Rovnice se nazývají exponenciální, pokud je neznámá obsažena v exponentu. Nejjednodušší exponenciální rovnice má tvar: a x \u003d a b, kde a> 0 a 1, x je neznámá.

Hlavní vlastnosti stupňů, s jejichž pomocí se transformují exponenciální rovnice: a>0, b>0.

Při rozhodování exponenciální rovnice používají také následující vlastnosti exponenciální funkce: y = a x , a > 0, a1:

Pro vyjádření čísla jako mocniny se používá základní logaritmická identita: b = , a > 0, a1, b > 0.

Úkoly a testy na téma "Exponenciální rovnice"

• exponenciální rovnice

  Lekce: 4 Úkoly: 21 Testy: 1

• exponenciální rovnice - Důležitá témata pro opakování zkoušky z matematiky

  Úkoly: 14

• Systémy exponenciálních a logaritmických rovnic - Exponenciální a logaritmické funkce 11. stupeň

  Lekce: 1 Úkoly: 15 Testy: 1

• §2.1. Řešení exponenciálních rovnic

  Lekce: 1 Úkoly: 27

• §7 Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice - Oddíl 5. Exponenciální a logaritmické funkce 10. stupeň

  Lekce: 1 Úkoly: 17

Chcete-li úspěšně vyřešit exponenciální rovnice, musíte znát základní vlastnosti mocnin, vlastnosti exponenciální funkce a základní logaritmickou identitu.

Při řešení exponenciálních rovnic se používají dvě hlavní metody:

1. přechod z rovnice a f(x) = a g(x) do rovnice f(x) = g(x);
2. zavedení nových linek.

Příklady.

1. Redukování rovnic na nejjednodušší. Řeší se přivedením obou stran rovnice k mocnině se stejným základem.

3x \u003d 9x - 2.

Řešení:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

Odpovědět: 4.

2. Rovnice řešené závorkou společného faktoru.

Řešení:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Odpovědět: 3.

3. Rovnice řešené změnou proměnné.

Řešení:

2 2x + 2x - 12 = 0
Označujeme 2 x \u003d y.
y2 + y-12 = 0
yi = -4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Rovnice nemá řešení, protože 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3; x = log 2 3.

Odpovědět: log 2 3.

4. Rovnice obsahující mocniny se dvěma různými (na sebe neredukovatelnými) bázemi.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 x 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Odpovědět: 2.

5. Rovnice, které jsou homogenní vzhledem k a x a b x .

Obecná forma: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Řešení:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Označme (3/2) x = y.
y 2 – 2,5 y + 1 \u003d 0,
yi = 2; y2 = ½.

Odpovědět: poleno 3/2 2; - log 3/2 2.

Řešení exponenciálních rovnic. Příklady.

Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří silně "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc...“)

Co exponenciální rovnice? Toto je rovnice, ve které jsou neznámé (x) a výrazy s nimi indikátory nějaké stupně. A jen tam! To je důležité.

Tady jsi příklady exponenciálních rovnic:

3 x 2 x = 8 x + 3

Poznámka! V základech stupňů (níže) - pouze čísla. V indikátory stupně (nahoře) - široká škála výrazů s x. Pokud se náhle v rovnici objeví x někde jinde než v indikátoru, například:

toto bude rovnice smíšeného typu. Takové rovnice nemají jasná pravidla pro řešení. Zatím o nich nebudeme uvažovat. Zde se budeme zabývat řešení exponenciálních rovnic ve své nejčistší podobě.

Ve skutečnosti ani čistě exponenciální rovnice nejsou vždy jasně vyřešeny. Existují však určité typy exponenciálních rovnic, které lze a měly by být vyřešeny. Toto jsou typy, na které se podíváme.

Řešení nejjednodušších exponenciálních rovnic.

Začněme něčím úplně základním. Například:

I bez jakékoli teorie je jednoduchým výběrem jasné, že x = 2. Nic víc, že!? Žádné další hody s hodnotou x. A nyní se podívejme na řešení této složité exponenciální rovnice:

Co jsme udělali? Ve skutečnosti jsme vyhodili stejné spodky (trojky). Úplně vyhozený. A co potěší, trefte se!

Ve skutečnosti, pokud v exponenciální rovnici nalevo a napravo jsou stejnýčísla v libovolném stupni, tato čísla mohou být odstraněna a rovná se exponenty. Matematika umožňuje. Zbývá vyřešit mnohem jednodušší rovnici. Je to dobré, ne?)

Připomeňme si však ironicky: základny můžete odstranit pouze tehdy, když jsou čísla základů vlevo a vpravo v nádherné izolaci! Bez jakýchkoliv sousedů a koeficientů. Řekněme v rovnicích:

2 x +2 x + 1 = 2 3, nebo

Nemůžete odstranit dvojníky!

No a to nejdůležitější jsme zvládli. Jak přejít od zlých exponenciálních výrazů k jednodušším rovnicím.

"Tady jsou ty časy!" - říkáš. "Kdo dá takový primitiv na kontrolu a zkoušky!?"

Nucený souhlasit. Nikdo nebude. Teď už ale víte, kam se obrátit při řešení matoucích příkladů. Je třeba si to připomenout, když stejné základní číslo je vlevo - vpravo. Pak bude vše jednodušší. Ve skutečnosti je to klasika matematiky. Vezmeme původní příklad a transformujeme jej na požadované nás mysl. Samozřejmě podle pravidel matematiky.

Zvažte příklady, které vyžadují další úsilí, abyste je přivedli k tomu nejjednoduššímu. Zavolejme jim jednoduché exponenciální rovnice.

Řešení jednoduchých exponenciálních rovnic. Příklady.

Při řešení exponenciálních rovnic platí hlavní pravidla akce s pravomocemi. Bez znalosti těchto akcí nebude nic fungovat.

K akcím s tituly je třeba přidat osobní pozorování a vynalézavost. Potřebujeme stejná základní čísla? Hledáme je tedy v příkladu v explicitní nebo zašifrované podobě.

Podívejme se, jak se to dělá v praxi?

Uveďme si příklad:

2 2x - 8x+1 = 0

První pohled na důvody. Oni... Jsou jiní! Dva a osm. Ale je příliš brzy na to se nechat odradit. Je čas si to připomenout

Dva a osm jsou příbuzní ve stupni.) Je docela možné zapsat:

8 x+1 = (2 3) x+1

Pokud si vzpomeneme na vzorec z akcí s pravomocemi:

(a n) m = a nm,

obecně to funguje skvěle:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Původní příklad vypadá takto:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Přenášíme 2 3 (x+1) doprava (nikdo nezrušil základní matematické akce!), dostaneme:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

To je prakticky vše. Odstranění základny:

Vyřešíme toto monstrum a dostaneme

Toto je správná odpověď.

V tomto příkladu nám pomohla znalost sil dvou. My identifikované v osmičce, zašifrovaná dvojka. Tato technika (šifrování společných důvodů pod různá čísla) je velmi oblíbená technika v exponenciálních rovnicích! Ano, dokonce i v logaritmech. Člověk musí být schopen rozpoznat mocniny jiných čísel v číslech. To je nesmírně důležité pro řešení exponenciálních rovnic.

Faktem je, že zvýšení libovolného čísla na jakoukoli mocninu není problém. Násobte, třeba i na kus papíru, a to je vše. Například každý může zvýšit 3 na pátou mocninu. 243 dopadne, pokud znáte násobilku.) Ale v exponenciálních rovnicích je mnohem častěji nutné nezvyšovat na mocninu, ale naopak ... jaké číslo v jakém rozsahu se skrývá za číslem 243, nebo řekněme 343... Tady vám žádná kalkulačka nepomůže.

Musíte znát mocniny některých čísel zrakem, ano... Zacvičíme si?

Určete, jaké mocniny a jaká čísla jsou čísla:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpovědi (v nepořádku, samozřejmě!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Když se podíváte pozorně, můžete vidět zvláštní skutečnost. Existuje více odpovědí než otázek! No, to se stává... Například 2 6 , 4 3 , 8 2 je všech 64.

Předpokládejme, že jste vzali na vědomí informaci o seznámení se s čísly.) Připomínám, že pro řešení exponenciálních rovnic platí celý zásoba matematických znalostí. Včetně nižších středních tříd. Nešel jsi rovnou na střední, že ne?

Například při řešení exponenciálních rovnic velmi často pomáhá uvedení společného činitele mimo závorky (ahoj do 7!). Podívejme se na příklad:

3 2x+4 -11 9 x = 210

A opět první pohled – na pozemek! Základy stupňů jsou různé... Tři a devět. A my chceme, aby byly stejné. No, v tomto případě je touha docela proveditelná!) Protože:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Podle stejných pravidel pro akce s tituly:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

To je skvělé, můžete napsat:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Ze stejných důvodů jsme uvedli příklad. Takže, co bude dál!? Trojky nelze vyhodit... Slepá ulička?

Vůbec ne. Pamatujte na nejuniverzálnější a nejmocnější rozhodovací pravidlo Všechno matematické úkoly:

Pokud nevíte, co dělat, dělejte, co můžete!

Vypadáš, všechno je tvořeno).

Co je v této exponenciální rovnici umět dělat? Ano, levá strana přímo žádá o závorky! Společný faktor 3 2x tomu jasně napovídá. Zkusíme a pak uvidíme:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Příklad je stále lepší a lepší!

Připomínáme, že k odstranění bází potřebujeme čistý stupeň, bez jakýchkoli koeficientů. Vadí nám číslo 70. Vydělíme tedy obě strany rovnice 70, dostaneme:

Op-pa! Všechno bylo v pořádku!

Toto je konečná odpověď.

Stává se však, že se dosáhne vyjíždění ze stejných důvodů, ale nikoli jejich likvidace. To se děje v exponenciálních rovnicích jiného typu. Vezměme tento typ.

Změna proměnné při řešení exponenciálních rovnic. Příklady.

Pojďme řešit rovnici:

4 x - 3 2 x +2 = 0

První - jako obvykle. Pojďme k základně. Na dvojku.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dostaneme rovnici:

2 2x - 3 2x +2 = 0

A tady budeme viset. Předchozí triky nebudou fungovat, ať to otočíte jakkoli. Budeme se muset dostat z arzenálu jiným mocným a všestranným způsobem. Jmenuje se to variabilní substituce.

Podstata metody je překvapivě jednoduchá. Místo jedné složité ikony (v našem případě 2 x) napíšeme jinou, jednodušší (například t). Taková zdánlivě nesmyslná náhrada vede k úžasným výsledkům!) Vše se stává jasným a srozumitelným!

Tak ať

Poté 2 2x \u003d 2x2 \u003d (2x) 2 \u003d t 2

V naší rovnici nahradíme všechny mocniny x za t:

No, svítá?) Ještě jste nezapomněli na kvadratické rovnice? Řešíme přes diskriminant, dostaneme:

Tady jde hlavně o to nepřestat, jak se to stává... Tohle ještě není odpověď, potřebujeme x, ne t. Vracíme se do Xs, tzn. provedení náhrady. Nejprve pro t 1:

to znamená,

Byl nalezen jeden kořen. Hledáme druhého z t 2:

Hm... Vlevo 2 x, Vpravo 1... Zádrhel? Ano, vůbec ne! Stačí si zapamatovat (z akcí s tituly ano ...), že jednota je žádnýčíslo na nulu. Žádný. Cokoli budete potřebovat, my to dáme. Potřebujeme dvojku. Prostředek:

To je vše. Mám 2 kořeny:

Toto je odpověď.

V řešení exponenciálních rovnic na konci se někdy získá nějaký trapný výraz. Typ:

Od sedmičky nefunguje dvojka přes jednoduchý stupeň. Nejsou příbuzní... Jak tady můžu být? Někdo může být zmatený ... Ale ten, kdo četl na tomto webu téma "Co je to logaritmus?" , jen se střídmě usmějte a zapište pevnou rukou naprosto správnou odpověď:

V úlohách "B" na zkoušce taková odpověď nemůže být. Je vyžadováno konkrétní číslo. Ale v úkolech "C" - snadno.

Tato lekce poskytuje příklady řešení nejběžnějších exponenciálních rovnic. Vyzdvihněme ten hlavní.

Praktické tipy:

1. Nejprve se podíváme na důvody stupně. Podívejme se, jestli se nedají udělat stejný. Zkusme to udělat aktivním používáním akce s pravomocemi. Nezapomeňte, že čísla bez x lze také proměnit v mocniny!

2. Snažíme se přivést exponenciální rovnici do tvaru, kdy je levá a pravá stejnýčísla v jakékoli míře. Používáme akce s pravomocemi a faktorizace. Co se dá spočítat na čísla – počítáme.

3. Pokud druhá rada nezabrala, zkusíme použít proměnnou substituci. Výsledkem může být snadno řešitelná rovnice. Nejčastěji - čtvercový. Nebo zlomkové, které se také zmenší na čtverec.

4. Pro úspěšné řešení exponenciálních rovnic je potřeba znát stupně některých čísel "od vidění".

Jako obvykle jste na konci lekce vyzváni, abyste něco málo vyřešili.) Na vlastní pěst. Od jednoduchých po složité.

Řešte exponenciální rovnice:

Obtížnější:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Najděte produkt kořenů:

2 3-x + 2 x = 9

Stalo?

No, pak ten nejsložitější příklad (je však vyřešen v mysli...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

co je zajímavější? Pak je tu pro vás špatný příklad. Docela táhne na zvýšenou obtížnost. Naznačím, že v tomto příkladu vynalézavost a nejvíce univerzální pravidlo všechny matematické problémy.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Příklad je jednodušší, pro relaxaci):

9 2 x - 4 3 x = 0

A jako dezert. Najděte součet kořenů rovnice:

x 3 x - 9 x + 7 3 x - 63 = 0

Ano ano! Toto je rovnice smíšeného typu! Což jsme v této lekci nezvažovali. A co za ně považovat, je třeba je vyřešit!) Tato lekce k vyřešení rovnice docela stačí. No, vynalézavost je potřeba ... A ano, sedmá třída vám pomůže (to je nápověda!).

Odpovědi (neuspořádané, oddělené středníky):

jeden; 2; 3; čtyři; neexistují žádná řešení; 2; -2; -5; čtyři; 0.

Je vše úspěšné? Vynikající.

Vyskytl se problém? Žádný problém! Ve zvláštní sekci 555 jsou všechny tyto exponenciální rovnice vyřešeny s podrobným vysvětlením. Co, proč a proč. A samozřejmě jsou zde další cenné informace o práci s nejrůznějšími exponenciálními rovnicemi. Nejen s těmito.)

Poslední zábavná otázka ke zvážení. V této lekci jsme pracovali s exponenciálními rovnicemi. Proč jsem tady neřekl ani slovo o ODZ? V rovnicích je to mimochodem velmi důležitá věc ...

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Co je to exponenciální rovnice? Příklady.

Takže exponenciální rovnice... Nový unikátní exponát na naší všeobecné výstavě široké škály rovnic!) Jako téměř vždy je klíčovým slovem každého nového matematického termínu odpovídající přídavné jméno, které jej charakterizuje. Takže i tady. klíčové slovo v termínu "exponenciální rovnice" je slovo "demonstrativní". Co to znamená? Toto slovo znamená, že neznámá (x) je pokud jde o jakýkoli stupeň. A jedině tam! To je nesmírně důležité.

Například takové jednoduché rovnice:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Nebo dokonce tyto příšery:

2 sin x = 0,5

Žádám vás, abyste okamžitě věnovali pozornost jedné důležité věci: in důvody stupně (dole) - pouze čísla. Ale v indikátory stupně (nahoře) - široká škála výrazů s x. Naprosto libovolné.) Vše závisí na konkrétní rovnici. Pokud najednou x vyjde v rovnici někde jinde, kromě indikátoru (řekněme 3 x \u003d 18 + x 2), pak taková rovnice již bude rovnicí smíšený typ. Takové rovnice nemají jasná pravidla pro řešení. Proto je v této lekci nebudeme uvažovat. K radosti studentů.) Zde budeme uvažovat pouze exponenciální rovnice v "čisté" podobě.

Obecně řečeno, ani čistě exponenciální rovnice nejsou jasně vyřešeny ve všech případech a ne vždy. Ale mezi bohatou škálou exponenciálních rovnic existují určité typy, které lze a měly by být vyřešeny. Právě tyto typy rovnic s vámi zvážíme. A příklady určitě vyřešíme.) Takže se pohodlně usadíme a - na cestu! Stejně jako v počítačových „střílečkách“ bude naše cesta procházet úrovněmi.) Od základních po jednoduché, od jednoduchých po střední a od středních po složité. Cestou vás bude čekat i tajný level – triky a metody řešení nestandardních příkladů. Ty, o kterých se ve většině školních učebnic nedočtete... No a na konci vás samozřejmě čeká závěrečný boss v podobě domácích úkolů.)

Úroveň 0. Jaká je nejjednodušší exponenciální rovnice? Řešení nejjednodušších exponenciálních rovnic.

Pro začátek se podívejme na některé upřímné elementární. Někde začít musíte, ne? Například tato rovnice:

2 x = 2 2

I bez jakýchkoliv teorií, jednoduchou logikou a zdravým rozumem je jasné, že x = 2. Jinak to nejde, ne? Žádná jiná hodnota x není dobrá... Nyní se podívejme na rozhodovací vstup tato skvělá exponenciální rovnice:

2 x = 2 2

X = 2

Co se nám stalo? A stalo se následující. Ve skutečnosti jsme vzali a... prostě vyhodili stejné základny (dvě)! Úplně vyhozený. A co je libo, trefit se!

Ano, skutečně, pokud jsou v exponenciální rovnici vlevo a vpravo stejnýčísla v libovolném stupni, pak lze tato čísla zahodit a jednoduše dát exponenty rovnítko. Matematika umožňuje.) A pak můžete samostatně pracovat s indikátory a řešit mnohem jednodušší rovnici. Je to skvělé, že?

Zde je klíčová myšlenka řešení jakékoli (ano, přesně jakékoli!) exponenciální rovnice: pomocí identických transformací je nutné zajistit, aby levá a pravá v rovnici byla stejný základní čísla v různých stupních. A pak můžete bezpečně odstranit stejné základy a přirovnat exponenty. A pracovat s jednodušší rovnicí.

A teď si pamatujeme železné pravidlo: je možné odstranit stejné základy právě tehdy, když v rovnici nalevo a napravo jsou základní čísla v hrdé osamělosti.

Co to znamená v nádherné izolaci? To znamená bez jakýchkoli sousedů a koeficientů. vysvětluji.

Například v rovnici

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Nemůžete odstranit trojčata! Proč? Protože nalevo nemáme jen osamělou trojku stupně, ale práce 3 3 x-5. Do cesty vám překáží další trojka: koeficient, rozumíte.)

Totéž lze říci o rovnici

5 3 x = 5 2 x +5 x

I zde jsou všechny základy stejné – pět. Ale napravo nemáme ani jeden stupeň pět: je tam součet stupňů!

Stručně řečeno, máme právo odstranit stejné základy pouze tehdy, když naše exponenciální rovnice vypadá takto a pouze takto:

AF (X) = g (X)

Tento typ exponenciální rovnice se nazývá nejjednodušší. Nebo vědecky, kanonický . A ať už ta pokroucená rovnice před námi může být, tak či onak, zredukujeme ji do takové jednoduché (kanonické) podoby. Nebo v některých případech na agregáty rovnic tohoto druhu. Pak může být naše nejjednodušší rovnice obecný pohled přepsat takto:

F(x) = g(x)

A to je vše. Toto bude ekvivalentní transformace. Zároveň lze jako f(x) a g(x) použít naprosto jakékoli výrazy s x. To je jedno.

Možná se zvláště zvídavý student zeptá: proč proboha tak snadno a jednoduše zahazujeme stejné základy vlevo a vpravo a dáváme rovnítko mezi exponenty? Intuice je intuice, ale najednou se v nějaké rovnici a z nějakého důvodu tento přístup ukáže jako špatný? Je vždy legální házet stejné základy? Bohužel za rigorózní matematickou odpověď na toto zájem Zeptejte se musíte se hluboce a vážně ponořit do obecné teorie struktury a chování funkcí. A trochu konkrétněji – ve fenoménu přísná monotónnost. Zejména přísná monotónnost exponenciální funkcey= a x. Vzhledem k tomu, že právě exponenciální funkce a její vlastnosti jsou základem řešení exponenciálních rovnic, ano.) Podrobná odpověď na tuto otázku bude uvedena v samostatné speciální lekci věnované řešení složitých nestandardních rovnic s využitím monotonie různých funkcí.)

Vysvětlit tento bod podrobně nyní znamená pouze vyjmout mozek průměrného školáka a předem ho vyděsit suchou a těžkou teorií. Tohle neudělám.) Pro naši hlavní tento momentúkol - Naučte se řešit exponenciální rovnice!Úplně nejjednodušší! Proto, dokud se nezapotíme a směle vyhodíme stejné důvody. to umět, vezmi na slovo!) A pak už řešíme ekvivalentní rovnici f (x) = g (x). Zpravidla je jednodušší než původní exponenciála.

Předpokládá se samozřejmě, že lidé již umí řešit minimálně , a rovnice, již bez x v ukazatelích.) Kdo ještě neví jak, klidně zavřete tuto stránku, projděte se po příslušných odkazech a vyplňte staré mezery. Jinak to budeš mít těžké, ano...

O iracionálních, trigonometrických a jiných brutálních rovnicích, které se také mohou objevit v procesu odstraňování bází, mlčím. Ale nelekejte se, zatím nebudeme uvažovat o upřímném cínu ve stupních: je příliš brzy. Budeme trénovat pouze na nejjednodušších rovnicích.)

Nyní zvažte rovnice, které vyžadují určité dodatečné úsilí k jejich redukci na nejjednodušší. Abychom je odlišili, říkejme jim jednoduché exponenciální rovnice. Pojďme tedy na další úroveň!

Úroveň 1. Jednoduché exponenciální rovnice. Rozpoznejte tituly! přirozené ukazatele.

Klíčová pravidla při řešení jakýchkoli exponenciálních rovnic jsou pravidla pro nakládání s tituly. Bez těchto znalostí a dovedností nebude fungovat nic. Běda. Takže pokud jsou problémy s tituly, pak jste pro začátek vítáni. Kromě toho potřebujeme také . Tyto transformace (až dvě!) jsou základem pro řešení všech rovnic matematiky obecně. A nejen vitríny. Takže kdo zapomněl, projděte se také na odkazu: Oblékl jsem si je z nějakého důvodu.

Ale pouze akce se silami a identickými transformacemi nestačí. Vyžaduje také osobní pozorování a vynalézavost. Potřebujeme stejné důvody, ne? Zkoumáme tedy příklad a hledáme je v explicitní nebo skryté podobě!

Například tato rovnice:

3 2x – 27x +2 = 0

První pohled na důvody. Jsou rozdílní! Tři a dvacet sedm. Na paniku a propadnutí zoufalství je ale příliš brzy. Je čas si to připomenout

27 = 3 3

Čísla 3 a 27 jsou stupněm příbuzné! Navíc, příbuzní.) Proto máme plné právo zapsat:

27 x +2 = (3 3) x+2

A nyní propojujeme naše znalosti o akce s pravomocemi(a varoval jsem tě!). Existuje takový velmi užitečný vzorec:

(am) n = a mn

Nyní, když to spustíte v kurzu, obecně to dopadne dobře:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

Původní příklad nyní vypadá takto:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

Skvělé, základy stupňů se srovnaly. O co jsme usilovali. Polovina práce je hotová.) A nyní spustíme základní transformaci identity – přeneseme 3 3 (x +2) doprava. Nikdo nezrušil základní akce matematiky, ano.) Dostáváme:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Co nám dává tento druh rovnice? A skutečnost, že nyní je naše rovnice redukována do kanonické podoby: vlevo a vpravo jsou stejná čísla (trojice) v mocninách. A obě trojčata - v nádherné izolaci. Odvážně odstraníme trojčata a získáme:

2x = 3(x+2)

Vyřešíme to a dostaneme:

X = -6

To je všechno. Toto je správná odpověď.)

A nyní chápeme průběh rozhodnutí. Co nás v tomto příkladu zachránilo? Zachránila nás znalost stupňů trojky. jak přesně? My identifikovanéčíslo 27 zašifrované tři! Tento trik (kódování stejného základu pod různými čísly) je jedním z nejoblíbenějších v exponenciálních rovnicích! Pokud není nejoblíbenější. Ano a mimochodem také. Proto je v exponenciálních rovnicích tak důležité pozorování a schopnost rozpoznávat mocniny jiných čísel v číslech!

Praktické rady:

Musíte znát mocniny populárních čísel. V obličeji!

Samozřejmě, každý může zvýšit dvě na sedmou mocninu nebo tři na pátou. Nemyslím, tak alespoň na draftu. Ale v exponenciálních rovnicích je mnohem častěji potřeba nezvyšovat na mocninu, ale naopak zjistit, jaké číslo a do jaké míry se skrývá za číslem řekněme 128 nebo 243. A to už je více komplikovanější než jednoduché umocňování, viďte. Pociťte ten rozdíl, jak se říká!

Vzhledem k tomu, že schopnost rozpoznávat stupně v obličeji je užitečná nejen na této úrovni, ale i na následujících, máme pro vás malý úkol:

Určete, jaké mocniny a jaká čísla jsou čísla:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Odpovědi (samozřejmě rozptýlené):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ano ano! Nedivte se, že odpovědí je více než úkolů. Například 2 8, 4 4 a 16 2 jsou všechny 256.

Úroveň 2. Jednoduché exponenciální rovnice. Rozpoznejte tituly! Záporné a zlomkové exponenty.

Na této úrovni již využíváme naše znalosti titulů naplno. Konkrétně do tohoto fascinujícího procesu zapojujeme negativní a zlomkové ukazatele! Ano ano! Musíme vybudovat moc, že?

Například tato hrozná rovnice:

Opět se nejprve podívejte na základy. Základy jsou různé! A tentokrát si nejsou ani vzdáleně podobné! 5 a 0,04... A k odstranění bází jsou potřeba ty samé... Co dělat?

To je v pořádku! Ve skutečnosti je vše při starém, akorát spojení mezi pětkou a 0,04 je vizuálně špatně viditelné. Jak se dostaneme ven? A přejděme k obvyklému zlomku v čísle 0,04! A tam, jak vidíte, se vše tvoří.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Páni! Ukázalo se, že 0,04 je 1/25! No, kdo by si to pomyslel!)

No, jak? Nyní je spojení mezi čísly 5 a 1/25 lépe vidět? Tak to je...

A nyní, podle pravidel operací s pravomocemi s negativní ukazatel lze napsat pevnou rukou:

To je skvělé. Tak jsme se dostali na stejnou základnu – pět. Nyní nahradíme nepříjemné číslo 0,04 v rovnici 5 -2 a dostaneme:

Opět, podle pravidel operací s pravomocemi, můžeme nyní psát:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Pro každý případ připomínám (najednou, kdo neví), že základní pravidla akce s pravomocemi platí pro žádný ukazatele! Včetně negativních.) Takže klidně vezměte a vynásobte ukazatele (-2) a (x-1) podle odpovídajícího pravidla. Naše rovnice je stále lepší a lepší:

Všechno! Kromě osamělých pětek ve stupních vlevo a vpravo není nic jiného. Rovnice je redukována na kanonickou formu. A pak - po rýhované dráze. Odstraníme pětky a přirovnáme ukazatele:

X 2 –6 X+5=-2(X-1)

Příklad je téměř hotový. Základní matematika středních tříd zůstává - otevíráme (správně!) závorky a shromažďujeme vše vlevo:

X 2 –6 X+5 = -2 X+2

X 2 –4 X+3 = 0

Vyřešíme to a dostaneme dva kořeny:

X 1 = 1; X 2 = 3

To je vše.)

Teď se zamysleme znovu. V tomto příkladu jsme opět museli rozpoznat stejné číslo v různé míře! Totiž vidět zašifrovanou pětku v čísle 0,04. A tentokrát v záporný stupeň! jak jsme to dokázali? V pohybu - v žádném případě. Ale po přechodu z desetinného zlomku 0,04 na obyčejný zlomek 1/25 se vše zvýraznilo! A pak celé rozhodnutí šlo jako po másle.)

Proto další zelená praktická rada.

Pokud jsou v exponenciální rovnici desetinné zlomky, pak přejdeme od desetinných zlomků k obyčejným. V obyčejných zlomcích je mnohem snazší rozpoznat mocniny mnoha populárních čísel! Po rozpoznání přejdeme od zlomků k mocninám se zápornými exponenty.

Mějte na paměti, že k takové fintě v exponenciálních rovnicích dochází velmi, velmi často! A osoba není v předmětu. Podívá se třeba na čísla 32 a 0,125 a rozčílí se. Není mu známo, že se jedná o stejnou dvojku, jen v různé míry… Ale vy už jste v předmětu!)

Řešte rovnici:

V! Vypadá to jako tichý horor... Zdání však klame. Toto je nejjednodušší exponenciální rovnice, přestože je děsivá vzhled. A teď vám to ukážu.)

Nejprve se zabýváme všemi čísly sedícími v základech a v koeficientech. Evidentně jsou jiní, to ano. Ale stále to riskujeme a snažíme se je vyrobit stejný! Zkusme se dostat stejné číslo v různých stupních. A nejlépe počet co nejmenší. Začněme tedy dešifrovat!

Se čtyřmi najednou je vše jasné - je to 2 2 . Tak už něco.)

Se zlomkem 0,25 - to ještě není jasné. Nutno zkontrolovat. Používáme praktické rady – přejděte od desítkové k obyčejné:

0,25 = 25/100 = 1/4

Už mnohem lepší. Prozatím je již jasně vidět, že 1/4 je 2 -2. Skvělé a číslo 0,25 je také podobné dvojce.)

Zatím je vše dobré. Ale nejhorší číslo ze všech zůstává - odmocnina ze dvou! Co dělat s touto paprikou? Může být také znázorněn jako mocnina dvou? A kdo ví...

No a zase lezeme do naší pokladnice znalostí o titulech! Tentokrát navíc propojujeme naše znalosti o kořenech. Od průběhu 9. třídy jsme museli snášet, že každý kořen, je-li to žádoucí, lze vždy proměnit v titul se zlomkem.

Takhle:

V našem případě:

Jak! Ukazuje se, že druhá odmocnina ze dvou je 2 1/2. A je to!

To je v pořádku! Všechna naše nepohodlná čísla se ve skutečnosti ukázala jako zašifrovaná dvojka.) Nehádám se, někde velmi sofistikovaně zašifrované. Ale také zvyšujeme profesionalitu při řešení takových šifer! A pak už je vše zřejmé. Čísla 4, 0,25 a odmocninu ze dvou v naší rovnici nahradíme mocninou dvou:

Všechno! Základy všech stupňů v příkladu se staly stejnými - dvěma. A nyní se používají standardní akce se stupni:

a ma n = a m + n

a m:a n = a m-n

(am) n = a mn

Pro levou stranu dostanete:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2 (5 x -16)

Pro pravou stranu bude:

A teď naše zlá rovnice začala vypadat takto:

Pro ty, kteří nepřišli na to, jak přesně tato rovnice dopadla, pak otázka není o exponenciálních rovnicích. Otázka se týká akcí s pravomocemi. Žádal jsem naléhavě, abych to zopakoval těm, kteří mají problémy!

Tady je cílová čára! Získá se kanonický tvar exponenciální rovnice! No, jak? Přesvědčil jsem vás, že to není tak děsivé? ;) Odstraňujeme dvojky a srovnáváme indikátory:

Zbývá pouze vyřešit tuto lineární rovnici. Jak? Samozřejmě s pomocí identických transformací.) Vyřešte, co už tam je! Vynásobte obě části dvěma (pro odstranění zlomku 3/2), posuňte členy s Xs doleva, bez Xs doprava, přineste jedničky, počítejte – a budete šťastní!

Všechno by mělo krásně dopadnout:

X=4

Nyní si rozhodnutí rozmyslete. V tomto příkladu nás zachránil přechod z odmocnina na stupně s exponentem 1/2. Navíc jen taková mazaná transformace nám všude pomohla dosáhnout stejného základu (dvojky), což zachránilo situaci! A nebýt toho, pak bychom měli šanci navždy zamrznout a nikdy se s tímto příkladem nevyrovnat, ano ...

Proto nezanedbáváme následující praktické rady:

Jsou-li v exponenciální rovnici odmocniny, pak přejdeme od odmocnin k mocninám se zlomkovými exponenty. Velmi často pouze taková proměna objasní další situaci.

Samozřejmě, záporné a zlomkové mocniny jsou již mnohem obtížnější. přirozené stupně. Alespoň co se týče zrakového vnímání a hlavně rozpoznávání zprava doleva!

Je jasné, že přímé zvýšení např. dvojky na mocninu -3 nebo čtyřky na mocninu -3/2 tomu tak není. velký problém. Pro ty, kteří vědí.)

Ale jděte třeba hned si to uvědomte

0,125 = 2 -3

Nebo

Tady vládne jen praxe a bohaté zkušenosti, ano. A samozřejmě jasný výhled, Co je záporný a zlomkový exponent. Stejně jako - praktické rady! Ano, ano, ty zelená.) Doufám, že vám přesto pomohou se lépe orientovat ve všech těch pestrých stupních a výrazně zvýší vaše šance na úspěch! Nezanedbejme je tedy. Nejsem nadarmo v zeleném Občas píšu.)

Na druhou stranu, pokud se stanete „vy“ i s tak exotickými mocnostmi, jako je záporná a zlomková, pak se vaše možnosti v řešení exponenciálních rovnic ohromně rozšíří a budete již schopni zvládnout téměř jakýkoli typ exponenciálních rovnic. No, když ne žádné, tak 80 procent všech exponenciálních rovnic – určitě! Ano, ano, nekecám!

Takže naše první část seznámení s exponenciálními rovnicemi dospěla k logickému závěru. A jako mezitrénink tradičně navrhuji vyřešit trochu po svém.)

Cvičení 1.

Aby moje slova o dešifrování záporných a zlomkových stupňů nebyla marná, navrhuji zahrát si malou hru!

Vyjádřete číslo jako mocninu dvou:

Odpovědi (v nepořádku):

Stalo? Vynikající! Pak uděláme bojovou misi - vyřešíme ty nejjednodušší a jednoduché exponenciální rovnice!

Úkol 2.

Řešte rovnice (všechny odpovědi jsou nepořádek!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Odpovědi:

x=16

X 1 = -1; X 2 = 2

X = 5

Stalo? Opravdu, mnohem jednodušší!

Poté vyřešíme následující hru:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Odpovědi:

X 1 = -2; X 2 = 2

X = 0,5

X 1 = 3; X 2 = 5

A tyto příklady jednoho vlevo? Vynikající! Rostete! Pak je tu pro vás několik dalších příkladů k zakousnutí:

Odpovědi:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; X 2 = 8/3

A je rozhodnuto? No, respekt! Smekám klobouk.) Poučení tedy nebylo marné a počáteční úroveň řešení exponenciálních rovnic lze považovat za úspěšně zvládnutou. Vpřed - další úrovně a složitější rovnice! A nové techniky a přístupy. A nestandardní příklady. A nová překvapení.) To vše - v příští lekci!

Něco nefungovalo? Problémy jsou tedy s největší pravděpodobností v . Nebo v . Nebo obojí zároveň. Tady jsem bezmocný. Opět mohu nabídnout jediné - nebuďte líní a projděte si odkazy.)

Pokračování příště.)

exponenciální rovnice. Jak víte, USE zahrnuje jednoduché rovnice. Některé jsme již zvažovali - jsou to logaritmické, trigonometrické, racionální. Zde jsou exponenciální rovnice.

V nedávném článku jsme pracovali s exponenciálními výrazy, bude se to hodit. Samotné rovnice jsou řešeny jednoduše a rychle. Vyžaduje se pouze znalost vlastností exponentů a ... O tomDále.

Uvádíme vlastnosti exponentů:

Nulová mocnina libovolného čísla je rovna jedné.

Důsledek této vlastnosti:

Ještě trochu teorie.

Exponenciální rovnice je rovnice obsahující proměnnou v exponentu, to znamená, že tato rovnice má tvar:

F(X) výraz, který obsahuje proměnnou

Metody řešení exponenciálních rovnic

1. V důsledku transformací lze rovnici zredukovat do tvaru:

Poté aplikujeme vlastnost:

2. Při získávání rovnice tvaru a f (X) = b když použijeme definici logaritmu, dostaneme:

3. V důsledku transformací můžete získat rovnici ve tvaru:

Logaritmus se použije:

Vyjádřete a najděte x.

V úkolech POUŽÍVEJTE možnosti bude stačit použít první metodu.

To znamená, že je nutné znázornit levou a pravou část jako stupně se stejnou základnou a poté srovnáme ukazatele a vyřešíme obvyklou lineární rovnici.

Zvažte rovnice:

Najděte kořen rovnice 4 1-2x = 64.

Je nutné se ujistit, že levá a pravá část jsou exponenciální výrazy s jednou základnou. 64 můžeme vyjádřit jako 4 na mocninu 3. Dostaneme:

4 1–2x = 4 3

1-2x = 3

- 2x = 2

x = - 1

Zkouška:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Odpověď: -1

Najděte kořen rovnice 3 x-18 = 1/9.

Je známo že

Takže 3 x-18 = 3-2

Základy jsou stejné, můžeme srovnat ukazatele:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

Zkouška:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Odpověď: 16

Najděte kořen rovnice:

Představme zlomek 1/64 jako čtvrtinu až třetí mocninu:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Zkouška:

Odpověď: 11

Najděte kořen rovnice:

Představme si 1/3 jako 3 -1 a 9 jako 3 na druhou, dostaneme:

(3–1) 8–2x = 3 2

3–1∙(8–2х) = 3 2

3-8 + 2x \u003d 3 2

Nyní můžeme porovnat ukazatele:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Zkouška:

Odpověď: 5

26654. Najděte kořen rovnice:

Řešení:

Odpověď: 8,75

Vskutku, do jakékoli míry, kterou povýšíme kladné číslo a, neexistuje způsob, jak získat záporné číslo.

Jakákoli exponenciální rovnice po vhodných transformacích se redukuje na řešení jedné nebo více jednoduchých.V této části se také budeme zabývat řešením některých rovnic, nenechte si to ujít!To je vše. Hodně štěstí!

S pozdravem Alexander Krutitskikh.

P.S: Byl bych vděčný, kdybyste o webu řekli na sociálních sítích.

V tomto článku se seznámíte se všemi typy exponenciální rovnice a algoritmy pro jejich řešení, naučit se rozeznávat jaký typ exponenciální rovnice, který potřebujete vyřešit, a k jeho vyřešení použijte vhodnou metodu. Podrobné řešení příkladů exponenciální rovnice každý typ si můžete prohlédnout v odpovídajících VIDEONÁVODY.

Exponenciální rovnice je rovnice, ve které je neznámá obsažena v exponentu.

Než začnete řešit exponenciální rovnici, je užitečné udělat několik předběžné opatření , což může značně usnadnit průběh jejího řešení. Jedná se o tyto akce:

1. Faktorizujte všechny mocniny na prvočinitele.

2. Prezentujte kořeny jako stupeň.

3. Desetinná čísla reprezentovat ve formě obyčejného.

4. smíšená čísla pište jako nepravé zlomky.

Výhody těchto akcí si uvědomíte v procesu řešení rovnic.

Zvažte hlavní typy exponenciální rovnice a algoritmy pro jejich řešení.

1. Zadejte rovnici

Tato rovnice je ekvivalentní rovnici

Podívejte se na toto VIDEO a vyřešte rovnici tohoto typu.

2. Zadejte rovnici

V rovnicích tohoto typu:

b) koeficienty pro neznámou v exponentu se rovnají.

Chcete-li vyřešit tuto rovnici, musíte násobitel umístit do závorky na nejmenší stupeň.

Příklad řešení rovnice tohoto typu:

podívejte se na VIDEO.

3. Zadejte rovnici

V tom se tyto typy rovnic liší

a) všechny stupně mají stejný základ

b) koeficienty pro neznámou v exponentu jsou různé.

Rovnice tohoto typu jsou řešeny pomocí změny proměnných. Před zavedením náhrady je žádoucí zbavit se volných členů v exponentu. (, , atd)

Na řešení tohoto typu rovnic se podívejte ve VIDEU:

4. Homogenní rovnice druh

Charakteristické rysy homogenních rovnic:

a) všechny monomiály mají stejný stupeň,

b) volný termín se rovná nule,

c) rovnice obsahuje mocniny se dvěma různými bázemi.

Homogenní rovnice jsou řešeny podobným algoritmem.

Chcete-li vyřešit tento typ rovnice, vydělte obě strany rovnice (lze podělit nebo )

Pozornost! Při dělení pravé a levé strany rovnice výrazem obsahujícím neznámou můžete přijít o kořeny. Proto je nutné zkontrolovat, zda kořeny výrazu, kterým dělíme obě části rovnice, jsou kořeny původní rovnice.

V našem případě, protože výraz není roven nule pro žádné neznámé hodnoty, můžeme jím bez obav dělit. Tímto výrazem rozdělíme levou stranu rovnice člen po členu. Dostaneme:

Zmenšete čitatele a jmenovatele druhého a třetího zlomku:

Představme si náhradu:

A title="(!LANG:t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

Dostat kvadratická rovnice:

Vyřešte kvadratickou rovnici, najděte hodnoty, které splňují podmínku title="(!LANG:t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Podrobné řešení homogenní rovnice najdete ve VIDEO LEKCI:

5. Zadejte rovnici

Při řešení této rovnice budeme vycházet z toho, že title="(!LANG:f(x)>0">!}

Původní rovnost platí ve dvou případech:

1. Pokud , protože 1 se rovná 1 jakékoli mocnině,

2. Za dvou podmínek:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Podívejte se na VIDEO na podrobné řešení rovnice