ตัวอย่าง1 . คำนวณพื้นที่ของรูป ล้อมรอบด้วยเส้น: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 และ x = 2

มาสร้างร่างกันเถอะ (ดูรูป) เราสร้างเส้นตรง x + 2y - 4 \u003d 0 ตามจุดสองจุด A (4; 0) และ B (0; 2) แสดง y ในรูปของ x เราได้ y \u003d -0.5x + 2 ตามสูตร (1) โดยที่ f (x) \u003d -0.5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, เรา หา

S \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11.25 ตร. หน่วย

ตัวอย่าง 2 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 และ y \u003d 0

วิธีการแก้. มาสร้างร่างกันเถอะ

มาสร้างเส้นตรง x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2)

มาสร้างเส้นตรง x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5)

หาจุดตัดของเส้นโดยแก้ระบบสมการ:

x = 2, y = 3; ม(2; 3).

ในการคำนวณพื้นที่ที่ต้องการ เราแบ่งสามเหลี่ยม AMC ออกเป็นสองสามเหลี่ยม AMN และ NMC เนื่องจากเมื่อ x เปลี่ยนจาก A เป็น N พื้นที่นั้นจะถูกจำกัดด้วยเส้นตรง และเมื่อ x เปลี่ยนจาก N เป็น C จะเป็นเส้นตรง

สำหรับสามเหลี่ยม AMN เรามี: ; y \u003d 0.5x + 2 เช่น f (x) \u003d 0.5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2

สำหรับสามเหลี่ยม NMC เรามี: y = - x + 5, เช่น f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5

การคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละรูปและเพิ่มผลลัพธ์เราพบว่า:

ตร. หน่วย

ตร. หน่วย

9 + 4, 5 = 13.5 ตร.ว. หน่วย ตรวจสอบ: = 0.5AC = 0.5 ตร.ม. หน่วย

ตัวอย่างที่ 3 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3

ในกรณีนี้จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลา y = x 2 , เส้นตรง x \u003d 2 และ x \u003d 3 และแกน Ox (ดูรูปที่) ตามสูตร (1) เราพบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

= = 6kv. หน่วย

ตัวอย่างที่ 4 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y \u003d - x 2 + 4 และ y = 0

มาสร้างร่างกันเถอะ พื้นที่ที่ต้องการอยู่ระหว่างพาราโบลา y \u003d - x 2 +4 และแกน อ้อ

หาจุดตัดของพาราโบลาที่มีแกน x สมมติว่า y \u003d 0 เราพบ x \u003d เนื่องจากตัวเลขนี้สมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy เราคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวาของแกน Oy และเพิ่มผลลัพธ์เป็นสองเท่า: \u003d + 4x] ตร. หน่วย 2 = 2 ตร.ม. หน่วย

ตัวอย่างที่ 5 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y 2 = x, yx = 1, x = 4

นี่จะต้องคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยกิ่งบนของพาราโบลา y 2 \u003d x แกน Ox และเส้นตรง x \u003d 1x \u003d 4 (ดูรูปที่)

ตามสูตร (1) โดยที่ f(x) = a = 1 และ b = 4 เรามี = (= sq. units

ตัวอย่างที่ 6 . คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

พื้นที่ที่ต้องการถูกจำกัดด้วยไซนูซอยด์ครึ่งคลื่นและแกน Ox (ดูรูป)

เรามี - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 ตารางเมตร หน่วย

ตัวอย่าง 7 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y \u003d - 6x, y \u003d 0 และ x \u003d 4

รูปอยู่ใต้แกน Ox (ดูรูป)

ดังนั้น พื้นที่ของมันถูกหาได้จากสูตร (3)

= =

ตัวอย่างที่ 8 คำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y \u003d และ x \u003d 2 เราจะสร้างเส้นโค้ง y \u003d โดยจุด (ดูรูป) ดังนั้น พื้นที่ของรูปจึงหาได้จากสูตร (4)

ตัวอย่างที่ 9 .

X 2 + y 2 = ร 2 .

ที่นี่คุณต้องคำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยวงกลม x 2 + y 2 = ร 2 นั่นคือ พื้นที่ของวงกลมรัศมี r มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด มาหาส่วนที่สี่ของพื้นที่นี้กัน โดยเอาขีดจำกัดของการรวมจาก0

ดอร์; เรามี: 1 = = [

เพราะเหตุนี้, 1 =

ตัวอย่าง 10 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y \u003d x 2 และ y = 2x

ตัวเลขนี้ถูกจำกัดโดยพาราโบลา y \u003d x 2 และเส้นตรง y \u003d 2x (ดูรูปที่) เพื่อกำหนดจุดตัดของเส้นที่กำหนดเราแก้ระบบสมการ: x 2 – 2x = 0 x = 0 และ x = 2

โดยใช้สูตร (5) เพื่อหาพื้นที่ เราจะได้

= \- -fl - G -1-±L_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* ตัวอย่างที่ 2 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยไซนูซอยด์ y = แกน sinXy Ox และเส้นตรง ( รูปที่ 87) ใช้สูตร (I) เราได้รับ L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf ด้วยแกน Ox (เช่น ระหว่างจุดกำเนิดกับจุดที่มี abscissa i) โปรดทราบว่าจากการพิจารณาทางเรขาคณิต เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่นี้จะเป็นสองเท่า พื้นที่มากขึ้นตัวอย่างก่อนหน้า อย่างไรก็ตาม มาคำนวณกัน: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2 o อันที่จริงข้อสันนิษฐานของเรานั้นยุติธรรม ตัวอย่างที่ 4 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยไซนัสและ ^ แกน Ox ในช่วงเวลาหนึ่ง (รูปที่ 88) การตัดสินแบบ ras-figure เบื้องต้นแนะนำว่าพื้นที่นั้นจะใหญ่กว่าใน pr 2 ถึงสี่เท่า อย่างไรก็ตาม หลังจากทำการคำนวณ เราได้ “i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0 ผลลัพธ์นี้ต้องมีการชี้แจง เพื่อชี้แจงสาระสำคัญของเรื่อง เรายังคำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยไซนูซอยด์เดียวกัน y \u003d บาป l: และแกนวัวที่มีตั้งแต่ l ถึง 2n ใช้สูตร (I) เราได้รับ ดังนั้นเราจึงเห็นว่าบริเวณนี้กลายเป็นลบ เมื่อเปรียบเทียบกับพื้นที่ที่คำนวณในตัวอย่างที่ 3 เราพบว่าค่าสัมบูรณ์เหมือนกัน แต่เครื่องหมายต่างกัน หากเราใช้คุณสมบัติ V (ดู Ch. XI, § 4) เราก็ได้มาโดยบังเอิญ พื้นที่ใต้แกน x เสมอ โดยที่ตัวแปรอิสระเปลี่ยนจากซ้ายไปขวา ได้มาจากการคำนวณโดยใช้อินทิกรัลลบ ในหลักสูตรนี้ เราจะพิจารณาพื้นที่ที่ไม่ได้ลงนามเสมอ ดังนั้น คำตอบในตัวอย่างที่วิเคราะห์จะเป็นดังนี้ พื้นที่ที่ต้องการเท่ากับ 2 + |-2| = 4. ตัวอย่างที่ 5. ลองคำนวณพื้นที่ของ BAB ที่แสดงในรูปที่ 89. บริเวณนี้จำกัดด้วยแกน Ox, พาราโบลา y = - xr และเส้นตรง y - = -x + \ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง พื้นที่ที่ต้องการ OAB ประกอบด้วยสองส่วน: OAM และ MAB เนื่องจากจุด A เป็นจุดตัดของพาราโบลาและเส้นตรง เราจะหาพิกัดได้โดยการแก้ระบบสมการ 3 2 Y \u003d mx (เราต้องหา abscissa ของจุด A เท่านั้น) การแก้ปัญหาระบบเราพบ l; =~. ดังนั้นจะต้องคำนวณพื้นที่เป็นส่วน ๆ ก่อน pl. OAM แล้วก็ pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2 QAM-^x (ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง) ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน พาร์ติชั่นนี้เป็นไปได้ด้วยความช่วยเหลือของจุด x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 ให้เราลากเส้นผ่านจุดเหล่านี้ขนานกับแกน y จากนั้นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ให้มาจะถูกแบ่งออกเป็น n ส่วน เป็น n คอลัมน์แคบ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของคอลัมน์

พิจารณาแยกคอลัมน์ที่ k นั่นคือ สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งซึ่งฐานเป็นส่วน ลองแทนที่ด้วยสี่เหลี่ยมที่มีฐานและความสูงเท่ากัน f(x k) (ดูรูป) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \) โดยที่ \(\Delta x_k \) คือความยาวของส่วน เป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาผลิตภัณฑ์ที่รวบรวมเป็นค่าโดยประมาณของพื้นที่ของคอลัมน์ kth

หากตอนนี้เราทำเช่นเดียวกันกับคอลัมน์อื่นๆ ทั้งหมด เราก็มาถึงผลลัพธ์ต่อไปนี้ พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่กำหนดจะเท่ากับพื้นที่ S n ของรูปขั้นบันไดที่ประกอบขึ้นจาก n สี่เหลี่ยมโดยประมาณ (ดูรูป):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
ที่นี่เพื่อความสม่ำเสมอของสัญกรณ์เราถือว่า a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - ความยาวเซ็กเมนต์ , \(\Delta x_1 \) - ความยาวเซ็กเมนต์ ฯลฯ ; ในขณะที่ตามที่ตกลงกันไว้ข้างต้น \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

ดังนั้น \(S \ประมาณ S_n \) และความเท่าเทียมกันโดยประมาณนี้ยิ่งแม่นยำ ยิ่ง n มีขนาดใหญ่ขึ้น
ตามคำจำกัดความจะถือว่าพื้นที่ที่ต้องการของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเท่ากับขีด จำกัด ของลำดับ (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

งาน2(เกี่ยวกับการย้ายจุด)
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง การพึ่งพาความเร็วตรงเวลาแสดงโดยสูตร v = v(t) ค้นหาการกระจัดของจุดในช่วงเวลา [a; ข].
วิธีการแก้.หากการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ ปัญหาก็จะได้รับการแก้ไขอย่างง่าย ๆ : s = vt, i.e. s = วี(b-a). สำหรับการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ ต้องใช้แนวคิดเดียวกันกับที่ใช้แก้ปัญหาก่อนหน้านี้
1) แบ่งช่วงเวลา [a; b] ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน
2) พิจารณาช่วงเวลาและสมมติว่าในช่วงเวลานี้ ความเร็วคงที่ เช่น ที่เวลา t k . ดังนั้นเราจึงถือว่า v = v(t k)
3) ค้นหาค่าโดยประมาณของการกระจัดจุดในช่วงเวลา ค่าโดยประมาณนี้จะแสดงด้วย s k
\(s_k = v(t_k) \เดลต้า t_k \)
4) ค้นหาค่าโดยประมาณของการกระจัด s:
\(s \ประมาณ S_n \) โดยที่
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) การกระจัดที่ต้องการเท่ากับขีด จำกัด ของลำดับ (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

มาสรุปกัน โซลูชั่น งานต่างๆลดลงเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ปัญหามากมายจากสาขาวิชาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีต่างๆ นำไปสู่รูปแบบเดียวกันในกระบวนการแก้ปัญหา ดังนั้น ควรศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้เป็นพิเศษ

แนวคิดของปริพันธ์ที่แน่นอน

ให้เราให้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลองที่สร้างขึ้นในสามปัญหาที่พิจารณาสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งต่อเนื่องกัน (แต่ไม่จำเป็นต้องไม่เป็นค่าลบ ตามที่สันนิษฐานไว้ในปัญหาที่พิจารณา) ในส่วน [ ก; ข]:
1) แบ่งส่วน [a; b] ออกเป็น n ส่วนเท่า ๆ กัน;
2) ผลรวม $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) คำนวณ $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ มีการพิสูจน์แล้วว่าขีดจำกัดนี้มีอยู่แล้วในกรณีของฟังก์ชันต่อเนื่อง (หรือต่อเนื่องทีละส่วน) เขาถูกเรียก ปริพันธ์ที่แน่นอนของฟังก์ชัน y = f(x) เหนือเซกเมนต์ [a; ข]และแสดงดังนี้:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
ตัวเลข a และ b เรียกว่าขีดจำกัดของการรวม (ล่างและบนตามลำดับ)

กลับไปที่งานที่กล่าวถึงข้างต้น คำจำกัดความของพื้นที่ที่กำหนดในปัญหาที่ 1 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ที่นี่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่แสดงในรูปด้านบน นี่คืออะไร ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลแน่นอน

คำจำกัดความของการกระจัด s ของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว v = v(t) ตลอดช่วงเวลาตั้งแต่ t = a ถึง t = b ในปัญหาที่ 2 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

นิวตัน - สูตรไลบนิซ

เริ่มต้นด้วย มาตอบคำถาม: อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลแน่นอนกับแอนติเดริเวทีฟ?

คำตอบสามารถพบได้ในปัญหาที่ 2 ในด้านหนึ่ง การกระจัด s ของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว v = v(t) ในช่วงเวลาตั้งแต่ t = a ถึง t = b และคำนวณโดย สูตร
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

ในทางกลับกัน พิกัดของจุดเคลื่อนที่คือแอนติเดริเวทีฟของความเร็ว - ให้แทนค่า s(t); ดังนั้นการกระจัด s จึงแสดงโดยสูตร s = s(b) - s(a) เป็นผลให้เราได้รับ:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
โดยที่ s(t) คือแอนติเดริเวทีฟสำหรับ v(t)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
ทฤษฎีบท. ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) ต่อเนื่องบนเซกเมนต์ [a; b] แล้วสูตร
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
โดยที่ F(x) คือแอนติเดริเวทีฟสำหรับ f(x)

สูตรนี้มักจะเรียกว่า สูตรนิวตัน-ไลบนิซเพื่อเป็นเกียรติแก่นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ Isaac Newton (1643-1727) และนักปรัชญาชาวเยอรมัน Gottfried Leibniz (1646-1716) ซึ่งได้รับมันอย่างอิสระจากกันและกันและเกือบจะพร้อมกัน

ในทางปฏิบัติ แทนที่จะเขียน F(b) - F(a) พวกเขาใช้สัญกรณ์ \(\left. F(x)\right|_a^b \) (บางครั้งเรียกว่า การทดแทนสองครั้ง) และด้วยเหตุนี้ ให้เขียนสูตร Newton-Leibniz ใหม่ในรูปแบบนี้:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

การคำนวณอินทิกรัลแน่นอน ขั้นแรกให้หาแอนติเดริเวทีฟ แล้วทำการแทนที่แบบทวีคูณ

จากสูตรของนิวตัน-ไลบนิซ เราสามารถหาสมบัติของอินทิกรัลที่แน่นอนได้สองคุณสมบัติ

ทรัพย์สิน 1อินทิกรัลของผลรวมของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอินทิกรัล:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

ทรัพย์สิน 2ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายปริพันธ์ได้:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขระนาบโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน

เมื่อใช้อินทิกรัล คุณสามารถคำนวณพื้นที่ได้ ไม่เพียงแต่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวเลขระนาบของประเภทที่ซับซ้อนกว่าด้วย เช่น พื้นที่ที่แสดงในรูป รูป P ถูกล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = a, x = b และกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f(x), y = g(x) และบนเซ็กเมนต์ [a; b] ความไม่เท่าเทียมกัน \(g(x) \leq f(x) \) ถือ ในการคำนวณพื้นที่ S ของตัวเลขดังกล่าว เราจะดำเนินการดังนี้:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

ดังนั้น พื้นที่ S ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = a, x = b และกราฟของฟังก์ชัน y = f(x), y = g(x) ต่อเนื่องบนเซกเมนต์ และดังนั้น x ใดๆ จาก ส่วน [a; b] ความไม่เท่าเทียมกัน \(g(x) \leq f(x) \) เป็นที่พอใจคำนวณโดยสูตร
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

ตารางปริพันธ์ไม่แน่นอน (แอนติเดริเวทีฟ) ของฟังก์ชันบางอย่าง

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$

ให้ฟังก์ชันไม่เป็นค่าลบและต่อเนื่องกันบนช่วงเวลา จากนั้น ตามความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลบางอย่าง พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบจากด้านบนด้วยกราฟของฟังก์ชันนี้ จากด้านล่างโดยแกน จากด้านซ้ายและขวาด้วยเส้นตรง และ (ดูรูปที่ 2 ) คำนวณโดยสูตร

ตัวอย่างที่ 9หาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น และแกน

วิธีการแก้. กราฟฟังก์ชัน เป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ลง มาสร้างกันเถอะ (รูปที่ 3) เพื่อหาขีดจำกัดของการรวม เราหาจุดตัดของเส้น (พาราโบลา) กับแกน (เส้นตรง) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราแก้ระบบสมการ

เราได้รับ: , ที่ไหน , ; เพราะเหตุนี้, , .

ข้าว. 3

พื้นที่ของรูปหาได้จากสูตร (5):

หากฟังก์ชันไม่เป็นค่าบวกและต่อเนื่องในส่วน แสดงว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งซึ่งล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันนี้จากด้านล่าง จากด้านบนโดยแกน จากด้านซ้ายและขวาด้วยเส้นตรง และ , คือ คำนวณโดยสูตร

. (6)

หากฟังก์ชันต่อเนื่องในส่วนของเซ็กเมนต์และเปลี่ยนเครื่องหมายที่จุดจำนวนจำกัด พื้นที่ของรูปแรเงา (รูปที่ 4) จะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของอินทิกรัลที่แน่นอนที่สอดคล้องกัน:

ข้าว. สี่

ตัวอย่าง 10คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยแกนและกราฟของฟังก์ชันสำหรับ .

ข้าว. 5

วิธีการแก้. มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 5) พื้นที่ที่ต้องการคือผลรวมของพื้นที่และ ลองหาแต่ละพื้นที่เหล่านี้กัน ขั้นแรก เรากำหนดขีดจำกัดของการบูรณาการโดยการแก้ไขระบบ เราได้รับ , . เพราะเหตุนี้:

;

.

ดังนั้น พื้นที่ของรูปแรเงาคือ

(ตร.หน่วย).

ข้าว. 6

ให้ในที่สุด สี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งนั้นถูกล้อมรอบจากด้านบนและด้านล่างโดยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซกเมนต์ และ ,
และทางซ้ายและขวา - ตรงและ (รูปที่ 6) จากนั้นพื้นที่ของมันถูกคำนวณโดยสูตร

. (8)

ตัวอย่างที่ 11หาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น และ .

วิธีการแก้.รูปนี้แสดงในรูปที่ 7. เราคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร (8) การแก้ระบบสมการ เราพบ , ; เพราะเหตุนี้, , . ในส่วนที่เรามี: . ดังนั้นในสูตร (8) เราจึงใช้ as xและในฐานะ - . เราได้รับ:

(ตร.หน่วย).

ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นของการคำนวณพื้นที่จะแก้ไขได้โดยการแยกร่างเป็นส่วนที่ไม่ตัดกันและคำนวณพื้นที่ของตัวเลขทั้งหมดเป็นผลรวมของพื้นที่ของส่วนเหล่านี้

ข้าว. 7

ตัวอย่างที่ 12หาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , .

วิธีการแก้. มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 8) รูปนี้ถือได้ว่าเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบจากด้านล่างโดยแกน จากด้านซ้ายและขวาโดยเส้นตรง และ จากด้านบนด้วยกราฟของฟังก์ชันและ เนื่องจากกราฟของฟังก์ชันสองฟังก์ชันถูกล้อมรอบจากด้านบน ดังนั้นในการคำนวณพื้นที่ เราจึงแบ่งตัวเลขตรงนี้ออกเป็นสองส่วน (1 คือ abscissa ของจุดตัดของเส้นและ) พื้นที่ของแต่ละส่วนเหล่านี้หาได้จากสูตร (4):

(ตร.หน่วย); (ตร.หน่วย). เพราะเหตุนี้:

(ตร.หน่วย).

ข้าว. แปด

X= เจ( ที่)

ข้าว. 9

โดยสรุป เราสังเกตว่าหากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยเส้นตรง และ , แกนและความต่อเนื่องบนเส้นโค้ง (รูปที่ 9) แล้วสูตรจะพบพื้นที่ของมัน

ปริมาณของร่างกายแห่งการปฏิวัติ

ให้สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์, แกน, เส้นตรงและหมุนรอบแกน (รูปที่ 10) จากนั้นปริมาตรของตัวผลลัพธ์ของการปฏิวัติจะถูกคำนวณโดยสูตร

. (9)

ตัวอย่างที่ 13คำนวณปริมาตรของวัตถุที่ได้จากการหมุนรอบแกนของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยไฮเปอร์โบลา เส้นตรง และแกน

วิธีการแก้. มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 11)

มันเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหาที่ว่า , . โดยสูตร (9) เราได้รับ

.

ข้าว. สิบ

ข้าว. สิบเอ็ด

ปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนรอบแกน OUสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง y = คและ y = ด, แกน OUและกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซกเมนต์ (รูปที่ 12) ถูกกำหนดโดยสูตร

. (10)

X= เจ( ที่)

ข้าว. 12

ตัวอย่างที่ 14. คำนวณปริมาตรของวัตถุที่ได้จากการหมุนรอบแกน OUสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยเส้น X 2 = 4ที่, y= 4, x = 0 (รูปที่ 13)

วิธีการแก้. ตามเงื่อนไขของปัญหา เราพบข้อจำกัดของการรวม: , . ตามสูตร (10) เราได้รับ:

ข้าว. 13

ความยาวส่วนโค้งของส่วนโค้งแบน

ให้เส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ , โดยที่ , อยู่ในระนาบ (รูปที่ 14)

ข้าว. สิบสี่

คำนิยาม. ความยาวของส่วนโค้งเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นขีดจำกัดที่ความยาวของเส้นหลายเส้นที่จารึกไว้ในส่วนโค้งนี้มีแนวโน้มเมื่อจำนวนลิงก์ของเส้นตรงมีแนวโน้มเป็นอนันต์ และความยาวของลิงก์ที่ใหญ่ที่สุดมีแนวโน้มเป็นศูนย์

หากฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันต่อเนื่องกันในส่วนนั้น ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งจะถูกคำนวณโดยสูตร

. (11)

ตัวอย่าง 15. คำนวณความยาวของส่วนโค้งของเส้นโค้งที่ล้อมรอบระหว่างจุดที่ .

วิธีการแก้. จากสภาพปัญหาที่เรามี . ตามสูตร (11) เราได้รับ:

.

4. ปริพันธ์ที่ไม่เหมาะสม
ด้วยข้อจำกัดของการบูรณาการอย่างไม่สิ้นสุด

เมื่อแนะนำแนวคิดของปริพันธ์ที่แน่นอน จะถือว่าเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

ก) ขีด จำกัด ของการบูรณาการ เอและมีขอบเขตจำกัด

b) integrand ถูกจำกัดไว้ในส่วน

หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไขเหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งข้อ ให้เรียกอินทิกรัล ไม่เหมาะสม.

อันดับแรก ให้เราพิจารณาอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมพร้อมขีดจำกัดของการบูรณาการอย่างไม่จำกัด

คำนิยาม. ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องบนช่วงเวลา แล้วและไม่มีขอบด้านขวา (รูปที่ 15)

ถ้าอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมมาบรรจบกัน พื้นที่นี้มีขอบเขตจำกัด ถ้าอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมแตกต่างออกไป พื้นที่นี้จะเป็นอนันต์

ข้าว. สิบห้า

อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมที่มีขีดจำกัดล่างของการรวมเป็นอนันต์ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน:

. (13)

อินทิกรัลนี้มาบรรจบกันหากขีดจำกัดทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (13) มีอยู่และจำกัด มิฉะนั้นอินทิกรัลจะเรียกว่าไดเวอร์เจนต์

อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมที่มีขีดจำกัดสองขีดจำกัดของการผสานรวมถูกกำหนดไว้ดังนี้:

, (14)

โดยที่ с คือจุดใดๆ ของช่วง อินทิกรัลมาบรรจบกันก็ต่อเมื่ออินทิกรัลทั้งสองมาบรรจบกันทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (14)

;

ช) = [เลือกสี่เหลี่ยมเต็มในตัวส่วน: ] = [เปลี่ยน:

] =

ดังนั้นอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมมาบรรจบกันและค่าของมันเท่ากับ