สูตรสมการพร้อมยกกำลัง สมการเลขชี้กำลัง วิธีแก้สมการเลขชี้กำลัง

สุขภาพ

บทเรียนนี้จัดทำขึ้นสำหรับผู้ที่เพิ่งเริ่มเรียนรู้สมการเลขชี้กำลัง และเช่นเคย เรามาเริ่มด้วยคำจำกัดความและตัวอย่างง่ายๆ กันก่อน

หากคุณกำลังอ่านบทเรียนนี้ ฉันสงสัยว่าอย่างน้อยคุณมีความเข้าใจน้อยที่สุดเกี่ยวกับสมการที่ง่ายที่สุด - เชิงเส้นและกำลังสอง: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ เป็นต้น เพื่อให้สามารถแก้ไขโครงสร้างดังกล่าวได้มีความจำเป็นอย่างยิ่งเพื่อไม่ให้ "ค้าง" ในหัวข้อที่จะกล่าวถึงในตอนนี้

ดังนั้น สมการเลขชี้กำลัง ให้ฉันยกตัวอย่างสองสามตัวอย่าง:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

บางอย่างอาจดูซับซ้อนสำหรับคุณ ในทางกลับกัน บางอย่างอาจดูง่ายเกินไป แต่ทั้งหมดนั้นรวมกันเป็นหนึ่งคุณลักษณะที่สำคัญ: พวกมันมีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $f\left(x \right)=((a)^(x))$ ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความ:

สมการเลขชี้กำลังคือสมการใดๆ ที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง กล่าวคือ นิพจน์ของแบบฟอร์ม $((a)^(x))$ นอกเหนือจากฟังก์ชันที่ระบุ สมการดังกล่าวสามารถมีโครงสร้างพีชคณิตอื่นๆ เช่น พหุนาม ราก ตรีโกณมิติ ลอการิทึม เป็นต้น

โอเคถ้าอย่างนั้น. เข้าใจความหมายแล้ว ตอนนี้คำถามคือ: จะแก้ปัญหาอึทั้งหมดนี้ได้อย่างไร? คำตอบนั้นทั้งง่ายและซับซ้อนในเวลาเดียวกัน

เริ่มต้นด้วยข่าวดี: จากประสบการณ์ของฉันกับนักเรียนหลายคน ฉันสามารถพูดได้ว่าสำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ สมการเลขชี้กำลังง่ายกว่าลอการิทึมเดียวกันมาก และตรีโกณมิติยิ่งกว่านั้นอีก

แต่ก็มีข่าวร้ายเช่นกัน: บางครั้งผู้รวบรวมปัญหาสำหรับหนังสือเรียนและข้อสอบทุกประเภทถูก "แรงบันดาลใจ" มาเยี่ยมและสมองที่ติดยาของพวกเขาก็เริ่มสร้างสมการที่โหดร้ายจนกลายเป็นปัญหาไม่เพียง แต่ให้นักเรียนแก้ปัญหาเท่านั้น - แม้แต่ครูหลายคนก็ยังติดอยู่กับปัญหาดังกล่าว

อย่างไรก็ตาม อย่าพูดถึงเรื่องน่าเศร้า และกลับมาที่สมการทั้งสามที่ให้ไว้ตอนต้นเรื่อง มาลองแก้ปัญหาแต่ละข้อกัน

สมการแรก: $((2)^(x))=4$. แล้วเลข 2 ต้องยกกำลังอะไรถึงจะได้เลข 4? บางทีที่สอง? ท้ายที่สุด $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — และเราได้ค่าความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้องแล้ว นั่นคือ แน่นอน $x=2$ อืม ขอบคุณนะ แต่สมการนี้ง่ายมากที่แม้แต่แมวของฉันก็แก้ได้ :)

ลองดูสมการต่อไปนี้:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

แต่ที่นี่ยากขึ้นเล็กน้อย นักเรียนหลายคนรู้ว่า $((5)^(2))=25$ เป็นตารางสูตรคูณ บางคนยังสงสัยว่า $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ เป็นคำจำกัดความของเลขชี้กำลังลบโดยพื้นฐานแล้ว (คล้ายกับสูตร $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

สุดท้าย มีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่คาดเดาว่าข้อเท็จจริงเหล่านี้สามารถรวมกันได้ และผลลัพธ์ที่ได้คือผลลัพธ์ต่อไปนี้:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

ดังนั้นสมการเดิมของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\ลูกศรขวา ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

และตอนนี้ก็ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์แล้ว! ทางด้านซ้ายของสมการจะมีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ทางด้านขวาของสมการจะมีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ไม่มีอะไรเลยนอกจากฟังก์ชันดังกล่าวในที่อื่น ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะ "ละทิ้ง" ฐานและเทียบเคียงตัวบ่งชี้อย่างโง่เขลา:

เราได้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดที่นักเรียนทุกคนสามารถแก้ได้ในเวลาเพียงไม่กี่บรรทัด โอเค ในสี่บรรทัด:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

หากคุณไม่เข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นในสี่บรรทัดสุดท้าย อย่าลืมกลับไปที่หัวข้อ “สมการเชิงเส้น” แล้วทำซ้ำ เนื่องจากหากไม่มีการซึมซับที่ชัดเจนของหัวข้อนี้ มันเร็วเกินไปสำหรับคุณที่จะใช้สมการเลขชี้กำลัง

\[((9)^(x))=-3\]

แล้วคุณล่ะ ตัดสินใจอย่างไร? ความคิดแรก: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$ ดังนั้นสมการเดิมจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

จากนั้นเราจำได้ว่าเมื่อเพิ่มระดับเป็นกำลัง ตัวบ่งชี้จะถูกคูณ:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

และสำหรับการตัดสินใจเช่นนี้ เราได้ผีสางที่สมควรได้รับ สำหรับเรา ด้วยความใจเย็นของโปเกมอน ได้ส่งเครื่องหมายลบที่อยู่ข้างหน้าทั้งสามไปยังกำลังของสามตัวนี้ และคุณไม่สามารถทำอย่างนั้นได้ และนั่นเป็นเหตุผล ลองดูที่ องศาที่แตกต่างกันแฝดสาม:

\[\begin(เมทริกซ์) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(เมทริกซ์)\]

เมื่อรวบรวมแท็บเล็ตนี้ ฉันไม่ได้บิดเบือนทันทีที่ฉันทำ: ฉันพิจารณาองศาบวกและลบ และแม้แต่เศษส่วน ... เอาละมีตัวเลขติดลบอย่างน้อยหนึ่งตัวที่นี่อยู่ที่ไหน เขาไม่ได้! และเป็นไปไม่ได้ เพราะฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $y=((a)^(x))$ อย่างแรก จะใช้เพียง ค่าบวก(จำนวนเท่าใดไม่คูณหนึ่งหรือหารด้วยสอง - มันจะยังคงเป็น จำนวนบวก) และประการที่สอง ฐานของฟังก์ชันดังกล่าว ตัวเลข $a$ เป็นจำนวนบวกโดยนิยาม!

แล้วจะแก้สมการ $((9)^(x))=-3$ ได้อย่างไร? ไม่ไม่มีราก และในแง่นี้ สมการเลขชี้กำลังคล้ายกับสมการกำลังสองมาก อาจไม่มีรากก็ได้ แต่ถ้าในสมการกำลังสอง จำนวนของรากถูกกำหนดโดย discriminant (ตัวจำแนกเป็นค่าบวก - 2 ราก, ค่าลบ - ไม่มีราก) ดังนั้นในสมการเลขชี้กำลัง ทั้งหมดขึ้นอยู่กับว่าอะไรอยู่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

ดังนั้นเราจึงกำหนดข้อสรุปที่สำคัญ: สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ $((a)^(x))=b$ มีรากก็ต่อเมื่อ $b>0$ เมื่อทราบข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้ คุณสามารถระบุได้อย่างง่ายดายว่าสมการที่เสนอให้คุณมีรากหรือไม่ เหล่านั้น. มันคุ้มค่าที่จะแก้เลยหรือเขียนทันทีว่าไม่มีราก

ความรู้นี้จะช่วยเราได้หลายครั้งเมื่อเราต้องแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ในระหว่างนี้เนื้อเพลงเพียงพอ - ถึงเวลาศึกษาอัลกอริธึมพื้นฐานสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง

วิธีแก้สมการเลขชี้กำลัง

ดังนั้น มากำหนดปัญหากัน จำเป็นต้องแก้สมการเลขชี้กำลัง:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

ตามอัลกอริธึม "ไร้เดียงสา" ที่เราใช้ก่อนหน้านี้ จำเป็นต้องแสดงตัวเลข $b$ เป็นกำลังของตัวเลข $a$:

นอกจากนี้ หากมีนิพจน์ใดๆ แทนตัวแปร $x$ เราก็จะได้สมการใหม่ ซึ่งแก้ได้อยู่แล้ว ตัวอย่างเช่น:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

และน่าแปลกที่โครงการนี้ใช้งานได้ประมาณ 90% ของกรณีทั้งหมด แล้วอีก 10% ที่เหลือล่ะ? ส่วนที่เหลืออีก 10% เป็นสมการเลขชี้กำลัง "โรคจิตเภท" เล็กน้อยของรูปแบบ:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

คุณต้องยก 2 ให้ได้ 3 เท่าไหร่? ในครั้งแรก? แต่ไม่: $((2)^(1))=2$ ไม่เพียงพอ ในวินาที? ไม่เลย: $((2)^(2))=4$ มากเกินไป แล้วไง?

นักเรียนที่มีความรู้คงเดาไปแล้ว: ในกรณีเช่นนี้ เมื่อเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ "อย่างสวยงาม", "ปืนใหญ่" ก็เชื่อมโยงกับคดีนี้ - ลอการิทึม ผมขอเตือนคุณว่าการใช้ลอการิทึม จำนวนบวกใดๆ สามารถแสดงเป็นกำลังของจำนวนบวกอื่นๆ (ยกเว้นหนึ่ง)

จำสูตรนี้ได้หรือไม่? เมื่อฉันบอกนักเรียนเกี่ยวกับลอการิทึม ฉันมักจะเตือนคุณเสมอว่า สูตรนี้ (มันคือเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน หรือถ้าคุณชอบ นิยามของลอการิทึม) จะหลอกหลอนคุณเป็นเวลานานมากและ "โผล่ออกมา" มากที่สุด สถานที่ที่ไม่คาดคิด เธอก็โผล่มา ลองดูสมการของเราและสูตรนี้:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

หากเราคิดว่า $a=3$ เป็นจำนวนเดิมของเราทางด้านขวา และ $b=2$ เป็นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เราต้องการให้ทางด้านขวา เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราได้คำตอบแปลก ๆ เล็กน้อย: $x=((\log )_(2))3$ ในงานอื่นๆ ด้วยคำตอบดังกล่าว หลายคนอาจสงสัยและเริ่มตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาซ้ำอีกครั้ง: จะเกิดอะไรขึ้นหากมีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ใดที่หนึ่ง ฉันรีบเร่งให้คุณพอใจ: ไม่มีข้อผิดพลาดที่นี่ และลอการิทึมในรากของสมการเลขชี้กำลังเป็นสถานการณ์ทั่วไป ดังนั้นจงชินกับมัน :)

ตอนนี้เราแก้โดยการเปรียบเทียบสมการที่เหลืออีกสองสมการ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((5)^(x))=15\ลูกศรขวา ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \ลูกศรขวา x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทั้งหมด! อย่างไรก็ตาม คำตอบสุดท้ายสามารถเขียนได้แตกต่างออกไป:

เราเป็นผู้แนะนำตัวคูณในอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม แต่ไม่มีใครป้องกันเราจากการเพิ่มปัจจัยนี้เข้ากับฐาน:

ในกรณีนี้ทั้งสามตัวเลือกนั้นถูกต้อง - มันก็แค่ รูปแบบต่างๆบันทึกหมายเลขเดียวกัน อันไหนที่จะเลือกและจดไว้ในการตัดสินใจนี้ขึ้นอยู่กับคุณ

ดังนั้น เราได้เรียนรู้ที่จะแก้สมการเลขชี้กำลังของรูปแบบ $((a)^(x))=b$ โดยที่ตัวเลข $a$ และ $b$ เป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัด อย่างไรก็ตาม ความจริงอันโหดร้ายของโลกของเราคือ งานง่ายๆ ดังกล่าวจะพบคุณน้อยมาก บ่อยครั้งคุณจะเจอสิ่งนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

แล้วคุณล่ะ ตัดสินใจอย่างไร? สามารถแก้ไขได้ทั้งหมดหรือไม่? และถ้าเป็นเช่นนั้นอย่างไร?

ไม่มีความตื่นตระหนก สมการทั้งหมดเหล่านี้ลดขนาดลงอย่างรวดเร็วและง่ายดายเป็นสูตรง่ายๆ ที่เราได้พิจารณาไปแล้ว คุณเพียงแค่ต้องรู้เพื่อจำเทคนิคสองสามข้อจากหลักสูตรพีชคณิต และแน่นอนว่าไม่มีกฎเกณฑ์ในการทำงานกับปริญญาที่นี่ ฉันจะพูดถึงเรื่องนี้ทั้งหมดตอนนี้ :)

การแปลงสมการเลขชี้กำลัง

สิ่งแรกที่ต้องจำคือสมการเลขชี้กำลังใดๆ ไม่ว่าจะซับซ้อนแค่ไหน ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง จะต้องถูกลดทอนให้เป็นสมการที่ง่ายที่สุด - อันที่เราได้พิจารณาไปแล้วและเรารู้วิธีแก้สมการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง แบบแผนสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลังใดๆ จะมีลักษณะดังนี้:

เขียนสมการเดิม. ตัวอย่างเช่น: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
ทำเหี้ยไรเนี่ย. หรือแม้แต่เรื่องไร้สาระที่เรียกว่า "เปลี่ยนสมการ";
ที่ผลลัพธ์ รับนิพจน์ที่ง่ายที่สุดของแบบฟอร์ม $((4)^(x))=4$ หรืออย่างอื่นที่คล้ายกัน นอกจากนี้ สมการตั้งต้นหนึ่งสมการสามารถให้นิพจน์ดังกล่าวได้หลายนิพจน์ในคราวเดียว

ในประเด็นแรก ทุกอย่างชัดเจน แม้แต่แมวของฉันสามารถเขียนสมการลงบนใบไม้ได้ ด้วยจุดที่สาม ดูเหมือนว่าจะชัดเจนไม่มากก็น้อย - เราได้แก้สมการดังกล่าวทั้งหมดข้างต้นแล้ว

แต่ประเด็นที่สองล่ะ? การเปลี่ยนแปลงคืออะไร? จะแปลงเป็นอะไร แล้วยังไง?

เอาล่ะลองคิดดู ก่อนอื่นฉันอยากจะชี้ให้เห็นต่อไปนี้ สมการเลขชี้กำลังทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองประเภท:

สมการประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเดียวกัน ตัวอย่าง: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
สูตรประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานต่างกัน ตัวอย่าง: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ and $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

เริ่มจากสมการประเภทแรกกันก่อน - พวกมันแก้ได้ง่ายที่สุด และในการแก้ปัญหานั้น เราจะได้รับความช่วยเหลือจากเทคนิค เช่น การเลือกนิพจน์ที่เสถียร

เน้นการแสดงออกที่มั่นคง

ลองดูสมการนี้อีกครั้ง:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

เราเห็นอะไร? ทั้งสี่ถูกยกขึ้นในระดับที่แตกต่างกัน แต่ยกกำลังทั้งหมดเหล่านี้เป็นผลรวมอย่างง่ายของตัวแปร $x$ กับตัวเลขอื่น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องจำกฎสำหรับการทำงานกับองศา:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

พูดง่ายๆ ก็คือ การเพิ่มเลขชี้กำลังสามารถแปลงเป็นผลคูณของกำลัง และการลบจะถูกแปลงเป็นการหารอย่างง่ายดาย ลองใช้สูตรเหล่านี้กับกำลังจากสมการของเรา:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราเขียนสมการเดิมใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้ แล้วรวบรวมเงื่อนไขทั้งหมดทางด้านซ้าย:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -สิบเอ็ด; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-(4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

สี่คำแรกมีองค์ประกอบ $((4)^(x))$ — ลองเอามันออกจากวงเล็บ:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

มันยังคงหารทั้งสองส่วนของสมการด้วยเศษส่วน $-\frac(11)(4)$ เช่น คูณด้วยเศษส่วนที่กลับหัว - $-\frac(4)(11)$ เราได้รับ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทั้งหมด! เราลดสมการดั้งเดิมให้ง่ายที่สุดและได้คำตอบสุดท้าย

ในเวลาเดียวกัน ในกระบวนการแก้ไข เราค้นพบ (และแม้กระทั่งเอาออกจากวงเล็บ) ปัจจัยร่วม $((4)^(x))$ - นี่คือนิพจน์ที่เสถียร มันสามารถกำหนดให้เป็นตัวแปรใหม่ หรือคุณสามารถแสดงมันออกมาได้อย่างแม่นยำและรับคำตอบ ไม่ว่าในกรณีใด หลักการสำคัญของการแก้ปัญหามีดังนี้:

ค้นหานิพจน์คงที่ในสมการดั้งเดิมซึ่งมีตัวแปรที่แยกแยะได้ง่ายจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมด

ข่าวดีก็คือว่าเกือบทุกสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลยอมรับนิพจน์ที่เสถียรเช่นนั้น

แต่ก็มีข่าวร้ายเช่นกัน: สำนวนดังกล่าวอาจเป็นเรื่องยากมาก และอาจแยกแยะได้ยากทีเดียว ลองดูปัญหาอื่น:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

บางทีตอนนี้บางคนอาจมีคำถาม: "มหาอำมาตย์คุณเมาแล้วหรือยัง? นี่คือฐานที่แตกต่างกัน - 5 และ 0.2 แต่ลองแปลงกำลังด้วยฐาน 0.2 ตัวอย่างเช่น กำจัดเศษส่วนทศนิยม นำมาเป็นเศษส่วนตามปกติ:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

อย่างที่คุณเห็น หมายเลข 5 ยังคงปรากฏอยู่ แม้ว่าจะอยู่ในตัวส่วนก็ตาม ในเวลาเดียวกัน ตัวบ่งชี้ถูกเขียนใหม่เป็นค่าลบ และตอนนี้เราจำกฎที่สำคัญที่สุดข้อหนึ่งสำหรับการทำงานกับปริญญาได้:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

แน่นอนว่าที่นี่ฉันโกงนิดหน่อย เพราะเพื่อให้เข้าใจอย่างถ่องแท้ ต้องเขียนสูตรการกำจัดตัวบ่งชี้เชิงลบดังนี้:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ ขวา))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

ในทางกลับกัน ไม่มีอะไรขัดขวางเราไม่ให้ทำงานกับเศษส่วนเพียงส่วนเดียว:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1))) \ ขวา))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

แต่ในกรณีนี้ คุณต้องสามารถยกระดับขึ้นไปอีกระดับหนึ่งได้ (ฉันขอเตือนคุณว่า: ในกรณีนี้ ตัวชี้วัดจะถูกรวมเข้าด้วยกัน) แต่ฉันไม่ต้อง "พลิก" เศษส่วน - บางทีมันอาจจะง่ายกว่าสำหรับบางคน :)

ไม่ว่าในกรณีใด สมการเลขชี้กำลังเดิมจะถูกเขียนใหม่เป็น:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังนั้น ปรากฎว่าสมการดั้งเดิมนั้นแก้ได้ง่ายกว่าสมการที่พิจารณาก่อนหน้านี้: ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องแยกนิพจน์ที่เสถียรออกมา - ทุกอย่างลดขนาดลงด้วยตัวมันเอง ยังคงเป็นเพียงการจำไว้ว่า $1=((5)^(0))$ ดังนั้นเราจึงได้รับ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทางออกทั้งหมด! เราได้คำตอบสุดท้าย: $x=-2$ ในเวลาเดียวกัน ฉันต้องการทราบเคล็ดลับหนึ่งที่ทำให้การคำนวณทั้งหมดของเราง่ายขึ้นมาก:

ในสมการเลขชี้กำลัง ให้แน่ใจว่าได้กำจัด เศษส่วนทศนิยม, แปลงให้เป็นปกติ วิธีนี้จะช่วยให้คุณเห็นองศาฐานเดียวกันและทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก

ทีนี้ มาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้ซึ่งมีฐานต่างกัน ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะใช้ยกกำลังไม่ได้

การใช้คุณสมบัติเลขชี้กำลัง

ผมขอเตือนคุณว่าเรามีสมการที่รุนแรงมากขึ้นอีกสองสมการ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ปัญหาหลักในที่นี้คือยังไม่ชัดเจนว่าจะนำไปสู่อะไรและพื้นฐานอะไร ที่ไหน กำหนดนิพจน์? พื้นที่ส่วนกลางอยู่ที่ไหน? ไม่มีสิ่งนี้

แต่เราลองไปทางอื่น หากไม่มีฐานที่เหมือนกันสำเร็จรูป คุณสามารถลองค้นหาได้โดยแยกตัวประกอบฐานที่มีอยู่

เริ่มจากสมการแรกกันก่อน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

แต่ท้ายที่สุด คุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ - ประกอบเป็นตัวเลข 21 จากตัวเลข 7 และ 3 ทางด้านซ้ายทำได้ง่ายเป็นพิเศษ เนื่องจากตัวบ่งชี้ของทั้งสององศาเหมือนกัน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทั้งหมด! คุณเอาเลขชี้กำลังออกจากผลคูณและได้สมการที่สวยงามในทันทีที่แก้ได้ในสองสามบรรทัด

ทีนี้มาจัดการกับสมการที่สองกัน ทุกอย่างซับซ้อนกว่านี้มาก:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

ในกรณีนี้ เศษส่วนกลับกลายเป็นว่าลดไม่ได้ แต่ถ้ามีอะไรลดได้ ให้ลดมันลง ซึ่งมักจะส่งผลให้เกิดประเด็นที่น่าสนใจที่คุณสามารถใช้งานได้อยู่แล้ว

ขออภัย เราไม่ได้คิดอะไร แต่เราเห็นว่าเลขชี้กำลังทางซ้ายในผลคูณอยู่ตรงข้าม:

ผมขอเตือนคุณว่า: เพื่อกำจัดเครื่องหมายลบในตัวยกกำลัง คุณเพียงแค่ "พลิก" เศษส่วน ลองเขียนสมการเดิมใหม่:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ในบรรทัดที่สอง เราเพิ่งวงเล็บรวมจากผลิตภัณฑ์ตามกฎ $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$ และสุดท้ายพวกเขาก็คูณตัวเลข 100 ด้วยเศษส่วน

ตอนนี้โปรดทราบว่าตัวเลขทางด้านซ้าย (ที่ฐาน) และด้านขวาค่อนข้างคล้ายกัน ยังไง? ใช่ เห็นได้ชัดว่ามันเป็นพลังของเลขเดียวกัน! เรามี:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& \frac(1000)(27)=\frac((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังนั้นสมการของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

ในเวลาเดียวกัน ทางด้านขวา คุณสามารถรับปริญญาที่มีฐานเดียวกันซึ่งเพียงพอที่จะ "พลิก" เศษส่วน:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

ในที่สุด สมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทางออกทั้งหมด แนวคิดหลักของเขาคือแม้ว่า ฐานที่แตกต่างกัน x เรากำลังพยายามด้วยเบ็ดหรือโดยข้อพับเพื่อลดพื้นที่เหล่านี้ให้เป็นหนึ่งเดียว ในเรื่องนี้ เราได้รับความช่วยเหลือจากการแปลงสมการเบื้องต้นและกฎสำหรับการทำงานกับกำลัง

แต่กฎอะไรและเมื่อใดควรใช้? จะเข้าใจได้อย่างไรว่าในสมการหนึ่งคุณต้องหารทั้งสองข้างด้วยบางอย่างและในอีกสมการหนึ่ง - เพื่อแยกฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังออกเป็นปัจจัย?

คำตอบสำหรับคำถามนี้จะมาพร้อมกับประสบการณ์ ลองใช้มือของคุณก่อน สมการง่ายๆจากนั้นค่อยๆ ทำให้งานซับซ้อนขึ้น - และในไม่ช้าทักษะของคุณจะเพียงพอที่จะแก้สมการเลขชี้กำลังจาก USE เดียวกันหรืองานอิสระ / ทดสอบใดๆ

และเพื่อช่วยคุณในงานที่ยากลำบากนี้ ฉันแนะนำให้ดาวน์โหลดชุดสมการบนเว็บไซต์ของฉันเพื่อหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นอิสระ สมการทั้งหมดมีคำตอบ ดังนั้นคุณสามารถตรวจสอบตัวเองได้ตลอดเวลา

อุปกรณ์:

คอมพิวเตอร์,
โปรเจ็กเตอร์มัลติมีเดีย,
หน้าจอ,
เอกสารแนบ 1(การนำเสนอภาพนิ่งใน PowerPoint) “วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลัง”
ภาคผนวก 2(การแก้สมการเช่น "สามฐานองศาที่แตกต่างกัน" ใน Word)
ภาคผนวก 3(เอกสารแจกใน Word สำหรับการใช้งานจริง)
ภาคผนวก 4(เอกสารแจกใน Word สำหรับการบ้าน)

ระหว่างเรียน

1. เวทีองค์กร

ข้อความของหัวข้อบทเรียน (เขียนไว้บนกระดาน)
ความต้องการบทเรียนทั่วไปในเกรด 10-11:

ขั้นตอนการเตรียมนักเรียนสำหรับการดูดซึมความรู้

การทำซ้ำ

คำนิยาม.

สมการเลขชี้กำลังคือสมการที่มีตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง (นักเรียนตอบ)

บันทึกของครู สมการเลขชี้กำลังอยู่ในคลาสของสมการยอดเยี่ยม ชื่อที่ออกเสียงยากนี้บ่งชี้ว่าสมการดังกล่าว โดยทั่วไปแล้วจะไม่สามารถแก้ไขได้ในรูปของสูตร

สามารถแก้ไขได้โดยวิธีตัวเลขโดยประมาณบนคอมพิวเตอร์เท่านั้น แต่คำถามในการสอบล่ะ? เคล็ดลับทั้งหมดคือการที่ผู้ตรวจสอบเขียนปัญหาในลักษณะที่ยอมรับวิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณสามารถ (และควร!) ทำการแปลงที่เหมือนกันซึ่งลดสมการเลขชี้กำลังที่กำหนดให้เป็นสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด นี่คือสมการที่ง่ายที่สุดและเรียกว่า: สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด แก้ได้ ลอการิทึม.

สถานการณ์ที่มีการแก้สมการเลขชี้กำลังคล้ายกับการเดินทางผ่านเขาวงกต ซึ่งผู้รวบรวมปัญหาเป็นผู้คิดค้นขึ้นเป็นพิเศษ จากข้อพิจารณาทั่วไปเหล่านี้ คำแนะนำที่เฉพาะเจาะจงค่อนข้างจะตามมา

ในการแก้สมการเลขชี้กำลังได้สำเร็จ คุณต้อง:

1. ไม่เพียงแต่รู้ข้อมูลประจำตัวเลขชี้กำลังทั้งหมดอย่างแข็งขัน แต่ยังค้นหาชุดของค่าของตัวแปรที่กำหนดตัวตนเหล่านี้ เพื่อที่ว่าเมื่อใช้ข้อมูลประจำตัวเหล่านี้ เราจะไม่ได้รับรากที่ไม่จำเป็น และยิ่งกว่านั้นจะไม่สูญเสีย แก้สมการ

2. รู้อัตลักษณ์เลขชี้กำลังทั้งหมดอย่างแข็งขัน

3. ดำเนินการแปลงสมการทางคณิตศาสตร์ในรายละเอียดอย่างชัดเจนและปราศจากข้อผิดพลาด (ถ่ายโอนเงื่อนไขจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังส่วนอื่น อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม ฯลฯ) สิ่งนี้เรียกว่าวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ ในเวลาเดียวกัน การคำนวณด้วยตนเองควรทำโดยอัตโนมัติ และหัวหน้าควรคำนึงถึงเส้นบอกแนวทั่วไปของสารละลาย จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงอย่างระมัดระวังและละเอียดที่สุด วิธีนี้เท่านั้นที่จะรับประกันได้ว่าโซลูชันที่ถูกต้องและปราศจากข้อผิดพลาด และจำไว้ว่า: ความคลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์เพียงเล็กน้อยสามารถสร้างสมการเหนือธรรมชาติซึ่งตามหลักการแล้วไม่สามารถแก้ไขได้ในเชิงวิเคราะห์ ปรากฎว่าคุณหลงทางและวิ่งเข้าไปในกำแพงของเขาวงกต

4. รู้วิธีการแก้ปัญหา (นั่นคือ รู้เส้นทางทั้งหมดผ่านเขาวงกตของการแก้ปัญหา) สำหรับการวางแนวที่ถูกต้องในแต่ละขั้นตอน คุณจะต้อง (อย่างมีสติหรือสัญชาตญาณ!):

กำหนด ประเภทสมการ;
จำประเภทที่สอดคล้องกัน วิธีการแก้ปัญหางาน

ขั้นตอนการวางนัยทั่วไปและการจัดระบบของเนื้อหาที่ศึกษา

ครูร่วมกับนักเรียนโดยใช้คอมพิวเตอร์ ดำเนินการทบทวนภาพรวมของสมการเลขชี้กำลังทุกประเภทและวิธีการแก้สมการ และร่างโครงร่างทั่วไป (ใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ฝึกอบรมของ L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000" ผู้เขียนงานนำเสนอ PowerPoint คือ T.N. Kuptsova)

ข้าว. หนึ่ง.รูปแสดงโครงร่างทั่วไปของสมการเลขชี้กำลังทุกประเภท

ดังที่เห็นได้จากแผนภาพนี้ กลวิธีในการแก้สมการเลขชี้กำลังคือการลดสมการเลขชี้กำลังนี้เป็นสมการ อย่างแรกเลย ที่มีฐานเดียวกัน , แล้วก็ - และ ด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน

เมื่อได้สมการที่มีฐานและเลขชี้กำลังเท่ากัน คุณจึงแทนที่ดีกรีนี้ด้วยตัวแปรใหม่ แล้วได้สมการพีชคณิตอย่างง่าย (ปกติแล้วจะเป็นเศษส่วนตรรกยะหรือกำลังสอง) เทียบกับตัวแปรใหม่นี้

โดยการแก้สมการนี้และทำการแทนที่แบบผกผัน คุณจะจบลงด้วยชุดของสมการเลขชี้กำลังอย่างง่ายที่แก้ได้ใน ปริทัศน์โดยใช้ลอการิทึม

สมการแยกจากกันซึ่งมีเฉพาะผลิตภัณฑ์ของอำนาจ (ส่วนตัว) เท่านั้นที่เกิดขึ้น การใช้ข้อมูลเฉพาะตัวแบบเลขชี้กำลัง เป็นไปได้ที่จะนำสมการเหล่านี้มาไว้ในฐานเดียวโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

พิจารณาวิธีการแก้สมการเลขชี้กำลังที่มีองศาฐานต่างกันสามฐาน

(หากครูมีโปรแกรมคอมพิวเตอร์สอนโดย L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000" โดยปกติเราจะทำงานกับดิสก์ถ้าไม่ใช่คุณสามารถพิมพ์สมการประเภทนี้สำหรับแต่ละโต๊ะได้ดังแสดงด้านล่าง .)

ข้าว. 2.แผนแก้สมการ

ข้าว. 3.เริ่มแก้สมการ

ข้าว. สี่.จุดสิ้นสุดของการแก้สมการ

ลงมือปฏิบัติ

กำหนดประเภทของสมการและแก้มัน

1.
2.
3. 0,125
4.
5.
6.

สรุปบทเรียน

ให้คะแนนบทเรียน

จบบทเรียน

สำหรับครู

แบบแผนของคำตอบการทำงานจริง

ออกกำลังกาย:จากรายการสมการ ให้เลือกสมการประเภทที่ระบุ (ใส่จำนวนคำตอบลงในตาราง):

สามฐานที่แตกต่างกัน
สองฐานที่แตกต่างกัน - เลขชี้กำลังต่างกัน
ฐานของพลัง - พลังของเลขตัวเดียว
ฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังต่างกัน
ฐานเลขชี้กำลังเดียวกัน - เลขชี้กำลังเดียวกัน
ผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ
องศาที่แตกต่างกันสองฐาน - ตัวบ่งชี้เดียวกัน
สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

1. (ผลผลิตแห่งอำนาจ)

2. (ฐานเดียวกัน - เลขชี้กำลังต่างกัน)

ในขั้นเตรียมสอบปลายภาค นักเรียนมัธยมต้องพัฒนาความรู้ในหัวข้อ “ สมการเลขชี้กำลัง". ประสบการณ์ในปีที่ผ่านมาบ่งชี้ว่างานดังกล่าวทำให้เกิดปัญหาบางอย่างสำหรับเด็กนักเรียน ดังนั้นนักเรียนมัธยมปลายโดยไม่คำนึงถึงระดับการเตรียมตัวจะต้องเชี่ยวชาญทฤษฎีอย่างระมัดระวังจดจำสูตรและเข้าใจหลักการของการแก้สมการดังกล่าว เมื่อเรียนรู้ที่จะรับมือกับงานประเภทนี้ ผู้สำเร็จการศึกษาจะสามารถนับคะแนนสูงได้เมื่อสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์

เตรียมตัวสอบไปกับ Shkolkovo!

เมื่อทำซ้ำเนื้อหาที่ครอบคลุม นักเรียนจำนวนมากต้องเผชิญกับปัญหาในการหาสูตรที่จำเป็นในการแก้สมการ หนังสือเรียนไม่ได้อยู่ใกล้มือเสมอไป และการเลือกข้อมูลที่จำเป็นในหัวข้อบนอินเทอร์เน็ตใช้เวลานาน

พอร์ทัลการศึกษา Shkolkovo เชิญชวนนักเรียนให้ใช้ฐานความรู้ของเรา เราดำเนินการอย่างสมบูรณ์ วิธีการใหม่การเตรียมสอบปลายภาค. การศึกษาบนเว็บไซต์ของเรา คุณจะสามารถระบุช่องว่างในความรู้และให้ความสนใจกับงานเหล่านั้นที่ทำให้เกิดปัญหามากที่สุด

ครูของ "Shkolkovo" รวบรวมจัดระบบและนำเสนอทุกสิ่งที่จำเป็นสำหรับการจัดส่งที่ประสบความสำเร็จ ใช้วัสดุด้วยวิธีที่ง่ายที่สุดและเข้าถึงได้

คำจำกัดความและสูตรหลักแสดงไว้ในส่วน "การอ้างอิงเชิงทฤษฎี"

เพื่อการดูดซึมที่ดีขึ้นของเนื้อหา เราขอแนะนำให้คุณฝึกการมอบหมาย ทบทวนตัวอย่างสมการเลขชี้กำลังอย่างละเอียดพร้อมคำตอบที่แสดงในหน้านี้ เพื่อให้เข้าใจอัลกอริธึมการคำนวณ หลังจากนั้น ดำเนินการกับงานในส่วน "แคตตาล็อก" คุณสามารถเริ่มต้นด้วยงานที่ง่ายที่สุดหรือตรงไปที่การแก้สมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนด้วยค่าที่ไม่ทราบค่าต่างๆ หรือ ฐานข้อมูลของแบบฝึกหัดบนเว็บไซต์ของเราได้รับการเสริมและปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง

ตัวอย่างที่มีตัวบ่งชี้ที่ทำให้คุณลำบากสามารถเพิ่มลงใน "รายการโปรด" ได้ เพื่อให้คุณสามารถค้นหาและหารือเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหากับครูได้อย่างรวดเร็ว

เพื่อให้สอบผ่านได้สำเร็จ ศึกษาในพอร์ทัล Shkolkovo ทุกวัน!

ตัวอย่าง:

$4^x=32$
$5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8$
$(\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0$

วิธีแก้สมการเลขชี้กำลัง

เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลังใดๆ เราพยายามทำให้มันอยู่ในรูปแบบ $a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $ จากนั้นทำการเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันของตัวบ่งชี้ นั่นคือ:

$a^(f(x))=a^(g(x))$ $⇔$ $f(x)=g(x)$

ตัวอย่างเช่น:$2^(x+1)=2^2$ $⇔$ $x+1=2$

สำคัญ! จากตรรกะเดียวกัน ข้อกำหนดสองประการตามสำหรับการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว:
- ตัวเลขใน ซ้ายและขวาควรเหมือนกัน
- องศาซ้ายและขวาจะต้อง "บริสุทธิ์"กล่าวคือ ไม่ควรมีการคูณ หาร ฯลฯ

ตัวอย่างเช่น:

เพื่อนำสมการมาอยู่ในรูป $a^(f(x))=a^(g(x))$ และนำไปใช้

ตัวอย่าง . แก้สมการเลขชี้กำลัง $\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$
วิธีการแก้:

$\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

เรารู้ว่า $27 = 3^3$ ด้วยเหตุนี้ เราจึงแปลงสมการ

$\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

โดยคุณสมบัติของรูท $\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))$ เราจะได้ $\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))$. นอกจากนี้ โดยใช้คุณสมบัติดีกรี $(a^b)^c=a^(bc)$ เราได้รับ $((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))$.

$3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)$

เรารู้ด้วยว่า $a^b a^c=a^(b+c)$ เมื่อนำไปใช้กับด้านซ้าย เราจะได้: $3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)$.

$3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)$

ตอนนี้จำไว้ว่า: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$ สูตรนี้สามารถใช้ย้อนกลับได้: $\frac(1)(a^n) =a^(-n)$ จากนั้น $\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)$

$3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)$

การใช้คุณสมบัติ $(a^b)^c=a^(bc)$ ทางด้านขวาเราจะได้: $(3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)$.

$3^(x+0.5)=3^(-2x)$

และตอนนี้เรามีฐานเท่ากันและไม่มีสัมประสิทธิ์การรบกวน ฯลฯ เพื่อให้เราสามารถเปลี่ยนแปลงได้

ตัวอย่าง . แก้สมการเลขชี้กำลัง $4^(x+0.5)-5 2^x+2=0$
วิธีการแก้:

$4^(x+0,5)-5 2^x+2=0$		เราใช้คุณสมบัติดีกรีอีกครั้ง $a^b \cdot a^c=a^(b+c)$ ใน ทิศทางย้อนกลับ.
$4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0$		ตอนนี้จำไว้ว่า $4=2^2$
$(2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0$		โดยใช้คุณสมบัติของดีกรี เราแปลง: $(2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2$ $(2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.$
$2 (2^x)^2-5 2^x+2=0$		เราพิจารณาสมการอย่างละเอียด และเห็นว่าการแทนที่ $t=2^x$ แนะนำตัวเองที่นี่

$t_1=2$ $t_2=\frac(1)(2)$		อย่างไรก็ตาม เราพบค่า $t$ และเราต้องการ $x$ เรากลับไปที่ X ทำการแทนที่แบบย้อนกลับ
$2^x=2$ $2^x=\frac(1)(2)$		แปลงสมการที่สองโดยใช้คุณสมบัติกำลังลบ...
$2^x=2^1$ $2^x=2^(-1)$		...และแก้จนได้คำตอบ
$x_1=1$ $x_2=-1$

ตอบ : $-1; 1$.

คำถามยังคงอยู่ - จะเข้าใจได้อย่างไรว่าเมื่อใดควรใช้วิธีใด มันมาพร้อมกับประสบการณ์ ในระหว่างนี้ คุณยังไม่ได้แก้ไข ใช้คำแนะนำทั่วไปในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อน - "ถ้าคุณไม่รู้ว่าต้องทำอย่างไร - ทำในสิ่งที่คุณทำได้" นั่นคือ มองหาวิธีที่คุณสามารถแปลงสมการในหลักการแล้วลองทำดู - ถ้ามันออกมาล่ะ สิ่งสำคัญคือทำเฉพาะการแปลงที่สมเหตุสมผลทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

สมการเลขชี้กำลังที่ไม่มีคำตอบ

ลองดูอีกสองสถานการณ์ที่มักทำให้นักเรียนสับสน:
- จำนวนบวกกำลังเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น $2^x=0$;
- จำนวนบวกกำลังเท่ากับ จำนวนลบตัวอย่างเช่น $2^x=-4$

มาลองแก้โดยใช้กำลังเดรัจฉานกัน ถ้า x เป็นจำนวนบวก เมื่อ x เพิ่มขึ้น กำลังทั้งหมด $2^x$ จะเติบโตเท่านั้น:

$x=1$; $2^1=2$
$x=2$; $2^2=4$
$x=3$; $2^3=8$.

$x=0$; $2^0=1$

ที่ผ่านมาอีกด้วย มี x ลบ จำคุณสมบัติ $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$ เราตรวจสอบ:

$x=-1$; $2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)$
$x=-2$; $2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)$
$x=-3$; $2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)$

แม้ว่าจำนวนจะน้อยลงในแต่ละขั้นตอน แต่จะไม่มีวันถึงศูนย์ ดังนั้นระดับลบไม่ได้ช่วยเราเช่นกัน เราได้ข้อสรุปเชิงตรรกะ:

จำนวนบวกยกกำลังใด ๆ จะยังคงเป็นจำนวนบวก

ดังนั้น สมการทั้งสองข้างต้นจึงไม่มีคำตอบ

สมการเลขชี้กำลังที่มีฐานต่างกัน

ในทางปฏิบัติ บางครั้งมีสมการเลขชี้กำลังที่มีฐานต่างกันซึ่งไม่สามารถลดทอนซึ่งกันและกันได้ และในขณะเดียวกันก็มีเลขชี้กำลังเท่ากัน พวกมันมีลักษณะดังนี้: $a^(f(x))=b^(f(x))$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนบวก

ตัวอย่างเช่น:

$7^(x)=11^(x)$
$5^(x+2)=3^(x+2)$
$15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)$

สมการดังกล่าวแก้ได้ง่ายๆ โดยหารด้วยส่วนใดๆ ของสมการ (ปกติหารด้วยด้านขวา คือ โดย \ (b ^ (f (x)) \) หารแบบนี้ได้เพราะว่า จำนวนเป็นบวกในทุกระดับ (นั่นคือ เราไม่หารด้วยศูนย์) เราได้รับ:

$\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))$ $=1$

ตัวอย่าง . แก้สมการเลขชี้กำลัง $5^(x+7)=3^(x+7)$
วิธีการแก้:

$5^(x+7)=3^(x+7)$		ที่นี่เราไม่สามารถเปลี่ยนห้าเป็นสามหรือในทางกลับกัน (อย่างน้อยก็โดยไม่ต้องใช้) ดังนั้นเราไม่สามารถมาในรูปแบบ $a^(f(x))=a^(g(x))$ ในขณะเดียวกันตัวชี้วัดก็เหมือนกัน ลองหารสมการทางด้านขวากัน นั่นคือโดย $3^(x+7)$ (เราทำได้ เพราะเรารู้ว่าเลขสามตัวจะไม่เท่ากับศูนย์ในทุกองศา)
$\frac(5^(x+7))(3^(x+7))$ $=$$\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )$		ตอนนี้จำคุณสมบัติ $(\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)$ และใช้มันจากด้านซ้ายไปในทิศทางตรงกันข้าม ทางขวาเราลดเศษส่วนลง
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=1$		ดูเหมือนไม่ดีขึ้นเลย แต่จำคุณสมบัติอื่นของดีกรี: $a^0=1$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง: "จำนวนใด ๆ ที่จะยกกำลังศูนย์เท่ากับ $1$" บทสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: "หน่วยสามารถแสดงเป็นตัวเลขใดๆ ที่ยกกำลังศูนย์ได้" เราใช้สิ่งนี้โดยทำให้ฐานทางด้านขวาเหมือนกับฐานทางซ้าย
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=$ $(\frac(5)(3))^0$		โว้ว! เรากำจัดรากฐาน
		เราเขียนคำตอบ

ตอบ : $-7$.

บางครั้ง "ความเหมือนกัน" ของเลขชี้กำลังไม่ชัดเจน แต่การใช้คุณสมบัติของดีกรีอย่างชำนาญช่วยแก้ปัญหานี้ได้

ตัวอย่าง . แก้สมการเลขชี้กำลัง $7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$
วิธีการแก้:

$7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		สมการดูเศร้ามาก... ไม่เพียงแต่ฐานจะไม่ถูกลดให้เป็นตัวเลขเดียวกันเท่านั้น (เจ็ดจะไม่เท่ากับ $\frac(1)(3)$) ดังนั้นตัวบ่งชี้จึงต่างกัน... อย่างไรก็ตาม ลองมาที่ deuce เลขชี้กำลังทางซ้าย
$7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		คำนึงถึงคุณสมบัติ $(a^b)^c=a^(bc)$ แปลงทางด้านซ้าย: $7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)$.
$49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		ตอนนี้ จำคุณสมบัติพลังงานลบ $a^(-n)=\frac(1)(a)^n$ เราแปลงทางด้านขวา: $(\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)$
$49^(x-2)=3^(x-2)$		ฮาเลลูยา! คะแนนเท่ากัน! ดำเนินการตามรูปแบบที่เราคุ้นเคยแล้วเราตัดสินใจก่อนคำตอบ

ตอบ : $2$.

ระดับแรก

สมการเลขชี้กำลัง คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

สวัสดี! วันนี้เราจะมาพูดคุยกับคุณถึงวิธีการแก้สมการที่สามารถเป็นได้ทั้งในระดับพื้นฐาน (และฉันหวังว่าหลังจากอ่านบทความนี้แล้ว เกือบทั้งหมดจะเป็นเช่นนั้นสำหรับคุณ) และสมการที่มักจะได้รับ "ทดแทน" เห็นได้ชัดว่าผล็อยหลับไปอย่างสมบูรณ์ แต่ฉันจะพยายามทำให้ดีที่สุดเพื่อที่ตอนนี้คุณจะไม่ประสบปัญหาเมื่อต้องเผชิญกับสมการประเภทนี้ ฉันจะไม่ตีรอบพุ่มไม้อีกต่อไป แต่ฉันจะเปิดเผยความลับเล็ก ๆ น้อย ๆ ทันที: วันนี้เราจะศึกษา สมการเลขชี้กำลัง

ก่อนดำเนินการวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา ฉันจะร่างคำถามให้คุณทันที (คำถามเล็กๆ น้อยๆ) ที่คุณควรทำซ้ำก่อนที่คุณจะเร่งรัดหัวข้อนี้ ดังนั้นเพื่อให้ได้ ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด, โปรด, ทำซ้ำ:

คุณสมบัติและ
คำตอบและสมการ

ซ้ำ? มหัศจรรย์! แล้วจะสังเกตได้ไม่ยากว่ารากของสมการเป็นตัวเลข คุณแน่ใจหรือว่าคุณเข้าใจวิธีที่ฉันทำ? ความจริง? จากนั้นเราไปต่อ ตอบคำถามผม ว่ากำลังสามเท่ากับอะไร? คุณพูดถูก: . แปดเป็นกำลังของสองอะไร? ถูกแล้ว - ที่สาม! เพราะ. ทีนี้ มาลองแก้ปัญหาต่อไปนี้กัน ขอผมคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองครั้งเดียวแล้วได้ผลลัพธ์ คำถามคือ ฉันคูณตัวเองมากี่ครั้งแล้ว? คุณสามารถตรวจสอบได้โดยตรง:

\begin(จัดตำแหน่ง) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( จัด)

จากนั้นคุณสามารถสรุปว่าฉันคูณด้วยตัวมันเอง สิ่งนี้สามารถตรวจสอบได้อย่างไร? และนี่คือวิธี: โดยนิยามของดีกรีโดยตรง: . แต่คุณต้องยอมรับ ถ้าผมถามว่าต้องคูณสองด้วยตัวมันเองกี่ครั้งถึงจะได้ บอกผมว่า: ฉันจะไม่หลอกตัวเองและคูณด้วยตัวเองจนกว่าฉันจะหน้าซีด และเขาจะพูดถูกอย่างแน่นอน เพราะคุณทำได้ เขียนการกระทำทั้งหมดสั้น ๆ(และความสั้นคือน้องสาวของพรสวรรค์)

ที่ไหน - นี่คือที่สุด "ครั้ง"เมื่อคุณคูณด้วยตัวเอง

ฉันคิดว่าคุณรู้ (และถ้าคุณไม่รู้ ให้ทำซ้ำปริญญาโดยด่วน!) ว่าปัญหาของฉันจะถูกเขียนในแบบฟอร์ม:

คุณจะสรุปได้อย่างสมเหตุสมผลได้อย่างไรว่า:

ดังนั้น อย่างเงียบ ๆ ฉันเขียนสิ่งที่ง่ายที่สุดลงไป สมการเลขชี้กำลัง:

แถมยังเจออีก ราก. คุณไม่คิดว่าทุกอย่างเป็นเรื่องเล็กน้อยเหรอ? นั่นคือสิ่งที่ผมคิดเช่นกัน นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งสำหรับคุณ:

แต่จะทำอย่างไร? เพราะไม่สามารถเขียนเป็นดีกรีของตัวเลข (สมเหตุสมผล) ได้ อย่าสิ้นหวังและสังเกตว่าตัวเลขทั้งสองนี้แสดงออกมาได้อย่างสมบูรณ์แบบในแง่ของพลังของตัวเลขเดียวกัน อะไร ถูกต้อง: . จากนั้นสมการเดิมจะถูกแปลงเป็นรูปแบบ:

จากที่ที่คุณเข้าใจแล้ว . อย่าดึงอีกต่อไปและเขียนลง คำนิยาม:

ในกรณีของเรากับคุณ: .

สมการเหล่านี้แก้ไขได้โดยลดให้อยู่ในรูปแบบ:

ด้วยคำตอบของสมการที่ตามมา

อันที่จริงแล้ว เราทำสิ่งนี้ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราเข้าใจแล้ว และเราแก้สมการที่ง่ายที่สุดกับคุณ

ดูเหมือนจะไม่มีอะไรซับซ้อนใช่มั้ย? มาฝึกแบบง่ายที่สุดกันก่อน ตัวอย่าง:

เราเห็นอีกครั้งว่าด้านขวาและด้านซ้ายของสมการจะต้องแสดงเป็นกำลังของจำนวนหนึ่ง จริงนี่ทำไปแล้วทางซ้าย แต่ทางขวามีตัวเลขอยู่ แต่ไม่เป็นไร และสมการของฉันก็แปลงเป็นสิ่งนี้ได้อย่างอัศจรรย์:

ฉันมาทำอะไรที่นี่? กฎอะไร? กฎแห่งพลังสู่อำนาจซึ่งอ่านว่า:

เกิดอะไรขึ้นถ้า:

ก่อนตอบคำถามนี้ ให้กรอกข้อมูลในตารางต่อไปนี้:

ไม่ยากที่เราจะสังเกตเห็นว่าค่าที่น้อยกว่าค่าที่น้อยกว่า แต่อย่างไรก็ตามค่าทั้งหมดเหล่านี้มีค่ามากกว่าศูนย์ และจะเป็นเช่นนั้นตลอดไป!!! คุณสมบัติเดียวกันนี้เป็นจริงสำหรับฐานใด ๆ ที่มีดัชนีใด ๆ !! (สำหรับใด ๆ และ). แล้วเราจะสรุปอะไรเกี่ยวกับสมการได้บ้าง? และนี่คือสิ่งหนึ่ง: มัน ไม่มีราก! เฉกเช่นสมการใดๆ ที่ไม่มีราก ตอนนี้มาฝึกและ มาแก้ตัวอย่างง่ายๆ กัน:

มาตรวจสอบกัน:

1. คุณไม่จำเป็นต้องมีสิ่งใดที่นี่ ยกเว้นการรู้คุณสมบัติของพลัง (ซึ่งฉันขอให้คุณพูดซ้ำ!) ตามกฎแล้วทุกอย่างนำไปสู่ฐานที่เล็กที่สุด: , . จากนั้นสมการเดิมจะเท่ากับสมการต่อไปนี้ ทั้งหมดที่ฉันต้องการคือใช้คุณสมบัติของยกกำลัง: เมื่อคูณเลขฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังจะถูกบวก และเมื่อหาร เลขนั้นจะถูกลบจากนั้นฉันจะได้รับ: ทีนี้ ด้วยมโนธรรมที่ชัดเจน ฉันจะย้ายจากสมการเลขชี้กำลังไปเป็นสมการเชิงเส้น: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(จัดตำแหน่ง)

2. ในตัวอย่างที่สอง คุณต้องระมัดระวังมากขึ้น: ปัญหาคือทางด้านซ้าย เราไม่สามารถแสดงตัวเลขเดียวกันกับเลขยกกำลังได้เช่นกัน ในกรณีนี้บางครั้งก็มีประโยชน์ แทนตัวเลขเป็นผลคูณของกำลังที่มีฐานต่างกัน แต่มีเลขชี้กำลังเหมือนกัน:

ด้านซ้ายของสมการจะอยู่ในรูป: สิ่งนี้ให้อะไรเรา และนี่คือสิ่งที่: ตัวเลขที่มีฐานต่างกันแต่เลขชี้กำลังเดียวกันสามารถคูณได้ในกรณีนี้ ฐานจะถูกคูณ แต่เลขชี้กำลังไม่เปลี่ยนแปลง:

นำไปใช้กับสถานการณ์ของฉัน สิ่งนี้จะให้:

\begin(จัดตำแหน่ง)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(จัดตำแหน่ง)

ไม่เลวใช่มั้ย

3. ฉันไม่ชอบเวลาที่โดยไม่จำเป็น ฉันมีพจน์สองพจน์ที่ด้านหนึ่งของสมการ และไม่มีอีกด้านหนึ่ง (บางครั้ง แน่นอนว่านี่เป็นเหตุผล แต่ตอนนี้ไม่เป็นเช่นนั้น) ย้ายเทอมลบไปทางขวา:

อย่างเมื่อก่อน ฉันจะเขียนทุกอย่างผ่านพลังของสามสิ่งนี้:

ฉันบวกกำลังทางซ้ายแล้วได้สมการที่เท่ากัน

คุณสามารถค้นหารูทได้อย่างง่ายดาย:

4. ดังตัวอย่างที่สาม เทอมที่มีเครื่องหมายลบอยู่ทางด้านขวา!

ทางซ้ายผมเกือบทุกอย่างเรียบร้อยดี ยกเว้นเรื่องอะไร? ใช่ "ระดับที่ไม่ถูกต้อง" ของผีสางกวนฉัน แต่ฉันสามารถแก้ไขได้โดยการเขียน: . ยูเรก้า - ทางซ้าย ฐานทั้งหมดต่างกัน แต่องศาทั้งหมดเหมือนกัน! เราทวีคูณอย่างรวดเร็ว!

ที่นี่อีกครั้งทุกอย่างชัดเจน: (ถ้าคุณไม่เข้าใจวิธีที่ฉันได้ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายอย่างน่าอัศจรรย์หยุดพักสักครู่พักสมองและอ่านคุณสมบัติของปริญญาอีกครั้งอย่างระมัดระวังใครบอกว่าคุณสามารถข้ามได้ ดีกรีด้วยเลขชี้กำลังติดลบ อืม ตรงนี้ผมแทบไม่มีเลย) ตอนนี้ฉันจะได้รับ:

\begin(จัดตำแหน่ง)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(จัดตำแหน่ง)

นี่คืองานสำหรับคุณที่จะฝึกฝน ซึ่งฉันจะให้คำตอบเท่านั้น (แต่อยู่ในรูปแบบ "ผสม") แก้ปัญหา ตรวจสอบ และเราจะดำเนินการวิจัยต่อไป!

พร้อม? คำตอบเช่นเหล่านี้:

เลขอะไรก็ได้

โอเค โอเค ฉันพูดเล่น! นี่คือโครงร่างของวิธีแก้ปัญหา (บางส่วนค่อนข้างสั้น!)

คุณไม่คิดว่าเศษส่วนทางซ้ายเป็นเศษส่วน "กลับด้าน" ไม่ใช่เรื่องบังเอิญหรอกหรือ? มันจะเป็นบาปที่จะไม่ใช้สิ่งนี้:

กฎนี้ใช้บ่อยมากในการแก้สมการเลขชี้กำลัง จำไว้ให้ดี!

จากนั้นสมการเดิมจะกลายเป็น:

แก้ใข สมการกำลังสองคุณจะได้รับรากต่อไปนี้:

2. วิธีแก้ไขอื่น: หารทั้งสองส่วนของสมการด้วยนิพจน์ทางด้านซ้าย (หรือขวา) ฉันจะหารด้วยสิ่งที่อยู่ทางขวา แล้วฉันจะได้รับ:

ที่ไหน (ทำไม?!)

3. ไม่อยากพูดซ้ำ ทุกอย่าง "เคี้ยว" ไปหมดแล้ว

4. เทียบเท่ากับสมการกำลังสอง ราก

5. คุณต้องใช้สูตรที่กำหนดในงานแรก แล้วคุณจะได้:

สมการได้กลายเป็นเอกลักษณ์เล็กน้อยซึ่งเป็นจริงสำหรับสิ่งใด แล้วคำตอบก็คือจำนวนจริงใดๆ

เอาละ มาฝึกหัดตัดสินใจ สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดตอนนี้ฉันต้องการยกตัวอย่างชีวิตให้คุณซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจว่าเหตุใดจึงจำเป็นในหลักการ ที่นี่ฉันจะให้สองตัวอย่าง หนึ่งในนั้นค่อนข้างทุกวัน แต่อีกอันเป็นวิทยาศาสตร์มากกว่าความสนใจในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1 (การค้าขาย)ให้คุณมีรูเบิล แต่คุณต้องการเปลี่ยนเป็นรูเบิล ธนาคารเสนอให้คุณนำเงินจำนวนนี้ไปจากคุณในอัตราดอกเบี้ยรายปีโดยคิดดอกเบี้ยเป็นรายเดือน (ยอดคงค้างรายเดือน) คำถามคือ คุณต้องเปิดเงินฝากกี่เดือนจึงจะได้จำนวนเงินสุดท้ายที่ต้องการ? ค่อนข้างเป็นงานทางโลกใช่มั้ย อย่างไรก็ตาม การแก้ปัญหานั้นเชื่อมโยงกับการสร้างสมการเลขชี้กำลังที่สอดคล้องกัน: อนุญาต - จำนวนเงินเริ่มต้น - จำนวนเงินสุดท้าย - อัตราดอกเบี้ยสำหรับงวด - จำนวนงวด แล้ว:

ในกรณีของเรา (หากเป็นอัตราต่อปีก็จะคำนวณเป็นรายเดือน) ทำไมถึงแบ่งเป็น? หากคุณไม่ทราบคำตอบสำหรับคำถามนี้ โปรดจำหัวข้อ ""! จากนั้นเราจะได้สมการต่อไปนี้:

สมการเลขชี้กำลังนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยเครื่องคิดเลขเท่านั้น (มัน รูปร่างคำแนะนำในเรื่องนี้และต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับลอการิทึมซึ่งเราจะทำความคุ้นเคยกับในภายหลัง) ซึ่งฉันจะทำ: ... ดังนั้นในการรับล้านเราต้องทำการฝากเงินเป็นเวลาหนึ่งเดือน (ไม่เร็วมาก , ขวา?).

ตัวอย่างที่ 2 (ค่อนข้างเป็นวิทยาศาสตร์)แม้ว่าเขาจะ "โดดเดี่ยว" อยู่บ้าง แต่ฉันแนะนำให้คุณใส่ใจเขา: เขามักจะ "เข้าสอบ!! (งานนำมาจากเวอร์ชัน "ของจริง") ในช่วงการสลายตัวของไอโซโทปกัมมันตภาพรังสี มวลของมันจะลดลงตามกฎหมาย โดยที่ (มก.) คือมวลเริ่มต้นของไอโซโทป (นาที) คือเวลาที่ผ่านไปจาก โมเมนต์เริ่มต้น (นาที) คือครึ่งชีวิต ในช่วงเวลาเริ่มต้น มวลของไอโซโทปคือ mg ครึ่งชีวิตของมันคือนาที มวลของไอโซโทปจะเท่ากับ mg กี่นาที? ไม่เป็นไร: เราแค่ใช้และแทนที่ข้อมูลทั้งหมดในสูตรที่เสนอให้เรา:

ให้แบ่งทั้งสองส่วนโดย "ด้วยความหวัง" ว่าด้านซ้ายเราจะได้สิ่งที่ย่อยได้:

เราโชคดีมาก! มันอยู่ทางซ้าย จากนั้นไปที่สมการที่เทียบเท่ากัน:

ที่ไหน นาที

อย่างที่คุณเห็น สมการเลขชี้กำลังมีการใช้งานจริงในทางปฏิบัติ ตอนนี้ฉันต้องการคุยกับคุณอีกวิธีหนึ่ง (ง่าย) ในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ซึ่งอิงจากการเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บแล้วจัดกลุ่มเงื่อนไข อย่ากลัวคำพูดของฉันคุณเคยเจอวิธีนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เมื่อคุณศึกษาพหุนาม ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการแยกตัวประกอบนิพจน์:

มาจัดกลุ่มกันเถอะ: คำศัพท์ที่หนึ่งและสาม เช่นเดียวกับคำที่สองและสี่ เป็นที่ชัดเจนว่าอันที่หนึ่งและสามคือความแตกต่างของกำลังสอง:

และที่สองและสี่มีปัจจัยร่วมสาม:

จากนั้นนิพจน์ดั้งเดิมจะเท่ากับสิ่งนี้:

ที่จะนำปัจจัยทั่วไปออกไปไม่ยากอีกต่อไป:

เพราะเหตุนี้,

นี่คือวิธีที่เราจะดำเนินการโดยประมาณเมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง: มองหา "ความธรรมดา" ท่ามกลางคำศัพท์ต่างๆ แล้วนำออกจากวงเล็บ และจากนั้น - ฉันเชื่อว่าเราจะโชคดี =)) ตัวอย่างเช่น

ทางด้านขวาอยู่ไกลจากพลังของเจ็ด (ฉันตรวจสอบแล้ว!) และทางซ้าย - ดีกว่าเล็กน้อยคุณสามารถ "ตัด" ปัจจัย a จากเทอมแรกและจากที่สองแล้วจัดการกับ ผลลัพธ์ที่ได้ แต่ขอให้ทำอย่างรอบคอบมากขึ้นกับคุณ ฉันไม่ต้องการจัดการกับเศษส่วนที่เกิดจาก "การเลือก" อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ดังนั้นฉันควรอดทนไว้ดีกว่าไหม ถ้าอย่างนั้นฉันจะไม่มีเศษส่วน อย่างที่เขาพูด ทั้งหมาป่าเต็มไปหมดและแกะก็ปลอดภัย

นับนิพจน์ในวงเล็บ ปรากฎว่าอย่างน่าอัศจรรย์อย่างน่าอัศจรรย์ (น่าประหลาดใจแม้ว่าเราจะคาดหวังอะไรได้อีก)

จากนั้นเราลดสมการทั้งสองข้างด้วยตัวประกอบนี้ เราได้รับ: ที่ไหน

นี่เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น (ค่อนข้างจริง):

นี่แหละปัญหา! เราไม่มีพื้นฐานร่วมกันที่นี่! ยังไม่ชัดเจนว่าต้องทำอะไรในตอนนี้ และทำสิ่งที่เราทำได้ อันดับแรก เราจะย้าย "สี่" ไปในทิศทางหนึ่ง และ "ห้า" ในอีกทางหนึ่ง:

ทีนี้ลองเอา "ทั่วไป" ทางซ้ายและขวาออก:

แล้วตอนนี้ล่ะ? ประโยชน์ของการรวมกลุ่มที่โง่เขลาเช่นนี้คืออะไร? เมื่อมองแวบแรกจะมองไม่เห็นเลย แต่ให้มองลึกลงไป:

ทีนี้ เรามาทำให้ด้านซ้ายมีแต่นิพจน์ c และทางขวา - อย่างอื่น เราจะทำได้อย่างไร? และนี่คือวิธี: หารทั้งสองข้างของสมการก่อนด้วย (เราจึงกำจัดเลขชี้กำลังทางขวา) แล้วหารทั้งสองข้างด้วย (เราจึงกำจัดตัวประกอบตัวเลขทางด้านซ้าย) ในที่สุดเราก็ได้:

เหลือเชื่อ! ทางด้านซ้ายเรามีนิพจน์และทางด้านขวา - แค่ แล้วเราก็สรุปได้ทันทีว่า

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งที่ช่วยเสริม:

ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ ของเขา (ไม่ต้องอธิบายมาก) พยายามหา "รายละเอียดปลีกย่อย" ทั้งหมดของวิธีแก้ปัญหาด้วยตัวเอง

ตอนนี้การรวมวัสดุขั้นสุดท้ายที่ครอบคลุม ลองแก้ปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวเอง ฉันจะให้คำแนะนำสั้น ๆ และเคล็ดลับในการแก้ปัญหาเท่านั้น:

ลองแยกตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:
เราเป็นตัวแทนของนิพจน์แรกในรูปแบบ: , หารทั้งสองส่วนด้วยและรับ that
จากนั้นสมการดั้งเดิมจะถูกแปลงเป็นรูปแบบ: ทีนี้คำใบ้ - มองหาที่ที่คุณและฉันแก้สมการนี้ไปแล้ว!
ลองนึกภาพว่ายังไง ยังไง อืม แล้วหารทั้งสองส่วนด้วย คุณจะได้สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด
เอามันออกจากวงเล็บ
เอามันออกจากวงเล็บ

สมการเอ็กซ์โพซิชั่นแนล ระดับเฉลี่ย

ฉันคิดว่าหลังจากอ่านบทความแรกที่บอก สมการเลขชี้กำลังคืออะไรและจะแก้อย่างไรคุณได้เชี่ยวชาญความรู้ขั้นต่ำที่จำเป็นในการแก้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด

ตอนนี้ผมจะวิเคราะห์วิธีอื่นในการแก้สมการเลขชี้กำลัง นี้คือ

"วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่" (หรือการแทนที่)เขาแก้ปัญหาที่ "ยาก" ส่วนใหญ่ในหัวข้อของสมการเลขชี้กำลัง (และไม่ใช่แค่สมการเท่านั้น) วิธีนี้เป็นวิธีหนึ่งที่ใช้บ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ อันดับแรก ฉันแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับหัวข้อนี้

ตามที่คุณเข้าใจจากชื่อแล้ว สาระสำคัญของวิธีนี้คือการแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร ซึ่งสมการเลขชี้กำลังของคุณจะแปลงเป็นตัวแปรที่คุณแก้ได้อย่างง่ายดายอยู่แล้ว สิ่งที่เหลืออยู่สำหรับคุณหลังจากแก้ "สมการแบบง่าย" นี้ก็คือการทำ "การแทนที่แบบย้อนกลับ" นั่นคือการกลับจากการแทนที่เป็นการแทนที่ มาอธิบายสิ่งที่เราเพิ่งพูดไปด้วยตัวอย่างง่ายๆ กัน:

ตัวอย่างที่ 1:

สมการนี้แก้ได้ด้วย "การแทนที่อย่างง่าย" ตามที่นักคณิตศาสตร์เรียกมันว่าดูหมิ่น อันที่จริง การแทนที่ที่นี่ชัดเจนที่สุด แค่เห็นก็คุ้มแล้ว

จากนั้นสมการเดิมจะกลายเป็น:

หากเราจินตนาการเพิ่มเติมว่าต้องเปลี่ยนอะไรจึงค่อนข้างชัดเจน: แน่นอน . แล้วสมการเดิมจะกลายเป็นอะไร? และนี่คือสิ่งที่:

คุณสามารถค้นหารากของมันได้อย่างง่ายดาย:. ตอนนี้เราจะทำอย่างไร? ได้เวลากลับสู่ตัวแปรเดิม ฉันลืมใส่อะไร กล่าวคือเมื่อแทนที่ระดับหนึ่งด้วยตัวแปรใหม่ (นั่นคือเมื่อแทนที่ประเภท) ฉันจะสนใจ รากบวกเท่านั้น!คุณเองก็ตอบได้ว่าทำไม ดังนั้นเราจึงไม่สนใจคุณ แต่รูทที่สองค่อนข้างเหมาะสำหรับเรา:

แล้วที่.

ตอบ:

อย่างที่คุณเห็น ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ การแทนที่กำลังขอมือของเรา น่าเสียดายที่นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป อย่างไรก็ตาม อย่าพูดถึงความเศร้าโดยตรง แต่ให้ฝึกอีกตัวอย่างหนึ่งด้วยการแทนที่ที่ค่อนข้างง่าย

ตัวอย่างที่ 2

เป็นที่ชัดเจนว่ามีความเป็นไปได้มากที่สุดที่จะต้องเปลี่ยน (นี่คือพลังที่เล็กที่สุดที่รวมอยู่ในสมการของเรา) อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะแนะนำการแทนที่ สมการของเราต้อง "เตรียมพร้อม" สำหรับมัน กล่าวคือ: , . จากนั้นคุณสามารถแทนที่ด้วยเหตุนี้ฉันจะได้รับนิพจน์ต่อไปนี้:

โอ้ สยองขวัญ: สมการลูกบาศก์ที่มีสูตรการแก้ปัญหาที่แย่มาก (พูดในแง่ทั่วไป) แต่อย่าเพิ่งหมดหวังในทันที แต่ให้คิดว่าเราควรทำอย่างไร ฉันจะแนะนำให้โกง: เรารู้ว่าเพื่อให้ได้คำตอบที่ "สวยงาม" เราต้องอยู่ในรูปของกำลังสาม (ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น ห๊ะ?) และลองเดารากของสมการของเราอย่างน้อยหนึ่งราก (ฉันจะเริ่มเดาจากยกกำลังสาม)

เดาก่อน ไม่ใช่ราก. อนิจจาและอา...

.
ด้านซ้ายเท่ากัน
ส่วนขวา: !
มี! เดารากแรก ตอนนี้สิ่งต่าง ๆ จะง่ายขึ้น!

คุณรู้เกี่ยวกับรูปแบบการแบ่ง "มุม" หรือไม่? แน่นอน คุณใช้มันเมื่อหารเลขตัวหนึ่งด้วยอีกตัวหนึ่ง แต่มีเพียงไม่กี่คนที่รู้ว่าพหุนามสามารถทำได้เช่นเดียวกัน มีทฤษฎีบทหนึ่งที่ยอดเยี่ยม:

ใช้ได้กับสถานการณ์ของฉัน มันบอกฉันว่าอะไรที่หารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ การแบ่งงานเป็นอย่างไร? นั่นเป็นวิธีที่:

ฉันดูว่าโมโนเมียตัวใดที่ฉันควรคูณเพื่อให้ได้เคลียร์ จากนั้น:

ฉันลบนิพจน์ผลลัพธ์ออกจาก ฉันได้รับ:

ทีนี้ ต้องคูณอะไรถึงจะได้? เป็นที่ชัดเจนว่าเมื่อนั้นฉันจะได้รับ:

และลบนิพจน์ผลลัพธ์อีกครั้งจากนิพจน์ที่เหลือ:

ขั้นตอนสุดท้าย ผมคูณและลบออกจากนิพจน์ที่เหลือ:

ไชโย ดิวิชั่นจบลงแล้ว! เราสะสมอะไรไว้เป็นการส่วนตัว? ด้วยตัวมันเอง: .

จากนั้นเราได้การขยายตัวของพหุนามดั้งเดิมดังต่อไปนี้:

มาแก้สมการที่สองกัน:

มันมีราก:

แล้วสมการเดิมคือ

มีสามราก:

แน่นอนว่าเราทิ้งรูทสุดท้ายเนื่องจากมีค่าน้อยกว่าศูนย์ และสองตัวแรกหลังจากการแทนที่แบบย้อนกลับจะให้รากที่สองแก่เรา:

ตอบ: ..

จากตัวอย่างนี้ ฉันไม่ได้ต้องการทำให้คุณกลัวเลย ฉันตั้งใจจะแสดงว่าถึงแม้เราจะมีการแทนที่ที่ค่อนข้างง่าย แต่ก็ยังนำไปสู่สมการที่ค่อนข้างซับซ้อน ซึ่งการแก้ปัญหาต้องใช้ทักษะพิเศษบางอย่างจากเรา . ไม่มีใครรอดพ้นจากสิ่งนี้ แต่การเปลี่ยนแปลงในกรณีนี้ค่อนข้างชัดเจน

นี่คือตัวอย่างที่มีการแทนที่ที่ชัดเจนน้อยกว่าเล็กน้อย:

ไม่ชัดเจนเลยว่าเราควรจะทำอะไร ปัญหาคือในสมการของเรามีฐานที่แตกต่างกันสองฐาน และฐานหนึ่งไม่สามารถหาได้จากอีกฐานหนึ่งโดยการเพิ่มระดับใดๆ (ที่สมเหตุสมผลและเป็นธรรมชาติ) อย่างไรก็ตาม เราเห็นอะไร? ฐานทั้งสองต่างกันในเครื่องหมายเท่านั้น และผลิตภัณฑ์ของฐานคือส่วนต่างของกำลังสองเท่ากับหนึ่ง:

คำนิยาม:

ดังนั้น ตัวเลขที่เป็นฐานในตัวอย่างของเราจึงเป็นคอนจูเกต

ในกรณีนี้ การเคลื่อนไหวที่ชาญฉลาดจะเป็น คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนคอนจูเกต

ตัวอย่างเช่น บน จากนั้นด้านซ้ายของสมการจะเท่ากับและด้านขวา ถ้าเราทำการแทนที่ สมการเดิมของเรากับคุณจะกลายเป็นแบบนี้:

รากของมัน แต่เมื่อจำได้ว่าเราเข้าใจแล้ว

ตอบ: , .

ตามกฎแล้ว วิธีการแทนที่ก็เพียงพอที่จะแก้สมการเลขชี้กำลัง "โรงเรียน" ส่วนใหญ่ได้ งานต่อไปนี้นำมาจาก USE C1 ( ระดับสูงความยากลำบาก) คุณมีความรู้เพียงพอที่จะแก้ไขตัวอย่างเหล่านี้ด้วยตัวเอง ฉันจะให้เฉพาะสิ่งทดแทนที่จำเป็นเท่านั้น

แก้สมการ:
ค้นหารากของสมการ:
แก้สมการ: . ค้นหารากทั้งหมดของสมการนี้ที่เป็นของกลุ่ม:

สำหรับคำอธิบายและคำตอบอย่างรวดเร็ว:

ที่นี่ก็เพียงพอแล้วที่จะทราบว่าและ จากนั้นสมการเดิมจะเท่ากับสมการนี้: สมการนี้แก้ได้โดยแทนที่ ทำการคำนวณต่อไปนี้ด้วยตัวเอง ในที่สุด งานของคุณจะลดลงเพื่อแก้ตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด (ขึ้นอยู่กับไซน์หรือโคไซน์) เราจะพูดถึงวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างดังกล่าวในส่วนอื่นๆ
ที่นี่คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องเปลี่ยน: แค่ย้าย subtrahend ไปทางขวาและแทนฐานทั้งสองด้วยกำลังสอง: แล้วไปที่สมการกำลังสองทันที
สมการที่สามได้รับการแก้ไขด้วยวิธีที่ค่อนข้างเป็นมาตรฐาน: ลองนึกดูว่า จากนั้นแทนที่เราจะได้สมการกำลังสอง: แล้ว
คุณรู้อยู่แล้วว่าลอการิทึมคืออะไร? ไม่? แล้วรีบอ่านหัวข้อ!

เห็นได้ชัดว่ารูทแรกไม่ได้อยู่ในเซ็กเมนต์และรูทที่สองเข้าใจยาก! แต่เราจะพบในไม่ช้า! ตั้งแต่นั้นมา (นี่คือคุณสมบัติของลอการิทึม!) มาเปรียบเทียบกัน:

ลบออกจากทั้งสองส่วนแล้วเราจะได้:

ด้านซ้ายสามารถแสดงเป็น:

คูณทั้งสองข้างด้วย:

สามารถคูณด้วย แล้ว

แล้วมาเปรียบเทียบกัน:

ตั้งแต่นั้นมา:

จากนั้นรูทที่สองเป็นของช่วงเวลาที่ต้องการ

ตอบ:

อย่างที่คุณเห็น, การเลือกรากของสมการเลขชี้กำลังต้องใช้ความรู้เชิงลึกเกี่ยวกับคุณสมบัติของลอการิทึมดังนั้นฉันจึงแนะนำให้คุณระมัดระวังในการแก้สมการเลขชี้กำลังให้มากที่สุด อย่างที่คุณทราบในวิชาคณิตศาสตร์ทุกอย่างเชื่อมโยงถึงกัน! อย่างที่ครูคณิตศาสตร์ของฉันเคยพูดว่า: "คุณไม่สามารถอ่านคณิตศาสตร์เหมือนประวัติศาสตร์ในชั่วข้ามคืน"

ตามกฎแล้วทั้งหมด ความยากในการแก้ปัญหา C1 คือการเลือกรากของสมการอย่างแม่นยำมาฝึกกันด้วยตัวอย่างอื่น:

เป็นที่ชัดเจนว่าสมการนั้นแก้ได้ค่อนข้างง่าย เมื่อทำการแทนที่แล้ว เราลดสมการดั้งเดิมของเราเป็นดังนี้:

มาดูรากแรกกันก่อน เปรียบเทียบและ: ตั้งแต่นั้นมา (คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม, at) เป็นที่ชัดเจนว่ารูทแรกไม่ได้อยู่ในช่วงเวลาของเราเช่นกัน ตอนนี้รูทที่สอง: . เป็นที่ชัดเจนว่า (เนื่องจากฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น). มันยังคงเปรียบเทียบและ

ตั้งแต่นั้นมาในเวลาเดียวกัน ดังนั้นฉันจึงสามารถ "ตอกหมุด" ระหว่าง และ หมุดนี้เป็นตัวเลข นิพจน์แรกมีค่าน้อยกว่า และนิพจน์ที่สองมีค่ามากกว่า จากนั้นนิพจน์ที่สองจะมากกว่านิพจน์แรกและรูทเป็นของช่วงเวลา

ตอบ: .

โดยสรุป มาดูตัวอย่างอื่นของสมการที่การแทนที่ค่อนข้างไม่เป็นมาตรฐาน:

มาเริ่มกันทันทีด้วยสิ่งที่คุณทำได้ และสิ่งที่ - โดยหลักการแล้ว คุณทำได้ แต่อย่าทำจะดีกว่า เป็นไปได้ - เพื่อเป็นตัวแทนของทุกสิ่งผ่านพลังของสาม สอง และหก มันนำไปสู่ที่ไหน? ใช่และจะไม่นำไปสู่สิ่งใด: การผสมผสานขององศาซึ่งบางส่วนจะค่อนข้างยากที่จะกำจัด แล้วอะไรคือสิ่งที่จำเป็น? ให้สังเกตว่า ก และจะให้อะไรเราบ้าง? และความจริงที่ว่าเราสามารถลดคำตอบของตัวอย่างนี้เป็นคำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ค่อนข้างง่ายได้! อันดับแรก ให้เขียนสมการของเราใหม่เป็น:

ตอนนี้เราแบ่งทั้งสองข้างของสมการที่ได้ออกเป็น:

ยูเรก้า! ตอนนี้เราสามารถแทนที่เราได้:

ตอนนี้ถึงตาคุณแล้วที่จะแก้ปัญหาสำหรับการสาธิต และฉันจะนำมันมาที่ ความคิดเห็นสั้น ๆเพื่อไม่ให้หลงทาง ทางที่ถูก! ขอให้โชคดี!

1. ยากที่สุด! เห็นมาแทนนี่ช่างน่าเกลียดจริงๆ! อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้อย่างสมบูรณ์โดยใช้ การเลือกสี่เหลี่ยมเต็ม. เพื่อแก้ปัญหานี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะทราบว่า:

นี่คือสิ่งทดแทนของคุณ:

(โปรดทราบว่าในที่นี้ การแทนที่ของเรา เราไม่สามารถทิ้งรากเชิงลบได้!!! และทำไม คุณคิดอย่างไร?)

ในการแก้ตัวอย่าง คุณต้องแก้สมการสองสมการ:

ทั้งคู่ได้รับการแก้ไขโดย "การแทนที่มาตรฐาน" (แต่อันที่สองในตัวอย่างเดียว!)

2. สังเกตว่าและทำการทดแทน

3. ขยายจำนวนเป็นปัจจัยร่วมและทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้น

4. หารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย (หรือถ้าต้องการ) แล้วทำการแทนที่ หรือ

5. โปรดทราบว่าตัวเลขและคอนจูเกต

สมการเอ็กซ์โพซิชั่นแนล ระดับสูง

นอกจากนี้ ลองดูวิธีอื่น - การแก้สมการเลขชี้กำลังโดยวิธีลอการิทึม. ฉันไม่สามารถพูดได้ว่าคำตอบของสมการเลขชี้กำลังด้วยวิธีนี้เป็นที่นิยมมาก แต่ในบางกรณีเท่านั้นที่จะสามารถนำเราไปสู่คำตอบที่ถูกต้องของสมการของเราได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมักจะใช้เพื่อแก้ปัญหาที่เรียกว่า " สมการผสม' คือ ที่ซึ่งมีหน้าที่ประเภทต่างๆ.

ตัวอย่างเช่น สมการเช่น:

ในกรณีทั่วไป สามารถแก้ไขได้โดยนำลอการิทึมของทั้งสองส่วน (เช่น ตามฐาน) ซึ่งสมการเดิมจะกลายเป็นดังนี้:

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:

เห็นได้ชัดว่าเราสนใจเฉพาะ ODZ ของฟังก์ชันลอการิทึมเท่านั้น อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่เพียงแค่ติดตามจาก ODZ ของลอการิทึมเท่านั้น แต่ด้วยเหตุผลอื่นด้วย ฉันคิดว่ามันจะไม่ยากสำหรับคุณที่จะเดาว่าอันไหน

ลองหาลอการิทึมของสมการทั้งสองข้างไปที่ฐานกัน:

อย่างที่คุณเห็น การใช้ลอการิทึมของสมการเดิมทำให้เราได้คำตอบที่ถูกต้อง (และสวยงาม!) อย่างรวดเร็ว มาฝึกกันด้วยตัวอย่างอื่น:

ตรงนี้ก็เช่นกัน ไม่มีอะไรต้องกังวล: เราเอาลอการิทึมของสมการทั้งสองข้างมาในรูปของฐาน แล้วเราจะได้:

มาทำสิ่งทดแทนกัน:

อย่างไรก็ตาม เราพลาดบางสิ่งไป! คุณสังเกตเห็นว่าฉันทำผิดพลาดที่ไหน? ท้ายที่สุดแล้ว:

ซึ่งไม่เป็นไปตามข้อกำหนด (คิดว่ามันมาจากไหน!)

ตอบ:

ลองเขียนคำตอบของสมการเลขชี้กำลังด้านล่าง:

ตรวจสอบโซลูชันของคุณด้วยสิ่งนี้:

1. เราลอการิทึมทั้งสองส่วนเข้ากับฐาน โดยที่:

(รากที่สองไม่เหมาะกับเราเนื่องจากการแทนที่)

2. ลอการิทึมสู่ฐาน:

ลองแปลงนิพจน์ผลลัพธ์เป็นรูปแบบต่อไปนี้:

สมการเอ็กซ์โพซิชั่นแนล คำอธิบายโดยย่อและสูตรพื้นฐาน

สมการเลขชี้กำลัง

สมการประเภท:

เรียกว่า สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

คุณสมบัติองศา

แนวทางการแก้ปัญหา

ลดลงเป็นฐานเดียวกัน
ลดลงเป็นเลขชี้กำลังเดียวกัน
การทดแทนตัวแปร
ลดความซับซ้อนของนิพจน์และใช้อย่างใดอย่างหนึ่งข้างต้น