Algebra třída 11

Téma: "Metody řešení logaritmických rovnic"

Cíle lekce:

vzdělávací: budování znalostí o různé způsobyřešení logaritmických rovnic, schopnost je aplikovat v každé konkrétní situaci a zvolit libovolnou metodu řešení;

rozvíjející se: rozvoj dovedností pozorovat, porovnávat, aplikovat znalosti v nové situaci, identifikovat vzorce, zobecňovat; formování dovedností vzájemné kontroly a sebekontroly;

vzdělávací: výchova odpovědného přístupu k výchovné práci, pečlivé vnímání látky v hodině, přesnost vedení záznamů.

Typ lekce : lekce seznamování s novým materiálem.

"Vynález logaritmů tím, že zkrátil práci astronoma, prodloužil jeho život."
Francouzský matematik a astronom P.S. Laplace

Během vyučování

I. Stanovení cíle lekce

Prostudovaná definice logaritmu, vlastnosti logaritmů a logaritmická funkce nám umožní řešit logaritmické rovnice. Všechny logaritmické rovnice, bez ohledu na to, jak složité jsou, se řeší pomocí stejných algoritmů. Tyto algoritmy budeme zvažovat dnes v lekci. Je jich málo. Pokud je zvládnete, pak bude pro každého z vás proveditelná jakákoli rovnice s logaritmy.

Napište si do sešitu téma lekce: "Metody řešení logaritmických rovnic." Zvu všechny ke spolupráci.

II. Aktualizace základních znalostí

Připravme se na studium tématu lekce. Každou úlohu vyřešíte a odpověď zapíšete, podmínku napsat nemůžete. Pracovat v párech.

1) Pro jaké hodnoty x má funkce smysl:

A)

b)

v)

E)

(Odpovědi jsou kontrolovány pro každý snímek a jsou vytříděny chyby)

2) Shodují se grafy funkcí?

a) y = x a

b)a

3) Přepište rovnosti jako logaritmické rovnosti:

4) Zapište čísla jako logaritmy se základem 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Vypočítejte :

6) Pokuste se obnovit nebo doplnit chybějící prvky v těchto rovnosti.

III. Úvod do nového materiálu

Výpis se zobrazí na obrazovce:

"Rovnice je zlatý klíč, který odemyká veškerý matematický sezam."
Moderní polský matematik S. Koval

Pokuste se formulovat definici logaritmické rovnice. (Rovnice obsahující neznámou pod znaménkem logaritmu ).

Zvážitnejjednodušší logaritmická rovnice: log A x = b (kde a>0, a ≠ 1). Protože logaritmická funkce na množině roste (nebo klesá). kladná čísla a nabývá všech reálných hodnot, pak z kořenové věty plyne, že pro libovolné b má tato rovnice a navíc pouze jedno řešení, a to kladné.

Pamatujte na definici logaritmu. (Logaritmus čísla x k základu a je exponent, na který musí být základ a zvýšen, abychom dostali číslo x ). Z definice logaritmu okamžitě vyplývá, žeA v je takové řešení.

Napište název:Metody řešení logaritmických rovnic

1. Podle definice logaritmu .

Takto vypadají nejjednodušší rovnice tvaru.

Zvážitč. 514(a ): Vyřešte rovnici

Jak to navrhujete řešit? (Podle definice logaritmu )

Řešení . , tedy 2x - 4 = 4; x = 4.

Odpověď: 4.

V této úloze 2x - 4 > 0, od> 0, takže se nemohou objevit žádné cizí kořeny aověření není nutné . Podmínku 2x - 4 > 0 v této úloze není nutné vypisovat.

2. Potenciace (přechod od logaritmu daného výrazu k tomuto výrazu samotnému).

Zvážitč. 519(g): log 5 ( X 2 +8)- log 5 ( X+1)=3 log 5 2

Jaké funkce jste si všimli?(Základy jsou stejné a logaritmy obou výrazů jsou stejné) . co se dá dělat?(potenciovat).

V tomto případě je třeba vzít v úvahu, že jakékoli řešení je obsaženo mezi všemi x, pro které jsou logaritmické výrazy kladné.

Řešení: ODZ:

X 2 +8>0 nerovnost navíc

log 5 ( X 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( X+1)

log 5 ( X 2 +8)= log 5 (8 X+8)

Zesilujte původní rovnici

X 2 +8= 8 X+8

dostaneme rovniciX 2 +8= 8 X+8

Pojďme to vyřešit:X 2 -8 X=0

x=0, x=8

Odpověď: 0; osm

Obecněpřechod na ekvivalentní systém :

Rovnice

(Systém obsahuje nadbytečnou podmínku – jednu z nerovností lze ignorovat).

Otázka do třídy : Které z těchto tří řešení se vám nejvíce líbilo? (Diskuse o metodách).

Máte právo se jakýmkoli způsobem rozhodnout.

3. Zavedení nové proměnné .

Zvážitč. 520(g) . .

čeho sis všiml? (to kvadratická rovnice vzhledem k log3x) Tvoje návrhy? (Zavést novou proměnnou)

Řešení . ODZ: x > 0.

Nechat, pak rovnice bude mít tvar:. Diskriminant D > 0. Odmocniny podle Vietovy věty:.

Zpět k výměně:nebo.

Řešením nejjednodušších logaritmických rovnic dostaneme:

; .

