นี่เป็นบทเรียนสุดท้ายและสำคัญที่สุดที่จำเป็นในการแก้ปัญหา B11 เรารู้วิธีแปลงมุมจากการวัดเรเดียนเป็นหน่วยวัดองศาแล้ว (ดูบทเรียน " การวัดเรเดียนและองศาของมุม") และเรายังรู้วิธีกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยเน้นที่พิกัดไตรมาส (ดูบทเรียน " สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติ")

เรื่องยังเล็กอยู่: เพื่อคำนวณค่าของฟังก์ชันเอง - จำนวนที่เขียนไว้ในคำตอบ ที่นี่เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานมาช่วย

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน สำหรับมุมใด ๆ α ข้อความนี้เป็นจริง:

บาป 2 α + cos 2 α = 1

สูตรนี้เกี่ยวข้องกับไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่ง ทีนี้ เมื่อรู้ไซน์แล้ว เราก็สามารถหาโคไซน์ได้อย่างง่ายดาย และในทางกลับกัน ก็เพียงพอที่จะหารากที่สอง:

สังเกตเครื่องหมาย "±" ที่ด้านหน้าราก ความจริงก็คือจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน มันไม่ชัดเจนว่าไซน์และโคไซน์ดั้งเดิมคืออะไร: บวกหรือลบ ท้ายที่สุด การยกกำลังสองเป็นฟังก์ชันคู่ที่ "เผา" ค่าลบทั้งหมด (ถ้ามี)

นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมงาน B11 ทั้งหมดที่พบใน USE ในวิชาคณิตศาสตร์จึงต้องมี ข้อกำหนดเพิ่มเติมซึ่งช่วยขจัดความไม่แน่นอนด้วยสัญญาณต่างๆ โดยปกตินี่เป็นข้อบ่งชี้ของพิกัดไตรมาสที่สามารถกำหนดเครื่องหมายได้

ผู้อ่านที่เอาใจใส่จะถามอย่างแน่นอน: “แล้วแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ล่ะ” เป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณฟังก์ชันเหล่านี้โดยตรงจากสูตรข้างต้น อย่างไรก็ตาม มีผลสืบเนื่องที่สำคัญจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานที่มีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์อยู่แล้ว กล่าวคือ:

ผลสืบเนื่องที่สำคัญ: สำหรับมุมใดๆ α อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

สมการเหล่านี้อนุมานได้ง่ายจากเอกลักษณ์พื้นฐาน - เพียงพอแล้วที่จะหารทั้งสองข้างด้วย cos 2 α (เพื่อให้ได้แทนเจนต์) หรือโดยบาป 2 α (สำหรับโคแทนเจนต์)

ลองดูทั้งหมดนี้ด้วยตัวอย่างเฉพาะ ด้านล่างนี้คือปัญหา B11 จริงที่นำมาจากการทดลองใช้ ใช้ตัวเลือกในวิชาคณิตศาสตร์ 2555

เรารู้โคไซน์ แต่เราไม่รู้ไซน์ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก (ในรูปแบบที่ "บริสุทธิ์") เชื่อมโยงฟังก์ชันเหล่านี้เท่านั้น ดังนั้นเราจะดำเนินการกับมัน เรามี:

บาป 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ บาป 2 α + 99/100 = 1 ⇒ บาป 2 α = 1/100 ⇒ บาป α = ±1/10 = ±0.1

ในการแก้ปัญหาก็ยังคงต้องหาเครื่องหมายของไซน์ เนื่องจากมุม α ∈ (π /2; π ) ดังนั้นในการวัดองศาจึงเขียนได้ดังนี้: α ∈ (90°; 180°)

ดังนั้นมุม α อยู่ในไตรมาสพิกัด II - ไซน์ทั้งหมดที่มีเป็นบวก ดังนั้นบาป α = 0.1

เรารู้ไซน์ แต่เราต้องหาโคไซน์ ฟังก์ชันทั้งสองนี้อยู่ในเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน เราแทนที่:

บาป 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0.5

มันยังคงจัดการกับเครื่องหมายหน้าเศษส่วน จะเลือกอะไรดี: บวกหรือลบ? ตามเงื่อนไข มุม α เป็นของช่วง (π 3π /2) ลองแปลงมุมจากการวัดเรเดียนเป็นหน่วยวัดองศา - เราได้: α ∈ (180°; 270°)

แน่นอน นี่คือไตรมาสพิกัด III โดยที่โคไซน์ทั้งหมดเป็นลบ ดังนั้น cosα = −0.5

งาน. ค้นหา tg α หากคุณทราบสิ่งต่อไปนี้:

แทนเจนต์และโคไซน์สัมพันธ์กันโดยสมการต่อไปนี้จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

เราได้รับ: tg α = ±3 เครื่องหมายของแทนเจนต์ถูกกำหนดโดยมุม α เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า α ∈ (3π /2; 2π ) ลองแปลงมุมจากการวัดเรเดียนเป็นหน่วยวัดดีกรี - เราได้ α ∈ (270°; 360°)

เห็นได้ชัดว่านี่คือไตรมาสพิกัด IV โดยที่เส้นสัมผัสทั้งหมดเป็นค่าลบ ดังนั้น tgα = −3

งาน. หา cos α ถ้าคุณรู้สิ่งต่อไปนี้:

อีกครั้ง ไซน์เป็นที่รู้จักและโคไซน์ไม่เป็นที่รู้จัก เราเขียนเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก:

บาป 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0.64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0.36 ⇒ cos α = ±0.6

เครื่องหมายถูกกำหนดโดยมุม เรามี: α ∈ (3π /2; 2π ) ลองแปลงมุมจากองศาเป็นเรเดียน: α ∈ (270 °; 360°) คือไตรมาสพิกัด IV โคไซน์เป็นบวกที่นั่น ดังนั้น cos α = 0.6

งาน. ค้นหาบาป α ถ้าคุณรู้สิ่งต่อไปนี้:

ลองเขียนสูตรที่ตามมาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานและเชื่อมโยงไซน์กับโคแทนเจนต์โดยตรง:

จากตรงนี้เราจะได้ sin 2 α = 1/25 นั่นคือ บาป α = ±1/5 = ±0.2 เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ามุม α ∈ (0; π /2) ในหน่วยองศา เขียนได้ดังนี้: α ∈ (0°; 90°) - ฉันพิกัดไตรมาส

ดังนั้นมุมอยู่ใน I พิกัดไตรมาส - ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นบวกที่นั่น ดังนั้น sin α \u003d 0.2

ข้อมูลอ้างอิงสำหรับแทนเจนต์ (tg x) และโคแทนเจนต์ (ctg x) ความหมายทางเรขาคณิต คุณสมบัติ กราฟ สูตร ตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ อนุพันธ์ อินทิกรัล การขยายอนุกรม นิพจน์ผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน การเชื่อมต่อกับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

ความหมายทางเรขาคณิต

|BD| - ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด A
α คือมุมที่แสดงเป็นเรเดียน

แทนเจนต์ ( tgα) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาตรงข้าม |BC| ถึงความยาวของขาข้างเคียง |AB| .

โคแทนเจนต์ ( ctgα) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ถึงความยาวของขาตรงข้าม |BC| .

แทนเจนต์

ที่ไหน น- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก แทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tg x

โคแทนเจนต์

ที่ไหน น- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก โคแทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
สัญกรณ์ต่อไปนี้ยังถูกนำมาใช้:
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctg x

คุณสมบัติของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

เป็นระยะ

ฟังก์ชัน y= tg xและ y= ctg xเป็นคาบที่มีคาบ π

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นค่าคี่

โดเมนของความหมายและค่า จากน้อยไปมาก จากมากไปน้อย

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ (ดูการพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แสดงในตาราง ( น- จำนวนเต็ม)

	y= tg x	y= ctg x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง
ช่วงของค่า	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
จากน้อยไปมาก		-
จากมากไปน้อย	-
สุดขั้ว	-	-
ศูนย์, y= 0
จุดตัดกับแกน y, x = 0	y= 0	-

สูตร

นิพจน์ในแง่ของไซน์และโคไซน์

; ;
; ;
;

สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของผลรวมและส่วนต่าง

สูตรที่เหลือหาได้ง่ายเช่น

ผลิตภัณฑ์ของแทนเจนต์

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับค่าบางค่าของการโต้แย้ง

นิพจน์ในรูปของจำนวนเชิงซ้อน

นิพจน์ในแง่ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

; .

.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n เทียบกับตัวแปร x ของฟังก์ชัน :
.
ที่มาของสูตรแทนเจนต์ > > > ; สำหรับโคแทนเจนต์ > > >

ปริพันธ์

ขยายเป็นซีรีส์

เพื่อให้ได้การขยายตัวของแทนเจนต์ในยกกำลังของ x คุณต้องพิจารณาเงื่อนไขการขยายหลายชุดในอนุกรมกำลังสำหรับฟังก์ชัน บาป xและ cos xและแบ่งพหุนามเหล่านี้ออกจากกัน , . ซึ่งส่งผลในสูตรต่อไปนี้

ที่ .

ที่ .
ที่ไหน บีน- เบอร์นูลลี พวกเขาจะถูกกำหนดอย่างใดอย่างหนึ่งจากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ:
;
;
ที่ไหน .
หรือตามสูตรลาปลาซ:

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออาร์คแทนเจนต์และอาร์คโคแทนเจนต์ตามลำดับ

อาร์คแทนเจนต์ arctg

, ที่ไหน น- ทั้งหมด.

อาร์คแทนเจนต์ arcctg

, ที่ไหน น- ทั้งหมด.

ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Educational Institutions, Lan, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Researchers and Engineers, 2555.

อัตราส่วนระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติหลัก - ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ - ถูกกำหนด สูตรตรีโกณมิติ. และเนื่องจากมีความสัมพันธ์กันค่อนข้างมากระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ นี่จึงอธิบายความอุดมสมบูรณ์ของสูตรตรีโกณมิติด้วย บางสูตรเชื่อมโยงฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียวกัน อื่นๆ - ฟังก์ชันของหลายมุม อื่นๆ - อนุญาตให้คุณลดระดับลง ส่วนที่สี่ - เพื่อแสดงฟังก์ชันทั้งหมดผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม ฯลฯ

ในบทความนี้ เราจะแสดงรายการสูตรตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดตามลำดับ ซึ่งเพียงพอสำหรับการแก้ปัญหาตรีโกณมิติส่วนใหญ่ เพื่อความสะดวกในการท่องจำและใช้งาน เราจะจัดกลุ่มตามวัตถุประสงค์ แล้วป้อนลงในตาราง

การนำทางหน้า

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง พวกเขาติดตามจากนิยามของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เช่นเดียวกับแนวคิดของวงกลมหน่วย พวกมันทำให้คุณสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งผ่านฟังก์ชันอื่นๆ

สำหรับคำอธิบายโดยละเอียดของสูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ ตัวอย่างที่มาและตัวอย่างการใช้งาน โปรดดูบทความ

สูตรหล่อ

สูตรหล่อตามมาจากคุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ กล่าวคือ สะท้อนคุณสมบัติของคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สมบัติของสมมาตร และสมบัติของการเลื่อนตามมุมที่กำหนด สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ทำให้คุณสามารถย้ายจากการทำงานกับมุมใดก็ได้เป็นการทำงานกับมุมตั้งแต่ศูนย์ถึง 90 องศา

เหตุผลสำหรับสูตรเหล่านี้ กฎช่วยในการจำและตัวอย่างการใช้งานสามารถศึกษาได้ในบทความ

สูตรเสริม

สูตรบวกตรีโกณมิติแสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลรวมหรือผลต่างของมุมสองมุมแสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้อย่างไร สูตรเหล่านี้ใช้เป็นพื้นฐานในการหาสูตรตรีโกณมิติต่อไปนี้

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม (เรียกอีกอย่างว่าสูตรหลายมุม) แสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของสองเท่า สามเท่า ฯลฯ มุม () แสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียว ที่มาของพวกเขาขึ้นอยู่กับสูตรการบวก

ข้อมูลรายละเอียดเพิ่มเติมถูกรวบรวมไว้ในบทความสูตรสำหรับสองเท่า สามเท่า ฯลฯ มุม .

สูตรครึ่งมุม

สูตรครึ่งมุมแสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของครึ่งมุมแสดงในรูปของโคไซน์ของมุมจำนวนเต็มอย่างไร สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ตามมาจากสูตรมุมคู่

บทสรุปและตัวอย่างการสมัครสามารถพบได้ในบทความ

สูตรลด

สูตรตรีโกณมิติลดองศาออกแบบมาเพื่ออำนวยความสะดวกในการเปลี่ยนจาก องศาธรรมชาติฟังก์ชันตรีโกณมิติกับไซน์และโคไซน์ในระดับแรก แต่มีหลายมุม กล่าวอีกนัยหนึ่ง พวกเขายอมลดกำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นอันดับแรก

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จุดหมายหลัก สูตรผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติประกอบด้วยการเปลี่ยนไปใช้ผลคูณของฟังก์ชัน ซึ่งมีประโยชน์มากเมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรีโกณมิติ สูตรเหล่านี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหา สมการตรีโกณมิติเนื่องจากอนุญาตให้แยกผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

สูตรสำหรับผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์โดยโคไซน์

การเปลี่ยนจากผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติไปเป็นผลรวมหรือผลต่างจะดำเนินการโดยใช้สูตรสำหรับผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์โดยโคไซน์

Bashmakov M.I.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับ 10-11 เซลล์ เฉลี่ย โรงเรียน - ครั้งที่ 3 - ม.: ตรัสรู้, 2536. - 351 น.: ป่วย. - ไอเอสบีเอ็น 5-09-004617-4

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับ 10-11 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และอื่น ๆ ; เอ็ด. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: การตรัสรู้, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3

Gusev V. A. , Mordkovich A. G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค): Proc. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า รร. 2527-351 น.

ลิขสิทธิ์โดย นักเรียนฉลาด

สงวนลิขสิทธิ์.
ได้รับการคุ้มครองตามกฎหมายลิขสิทธิ์ ห้ามทำซ้ำส่วนหนึ่งของ www.site รวมถึงวัสดุภายในและการออกแบบภายนอกในรูปแบบใดๆ หรือใช้โดยไม่ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรล่วงหน้าจากผู้ถือลิขสิทธิ์

ข้อมูลอ้างอิงเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ sine (sin x) และ cosine (cos x) ความหมายทางเรขาคณิต คุณสมบัติ กราฟ สูตร ตารางของไซน์และโคไซน์ อนุพันธ์ อินทิกรัล ส่วนขยายอนุกรม ซีแคนต์ โคซีแคนต์ นิพจน์ผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน การเชื่อมต่อกับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

นิยามทางเรขาคณิตของไซน์และโคไซน์

|BD|- ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่ง อา.
α เป็นมุมที่แสดงเป็นเรเดียน

คำนิยาม
ไซนัสเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาตรงข้าม |BC| ถึงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

โคไซน์ (cos α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ถึงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

ตำแหน่งที่ยอมรับ

;
;
.

;
;
.

กราฟของฟังก์ชันไซน์ y = บาป x

กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ y = cos x

คุณสมบัติของไซน์และโคไซน์

เป็นระยะ

ฟังก์ชัน y= บาป xและ y= cos xเป็นระยะกับช่วงเวลา 2 ปี.

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันไซน์เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันโคไซน์มีค่าเท่ากัน

โดเมนของความหมายและค่า, สุดขั้ว, เพิ่มขึ้น, ลดลง

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ นั่นคือสำหรับ x ทั้งหมด (ดูการพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของพวกเขาถูกนำเสนอในตาราง (n - จำนวนเต็ม)

	y= บาป x	y= cos x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ช่วงของค่า	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
จากน้อยไปมาก
จากมากไปน้อย
ค่าสูงสุด y= 1
มินิมา y ​​= - 1
ศูนย์, y= 0
จุดตัดกับแกน y, x = 0	y= 0	y= 1

สูตรพื้นฐาน

ผลรวมของไซน์กำลังสองและโคไซน์

สูตรไซน์และโคไซน์สำหรับผลรวมและส่วนต่าง

;
;

สูตรสำหรับผลคูณของไซน์และโคไซน์

สูตรผลรวมและผลต่าง

การแสดงออกของไซน์ผ่านโคไซน์

;
;
;
.

การแสดงออกของโคไซน์ผ่านไซน์

;
;
;
.

การแสดงออกในรูปของแทนเจนต์

; .

สำหรับ เรามี:
; .

ที่ :
; .

ตารางของไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับค่าบางค่าของการโต้แย้ง

นิพจน์ผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน

;

สูตรออยเลอร์

{ -∞ < x < +∞ }

ซีแคนต์, โคซีแคนต์

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของไซน์และโคไซน์คืออาร์กไซน์และอาร์คโคไซน์ตามลำดับ

Arcsine, อาร์คซิน

อาร์โคไซน์, อาร์คโคส

ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Educational Institutions, Lan, 2009.

ในตอนต้นของบทความนี้ เราได้พูดถึงแนวคิดของฟังก์ชันตรีโกณมิติ วัตถุประสงค์หลักของจุดประสงค์คือเพื่อศึกษาพื้นฐานของตรีโกณมิติและการศึกษากระบวนการเป็นระยะ และเราไม่ได้วาดวงกลมตรีโกณมิติอย่างไร้ประโยชน์ เพราะในกรณีส่วนใหญ่ ฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมหรือบางส่วนของมันในวงกลมหนึ่งหน่วย ฉันยังกล่าวถึงความสำคัญอย่างยิ่งของตรีโกณมิติใน ชีวิตที่ทันสมัย. แต่วิทยาศาสตร์ไม่หยุดนิ่ง ด้วยเหตุนี้ เราสามารถขยายขอบเขตของตรีโกณมิติได้อย่างมีนัยสำคัญ และถ่ายโอนข้อกำหนดของตรีโกณมิติไปเป็นจำนวนจริง และบางครั้งก็เป็นจำนวนเชิงซ้อน

สูตรตรีโกณมิติมีหลายประเภท ลองพิจารณาตามลำดับ

1. ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติในมุมเดียวกัน

ที่นี่เรามาพิจารณาแนวคิดเช่น เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน.

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติคือความเท่าเทียมกันที่ประกอบด้วยความสัมพันธ์เกี่ยวกับตรีโกณมิติและเป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของมุมที่รวมอยู่ในนั้น

พิจารณาอัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่สำคัญที่สุดและข้อพิสูจน์:

เอกลักษณ์แรกเกิดขึ้นจากนิยามของแทนเจนต์

เอาละ สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีมุมแหลม x ที่จุดยอด A



ในการพิสูจน์ตัวตน จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

ตอนนี้เราหารด้วย (AB) 2 ทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันและจำคำจำกัดความของบาปและ cos ของมุม เราจะได้เอกลักษณ์ที่สอง:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

บาป x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

บาป 2 x + cos 2 x = 1

เพื่อพิสูจน์ตัวตนที่สามและสี่ เราใช้หลักฐานก่อนหน้า

ในการทำเช่นนี้ เราแบ่งทั้งสองส่วนของเอกลักษณ์ที่สองด้วย cos 2 x:

บาป 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

บาป 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

ขึ้นอยู่กับตัวตนแรก tg x \u003d sin x / cos x เราได้รับที่สาม:

1 + tg2x = 1/cos2x

ตอนนี้เราแบ่งตัวตนที่สองด้วยบาป 2 x:

บาป 2 x/ บาป 2 x + cos 2 x/ บาป 2 x = 1/ บาป 2 x

1+ cos 2 x/ บาป 2 x = 1/ บาป 2 x

cos 2 x/ sin 2 x ไม่มีอะไรเลยนอกจาก 1/tg 2 x ดังนั้นเราจึงได้เอกลักษณ์ที่สี่:

1 + 1/tg2x = 1/sin2x

ถึงเวลาที่ต้องจำทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมซึ่งบอกว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม \u003d 180 0 ปรากฎว่าที่จุดยอด B ของสามเหลี่ยมมีมุมที่มีค่าเท่ากับ 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x



จำคำจำกัดความของ sin และ cos อีกครั้ง แล้วเราจะได้ตัวตนที่ห้าและหก:

บาป x = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = บาป x

มาทำสิ่งต่อไปนี้กัน:

cos x = (AC)/(AB)

บาป(90 0 - x) = (AC)/(AB)

บาป(90 0 - x) = cos x

อย่างที่คุณเห็น ทุกอย่างเป็นพื้นฐานที่นี่

มีอัตลักษณ์อื่น ๆ ที่ใช้ในการแก้อัตลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ฉันจะให้พวกเขาในรูปแบบ ข้อมูลพื้นฐานเพราะพวกเขาทั้งหมดมาจากข้างต้น



2. นิพจน์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผ่านกันและกัน

   (การเลือกเครื่องหมายด้านหน้ารูตนั้นพิจารณาจากส่วนใดของวงกลมที่มุมตั้งอยู่?)







3. ต่อไปนี้เป็นสูตรสำหรับการบวกและการลบมุม:



4. สูตรมุมสอง สาม และครึ่ง

   ฉันสังเกตว่าพวกเขาทั้งหมดตามมาจากสูตรก่อนหน้า

บาป 2x \u003d 2sin x * cos x

cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1

tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)

stg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x

cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

stg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)









5. สูตรสำหรับการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ: