วิธีแก้สมการที่มีองศาต่างกัน สมการเลขชี้กำลัง คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

อาหารและการออกกำลังกาย

ในขั้นตอนการเตรียมสอบปลายภาค นักเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายจำเป็นต้องปรับปรุงความรู้ในหัวข้อ "สมการเลขชี้กำลัง" ประสบการณ์หลายปีที่ผ่านมาบ่งชี้ว่างานดังกล่าวทำให้เกิดปัญหาบางอย่างสำหรับเด็กนักเรียน ดังนั้นนักเรียนมัธยมปลายโดยไม่คำนึงถึงระดับการเตรียมตัวจะต้องเชี่ยวชาญทฤษฎีอย่างระมัดระวังจดจำสูตรและเข้าใจหลักการของการแก้สมการดังกล่าว เมื่อเรียนรู้ที่จะรับมือกับงานประเภทนี้ ผู้สำเร็จการศึกษาจะสามารถนับคะแนนสูงได้เมื่อสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์

เตรียมตัวสอบพร้อมกันกับ Shkolkovo!

เมื่อทำซ้ำเนื้อหาที่ครอบคลุม นักเรียนจำนวนมากต้องเผชิญกับปัญหาในการหาสูตรที่จำเป็นในการแก้สมการ หนังสือเรียนไม่ได้อยู่ใกล้มือเสมอไป และการเลือกข้อมูลที่จำเป็นในหัวข้อบนอินเทอร์เน็ตใช้เวลานาน

พอร์ทัลการศึกษา Shkolkovo เชิญชวนให้นักเรียนใช้ฐานความรู้ของเรา เราดำเนินการอย่างสมบูรณ์ วิธีการใหม่การเตรียมสอบปลายภาค. การศึกษาบนเว็บไซต์ของเรา คุณจะสามารถระบุช่องว่างในความรู้และให้ความสนใจกับงานเหล่านั้นที่ก่อให้เกิดปัญหามากที่สุดได้อย่างแม่นยำ

ครูของ "Shkolkovo" รวบรวมจัดระบบและนำเสนอทุกสิ่งที่จำเป็นสำหรับการจัดส่งที่ประสบความสำเร็จ ใช้วัสดุด้วยวิธีที่ง่ายที่สุดและเข้าถึงได้

คำจำกัดความและสูตรหลักแสดงไว้ในส่วน "การอ้างอิงเชิงทฤษฎี"

เพื่อการดูดซึมที่ดีขึ้นของวัสดุ เราขอแนะนำให้คุณฝึกการมอบหมาย ดูตัวอย่างในหน้านี้ สมการเลขชี้กำลังพร้อมวิธีการทำความเข้าใจอัลกอริธึมการคำนวณ หลังจากนั้น ดำเนินการกับงานในส่วน "แคตตาล็อก" คุณสามารถเริ่มต้นด้วยงานที่ง่ายที่สุดหรือตรงไปที่การแก้สมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนด้วยค่าที่ไม่ทราบค่าต่างๆ หรือ ฐานข้อมูลของแบบฝึกหัดบนเว็บไซต์ของเราได้รับการเสริมและปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง

ตัวอย่างที่มีตัวบ่งชี้ที่ทำให้คุณลำบากสามารถเพิ่มลงใน "รายการโปรด" เพื่อให้คุณสามารถค้นหาและหารือเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหากับครูได้อย่างรวดเร็ว

เพื่อให้สอบผ่านได้สำเร็จ ศึกษาในพอร์ทัล Shkolkovo ทุกวัน!

การบรรยาย: "วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลัง"

1 . สมการเลขชี้กำลัง

สมการที่มีไม่ทราบค่าในเลขชี้กำลังเรียกว่าสมการเลขชี้กำลัง สมการที่ง่ายที่สุดคือ ax = b โดยที่ a > 0 และ a ≠ 1

1) สำหรับ b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) สำหรับ b > 0 โดยใช้ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันและทฤษฎีบทรูท สมการจะมีรากเดียว ในการค้นหา b ต้องแสดงเป็น b = aс, ax = bс ó x = c หรือ x = logab

สมการเลขชี้กำลังโดย การแปลงพีชคณิตนำไปสู่สมการมาตรฐานซึ่งแก้ได้ด้วยวิธีต่อไปนี้

1) วิธีการลดเหลือฐานเดียว

2) วิธีการประเมิน

3) วิธีกราฟิก

4) วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่

5) วิธีการแยกตัวประกอบ;

6) เลขชี้กำลัง - สมการกำลัง

7) เลขชี้กำลังพร้อมพารามิเตอร์

2 . วิธีการลดให้เหลือเพียงหลักเดียว

วิธีการนี้ยึดตามคุณสมบัติขององศาต่อไปนี้: ถ้าสององศาเท่ากันและฐานเท่ากัน เลขชี้กำลังจะเท่ากัน กล่าวคือ สมการควรพยายามลดรูป

ตัวอย่าง. แก้สมการ:

1 . 3x=81;

ให้แสดงด้านขวาของสมการในรูปแบบ 81 = 34 และเขียนสมการที่เทียบเท่ากับ 3 x = 34 เดิม x = 4. คำตอบ: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> และไปที่สมการของเลขชี้กำลัง 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5 คำตอบ: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

โปรดทราบว่าตัวเลข 0.2, 0.04, √5 และ 25 ยกกำลัง 5 ลองใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้และแปลงสมการดั้งเดิมดังนี้:

, ดังนั้น 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2 จากที่เราพบคำตอบ x = -1 คำตอบ: -1.

5. 3x = 5. ตามนิยามของลอการิทึม x = log35 คำตอบ: บันทึก35.

6. 62x+4 = 33x 2x+8.

ลองเขียนสมการใหม่เป็น 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" width="181" height="49 src="> ดังนั้น x - 4 =0, x = 4 คำตอบ: สี่

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9 ใช้คุณสมบัติของยกกำลัง เราเขียนสมการในรูปแบบ e. x+1 = 2, x =1 คำตอบ: 1.

ธนาคารงานครั้งที่ 1

แก้สมการ:

การทดสอบหมายเลข 1

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ไม่มีราก
	1) 7;1 2) ไม่มีราก 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

การทดสอบ #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) ไม่มีราก 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 วิธีการประเมิน

ทฤษฎีบทราก: หากฟังก์ชัน f (x) เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลา I ตัวเลข a คือค่าใดๆ ที่ f นำมาใช้ในช่วงเวลานี้ ดังนั้นสมการ f (x) = a จะมีรากเดียวในช่วง I

เมื่อแก้สมการด้วยวิธีการประมาณค่า จะใช้ทฤษฎีบทนี้และคุณสมบัติความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง. แก้สมการ: 1. 4x = 5 - x.

วิธีการแก้. ลองเขียนสมการใหม่เป็น 4x + x = 5

1. ถ้า x \u003d 1 แล้ว 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 เป็นจริง ดังนั้น 1 คือรากของสมการ

ฟังก์ชัน f(x) = 4x เพิ่มขึ้นใน R และ g(x) = x กำลังเพิ่มขึ้นบน R => h(x)= f(x)+g(x) เพิ่มขึ้นใน R โดยเป็นผลรวมของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ดังนั้น x = 1 เป็นรากเดียวของสมการ 4x = 5 – x คำตอบ: 1.

วิธีการแก้. เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ .

1. ถ้า x = -1 แล้ว , 3 = 3 จริง ดังนั้น x = -1 จึงเป็นรากของสมการ

2. พิสูจน์ว่าเป็นเอกลักษณ์

3. ฟังก์ชัน f(x) = - ลดลงใน R และ g(x) = - x - ลดลงใน R => h(x) = f(x) + g(x) - ลดลงใน R เป็นผลรวม ของฟังก์ชันที่ลดลง ดังนั้นโดยทฤษฎีบทรูท x = -1 เป็นรูทเดียวของสมการ คำตอบ: -1.

ธนาคารงานครั้งที่ 2 แก้สมการ

ก) 4x + 1 = 6 - x;

ข)

ค) 2x – 2 =1 – x;

4. วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่

วิธีการอธิบายไว้ในหัวข้อ 2.1 การแนะนำตัวแปรใหม่ (การแทนที่) มักจะดำเนินการหลังจากการแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของเงื่อนไขของสมการ พิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่าง. Rกินสม: 1. .

มาเขียนสมการใหม่กัน: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

วิธีการแก้. ลองเขียนสมการใหม่ด้วยวิธีอื่น:

แสดงว่า https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ไม่เหมาะสม

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> เป็นสมการอตรรกยะ โปรดทราบว่า

คำตอบของสมการคือ x = 2.5 ≤ 4 ดังนั้น 2.5 จึงเป็นรากของสมการ คำตอบ: 2.5.

วิธีการแก้. ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแล้วหารทั้งสองข้างด้วย 56x+6 ≠ 0 เราจะได้สมการ

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1 ดังนั้น..png" width="118" height="56">

รากของสมการกำลังสอง - t1 = 1 และ t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

วิธีการแก้ . เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ

และสังเกตว่ามันเป็นสมการเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง

หารสมการด้วย 42x เราจะได้

แทนที่ https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src=">

คำตอบ: 0; 0.5.

