การดำเนินการกับรากของการบวกและการลบสูตร วิธีการบวกและลบรากที่สอง

คุณสมบัติ รากที่สอง

จนถึงตอนนี้ เราได้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขห้าตัว: การบวก การลบ การคูณการหารและการยกกำลัง และคุณสมบัติต่างๆ ของการดำเนินการเหล่านี้ถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในการคำนวณ เช่น a + b = b + a, an-bn = (ab) n เป็นต้น

บทนี้แนะนำการดำเนินการใหม่ - การหารากที่สองของจำนวนที่ไม่เป็นลบ เพื่อให้ใช้งานได้สำเร็จ คุณต้องทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของการดำเนินการนี้ ซึ่งเราจะทำในส่วนนี้

การพิสูจน์. ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="(!LANG:Equality"" width="120" height="25 id=">!}.

นี่คือวิธีที่เรากำหนดทฤษฎีบทต่อไปนี้

(สูตรสั้นๆ ที่สะดวกกว่าในการใช้งานในทางปฏิบัติ: รากของเศษส่วนเท่ากับเศษส่วนของราก หรือรากของผลหารเท่ากับผลหารของราก)

คราวนี้เราจะให้เพียงบันทึกสั้นๆ ของการพิสูจน์ และคุณสามารถลองแสดงความคิดเห็นที่เหมาะสมได้ เช่นเดียวกับความคิดเห็นที่ประกอบขึ้นเป็นสาระสำคัญของการพิสูจน์ทฤษฎีบท 1

หมายเหตุ 3 แน่นอน ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้แตกต่างกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณมีเครื่องคิดเลขอยู่ในมือ: คูณตัวเลข 36, 64, 9 แล้วหารากที่สองของผลลัพธ์ที่ได้ อย่างไรก็ตาม คุณจะยอมรับว่าวิธีแก้ปัญหาที่เสนอข้างต้นดูมีวัฒนธรรมมากกว่า

หมายเหตุ 4. ในวิธีแรก เราดำเนินการคำนวณแบบตัวต่อตัว วิธีที่สองนั้นสวยงามกว่า:
เราสมัคร สูตร a2 - b2 = (a - b) (a + b) และใช้คุณสมบัติของรากที่สอง

หมายเหตุ 5. "คนหัวร้อน" บางครั้งเสนอ "วิธีแก้ปัญหา" ต่อไปนี้ให้กับตัวอย่างที่ 3:

แน่นอนว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง: คุณเห็น - ผลลัพธ์ไม่เหมือนกับในตัวอย่างของเรา 3 ความจริงก็คือไม่มีคุณสมบัติ https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="(!LANG:Task)" width="148" height="26 id=">!}มีคุณสมบัติเกี่ยวกับการคูณและหารรากที่สองเท่านั้น ระมัดระวังและระมัดระวังอย่าใช้ความคิดเพ้อฝัน

เมื่อสรุปย่อหน้าแล้ว เราสังเกตคุณสมบัติที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งที่ค่อนข้างง่ายและในขณะเดียวกัน:
ถ้า a > 0 และ n - ตัวเลขธรรมชาติ , แล้ว

การแปลงนิพจน์ที่มีการดำเนินการรากที่สอง

จนถึงตอนนี้ เราได้ทำการแปลงร่างเท่านั้น การแสดงออกที่มีเหตุผลโดยใช้กฎการดำเนินการเกี่ยวกับพหุนามและเศษส่วนพีชคณิต สูตรสำหรับการคูณแบบย่อ ฯลฯ ในบทนี้ เราได้แนะนำการดำเนินการใหม่ - การดำเนินการแยกสแควร์รูท เราได้กำหนดว่า

โดยที่การเรียกคืน a, b เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ

ใช้สิ่งเหล่านี้ สูตรคุณสามารถทำการแปลงนิพจน์ต่างๆ ที่มีการดำเนินการสแควร์รูทได้ ลองพิจารณาตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่าง และในตัวอย่างทั้งหมด เราจะถือว่าตัวแปรรับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 3ป้อนตัวประกอบภายใต้เครื่องหมายรากที่สอง:

ตัวอย่างที่ 6. ลดความซับซ้อนของนิพจน์ โซลูชัน มาทำการแปลงแบบต่อเนื่องกัน:

หัวข้อของรากที่สองเป็นข้อบังคับในหลักสูตรของโรงเรียนของหลักสูตรคณิตศาสตร์ คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีพวกมันเมื่อแก้สมการกำลังสอง และต่อมามีความจำเป็นไม่เพียง แต่จะแยกรากเท่านั้น แต่ยังต้องดำเนินการอื่น ๆ กับพวกเขาด้วย ในหมู่พวกเขาค่อนข้างซับซ้อน: การยกกำลังการคูณและการหาร แต่ก็มีสิ่งที่ค่อนข้างง่ายเช่นกัน: การลบและการเพิ่มราก อย่างไรก็ตาม พวกเขาดูเหมือนเพียงแวบแรกเท่านั้น การดำเนินการโดยไม่มีข้อผิดพลาดไม่ใช่เรื่องง่ายสำหรับคนที่เพิ่งเริ่มคุ้นเคย

รูตทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

การกระทำนี้เกิดขึ้นเมื่อเทียบกับการยกกำลัง คณิตศาสตร์ถือว่ามีการดำเนินการที่ตรงกันข้ามสองอย่าง มีการลบสำหรับการบวก การคูณตรงข้ามกับการหาร การกระทำย้อนกลับของดีกรีคือการสกัดรากที่สอดคล้องกัน

ถ้าเลขชี้กำลังเป็น 2 รากจะเป็นกำลังสอง เป็นเรื่องธรรมดาที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน มันไม่มีแม้แต่ข้อบ่งชี้ว่ามันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ ไม่ได้กำหนดหมายเลข 2 ให้กับมัน สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ของตัวดำเนินการนี้ (อนุมูล) จะแสดงในรูป

จากการกระทำที่อธิบายไว้ คำจำกัดความดำเนินไปอย่างราบรื่น ในการแยกรากที่สองของจำนวนหนึ่ง คุณต้องค้นหาว่านิพจน์รากที่สองจะให้อะไรเมื่อคูณด้วยตัวมันเอง ตัวเลขนี้จะเป็นรากที่สอง หากเราเขียนทางคณิตศาสตร์ เราจะได้ x * x \u003d x 2 \u003d y ซึ่งหมายถึง √y \u003d x

พวกเขาสามารถทำอะไรกับพวกเขาได้บ้าง?

ที่แกนกลาง รูทคือกำลังเศษส่วนที่มีหน่วยในตัวเศษ และตัวส่วนสามารถเป็นอะไรก็ได้ ตัวอย่างเช่น รากที่สองมีค่าเป็นสอง ดังนั้นการกระทำทั้งหมดที่สามารถทำได้ด้วยองศาจะมีผลกับรูทด้วย

และมีข้อกำหนดเหมือนกันสำหรับการกระทำเหล่านี้ หากการคูณ การหาร และการยกกำลังไม่พบกับปัญหาสำหรับนักเรียน การเพิ่มรากเช่นเดียวกับการลบ บางครั้งอาจนำไปสู่ความสับสน และทั้งหมดเป็นเพราะคุณต้องการดำเนินการเหล่านี้โดยไม่ต้องดูเครื่องหมายของรูท และนี่คือจุดเริ่มต้นของความผิดพลาด

กฎสำหรับการบวกและการลบคืออะไร?

ก่อนอื่นคุณต้องจำ "ไม่" สองหมวดหมู่:

• เป็นไปไม่ได้ที่จะดำเนินการบวกและลบรากเช่นเดียวกับจำนวนเฉพาะนั่นคือเป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนนิพจน์รากของผลรวมภายใต้เครื่องหมายเดียวและดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับพวกมัน
• คุณไม่สามารถบวกและลบรากที่มีเลขชี้กำลังต่างกันได้ เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัสและลูกบาศก์

ตัวอย่างของการแบนครั้งแรก: √6 + √10 ≠ √16 และ √(6 + 10) = √16.

ในกรณีที่สอง เป็นการดีกว่าที่จะจำกัดตัวเราให้ลดความซับซ้อนของรากเอง และในคำตอบปล่อยให้ผลรวมของพวกเขา

ตอนนี้ถึงกฎ

1. ค้นหาและจัดกลุ่มรากที่คล้ายกัน นั่นคือผู้ที่ไม่เพียง แต่มีตัวเลขเหมือนกันภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์เท่านั้น แต่ยังมีตัวบ่งชี้เดียวอีกด้วย
2. ดำเนินการเพิ่มรากที่รวมกันเป็นกลุ่มเดียวโดยการกระทำครั้งแรก มันง่ายที่จะนำไปใช้เพราะคุณต้องเพิ่มค่าที่อยู่ข้างหน้าอนุมูลเท่านั้น
3. แยกรากในพจน์เหล่านั้นซึ่งนิพจน์รากศัพท์ก่อรูปกำลังสองทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่งอย่าทิ้งสิ่งใดไว้ภายใต้เครื่องหมายของรากศัพท์
4. ลดความซับซ้อนของนิพจน์ราก ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะและดูว่าพวกมันให้กำลังสองของจำนวนใดๆ หรือไม่ เป็นที่ชัดเจนว่าสิ่งนี้เป็นจริงเมื่อพูดถึงรากที่สอง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นสามหรือสี่ ตัวประกอบเฉพาะจะต้องให้กำลังสามหรือกำลังที่สี่ของตัวเลข
5. นำตัวประกอบที่ให้กำลังจำนวนเต็มออกจากเครื่องหมายกรณฑ์
6. ดูว่าคำที่คล้ายกันปรากฏขึ้นอีกหรือไม่ ถ้าใช่ ให้ทำตามขั้นตอนที่สองอีกครั้ง

ในสถานการณ์ที่ปัญหาไม่ต้องการค่ารูทที่แน่นอน สามารถคำนวณได้โดยใช้เครื่องคิดเลข ปัดเศษทศนิยมอนันต์ที่จะแสดงในหน้าต่างของมัน ส่วนใหญ่มักจะทำจนถึงหนึ่งในร้อย แล้วดำเนินการทั้งหมดเพื่อหาเศษส่วนทศนิยม

นี่คือข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับวิธีการเพิ่มราก ตัวอย่างด้านล่างจะแสดงให้เห็นข้างต้น

ภารกิจแรก

คำนวณค่าของนิพจน์:

ก) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

ข) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

ค) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

ก) หากคุณปฏิบัติตามอัลกอริทึมด้านบน คุณจะเห็นว่าไม่มีการดำเนินการสองอย่างแรกในตัวอย่างนี้ แต่คุณสามารถลดความซับซ้อนของพจน์รากศัพท์บางคำได้

ตัวอย่างเช่น ตัวประกอบ 32 เป็นสองปัจจัย 2 และ 16; 18 จะเท่ากับผลคูณของ 9 และ 2; 128 คือ 2 คูณ 64 จากสิ่งนี้ นิพจน์จะถูกเขียนดังนี้:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9)

ทีนี้ คุณต้องเอาตัวประกอบที่ให้กำลังสองของตัวเลขออกจากใต้เครื่องหมายกรณฑ์ นี่คือ 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

เราต้องทำให้การเขียนง่ายขึ้นเล็กน้อย สำหรับสิ่งนี้สัมประสิทธิ์จะถูกคูณก่อนสัญญาณของรูท:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

ในนิพจน์นี้ คำศัพท์ทั้งหมดกลายเป็นคำที่คล้ายกัน ดังนั้นพวกเขาเพียงแค่ต้องพับ คำตอบจะเป็น: 5√2.

b) เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ การเพิ่มรากเริ่มต้นด้วยการทำให้เข้าใจง่าย นิพจน์ราก 75, 147, 48 และ 300 จะแสดงด้วยคู่ต่อไปนี้: 5 และ 25, 3 และ 49, 3 และ 16, 3 และ 100 แต่ละคนมีตัวเลขที่สามารถนำออกจากใต้เครื่องหมายราก :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย คำตอบคือ: 5√5 - 5√3. ปล่อยให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้ แต่จะดีกว่าถ้าเอาตัวประกอบร่วม 5 ออกจากวงเล็บ: 5 (√5 - √3)

c) และการแยกตัวประกอบอีกครั้ง: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36 หลังจากแยกเครื่องหมายรากออกแล้ว เรามี:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. หลังจากลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราจะได้ผลลัพธ์: 7√11

ตัวอย่างเศษส่วน

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

ตัวเลขต่อไปนี้จะต้องแยกตัวประกอบ: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49 ในทำนองเดียวกันกับที่พิจารณาแล้ว คุณต้องนำปัจจัยออกจากใต้ราก ลงนามและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น:

3/2 √5 - 2√5 - 5/3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

นิพจน์นี้ต้องการการกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณเทอมที่สองด้วย √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

ในการดำเนินการให้เสร็จสิ้น คุณต้องเลือกส่วนจำนวนเต็มของปัจจัยที่อยู่หน้าราก ตัวแรกคือ 1 ตัวที่สองคือ 2

รากของตัวเลขนั้นง่ายที่สุดในการลบโดยใช้เครื่องคิดเลข แต่ถ้าคุณไม่มีเครื่องคิดเลข คุณจำเป็นต้องรู้อัลกอริธึมในการคำนวณรากที่สอง ความจริงก็คือตัวเลขในช่องสี่เหลี่ยมอยู่ใต้ราก ตัวอย่างเช่น 4 กำลังสองได้ 16 นั่นคือ รากที่สองของ 16 จะเท่ากับสี่ นอกจากนี้ 5 กำลังสองคือ 25 ดังนั้น รูทของ 25 จะเป็น 5. และอื่นๆ

หากตัวเลขมีขนาดเล็ก ก็สามารถลบออกด้วยวาจาได้ง่าย เช่น รากของ 25 จะเป็น 5 และรากของ 144-12 คุณยังสามารถคำนวณบนเครื่องคิดเลข มีไอคอนรูทพิเศษ คุณต้องขับเป็นตัวเลขแล้วคลิกที่ไอคอน

ตารางรากที่สองจะช่วย:

มีวิธีอื่นที่ซับซ้อนกว่า แต่มีประสิทธิภาพมาก:

รากของตัวเลขใดๆ สามารถลบออกได้โดยใช้เครื่องคิดเลข โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากมันอยู่ในโทรศัพท์ทุกเครื่องในปัจจุบัน

คุณสามารถลองคิดดูว่ามันจะออกมาเป็นอย่างไร ให้หมายเลขโดยการคูณจำนวนหนึ่งด้วยตัวมันเอง



การคำนวณรากที่สองของตัวเลขนั้นไม่ยาก โดยเฉพาะถ้ามีตารางพิเศษ ตารางที่รู้จักกันดีจากบทเรียนพีชคณิต การดำเนินการดังกล่าวเรียกว่าการแยกรากที่สองของจำนวน aquot ; กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการแก้สมการ เครื่องคิดเลขเกือบทั้งหมดในสมาร์ทโฟนมีฟังก์ชันสแควร์รูท



ผลของการแยกรากที่สองของจำนวนที่ทราบจะเป็นอีกจำนวนหนึ่ง ซึ่งเมื่อยกกำลังสอง (กำลังสอง) จะให้ตัวเลขเดียวกันกับที่เราทราบ พิจารณาหนึ่งในคำอธิบายของการตั้งถิ่นฐานซึ่งดูเหมือนสั้นและเข้าใจได้:







นี่คือวิดีโอในหัวข้อ:

มีหลายวิธีในการคำนวณรากที่สองของตัวเลข

วิธีที่นิยมมากที่สุดคือการใช้ตารางรูทพิเศษ (ดูด้านล่าง)

นอกจากนี้ในเครื่องคิดเลขแต่ละตัวยังมีฟังก์ชันที่คุณสามารถค้นหารูทได้

หรือใช้สูตรพิเศษ



มีหลายวิธีในการแยกรากที่สองของตัวเลข หนึ่งในนั้นเร็วที่สุดโดยใช้เครื่องคิดเลข

แต่ถ้าไม่มีเครื่องคิดเลขก็ทำเองได้

ผลลัพธ์จะแม่นยำ

หลักการเกือบจะเหมือนกับการหารด้วยคอลัมน์:



















ลองใช้โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลขเพื่อหาค่าของรากที่สองของตัวเลข เช่น 190969







ดังนั้นทุกอย่างจึงง่ายมาก ในการคำนวณ สิ่งสำคัญคือการยึดมั่นในบางอย่าง กติกาง่ายๆและคิดอย่างมีเหตุผล

สำหรับสิ่งนี้คุณต้องมีตารางสี่เหลี่ยม



ตัวอย่างเช่น รากของ 100 = 10 จาก 20 = 400 จาก 43 = 1849

ตอนนี้เครื่องคิดเลขเกือบทั้งหมด รวมถึงบนสมาร์ทโฟน สามารถคำนวณรากที่สองของตัวเลขได้ แต่ถ้าคุณไม่มีเครื่องคิดเลข คุณสามารถหารากของตัวเลขได้ด้วยวิธีง่ายๆ หลายวิธี:

ตัวประกอบที่สำคัญ



แยกตัวประกอบจำนวนรูทเป็นตัวประกอบที่เป็นตัวเลขกำลังสอง คุณจะได้คำตอบโดยประมาณหรือแน่นอนทั้งนี้ขึ้นอยู่กับหมายเลขรูท ตัวเลขกำลังสองคือตัวเลขที่สามารถหารากที่สองทั้งหมดได้ ตัวประกอบของจำนวนที่เมื่อคูณแล้วจะได้จำนวนเดิม ตัวอย่างเช่น ตัวประกอบของตัวเลข 8 คือ 2 และ 4 เนื่องจาก 2 x 4 = 8 ตัวเลข 25, 36, 49 เป็นตัวเลขกำลังสอง เนื่องจาก 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7 ตัวประกอบกำลังสองคือตัวประกอบที่ เป็นเลขกำลังสอง ขั้นแรก พยายามแยกตัวประกอบจำนวนรูทเป็นตัวประกอบกำลังสอง

ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของ 400 (ด้วยตนเอง) ขั้นแรก ลองแยกตัวประกอบ 400 เป็นตัวประกอบกำลังสอง 400 คือผลคูณของ 100 ซึ่งเป็นจำนวนยกกำลังสองที่หารด้วย 25 ลงตัว การหาร 400 ด้วย 25 ได้ 16 ซึ่งเป็นเลขกำลังสองเช่นกัน ดังนั้น 400 สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบกำลังสองของ 25 และ 16 นั่นคือ 25 x 16 = 400

เขียนเป็น: 400 = (25 x 16)



รากที่สองของผลคูณของพจน์บางพจน์เท่ากับผลคูณของรากที่สองของแต่ละพจน์ นั่นคือ (a x b) = a x b ใช้กฎนี้หารากที่สองของตัวประกอบกำลังสองแต่ละตัวแล้วคูณผลลัพธ์เพื่อหาคำตอบ

ในตัวอย่างของเรา หารากที่สองของ 25 และ 16



หากจำนวนรูทไม่ได้แยกตัวประกอบเป็นกำลังสอง (และในกรณีส่วนใหญ่) คุณจะไม่สามารถหาคำตอบที่แน่ชัดเป็นจำนวนเต็มได้ แต่คุณสามารถลดความซับซ้อนของปัญหาได้โดยแยกจำนวนรูทออกเป็นปัจจัยกำลังสองและปัจจัยธรรมดา (ตัวเลขที่ไม่สามารถนำรากที่สองมาทั้งหมดได้) จากนั้นคุณจะหารากที่สองของตัวประกอบกำลังสองและคุณจะได้รากของตัวประกอบสามัญ

ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของตัวเลข 147 ตัวเลข 147 ไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบกำลังสองได้ แต่สามารถแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยต่อไปนี้ได้ 49 และ 3 แก้ปัญหาได้ดังนี้



ตอนนี้คุณสามารถประเมินค่าของรูท (หาค่าโดยประมาณ) โดยเปรียบเทียบกับค่าของรากที่สองที่ใกล้เคียงที่สุด (ทั้งสองด้านของเส้นจำนวน) กับจำนวนรูท คุณจะได้รับค่าของรูทเป็น เศษส่วนทศนิยมซึ่งต้องคูณด้วยตัวเลขหลังเครื่องหมายรูท

ลองกลับไปที่ตัวอย่างของเรา หมายเลขรูทคือ 3 ตัวเลขกำลังสองที่ใกล้ที่สุดจะเป็นตัวเลข 1 (1 \u003d 1) และ 4 (4 \u003d 2) ดังนั้น ค่าของ 3 จึงอยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 เนื่องจากค่าของ 3 น่าจะใกล้ 2 มากกว่า 1 การประมาณการของเราคือ: 3 = 1.7 เราคูณค่านี้ด้วยตัวเลขที่เครื่องหมายรูท: 7 x 1.7 \u003d 11.9 หากคุณคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข คุณจะได้ 12.13 ซึ่งใกล้เคียงกับคำตอบของเรามาก

วิธีนี้ใช้ได้กับตัวเลขจำนวนมากเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณา 35 หมายเลขรากคือ 35 ตัวเลขกำลังสองที่ใกล้ที่สุดคือ 25 (25 = 5) และ 36 (36 = 6) ดังนั้น ค่า 35 อยู่ระหว่าง 5 ถึง 6 เนื่องจากค่า 35 ใกล้เคียงกับ 6 มากกว่า 5 มาก (เพราะ 35 มีค่าน้อยกว่า 36 เพียง 1 เท่านั้น) เราสามารถพูดได้ว่า 35 น้อยกว่า 6 เล็กน้อย เรามีคำตอบ 5.92 - เราพูดถูก



อีกวิธีหนึ่งคือการแยกตัวประกอบจำนวนรูทเป็นตัวประกอบเฉพาะ ตัวประกอบเฉพาะของจำนวนที่หารด้วย 1 และตัวมันเองลงตัวเท่านั้น เขียนตัวประกอบเฉพาะในแถวและหาคู่ของตัวประกอบที่เหมือนกัน ปัจจัยดังกล่าวสามารถนำออกจากเครื่องหมายของรูตได้

ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของ 45 เราแบ่งจำนวนรูทเป็นตัวประกอบเฉพาะ: 45 \u003d 9 x 5 และ 9 \u003d 3 x 3 ดังนั้น 45 \u003d (3 x 3 x 5) สามารถนำ 3 ออกจากเครื่องหมายรูทได้: 45 = 35 ตอนนี้เราสามารถประมาณ 5 ได้

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11) คุณได้ตัวคูณ 2s สามตัว; หยิบสองสามอันแล้วนำออกจากเครื่องหมายของรูต

2(2 x 11) = 22 x 11 ตอนนี้คุณสามารถประเมิน 2 และ 11 และหาคำตอบโดยประมาณได้

วิดีโอกวดวิชานี้อาจมีประโยชน์เช่นกัน:

ในการแยกรูทออกจากตัวเลข คุณควรใช้เครื่องคิดเลข หรือหากไม่มีตัวที่เหมาะสม ผมแนะนำให้คุณไปที่ไซต์นี้และแก้ปัญหาโดยใช้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ซึ่งจะให้ค่าที่ถูกต้องเป็นวินาที

เนื้อหา:

การบวกและการลบรากที่สองเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมีนิพจน์รากเหมือนกัน นั่นคือ คุณสามารถเพิ่มหรือลบ 2√3 และ 4√3 ได้ แต่ไม่ใช่ 2√3 และ 2√5 คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์รูทเพื่อแปลงเป็นรูทด้วยนิพจน์รากเดียวกัน (แล้วบวกหรือลบออก)

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1 การทำความเข้าใจพื้นฐาน

1. 1 (นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของรูท)เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แยกจำนวนรูทออกเป็นสองปัจจัย ตัวหนึ่งเป็นตัวเลขกำลังสอง (ตัวเลขที่สามารถแยกรูททั้งหมดได้ เช่น 25 หรือ 9) หลังจากนั้น ให้ทำการรูทของเลขกำลังสองแล้วจดค่าที่พบไว้ด้านหน้าเครื่องหมายรูท (ปัจจัยที่สองจะยังคงอยู่ใต้เครื่องหมายรูท) ตัวอย่างเช่น 6√50 - 2√8 + 5√12 ตัวเลขที่อยู่ด้านหน้าเครื่องหมายรูทคือตัวประกอบของรูทที่สอดคล้องกัน และตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายรูทคือหมายเลขรูท (นิพจน์) นี่คือวิธีแก้ปัญหานี้:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2 ที่นี่คุณแยก 50 เป็นตัวประกอบ 25 และ 2; จากนั้นจาก 25 คุณแยกรูทเท่ากับ 5 และดึง 5 ออกจากใต้รูท จากนั้นคูณ 5 ด้วย 6 (ตัวประกอบที่รูท) และรับ 30√2
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2 ที่นี่คุณแยก 8 เป็นตัวประกอบ 4 และ 2; จากนั้นจาก 4 คุณแยกรูทเท่ากับ 2 และดึง 2 ออกจากใต้รูท จากนั้นคุณคูณ 2 ด้วย 2 (ตัวประกอบที่รูท) และคุณจะได้ 4√2
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3 ที่นี่คุณแยก 12 เป็นตัวประกอบ 4 และ 3; จากนั้นจาก 4 คุณแยกรูทเท่ากับ 2 และดึง 2 ออกจากใต้รูท จากนั้นคุณคูณ 2 ด้วย 5 (ตัวประกอบที่รูท) และคุณจะได้ 10√3
2. 2 ขีดเส้นใต้รากที่มีนิพจน์รากเหมือนกันในตัวอย่างของเรา นิพจน์แบบง่ายคือ: 30√2 - 4√2 + 10√3 ในนั้นคุณต้องขีดเส้นใต้คำแรกและคำที่สอง ( 30√2 และ 4√2 ) เนื่องจากมีจำนวนรูทเท่ากัน 2 เฉพาะรากดังกล่าวเท่านั้นที่คุณสามารถเพิ่มและลบได้
3. 3 หากคุณได้รับนิพจน์ที่มีพจน์จำนวนมาก ซึ่งส่วนมากมีนิพจน์รุนแรงเหมือนกัน ให้ใช้เครื่องหมายขีดล่างเดี่ยว สองเท่า และสามขีดเพื่อระบุเงื่อนไขดังกล่าว เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ไขนิพจน์นี้
4. 4 ที่รูทซึ่งมีนิพจน์รากเหมือนกัน ให้บวกหรือลบตัวประกอบที่อยู่หน้าเครื่องหมายรูต และปล่อยให้นิพจน์รากเหมือนกัน (อย่าบวกหรือลบจำนวนราก!) แนวคิดคือการแสดงจำนวนรากที่มีนิพจน์รุนแรงบางอย่างอยู่ในนิพจน์นี้
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

ส่วนที่ 2 การฝึกปฏิบัติด้วยตัวอย่าง

1. 1 ตัวอย่างที่ 1: √(45) + 4√5.
   • ลดความซับซ้อน √(45) ตัวประกอบ 45: √(45) = √(9 x 5)
   • ย้าย 3 ออกจากใต้ราก (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • ตอนนี้เพิ่มตัวประกอบที่ราก: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 ตัวอย่างที่ 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • ลดความซับซ้อน 6√(40) ตัวประกอบ 40: 6√(40) = 6√(4 x 10)
   • ย้าย 2 ออกจากใต้ราก (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • คูณตัวประกอบก่อนรูทและรับ 12√10
   • ตอนนี้นิพจน์สามารถเขียนเป็น 12√10 - 3√(10) + √5 เนื่องจากสองเทอมแรกมีจำนวนรากเท่ากัน คุณจึงสามารถลบเทอมที่สองออกจากตัวแรกได้ และปล่อยให้ตัวแรกไม่เปลี่ยนแปลง
   • คุณจะได้รับ: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5
3. 3 ตัวอย่างที่ 3 9√5 -2√3 - 4√5. ในที่นี้ ไม่มีนิพจน์รุนแรงใดๆ แยกตัวประกอบได้ ดังนั้นการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นจะไม่ทำงาน คุณสามารถลบเทอมที่สามออกจากเทอมแรกได้ (เนื่องจากมีเลขรูทเหมือนกัน) และปล่อยให้เทอมที่สองไม่เปลี่ยนแปลง คุณจะได้รับ: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 ตัวอย่างที่ 4 √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3
   • √4 = √(2 x 2) = 2
   • ตอนนี้คุณสามารถเพิ่ม 3 + 2 เพื่อรับ 5
   • คำตอบสุดท้าย: 5 - 3√2.
5. 5 ตัวอย่างที่ 5แก้นิพจน์ที่มีรากและเศษส่วน คุณสามารถเพิ่มและคำนวณเศษส่วนที่มีตัวส่วนร่วม (เหมือนกัน) เท่านั้น นิพจน์ (√2)/4 + (√2)/2 ได้รับ
   • หาตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุดของเศษส่วนเหล่านี้ นี่คือจำนวนที่ตัวหารแต่ละตัวหารลงตัว ในตัวอย่างของเรา หมายเลข 4 หารด้วย 4 และ 2 ลงตัว
   • ตอนนี้คูณเศษส่วนที่สองด้วย 2/2 (เพื่อนำมาเป็นตัวส่วนร่วม เศษส่วนแรกถูกลดจำนวนลงไปแล้ว): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4
   • บวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนกัน: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• ก่อนบวกหรือลบราก ให้แน่ใจว่าได้ลดความซับซ้อนของนิพจน์ราก (ถ้าเป็นไปได้)

คำเตือน

• อย่าบวกหรือลบรูทด้วยนิพจน์รูทที่ต่างกัน
• ห้ามบวกหรือลบจำนวนเต็มและรูท เช่น 3 + (2x) 1/2 .
  • หมายเหตุ: "x" ยกกำลังสองและรากที่สองของ "x" คือสิ่งเดียวกัน (เช่น x 1/2 = √x)

ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่นๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญถึงคุณ
• เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ/หรือ ตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณด้วยหากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด