ต้นแบบ คำพูดที่สวยงาม.) ก่อนอื่นเป็นภาษารัสเซียเล็กน้อย คำนี้ออกเสียงแบบนี้ทุกประการไม่ใช่ "ต้นแบบ" ตามที่อาจดูเหมือน แอนติเดริเวทีฟเป็นแนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัสอินทิกรัลทั้งหมด อินทิกรัลใด ๆ - ไม่แน่นอน, แน่นอน (คุณจะคุ้นเคยกับพวกเขาในภาคการศึกษานี้), เช่นเดียวกับสองเท่า, สามเท่า, เส้นโค้ง, พื้นผิว (และสิ่งเหล่านี้เป็นตัวละครหลักของปีที่สองอยู่แล้ว) - ถูกสร้างขึ้นบนแนวคิดหลักนี้ เหมาะสมอย่างยิ่งที่จะเชี่ยวชาญ ไป.)

ก่อนที่จะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องแอนติเดริเวทีฟ ให้เรานึกถึงคำศัพท์ทั่วไปที่พบบ่อยที่สุดก่อน อนุพันธ์. โดยไม่ต้องเจาะลึกทฤษฎีอันน่าเบื่อของขีดจำกัด การเพิ่มอาร์กิวเมนต์ และอื่นๆ เราสามารถพูดได้ว่าการค้นหาอนุพันธ์ (หรือ ความแตกต่าง) เป็นเพียงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การทำงาน. นั่นคือทั้งหมดที่ มีการใช้ฟังก์ชันใดๆ (เช่น ฉ(x) = x2) และ ตามกฎเกณฑ์บางประการแปลงร่างเป็น คุณลักษณะใหม่. และอันนี้ก็คืออันนี้ คุณลักษณะใหม่และถูกเรียกว่า อนุพันธ์.

ในกรณีของเรา ก่อนที่จะมีการสร้างความแตกต่าง มีฟังก์ชันอยู่ ฉ(x) = x2และหลังจากความแตกต่างมันก็กลายเป็นไปแล้ว ฟังก์ชั่นอื่น ๆ ฉ'(x) = 2x.

อนุพันธ์– เพราะฟังก์ชั่นใหม่ของเรา ฉ'(x) = 2x เกิดขึ้นจากฟังก์ชัน ฉ(x) = x2. อันเป็นผลมาจากการดำเนินการสร้างความแตกต่าง และโดยเฉพาะจากมัน ไม่ใช่จากฟังก์ชันอื่น ( x3, ตัวอย่างเช่น).

พูดประมาณว่า ฉ(x) = x2- นี่คือแม่และ ฉ'(x) = 2x- ลูกสาวสุดที่รักของเธอ) เรื่องนี้เป็นที่เข้าใจได้ ไปข้างหน้า.

นักคณิตศาสตร์เป็นคนไม่สงบ ในทุกการกระทำพวกเขาพยายามค้นหาปฏิกิริยา :) มีการบวก - มีการลบด้วย มีการคูณและการหาร การเพิ่มพลังคือการถอนราก ไซน์ - อาร์คไซน์ เหมือนเดิมทุกประการ ความแตกต่าง- นั่นหมายความว่ามี... บูรณาการ.)

ทีนี้ลองเสนอปัญหาที่น่าสนใจกัน ตัวอย่างเช่น เรามีฟังก์ชันง่ายๆ เช่นนี้ ฉ(x) = 1. และเราต้องตอบคำถามนี้:

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน WHAT ให้ฟังก์ชันแก่เราฉ(x) = 1?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การได้เห็นลูกสาว ใช้การวิเคราะห์ DNA เพื่อค้นหาว่าแม่ของเธอคือใคร :) แล้วอันไหนล่ะ? ต้นฉบับฟังก์ชั่น (ขอเรียกว่า F(x)) ของเรา อนุพันธ์ฟังก์ชัน f(x) = 1? หรือในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ ซึ่งฟังก์ชัน F(x) มีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ฉ(x) = ฉ(x) = 1?

ตัวอย่างเบื้องต้น ฉันพยายามแล้ว) เราเพียงแค่เลือกฟังก์ชัน F(x) เพื่อให้ความเท่าเทียมกันทำงานได้ :) แล้วคุณเจอหรือยัง? แน่นอน! ฉ(x) = x เพราะ:

F'(x) = x' = 1 = ฉ(x).

แน่นอนแม่พบแล้ว ฉ(x) = xฉันต้องเรียกมันว่าอะไรบางอย่างใช่) เจอกัน!

แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันฉ(x) ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าเอฟ(x) ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับฉ(x), เช่น. ซึ่งความเสมอภาคนั้นคงอยู่เอฟ’(x) = ฉ(x).

นั่นคือทั้งหมดที่ ไม่มีเทคนิคทางวิทยาศาสตร์อีกต่อไป ในคำจำกัดความที่เข้มงวด จะมีการเพิ่มวลีเพิ่มเติม "ในช่วงเวลา X". แต่เราจะไม่เจาะลึกรายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ในตอนนี้ เพราะงานหลักของเราคือการเรียนรู้ที่จะค้นหาสิ่งดึกดำบรรพ์เหล่านี้

ในกรณีของเรา ปรากฎว่าฟังก์ชัน ฉ(x) = xเป็น แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชั่น ฉ(x) = 1.

ทำไม เพราะ ฉ'(x) = ฉ(x) = 1. อนุพันธ์ของ x คือหนึ่ง ไม่มีการคัดค้าน)

คำว่า "ต้นแบบ" ในสำนวนทั่วไปหมายถึง "บรรพบุรุษ" "ผู้ปกครอง" "บรรพบุรุษ" เราจำได้ทันทีที่รักของเราและ ที่รัก.) และการค้นหาแอนติเดริเวทีฟนั้นก็คือการฟื้นฟูฟังก์ชันดั้งเดิม โดยอนุพันธ์ที่รู้จัก. กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการกระทำนี้ ผกผันของความแตกต่าง. นั่นคือทั้งหมด! กระบวนการที่น่าทึ่งนี้เรียกอีกอย่างว่าทางวิทยาศาสตร์ - บูรณาการ. แต่เกี่ยวกับ ปริพันธ์- ภายหลัง. อดทนนะเพื่อน!)

จดจำ:

การอินทิเกรตเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์บนฟังก์ชัน (เช่น การสร้างความแตกต่าง)

บูรณาการคือการดำเนินการผกผันของการสร้างความแตกต่าง

แอนติเดริเวทีฟเป็นผลจากการอินทิเกรต

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้น ตอนนี้ให้เราหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันนี้ ฉ(x) = x. นั่นก็คือเราจะพบว่า ฟังก์ชั่นดังกล่าว ฉ(x) , ถึง อนุพันธ์ของมันจะเท่ากับ X:

F'(x) = x

ใครก็ตามที่คุ้นเคยกับอนุพันธ์คงจะนึกถึงบางอย่างเช่น:

(x 2)’ = 2x.

เคารพและเคารพผู้ที่จำตารางอนุพันธ์!) ถูกต้อง แต่มีปัญหาหนึ่งคือ ฟังก์ชันเดิมของเรา ฉ(x) = x, ก (x 2)’ = 2 x. สองเอ็กซ์ และหลังจากสร้างความแตกต่างแล้ว เราก็ควรจะได้ แค่ x. ไม่เป็นไร. แต่…

คุณและฉันเป็นคนมีการศึกษา เราได้รับใบรับรองของเรา) และจากโรงเรียนเรารู้ว่าทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันสามารถคูณและหารด้วยจำนวนเดียวกันได้ (ยกเว้นศูนย์แน่นอน)! แค่นั้นแหละ จัด ดังนั้นจงตระหนักถึงโอกาสนี้เพื่อประโยชน์ของเราเอง)

เราต้องการให้ X บริสุทธิ์อยู่ทางขวาใช่ไหม? แต่ทั้งสองกลับขวางทาง... เราจึงหาอัตราส่วนของอนุพันธ์ (x 2)' = 2x แล้วหาร ทั้งสองส่วนของมันถึงสองสิ่งนี้:

ดังนั้นบางสิ่งบางอย่างก็เริ่มชัดเจนขึ้นแล้ว ไปข้างหน้า. เรารู้ว่าค่าคงที่ใดๆ ก็เป็นได้ นำอนุพันธ์ออกจากเครื่องหมายแบบนี้:

สูตรทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดทำงานได้ทั้งจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน - จากขวาไปซ้าย ซึ่งหมายความว่า หากประสบความสำเร็จเท่ากัน ค่าคงที่ใดๆ ก็สามารถเป็นได้ แทรกไว้ใต้เครื่องหมายอนุพันธ์:

ในกรณีของเรา เราซ่อนทั้งสองไว้ในตัวส่วน (หรือซึ่งก็คือค่าสัมประสิทธิ์ 1/2 ที่เหมือนกัน) ใต้เครื่องหมายอนุพันธ์:

และตอนนี้ อย่างตั้งใจมาดูบันทึกของเรากันดีกว่า เราเห็นอะไร? เราเห็นความเท่าเทียมกันที่ระบุว่าอนุพันธ์ของ บางสิ่งบางอย่าง(นี้ บางสิ่งบางอย่าง- ในวงเล็บ) เท่ากับ X

ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นนั้นหมายถึงว่าแอนติเดริเวทีฟที่ต้องการสำหรับฟังก์ชันนั้น ฉ(x) = x ทำหน้าที่ ฉ(x) = x 2 /2 . อันที่อยู่ในวงเล็บใต้เส้นขีด โดยตรงในความหมายของแอนติเดริเวทีฟ) ทีนี้มาดูผลลัพธ์กัน มาหาอนุพันธ์กัน:

ยอดเยี่ยม! ได้รับฟังก์ชันดั้งเดิมแล้ว ฉ(x) = x. สิ่งที่พวกเขาเต้นคือสิ่งที่พวกเขากลับมา ซึ่งหมายความว่าหาแอนติเดริเวทีฟของเราได้ถูกต้อง)

และถ้า ฉ(x) = x2? แอนติเดริเวทีฟเท่ากับอะไร? ไม่มีปัญหา! คุณและฉันรู้ (อีกครั้งจากกฎของความแตกต่าง) ว่า:

3x 2 = (x 3)’

และ, นั่นคือ,

เข้าใจแล้ว? ตอนนี้ เราได้เรียนรู้ที่จะนับแอนติเดริเวทีฟสำหรับสิ่งใดๆ ก็ตาม โดยไม่รู้ตัวด้วยตัวเราเอง ฟังก์ชันกำลัง f(x)=x n. ในใจ.) เอาตัวบ่งชี้เริ่มต้น nเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง และเมื่อค่าตอบแทนแบ่งโครงสร้างทั้งหมดด้วย n+1:

สูตรที่ได้นั้นถูกต้องแล้ว ไม่เพียงแต่เป็นตัวบ่งชี้ทางธรรมชาติเท่านั้นองศา nแต่สำหรับอย่างอื่นด้วย – ลบ, เศษส่วน ทำให้ง่ายต่อการค้นหาแอนติเดริเวทีฟจากอันธรรมดา เศษส่วนและ ราก.

ตัวอย่างเช่น:

โดยธรรมชาติแล้ว n ≠ -1 มิฉะนั้นตัวส่วนของสูตรจะกลายเป็นศูนย์ และสูตรจะสูญเสียความหมายของมัน) เกี่ยวกับกรณีพิเศษนี้ n = -1อีกสักหน่อย)

อินทิกรัลไม่ จำกัด คืออะไร? ตารางปริพันธ์

สมมุติว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับอะไร ฉ(x) = x?หนึ่งหนึ่ง - ฉันได้ยินคำตอบที่ไม่พอใจ... หน่วย. แต่...สำหรับฟังก์ชั่น ก(x) = x+1อนุพันธ์ จะเท่ากับหนึ่งด้วย:

นอกจากนี้อนุพันธ์จะเท่ากับความสามัคคีของฟังก์ชันด้วย x+1234 และสำหรับฟังก์ชัน x-10 และสำหรับฟังก์ชันอื่นๆ ของแบบฟอร์ม x+ซี , ที่ไหน กับ – ค่าคงที่ใดๆ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์ และการบวก/ลบศูนย์จะทำให้ไม่มีใครรู้สึกหนาวหรือร้อน)

ส่งผลให้เกิดความคลุมเครือ ปรากฎว่าสำหรับฟังก์ชัน ฉ(x) = 1ทำหน้าที่เป็นต้นแบบ ไม่ใช่แค่ฟังก์ชั่น ฉ(x) = x แต่ยังเป็นฟังก์ชันด้วย ฟ 1 (x) = x+1234 และฟังก์ชั่น ฉ 2 (x) = x-10 และอื่นๆ!

ใช่. เป็นเช่นนั้น) สำหรับทุก ( อย่างต่อเนื่องตามช่วงเวลา) ของฟังก์ชันนั้นไม่ได้มีเพียงแอนติเดริเวทีฟเพียงอันเดียวเท่านั้น แต่ยังมี มากมายไม่สิ้นสุด - ครอบครัวทั้งหมด! ไม่ใช่แค่แม่หรือพ่อคนเดียว แต่เป็นทั้งแผนภูมิต้นไม้ครอบครัว ใช่แล้ว)

แต่! ญาติดึกดำบรรพ์ของเราทุกคนมีคุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งเหมือนกัน นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นญาติกัน) ทรัพย์สินมีความสำคัญมากจนเราจะจดจำมันมากกว่าหนึ่งครั้งในกระบวนการวิเคราะห์เทคนิคการรวมกลุ่ม และเราจะจดจำมันไปอีกนาน)

นี่คือคุณสมบัตินี้:

แอนติเดริเวทีฟสองตัวใดๆ เอฟ 1 (x) และเอฟ 2 (x) จากฟังก์ชันเดียวกันฉ(x) แตกต่างด้วยค่าคงที่:

เอฟ 1 (x) - เอฟ 2 (x) = ส.

ใครสนใจพิสูจน์ก็ศึกษาจากวรรณกรรมหรือเอกสารบรรยายได้เลย) เอาล่ะ ผมจะพิสูจน์เอง โชคดีที่การพิสูจน์ที่นี่เป็นระดับเบื้องต้นในขั้นตอนเดียว เรามาเอาความเท่าเทียมกันกันเถอะ

เอฟ 1 (x) - เอฟ 2 (x) = ค

และ มาแยกความแตกต่างทั้งสองส่วนกันนั่นคือเราแค่เพิ่มจังหวะอย่างโง่เขลา:

นั่นคือทั้งหมดที่ อย่างที่พวกเขาพูด CHT :)

คุณสมบัตินี้หมายถึงอะไร? และเกี่ยวกับข้อเท็จจริงที่ว่าแอนติเดริเวทีฟสองตัวต่างกัน จากฟังก์ชันเดียวกัน ฉ(x)ไม่สามารถแตกต่างกันได้ สำนวนบางอย่างที่มี X . อย่างเคร่งครัดเท่านั้น! กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าเรามีกำหนดการบางอย่าง หนึ่งในต้นฉบับ(ให้มันเป็น F(x)) แล้วก็กราฟ คนอื่นล่ะแอนติเดริเวทีฟของเราสร้างขึ้นโดยการถ่ายโอนกราฟ F(x) ไปตามแกน y แบบขนาน

เรามาดูกันว่าการใช้ฟังก์ชันตัวอย่างจะเป็นอย่างไร ฉ(x) = x. ดั้งเดิมทั้งหมดอย่างที่เรารู้อยู่แล้วมี แบบฟอร์มทั่วไป ฉ(x) = x 2 /2+ค . ในภาพดูเหมือน จำนวนพาราโบลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดได้จากพาราโบลา “หลัก” y = x 2 /2 โดยการเลื่อนขึ้นหรือลงตามแกน OY ขึ้นอยู่กับค่าคงที่ กับ.

จำกราฟของฟังก์ชันตามโรงเรียน y=ฉ(x)+กกะกำหนดการ y=ฉ(x)โดยหน่วย “a” ตามแนวแกน Y?) สิ่งเดียวกันที่นี่)

ยิ่งไปกว่านั้น ให้ความสนใจ: พาราโบลาของเรา ห้ามตัดกันที่ไหน!มันเป็นเรื่องธรรมชาติ ท้ายที่สุดแล้ว ฟังก์ชันที่แตกต่างกันสองฟังก์ชัน y 1 (x) และ y 2 (x) จะสอดคล้องกันอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ สอง ความหมายที่แตกต่างกันค่าคงที่ – ค 1และ ค 2.

ดังนั้น สมการ y 1 (x) = y 2 (x) ไม่เคยมีวิธีแก้:

ค 1 = ค 2

x ∊ ∅ , เพราะ ค 1 ≠ C2

และตอนนี้เรากำลังเข้าใกล้แนวคิดหลักข้อที่สองของแคลคูลัสอินทิกรัล ดังที่เราเพิ่งสร้างไป สำหรับฟังก์ชัน f(x) ใดๆ จะมีเซตแอนติเดริเวทีฟ F(x) + C ที่เป็นอนันต์ ซึ่งต่างกันด้วยค่าคงที่ ชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่สุดนี้ก็มีชื่อพิเศษของตัวเองด้วย) โปรดรักและโปรดปราน!

อินทิกรัลไม่ จำกัด คืออะไร?

เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับฟังก์ชัน ฉ(x) ถูกเรียก อินทิกรัลไม่ จำกัดจากฟังก์ชันฉ(x).

นั่นคือคำจำกัดความทั้งหมด)

"ไม่แน่นอน" - เนื่องจากเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับฟังก์ชันเดียวกัน ไม่มีที่สิ้นสุด. ตัวเลือกที่แตกต่างกันมากเกินไป)

"อินทิกรัล" – เราจะทำความคุ้นเคยกับการถอดรหัสรายละเอียดของคำที่โหดร้ายนี้ในหัวข้อใหญ่ถัดไปที่กล่าวถึง อินทิกรัลที่แน่นอน . สำหรับตอนนี้ ในรูปแบบคร่าวๆ เราจะพิจารณาบางสิ่งที่เป็นอินทิกรัล ทั่วไป, รวมกัน, ทั้งหมด. และโดยการบูรณาการ - ยูเนี่ยน ลักษณะทั่วไปในกรณีนี้ การเปลี่ยนจากเฉพาะ (อนุพันธ์) ไปเป็นทั่วไป (ต้านอนุพันธ์) อะไรแบบนั้น.

อินทิกรัลไม่ จำกัด แสดงดังนี้:

มันอ่านแบบเดียวกับที่เขียนว่า: อินทิกรัล ef จาก x de x. หรือ บูรณาการ จาก EF จาก x เด xคุณก็เข้าใจ)

ทีนี้มาดูสัญกรณ์กัน

∫ - ไอคอนอินทิกรัลความหมายเหมือนกับจำนวนเฉพาะของอนุพันธ์)

ง - ไอคอนส่วนต่าง ไม่ต้องกลัว! เหตุใดจึงจำเป็นจึงลดลงเล็กน้อย

ฉ(x) - บูรณาการ(ผ่าน "s")

เอฟ(x)ดีเอ็กซ์ - การแสดงออกบูรณาการหรือพูดคร่าวๆ ก็คือ “การเติม” ของอินทิกรัล

ตามความหมายของอินทิกรัลไม่ จำกัด จะได้ว่า

ที่นี่ ฉ(x)- อันเดียวกัน แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชั่น ฉ(x)ซึ่งเราด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง เราค้นพบมันเองพวกเขาค้นพบได้อย่างไรว่ามันไม่ใช่ประเด็น ตัวอย่างเช่นเราพบว่า ฉ(x) = x 2 /2สำหรับ ฉ(x)=x.

"กับ" - ค่าคงที่ตามอำเภอใจหรือในเชิงวิทยาศาสตร์มากกว่านั้น ค่าคงที่อินทิกรัล. หรือ ค่าคงที่การรวมทุกอย่างเป็นหนึ่งเดียว)

ตอนนี้เรากลับมาที่ตัวอย่างแรกสุดของเราในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ ในแง่ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เราสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย:

ค่าคงที่อินทิกรัลคืออะไร และเหตุใดจึงต้องมี

คำถามนี้น่าสนใจมาก และสำคัญมาก (มาก!) จากชุดแอนติเดริเวทีฟที่ไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมด ค่าคงที่อินทิกรัลจะแยกออกจากเส้นตรง ซึ่งผ่านจุดที่กำหนด

ประเด็นคืออะไร? จากชุดแอนติเดริเวทีฟที่ไม่มีที่สิ้นสุดเริ่มต้น (เช่น อินทิกรัลไม่ จำกัด) คุณต้องเลือกเส้นโค้งที่จะผ่านจุดที่กำหนด กับบางอย่าง พิกัดเฉพาะงานดังกล่าวเกิดขึ้นเสมอและทุกที่ในระหว่างการทำความคุ้นเคยกับอินทิกรัลเบื้องต้น ทั้งในโรงเรียนและที่มหาวิทยาลัย

ปัญหาทั่วไป:

ในบรรดาเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชัน f=x ให้เลือกอันที่ผ่านจุด (2;2)

เราเริ่มคิดด้วยหัว... ชุดของพื้นฐานทั้งหมดหมายความว่าเราต้องก่อน รวมฟังก์ชันดั้งเดิมของเราเข้าด้วยกันนั่นคือ x(x) เราทำสิ่งนี้ให้สูงขึ้นเล็กน้อยและได้รับคำตอบดังต่อไปนี้:

ตอนนี้เรามาดูกันว่าเราได้อะไรกันแน่ เราไม่ได้มีเพียงฟังก์ชันเดียวเท่านั้น แต่ยังมี ฟังก์ชั่นทั้งตระกูลอันไหน? วิดา y=x 2 /2+C . ขึ้นอยู่กับค่าคงที่ C และมันคือค่าคงที่ที่เราจะต้อง "จับ" ตอนนี้) เอาล่ะมาเริ่มจับกันดีกว่า?)

คันเบ็ดของเรา - ตระกูลเส้นโค้ง (พาราโบลา) y=x 2 /2+C.

ค่าคงที่ - เหล่านี้คือปลา มากมายและมากมาย แต่แต่ละคนก็มีตะขอและเหยื่อของตัวเอง)

เหยื่อคืออะไร? ขวา! ประเด็นของเราคือ (-2;2)

เราก็แทนที่พิกัดของจุดของเราเป็นรูปแบบทั่วไปของแอนติเดริเวทีฟ! เราได้รับ:

y(2) = 2

หาได้ง่ายจากที่นี่ ค=0.

สิ่งนี้หมายความว่า? ซึ่งหมายความว่าจากเซตพาราโบลาของแบบฟอร์มที่ไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมดy=x 2 /2+Cเท่านั้น พาราโบลาที่มีค่าคงที่ C=0เหมาะกับเรา! กล่าวคือ:y=x 2/2. และมีเพียงเธอเท่านั้น มีเพียงพาราโบลานี้เท่านั้นที่จะผ่านจุดที่เราต้องการ (-2; 2) และในพาราโบลาอื่นๆ จากครอบครัวของเราผ่านไป จุดนี้ พวกเขาจะไม่เป็นอีกต่อไปผ่านจุดอื่น ๆ ของเครื่องบิน - ใช่ แต่ผ่านจุด (2; 2) - ไม่ใช่อีกต่อไป เข้าใจแล้ว?

เพื่อความชัดเจน นี่คือรูปภาพสองรูป - ตระกูลพาราโบลาทั้งหมด (นั่นคืออินทิกรัลไม่จำกัด) และบางรูป พาราโบลาจำเพาะสอดคล้องกัน ค่าเฉพาะของค่าคงที่และผ่านไป จุดเฉพาะ:

คุณจะเห็นว่าการพิจารณาค่าคงที่นั้นสำคัญเพียงใด กับเมื่อบูรณาการ! ดังนั้นอย่าละเลยตัวอักษร “C” ตัวนี้ และอย่าลืมเพิ่มเข้าไปในคำตอบสุดท้ายด้วย

ตอนนี้เรามาดูกันว่าเหตุใดสัญลักษณ์จึงปรากฏทุกที่ภายในอินทิกรัล ดีเอ็กซ์ . นักเรียนมักจะลืมเรื่องนี้... และนี่ก็เป็นความผิดพลาดเช่นกัน! และค่อนข้างหยาบคาย ประเด็นทั้งหมดก็คือว่าการบูรณาการเป็นการดำเนินการผกผันของการสร้างความแตกต่าง และมันคืออะไรกันแน่ ผลของความแตกต่าง? อนุพันธ์? จริงแต่ไม่ทั้งหมด แตกต่าง!

ในกรณีของเรา สำหรับฟังก์ชัน ฉ(x)ส่วนต่างของแอนติเดริเวทีฟ ฉ(x), จะ:

สำหรับผู้ที่ไม่เข้าใจห่วงโซ่นี้ให้รีบทำซ้ำความหมายและความหมายของส่วนต่างและเปิดเผยอย่างชัดเจน! มิฉะนั้นคุณจะช้าลงอย่างไร้ความปราณีในอินทิกรัล...

ฉันขอเตือนคุณในรูปแบบฟิลิสเตียที่หยาบที่สุดว่าค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เป็นเพียงผลคูณ ฉ'(x)dx. นั่นคือทั้งหมด! หาอนุพันธ์แล้วคูณมัน ถึงข้อโต้แย้งเชิงอนุพันธ์(เช่น dx) นั่นคือส่วนต่างใด ๆ โดยพื้นฐานแล้วมาจากการคำนวณตามปกติ อนุพันธ์.

ดังนั้น หากพูดอย่างเคร่งครัด อินทิกรัลจะไม่ถูก "ดึง" มาจาก ฟังก์ชั่น ฉ(x)ตามที่เชื่อกันทั่วไปและจาก ส่วนต่าง ฟ(เอ็กซ์)ดีเอ็กซ์!แต่ในเวอร์ชั่นที่เรียบง่าย เป็นเรื่องปกติที่จะพูดแบบนั้น "อินทิกรัลถูกนำมาจากฟังก์ชัน". หรือ: “ฟังก์ชัน f ถูกรวมเข้าด้วยกัน(เอ็กซ์)". มันเหมือนกัน.และเราจะพูดในลักษณะเดียวกันทุกประการ แต่เกี่ยวกับตราสัญลักษณ์ ดีเอ็กซ์อย่าลืม! :)

และตอนนี้ฉันจะบอกคุณว่าจะไม่ลืมมันเมื่อบันทึกอย่างไร ขั้นแรก ลองจินตนาการว่าคุณกำลังคำนวณอนุพันธ์สามัญเทียบกับตัวแปร x ปกติคุณเขียนมันยังไง?

เช่นนี้: f'(x), y'(x), y' x หรือชัดเจนกว่านั้นคือผ่านอัตราส่วนดิฟเฟอเรนเชียล: dy/dx บันทึกทั้งหมดนี้แสดงให้เราเห็นว่าอนุพันธ์นั้นหามาได้อย่างแม่นยำด้วยความเคารพต่อ X และไม่ใช่โดย "igrek", "te" หรือตัวแปรอื่น ๆ)

เช่นเดียวกับอินทิกรัล บันทึก ∫ ฉ(x)dxสหรัฐอเมริกาด้วย เหมือนกับแสดงให้เห็นว่ามีการบูรณาการอย่างแม่นยำ โดยตัวแปร x. แน่นอนว่าทั้งหมดนี้เรียบง่ายและหยาบคายมาก แต่ฉันหวังว่ามันจะเข้าใจได้ และโอกาสต่างๆ ลืมคุณลักษณะอยู่ทั่วไปทุกหนทุกแห่ง ดีเอ็กซ์ลดลงอย่างรวดเร็ว)

เราก็หาได้ว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด คืออะไร เยี่ยมเลย) ทีนี้ มันคงจะดีถ้าเรียนรู้อินทิกรัลไม่ จำกัด แบบเดียวกันนี้ คำนวณ. หรือพูดง่ายๆ ว่า “เอา” :) และที่นี่มีข่าวสองเรื่องรอนักเรียนอยู่ - ดีและไม่ดีนัก สำหรับตอนนี้เรามาเริ่มกันที่สิ่งที่ดีก่อน)

ข่าวดีก็คือ สำหรับอินทิกรัลและอนุพันธ์ก็มีตารางของตัวเอง และอินทิกรัลทั้งหมดที่เราจะเผชิญตลอดทาง แม้แต่อันที่แย่และซับซ้อนที่สุดก็ตาม ตามกฎเกณฑ์บางประการไม่ทางใดก็ทางหนึ่งเราจะลดมันลงเหลือเพียงตารางเหล่านี้)

เธออยู่นี่แล้ว ตารางปริพันธ์!

นี่คือตารางอินทิกรัลที่สวยงามจากฟังก์ชันยอดนิยมที่สุด ฉันแนะนำให้ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับกลุ่มสูตร 1-2 (ฟังก์ชันค่าคงที่และกำลัง) สูตรเหล่านี้เป็นสูตรที่ใช้กันมากที่สุดในอินทิกรัล!

