สมการเลขชี้กำลัง อย่างที่คุณทราบ USE มีสมการง่ายๆ เราได้พิจารณาบางอย่างแล้ว - สิ่งเหล่านี้คือลอการิทึม, ตรีโกณมิติ, เหตุผล นี่คือสมการเลขชี้กำลัง

ในบทความล่าสุด เราได้ทำงานกับนิพจน์เลขชี้กำลัง ซึ่งจะเป็นประโยชน์ สมการจะแก้ไขได้ง่ายและรวดเร็ว จำเป็นต้องรู้คุณสมบัติของเลขชี้กำลังและ ... เกี่ยวกับเรื่องนี้เท่านั้นไกลออกไป.

เราแสดงรายการคุณสมบัติของเลขชี้กำลัง:

กำลังศูนย์ของจำนวนใดๆ มีค่าเท่ากับหนึ่ง

ผลที่ตามมาของคุณสมบัตินี้:

ทฤษฎีเพิ่มเติมเล็กน้อย

สมการเอกซ์โพเนนเชียลคือสมการที่มีตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง นั่นคือ สมการนี้มีรูปแบบดังนี้

ฉ(x) นิพจน์ที่มีตัวแปร

วิธีการแก้ปัญหา สมการเลขชี้กำลัง

1. จากการแปลงสมการสามารถลดลงเป็นรูปแบบ:

จากนั้นเราใช้คุณสมบัติ:

2. เมื่อได้สมการของแบบฟอร์มแล้ว ก (x) = ขนิยามของลอการิทึมถูกนำมาใช้ เราได้รับ:

3. จากการแปลงคุณจะได้สมการของแบบฟอร์ม:

ใช้ลอการิทึม:

แสดงและหา x

ในงาน ใช้ตัวเลือกจะใช้วิธีแรกก็เพียงพอแล้ว

นั่นคือจำเป็นต้องแสดงส่วนซ้ายและขวาเป็นองศาที่มีฐานเดียวกัน จากนั้นเราจัดตัวบ่งชี้และแก้สมการเชิงเส้นตามปกติ

พิจารณาสมการ:

ค้นหารากของสมการ 4 1-2x = 64

จำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีชิ้นส่วนด้านซ้ายและด้านขวา นิพจน์ชี้แจงมีฐานเดียว. เราสามารถแทน 64 เป็น 4 ยกกำลัง 3 เราได้:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

การตรวจสอบ:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

คำตอบ: -1

ค้นหารากของสมการ 3 x-18 = 1/9.

เป็นที่รู้จักกันว่า

ดังนั้น 3 x-18 = 3 -2

ฐานเท่ากัน เราสามารถเทียบเคียงตัวบ่งชี้ได้:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

การตรวจสอบ:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

คำตอบ: 16

ค้นหารากของสมการ:

ลองแทนเศษส่วน 1/64 เป็นหนึ่งส่วนสี่ยกกำลังสาม:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

การตรวจสอบ:

คำตอบ: 11

ค้นหารากของสมการ:

ลองแทน 1/3 เป็น 3 -1 และ 9 เป็น 3 กำลังสอง เราจะได้:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

ตอนนี้เราสามารถเทียบเคียงตัวบ่งชี้:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

การตรวจสอบ:

คำตอบ: 5

26654 ค้นหารากของสมการ:

สารละลาย:

คำตอบ: 8.75

แท้จริงแล้ว ไม่ว่าเราจะเพิ่ม a ให้เป็นจำนวนบวกยกกำลังเท่าใด เราก็ไม่สามารถรับจำนวนลบได้ไม่ว่าทางใด

สมการเอกซ์โพเนนเชียลใดๆ หลังจากการแปลงที่เหมาะสมจะลดเหลือการแก้สมการง่ายๆ หนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นในส่วนนี้เราจะพิจารณาการแก้สมการด้วย อย่าพลาด!นั่นคือทั้งหมด ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกเกี่ยวกับไซต์ในโซเชียลเน็ตเวิร์ก

ในขั้นตอนการเตรียมตัวสำหรับการทดสอบขั้นสุดท้าย นักเรียนมัธยมปลายจำเป็นต้องพัฒนาความรู้ในหัวข้อ "สมการเอกซ์โปเนนเชียล" ประสบการณ์ในปีที่ผ่านมาบ่งชี้ว่างานดังกล่าวทำให้เกิดปัญหาบางอย่างสำหรับเด็กนักเรียน ดังนั้นนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลายไม่ว่าจะเตรียมการระดับใดจำเป็นต้องฝึกฝนทฤษฎีอย่างรอบคอบ จดจำสูตรและเข้าใจหลักการของการแก้สมการดังกล่าว เมื่อเรียนรู้ที่จะรับมือกับงานประเภทนี้แล้วผู้สำเร็จการศึกษาจะสามารถนับคะแนนสูงได้เมื่อสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์

เตรียมตัวให้พร้อมสำหรับการสอบพร้อมกับ Shkolkovo!

เมื่อทำซ้ำเนื้อหาที่ครอบคลุม นักเรียนหลายคนประสบปัญหาในการหาสูตรที่จำเป็นในการแก้สมการ หนังสือเรียนไม่ได้อยู่ในมือเสมอไปและการเลือกข้อมูลที่จำเป็นในหัวข้อบนอินเทอร์เน็ตใช้เวลานาน

พอร์ทัลการศึกษาของ Shkolkovo เชิญชวนให้นักเรียนใช้ฐานความรู้ของเรา เราดำเนินการอย่างสมบูรณ์ วิธีการใหม่การเตรียมตัวสำหรับการทดสอบขั้นสุดท้าย การศึกษาในเว็บไซต์ของเรา คุณจะสามารถระบุช่องว่างในความรู้และให้ความสนใจกับงานที่ทำให้เกิดปัญหามากที่สุดได้อย่างแม่นยำ

ครูของ "Shkolkovo" รวบรวมจัดระบบและนำเสนอทุกสิ่งที่จำเป็นสำหรับการส่งมอบที่ประสบความสำเร็จ ใช้วัสดุด้วยวิธีที่ง่ายและเข้าถึงได้มากที่สุด

คำจำกัดความและสูตรหลักแสดงไว้ในส่วน "การอ้างอิงเชิงทฤษฎี"

เพื่อให้เข้าใจเนื้อหาได้ดีขึ้น เราขอแนะนำให้คุณฝึกงานที่ได้รับมอบหมาย ตรวจสอบตัวอย่างสมการเลขชี้กำลังอย่างรอบคอบพร้อมวิธีแก้ปัญหาที่นำเสนอในหน้านี้ เพื่อให้เข้าใจอัลกอริทึมการคำนวณ หลังจากนั้นให้ดำเนินการในส่วน "แคตตาล็อก" คุณสามารถเริ่มต้นด้วยงานที่ง่ายที่สุดหรือไปที่การแก้สมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนด้วยค่าที่ไม่รู้หลายค่าหรือ ฐานข้อมูลแบบฝึกหัดบนเว็บไซต์ของเราได้รับการเสริมและปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง

สามารถเพิ่มตัวอย่างที่มีตัวบ่งชี้ที่ทำให้คุณมีปัญหาใน "รายการโปรด" ได้ ดังนั้นคุณสามารถค้นหาได้อย่างรวดเร็วและหารือเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหากับครู

เพื่อให้สอบผ่าน ศึกษาพอร์ทัล Shkolkovo ทุกวัน!

