การแก้สมการลอการิทึมสำหรับหุ่นจำลอง สมการลอการิทึม

สมการลอการิทึมเป็นสมการที่มีสิ่งที่ไม่ทราบอยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม (โดยเฉพาะในฐานของลอการิทึม)

ที่ง่ายที่สุด สมการลอการิทึมมีรูปแบบ:

การแก้สมการลอการิทึมใดๆเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนจากลอการิทึมเป็นนิพจน์ภายใต้สัญลักษณ์ลอการิทึม อย่างไรก็ตามการกระทำนี้จะขยายช่วงของค่าที่อนุญาตของสมการและอาจนำไปสู่การปรากฏตัวของรากที่ไม่เกี่ยวข้อง เพื่อหลีกเลี่ยงการปรากฏตัวของรากต่างประเทศคุณสามารถดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งจากสามวิธี:

1. ทำการเปลี่ยนแปลงที่เท่าเทียมกันจากสมการเดิมไปสู่ระบบได้แก่

ขึ้นอยู่กับความไม่เท่าเทียมกันหรือง่ายกว่า

หากสมการมีค่าไม่ทราบอยู่ในฐานของลอการิทึม:

จากนั้นเราไปที่ระบบ:

2. ค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของสมการแยกจากกันจากนั้นแก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบที่พบเป็นไปตามสมการหรือไม่

3. แก้สมการแล้ว ตรวจสอบ:แทนที่คำตอบที่พบลงในสมการดั้งเดิมแล้วตรวจสอบว่าเราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องหรือไม่

สมการลอการิทึมของระดับความซับซ้อนใดๆ มักจะลดลงเหลือสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดเสมอ

สมการลอการิทึมทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสี่ประเภท:

1 . สมการที่มีลอการิทึมยกกำลังแรกเท่านั้น ด้วยความช่วยเหลือจากการเปลี่ยนแปลงและการใช้งาน พวกมันจึงถูกนำมาสู่รูปแบบ

ตัวอย่าง. มาแก้สมการกัน:

ลองเปรียบเทียบนิพจน์ใต้เครื่องหมายลอการิทึม:

ตรวจสอบว่ารากของสมการของเราเป็นไปตามนั้นหรือไม่:

ใช่มันน่าพอใจ

คำตอบ: x=5

2 . สมการที่มีลอการิทึมยกกำลังอื่นที่ไม่ใช่ 1 (โดยเฉพาะในตัวส่วนของเศษส่วน) สมการดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยใช้ ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร.

ตัวอย่าง.มาแก้สมการกัน:

มาหาสมการ ODZ กัน:

สมการนี้มีลอการิทึมกำลังสอง ดังนั้นจึงสามารถแก้ไขได้โดยใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

สำคัญ! ก่อนที่จะแนะนำสิ่งทดแทน คุณต้อง "ดึง" ลอการิทึมที่เป็นส่วนหนึ่งของสมการออกเป็น "อิฐ" โดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม

เมื่อ "แยก" ลอการิทึม สิ่งสำคัญคือต้องใช้คุณสมบัติของลอการิทึมอย่างระมัดระวัง:

นอกจากนี้ ยังมีจุดที่ละเอียดอ่อนอีกจุดหนึ่งที่นี่ และเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดทั่วไป เราจะใช้ความเท่าเทียมกันระดับกลาง: เราจะเขียนระดับของลอการิทึมในรูปแบบนี้:

เช่นเดียวกัน,

ลองแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิม เราได้รับ:

ตอนนี้เราเห็นแล้วว่าสิ่งที่ไม่ทราบมีอยู่ในสมการซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ เรามาแนะนำการเปลี่ยนกัน: . เนื่องจากสามารถรับค่าจริงใดๆ ได้ เราจึงไม่กำหนดข้อจำกัดใดๆ กับตัวแปร

พีชคณิตเกรด 11

หัวข้อ: “วิธีการแก้สมการลอการิทึม”

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เกี่ยวกับการศึกษา: การสร้างความรู้เกี่ยวกับ วิธีทางที่แตกต่างการแก้สมการลอการิทึมความสามารถในการประยุกต์ในแต่ละสถานการณ์และเลือกวิธีการแก้

การพัฒนา: การพัฒนาทักษะในการสังเกต เปรียบเทียบ ประยุกต์ใช้ความรู้ในสถานการณ์ใหม่ ระบุรูปแบบ สรุปภาพรวม การพัฒนาทักษะการควบคุมซึ่งกันและกันและการควบคุมตนเอง

เกี่ยวกับการศึกษา: ส่งเสริมทัศนคติที่รับผิดชอบต่องานด้านการศึกษา การรับรู้เนื้อหาในบทเรียนอย่างตั้งใจ และการจดบันทึกอย่างรอบคอบ

ประเภทบทเรียน : บทเรียนเกี่ยวกับการแนะนำเนื้อหาใหม่

“การประดิษฐ์ลอการิทึมในขณะที่ลดการทำงานของนักดาราศาสตร์ ช่วยยืดอายุของเขา”
นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ลาปลาซ

ในระหว่างเรียน

I. การตั้งเป้าหมายบทเรียน

คำจำกัดความของลอการิทึมที่ศึกษา คุณสมบัติของลอการิทึม และฟังก์ชันลอการิทึมจะช่วยให้เราสามารถแก้สมการลอการิทึมได้ สมการลอการิทึมทั้งหมด ไม่ว่าจะซับซ้อนแค่ไหนก็ตาม ได้รับการแก้ไขโดยใช้อัลกอริธึมที่สม่ำเสมอ เราจะดูอัลกอริทึมเหล่านี้ในบทเรียนวันนี้ มีไม่มาก หากคุณเชี่ยวชาญพวกมัน สมการใดๆ ที่มีลอการิทึมก็จะเป็นไปได้สำหรับคุณแต่ละคน

เขียนหัวข้อบทเรียนลงในสมุดบันทึกของคุณ: “วิธีการแก้สมการลอการิทึม” ขอเชิญชวนทุกท่านให้ความร่วมมือ

ครั้งที่สอง การอัพเดตความรู้อ้างอิง

มาเตรียมศึกษาหัวข้อบทเรียนกัน คุณแก้ปัญหาแต่ละงานและจดคำตอบ คุณไม่จำเป็นต้องเขียนเงื่อนไข ทำงานเป็นคู่.

1) ฟังก์ชันนี้สมเหตุสมผลกับค่าใดของ x:

ก)

ข)

วี)

ง)

(แต่ละสไลด์จะมีการตรวจสอบคำตอบและแยกข้อผิดพลาดออก)

2) กราฟของฟังก์ชันตรงกันหรือไม่?

ก) y = x และ

ข)และ

3) เขียนความเท่าเทียมกันใหม่เป็นความเท่าเทียมกันของลอการิทึม:

4) เขียนตัวเลขเป็นลอการิทึมที่มีฐาน 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) คำนวณ :

6) พยายามคืนค่าหรือเสริมองค์ประกอบที่ขาดหายไปในความเท่าเทียมกันเหล่านี้

สาม. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวัสดุใหม่

ข้อความต่อไปนี้จะแสดงบนหน้าจอ:

“สมการคือกุญแจทองที่เปิดงาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด”
S. Kowal นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์สมัยใหม่

พยายามกำหนดนิยามของสมการลอการิทึม (สมการที่ไม่ทราบค่าภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม ).

ลองพิจารณาดูสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด: บันทึก ก x = ข (โดยที่ a>0, a ≠ 1) เนื่องจากฟังก์ชันลอการิทึมเพิ่มขึ้น (หรือลดลง) บนเซตของจำนวนบวกและรับค่าจริงทั้งหมด ดังนั้นตามทฤษฎีบทราก จึงเป็นไปตามว่าสำหรับสมการ b ใดๆ ก็ตามที่มีเพียงสมการเดียวเท่านั้นคือคำตอบและค่าบวก

จำคำจำกัดความของลอการิทึมไว้ (ลอการิทึมของตัวเลข x ถึงฐาน a เป็นตัวบ่งชี้กำลังที่ต้องยกฐาน a เพื่อให้ได้ตัวเลข x ). จากคำจำกัดความของลอการิทึมจะเป็นไปตามนั้นทันทีก วี เป็นวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว

เขียนชื่อเรื่อง:วิธีการแก้สมการลอการิทึม

1. ตามคำจำกัดความของลอการิทึม .

นี่คือวิธีการแก้สมการที่ง่ายที่สุดของแบบฟอร์ม.