Odpovědět : 27;

4. Logaritmus obou stran rovnice.

Řešte rovnici:.

Řešení : ODZ: x>0, vezmeme logaritmus obou stran rovnice v základu 10:

. Použijte vlastnost logaritmu stupně:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Nechť lgx = y, pak (y + 3)y = 4

, (D > 0) kořeny podle Vietovy věty: y1 = -4 a y2 = 1.

Vraťme se k nahrazení, dostaneme: lgx = -4,; logx = 1,. . Je to následovně: pokud jedna z funkcí y = f(x) zvyšuje a další y = g(x) klesá na intervalu X, pak rovnice f(x)=g(x) má nejvýše jeden kořen na intervalu X .

Pokud existuje kořen, lze jej uhodnout. .

Odpovědět : 2

„Správné aplikaci metod se lze naučit,
pouze jejich aplikací na různé příklady.
Dánský historik matematiky G. G. Zeiten

já proti. Domácí práce

S. 39 zvažte příklad 3, řešte č. 514 (b), č. 529 (b), č. 520 (b), č. 523 (b)

V. Shrnutí lekce

Jaké metody řešení logaritmických rovnic jsme v lekci uvažovali?

V dalších lekcích se podíváme na složitější rovnice. K jejich řešení jsou užitečné studované metody.

Zobrazuje se poslední snímek:

„Co je víc než cokoli na světě?
Prostor.
Co je nejmoudřejší?
Čas.
Co je nejpříjemnější?
Dosáhni toho, co chceš."
Thales

Chci, aby každý dosáhl toho, co chce. Děkujeme za spolupráci a pochopení.

Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a nadcházejících událostech.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě potřeby - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí od vládní agentury na území Ruské federace – zveřejněte své osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud rozhodneme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné účely veřejného zájmu.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.

Závěrečná videa dlouhé série lekcí o řešení logaritmických rovnic. Tentokrát budeme pracovat primárně s logaritmem ODZ - právě kvůli nesprávnému účtování (nebo dokonce ignorování) definiční domény dochází při řešení takových problémů k většině chyb.

V tomto krátkém videonávodu si rozebereme aplikaci vzorců pro sčítání a odčítání pro logaritmy a také se budeme zabývat zlomkovými racionálními rovnicemi, se kterými má mnoho studentů také problémy.

O čem se bude diskutovat? Hlavní vzorec, kterým bych se chtěl zabývat, vypadá takto:

log a (f g ) = log a f + log a g

Toto je standardní přechod od součinu k součtu logaritmů a naopak. Tento vzorec pravděpodobně znáte od samého počátku studia logaritmů. Je zde však jeden háček.

Dokud jsou proměnné a, f a g obyčejná čísla, neexistují žádné problémy. Tento vzorec funguje skvěle.

Jakmile se však místo f a g objeví funkce, vyvstává problém s rozšířením nebo zúžením definičního oboru v závislosti na způsobu převodu. Posuďte sami: v logaritmu napsaném vlevo je doména definice následující:

fg > 0

Ale v součtu napsaném vpravo je doména definice již poněkud odlišná:

f > 0

g > 0

Tento soubor požadavků je přísnější než původní. V prvním případě se spokojíme s možností f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 se provádí).

Při přechodu z levé konstrukce na pravou se tedy doména definice zužuje. Pokud jsme nejprve měli součet a přepíšeme ho na součin, pak se doména definice rozšiřuje.

Jinými slovy, v prvním případě bychom mohli přijít o kořeny a ve druhém bychom mohli získat další. To je třeba vzít v úvahu při řešení reálných logaritmických rovnic.

Takže první úkol zní:

[Titulek obrázku]

Vlevo vidíme součet logaritmů ve stejném základu. Proto lze přidat tyto logaritmy:

[Titulek obrázku]

Jak vidíte, vpravo jsme nahradili nulu vzorcem:

a = log b b a

Upravme naši rovnici trochu více:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Před námi je kanonický tvar logaritmické rovnice, můžeme škrtnout log a dát argumenty rovnítko:

(x − 5) 2 = 1

|x−5| = 1

Věnujte pozornost: odkud modul pochází? Dovolte mi připomenout, že odmocnina přesného čtverce se přesně rovná modulu:

[Titulek obrázku]

Potom vyřešíme klasickou rovnici s modulem:

|f| = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒ x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Zde jsou dva kandidáti na odpověď. Jsou řešením původní logaritmické rovnice? V žádném případě!

Nemáme právo vše nechat jen tak a napsat odpověď. Podívejte se na krok, kde nahradíme součet logaritmů jedním logaritmem součinu argumentů. Problém je, že v původních výrazech máme funkce. Proto by mělo být vyžadováno:

x(x - 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Když jsme transformovali produkt a získali přesný čtverec, požadavky se změnily:

(x − 5) 2 > 0

Kdy je tento požadavek splněn? Ano, téměř vždy! Kromě případu, kdy x − 5 = 0. To znamená, nerovnost se sníží na jeden proražený bod:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Jak vidíte, došlo k rozšíření domény definice, o které jsme hovořili na samém začátku lekce. Proto se mohou objevit i kořeny navíc.