บทเรียนนี้มีไว้สำหรับผู้ที่เพิ่งเริ่มเรียนรู้สมการเลขชี้กำลัง เช่นเคย เรามาเริ่มด้วยคำจำกัดความและตัวอย่างง่ายๆ

หากคุณกำลังอ่านบทเรียนนี้ ฉันสงสัยว่าอย่างน้อยคุณมีความเข้าใจเล็กน้อยเกี่ยวกับสมการที่ง่ายที่สุด - เชิงเส้นและสี่เหลี่ยมจัตุรัส: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ เป็นต้น เพื่อให้สามารถแก้ปัญหาการก่อสร้างดังกล่าวได้จำเป็นอย่างยิ่งเพื่อไม่ให้ "ค้าง" ในหัวข้อที่จะกล่าวถึงในขณะนี้

ดังนั้น สมการเลขชี้กำลัง ผมขอยกตัวอย่างสองสามตัวอย่าง:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=-3\]

บางอันอาจดูซับซ้อนกว่าสำหรับคุณ แต่บางอันกลับง่ายเกินไป แต่ทั้งหมดนี้รวมเป็นหนึ่งด้วยคุณสมบัติที่สำคัญประการหนึ่ง: พวกมันมีฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล $f\left(x \right)=((a)^(x))$ ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความ:

สมการเอกซ์โปเนนเชียลคือสมการใดๆ ที่มีฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล เช่น นิพจน์ในรูปแบบ $((a)^(x))$ นอกจากฟังก์ชันที่ระบุแล้ว สมการดังกล่าวยังสามารถมีโครงสร้างทางพีชคณิตอื่นๆ ได้ เช่น พหุนาม ราก ตรีโกณมิติ ลอการิทึม เป็นต้น

โอเคถ้าอย่างนั้น. เข้าใจคำจำกัดความ ตอนนี้คำถามคือ: จะแก้ปัญหาอึทั้งหมดนี้ได้อย่างไร? คำตอบนั้นทั้งง่ายและซับซ้อนในเวลาเดียวกัน

เริ่มจากข่าวดี: จากประสบการณ์ของฉันกับนักเรียนหลายคน ฉันสามารถพูดได้ว่าสำหรับพวกเขาส่วนใหญ่ สมการเอกซ์โปเนนเชียลนั้นง่ายกว่าลอการิทึมเดียวกันมาก และยิ่งไปกว่านั้นตรีโกณมิติ

แต่ก็มีข่าวร้ายเช่นกัน: บางครั้งผู้รวบรวมปัญหาสำหรับหนังสือเรียนและข้อสอบทุกประเภทก็ได้รับ "แรงบันดาลใจ" และสมองที่อักเสบจากยาก็เริ่มสร้างสมการที่โหดเหี้ยมจนกลายเป็นปัญหา ไม่เพียงแต่นักเรียนต้องแก้เท่านั้น แม้แต่ครูหลายคนก็ยังติดอยู่กับปัญหาดังกล่าว

อย่างไรก็ตาม อย่าพูดถึงสิ่งที่น่าเศร้า ลองกลับไปที่สามสมการที่ให้ไว้ในตอนต้นของเรื่อง มาลองแก้ปัญหากัน

สมการแรก: $((2)^(x))=4$ เลข 2 ต้องยกกำลังเท่าไรถึงจะได้เลข 4? บางทีอาจจะเป็นครั้งที่สอง? ท้ายที่สุด $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — และเราได้รับความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้องแล้ว นั่นคือ $x=2$ แน่นอน ขอบคุณ แคป แต่สมการนี้ง่ายมาก แม้แต่แมวของฉันก็แก้ได้ :)

ลองดูสมการต่อไปนี้:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

แต่ที่นี่มันยากกว่าเล็กน้อย นักเรียนหลายคนรู้ว่า $((5)^(2))=25$ คือสูตรคูณ บางคนยังสงสัยว่า $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ โดยพื้นฐานแล้วเป็นคำจำกัดความของพลังลบ (คล้ายกับสูตร $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$)

สุดท้าย มีเพียงไม่กี่คนที่เดาได้ว่าข้อเท็จจริงเหล่านี้สามารถรวมกันได้และผลลัพธ์ที่ได้คือผลลัพธ์ต่อไปนี้:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

ดังนั้น สมการเดิมของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\ลูกศรขวา ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

และตอนนี้สิ่งนี้ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์แล้ว! ทางด้านซ้ายของสมการจะมีฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล ทางด้านขวาของสมการจะมีฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ไม่มีอะไรอื่นนอกจากพวกมัน ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะ "ทิ้ง" ฐานและถือเอาตัวบ่งชี้อย่างโง่เขลา:

เราได้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดที่นักเรียนทุกคนสามารถแก้ได้ภายในไม่กี่บรรทัด ตกลงในสี่บรรทัด:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

หากคุณไม่เข้าใจว่าเกิดอะไรขึ้นในสี่บรรทัดสุดท้าย อย่าลืมกลับไปที่หัวข้อ "สมการเชิงเส้น" แล้วทำซ้ำ เนื่องจากไม่มีการผสมกลมกลืนของหัวข้อนี้อย่างชัดเจน มันเร็วเกินไปสำหรับคุณที่จะใช้สมการเลขชี้กำลัง

\[((9)^(x))=-3\]

ตกลงคุณจะตัดสินใจอย่างไร? ความคิดแรก: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$ ดังนั้นสมการเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

จากนั้นเราจำได้ว่าเมื่อเพิ่มระดับเป็นพลังงานตัวบ่งชี้จะถูกคูณ:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\ลูกศรขวา ((3)^(2x))=-((3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

และสำหรับการตัดสินใจเช่นนี้ เราได้รับผีสางที่สมควรได้รับโดยสุจริต ด้วยความใจเย็นอย่างโปเกมอน เราส่งเครื่องหมายลบต่อหน้าทั้งสามตัวไปยังพลังของสามตัวนี้ และคุณไม่สามารถทำเช่นนั้นได้ และนั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม ดูพลังที่แตกต่างกันของสาม:

\[\begin(เมทริกซ์) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)(2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\frac(1)(3)))=\ sqrt(3) \\ ( (3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& ((3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

เมื่อรวบรวมแท็บเล็ตนี้ฉันไม่ได้บิดเบือนโดยเร็วที่สุด: ฉันพิจารณาองศาที่เป็นบวกและลบและแม้แต่เศษส่วน ... เอาล่ะอย่างน้อยหนึ่งอันอยู่ที่ไหน จำนวนลบ? เขาไม่ได้! และไม่สามารถเป็นได้ เพราะฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล $y=((a)^(x))$ อย่างแรก จะใช้เพียง ค่าบวก(ไม่ว่าคุณจะคูณหนึ่งหรือหารด้วยสองเท่าใด ก็จะยังคงเป็นจำนวนบวก) และประการที่สอง ฐานของฟังก์ชันดังกล่าว - ตัวเลข $a$ - ตามนิยามคือจำนวนบวก!

แล้วจะแก้สมการ $((9)^(x))=-3$ ได้อย่างไร? ไม่ไม่มีราก และในแง่นี้ สมการเอกซ์โพเนนเชียลจะคล้ายกับสมการกำลังสองมาก - อาจไม่มีรากก็ได้ แต่ถ้าใน สมการกำลังสองจำนวนของรากถูกกำหนดโดยตัวจำแนก (ตัวจำแนกเป็นบวก - 2 ราก, ลบ - ไม่มีราก) จากนั้นในเลขชี้กำลังทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่อยู่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

ดังนั้นเราจึงกำหนดข้อสรุปที่สำคัญ: สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ $((a)^(x))=b$ มีรากก็ต่อเมื่อ $b>0$ เมื่อทราบข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้แล้ว คุณสามารถระบุได้อย่างง่ายดายว่าสมการที่เสนอให้คุณมีรากหรือไม่ เหล่านั้น. มันคุ้มค่าที่จะแก้ไขเลยหรือจดทันทีว่าไม่มีราก

ความรู้นี้จะช่วยให้เราหลายครั้งเมื่อเราต้องแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ในขณะเดียวกัน เนื้อเพลงพอ - ถึงเวลาศึกษาอัลกอริทึมพื้นฐานสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง

วิธีแก้สมการเลขชี้กำลัง

ลองกำหนดปัญหา จำเป็นต้องแก้สมการเลขชี้กำลัง:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

ตามอัลกอริทึม "ไร้เดียงสา" ที่เราใช้ก่อนหน้านี้ จำเป็นต้องแสดงจำนวน $b$ เป็นเลขยกกำลังของ $a$:

นอกจากนี้หากมีนิพจน์ใดๆ แทนตัวแปร $x$ เราจะได้สมการใหม่ซึ่งสามารถแก้ไขได้แล้ว ตัวอย่างเช่น:

\[\begin(จัดแนว)& ((2)^(x))=8\ลูกศรขวา ((2)^(x))=((2)^(3))\ลูกศรขวา x=3; \\& ((3)^(-x))=81\ลูกศรขวา ((3)^(-x))=((3)^(4))\ลูกศรขวา -x=4\ลูกศรขวา x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\ลูกศรขวา ((5)^(2x))=((5)^(3))\ลูกศรขวา 2x=3\ลูกศรขวา x=\frac(3)(2). \\\end(จัดเรียง)\]

และน่าแปลกที่แผนนี้ใช้ได้ประมาณ 90% ของกรณี แล้วอีก 10% ล่ะ? ส่วนที่เหลืออีก 10% เป็นสมการเลขชี้กำลัง "โรคจิตเภท" เล็กน้อยของแบบฟอร์ม:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

คุณต้องใช้พลังอะไรในการเพิ่ม 2 เพื่อให้ได้ 3 ในครั้งแรก? แต่ไม่: $((2)^(1))=2$ ไม่เพียงพอ ในครั้งที่สอง? ไม่เลย: $((2)^(2))=4$ มากเกินไป แล้วไง?

นักเรียนที่มีความรู้อาจเดาได้แล้ว: ในกรณีเช่นนี้เมื่อไม่สามารถแก้ไข "สวยงาม" ได้ "ปืนใหญ่หนัก" จะเชื่อมต่อกับเคส - ลอการิทึม ฉันขอเตือนคุณว่าการใช้ลอการิทึม จำนวนบวกใดๆ สามารถแสดงเป็นเลขยกกำลังของจำนวนอื่นๆ ได้ จำนวนบวก(ไม่รวมหน่วย):

จำสูตรนี้ได้ไหม? เมื่อฉันบอกนักเรียนเกี่ยวกับลอการิทึม ฉันมักจะเตือนคุณเสมอว่า สูตรนี้ (ซึ่งก็คือเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานหรือนิยามของลอการิทึม หากคุณต้องการ) จะหลอกหลอนคุณเป็นเวลานานและ "โผล่ออกมา" ในที่ที่คาดไม่ถึงที่สุด เธอโผล่ขึ้นมา ลองดูสมการของเราและสูตรนี้:

\[\begin(จัดเรียง)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ถ้าเราถือว่า $a=3$ เป็นจำนวนเดิมทางด้านขวา และ $b=2$ เป็นฐานของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลที่เราต้องการลดค่าทางด้านขวา เราจะได้ค่าต่อไปนี้:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\ลูกศรขวา 3=((2)^(((\log )_(2))3)); \\& ((2)^(x))=3\ลูกศรขวา ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\ลูกศรขวา x=((\log )_(2))3. \\\end(จัดเรียง)\]

เราได้คำตอบที่แปลกเล็กน้อย: $x=((\log )_(2))3$ ในงานอื่น ๆ ด้วยคำตอบเช่นนี้ หลายคนอาจสงสัยและเริ่มตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาอีกครั้ง: แล้วถ้ามีข้อผิดพลาดที่ไหนสักแห่งล่ะ? ฉันรีบทำให้คุณพอใจ: ไม่มีข้อผิดพลาดที่นี่และลอการิทึมในรากของสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเป็นสถานการณ์ทั่วไป คุ้นเคยกับมัน :)

ตอนนี้เราแก้โดยการเปรียบเทียบสมการที่เหลืออีกสองสมการ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((5)^(x))=15\ลูกศรขวา ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15))\ลูกศรขวา x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\ลูกศรขวา ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\ลูกศรขวา 2x=((\log )_(4))11\ลูกศรขวา x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(จัดเรียง)\]

นั่นคือทั้งหมด! อย่างไรก็ตาม คำตอบสุดท้ายสามารถเขียนแตกต่างกันได้:

เราเป็นผู้แนะนำตัวคูณในอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม แต่ไม่มีใครขัดขวางไม่ให้เราเพิ่มปัจจัยนี้ลงในฐาน:

ในกรณีนี้ตัวเลือกทั้งสามถูกต้อง - เป็นเพียง รูปแบบที่แตกต่างกันบันทึกหมายเลขเดียวกัน อันไหนที่จะเลือกและจดไว้ในการตัดสินใจนี้ขึ้นอยู่กับคุณ

ดังนั้นเราจึงได้เรียนรู้วิธีแก้สมการเลขชี้กำลังในรูปแบบ $((a)^(x))=b$ โดยที่ตัวเลข $a$ และ $b$ เป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัด อย่างไรก็ตาม ความเป็นจริงอันโหดร้ายของโลกเราก็คืองานง่ายๆ แบบนี้จะตอบสนองคุณได้น้อยมาก บ่อยครั้งคุณจะพบสิ่งนี้:

\[\begin(จัดเรียง)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(จัดเรียง)\]

ตกลงคุณจะตัดสินใจอย่างไร? สามารถแก้ไขได้หรือไม่? และถ้าเป็นเช่นนั้นได้อย่างไร?

ไม่มีความตื่นตระหนก สมการทั้งหมดเหล่านี้ลดลงอย่างรวดเร็วและง่ายดายเป็นสูตรง่าย ๆ ที่เราพิจารณาแล้ว คุณเพียงแค่ต้องรู้เพื่อจำเทคนิคสองสามอย่างจากหลักสูตรพีชคณิต และแน่นอนว่าไม่มีกฎสำหรับการทำงานกับปริญญาที่นี่ ฉันจะพูดถึงทั้งหมดนี้ตอนนี้ :)

การแปลงสมการเลขชี้กำลัง

สิ่งแรกที่ต้องจำไว้คือสมการเอกซ์โปเนนเชียลใดๆ ไม่ว่ามันจะซับซ้อนเพียงใด ไม่ทางใดก็ทางหนึ่งจะต้องลดให้เหลือสมการที่ง่ายที่สุด - สมการที่เราได้พิจารณาแล้วและเรารู้วิธีแก้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง รูปแบบการแก้สมการเลขชี้กำลังมีลักษณะดังนี้:

1. เขียนสมการเดิม ตัวอย่างเช่น: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. ทำเรื่องโง่ๆ หรือแม้แต่เรื่องไร้สาระที่เรียกว่า "แปลงสมการ";
3. ที่เอาต์พุต รับนิพจน์ที่ง่ายที่สุด เช่น $((4)^(x))=4$ หรืออย่างอื่นในทำนองนั้น ยิ่งกว่านั้น สมการเริ่มต้นหนึ่งสมการสามารถแสดงได้หลายนิพจน์พร้อมกัน

จากจุดแรก ทุกอย่างชัดเจน แม้แต่แมวของฉันก็เขียนสมการบนใบไม้ได้ ด้วยประเด็นที่สามดูเหมือนว่าจะชัดเจนไม่มากก็น้อย - เราได้แก้ไขสมการข้างต้นทั้งหมดแล้ว

แต่ประเด็นที่สองล่ะ? การแปลงร่างคืออะไร? เอาไปแปลงอะไรครับ? แล้วยังไง?

ลองคิดดูสิ ก่อนอื่น ผมขอชี้แจงดังนี้ สมการเอกซ์โปเนนเชียลทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองประเภท:

1. สมการประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเดียวกัน ตัวอย่าง: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. สูตรประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานต่างกัน ตัวอย่าง: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ and $((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$

เริ่มจากสมการประเภทแรก - เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ และในการแก้ปัญหา เราจะได้รับความช่วยเหลือจากเทคนิคต่างๆ เช่น การเลือกนิพจน์ที่เสถียร

เน้นการแสดงออกที่มั่นคง

ลองดูสมการนี้อีกครั้ง:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

เราเห็นอะไร? ทั้งสี่ถูกยกขึ้นในระดับที่แตกต่างกัน แต่ยกกำลังทั้งหมดเป็นผลบวกอย่างง่ายของตัวแปร $x$ กับตัวเลขอื่นๆ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องจำกฎสำหรับการทำงานกับองศา:

\[\begin(จัดเรียง)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a)^(y))). \\\end(จัดเรียง)\]

พูดง่ายๆ ก็คือ การบวกเลขชี้กำลังสามารถแปลงเป็นผลคูณของเลขยกกำลัง และการลบก็แปลงเป็นการหารได้อย่างง่ายดาย ลองใช้สูตรเหล่านี้กับยกกำลังจากสมการของเรา:

\[\begin(จัดเรียง)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^(x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราเขียนสมการเดิมใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้ จากนั้นจึงรวบรวมคำศัพท์ทั้งหมดทางด้านซ้าย:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4-11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0 \\\end(จัดเรียง)\]

สี่เทอมแรกมีองค์ประกอบ $((4)^(x))$ — ลองเอาออกจากวงเล็บ:

\[\begin(จัดเรียง)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(จัดเรียง)\]

ยังคงต้องหารทั้งสองส่วนของสมการด้วยเศษส่วน $-\frac(11)(4)$ เช่น คูณด้วยเศษส่วนที่กลับด้าน - $-\frac(4)(11)$ เราได้รับ:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right)=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(จัดเรียง)\]

นั่นคือทั้งหมด! เราลดสมการเดิมให้ง่ายที่สุดและได้คำตอบสุดท้าย

ในเวลาเดียวกัน ในกระบวนการแก้ปัญหา เราค้นพบ (และแม้กระทั่งนำออกจากวงเล็บเหลี่ยม) ตัวประกอบทั่วไป $((4)^(x))$ - นี่คือนิพจน์ที่เสถียร สามารถกำหนดให้เป็นตัวแปรใหม่ หรือคุณสามารถแสดงได้อย่างแม่นยำและรับคำตอบ ไม่ว่าในกรณีใด หลักการสำคัญของการแก้ปัญหามีดังนี้:

ค้นหานิพจน์คงที่ในสมการดั้งเดิมซึ่งมีตัวแปรที่แยกแยะได้ง่ายจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมด

ข่าวดีก็คือสมการเลขชี้กำลังเกือบทุกสมการยอมรับนิพจน์ที่คงที่เช่นนั้น

แต่ก็มีข่าวร้ายเช่นกัน: การแสดงออกดังกล่าวอาจยุ่งยากมากและแยกแยะได้ยาก ลองดูปัญหาอื่น:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

บางทีบางคนอาจมีคำถาม: "มหาอำมาตย์คุณถูกขว้างด้วยก้อนหินหรือเปล่า? นี่คือฐานที่แตกต่างกัน - 5 และ 0.2 แต่ลองแปลงกำลังด้วยฐาน 0.2 ตัวอย่างเช่นมากำจัดกันเถอะ เศษส่วนทศนิยมนำมาสู่ปกติ:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(2)(10) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))\]

อย่างที่คุณเห็น เลข 5 ยังคงปรากฏอยู่แม้ว่าจะอยู่ในตัวส่วนก็ตาม ในเวลาเดียวกัน ตัวบ่งชี้ถูกเขียนใหม่เป็นลบ และตอนนี้เราจำกฎที่สำคัญที่สุดข้อหนึ่งในการทำงานกับปริญญา:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\ลูกศรขวา ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

แน่นอนที่นี่ฉันโกงเล็กน้อย เพราะเพื่อความเข้าใจที่สมบูรณ์ ต้องเขียนสูตรสำหรับกำจัดตัวบ่งชี้เชิงลบดังนี้:

\[((a)^(-n))=\frac(1)((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=( (5)^(x+1))\ ]

ในทางกลับกัน ไม่มีอะไรขัดขวางเราจากการทำงานเพียงเศษเสี้ยวเดียว:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left((((5)^(-1)) \right))^(-\left(x+1 \right)))=(5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right)))=((5)^(x+1 ))\]

แต่ในกรณีนี้คุณต้องสามารถยกระดับไปอีกระดับหนึ่งได้ (ฉันเตือนคุณ: ในกรณีนี้จะมีการเพิ่มตัวบ่งชี้) แต่ฉันไม่ต้อง "พลิก" เศษส่วน - บางทีมันอาจจะง่ายกว่าสำหรับใครบางคน :)

ไม่ว่าในกรณีใด สมการเอกซ์โปเนนเชียลดั้งเดิมจะถูกเขียนใหม่เป็น:

\[\begin(จัดเรียง)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(จัดเรียง)\]

ปรากฎว่าสมการดั้งเดิมนั้นแก้ได้ง่ายกว่าสมการที่พิจารณาก่อนหน้านี้: ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องแยกนิพจน์ที่คงที่ออก - ทุกอย่างลดลงด้วยตัวของมันเอง ยังคงเป็นเพียงการจำไว้ว่า $1=((5)^(0))$ ซึ่งเราได้รับ:

\[\begin(จัดเรียง)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(จัดเรียง)\]

นั่นคือทางออกทั้งหมด! เราได้คำตอบสุดท้าย: $x=-2$ ในเวลาเดียวกันฉันต้องการทราบเคล็ดลับหนึ่งข้อที่ทำให้การคำนวณทั้งหมดง่ายขึ้นมากสำหรับเรา:

ในสมการเลขยกกำลัง อย่าลืมกำจัดเศษส่วนทศนิยม แล้วแปลเป็นเศษส่วนทั่วไป สิ่งนี้จะช่วยให้คุณเห็นฐานขององศาที่เท่ากันและทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก

ทีนี้ มาดูสมการที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งมีฐานต่างกัน ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่สามารถลดทอนให้กันและกันได้โดยใช้เลขยกกำลัง

การใช้คุณสมบัติเลขยกกำลัง

ฉันขอเตือนคุณว่าเรามีสมการที่รุนแรงเป็นพิเศษอีกสองสมการ:

\[\begin(จัดเรียง)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6)))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(จัดเรียง)\]

ปัญหาหลักที่นี่คือมันไม่ชัดเจนว่าจะนำไปสู่อะไรและเพื่ออะไร ที่ไหน ตั้งนิพจน์? จุดร่วมอยู่ที่ไหน? ไม่มีสิ่งนี้

แต่เราลองไปทางอื่น หากไม่มีฐานสำเร็จรูปที่เหมือนกัน คุณสามารถลองค้นหาได้โดยการแยกตัวประกอบของฐานที่มีอยู่

เริ่มจากสมการแรก:

\[\begin(จัดเรียง)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6)))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\ลูกศรขวา ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\cdot ((3)^(3x)). \\\end(จัดเรียง)\]

แต่ท้ายที่สุดคุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้าม - สร้างหมายเลข 21 จากหมายเลข 7 และ 3 การทำสิ่งนี้ทางด้านซ้ายนั้นง่ายเป็นพิเศษเนื่องจากตัวบ่งชี้ของทั้งสององศานั้นเหมือนกัน:

\[\begin(จัดแนว)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6)))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+6))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(จัดเรียง)\]

นั่นคือทั้งหมด! คุณนำเลขชี้กำลังออกจากผลคูณและได้สมการสวยๆ ที่สามารถแก้ได้ใน 2-3 บรรทัดในทันที

ทีนี้มาจัดการกับสมการที่สองกัน ที่นี่ทุกอย่างซับซ้อนกว่ามาก:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

ในกรณีนี้ เศษส่วนกลายเป็นเศษส่วนที่ไม่สามารถลดทอนได้ แต่ถ้ามีบางอย่างที่สามารถลดได้ ให้ลดจำนวนนั้นลงด้วย สิ่งนี้มักจะส่งผลให้เกิดเหตุผลที่น่าสนใจที่คุณสามารถทำงานได้แล้ว

ขออภัย เราไม่ได้คิดอะไร แต่เราเห็นว่าเลขชี้กำลังทางซ้ายในผลคูณอยู่ตรงข้ามกัน:

ฉันขอเตือนคุณ: หากต้องการกำจัดเครื่องหมายลบในเลขชี้กำลัง คุณเพียงแค่ต้อง "พลิก" เศษส่วน ลองเขียนสมการเดิมใหม่:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(จัดเรียง)\]

ในบรรทัดที่สอง เราเพียงแค่วงเล็บผลรวมจากผลคูณตามกฎ $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$ และในบรรทัดสุดท้าย เราก็แค่คูณจำนวน 100 ด้วยเศษส่วน

ตอนนี้โปรดทราบว่าตัวเลขทางด้านซ้าย (ที่ฐาน) และทางด้านขวาค่อนข้างคล้ายกัน ยังไง? ใช่ แน่นอน พวกมันเป็นเลขยกกำลังเดียวกัน! เรามี:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))((3)^(3)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(จัดเรียง)\]

ดังนั้นสมการของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3\left(x-1 \right))))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

ในเวลาเดียวกัน ทางด้านขวา คุณยังสามารถได้รับระดับที่มีฐานเดียวกัน ซึ่งเพียงแค่ "พลิก" เศษส่วนก็เพียงพอแล้ว:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

ในที่สุดสมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(จัดเรียง)\]

นั่นคือทางออกทั้งหมด แนวคิดหลักของเขาคือแม้ว่า เหตุที่แตกต่างกันเรากำลังพยายามใช้ตะขอหรือข้อพับเพื่อลดเหตุผลเหล่านี้ให้เป็นหนึ่งเดียวกัน ในนี้เราได้รับความช่วยเหลือจากการแปลงสมการเบื้องต้นและกฎสำหรับการทำงานกับเลขยกกำลัง

แต่กฎอะไรและเมื่อใดที่จะใช้? จะเข้าใจได้อย่างไรว่าในสมการหนึ่งคุณต้องหารทั้งสองข้างด้วยบางสิ่งและอีกอันหนึ่ง - เพื่อแยกฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังออกเป็นปัจจัยต่างๆ

คำตอบสำหรับคำถามนี้จะมาพร้อมกับประสบการณ์ ลองใช้มือของคุณในตอนแรก สมการง่ายๆแล้วค่อยๆ ทำให้งานซับซ้อนขึ้น - และในไม่ช้าทักษะของคุณจะเพียงพอที่จะแก้สมการเลขชี้กำลังใดๆ จากการใช้งานเดียวกันหรืองานอิสระ/งานทดสอบใดๆ

และเพื่อช่วยคุณในงานที่ยากนี้ ฉันขอแนะนำให้ดาวน์โหลดชุดสมการในเว็บไซต์ของฉันเพื่อหาวิธีแก้ปัญหาอิสระ สมการทั้งหมดมีคำตอบ คุณจึงตรวจสอบตัวเองได้เสมอ

สมการเลขชี้กำลังคืออะไร? ตัวอย่าง.

ดังนั้น สมการเอกซ์โปเนนเชียล... การจัดแสดงใหม่ที่ไม่เหมือนใครในงานนิทรรศการทั่วไปของเราเกี่ยวกับสมการที่หลากหลาย!) เกือบทุกครั้ง คำหลักของคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ใหม่คือคำคุณศัพท์ที่เกี่ยวข้องซึ่งแสดงลักษณะเฉพาะของสมการนั้น ดังนั้นที่นี่ด้วย คำสำคัญในคำว่า "สมการเลขชี้กำลัง" คือคำว่า "สาธิต". มันหมายความว่าอะไร? คำนี้หมายความว่า สิ่งที่ไม่รู้จัก (x) คือ ในระดับใดก็ได้และนั่นเท่านั้น! นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง

ตัวอย่างเช่น สมการง่ายๆ เหล่านี้:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

หรือแม้แต่สัตว์ประหลาดเหล่านี้:

2 บาป x = 0.5

ฉันขอให้คุณใส่ใจกับสิ่งสำคัญอย่างหนึ่งทันที: ใน บริเวณองศา (ล่าง) - ตัวเลขเท่านั้น. แต่ใน ตัวชี้วัดองศา (บนสุด) - การแสดงออกที่หลากหลายด้วย x อย่างแน่นอน) ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสมการเฉพาะ หากทันใดนั้น x ออกมาในสมการที่อื่นนอกเหนือไปจากตัวบ่งชี้ (เช่น 3 x \u003d 18 + x 2) สมการดังกล่าวจะเป็นสมการอยู่แล้ว ชนิดผสม. สมการดังกล่าวไม่มีกฎที่ชัดเจนสำหรับการแก้ ดังนั้นในบทเรียนนี้เราจะไม่พิจารณาพวกเขา เพื่อความสุขของนักเรียน) ในที่นี้เราจะพิจารณาเฉพาะสมการเลขชี้กำลังในรูปแบบ "บริสุทธิ์"

โดยทั่วไปแล้ว แม้แต่สมการเอกซ์โปเนนเชียลล้วนก็ไม่สามารถแก้ไขได้อย่างชัดเจนในทุกกรณีและไม่เสมอไป แต่ในบรรดาสมการเอกซ์โพเนนเชียลที่หลากหลาย มีบางประเภทที่สามารถแก้ไขได้และควรแก้ไข นี่คือสมการประเภทนี้ที่เราจะพิจารณาร่วมกับคุณ และเราจะแก้ไขตัวอย่างอย่างแน่นอน) ดังนั้นเราจึงตั้งถิ่นฐานอย่างสะดวกสบายและ - บนถนน! เช่นเดียวกับในคอมพิวเตอร์ "มือปืน" การเดินทางของเราจะผ่านด่านต่างๆ) จากระดับประถมศึกษาถึงง่าย จากง่ายไปปานกลาง และจากปานกลางถึงซับซ้อน ระหว่างทางคุณจะรอระดับลับ - กลเม็ดและวิธีการแก้ไขตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐาน สิ่งที่คุณจะไม่ได้อ่านในหนังสือเรียนส่วนใหญ่... แน่นอนว่าในตอนท้าย เจ้านายคนสุดท้ายจะรอคุณในรูปแบบของการบ้าน)

ระดับ 0 สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดคืออะไร? คำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

ในการเริ่มต้นให้ดูที่บางส่วนตรงไปตรงมา คุณต้องเริ่มต้นที่ไหนสักแห่งใช่ไหม? ตัวอย่างเช่น สมการนี้:

2 x = 2 2

แม้จะไม่มีทฤษฎีใดๆก็ตาม แต่ด้วยตรรกะและสามัญสำนึกง่ายๆ มันก็ชัดเจนว่า x = 2 มิฉะนั้นก็ไม่มีทาง จริงไหม? ไม่มีค่าอื่นของ x ที่ดี ... ตอนนี้เรามาสนใจกัน รายการตัดสินใจสมการเลขชี้กำลังที่ยอดเยี่ยมนี้:

2 x = 2 2

X = 2

เกิดอะไรขึ้นกับเรา? และเหตุการณ์ต่อไปนี้เกิดขึ้น ในความเป็นจริงเราเอาและ ... เพิ่งโยนฐานเดียวกัน (สอง) ออกไป! โยนออกไปอย่างสมบูรณ์ และสิ่งที่พอใจตีตาวัว!

ใช่ แน่นอน ถ้าอยู่ในสมการเลขชี้กำลังทางซ้ายและขวา เหมือนตัวเลขในระดับใดๆ ก็ตาม ตัวเลขเหล่านี้สามารถทิ้งไปและจัดเลขชี้กำลังให้เท่ากันได้ คณิตศาสตร์อนุญาต) จากนั้นคุณสามารถทำงานแยกกันกับตัวบ่งชี้และแก้สมการที่ง่ายกว่ามาก มันยอดเยี่ยมใช่มั้ย

นี่คือแนวคิดหลักในการแก้สมการเลขชี้กำลังใดๆ (ใช่ อะไรก็ได้!) ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงที่เหมือนกัน มันเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าซ้ายและขวาในสมการนั้น เหมือน เลขฐานกำลังต่างๆ จากนั้นคุณสามารถลบฐานเดียวกันออกได้อย่างปลอดภัยและยกกำลังเท่ากัน และทำงานกับสมการที่ง่ายกว่า

และตอนนี้เราจำกฎเหล็ก: เป็นไปได้ที่จะลบฐานเดียวกันออกก็ต่อเมื่อในสมการทางซ้ายและทางขวามีเลขฐานอยู่ ในความเหงาที่น่าภาคภูมิใจ

หมายความว่าอย่างไรในความโดดเดี่ยวที่ยอดเยี่ยม? ซึ่งหมายความว่าไม่มีเพื่อนบ้านและค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ ฉันอธิบาย.

ตัวอย่างเช่นในสมการ

3 3 x-5 = 3 2 x +1

คุณไม่สามารถเอาแฝดสามออกได้! ทำไม เพราะทางซ้ายเราไม่ได้เหงาแค่สามองศาแต่ งาน 3 3 x-5 . ทริปเปิลพิเศษเข้ามาขวางทาง: ค่าสัมประสิทธิ์ คุณเข้าใจ)

สามารถพูดได้เช่นเดียวกันเกี่ยวกับสมการ

5 3 x = 5 2 x +5 x

ที่นี่ฐานทั้งหมดเหมือนกัน - ห้า แต่ทางด้านขวาเราไม่มีระดับห้าเดียว: มีผลรวมขององศา!

กล่าวโดยสรุปคือ เรามีสิทธิ์ที่จะลบฐานเดียวกันออกได้ก็ต่อเมื่อสมการเลขชี้กำลังของเรามีลักษณะเช่นนี้และเป็นแบบนี้เท่านั้น:

กฉ (x) = ก (x)

สมการเอกซ์โปเนนเชียลประเภทนี้เรียกว่า ง่ายที่สุด. หรือในทางวิทยาศาสตร์ เป็นที่ยอมรับ . และไม่ว่าสมการที่บิดเบี้ยวตรงหน้าเราจะเป็นอย่างไร ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เราจะลดสมการนั้นให้อยู่ในรูปง่ายๆ (บัญญัติ) หรือในบางกรณีเพื่อ มวลรวมสมการประเภทนี้ จากนั้นสมการที่ง่ายที่สุดของเราสามารถอยู่ใน ปริทัศน์เขียนใหม่ดังนี้:

ฉ(x) = ก(x)

และนั่นแหล่ะ นี่จะเป็นการแปลงที่สมมูลกัน ในขณะเดียวกัน นิพจน์ใดๆ ที่มี x สามารถใช้เป็น f(x) และ g(x) ได้ อะไรก็ตาม.

บางทีนักเรียนที่อยากรู้อยากเห็นเป็นพิเศษอาจถามว่า: ทำไมเราถึงทิ้งฐานเดียวกันทางด้านซ้ายและขวาได้ง่ายนัก สัญชาตญาณคือสัญชาตญาณ แต่ทันใดนั้น ในบางสมการและด้วยเหตุผลบางอย่าง วิธีการนี้จะผิดหรือไม่? การวางฐานเดียวกันถูกกฎหมายหรือไม่?น่าเสียดายสำหรับคำตอบทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดสำหรับสิ่งนี้ สนใจสอบถามคุณต้องเจาะลึกและจริงจังในทฤษฎีทั่วไปของโครงสร้างและพฤติกรรมของฟังก์ชัน และพิเศษกว่านั้นอีกเล็กน้อย - ในปรากฏการณ์ ความน่าเบื่อที่เข้มงวดโดยเฉพาะอย่างยิ่งความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวด ฟังก์ชันเลขชี้กำลังย= ก x. เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและคุณสมบัติของมันที่อยู่ภายใต้การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล ใช่) คำตอบโดยละเอียดสำหรับคำถามนี้จะได้รับในบทเรียนพิเศษแยกต่างหากที่อุทิศให้กับการแก้สมการที่ไม่ได้มาตรฐานที่ซับซ้อนโดยใช้ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันต่างๆ)

การอธิบายประเด็นนี้โดยละเอียดในตอนนี้เป็นเพียงการนำสมองของเด็กนักเรียนทั่วไปออกมาและทำให้เขากลัวล่วงหน้าด้วยทฤษฎีที่แห้งแล้งและหนักหน่วง ฉันจะไม่ทำแบบนี้) สำหรับเมนของเรา ช่วงเวลานี้งาน - เรียนรู้การแก้สมการเลขชี้กำลัง!ง่ายที่สุด! ดังนั้นจนกว่าเราจะเหงื่อออกและโยนเหตุผลเดียวกันออกไปอย่างกล้าหาญ นี้ สามารถใช้คำพูดของฉัน!) จากนั้นเราก็แก้สมการสมมูล f (x) = g (x) แล้ว ตามกฎแล้วมันง่ายกว่าเลขชี้กำลังดั้งเดิม

แน่นอน สันนิษฐานว่าผู้คนรู้วิธีแก้อย่างน้อย และสมการอยู่แล้ว โดยที่ไม่มี x ในตัวบ่งชี้) ใครยังไม่รู้วิธี ก็อย่าลังเลที่จะปิดหน้านี้ ไปตามลิงก์ที่เหมาะสม และเติมช่องว่างเก่า มิฉะนั้นคุณจะลำบากใช่ ...

ฉันเงียบเกี่ยวกับสมการอตรรกยะ ตรีโกณมิติ และสมการที่โหดเหี้ยมอื่นๆ ที่สามารถเกิดขึ้นได้ในกระบวนการกำจัดฐาน แต่อย่าตื่นตระหนกสำหรับตอนนี้เราจะไม่พิจารณาแฟรงก์ดีบุกในแง่ขององศา: ยังเร็วเกินไป เราจะฝึกเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น)

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการที่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพื่อลดให้ง่ายที่สุด เพื่อแยกแยะให้เรียกพวกเขาว่า สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย. ไปสู่ระดับต่อไปกันเถอะ!

ระดับ 1 สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย รับปริญญา! ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ

กฎสำคัญในการแก้สมการเลขชี้กำลังคือ กฎสำหรับการจัดการกับองศา. หากไม่มีความรู้และทักษะนี้ ไม่มีอะไรจะทำงานได้ อนิจจา. ดังนั้นหากมีปัญหาเกี่ยวกับองศา คุณก็ยินดีต้อนรับสำหรับการเริ่มต้น นอกจากนี้ เรายังต้องการ การแปลงเหล่านี้ (มากถึงสอง!) เป็นพื้นฐานสำหรับการแก้สมการทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป และไม่เพียงแค่โชว์ผลงานเท่านั้น ดังนั้นใครก็ตามที่ลืมก็เดินไปที่ลิงค์ด้วย: ฉันใส่ไว้ด้วยเหตุผล

แต่การกระทำที่มีพลังและการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันเท่านั้นยังไม่เพียงพอ นอกจากนี้ยังต้องใช้การสังเกตและความเฉลียวฉลาดส่วนบุคคล เราต้องการเหตุผลเดียวกันใช่ไหม ดังนั้นเราจึงตรวจสอบตัวอย่างและค้นหาในรูปแบบที่ชัดเจนหรือปลอมแปลง!

ตัวอย่างเช่น สมการนี้:

3 2x – 27x +2 = 0

ดูครั้งแรกที่ บริเวณ. พวกเขาแตกต่าง! สามและยี่สิบเจ็ด แต่มันยังเร็วเกินไปที่จะตื่นตระหนกและสิ้นหวัง ถึงเวลาที่ต้องจำไว้ว่า

27 = 3 3

เลข 3 กับ 27 เป็นญาติกันทางใบปริญญา! นอกจากนี้ญาติ) ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ทุกอย่างที่จะเขียน:

27 x +2 = (3 3) x+2

และตอนนี้เราเชื่อมโยงความรู้ของเราเกี่ยวกับ การกระทำที่มีองศา(และฉันเตือนคุณแล้ว!) มีสูตรที่มีประโยชน์มาก:

(am) n = a mn

ตอนนี้ถ้าคุณใช้มันในหลักสูตร โดยทั่วไปก็จะดี:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

ตัวอย่างดั้งเดิมตอนนี้มีลักษณะดังนี้:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

เยี่ยมมาก ฐานขององศาตรงกัน สิ่งที่เรามุ่งมั่น งานเสร็จสิ้นไปครึ่งหนึ่ง) และตอนนี้เราเริ่มการแปลงข้อมูลประจำตัวพื้นฐาน - เราโอน 3 3 (x +2) ไปทางขวา ไม่มีใครยกเลิกการกระทำเบื้องต้นของคณิตศาสตร์ ใช่) เราได้รับ:

3 2 x = 3 3(x +2)

สมการแบบนี้ให้อะไรเรา? และความจริงที่ว่าตอนนี้สมการของเราลดลง ในรูปแบบบัญญัติ: ด้านซ้ายและด้านขวาเป็นเลขยกกำลังเดียวกัน (สามเท่า) และแฝดสามทั้งสอง - ในความโดดเดี่ยวที่ยอดเยี่ยม เราถอดแฝดสามออกอย่างกล้าหาญและรับ:

2x = 3(x+2)

เราแก้ปัญหานี้และรับ:

X=-6

นั่นคือทั้งหมดที่มีไป นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง)

และตอนนี้เราเข้าใจแนวทางของการตัดสินใจแล้ว อะไรช่วยเราในตัวอย่างนี้ เรารอดด้วยความรู้ระดับพระรัตนตรัย อย่างไรกันแน่? เรา ระบุเลข 27 เข้ารหัสสามตัว! เคล็ดลับนี้ (การเข้ารหัสของฐานเดียวกันภายใต้ ตัวเลขที่แตกต่างกัน) เป็นหนึ่งในสมการเลขยกกำลังที่ได้รับความนิยมมากที่สุด! เว้นแต่จะเป็นที่นิยมมากที่สุด ใช่และโดยวิธีการ นั่นคือเหตุผลที่การสังเกตและความสามารถในการรับรู้พลังของตัวเลขอื่นๆ ในตัวเลขจึงมีความสำคัญในสมการเลขชี้กำลัง!

คำแนะนำการปฏิบัติ:

คุณต้องรู้พลังของตัวเลขยอดนิยม ในหน้า!

แน่นอนว่าใครก็ตามสามารถยกกำลังสองยกกำลังเจ็ดหรือสามยกกำลังห้าได้ ไม่ได้อยู่ในความคิดของฉัน อย่างน้อยก็ในฉบับร่าง แต่ในสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล บ่อยครั้งที่จำเป็นอย่างยิ่งที่จะไม่ยกกำลัง แต่ในทางกลับกัน เพื่อค้นหาว่าตัวเลขใดและขอบเขตใดที่ซ่อนอยู่หลังตัวเลข เช่น 128 หรือ 243 และนี่ซับซ้อนกว่าการยกกำลังอย่างง่ายอยู่แล้ว รู้สึกถึงความแตกต่างอย่างที่พวกเขาพูด!

เนื่องจากความสามารถในการจดจำองศาบนใบหน้านั้นมีประโยชน์ไม่เพียงแต่ในระดับนี้เท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์ในระดับต่อไปนี้ด้วย นี่เป็นงานเล็กๆ น้อยๆ สำหรับคุณ:

กำหนดพลังและตัวเลขที่เป็นตัวเลข:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

คำตอบ (กระจัดกระจายแน่นอน):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

ใช่ ๆ! อย่าแปลกใจที่มีคำตอบมากกว่างาน ตัวอย่างเช่น 2 8 , 4 4 และ 16 2 คือทั้งหมด 256

ระดับ 2 สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย รับปริญญา! เลขชี้กำลังที่เป็นลบและเศษส่วน

ระดับนี้เราใช้ความรู้ปริญญาอย่างเต็มที่แล้ว กล่าวคือ เราเกี่ยวข้องกับตัวบ่งชี้เชิงลบและเศษส่วนในกระบวนการที่น่าสนใจนี้! ใช่ ๆ! เราต้องสร้างพลังใช่ไหม?

ตัวอย่างเช่น สมการที่น่ากลัวนี้:

ก่อนอื่นให้ดูที่ฐานราก พื้นฐานต่างกัน! และคราวนี้พวกเขาไม่ได้คล้ายกันจากระยะไกลด้วยซ้ำ! 5 และ 0.04... และเพื่อกำจัดฐาน จำเป็นต้องใช้ฐานเดียวกัน... จะทำอย่างไร?

ไม่เป็นไร! ในความเป็นจริงทุกอย่างเหมือนกันเพียงความเชื่อมโยงระหว่างห้ากับ 0.04 ที่มองเห็นได้ไม่ดี เราจะออกไปได้อย่างไร? และไปที่เศษส่วนปกติในหมายเลข 0.04 กันเถอะ! และที่นั่นคุณเห็นทุกอย่างถูกสร้างขึ้น)

0,04 = 4/100 = 1/25

ว้าว! ปรากฎว่า 0.04 คือ 1/25! ใครจะไปคิด!)

ดีอย่างไร? เดี๋ยวนี้ความเชื่อมโยงระหว่างเลข 5 กับ 1/25 ดูง่ายขึ้น? นั่นคือสิ่งที่มันเป็น ...

และตอนนี้ตามกฎการดำเนินการที่มีอำนาจด้วย ตัวบ่งชี้เชิงลบสามารถเขียนได้ด้วยมือที่มั่นคง:

เป็นสิ่งที่ดี. ดังนั้นเราจึงไปที่ฐานเดียวกัน - ห้า ตอนนี้เราแทนที่จำนวนที่ไม่สะดวก 0.04 ในสมการด้วย 5 -2 และรับ:

อีกครั้ง ตามกฎของการดำเนินการกับอำนาจ ตอนนี้เราสามารถเขียน:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

ในกรณีที่ฉันเตือน (ทันใดนั้นใครไม่รู้) ว่า กฎพื้นฐานการกระทำที่มีอำนาจนั้นถูกต้องสำหรับ ใดๆตัวชี้วัด! รวมถึงค่าลบด้วย) ดังนั้นอย่าลังเลที่จะใช้และคูณตัวบ่งชี้ (-2) และ (x-1) ตามกฎที่เกี่ยวข้อง สมการของเราดีขึ้นเรื่อยๆ:

ทั้งหมด! นอกจากห้าคนโดดเดี่ยวในองศาด้านซ้ายและขวาแล้วก็ไม่มีอะไรอื่น สมการจะลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติ จากนั้น - ไปตามทางที่เป็นรูปเป็นร่าง เราลบห้าและถือเอาตัวบ่งชี้:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

ตัวอย่างเกือบเสร็จแล้ว คณิตศาสตร์เบื้องต้นของชนชั้นกลางยังคงอยู่ - เราเปิด (ถูกต้อง!) วงเล็บและรวบรวมทุกอย่างทางด้านซ้าย:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

เราแก้ปัญหานี้และรับสองรูท:

x 1 = 1; x 2 = 3

แค่นั้นแหละ)

ทีนี้มาคิดกันใหม่ ในตัวอย่างนี้ เราต้องจำหมายเลขเดียวกันอีกครั้งในองศาที่แตกต่างกัน! กล่าวคือเพื่อดูห้าเข้ารหัสในหมายเลข 0.04 และครั้งนี้ใน ดีกรีติดลบ!เราทำได้อย่างไร กำลังเดินทาง - ไม่มีทาง แต่หลังจากเปลี่ยนจากเศษส่วนทศนิยม 0.04 เป็นเศษส่วนปกติของ 1/25 ทุกอย่างก็ถูกเน้น! และจากนั้นการตัดสินใจทั้งหมดก็ดำเนินไปเหมือนเครื่องจักร)

ดังนั้นคำแนะนำการปฏิบัติสีเขียวอีกข้อหนึ่ง

หากมีเศษส่วนทศนิยมในสมการเลขชี้กำลัง เราจะเปลี่ยนจากเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดา ใน เศษส่วนทั่วไปมันง่ายกว่ามากที่จะรับรู้พลังของตัวเลขยอดนิยมมากมาย! หลังจากการรู้จำ เราจะเปลี่ยนจากเศษส่วนไปเป็นเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ

จำไว้ว่ากลลวงในสมการเลขชี้กำลังนั้นเกิดขึ้นบ่อยมาก! และบุคคลนั้นไม่ได้อยู่ในหัวเรื่อง ตัวอย่างเช่น เขาดูที่เลข 32 และ 0.125 แล้วอารมณ์เสีย ไม่เป็นที่รู้จักสำหรับเขาว่าเป็นผีสางเดียวกันเฉพาะใน องศาที่แตกต่าง… แต่คุณอยู่ในหัวเรื่องแล้ว!)

แก้สมการ:

ใน! ดูเหมือนสยองขวัญเงียบ ๆ ... อย่างไรก็ตามรูปร่างหน้าตาหลอกลวง นี่เป็นสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด แม้ว่ามันจะน่ากลัวก็ตาม รูปร่าง. และตอนนี้ฉันจะแสดงให้คุณเห็น)

ขั้นแรก เราจัดการกับตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ในฐานและในค่าสัมประสิทธิ์ พวกมันแตกต่างกันอย่างเห็นได้ชัด ใช่ แต่เรายังคงเสี่ยงและพยายามสร้างมันขึ้นมา เหมือน! มาลองกันเลย จำนวนเดียวกันในองศาที่ต่างกัน. และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ มาเริ่มถอดรหัสกันเลย!

ทุกอย่างชัดเจนด้วยสี่พร้อมกัน - มันคือ 2 2 . ดังนั้นบางสิ่งบางอย่างแล้ว)

ด้วยเศษ 0.25 - ยังไม่ชัดเจน จำเป็นต้องตรวจสอบ เราใช้คำแนะนำที่ใช้ได้จริง - เปลี่ยนจากทศนิยมเป็นแบบธรรมดา:

0,25 = 25/100 = 1/4

ดีขึ้นมากแล้ว ตอนนี้เห็นชัดแล้วว่า 1/4 คือ 2 -2 เยี่ยมมาก และเลข 0.25 ก็คล้ายกับผีสางด้วย)

จนถึงตอนนี้ดีมาก แต่จำนวนที่เลวร้ายที่สุดยังคงอยู่ - สแควร์รูทของสอง!จะทำอย่างไรกับพริกนี้? สามารถแสดงเป็นยกกำลังสองได้หรือไม่? และใครจะรู้...

อีกครั้งที่เราปีนเข้าไปในคลังความรู้ของเราเกี่ยวกับองศา! ครั้งนี้เราเชื่อมโยงความรู้ของเราเพิ่มเติม เกี่ยวกับราก. จากหลักสูตรเกรด 9 คุณและฉันต้องอดทนว่ารากใด ๆ หากต้องการสามารถเปลี่ยนเป็นปริญญาได้เสมอ ด้วยเศษส่วน

แบบนี้:

ในกรณีของเรา:

ยังไง! ปรากฎว่ารากที่สองของสองคือ 2 1/2 แค่นั้นแหละ!

ไม่เป็นไร! ตัวเลขที่ไม่สบายใจทั้งหมดของเรากลายเป็นผีสางที่เข้ารหัส) ฉันไม่เถียงที่ไหนสักแห่งที่เข้ารหัสอย่างซับซ้อนมาก แต่เรายังเพิ่มความเป็นมืออาชีพในการแก้รหัสดังกล่าวด้วย! แล้วทุกอย่างชัดเจนอยู่แล้ว เราแทนที่เลข 4, 0.25 และรากของสองในสมการของเราด้วยกำลังสอง:

ทั้งหมด! ฐานของทุกองศาในตัวอย่างนั้นเหมือนกัน - สอง และตอนนี้มีการใช้การกระทำมาตรฐานที่มีองศา:

เช้าหนึ่ง = เช้า + น

ม:น = ม-น

(am) n = a mn

สำหรับด้านซ้าย คุณจะได้รับ:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

สำหรับด้านขวาจะเป็น:

และตอนนี้สมการที่ชั่วร้ายของเราเริ่มมีลักษณะดังนี้:

สำหรับผู้ที่ยังไม่ทราบว่าสมการนี้เป็นอย่างไร คำถามนี้ไม่เกี่ยวกับสมการเลขชี้กำลัง คำถามเกี่ยวกับการกระทำที่มีอำนาจ ขอย้ำคนมีปัญหาด่วน!

นี่คือเส้นชัย! ได้รับรูปแบบมาตรฐานของสมการเลขยกกำลัง! ดีอย่างไร? ฉันเชื่อคุณไหมว่ามันไม่น่ากลัวขนาดนั้น? ;) เราลบ deuces และถือเอาตัวบ่งชี้:

มันยังคงเป็นเพียงการแก้สมการเชิงเส้นนี้ ยังไง? ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงที่เหมือนกันแน่นอน) แก้สิ่งที่มีอยู่แล้ว! คูณทั้งสองส่วนด้วยสอง (เพื่อลบเศษส่วน 3/2) ย้ายเงื่อนไขที่มี Xs ไปทางซ้ายโดยไม่มี Xs ไปทางขวา นำค่าที่คล้ายกัน นับ - แล้วคุณจะมีความสุข!

ทุกอย่างควรออกมาสวยงาม:

X=4

ตอนนี้เรามาทบทวนการตัดสินใจกันใหม่ ในตัวอย่างนี้ เราได้รับการช่วยเหลือจากการเปลี่ยนจาก รากที่สอง ถึง องศาที่มีเลขชี้กำลัง 1/2. ยิ่งกว่านั้น มีเพียงการเปลี่ยนแปลงที่ฉลาดแกมโกงเท่านั้นที่ช่วยเราทุกที่ให้ไปถึงพื้นฐานเดียวกัน (ผีสาง) ซึ่งช่วยชีวิตสถานการณ์! และถ้าไม่ใช่เพื่อสิ่งนี้ เราก็มีโอกาสที่จะหยุดนิ่งตลอดไปและไม่เคยรับมือกับตัวอย่างนี้ ใช่ ...

ดังนั้นเราจึงไม่ละเลยคำแนะนำการปฏิบัติต่อไป:

หากมีรากในสมการเลขชี้กำลัง เราจะเปลี่ยนจากรากเป็นเลขยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน บ่อยครั้งที่มีเพียงการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเท่านั้นที่ชี้แจงสถานการณ์ต่อไป

แน่นอนว่าพลังลบและเศษส่วนนั้นยากกว่ามาก องศาธรรมชาติ. อย่างน้อยก็ในแง่ของการรับรู้ทางสายตาและโดยเฉพาะอย่างยิ่งการรับรู้จากขวาไปซ้าย!

เป็นที่ชัดเจนว่าการเพิ่มโดยตรง เช่น เลขสองยกกำลัง -3 หรือเลขสี่ยกกำลัง -3/2 ไม่เป็นเช่นนั้น ปัญหาใหญ่. เพื่อผู้รู้ครับ)

แต่ไปเช่นรู้ทันทีว่า

0,125 = 2 -3

หรือ

ที่นี่มีเพียงกฎการฝึกฝนและประสบการณ์มากมาย ใช่ และแน่นอนมุมมองที่ชัดเจน เลขชี้กำลังที่เป็นลบและเศษส่วนคืออะไรและ - คำแนะนำการปฏิบัติ! ใช่ใช่เหล่านั้น สีเขียว.) ฉันหวังว่าสิ่งเหล่านี้จะช่วยให้คุณนำทางได้ดีขึ้นในทุกองศาที่หลากหลายและเพิ่มโอกาสในการประสบความสำเร็จอย่างมาก! ดังนั้นอย่าละเลยพวกเขา ฉันไม่ได้ไร้ประโยชน์ เป็นสีเขียวฉันเขียนบางครั้ง)

ในทางกลับกัน หากคุณกลายเป็น "ตัวคุณ" แม้จะมีพลังที่แปลกใหม่ เช่น ลบและเศษส่วน ความเป็นไปได้ในการแก้สมการเลขชี้กำลังก็จะเพิ่มขึ้นอย่างมาก และคุณจะสามารถจัดการกับสมการเลขชี้กำลังได้เกือบทุกชนิดแล้ว ถ้าไม่มีก็ 80 เปอร์เซ็นต์ของสมการเลขชี้กำลังทั้งหมด - แน่นอน! ใช่ ฉันไม่ได้ล้อเล่น!

ดังนั้น ส่วนแรกของความคุ้นเคยกับสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลได้มาถึงข้อสรุปเชิงตรรกะแล้ว และในระหว่างการออกกำลังกาย ฉันมักจะแนะนำให้แก้ปัญหาเล็กน้อยด้วยตัวเอง)

แบบฝึกหัด 1.

เพื่อให้คำพูดของฉันเกี่ยวกับการถอดรหัสองศาลบและเศษส่วนไม่ไร้ประโยชน์ฉันขอเสนอเกมเล็ก ๆ น้อย ๆ !

แสดงตัวเลขเป็นยกกำลังสอง:

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย):

เกิดขึ้น? ยอดเยี่ยม! จากนั้นเราทำภารกิจต่อสู้ - เราแก้สมการเลขยกกำลังที่ง่ายและเรียบง่ายที่สุด!

ภารกิจที่ 2

แก้สมการ (คำตอบทั้งหมดยุ่งเหยิง!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

คำตอบ:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

เกิดขึ้น? แน่นอนง่ายกว่ามาก!

จากนั้นเราแก้เกมต่อไปนี้:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

คำตอบ:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

และตัวอย่างที่เหลือเหล่านี้? ยอดเยี่ยม! คุณกำลังเติบโต! ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างเพิ่มเติมสำหรับคุณที่จะทานเล่น:

คำตอบ:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

และตัดสินใจแล้วหรือยัง? ด้วยความเคารพ! ฉันถอดหมวกออก) ดังนั้นบทเรียนจึงไม่ไร้ประโยชน์และระดับเริ่มต้นของการแก้สมการเอ็กซ์โพเนนเชียลถือได้ว่าประสบความสำเร็จ ไปข้างหน้า - ระดับถัดไปและสมการที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น! และเทคนิควิธีการใหม่ๆ และตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐาน. และเซอร์ไพรส์ใหม่ๆ) ทั้งหมดนี้ - ในบทเรียนหน้า!

มีบางอย่างไม่ทำงานใช่ไหม ดังนั้นเป็นไปได้มากว่าปัญหาอยู่ใน. หรือใน. หรือทั้งสองอย่างพร้อมกัน นี่ฉันไร้เรี่ยวแรง ฉันสามารถเสนอสิ่งเดียวเท่านั้น - อย่าขี้เกียจและเดินเล่นตามลิงค์)

ยังมีต่อ.)