วิธีแก้สมการอย่างง่ายด้วยลอการิทึม การแก้สมการลอการิทึม - บทเรียนสุดท้าย

ความงาม

พีชคณิตเกรด 11

หัวข้อ: "วิธีการแก้สมการลอการิทึม"

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เกี่ยวกับการศึกษา: สร้างความรู้เรื่อง วิธีทางที่แตกต่างการแก้สมการลอการิทึมความสามารถในการนำไปใช้ในแต่ละสถานการณ์เฉพาะและเลือกวิธีใด ๆ ในการแก้;

กำลังพัฒนา: การพัฒนาทักษะการสังเกต เปรียบเทียบ ประยุกต์ใช้ความรู้ในสถานการณ์ใหม่ ระบุรูปแบบ อธิบายเป็นนัย การพัฒนาทักษะการควบคุมร่วมกันและการควบคุมตนเอง

เกี่ยวกับการศึกษา: การศึกษาทัศนคติที่รับผิดชอบต่องานด้านการศึกษาการรับรู้เนื้อหาในบทเรียนอย่างรอบคอบความถูกต้องของการเก็บบันทึก

ประเภทบทเรียน : บทเรียนการทำความคุ้นเคยกับเนื้อหาใหม่

"การประดิษฐ์ลอการิทึม โดยการทำให้งานของนักดาราศาสตร์สั้นลง ทำให้ชีวิตของเขายืนยาวขึ้น"
นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ป.ล. ลาปลาซ

ระหว่างเรียน

I. การกำหนดเป้าหมายของบทเรียน

นิยามของลอการิทึมที่ศึกษา คุณสมบัติของลอการิทึม และฟังก์ชันลอการิทึมจะช่วยให้เราแก้ สมการลอการิทึม. สมการลอการิทึมทั้งหมด ไม่ว่าจะซับซ้อนแค่ไหน ก็แก้ไขได้โดยใช้อัลกอริทึมเดียวกัน เราจะพิจารณาอัลกอริทึมเหล่านี้ในบทเรียนวันนี้ มีไม่กี่คน หากคุณเชี่ยวชาญสมการใด ๆ ที่มีลอการิทึมจะเป็นไปได้สำหรับคุณแต่ละคน

เขียนหัวข้อบทเรียนในสมุดบันทึกของคุณ: "วิธีการแก้สมการลอการิทึม" ผมขอเชิญชวนทุกคนให้ความร่วมมือ

ครั้งที่สอง การอัพเดทความรู้พื้นฐาน

เตรียมพร้อมที่จะศึกษาหัวข้อของบทเรียน คุณแก้ปัญหาแต่ละงานและเขียนคำตอบ คุณไม่สามารถเขียนเงื่อนไขได้ ทำงานเป็นคู่.

1) ฟังก์ชันนี้มีความหมายสำหรับค่าใดของ x:

ก)

ข)

วี)

จ)

(มีการตรวจสอบคำตอบสำหรับแต่ละสไลด์และแยกข้อผิดพลาดออก)

2) กราฟฟังก์ชันตรงกันหรือไม่?

ก) y = x และ

ข)และ

3) เขียนความเท่าเทียมกันใหม่เป็นความเท่าเทียมกันแบบลอการิทึม:

4) เขียนตัวเลขเป็นลอการิทึมที่มีฐาน 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) คำนวณ :

6) พยายามกู้คืนหรือเติมเต็มองค์ประกอบที่ขาดหายไปในความเท่าเทียมกันเหล่านี้

สาม. บทนำสู่เนื้อหาใหม่

ข้อความแสดงบนหน้าจอ:

"สมการคือกุญแจทองที่จะไขความลับทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด"
S. Koval นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์สมัยใหม่

ลองกำหนดนิยามของสมการลอการิทึม (สมการที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักภายใต้สัญลักษณ์ของลอการิทึม ).

พิจารณาสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด: บันทึก ก x = ข (โดยที่ a>0, a ≠ 1) เนื่องจากฟังก์ชันลอการิทึมเพิ่มขึ้น (หรือลดลง) ในชุด ตัวเลขที่เป็นบวกและรับค่าจริงทั้งหมด จากนั้นตามทฤษฎีบทรูท จะได้ว่าสำหรับ b ใดๆ สมการนี้มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวและคำตอบบวก

จำคำจำกัดความของลอการิทึม (ลอการิทึมของเลข x ยกกำลังฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยกฐาน a เพื่อให้ได้เลข x ). มันตามทันทีจากคำจำกัดความของลอการิทึมที่ก วี เป็นทางออกดังกล่าว

เขียนชื่อเรื่อง:วิธีการแก้สมการลอการิทึม

1. ตามนิยามของลอการิทึม .

นี่คือสมการที่ง่ายที่สุดของแบบฟอร์ม.

พิจารณาหมายเลข 514(ก ): แก้สมการ

คุณจะเสนอวิธีแก้ไขอย่างไร (ตามนิยามของลอการิทึม )

สารละลาย . ดังนั้น 2x - 4 = 4; x = 4.

คำตอบ: 4.

ในภารกิจนี้ 2x - 4 > 0 ตั้งแต่> 0 ดังนั้นจึงไม่มีรากภายนอกปรากฏขึ้น และการตรวจสอบไม่จำเป็น . เงื่อนไข 2x - 4 > 0 ในงานนี้ไม่จำเป็นต้องเขียนออกมา

2. ศักยภาพ (เปลี่ยนจากลอการิทึมของนิพจน์ที่กำหนดเป็นนิพจน์นี้เอง)

พิจารณาหมายเลข 519(ก): บันทึก 5 ( x 2 +8)- บันทึก 5 ( x+1)=3 บันทึก 5 2

คุณสังเกตเห็นคุณลักษณะใด(ฐานเท่ากันและลอการิทึมของทั้งสองนิพจน์เท่ากัน) . ทำอะไรได้บ้าง?(ศักยภาพ).

ในกรณีนี้ ควรพิจารณาว่าคำตอบใดๆ อยู่ใน x ทั้งหมดที่นิพจน์ลอการิทึมเป็นบวก

สารละลาย: ODZ:

เอ็กซ์ 2 +8>0 อสมการพิเศษ

บันทึก 5 ( x 2 +8) = บันทึก 5 2 3 + บันทึก 5 ( x+1)

บันทึก 5 ( x 2 +8)= บันทึก 5 (8 x+8)

ศักยภาพของสมการเดิม

x 2 +8= 8 x+8

เราได้สมการx 2 +8= 8 x+8

มาแก้ปัญหากันเถอะ:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

คำตอบ: 0; 8

โดยทั่วไปการเปลี่ยนไปสู่ระบบที่เทียบเท่า :

สมการ

(ระบบมีเงื่อนไขซ้ำซ้อน - หนึ่งในความไม่เท่าเทียมกันสามารถละเว้นได้)

คำถามถึงชั้นเรียน : คุณชอบโซลูชันใดในสามข้อนี้มากที่สุด (อภิปรายวิธีการ).

คุณมีสิทธิ์ที่จะตัดสินใจในทางใดทางหนึ่ง

3. การแนะนำตัวแปรใหม่ .

พิจารณาเบอร์ 520(ช) . .

คุณสังเกตเห็นอะไร (นี้ สมการกำลังสองเทียบกับ log3x) ข้อเสนอแนะของคุณ? (แนะนำตัวแปรใหม่)

สารละลาย . ODZ: x > 0

อนุญาตแล้วสมการจะอยู่ในรูปแบบ:. จำแนก D > 0 รากโดยทฤษฎีบทของ Vieta:.

กลับไปแทนที่:หรือ.

การแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด เราได้รับ:

; .

คำตอบ : 27;

4. ลอการิทึมของสมการทั้งสองข้าง

แก้สมการ:.

สารละลาย : ODZ: x>0 เราหาลอการิทึมของทั้งสองข้างของสมการในฐาน 10:

. ใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของระดับ:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

ให้ lgx = y แล้ว (y + 3)y = 4

, (D > 0) รากตามทฤษฎีบท Vieta: y1 = -4 และ y2 = 1

กลับไปที่การแทนที่ เราได้รับ: lgx = -4,; ล็อกเอ็กซ์ = 1,. . เป็นดังนี้: ถ้าหน้าที่อย่างใดอย่างหนึ่ง y = ฉ(x) เพิ่มขึ้นและอื่น ๆ y = ก(x) ลดลงในช่วง X จากนั้นสมการ ฉ(x)=ก(x) มีมากสุดหนึ่งรูทในช่วง X .

หากมีรากก็สามารถเดาได้ .

คำตอบ : 2

“สามารถเรียนรู้การประยุกต์ใช้วิธีการที่ถูกต้อง
โดยนำไปใช้กับตัวอย่างต่างๆเท่านั้น
นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเดนมาร์ก G. G. Zeiten

ฉัน โวลต์ การบ้าน

หน้า 39 พิจารณาตัวอย่างที่ 3 แก้ปัญหาหมายเลข 514 (b) หมายเลข 529 (b) หมายเลข 520 (b) หมายเลข 523 (b)

ก. สรุปบทเรียน

เราได้พิจารณาวิธีการใดในการแก้สมการลอการิทึมในบทเรียน

ในบทเรียนต่อไป เราจะดูสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น วิธีการที่ศึกษามีประโยชน์ในการแก้ปัญหา

กำลังแสดงสไลด์สุดท้าย:

“มีอะไรมากกว่าสิ่งใดในโลก?
ช่องว่าง.
ฉลาดที่สุดคืออะไร?
เวลา.
อะไรสนุกที่สุด?
บรรลุสิ่งที่คุณต้องการ "
ทาเลส

อยากให้ทุกคนสมหวังในสิ่งที่ต้องการ ขอขอบคุณสำหรับความร่วมมือและความเข้าใจของคุณ

ความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ระบุข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเมื่อใดก็ได้เมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างประเภทข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เราเก็บรวบรวม:

เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจเก็บรวบรวมข้อมูลต่างๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและข้อความสำคัญถึงคุณ
เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น ดำเนินการตรวจสอบ วิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณแก่บุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

หากจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอของประชาชนหรือคำขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ นอกจากนี้ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์เพื่อผลประโยชน์สาธารณะอื่นๆ
ในกรณีของการปรับองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมถึงการดูแลระบบ ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด ตลอดจนการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจึงสื่อสารหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยแก่พนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

วิดีโอสุดท้ายของชุดบทเรียนเกี่ยวกับการแก้สมการลอการิทึม ครั้งนี้เราจะทำงานกับลอการิทึม ODZ เป็นหลัก - เป็นเพราะการบัญชีที่ไม่ถูกต้อง (หรือแม้แต่การเพิกเฉย) ของขอบเขตของคำจำกัดความที่ข้อผิดพลาดส่วนใหญ่เกิดขึ้นเมื่อแก้ปัญหาดังกล่าว

ในวิดีโอบทช่วยสอนสั้นๆ นี้ เราจะวิเคราะห์การประยุกต์ใช้สูตรการบวกและการลบสำหรับลอการิทึม ตลอดจนจัดการกับสมการตรรกยะเศษส่วน ซึ่งนักเรียนหลายคนก็มีปัญหาเช่นกัน

จะคุยอะไรกัน? สูตรหลักที่ฉันต้องการจัดการมีลักษณะดังนี้:

ล็อก a (f g ) = ล็อก a f + ล็อก a g

นี่คือการเปลี่ยนมาตรฐานจากผลคูณเป็นผลรวมของลอการิทึมและในทางกลับกัน คุณอาจรู้จักสูตรนี้ตั้งแต่เริ่มศึกษาลอการิทึม อย่างไรก็ตามมีข้อผูกปมหนึ่งข้อที่นี่

ตราบใดที่ตัวแปร a , f และ g เป็นตัวเลขธรรมดา ก็ไม่มีปัญหา สูตรนี้ใช้งานได้ดี

อย่างไรก็ตาม ทันทีที่ฟังก์ชันปรากฏขึ้นแทน f และ g ปัญหาของการขยายหรือทำให้ขอบเขตของคำจำกัดความแคบลงก็เกิดขึ้น ขึ้นอยู่กับว่าจะแปลงด้วยวิธีใด ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ในลอการิทึมที่เขียนทางด้านซ้าย โดเมนของคำนิยามจะเป็นดังนี้:

fg > 0

แต่ในผลรวมที่เขียนไว้ทางด้านขวา ขอบเขตของคำนิยามนั้นแตกต่างออกไปบ้างแล้ว:

ฉ > 0

กรัม > 0

ข้อกำหนดชุดนี้มีความเข้มงวดมากกว่าชุดเดิม ในกรณีแรกเราจะพอใจกับตัวเลือก f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >กำลังดำเนินการ 0)

ดังนั้น เมื่อเคลื่อนจากโครงสร้างด้านซ้ายไปยังด้านขวา ขอบเขตของคำจำกัดความจะแคบลง หากในตอนแรกเรามีผลรวม และเราเขียนใหม่เป็นผลคูณ โดเมนของคำจำกัดความก็จะขยายออกไป

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในกรณีแรก เราอาจสูญเสียราก และในประการที่สอง เราอาจได้รากเพิ่มมา สิ่งนี้จะต้องนำมาพิจารณาเมื่อแก้สมการลอการิทึมจริง

ดังนั้นภารกิจแรกคือ:

[คำบรรยายภาพ]

ทางด้านซ้ายเราจะเห็นผลรวมของลอการิทึมในฐานเดียวกัน ดังนั้นจึงสามารถเพิ่มลอการิทึมเหล่านี้ได้:

[คำบรรยายภาพ]

อย่างที่คุณเห็น ทางด้านขวาเราได้แทนที่ศูนย์ด้วยสูตร:

a = บันทึก b b a

มาจัดเรียงสมการของเราใหม่อีกเล็กน้อย:

ล็อก 4 (x − 5) 2 = ล็อก 4 1

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบมาตรฐานของสมการลอการิทึม เราสามารถขีดฆ่าเครื่องหมายล็อกและจัดลำดับอาร์กิวเมนต์:

(x − 5) 2 = 1

|x−5| = 1

ให้ความสนใจ: โมดูลมาจากไหน ฉันขอเตือนคุณว่ารากของกำลังสองที่แน่นอนนั้นเท่ากับโมดูลัสทุกประการ:

[คำบรรยายภาพ]

จากนั้นเราแก้สมการคลาสสิกด้วยโมดูลัส:

|ฉ| = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒ x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

นี่คือผู้สมัครสองคนสำหรับคำตอบ เป็นคำตอบของสมการลอการิทึมดั้งเดิมหรือไม่ ไม่มีทาง!

เราไม่มีสิทธิ์ทิ้งทุกอย่างไว้อย่างนั้นแล้วเขียนคำตอบลงไป ลองดูขั้นตอนที่เราแทนที่ผลรวมของลอการิทึมด้วยหนึ่งลอการิทึมของผลคูณของอาร์กิวเมนต์ ปัญหาคือในนิพจน์ดั้งเดิมเรามีฟังก์ชัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้อง:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0

เมื่อเราแปลงร่างผลิตภัณฑ์ เพื่อให้ได้กำลังสองที่แน่นอน ข้อกำหนดก็เปลี่ยนไป:

(x − 5) 2 > 0

ข้อกำหนดนี้เป็นไปตามข้อกำหนดเมื่อใด ใช่ เกือบทุกครั้ง! ยกเว้นกรณีที่ x − 5 = 0 นั่นคือ ความเหลื่อมล้ำจะลดลงเหลือจุดเดียว:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

อย่างที่คุณเห็น มีการขยายขอบเขตของคำจำกัดความซึ่งเราได้พูดถึงในตอนต้นของบทเรียน ดังนั้นรากพิเศษอาจปรากฏขึ้น

จะป้องกันการเกิดรากพิเศษเหล่านี้ได้อย่างไร? มันง่ายมาก: เราดูรากที่ได้มาและเปรียบเทียบกับโดเมนของสมการเดิม ลองนับ:

x (x − 5) > 0

เราจะแก้ปัญหาโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

เราทำเครื่องหมายหมายเลขที่ได้รับเป็นเส้นตรง เจาะทุกจุดเพราะอสมการเข้มงวด เรารับจำนวนใด ๆ ที่มากกว่า 5 และแทนที่:

[คำบรรยายภาพ]

เราสนใจช่วงเวลา (−∞; 0) ∪ (5; ∞) ถ้าเราทำเครื่องหมายรากของเราในส่วน เราจะเห็นว่า x = 4 ไม่เหมาะกับเรา เนื่องจากรากนี้อยู่นอกโดเมนของสมการลอการิทึมดั้งเดิม

เรากลับไปที่ประชากร ขีดฆ่ารูต x \u003d 4 แล้วเขียนคำตอบ: x \u003d 6 นี่คือคำตอบสุดท้ายของสมการลอการิทึมดั้งเดิม ทุกอย่างแก้ไขได้

เราผ่านไปยังสมการลอการิทึมที่สอง:

[คำบรรยายภาพ]

เราแก้ปัญหาได้ โปรดทราบว่าเทอมแรกเป็นเศษส่วน และเทอมที่สองเป็นเศษส่วนเดียวกันแต่กลับด้าน อย่ากลัวนิพจน์ lgx - มันเป็นเพียงลอการิทึมฐาน 10 เราสามารถเขียน:

lgx = บันทึก 10 x

เนื่องจากเรามีเศษส่วนกลับด้านสองส่วน ฉันจึงเสนอที่จะแนะนำตัวแปรใหม่:

[คำบรรยายภาพ]

ดังนั้นสมการของเราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

เสื้อ + 1/เสื้อ = 2;

เสื้อ + 1/เสื้อ − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(เสื้อ − 1) 2 /เสื้อ = 0.

อย่างที่คุณเห็น ตัวเศษของเศษส่วนคือกำลังสองที่แน่นอน เศษส่วนเป็นศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์:

(เสื้อ − 1) 2 = 0; เสื้อ ≠ 0

เราแก้สมการแรก:

เสื้อ − 1 = 0;

เสื้อ = 1.

ค่านี้เป็นไปตามข้อกำหนดที่สอง ดังนั้นจึงเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าเราได้แก้สมการของเราอย่างสมบูรณ์แล้ว แต่เฉพาะในส่วนที่เกี่ยวกับตัวแปร t . ทีนี้มาจำไว้ว่า t คืออะไร:

[คำบรรยายภาพ]

เราได้อัตราส่วน:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx − lgx = −1

ล็อกเอ็กซ์ = −1

เรานำสมการนี้ รูปแบบบัญญัติ:

lgx = lg 10 −1

x = 10 −1 = 0.1

เป็นผลให้เราได้รากเดียวซึ่งตามทฤษฎีแล้วคือคำตอบของสมการดั้งเดิม อย่างไรก็ตาม เรายังคงปลอดภัยและเขียนโดเมนของสมการเดิม:

[คำบรรยายภาพ]

ดังนั้นรากของเราจึงเป็นไปตามข้อกำหนดทั้งหมด เราพบคำตอบของสมการลอการิทึมเดิมแล้ว คำตอบ: x = 0.1 แก้ไขปัญหา.

บทเรียนวันนี้มีประเด็นสำคัญเพียงประเด็นเดียว: เมื่อใช้สูตรสำหรับการเปลี่ยนจากผลคูณเป็นผลรวมและในทางกลับกัน โปรดจำไว้ว่าโดเมนของคำจำกัดความสามารถจำกัดหรือขยายได้ขึ้นอยู่กับทิศทางของการเปลี่ยนแปลง

จะเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นได้อย่างไร: การหดตัวหรือการขยายตัว? ง่ายมาก. หากก่อนหน้านี้ฟังก์ชั่นอยู่ด้วยกันและตอนนี้พวกมันแยกกันแล้วขอบเขตของคำจำกัดความก็จะแคบลง (เพราะมีข้อกำหนดมากขึ้น) หากในตอนแรกฟังก์ชันแยกจากกัน และตอนนี้รวมเข้าด้วยกันแล้ว โดเมนของคำจำกัดความก็ขยายออกไป (มีข้อกำหนดน้อยกว่าสำหรับผลิตภัณฑ์มากกว่าปัจจัยแต่ละอย่าง)

ในมุมมองของคำพูดนี้ ฉันต้องการทราบว่าสมการลอการิทึมที่สองไม่ต้องการการแปลงเหล่านี้เลย นั่นคือ เราไม่ได้เพิ่มหรือคูณอาร์กิวเมนต์ที่ใดก็ได้ อย่างไรก็ตาม ที่นี่ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่เคล็ดลับที่ยอดเยี่ยมอีกอย่างที่ช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้ง่ายขึ้นอย่างมาก มันเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงตัวแปร

อย่างไรก็ตาม โปรดจำไว้ว่าไม่มีการเปลี่ยนตัวใดไม่ได้ทำให้เราเป็นอิสระจากขอบเขต นั่นคือเหตุผลที่หลังจากพบรากทั้งหมดแล้ว เราไม่ขี้เกียจเกินไปและกลับไปที่สมการเดิมเพื่อหา ODZ ของมัน

บ่อยครั้งเมื่อเปลี่ยนตัวแปร ข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญเกิดขึ้นเมื่อนักเรียนพบค่าของ t และคิดว่าคำตอบจบลงแล้ว ไม่มีทาง!

เมื่อคุณพบค่าของ t คุณต้องกลับไปที่สมการเดิมและดูว่าตัวอักษรนี้แทนค่าอะไร เป็นผลให้เราต้องแก้สมการอีกหนึ่งสมการซึ่งจะง่ายกว่าสมการเดิมมาก

นี่คือจุดแนะนำของตัวแปรใหม่ เราแยกสมการดั้งเดิมออกเป็นสองสมการกลาง ซึ่งแต่ละสมการจะแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก

วิธีแก้สมการลอการิทึม "ซ้อน"

วันนี้เรายังคงศึกษาสมการลอการิทึมและวิเคราะห์โครงสร้างเมื่อลอการิทึมหนึ่งอยู่ภายใต้สัญลักษณ์ของลอการิทึมอื่น เราจะแก้สมการทั้งสองโดยใช้รูปแบบบัญญัติ

วันนี้เรายังคงศึกษาสมการลอการิทึมและวิเคราะห์โครงสร้างเมื่อลอการิทึมหนึ่งอยู่ภายใต้เครื่องหมายของอีกอันหนึ่ง เราจะแก้สมการทั้งสองโดยใช้รูปแบบบัญญัติ ฉันขอเตือนคุณว่าถ้าเรามีสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดของแบบฟอร์ม log a f (x) \u003d b เราจะทำตามขั้นตอนต่อไปนี้เพื่อแก้สมการดังกล่าว ก่อนอื่นเราต้องเปลี่ยนหมายเลข b :

b = บันทึก a b

โปรดทราบว่า a b เป็นอาร์กิวเมนต์ ในสมการเดิม อาร์กิวเมนต์คือฟังก์ชัน f(x) จากนั้นเราเขียนสมการใหม่และได้โครงสร้างนี้:

ล็อก a f(x) = ล็อก a a b

หลังจากนั้น เราสามารถดำเนินการขั้นตอนที่สาม - กำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมและเขียน:

ฉ(x) = ก ข

เป็นผลให้เราได้สมการใหม่ ในกรณีนี้ ไม่มีการกำหนดข้อจำกัดในฟังก์ชัน f(x) ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันลอการิทึมสามารถแทนที่ได้ จากนั้นเราก็ได้สมการลอการิทึมอีกครั้ง ซึ่งเราจะลดขนาดลงเป็นสมการที่ง่ายที่สุดอีกครั้งและแก้ผ่านรูปแบบบัญญัติ

แต่พอเนื้อเพลง. มาแก้ปัญหาที่แท้จริงกันเถอะ ดังนั้นภารกิจที่ 1:

บันทึก 2 (1 + 3 บันทึก 2 x ) = 2

อย่างที่คุณเห็น เรามีสมการลอการิทึมง่ายๆ บทบาทของ f (x) คือการสร้าง 1 + 3 log 2 x และเลข b คือเลข 2 (บทบาทของ a คือ 2 ด้วย) ลองเขียนสองตัวนี้ใหม่ดังนี้:

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าผีสางสองตัวแรกมาหาเราจากฐานของลอการิทึม นั่นคือหากมี 5 ในสมการดั้งเดิม เราก็จะได้ 2 = log 5 5 2 โดยทั่วไปแล้ว ฐานจะขึ้นอยู่กับลอการิทึมเท่านั้น ซึ่งให้ไว้ในโจทย์ และในกรณีของเรา เลขนี้คือ 2

ดังนั้นเราจึงเขียนสมการลอการิทึมใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าสมการทั้งสองทางด้านขวานั้นเป็นลอการิทึมด้วย เราได้รับ:

บันทึก 2 (1 + 3 บันทึก 2 x ) = บันทึก 2 4

เราผ่านไปยังขั้นตอนสุดท้ายของโครงการ - เรากำจัดรูปแบบบัญญัติ เราสามารถพูดได้เพียงแค่ขีดฆ่าสัญญาณของบันทึก อย่างไรก็ตาม จากมุมมองของคณิตศาสตร์ เป็นไปไม่ได้ที่จะ "ขีดฆ่าบันทึก" - ถูกต้องกว่าที่จะบอกว่าเราเพียงแค่ถือเอาอาร์กิวเมนต์:

1 + 3 บันทึก 2 x = 4

จากที่นี่ ง่ายต่อการค้นหา 3 log 2 x :

3 บันทึก 2 x = 3

บันทึก 2 x = 1

เราได้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมาอีกแล้ว ลองนำมันกลับไปสู่รูปแบบบัญญัติ ในการทำเช่นนี้ เราต้องทำการเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้:

1 = บันทึก 2 2 1 = บันทึก 2 2

ทำไมมีผีสางที่ฐาน? เนื่องจากในสมการบัญญัติทางด้านซ้ายของเราคือลอการิทึมที่แม่นยำในฐาน 2 เราเขียนปัญหาใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้:

ล็อก 2 x = ล็อก 2 2

อีกครั้ง เรากำจัดเครื่องหมายของลอการิทึม นั่นคือ เราแค่ถือเอาอาร์กิวเมนต์ เรามีสิทธิ์ที่จะทำเช่นนี้เพราะฐานเหมือนกันและไม่มีการดำเนินการเพิ่มเติมไม่ว่าจะทางขวาหรือทางซ้าย:

นั่นคือทั้งหมด! แก้ไขปัญหา. เราพบคำตอบของสมการลอการิทึมแล้ว

บันทึก! แม้ว่าตัวแปร x จะอยู่ในอาร์กิวเมนต์ (นั่นคือ มีข้อกำหนดสำหรับโดเมนของคำนิยาม) เราจะไม่กำหนดข้อกำหนดเพิ่มเติมใดๆ

ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้น การตรวจสอบนี้จะซ้ำซ้อนหากตัวแปรเกิดขึ้นในอาร์กิวเมนต์เดียวของลอการิทึมเดียวเท่านั้น ในกรณีของเรา x อยู่ในอาร์กิวเมนต์เท่านั้นและอยู่ภายใต้เครื่องหมายล็อกเดียวเท่านั้น ดังนั้นจึงไม่ต้องตรวจเพิ่มเติม

อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่เชื่อถือวิธีนี้ คุณสามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ ว่า x = 2 เป็นรูทจริง แทนตัวเลขนี้ลงในสมการเดิมก็เพียงพอแล้ว

ไปที่สมการที่สองกันดีกว่า:

ล็อก 2 (ล็อก 1/2 (2x − 1) + ล็อก 2 4) = 1

ถ้าเราแสดงนิพจน์ภายในลอการิทึมขนาดใหญ่ด้วยฟังก์ชัน f (x) เราจะได้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดซึ่งเราเริ่มบทเรียนวิดีโอของวันนี้ ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะใช้รูปแบบบัญญัติซึ่งจำเป็นต้องแสดงหน่วยในแบบฟอร์ม บันทึก 2 2 1 = บันทึก 2 2

เขียนสมการใหญ่ของเราใหม่:

บันทึก 2 (บันทึก 1/2 (2x − 1) + บันทึก 2 4) = บันทึก 2 2

เรากำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมโดยเทียบเคียงกับอาร์กิวเมนต์ เรามีสิทธิ์ทำได้เพราะฐานด้านซ้ายและด้านขวาเหมือนกัน นอกจากนี้ โปรดทราบว่าล็อก 2 4 = 2:

บันทึก 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

บันทึก 1/2 (2x − 1) = 0

ก่อนหน้าเราอีกครั้งคือสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดของแบบฟอร์ม log a f (x) \u003d b เราส่งผ่านไปยังรูปแบบบัญญัติ เช่น เราแสดงศูนย์ในแบบฟอร์ม บันทึก 1/2 (1/2)0 = บันทึก 1/2 1

เราเขียนสมการของเราใหม่และกำจัดเครื่องหมายบันทึกโดยสมการอาร์กิวเมนต์:

ล็อก 1/2 (2x − 1) = ล็อก 1/2 1

2x − 1 = 1

อีกครั้งที่เราได้รับการตอบกลับทันที ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเพิ่มเติม เนื่องจากในสมการเดิม มีเพียงลอการิทึมเดียวเท่านั้นที่มีฟังก์ชันในอาร์กิวเมนต์

ดังนั้นจึงไม่ต้องตรวจเพิ่มเติม เราสามารถพูดได้อย่างปลอดภัยว่า x = 1 เป็นรากเดียวของสมการนี้

แต่ถ้าในลอการิทึมที่สองแทนที่จะเป็นสี่ จะมีฟังก์ชันของ x อยู่ (หรือ 2x จะไม่อยู่ในอาร์กิวเมนต์ แต่อยู่ในฐาน) ก็จำเป็นต้องตรวจสอบโดเมนของนิยาม มิฉะนั้นมีโอกาสสูงที่จะได้รูทพิเศษ

รากพิเศษเหล่านี้มาจากไหน? ประเด็นนี้ต้องทำความเข้าใจให้ชัดเจน ดูสมการดั้งเดิม: ทุกที่ที่ฟังก์ชัน x อยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึม ดังนั้น เนื่องจากเราได้เขียนบันทึก 2 x เราจึงตั้งค่าข้อกำหนด x > 0 โดยอัตโนมัติ มิฉะนั้น บันทึกนี้ก็ไม่สมเหตุสมผล

อย่างไรก็ตาม เมื่อเราแก้สมการลอการิทึม เราจะกำจัดสัญญาณของล็อกทั้งหมดและได้โครงสร้างอย่างง่าย ที่นี่ไม่มีการกำหนดข้อจำกัดใดๆ ไว้แล้ว เนื่องจากฟังก์ชันเชิงเส้นถูกกำหนดให้มีค่าใดๆ ของ x

ปัญหานี้ก็คือ เมื่อฟังก์ชันสุดท้ายถูกกำหนดทุกที่และทุกเวลา และฟังก์ชันเริ่มต้นไม่ได้หมายความว่าทุกที่และไม่เสมอไป นั่นคือเหตุผลว่าทำไมรากพิเศษจึงมักปรากฏในคำตอบของสมการลอการิทึม

แต่ฉันขอย้ำอีกครั้ง: สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเฉพาะในสถานการณ์ที่ฟังก์ชันอยู่ในลอการิทึมหลายตัวหรือที่ฐานของหนึ่งในนั้น ในปัญหาที่เรากำลังพิจารณาอยู่ในปัจจุบัน ไม่มีปัญหาในหลักการเกี่ยวกับการขยายขอบเขตของคำนิยาม

กรณีที่มีเหตุต่างกัน

บทเรียนนี้มีไว้สำหรับ โครงสร้างที่ซับซ้อน. ลอการิทึมในสมการปัจจุบันจะไม่ถูกแก้เป็น "ค่าว่าง" อีกต่อไป ขั้นแรก คุณต้องทำการแปลง

เราเริ่มแก้สมการลอการิทึมที่มีฐานต่างกันโดยสิ้นเชิง ซึ่งไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของกันและกัน อย่ากลัวงานดังกล่าว - งานเหล่านี้ไม่ได้ยากไปกว่าการแก้ปัญหาส่วนใหญ่ การออกแบบที่เรียบง่ายซึ่งเราได้กล่าวถึงข้างต้น

แต่ก่อนที่จะดำเนินการกับปัญหาโดยตรง ผมขอเตือนคุณเกี่ยวกับสูตรสำหรับการแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดโดยใช้รูปแบบมาตรฐาน พิจารณาปัญหาดังนี้:

บันทึก a f(x) = b

สิ่งสำคัญคือฟังก์ชัน f (x) เป็นเพียงฟังก์ชัน และตัวเลข a และ b ควรเป็นตัวเลขทั้งหมด (ไม่มีตัวแปร x) แน่นอนว่าในไม่กี่นาทีเราจะพิจารณากรณีดังกล่าวเมื่อมีฟังก์ชันแทนตัวแปร a และ b แต่ตอนนี้ไม่เกี่ยวกับเรื่องนั้น

ดังที่เราจำได้ หมายเลข b จะต้องถูกแทนที่ด้วยลอการิทึมในฐานเดียวกัน ซึ่งอยู่ทางด้านซ้าย สิ่งนี้ทำได้ง่ายมาก:

b = บันทึก a b

แน่นอนว่าคำว่า "จำนวนใด ๆ b" และ "จำนวนใด ๆ a" หมายถึงค่าดังกล่าวที่ตรงตามขอบเขตของคำจำกัดความ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการนี้เกี่ยวข้องกับฐาน a > 0 และ a ≠ 1 เท่านั้น

อย่างไรก็ตาม เป็นไปตามข้อกำหนดนี้โดยอัตโนมัติ เนื่องจากปัญหาดั้งเดิมมีลอการิทึมของฐาน a อยู่แล้ว - มันจะมากกว่า 0 และไม่เท่ากับ 1 อย่างแน่นอน ดังนั้นเราจึงดำเนินการแก้สมการลอการิทึมต่อไป:

ล็อก a f(x) = ล็อก a a b

สัญกรณ์ดังกล่าวเรียกว่ารูปแบบบัญญัติ ความสะดวกคือเราสามารถกำจัดเครื่องหมายบันทึกได้ทันทีโดยการเทียบเคียงอาร์กิวเมนต์:

ฉ(x) = ก ข

เป็นเทคนิคที่เราจะใช้ในการแก้สมการลอการิทึมด้วยฐานตัวแปร งั้นไปกัน!

บันทึก 2 (x 2 + 4x + 11) = บันทึก 0.5 0.125

อะไรต่อไป? ตอนนี้มีคนบอกว่าคุณต้องคำนวณลอการิทึมที่ถูกต้องหรือลดให้เป็นฐานเดียวหรืออย่างอื่น และตอนนี้คุณต้องนำฐานทั้งสองมาในรูปแบบเดียวกัน - 2 หรือ 0.5 แต่มาเรียนรู้กฎต่อไปนี้กันเถอะ:

ถ้ามีสมการลอการิทึม ทศนิยมอย่าลืมแปลงเศษส่วนเหล่านี้จากทศนิยมเป็นสามัญ การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวสามารถทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก

การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวจะต้องดำเนินการในทันที แม้กระทั่งก่อนที่จะมีการดำเนินการและการแปลงใดๆ มาดูกัน:

บันทึก 2 (x 2 + 4x + 11) = บันทึก 1/2 1/8

บันทึกดังกล่าวให้อะไรเราบ้าง? เราสามารถแสดง 1/2 และ 1/8 เป็นเลขชี้กำลังลบได้:

[คำบรรยายภาพ]

เรามีแบบฟอร์มบัญญัติ เทียบอาร์กิวเมนต์และรับสมการกำลังสองแบบคลาสสิก:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

ก่อนหน้าเราคือสมการกำลังสองที่กำหนด ซึ่งแก้ได้ง่ายๆ โดยใช้สูตร Vieta คุณควรเห็นการคำนวณที่คล้ายกันในโรงเรียนมัธยมด้วยปากเปล่า:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

นั่นคือทั้งหมด! แก้สมการลอการิทึมเดิม เรามีสองราก

ฉันขอเตือนคุณว่าในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องกำหนดขอบเขต เนื่องจากฟังก์ชันที่มีตัวแปร x อยู่ในอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้น ดังนั้นขอบเขตจะดำเนินการโดยอัตโนมัติ

แก้สมการแรกได้แล้ว ไปที่อันที่สองกันเถอะ:

บันทึก 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = บันทึก 3 1/9

ล็อก 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = ล็อก 3 9 −1

และตอนนี้โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมตัวแรกสามารถเขียนเป็นเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบได้เช่นกัน: 1/2 = 2 −1 จากนั้นคุณสามารถดึงพลังทั้งสองข้างของสมการออกมาแล้วหารทุกอย่างด้วย −1:

[คำบรรยายภาพ]

และตอนนี้เราได้ทำขั้นตอนที่สำคัญมากในการแก้สมการลอการิทึมเรียบร้อยแล้ว อาจมีบางคนไม่ได้สังเกตอะไรบางอย่าง ดังนั้นให้ฉันอธิบาย

ลองดูที่สมการของเรา: ล็อกอยู่ทางซ้ายและขวา แต่ลอการิทึมฐาน 2 อยู่ทางซ้าย และลอการิทึมฐาน 3 อยู่ทางขวา องศา

ดังนั้น สิ่งเหล่านี้คือลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน ซึ่งไม่ได้ลดลงซึ่งกันและกันโดยการยกกำลังอย่างง่าย วิธีเดียวที่จะแก้ปัญหาดังกล่าวคือการกำจัดหนึ่งในลอการิทึมเหล่านี้ ในกรณีนี้ เนื่องจากเรายังคงพิจารณาปัญหาที่ค่อนข้างง่าย ลอการิทึมทางด้านขวาจึงถูกคำนวณอย่างง่ายๆ และเราได้สมการที่ง่ายที่สุด - ตรงกับที่เราพูดถึงในตอนต้นของบทเรียนวันนี้

ลองแทนเลข 2 ซึ่งอยู่ทางขวาเป็น log 2 2 2 = log 2 4 จากนั้นกำจัดเครื่องหมายของลอการิทึม หลังจากนั้นเราจะเหลือแค่สมการกำลังสอง:

ล็อก 2 (5x 2 + 9x + 2) = ล็อก 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x − 2 = 0

ก่อนหน้าเราคือสมการกำลังสองตามปกติ แต่จะไม่ลดลงเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ที่ x 2 แตกต่างจากเอกภาพ ดังนั้นเราจะแก้ปัญหาโดยใช้การเลือกปฏิบัติ:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 \u003d (−9 - 11) / 10 \u003d -2

นั่นคือทั้งหมด! เราพบรากทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าเราได้คำตอบของสมการลอการิทึมเดิม แท้จริงแล้ว ในปัญหาเดิม ฟังก์ชันที่มีตัวแปร x มีอยู่ในอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้น ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีการตรวจสอบเพิ่มเติมเกี่ยวกับโดเมนของคำจำกัดความ - รากทั้งสองที่เราพบว่าตรงตามข้อจำกัดที่เป็นไปได้ทั้งหมดอย่างแน่นอน

นี่อาจเป็นจุดสิ้นสุดของวิดีโอการสอนของวันนี้ แต่โดยสรุปแล้ว ฉันอยากจะพูดอีกครั้ง: อย่าลืมแปลงเศษส่วนทศนิยมทั้งหมดเป็นเศษส่วนทั่วไปเมื่อแก้สมการลอการิทึม ในกรณีส่วนใหญ่ การดำเนินการนี้จะทำให้การแก้ปัญหาของพวกเขาง่ายขึ้นอย่างมาก

ไม่ค่อยมีปัญหาในการกำจัดเศษส่วนทศนิยมทำให้การคำนวณซับซ้อนขึ้นเท่านั้น อย่างไรก็ตามตามกฎแล้วในสมการดังกล่าวเป็นที่ชัดเจนว่าไม่จำเป็นต้องกำจัดเศษส่วนทศนิยม

ในกรณีอื่นๆ ส่วนใหญ่ (โดยเฉพาะถ้าคุณเพิ่งเริ่มฝึกฝนการแก้สมการลอการิทึม) อย่าลังเลที่จะกำจัดเศษส่วนทศนิยมและแปลงเป็นเศษส่วนทั่วไป เนื่องจากการฝึกฝนแสดงให้เห็นว่าด้วยวิธีนี้คุณจะทำให้การแก้ปัญหาและการคำนวณที่ตามมาง่ายขึ้นอย่างมาก

รายละเอียดปลีกย่อยและเคล็ดลับของการแก้ปัญหา

วันนี้เรากำลังเข้าสู่ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นและจะแก้สมการลอการิทึมซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลข แต่ขึ้นอยู่กับฟังก์ชัน

และแม้ว่าฟังก์ชันนี้จะเป็นแบบเชิงเส้น การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยจะต้องทำกับโครงร่างการแก้ปัญหา ซึ่งความหมายดังกล่าวจะครอบคลุมถึงข้อกำหนดเพิ่มเติมที่กำหนดไว้ในขอบเขตของนิยามของลอการิทึม

งานที่ยาก

บทเรียนนี้จะค่อนข้างยาว ในนั้นเราจะวิเคราะห์สมการลอการิทึมที่ค่อนข้างจริงจังสองสมการซึ่งนักเรียนหลายคนทำผิดพลาด ในระหว่างการฝึกฝนเป็นติวเตอร์วิชาคณิตศาสตร์ ฉันพบข้อผิดพลาดสองประเภทอย่างต่อเนื่อง:

การปรากฏตัวของรากพิเศษเนื่องจากการขยายขอบเขตของคำจำกัดความของลอการิทึม เพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดที่ไม่เหมาะสม เพียงแค่จับตาดูการเปลี่ยนแปลงแต่ละครั้งอย่างใกล้ชิด
การสูญเสียรากเนื่องจากนักเรียนลืมที่จะพิจารณาบางกรณีที่ "ละเอียดอ่อน" - ในสถานการณ์เช่นนี้เราจะมุ่งเน้นในวันนี้

นี่เป็นบทเรียนสุดท้ายเกี่ยวกับสมการลอการิทึม มันจะยาว เราจะวิเคราะห์สมการลอการิทึมที่ซับซ้อน ทำตัวตามสบาย ชงชาให้ตัวเอง แล้วเราจะเริ่มกัน

สมการแรกดูค่อนข้างมาตรฐาน:

บันทึก x + 1 (x - 0.5) = บันทึก x - 0.5 (x + 1)

เราทราบทันทีว่าลอการิทึมทั้งสองกลับสำเนาของกันและกัน จำสูตรที่ยอดเยี่ยม:

ล็อก a b = 1/ล็อก b a

อย่างไรก็ตาม สูตรนี้มีข้อจำกัดหลายประการที่หากแทนตัวเลข a และ b มีฟังก์ชันของตัวแปร x:

ข > 0

1 ≠ ก > 0

ข้อกำหนดเหล่านี้กำหนดไว้บนฐานของลอการิทึม ในทางกลับกัน ในเศษส่วน เราจำเป็นต้องมี 1 ≠ a > 0 เนื่องจากไม่เพียงแต่ตัวแปร a ในอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม (ดังนั้น a > 0) แต่ลอการิทึมเองก็อยู่ในตัวส่วนของ เศษส่วน แต่ล็อก b 1 = 0 และตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น a ≠ 1

ดังนั้น ข้อจำกัดของตัวแปร a จะถูกรักษาไว้ แต่เกิดอะไรขึ้นกับตัวแปร b ? ในแง่หนึ่ง b > 0 ตามมาจากฐาน ในทางกลับกัน ตัวแปร b ≠ 1 เนื่องจากฐานของลอการิทึมต้องแตกต่างจาก 1 โดยรวมแล้ว จะตามมาจากด้านขวาของสูตรว่า 1 ≠ ข > 0

แต่นี่คือปัญหา: ข้อกำหนดที่สอง (b ≠ 1) หายไปจากอสมการแรกบนลอการิทึมด้านซ้าย กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงนี้ เราต้อง ตรวจสอบแยกต่างหากที่อาร์กิวเมนต์ b แตกต่างจากข้อหนึ่ง!

ที่นี่ลองตรวจสอบดู ลองใช้สูตรของเรา:

[คำบรรยายภาพ]

1 ≠ x - 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

เราได้สมการลอการิทึมเดิมแล้ว โดยทั้ง a และ b ต้องมากกว่า 0 และไม่เท่ากับ 1 ดังนั้น เราสามารถพลิกสมการลอการิทึมได้ง่ายๆ:

ฉันเสนอที่จะแนะนำตัวแปรใหม่:

บันทึก x + 1 (x − 0.5) = t

ในกรณีนี้ การก่อสร้างของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

(เสื้อ 2 − 1)/เสื้อ = 0

โปรดทราบว่าในตัวเศษเรามีความแตกต่างของกำลังสอง เราเปิดเผยความแตกต่างของกำลังสองโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

เศษส่วนเป็นศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่ใช่ศูนย์ แต่ตัวเศษประกอบด้วยผลคูณ ดังนั้นเราจึงถือเอาตัวประกอบแต่ละตัวเป็นศูนย์:

t1 = 1;

t2 = −1;

เสื้อ ≠ 0

อย่างที่คุณเห็นค่าทั้งสองของตัวแปร t เหมาะกับเรา อย่างไรก็ตาม การแก้ปัญหาไม่ได้จบเพียงแค่นั้น เพราะเราต้องหาค่าที่ไม่ใช่ t แต่หาค่าของ x เรากลับไปที่ลอการิทึมและรับ:

บันทึก x + 1 (x − 0.5) = 1;

บันทึก x + 1 (x − 0.5) = −1

ลองนำแต่ละสมการเหล่านี้ไปใช้ในรูปแบบมาตรฐาน:

บันทึก x + 1 (x − 0.5) = บันทึก x + 1 (x + 1) 1

บันทึก x + 1 (x − 0.5) = บันทึก x + 1 (x + 1) −1

เรากำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมในกรณีแรกและถือเอาอาร์กิวเมนต์:

x − 0.5 = x + 1;

x - x \u003d 1 + 0.5;

สมการดังกล่าวไม่มีราก ดังนั้น สมการลอการิทึมตัวแรกจึงไม่มีรากด้วย แต่ด้วยสมการที่สอง ทุกอย่างน่าสนใจกว่ามาก:

(x − 0.5)/1 = 1/(x + 1)

เราแก้สัดส่วน - เราได้รับ:

(x − 0.5)(x + 1) = 1

ฉันเตือนคุณว่าเมื่อแก้สมการลอการิทึม การให้เศษส่วนทศนิยมทั่วไปทั้งหมดจะสะดวกกว่ามาก ดังนั้นลองเขียนสมการของเราใหม่ดังนี้:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0

ก่อนหน้าเราคือสมการกำลังสองที่กำหนด ซึ่งแก้ได้ง่ายๆ โดยใช้สูตร Vieta:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 \u003d -1.5;

x2 = 1

เรามีสองราก - พวกมันคือตัวเลือกสำหรับการแก้สมการลอการิทึมดั้งเดิม เพื่อให้เข้าใจว่ารากเหง้าใดจะเป็นคำตอบจริง ๆ ให้กลับไปที่ปัญหาดั้งเดิม ตอนนี้เราจะตรวจสอบแต่ละรูทของเราเพื่อดูว่าตรงกับขอบเขตหรือไม่:

1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > −1

ข้อกำหนดเหล่านี้เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า:

1 ≠ x > 0.5

จากที่นี่เราเห็นได้ทันทีว่ารูท x = −1.5 ไม่เหมาะกับเรา แต่ x = 1 ค่อนข้างพอใจ ดังนั้น x = 1 จึงเป็นคำตอบสุดท้ายของสมการลอการิทึม

ไปที่งานที่สองกันเถอะ:

บันทึก x 25 + บันทึก 125 x 5 = บันทึก 25 x 625

เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าเป็นลอการิทึมทั้งหมด เหตุที่แตกต่างกันและข้อโต้แย้งต่างๆ จะทำอย่างไรกับโครงสร้างดังกล่าว? ก่อนอื่น โปรดทราบว่าตัวเลข 25, 5 และ 625 เป็นเลขยกกำลัง 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

และตอนนี้เราจะใช้สมบัติที่น่าทึ่งของลอการิทึม ความจริงก็คือคุณสามารถแยกระดับจากการโต้แย้งในรูปแบบของปัจจัย:

บันทึก a b n = n ∙ บันทึก a b

ข้อจำกัดจะถูกกำหนดไว้สำหรับการแปลงนี้เช่นกัน เมื่อมีฟังก์ชันมาแทนที่ b แต่สำหรับเรา b เป็นเพียงตัวเลข และไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติมเกิดขึ้น ลองเขียนสมการของเราใหม่:

2 ∙ บันทึก x 5 + บันทึก 125 x 5 = 4 ∙ บันทึก 25 x 5

เราได้สมการที่มีสามเทอมที่มีเครื่องหมายล็อก นอกจากนี้ อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสามมีค่าเท่ากัน

ถึงเวลาพลิกลอการิทึมเพื่อให้พวกมันอยู่ในฐานเดียวกัน - 5 เนื่องจากตัวแปร b เป็นค่าคงที่ ขอบเขตจึงไม่มีการเปลี่ยนแปลง เราเพิ่งเขียนใหม่:

[คำบรรยายภาพ]

ตามที่คาดไว้ ลอการิทึมเดียวกัน "คลานออกมา" ในตัวส่วน ฉันแนะนำให้เปลี่ยนตัวแปร:

บันทึก 5 x = t

ในกรณีนี้ สมการของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

เขียนตัวเศษและเปิดวงเล็บ:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + เสื้อ 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

เรากลับไปที่เศษส่วนของเรา ตัวเศษต้องเป็นศูนย์:

[คำบรรยายภาพ]

และตัวส่วนแตกต่างจากศูนย์:

เสื้อ ≠ 0; เสื้อ ≠ −3; เสื้อ ≠ −2

ข้อกำหนดสุดท้ายจะถูกเติมเต็มโดยอัตโนมัติ เนื่องจากทั้งหมด "ผูก" กับจำนวนเต็ม และคำตอบทั้งหมดเป็นจำนวนอตรรกยะ

ดังนั้นสมการเศษส่วนจึงได้รับการแก้ไขพบค่าของตัวแปร t เรากลับไปที่คำตอบของสมการลอการิทึมและจำไว้ว่า t คืออะไร:

[คำบรรยายภาพ]

เรานำสมการนี้ไปใช้ในรูปแบบบัญญัติ เราได้ตัวเลขที่มีระดับอตรรกยะ อย่าปล่อยให้สิ่งนี้ทำให้คุณสับสน แม้แต่ข้อโต้แย้งดังกล่าวก็สามารถเทียบได้:

[คำบรรยายภาพ]

เรามีสองราก แม่นยำยิ่งขึ้น ผู้สมัครสองคนสำหรับคำตอบ - มาตรวจสอบการปฏิบัติตามขอบเขตกัน เนื่องจากฐานของลอการิทึมคือตัวแปร x เราจึงต้องการสิ่งต่อไปนี้:

1 ≠ x > 0;

ด้วยความสำเร็จเดียวกัน เรายืนยันว่า x ≠ 1/125 มิฉะนั้นฐานของลอการิทึมที่สองจะกลายเป็นหนึ่ง สุดท้าย x ≠ 1/25 สำหรับลอการิทึมที่สาม

โดยรวมแล้ว เรามีข้อจำกัดสี่ประการ:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

ตอนนี้คำถามคือ: รากของเรามีคุณสมบัติตรงตามข้อกำหนดเหล่านี้หรือไม่? สะใจแน่นอน! เนื่องจาก 5 ยกกำลังใดๆ จะมากกว่าศูนย์ และข้อกำหนด x > 0 จะถูกเติมเต็มโดยอัตโนมัติ

ในทางกลับกัน 1 \u003d 5 0, 1/25 \u003d 5 −2, 1/125 \u003d 5 −3 ซึ่งหมายความว่าข้อจำกัดเหล่านี้สำหรับรากของเรา (ซึ่งขอเตือนคุณว่ามีจำนวนอตรรกยะใน ตัวบ่งชี้) ก็พบเช่นกัน และคำตอบทั้งสองเป็นวิธีแก้ปัญหา

ดังนั้นเราจึงมีคำตอบสุดท้าย ประเด็นสำคัญมีสองงานในหนึ่งนี้:

ระวังเมื่อกลับค่าลอการิทึมเมื่ออาร์กิวเมนต์และฐานถูกกลับรายการ การแปลงดังกล่าวกำหนดข้อจำกัดที่ไม่จำเป็นในโดเมนของคำนิยาม
อย่ากลัวที่จะแปลงลอการิทึม: คุณไม่เพียงสามารถพลิกมันได้เท่านั้น แต่ยังเปิดมันตามสูตรผลรวมและโดยทั่วไปจะเปลี่ยนมันตามสูตรใด ๆ ที่คุณศึกษาเมื่อแก้นิพจน์ลอการิทึม อย่างไรก็ตาม โปรดจำไว้เสมอว่าการแปลงบางอย่างขยายขอบเขต และบางอย่างทำให้แคบลง

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เราเก็บรวบรวม:

เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจเก็บรวบรวมข้อมูลต่างๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและข้อความสำคัญถึงคุณ
เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น ดำเนินการตรวจสอบ วิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณแก่บุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

ในกรณีที่จำเป็น - ตามกฎหมาย, คำสั่งศาล, ในกระบวนการทางกฎหมาย, และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในดินแดนของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ นอกจากนี้ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์เพื่อผลประโยชน์สาธารณะอื่นๆ
ในกรณีของการปรับองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

คำแนะนำ

เขียนลงไป นิพจน์ลอการิทึม. หากนิพจน์ใช้ลอการิทึมของ 10 สัญกรณ์จะถูกทำให้สั้นลงและมีลักษณะดังนี้: lg b เป็นลอการิทึมทศนิยม ถ้าลอการิทึมมีเลข e เป็นฐาน นิพจน์จะถูกเขียน: ln b - ลอการิทึมธรรมชาติ. เป็นที่เข้าใจกันว่าผลลัพธ์ของ any คือพลังที่ต้องยกเลขฐานเพื่อให้ได้เลข b

เมื่อหาผลรวมของสองฟังก์ชัน คุณเพียงแค่ต้องแยกความแตกต่างทีละฟังก์ชัน และเพิ่มผลลัพธ์: (u+v)" = u"+v";

เมื่อหาอนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชัน จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกด้วยฟังก์ชันที่สอง และเพิ่มอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง คูณด้วยฟังก์ชันแรก: (u*v)" = u"* v+v"*u;

ในการหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน จำเป็นต้องนำผลคูณของอนุพันธ์ของเงินปันผลคูณด้วยฟังก์ชันตัวหาร นำผลคูณของอนุพันธ์ของตัวหารคูณด้วยฟังก์ชันตัวหาร แล้วหาร ทั้งหมดนี้โดยฟังก์ชันตัวหารกำลังสอง (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

หากได้รับฟังก์ชันที่ซับซ้อน ก็จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ให้ y=u(v(x)) จากนั้น y"(x)=y"(u)*v"(x)

เมื่อใช้ข้อมูลข้างต้น คุณสามารถแยกความแตกต่างของฟังก์ชันได้เกือบทุกชนิด ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
นอกจากนี้ยังมีงานสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ที่จุด ให้ฟังก์ชัน y=e^(x^2+6x+5) คุณต้องหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x=1
1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) คำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด y"(1)=8*e^0=8

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เรียนรู้ตารางอนุพันธ์เบื้องต้น สิ่งนี้จะช่วยประหยัดเวลาได้มาก

แหล่งที่มา:

อนุพันธ์คงที่

แล้วสมการอตรรกยะกับสมการอตรรกยะต่างกันอย่างไร? หากตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ใต้เครื่องหมาย รากที่สองสมการนั้นถือว่าไม่มีเหตุผล

คำแนะนำ

วิธีหลักในการแก้สมการดังกล่าวคือวิธีการยกทั้งสองข้าง สมการเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างไรก็ตาม. นี่เป็นเรื่องธรรมชาติ ขั้นตอนแรกคือการกำจัดสัญญาณ ในทางเทคนิควิธีนี้ไม่ใช่เรื่องยาก แต่บางครั้งอาจทำให้เกิดปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น สมการ v(2x-5)=v(4x-7) เมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้าง คุณจะได้ 2x-5=4x-7 สมการดังกล่าวแก้ได้ไม่ยาก x=1. แต่จะไม่ได้รับหมายเลข 1 สมการ. ทำไม แทนหน่วยในสมการแทนค่า x และด้านขวาและด้านซ้ายจะมีนิพจน์ที่ไม่สมเหตุสมผล นั่นคือ ค่าดังกล่าวไม่ถูกต้องสำหรับรากที่สอง ดังนั้น 1 จึงเป็นรากภายนอก ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีราก

ดังนั้น สมการอตรรกยะจึงถูกแก้โดยใช้วิธีการยกกำลังสองส่วน และเมื่อแก้สมการได้แล้วจำเป็นต้องตัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก ในการทำเช่นนี้ ให้แทนที่รากที่พบในสมการเดิม

พิจารณาอีกข้อหนึ่ง
2x+vx-3=0
แน่นอนสมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้สมการเดียวกันกับสมการก่อนหน้านี้ ทรานสเฟอร์ คอมพาวด์ สมการที่ไม่มีเครื่องหมายกรณฑ์ ไปทางขวา แล้วใช้วิธียกกำลังสอง แก้สมการเหตุผลที่เป็นผลลัพธ์และราก แต่อีกอันที่สง่างามกว่า ป้อนตัวแปรใหม่ vx=วาย ดังนั้น คุณจะได้สมการเช่น 2y2+y-3=0 นั่นคือสมการกำลังสองตามปกติ ค้นหารากของมัน y1=1 และ y2=-3/2 ถัดไปแก้สอง สมการ vx=1; vx \u003d -3/2 สมการที่สองไม่มีราก จากสมการแรกเราพบว่า x=1 อย่าลืมเกี่ยวกับความจำเป็นในการตรวจสอบราก

การแก้ตัวตนนั้นค่อนข้างง่าย สิ่งนี้ต้องการการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันจนกว่าจะบรรลุเป้าหมาย ด้วยความช่วยเหลือของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุด งานจะได้รับการแก้ไข

คุณจะต้องการ

- กระดาษ;
- ปากกา.

คำแนะนำ

การแปลงที่ง่ายที่สุดคือการคูณแบบย่อด้วยพีชคณิต (เช่น กำลังสองของผลรวม (ผลต่าง) ผลต่างกำลังสอง ผลรวม (ผลต่าง) ลูกบาศก์ของผลรวม (ผลต่าง)) นอกจากนี้ยังมีอีกมากมาย สูตรตรีโกณมิติซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะมีเอกลักษณ์ที่เหมือนกัน

แท้จริงแล้ว กำลังสองของผลบวกของพจน์สองเท่ากับกำลังสองของพจน์แรกบวกสองเท่าของผลคูณของพจน์แรกและพจน์ที่สอง บวกกำลังสองของพจน์ที่สอง นั่นคือ (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2

ลดความซับซ้อนทั้งสอง

หลักการทั่วไปของการแก้ปัญหา

ทำซ้ำจากตำราการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์หรือคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นซึ่งเป็นอินทิกรัลที่แน่นอน อย่างที่คุณทราบวิธีแก้ปัญหา อินทิกรัลแน่นอนมีฟังก์ชันที่อนุพันธ์จะให้อินทิกรัล ฟังก์ชันนี้เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟ ตามหลักการนี้ ปริพันธ์พื้นฐานจะถูกสร้างขึ้น
กำหนดโดยรูปแบบของอินทิกรัลซึ่งอินทิกรัลของตารางที่เหมาะสมในกรณีนี้ ไม่สามารถระบุได้ทันที บ่อยครั้งที่รูปแบบตารางจะสังเกตเห็นได้ก็ต่อเมื่อมีการแปลงหลายครั้งเพื่อทำให้อินทิกรัลง่ายขึ้น

วิธีการแทนตัวแปร

ถ้าอินทิกแรนด์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นพหุนาม ให้ลองใช้เมธอดการเปลี่ยนตัวแปร ในการทำเช่นนี้ ให้แทนที่พหุนามในอาร์กิวเมนต์ของอินทิกรันด์ด้วยตัวแปรใหม่ ตามอัตราส่วนระหว่างตัวแปรใหม่และเก่า กำหนดขีดจำกัดใหม่ของการรวม โดยการสร้างความแตกต่างของนิพจน์นี้ ให้ค้นหาความแตกต่างใหม่ใน ดังนั้นคุณจะได้รับ ชนิดใหม่อินทิกรัลเดิม ใกล้เคียง หรือแม้แต่สอดคล้องกับตารางใด ๆ

คำตอบของปริพันธ์ชนิดที่สอง

ถ้าอินทิกรัลเป็นอินทิกรัลชนิดที่สอง ซึ่งเป็นรูปแบบเวกเตอร์ของอินทิกรัล คุณจะต้องใช้กฎสำหรับการย้ายจากอินทิกรัลเหล่านี้ไปยังสเกลาร์ กฎข้อหนึ่งคืออัตราส่วน Ostrogradsky-Gauss กฎนี้ทำให้สามารถผ่านจากการไหลของโรเตอร์ของฟังก์ชันเวกเตอร์บางตัวไปยังอินทิกรัลสามส่วนเหนือความแตกต่างของสนามเวกเตอร์ที่กำหนดได้

การทดแทนขีดจำกัดของการรวม

หลังจากพบแอนติเดริเวทีฟแล้ว จำเป็นต้องแทนที่ขีดจำกัดของการรวมเข้าด้วยกัน ขั้นแรก ให้แทนค่าของขีดจำกัดบนลงในนิพจน์สำหรับแอนติเดริเวทีฟ คุณจะได้รับหมายเลข ถัดไป ให้ลบจำนวนอื่นออกจากจำนวนผลลัพธ์ ซึ่งเป็นค่าจำกัดล่างที่เป็นผลลัพธ์ของแอนติเดริเวทีฟ หากหนึ่งในขีดจำกัดการรวมมีค่าเป็นอนันต์ ให้แทนที่ด้วย ฟังก์ชันต่อต้านอนุพันธ์จำเป็นต้องไปถึงขีด จำกัด และค้นหาว่าการแสดงออกนั้นมีแนวโน้มอย่างไร
ถ้าอินทิกรัลเป็นแบบสองมิติหรือสามมิติ คุณจะต้องแสดงขีดจำกัดทางเรขาคณิตของการอินทิกรัลเพื่อที่จะเข้าใจวิธีการคำนวณอินทิกรัล ในกรณีของอินทิกรัลสามมิติ ลิมิตของการอินทิเกรตอาจเป็นระนาบทั้งหมดที่จำกัดปริมาณที่จะอินทิเกรต