Jak zabránit vzniku těchto extra kořenů? Je to velmi jednoduché: podíváme se na naše získané kořeny a porovnáme je s definičním oborem původní rovnice. Pojďme počítat:

x (x − 5) > 0

Budeme řešit pomocí intervalové metody:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Přijatá čísla označíme na přímce. Všechny body jsou proražené, protože nerovnost je přísná. Vezmeme libovolné číslo větší než 5 a dosadíme:

[Titulek obrázku]

Zajímají nás intervaly (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Označíme-li své kořeny na úsečce, uvidíme, že x = 4 nám nevyhovuje, protože tento kořen leží mimo doménu původní logaritmické rovnice.

Vrátíme se k populaci, přeškrtneme kořen x \u003d 4 a zapíšeme odpověď: x \u003d 6. Toto je konečná odpověď na původní logaritmickou rovnici. Všechno, úkol je vyřešen.

Přejdeme k druhé logaritmické rovnici:

[Titulek obrázku]

Řešíme to. Všimněte si, že první člen je zlomek a druhý je stejný zlomek, ale převrácený. Nenechte se zastrašit výrazem lgx - je to pouze logaritmus se základním 10, můžeme napsat:

lgx = log 10 x

Protože máme dva převrácené zlomky, navrhuji zavést novou proměnnou:

[Titulek obrázku]

Proto lze naši rovnici přepsat takto:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t2 - 2t + 1)/t = 0;

(t − 1)2/t = 0.

Jak vidíte, čitatel zlomku je přesný čtverec. Zlomek je nula, když jeho čitatel je nula a jeho jmenovatel je nenulový:

(t - 1) 2 = 0; t ≠ 0

Řešíme první rovnici:

t - 1 = 0;

t = 1.

Tato hodnota splňuje druhý požadavek. Lze tedy tvrdit, že jsme naši rovnici zcela vyřešili, ale pouze s ohledem na proměnnou t . Nyní si připomeňme, co je t:

[Titulek obrázku]

Dostali jsme poměr:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx − lgx = −1

logx = -1

Přivedeme tuto rovnici do kanonické podoby:

lgx = lg 10 −1

x = 10 -1 = 0,1

Výsledkem je, že jsme dostali jediný kořen, který je teoreticky řešením původní rovnice. Nicméně hrajme na jistotu a vypišme doménu původní rovnice:

[Titulek obrázku]

Náš kořen tedy splňuje všechny požadavky. Našli jsme řešení původní logaritmické rovnice. Odpověď: x = 0,1. Problém je vyřešen.

V dnešní lekci je pouze jeden klíčový bod: když použijete vzorec pro přechod od součinu k součtu a naopak, nezapomeňte, že doména definice se může zužovat nebo rozšiřovat v závislosti na tom, kterým směrem je přechod proveden.

Jak porozumět tomu, co se děje: kontrakce nebo expanze? Velmi jednoduché. Pokud dříve byly funkce společně a nyní se staly oddělenými, pak se rozsah definice zúžil (protože existuje více požadavků). Pokud byly funkce nejprve samostatné a nyní jsou spolu, pak se oblast definice rozšiřuje (na produkt je kladeno méně požadavků než na jednotlivé faktory).

S ohledem na tuto poznámku bych rád poznamenal, že druhá logaritmická rovnice tyto transformace vůbec nevyžaduje, tedy argumenty nikde nesčítáme ani nenásobíme. Zde bych vás však rád upozornil na další báječný trik, který vám umožňuje výrazně zjednodušit řešení. Jde o změnu proměnné.

Pamatujte však, že žádná substituce nás neosvobozuje z působnosti. Proto jsme po nalezení všech kořenů moc nelenili a vrátili se k původní rovnici najít její ODZ.

Často při změně proměnné dochází k nepříjemné chybě, když studenti najdou hodnotu t a myslí si, že řešení je u konce. V žádném případě!

Když najdete hodnotu t , musíte se vrátit k původní rovnici a podívat se, co přesně jsme tímto písmenem označili. Ve výsledku musíme vyřešit ještě jednu rovnici, která však bude mnohem jednodušší než ta původní.

To je přesně smysl zavedení nové proměnné. Původní rovnici jsme rozdělili na dvě střední, z nichž každá se řeší mnohem snadněji.

Jak řešit "vnořené" logaritmické rovnice

Dnes pokračujeme ve studiu logaritmických rovnic a analýze konstrukcí, když je jeden logaritmus pod znaménkem jiného logaritmu. Obě rovnice budeme řešit pomocí kanonické formy.

Dnes pokračujeme ve studiu logaritmických rovnic a analýze konstrukcí, když je jeden logaritmus pod znaménkem druhého. Obě rovnice budeme řešit pomocí kanonické formy. Dovolte mi připomenout, že pokud máme nejjednodušší logaritmickou rovnici ve tvaru log a f (x) \u003d b, provedeme následující kroky k vyřešení takové rovnice. Nejprve musíme nahradit číslo b :

b = log a a b

Všimněte si, že a b je argument. Podobně v původní rovnici je argumentem funkce f(x). Potom rovnici přepíšeme a získáme tuto konstrukci:

log a f(x) = log a a b

Poté můžeme provést třetí krok - zbavit se znaménka logaritmu a jednoduše napsat:

f(x) = a b

V důsledku toho dostaneme novou rovnici. V tomto případě nejsou na funkci f(x) kladena žádná omezení. Na jeho místě může být například také logaritmická funkce. A pak opět dostaneme logaritmickou rovnici, kterou opět zredukujeme na nejjednodušší a vyřešíme přes kanonickou formu.