อย่างที่คุณอาจเดาได้ กลุ่มของสูตรที่สาม (ตรีโกณมิติ) นั้นได้มาจากการกลับสูตรอนุพันธ์ที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น:

ด้วยสูตรกลุ่มที่สี่ (ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) ทุกอย่างจะคล้ายกัน

และนี่คือสูตรสี่กลุ่มสุดท้าย (5-8) สำหรับเรา ใหม่.พวกมันมาจากไหนและจู่ๆ ฟังก์ชันแปลกใหม่เหล่านี้ก็เข้ามาในตารางอินทิกรัลพื้นฐานเพื่อประโยชน์อะไร เหตุใดกลุ่มฟังก์ชันเหล่านี้จึงโดดเด่นจากฟังก์ชันอื่นๆ มาก

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นในอดีตในกระบวนการพัฒนา วิธีการบูรณาการ . เมื่อเราฝึกหาอินทิกรัลที่หลากหลายที่สุด คุณจะเข้าใจว่าอินทิกรัลของฟังก์ชันที่อยู่ในตารางเกิดขึ้นบ่อยมาก บ่อยครั้งที่นักคณิตศาสตร์จัดประเภทพวกมันเป็นแบบตาราง) อินทิกรัลอื่นๆ อีกมากมายจากโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่าถูกแสดงผ่านอินทิกรัลเหล่านี้

เพื่อความสนุกสนาน คุณสามารถนำสูตรแย่ๆ เหล่านี้มาสร้างความแตกต่างได้ :) ยกตัวอย่างสูตรที่ 7 สุดโหดครับ

ทุกอย่างปกติดี. นักคณิตศาสตร์ไม่ได้ถูกหลอก :)

ขอแนะนำให้รู้ตารางอินทิกรัลและตารางอนุพันธ์ด้วยใจจริง ไม่ว่าในกรณีใดสูตรสี่กลุ่มแรก มันไม่ยากอย่างที่คิดเมื่อเห็นแวบแรก จำสี่กลุ่มสุดท้าย (พร้อมเศษส่วนและราก) ลาก่อนไม่คุ้มค่า อย่างไรก็ตาม ในตอนแรก คุณจะสับสนว่าต้องเขียนลอการิทึมที่ไหน อาร์กแทนเจนต์ โดยที่อาร์กไซน์ โดยที่ 1/a โดยที่ 1/2a... มีทางเดียวเท่านั้นคือแก้ตัวอย่างเพิ่มเติม แล้วโต๊ะจะค่อยๆถูกจดจำไปเอง และความสงสัยจะหยุดแทะ)

ผู้ที่มีความอยากรู้อยากเห็นโดยเฉพาะเมื่อดูตารางอย่างใกล้ชิดอาจถามว่า: ตรงไหนในตารางที่อินทิกรัลของฟังก์ชัน "โรงเรียน" ประถมศึกษาอื่น ๆ - แทนเจนต์, ลอการิทึม, "ส่วนโค้ง"? สมมติว่าเหตุใดจึงมีอินทิกรัลจากไซน์ในตาราง แต่ไม่มีอินทิกรัลจากแทนเจนต์ ทีจีเอ็กซ์? หรือไม่มีอินทิกรัลของลอการิทึม ใน x? จากอาร์คซีน อาร์คซิน x? ทำไมพวกเขาถึงแย่ลง? แต่มันเต็มไปด้วยฟังก์ชัน "คนถนัดซ้าย" บางส่วน ทั้งราก เศษส่วน สี่เหลี่ยม...

คำตอบ. ไม่แย่ไปกว่านั้น) แค่อินทิกรัลข้างต้นเท่านั้น (จากแทนเจนต์ ลอการิทึม อาร์คไซน์ ฯลฯ) ไม่เป็นตาราง . และในทางปฏิบัติเกิดขึ้นน้อยกว่าที่แสดงในตารางมาก เพราะฉะนั้นจงรู้ไว้ ด้วยใจสิ่งที่เท่าเทียมกันนั้นไม่จำเป็นเลย แค่รู้ก็พอแล้ว พวกเขาเป็นอย่างไรบ้าง มีการคำนวณ.)

อะไรนะ ยังมีคนทนไม่ไหวเหรอ? โดยเฉพาะสำหรับคุณ!

แล้วคุณจะจำมันได้เหรอ? :) ใช่ไหมล่ะ? และอย่าทำ) แต่อย่ากังวล เราจะพบอินทิกรัลดังกล่าวทั้งหมดอย่างแน่นอน ในบทเรียนที่สอดคล้องกัน :)

ทีนี้ มาดูคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด กัน ใช่แล้ว ไม่มีอะไรสามารถทำได้! มีการนำเสนอแนวคิดใหม่และคุณสมบัติบางอย่างจะได้รับการพิจารณาทันที

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตอนนี้ข่าวไม่ค่อยดีนัก

ต่างจากการสร้างความแตกต่าง กฎมาตรฐานทั่วไปของการรวมกลุ่ม, ยุติธรรม สำหรับทุกโอกาสไม่ใช่ในวิชาคณิตศาสตร์ มันวิเศษมาก!

ตัวอย่างเช่น พวกคุณทุกคนรู้ดี (ฉันหวังว่า!) ว่า ใดๆงาน ใดๆสองฟังก์ชัน f(x) g(x) มีความแตกต่างดังนี้:

(ฉ(x) ก(x))' = ฉ'(x) ก(x) + ฉ(x) ก'(x).

ใดๆความฉลาดทางมีความแตกต่างดังนี้:

และฟังก์ชันที่ซับซ้อนใดๆ ไม่ว่าจะซับซ้อนแค่ไหนก็ตาม จะถูกแยกความแตกต่างดังนี้:

และไม่ว่าจะซ่อนฟังก์ชันใดไว้ใต้ตัวอักษร f และ g กฎทั่วไปจะยังคงใช้ได้และจะพบอนุพันธ์ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

แต่ด้วยปริพันธ์ จำนวนดังกล่าวจะใช้ไม่ได้อีกต่อไป: สำหรับผลิตภัณฑ์ ผลหาร (เศษส่วน) รวมถึงฟังก์ชันที่ซับซ้อนของสูตรปริพันธ์ทั่วไป ไม่ได้อยู่! ไม่มีกฎมาตรฐาน!หรือค่อนข้างมีอยู่จริง ฉันเองที่ทำให้คณิตศาสตร์ขุ่นเคืองโดยเปล่าประโยชน์) แต่ประการแรกมีน้อยกว่าพวกเขามาก กฎทั่วไปเพื่อความแตกต่าง และประการที่สอง วิธีการบูรณาการส่วนใหญ่ที่เราจะพูดถึงในบทเรียนต่อไปนี้มีความเฉพาะเจาะจงมาก และใช้ได้กับฟังก์ชันบางคลาสและจำกัดมากเท่านั้น เอาเป็นว่าสำหรับเท่านั้น ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน. หรืออื่นๆบ้าง.

และอินทิกรัลบางอย่างถึงแม้ว่าจะมีอยู่ในธรรมชาติ แต่ก็ไม่ได้แสดงออกมาเลยผ่านฟังก์ชัน "โรงเรียน" ระดับประถมศึกษา! ใช่ ใช่ และมีอินทิกรัลดังกล่าวมากมาย! :)

นั่นคือเหตุผลว่าทำไมการบูรณาการจึงเป็นงานที่ใช้เวลานานและต้องใช้ความอุตสาหะมากกว่าการสร้างความแตกต่าง แต่นี่ก็มีการบิดของตัวเองเช่นกัน กิจกรรมนี้มีความคิดสร้างสรรค์และน่าตื่นเต้นมาก) และหากคุณเชี่ยวชาญตารางอินทิกรัลเป็นอย่างดีและเชี่ยวชาญเทคนิคพื้นฐานอย่างน้อยสองเทคนิค ซึ่งเราจะพูดถึงในภายหลัง ( และ ) คุณจะชอบการอินทิกรัลมาก :)

ทีนี้มาทำความรู้จักกับคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด กันดีกว่า ไม่มีเลย นี่พวกเขา.

คุณสมบัติสองประการแรกนั้นคล้ายคลึงกับคุณสมบัติเดียวกันของอนุพันธ์โดยสิ้นเชิงและถูกเรียก คุณสมบัติความเป็นเส้นตรงของอินทิกรัลไม่ จำกัด . ทุกสิ่งที่นี่เรียบง่ายและเป็นตรรกะ: อินทิกรัลของผลรวม/ผลต่างเท่ากับผลรวม/ผลต่างของอินทิกรัล และตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลได้

แต่คุณสมบัติสามประการถัดไปนั้นเป็นสิ่งใหม่สำหรับเราโดยพื้นฐาน ลองดูรายละเอียดเพิ่มเติม พวกเขาฟังเป็นภาษารัสเซียดังนี้

คุณสมบัติที่สาม

อนุพันธ์ของอินทิกรัลเท่ากับปริพันธ์

ทุกอย่างเรียบง่ายเหมือนในเทพนิยาย หากคุณอินทิเกรตฟังก์ชันแล้วหาอนุพันธ์ของผลลัพธ์กลับมา แล้ว... คุณจะได้ฟังก์ชันอินทิแกรนด์ดั้งเดิม :) คุณสมบัตินี้สามารถ (และควร) ใช้เพื่อตรวจสอบผลลัพธ์สุดท้ายของการรวมระบบได้เสมอ คุณได้คำนวณอินทิกรัลแล้ว - แยกแยะคำตอบ! เราได้ฟังก์ชันอินทิแกรนด์ - โอเค หากเราไม่ได้รับก็หมายความว่าเราทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง มองหาข้อผิดพลาด)

แน่นอนว่าคำตอบอาจส่งผลให้เกิดการทำงานที่โหดเหี้ยมและยุ่งยากจนไม่มีความปรารถนาที่จะแยกความแตกต่างกลับใช่ แต่ถ้าเป็นไปได้ก็ควรลองตรวจสอบตัวเองดู อย่างน้อยก็ในตัวอย่างที่มันง่าย)

ทรัพย์สินที่สี่

ส่วนต่างของอินทิกรัลเท่ากับอินทิกรัล .

ไม่มีอะไรพิเศษที่นี่ สาระสำคัญเหมือนกัน มีเพียง dx เท่านั้นที่ปรากฏในตอนท้าย ตามคุณสมบัติก่อนหน้าและกฎการเปิดส่วนต่าง

ทรัพย์สินที่ห้า

อินทิกรัลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันบางฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของฟังก์ชันนี้และค่าคงที่ตามอำเภอใจ .

นี่เป็นคุณสมบัติที่เรียบง่ายมากเช่นกัน เราจะใช้มันเป็นประจำในกระบวนการแก้อินทิกรัล โดยเฉพาะ - ในและ.

นี่พวกเขา คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์. ฉันจะไม่ทำให้คุณเบื่อกับหลักฐานอันเข้มงวดของพวกเขาที่นี่ ฉันขอแนะนำให้ผู้ที่ประสงค์จะทำเช่นนี้ด้วยตนเอง โดยตรงในแง่ของอนุพันธ์และส่วนต่าง ผมจะพิสูจน์เฉพาะทรัพย์สินชิ้นที่ห้าเท่านั้น เพราะจะเห็นได้ชัดน้อยกว่า

ดังนั้นเราจึงมีข้อความว่า:

เรานำ "การบรรจุ" ของอินทิกรัลของเราออกมาแล้วเปิดตามคำจำกัดความของดิฟเฟอเรนเชียล:

ในกรณีนี้ ผมขอเตือนคุณว่า ตามสัญลักษณ์ของเราสำหรับอนุพันธ์และแอนติเดริเวทีฟ เอฟ’(x) = ฉ(x) .

ตอนนี้เราแทรกผลลัพธ์ของเรากลับเข้าไปในอินทิกรัล:

ได้รับแล้วครับแม่น คำจำกัดความของอินทิกรัลไม่ จำกัด (ขอให้ภาษารัสเซียยกโทษให้ฉัน)! :)

แค่นั้นแหละ.)

ดี. นี่คือการแนะนำเบื้องต้นของเราเกี่ยวกับ โลกลึกลับฉันคิดว่าอินทิกรัลจะประสบความสำเร็จ สำหรับวันนี้ผมขอเสนอเรื่องปิดท้ายครับ เรามีอาวุธเพียงพอที่จะออกลาดตระเวนแล้ว ถ้าไม่ใช่ปืนกล อย่างน้อยก็ปืนพกน้ำที่มีคุณสมบัติพื้นฐานและโต๊ะ :) ในบทถัดไป ตัวอย่างอินทิกรัลที่ไม่เป็นอันตรายที่ง่ายที่สุดสำหรับการประยุกต์ตารางโดยตรงและคุณสมบัติการเขียนกำลังรอเราอยู่

พบกันใหม่!

มีกฎพื้นฐานสามข้อในการค้นหาฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ พวกมันคล้ายกันมากกับกฎการหาอนุพันธ์ที่สอดคล้องกัน

กฎข้อที่ 1

ถ้า F เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับบางฟังก์ชัน f และ G เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับบางฟังก์ชัน g แล้ว F + G จะเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ f + g

ตามคำนิยามของแอนติเดริเวทีฟ F' = f ก' = ก. และเนื่องจากตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้เราจึงจะได้ตามกฎในการคำนวณอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน:

(F + G)' = F' + G' = f + ก.

กฎข้อที่ 2

ถ้า F เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับบางฟังก์ชัน f และ k เป็นค่าคงที่ แล้ว k*F คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน k*f กฎนี้เป็นไปตามกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

เรามี: (k*F)' = k*F' = k*f

กฎข้อที่ 3

ถ้า F(x) คือแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f(x) และ k และ b เป็นค่าคงที่ และ k ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น (1/k)*F*(k*x+b) จะเป็น แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f (k*x+b)

กฎนี้เป็นไปตามกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = ฉ(k*x+b)

ลองดูตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ของการบังคับใช้กฎเหล่านี้:

ตัวอย่างที่ 1. ค้นหารูปแบบทั่วไปของแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f(x) = x^3 +1/x^2 สำหรับฟังก์ชัน x^3 แอนติเดริเวทีฟตัวหนึ่งจะเป็นฟังก์ชัน (x^4)/4 และสำหรับฟังก์ชัน 1/x^2 แอนติเดริเวทีฟตัวหนึ่งจะเป็นฟังก์ชัน -1/x เมื่อใช้กฎข้อแรก เรามี:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C

ตัวอย่างที่ 2. ลองหารูปแบบทั่วไปของแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f(x) = 5*cos(x) สำหรับฟังก์ชัน cos(x) หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟจะเป็นฟังก์ชัน sin(x) หากเราใช้กฎข้อที่สอง เราจะได้:

F(x) = 5*บาป(x)

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาแอนติเดริเวทีฟตัวใดตัวหนึ่งสำหรับฟังก์ชัน y = sin(3*x-2) สำหรับฟังก์ชัน sin(x) หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟจะเป็นฟังก์ชัน -cos(x) ถ้าตอนนี้เราใช้กฎข้อที่สาม เราจะได้นิพจน์สำหรับแอนติเดริเวทีฟ:

F(x) = (-1/3)*คอส(3*x-2)

ตัวอย่างที่ 4. ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) = 1/(7-3*x)^5

แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน 1/x^5 จะเป็นฟังก์ชัน (-1/(4*x^4)) ตอนนี้เราใช้กฎข้อที่สาม

ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่จำกัด

ข้อเท็จจริง 1. อินทิเกรตคือการกระทำผกผันของการสร้างความแตกต่าง กล่าวคือ การคืนค่าฟังก์ชันจากอนุพันธ์ที่ทราบของฟังก์ชันนี้ ฟังก์ชั่นจึงถูกเรียกคืน เอฟ(x) ถูกเรียก แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชั่น ฉ(x).

คำจำกัดความ 1. ฟังก์ชั่น เอฟ(x ฉ(x) ในช่วงเวลาหนึ่ง เอ็กซ์ถ้าสำหรับทุกค่า xจากช่วงเวลานี้ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่ เอฟ "(x)=ฉ(x) นั่นคือฟังก์ชันนี้ ฉ(x) คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ เอฟ(x). .

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน เอฟ(x) = บาป x คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x) = cos x บนเส้นจำนวนทั้งหมด เนื่องจากค่าใดๆ ของ x (บาป x)" = (เพราะ x) .

คำจำกัดความ 2. อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชัน ฉ(x) คือเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด. ในกรณีนี้จะใช้สัญกรณ์

∫

ฉ(x)ดีเอ็กซ์

,

ป้ายอยู่ที่ไหน ∫ เรียกว่าเครื่องหมายอินทิกรัล ฟังก์ชัน ฉ(x) – ฟังก์ชันปริพันธ์ และ ฉ(x)ดีเอ็กซ์ – การแสดงออกที่เป็นปริพันธ์

ดังนั้นหาก เอฟ(x) – แอนติเดริเวทีฟบางตัวสำหรับ ฉ(x) , ที่

∫

ฉ(x)ดีเอ็กซ์ = เอฟ(x) +ค

ที่ไหน ค - ค่าคงที่ตามอำเภอใจ (คงที่)

เพื่อให้เข้าใจความหมายของเซตของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่เป็นอินทิกรัลไม่ จำกัด การเปรียบเทียบต่อไปนี้จึงเหมาะสม ให้มีประตู (ประตูไม้แบบดั้งเดิม) หน้าที่ของมันคือ “เป็นประตู” ประตูทำมาจากอะไร? ทำจากไม้. ซึ่งหมายความว่าเซตของแอนติเดริเวทีฟของปริพันธ์ของฟังก์ชัน "to be a door" ซึ่งก็คืออินทิกรัลไม่จำกัดของมันคือฟังก์ชัน "to be a tree + C" โดยที่ C เป็นค่าคงที่ ซึ่งในบริบทนี้สามารถ แสดงถึงชนิดของต้นไม้ เป็นต้น เช่นเดียวกับประตูที่ทำจากไม้โดยใช้เครื่องมือบางอย่าง อนุพันธ์ของฟังก์ชันก็ "สร้าง" จากฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟโดยใช้ สูตรที่เราเรียนรู้ขณะศึกษาอนุพันธ์ .

จากนั้นตารางฟังก์ชันของวัตถุทั่วไปและแอนติเดริเวทีฟที่สอดคล้องกัน ("เป็นประตู" - "เป็นต้นไม้", "เป็นช้อน" - "เป็นโลหะ" ฯลฯ ) จะคล้ายกับตารางพื้นฐาน อินทิกรัลไม่ จำกัด ซึ่งจะระบุไว้ด้านล่าง ตารางอินทิกรัลไม่จำกัดแสดงรายการฟังก์ชันทั่วไปพร้อมข้อบ่งชี้ของแอนติเดริเวทีฟซึ่งเป็นที่มาของฟังก์ชันเหล่านี้ ในส่วนของปัญหาในการค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดนั้น อินทิกรัลกำหนดมาให้ซึ่งสามารถอินทิกรัลโดยตรงได้โดยไม่ต้องใช้ความพยายามมากนัก นั่นคือ ใช้ตารางอินทิกรัลไม่จำกัด ในปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ปริพันธ์จะต้องถูกแปลงก่อนจึงจะสามารถใช้ปริพันธ์ของตารางได้

ข้อเท็จจริง 2. เมื่อคืนค่าฟังก์ชันเป็นแอนติเดริเวทีฟ เราต้องคำนึงถึงค่าคงที่ตามอำเภอใจ (ค่าคงที่) คและเพื่อไม่ให้เขียนรายการแอนติเดริเวทีฟที่มีค่าคงที่ต่างๆ ตั้งแต่ 1 ถึงอนันต์ คุณต้องเขียนชุดแอนติเดริเวทีฟที่มีค่าคงที่ตามอำเภอใจ คตัวอย่างเช่นเช่นนี้: 5 x³+ซี ดังนั้นค่าคงที่ตามอำเภอใจ (ค่าคงที่) จะรวมอยู่ในการแสดงออกของแอนติเดริเวทีฟ เนื่องจากแอนติเดริเวทีฟสามารถเป็นฟังก์ชันได้เช่น 5 xลูกบาศก์+4 หรือ 5 x³+3 และเมื่อหาอนุพันธ์แล้ว 4 หรือ 3 หรือค่าคงที่อื่นๆ จะเป็นศูนย์

ให้เราสร้างปัญหาการรวม: สำหรับฟังก์ชันนี้ ฉ(x) ค้นหาฟังก์ชันดังกล่าว เอฟ(x), อนุพันธ์ของใครเท่ากับ ฉ(x).

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาเซตของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน

สารละลาย. สำหรับฟังก์ชันนี้ แอนติเดริเวทีฟคือฟังก์ชัน

การทำงาน เอฟ(x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน ฉ(x) ถ้าเป็นอนุพันธ์ เอฟ(x) เท่ากับ ฉ(x) หรือซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน คือดิฟเฟอเรนเชียล เอฟ(x) เท่ากัน ฉ(x) ดีเอ็กซ์, เช่น.

(2)

ดังนั้นฟังก์ชันจึงเป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่เพียงสารต้านอนุพันธ์เพียงอย่างเดียวสำหรับ พวกมันยังทำหน้าที่เป็นฟังก์ชันด้วย

ที่ไหน กับ– ค่าคงที่ตามอำเภอใจ สิ่งนี้สามารถตรวจสอบได้โดยการสร้างความแตกต่าง

ดังนั้น หากมีแอนติเดริเวทีฟหนึ่งตัวสำหรับฟังก์ชันหนึ่ง ก็จะมีแอนติเดริเวทีฟจำนวนอนันต์ที่แตกต่างกันไปตามเทอมคงที่ แอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับฟังก์ชันเขียนอยู่ในรูปแบบด้านบน สิ่งนี้ตามมาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท (ข้อความอย่างเป็นทางการของข้อเท็จจริง 2)ถ้า เอฟ(x) – แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน ฉ(x) ในช่วงเวลาหนึ่ง เอ็กซ์แล้วแอนติเดริเวทีฟอื่นๆ ของ ฉ(x) ในช่วงเวลาเดียวกันสามารถแสดงในรูปแบบได้ เอฟ(x) + ค, ที่ไหน กับ– ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ในตัวอย่างถัดไป เราจะดูตารางปริพันธ์ซึ่งจะระบุไว้ในย่อหน้าที่ 3 ถัดจากคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัด เราทำสิ่งนี้ก่อนที่จะอ่านทั้งตารางเพื่อให้สาระสำคัญของข้างต้นมีความชัดเจน และหลังจากตารางและคุณสมบัติแล้ว เราจะใช้พวกมันอย่างครบถ้วนระหว่างการรวมเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาชุดของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ:

สารละลาย. เราค้นหาชุดของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟซึ่งฟังก์ชันเหล่านี้ถูก "สร้าง" เมื่อพูดถึงสูตรจากตารางอินทิกรัล ตอนนี้ก็แค่ยอมรับว่ามีสูตรแบบนั้นอยู่ แล้วเราจะศึกษาตารางอินทิกรัลไม่จำกัดเพิ่มเติมอีกสักหน่อย

1) การใช้สูตร (7) จากตารางอินทิกรัลสำหรับ n= 3 เราได้

2) การใช้สูตร (10) จากตารางอินทิกรัลสำหรับ n= 1/3 เราได้

3) ตั้งแต่

แล้วตามสูตร (7) ด้วย n= -1/4 เราพบ

ไม่ใช่ฟังก์ชันที่เขียนไว้ใต้เครื่องหมายอินทิกรัล ฉและผลิตภัณฑ์ของมันตามส่วนต่าง ดีเอ็กซ์. โดยหลักแล้วจะทำเพื่อบ่งชี้ว่าตัวแปรใดที่ต้องการแอนติเดริเวทีฟ ตัวอย่างเช่น,

, ;

ในที่นี้ทั้งสองกรณีปริพันธ์จะเท่ากับ แต่ปริพันธ์ไม่จำกัดในกรณีที่ถือว่าแตกต่างกัน ในกรณีแรก ฟังก์ชันนี้ถือเป็นฟังก์ชันของตัวแปร xและอย่างที่สอง - เป็นฟังก์ชันของ z .

กระบวนการค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันเรียกว่าอินทิเกรตฟังก์ชันนั้น

ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลไม่ จำกัด

สมมติว่าเราต้องหาเส้นโค้ง y=F(x)และเรารู้อยู่แล้วว่าแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ที่แต่ละจุดนั้นเป็นฟังก์ชันที่กำหนด ฉ(x)อับซิสซาแห่งจุดนี้

ตามความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ ค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนดของเส้นโค้ง y=F(x)เท่ากับมูลค่าของอนุพันธ์ ฟ"(x). เราจึงต้องหาฟังก์ชันดังกล่าว ฉ(x), ซึ่ง ฉ"(x)=ฉ(x). ฟังก์ชั่นที่จำเป็นในงาน ฉ(x)เป็นแอนติเดริเวทีฟของ ฉ(x). เงื่อนไขของปัญหาไม่ได้เกิดจากเส้นโค้งเดียว แต่เป็นไปตามกลุ่มของเส้นโค้ง y=F(x)- หนึ่งในเส้นโค้งเหล่านี้และเส้นโค้งอื่น ๆ สามารถรับได้จากการแปลแบบขนานตามแนวแกน เฮ้ย.

ลองเรียกกราฟของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟของ ฉ(x)เส้นโค้งอินทิกรัล ถ้า ฉ"(x)=ฉ(x)แล้วกราฟของฟังก์ชัน y=F(x)มีเส้นโค้งอินทิกรัล

ข้อเท็จจริง 3 อินทิกรัลไม่ จำกัด จะแสดงในเชิงเรขาคณิตโดยตระกูลของเส้นโค้งอินทิกรัลทั้งหมด ดังภาพด้านล่าง ระยะทางของแต่ละเส้นโค้งจากจุดกำเนิดของพิกัดถูกกำหนดโดยค่าคงที่การรวมตามอำเภอใจ ค.

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด

ข้อเท็จจริง 4. ทฤษฎีบท 1 อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับปริพันธ์ และส่วนต่างของมันเท่ากับปริพันธ์

ความจริง 5. ทฤษฎีบท 2. อินทิกรัลไม่จำกัดของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน ฉ(x) เท่ากับฟังก์ชัน ฉ(x) จนถึงระยะเวลาคงที่ , เช่น.

(3)

ทฤษฎีบทที่ 1 และ 2 แสดงให้เห็นว่าความแตกต่างและการบูรณาการเป็นการดำเนินการผกผันร่วมกัน

ข้อเท็จจริง 6. ทฤษฎีบท 3 ตัวประกอบคงที่ในปริพันธ์สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลไม่ จำกัด , เช่น.

สารต้านอนุพันธ์

แอนติเดริเวทีฟนั้นง่ายต่อการเข้าใจพร้อมตัวอย่าง

เรามาทำหน้าที่กัน ย = x 3. ดังที่เราทราบจากหัวข้อที่แล้ว อนุพันธ์ของ เอ็กซ์ 3 คือ 3 เอ็กซ์ 2:

(เอ็กซ์ 3)" = 3เอ็กซ์ 2 .

ดังนั้นจากฟังก์ชัน ย = x 3 เราได้รับฟังก์ชั่นใหม่: ที่ = 3เอ็กซ์ 2 .
พูดเป็นรูปเป็นร่างฟังก์ชั่น ที่ = เอ็กซ์ 3 ฟังก์ชั่นที่ผลิต ที่ = 3เอ็กซ์ 2 และเป็น "ผู้ปกครอง" ในทางคณิตศาสตร์ไม่มีคำว่า "ผู้ปกครอง" แต่มีแนวคิดที่เกี่ยวข้องกัน: แอนติเดริเวทีฟ

นั่นคือ: ฟังก์ชั่น ย = x 3 คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ที่ = 3เอ็กซ์ 2 .

คำจำกัดความของแอนติเดริเวทีฟ:

ในตัวอย่างของเรา ( เอ็กซ์ 3)" = 3เอ็กซ์ 2 ดังนั้น ย = x 3 – แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ที่ = 3เอ็กซ์ 2 .

บูรณาการ

ดังที่คุณทราบ กระบวนการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดเรียกว่าอนุพันธ์ และการดำเนินการผกผันเรียกว่าอินทิเกรต

ตัวอย่าง-คำอธิบาย:

ที่ = 3เอ็กซ์ 2 + บาป x.

สารละลาย :

เรารู้ว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับ 3 เอ็กซ์ 2 คือ เอ็กซ์ 3 .

สารต้านอนุพันธ์สำหรับบาป xคือ –cos x.

เราเพิ่มแอนติเดริเวทีฟสองตัวและรับแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด:

ย = x 3 + (–คอส x),

ย = x 3 – คอส x.

คำตอบ :
สำหรับฟังก์ชั่น ที่ = 3เอ็กซ์ 2 + บาป x ย = x 3 – คอส x.

ตัวอย่าง-คำอธิบาย:

ลองหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันนี้กัน ที่= 2 บาป x.

สารละลาย :

เราสังเกตว่า k = 2 สารต้านอนุพันธ์ของบาป xคือ –cos x.

ดังนั้นสำหรับฟังก์ชัน ที่= 2 บาป xแอนติเดริเวทีฟคือฟังก์ชัน ที่= –2คอส x.
ค่าสัมประสิทธิ์ 2 ในฟังก์ชัน y = 2 sin xสอดคล้องกับค่าสัมประสิทธิ์ของแอนติเดริเวทีฟที่เกิดจากฟังก์ชันนี้

ตัวอย่าง-คำอธิบาย:

ลองหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันนี้กัน ย= บาป 2 x.

สารละลาย :

เราสังเกตเห็นว่า เค= 2. สารต้านอนุพันธ์ของบาป xคือ –cos x.

เราใช้สูตรของเราเพื่อค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ย= คอส 2 x:

1
ย= - · (–cos 2 x),
2

เพราะ 2 x
ย = – ----
2

เพราะ 2 x
คำตอบ: สำหรับฟังก์ชัน ย= บาป 2 xแอนติเดริเวทีฟคือฟังก์ชัน ย = – ----
2

(4)

ตัวอย่าง-คำอธิบาย.

ลองใช้ฟังก์ชันจากตัวอย่างก่อนหน้านี้: ย= บาป 2 x.

สำหรับฟังก์ชันนี้ แอนติเดริเวทีฟทั้งหมดจะมีรูปแบบดังนี้

เพราะ 2 x
ย = – ---- + ค.
2

คำอธิบาย.

เรามาเริ่มกันที่บรรทัดแรก อ่านได้ดังนี้: ถ้าฟังก์ชัน y = f( x) เป็น 0 แล้วแอนติเดริเวทีฟของมันคือ 1 เพราะเหตุใด? เพราะอนุพันธ์ของความสามัคคีเป็นศูนย์: 1" = 0

บรรทัดที่เหลือจะอ่านตามลำดับเดียวกัน

จะเขียนข้อมูลจากตารางได้อย่างไร? ลองใช้บรรทัดที่แปด:

(-คอส x)" = บาป x

เราเขียนส่วนที่สองด้วยเครื่องหมายอนุพันธ์ ตามด้วยเครื่องหมายเท่ากับและอนุพันธ์

เราอ่านว่า: แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน sin xคือฟังก์ชัน -cos x.

หรือ: ฟังก์ชั่น -cos xเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน sin x.

บทเรียนนี้เป็นบทเรียนแรกในชุดวิดีโอเกี่ยวกับการบูรณาการ ในนั้นเราจะวิเคราะห์ว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันคืออะไร และยังศึกษาวิธีการเบื้องต้นในการคำนวณแอนติเดริเวทีฟเหล่านี้ด้วย

ที่จริงแล้ว ไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ โดยพื้นฐานแล้ว ทุกอย่างขึ้นอยู่กับแนวคิดของอนุพันธ์ ซึ่งคุณน่าจะคุ้นเคยอยู่แล้ว :)

ฉันจะทราบทันทีว่าเนื่องจากนี่เป็นบทเรียนแรกสุดของเรา หัวข้อใหม่วันนี้จะไม่มีการคำนวณและสูตรที่ซับซ้อน แต่สิ่งที่เราจะเรียนรู้ในวันนี้จะเป็นพื้นฐานสำหรับการคำนวณและการสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นเมื่อคำนวณปริพันธ์และพื้นที่ที่ซับซ้อน

นอกจากนี้ เมื่อเริ่มศึกษาการบูรณาการและปริพันธ์โดยเฉพาะ เราถือว่าโดยปริยายว่านักเรียนมีความคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องอนุพันธ์เป็นอย่างน้อยและมีทักษะพื้นฐานในการคำนวณเป็นอย่างน้อย หากไม่มีความเข้าใจที่ชัดเจนในเรื่องนี้ ก็ไม่ต้องทำอะไรเลยในการบูรณาการ

อย่างไรก็ตามนี่คือหนึ่งในปัญหาที่พบบ่อยและร้ายกาจที่สุด ความจริงก็คือเมื่อเริ่มคำนวณแอนติเดริเวทีฟตัวแรก นักเรียนหลายคนสับสนกับอนุพันธ์ ส่งผลให้ในการสอบและ งานอิสระมีการทำผิดพลาดที่โง่เขลาและน่ารังเกียจ

ดังนั้นตอนนี้ฉันจะไม่ให้คำจำกัดความที่ชัดเจนของแอนติเดริเวทีฟ ในทางกลับกัน ฉันขอแนะนำให้คุณดูวิธีการคำนวณโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะง่ายๆ

แอนติเดริเวทีฟคืออะไรและคำนวณอย่างไร?

เรารู้สูตรนี้:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

อนุพันธ์นี้คำนวณง่ายๆ:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

ลองดูนิพจน์ผลลัพธ์อย่างละเอียดและแสดง $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

แต่เราสามารถเขียนมันแบบนี้ ตามนิยามของอนุพันธ์ได้:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

ทีนี้สนใจ: สิ่งที่เราเพิ่งเขียนลงไปคือนิยามของแอนติเดริเวทีฟ แต่เพื่อที่จะเขียนให้ถูกต้องคุณต้องเขียนสิ่งต่อไปนี้:

ให้เราเขียนนิพจน์ต่อไปนี้ในลักษณะเดียวกัน:

หากเราสรุปกฎนี้ เราจะได้สูตรต่อไปนี้:

\[((x)^(n))\ถึง \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

ตอนนี้เราสามารถกำหนดคำจำกัดความที่ชัดเจนได้แล้ว

แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันคือฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิม

คำถามเกี่ยวกับฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ

ดูเหมือนเป็นคำจำกัดความที่ค่อนข้างง่ายและเข้าใจได้ อย่างไรก็ตาม เมื่อได้ยินเช่นนั้น นักเรียนที่เอาใจใส่จะมีคำถามหลายข้อทันที:

1. สมมุติว่า โอเค สูตรนี้ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ $n=1$ เราประสบปัญหา: “ศูนย์” ปรากฏในตัวส่วน และเราไม่สามารถหารด้วย “ศูนย์” ได้
2. สูตรจำกัดเฉพาะองศาเท่านั้น วิธีคำนวณค่าแอนติเดริเวทีฟ เช่น ไซน์ โคไซน์ และตรีโกณมิติอื่นๆ รวมถึงค่าคงที่
3. คำถามที่มีอยู่: เป็นไปได้ไหมที่จะค้นหาแอนติเดริเวทีฟ? ถ้าใช่ แล้วแอนติเดริเวทีฟของผลรวม ผลต่าง ผลคูณ ฯลฯ ล่ะ?

ฉันจะตอบคำถามสุดท้ายทันที น่าเสียดายที่แอนติเดริเวทีฟไม่เหมือนกับอนุพันธ์เสมอไป ไม่มีสูตรสากลที่จากการก่อสร้างเริ่มแรกเราจะได้รับฟังก์ชันที่จะเท่ากับการก่อสร้างที่คล้ายกันนี้ สำหรับพลังและค่าคงที่ เราจะพูดถึงเรื่องนี้ตอนนี้

การแก้ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลัง

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

อย่างที่คุณเห็น สูตรสำหรับ $((x)^(-1))$ นี้ใช้ไม่ได้ คำถามเกิดขึ้น: แล้วอะไรล่ะที่ใช้ได้ผล? เรานับ $((x)^(-1))$ ไม่ได้เหรอ? แน่นอนเราทำได้ เรามาจำสิ่งนี้กันก่อน:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

ทีนี้ ลองคิดดู: อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเท่ากับ $\frac(1)(x)$ เห็นได้ชัดว่านักเรียนคนใดที่ได้ศึกษาหัวข้อนี้อย่างน้อยก็จะจำได้ว่านิพจน์นี้เท่ากับอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนสิ่งต่อไปนี้ได้อย่างมั่นใจ:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\ถึง \ln x\]

คุณต้องรู้สูตรนี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

ดังนั้นสิ่งที่เรารู้จนถึงตอนนี้:

• สำหรับฟังก์ชันยกกำลัง - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• สำหรับค่าคงที่ - $=const\to \cdot x$
• กรณีพิเศษของฟังก์ชันกำลังคือ $\frac(1)(x)\to \ln x$

และถ้าเราเริ่มคูณและหารฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด แล้วเราจะคำนวณแอนติเดริเวทีฟของผลิตภัณฑ์หรือผลหารได้อย่างไร น่าเสียดายที่การเปรียบเทียบกับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์หรือผลหารใช้ไม่ได้ผลที่นี่ ไม่มีสูตรมาตรฐาน ในบางกรณีอาจมีสูตรพิเศษที่ซับซ้อน - เราจะทำความคุ้นเคยกับสูตรเหล่านี้ในบทเรียนวิดีโอหน้า

อย่างไรก็ตาม โปรดจำไว้ว่า ไม่มีสูตรทั่วไปที่คล้ายกับสูตรในการคำนวณอนุพันธ์ของผลหารและผลิตภัณฑ์

การแก้ปัญหาที่แท้จริง

ภารกิจที่ 1

เอาละครับ ฟังก์ชั่นพลังงานมาคำนวณแยกกัน:

\[((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)\]

กลับไปที่การแสดงออกของเรา เราเขียนโครงสร้างทั่วไป:

ปัญหาหมายเลข 2

ดังที่ได้กล่าวไปแล้วว่าจะไม่พิจารณาต้นแบบของงานและรายละเอียด "ตรงประเด็น" อย่างไรก็ตาม คุณสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ได้ที่นี่:

เราแยกเศษส่วนออกเป็นผลรวมของเศษส่วนสองส่วน

มาทำคณิตศาสตร์กันดีกว่า:

ข่าวดีก็คือ เมื่อรู้สูตรคำนวณแอนติเดริเวทีฟแล้ว คุณจะสามารถคำนวณได้มากขึ้นแล้ว การออกแบบที่ซับซ้อน. อย่างไรก็ตาม เรามาต่อและขยายความรู้ของเราอีกสักหน่อย ความจริงก็คือ โครงสร้างและนิพจน์จำนวนมาก ซึ่งเมื่อมองแวบแรกไม่เกี่ยวอะไรกับ $((x)^(n))$ สามารถแสดงเป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ กล่าวคือ:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

เทคนิคทั้งหมดนี้สามารถและควรนำมารวมกัน การแสดงพลังก็ได้

• ทวีคูณ (เพิ่มองศา);
• หาร (ลบองศา);
• คูณด้วยค่าคงที่
• ฯลฯ

การแก้นิพจน์ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ

ตัวอย่าง #1

มาคำนวณแต่ละรูตแยกกัน:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

โดยรวมแล้วการก่อสร้างทั้งหมดของเราสามารถเขียนได้ดังนี้:

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

ดังนั้นเราจึงได้รับ:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

โดยรวมแล้วเมื่อรวบรวมทุกอย่างไว้ในนิพจน์เดียวเราสามารถเขียนได้:

ตัวอย่างหมายเลข 3

ก่อนอื่น โปรดทราบว่าเราได้คำนวณ $\sqrt(x)$ แล้ว:

\[\sqrt(x)\ถึง \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

มาเขียนใหม่:

ฉันหวังว่าฉันจะไม่ทำให้ใครแปลกใจถ้าฉันบอกว่าสิ่งที่เราเพิ่งศึกษาไปนั้นเป็นเพียงการคำนวณแอนติเดริเวทีฟที่ง่ายที่สุด ซึ่งเป็นโครงสร้างเบื้องต้นที่สุด ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย ซึ่งนอกเหนือจากแอนติเดริเวทีฟแบบตารางแล้ว คุณจะต้องจำหลักสูตรของโรงเรียนด้วย กล่าวคือ สูตรการคูณแบบย่อ

การแก้ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น

ภารกิจที่ 1

ให้เราจำสูตรสำหรับผลต่างกำลังสอง:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

มาเขียนฟังก์ชันของเราใหม่:

ตอนนี้เราต้องค้นหาต้นแบบของฟังก์ชันดังกล่าว:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

มารวมทุกอย่างเข้าด้วยกันเป็นโครงสร้างทั่วไป:

ปัญหาหมายเลข 2

ในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องขยายลูกบาศก์ส่วนต่าง จำไว้ว่า:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((ข)^(3))\]

เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้แล้ว เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

มาเปลี่ยนฟังก์ชั่นของเรากันหน่อย:

เรานับเช่นเคย - สำหรับแต่ละเทอมแยกกัน:

\[((x)^(-3))\ถึง \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\ถึง \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\ถึง \ln x\]

ให้เราเขียนผลลัพธ์การก่อสร้าง:

ปัญหาหมายเลข 3

ที่ด้านบนสุด เรามีกำลังสองของผลรวม ลองขยายดู:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสุดท้ายกัน:

ตอนนี้ให้ความสนใจ! สิ่งที่สำคัญมากซึ่งเกี่ยวข้องกับความผิดพลาดและความเข้าใจผิดมากมาย ความจริงก็คือจนถึงขณะนี้ การนับแอนติเดริเวทีฟด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์และการแปลง เราไม่ได้คิดว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่จะเท่ากับเท่าใด แต่อนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับ "ศูนย์" ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถเขียนตัวเลือกต่อไปนี้:

1. $((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)+C$

นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องเข้าใจ: หากอนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากันเสมอ ฟังก์ชันเดียวกันนั้นก็จะมีแอนติเดริเวทีฟเป็นจำนวนอนันต์ เราสามารถบวกจำนวนคงที่ใดๆ เข้ากับแอนติเดริเวทีฟแล้วหาค่าใหม่ได้

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ในการอธิบายปัญหาที่เราเพิ่งแก้ไขไป มันถูกเขียนว่า "เขียนรูปแบบทั่วไปของแอนติเดริเวทีฟ" เหล่านั้น. สันนิษฐานล่วงหน้าแล้วว่าไม่มีหนึ่งในนั้น แต่มีจำนวนมากทั้งหมด แต่ในความเป็นจริงแล้ว พวกมันต่างกันเพียงค่าคงที่ $C$ ในตอนท้ายเท่านั้น ดังนั้นในงานของเราเราจะแก้ไขสิ่งที่เรายังทำไม่เสร็จ

เราเขียนโครงสร้างของเราใหม่อีกครั้ง:

ในกรณีเช่นนี้ คุณควรเพิ่มว่า $C$ เป็นค่าคงที่ - $C=const$

ในฟังก์ชันที่สองของเรา เราจะได้โครงสร้างดังต่อไปนี้:

และอันสุดท้าย:

และตอนนี้เราได้สิ่งที่จำเป็นจากเราแล้วในสภาพดั้งเดิมของปัญหา

การแก้ปัญหาการหาแอนติเดริเวทีฟด้วยจุดที่กำหนด

ตอนนี้เรารู้เกี่ยวกับค่าคงที่และลักษณะเฉพาะของการเขียนแอนติเดริเวทีฟแล้ว มันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่ปัญหาประเภทถัดไปเกิดขึ้นเมื่อจากเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด จำเป็นต้องค้นหาอันเดียวที่จะผ่านจุดที่กำหนด . งานนี้คืออะไร?

ความจริงก็คือว่าแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนดจะแตกต่างกันเพียงตรงที่พวกมันถูกเลื่อนในแนวตั้งด้วยจำนวนที่แน่นอนเท่านั้น และนี่หมายความว่าไม่ว่าเราจะหาจุดใดบนระนาบพิกัด แอนติเดริเวทีฟตัวหนึ่งจะผ่านไปแน่นอน และยิ่งไปกว่านั้น มีอันเดียวเท่านั้น

ดังนั้นปัญหาที่เราจะแก้ไขตอนนี้มีการกำหนดดังนี้: ไม่ใช่แค่ค้นหาแอนติเดริเวทีฟรู้สูตรของฟังก์ชันดั้งเดิม แต่เลือกอันที่ผ่านจุดที่กำหนดอย่างแน่นอนพิกัดที่จะได้รับในปัญหา คำแถลง.

ตัวอย่าง #1

ขั้นแรก เรามานับแต่ละเทอมกันก่อน:

\[((x)^(4))\ถึง \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\ถึง \frac(((x)^(4)))(4)\]

ตอนนี้เราแทนที่สำนวนเหล่านี้ในโครงสร้างของเรา:

ฟังก์ชันนี้จะต้องผ่านจุด $M\left(-1;4 \right)$ มันหมายความว่าอะไรที่จะผ่านจุด? ซึ่งหมายความว่าถ้าเราใส่ $-1$ ทุกที่แทน $x$ และแทนที่จะใส่ $F\left(x \right)$ - $-4$ เราก็ควรจะได้ค่าความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง ลงมือทำกันเถอะ:

เราเห็นว่าเรามีสมการสำหรับ $C$ ดังนั้นลองแก้มันกัน:

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาที่เรากำลังมองหากัน:

ตัวอย่างหมายเลข 2

ก่อนอื่น จำเป็นต้องเปิดเผยกำลังสองของความแตกต่างโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ:

\[((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)\]

โครงสร้างเดิมจะเขียนดังนี้:

ทีนี้ลองหา $C$: แทนที่พิกัดของจุด $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

เราแสดง $C$:

ยังคงแสดงนิพจน์สุดท้าย:

การแก้ปัญหาตรีโกณมิติ

เพื่อสรุปสิ่งที่เราเพิ่งคุยกันไป ผมขอเสนอให้พิจารณาปัญหาที่ซับซ้อนอีกสองปัญหาที่เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติ ในทำนองเดียวกันคุณจะต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันทั้งหมดจากนั้นเลือกจากชุดนี้เพียงอันเดียวที่ผ่านจุด $M$ บนระนาบพิกัด

เมื่อมองไปข้างหน้า ฉันอยากจะสังเกตว่าเทคนิคที่เราจะใช้เพื่อค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น แท้จริงแล้วเป็นเทคนิคสากลสำหรับการทดสอบตัวเอง

ภารกิจที่ 1

จำสูตรต่อไปนี้:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

จากนี้เราสามารถเขียนได้:

ลองแทนที่พิกัดของจุด $M$ ในนิพจน์ของเรา:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

ลองเขียนนิพจน์ใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้:

ปัญหาหมายเลข 2

นี่จะยากขึ้นเล็กน้อย ตอนนี้คุณจะเห็นว่าทำไม

จำสูตรนี้ไว้:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

ในการกำจัด "ลบ" คุณต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

นี่คือการออกแบบของเรา

ลองแทนพิกัดของจุด $M$:

โดยรวมแล้วเราเขียนการก่อสร้างขั้นสุดท้าย:

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณเกี่ยวกับวันนี้ เราศึกษาคำว่าแอนติเดริเวทีฟ วิธีคำนวณพวกมันจากฟังก์ชันเบื้องต้น และวิธีการค้นหาแอนติเดริเวทีฟที่ผ่านจุดเฉพาะบนระนาบพิกัด

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจสิ่งนี้อย่างน้อย หัวข้อที่ซับซ้อน. ไม่ว่าในกรณีใด ขึ้นอยู่กับแอนติเดริเวทีฟที่มีการสร้างอินทิกรัลไม่จำกัดและอินทิกรัลไม่จำกัด ดังนั้นจึงจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องคำนวณพวกมัน นั่นคือทั้งหมดสำหรับฉัน แล้วพบกันอีก!