ธนาคารงาน #3 แก้สมการ

ข)

ช)

ทดสอบ #3 ที่มีคำตอบให้เลือก ระดับต่ำสุด

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0	1) 2;1 2) -1;0 3) ไม่มีราก 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) ไม่มีราก 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

ทดสอบ #4 ที่มีคำตอบให้เลือก ระดับทั่วไป.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) ไม่มีราก

5. วิธีการแยกตัวประกอบ

1. แก้สมการ: 5x+1 - 5x-1 = 24

Solution..png" width="169" height="69"> จากที่ไหน

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2

วิธีการแก้. ลองเอา 6x ออกมาทางซ้ายของสมการและ 2x ทางขวา เราได้สมการ 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x

เนื่องจาก 2x >0 สำหรับ x ทั้งหมด เราจึงสามารถหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย 2x โดยไม่ต้องกลัวว่าจะสูญเสียคำตอบ เราได้ 3x = 1ó x = 0

วิธีการแก้. เราแก้สมการโดยแฟคตอริ่ง

เราเลือกกำลังสองของทวินาม

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 คือรากของสมการ

สมการ x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0 x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

การทดสอบ #6 ระดับทั่วไป.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) บันทึก43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. เลขชี้กำลัง - สมการกำลัง

สมการเลขชี้กำลังติดกับสิ่งที่เรียกว่าสมการกำลังยกกำลัง กล่าวคือ สมการของรูปแบบ (f(x))g(x) = (f(x))h(x)

หากทราบว่า f(x)>0 และ f(x) ≠ 1 สมการเช่นเดียวกับเลขชี้กำลังจะได้รับการแก้ไขโดยการหาเลขชี้กำลัง g(x) = f(x)

หากเงื่อนไขไม่ได้ยกเว้นความเป็นไปได้ของ f(x)=0 และ f(x)=1 เราต้องพิจารณากรณีเหล่านี้เมื่อแก้สมการกำลังเลขชี้กำลัง

1..png" width="182" height="116 src=">

วิธีการแก้. x2 +2x-8 - สมเหตุสมผลสำหรับ x ใดๆ เพราะพหุนาม ดังนั้นสมการจึงเท่ากับเซต

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

ข)

7. สมการเลขชี้กำลังพร้อมพารามิเตอร์

1. สำหรับค่าใดของพารามิเตอร์ p สมการ 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) มีคำตอบที่ไม่ซ้ำกัน?

วิธีการแก้. ให้เราแนะนำการเปลี่ยนแปลง 2x = t, t > 0 จากนั้นสมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 (2)

การแยกสมการ (2) คือ D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2

สมการ (1) มีคำตอบเฉพาะถ้าสมการ (2) มีรากเป็นบวกหนึ่งราก เป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้

1. ถ้า D = 0 นั่นคือ p = 1 ดังนั้นสมการ (2) จะอยู่ในรูปแบบ t2 – 2t + 1 = 0 ดังนั้น t = 1 ดังนั้น สมการ (1) จึงมีคำตอบเฉพาะ x = 0

2. ถ้า p1 แล้ว 9(p – 1)2 > 0 สมการ (2) จะมีรากต่างกันสองราก t1 = p, t2 = 4p – 3 ชุดของระบบเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา

แทน t1 และ t2 ลงในระบบ เรามี

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

วิธีการแก้. อนุญาต จากนั้นสมการ (3) จะอยู่ในรูปแบบ t2 – 6t – a = 0 (4)

ให้เราหาค่าของพารามิเตอร์ a ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งรูทของสมการ (4) ตรงตามเงื่อนไข t > 0

ให้เราแนะนำฟังก์ชัน f(t) = t2 – 6t – a กรณีต่อไปนี้เป็นไปได้

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

กรณีที่ 2 สมการ (4) มีคำตอบที่เป็นบวกเฉพาะ if

D = 0 ถ้า a = – 9 สมการ (4) จะอยู่ในรูปแบบ (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1

กรณีที่ 3 สมการ (4) มีสองราก แต่หนึ่งในนั้นไม่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน t > 0 สิ่งนี้เป็นไปได้ถ้า

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17"" width="267" height="63">!}

ดังนั้น ที่สมการ a 0 (4) มีรูตบวกเดียว . จากนั้นสมการ (3) จะมีคำตอบเฉพาะ

สำหรับ< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ถ้า< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ถ้า a = – 9 แล้ว x = – 1;

ถ้า  0 แล้ว

ให้เราเปรียบเทียบวิธีการแก้สมการ (1) และ (3) สังเกตว่าเมื่อแก้สมการ (1) ถูกลดให้เป็นสมการกำลังสอง การเลือกปฏิบัติจะเป็นกำลังสองเต็ม ดังนั้น รากของสมการ (2) ถูกคำนวณทันทีโดยสูตรของรากของสมการกำลังสอง จากนั้นจึงสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับรากเหล่านี้ สมการ (3) ถูกลดเป็นสมการกำลังสอง (4) ซึ่งดิสคริมิแนนต์นั้นไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้นเมื่อแก้สมการ (3) ขอแนะนำให้ใช้ทฤษฎีบทกับตำแหน่งของรากของไตรโนเมียลกำลังสองและ โมเดลกราฟิก โปรดทราบว่าสมการ (4) สามารถแก้ไขได้โดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา

มาแก้สมการที่ซับซ้อนกว่านี้กัน

ภารกิจที่ 3 แก้สมการ

วิธีการแก้. ODZ: x1, x2.

มาแนะนำตัวแทนกัน ให้ 2x = t, t > 0 จากนั้นผลของการแปลงสมการจะอยู่ในรูปแบบ t2 + 2t – 13 – a = 0 (*) ให้เราหาค่าของ a ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งรูทของ สมการ (*) เป็นไปตามเงื่อนไข t > 0

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

คำตอบ: ถ้า a > - 13, a  11, a  5, แล้วถ้า a - 13,

a = 11, a = 5 แล้วไม่มีราก

บรรณานุกรม.

1. Guzeev รากฐานของเทคโนโลยีการศึกษา

2. เทคโนโลยี Guzeev: จากการต้อนรับสู่ปรัชญา

ม. "อาจารย์ใหญ่" ครั้งที่ 4, 2539

3. Guzeev และ รูปแบบองค์กรการเรียนรู้.

4. Guzeev และการฝึกฝนเทคโนโลยีการศึกษาแบบบูรณาการ

M. "การศึกษาของประชาชน", 2001

5. Guzeev จากรูปแบบของบทเรียน - สัมมนา

คณิตศาสตร์ ม.2 ปี 2530 หน้า 9 - 11

6. เทคโนโลยีการศึกษาของ Selevko

M. "การศึกษาของประชาชน", 1998

7. เด็กนักเรียน Episheva เรียนรู้คณิตศาสตร์

M. "การตรัสรู้", 1990

8. Ivanov เพื่อเตรียมบทเรียน - เวิร์กช็อป

คณิตศาสตร์ที่โรงเรียนหมายเลข 6, 1990, p. 37-40.

9. แบบจำลองการสอนคณิตศาสตร์ของ Smirnov

คณิตศาสตร์โรงเรียนที่ 1, 1997, p. 32-36.

10. Tarasenko วิธีการจัดระเบียบการทำงานจริง

คณิตศาสตร์ที่โรงเรียนหมายเลข 1, 1993, p. 27 - 28.

11. เกี่ยวกับงานประเภทใดประเภทหนึ่ง

คณิตศาสตร์ในโรงเรียนหมายเลข 2, 1994, หน้า 63 - 64.

12. Khazankin ทักษะความคิดสร้างสรรค์เด็กนักเรียน

คณิตศาสตร์โรงเรียน ครั้งที่ 2, 1989, น. สิบ.

13. สกานาวี สำนักพิมพ์, 1997

14. et al. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ สื่อการสอนสำหรับ

15. งาน Krivonogov ในวิชาคณิตศาสตร์

ม. "1 กันยายน", 2002

16. เชอร์กาซอฟ คู่มือสำหรับนักเรียนมัธยมปลายและ

เข้ามหาวิทยาลัย "เอเอสที - โรงเรียนข่าว", 2545

17. Zhevnyak สำหรับผู้สมัครเข้ามหาวิทยาลัย

มินสค์และ RF "ทบทวน" พ.ศ. 2539

18. เขียน D. การเตรียมตัวสอบวิชาคณิตศาสตร์. M. Rolf, 1999

19. และอื่นๆ เรียนรู้การแก้สมการและอสมการ

ม. "ปัญญา - ศูนย์กลาง", 2546

20.และอื่น ๆ สื่อการศึกษาและฝึกอบรมเพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับ E G E

M. "Intellect - Center", 2003 และ 2004

21 และอื่น ๆ รูปแบบของ CMM ศูนย์ทดสอบของกระทรวงกลาโหมของสหพันธรัฐรัสเซีย, 2002, 2003

22. สมการโกลด์เบิร์ก "ควอนตัม" ครั้งที่ 3 พ.ศ. 2514

23. Volovich M. วิธีการสอนคณิตศาสตร์ให้ประสบความสำเร็จ.

คณิตศาสตร์ 1997 ครั้งที่ 3

24 Okunev สำหรับบทเรียนเด็ก ๆ ! M. การตรัสรู้, 1988

25. Yakimanskaya - การศึกษาเชิงรุกที่โรงเรียน

26. Liimets ทำงานในบทเรียน ม. ความรู้, 1975

บทเรียนนี้จัดทำขึ้นสำหรับผู้ที่เพิ่งเริ่มเรียนรู้สมการเลขชี้กำลัง และเช่นเคย เรามาเริ่มด้วยคำจำกัดความและตัวอย่างง่ายๆ กันก่อน

หากคุณกำลังอ่านบทเรียนนี้ ฉันสงสัยว่าอย่างน้อยคุณมีความเข้าใจน้อยที่สุดเกี่ยวกับสมการที่ง่ายที่สุด - เชิงเส้นและกำลังสอง: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ เป็นต้น เพื่อให้สามารถแก้ไขโครงสร้างดังกล่าวได้มีความจำเป็นอย่างยิ่งเพื่อไม่ให้ "ค้าง" ในหัวข้อที่จะกล่าวถึงในตอนนี้

ดังนั้น สมการเลขชี้กำลัง ให้ฉันยกตัวอย่างสองสามตัวอย่าง:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

บางอย่างอาจดูซับซ้อนสำหรับคุณ ในทางกลับกัน บางอย่างอาจดูง่ายเกินไป แต่ทั้งหมดรวมกันเป็นหนึ่งคุณลักษณะที่สำคัญ: พวกเขามีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $f\left(x \right)=((a)^(x))$ ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความ:

สมการเลขชี้กำลังคือสมการใดๆ ที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง กล่าวคือ นิพจน์ของแบบฟอร์ม $((a)^(x))$ นอกเหนือจากฟังก์ชันที่ระบุ สมการดังกล่าวสามารถมีโครงสร้างพีชคณิตอื่นๆ เช่น พหุนาม ราก ตรีโกณมิติ ลอการิทึม เป็นต้น

โอเคถ้าอย่างนั้น. เข้าใจความหมายแล้ว ตอนนี้คำถามคือ: จะแก้ปัญหาอึทั้งหมดนี้ได้อย่างไร? คำตอบนั้นทั้งง่ายและซับซ้อนในเวลาเดียวกัน

เริ่มต้นด้วยข่าวดี: จากประสบการณ์ของฉันกับนักเรียนหลายคน ฉันสามารถพูดได้ว่าสำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ สมการเลขชี้กำลังง่ายกว่าลอการิทึมเดียวกันมาก และตรีโกณมิติยิ่งกว่านั้นอีก

แต่ก็มีข่าวร้ายเช่นกัน: บางครั้งผู้รวบรวมปัญหาสำหรับหนังสือเรียนและข้อสอบทุกประเภทล้วนได้รับ "แรงบันดาลใจ" มาเยี่ยม และสมองที่ติดยาของพวกเขาก็เริ่มสร้างสมการที่โหดเหี้ยมจนกลายเป็นปัญหา ไม่เพียงแต่ให้นักเรียนแก้ปัญหาเท่านั้น - แม้แต่ครูหลายคนก็ยังติดอยู่กับปัญหาดังกล่าว

อย่างไรก็ตาม อย่าพูดถึงสิ่งที่น่าเศร้า และกลับมาที่สมการทั้งสามที่ให้ไว้ตอนต้นเรื่อง มาลองแก้ปัญหาแต่ละข้อกัน

สมการแรก: $((2)^(x))=4$. แล้วเลข 2 ต้องยกกำลังอะไรถึงจะได้เลข 4? บางทีที่สอง? ท้ายที่สุด $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — และเราได้ค่าความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้องแล้ว นั่นคือ แน่นอน $x=2$ อืม ขอบคุณนะ แต่สมการนี้ง่ายมากที่แม้แต่แมวของฉันก็แก้ได้ :)

ลองดูสมการต่อไปนี้:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

แต่ที่นี่ยากขึ้นเล็กน้อย นักเรียนหลายคนรู้ว่า $((5)^(2))=25$ เป็นตารางสูตรคูณ บางคนยังสงสัยว่า $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ เป็นคำจำกัดความของเลขชี้กำลังลบโดยพื้นฐานแล้ว (คล้ายกับสูตร $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

สุดท้าย มีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่คาดเดาว่าข้อเท็จจริงเหล่านี้สามารถรวมกันได้ และผลลัพธ์ที่ได้คือผลลัพธ์ต่อไปนี้:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

ดังนั้นสมการเดิมของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\ลูกศรขวา ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

และตอนนี้ก็ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์แล้ว! ทางด้านซ้ายของสมการจะมีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ทางด้านขวาของสมการจะมีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ไม่มีอะไรเลยนอกจากฟังก์ชันดังกล่าวในที่อื่น ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะ "ละทิ้ง" ฐานและเทียบเคียงตัวบ่งชี้อย่างโง่เขลา:

เราได้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดที่นักเรียนทุกคนสามารถแก้ได้ในเวลาเพียงไม่กี่บรรทัด โอเค ในสี่บรรทัด:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

หากคุณไม่เข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นในสี่บรรทัดสุดท้าย อย่าลืมกลับไปที่หัวข้อ “สมการเชิงเส้น” แล้วทำซ้ำ เนื่องจากหากไม่มีการซึมซับที่ชัดเจนของหัวข้อนี้ มันเร็วเกินไปสำหรับคุณที่จะใช้สมการเลขชี้กำลัง

\[((9)^(x))=-3\]

แล้วคุณล่ะ ตัดสินใจอย่างไร? ความคิดแรก: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$ ดังนั้นสมการเดิมจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

จากนั้นเราจำได้ว่าเมื่อเพิ่มระดับเป็นกำลัง ตัวบ่งชี้จะถูกคูณ:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

และสำหรับการตัดสินใจเช่นนี้ เราได้ผีสางที่สมควรได้รับ สำหรับเรา ด้วยความใจเย็นของโปเกมอน ได้ส่งเครื่องหมายลบหน้าทั้งสามไปยังกำลังของสามตัวนี้ และคุณไม่สามารถทำอย่างนั้นได้ และนั่นเป็นเหตุผล ดูพลังที่แตกต่างกันของสาม:

\[\begin(เมทริกซ์) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(เมทริกซ์)\]

เมื่อรวบรวมแท็บเล็ตนี้ฉันไม่ได้บิดเบือนโดยเร็วที่สุด: ฉันพิจารณาองศาบวกและลบและแม้แต่เศษส่วน ... อย่างน้อยหนึ่ง ตัวเลขติดลบ? เขาไม่ได้! และเป็นไปไม่ได้ เพราะฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $y=((a)^(x))$ อย่างแรก จะใช้เพียง ค่าบวก(ไม่ว่าคุณจะคูณหนึ่งหรือหารด้วยสองเท่าไหร่ มันก็ยังคงเป็นจำนวนบวก) และประการที่สอง ฐานของฟังก์ชันดังกล่าว - จำนวน $a$ - โดยนิยามว่าเป็นจำนวนบวก!

แล้วจะแก้สมการ $((9)^(x))=-3$ ได้อย่างไร? ไม่ไม่มีราก และในแง่นี้ สมการเลขชี้กำลังคล้ายกับสมการกำลังสองมาก อาจไม่มีรากก็ได้ แต่ถ้าใน สมการกำลังสองจำนวนรากจะถูกกำหนดโดยการเลือกปฏิบัติ (การเลือกปฏิบัติเป็นค่าบวก - 2 ราก, ค่าลบ - ไม่มีราก) จากนั้นในการยกกำลังทั้งหมดขึ้นอยู่กับสิ่งที่อยู่ทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

ดังนั้นเราจึงกำหนดข้อสรุปที่สำคัญ: สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ $((a)^(x))=b$ มีรากก็ต่อเมื่อ $b>0$ เมื่อทราบข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้ คุณสามารถระบุได้อย่างง่ายดายว่าสมการที่เสนอให้คุณมีรากหรือไม่ เหล่านั้น. มันคุ้มค่าที่จะแก้เลยหรือเขียนทันทีว่าไม่มีราก

ความรู้นี้จะช่วยเราได้หลายครั้งเมื่อเราต้องแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ในระหว่างนี้เนื้อเพลงเพียงพอ - ถึงเวลาศึกษาอัลกอริธึมพื้นฐานสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง

วิธีแก้สมการเลขชี้กำลัง

ดังนั้น มากำหนดปัญหากัน จำเป็นต้องแก้สมการเลขชี้กำลัง:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

ตามอัลกอริธึม "ไร้เดียงสา" ที่เราใช้ก่อนหน้านี้ จำเป็นต้องแสดงตัวเลข $b$ เป็นกำลังของตัวเลข $a$:

นอกจากนี้ หากมีนิพจน์ใดๆ แทนตัวแปร $x$ เราก็จะได้สมการใหม่ ซึ่งแก้ได้อยู่แล้ว ตัวอย่างเช่น:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

และน่าแปลกที่โครงการนี้ใช้งานได้ประมาณ 90% ของกรณีทั้งหมด แล้วอีก 10% ที่เหลือล่ะ? ส่วนที่เหลืออีก 10% เป็นสมการเลขชี้กำลัง "โรคจิตเภท" เล็กน้อยของรูปแบบ:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

คุณต้องยก 2 ให้ได้ 3 เท่าไหร่? ในครั้งแรก? แต่ไม่: $((2)^(1))=2$ ไม่เพียงพอ ในวินาที? ไม่เลย: $((2)^(2))=4$ มากเกินไป แล้วไง?

นักเรียนที่มีความรู้คงเดาไปแล้ว: ในกรณีเช่นนี้ เมื่อเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ "อย่างสวยงาม", "ปืนใหญ่" ก็เชื่อมโยงกับคดีนี้ - ลอการิทึม ผมขอเตือนคุณว่าการใช้ลอการิทึม จำนวนบวกใดๆ สามารถแสดงเป็นกำลังของตัวอื่นๆ ได้ จำนวนบวก(ไม่รวมหน่วย):

จำสูตรนี้ได้หรือไม่? เมื่อฉันบอกนักเรียนเกี่ยวกับลอการิทึม ฉันมักจะเตือนคุณเสมอว่า สูตรนี้ (มันคือเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน หรือถ้าคุณชอบ นิยามของลอการิทึม) จะหลอกหลอนคุณเป็นเวลานานมากและ "โผล่ออกมา" มากที่สุด สถานที่ที่ไม่คาดคิด เธอก็โผล่มา ลองดูสมการของเราและสูตรนี้:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

หากเราคิดว่า $a=3$ เป็นจำนวนเดิมทางด้านขวา และ $b=2$ เป็นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เราต้องการลดด้านขวา เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราได้คำตอบแปลก ๆ เล็กน้อย: $x=((\log )_(2))3$ ในงานอื่นๆ ด้วยคำตอบดังกล่าว หลายคนอาจสงสัยและเริ่มตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาซ้ำอีกครั้ง: จะเกิดอะไรขึ้นหากมีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ใดที่หนึ่ง ฉันรีบเร่งให้คุณพอใจ: ไม่มีข้อผิดพลาดที่นี่ และลอการิทึมในรากของสมการเลขชี้กำลังเป็นสถานการณ์ทั่วไป ดังนั้นจงชินกับมัน :)

ตอนนี้เราแก้โดยการเปรียบเทียบสมการที่เหลืออีกสองสมการ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((5)^(x))=15\ลูกศรขวา ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \ลูกศรขวา x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทั้งหมด! อย่างไรก็ตาม คำตอบสุดท้ายสามารถเขียนได้แตกต่างออกไป:

เราเป็นผู้แนะนำตัวคูณในอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม แต่ไม่มีใครป้องกันเราจากการเพิ่มปัจจัยนี้เข้ากับฐาน:

ในกรณีนี้ทั้งสามตัวเลือกนั้นถูกต้อง - มันก็แค่ รูปแบบต่างๆบันทึกหมายเลขเดียวกัน อันไหนที่จะเลือกและจดไว้ในการตัดสินใจนี้ขึ้นอยู่กับคุณ

ดังนั้น เราได้เรียนรู้ที่จะแก้สมการเลขชี้กำลังของรูปแบบ $((a)^(x))=b$ โดยที่ตัวเลข $a$ และ $b$ เป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัด อย่างไรก็ตาม ความจริงอันโหดร้ายของโลกของเราคือ งานง่ายๆ ดังกล่าวจะพบคุณน้อยมาก บ่อยครั้งคุณจะเจอสิ่งนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

แล้วคุณล่ะ ตัดสินใจอย่างไร? สามารถแก้ไขได้ทั้งหมดหรือไม่? และถ้าเป็นเช่นนั้นอย่างไร?

ไม่มีความตื่นตระหนก สมการทั้งหมดเหล่านี้ลดขนาดลงอย่างรวดเร็วและง่ายดายเป็นสูตรง่ายๆ ที่เราได้พิจารณาไปแล้ว คุณเพียงแค่ต้องรู้เพื่อจำเทคนิคสองสามข้อจากหลักสูตรพีชคณิต และแน่นอนว่าไม่มีกฎเกณฑ์ในการทำงานกับปริญญาที่นี่ ฉันจะพูดถึงเรื่องนี้ทั้งหมดตอนนี้ :)

การแปลงสมการเลขชี้กำลัง

สิ่งแรกที่ต้องจำไว้คือสมการเลขชี้กำลังใดๆ ไม่ว่าจะซับซ้อนแค่ไหน ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง จะต้องถูกลดทอนให้เป็นสมการที่ง่ายที่สุด - อันที่เราได้พิจารณาไปแล้วและเรารู้วิธีแก้สมการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง แบบแผนสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลังใดๆ จะมีลักษณะดังนี้:

เขียนสมการเดิม. ตัวอย่างเช่น: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
ทำเหี้ยไรเนี่ย. หรือแม้แต่เรื่องไร้สาระที่เรียกว่า "เปลี่ยนสมการ";
ที่เอาต์พุต รับนิพจน์ที่ง่ายที่สุด เช่น $((4)^(x))=4$ หรืออย่างอื่นที่ต้องการ นอกจากนี้ สมการตั้งต้นหนึ่งสมการสามารถให้นิพจน์ดังกล่าวได้หลายนิพจน์ในคราวเดียว

ในประเด็นแรก ทุกอย่างชัดเจน แม้แต่แมวของฉันสามารถเขียนสมการลงบนใบไม้ได้ ด้วยจุดที่สาม ดูเหมือนว่าจะชัดเจนไม่มากก็น้อย - เราได้แก้สมการดังกล่าวทั้งหมดข้างต้นแล้ว

แต่ประเด็นที่สองล่ะ? การเปลี่ยนแปลงคืออะไร? จะแปลงเป็นอะไร แล้วยังไง?

เอาล่ะลองคิดดู ก่อนอื่นฉันอยากจะชี้ให้เห็นต่อไปนี้ สมการเลขชี้กำลังทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองประเภท:

สมการประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเดียวกัน ตัวอย่าง: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
สูตรประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานต่างกัน ตัวอย่าง: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ and $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

เริ่มจากสมการประเภทแรกกันก่อน - พวกมันแก้ได้ง่ายที่สุด และในการแก้ปัญหานั้น เราจะได้รับความช่วยเหลือจากเทคนิค เช่น การเลือกนิพจน์ที่เสถียร

เน้นการแสดงออกที่มั่นคง

ลองดูสมการนี้อีกครั้ง:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

เราเห็นอะไร? ทั้งสี่ถูกยกขึ้นในระดับที่แตกต่างกัน แต่ยกกำลังทั้งหมดเหล่านี้เป็นผลรวมอย่างง่ายของตัวแปร $x$ กับตัวเลขอื่น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องจำกฎสำหรับการทำงานกับองศา:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

พูดง่ายๆ ก็คือ การเพิ่มเลขชี้กำลังสามารถแปลงเป็นผลคูณของยกกำลัง และการลบจะถูกแปลงเป็นการหารอย่างง่ายดาย ลองใช้สูตรเหล่านี้กับกำลังจากสมการของเรา:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราเขียนสมการเดิมใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้ แล้วรวบรวมเงื่อนไขทั้งหมดทางด้านซ้าย:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -สิบเอ็ด; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-(4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

สี่คำแรกมีองค์ประกอบ $((4)^(x))$ — ลองเอามันออกจากวงเล็บ:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

มันยังคงหารทั้งสองส่วนของสมการด้วยเศษส่วน $-\frac(11)(4)$ เช่น คูณด้วยเศษส่วนที่กลับหัว - $-\frac(4)(11)$ เราได้รับ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทั้งหมด! เราลดสมการดั้งเดิมให้ง่ายที่สุดและได้คำตอบสุดท้าย

ในเวลาเดียวกัน ในกระบวนการแก้ไข เราค้นพบ (และแม้กระทั่งเอาออกจากวงเล็บ) ปัจจัยร่วม $((4)^(x))$ - นี่คือนิพจน์ที่เสถียร มันสามารถกำหนดให้เป็นตัวแปรใหม่ หรือคุณสามารถแสดงมันออกมาได้อย่างแม่นยำและรับคำตอบ ไม่ว่าในกรณีใด หลักการสำคัญของการแก้ปัญหามีดังนี้:

ค้นหานิพจน์คงที่ในสมการดั้งเดิมซึ่งมีตัวแปรที่แยกแยะได้ง่ายจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมด

ข่าวดีก็คือว่าเกือบทุกสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลยอมรับนิพจน์ที่เสถียรเช่นนั้น

แต่ก็มีข่าวร้ายเช่นกัน: สำนวนดังกล่าวอาจเป็นเรื่องยากมาก และอาจแยกแยะได้ยากทีเดียว ลองดูปัญหาอื่น:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

บางทีตอนนี้บางคนอาจมีคำถาม: "มหาอำมาตย์คุณเมาแล้วหรือยัง? นี่คือฐานที่แตกต่างกัน - 5 และ 0.2 แต่ลองแปลงกำลังด้วยฐาน 0.2 ตัวอย่างเช่น กำจัด เศษส่วนทศนิยมนำมาสู่ปกติ:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

อย่างที่คุณเห็น หมายเลข 5 ยังคงปรากฏอยู่ แม้ว่าจะอยู่ในตัวส่วนก็ตาม ในเวลาเดียวกัน ตัวบ่งชี้ถูกเขียนใหม่เป็นค่าลบ และตอนนี้เราจำกฎที่สำคัญที่สุดข้อหนึ่งสำหรับการทำงานกับปริญญาได้:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

แน่นอนว่าฉันโกงนิดหน่อย เพราะเพื่อให้เข้าใจอย่างถ่องแท้ ต้องเขียนสูตรการกำจัดตัวบ่งชี้เชิงลบดังนี้:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ ขวา))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

ในทางกลับกัน ไม่มีอะไรขัดขวางเราไม่ให้ทำงานกับเศษส่วนเพียงส่วนเดียว:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1))) \ ขวา))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

แต่ในกรณีนี้ คุณต้องสามารถยกระดับขึ้นไปอีกระดับหนึ่งได้ (ฉันขอเตือนคุณว่า: ในกรณีนี้ ตัวชี้วัดจะถูกรวมเข้าด้วยกัน) แต่ฉันไม่ต้อง "พลิก" เศษส่วน - บางทีมันอาจจะง่ายกว่าสำหรับบางคน :)

ไม่ว่าในกรณีใด สมการเลขชี้กำลังเดิมจะถูกเขียนใหม่เป็น:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังนั้น ปรากฎว่าสมการดั้งเดิมแก้ได้ง่ายกว่าสมการที่พิจารณาก่อนหน้านี้: ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องแยกนิพจน์ที่เสถียรออกมา - ทุกอย่างลดขนาดลงด้วยตัวมันเอง ยังคงเป็นเพียงการจำไว้ว่า $1=((5)^(0))$ ดังนั้นเราจึงได้รับ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทางออกทั้งหมด! เราได้คำตอบสุดท้าย: $x=-2$ ในเวลาเดียวกัน ฉันต้องการทราบเคล็ดลับหนึ่งที่ทำให้การคำนวณทั้งหมดของเราง่ายขึ้นมาก:

ในสมการเลขชี้กำลัง ต้องแน่ใจว่าได้กำจัดเศษส่วนทศนิยมแล้ว แปลงเป็นเศษส่วนธรรมดา วิธีนี้จะช่วยให้คุณเห็นองศาฐานเดียวกันและทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก

ทีนี้ มาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้ซึ่งมีฐานต่างกัน ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะใช้ยกกำลังไม่ได้

การใช้คุณสมบัติเลขชี้กำลัง

ผมขอเตือนคุณว่าเรามีสมการที่รุนแรงมากขึ้นอีกสองสมการ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ปัญหาหลักในที่นี้คือยังไม่ชัดเจนว่าจะนำไปสู่อะไรและพื้นฐานอะไร ที่ไหน กำหนดนิพจน์? พื้นที่ส่วนกลางอยู่ที่ไหน? ไม่มีสิ่งนี้

แต่เราลองไปทางอื่น หากไม่มีฐานที่เหมือนกันสำเร็จรูป คุณสามารถลองค้นหาได้โดยแยกตัวประกอบฐานที่มีอยู่

เริ่มจากสมการแรกกันก่อน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

แต่ท้ายที่สุด คุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ - ประกอบเป็นตัวเลข 21 จากตัวเลข 7 และ 3 ทางด้านซ้ายทำได้ง่ายเป็นพิเศษ เนื่องจากตัวบ่งชี้ของทั้งสององศาเหมือนกัน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทั้งหมด! คุณเอาเลขชี้กำลังออกจากผลคูณและได้สมการที่สวยงามในทันทีที่แก้ได้ในสองสามบรรทัด

ทีนี้มาจัดการกับสมการที่สองกัน ทุกอย่างซับซ้อนกว่านี้มาก:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

ในกรณีนี้ เศษส่วนกลับกลายเป็นว่าลดไม่ได้ แต่ถ้ามีอะไรลดได้ ให้ลดมันลง ซึ่งมักจะส่งผลให้เกิดประเด็นที่น่าสนใจที่คุณสามารถใช้งานได้อยู่แล้ว

ขออภัย เราไม่ได้คิดอะไร แต่เราเห็นว่าเลขชี้กำลังทางซ้ายในผลคูณอยู่ตรงข้าม:

ผมขอเตือนคุณว่า: เพื่อกำจัดเครื่องหมายลบในตัวยกกำลัง คุณเพียงแค่ "พลิก" เศษส่วน ลองเขียนสมการเดิมใหม่:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ในบรรทัดที่สอง เราเพิ่งวงเล็บรวมจากผลิตภัณฑ์ตามกฎ $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$ และสุดท้ายพวกเขาก็คูณตัวเลข 100 ด้วยเศษส่วน

ตอนนี้โปรดทราบว่าตัวเลขทางด้านซ้าย (ที่ฐาน) และด้านขวาค่อนข้างคล้ายกัน ยังไง? ใช่ เห็นได้ชัดว่ามันเป็นพลังของเลขเดียวกัน! เรามี:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& \frac(1000)(27)=\frac((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังนั้นสมการของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

ในเวลาเดียวกัน ทางด้านขวา คุณสามารถรับปริญญาที่มีฐานเดียวกันซึ่งเพียงพอที่จะ "พลิก" เศษส่วน:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

ในที่สุด สมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทางออกทั้งหมด แนวคิดหลักของเขาคือแม้ว่า ฐานที่แตกต่างกัน x เรากำลังพยายามด้วยเบ็ดหรือโดยข้อพับเพื่อลดพื้นที่เหล่านี้ให้เป็นหนึ่งเดียว ในเรื่องนี้ เราได้รับความช่วยเหลือจากการแปลงสมการเบื้องต้นและกฎสำหรับการทำงานกับกำลัง

แต่กฎอะไรและเมื่อใดควรใช้? จะเข้าใจได้อย่างไรว่าในสมการหนึ่งคุณต้องหารทั้งสองข้างด้วยบางอย่างและอีกสมการหนึ่ง - เพื่อแยกฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังออกเป็นปัจจัย?