Ale dost textů. Pojďme vyřešit skutečný problém. Takže úkol číslo 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Jak vidíte, máme jednoduchou logaritmickou rovnici. Role f (x) je konstrukce 1 + 3 log 2 x a číslo b je číslo 2 (role a je také dvě). Přepišme tyto dva takto:

Je důležité pochopit, že první dvě dvojky k nám přišly ze základu logaritmu, to znamená, že pokud by v původní rovnici bylo 5, dostali bychom, že 2 = log 5 5 2. Obecně platí, že základ závisí pouze na logaritmu, který je zpočátku uveden v úloze. A v našem případě je toto číslo 2.

Takže přepíšeme naši logaritmickou rovnici s ohledem na skutečnost, že ta dvě, která je vpravo, je vlastně také logaritmus. Dostaneme:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Přejdeme k poslednímu kroku našeho schématu - zbavíme se kanonické formy. Můžeme říci, stačí přeškrtnout značky log. Z hlediska matematiky však není možné „vyškrtnout log“ - je správnější říci, že jednoduše srovnáváme argumenty:

1 + 3 log 2 x = 4

Odtud je snadné najít 3 log 2 x :

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Opět máme nejjednodušší logaritmickou rovnici, vraťme ji do kanonické podoby. K tomu musíme provést následující změny:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Proč je na základně dvojka? Protože v naší kanonické rovnici vlevo je logaritmus přesně v základu 2. Úlohu přepíšeme s ohledem na tuto skutečnost:

log 2 x = log 2 2

Opět se zbavíme znaménka logaritmu, tj. jednoduše srovnáme argumenty. Máme na to právo, protože základny jsou stejné a nebyly provedeny žádné další akce vpravo ani vlevo:

To je vše! Problém je vyřešen. Našli jsme řešení logaritmické rovnice.

Poznámka! Přestože je v argumentu proměnná x (tj. existují požadavky na definiční doménu), nebudeme klást žádné další požadavky.

Jak jsem řekl výše, tato kontrola je nadbytečná, pokud se proměnná vyskytuje pouze v jednom argumentu pouze o jednom logaritmu. V našem případě je x skutečně pouze v argumentu a pouze pod jedním logem. Proto nejsou vyžadovány žádné další kontroly.

Pokud však této metodě nedůvěřujete, můžete snadno ověřit, že x = 2 je skutečně kořen. Toto číslo stačí dosadit do původní rovnice.

Přejděme k druhé rovnici, je o něco zajímavější:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Označíme-li výraz uvnitř velkého logaritmu funkcí f (x), dostaneme nejjednodušší logaritmickou rovnici, se kterou jsme dnešní video lekci začali. Proto je možné aplikovat kanonickou formu, pro kterou je nutné jednotku reprezentovat ve tvaru log 2 2 1 = log 2 2.

Přepis naší velké rovnice:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Zbavíme se znaménka logaritmu a ztotožníme argumenty. Máme na to právo, protože základny jsou vlevo i vpravo stejné. Všimněte si také, že log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Před námi je opět nejjednodušší logaritmická rovnice tvaru log a f (x) \u003d b. Přecházíme na kanonickou formu, tj. reprezentujeme nulu ve tvaru log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Přepíšeme naši rovnici a zbavíme se logaritmického znaménka přirovnáním argumentů:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Opět jsme dostali okamžitou odpověď. Nejsou vyžadovány žádné další kontroly, protože v původní rovnici obsahuje funkci v argumentu pouze jeden logaritmus.

Proto nejsou vyžadovány žádné další kontroly. Můžeme bezpečně říci, že x = 1 je jediným kořenem této rovnice.

Pokud by ale ve druhém logaritmu místo čtyř byla nějaká funkce x (nebo by 2x nebyla v argumentu, ale v základu) - pak by bylo nutné zkontrolovat definiční obor. V opačném případě existuje velká šance, že narazíte na další kořeny.

Odkud tyto extra kořeny pocházejí? Tento bod je třeba pochopit velmi jasně. Podívejte se na původní rovnice: všude je funkce x pod znaménkem logaritmu. Jelikož jsme tedy napsali log 2 x , automaticky nastavíme požadavek x > 0. Jinak tento záznam prostě nedává smysl.

Při řešení logaritmické rovnice se však zbavíme všech znamének log a získáme jednoduché konstrukce. Zde již nejsou nastavena žádná omezení, protože lineární funkce je definována pro libovolnou hodnotu x.

Právě tento problém, kdy je konečná funkce definována všude a vždy, a počáteční není zdaleka všude a ne vždy, je důvodem, proč se při řešení logaritmických rovnic velmi často objevují odmocniny.

Ale znovu opakuji: to se děje pouze v situaci, kdy je funkce buď v několika logaritmech, nebo na bázi jednoho z nich. V problémech, které dnes zvažujeme, nejsou v zásadě žádné problémy s rozšířením oblasti definice.

Případy z různých důvodů

Tato lekce je věnována složité struktury. Logaritmy v dnešních rovnicích již nebudou řešeny "naprázdno" - nejprve je potřeba provést nějaké transformace.

Začneme řešit logaritmické rovnice se zcela odlišnými základy, které nejsou navzájem přesnými mocninami. Nebojte se takových úkolů - nejsou vyřešeny obtížněji než nejjednodušší návrhy, které jsme analyzovali výše.

Než však přejdu přímo k problémům, dovolte mi připomenout vzorec pro řešení nejjednodušších logaritmických rovnic pomocí kanonické formy. Zvažte problém jako je tento:

log a f(x) = b

Je důležité, aby funkce f (x) byla pouze funkcí a čísla a a b by měla být přesně ta čísla (bez jakýchkoli proměnných x). Samozřejmě doslova za minutu zvážíme i takové případy, kdy místo proměnných aab jsou funkce, ale o to teď nejde.

Jak si pamatujeme, číslo b musí být nahrazeno logaritmem ve stejném základu a, který je vlevo. To se provádí velmi jednoduše:

b = log a a b

Samozřejmě, že slova "libovolné číslo b" a "libovolné číslo a" znamenají takové hodnoty, které splňují doménu definice. Konkrétně se tato rovnice zabývá pouze bází a > 0 a a ≠ 1.

Tento požadavek je však splněn automaticky, protože původní úloha již obsahuje logaritmus se základem a - bude jistě větší než 0 a nebude roven 1. Proto pokračujeme v řešení logaritmické rovnice:

log a f(x) = log a a b

Takový zápis se nazývá kanonický tvar. Jeho výhoda spočívá v tom, že se můžeme okamžitě zbavit znaku protokolu tím, že argumenty zrovnoprávníme:

f(x) = a b

Právě tuto techniku ​​nyní použijeme k řešení logaritmických rovnic s proměnnou bází. Tak pojďme!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Co bude dál? Někdo teď řekne, že musíte vypočítat správný logaritmus, nebo je zredukovat na jednu základnu nebo něco jiného. A skutečně, nyní musíte přivést obě základny do stejné formy - buď 2 nebo 0,5. Naučme se ale jednou provždy následující pravidlo:

Pokud logaritmická rovnice obsahuje desetinná místa, nezapomeňte převést tyto zlomky z desetinných na obyčejné. Taková transformace může výrazně zjednodušit řešení.

Takový přechod musí být proveden okamžitě, ještě před provedením jakýchkoli akcí a transformací. Uvidíme:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

Co nám takový rekord dává? Můžeme reprezentovat 1/2 a 1/8 jako záporný exponent:

[Titulek obrázku]

Máme kanonickou formu. Srovnejte argumenty a získejte klasickou kvadratickou rovnici:

x 2 + 4 x + 11 = 8

x 2 + 4 x + 3 = 0

Před námi je daná kvadratická rovnice, kterou lze snadno vyřešit pomocí vzorců Vieta. Podobné výpočty byste měli vidět na střední škole doslova ústně:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

To je vše! Původní logaritmická rovnice je vyřešena. Máme dva kořeny.

Dovolte mi připomenout, že v tomto případě není nutné definovat rozsah, protože funkce s proměnnou x je přítomna pouze v jednom argumentu. Rozsah se tedy provádí automaticky.

Takže první rovnice je vyřešena. Pojďme k tomu druhému:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

A nyní si všimněte, že argument prvního logaritmu lze také zapsat jako mocninu se záporným exponentem: 1/2 = 2 −1. Pak můžete odebrat mocniny na obou stranách rovnice a vydělit vše −1:

[Titulek obrázku]

A nyní jsme dokončili velmi důležitý krok při řešení logaritmické rovnice. Možná si někdo něčeho nevšiml, tak mi to dovolte vysvětlit.

Podívejte se na naši rovnici: logaritmus je vlevo a vpravo, ale logaritmus základu 2 je vlevo a logaritmus základu 3 je vpravo.

Jedná se tedy o logaritmy s různými bázemi, které se na sebe neredukují prostým umocňováním. Jediný způsob, jak takové problémy vyřešit, je zbavit se jednoho z těchto logaritmů. V tomto případě, protože stále uvažujeme o poměrně jednoduchých problémech, byl logaritmus vpravo jednoduše vypočten a dostali jsme nejjednodušší rovnici - přesně tu, o které jsme hovořili na samém začátku dnešní lekce.

Představme si číslo 2, které je vpravo, jako log 2 2 2 = log 2 4. A pak se zbavíme znaménka logaritmu, po kterém nám zbyde jen kvadratická rovnice:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x − 2 = 0

Před námi je obvyklá kvadratická rovnice, ale není redukována, protože koeficient v x 2 je odlišný od jednoty. Proto to vyřešíme pomocí diskriminantu:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 \u003d (-9 - 11) / 10 \u003d -2

To je vše! Našli jsme oba kořeny, což znamená, že jsme dostali řešení původní logaritmické rovnice. V původním problému je totiž funkce s proměnnou x přítomna pouze v jednom argumentu. V důsledku toho nejsou vyžadovány žádné další kontroly v oblasti definice - oba kořeny, které jsme našli, jistě splňují všechna možná omezení.

Tím by dnešní videonávod mohl skončit, ale na závěr bych chtěl ještě jednou říci: při řešení logaritmických rovnic nezapomeňte převádět všechny desetinné zlomky na obyčejné. Ve většině případů to značně zjednodušuje jejich řešení.

Zřídka, velmi zřídka se vyskytnou problémy, při kterých odstranění desetinných zlomků jen komplikuje výpočty. V takových rovnicích je však zpravidla zpočátku jasné, že není nutné se zbavovat desetinných zlomků.

Ve většině ostatních případů (zejména pokud právě začínáte trénovat řešení logaritmických rovnic) se klidně zbavte desetinných zlomků a převeďte je na obyčejné. Praxe totiž ukazuje, že si tímto způsobem značně zjednodušíte následné řešení a výpočty.

Jemnosti a triky řešení

Dnes přejdeme ke složitějším problémům a budeme řešit logaritmickou rovnici, která není založena na čísle, ale na funkci.

A i když je tato funkce lineární, budou muset být provedeny malé změny ve schématu řešení, jehož význam se scvrkává na dodatečné požadavky kladené na doménu definice logaritmu.

Obtížné úkoly

Tato lekce bude poměrně dlouhá. Rozebereme si v něm dvě poměrně závažné logaritmické rovnice, při jejichž řešení se řada studentů mýlí. Během své praxe lektora matematiky jsem se neustále setkával se dvěma typy chyb:

1. Vzhled nadbytečných kořenů v důsledku rozšíření domény definice logaritmů. Abyste se vyhnuli takovým urážlivým chybám, stačí bedlivě sledovat každou transformaci;
2. Ztráta kořenů kvůli tomu, že student zapomněl zvážit některé „jemné“ případy – právě na takové situace se dnes zaměříme.

Toto je poslední lekce o logaritmických rovnicích. Bude to dlouhé, budeme analyzovat složité logaritmické rovnice. Udělejte si pohodlí, uvařte si čaj a začneme.

První rovnice vypadá celkem standardně:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

Okamžitě si všimneme, že oba logaritmy jsou navzájem převrácené kopie. Připomeňme si úžasný vzorec:

log a b = 1/log b a

Tento vzorec má však řadu omezení, která vznikají, pokud místo čísel a a b existují funkce proměnné x:

b > 0

1 ≠ a > 0

Tyto požadavky jsou kladeny na základě logaritmu. Na druhou stranu, ve zlomku musíme mít 1 ≠ a > 0, protože nejen proměnná a je v argumentu logaritmu (proto a > 0), ale samotný logaritmus je ve jmenovateli logaritmu. zlomek. Ale log b 1 = 0 a jmenovatel musí být nenulový, takže a ≠ 1.

Omezení pro proměnnou a jsou tedy zachována. Ale co se stane s proměnnou b? Na jedné straně ze základu vyplývá b > 0, na druhé straně proměnná b ≠ 1, protože základ logaritmu musí být jiný než 1. Celkově z pravé strany vzorce vyplývá, že 1 ≠ b > 0.

Ale tady je problém: druhý požadavek (b ≠ 1) chybí v první nerovnosti na levém logaritmu. Jinými slovy, při provádění této transformace musíme zkontrolovat samostatněže argument b je jiný než jedna!

Tady, pojďme se na to podívat. Aplikujme náš vzorec:

[Titulek obrázku]

1 ≠ x - 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Takže jsme dostali, že již z původní logaritmické rovnice vyplývá, že a i b musí být větší než 0 a ne rovné 1. Logaritmickou rovnici tedy můžeme snadno převrátit:

Navrhuji zavést novou proměnnou:

log x + 1 (x − 0,5) = t

V tomto případě bude naše konstrukce přepsána následovně:

(t2 - 1)/t = 0

Všimněte si, že v čitateli máme rozdíl druhých mocnin. Rozdíl čtverců odhalíme pomocí zkráceného vzorce pro násobení:

(t - 1) (t + 1)/t = 0

Zlomek je nula, když jeho čitatel je nula a jeho jmenovatel je nenulový. Ale čitatel obsahuje součin, takže každý faktor přirovnáme k nule:

ti = 1;

t2 = -1;

t ≠ 0.

Jak vidíte, obě hodnoty proměnné t nám vyhovují. Tím však řešení nekončí, protože potřebujeme najít nikoli t , ale hodnotu x . Vrátíme se k logaritmu a dostaneme:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Uveďme každou z těchto rovnic do kanonické podoby:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

V prvním případě se zbavíme znaménka logaritmu a srovnáme argumenty:

x - 0,5 = x + 1;

x - x \u003d 1 + 0,5;

Taková rovnice nemá kořeny, proto ani první logaritmická rovnice nemá kořeny. Ale s druhou rovnicí je všechno mnohem zajímavější:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Řešíme podíl - dostaneme:

(x − 0,5) (x + 1) = 1

Připomínám, že při řešení logaritmických rovnic je mnohem pohodlnější uvádět všechny běžné desetinné zlomky, takže naši rovnici přepišme takto:

(x − 1/2) (x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

Před námi je daná kvadratická rovnice, lze ji snadno vyřešit pomocí vzorců Vieta:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 \u003d -1,5;

x2 = 1.

Máme dva kořeny - jsou kandidáty na řešení původní logaritmické rovnice. Abychom pochopili, jaké kořeny budou ve skutečnosti sahat do odpovědi, vraťme se k původnímu problému. Nyní zkontrolujeme každý z našich kořenů, abychom zjistili, zda odpovídají rozsahu:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Tyto požadavky se rovnají dvojité nerovnosti:

1 ≠ x > 0,5

Odtud hned vidíme, že odmocnina x = −1,5 nám nevyhovuje, ale x = 1 je docela spokojená. Proto x = 1 je konečným řešením logaritmické rovnice.

Pojďme k druhému úkolu:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Na první pohled se může zdát, že všechny logaritmy různé důvody a různé argumenty. Co dělat s takovými strukturami? Nejprve si všimněte, že čísla 25, 5 a 625 jsou mocniny 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

A nyní použijeme pozoruhodnou vlastnost logaritmu. Faktem je, že z argumentu můžete získat stupně ve formě faktorů:

log a b n = n ∙ log a b

Na tuto transformaci jsou také uvalena omezení, pokud je místo b funkce. Ale u nás je b jen číslo a nevznikají žádná další omezení. Přepišme naši rovnici:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Dostali jsme rovnici se třemi členy obsahující znak log. Navíc jsou argumenty všech tří logaritmů stejné.

Je čas otočit logaritmy, aby se dostaly na stejný základ - 5. Protože proměnná b je konstanta, nedochází k žádné změně v rozsahu. Jen přepíšeme:

[Titulek obrázku]

Jak se očekávalo, stejné logaritmy „vylezly“ ve jmenovateli. Navrhuji změnit proměnnou:

log 5 x = t

V tomto případě bude naše rovnice přepsána takto:

Vypíšeme čitatel a otevřeme závorky:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t2 + 5t + 6) + t2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Vracíme se k našemu zlomku. Čitatel musí být nula:

[Titulek obrázku]

A jmenovatel se liší od nuly:

t ≠ 0; t ≠ -3; t ≠ -2

Poslední požadavky jsou splněny automaticky, protože jsou všechny "svázány" s celými čísly a všechny odpovědi jsou iracionální.

Takže frakční racionální rovnice je vyřešena, jsou nalezeny hodnoty proměnné t. Vrátíme se k řešení logaritmické rovnice a zapamatujeme si, co je t:

[Titulek obrázku]

Převedeme tuto rovnici do kanonické podoby, dostaneme číslo s iracionálním stupněm. Nenechte se tím zmást – i takové argumenty lze srovnávat:

[Titulek obrázku]

Máme dva kořeny. Přesněji dva kandidáti na odpovědi - pojďme je zkontrolovat, zda dodržují rozsah. Protože základem logaritmu je proměnná x, požadujeme následující:

1 ≠ x > 0;

Se stejným úspěchem tvrdíme, že x ≠ 1/125, jinak se základna druhého logaritmu změní na jedničku. Nakonec x ≠ 1/25 pro třetí logaritmus.

Celkem máme čtyři omezení:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Nyní otázka zní: splňují naše kořeny tyto požadavky? Určitě spokojen! Protože 5 na libovolný výkon bude větší než nula a požadavek x > 0 je automaticky splněn.

Na druhou stranu 1 \u003d 5 0, 1/25 \u003d 5 −2, 1/125 \u003d 5 −3, což znamená, že tato omezení pro naše kořeny (které, dovolte mi připomenout, mají iracionální číslo v indikátor) jsou také splněny a obě odpovědi jsou řešením problému.

Takže máme konečnou odpověď. Klíčové body V tomto jsou dva úkoly:

1. Buďte opatrní při obrácení logaritmu, když jsou argument a základ obráceny. Takové transformace ukládají zbytečná omezení oblasti definice.
2. Nebojte se převádět logaritmy: můžete je nejen překlápět, ale také otevírat podle součtového vzorce a obecně je měnit podle jakýchkoli vzorců, které jste studovali při řešení logaritmických výrazů. Vždy si však pamatujte, že některé transformace rozsah rozšiřují a některé jej zužují.

Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a nadcházejících událostech.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě, že je nutné - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace - zveřejnit Vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud rozhodneme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné účely veřejného zájmu.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.

Návod

Zapište si dané logaritmický výraz. Pokud výraz používá logaritmus 10, pak je jeho zápis zkrácen a vypadá takto: lg b je dekadický logaritmus. Pokud má logaritmus číslo e jako základ, pak se výraz zapíše: ln b - přirozený logaritmus. Rozumí se, že výsledkem libovolného je mocnina, na kterou musí být základní číslo zvýšeno, aby získalo číslo b.

Při hledání součtu dvou funkcí je stačí rozlišit jednu po druhé a sečíst výsledky: (u+v)" = u"+v";

Při hledání derivace součinu dvou funkcí je nutné derivaci první funkce vynásobit druhou a přidat derivaci druhé funkce, vynásobenou první funkcí: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Abychom našli derivaci podílu dvou funkcí, je nutné od součinu derivace děliče násobeného funkcí dělitele odečíst součin derivace dělitele násobeného funkcí dělitele a vydělit to vše pomocí funkce dělitele na druhou. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Pokud je zadána komplexní funkce, pak je nutné vynásobit derivaci vnitřní funkce a derivaci vnější. Nechť y=u(v(x)), pak y"(x)=y"(u)*v"(x).

Pomocí výše získaného můžete odlišit téměř jakoukoli funkci. Pojďme se tedy podívat na několik příkladů:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Nechybí ani úlohy pro výpočet derivace v bodě. Nechť je dána funkce y=e^(x^2+6x+5), musíte najít hodnotu funkce v bodě x=1.
1) Najděte derivaci funkce: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Vypočítejte hodnotu funkce v daném bodě y"(1)=8*e^0=8

Související videa

Užitečná rada

Naučte se tabulku elementárních derivací. To ušetří spoustu času.

Prameny:

• konstantní derivace

Jaký je tedy rozdíl mezi iracionální rovnicí a racionální? Pokud je neznámá proměnná pod znaménkem odmocnina, pak je rovnice považována za iracionální.

Návod

Hlavní metodou řešení takových rovnic je metoda zvedání obou částí rovnic do čtverce. Nicméně. to je přirozené, prvním krokem je zbavit se znaménka. Technicky není tato metoda obtížná, ale někdy může vést k potížím. Například rovnice v(2x-5)=v(4x-7). Umocněním obou stran získáte 2x-5=4x-7. Takovou rovnici není těžké vyřešit; x=1. Ale číslo 1 nebude uvedeno rovnic. Proč? Dosaďte v rovnici jednotku místo hodnoty x. A pravá a levá strana bude obsahovat výrazy, které nedávají smysl, tzn. Taková hodnota neplatí pro druhou odmocninu. Proto je 1 cizí kořen, a proto tato rovnice nemá žádné kořeny.

Iracionální rovnice je tedy řešena metodou kvadratury obou jejích částí. A po vyřešení rovnice je nutné odříznout cizí kořeny. Chcete-li to provést, dosaďte nalezené kořeny do původní rovnice.

Zvažte další.
2x+vx-3=0
Tuto rovnici lze samozřejmě vyřešit pomocí stejné rovnice jako předchozí. Přenosové sloučeniny rovnic, které nemají odmocninu, na pravou stranu a poté použijte metodu kvadratury. vyřešit výslednou racionální rovnici a kořeny. Ale jiný, elegantnější. Zadejte novou proměnnou; vx=y. Podle toho dostanete rovnici jako 2y2+y-3=0. To je obvyklá kvadratická rovnice. Najděte jeho kořeny; y1=1 a y2=-3/2. Dále vyřešte dva rovnic vx=1; vx \u003d -3/2. Druhá rovnice nemá kořeny, z první zjistíme, že x=1. Nezapomeňte na nutnost kontroly kořenů.

Řešení identit je celkem snadné. To vyžaduje provádění stejných transformací, dokud není dosaženo cíle. S pomocí nejjednodušších aritmetických operací bude tedy úloha vyřešena.

Budete potřebovat

• - papír;
• - pero.

Návod

Nejjednodušší takové transformace jsou algebraické zkrácené násobení (např. druhá mocnina součtu (rozdíl), rozdíl druhých mocnin, součet (rozdíl), třetí mocnina součtu (rozdíl)). Navíc je jich mnoho trigonometrické vzorce, což jsou v podstatě stejné identity.

Druhá mocnina součtu dvou členů se skutečně rovná druhé mocnině prvního plus dvojnásobku součinu prvního a druhého plus druhé mocniny druhého, tedy (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Zjednodušte obojí

Obecné principy řešení

Opakujte z učebnice matematické analýzy nebo vyšší matematiky, což je určitý integrál. Jak víte, řešení určitý integrál existuje funkce, jejíž derivace dá integrand. Tato funkce se nazývá primitivní. Podle tohoto principu se konstruují základní integrály.
Určete podle tvaru integrandu, který z tabulkových integrálů je v tomto případě vhodný. Ne vždy je možné to určit okamžitě. Často se tabulkový tvar stane patrným až po několika transformacích, aby se integrand zjednodušil.

Variabilní substituční metoda

Pokud je integrand goniometrickou funkcí, jejímž argumentem je nějaký polynom, zkuste použít metodu změny proměnných. Chcete-li to provést, nahraďte polynom v argumentu integrandu nějakou novou proměnnou. Na základě poměru mezi novou a starou proměnnou určete nové limity integrace. Odlišením tohoto výrazu najděte nový diferenciál v . Tak budete dostávat nový druh bývalý integrál, blízký nebo dokonce odpovídající libovolnému tabulkovému.

Řešení integrálů druhého druhu

Pokud je integrál integrálem druhého druhu, vektorovou formou integrandu, pak budete muset použít pravidla pro přechod od těchto integrálů ke skalárním. Jedním z takových pravidel je Ostrogradského-Gaussův poměr. Tento zákon umožňuje přejít od rotorového toku nějaké vektorové funkce k trojnému integrálu přes divergenci daného vektorového pole.

Substituce mezí integrace

Po nalezení primitivního prvku je nutné dosadit limity integrace. Nejprve dosaďte do výrazu pro primitivní funkci hodnotu horní meze. Dostanete nějaké číslo. Dále od výsledného čísla odečtěte další číslo, výslednou dolní mez k primitivní derivaci. Pokud je jedna z integračních mezí nekonečno, dosadíme ji do primitivní funkce je třeba jít na doraz a najít, k čemu výraz tíhne.
Pokud je integrál dvourozměrný nebo trojrozměrný, budete muset reprezentovat geometrické limity integrace, abyste pochopili, jak integrál vypočítat. Ve skutečnosti v případě, řekněme, trojrozměrného integrálu, mohou být limity integrace celé roviny, které omezují objem, který má být integrován.