy, podle nám známých pravidel můžeme samostatně převést základ stupně a samostatně - indikátor. Je jasné, že v důsledku této transformace se získá výraz shodně stejný jako ten původní.

Takové transformace nám umožňují zjednodušit vyjádření pomocí pravomocí nebo dosáhnout jiných cílů, které potřebujeme. Například ve výše uvedeném mocninném výrazu (2+0,3 7) 5−3,7 můžete provádět operace s čísly v základu a exponentu, což vám umožní přejít na mocninu 4,1 1,3. A po otevření závorek a uvedení podobných členů na základnu stupně (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) dostaneme mocninné vyjádření jednoduššího tvaru a 2·(x+1 ).

Použití vlastností napájení

Jedním z hlavních nástrojů pro transformaci výrazů pomocí mocnin jsou rovnosti, které odrážejí . Připomeňme si ty hlavní. Pro všechna kladná čísla a a b a libovolná reálná čísla r a s platí následující mocninné vlastnosti:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ab) r = a r b r;
• (a:b) r = a r: b r;
• (a r) s =a r s .

Všimněte si, že pro přirozené, celočíselné a kladné exponenty nemusí být omezení pro čísla aab tak přísná. Například pro přirozená čísla m a n platí rovnost a m ·a n =a m+n nejen pro kladná a , ale i záporná a pro a=0 .

Ve škole je hlavní pozornost při transformaci mocenských projevů zaměřena právě na schopnost vybrat vhodnou vlastnost a správně ji aplikovat. V tomto případě bývají základy stupňů kladné, což umožňuje využívat vlastnosti stupňů bez omezení. Totéž platí pro transformaci výrazů obsahujících proměnné v základech stupňů - oblast nepřípustných hodnot proměnných je obvykle taková, že na ní základy berou pouze kladné hodnoty, který umožňuje volně používat vlastnosti stupňů. Obecně je potřeba si neustále klást otázku, zda je možné v tomto případě uplatnit nějakou vlastnost stupňů, protože nepřesné použití vlastností může vést ke zúžení ODZ a dalším potížím. Tyto body jsou podrobně a s příklady rozebrány v článku transformace výrazů pomocí vlastností stupňů. Zde se omezíme na několik jednoduchých příkladů.

Příklad.

Vyjádřete výraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 jako mocninu se základem a .

Řešení.

Nejprve transformujeme druhý faktor (a 2) −3 pomocí vlastnosti zvýšení mocniny na mocninu: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. V tomto případě bude mít počáteční vyjádření mocniny tvar a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Je zřejmé, že zbývá použít vlastnosti násobení a dělení mocnin se stejným základem, jaký máme
a 2,5 a-6:a-5,5 =
a 2,5-6:a-5,5 =a-3,5:a-5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a2.

Odpovědět:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Mocninné vlastnosti se používají při transformaci mocninných výrazů jak zleva doprava, tak zprava doleva.

Příklad.

Najděte hodnotu mocninného výrazu.

Řešení.

Rovnost (a·b) r =a r ·b r , použitá zprava doleva, umožňuje přejít od původního výrazu k součinu formy a dále. A při násobení mocnin se stejným základem se ukazatele sčítají: .

Transformaci původního výrazu bylo možné provést jiným způsobem:

Odpovědět:

.

Příklad.

Je-li dán mocninný výraz a 1,5 −a 0,5 −6 , zadejte novou proměnnou t=a 0,5 .

Řešení.

Stupeň a 1,5 lze znázornit jako a 0,5 3 a dále na základě vlastnosti stupně ve stupni (a r) s =ar s aplikovaného zprava doleva převést do tvaru (a 0,5) 3 . Takto, a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Nyní je snadné zavést novou proměnnou t=a 0,5 , dostaneme t 3 −t−6 .

Odpovědět:

t 3 −t−6 .

Převod zlomků obsahujících mocniny

Mocninné výrazy mohou obsahovat zlomky s mocninami nebo takové zlomky reprezentovat. Kterákoli ze základních transformací zlomků, které jsou vlastní zlomkům jakéhokoli druhu, jsou pro takové zlomky plně použitelné. To znamená, že zlomky, které obsahují stupně, lze redukovat, redukovat na nového jmenovatele, pracovat samostatně se svým čitatelem a samostatně se jmenovatelem atd. Pro ilustraci výše uvedených slov zvažte řešení několika příkladů.

Příklad.

Zjednodušte vyjádření síly .

Řešení.

Tento výraz síly je zlomek. Pracujme s jeho čitatelem a jmenovatelem. V čitateli otevřeme závorky a poté získaný výraz zjednodušíme pomocí vlastností mocnin a ve jmenovateli uvedeme podobné pojmy:

A také změníme znaménko jmenovatele tak, že před zlomek dáme mínus: .

Odpovědět:

.

Redukce zlomků obsahujících mocniny na nového jmenovatele se provádí podobně jako redukce racionálních zlomků na nového jmenovatele. Současně se také najde další faktor a násobí se jím čitatel a jmenovatel zlomku. Při provádění této akce je třeba si uvědomit, že redukce na nového jmenovatele může vést ke zúžení DPV. Aby k tomu nedocházelo, je nutné, aby dodatečný faktor nezmizel pro žádné hodnoty proměnných z proměnných ODZ pro původní výraz.

Příklad.

Převeďte zlomky na nového jmenovatele: a) na jmenovatele a, b) na jmenovatele.

Řešení.

a) V tomto případě je docela snadné zjistit, jaký další faktor pomáhá dosáhnout požadovaného výsledku. Toto je násobitel a 0,3, protože a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Všimněte si, že na rozsahu přijatelných hodnot proměnné a (toto je množina všech kladných reálných čísel) nezmizí stupeň a 0,3, proto máme právo násobit čitatele a jmenovatele daného zlomku tímto dodatečným faktorem:

b) Při bližším pohledu na jmenovatele zjistíme, že

a vynásobením tohoto výrazu dostaneme součet kostek a , tedy . A to je nový jmenovatel, ke kterému musíme přivést původní zlomek.

Takže jsme našli další faktor. Výraz nezmizí v rozsahu přijatelných hodnot proměnných x a y, proto jím můžeme vynásobit čitatele a jmenovatele zlomku:

Odpovědět:

A) , b) .

Také není nic nového v redukci zlomků obsahujících stupně: čitatel a jmenovatel jsou reprezentovány jako určitý počet faktorů a stejné faktory v čitateli a jmenovateli jsou redukovány.

Příklad.

Zmenšit zlomek: a) , b).

Řešení.

a) Nejprve lze čitatel a jmenovatel zmenšit o čísla 30 a 45, což se rovná 15. Také samozřejmě můžete snížit o x 0,5 +1 a o . Zde je to, co máme:

b) V tomto případě nejsou stejné faktory v čitateli a jmenovateli okamžitě viditelné. Chcete-li je získat, musíte provést předběžné transformace. V tomto případě spočívají v rozkladu jmenovatele na faktory podle vzorce rozdílu čtverců:

Odpovědět:

A)

b) .

Redukce zlomků na nového jmenovatele a redukce zlomků se používá především k provádění operací se zlomky. Akce se provádějí podle známých pravidel. Při sčítání (odečítání) zlomků se redukují na společného jmenovatele, načež se čitatele sčítají (odečítají) a jmenovatel zůstává stejný. Výsledkem je zlomek, jehož čitatel je součinem čitatelů a jmenovatel součinem jmenovatelů. Dělení zlomkem je násobení jeho reciprokou.

Příklad.

Následuj kroky .

Řešení.

Nejprve odečteme zlomky v závorkách. Abychom to udělali, přivedeme je ke společnému jmenovateli, kterým je a poté odečtěte čitatele:

Nyní násobíme zlomky:

Je zřejmé, že je možné snížení o výkon x 1/2, po kterém máme .

Výraz mocniny ve jmenovateli můžete také zjednodušit pomocí vzorce rozdílu čtverců: .

Odpovědět:

Příklad.

Zjednodušte vyjádření síly .

Řešení.

Je zřejmé, že tento zlomek lze snížit o (x 2,7 +1) 2, čímž získáme zlomek . Je jasné, že s mocninami x je třeba udělat něco jiného. K tomu převedeme výslednou frakci na produkt. To nám dává možnost využít vlastnosti dělení mocnin se stejnými základy: . A na konci procesu přecházíme od posledního produktu ke frakci.

Odpovědět:

.

A dodáváme, že je možné a v mnoha případech žádoucí přenášet činitele se zápornými exponenty z čitatele do jmenovatele nebo ze jmenovatele do čitatele změnou znaménka exponentu. Takové transformace často zjednodušují další akce. Například mocninný výraz lze nahradit výrazem .

Převod výrazů s odmocninami

Často ve výrazech, ve kterých jsou vyžadovány některé transformace, spolu se stupni se zlomkovými exponenty, jsou také kořeny. K převodu takového výrazu do požadované podoby ve většině případů stačí přejít pouze ke kořenům nebo pouze k mocninám. Ale protože je pohodlnější pracovat se stupni, obvykle se pohybují od kořenů ke stupňům. Takový přechod je však vhodné provést, když ODZ proměnných pro původní výraz umožňuje nahradit kořeny stupni bez nutnosti přístupu k modulu nebo rozdělení ODZ do více intervalů (podrobně jsme to probrali v článek, přechod od kořenů k mocninám a naopak Po seznámení se stupněm s racionálním exponentem je představen stupeň s iracionálním ukazatelem, který umožňuje hovořit o stupni s libovolným reálným ukazatelem. škola začíná studovat exponenciální funkce, který je analyticky dán stupněm, na jehož základě existuje číslo, a v ukazateli - proměnnou. Setkáváme se tedy s mocninnými výrazy obsahujícími čísla v základu stupně a v exponentu - výrazy s proměnnými a přirozeně vyvstává potřeba provádět transformace takových výrazů.

Je třeba říci, že transformaci výrazů naznačeného typu je obvykle nutné provést při řešení exponenciální rovnice a exponenciální nerovnosti a tyto transformace jsou docela jednoduché. V naprosté většině případů vycházejí z vlastností stupně a jsou zaměřeny většinou na zavedení nové proměnné v budoucnu. Rovnice nám je umožní demonstrovat 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Nejprve se exponenty, v jejichž exponentech se nachází součet nějaké proměnné (nebo výraz s proměnnými) a čísla, nahradí součinem. To platí pro první a poslední výraz výrazu na levé straně:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Dále jsou obě strany rovnosti rozděleny výrazem 7 2 x , který nabývá pouze kladných hodnot na proměnné ODZ x pro původní rovnici (toto je standardní technika řešení rovnic tohoto druhu, nemluvíme o nyní se zaměřte na následné transformace výrazů s mocninami):

Nyní jsou zlomky s mocninami zrušeny, což dává .

Nakonec je poměr mocnin se stejnými exponenty nahrazen mocninami poměrů, což vede k rovnici , což je ekvivalentní . Provedené transformace nám umožňují zavést novou proměnnou , která redukuje řešení původní exponenciální rovnice k řešení kvadratické rovnice

I. V. Boikov, L. D. Romanová Sbírka úkolů pro přípravu na zkoušku. Část 1. Penza 2003.

Pomocí libovolného jazyka můžete stejnou informaci vyjádřit různými slovy a frázemi. Matematický jazyk není výjimkou. Ale stejný výraz může být ekvivalentně zapsán různými způsoby. A v některých situacích je jeden ze záznamů jednodušší. V této lekci budeme hovořit o zjednodušení výrazů.

Lidé komunikují různými jazyky. Pro nás je důležité srovnání dvojice „ruský jazyk – matematický jazyk“. Stejné informace mohou být hlášeny v různých jazycích. Ale kromě toho se může v jednom jazyce vyslovovat jinak.

Například: „Peter se přátelí s Vasyou“, „Vasya se přátelí s Petyou“, „Peter a Vasya jsou přátelé“. Řečeno jinak, ale jedno a totéž. Podle kterékoli z těchto frází bychom pochopili, co je v sázce.

Podívejme se na tuto frázi: "Chlapec Petya a chlapec Vasya jsou přátelé." Chápeme, co je v sázce. Nelíbí se nám však, jak tato fráze zní. Nemůžeme to zjednodušit, říci totéž, ale jednodušeji? "Chlapec a chlapec" - můžete jednou říci: "Chlapci Petya a Vasya jsou přátelé."

"Chlapci" ... Není z jejich jmen jasné, že to nejsou dívky? Odstraňujeme "kluky": "Petya a Vasya jsou přátelé." A slovo "přátelé" lze nahradit "přátelé": "Petya a Vasya jsou přátelé." Výsledkem bylo, že první, dlouhá, ošklivá fráze byla nahrazena ekvivalentním prohlášením, které se snadněji řekne a snáze pochopí. Tuto frázi jsme zjednodušili. Zjednodušit znamená snáze to říci, ale neztratit, nezkreslit význam.

Totéž se děje v matematickém jazyce. Totéž lze říci jinak. Co to znamená zjednodušit výraz? To znamená, že pro původní výraz existuje mnoho ekvivalentních výrazů, tedy těch, které znamenají totéž. A ze všeho toho množství musíme vybrat to nejjednodušší, podle našeho názoru, nebo nejvhodnější pro naše další účely.

Zvažte například číselný výraz. Bude to ekvivalentní .

Bude také ekvivalentní prvním dvěma: .

Ukazuje se, že jsme naše výrazy zjednodušili a našli nejkratší ekvivalentní výraz.

U číselných výrazů vždy musíte udělat veškerou práci a získat ekvivalentní výraz jako jediné číslo.

Zvažte příklad doslovného výrazu . Je zřejmé, že to bude jednodušší.

Při zjednodušování doslovných výrazů musíte provést všechny možné akce.

Je vždy nutné zjednodušit výraz? Ne, někdy pro nás bude výhodnější ekvivalentní, ale delší zápis.

Příklad: Odečtěte číslo od čísla.

Je možné počítat, ale pokud by první číslo bylo reprezentováno jeho ekvivalentním zápisem: , pak by výpočty byly okamžité: .

Čili ne vždy je pro nás zjednodušený výraz pro další výpočty přínosem.

Přesto velmi často stojíme před úkolem, který zní jen jako „zjednodušit výraz“.

Zjednodušte výraz: .

Řešení

1) Proveďte akce v první a druhé závorce: .

2) Vypočítejte produkty: .

Je zřejmé, že poslední výraz má jednodušší formu než počáteční. Zjednodušili jsme to.

Aby se výraz zjednodušil, musí být nahrazen ekvivalentem (rovná se).

Chcete-li určit ekvivalentní výraz, musíte:

1) provést všechny možné akce,

2) využít vlastnosti sčítání, odčítání, násobení a dělení pro zjednodušení výpočtů.

Vlastnosti sčítání a odčítání:

1. Komutativní vlastnost sčítání: součet se od přeskupení členů nemění.

2. Asociativní vlastnost sčítání: chcete-li k součtu dvou čísel přidat třetí číslo, můžete k prvnímu číslu přidat součet druhého a třetího čísla.

3. Vlastnost odečítání součtu od čísla: Chcete-li odečíst součet od čísla, můžete odečíst každý člen samostatně.

Vlastnosti násobení a dělení

1. Komutativní vlastnost násobení: součin se nemění z permutace faktorů.

2. Asociativní vlastnost: Chcete-li vynásobit číslo součinem dvou čísel, můžete je nejprve vynásobit prvním faktorem a poté vynásobit výsledný součin druhým faktorem.

3. Distributivní vlastnost násobení: abyste číslo vynásobili součtem, musíte ho vynásobit každým členem zvlášť.

Podívejme se, jak vlastně provádíme mentální výpočty.

Vypočítat:

Řešení

1) Představte si jak

2) Představme si první násobitel jako součet bitových členů a proveďte násobení:

3) dokážete si představit, jak a provádět násobení:

4) Nahraďte první faktor ekvivalentním součtem:

Distributivní zákon lze použít i v opačném směru: .

Následuj tyto kroky:

1) 2)

Řešení

1) Pro pohodlí můžete použít distribuční zákon, stačí jej použít v opačném směru - vyjměte společný faktor ze závorek.

2) Vyjmeme společný faktor ze závorek

Do kuchyně a chodby je nutné zakoupit linoleum. Kuchyňský kout - chodba -. Existují tři typy linolea: pro a rubly pro. Kolik bude stát každý ze tří typů linolea? (Obr. 1)

Rýže. 1. Ilustrace stavu problému

Řešení

Metoda 1. Samostatně můžete zjistit, kolik peněz bude zapotřebí k nákupu linolea v kuchyni, a poté jej přidat do chodby a sečíst výsledné práce.

Podívejme se na téma transformace výrazů pomocí mocnin, ale nejprve se zastavíme u řady transformací, které lze provést s libovolnými výrazy, včetně mocnin. Naučíme se otevírat závorky, dávat podobné pojmy, pracovat se základem a exponentem, používat vlastnosti mocnin.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Co jsou mocenské výrazy?

Ve školním kurzu málokdo používá frázi „mocenské výrazy“, ale tento termín se neustále vyskytuje ve sbírkách pro přípravu na zkoušku. Ve většině případů fráze označuje výrazy, které ve svých záznamech obsahují stupně. To je to, co budeme reflektovat v naší definici.

Definice 1

Mocenský výraz je výraz, který obsahuje mocniny.

Uvádíme několik příkladů mocninných výrazů, počínaje stupněm s přirozeným exponentem a konče stupněm se skutečným exponentem.

Za nejjednodušší mocninné výrazy lze považovat mocniny čísla s přirozeným exponentem: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Stejně jako mocniny s nulovým exponentem: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . A mocniny se zápornými celočíselnými mocninami: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Trochu obtížnější je pracovat s titulem, který má racionální a iracionální exponenty: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikátor může být proměnná 3 x - 54 - 7 3 x - 58 nebo logaritmus x 2 l g x − 5 x l g x.

Zabývali jsme se otázkou, co jsou mocenské výrazy. Nyní se pojďme podívat na jejich proměnu.

Hlavní typy transformací mocninných výrazů

Nejprve se podíváme na základní transformace identity výrazů, které lze provést pomocí mocninných výrazů.

Příklad 1

Vypočítat hodnotu mocninného výrazu 2 3 (4 2 − 12).

Řešení

Veškeré transformace provedeme v souladu s pořadím úkonů. V tomto případě začneme provedením akcí v závorkách: stupeň nahradíme digitální hodnotou a vypočítáme rozdíl mezi těmito dvěma čísly. My máme 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Zbývá nám nahradit stupeň 2 3 jeho význam 8 a vypočítat produkt 84 = 32. Zde je naše odpověď.

Odpovědět: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Příklad 2

Zjednodušte vyjadřování pomocí pravomocí 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Řešení

Výraz, který jsme dostali v podmínce problému, obsahuje podobné pojmy, které můžeme přinést: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Odpovědět: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Příklad 3

Vyjádřete výraz s mocninami 9 - b 3 · π - 1 2 jako součin.

Řešení

Představme číslo 9 jako mocninu 3 2 a použijte zkrácený vzorec pro násobení:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Odpovědět: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

A nyní přejděme k analýze identických transformací, které lze konkrétně aplikovat na mocninné výrazy.

Práce se základnou a exponentem

Stupeň v základu nebo exponentu může mít čísla, proměnné a některé výrazy. Například, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 a . S takovými záznamy se těžko pracuje. Mnohem jednodušší je nahradit výraz v základu stupně nebo výraz v exponentu stejně rovným výrazem.

Transformace stupně a ukazatele se provádějí podle nám známých pravidel odděleně od sebe. Nejdůležitější je, že v důsledku transformací se získá výraz, který je shodný s původním.

Účelem transformací je zjednodušit původní výraz nebo získat řešení problému. Například v příkladu, který jsme uvedli výše, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 můžete provádět operace pro přechod na stupeň 4 , 1 1 , 3 . Otevřením závorek můžeme uvést podobné pojmy v základu stupně (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) a získat mocenské vyjádření jednodušší formy a 2 (x + 1).

Použití vlastností napájení

Vlastnosti stupňů, zapsané jako rovnosti, jsou jedním z hlavních nástrojů pro transformaci výrazů se stupni. S ohledem na to zde uvádíme ty hlavní A a b je jakýkoli kladná čísla, a r a s- libovolná reálná čísla:

Definice 2

• a ra s = a r + s;
• a r: a s = a r − s ;
• (ab) r = a r b r;
• (a:b) r = a r: br;
• (a r) s = a r s .

V případech, kdy máme co do činění s přirozenými, celými, kladnými exponenty, mohou být omezení pro čísla aab mnohem méně přísná. Pokud tedy vezmeme v úvahu například rovnost a m a n = a m + n, kde m a n – celá čísla, pak to bude platit pro všechny hodnoty a, pozitivní i negativní, stejně jako pro a = 0.

Vlastnosti stupňů můžete použít bez omezení v případech, kdy jsou základy stupňů kladné nebo obsahují proměnné, jejichž rozsah přijatelných hodnot je takový, že na nich základy nabývají pouze kladných hodnot. Ve skutečnosti je v rámci školního vzdělávacího programu matematiky úkolem studenta si vybrat vhodnou nemovitost a jeho správné aplikaci.

Při přípravě na přijetí na vysoké školy se mohou vyskytnout úkoly, u kterých nepřesná aplikace vlastností povede ke zúžení ODZ a dalším potížím s řešením. V této části se budeme zabývat pouze dvěma takovými případy. Více informací na dotaz naleznete v tématu "Transformace výrazů pomocí vlastností mocnin".

Příklad 4

Reprezentovat výraz a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5 jako titul se základnou A.

Řešení

Pro začátek použijeme vlastnost umocňování a pomocí ní transformujeme druhý faktor (a 2) − 3. Pak použijeme vlastnosti násobení a dělení mocnin se stejným základem:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2.

Odpovědět: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformaci mocninných výrazů podle vlastnosti stupňů lze provádět jak zleva doprava, tak i opačným směrem.

Příklad 5

Najděte hodnotu mocninného výrazu 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Řešení

Pokud použijeme rovnost (a b) r = a r b r, zprava doleva, pak dostaneme součin tvaru 3 7 1 3 21 2 3 a následně 21 1 3 21 2 3 . Při násobení mocnin se stejnými základy sečteme exponenty: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Existuje další způsob, jak provádět transformace:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Odpovědět: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Příklad 6

Daný mocenský výraz a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, zadejte novou proměnnou t = a 0, 5.

Řešení

Představte si titul a 1, 5 jak a 0, 5 3. Použití vlastnosti stupně ve stupni (a r) s = a r s zprava doleva a dostanete (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Ve výsledném výrazu můžete snadno zavést novou proměnnou t = a 0, 5: dostat t 3 − t − 6.

Odpovědět: t 3 − t − 6 .

Převod zlomků obsahujících mocniny

Obvykle se zabýváme dvěma variantami mocninných výrazů se zlomky: výraz je zlomek se stupněm nebo takový zlomek obsahuje. Všechny základní transformace zlomků jsou na takové výrazy použitelné bez omezení. Lze je redukovat, převést na nového jmenovatele, pracovat samostatně s čitatelem a jmenovatelem. Pojďme si to ilustrovat na příkladech.

Příklad 7

Zjednodušte mocninné vyjádření 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Řešení

Máme co do činění se zlomkem, takže provedeme transformace jak v čitateli, tak ve jmenovateli:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Chcete-li změnit znaménko jmenovatele, vložte před zlomek mínus: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Odpovědět: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Zlomky obsahující mocniny se redukují na nového jmenovatele stejným způsobem jako racionální zlomky. Chcete-li to provést, musíte najít další faktor a vynásobit jím čitatel a jmenovatel zlomku. Dodatečný faktor je nutné vybrat tak, aby pro žádné hodnoty proměnných nezmizel z proměnných ODZ pro původní výraz.

Příklad 8

Převeďte zlomky na nového jmenovatele: a) a + 1 a 0, 7 na jmenovatele A, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 na jmenovatel x + 8 y 1 2 .

Řešení

a) Zvolíme faktor, který nám umožní redukovat na nového jmenovatele. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , proto bereme jako další faktor a 0, 3. Rozsah přípustných hodnot proměnné a zahrnuje množinu všech kladných reálných čísel. V této oblasti je stupeň a 0, 3 nejde na nulu.

Vynásobme čitatele a jmenovatele zlomku a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Věnujte pozornost jmenovateli:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Vynásobte tento výraz x 1 3 + 2 · y 1 6, dostaneme součet krychlí x 1 3 a 2 · y 1 6, tzn. x + 8 · y 1 2 . Toto je náš nový jmenovatel, ke kterému musíme přivést původní zlomek.

Našli jsme tedy další faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . Na rozmezí přijatelných hodnot proměnných X a y výraz x 1 3 + 2 y 1 6 nezaniká, můžeme jím tedy vynásobit čitatele i jmenovatele zlomku:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Odpovědět: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 12.

Příklad 9

Zmenšit zlomek: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Řešení

a) Použijte největšího společného jmenovatele (GCD), o který lze čitatel a jmenovatel zmenšit. Pro čísla 30 a 45 je to 15 . Můžeme také snížit x 0, 5 + 1 a na x + 2 x 113-53.

Dostaneme:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Přítomnost identických faktorů zde není zřejmá. Budete muset provést nějaké transformace, abyste získali stejné faktory v čitateli a jmenovateli. Za tímto účelem rozšiřujeme jmenovatele pomocí vzorce rozdílu čtverců:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Odpovědět: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Mezi hlavní operace se zlomky patří redukce na nový jmenovatel a redukce zlomků. Obě akce se provádějí v souladu s řadou pravidel. Při sčítání a odčítání zlomků se zlomky nejprve redukují na společného jmenovatele, poté se provádějí akce (sčítání nebo odčítání) s čitateli. Jmenovatel zůstává stejný. Výsledkem našeho jednání je nový zlomek, jehož čitatel je součinem čitatelů a jmenovatel součinem jmenovatelů.

Příklad 10

Proveďte kroky x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Řešení

Začněme odečítáním zlomků, které jsou v závorkách. Pojďme je přivést ke společnému jmenovateli:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Odečteme čitatele:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Nyní násobíme zlomky:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Snižme o stupeň x 12 dostaneme 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Vyjádření mocniny ve jmenovateli můžete navíc zjednodušit pomocí vzorce pro rozdíl druhých mocnin: čtverce: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Odpovědět: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Příklad 11

Zjednodušte vyjádření síly x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Řešení

Zlomek můžeme snížit o (x 2, 7 + 1) 2. Dostaneme zlomek x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Pokračujme v transformacích x mocnin x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Nyní můžete použít vlastnost dělení mocniny se stejnými základy: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1.

Od posledního produktu přejdeme na zlomek x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Odpovědět: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Ve většině případů je výhodnější převést násobiče se zápornými exponenty z čitatele do jmenovatele a naopak změnou znaménka exponentu. Tato akce zjednodušuje další rozhodování. Uveďme příklad: mocninný výraz (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 lze nahradit x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Převod výrazů s odmocninami

V úlohách jsou mocninné výrazy, které obsahují nejen stupně se zlomkovými exponenty, ale i odmocniny. Je žádoucí redukovat takové výrazy pouze na odmocniny nebo pouze na mocniny. Přechod na stupně je vhodnější, protože je snazší s nimi pracovat. Takový přechod je zvláště výhodný, když DPV proměnných pro původní výraz umožňuje nahradit odmocniny mocninami, aniž byste museli přistupovat k modulu nebo rozdělit DPV do několika intervalů.

Příklad 12

Vyjádřete výraz x 1 9 x x 3 6 jako mocninu.

Řešení

Platný rozsah proměnné X je určeno dvěma nerovnostmi x ≥ 0 a x · x 3 ≥ 0, které definují množinu [ 0 , + ∞) .

Na této sadě máme právo přejít od kořenů k mocninám:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Pomocí vlastností stupňů zjednodušíme výsledné mocninné vyjádření.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Odpovědět: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Převod mocnin s proměnnými v exponentu

Tyto transformace jsou poměrně jednoduché, pokud správně používáte vlastnosti stupně. Například, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Můžeme nahradit součin stupně, ve kterém je nalezen součet nějaké proměnné a čísla. Na levé straně to lze provést pomocí prvního a posledního výrazu na levé straně výrazu:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Nyní vydělme obě strany rovnice 7 2 x. Tento výraz na ODZ proměnné x nabývá pouze kladných hodnot:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Zmenšíme zlomky s mocninami, dostaneme: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Nakonec je poměr mocnin se stejnými exponenty nahrazen mocninami poměrů, což vede k rovnici 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , což je ekvivalentní 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.

Zavádíme novou proměnnou t = 5 7 x , která redukuje řešení původní exponenciální rovnice na řešení kvadratická rovnice 5 t 2 − 3 t − 2 = 0 .

Převod výrazů s mocninami a logaritmy

V úlohách se také vyskytují výrazy obsahující mocniny a logaritmy. Příklady takových výrazů jsou: 1 4 1 - 5 log 2 3 nebo log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformace takových výrazů se provádí pomocí výše uvedených přístupů a vlastností logaritmů, které jsme podrobně rozebrali v tématu „Transformace logaritmických výrazů“.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter