ฐานของลอการิทึมธรรมชาติคือ e ยกกำลัง ลอการิทึม. ลอการิทึมธรรมชาติ
คุณสมบัติหลักจะได้รับ ลอการิทึมธรรมชาติ, กราฟ, โดเมนของคำจำกัดความ, ชุดของค่า, สูตรพื้นฐาน, อนุพันธ์, อินทิกรัล, การขยายในอนุกรมกำลังและการแทนค่าฟังก์ชัน ln x โดยใช้จำนวนเชิงซ้อน
คำนิยาม
ลอการิทึมธรรมชาติคือฟังก์ชัน y = ln x, ผกผันกับเลขชี้กำลัง x \u003d e y และซึ่งเป็นลอการิทึมของฐานของตัวเลข e: ln x = บันทึก e x.
ลอการิทึมธรรมชาติใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์เนื่องจากอนุพันธ์มีรูปแบบที่ง่ายที่สุด: (ln x)′ = 1/ x.
ซึ่งเป็นรากฐาน คำจำกัดความ, ฐานของลอการิทึมธรรมชาติคือจำนวน อี:
อี ≅ 2.718281828459045...;
.
กราฟของฟังก์ชัน y = ln x.
กราฟของลอการิทึมธรรมชาติ (ฟังก์ชัน y = ln x) ได้มาจากกราฟของเลขชี้กำลังโดยเงาสะท้อนของเส้นตรง y = x
ลอการิทึมธรรมชาติถูกกำหนดไว้ที่ ค่าบวกตัวแปร x มันเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจในขอบเขตของคำจำกัดความ
เป็น x → 0 ขีดจำกัดของลอการิทึมธรรมชาติคือลบอนันต์ ( - ∞ )
เมื่อ x → + ∞ ลิมิตของลอการิทึมธรรมชาติจะเป็นบวกอนันต์ ( + ∞ ) สำหรับ x มาก ลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นค่อนข้างช้า ฟังก์ชันกำลังใดๆ x a ที่มีเลขชี้กำลังบวก a จะโตเร็วกว่าลอการิทึม
คุณสมบัติของลอการิทึมธรรมชาติ
Domain of definition, ชุดของค่า, extrema, เพิ่มขึ้น, ลดลง
ลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน ดังนั้นจึงไม่มีส่วนปลายสุด คุณสมบัติหลักของลอการิทึมธรรมชาติแสดงอยู่ในตาราง
ln x ค่า
บันทึก 1 = 0
สูตรพื้นฐานสำหรับลอการิทึมธรรมชาติ
สูตรที่เกิดจากนิยามของฟังก์ชันผกผัน:
คุณสมบัติหลักของลอการิทึมและผลที่ตามมา
สูตรทดแทนเบส
ลอการิทึมใดๆ สามารถแสดงในรูปของลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงฐาน:
บทพิสูจน์ของสูตรเหล่านี้แสดงอยู่ในส่วน "ลอการิทึม"
ฟังก์ชันผกผัน
ส่วนกลับของลอการิทึมธรรมชาติคือเลขชี้กำลัง
ถ้า แล้ว
ถ้าอย่างนั้น .
อนุพันธ์ ln x
อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ:
.
อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของโมดูโล x:
.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
.
ที่มาของสูตร > > >
ปริพันธ์
อินทิกรัลคำนวณโดยการรวมตามส่วนต่างๆ:
.
ดังนั้น,
นิพจน์ในรูปของจำนวนเชิงซ้อน
พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน z :
.
มาแสดงตัวแปรเชิงซ้อนกัน zผ่านโมดูล rและข้อโต้แย้ง φ
:
.
โดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม เรามี:
.
หรือ
.
อาร์กิวเมนต์ φ ไม่ได้กำหนดไว้อย่างเฉพาะเจาะจง ถ้าเราใส่
โดยที่ n คือจำนวนเต็ม
แล้วมันจะเป็นจำนวนเดียวกันสำหรับ n ที่ต่างกัน
ดังนั้นลอการิทึมธรรมชาติในฐานะฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนจึงไม่ใช่ฟังก์ชันค่าเดียว
การขยายซีรีย์พาวเวอร์
สำหรับ การขยายจะเกิดขึ้น:
ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Educational Institutions, Lan, 2009.
มักจะใช้ตัวเลข อี = 2,718281828 . ลอการิทึมในฐานนี้เรียกว่า เป็นธรรมชาติ. เมื่อทำการคำนวณด้วยลอการิทึมธรรมชาติ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้เครื่องหมาย lน, แต่ไม่ บันทึก; ในขณะที่ตัวเลข 2,718281828 กำหนดฐานไม่ระบุ
กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้อยคำจะมีลักษณะดังนี้: ลอการิทึมธรรมชาติตัวเลข Xเป็นเลขชี้กำลังที่จะเพิ่มจำนวนขึ้น อี, ที่จะได้รับ x.
ดังนั้น, ล.(7,389...)= 2 เพราะ อี 2 =7,389... . ลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลขเอง อี= 1 เพราะ อี 1 =อีและลอการิทึมธรรมชาติของเอกภาพเท่ากับศูนย์ตั้งแต่ อี 0 = 1.
ตัวเลขตัวเอง อีกำหนดขีดจำกัดของลำดับขอบเขตเสียงเดียว
คำนวณว่า อี = 2,7182818284... .
บ่อยครั้งในการแก้ไขตัวเลขในหน่วยความจำ ตัวเลขของจำนวนที่ต้องการนั้นสัมพันธ์กับวันที่ค้างอยู่บางวัน ความเร็วในการจำเก้าหลักแรกของตัวเลข อีหลังจุดทศนิยมจะเพิ่มขึ้นหากสังเกตว่าปี 1828 เป็นปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย!
จนถึงปัจจุบันมีตารางลอการิทึมธรรมชาติที่ค่อนข้างสมบูรณ์
กราฟบันทึกธรรมชาติ(ฟังก์ชั่น y=ln x) เป็นผลมาจากพล็อตของเลขชี้กำลังเป็นภาพสะท้อนในกระจกเทียบกับเส้นตรง y = xและดูเหมือนว่า:
ลอการิทึมธรรมชาติหาได้จากจำนวนจริงบวกทุกตัว เอเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้ง y = 1/xจาก 1 ก่อน เอ.
ลักษณะเบื้องต้นของสูตรนี้ ซึ่งเข้ากันได้ดีกับสูตรอื่นๆ มากมายที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมธรรมชาติ เป็นสาเหตุของการเกิดชื่อ "ธรรมชาติ"
ถ้าเราวิเคราะห์ ลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันจริงของตัวแปรจริง แล้วมันทำหน้าที่ ฟังก์ชันผกผันไปเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ซึ่งลดเป็นข้อมูลเฉพาะตัว:
ln(a)=a (a>0)
ln(e a)=a
โดยการเปรียบเทียบกับลอการิทึมทั้งหมด ลอการิทึมธรรมชาติแปลงการคูณเป็นการบวก การหารเพื่อการลบ:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
ลอการิทึมสามารถหาได้สำหรับทุกฐานบวกที่ไม่เท่ากับหนึ่ง ไม่ใช่แค่สำหรับ อีแต่ลอการิทึมสำหรับฐานอื่นแตกต่างจากลอการิทึมธรรมชาติโดยตัวประกอบคงที่เท่านั้น และมักจะกำหนดไว้ในแง่ของลอการิทึมธรรมชาติ
วิเคราะห์แล้ว กราฟบันทึกธรรมชาติเราได้รับว่ามันมีอยู่สำหรับค่าบวกของตัวแปร x. มันเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจในขอบเขตของคำจำกัดความ
ที่ x → 0 ลิมิตของลอการิทึมธรรมชาติคือลบอนันต์ ( -∞ ).ที่ x → +∞ ลิมิตของลอการิทึมธรรมชาติเป็นบวกอนันต์ ( + ∞ ). ที่มีขนาดใหญ่ xลอการิทึมเพิ่มขึ้นค่อนข้างช้า ฟังก์ชั่นพลังงานใด ๆ x aด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นบวก เอเพิ่มขึ้นเร็วกว่าลอการิทึม ลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน ดังนั้นจึงไม่มีส่วนปลายสุด
การใช้งาน ลอการิทึมธรรมชาติมีเหตุผลมากในทางคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น ดังนั้น การใช้ลอการิทึมจึงสะดวกสำหรับการค้นหาคำตอบของสมการที่ค่านิรนามปรากฏเป็นเลขชี้กำลัง การใช้ลอการิทึมธรรมชาติในการคำนวณช่วยให้สะดวกขึ้นอย่างมาก จำนวนมากของสูตรทางคณิตศาสตร์ ลอการิทึมฐาน อี มีอยู่ในการแก้ปัญหาทางกายภาพจำนวนมาก และรวมอยู่ในคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทางเคมี ชีวภาพ และกระบวนการอื่นๆ ของแต่ละบุคคล ดังนั้น ลอการิทึมจึงถูกใช้ในการคำนวณค่าคงที่การสลายตัวสำหรับครึ่งชีวิตที่ทราบ หรือเพื่อคำนวณเวลาการสลายตัวในการแก้ปัญหากัมมันตภาพรังสี พวกเขาดำเนินการใน บทบาทนำในสาขาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เชิงปฏิบัติหลายสาขา ใช้ในด้านการเงินเพื่อแก้ปัญหาจำนวนมาก รวมทั้งในการคำนวณดอกเบี้ยทบต้น
ลอการิทึมธรรมชาติ
กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ ฟังก์ชันจะเข้าใกล้อินฟินิตี้บวกอย่างช้าๆ เช่น xและเข้าใกล้อนันต์เชิงลบอย่างรวดเร็วเมื่อ xมีแนวโน้มที่จะ 0 (“ช้า” และ “เร็ว” เมื่อเทียบกับใดๆ ฟังก์ชั่นพลังงานจาก x).
ลอการิทึมธรรมชาติเป็นลอการิทึมฐาน , ที่ไหน อีเป็นค่าคงที่อตรรกยะ เท่ากับประมาณ 2.718281 828 . ลอการิทึมธรรมชาติมักจะแสดงเป็น ln( x), บันทึก อี (x) หรือบางครั้งก็แค่บันทึก ( x) ถ้าฐาน อีโดยนัย
ลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลข x(เขียนว่า บันทึก(x)) เป็นเลขชี้กำลังที่คุณต้องการเพิ่มจำนวน อี, ที่จะได้รับ x. ตัวอย่างเช่น, ล.(7,389...)เท่ากับ 2 เพราะ อี 2 =7,389... . ลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลขเอง อี (ln(จ)) เท่ากับ 1 เพราะ อี 1 = อีและลอการิทึมธรรมชาติ 1 ( บันทึก(1)) เป็น 0 เพราะ อี 0 = 1.
ลอการิทึมธรรมชาติสามารถกำหนดสำหรับจำนวนจริงบวกใดๆ ได้ เอเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้ง y = 1/xตั้งแต่ 1 ถึง เอ. ความเรียบง่ายของคำจำกัดความนี้ ซึ่งสอดคล้องกับสูตรอื่นๆ มากมายที่ใช้ลอการิทึมธรรมชาติ ทำให้เกิดชื่อ "ธรรมชาติ" คำจำกัดความนี้สามารถขยายเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ ซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง
หากเราพิจารณาลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันจริงของตัวแปรจริง แสดงว่าเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ซึ่งจะนำไปสู่เอกลักษณ์:
เช่นเดียวกับลอการิทึมทั้งหมด ลอการิทึมธรรมชาติจับคู่การคูณเข้ากับการบวก:
ดังนั้น ฟังก์ชันลอการิทึมจึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มจำนวนจริงบวกที่เกี่ยวกับการคูณด้วยกลุ่มของจำนวนจริงโดยการบวก ซึ่งสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันได้:
ลอการิทึมสามารถกำหนดได้สำหรับฐานบวกใดๆ ที่ไม่ใช่ 1 ไม่ใช่เพียง อีแต่ลอการิทึมสำหรับฐานอื่นแตกต่างจากลอการิทึมธรรมชาติโดยตัวประกอบคงที่เท่านั้น และมักจะกำหนดไว้ในแง่ของลอการิทึมธรรมชาติ ลอการิทึมมีประโยชน์สำหรับการแก้สมการที่มีค่านิรนามเป็นเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมถูกใช้เพื่อค้นหาค่าคงที่การสลายตัวสำหรับครึ่งชีวิตที่ทราบ หรือเพื่อค้นหาเวลาการสลายตัวในการแก้ปัญหากัมมันตภาพรังสี พวกเขามีบทบาทสำคัญในหลาย ๆ ด้านของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ประยุกต์ใช้ในด้านการเงินเพื่อแก้ปัญหามากมายรวมถึงการหาดอกเบี้ยทบต้น
เรื่องราว
Nicholas Mercator กล่าวถึงลอการิทึมธรรมชาติครั้งแรกในงานของเขา ลอการิทึมโมเทคเนียซึ่งตีพิมพ์ในปี 1668 แม้ว่าครูคณิตศาสตร์ John Spydell ได้รวบรวมตารางลอการิทึมธรรมชาติในปี 1619 ก่อนหน้านี้เรียกว่าลอการิทึมไฮเปอร์โบลิกเพราะมันสอดคล้องกับพื้นที่ใต้ไฮเปอร์โบลา บางครั้งเรียกว่าลอการิทึม Napier แม้ว่าความหมายดั้งเดิมของคำนี้จะแตกต่างกันบ้าง
อนุสัญญาสัญกรณ์
ลอการิทึมธรรมชาติมักจะเขียนแทนด้วย "ln( x)”, ลอการิทึมฐาน 10 ถึง “lg( x)" และเป็นเรื่องปกติที่จะระบุเหตุผลอื่นๆ อย่างชัดเจนด้วยสัญลักษณ์ "บันทึก"
ในบทความหลายฉบับเกี่ยวกับคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง ไซเบอร์เนติกส์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ ผู้เขียนใช้สัญกรณ์ “log( x)" สำหรับลอการิทึมถึงฐาน 2 แต่ข้อตกลงนี้ไม่เป็นที่ยอมรับในระดับสากลและต้องมีการชี้แจง ไม่ว่าจะอยู่ในรายการของสัญกรณ์ที่ใช้หรือ (หากไม่มีรายการดังกล่าว) โดยเชิงอรรถหรือความคิดเห็นในการใช้งานครั้งแรก
วงเล็บรอบอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม (หากไม่นำไปสู่การอ่านสูตรผิดพลาด) มักจะละเว้น และเมื่อยกลอการิทึมเป็นยกกำลัง เลขชี้กำลังจะถือว่าตรงกับเครื่องหมายของลอการิทึม: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .
ระบบแองโกล-อเมริกัน
นักคณิตศาสตร์ นักสถิติ และวิศวกรบางคนมักใช้ "log( x)" หรือ "ln( x)" และเพื่อแสดงลอการิทึมเป็นฐาน 10 - "log 10 ( x)».
วิศวกร นักชีววิทยา และผู้เชี่ยวชาญบางคนมักจะเขียนว่า "ln( x)" (หรือบางครั้ง "log e ( x)") เมื่อมันหมายถึงลอการิทึมธรรมชาติและสัญกรณ์ "log( x)" หมายถึง บันทึก 10 ( x).
บันทึก อีเป็นลอการิทึม "ธรรมชาติ" เพราะมันเกิดขึ้นโดยอัตโนมัติและปรากฏบ่อยมากในวิชาคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น พิจารณาปัญหาของอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม:
ถ้าฐาน ขเท่ากับ อีแล้วอนุพันธ์ก็แค่ 1/ x, และเมื่อ x= 1 อนุพันธ์นี้เท่ากับ 1 เหตุผลอื่นที่ฐาน อีลอการิทึมเป็นธรรมชาติที่สุด นั่นคือมันสามารถนิยามได้ง่ายๆ ในแง่ของอินทิกรัลธรรมดาหรืออนุกรมเทย์เลอร์ ซึ่งไม่สามารถพูดถึงลอการิทึมอื่นๆ ได้
การยืนยันเพิ่มเติมของความเป็นธรรมชาติไม่เกี่ยวข้องกับจำนวน ตัวอย่างเช่น มีอนุกรมง่าย ๆ หลายชุดที่มีลอการิทึมธรรมชาติ Pietro Mengoli และ Nicholas Mercator เรียกพวกเขาว่า ลอการิทึม naturalisหลายทศวรรษจนกระทั่งนิวตันและไลบนิซพัฒนาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์
คำนิยาม
อย่างเป็นทางการ ln( เอ) สามารถกำหนดเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้งของกราฟ 1/ xตั้งแต่ 1 ถึง เอ, กล่าวคือ เป็นอินทิกรัล:
มันคือลอการิทึมเนื่องจากมีคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม:
นี้สามารถแสดงให้เห็นได้โดยสมมติต่อไปนี้:
ค่าตัวเลข
ในการคำนวณค่าตัวเลขของลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลข คุณสามารถใช้การขยายในอนุกรมเทย์เลอร์ในรูปแบบ:
เพื่อให้ได้อัตราการบรรจบที่ดีที่สุด คุณสามารถใช้ข้อมูลประจำตัวต่อไปนี้:
สำหรับ ln( x), ที่ไหน x> 1 ยิ่งค่ายิ่งใกล้ xถึง 1, ความเร็วที่เร็วขึ้นการบรรจบกัน ข้อมูลเฉพาะตัวที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมสามารถใช้เพื่อให้บรรลุเป้าหมาย:
วิธีการเหล่านี้ถูกใช้ก่อนการกำเนิดของเครื่องคิดเลข ซึ่งใช้ตารางตัวเลขและทำการปรับเปลี่ยนที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น
ความแม่นยำสูง
สำหรับการคำนวณลอการิทึมธรรมชาติที่มีความแม่นยำหลายหลัก อนุกรมเทย์เลอร์ไม่มีประสิทธิภาพเนื่องจากการบรรจบกันช้า อีกทางเลือกหนึ่งคือใช้วิธีของนิวตันเพื่อแปลงเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ซึ่งอนุกรมมาบรรจบกันเร็วกว่า
อีกทางเลือกหนึ่งสำหรับความแม่นยำในการคำนวณที่สูงมากคือสูตร:
ที่ไหน เอ็มหมายถึง ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิตของ 1 และ 4/s และ
มได้เลือกไว้อย่างนั้น พีได้เครื่องหมายของความถูกต้อง (ในกรณีส่วนใหญ่ ค่า 8 สำหรับ m ก็เพียงพอแล้ว) แท้จริงแล้ว หากใช้วิธีนี้ การผกผันของลอการิทึมธรรมชาติของนิวตันสามารถนำมาใช้ในการคำนวณฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้อย่างมีประสิทธิภาพ (ค่าคงที่ ln 2 และ pi สามารถคำนวณล่วงหน้าเพื่อความแม่นยำที่ต้องการได้โดยใช้อนุกรมการบรรจบกันอย่างรวดเร็วที่รู้จัก)
ความซับซ้อนในการคำนวณ
ความซับซ้อนในการคำนวณของลอการิทึมธรรมชาติ (โดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต) คือ O( เอ็ม(น)ln น). ที่นี่ นคือจำนวนหลักของความแม่นยำที่จะประเมินลอการิทึมธรรมชาติและ เอ็ม(น) คือความซับซ้อนในการคำนวณของการคูณสอง น- ตัวเลข
เศษส่วนต่อ
แม้ว่าจะไม่มีเศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่ายเพื่อแทนลอการิทึม แต่เศษส่วนต่อเนื่องทั่วไปหลายตัวก็สามารถใช้ได้ ซึ่งรวมถึง:
ลอการิทึมเชิงซ้อน
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถขยายไปยังฟังก์ชันที่ให้จำนวนเชิงซ้อนของรูปแบบ อี xสำหรับจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ xในขณะที่ใช้อนุกรมอนันต์กับเชิงซ้อน x. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังนี้สามารถกลับด้านเพื่อสร้างลอการิทึมที่ซับซ้อนซึ่งจะมีคุณสมบัติส่วนใหญ่ของลอการิทึมธรรมดา อย่างไรก็ตาม มีความยากลำบากอยู่สองประการ: ไม่มี x, ซึ่ง อี x= 0 และปรากฎว่า อี 2ปี่ = 1 = อี 0 . เนื่องจากคุณสมบัติการคูณใช้ได้กับฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ดังนั้น อี z = อี z+2npiสำหรับความซับซ้อนทั้งหมด zและทั้งหมด น.
ไม่สามารถกำหนดลอการิทึมบนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดได้ และถึงแม้จะเป็นแบบหลายค่าก็ตาม ลอการิทึมเชิงซ้อนใดๆ สามารถแทนที่ด้วยลอการิทึม "เทียบเท่า" โดยการเพิ่มผลคูณของจำนวนเต็มของ 2 ปี่. ลอการิทึมเชิงซ้อนสามารถมีค่าเดียวบนสไลซ์ของระนาบเชิงซ้อนเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ln ผม = 1/2 ปี่หรือ 5/2 ปี่หรือ −3/2 ปี่, ฯลฯ, และถึงแม้ว่า ผม 4 = 1.4 บันทึก ผมสามารถกำหนดเป็น2 ปี่, หรือ 10 ปี่หรือ -6 ปี่และอื่นๆ
ดูสิ่งนี้ด้วย
- John Napier - ผู้ประดิษฐ์ลอการิทึม
หมายเหตุ
- คณิตศาสตร์สำหรับเคมีกายภาพ - ที่ 3 - สื่อวิชาการ, 2548. - หน้า 9 - ISBN 0-125-08347-5, สารสกัดจากหน้า 9
- J J O "คอนเนอร์และอีเอฟโรเบิร์ตสันหมายเลข อี . MacTutor History of Mathematics archive (กันยายน 2544) ที่เก็บถาวร
- Cajori Florianประวัติคณิตศาสตร์ ค.ศ. 5 - ร้านหนังสือ AMS, 1991. - หน้า 152. - ISBN 0821821024
- แฟลชแมน, มาร์ตินการประมาณค่าปริพันธ์โดยใช้พหุนาม เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 12 กุมภาพันธ์ 2555
ลอการิทึมของตัวเลข b ยกกำลังฐาน a คือเลขชี้กำลังที่คุณต้องเพิ่มจำนวน a เพื่อให้ได้ตัวเลข b
ถ้าอย่างนั้น .
ลอการิทึมมีค่ามาก ปริมาณทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญเนื่องจากแคลคูลัสลอการิทึมไม่เพียงแต่แก้ได้ สมการเลขชี้กำลังแต่ยังทำงานกับตัวบ่งชี้ แยกความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม รวมเข้าด้วยกันและนำไปสู่รูปแบบที่ยอมรับได้มากขึ้นในการคำนวณ
ติดต่อกับ
คุณสมบัติทั้งหมดของลอการิทึมเกี่ยวข้องโดยตรงกับคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น ความจริงที่ว่า 
หมายความว่า:
ควรสังเกตว่าเมื่อแก้ปัญหาเฉพาะ คุณสมบัติของลอการิทึมอาจมีความสำคัญและมีประโยชน์มากกว่ากฎสำหรับการทำงานกับกำลัง
นี่คือข้อมูลประจำตัวบางส่วน:
นี่คือนิพจน์พีชคณิตหลัก:
;
.
ความสนใจ!มีได้เฉพาะ x>0, x≠1, y>0 เท่านั้น
ลองทำความเข้าใจกับคำถามว่าลอการิทึมธรรมชาติคืออะไร แยกความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ เป็นตัวแทนสองประเภท- อันแรกมีเลข "10" ที่ฐาน และเรียกว่า "ลอการิทึมทศนิยม" ประการที่สองเรียกว่าธรรมชาติ ฐานของลอการิทึมธรรมชาติคือจำนวน e เกี่ยวกับเขาเราจะพูดถึงรายละเอียดในบทความนี้
การกำหนด:
- lg x - ทศนิยม;
- ln x - ธรรมชาติ
โดยใช้ข้อมูลประจำตัว เราจะเห็นว่า ln e = 1 และ lg 10=1 นั้น
กราฟบันทึกธรรมชาติ
เราสร้างกราฟของลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้มาตรฐาน วิถีคลาสสิคตามคะแนน หากต้องการ คุณสามารถตรวจสอบได้ว่าเรากำลังสร้างฟังก์ชันอย่างถูกต้องหรือไม่โดยตรวจสอบฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม ควรเรียนรู้วิธีสร้าง "ด้วยตนเอง" เพื่อให้ทราบวิธีคำนวณลอการิทึมอย่างถูกต้อง
ฟังก์ชัน: y = บันทึก x ลองเขียนตารางจุดที่กราฟจะผ่าน:
ให้เราอธิบายว่าทำไมเราถึงเลือกค่าดังกล่าวของอาร์กิวเมนต์ x มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับตัวตน: สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ เอกลักษณ์นี้จะมีลักษณะดังนี้:
เพื่อความสะดวก เราสามารถใช้จุดอ้างอิงห้าจุด:
;
;
.
;
.
ดังนั้น การนับลอการิทึมธรรมชาติจึงเป็นงานที่ค่อนข้างง่าย นอกจากนี้ ยังช่วยลดความยุ่งยากในการคำนวณการดำเนินการด้วยยกกำลัง โดยเปลี่ยนเป็น การคูณปกติ
เมื่อสร้างกราฟทีละจุด เราจะได้กราฟโดยประมาณ:
โดเมนของลอการิทึมธรรมชาติ (นั่นคือ ค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ X) คือตัวเลขทั้งหมดที่มากกว่าศูนย์
ความสนใจ!โดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึมธรรมชาติรวมเฉพาะ ตัวเลขบวก! ขอบเขตไม่รวม x=0 สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ตามเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของลอการิทึม
ช่วงของค่า (เช่น ค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของฟังก์ชัน y = ln x) คือตัวเลขทั้งหมดในช่วงเวลา .
ขีด จำกัด บันทึกธรรมชาติ
ศึกษากราฟคำถามเกิดขึ้น - ฟังก์ชันทำงานอย่างไรเมื่อy<0.
เห็นได้ชัดว่ากราฟของฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะตัดกับแกน y แต่จะทำเช่นนี้ไม่ได้ เนื่องจากลอการิทึมธรรมชาติของ x<0 не существует.
ขีด จำกัด ตามธรรมชาติ บันทึกสามารถเขียนได้ดังนี้
สูตรเปลี่ยนฐานของลอการิทึม
การจัดการกับลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายกว่าการจัดการกับลอการิทึมที่มีฐานตามอำเภอใจมาก นั่นคือเหตุผลที่เราจะพยายามเรียนรู้วิธีลดลอการิทึมใดๆ ให้กลายเป็นลอการิทึมธรรมชาติ หรือแสดงเป็นฐานโดยพลการผ่านลอการิทึมธรรมชาติ
เริ่มจากเอกลักษณ์ลอการิทึม:
จากนั้นตัวเลขหรือตัวแปร y ใดๆ สามารถแสดงเป็น:
โดยที่ x คือจำนวนใดๆ (บวกตามคุณสมบัติของลอการิทึม)
นิพจน์นี้สามารถลอการิทึมได้ทั้งสองด้าน ลองทำสิ่งนี้กับฐาน z โดยพลการ:
ลองใช้คุณสมบัติ (แทนที่จะเป็น "กับ" เรามีนิพจน์):
จากที่นี่เราจะได้สูตรสากล:
.
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า z=e แล้ว:
.
เราจัดการเพื่อแทนลอการิทึมเป็นฐานตามอำเภอใจผ่านอัตราส่วนของลอการิทึมธรรมชาติสองตัว
เราแก้ปัญหา
เพื่อนำทางในลอการิทึมธรรมชาติได้ดีขึ้น ให้พิจารณาตัวอย่างปัญหาต่างๆ
งาน 1. จำเป็นต้องแก้สมการ ln x = 3
วิธีการแก้:ใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: if แล้ว เราได้รับ:
งาน2. แก้สมการ (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3
วิธีแก้ไข: การใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: if แล้ว เราได้รับ:
.
อีกครั้ง เราใช้นิยามของลอการิทึม:
.
ทางนี้:
.
คุณสามารถคำนวณคำตอบโดยประมาณหรือปล่อยให้อยู่ในแบบฟอร์มนี้
ภารกิจที่ 3แก้สมการ.
วิธีการแก้:มาทำการทดแทนกัน: t = ln x จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:
.
เรามีสมการกำลังสอง ลองหาการเลือกปฏิบัติ:
รากแรกของสมการ:
.
รากที่สองของสมการ:
.
จำไว้ว่าเราได้ทำการแทนที่ t = ln x เราได้รับ:
ในทฤษฎีสถิติและความน่าจะเป็น ปริมาณลอการิทึมเป็นเรื่องธรรมดามาก ไม่น่าแปลกใจเพราะจำนวน e - มักสะท้อนถึงอัตราการเติบโตของค่าเลขชี้กำลัง
ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ การเขียนโปรแกรม และทฤษฎีคอมพิวเตอร์ ลอการิทึมเป็นเรื่องธรรมดา ตัวอย่างเช่น เพื่อเก็บ N บิตในหน่วยความจำ
ในทฤษฎีเศษส่วนและมิติ ลอการิทึมถูกใช้อย่างต่อเนื่อง เนื่องจากขนาดของเศษส่วนจะถูกกำหนดด้วยความช่วยเหลือเท่านั้น
ในกลศาสตร์และฟิสิกส์ไม่มีส่วนที่ไม่ใช้ลอการิทึม การกระจายความกดอากาศ หลักการทั้งหมดของอุณหพลศาสตร์เชิงสถิติ สมการ Tsiolkovsky และอื่นๆ เป็นกระบวนการที่สามารถอธิบายได้ทางคณิตศาสตร์โดยใช้ลอการิทึมเท่านั้น
ในวิชาเคมี ลอการิทึมใช้ในสมการ Nernst คำอธิบายของกระบวนการรีดอกซ์
น่าแปลกที่แม้แต่ในดนตรีก็ใช้ลอการิทึมในการหาจำนวนส่วนของอ็อกเทฟ
ฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ y=ln x คุณสมบัติของมัน
หลักฐานคุณสมบัติหลักของลอการิทึมธรรมชาติ
ค่อนข้างดีใช่มั้ย? ในขณะที่นักคณิตศาสตร์กำลังมองหาคำที่จะให้คำจำกัดความที่ยาวและซับซ้อนแก่คุณ ลองมาดูคำศัพท์ที่เรียบง่ายและชัดเจนนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น
ตัวเลข e หมายถึงการเติบโต
ตัวเลข e หมายถึงการเติบโตอย่างต่อเนื่อง ดังที่เราเห็นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ e x ช่วยให้เราสามารถเชื่อมโยงดอกเบี้ยและเวลาได้: 3 ปีที่เติบโต 100% จะเหมือนกับ 1 ปีที่ 300% โดยขึ้นอยู่กับ "ดอกเบี้ยทบต้น"
คุณสามารถแทนที่ค่าเปอร์เซ็นต์และเวลาใดก็ได้ (50% ใน 4 ปี) แต่ควรกำหนดเปอร์เซ็นต์เป็น 100% เพื่อความสะดวก (ปรากฎ 100% ใน 2 ปี) โดยการย้ายไปที่ 100% เราสามารถมุ่งเน้นไปที่องค์ประกอบเวลาเท่านั้น:
e x = e เปอร์เซ็นต์ * เวลา = e 1.0 * เวลา = e เวลา
เห็นได้ชัดว่า e x หมายถึง:
- ผลงานของฉันจะเพิ่มขึ้นเป็น x หน่วยเวลา (สมมติว่ามีการเติบโตอย่างต่อเนื่อง 100%)
- ตัวอย่างเช่น หลังจาก 3 ช่วงเวลา ฉันจะได้รับ e 3 = 20.08 เท่าของ "สิ่งของ"
e x เป็นปัจจัยการปรับขนาดที่แสดงให้เห็นว่าเราจะเติบโตไปถึงระดับใดในช่วงเวลา x
ลอการิทึมธรรมชาติหมายถึงเวลา
ลอการิทึมธรรมชาติคือค่าผกผันของ e ซึ่งเป็นเทอมที่แฟนซีสำหรับสิ่งที่ตรงกันข้าม พูดถึงนิสัยใจคอ; ในภาษาละตินเรียกว่าลอการิทึม naturali ดังนั้นตัวย่อ ln
และการผกผันหรือตรงกันข้ามนี้หมายความว่าอย่างไร?
- e x ช่วยให้เราเสียบเวลาและรับการเติบโต
- ln(x) ช่วยให้เราสามารถเติบโตหรือหารายได้และหาเวลาที่จะได้รับมัน
ตัวอย่างเช่น:
- e 3 เท่ากับ 20.08 ในสามช่วงเวลา เราจะมีมากกว่าที่เราเริ่มต้น 20.08 เท่า
- ln(20.08) จะอยู่ที่ประมาณ 3 หากคุณสนใจที่จะเพิ่มขึ้น 20.08 เท่า คุณจะต้องการ 3 ครั้ง (อีกครั้ง สมมติว่ามีการเติบโตอย่างต่อเนื่อง 100%)
คุณยังอ่านอยู่ไหม ลอการิทึมธรรมชาติแสดงเวลาที่ใช้ในการไปถึงระดับที่ต้องการ
การนับลอการิทึมที่ไม่เป็นมาตรฐานนี้
คุณผ่านลอการิทึม - พวกมันเป็นสัตว์ประหลาด พวกเขาจัดการเปลี่ยนการคูณเป็นการบวกได้อย่างไร? แล้วการหารด้วยการลบล่ะ? มาดูกัน.
ln(1) เท่ากับอะไร? ตามสัญชาตญาณ คำถามคือ ต้องรอนานแค่ไหนกว่าจะได้ 1 เท่า ?
ศูนย์. ศูนย์. ไม่เลย. คุณมีแล้วครั้งหนึ่ง ไม่ต้องใช้เวลาในการเติบโตจากระดับ 1 ถึงระดับ 1
- บันทึก(1) = 0
โอเค แล้วค่าเศษส่วนล่ะ? เราจะต้องใช้เวลานานแค่ไหนกว่าจะมี 1/2 ของสิ่งที่เราเหลืออยู่? เรารู้ว่าการเติบโตอย่างต่อเนื่อง 100% ln(2) หมายถึงเวลาที่ใช้ในการเพิ่มเป็นสองเท่า ถ้าเรา ย้อนเวลา(เช่นรอเวลาติดลบ) จากนั้นเราจะได้ครึ่งหนึ่งของสิ่งที่เรามี
- ln(1/2) = -ln(2) = -0.693
ตรรกะใช่ไหม? หากเราย้อนเวลากลับไป (ย้อนเวลา) 0.693 วินาที เราจะพบครึ่งหนึ่งของจำนวนเงินที่มี โดยทั่วไป คุณสามารถพลิกเศษส่วนแล้วหาค่าลบได้: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09 ซึ่งหมายความว่าหากเราย้อนเวลากลับไปเป็น 1.09 ครั้ง เราจะพบเพียงหนึ่งในสามของจำนวนปัจจุบันเท่านั้น
โอเค แล้วลอการิทึมของจำนวนลบล่ะ? ใช้เวลานานแค่ไหนในการ "เติบโต" อาณานิคมของแบคทีเรียจาก 1 เป็น -3?
มันเป็นไปไม่ได้! คุณไม่สามารถนับแบคทีเรียเชิงลบได้ใช่ไหม คุณสามารถได้ค่าสูงสุด (เอ่อ... ต่ำสุด) เป็นศูนย์ แต่ไม่มีทางที่คุณจะได้ค่าลบของสัตว์ตัวน้อยเหล่านี้ จำนวนแบคทีเรียติดลบนั้นไม่สมเหตุสมผล
- ln(จำนวนลบ) = ไม่ได้กำหนด
"ไม่ได้กำหนด" หมายความว่าไม่มีเวลารอเพื่อรับค่าลบ
การคูณลอการิทึมเป็นเรื่องตลก
ใช้เวลานานเท่าใดในการเติบโตสี่เท่า? แน่นอน คุณสามารถใช้ ln(4) ได้ แต่มันง่ายเกินไป เราจะไปทางอื่น
คุณสามารถนึกถึงการเพิ่มสี่เท่าเป็นสองเท่า (ต้องการหน่วยเวลา ln(2)) แล้วเพิ่มเป็นสองเท่าอีกครั้ง (ต้องการหน่วยเวลาอีก ln(2)):
- เวลาเติบโต 4 เท่า = ln(4) = เวลาเพิ่มเป็นสองเท่าแล้วเพิ่มเป็นสองเท่าอีกครั้ง = ln(2) + ln(2)
น่าสนใจ. อัตราการเติบโตใด ๆ ที่กล่าวคือ 20 อาจถูกมองว่าเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าทันทีหลังจากเพิ่มขึ้น 10 เท่า หรือโต 4 เท่า แล้วก็ 5 เท่า หรือสามเท่าแล้วเพิ่มขึ้น 6.666 เท่า ดูรูปแบบ?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
ลอการิทึมของ A คูณ B คือ log(A) + log(B) ความสัมพันธ์นี้สมเหตุสมผลทันทีหากคุณดำเนินการในแง่ของการเติบโต
หากคุณสนใจที่จะเติบโต 30x คุณสามารถรอ ln(30) ในครั้งเดียว หรือรอให้ ln(3) เพิ่มขึ้นเป็นสามเท่า จากนั้นอีก ln(10) จะคูณด้วยสิบ ผลลัพธ์ที่ได้ก็เหมือนกัน ดังนั้นแน่นอนว่าเวลาจะต้องคงที่ (และคงอยู่)
แล้วดิวิชั่นล่ะ? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ln(5/3) หมายถึง: ใช้เวลานานเท่าใดในการเติบโต 5 เท่าจึงได้ 1/3 ของจำนวนนั้น?
เยี่ยม ตัวประกอบของ 5 คือ ln(5) การเติบโต 1/3 ครั้งจะใช้เวลา -ln(3) หน่วยของเวลา ดังนั้น,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
ซึ่งหมายความว่า: ปล่อยให้มันเติบโต 5 เท่า แล้วจึง "ย้อนเวลากลับไป" จนถึงจุดที่เหลือเพียงหนึ่งในสามของจำนวนนั้น คุณจะได้เติบโต 5/3 โดยทั่วไปปรากฎว่า
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
ฉันหวังว่าเลขคณิตแปลก ๆ ของลอการิทึมจะเริ่มเข้าใจคุณ การคูณอัตราการเติบโตกลายเป็นการเพิ่มหน่วยของเวลาการเติบโต และการหารกลายเป็นการลบหน่วยของเวลา อย่าจำกฎ พยายามทำความเข้าใจ
การใช้ลอการิทึมธรรมชาติเพื่อการเติบโตตามอำเภอใจ
แน่นอน - คุณพูดว่า - ทั้งหมดดีถ้าการเติบโตเป็น 100% แต่แล้ว 5% ที่ฉันได้รับล่ะ
ไม่มีปัญหา. "เวลา" ที่เราคำนวณด้วย ln() จริงๆ แล้วเป็นการรวมกันของอัตราดอกเบี้ยและเวลา ซึ่งเป็นค่า X เดียวกันจากสมการ e x เราเพิ่งเลือกที่จะตั้งค่าเปอร์เซ็นต์เป็น 100% เพื่อความง่าย แต่เราสามารถใช้ตัวเลขใดก็ได้
สมมติว่าเราต้องการบรรลุการเติบโต 30x: เราใช้ ln(30) และรับ 3.4 ซึ่งหมายความว่า:
- e x = ส่วนสูง
- e 3.4 = 30
แน่นอน สมการนี้หมายถึง "ผลตอบแทน 100% ใน 3.4 ปี เพิ่มขึ้นเป็น 30 เท่า" เราสามารถเขียนสมการนี้ได้ดังนี้:
- e x = e อัตรา*เวลา
- e 100% * 3.4 ปี = 30
เราสามารถเปลี่ยนค่าของ "อัตรา" และ "เวลา" ได้ตราบใดที่อัตรา * เวลายังคงอยู่ 3.4 ตัวอย่างเช่น หากเราสนใจการเติบโต 30 เท่า เราจะต้องรอที่อัตราดอกเบี้ย 5% นานแค่ไหน?
- บันทึก (30) = 3.4
- อัตรา * เวลา = 3.4
- 0.05 * เวลา = 3.4
- เวลา = 3.4 / 0.05 = 68 ปี
ฉันให้เหตุผลดังนี้: "ln(30) = 3.4 ดังนั้นที่การเติบโต 100% มันจะใช้เวลา 3.4 ปี ถ้าฉันเพิ่มอัตราการเติบโตเป็นสองเท่า เวลาที่ต้องการจะลดลงครึ่งหนึ่ง"
- 100% ใน 3.4 ปี = 1.0 * 3.4 = 3.4
- 200% ใน 1.7 ปี = 2.0 * 1.7 = 3.4
- 50% ใน 6.8 ปี = 0.5 * 6.8 = 3.4
- 5% มากกว่า 68 ปี = .05 * 68 = 3.4 .
มันเยี่ยมมากใช่มั้ย? ลอการิทึมธรรมชาติสามารถใช้ได้กับอัตราดอกเบี้ยและเวลาใดๆ ตราบใดที่ผลคูณของมันคงที่ คุณสามารถย้ายค่าของตัวแปรได้มากเท่าที่คุณต้องการ
ตัวอย่างที่ไม่ดี: กฎเจ็ดสิบสอง
กฎข้อเจ็ดสิบสองเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยให้คุณประเมินได้ว่าต้องใช้เวลานานแค่ไหนกว่าเงินของคุณจะเพิ่มเป็นสองเท่า ตอนนี้เราจะได้มา (ใช่!) และยิ่งไปกว่านั้น เราจะพยายามทำความเข้าใจสาระสำคัญของมัน
ใช้เวลานานเท่าใดในการเพิ่มเงินของคุณเป็นสองเท่าในอัตรา 100% ที่เพิ่มขึ้นทุกปี?
อปป้า. เราใช้ลอการิทึมธรรมชาติในกรณีของการเติบโตอย่างต่อเนื่อง และตอนนี้คุณกำลังพูดถึงค่าคงค้างประจำปี? สูตรนี้จะไม่เหมาะสมสำหรับกรณีเช่นนี้หรือไม่? ใช่ มันจะเป็นเช่นนั้น แต่สำหรับอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงเช่น 5%, 6% หรือ 15% ความแตกต่างระหว่างการทบต้นทุกปีและการเติบโตอย่างต่อเนื่องจะเล็ก การประมาณการคร่าวๆ ก็ใช้ได้ เอ่อ คร่าวๆ เราจะแสร้งทำเป็นว่าเรามียอดคงค้างที่ต่อเนื่องกันโดยสิ้นเชิง
ตอนนี้คำถามง่าย ๆ : คุณจะเพิ่มเป็นสองเท่าได้เร็วแค่ไหนด้วยการเติบโต 100%? ln(2) = 0.693. ต้องใช้เวลา 0.693 หน่วยเวลา (ปีในกรณีของเรา) ในการเพิ่มจำนวนของเราเป็นสองเท่าด้วยการเติบโตอย่างต่อเนื่องที่ 100%
แล้วถ้าอัตราดอกเบี้ยไม่ 100% แต่สมมุติว่า 5% หรือ 10% ล่ะ?
อย่างง่ายดาย! เนื่องจากอัตรา * เวลา = 0.693 เราจะเพิ่มเป็นสองเท่า:
- อัตรา * เวลา = 0.693
- เวลา = 0.693 / อัตรา
ดังนั้นหากการเติบโต 10% จะใช้เวลา 0.693 / 0.10 = 6.93 ปีเพื่อเพิ่มเป็นสองเท่า
เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ลองคูณทั้งสองส่วนด้วย 100 จากนั้นเราสามารถพูดว่า "10" ไม่ใช่ "0.10":
- เวลาสองเท่า = 69.3 / เดิมพัน โดยที่เงินเดิมพันแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์
ตอนนี้ได้เวลาเพิ่มเป็นสองเท่าที่ 5%, 69.3 / 5 = 13.86 ปี อย่างไรก็ตาม 69.3 ไม่ใช่เงินปันผลที่สะดวกที่สุด มาเลือกเลขปิดกัน 72 ตัวที่หารด้วย 2, 3, 4, 6, 8 และเลขอื่นๆ ลงตัว
- เวลาสองเท่า = 72 / เดิมพัน
ซึ่งเป็นกฎข้อเจ็ดสิบสอง ทุกอย่างถูกปกปิด
หากคุณต้องการหาเวลาเพิ่มเป็นสามเท่า คุณสามารถใช้ ln(3) ~ 109.8 และรับ
- เวลาสามเท่า = 110 / เดิมพัน
ซึ่งเป็นกฎที่มีประโยชน์อีกข้อหนึ่ง "กฎ 72" ใช้กับการเติบโตของอัตราดอกเบี้ย การเติบโตของประชากร การเพาะเชื้อแบคทีเรีย และสิ่งใดก็ตามที่เติบโตแบบทวีคูณ
อะไรต่อไป?
ฉันหวังว่าลอการิทึมธรรมชาติจะเข้าท่าสำหรับคุณ - มันแสดงเวลาที่ต้องใช้สำหรับจำนวนใด ๆ ที่จะเติบโตแบบทวีคูณ ฉันคิดว่ามันเรียกว่าเป็นธรรมชาติเพราะ e เป็นตัวชี้วัดการเติบโตแบบสากล ดังนั้น ln จึงถือเป็นวิธีสากลในการกำหนดระยะเวลาในการเติบโต
ทุกครั้งที่คุณเห็น ln(x) ให้จำไว้ว่า "เวลาที่ใช้ในการเติบโต x เท่า" ในบทความหน้า ฉันจะอธิบาย e และ ln ร่วมกัน เพื่อให้กลิ่นหอมสดชื่นของคณิตศาสตร์จะเติมเต็มในอากาศ
ส่วนประกอบเสริม: ลอการิทึมธรรมชาติของ e
แบบทดสอบด่วน: ln(e) จะเป็นเท่าไหร่?
- หุ่นยนต์คณิตศาสตร์จะพูดว่า: เนื่องจากพวกมันถูกกำหนดให้เป็นผกผันของกันและกัน เป็นที่ชัดเจนว่า ln(e) = 1
- คนที่เข้าใจ: ln(e) คือจำนวนครั้งที่เติบโต "e" เท่า (ประมาณ 2.718) อย่างไรก็ตาม จำนวน e เป็นตัววัดการเติบโตด้วยปัจจัย 1 ดังนั้น ln(e) = 1
คิดให้ชัดเจน
9 กันยายน 2556