คำตอบสำหรับคำถามนี้จะมาพร้อมกับประสบการณ์ ลองใช้มือของคุณก่อน สมการง่ายๆจากนั้นค่อยๆ ทำให้งานซับซ้อนขึ้น - และในไม่ช้าทักษะของคุณจะเพียงพอที่จะแก้สมการเลขชี้กำลังจาก USE เดียวกันหรืองานอิสระ / ทดสอบใดๆ

และเพื่อช่วยคุณในงานที่ยากลำบากนี้ ฉันแนะนำให้ดาวน์โหลดชุดสมการบนเว็บไซต์ของฉันเพื่อหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นอิสระ สมการทั้งหมดมีคำตอบ ดังนั้นคุณสามารถตรวจสอบตัวเองได้ตลอดเวลา

สมการเลขชี้กำลังคืออะไร? ตัวอย่าง.

ดังนั้น สมการเลขชี้กำลัง... การจัดแสดงรูปแบบใหม่ที่ไม่ซ้ำใครในงานนิทรรศการทั่วไปของเราเกี่ยวกับสมการที่หลากหลาย!) เช่นเดียวกับในกรณีส่วนใหญ่ คีย์เวิร์ดของคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ใหม่ใดๆ คือคำคุณศัพท์ที่เกี่ยวข้องกันซึ่งกำหนดลักษณะเฉพาะ ดังนั้นที่นี่ด้วย คำสำคัญในคำว่า "สมการเลขชี้กำลัง" คือคำว่า "สาธิต". มันหมายความว่าอะไร? คำนี้หมายความว่าสิ่งที่ไม่รู้จัก (x) คือ ในระดับใดระดับหนึ่งและที่นั่นเท่านั้น! นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง

ตัวอย่างเช่น สมการง่าย ๆ เหล่านี้:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

หรือแม้แต่สัตว์ประหลาดเหล่านี้:

2 บาป x = 0.5

ฉันขอให้คุณใส่ใจกับสิ่งสำคัญอย่างหนึ่งทันที: ใน บริเวณองศา (ล่าง) - เฉพาะตัวเลข. แต่ใน ตัวชี้วัดองศา (บนสุด) - การแสดงออกที่หลากหลายด้วย x อะไรก็ได้) ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสมการเฉพาะ หากทันใดนั้น x ออกมาในสมการที่อื่นนอกเหนือจากตัวบ่งชี้ (เช่น 3 x \u003d 18 + x 2) สมการดังกล่าวจะเป็นสมการอยู่แล้ว แบบผสม. สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้ ดังนั้นในบทเรียนนี้เราจะไม่พิจารณาพวกเขา เพื่อความสุขของนักเรียน) ที่นี่เราจะพิจารณาเฉพาะสมการเลขชี้กำลังในรูปแบบที่ "บริสุทธิ์"

โดยทั่วไปแล้ว แม้แต่สมการเลขชี้กำลังล้วนๆ ก็ยังไม่ได้รับการแก้อย่างชัดเจนในทุกกรณีและไม่เสมอไป แต่ในบรรดาสมการเลขชี้กำลังที่หลากหลาย มีบางประเภทที่แก้ได้และควรแก้ สมการประเภทนี้เราจะพิจารณาร่วมกับคุณ และเราจะแก้ตัวอย่างอย่างแน่นอน) ดังนั้นเราจึงตั้งรกรากอย่างสะดวกสบายและอยู่บนท้องถนน! เช่นเดียวกับใน "เกมยิงปืน" ทางคอมพิวเตอร์ การเดินทางของเราจะผ่านด่านต่างๆ) ตั้งแต่ระดับพื้นฐานไปจนถึงระดับง่าย จากระดับง่ายไปจนถึงระดับกลาง และระดับกลางไปจนถึงระดับซับซ้อน ระหว่างทาง คุณจะรอระดับความลับ - กลเม็ดและวิธีการแก้ไขตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐาน เรื่องที่คุณจะไม่อ่านในหนังสือเรียนของโรงเรียนส่วนใหญ่... ท้ายที่สุด เจ้านายคนสุดท้ายกำลังรอคุณอยู่ในรูปแบบของการบ้าน)

ระดับ 0. สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดคืออะไร? คำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

เริ่มต้นด้วยการดูพื้นฐานที่ตรงไปตรงมา คุณต้องเริ่มต้นที่ไหนสักแห่งใช่ไหม? ตัวอย่างเช่น สมการนี้:

2 x = 2 2

แม้จะไม่มีทฤษฎีใดๆ ด้วยตรรกะง่ายๆ และสามัญสำนึก ก็เป็นที่ชัดเจนว่า x = 2 ไม่อย่างนั้นไม่มีทางหรอก จริงไหม? ไม่มีค่าของ x อื่นใดดี ... ทีนี้มาสนใจกัน บันทึกการตัดสินใจสมการเลขชี้กำลังที่ยอดเยี่ยมนี้:

2 x = 2 2

X = 2

เกิดอะไรขึ้นกับเรา? และต่อไปนี้ก็เกิดขึ้น อันที่จริงแล้วเราเอาและ ... เพิ่งโยนฐานเดียวกัน (สอง)! โยนทิ้งให้หมด และสิ่งที่พอใจ ตีเป้า!

ใช่ แน่นอน ถ้าในสมการเลขชี้กำลังทางซ้ายและขวาเป็น เหมือนตัวเลขในระดับใด ๆ จากนั้นตัวเลขเหล่านี้สามารถทิ้งและเท่ากับเลขชี้กำลัง คณิตศาสตร์อนุญาต) จากนั้นคุณสามารถแยกการทำงานกับตัวบ่งชี้และแก้สมการที่ง่ายกว่ามาก มันเยี่ยมมากใช่มั้ย?

นี่คือแนวคิดหลักในการแก้สมการเลขชี้กำลังใดๆ (ใช่ ทุกประการ!) ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงที่เหมือนกัน มันเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าซ้ายและขวาในสมการคือ เหมือน เลขฐานกำลังต่างๆ จากนั้นคุณสามารถเอาฐานเดียวกันออกและจัดเลขชี้กำลังได้อย่างปลอดภัย และทำงานกับสมการที่ง่ายกว่า

และตอนนี้เราจำกฎเหล็กได้: เป็นไปได้ที่จะลบฐานเดียวกันก็ต่อเมื่อในสมการทางซ้ายและทางขวาตัวเลขฐานคือ ในความเหงาอันภาคภูมิ

ในความโดดเดี่ยวที่ยอดเยี่ยมหมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าไม่มีเพื่อนบ้านและสัมประสิทธิ์ ฉันอธิบาย.

ตัวอย่างเช่น ในสมการ

3 3 x-5 = 3 2 x +1

คุณไม่สามารถลบแฝดสาม! ทำไม เพราะทางซ้ายเราไม่ได้มีดีกรีอยู่แค่สามคน แต่ งาน 3 3 x-5 . ทริปเปิ้ลพิเศษเข้ามาขวางทาง: คุณเข้าใจสัมประสิทธิ์)

สามารถพูดได้เหมือนกันเกี่ยวกับสมการ

5 3 x = 5 2 x +5 x

ที่นี่เช่นกัน ฐานทั้งหมดเหมือนกัน - ห้า แต่ทางขวาเราไม่มีดีกรีห้าเดียว นั่นคือผลรวมขององศา!

กล่าวโดยสรุป เรามีสิทธิ์ที่จะลบฐานเดียวกันก็ต่อเมื่อสมการเลขชี้กำลังของเรามีลักษณะดังนี้ และมีลักษณะดังนี้:

เอฉ (x) = ก (x)

สมการเลขชี้กำลังประเภทนี้เรียกว่า ง่ายที่สุด. หรือในทางวิทยาศาสตร์ บัญญัติ . และไม่ว่าสมการบิดเบี้ยวที่อยู่ตรงหน้าจะเป็นอย่างไร ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เราจะลดสมการนี้ให้อยู่ในรูปแบบง่ายๆ (ตามบัญญัติ) ดังกล่าว หรือในบางกรณีถึง มวลรวมสมการประเภทนี้ จากนั้นสมการที่ง่ายที่สุดของเราสามารถอยู่ใน ปริทัศน์เขียนใหม่เช่นนี้:

F(x) = ก.(x)

และนั่นแหล่ะ นี่จะเป็นการแปลงที่เทียบเท่ากัน ในขณะเดียวกัน นิพจน์ใดๆ ที่มี x ก็สามารถใช้เป็น f(x) และ g(x) ได้ อะไรก็ตาม.

บางทีนักเรียนที่อยากรู้อยากเห็นเป็นพิเศษจะถามว่า: ทำไมเราจึงทิ้งฐานเดียวกันทางซ้ายและขวาอย่างง่ายดายและง่ายดายและเท่ากับเลขชี้กำลัง สัญชาตญาณก็คือสัญชาตญาณ แต่จู่ๆ ในสมการบางอย่างและด้วยเหตุผลบางอย่าง วิธีการนี้จะกลับกลายเป็นว่าผิด? ถูกต้องตามกฎหมายเสมอหรือไม่ที่จะโยนฐานเดิม?น่าเสียดายสำหรับคำตอบทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดสำหรับสิ่งนี้ สนใจ สอบถามคุณต้องเจาะลึกและจริงจังในทฤษฎีทั่วไปของโครงสร้างและพฤติกรรมของฟังก์ชัน และเฉพาะเจาะจงอีกเล็กน้อย - ในปรากฏการณ์ ความน่าเบื่อหน่ายที่เข้มงวดโดยเฉพาะความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวด ฟังก์ชันเลขชี้กำลังy= x. เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของฟังก์ชันที่รองรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง ใช่) คำตอบโดยละเอียดสำหรับคำถามนี้จะให้ไว้ในบทเรียนพิเศษที่แยกต่างหากซึ่งอุทิศให้กับการแก้สมการที่ไม่ได้มาตรฐานที่ซับซ้อนโดยใช้ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันต่างๆ)

เพื่ออธิบายประเด็นนี้โดยละเอียดในตอนนี้ เป็นเพียงการนำสมองของเด็กนักเรียนธรรมดาๆ ออกมา และทำให้ตกใจเขาล่วงหน้าด้วยทฤษฎีที่แห้งแล้งและหนักหน่วง ฉันจะไม่ทำเช่นนี้) สำหรับหลักของเรา ช่วงเวลานี้งาน - เรียนรู้การแก้สมการเลขชี้กำลัง!ง่ายที่สุด! ดังนั้นจนกว่าเราจะเหงื่อออกและกล้าโยนเหตุผลเดียวกันออกไป มัน สามารถใช้คำพูดของฉันมัน!) จากนั้นเราก็แก้สมการเทียบเท่า f (x) = g (x) ตามกฎแล้วจะง่ายกว่าเลขชี้กำลังเดิม

แน่นอนว่ามีคนรู้วิธีแก้อยู่แล้วอย่างน้อย และสมการ โดยที่ไม่มี x ในอินดิเคเตอร์) ใครยังไม่รู้วิธีปิดหน้านี้ เดินตามลิงค์ที่เหมาะสมแล้วกรอกลงไป ช่องว่างเก่า มิฉะนั้นคุณจะลำบากใช่ ...

ฉันเงียบเกี่ยวกับสมการที่ไม่ลงตัว ตรีโกณมิติ และสมการที่โหดร้ายอื่นๆ ที่สามารถเกิดขึ้นได้ในกระบวนการกำจัดฐาน แต่อย่าตื่นตระหนกเพราะตอนนี้เราจะไม่พิจารณาระดับปริญญาที่ตรงไปตรงมา: มันเร็วเกินไป เราจะฝึกเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น)

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการที่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพื่อย่อให้เหลือน้อยที่สุด เรียกพวกมันว่า สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย. มาต่อกันที่ระดับถัดไปกันเถอะ!

ระดับ 1 สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย รับรู้องศา! ตัวชี้วัดทางธรรมชาติ

กฎสำคัญในการแก้สมการเลขชี้กำลังคือ กฎสำหรับการจัดการกับองศา. หากปราศจากความรู้และทักษะนี้ อะไรๆ ก็จะไม่เกิดผล อนิจจา. ดังนั้น หากมีปัญหากับปริญญา คุณก็สามารถเริ่มต้นได้ นอกจากนี้เรายังต้องการ . การแปลงเหล่านี้ (มากถึงสอง!) เป็นพื้นฐานสำหรับการแก้สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดโดยทั่วไป และไม่เพียงแต่โชว์ผลงานเท่านั้น ดังนั้นใครก็ตามที่ลืมไปเดินเล่นบนลิงค์ด้วย: ฉันใส่มันด้วยเหตุผล

แต่การกระทำที่มีพลังและการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันเท่านั้นไม่เพียงพอ นอกจากนี้ยังต้องมีการสังเกตส่วนบุคคลและความเฉลียวฉลาด เราต้องการเหตุผลเดียวกัน ใช่ไหม ดังนั้นเราจึงตรวจสอบตัวอย่างและค้นหาในรูปแบบที่ชัดเจนหรือปลอมแปลง!

ตัวอย่างเช่น สมการนี้:

3 2x – 27x +2 = 0

ดูครั้งแรกที่ บริเวณ. พวกเขาแตกต่าง! สามและยี่สิบเจ็ด แต่มันเร็วเกินไปที่จะตื่นตระหนกและสิ้นหวัง ถึงเวลาต้องจำไว้

27 = 3 3

เบอร์ 3 กับ 27 เป็นญาติสายตรง! ยิ่งกว่านั้นญาติโยม) ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์จดบันทึก:

27 x +2 = (3 3) x+2

และตอนนี้เราเชื่อมโยงความรู้ของเราเกี่ยวกับ การกระทำที่มีอำนาจ(และฉันเตือนคุณแล้ว!) มีสูตรที่มีประโยชน์มาก:

(น) n = a mn

ตอนนี้ถ้าคุณเรียกใช้ในหลักสูตร โดยทั่วไปแล้วจะออกมาดี:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

ตัวอย่างเดิมตอนนี้มีลักษณะดังนี้:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

เยี่ยมมาก ฐานขององศาอยู่ในแนวเดียวกัน สิ่งที่เรามุ่งมั่นเพื่อ เสร็จไปครึ่งงานแล้ว) และตอนนี้เราเริ่มการแปลงเอกลักษณ์พื้นฐาน - เราโอน 3 3 (x +2) ไปทางขวา ไม่มีใครยกเลิกการกระทำเบื้องต้นของคณิตศาสตร์ใช่) เราได้รับ:

3 2 x = 3 3(x +2)

อะไรทำให้เรามีสมการแบบนี้? และความจริงที่ว่าตอนนี้สมการของเราลดลง เป็นรูปแบบบัญญัติ: ทางซ้ายและทางขวาเป็นเลขยกกำลังเดียวกัน (สามเท่า) และแฝดแฝดทั้งสอง - ในความโดดเดี่ยวที่ยอดเยี่ยม เราลบแฝดสามอย่างกล้าหาญและรับ:

2x = 3(x+2)

เราแก้ปัญหานี้และรับ:

X=-6

นั่นคือทั้งหมดที่มีให้ นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง)

และตอนนี้เราเข้าใจขั้นตอนการตัดสินใจแล้ว อะไรช่วยเราไว้ในตัวอย่างนี้ เราได้รับความรอดจากความรู้เรื่ององศาสามชั้น ว่าอย่างไร? เรา ระบุหมายเลข 27 เข้ารหัสสาม! เคล็ดลับนี้ (การเข้ารหัสฐานเดียวกันภายใต้ ตัวเลขต่างๆ) เป็นหนึ่งในสมการเลขชี้กำลังที่ได้รับความนิยมมากที่สุด! เว้นแต่จะเป็นที่นิยมมากที่สุด ใช่และอีกอย่าง นั่นคือเหตุผลที่การสังเกตและความสามารถในการรับรู้กำลังของตัวเลขอื่น ๆ ในตัวเลขมีความสำคัญมากในสมการเลขชี้กำลัง!

คำแนะนำในทางปฏิบัติ:

คุณจำเป็นต้องรู้พลังของตัวเลขยอดนิยม ต่อหน้า!

แน่นอน ใครๆ ก็สามารถยกกำลังสองยกกำลังเจ็ดหรือยกกำลังสามยกกำลังห้าได้ ไม่ได้อยู่ในความคิดของฉันดังนั้นอย่างน้อยก็ในร่าง แต่ในสมการเลขชี้กำลัง บ่อยครั้งมากที่ไม่จำเป็นต้องยกกำลัง แต่ในทางกลับกัน เพื่อค้นหาว่าจำนวนใดและขอบเขตใดที่ซ่อนอยู่หลังจำนวนนั้น กล่าวคือ 128 หรือ 243 และนี่ก็มากกว่านั้นแล้ว ซับซ้อนกว่าการยกกำลังอย่างง่าย คุณเห็นไหม รู้สึกถึงความแตกต่างอย่างที่พวกเขาพูด!

เนื่องจากความสามารถในการจดจำองศาบนใบหน้าจึงมีประโยชน์ไม่เพียงแต่ในระดับนี้ แต่ในระดับต่อไปนี้ด้วย จึงเป็นงานเล็กๆ น้อยๆ สำหรับคุณ:

กำหนดว่าอำนาจใดและตัวเลขใดเป็นตัวเลข:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

คำตอบ (กระจัดกระจายแน่นอน):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

ใช่ ๆ! อย่าแปลกใจที่มีคำตอบมากกว่างาน ตัวอย่างเช่น 2 8 , 4 4 และ 16 2 เป็น 256 ทั้งหมด

ระดับ 2 สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย รับรู้องศา! เลขชี้กำลังลบและเศษส่วน

ในระดับนี้ เราใช้ความรู้เกี่ยวกับองศาของเราอย่างเต็มที่แล้ว กล่าวคือ เราเกี่ยวข้องกับตัวบ่งชี้เชิงลบและเศษส่วนในกระบวนการที่น่าสนใจนี้! ใช่ ๆ! เราต้องสร้างพลังใช่ไหม?

ตัวอย่างเช่น สมการที่น่ากลัวนี้:

ดูรากฐานอีกครั้งก่อน ฐานไม่ต่างกัน! และคราวนี้พวกเขาไม่ได้เหมือนกันเลยแม้แต่น้อย! 5 และ 0.04... และเพื่อกำจัดฐาน จำเป็นต้องมีฐานเดียวกัน... จะทำอย่างไร?

ไม่เป็นไร! อันที่จริงแล้ว ทุกอย่างเหมือนกัน เพียงการเชื่อมต่อระหว่างห้าถึง 0.04 นั้นมองเห็นได้ไม่ดีนัก เราจะออกไปได้อย่างไร? และไปที่เศษส่วนปกติในจำนวน 0.04 กัน! คุณจะเห็นว่าทุกอย่างก่อตัวขึ้น)

0,04 = 4/100 = 1/25

ว้าว! ปรากฎว่า 0.04 คือ 1/25! แล้วใครจะไปคิดล่ะ!)

ยังไงดี? ตอนนี้การเชื่อมต่อระหว่างตัวเลข 5 กับ 1/25 ง่ายขึ้นหรือไม่? นั่นคือสิ่งที่มันเป็น...

และตอนนี้ตามกฎการดำเนินงานที่มีอำนาจด้วย ตัวบ่งชี้เชิงลบสามารถเขียนด้วยมือที่มั่นคง:

เป็นสิ่งที่ดี. เราก็ได้ฐานเดียวกัน - ห้า. ตอนนี้เราแทนที่ตัวเลขที่ไม่สบายใจ 0.04 ในสมการด้วย 5 -2 และรับ:

อีกครั้งตามกฎการดำเนินการที่มีอำนาจ เราสามารถเขียนได้ว่า:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

เผื่อจะนึก (อยู่ๆ ใครไม่รู้) ว่า กฎพื้นฐานการกระทำที่มีอำนาจถูกต้องสำหรับ ใดๆตัวชี้วัด! รวมถึงค่าลบด้วย) ดังนั้นอย่าลังเลที่จะใช้และคูณตัวบ่งชี้ (-2) และ (x-1) ตามกฎที่เกี่ยวข้อง สมการของเราดีขึ้นเรื่อยๆ:

ทุกอย่าง! นอกจากคนขี้เหงาในองศาทางซ้ายและขวาแล้ว ไม่มีอะไรอื่นอีกแล้ว สมการจะลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติ แล้ว - ตามรอยหยัก เราลบห้าและเท่ากับตัวบ่งชี้:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

ตัวอย่างใกล้เสร็จแล้ว คณิตศาสตร์เบื้องต้นของชนชั้นกลางยังคงอยู่ - เราเปิด (ถูกต้อง!) วงเล็บและรวบรวมทุกอย่างทางด้านซ้าย:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

เราแก้ปัญหานี้และรับสองราก:

x 1 = 1; x 2 = 3

แค่นั้น)

ทีนี้ลองคิดดูใหม่ ในตัวอย่างนี้ เราต้องจำตัวเลขเดิมในองศาที่แตกต่างกันอีกครั้ง! กล่าวคือเพื่อดูการเข้ารหัสห้าในจำนวน 0.04 และครั้งนี้ใน องศาติดลบ!เราทำมันได้อย่างไร? กำลังเดินทาง - ไม่มีทาง แต่หลังจากเปลี่ยนจากทศนิยม 0.04 เป็นทศนิยม 1/25 แล้ว ทุกอย่างก็ถูกเน้น! แล้วการตัดสินใจทั้งหมดก็ดำเนินไปเหมือนเครื่องจักร)

ดังนั้นคำแนะนำเชิงปฏิบัติที่เป็นมิตรกับสิ่งแวดล้อมอีกประการหนึ่ง

หากมีเศษส่วนทศนิยมในสมการเลขชี้กำลัง เราก็ย้ายจากเศษส่วนทศนิยมไปเป็นเศษส่วนธรรมดา ที่ เศษส่วนทั่วไปมันง่ายกว่ามากที่จะรับรู้พลังของตัวเลขยอดนิยมมากมาย! หลังจากที่รับรู้แล้ว เราก็เปลี่ยนจากเศษส่วนเป็นยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังลบ

โปรดทราบว่าการหลอกลวงในสมการเลขชี้กำลังเกิดขึ้นบ่อยมาก! และบุคคลนั้นไม่อยู่ในเรื่อง ตัวอย่างเช่น เขาดูตัวเลข 32 และ 0.125 แล้วอารมณ์เสีย เขาไม่รู้ว่านี่เป็นผีตัวเดียวกันในองศาที่ต่างกันเท่านั้น ... แต่คุณอยู่ในเรื่องนี้แล้ว!)

แก้สมการ:

ใน! ดูเหมือนสยองขวัญเงียบ ๆ ... อย่างไรก็ตามการปรากฏตัวเป็นการหลอกลวง นี่คือสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด แม้จะน่ากลัวก็ตาม รูปร่าง. และตอนนี้ฉันจะแสดงให้คุณเห็น)

อันดับแรก เราจัดการกับตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ในฐานและในสัมประสิทธิ์ ต่างกันอย่างเห็นได้ชัดใช่ แต่เรายังคงเสี่ยงและพยายามสร้างมันขึ้นมา เหมือน! ลองไปที่ เลขเดียวกันในองศาที่ต่างกัน. และควรเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ มาเริ่มถอดรหัสกันเลย!

ทุกอย่างชัดเจนด้วยสี่พร้อมกัน - มันคือ 2 2 . มีบางอย่างอยู่แล้ว)

ด้วยเศษ 0.25 - ยังไม่ชัดเจน จำเป็นต้องตรวจสอบ เราใช้คำแนะนำที่เป็นประโยชน์ - เปลี่ยนจากทศนิยมเป็นธรรมดา:

0,25 = 25/100 = 1/4

ดีขึ้นมากแล้ว ตอนนี้เห็นได้ชัดเจนว่า 1/4 คือ 2 -2 เยี่ยม และเลข 0.25 ก็คล้ายกับผี)

จนถึงตอนนี้ดีมาก แต่จำนวนที่เลวร้ายที่สุดยังคงอยู่ - รากที่สองของสอง!จะทำอย่างไรกับพริกไทยนี้? มันสามารถแสดงเป็นกำลังสองได้หรือไม่? และใครจะรู้...

อีกครั้งที่เราปีนเข้าไปในคลังความรู้เกี่ยวกับองศา! คราวนี้เราเชื่อมต่อความรู้ของเราเพิ่มเติม เกี่ยวกับราก. จากหลักสูตร ป.9 เธอกับฉันต้องทนว่ารากใด ๆ ที่ต้องการสามารถเปลี่ยนเป็นดีกรีได้เสมอ ด้วยเศษส่วน

แบบนี้:

ในกรณีของเรา:

ยังไง! ปรากฎว่าสแควร์รูทของสองคือ 2 1/2 แค่นั้นแหละ!

ไม่เป็นไร! ตัวเลขที่น่าอึดอัดทั้งหมดของเรากลับกลายเป็นว่าหลอกลวง) ฉันไม่เถียงที่ไหนสักแห่งที่เข้ารหัสอย่างซับซ้อนมาก แต่เรายังเพิ่มความเป็นมืออาชีพในการแก้ตัวเลขดังกล่าวอีกด้วย! แล้วทุกอย่างก็ชัดเจนอยู่แล้ว เราแทนที่ตัวเลข 4, 0.25 และรากของสองในสมการด้วยกำลังสอง:

ทุกอย่าง! ฐานขององศาทุกองศาในตัวอย่างกลายเป็นค่าเดียวกัน - สอง และตอนนี้มีการใช้การกระทำมาตรฐานพร้อมองศา:

เป็นหนึ่ง = เป็น + น

a m:a n = a m-n

(น) n = a mn

สำหรับด้านซ้ายคุณจะได้รับ:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

สำหรับด้านขวาจะเป็น:

และตอนนี้สมการชั่วร้ายของเราเริ่มมีลักษณะดังนี้:

สำหรับผู้ที่ไม่รู้ว่าสมการนี้ออกมาเป็นอย่างไร คำถามไม่ได้เกี่ยวกับสมการเลขชี้กำลัง คำถามเกี่ยวกับการกระทำที่มีอำนาจ ขอย้ำด่วนสำหรับผู้ที่มีปัญหา!

นี่คือเส้นชัย! ได้รูปแบบบัญญัติของสมการเลขชี้กำลังแล้ว! ยังไงดี? ฉันเชื่อคุณหรือไม่ว่ามันไม่น่ากลัวขนาดนั้น? ;) เราลบ deuces และเท่ากับตัวบ่งชี้:

มันยังคงเป็นเพียงการแก้สมการเชิงเส้นนี้เท่านั้น ยังไง? ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงที่เหมือนกันแน่นอน) แก้สิ่งที่มีอยู่แล้ว! คูณทั้งสองส่วนด้วยสอง (เพื่อลบเศษส่วน 3/2) ย้ายเงื่อนไขด้วย Xs ไปทางซ้ายโดยไม่มี Xs ไปทางขวา นำสิ่งที่เหมือนกันมานับ - แล้วคุณจะมีความสุข!

ทุกอย่างควรออกมาอย่างสวยงาม:

X=4

ตอนนี้ มาทบทวนการตัดสินใจกันใหม่ ในตัวอย่างนี้ เราได้รับการช่วยเหลือจากการเปลี่ยนผ่านจาก รากที่สอง ถึง องศาที่มีเลขชี้กำลัง 1/2. ยิ่งกว่านั้นการเปลี่ยนแปลงที่ฉลาดแกมโกงเท่านั้นที่ช่วยให้เราทุกหนทุกแห่งเข้าถึงพื้นฐานเดียวกัน (deuce) ซึ่งช่วยสถานการณ์ได้! และถ้าไม่ใช่เพราะเรื่องนี้ เราก็คงจะมีโอกาสหยุดนิ่งตลอดไปและไม่เคยรับมือกับตัวอย่างนี้เลย ใช่ ...

ดังนั้นเราจึงไม่ละเลยคำแนะนำที่เป็นประโยชน์ต่อไป:

หากมีรากอยู่ในสมการเลขชี้กำลัง เราก็ย้ายจากรากหนึ่งเป็นยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน บ่อยครั้งที่การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวทำให้สถานการณ์กระจ่างขึ้น

แน่นอนว่าพลังลบและเศษส่วนนั้นยากกว่ามาก องศาธรรมชาติ. อย่างน้อยก็ในแง่ของการรับรู้ทางสายตาและโดยเฉพาะอย่างยิ่งการจดจำจากขวาไปซ้าย!

เป็นที่ชัดเจนว่าการเพิ่มโดยตรงเช่น 2 ยกกำลัง -3 หรือ 4 ยกกำลัง -3/2 ไม่เป็นอย่างนั้น ปัญหาใหญ่. สำหรับผู้รู้)

แต่ไปยกตัวอย่างทันทีว่า

0,125 = 2 -3

หรือ

ที่นี่เท่านั้นกฎการฝึกฝนและประสบการณ์อันยาวนานใช่ และแน่นอน มุมมองที่ชัดเจน เลขชี้กำลังลบและเศษส่วนคืออะไรเช่นเดียวกับ - คำแนะนำการปฏิบัติ! ใช่ ใช่ พวกนั้น เขียว.) ฉันหวังว่าพวกเขาจะยังช่วยให้คุณนำทางได้ดีขึ้นในทุกองศาที่หลากหลายและเพิ่มโอกาสในการประสบความสำเร็จของคุณอย่างมาก! ดังนั้นอย่าละเลยพวกเขา ฉันไม่ได้ไร้สาระ สีเขียวฉันเขียนบางครั้ง)

ในทางกลับกัน หากคุณกลายเป็น "คุณ" แม้จะมีพลังพิเศษอย่างเช่น ลบและเศษส่วน ความเป็นไปได้ของคุณในการแก้สมการเลขชี้กำลังจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก และคุณจะสามารถจัดการกับสมการเลขชี้กำลังเกือบทุกประเภทได้แล้ว ถ้าไม่มี งั้น 80 เปอร์เซ็นต์ของสมการเลขชี้กำลังทั้งหมด - แน่นอน! ใช่ฉันไม่ได้ล้อเล่น!

ดังนั้นส่วนแรกของความคุ้นเคยกับสมการเลขชี้กำลังจึงได้ข้อสรุปเชิงตรรกะ และในระหว่างการออกกำลังกาย ฉันขอแนะนำให้แก้ไขเล็กน้อยด้วยตัวเอง)

แบบฝึกหัดที่ 1

เพื่อให้คำพูดของฉันเกี่ยวกับการถอดรหัสองศาลบและเศษส่วนไม่ไร้ประโยชน์ฉันเสนอให้เล่นเกมเล็ก ๆ น้อย ๆ!

แสดงตัวเลขเป็นกำลังสอง:

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย):

เกิดขึ้น? ยอดเยี่ยม! จากนั้นเราก็ทำภารกิจการต่อสู้ - เราแก้สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายและสะดวกที่สุด!

ภารกิจที่ 2

แก้สมการ (คำตอบทั้งหมดเป็นระเบียบ!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

คำตอบ:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

เกิดขึ้น? แน่นอนง่ายกว่ามาก!

จากนั้นเราแก้เกมต่อไปนี้:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

คำตอบ:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

และตัวอย่างเหล่านี้เหลือ? ยอดเยี่ยม! คุณกำลังเติบโต! ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างเพิ่มเติมให้คุณทานเล่น:

คำตอบ:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

และตัดสินใจแล้ว? ครับ นับถือ! ฉันถอดหมวกออก) ดังนั้นบทเรียนจึงไม่ไร้ประโยชน์และระดับเริ่มต้นของการแก้สมการเลขชี้กำลังถือได้ว่าเป็นผู้เชี่ยวชาญที่ประสบความสำเร็จ ข้างหน้า - ระดับถัดไปและสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น! และเทคนิคและวิธีการใหม่ๆ และตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐาน และเซอร์ไพรส์ใหม่) ทั้งหมดนี้ - ในบทเรียนหน้า!

มีบางอย่างไม่ทำงาน? เป็นไปได้มากว่าปัญหาอยู่ใน. หรือใน. หรือทั้งสองอย่างพร้อมกัน ที่นี่ฉันไม่มีกำลัง ฉันสามารถเสนอสิ่งเดียวเท่านั้น - อย่าเกียจคร้านและเดินผ่านลิงก์)

ยังมีต่อ.)

อุปกรณ์:

คอมพิวเตอร์,
โปรเจ็กเตอร์มัลติมีเดีย,
หน้าจอ,
เอกสารแนบ 1(การนำเสนอภาพนิ่งใน PowerPoint) “วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลัง”
ภาคผนวก 2(การแก้สมการเช่น "สามฐานองศาที่แตกต่างกัน" ใน Word)
ภาคผนวก 3(เอกสารแจกใน Word for ฝึกงาน).
ภาคผนวก 4(เอกสารแจกใน Word สำหรับการบ้าน)

ระหว่างเรียน

1. เวทีองค์กร

ข้อความของหัวข้อบทเรียน (เขียนไว้บนกระดาน)
ความต้องการบทเรียนทั่วไปในเกรด 10-11:

ขั้นตอนการเตรียมนักเรียนสำหรับการดูดซึมความรู้

การทำซ้ำ

คำนิยาม.

สมการเลขชี้กำลังคือสมการที่มีตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง (นักเรียนตอบ)

บันทึกของครู สมการเลขชี้กำลังอยู่ในคลาสของสมการยอดเยี่ยม ชื่อที่ออกเสียงยากนี้บ่งชี้ว่าสมการดังกล่าว โดยทั่วไปแล้วจะไม่สามารถแก้ไขได้ในรูปของสูตร

สามารถแก้ไขได้โดยวิธีตัวเลขโดยประมาณบนคอมพิวเตอร์เท่านั้น แต่คำถามในการสอบล่ะ? เคล็ดลับทั้งหมดคือการที่ผู้ตรวจสอบเขียนปัญหาในลักษณะที่ยอมรับวิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณสามารถ (และควร!) ทำการแปลงที่เหมือนกันซึ่งลดสมการเลขชี้กำลังที่กำหนดให้เป็นสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด นี่คือสมการที่ง่ายที่สุดและเรียกว่า: สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด แก้ได้ ลอการิทึม.

สถานการณ์ที่มีการแก้สมการเลขชี้กำลังคล้ายกับการเดินทางผ่านเขาวงกต ซึ่งผู้รวบรวมปัญหาเป็นผู้คิดค้นขึ้นเป็นพิเศษ จากข้อพิจารณาทั่วไปเหล่านี้ คำแนะนำที่เฉพาะเจาะจงค่อนข้างจะตามมา

ในการแก้สมการเลขชี้กำลังได้สำเร็จ คุณต้อง:

1. ไม่เพียงแต่รู้เอกพจน์เลขชี้กำลังทั้งหมดอย่างแข็งขัน แต่ยังค้นหาชุดของค่าของตัวแปรที่กำหนดตัวตนเหล่านี้ เพื่อที่ว่าเมื่อใช้ข้อมูลประจำตัวเหล่านี้ เราจะไม่ได้รับรากที่ไม่จำเป็น และยิ่งกว่านั้น จะไม่สูญเสีย แก้สมการ

2. รู้อัตลักษณ์เลขชี้กำลังทั้งหมดอย่างแข็งขัน

3. ดำเนินการแปลงสมการทางคณิตศาสตร์ในรายละเอียดอย่างชัดเจนและปราศจากข้อผิดพลาด (ถ่ายโอนเงื่อนไขจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังส่วนอื่น อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม ฯลฯ) สิ่งนี้เรียกว่าวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ ในเวลาเดียวกัน การคำนวณด้วยตนเองควรทำโดยอัตโนมัติ และหัวหน้าควรคำนึงถึงหัวข้อทั่วไปของการแก้ปัญหา จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงอย่างระมัดระวังและละเอียดที่สุด วิธีนี้เท่านั้นที่จะรับประกันได้ว่าโซลูชันที่ถูกต้องและปราศจากข้อผิดพลาด และจำไว้ว่า: ความคลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์เพียงเล็กน้อยสามารถสร้างสมการเหนือธรรมชาติซึ่งตามหลักการแล้วไม่สามารถแก้ไขได้ในเชิงวิเคราะห์ ปรากฎว่าคุณหลงทางและวิ่งเข้าไปในกำแพงของเขาวงกต

4. รู้วิธีการแก้ปัญหา (นั่นคือ รู้เส้นทางทั้งหมดผ่านเขาวงกตของการแก้ปัญหา) สำหรับการวางแนวที่ถูกต้องในแต่ละขั้นตอน คุณจะต้อง (อย่างมีสติหรือสัญชาตญาณ!):

กำหนด ประเภทสมการ;
จำประเภทที่สอดคล้องกัน วิธีการแก้ปัญหางาน

ขั้นตอนการวางนัยทั่วไปและการจัดระบบของเนื้อหาที่ศึกษา

ครูร่วมกับนักเรียนโดยใช้คอมพิวเตอร์ ดำเนินการทบทวนภาพรวมของสมการเลขชี้กำลังทุกประเภทและวิธีการแก้สมการ และร่างโครงร่างทั่วไป (ใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ฝึกอบรมของ L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000" ผู้เขียนงานนำเสนอ PowerPoint คือ T.N. Kuptsova)

ข้าว. หนึ่ง.รูปแสดงโครงร่างทั่วไปของสมการเลขชี้กำลังทุกประเภท

ดังที่เห็นได้จากแผนภาพนี้ กลวิธีในการแก้สมการเลขชี้กำลังคือการลดสมการเลขชี้กำลังนี้เป็นสมการ อย่างแรกเลย ที่มีฐานเดียวกัน , แล้วก็ - และ ที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน

เมื่อได้สมการที่มีฐานและเลขชี้กำลังเท่ากัน คุณจึงแทนที่ดีกรีนี้ด้วยตัวแปรใหม่ แล้วได้สมการพีชคณิตอย่างง่าย (ปกติแล้วจะเป็นเศษส่วนตรรกยะหรือกำลังสอง) เทียบกับตัวแปรใหม่นี้

การแก้สมการนี้และการแทนที่แบบผกผัน คุณจะจบลงด้วยชุดสมการเลขชี้กำลังอย่างง่ายที่แก้ด้วยวิธีทั่วไปโดยใช้ลอการิทึม

สมการแยกจากกันซึ่งมีเฉพาะผลิตภัณฑ์ของอำนาจ (ส่วนตัว) เท่านั้นที่เกิดขึ้น การใช้ข้อมูลเฉพาะตัวแบบเลขชี้กำลัง เป็นไปได้ที่จะนำสมการเหล่านี้มาไว้ในฐานเดียวโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

พิจารณาวิธีการแก้สมการเลขชี้กำลังที่มีองศาฐานต่างกันสามฐาน

(ถ้าครูมีโปรแกรมคอมพิวเตอร์สอนโดย L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000" โดยปกติเราจะทำงานกับดิสก์ถ้าไม่ใช่คุณสามารถพิมพ์สมการประเภทนี้สำหรับแต่ละโต๊ะได้ดังแสดงด้านล่าง .)