ลองพิจารณาดูเลขที่ 514(ก) ): แก้สมการ

คุณจะเสนอวิธีแก้ปัญหาอย่างไร? (ตามคำจำกัดความของลอการิทึม )

สารละลาย . ดังนั้น 2x – 4 = 4; x = 4

คำตอบ: 4.

ในภารกิจนี้ 2x – 4 > 0 เนื่องจาก> 0 ดังนั้นจึงไม่สามารถปรากฏรากภายนอกได้ และไม่จำเป็นต้องตรวจสอบ . ไม่จำเป็นต้องเขียนเงื่อนไข 2x – 4 > 0 ในงานนี้

2. ศักยภาพ (การเปลี่ยนจากลอการิทึมของนิพจน์ที่กำหนดไปเป็นนิพจน์นี้เอง)

ลองพิจารณาดูเลขที่ 519(ก): บันทึก 5 ( x 2 +8)- บันทึก 5 ( x+1)=3 บันทึก 5 2

คุณสังเกตเห็นคุณลักษณะอะไร(ฐานเท่ากันและลอการิทึมของทั้งสองนิพจน์เท่ากัน) . สิ่งที่สามารถทำได้?(เสริมพลัง).

ควรคำนึงว่ามีวิธีการแก้ปัญหาใดๆ ที่มีอยู่ใน x ทั้งหมดซึ่งมีนิพจน์ลอการิทึมเป็นบวก

สารละลาย: ODZ:

เอ็กซ์ 2 +8>0 ความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่จำเป็น

บันทึก 5 ( x 2 +8) = บันทึก 5 2 3 + บันทึก 5 ( x+1)

บันทึก 5 ( x 2 +8)= บันทึก 5 (8 x+8)

เรามาเสริมกำลังสมการดั้งเดิมกันดีกว่า

x 2 +8= 8 x+8

เราได้สมการx 2 +8= 8 x+8

มาแก้กัน:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

คำตอบ: 0; 8

ใน ปริทัศน์ เปลี่ยนไปใช้ระบบที่เทียบเท่า :

สมการ

(ระบบมีเงื่อนไขซ้ำซ้อน - ไม่จำเป็นต้องพิจารณาหนึ่งในความไม่เท่าเทียมกัน)

คำถามสำหรับชั้นเรียน : โซลูชันใดในสามวิธีนี้ที่คุณชอบที่สุด (การอภิปรายวิธีการ)

คุณมีสิทธิ์ตัดสินใจในทางใดทางหนึ่ง

3. การแนะนำตัวแปรใหม่ .

ลองพิจารณาดูเลขที่ 520(ก) . .

คุณสังเกตเห็นอะไร? (นี้ สมการกำลังสองสัมพันธ์กับ log3x) ข้อเสนอแนะของคุณ? (แนะนำตัวแปรใหม่)

สารละลาย . ODZ: x > 0

อนุญาตจากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:. Discriminant D > 0. รากตามทฤษฎีบทของ Vieta:.

กลับไปที่การเปลี่ยน:หรือ.

เมื่อแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดแล้ว เราก็จะได้:

; .

คำตอบ : 27;

4. ลอการิทึมทั้งสองด้านของสมการ

แก้สมการ:.

สารละลาย : ODZ: x>0 ลองหาลอการิทึมของทั้งสองข้างของสมการในฐาน 10:

. ลองใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

ให้ logx = y จากนั้น (y + 3)y = 4

, (D > 0) รากตามทฤษฎีบทของ Vieta: y1 = -4 และ y2 = 1

กลับไปที่การทดแทนกันเถอะเราได้รับ: lgx = -4,; ล็อกx = 1,. . มันเป็นดังนี้: ถ้าเป็นฟังก์ชันอย่างใดอย่างหนึ่ง ย = ฉ(x) เพิ่มขึ้นและอื่นๆ ย = ก(x) ลดลงในช่วงเวลา X จากนั้นจึงสมการ ฉ(x)= ก(x) มีรากมากที่สุดหนึ่งอันในช่วง X .

หากมีรูตก็สามารถเดาได้ .

คำตอบ : 2

“การประยุกต์ใช้วิธีการที่ถูกต้องสามารถเรียนรู้ได้จาก
เพียงแต่นำมาประยุกต์ใช้กับตัวอย่างต่างๆ เท่านั้น”
G. G. Zeiten นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเดนมาร์ก

ฉัน วี. การบ้าน

หน้า 39 พิจารณาตัวอย่างที่ 3 แก้ข้อ 514(b) ลำดับ 529(b) ลำดับที่ 520(b) ลำดับที่ 523(b)

V. สรุปบทเรียน

เราดูวิธีการแก้สมการลอการิทึมแบบใดในชั้นเรียน

ในบทเรียนหน้า เราจะดูสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น วิธีการศึกษาจะมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาเหล่านี้

สไลด์สุดท้ายที่แสดง:

“มีอะไรมากกว่าสิ่งใดในโลก?
ช่องว่าง.
อะไรคือสิ่งที่ฉลาดที่สุด?
เวลา.
ส่วนที่ดีที่สุดคืออะไร?
บรรลุสิ่งที่คุณต้องการ”
ทาเลส

ฉันขอให้ทุกคนบรรลุสิ่งที่ต้องการ ขอขอบคุณสำหรับความร่วมมือและความเข้าใจของคุณ

พีชคณิตเกรด 11

หัวข้อ: "วิธีการแก้สมการลอการิทึม"

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา: การก่อตัวของความรู้เกี่ยวกับวิธีการแก้สมการลอการิทึมที่แตกต่างกันความสามารถในการนำไปใช้ในแต่ละสถานการณ์เฉพาะและเลือกวิธีการแก้

การพัฒนา: การพัฒนาทักษะในการสังเกต เปรียบเทียบ ประยุกต์ใช้ความรู้ในสถานการณ์ใหม่ ระบุรูปแบบ สรุปภาพรวม การพัฒนาทักษะการควบคุมซึ่งกันและกันและการควบคุมตนเอง

การศึกษา: ส่งเสริมทัศนคติที่รับผิดชอบต่องานด้านการศึกษา การรับรู้เนื้อหาในบทเรียนอย่างตั้งใจ และการจดบันทึกอย่างระมัดระวัง

ประเภทบทเรียน: บทเรียนการทำความคุ้นเคยกับเนื้อหาใหม่

“การประดิษฐ์ลอการิทึมทำให้การทำงานของนักดาราศาสตร์สั้นลง ทำให้อายุของเขายืนยาวขึ้น”
นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ลาปลาซ

ในระหว่างเรียน

I. การตั้งเป้าหมายบทเรียน

ครั้งที่สอง การอัพเดตความรู้อ้างอิง

1) ฟังก์ชันนี้สมเหตุสมผลกับค่าใดของ x:

(แต่ละสไลด์จะมีการตรวจสอบคำตอบและแยกข้อผิดพลาดออก)

2) กราฟของฟังก์ชันตรงกันหรือไม่?

3) เขียนความเท่าเทียมกันใหม่เป็นความเท่าเทียมกันของลอการิทึม:

4) เขียนตัวเลขเป็นลอการิทึมที่มีฐาน 2:

5) คำนวณ:

6) พยายามฟื้นฟูหรือเสริมองค์ประกอบที่ขาดหายไปในความเท่าเทียมกันเหล่านี้

สาม. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวัสดุใหม่

ข้อความต่อไปนี้จะแสดงบนหน้าจอ:

“สมการคือกุญแจทองที่เปิดงาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด”
S. Kowal นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์สมัยใหม่

พยายามกำหนดนิยามของสมการลอการิทึม (สมการที่มีสิ่งไม่รู้อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม)

ลองพิจารณาดู สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด:บันทึกกx = ข(โดยที่ a>0, a ≠ 1) เนื่องจากฟังก์ชันลอการิทึมเพิ่มขึ้น (หรือลดลง) บนเซตของจำนวนบวกและรับค่าจริงทั้งหมด ดังนั้นตามทฤษฎีบทราก จึงเป็นไปตามว่าสำหรับสมการ b ใดๆ ก็ตามที่มีเพียงสมการเดียวเท่านั้นคือคำตอบและค่าบวก

จำคำจำกัดความของลอการิทึมไว้ (ลอการิทึมของตัวเลข x ถึงฐาน a เป็นตัวบ่งชี้กำลังที่ต้องยกฐาน a เพื่อให้ได้ตัวเลข x) มันตามมาจากนิยามของลอการิทึมทันทีว่า กวีเป็นวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว

เขียนชื่อเรื่อง: วิธีการแก้สมการลอการิทึม

1. ตามคำจำกัดความของลอการิทึม.

นี่คือวิธีการแก้สมการอย่างง่ายของแบบฟอร์ม

ลองพิจารณาดู เลขที่ 514(ก)): แก้สมการ

คุณจะเสนอวิธีแก้ปัญหาอย่างไร? (ตามคำจำกัดความของลอการิทึม)

สารละลาย. ดังนั้น 2x - 4 = 4; x = 4

ในงานนี้ 2x - 4 > 0 เนื่องจาก > 0 ดังนั้นจึงไม่สามารถปรากฏรากภายนอกได้ และไม่จำเป็นต้องตรวจสอบ ไม่จำเป็นต้องเขียนเงื่อนไข 2x - 4 > 0 ในงานนี้

2. ศักยภาพ(การเปลี่ยนจากลอการิทึมของนิพจน์ที่กำหนดไปเป็นนิพจน์นี้เอง)

ลองพิจารณาดู เลขที่ 519(ก): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

คุณสังเกตเห็นคุณลักษณะอะไร (ฐานเท่ากันและลอการิทึมของทั้งสองนิพจน์เท่ากัน) สิ่งที่สามารถทำได้? (เสริมพลัง).

โซลูชัน: ODZ:

X2+8>0 คืออสมการที่ไม่จำเป็น

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

เสริมศักยภาพสมการดั้งเดิม

เราได้สมการ x2+8= 8x+8

มาแก้กัน: x2-8x=0

คำตอบ: 0; 8

โดยทั่วไปแล้ว เปลี่ยนไปใช้ระบบที่เทียบเท่า:

สมการ

คำถามสำหรับชั้นเรียน: โซลูชันใดในสามวิธีนี้ที่คุณชอบมากที่สุด (การอภิปรายวิธีการ)

คุณมีสิทธิ์ตัดสินใจในทางใดทางหนึ่ง

3. การแนะนำตัวแปรใหม่.

ลองพิจารณาดู เลขที่ 520(ก). .

คุณสังเกตเห็นอะไร? (นี่คือสมการกำลังสองเทียบกับ log3x) มีข้อเสนอแนะบ้างไหม? (แนะนำตัวแปรใหม่)

สารละลาย. ODZ: x > 0

อนุญาต จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:. Discriminant D > 0. รากตามทฤษฎีบทของ Vieta:

กลับไปที่การเปลี่ยน: หรือ.

เมื่อแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดแล้ว เราก็จะได้:

คำตอบ: 27;

4. ลอการิทึมทั้งสองด้านของสมการ

แก้สมการ:.

วิธีแก้ปัญหา: ODZ: x>0 หาลอการิทึมของทั้งสองข้างของสมการในฐาน 10:

ลองใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง:

(logx + 3) logx = 4

ให้ lgx = y จากนั้น (y + 3)y = 4

, (D > 0) รากตามทฤษฎีบทของ Vieta: y1 = -4 และ y2 = 1

กลับไปที่การทดแทนกันเถอะเราได้รับ: lgx = -4,; lgx = 1, .

คำตอบ: 0.0001; 10.

5. ลดเหลือฐานเดียว

เลขที่ 523(ค) แก้สมการ:

วิธีแก้ไข: ODZ: x>0 เรามาต่อกันที่ฐาน 3 กันเลย

6. วิธีการเชิงฟังก์ชันกราฟิก

№ 509(ง)แก้สมการแบบกราฟิก: = 3 - x

เสนอวิธีแก้ปัญหาอย่างไร? (สร้างกราฟของสองฟังก์ชัน y = log2x และ y = 3 - x โดยใช้จุดแล้วมองหาจุดหักล้างของจุดตัดกันของกราฟ)

ดูวิธีแก้ปัญหาของคุณบนสไลด์

มีวิธีหลีกเลี่ยงการสร้างกราฟ . มันเป็นดังนี้ : ถ้าเป็นฟังก์ชันอย่างใดอย่างหนึ่งย = ฉ(x) เพิ่มขึ้นและอื่นๆย = ก(x) ลดลงในช่วงเวลา X จากนั้นจึงสมการฉ(x)= ก(x) มีรากมากที่สุดหนึ่งอันในช่วง X.

หากมีรูตก็สามารถเดาได้

ในกรณีของเรา ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นสำหรับ x>0 และฟังก์ชัน y = 3 - x ลดลงสำหรับทุกค่าของ x รวมถึงสำหรับ x>0 ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นไม่มีมากกว่าหนึ่งราก โปรดทราบว่าที่ x = 2 สมการจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง เนื่องจาก

“การประยุกต์ใช้วิธีการที่ถูกต้องสามารถเรียนรู้ได้จาก
เพียงแต่นำมาประยุกต์ใช้กับตัวอย่างต่างๆ เท่านั้น”
G. G. Zeiten นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเดนมาร์ก

ฉันV. การบ้าน

หน้า 39 พิจารณาตัวอย่างที่ 3 แก้ข้อ 514(b) ลำดับ 529(b) ลำดับที่ 520(b) ลำดับที่ 523(b)

V. สรุปบทเรียน

เราดูวิธีการแก้สมการลอการิทึมแบบใดในชั้นเรียน

สไลด์สุดท้ายที่แสดง:

“มีอะไรมากกว่าสิ่งใดในโลก?
ช่องว่าง.
อะไรคือสิ่งที่ฉลาดที่สุด?
เวลา.
ส่วนที่ดีที่สุดคืออะไร?
บรรลุสิ่งที่คุณต้องการ”
ทาเลส

วันนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด โดยไม่จำเป็นต้องแปลงหรือเลือกรากเบื้องต้น แต่ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้สมการดังกล่าว มันจะง่ายกว่ามาก

สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดคือสมการของรูปแบบบันทึก a f (x) = b โดยที่ a, b คือตัวเลข (a > 0, a ≠ 1), f (x) เป็นฟังก์ชันเฉพาะ

คุณลักษณะที่โดดเด่นของสมการลอการิทึมทั้งหมดคือการมีตัวแปร x อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม หากนี่คือสมการที่ให้ไว้ในโจทย์ตั้งแต่แรก เรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด สมการลอการิทึมอื่นๆ จะถูกลดทอนให้เหลือค่าที่ง่ายที่สุดโดยการแปลงแบบพิเศษ (ดู "คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม") อย่างไรก็ตาม ต้องคำนึงถึงรายละเอียดปลีกย่อยหลายประการ: อาจมีรากเพิ่มเติม ดังนั้นสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนจะถูกพิจารณาแยกกัน

จะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร? ก็เพียงพอที่จะแทนที่ตัวเลขทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับด้วยลอการิทึมในฐานเดียวกันกับทางด้านซ้าย จากนั้นคุณก็สามารถกำจัดเครื่องหมายลอการิทึมได้ เราได้รับ:

บันทึก a f (x) \u003d b ⇒ บันทึก a f (x) \u003d บันทึก a a b ⇒ f (x) \u003d a b

เราได้สมการปกติ รากของมันคือรากของสมการดั้งเดิม

การออกปริญญา

บ่อยครั้งที่สมการลอการิทึมซึ่งภายนอกดูซับซ้อนและเป็นอันตราย จะแก้ได้ภายในสองสามบรรทัดโดยไม่เกี่ยวข้องกับสูตรที่ซับซ้อน วันนี้เราจะดูปัญหาดังกล่าวโดยที่สิ่งที่คุณต้องทำคือลดสูตรให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานอย่างระมัดระวังและไม่สับสนเมื่อค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึม

วันนี้ ดังที่คุณคงเดาได้จากชื่อเรื่อง เราจะมาแก้สมการลอการิทึมโดยใช้สูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นรูปแบบมาตรฐาน “เคล็ดลับ” หลักของบทเรียนวิดีโอนี้คือการใช้องศาหรืออนุมานระดับจากพื้นฐานและการโต้แย้ง ลองดูกฎ:

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถรับระดับจากฐานได้:

อย่างที่คุณเห็น หากเมื่อนำดีกรีออกจากอาร์กิวเมนต์ลอการิทึม เราก็มีปัจจัยเพิ่มเติมอยู่ข้างหน้า จากนั้นเมื่อนำดีกรีออกจากฐาน มันไม่ใช่แค่ตัวประกอบ แต่เป็นปัจจัยกลับด้าน สิ่งนี้จะต้องถูกจดจำ

สุดท้ายที่น่าสนใจที่สุด สามารถรวมสูตรเหล่านี้เข้าด้วยกันได้ จากนั้นเราจะได้:

แน่นอนว่า เมื่อดำเนินการเปลี่ยนผ่านเหล่านี้ มีข้อผิดพลาดบางประการที่เกี่ยวข้องกับการขยายขอบเขตคำจำกัดความที่เป็นไปได้ หรือในทางกลับกัน ขอบเขตของคำจำกัดความแคบลง ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

บันทึก 3 x 2 = 2 ∙ บันทึก 3 x

หากในกรณีแรก x อาจเป็นตัวเลขใดๆ ที่ไม่ใช่ 0 กล่าวคือ ข้อกำหนด x ≠ 0 ดังนั้นในกรณีที่สอง เราจะพอใจกับ x เท่านั้น ซึ่งไม่เพียงแต่ไม่เท่ากัน แต่ยังมากกว่า 0 อย่างเคร่งครัด เพราะโดเมนของลอการิทึมคืออาร์กิวเมนต์ต้องมากกว่า 0 อย่างเคร่งครัด ดังนั้น ฉันจะเตือนคุณถึงสูตรที่ยอดเยี่ยมจากหลักสูตรพีชคณิตเกรด 8-9:

นั่นคือเราต้องเขียนสูตรของเราดังนี้:

บันทึก 3 x 2 = 2 ∙ บันทึก 3 |x |

แล้วจะไม่มีการจำกัดขอบเขตคำจำกัดความให้แคบลง

อย่างไรก็ตาม วิดีโอสอนวันนี้จะไม่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส หากคุณดูที่งานของเรา คุณจะเห็นเพียงรากเหง้าเท่านั้น ดังนั้นเราจะไม่ใช้กฎนี้ แต่ยังต้องจำไว้เพื่อในเวลาที่เหมาะสมเมื่อคุณเห็น ฟังก์ชันกำลังสองในอาร์กิวเมนต์หรือฐานของลอการิทึม คุณจะจำกฎนี้และทำการแปลงทั้งหมดได้อย่างถูกต้อง

ดังนั้นสมการแรกคือ:

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ ฉันขอเสนอให้พิจารณาแต่ละเงื่อนไขที่มีอยู่ในสูตรอย่างละเอียด

ลองเขียนเทอมแรกใหม่เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

เราดูเทอมที่สอง: log 3 (1 − x) ไม่จำเป็นต้องทำอะไรที่นี่ ทุกอย่างเปลี่ยนแปลงไปแล้วที่นี่

สุดท้าย 0, 5 ดังที่ได้กล่าวไว้ในบทเรียนที่แล้ว เมื่อแก้สมการและสูตรลอการิทึม ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้ย้ายจากเศษส่วนทศนิยมไปเป็นเศษส่วนสามัญ ลงมือทำกันเถอะ:

0,5 = 5/10 = 1/2

มาเขียนสูตรดั้งเดิมของเราใหม่โดยคำนึงถึงเงื่อนไขผลลัพธ์:

ล็อก 3 (1 − x ) = 1

ตอนนี้เรามาดูรูปแบบบัญญัติ:

บันทึก 3 (1 − x ) = บันทึก 3 3

เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมโดยทำให้อาร์กิวเมนต์เท่ากัน:

1 - x = 3

-x = 2

x = −2

นั่นแหละ เราได้แก้สมการแล้ว อย่างไรก็ตาม เรายังคงเล่นอย่างปลอดภัยและค้นหาขอบเขตของคำจำกัดความ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ กลับไปที่สูตรดั้งเดิมแล้วดู:

1 - x > 0

-x > −1

x< 1

รากของเรา x = −2 เป็นไปตามข้อกำหนดนี้ ดังนั้น x = −2 จึงเป็นคำตอบของสมการดั้งเดิม ตอนนี้เราได้รับเหตุผลที่เข้มงวดและชัดเจนแล้ว ทุกอย่างงานได้รับการแก้ไขแล้ว

มาดูงานที่สองกันดีกว่า:

ลองดูแต่ละเทอมแยกกัน

เราเขียนสิ่งแรก:

เราได้เปลี่ยนเทอมแรกแล้ว เราทำงานกับเทอมที่สอง:

สุดท้าย เทอมสุดท้ายซึ่งอยู่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ:

เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์แทนคำศัพท์ในสูตรผลลัพธ์:

บันทึก 3 x = 1

มาดูรูปแบบบัญญัติกันดีกว่า:

บันทึก 3 x = บันทึก 3 3

เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมออกไป โดยให้อาร์กิวเมนต์เท่ากัน และเราจะได้:

x = 3

ย้ำอีกครั้ง เพื่อความปลอดภัย ลองกลับไปที่สมการเดิมแล้วดูกัน ในสูตรดั้งเดิม ตัวแปร x ปรากฏอยู่ในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น ดังนั้น

x > 0

ในลอการิทึมที่สอง x อยู่ใต้รูท แต่อีกครั้งอยู่ในอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น รูทต้องมากกว่า 0 กล่าวคือ นิพจน์รากต้องมากกว่า 0 เราดูที่รูทของเรา x = 3 แน่นอนว่ามัน ตอบสนองความต้องการนี้ ดังนั้น x = 3 จึงเป็นคำตอบของสมการลอการิทึมดั้งเดิม ทุกอย่างงานได้รับการแก้ไขแล้ว

มีสองประเด็นสำคัญในวิดีโอสอนวันนี้:

1) อย่ากลัวที่จะแปลงลอการิทึมและโดยเฉพาะอย่างยิ่งอย่ากลัวที่จะดึงกำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมในขณะที่จำสูตรพื้นฐานของเรา: เมื่อลบกำลังออกจากอาร์กิวเมนต์มันก็จะถูกลบออกโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง เป็นตัวคูณ และเมื่อถอดกำลังออกจากฐาน พลังนี้จะกลับด้าน

2) จุดที่สองเกี่ยวข้องกับรูปแบบบัญญัติเอง เราทำการเปลี่ยนแปลงเป็นรูปแบบมาตรฐานที่ส่วนท้ายสุดของการเปลี่ยนแปลงสูตรสมการลอการิทึม ฉันขอเตือนคุณถึงสูตรต่อไปนี้:

a = บันทึก b b a

แน่นอนโดยนิพจน์ "จำนวน b ใด ๆ " ฉันหมายถึงตัวเลขเหล่านั้นที่เป็นไปตามข้อกำหนดที่กำหนดบนฐานของลอการิทึมเช่น

1 ≠ ข > 0

สำหรับ b ดังกล่าว และเนื่องจากเรารู้พื้นฐานแล้ว ข้อกำหนดนี้จะถูกปฏิบัติตามโดยอัตโนมัติ แต่สำหรับ b - สิ่งใดก็ตามที่เป็นไปตามข้อกำหนดนี้ - การเปลี่ยนแปลงนี้สามารถดำเนินการได้และเราจะประสบความสำเร็จ รูปแบบบัญญัติซึ่งคุณสามารถกำจัดเครื่องหมายลอการิทึมได้

การขยายขอบเขตของคำจำกัดความและรากเพิ่มเติม

ในกระบวนการแปลงสมการลอการิทึม อาจมีการขยายขอบเขตคำจำกัดความโดยนัย บ่อยครั้งที่นักเรียนไม่สังเกตเห็นสิ่งนี้ด้วยซ้ำ ซึ่งนำไปสู่ข้อผิดพลาดและคำตอบที่ไม่ถูกต้อง

เริ่มจากการออกแบบที่ง่ายที่สุดกันก่อน สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีดังต่อไปนี้:

บันทึก a f (x) = b

โปรดทราบว่า x มีอยู่ในอาร์กิวเมนต์เดียวของลอการิทึมเดียวเท่านั้น เราจะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร? เราใช้รูปแบบบัญญัติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองจินตนาการถึงตัวเลข b = log a a b และสมการของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

บันทึก a f(x) = บันทึก a a b

รายการนี้เรียกว่ารูปแบบตามรูปแบบบัญญัติ ด้วยเหตุนี้คุณควรลดสมการลอการิทึมใด ๆ ที่คุณจะพบไม่เพียง แต่ในบทเรียนของวันนี้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงงานอิสระและงานทดสอบด้วย

จะมาสู่รูปแบบบัญญัติได้อย่างไรเทคนิคใดที่จะใช้ - นี่เป็นเรื่องของการปฏิบัติอยู่แล้ว สิ่งสำคัญที่ต้องทำความเข้าใจ: ทันทีที่คุณได้รับบันทึกดังกล่าว เราสามารถสรุปได้ว่าปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว เพราะขั้นตอนต่อไปคือการเขียน:

ฉ (x) = ข

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรากำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมและเพียงแค่ถือเอาข้อโต้แย้งเท่านั้น

ทำไมต้องพูดทั้งหมดนี้? ความจริงก็คือรูปแบบมาตรฐานนั้นสามารถใช้ได้ไม่เพียงกับปัญหาที่ง่ายที่สุดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงปัญหาอื่น ๆ ด้วย โดยเฉพาะบรรดาผู้ที่เราจะตัดสินใจกันในวันนี้ มาดูกันดีกว่า

งานแรก:

สมการนี้มีปัญหาอะไร? ความจริงก็คือฟังก์ชันนี้มีอยู่ในลอการิทึมสองตัวพร้อมกัน ปัญหาสามารถลดลงให้เหลือน้อยที่สุดได้โดยการลบลอการิทึมหนึ่งออกจากอีกลอการิทึม แต่ปัญหาเกิดขึ้นกับพื้นที่คำจำกัดความ: รากเพิ่มเติมอาจปรากฏขึ้น ลองย้ายลอการิทึมตัวหนึ่งไปทางขวา:

รายการนี้คล้ายกับรูปแบบ Canonical มากกว่ามาก แต่มีความแตกต่างอีกอย่างหนึ่ง: ในรูปแบบบัญญัติข้อโต้แย้งจะต้องเหมือนกัน ทางซ้ายเรามีลอการิทึมในฐาน 3 และทางขวาในฐาน 1/3 เขารู้ดีว่าต้องนำฐานเหล่านี้มาให้เท่ากัน ตัวอย่างเช่น จำไว้ว่าพลังเชิงลบคืออะไร:

จากนั้นเราจะใช้เลขชี้กำลัง "-1" นอกบันทึกเป็นตัวคูณ:

โปรดทราบ: องศาที่อยู่ตรงฐานจะกลับด้านและกลายเป็นเศษส่วน เราได้สัญกรณ์ที่เกือบจะเป็นที่ยอมรับโดยการกำจัดฐานที่แตกต่างกัน แต่ในทางกลับกัน เราได้ตัวประกอบ "−1" ทางด้านขวา ลองแยกปัจจัยนี้เข้าในการโต้แย้งโดยเปลี่ยนให้เป็นกำลัง:

แน่นอนว่าเมื่อได้รับรูปแบบที่เป็นที่ยอมรับแล้ว เราก็ขีดฆ่าเครื่องหมายของลอการิทึมอย่างกล้าหาญและถือเอาข้อโต้แย้ง ในเวลาเดียวกัน ฉันขอเตือนคุณว่าเมื่อยกกำลัง "−1" เศษส่วนจะถูกพลิกกลับ - จะได้สัดส่วน

ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนแล้วคูณตามขวาง:

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x2 - 10x + 16 = 0

เรามีสมการกำลังสองข้างต้นอยู่ตรงหน้าเรา ดังนั้นเราจึงแก้มันโดยใช้สูตรของ Vieta:

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; x2 = 2

นั่นคือทั้งหมดที่ คุณคิดว่าสมการได้รับการแก้ไขหรือไม่? เลขที่! สำหรับคำตอบดังกล่าว เราจะได้รับ 0 คะแนน เนื่องจากสมการดั้งเดิมมีลอการิทึมสองตัวที่มีตัวแปร x ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความด้วย

และนี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก นักเรียนส่วนใหญ่สับสน: โดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึมคืออะไร? แน่นอนว่า อาร์กิวเมนต์ทั้งหมด (เรามีสองข้อ) จะต้องมากกว่าศูนย์:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

อสมการเหล่านี้แต่ละอย่างจะต้องได้รับการแก้ไข ทำเครื่องหมายเป็นเส้นตรง ตัดกัน และจากนั้นจึงดูว่ารากใดอยู่ที่จุดตัด

พูดตามตรง: เทคนิคนี้มีสิทธิ์ที่จะมีอยู่ เชื่อถือได้ และคุณจะได้รับคำตอบที่ถูกต้อง แต่มีขั้นตอนที่ไม่จำเป็นมากเกินไป มาดูวิธีแก้ปัญหาของเราอีกครั้งแล้วดูว่าเราจำเป็นต้องใช้ขอบเขตตรงไหนกันแน่? กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าเมื่อใดที่มีรากเพิ่มเติมปรากฏขึ้น

เริ่มแรกเรามีลอการิทึมสองตัว จากนั้นเราย้ายอันใดอันหนึ่งไปทางขวา แต่สิ่งนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อพื้นที่คำจำกัดความ
จากนั้นเราก็ลบกำลังออกจากฐาน แต่ยังมีลอการิทึมสองตัวและในแต่ละลอการิทึมจะมีตัวแปร x
ในที่สุด เราก็ขีดฆ่าเครื่องหมายของบันทึกแล้วได้สมการตรรกยะเศษส่วนแบบคลาสสิก

มาถึงขั้นตอนสุดท้ายที่ขยายขอบเขตคำจำกัดความ! ทันทีที่เราเปลี่ยนมาใช้สมการเศษส่วน-ตรรกยะ โดยกำจัดเครื่องหมายบันทึก ข้อกำหนดสำหรับตัวแปร x ก็เปลี่ยนไปอย่างมาก!

ดังนั้น ขอบเขตของคำจำกัดความจึงไม่สามารถพิจารณาได้ตั้งแต่ตอนเริ่มต้นของการแก้ปัญหา แต่เฉพาะในขั้นตอนที่กล่าวถึงเท่านั้น ก่อนที่จะเทียบเคียงข้อโต้แย้งโดยตรง

นี่คือจุดที่โอกาสในการเพิ่มประสิทธิภาพอยู่ ในด้านหนึ่ง เราจำเป็นต้องให้อาร์กิวเมนต์ทั้งสองมีค่ามากกว่าศูนย์ ในทางกลับกัน เรายังถือเอาข้อโต้แย้งเหล่านี้เพิ่มเติมอีกด้วย ดังนั้น หากอย่างน้อยหนึ่งอันเป็นบวก อันที่สองก็จะเป็นบวกด้วย!

ปรากฎว่าการต้องบรรลุความไม่เท่าเทียมกันสองประการพร้อมกันนั้นเกินความจำเป็น ก็เพียงพอที่จะพิจารณาเศษส่วนเพียงตัวเดียวเท่านั้น อันไหน? อันที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น ลองดูที่เศษส่วนทางขวา:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

นี่เป็นเรื่องปกติ อสมการเชิงเหตุผลแบบเศษส่วนเราแก้มันโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

วางป้ายอย่างไร? ลองหาจำนวนที่มากกว่ารากทั้งหมดของเราอย่างเห็นได้ชัด. เช่น 1 พันล้าน. และเราแทนเศษส่วนของมัน. เราได้รับ จำนวนบวก, เช่น. ทางด้านขวาของรูท x = 5 จะมีเครื่องหมายบวก

จากนั้นสัญญาณจะสลับกัน เนื่องจากไม่มีรากของความหลากหลายแม้แต่ที่ใดก็ได้ เราสนใจช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นบวก ดังนั้น x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞)

ตอนนี้ เรามาจำคำตอบกัน: x = 8 และ x = 2 พูดอย่างเคร่งครัด สิ่งเหล่านี้ยังไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นเพียงผู้มีสิทธิ์ชิงคำตอบเท่านั้น ตัวไหนอยู่ในชุดที่ระบุ? แน่นอน x = 8 แต่ x = 2 ไม่เหมาะกับเราในแง่ของขอบเขตคำจำกัดความ

โดยรวมแล้วคำตอบของสมการลอการิทึมแรกจะเป็น x = 8 ตอนนี้เรามีวิธีแก้ปัญหาที่มีความสามารถและมีพื้นฐานมาอย่างดี โดยคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความ

เรามาดูสมการที่สองกันดีกว่า:

ล็อก 5 (x − 9) = ล็อก 0.5 4 − ล็อก 5 (x − 5) + 3

ฉันขอเตือนคุณว่าหากมีเศษส่วนทศนิยมในสมการ คุณควรกำจัดมันออกไป กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองเขียน 0.5 ใหม่เป็นเศษส่วนร่วมกัน เราสังเกตได้ทันทีว่าลอการิทึมที่มีฐานนี้คำนวณได้ง่าย:

นี่เป็นช่วงเวลาที่สำคัญมาก! เมื่อเรามีองศาทั้งในฐานและอาร์กิวเมนต์ เราสามารถหาตัวบ่งชี้ขององศาเหล่านี้ได้โดยใช้สูตร:

กลับไปที่สมการลอการิทึมเดิมของเราแล้วเขียนใหม่:

ล็อก 5 (x − 9) = 1 − ล็อก 5 (x − 5)

เราได้รับการออกแบบที่ค่อนข้างใกล้เคียงกับรูปแบบมาตรฐาน อย่างไรก็ตาม เราสับสนกับคำศัพท์และเครื่องหมายลบทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ ลองแทนค่าหนึ่งเป็นลอการิทึมของฐาน 5:

ล็อก 5 (x − 9) = ล็อก 5 5 1 − ล็อก 5 (x − 5)

ลบลอการิทึมทางด้านขวา (ในกรณีนี้อาร์กิวเมนต์จะถูกแบ่งออก):

ล็อก 5 (x − 9) = ล็อก 5 5/(x − 5)

มหัศจรรย์. ดังนั้นเราจึงได้รูปแบบที่เป็นที่ยอมรับ! เราขีดฆ่าสัญญาณบันทึกและถือเอาข้อโต้แย้ง:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

นี่คือสัดส่วนที่แก้ได้ง่ายๆ ด้วยการคูณตามขวาง:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

แน่นอนว่า เรามีสมการกำลังสองลดลง สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรของ Vieta:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

เรามีสองราก แต่สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่คำตอบสุดท้าย แต่เป็นเพียงคำตอบเท่านั้น เนื่องจากสมการลอการิทึมจำเป็นต้องตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความด้วย

ฉันเตือนคุณว่า: ไม่จำเป็นต้องค้นหาเมื่อใด ทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์จะมากกว่าศูนย์ ก็เพียงพอแล้วที่จะกำหนดให้อาร์กิวเมนต์ตัวใดตัวหนึ่ง—ทั้ง x − 9 หรือ 5/(x − 5)—มีค่ามากกว่าศูนย์ พิจารณาข้อโต้แย้งแรก:

x - 9 > 0

x > 9

แน่นอนว่ามีเพียง x = 10 เท่านั้นที่ตรงตามข้อกำหนดนี้ นี่คือคำตอบสุดท้าย ปัญหาทั้งหมดได้รับการแก้ไขแล้ว

อีกครั้งหนึ่ง แนวคิดสำคัญของบทเรียนวันนี้:

ทันทีที่ตัวแปร x ปรากฏในลอการิทึมหลายตัว สมการจะยุติการเป็นระดับประถมศึกษาและจะต้องคำนวณโดเมนของคำจำกัดความ มิฉะนั้น คุณสามารถเขียนรากเพิ่มเติมในคำตอบได้อย่างง่ายดาย
การทำงานกับโดเมนนั้นอาจง่ายขึ้นอย่างมากหากเราเขียนความไม่เท่าเทียมกันไม่ใช่ในทันที แต่ในช่วงเวลาที่เรากำจัดสัญญาณบันทึกออก ท้ายที่สุด เมื่ออาร์กิวเมนต์ถูกเทียบเคียงกัน ก็เพียงพอแล้วที่จะกำหนดให้มีเพียงข้อโต้แย้งเดียวเท่านั้นที่มากกว่าศูนย์

แน่นอน เราเองก็เลือกข้อโต้แย้งที่จะใช้เพื่อสร้างความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะเลือกข้อโต้แย้งที่ง่ายที่สุด ตัวอย่างเช่น ในสมการที่สอง เราเลือกอาร์กิวเมนต์ (x − 9) ซึ่งเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ซึ่งตรงข้ามกับอาร์กิวเมนต์ที่สองที่เป็นตรรกศาสตร์เศษส่วน เห็นด้วย การแก้อสมการ x − 9 > 0 นั้นง่ายกว่า 5/(x − 5) > 0 มาก แม้ว่าผลลัพธ์จะเหมือนเดิมก็ตาม

ข้อสังเกตนี้ทำให้การค้นหา ODZ ง่ายขึ้นอย่างมาก แต่ต้องระวัง: คุณสามารถใช้ความไม่เท่าเทียมกันหนึ่งรายการแทนสองได้ก็ต่อเมื่ออาร์กิวเมนต์นั้นแม่นยำ มีความเท่าเทียมกัน!

แน่นอนว่าตอนนี้คงมีคนถามว่าจะเกิดอะไรขึ้นที่แตกต่างออกไป? ใช่บางเวลา. ตัวอย่างเช่น ในขั้นตอนนี้ เมื่อเราคูณสองอาร์กิวเมนต์ที่มีตัวแปร อาจมีความเสี่ยงที่รากที่ไม่จำเป็นจะปรากฏขึ้น

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ขั้นแรกจำเป็นต้องให้แต่ละอาร์กิวเมนต์มีค่ามากกว่าศูนย์ แต่หลังจากการคูณก็เพียงพอแล้วที่ผลคูณของพวกมันจะมากกว่าศูนย์ เป็นผลให้เกิดกรณีที่เศษส่วนแต่ละตัวเป็นลบหายไป

ดังนั้น หากคุณเพิ่งเริ่มเข้าใจสมการลอการิทึมที่ซับซ้อน ไม่ว่าจะในสถานการณ์ใดก็ตาม ห้ามคูณลอการิทึมที่มีตัวแปร x ซึ่งมักจะทำให้เกิดรากที่ไม่จำเป็น เป็นการดีกว่าที่จะดำเนินการขั้นตอนพิเศษหนึ่งขั้น ย้ายคำหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง และสร้างแบบฟอร์มตามรูปแบบบัญญัติ

จะทำอย่างไรถ้าคุณไม่สามารถทำได้โดยไม่ต้องคูณลอการิทึมเราจะพูดถึงในบทเรียนวิดีโอหน้า :)

อีกครั้งเกี่ยวกับพลังในสมการ

วันนี้เราจะตรวจสอบหัวข้อที่ค่อนข้างลื่นเกี่ยวกับสมการลอการิทึม หรือถ้าให้เจาะจงกว่านั้นคือการถอดกำลังออกจากอาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม

ฉันจะพูดด้วยซ้ำว่าเราจะพูดถึงการลบกำลังคู่ออก เพราะด้วยกำลังคู่นั้น ปัญหาส่วนใหญ่เกิดขึ้นเมื่อแก้สมการลอการิทึมจริง

เริ่มจากรูปแบบบัญญัติกันก่อน สมมติว่าเรามีสมการของรูปแบบ log a f (x) = b ในกรณีนี้ เราเขียนตัวเลข b ใหม่โดยใช้สูตร b = log a a b ปรากฎดังต่อไปนี้:

บันทึก a f(x) = บันทึก a a b

จากนั้นเราถือเอาข้อโต้แย้ง:

ฉ (x) = ข

สูตรสุดท้ายเรียกว่ารูปแบบมาตรฐาน ด้วยเหตุนี้พวกเขาจึงพยายามลดสมการลอการิทึมใด ๆ ไม่ว่ามันจะดูซับซ้อนและน่ากลัวเพียงใดเมื่อมองแวบแรกก็ตาม

เรามาลองดูกัน เริ่มจากงานแรกกันก่อน:

หมายเหตุเบื้องต้น: อย่างที่บอกไปทุกอย่าง ทศนิยมในสมการลอการิทึมควรแปลงเป็นสมการสามัญ:

0,5 = 5/10 = 1/2

ลองเขียนสมการของเราใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้ โปรดทราบว่าทั้ง 1/1000 และ 100 เป็นกำลังของ 10 แล้วลองเอากำลังออกไม่ว่าจะอยู่ที่ใดก็ตาม จากอาร์กิวเมนต์และแม้กระทั่งจากฐานของลอการิทึม:

และนักเรียนหลายคนมีคำถามว่า “โมดูลทางด้านขวามาจากไหน” จริงๆ แล้วทำไมไม่เขียน (x − 1) ล่ะ? แน่นอน ตอนนี้เราจะเขียน (x − 1) แต่เมื่อคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความแล้ว ทำให้เรามีสิทธิ์ใช้สัญลักษณ์ดังกล่าว ท้ายที่สุดแล้ว มีลอการิทึมอื่นอยู่แล้ว (x − 1) และนิพจน์นี้ต้องมากกว่าศูนย์

แต่เมื่อเราลบกำลังสองออกจากฐานของลอการิทึม เราต้องปล่อยให้โมดูลอยู่ที่ฐานอย่างแน่นอน ให้ฉันอธิบายว่าทำไม

ความจริงก็คือ จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ การได้รับปริญญาก็เท่ากับการหยั่งราก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อเรายกกำลังสองนิพจน์ (x − 1) 2 เรากำลังหารากที่สองเป็นหลัก แต่รากที่สองนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าโมดูลัส อย่างแน่นอน โมดูลเพราะแม้ว่านิพจน์ x − 1 จะเป็นลบ แต่เมื่อยกกำลังสองแล้ว “เครื่องหมายลบ” ก็จะยังคงอยู่ การสกัดรากเพิ่มเติมจะทำให้เราได้จำนวนบวกโดยไม่มีข้อเสียใด ๆ

โดยทั่วไป เพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดที่น่ารังเกียจ โปรดจำไว้เสมอว่า:

รากของกำลังคู่ของฟังก์ชันใด ๆ ที่ถูกยกให้เป็นกำลังเดียวกันนั้นไม่เท่ากับตัวฟังก์ชันเอง แต่เป็นโมดูลัสของมัน:

ลองกลับไปที่สมการลอการิทึมของเรากัน เมื่อพูดถึงโมดูล ฉันแย้งว่าเราสามารถลบมันออกได้อย่างง่ายดาย นี่เป็นเรื่องจริง ตอนนี้ฉันจะอธิบายว่าทำไม พูดอย่างเคร่งครัด เราต้องพิจารณาสองทางเลือก:

x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x - 1
x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

แต่ละตัวเลือกเหล่านี้จะต้องได้รับการแก้ไข แต่มีสิ่งหนึ่งที่เข้าใจได้: สูตรดั้งเดิมมีฟังก์ชัน (x − 1) อยู่แล้วโดยไม่มีโมดูลัสใดๆ และตามขอบเขตของนิยามลอการิทึม เรามีสิทธิ์เขียน x − 1 > 0 ได้ทันที

ข้อกำหนดนี้ต้องเป็นไปตามข้อกำหนดโดยไม่คำนึงถึงโมดูลและการเปลี่ยนแปลงอื่นๆ ที่เราทำในกระบวนการโซลูชัน ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่จะต้องพิจารณาตัวเลือกที่สอง - มันจะไม่มีวันเกิดขึ้น แม้ว่าเราจะได้ตัวเลขมาบ้างเมื่อแก้ไขสาขาของความไม่เท่าเทียมกันนี้ แต่ก็ยังไม่รวมอยู่ในคำตอบสุดท้าย

ตอนนี้เราอยู่ห่างจากรูปแบบมาตรฐานของสมการลอการิทึมไปหนึ่งก้าวแล้ว ลองเป็นตัวแทนของหน่วยดังต่อไปนี้:

1 = บันทึก x − 1 (x − 1) 1

นอกจากนี้ เรายังแนะนำตัวประกอบ −4 ซึ่งอยู่ทางขวาเข้าสู่อาร์กิวเมนต์:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึม เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึม:

10 −4 = x − 1

แต่เนื่องจากฐานเป็นฟังก์ชัน (ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ) เราจึงกำหนดให้ฟังก์ชันนี้มีค่ามากกว่าศูนย์และไม่เท่ากับหนึ่งด้วย ระบบผลลัพธ์จะเป็น:

เนื่องจากข้อกำหนด x − 1 > 0 เป็นไปตามข้อกำหนดโดยอัตโนมัติ (ท้ายที่สุดแล้ว x − 1 = 10 −4) จึงสามารถลบหนึ่งในอสมการออกจากระบบของเราได้ เงื่อนไขที่สองสามารถขีดฆ่าออกได้ เนื่องจาก x − 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

นี่เป็นรากเดียวที่ตอบสนองข้อกำหนดทั้งหมดของโดเมนคำจำกัดความของลอการิทึมโดยอัตโนมัติ (อย่างไรก็ตาม ข้อกำหนดทั้งหมดถูกกำจัดออกไปตามที่เห็นได้ชัดเจนในเงื่อนไขของปัญหาของเรา)

ดังนั้นสมการที่สอง:

3 บันทึก 3 x x = 2 บันทึก 9 x x 2

สมการนี้แตกต่างโดยพื้นฐานจากสมการก่อนหน้าอย่างไร อย่างน้อยที่สุดก็คือความจริงที่ว่าฐานของลอการิทึม - 3x และ 9x - ไม่ใช่ องศาธรรมชาติกันและกัน. ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงที่เราใช้ในโซลูชันก่อนหน้านี้จึงไม่สามารถทำได้

อย่างน้อยก็กำจัดองศาออกไป ในกรณีของเรา อำนาจเดียวที่อยู่ในอาร์กิวเมนต์ที่สอง:

3 บันทึก 3 x x = 2 ∙ 2 บันทึก 9 x |x |

อย่างไรก็ตาม เครื่องหมายโมดูลัสสามารถลบออกได้ เนื่องจากตัวแปร x อยู่ที่ฐานเช่นกัน กล่าวคือ x > 0 ⇒ |x| = x ลองเขียนสมการลอการิทึมของเราใหม่:

3 บันทึก 3 x x = 4 บันทึก 9 x x

เราได้รับลอการิทึมซึ่งอาร์กิวเมนต์เหมือนกัน แต่ เหตุผลที่แตกต่างกัน. จะทำอย่างไรต่อไป? มีตัวเลือกมากมายที่นี่ แต่เราจะพิจารณาเพียงสองตัวเลือกเท่านั้นซึ่งสมเหตุสมผลที่สุดและที่สำคัญที่สุดคือเทคนิคเหล่านี้เป็นเทคนิคที่รวดเร็วและเข้าใจได้สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่

เราได้พิจารณาตัวเลือกแรกแล้ว: ในสถานการณ์ที่ไม่ชัดเจน ให้แปลงลอการิทึมที่มีฐานแปรผันให้เป็นฐานคงที่บางค่า ตัวอย่างเช่นเพื่อผีสาง สูตรการเปลี่ยนแปลงนั้นง่าย:

แน่นอนว่าบทบาทของตัวแปร c ควรเป็นจำนวนปกติ: 1 ≠ c > 0 สมมุติว่าในกรณีของเรา c = 2 ตอนนี้เรามีสมการตรรกยะเศษส่วนธรรมดาตรงหน้าเราแล้ว เรารวบรวมองค์ประกอบทั้งหมดทางด้านซ้าย:

แน่นอนว่า เป็นการดีกว่าที่จะลบตัวประกอบ log 2 x เนื่องจากมีอยู่ในเศษส่วนตัวแรกและตัวที่สอง

บันทึก 2 x = 0;

3 บันทึก 2 9x = 4 บันทึก 2 3x

เราแบ่งแต่ละบันทึกออกเป็นสองเงื่อนไข:

บันทึก 2 9x = บันทึก 2 9 + บันทึก 2 x = 2 บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x;

บันทึก 2 3x = บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x

มาเขียนความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงเหล่านี้:

3 (2 บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x ) = 4 (บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x )

6 บันทึก 2 3 + 3 บันทึก 2 x = 4 บันทึก 2 3 + 4 บันทึก 2 x

2 บันทึก 2 3 = บันทึก 2 x

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการป้อนสองภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม (มันจะกลายเป็นกำลัง: 3 2 = 9):

บันทึก 2 9 = บันทึก 2 x

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบมาตรฐานที่ยอมรับได้ เราจะกำจัดเครื่องหมายลอการิทึมและรับ:

ตามที่คาดไว้ รูทนี้กลายเป็นมากกว่าศูนย์ ยังคงต้องตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความ ลองดูสาเหตุ:

แต่รูท x = 9 เป็นไปตามข้อกำหนดเหล่านี้ ดังนั้นจึงเป็นทางออกสุดท้าย

บทสรุปจาก การตัดสินใจครั้งนี้ง่าย ๆ: อย่ากลัวการคำนวณที่ยาวนาน! ในตอนแรกเราเลือกฐานใหม่โดยการสุ่ม - และกระบวนการนี้ซับซ้อนมาก

แต่แล้วคำถามก็เกิดขึ้น: พื้นฐานคืออะไร เหมาะสมที่สุด? ฉันจะพูดถึงเรื่องนี้ด้วยวิธีที่สอง

กลับไปที่สมการดั้งเดิมของเรา:

3 บันทึก 3x x = 2 บันทึก 9x x 2

3 บันทึก 3x x = 2 ∙ 2 บันทึก 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 บันทึก 3 x x = 4 บันทึก 9 x x

ทีนี้ลองคิดดูหน่อย: ตัวเลขหรือฟังก์ชันใดจะเป็นพื้นฐานที่เหมาะสมที่สุด? เห็นได้ชัดว่า ตัวเลือกที่ดีที่สุดจะเป็น c = x - สิ่งที่มีอยู่ในข้อโต้แย้งแล้ว ในกรณีนี้สูตร log a b = log c b / log c a จะอยู่ในรูปแบบ:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง นิพจน์จะกลับรายการเพียงอย่างเดียว ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์และพื้นฐานจะกลับกัน

สูตรนี้มีประโยชน์มากและมักใช้ในการแก้สมการลอการิทึมที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม มีข้อผิดพลาดร้ายแรงประการหนึ่งเมื่อใช้สูตรนี้ หากเราแทนที่ตัวแปร x แทนฐาน จะมีการกำหนดข้อจำกัดที่ไม่เคยสังเกตมาก่อน:

ไม่มีข้อจำกัดดังกล่าวในสมการดั้งเดิม ดังนั้น เราควรตรวจสอบกรณีแยกกันเมื่อ x = 1 แทนค่านี้ลงในสมการของเรา:

3 บันทึก 3 1 = 4 บันทึก 9 1

เราได้รับความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง ดังนั้น x = 1 คือราก เราพบรากที่เหมือนกันทุกประการในวิธีการก่อนหน้านี้ที่จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหา

แต่ตอนนี้เมื่อเราพิจารณากรณีนี้แยกกัน เราก็ถือว่า x ≠ 1 ได้อย่างปลอดภัย จากนั้นสมการลอการิทึมของเราจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

3 บันทึก x 9x = 4 บันทึก x 3x

เราขยายลอการิทึมทั้งสองโดยใช้สูตรเดียวกันกับเมื่อก่อน โปรดทราบว่าบันทึก x x = 1:

3 (บันทึก x 9 + บันทึก x x ) = 4 (บันทึก x 3 + บันทึก x x )

3 บันทึก x 9 + 3 = 4 บันทึก x 3 + 4

3 บันทึก x 3 2 − 4 บันทึก x 3 = 4 − 3

2 บันทึก x 3 = 1

ดังนั้นเราจึงมาถึงรูปแบบบัญญัติ:

บันทึก x 9 = บันทึก x x 1

x=9

เราได้รากที่สอง เป็นไปตามข้อกำหนด x ≠ 1 ดังนั้น x = 9 พร้อมด้วย x = 1 จึงเป็นคำตอบสุดท้าย

อย่างที่คุณเห็นปริมาณการคำนวณลดลงเล็กน้อย แต่เมื่อแก้สมการลอการิทึมจริง จำนวนขั้นตอนจะน้อยกว่ามากเนื่องจากคุณไม่จำเป็นต้องอธิบายแต่ละขั้นตอนโดยละเอียด

กฎสำคัญของบทเรียนวันนี้มีดังต่อไปนี้: หากปัญหามีดีกรีเลขคู่ ซึ่งรากของดีกรีเดียวกันถูกแยกออกมา ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นโมดูลัส อย่างไรก็ตาม โมดูลนี้สามารถลบออกได้หากคุณใส่ใจกับโดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึม

แต่ระวัง: หลังจากบทเรียนนี้ นักเรียนส่วนใหญ่คิดว่าตนเข้าใจทุกอย่างแล้ว แต่เมื่อแก้ไขปัญหาจริง พวกเขาไม่สามารถสร้างสายโซ่ลอจิคัลทั้งหมดได้ เป็นผลให้สมการได้มาซึ่งรากที่ไม่จำเป็นและคำตอบกลับกลายเป็นว่าไม่ถูกต้อง

คุณสมบัติหลัก.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

บริเวณที่เหมือนกัน

ล็อก6 4 + ล็อก6 9.

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย

ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x >

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ดูสิ่งนี้ด้วย:

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเดือนปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)

เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

4. ที่ไหน .

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x ถ้า

ตัวอย่างที่ 3 ให้ค่าลอการิทึมได้รับ

คำนวณบันทึก (x) ถ้า

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ก็จะไม่สามารถแก้ไขปัญหาร้ายแรงได้ ปัญหาลอการิทึม. นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร บันทึก: ช่วงเวลาสำคัญที่นี่ - บริเวณที่เหมือนกัน. หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ หลายคนถูกสร้างขึ้นจากข้อเท็จจริงนี้ เอกสารทดสอบ. ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ซึ่งฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น

สูตรลอการิทึม โซลูชันตัวอย่างลอการิทึม

เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีจำนวนเท่ากัน: log2 7 เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้หาได้ทั่วไปไม่บ่อยนัก การแสดงออกทางตัวเลข. มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น

แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; ล็อก2 25 = ล็อก2 52 = 2ล็อก2 5;

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:

ในกรณีแรก ตัวเลข n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .

อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้

เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม สิ่งเหล่านี้มักเกิดปัญหาอยู่เสมอ และน่าประหลาดใจที่ยังสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อีกด้วย

logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา

ดูสิ่งนี้ด้วย:

ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a แสดงถึงนิพจน์ การคำนวณลอการิทึมหมายถึงการค้นหากำลัง x () ที่ทำให้ได้ความเท่าเทียมกัน

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

จำเป็นต้องทราบคุณสมบัติข้างต้นเนื่องจากปัญหาและตัวอย่างเกือบทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของปัญหาเหล่านี้ คุณสมบัติแปลกใหม่ที่เหลือสามารถได้มาจากการปรุงแต่งทางคณิตศาสตร์ด้วยสูตรเหล่านี้

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เมื่อคำนวณสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลอการิทึม (3.4) คุณมักจะพบบ่อยมาก ส่วนที่เหลือค่อนข้างซับซ้อน แต่ในงานจำนวนหนึ่งสิ่งเหล่านี้ขาดไม่ได้ในการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนและคำนวณค่าของพวกเขา

กรณีทั่วไปของลอการิทึม

ลอการิทึมทั่วไปบางตัวเป็นลอการิทึมที่มีฐานเป็นสิบเลขยกกำลังหรือสอง
ลอการิทึมถึงฐานสิบมักเรียกว่าลอการิทึมทศนิยม และเขียนแทนด้วย lg(x)

จากการบันทึกก็ชัดเจนว่าพื้นฐานไม่ได้ถูกเขียนไว้ในการบันทึก ตัวอย่างเช่น

ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขชี้กำลัง (แสดงโดย ln(x))

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเดือนปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย

และลอการิทึมสำคัญอีกตัวหนึ่งของฐานสองเขียนแทนด้วย

อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเท่ากับค่าหนึ่งหารด้วยตัวแปร

ลอการิทึมอินทิกรัลหรือแอนติเดริเวทีฟถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์

เนื้อหาที่ให้มานั้นเพียงพอสำหรับคุณในการแก้ปัญหาหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมและลอการิทึม เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจเนื้อหา ฉันจะยกตัวอย่างทั่วไปบางส่วนจากหลักสูตรของโรงเรียนและมหาวิทยาลัย

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)

เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

2.
โดยคุณสมบัติของผลต่างของลอการิทึมที่เรามี

3.
เราพบโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

4. ที่ไหน .

โดยรูปลักษณ์ การแสดงออกที่ซับซ้อนการใช้กฎหลายข้อทำให้ง่ายต่อการสร้าง

การค้นหาค่าลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x ถ้า

สารละลาย. สำหรับการคำนวณ เราใช้กับคุณสมบัติ 5 และ 13 เทอมสุดท้าย

เราบันทึกไว้และไว้อาลัย

เนื่องจากฐานเท่ากัน เราจึงจัดนิพจน์ให้เท่ากัน

ลอการิทึม ระดับแรก.

ให้ค่าลอการิทึมได้รับ

คำนวณบันทึก (x) ถ้า

วิธีแก้: ลองใช้ลอการิทึมของตัวแปรเพื่อเขียนลอการิทึมผ่านผลรวมของพจน์ของมัน

นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของความคุ้นเคยกับลอการิทึมและคุณสมบัติของพวกมัน ฝึกฝนการคำนวณ เสริมสร้างทักษะการปฏิบัติของคุณ - ในไม่ช้าคุณจะต้องมีความรู้ที่ได้รับในการแก้สมการลอการิทึม หลังจากศึกษาวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการดังกล่าวแล้ว เราจะขยายความรู้ของคุณไปยังหัวข้ออื่นที่สำคัญไม่แพ้กัน - อสมการลอการิทึม...

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงสักข้อเดียวก็ไม่สามารถแก้ไขได้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ บริเวณที่เหมือนกัน. หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log6 4 + log6 9

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

วิธีแก้ลอการิทึม

นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม