เลขยกกำลังใช้เพื่อทำให้ง่ายต่อการเขียนการคูณจำนวนด้วยตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเขียน คุณสามารถเขียน 4 5 (\displaystyle 4^(5))(คำอธิบายของการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมีให้ในส่วนแรกของบทความนี้) เลขชี้กำลังทำให้ง่ายต่อการเขียนแบบยาวหรือ การแสดงออกที่ซับซ้อนหรือสมการ; นอกจากนี้ เลขยกกำลังยังเพิ่มและลบออกได้ง่าย ส่งผลให้นิพจน์หรือสมการง่ายขึ้น (ตัวอย่างเช่น 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

บันทึก:หากคุณต้องการแก้สมการเลขชี้กำลัง (ในสมการดังกล่าว เลขชี้กำลังที่ไม่รู้อยู่ในสมการ) ให้อ่าน

ขั้นตอน

แก้ปัญหาง่ายๆด้วยพลัง

คูณฐานของเลขชี้กำลังด้วยตัวมันเองหลายเท่าของเลขยกกำลังหากคุณต้องการแก้ปัญหาเกี่ยวกับเลขชี้กำลังด้วยตนเอง ให้เขียนเลขชี้กำลังใหม่เป็นการคูณ โดยฐานของเลขชี้กำลังจะคูณด้วยตัวมันเอง เช่น รับปริญญา 3 4 (\displaystyle 3^(4)). ในกรณีนี้ฐานของระดับ 3 จะต้องคูณด้วยตัวมันเอง 4 ครั้ง: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

ขั้นแรก ให้คูณตัวเลขสองตัวแรกตัวอย่างเช่น, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). ไม่ต้องกังวล - ขั้นตอนการคำนวณไม่ซับซ้อนอย่างที่คิด ขั้นแรกให้คูณสองสี่ส่วนแรก แล้วแทนที่ด้วยผลลัพธ์ แบบนี้:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. คูณผลลัพธ์ (16 ในตัวอย่างของเรา) ด้วยตัวเลขถัดไปผลลัพธ์ที่ตามมาแต่ละครั้งจะเพิ่มขึ้นตามสัดส่วน ในตัวอย่างของเรา ให้คูณ 16 ด้วย 4 แบบนี้:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • คูณผลลัพธ์ของการคูณตัวเลขสองตัวแรกด้วยตัวเลขถัดไปจนกว่าจะได้คำตอบสุดท้าย ในการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเลขสองตัวแรก แล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวเลขถัดไปในลำดับ วิธีนี้ใช้ได้กับทุกระดับ ในตัวอย่างของเรา คุณควรได้รับ: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. แก้ไขปัญหาต่อไปนี้ตรวจสอบคำตอบของคุณด้วยเครื่องคิดเลข

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. บนเครื่องคิดเลข ให้มองหาคีย์ที่มีข้อความว่า "exp" หรือ " x n (\displaystyle x^(n))", หรือ "^"ด้วยปุ่มนี้ คุณจะเพิ่มตัวเลขเป็นเลขยกกำลัง แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะคำนวณระดับด้วยเลขชี้กำลังขนาดใหญ่ด้วยตนเอง (เช่น ระดับ 9 15 (\displaystyle 9^(15))) แต่เครื่องคิดเลขสามารถรับมือกับงานนี้ได้อย่างง่ายดาย ใน Windows 7 เครื่องคิดเลขมาตรฐานสามารถเปลี่ยนเป็นโหมดวิศวกรรมได้ ในการทำเช่นนี้คลิก "ดู" -\u003e "วิศวกรรม" หากต้องการเปลี่ยนเป็นโหมดปกติ ให้คลิก "ดู" -\u003e "ปกติ"

   • ตรวจสอบคำตอบที่ได้รับโดยใช้เครื่องมือค้นหา (Google หรือ Yandex). ใช้ปุ่ม "^" บนแป้นพิมพ์คอมพิวเตอร์ ป้อนนิพจน์ลงในเครื่องมือค้นหา ซึ่งจะแสดงคำตอบที่ถูกต้องทันที (และอาจแนะนำนิพจน์ที่คล้ายกันเพื่อการศึกษา)

   การบวก การลบ การคูณเลขยกกำลัง

   1. คุณสามารถบวกและลบเลขยกกำลังได้ก็ต่อเมื่อมีฐานเดียวกันเท่านั้นหากคุณต้องการบวกเลขยกกำลังที่มีฐานและเลขยกกำลังเท่ากัน คุณสามารถแทนที่การบวกด้วยการคูณได้ ตัวอย่างเช่น กำหนดนิพจน์ 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). จำไว้ว่าปริญญา 4 5 (\displaystyle 4^(5))สามารถแสดงเป็น 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); ดังนั้น, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5)=2*4^(5))(โดยที่ 1 +1 =2). นั่นคือ นับจำนวนองศาที่ใกล้เคียงกัน แล้วคูณองศาดังกล่าวกับจำนวนนี้ ในตัวอย่างของเรา ยกกำลัง 4 ยกกำลัง 5 แล้วคูณผลลัพธ์ด้วย 2 โปรดจำไว้ว่าการบวกสามารถแทนที่ด้วยการคูณได้ ตัวอย่างเช่น 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. เมื่อคูณเลขยกกำลังกับฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังจะถูกบวก (ฐานไม่เปลี่ยนแปลง)ตัวอย่างเช่น กำหนดนิพจน์ x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). ในกรณีนี้ คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มอินดิเคเตอร์ โดยปล่อยให้ฐานไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). นี่คือคำอธิบายภาพของกฎนี้:

      เมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณเช่น รับปริญญา. เนื่องจากเลขชี้กำลังถูกคูณแล้ว (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). ความหมายของกฎนี้คือคุณทวีคูณพลัง (x 2) (\displaystyle (x^(2)))ด้วยตัวเองห้าครั้ง แบบนี้:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^(2)*x^(2)*x^(2))
      • เนื่องจากฐานเหมือนกัน เลขชี้กำลังจึงรวมกันได้: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบควรแปลงเป็นเศษส่วน (เป็นกำลังผกผัน)ไม่สำคัญว่าคุณจะไม่รู้ว่าส่วนกลับคืออะไร หากคุณได้รับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ เช่น 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2))ให้เขียนเลขยกกำลังนี้ในตัวส่วนของเศษส่วน (ใส่ 1 ในตัวเศษ) และทำให้เลขยกกำลังเป็นบวก ในตัวอย่างของเรา: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

      เมื่อนำกำลังที่มีฐานเดียวกันมาหารกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก (ฐานไม่เปลี่ยนแปลง)การดำเนินการหารจะตรงกันข้ามกับการดำเนินการคูณ ตัวอย่างเช่น กำหนดนิพจน์ 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). ลบเลขชี้กำลังในตัวส่วนออกจากเลขชี้กำลังในตัวเศษ (อย่าเปลี่ยนฐาน) ดังนั้น, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • ระดับในตัวส่วนสามารถเขียนได้ดังนี้: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). โปรดจำไว้ว่าเศษส่วนคือตัวเลข (เลขยกกำลัง นิพจน์) ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ

   4. ด้านล่างนี้เป็นสำนวนที่จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาเกี่ยวกับไฟฟ้าการแสดงออกข้างต้นครอบคลุมเนื้อหาที่นำเสนอในส่วนนี้ หากต้องการดูคำตอบ เพียงเน้นพื้นที่ว่างหลังเครื่องหมายเท่ากับ

   การแก้ปัญหาด้วยเลขยกกำลังเศษส่วน

   ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน (เช่น ) จะถูกแปลงเป็นการดำเนินการแยกรากในตัวอย่างของเรา: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). ไม่สำคัญว่าจำนวนใดจะเป็นตัวส่วนของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน ตัวอย่างเช่น, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))เป็นรากที่สี่ของ "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. ถ้าเลขชี้กำลังเป็นเศษเกิน เลขชี้กำลังดังกล่าวสามารถแยกย่อยออกเป็นสองยกกำลังเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น ไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้ - เพียงจำกฎสำหรับการคูณกำลัง เช่น รับปริญญา. เปลี่ยนเลขชี้กำลังให้เป็นรากที่มีเลขชี้กำลังเท่ากับตัวส่วนของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน จากนั้นยกรากนั้นให้เป็นเลขชี้กำลังเท่ากับตัวเศษของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน ในการทำเช่นนี้โปรดจำไว้ว่า 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). ในตัวอย่างของเรา:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. เครื่องคิดเลขบางรุ่นมีปุ่มสำหรับคำนวณเลขยกกำลัง (ก่อนอื่นคุณต้องป้อนฐาน จากนั้นกดปุ่ม แล้วจึงป้อนเลขชี้กำลัง) เขียนแทนด้วย ^ หรือ x^y
   3. จำไว้ว่าจำนวนใด ๆ มีค่าเท่ากับตัวมันเองยกกำลังหนึ่ง เช่น 4 1 = 4 (\displaystyle 4^(1)=4.)นอกจากนี้ จำนวนใดๆ คูณหรือหารด้วยหนึ่งแล้วมีค่าเท่ากับตัวมันเอง เช่น 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)และ 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. รู้ว่าระดับ 0 0 ไม่มีอยู่จริง (ระดับดังกล่าวไม่มีทางออก) เมื่อคุณพยายามแก้ไขระดับดังกล่าวด้วยเครื่องคิดเลขหรือบนคอมพิวเตอร์ คุณจะได้รับข้อผิดพลาด แต่จำไว้ว่าจำนวนใด ๆ ที่กำลังเป็นศูนย์มีค่าเท่ากับ 1 เช่น 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. ในคณิตศาสตร์ขั้นสูงซึ่งดำเนินการกับจำนวนจินตภาพ: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), ที่ไหน i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e เป็นค่าคงที่โดยประมาณเท่ากับ 2.7; a เป็นค่าคงที่โดยพลการ การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันนี้สามารถพบได้ในตำราคณิตศาสตร์ชั้นสูงทุกเล่ม

   คำเตือน

   • เมื่อเลขยกกำลังเพิ่มขึ้น ค่าของมันก็เพิ่มขึ้นอย่างมาก ดังนั้น หากคำตอบดูเหมือนผิดสำหรับคุณ อันที่จริงแล้ว คำตอบนั้นอาจเป็นจริงก็ได้ คุณสามารถตรวจสอบได้โดยการพล็อตฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลใดๆ เช่น 2 x

ไปที่ช่อง YouTube ของเว็บไซต์ของเราเพื่อรับทราบบทเรียนวิดีโอใหม่ทั้งหมด

ก่อนอื่น เรามานึกถึงสูตรพื้นฐานขององศาและคุณสมบัติของมันกันก่อน

สินค้าจำนวน กเกิดขึ้นกับตัวเอง n ครั้ง เราสามารถเขียนนิพจน์นี้เป็น a … a=a n

1. ก 0 = 1 (ก ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (n) m = a นาโนเมตร

5. a n b n = (ab) น

7. น / น ม \u003d น - ม

สมการยกกำลังหรือเลขชี้กำลัง- นี่คือสมการที่ตัวแปรอยู่ในกำลัง (หรือเลขยกกำลัง) และฐานเป็นตัวเลข

ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:

ในตัวอย่างนี้ เลข 6 คือฐาน จะอยู่ด้านล่างเสมอและเป็นตัวแปร xองศาหรือการวัด

ให้เรายกตัวอย่างเพิ่มเติมของสมการเลขชี้กำลัง
2 x *5=10
16x-4x-6=0

ทีนี้มาดูกันว่าแก้สมการเลขชี้กำลังได้อย่างไร?

ลองใช้สมการง่ายๆ:

2 x = 2 3

ตัวอย่างดังกล่าวสามารถแก้ไขได้แม้ในใจ จะเห็นได้ว่า x=3 ท้ายที่สุดเพื่อให้ด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากันคุณต้องใส่เลข 3 แทน x
ทีนี้มาดูกันว่าควรตัดสินใจอย่างไร:

2 x = 2 3
x = 3

เพื่อแก้สมการนี้ เราลบออก เหตุเดียวกัน(นั่นคือผีสาง) และเขียนสิ่งที่เหลืออยู่นี่คือองศา เราได้คำตอบที่ต้องการแล้ว

ตอนนี้ขอสรุปวิธีแก้ปัญหาของเรา

อัลกอริทึมโซลูชัน สมการเลขชี้กำลัง:
1. จำเป็นต้องตรวจสอบ เหมือนไม่ว่าจะเป็นฐานของสมการทางขวาและทางซ้าย หากเหตุผลไม่เหมือนกัน เรากำลังมองหาตัวเลือกเพื่อแก้ไขตัวอย่างนี้
2. หลังจากฐานเหมือนกัน เท่าเทียมกันองศาและแก้สมการใหม่ที่ได้

ตอนนี้มาแก้ตัวอย่าง:

มาเริ่มกันง่ายๆ

ฐานด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากับเลข 2 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถทิ้งฐานและจัดองศาได้

x+2=4 สมการที่ง่ายที่สุดปรากฏขึ้นแล้ว
x=4 - 2
x=2
คำตอบ: x=2

ในตัวอย่างต่อไปนี้ คุณจะเห็นว่าฐานต่างกัน ซึ่งก็คือ 3 และ 9

3 3x - 9 x + 8 = 0

เริ่มต้นด้วยการโอนเก้าไปทางด้านขวา เราได้รับ:

ตอนนี้คุณต้องสร้างฐานเดียวกัน เรารู้ว่า 9=3 2 . ลองใช้สูตรกำลัง (an) m = a nm กัน

3 3x \u003d (3 2) x + 8

เราได้ 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ตอนนี้ชัดเจนว่าฐานทางด้านซ้ายและด้านขวาเหมือนกันและเท่ากับสาม ซึ่งหมายความว่าเราสามารถทิ้งมันและเทียบองศาได้

3x=2x+16 ได้สมการที่ง่ายที่สุด
3x-2x=16
x=16
คำตอบ: x=16.

ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

ก่อนอื่น เราดูที่ฐาน ฐานต่างกันสองและสี่ และเราต้องเหมือนกัน เราแปลงสี่เท่าตามสูตร (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

และเรายังใช้หนึ่งสูตร a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

เพิ่มในสมการ:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แต่หมายเลขอื่น ๆ 10 และ 24 รบกวนเรา จะทำอย่างไรกับพวกเขา? หากคุณมองอย่างใกล้ชิด คุณจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเราทำซ้ำ 2 2x นี่คือคำตอบ - เราสามารถใส่ 2 2x ออกจากวงเล็บ:

2 2x (2 4 - 10) = 24

ลองคำนวณนิพจน์ในวงเล็บ:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

เราหารสมการทั้งหมดด้วย 6:

ลองนึกภาพ 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 ฐานเหมือนกัน ทิ้งมันแล้วเทียบองศา
2x \u003d 2 กลายเป็นสมการที่ง่ายที่สุด เราหารมันด้วย 2 เราได้
x = 1
คำตอบ: x = 1

มาแก้สมการกันเถอะ:

9 x - 12*3 x +27= 0

มาแปลงร่างกันเถอะ:
9 x = (3 2) x = 3 2x

เราได้สมการ:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

ฐานของเราเท่ากัน เท่ากับสาม ในตัวอย่างนี้ ชัดเจนว่า เลขสามตัวแรกมีดีกรีเป็นสองเท่า (2x) มากกว่าตัวที่สอง (แค่ x) ในกรณีนี้ คุณสามารถตัดสินใจได้ วิธีการทดแทน. จำนวนที่มีระดับน้อยที่สุดจะถูกแทนที่ด้วย:

จากนั้น 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d เสื้อ 2

เราแทนที่องศาทั้งหมดด้วย x ในสมการด้วย t:

เสื้อ 2 - 12 เสื้อ + 27 \u003d 0
เราได้รับ สมการกำลังสอง. เราแก้ปัญหาผ่านการจำแนก เราได้รับ:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

กลับไปที่ตัวแปร x.

เราใช้เวลา t 1:
เสื้อ 1 \u003d 9 \u003d 3 x

นั่นคือ,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

พบหนึ่งรูท เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:
เสื้อ 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
คำตอบ: x 1 \u003d 2; x 2 = 1

บนเว็บไซต์ คุณสามารถถามคำถามที่สนใจได้ในส่วน "ช่วยตัดสินใจ" เราจะตอบคุณอย่างแน่นอน

เข้าร่วมกลุ่ม

ระดับแรก

ระดับและคุณสมบัติของมัน คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

ทำไมต้องมีปริญญา? คุณต้องการที่ไหน ทำไมคุณต้องใช้เวลาศึกษาพวกเขา?

เพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับปริญญา มีไว้เพื่ออะไร ใช้ความรู้ของคุณอย่างไร ชีวิตประจำวันอ่านบทความนี้

และแน่นอนว่าการรู้ระดับจะทำให้คุณเข้าใกล้ความสำเร็จมากขึ้น ผ่าน OGEหรือสอบรวมรัฐและสอบเข้ามหาวิทยาลัยในฝัน

ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)

โน๊ตสำคัญ! หากคุณเห็นซึ่งพูดพล่อยๆ แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กด CTRL+F5 (บน Windows) หรือ Cmd+R (บน Mac)

ระดับแรก

การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์แบบเดียวกับการบวก การลบ การคูณหรือการหาร

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างเป็นภาษามนุษย์อย่างมาก ตัวอย่างง่ายๆ. ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงพื้นฐาน แต่อธิบายสิ่งที่สำคัญ

เริ่มจากการเพิ่มกันก่อน

ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน แต่ละคนมีโคล่าสองขวด โคล่าเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด

ตอนนี้คูณ

ตัวอย่างเดียวกันกับโคล่าสามารถเขียนได้ด้วยวิธีอื่น: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนเจ้าเล่ห์และขี้เกียจ พวกเขาสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างก่อนแล้วจึงหาวิธี "นับ" ให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าแต่ละคนในแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน และเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า

ดังนั้น เพื่อให้นับได้เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำ สูตรคูณ. แน่นอน คุณสามารถทำทุกอย่างช้าลง หนักขึ้น และผิดพลาดได้! แต่…

นี่คือตารางการคูณ ทำซ้ำ.

และอีกอันที่สวยกว่า:

แล้วนักคณิตศาสตร์จอมขี้เกียจคิดกลอุบายอะไรอีกบ้าง? ขวา - การเพิ่มจำนวนให้เป็นเลขยกกำลัง.

การเพิ่มจำนวนให้เป็นเลขยกกำลัง

หากคุณต้องการคูณจำนวนด้วยตัวเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องยกกำลังจำนวนนี้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองถึงห้าคือ และพวกเขาแก้ปัญหาดังกล่าวในใจ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด

ในการทำเช่นนี้คุณจะต้อง จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางพลังของตัวเลข. เชื่อฉันมันจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก

ทำไมถึงเรียกว่าระดับที่สอง สี่เหลี่ยมตัวเลข และตัวที่สาม ลูกบาศก์? มันหมายความว่าอะไร? เป็นคำถามที่ดีมาก ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์

ตัวอย่างชีวิตจริง #1

เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน

ลองนึกภาพสระสี่เหลี่ยมขนาดเมตรต่อเมตร สระว่ายน้ำอยู่ในสวนหลังบ้านของคุณ ร้อนมาก อยากเล่นน้ำ แต่ ... สระน้ำที่ไม่มีก้น! จำเป็นต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? ในการพิจารณาสิ่งนี้คุณต้องรู้พื้นที่ก้นสระ

แค่เอานิ้วจิ้มก็นับว่าก้นสระมีลูกบาศก์เมตรละเมตร หากกระเบื้องของคุณเป็นเมตรต่อเมตร คุณจะต้องใช้ชิ้นส่วน ง่ายมาก... แต่คุณเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องจะค่อนข้างเป็นซม. โดยซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะพอดีกับกระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านก็ปูกระเบื้อง คูณด้วย คุณจะได้ไทล์ ()

คุณสังเกตเห็นหรือไม่ว่าเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวเองเพื่อกำหนดพื้นที่ก้นสระ? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากการคูณจำนวนเดียวกัน เราสามารถใช้เทคนิคการยกกำลังได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัว คุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามาก และยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยลงด้วย สำหรับการสอบ สิ่งนี้สำคัญมาก)
ดังนั้น สามสิบถึงดีกรีสองจะเป็น () หรือจะบอกว่า 30 กำลังสองก็ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นกำลังสองได้เสมอ และกลับกัน ถ้าคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แสดงว่าเป็นเลขยกกำลังสองเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นภาพกำลังสองของจำนวน

ตัวอย่างชีวิตจริง #2

นี่เป็นงานสำหรับคุณ นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข ... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการนับจำนวน คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ ... ถ้าคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็สามารถยกกำลังแปดได้ รับเซลล์ () ดังนั้น?

ตัวอย่างชีวิตจริง #3

ตอนนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (ปริมาตรและของเหลวมีหน่วยวัดเป็นลูกบาศก์เมตร คาดไม่ถึงใช่ไหม) วาดสระ: ด้านล่างมีขนาด 1 เมตรและลึก 1 เมตร แล้วลองคำนวณว่าลูกบาศก์เมตรต่อเมตรจะไหลเข้าสระของคุณกี่ลูกบาศก์เมตร

แค่ชี้นิ้วแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่… ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม… เท่าไหร่? ไม่หลงทางเหรอ? นับนิ้วยากไหม? ดังนั้น! ยกตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเราปริมาตรของสระจะเท่ากับลูกบาศก์ ... ง่ายกว่าใช่ไหม

ทีนี้ลองนึกดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและฉลาดแกมโกงจะเป็นยังไงถ้าพวกเขาทำให้มันง่ายเกินไป ลดทุกอย่างเหลือการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากันและจำนวนเดียวกันนั้นคูณด้วยตัวมันเอง ... และนี่หมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ปริญญา ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้ว พวกมันทำในการกระทำเดียว: สามในลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนดังนี้:

คงเหลือไว้เพียง จดจำตารางองศา. เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ ถ้าคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้

ในที่สุดเพื่อให้คุณเชื่อว่าองศาถูกคิดค้นโดยคนไม่มีส้นและคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ปัญหาชีวิตของพวกเขาและไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ ต่อไปนี้คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต

ตัวอย่างชีวิตจริง #4

คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ทุก ๆ 1 ล้านทุก ๆ ต้นปี คุณจะได้รับเงินอีก 1 ล้าน นั่นคือแต่ละล้านของคุณในช่วงต้นปีจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่งและ "นับนิ้ว" แสดงว่าคุณเป็นคนที่ทำงานหนักและ .. โง่ แต่เป็นไปได้มากว่าคุณจะให้คำตอบในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้นในปีแรก - สองครั้งสองครั้ง ... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้นอีกสองครั้งในปีที่สาม ... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเอง 1 ครั้ง สองยกกำลังห้าเท่ากับหนึ่งล้าน! ทีนี้ลองนึกดูว่าคุณมีการแข่งขันและคนที่คำนวณได้เร็วกว่าจะได้เงินล้านเหล่านี้ ... มันคุ้มค่าไหมที่จะจำระดับของตัวเลข คุณคิดอย่างไร?

ตัวอย่างชีวิตจริง #5

คุณมีเงินเป็นล้าน ทุก ๆ หนึ่งล้านทุก ๆ ต้นปี คุณจะได้รับรายได้เพิ่มขึ้นสองเท่า มันดีมากใช่มั้ย? ทุก ๆ ล้านจะเพิ่มเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยผลลัพธ์อื่น ... มันน่าเบื่อแล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเอง ยกกำลังสี่คือล้าน คุณแค่ต้องจำไว้ว่ากำลังสามยกกำลังสี่คือหรือ

ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มเลขยกกำลัง คุณจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก มาดูกันดีกว่าว่าคุณสามารถทำอะไรกับปริญญาและสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับพวกเขาได้บ้าง

ข้อกำหนดและแนวคิด ... เพื่อไม่ให้สับสน

ก่อนอื่นมากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขยกกำลังคืออะไร? มันง่ายมาก - นี่คือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบนสุด" ของพลังของตัวเลข ไม่เป็นวิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจน และจำง่าย ...

ในขณะเดียวกันอะไร เช่นฐานของระดับ? ยิ่งง่ายคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน

นี่คือภาพเพื่อให้คุณแน่ใจ

ดีและใน ปริทัศน์เพื่อสรุปและจดจำได้ดีขึ้น ... ระดับที่มีฐาน "" และเลขยกกำลัง "" อ่านว่า "ถึงระดับ" และเขียนดังนี้:

พลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ

คุณอาจเดาได้อยู่แล้ว เพราะเลขชี้กำลังคือ จำนวนธรรมชาติ. ใช่ แต่สิ่งที่เป็น จำนวนธรรมชาติ? ประถมศึกษา! จำนวนธรรมชาติคือจำนวนที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการ: หนึ่ง สอง สาม ... เมื่อเรานับรายการ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" เราไม่ได้พูดว่า "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้าในสิบ" เช่นกัน สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่าตัวเลขเหล่านี้คืออะไร?

ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มจะรวมถึงจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เข้าใจง่าย - นี่คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขเชิงลบ ("ลบ") หมายถึงอะไร แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อแสดงถึงหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลนั่นหมายความว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของโอเปอเรเตอร์

เศษส่วนทั้งหมดคือ สรุปตัวเลข. พวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร คุณคิดว่า? ง่ายมาก. หลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาขาด จำนวนธรรมชาติสำหรับวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็มาพร้อมกับ สรุปตัวเลข… น่าสนใจใช่มั้ยล่ะ?

นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? ในระยะสั้นไม่มีที่สิ้นสุด ทศนิยม. ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ

สรุป:

มากำหนดแนวคิดของดีกรีกัน เลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ จำนวนเต็มและบวก)

1. เลขยกกำลังหนึ่งใดๆ จะเท่ากับตัวมันเอง:
2. การยกกำลังสองคือการคูณด้วยตัวมันเอง:
3. การยกกำลังสองคือการคูณด้วยตัวของมันเองสามครั้ง:

คำนิยาม.ยกเลขเป็น ระดับธรรมชาติหมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวเองครั้ง:
.

คุณสมบัติของปริญญา

คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณเห็นตอนนี้

มาดูกันว่ามีอะไรบ้าง และ ?

A-priory:

มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?

มันง่ายมาก: เราเพิ่มปัจจัยให้กับปัจจัยและผลลัพธ์ก็คือปัจจัย

แต่ตามความหมายแล้ว นี่คือระดับของจำนวนที่มีเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ: ซึ่งจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:

ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นต้องเป็นเหตุผลเดียวกันแน่ๆ!
ดังนั้นเราจึงรวมองศาเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

สำหรับผลิตภัณฑ์แห่งพลังเท่านั้น!

ไม่ว่าในกรณีใดคุณไม่ควรเขียนว่า

2. นั่นคือ กำลัง -th ของจำนวน

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

ปรากฎว่านิพจน์ถูกคูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของจำนวน:

ที่จริงแล้วสิ่งนี้สามารถเรียกว่า "การคร่อมตัวบ่งชี้" แต่คุณไม่สามารถทำได้ทั้งหมด:

จำสูตรสำหรับการคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง

แต่นั่นไม่เป็นความจริงเลยจริงๆ

องศาที่มีฐานเป็นลบ

จนถึงจุดนี้ เราได้พูดถึงแต่เพียงว่าเลขชี้กำลังควรเป็นอย่างไร

แต่สิ่งที่ควรเป็นพื้นฐาน?

ในองศาจาก ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติพื้นฐานอาจจะ หมายเลขใดก็ได้. อันที่จริง เราสามารถคูณจำนวนใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นจำนวนบวก ลบ หรือแม้แต่คู่

ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีองศาของจำนวนบวกและลบ?

เช่น ตัวเลขจะเป็นบวกหรือลบ? เอ? ? อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าจะมากแค่ไหน ตัวเลขที่เป็นบวกเราไม่ได้คูณกัน ผลลัพธ์จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย ท้ายที่สุด เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: "ลบ คูณ ลบ ให้บวก" นั่นคือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย มันจะออกมา

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าการแสดงออกต่อไปนี้จะมีสัญญาณอะไร:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

คุณจัดการหรือไม่

นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขยกกำลัง และใช้กฎที่เหมาะสม

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวอย่างที่คิด: ไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับเท่าใด - ระดับคือคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นบวกเสมอ

ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป!

6 ตัวอย่างการปฏิบัติ

การวิเคราะห์โซลูชัน 6 ตัวอย่าง

ถ้าเราไม่ใส่ใจกับระดับแปดเราจะเห็นอะไรที่นี่? มาดูโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กัน แล้วจำได้ไหม? นี่คือสูตรคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างกำลังสอง! เราได้รับ:

เราดูที่ตัวส่วนอย่างระมัดระวัง ดูเหมือนตัวประกอบตัวเศษตัวใดตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น ลำดับเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากสลับกัน จะใช้กฎได้

แต่จะทำอย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับคู่ของตัวส่วนช่วยเราที่นี่

ข้อกำหนดมีการเปลี่ยนแปลงสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ "ปรากฏการณ์" นี้ใช้กับนิพจน์ใด ๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างอิสระ

แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดจะเปลี่ยนในเวลาเดียวกัน!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งสูตร:

ทั้งหมดเราตั้งชื่อจำนวนธรรมชาติสิ่งที่ตรงกันข้าม (นั่นคือเครื่องหมาย "") และจำนวน

จำนวนเต็มบวกและมันก็ไม่ต่างจากธรรมชาติ ทุกอย่างดูเหมือนกับในส่วนก่อนหน้าทุกประการ

ทีนี้มาดูกรณีใหม่ๆ เริ่มจากตัวบ่งชี้เท่ากับ

เลขยกกำลังศูนย์ใดๆ มีค่าเท่ากับ 1:

เช่นเคย เราถามตัวเองว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น

พิจารณาพลังบางอย่างด้วยฐาน ยกตัวอย่างและคูณด้วย:

เราก็เลยคูณจำนวนนั้นเข้าไป แล้วก็ได้ - เหมือนเดิม ต้องคูณเลขอะไรถึงจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง? ถูกต้องบน วิธี.

เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:

ทำซ้ำกฎ:

เลขยกกำลังศูนย์ใดๆ มีค่าเท่ากับ 1

แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎมากมาย และนี่ก็อยู่ที่นั่นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)

ในแง่หนึ่งจะต้องเท่ากับองศาใด ๆ - ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองเท่าไหร่คุณก็ยังได้ศูนย์ซึ่งชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับจำนวนใด ๆ ถึงศูนย์องศา มันจะต้องเท่ากัน ดังนั้นความจริงของเรื่องนี้คืออะไร? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจที่จะไม่เข้าไปเกี่ยวข้องและปฏิเสธที่จะยกกำลังศูนย์เป็นศูนย์ นั่นคือตอนนี้เราไม่เพียง แต่สามารถหารด้วยศูนย์เท่านั้น แต่ยังเพิ่มกำลังเป็นศูนย์ได้อีกด้วย

ไปต่อกันเถอะ นอกจากจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็มแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่าระดับลบคืออะไร ลองทำเหมือนครั้งที่แล้ว: เราคูณจำนวนปกติด้วยจำนวนเดียวกันในระดับลบ:

จากที่นี่ มันง่ายอยู่แล้วที่จะแสดงความต้องการ:

ตอนนี้เราขยายกฎผลลัพธ์เป็นระดับโดยพลการ:

ดังนั้นมากำหนดกฎ:

เลขยกกำลังลบคือค่าผกผันของเลขยกกำลังบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานต้องไม่เป็นโมฆะ:(เพราะแบ่งไม่ได้).

สรุป:

I. นิพจน์ไม่ได้กำหนดไว้ในกรณี ถ้าอย่างนั้น.

ครั้งที่สอง จำนวนใด ๆ ยกกำลังศูนย์เท่ากับหนึ่ง: .

สาม. จำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ยกกำลังลบคือค่าผกผันของจำนวนเดียวกันกับกำลังบวก:

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตามปกติ ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

การวิเคราะห์งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ฉันรู้ ฉันรู้ ตัวเลขน่ากลัว แต่ในการสอบคุณต้องพร้อมสำหรับทุกสิ่ง! แก้ตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ และคุณจะได้เรียนรู้วิธีจัดการกับมันอย่างง่ายดายในข้อสอบ!

มาขยายช่วงของตัวเลขที่ "เหมาะสม" เป็นเลขชี้กำลังกันต่อไป

ตอนนี้พิจารณา สรุปตัวเลข.จำนวนใดที่เรียกว่าตรรกยะ?

คำตอบ: ทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และจำนวนเต็ม ยิ่งกว่านั้น

เพื่อทำความเข้าใจว่าคืออะไร "เศษส่วนองศา"ลองพิจารณาเศษส่วน:

เรามายกกำลังทั้งสองข้างของสมการกัน:

ตอนนี้จำกฎ "ระดับต่อระดับ":

ต้องยกกำลังเลขอะไรถึงจะได้

สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของระดับ th

ฉันขอเตือนคุณ: รากของเลขยกกำลัง th ของตัวเลข () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วมีค่าเท่ากัน

นั่นคือรากของระดับ th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:

ปรากฎว่า แน่นอน กรณีพิเศษนี้สามารถขยายได้: .

ตอนนี้เพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นหาได้ง่ายๆ ด้วยกฎแบบอำนาจต่ออำนาจ:

แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใด ๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้

ไม่มี!

จำกฎไว้: ตัวเลขใดๆ ที่ยกกำลังเลขคู่จะเป็นจำนวนบวก นั่นคือเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากของระดับคู่ออกจากจำนวนลบ!

และนั่นหมายความว่าตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถยกกำลังเศษส่วนด้วยตัวส่วนคู่ได้ นั่นคือการแสดงออกไม่สมเหตุสมผล

แล้วการแสดงออกล่ะ?

แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น

จำนวนสามารถแสดงเป็นเศษส่วนอื่น ๆ เช่นเศษส่วนหรือ

และปรากฎว่ามีอยู่จริง แต่ไม่มีอยู่ และนี่เป็นเพียงบันทึกที่แตกต่างกันสองรายการที่มีหมายเลขเดียวกัน

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: ครั้งเดียวแล้วคุณสามารถจด แต่ทันทีที่เราเขียนตัวบ่งชี้ด้วยวิธีอื่น เราก็พบปัญหาอีกครั้ง: (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)

เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าวให้พิจารณา เลขชี้กำลังฐานบวกกับเลขชี้กำลังเศษส่วนเท่านั้น.

ดังนั้นหาก:

• - จำนวนธรรมชาติ
• เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง:

เลขชี้กำลังที่มีเหตุผลมีประโยชน์มากสำหรับการแปลงนิพจน์ที่มีราก เช่น

5 ตัวอย่างการปฏิบัติ

การวิเคราะห์ 5 ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม

ตอนนี้ - ยากที่สุด ตอนนี้เราจะวิเคราะห์ องศากับเลขชี้กำลังอตรรกยะ.

กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่นี่เหมือนกันทุกประการกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ยกเว้น

ตามคำนิยามแล้ว จำนวนอตรรกยะคือจำนวนที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ

เมื่อศึกษาองศาด้วยตัวบ่งชี้ธรรมชาติ จำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะ แต่ละครั้งที่เราสร้าง "รูปภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในคำที่คุ้นเคยมากกว่า

ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังธรรมชาติคือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหลาย ๆ ครั้ง;

...พลังงานเป็นศูนย์- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้งนั่นคือมันยังไม่เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าตัวเลขนั้นยังไม่ปรากฏ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "ตัวเลขว่าง" บางตัวเท่านั้นคือตัวเลข

...เลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้น นั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

อย่างไรก็ตาม วิทยาศาสตร์มักจะใช้ดีกรีกับเลขชี้กำลังเชิงซ้อน นั่นคือ เลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ

แต่ที่โรงเรียนเราไม่คิดถึงปัญหาดังกล่าวคุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาตัวอย่างดังกล่าว :))

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา:

1. เริ่มจากกฎทั่วไปในการเพิ่มระดับเป็นระดับ:

ตอนนี้ดูที่คะแนน เขาเตือนอะไรคุณบ้างไหม? เราจำสูตรสำหรับการคูณแบบย่อของความแตกต่างของกำลังสอง:

ในกรณีนี้,

ปรากฎว่า:

คำตอบ: .

2. เรานำเศษส่วนเป็นเลขยกกำลังมาในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสามัญ เราได้รับตัวอย่างเช่น:

คำตอบ: 16

3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

ระดับสูง

ความหมายของปริญญา

ระดับคือการแสดงออกของรูปแบบ: , โดยที่:

• — ฐานของปริญญา
• - เลขยกกำลัง

องศาที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)

การเพิ่มจำนวนด้วยพลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วยจำนวนครั้ง:

ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)

ถ้าเลขชี้กำลังเป็น จำนวนเต็มบวกตัวเลข:

การสร้าง พลังงานเป็นศูนย์:

นิพจน์ไม่มีกำหนด เพราะในแง่หนึ่ง ในระดับใดๆ ก็คือสิ่งนี้ และในทางกลับกัน ตัวเลขใดๆ ในระดับ th ก็คือสิ่งนี้

ถ้าเลขชี้กำลังเป็น จำนวนเต็มลบตัวเลข:

(เพราะแบ่งไม่ได้).

อีกครั้งเกี่ยวกับ nulls: นิพจน์ไม่ได้กำหนดไว้ในกรณี ถ้าอย่างนั้น.

ตัวอย่าง:

องศากับเลขชี้กำลังตรรกยะ

• - จำนวนธรรมชาติ
• เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง:

คุณสมบัติของปริญญา

เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหาลองทำความเข้าใจว่าคุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กัน

มาดูกัน: คืออะไรและ?

A-priory:

ดังนั้น ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ จะได้ผลิตภัณฑ์ต่อไปนี้:

แต่ตามความหมายแล้ว นี่คือพลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:

คิวอีดี

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : .

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นจะต้องอยู่บนพื้นฐานเดียวกัน ดังนั้นเราจึงรวมองศาเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

หมายเหตุสำคัญอีกประการ: กฎนี้ - สำหรับผลิตภัณฑ์แห่งพลังเท่านั้น!

ไม่ว่าในกรณีใดฉันไม่ควรเขียนสิ่งนั้น

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

มาจัดเรียงใหม่ดังนี้:

ปรากฎว่านิพจน์ถูกคูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลัง -th ของจำนวน:

ที่จริงแล้วสิ่งนี้สามารถเรียกว่า "การคร่อมตัวบ่งชี้" แต่คุณไม่สามารถทำได้ทั้งหมด:!

จำสูตรสำหรับการคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง แต่นั่นไม่เป็นความจริงเลยจริงๆ

กำลังที่มีฐานเป็นลบ

ถึงตอนนี้ เราคุยกันแต่สิ่งที่ควรเป็น ดัชนีระดับ. แต่สิ่งที่ควรเป็นพื้นฐาน? ในองศาจาก เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจจะ หมายเลขใดก็ได้ .

อันที่จริง เราสามารถคูณจำนวนใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นจำนวนบวก ลบ หรือแม้แต่คู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีองศาของจำนวนบวกและลบ?

เช่น ตัวเลขจะเป็นบวกหรือลบ? เอ? ?

อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกเท่าไรผลลัพธ์จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย ท้ายที่สุด เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: "ลบ คูณ ลบ ให้บวก" นั่นคือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -

และอื่นๆ ใน ad infinitum: ด้วยการคูณที่ตามมาแต่ละครั้ง เครื่องหมายจะเปลี่ยนไป เป็นไปได้ที่จะกำหนดดังกล่าว กฎง่ายๆ:

1. สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
2. จำนวนลบสร้างขึ้นใน แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
3. จำนวนบวกยกกำลังใด ๆ คือจำนวนบวก
4. ศูนย์ยกกำลังใด ๆ มีค่าเท่ากับศูนย์

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าการแสดงออกต่อไปนี้จะมีสัญญาณอะไร:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

คุณจัดการหรือไม่ นี่คือคำตอบ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขยกกำลัง และใช้กฎที่เหมาะสม

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวอย่างที่คิด: ไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับเท่าใด - ระดับคือคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? หากคุณจำได้ จะเห็นได้ชัดว่า ซึ่งหมายความว่าฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นลบ

และอีกครั้งเราใช้คำจำกัดความของระดับ:

ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาและแบ่งพวกมันออกเป็นสองส่วนและรับ:

ก่อนที่จะวิเคราะห์กฎข้อสุดท้าย เรามาแก้ตัวอย่างกันก่อน

คำนวณค่านิพจน์:

โซลูชั่น :

ถ้าเราไม่ใส่ใจกับระดับแปดเราจะเห็นอะไรที่นี่? มาดูโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กัน แล้วจำได้ไหม? นี่คือสูตรคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างกำลังสอง!

เราได้รับ:

เราดูที่ตัวส่วนอย่างระมัดระวัง ดูเหมือนตัวประกอบตัวเศษตัวใดตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น ลำดับเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับกันก็สามารถใช้กฎข้อที่ 3 ได้ แต่จะทำอย่างไร ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับคู่ของตัวส่วนช่วยเราที่นี่

ถ้าคุณคูณมันด้วย ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงใช่ไหม? แต่ตอนนี้ดูเหมือนว่า:

ข้อกำหนดมีการเปลี่ยนแปลงสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ "ปรากฏการณ์" นี้ใช้กับนิพจน์ใด ๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างอิสระ แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: ทุกสัญญาณเปลี่ยนพร้อมกัน!ไม่สามารถแทนที่ได้ด้วยการเปลี่ยนเพียงหนึ่งลบที่น่ารังเกียจสำหรับเรา!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งสูตร:

ตอนนี้กฎข้อสุดท้าย:

เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอน เช่นเคย มาขยายแนวคิดของระดับและทำให้ง่ายขึ้น:

ทีนี้มาเปิดวงเล็บกัน จะมีจดหมายกี่ฉบับ? ครั้งโดยตัวคูณ - มันมีลักษณะอย่างไร? นี่ไม่ใช่อะไรนอกจากคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ผลรวมกลายเป็นตัวคูณ นั่นคือ ตามนิยามแล้ว พลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลัง:

ตัวอย่าง:

ระดับที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ

นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดของดีกรีที่นี่เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ยกเว้นตามความหมายแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาองศาด้วยตัวบ่งชี้ธรรมชาติ จำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะ แต่ละครั้งที่เราสร้าง "รูปภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในคำที่คุ้นเคยมากกว่า ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังธรรมชาติคือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหลาย ๆ ครั้ง; ตัวเลขถึงระดับศูนย์คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้งนั่นคือมันยังไม่เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าตัวเลขนั้นยังไม่ปรากฏ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "การเตรียมตัวเลข" บางอย่างเท่านั้น ได้แก่ ตัวเลข ระดับที่มีตัวบ่งชี้จำนวนเต็มลบ - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

เป็นเรื่องยากมากที่จะจินตนาการถึงดีกรีที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ (เช่นเดียวกับการจินตนาการถึงปริภูมิ 4 มิติ) แต่เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วน ๆ ที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดของระดับไปสู่ปริภูมิทั้งหมดของตัวเลข

อย่างไรก็ตาม วิทยาศาสตร์มักจะใช้ดีกรีกับเลขชี้กำลังเชิงซ้อน นั่นคือ เลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียนเราไม่คิดถึงปัญหาดังกล่าวคุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

เราจะทำอย่างไรถ้าเราเห็นเลขยกกำลังอตรรกยะ? เรากำลังพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อกำจัดมัน! :)

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวคุณเอง:

1)

2)

3)

คำตอบ:

1. จำความแตกต่างของสูตรกำลังสอง คำตอบ: .
2. เรานำเศษส่วนมาอยู่ในรูปเดียวกัน: ทศนิยมทั้งคู่หรือทั้งทศนิยมธรรมดา เราได้รับตัวอย่างเช่น: .
3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน

ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: , โดยที่:

องศากับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

องศา เลขยกกำลังซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

องศากับเลขชี้กำลังตรรกยะ

องศา ตัวบ่งชี้ที่เป็นลบและตัวเลขเศษส่วน

ระดับที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ

เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนทศนิยมหรือรากไม่สิ้นสุด

คุณสมบัติของปริญญา

คุณสมบัติขององศา

• จำนวนลบยกเป็น สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
• จำนวนลบยกเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
• จำนวนบวกยกกำลังใด ๆ คือจำนวนบวก
• ศูนย์มีค่าเท่ากับพลังใดๆ
• จำนวนใด ๆ ยกกำลังศูนย์มีค่าเท่ากัน

ตอนนี้คุณมีคำ ...

คุณชอบบทความอย่างไร แจ้งให้เราทราบในความคิดเห็นด้านล่างหากคุณชอบหรือไม่

บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณเกี่ยวกับคุณสมบัติของพลังงาน

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ.

เขียนในความคิดเห็น

และขอให้โชคดีกับการสอบของคุณ!

นิพจน์ การแปลงนิพจน์

การแสดงพลัง (การแสดงออกที่มีพลัง) และการเปลี่ยนแปลง

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงการแปลงนิพจน์ด้วยพลัง ขั้นแรก เราจะมุ่งเน้นไปที่การแปลงที่ทำด้วยนิพจน์ชนิดใดๆ รวมถึงนิพจน์ยกกำลัง เช่น วงเล็บเปิด การลดคำที่คล้ายกัน จากนั้นเราจะวิเคราะห์การแปลงที่เกิดขึ้นโดยเฉพาะในนิพจน์ที่มีองศา: การทำงานกับฐานและเลขยกกำลัง การใช้คุณสมบัติขององศา เป็นต้น

การนำทางหน้า

การแสดงออกของพลังคืออะไร?

คำว่า "การแสดงพลัง" นั้นแทบไม่พบในหนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตร์ แต่มักจะปรากฏในชุดของปัญหา ซึ่งออกแบบมาเพื่อเตรียมสอบ Unified State และ OGE โดยเฉพาะ หลังจากวิเคราะห์งานที่จำเป็นต้องดำเนินการใด ๆ กับนิพจน์กำลัง เป็นที่ชัดเจนว่านิพจน์กำลังถูกเข้าใจว่าเป็นนิพจน์ที่มีองศาในรายการ ดังนั้นสำหรับตัวคุณเองคุณสามารถใช้คำจำกัดความต่อไปนี้:

คำนิยาม.

การแสดงออกของพลังเป็นการแสดงออกที่มีอำนาจ

มาเลย ตัวอย่างของการแสดงพลัง. ยิ่งไปกว่านั้น เราจะนำเสนอพวกเขาตามพัฒนาการของมุมมองจากระดับที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติไปจนถึงระดับที่มีตัวบ่งชี้จริงเกิดขึ้น

อย่างที่คุณทราบ ขั้นแรกให้คุณทำความคุ้นเคยกับระดับของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ ในขั้นตอนนี้ การแสดงพลังที่ง่ายที่สุดประเภทแรก 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 เป็นต้น

หลังจากนั้นไม่นาน มีการศึกษากำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ซึ่งนำไปสู่การปรากฏของนิพจน์ยกกำลังที่มีกำลังจำนวนเต็มลบ ดังต่อไปนี้: 3 −2, , ก −2 +2 ข −3 + ค 2

ในชั้นเรียนอาวุโสพวกเขากลับไปที่องศาอีกครั้ง มีการแนะนำระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นเหตุเป็นผลซึ่งนำไปสู่การปรากฏของการแสดงออกของพลังงานที่สอดคล้องกัน: , , และอื่น ๆ สุดท้าย องศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะและนิพจน์ที่มีเลขชี้กำลังจะพิจารณา: , .

เรื่องไม่ได้จำกัดอยู่แค่การแสดงพลังที่ระบุไว้: ต่อไปตัวแปรจะแทรกซึมเข้าไปในเลขชี้กำลังและมี ตัวอย่างเช่น นิพจน์ดังกล่าว 2 x 2 +1 หรือ . และหลังจากทำความคุ้นเคยแล้ว นิพจน์ที่มีกำลังและลอการิทึมเริ่มปรากฏขึ้น เช่น x 2 lgx −5 x lgx

ดังนั้นเราจึงพบคำถามว่าการแสดงออกของพลังคืออะไร ต่อไปเราจะเรียนรู้วิธีแปลงร่าง

ประเภทหลักของการแปลงการแสดงออกของพลัง

ด้วย Power Expression คุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์พื้นฐานของนิพจน์ได้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถเปิดวงเล็บเหลี่ยม แทนที่ นิพจน์ตัวเลขค่าของพวกเขา นำเงื่อนไขที่เหมือนกัน ฯลฯ ในกรณีนี้จำเป็นต้องปฏิบัติตามขั้นตอนที่ยอมรับสำหรับการดำเนินการ ลองยกตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของนิพจน์กำลัง 2 3 ·(4 2 −12) .

สารละลาย.

ตามลำดับของการกระทำ เราจะดำเนินการในวงเล็บก่อน ที่นั่น ประการแรก เราแทนที่กำลังของ 4 2 ด้วยค่าของมัน 16 (ดูว่าจำเป็นหรือไม่) และประการที่สอง เราคำนวณความแตกต่าง 16−12=4 . เรามี 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราแทนที่กำลังของ 2 3 ด้วยค่าของมัน 8 หลังจากนั้นเราจะคำนวณผลคูณ 8·4=32 นี่คือค่าที่ต้องการ

ดังนั้น, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

คำตอบ:

2 3 (4 2 −12)=32 .

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงพลัง 3 ก 4 ข −7 −1+2 ก 4 ข −7.

สารละลาย.

เห็นได้ชัดว่า นิพจน์นี้มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน 3 · a 4 · b − 7 และ 2 · a 4 · b − 7 และเราสามารถลดทอนได้:

คำตอบ:

3 ก 4 ข −7 −1+2 ก 4 ข −7 =5 ก 4 ข −7 −1.

ตัวอย่าง.

แสดงการแสดงออกที่มีอำนาจเป็นผลิตภัณฑ์

สารละลาย.

ในการรับมือกับงานอนุญาตให้แสดงหมายเลข 9 เป็นกำลังของ 3 2 และการใช้สูตรการคูณแบบย่อในภายหลังผลต่างของกำลังสอง:

คำตอบ:

นอกจากนี้ยังมีการแปลงที่เหมือนกันจำนวนหนึ่งซึ่งมีอยู่ในการแสดงออกของพลัง ต่อไปเราจะวิเคราะห์พวกเขา

การทำงานกับฐานและเลขยกกำลัง

มีองศาในพื้นฐานและ / หรือตัวบ่งชี้ที่ไม่ใช่แค่ตัวเลขหรือตัวแปร แต่เป็นนิพจน์ ตัวอย่างเช่น ลองเขียน (2+0.3 7) 5−3.7 และ (a (a+1)−a 2) 2 (x+1)

เมื่อทำงานกับนิพจน์ดังกล่าว คุณสามารถแทนที่ทั้งนิพจน์ในฐานของระดับและนิพจน์ในตัวบ่งชี้ด้วยนิพจน์ที่เท่ากันบน DPV ของตัวแปร กล่าวอีกนัยหนึ่งตามกฎที่เราทราบเราสามารถแปลงฐานของระดับแยกจากกันและแยกกัน - ตัวบ่งชี้ เป็นที่ชัดเจนว่าผลลัพธ์ของการเปลี่ยนแปลงนี้ทำให้ได้นิพจน์ที่เหมือนกันกับต้นฉบับ

การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวช่วยให้เราทำให้การแสดงออกด้วยพลังง่ายขึ้นหรือบรรลุเป้าหมายอื่น ๆ ที่เราต้องการ ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ยกกำลัง (2+0.3 7) 5−3.7 ที่กล่าวถึงข้างต้น คุณสามารถดำเนินการกับตัวเลขในฐานและเลขชี้กำลัง ซึ่งจะทำให้คุณสามารถยกกำลัง 4.1 1.3 ได้ และหลังจากเปิดวงเล็บและนำพจน์ที่เหมือนกันมาไว้ในฐานของดีกรี (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) เราก็จะได้พจน์ยกกำลังในรูปแบบที่ง่ายกว่า a 2·(x+1) ) .

การใช้คุณสมบัติพลังงาน

หนึ่งในเครื่องมือหลักสำหรับการแปลงนิพจน์ด้วยพลังคือความเท่าเทียมกันที่สะท้อนถึง ให้เราระลึกถึงสิ่งสำคัญ สำหรับจำนวนบวกใดๆ a และ b และจำนวนจริงตามอำเภอใจ r และ s คุณสมบัติยกกำลังต่อไปนี้จะคงอยู่:

• a r a s = a r+s ;
• r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

โปรดทราบว่าสำหรับเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และเลขชี้กำลังบวก ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวเลข a และ b อาจไม่เข้มงวดนัก ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับผลบวก a เท่านั้น แต่ยังรวมถึงผลลบด้วย และสำหรับ a=0

ที่โรงเรียน ความสนใจหลักในการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกของพลังนั้นมุ่งเน้นไปที่ความสามารถในการเลือกอย่างแม่นยำ คุณสมบัติที่เหมาะสมและนำไปใช้ให้ถูกต้อง ในกรณีนี้ ฐานขององศามักจะเป็นค่าบวก ซึ่งช่วยให้คุณใช้คุณสมบัติขององศาได้โดยไม่มีข้อจำกัด เช่นเดียวกับการแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรเป็นฐานขององศา - พื้นที่ของค่าที่อนุญาตไม่ได้ของตัวแปรมักจะเป็นเช่นนั้นบนฐานเท่านั้น ค่าบวกซึ่งทำให้คุณสามารถใช้คุณสมบัติขององศาได้อย่างอิสระ โดยทั่วไป คุณต้องถามตัวเองอยู่เสมอว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้คุณสมบัติขององศาในกรณีนี้ เนื่องจากการใช้คุณสมบัติที่ไม่ถูกต้องอาจทำให้ ODZ แคบลงและปัญหาอื่นๆ ประเด็นเหล่านี้จะกล่าวถึงในรายละเอียดและตัวอย่างในบทความ การแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติขององศา ที่นี่เราจำกัดตัวเองด้วยตัวอย่างง่ายๆ

ตัวอย่าง.

แสดงนิพจน์ a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 เป็นเลขยกกำลังที่มีฐาน a

สารละลาย.

ขั้นแรก เราแปลงปัจจัยที่สอง (a 2) −3 ด้วยคุณสมบัติของการเพิ่มกำลังให้เป็นกำลัง: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. ในกรณีนี้ การแสดงพลังเริ่มต้นจะอยู่ในรูปแบบ a 2.5 ·a −6:a −5.5 เห็นได้ชัดว่ายังคงใช้คุณสมบัติการคูณและหารเลขยกกำลังด้วยฐานเดิมที่เรามี
ก 2.5 ก -6:ก -5.5 =
ก 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
ก −3.5−(−5.5) =a 2 .

คำตอบ:

ก 2.5 (ก 2) -3:ก -5.5 \u003d ก 2.

คุณสมบัติยกกำลังจะใช้เมื่อแปลงนิพจน์ยกกำลังทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าของนิพจน์ยกกำลัง

สารละลาย.

ความเท่าเทียมกัน (a·b) r =a r ·b r ใช้จากขวาไปซ้าย ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากนิพจน์ดั้งเดิมเป็นผลิตภัณฑ์ของแบบฟอร์มและอื่นๆ และเมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้จะรวมกัน: .

เป็นไปได้ที่จะดำเนินการแปลงนิพจน์ดั้งเดิมด้วยวิธีอื่น:

คำตอบ:

.

ตัวอย่าง.

กำหนดนิพจน์ยกกำลัง a 1.5 −a 0.5 −6 ให้ป้อนตัวแปรใหม่ t=a 0.5

สารละลาย.

ระดับ a 1.5 สามารถแสดงเป็น 0.5 3 และต่อไปตามคุณสมบัติของระดับในระดับ (a r) s =a r s ที่ใช้จากขวาไปซ้าย แปลงเป็นรูปแบบ (a 0.5) 3 . ดังนั้น, ก 1.5 -ก 0.5 -6=(ก 0.5) 3 -ก 0.5 -6. ตอนนี้มันง่ายที่จะแนะนำตัวแปรใหม่ t=a 0.5 เราได้รับ t 3 −t−6

คำตอบ:

เสื้อ 3 −t−6 .

การแปลงเศษส่วนที่มีเลขยกกำลัง

นิพจน์ยกกำลังสามารถมีเศษส่วนที่มีกำลังหรือแทนเศษส่วนดังกล่าวได้ การแปลงเศษส่วนพื้นฐานใดๆ ที่มีอยู่ในเศษส่วนใดๆ นั่นคือ เศษส่วนที่มีองศาสามารถลดลง ลดลงเป็นตัวส่วนใหม่ ทำงานแยกกันกับตัวเศษและแยกกันกับตัวส่วน เป็นต้น เพื่อแสดงคำข้างต้น ให้พิจารณาคำตอบของตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงพลัง .

สารละลาย.

การแสดงพลังนี้เป็นเศษส่วน ลองใช้ตัวเศษและตัวส่วนกัน ในตัวเศษ เราเปิดวงเล็บและทำให้นิพจน์ที่ได้รับหลังจากนั้นง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของเลขยกกำลัง และในส่วนที่เราแสดงคำที่คล้ายกัน:

และเรายังเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวส่วนโดยวางเครื่องหมายลบไว้หน้าเศษส่วน: .

คำตอบ:

.

การลดเศษส่วนที่มีกำลังให้กับตัวส่วนใหม่นั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกับการลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะให้กับตัวส่วนใหม่ ในขณะเดียวกันก็พบปัจจัยเพิ่มเติมและคูณด้วยตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน เมื่อดำเนินการนี้ เป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การจดจำว่าการลดลงเป็นตัวส่วนใหม่อาจทำให้ DPV แคบลงได้ เพื่อป้องกันไม่ให้สิ่งนี้เกิดขึ้น จำเป็นที่ปัจจัยเพิ่มเติมจะไม่หายไปสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปรจากตัวแปร ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม

ตัวอย่าง.

นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนใหม่: a) หารด้วย a, b) ถึงตัวส่วน

สารละลาย.

ก) ในกรณีนี้ มันค่อนข้างง่ายที่จะทราบว่าปัจจัยเพิ่มเติมใดที่ช่วยให้บรรลุผลลัพธ์ที่ต้องการ นี่คือตัวประกอบ a 0.3 เนื่องจาก a 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a โปรดทราบว่าในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร a (นี่คือชุดของจำนวนจริงที่เป็นบวกทั้งหมด) ระดับ 0.3 จะไม่หายไป ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ที่จะคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด โดยปัจจัยเพิ่มเติมนี้:

b) เมื่อดูที่ตัวส่วนอย่างใกล้ชิดมากขึ้น เราพบว่า

และการคูณนิพจน์นี้ด้วยจะได้ผลรวมของลูกบาศก์ และ นั่นคือ และนี่คือตัวส่วนใหม่ที่เราต้องนำเศษส่วนเดิมมา

เราจึงพบปัจจัยเสริม นิพจน์ไม่หายไปในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร x และ y ดังนั้นเราสามารถคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนได้:

คำตอบ:

ก) , ข) .

นอกจากนี้ยังไม่มีอะไรใหม่ในการลดเศษส่วนที่มีองศา: ตัวเศษและตัวส่วนจะแสดงเป็นตัวประกอบจำนวนหนึ่ง และตัวประกอบเดียวกันของตัวเศษและตัวส่วนจะลดลง

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วน: ก) , ข).

สารละลาย.

ก) อย่างแรก ตัวเศษและตัวส่วนสามารถลดได้ด้วยตัวเลข 30 และ 45 ซึ่งเท่ากับ 15 เห็นได้ชัดว่าคุณสามารถลด x 0.5 +1 และโดย . นี่คือสิ่งที่เรามี:

ข) ในกรณีนี้ ปัจจัยเดียวกันในตัวเศษและตัวส่วนจะไม่สามารถมองเห็นได้ทันที คุณต้องทำการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นเพื่อให้ได้มา ในกรณีนี้จะประกอบด้วยการสลายตัวส่วนเป็นปัจจัยตามความแตกต่างของสูตรกำลังสอง:

คำตอบ:

ก)

ข) .

การลดเศษส่วนเป็นตัวส่วนใหม่และการลดเศษส่วนส่วนใหญ่จะใช้เพื่อดำเนินการกับเศษส่วน การดำเนินการจะดำเนินการตามกฎที่ทราบ เมื่อบวก (ลบ) เศษส่วน เศษส่วนจะถูกลดให้เหลือส่วนร่วม หลังจากนั้นเศษจะถูกบวก (ลบ) และตัวส่วนจะยังคงเหมือนเดิม ผลลัพธ์คือเศษส่วนที่ตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนคือผลคูณของตัวส่วน การหารด้วยเศษส่วนคือการคูณด้วยส่วนกลับ

ตัวอย่าง.

ทำตามขั้นตอน .

สารละลาย.

ขั้นแรก เราลบเศษส่วนในวงเล็บ ในการทำเช่นนี้ เรานำพวกมันมาเป็นตัวส่วนร่วม ซึ่งก็คือ แล้วลบตัวเศษ:

ตอนนี้เราคูณเศษส่วน:

เห็นได้ชัดว่าการลดกำลัง x 1/2 เป็นไปได้ หลังจากนั้นเราก็มี .

คุณยังสามารถลดความซับซ้อนของการแสดงพลังในตัวส่วนได้โดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง: .

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงพลัง .

สารละลาย.

เห็นได้ชัดว่า เศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ (x 2.7 +1) 2 ซึ่งให้เศษส่วนนี้ . ชัดเจนว่าต้องทำอย่างอื่นด้วยกำลังของ x ในการทำเช่นนี้ เราจะแปลงเศษส่วนผลลัพธ์เป็นผลคูณ สิ่งนี้เปิดโอกาสให้เราใช้คุณสมบัติของการแบ่งอำนาจที่มีฐานเดียวกัน: . และในตอนท้ายของกระบวนการ เราจะเปลี่ยนจากผลคูณสุดท้ายไปยังเศษส่วน

คำตอบ:

.

และเราเพิ่มเติมว่าเป็นไปได้และในหลายกรณีเป็นที่น่าพอใจที่จะถ่ายโอนปัจจัยที่มีเลขยกกำลังเป็นลบจากตัวเศษไปยังตัวส่วนหรือจากตัวส่วนไปยังตัวเศษโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลัง การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมักจะทำให้การดำเนินการต่อไปง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น นิพจน์ยกกำลังสามารถแทนที่ด้วย

การแปลงนิพจน์ด้วยรากและเลขยกกำลัง

บ่อยครั้งในนิพจน์ที่ต้องการการแปลงบางอย่าง พร้อมด้วยองศาที่มีเลขยกกำลังเศษส่วน ก็มีรูตด้วย หากต้องการแปลงนิพจน์ดังกล่าวเป็นรูปแบบที่ต้องการ ในกรณีส่วนใหญ่ การไปที่รูทหรือพาวเวอร์เท่านั้นก็เพียงพอแล้ว แต่เนื่องจากสะดวกกว่าที่จะทำงานกับองศา พวกเขามักจะย้ายจากรากหนึ่งไปยังอีกองศาหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ขอแนะนำให้ดำเนินการเปลี่ยนดังกล่าวเมื่อ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมอนุญาตให้คุณแทนที่รากด้วยองศาโดยไม่จำเป็นต้องเข้าถึงโมดูลหรือแยก ODZ ออกเป็นหลายช่วง (เราได้กล่าวถึงรายละเอียดนี้ใน บทความ การเปลี่ยนจากรากเป็นอำนาจและในทางกลับกัน หลังจากทำความคุ้นเคยกับระดับที่มีเลขชี้กำลังที่มีเหตุผลแล้ว จะแนะนำระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัว ซึ่งทำให้สามารถพูดถึงระดับด้วยตัวบ่งชี้จริงโดยพลการได้ ในขั้นตอนนี้ โรงเรียนเริ่มเรียน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งได้รับการวิเคราะห์โดยระดับโดยมีตัวเลขเป็นพื้นฐานและในตัวบ่งชี้ - ตัวแปร ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับนิพจน์ยกกำลังที่มีตัวเลขในฐานของดีกรีและในเลขยกกำลัง - นิพจน์ที่มีตัวแปร และโดยธรรมชาติแล้วความจำเป็นในการแปลงนิพจน์ดังกล่าวจึงเกิดขึ้น

ควรกล่าวว่าการแปลงนิพจน์ของประเภทที่ระบุมักจะต้องทำเมื่อทำการแก้ไข สมการเลขชี้กำลังและ ความไม่เท่าเทียมกันแบบเอกซ์โปเนนเชียลและการแปลงเหล่านี้ค่อนข้างง่าย ในกรณีส่วนใหญ่ จะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของระดับและมุ่งเป้าไปที่การแนะนำตัวแปรใหม่ในอนาคตเป็นส่วนใหญ่ สมการจะช่วยให้เราสามารถแสดงให้เห็นได้ 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

ขั้นแรก เลขชี้กำลังซึ่งเลขชี้กำลังเป็นผลรวมของตัวแปรบางตัว (หรือนิพจน์ที่มีตัวแปร) และตัวเลขจะถูกแทนที่ด้วยผลคูณ สิ่งนี้ใช้กับพจน์แรกและพจน์สุดท้ายของนิพจน์ทางด้านซ้าย:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

ถัดไปความเท่าเทียมกันทั้งสองข้างถูกหารด้วยนิพจน์ 7 2 x ซึ่งใช้เฉพาะค่าบวกของตัวแปร ODZ x สำหรับสมการดั้งเดิม (นี่เป็นเทคนิคมาตรฐานสำหรับการแก้สมการประเภทนี้ เราไม่ได้พูดถึง ในตอนนี้ ดังนั้นให้โฟกัสที่การแปลงนิพจน์ที่มีพลังในภายหลัง ):

ตอนนี้เศษส่วนที่มีกำลังถูกยกเลิกซึ่งให้ .

ในที่สุด อัตราส่วนของกำลังที่มีเลขยกกำลังเท่ากันจะถูกแทนที่ด้วยกำลังของอัตราส่วน ซึ่งนำไปสู่สมการ ซึ่งเทียบเท่ากับ . การแปลงทำให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งลดคำตอบของสมการเอกซ์โปเนนเชียลดั้งเดิมให้เป็นคำตอบของสมการกำลังสอง

ไอ. วี. โบอิคอฟ, แอล. ดี. โรมาโนวารวมงานเตรียมสอบ. ส่วนที่ 1 Penza 2546

แน่นอน ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถบวกกันได้เหมือนปริมาณอื่นๆ โดยการเพิ่มทีละรายการด้วยสัญญาณของพวกเขา.

ดังนั้น ผลรวมของ a 3 และ b 2 คือ a 3 + b 2
ผลรวมของ a 3 - bn และ h 5 -d 4 คือ a 3 - bn + h 5 - d 4

อัตราต่อรอง กำลังเท่ากันของตัวแปรตัวเดียวกันสามารถเพิ่มหรือลดได้

ดังนั้น ผลรวมของ 2a 2 และ 3a 2 คือ 5a 2

เห็นได้ชัดว่าถ้าเราหาสองกำลังสอง a หรือสามกำลังสอง a หรือห้ากำลังสอง a

แต่องศา ตัวแปรต่างๆและ องศาต่างๆ ตัวแปรที่เหมือนกัน, จะต้องเพิ่มโดยเพิ่มลงในเครื่องหมายของพวกเขา.

ดังนั้น ผลรวมของ a 2 และ a 3 จึงเป็นผลรวมของ a 2 + a 3

เห็นได้ชัดว่ากำลังสองของ a และลูกบาศก์ของ a ไม่ใช่สองเท่าของกำลังสองของ a แต่เป็นสองเท่าของลูกบาศก์ของ a

ผลรวมของ a 3 bn และ 3a 5 b 6 คือ a 3 bn + 3a 5 b 6

การลบกำลังดำเนินการในลักษณะเดียวกับการบวก ยกเว้นว่าสัญญาณของการลบจะต้องเปลี่ยนตามไปด้วย

หรือ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ก - ชม) 6 - 2 (ก - ชม) 6 = 3 (ก - ชม) 6

การคูณกำลัง

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถคูณได้เหมือนปริมาณอื่นๆ โดยเขียนทีละตัว โดยมีหรือไม่มีเครื่องหมายคูณคั่นระหว่างตัวเลขก็ได้

ผลลัพธ์ของการคูณ a 3 ด้วย b 2 คือ a 3 b 2 หรือ aaabb

หรือ:
x -3 ⋅ น ม = ม x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ก 2 ข 3 ย 2 ⋅ ก 3 ข 2 ย = ก 2 ข 3 ย 2 ก 3 ข 2 ย

ผลลัพธ์ในตัวอย่างสุดท้ายสามารถเรียงลำดับได้โดยการเพิ่มตัวแปรเดียวกัน
นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ: a 5 b 5 y 3 .

จากการเปรียบเทียบจำนวนหลายตัว (ตัวแปร) ที่ยกกำลัง เราจะเห็นว่าหากมีการคูณสองจำนวน ผลลัพธ์ที่ได้คือจำนวน (ตัวแปร) ที่ยกกำลังเท่ากับ ผลรวมองศาของเงื่อนไข

ดังนั้น a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5

ในที่นี้ 5 คือพลังของผลลัพธ์ของการคูณ เท่ากับ 2 + 3 คือผลรวมของพลังของเทอม

ดังนั้น a n .a m = a m+n

สำหรับ n , a เป็นปัจจัยหลายเท่าของพลังของ n;

และ a m ถูกนำมาเป็นปัจจัยหลายเท่าของระดับ m เท่ากับ;

นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม เลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากันสามารถคูณได้โดยการบวกเลขชี้กำลัง

ดังนั้น a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 และ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6

หรือ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
ข 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

คูณ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)
คำตอบ: x 4 - y 4.
คูณ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)

กฎนี้ยังเป็นจริงสำหรับตัวเลขที่มีเลขยกกำลังเป็น - เชิงลบ.

1. ดังนั้น a -2 .a -3 = a -5 เขียนได้เป็น (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

ถ้า a + b คูณด้วย a - b ผลลัพธ์จะเป็น a 2 - b 2 นั่นคือ

ผลลัพธ์ของการคูณผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของกำลังสอง

ถ้าผลบวกและผลต่างของตัวเลขสองตัวยกกำลัง สี่เหลี่ยมผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขเหล่านี้ใน ประการที่สี่ระดับ.

ดังนั้น (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ก 2 - ย 2)⋅(ก 2 + ย 2) = ก 4 - ย 4 .
(ก 4 - ย 4)⋅(ก 4 + ย 4) = ก 8 - ย 8 .

การแบ่งอำนาจ

ตัวเลขที่มีกำลังสามารถหารได้เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ โดยการลบออกจากตัวหารหรือวางในรูปของเศษส่วน

ดังนั้น a 3 b 2 หารด้วย b 2 คือ a 3

หรือ:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

การเขียน 5 หารด้วย 3 ดูเหมือนว่า $\frac(a^5)(a^3)$ แต่นี่เท่ากับ 2 ในชุดตัวเลข
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4
จำนวนใด ๆ สามารถหารด้วยจำนวนอื่น และเลขยกกำลังจะเท่ากับ ความแตกต่างตัวบ่งชี้จำนวนหาร

เมื่อนำกำลังที่มีฐานเดียวกันมาหารกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก.

ดังนั้น y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 นั่นคือ $\frac(yyy)(yy) = y$

และ a n+1:a = a n+1-1 = a n นั่นคือ $\frac(aa^n)(a) = a^n$

หรือ:
y2m: ym = ยัม
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

กฎนี้ใช้ได้กับตัวเลขด้วย เชิงลบค่าระดับ
ผลลัพธ์ของการหาร a -5 ด้วย -3 คือ a -2
นอกจากนี้ $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac(1)(aa)$

ชั่วโมง 2:h -1 = ชั่วโมง 2+1 = ชั่วโมง 3 หรือ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

มีความจำเป็นต้องเชี่ยวชาญการคูณและการแบ่งกำลังเป็นอย่างดีเนื่องจากการดำเนินการดังกล่าวใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิต

ตัวอย่างการแก้เศษส่วนที่มีตัวเลขยกกำลัง

1. ลดเลขยกกำลังใน $\frac(5a^4)(3a^2)$ คำตอบ: $\frac(5a^2)(3)$

2. ลดเลขชี้กำลังใน $\frac(6x^6)(3x^5)$ คำตอบ: $\frac(2x)(1)$ หรือ 2x

3. ลดเลขชี้กำลัง a 2 / a 3 และ a -3 / a -4 แล้วนำมาหารร่วม
a 2 .a -4 คือ -2 ตัวเศษแรก
a 3 .a -3 คือ a 0 = 1 ตัวเศษที่สอง
a 3 .a -4 คือ a -1 ตัวเศษร่วม
หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย: a -2 /a -1 และ 1/a -1

4. ลดเลขชี้กำลัง 2a 4 /5a 3 และ 2 /a 4 แล้วนำมาหารร่วมกัน
คำตอบ: 2a 3 / 5a 7 และ 5a 5 / 5a 7 หรือ 2a 3 / 5a 2 และ 5/5a 2

5. คูณ (a 3 + b)/b 4 ด้วย (a - b)/3

6. คูณ (a 5 + 1)/x 2 ด้วย (b 2 - 1)/(x + a)

7. คูณ b 4 /a -2 ด้วย h -3 /x และ a n /y -3

8. หาร a 4 /y 3 ด้วย a 3 /y 2 คำตอบ: ก/ย

9. หาร (h 3 - 1)/d 4 โดย (dn + 1)/h.