เช่นเดียวกับการคูณเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน การวาดระบบสมการ
การคูณและการหารเศษส่วน.
ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในภาคพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")
การดำเนินการนี้ดีกว่าการบวก-ลบมาก! เพราะมันง่ายกว่า ฉันเตือนคุณ: ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนคุณต้องคูณตัวเศษ (นี่จะเป็นตัวเศษของผลลัพธ์) และตัวส่วน (นี่จะเป็นตัวส่วน) นั่นคือ:
ตัวอย่างเช่น:
ทุกอย่างง่ายมาก. และโปรดอย่ามองหาตัวส่วนร่วม! ไม่ต้องการที่นี่...
ในการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องพลิก ที่สอง(นี่เป็นสิ่งสำคัญ!) เศษส่วนและคูณพวกเขาเช่น:
ตัวอย่างเช่น:
หากจับการคูณหรือหารด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วนได้ก็ไม่เป็นไร นอกจากนี้ เราสร้างเศษส่วนจากจำนวนทั้งหมดโดยมีหน่วยเป็นตัวส่วน - แล้วไปกันเลย! ตัวอย่างเช่น:
ในโรงเรียนมัธยม คุณมักจะต้องจัดการกับเศษส่วนสามชั้น (หรือแม้แต่สี่ชั้น!) ตัวอย่างเช่น:
จะนำเศษส่วนนี้ไปอยู่ในรูปที่เหมาะสมได้อย่างไร? ใช่ ง่ายมาก! ใช้การหารผ่านสองจุด:
แต่อย่าลืมเกี่ยวกับลำดับการหาร! สิ่งนี้สำคัญมากที่นี่ไม่เหมือนการคูณ! แน่นอน เราจะไม่สับสนระหว่าง 4:2 หรือ 2:4 แต่ในส่วนสามชั้นนั้นง่ายต่อการทำผิดพลาด โปรดทราบ ตัวอย่างเช่น:
ในกรณีแรก (นิพจน์ทางด้านซ้าย):
ในวินาที (การแสดงออกทางด้านขวา):
รู้สึกถึงความแตกต่าง? 4 และ 1/9!
ลำดับของการแบ่งคืออะไร? หรือวงเล็บ หรือ (ตามนี้) ความยาวของเส้นประแนวนอน พัฒนาดวงตา และหากไม่มีวงเล็บหรือขีดคั่น เช่น:
แล้วหาร-คูณ ตามลำดับ ซ้ายไปขวา!
และอีกเคล็ดลับที่ง่ายและสำคัญมาก ในการกระทำที่มีองศามันจะมีประโยชน์สำหรับคุณ! ลองหารหน่วยด้วยเศษส่วน เช่น 13/15:
ช็อตพลิก! และมันเกิดขึ้นเสมอ เมื่อนำ 1 ไปหารด้วยเศษส่วนใดๆ ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนเดียวกันแต่กลับด้านเท่านั้น
นั่นคือการกระทำทั้งหมดที่มีเศษส่วน สิ่งนี้ค่อนข้างง่าย แต่ให้ข้อผิดพลาดมากเกินพอ บันทึก คำแนะนำการปฏิบัติและพวกเขา (ข้อผิดพลาด) จะน้อยลง!
เคล็ดลับการปฏิบัติ:
1. สิ่งที่สำคัญที่สุดในการทำงานกับนิพจน์เศษส่วนคือความแม่นยำและความเอาใจใส่! ไม่ใช่คำธรรมดา ไม่ใช่คำอวยพร! นี่เป็นความต้องการที่รุนแรง! ทำการคำนวณทั้งหมดในการสอบเป็นงานเต็มเปี่ยมอย่างมีสมาธิและชัดเจน การเขียนสองบรรทัดเพิ่มเติมในแบบร่างนั้นดีกว่าการคิดเลขในหัวให้ยุ่งเหยิง
2. ในตัวอย่างด้วย ประเภทต่างๆเศษส่วน - ไปที่เศษส่วนธรรมดา
3. เราลดเศษส่วนทั้งหมดลงจนสุด
4. เราลดนิพจน์เศษส่วนหลายระดับเป็นสามัญโดยใช้การหารด้วยสองจุด (ทำตามลำดับการหาร!)
5. เราแบ่งหน่วยเป็นเศษส่วนในใจของเราโดยพลิกเศษส่วน
นี่คืองานที่คุณต้องทำให้เสร็จ คำตอบจะได้รับหลังจากงานทั้งหมด ใช้เนื้อหาของหัวข้อนี้และคำแนะนำที่เป็นประโยชน์ ประมาณจำนวนตัวอย่างที่คุณสามารถแก้ได้อย่างถูกต้อง ครั้งแรก! โดยไม่ต้องคิดเลข! และได้ข้อสรุปที่ถูกต้อง...
จำคำตอบที่ถูกต้อง ได้รับจากครั้งที่สอง (โดยเฉพาะครั้งที่สาม) - ไม่นับ!นั่นคือชีวิตที่โหดร้าย
ดังนั้น, แก้ปัญหาในโหมดการสอบ ! นี่คือการเตรียมตัวสำหรับการสอบโดยวิธีการ เราแก้ตัวอย่าง เราตรวจสอบ เราแก้ปัญหาต่อไปนี้ เราตัดสินใจทุกอย่าง - เราตรวจสอบอีกครั้งตั้งแต่ต้นจนจบ แต่เท่านั้น แล้วดูคำตอบ
คำนวณ:
คุณตัดสินใจแล้วหรือยัง?
มองหาคำตอบที่ตรงกับคุณ ฉันเขียนมันลงไปอย่างยุ่งเหยิงโดยเฉพาะ ห่างไกลจากสิ่งล่อใจ เพื่อที่จะพูด ... นี่คือคำตอบที่เขียนด้วยเครื่องหมายอัฒภาค
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
และตอนนี้เราได้ข้อสรุปแล้ว หากทุกอย่างเรียบร้อย - มีความสุขสำหรับคุณ! การคำนวณเบื้องต้นด้วยเศษส่วนไม่ใช่ปัญหาของคุณ! คุณสามารถทำสิ่งที่ร้ายแรงกว่านี้ได้ ถ้าไม่...
ดังนั้นคุณมีปัญหาหนึ่งในสองข้อ หรือทั้งสองอย่างพร้อมกัน) ขาดความรู้และ (หรือ) ไม่ตั้งใจ แต่นี่ แก้ไขได้ ปัญหา.
ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...
อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์
ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์ การคูณจำนวนคละ. ขั้นแรก เราจะพูดถึงกฎสำหรับการคูณจำนวนคละและพิจารณาการใช้กฎนี้เมื่อแก้ตัวอย่าง ต่อไปเราจะพูดถึงการคูณของจำนวนคละและจำนวนธรรมชาติ สุดท้าย เราจะได้เรียนรู้วิธีการคูณจำนวนคละกับเศษส่วนธรรมดา
การนำทางหน้า
การคูณจำนวนคละ.
การคูณจำนวนคละสามารถลดเป็นการคูณเศษส่วนธรรมดาได้ ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะแปลงจำนวนคละเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม
มาจดกันเถอะ กฎการคูณสำหรับจำนวนคละ:
- ขั้นแรก จำนวนคละที่จะคูณจะต้องถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม
- ประการที่สอง คุณต้องใช้กฎการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน
พิจารณาตัวอย่างการใช้กฎนี้เมื่อคูณจำนวนคละด้วยจำนวนคละ
ทำการคูณจำนวนคละ และ .
ขั้นแรก เราแสดงจำนวนคละที่คูณเป็นเศษเกิน: 
และ 
. ตอนนี้เราสามารถแทนที่การคูณของจำนวนคละด้วยการคูณเศษส่วนธรรมดา: 
. เราได้รับโดยใช้กฎการคูณเศษส่วน 
. เศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์นั้นลดไม่ได้ (ดูเศษส่วนที่ลดลงได้และส่วนที่ลดไม่ได้) แต่ไม่ถูกต้อง (ดูเศษส่วนปกติและเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม) ดังนั้นเพื่อให้ได้คำตอบสุดท้าย จึงยังคงต้องแยกส่วนจำนวนเต็มออกจากเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม: .
มาเขียนวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดในบรรทัดเดียว: .
.
ในการรวมทักษะการคูณจำนวนคละ ให้พิจารณาคำตอบของตัวอย่างอื่น
ทำการคูณ
จำนวนตลกและมีค่าเท่ากับเศษส่วน 13/5 และ 10/9 ตามลำดับ แล้ว 
. ในขั้นตอนนี้ ถึงเวลาที่ต้องจำเกี่ยวกับการลดเศษส่วน: เราจะแทนที่ตัวเลขทั้งหมดในเศษส่วนด้วยการขยายเป็นปัจจัยเฉพาะ และเราจะดำเนินการลดจำนวนตัวประกอบที่เหมือนกัน
การคูณของจำนวนคละและจำนวนธรรมชาติ
หลังจากแทนจำนวนคละด้วยเศษเกินแล้ว การคูณจำนวนคละกับจำนวนธรรมชาติจะลดลงเป็นการคูณเศษส่วนธรรมดากับจำนวนธรรมชาติ
คูณจำนวนคละกับจำนวนธรรมชาติ 45
จำนวนคละคือเศษส่วน 
. ลองแทนที่ตัวเลขในส่วนที่เป็นผลลัพธ์ด้วยการขยายเป็นปัจจัยเฉพาะ ทำการลดลง หลังจากนั้นเราเลือกส่วนจำนวนเต็ม: .
.
การคูณจำนวนคละและจำนวนธรรมชาติสามารถทำได้อย่างสะดวกสบายโดยใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณเทียบกับการบวก ในกรณีนี้ ผลคูณของจำนวนผสมและจำนวนธรรมชาติจะเท่ากับผลบวกของผลคูณของส่วนจำนวนเต็มด้วยจำนวนธรรมชาติที่กำหนดและส่วนเศษส่วนโดยจำนวนธรรมชาติที่กำหนด นั่นคือ 
.
คำนวณผลิตภัณฑ์
เราแทนที่จำนวนคละด้วยผลรวมของจำนวนเต็มและเศษส่วน หลังจากนั้นเราใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ: .
การคูณจำนวนคละและเศษส่วนร่วมสะดวกที่สุดที่จะลดการคูณเศษส่วนธรรมดาโดยแทนจำนวนคละที่คูณเป็นเศษเกิน
คูณจำนวนคละด้วยเศษส่วนร่วม 4/15.
เราแทนที่จำนวนคละด้วยเศษส่วน 
.
www.cleverstudents.ru
การคูณเลขเศษส่วน
§ 140 คำจำกัดความ. 1) การคูณจำนวนเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับการคูณจำนวนเต็ม กล่าวคือ: การคูณจำนวนจำนวนหนึ่ง (ตัวคูณ) ด้วยจำนวนเต็ม (ตัวประกอบ) หมายถึง การรวมพจน์ที่เหมือนกัน โดยแต่ละพจน์เท่ากับตัวคูณ และจำนวนพจน์เท่ากับตัวคูณ
การคูณด้วย 5 หมายถึงการหาผลรวม:
2) การคูณจำนวน (ตัวคูณ) ด้วยเศษส่วน (ตัวคูณ) หมายถึงการหาเศษส่วนนี้ของตัวคูณ
ดังนั้น การหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนดซึ่งเราพิจารณาก่อนหน้านี้ เราจะเรียกการคูณด้วยเศษส่วน
3) การคูณจำนวนจำนวนหนึ่ง (ตัวคูณ) ด้วยจำนวนคละ (ตัวประกอบ) หมายถึง การคูณตัวคูณก่อนด้วยจำนวนเต็มของตัวประกอบ จากนั้นคูณด้วยเศษของตัวประกอบ และนำผลลัพธ์ของการคูณทั้งสองนี้มาบวกกัน
ตัวอย่างเช่น:
จำนวนที่ได้รับหลังจากการคูณจะเรียกว่าในกรณีเหล่านี้ทั้งหมด งานเช่น เหมือนกับการคูณจำนวนเต็ม
จากคำจำกัดความเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่าการคูณจำนวนเศษส่วนเป็นการกระทำที่เป็นไปได้เสมอและไม่กำกวมเสมอ
§ 141 ความได้เปรียบของคำจำกัดความเหล่านี้เพื่อให้เข้าใจถึงความได้เปรียบในการแนะนำนิยามการคูณสองตัวสุดท้ายในเลขคณิต ให้เราพิจารณาปัญหาต่อไปนี้:
งาน. รถไฟเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอ เดินทาง 40 กม. ต่อชั่วโมง วิธีค้นหาว่ารถไฟขบวนนี้จะเดินทางเป็นระยะทางกี่กิโลเมตร หมายเลขที่กำหนดชั่วโมง?
หากเรายังคงนิยามการคูณตามเดิมซึ่งระบุไว้ในเลขคณิตของจำนวนเต็ม (การบวกของพจน์ที่เท่ากัน) ดังนั้นปัญหาของเราจะมีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันสามแบบ ได้แก่:
หากจำนวนชั่วโมงที่กำหนดเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 5 ชั่วโมง) ดังนั้นในการแก้ปัญหาจะต้องคูณ 40 กม. ด้วยจำนวนชั่วโมงนี้
หากจำนวนชั่วโมงที่กำหนดแสดงเป็นเศษส่วน (เช่น ชั่วโมง) คุณจะต้องหาค่าของเศษส่วนนี้จาก 40 กม.
สุดท้าย หากจำนวนชั่วโมงที่กำหนดผสมกัน (เช่น ชั่วโมง) ก็จำเป็นต้องคูณ 40 กม. ด้วยจำนวนเต็มที่อยู่ในจำนวนคละ แล้วบวกเศษส่วนจาก 40 กม. เข้ากับผลลัพธ์ที่ได้ จำนวนผสม
คำจำกัดความที่เราให้ไว้ช่วยให้เราสามารถให้คำตอบทั่วไปหนึ่งข้อสำหรับกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดเหล่านี้:
40 กม. จะต้องคูณด้วยจำนวนชั่วโมงที่กำหนดไม่ว่าจะเป็นเท่าไรก็ตาม
ดังนั้น หากมีการนำเสนองานใน ปริทัศน์ดังนั้น:
รถไฟที่เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอจะเดินทาง v กิโลเมตรต่อชั่วโมง รถไฟจะครอบคลุมกี่กิโลเมตรใน t ชั่วโมง?
จากนั้น ไม่ว่าจะเป็นตัวเลข v และ t เราก็สามารถแสดงคำตอบเดียวได้: จำนวนที่ต้องการแสดงโดยสูตร v · t
บันทึก. การหาเศษส่วนตามนิยามของเราหมายถึงการคูณจำนวนที่กำหนดด้วยเศษส่วนนี้ ดังนั้น ตัวอย่างเช่น การหา 5% (เช่น 5 ในร้อย) ของจำนวนที่กำหนดมีความหมายเหมือนกับการคูณจำนวนที่กำหนดด้วยหรือโดย การหา 125% ของจำนวนที่กำหนดจะเหมือนกับการคูณจำนวนนั้นด้วย หรือ ฯลฯ
§ 142. หมายเหตุเมื่อจำนวนเพิ่มขึ้นและเมื่อจำนวนลดลงจากการคูณ
จากการคูณด้วยเศษส่วนที่เหมาะสม จำนวนจะลดลง และจากการคูณด้วยเศษส่วนที่เหมาะสม จำนวนจะเพิ่มขึ้นหากเศษเกินนี้มีค่ามากกว่าหนึ่ง และจะคงเดิมหากมีค่าเท่ากับหนึ่ง
ความคิดเห็น เมื่อคูณจำนวนเศษส่วนและจำนวนเต็ม ผลคูณจะเท่ากับศูนย์หากปัจจัยใดมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น
§ 143. ที่มาของกฎการคูณ
1) การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม ให้เศษส่วนคูณด้วย 5 ซึ่งหมายความว่าเพิ่มขึ้น 5 เท่า หากต้องการเพิ่มเศษส่วนทีละ 5 ก็เพียงพอที่จะเพิ่มเศษหรือลดส่วนลง 5 เท่า (§ 127)
นั่นเป็นเหตุผล:
กฎข้อที่ 1 ในการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็มนี้ และปล่อยตัวส่วนไว้เท่าเดิม คุณยังสามารถหารตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มที่กำหนด (ถ้าเป็นไปได้) และปล่อยให้ตัวเศษเหมือนเดิม
ความคิดเห็น ผลคูณของเศษส่วนและตัวส่วนเท่ากับตัวเศษ
ดังนั้น:
กฎข้อที่ 2 ในการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มด้วยตัวเศษของเศษส่วนและทำให้ผลคูณนี้เป็นเศษ และลงชื่อตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนดให้เป็นตัวส่วน
กฎข้อที่ 3 ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษด้วยตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวส่วน และทำให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษและตัวส่วนที่สองเป็นตัวส่วน
ความคิดเห็น กฎนี้ยังสามารถนำไปใช้กับการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มและจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน หากเพียงแต่เราถือว่าจำนวนเต็มเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นหนึ่ง ดังนั้น:
ดังนั้น กฎสามข้อที่ระบุไว้ตอนนี้จึงรวมเป็นหนึ่งเดียว ซึ่งสามารถแสดงเป็นเงื่อนไขทั่วไปได้ดังนี้:
4) การคูณจำนวนคละ
กฎข้อที่ 4 ในการคูณจำนวนคละ คุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนที่เกินแล้วคูณตามกฎการคูณเศษส่วน ตัวอย่างเช่น:
§ 144 การลดลงของการคูณ. เมื่อคูณเศษส่วน ถ้าเป็นไปได้ ควรทำการลดทอนก่อน ดังตัวอย่างต่อไปนี้
การลดลงดังกล่าวสามารถทำได้เนื่องจากค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงหากตัวเศษและตัวส่วนลดลงด้วยจำนวนครั้งเท่ากัน
§ 145 การเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์ด้วยการเปลี่ยนแปลงของปัจจัยเมื่อปัจจัยเปลี่ยนแปลง ผลคูณของจำนวนเศษส่วนจะเปลี่ยนแปลงในลักษณะเดียวกับผลคูณของจำนวนเต็ม (§ 53) นั่นคือ: หากคุณเพิ่ม (หรือลด) ปัจจัยใด ๆ หลาย ๆ ครั้ง ผลคูณจะเพิ่มขึ้น (หรือลดลง) ในจำนวนที่เท่ากัน.
ดังนั้น ถ้าในตัวอย่าง:
ในการคูณเศษส่วนหลายตัวจำเป็นต้องคูณตัวเศษระหว่างตัวเศษและตัวส่วนด้วยกันและทำให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษและตัวที่สองเป็นตัวส่วนของผลิตภัณฑ์
ความคิดเห็น กฎนี้ยังสามารถนำไปใช้กับผลิตภัณฑ์ดังกล่าวซึ่งตัวประกอบบางตัวของจำนวนเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนผสม หากเราพิจารณาจำนวนเต็มเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นหนึ่ง และเราเปลี่ยนจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น:
§ 147. คุณสมบัติพื้นฐานของการคูณคุณสมบัติของการคูณที่เราระบุไว้สำหรับจำนวนเต็ม (§ 56, 57, 59) ก็เป็นของการคูณของจำนวนเศษส่วนเช่นกัน ระบุคุณสมบัติเหล่านี้กันเถอะ
1) สินค้าไม่เปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนสถานที่ของปัจจัย
ตัวอย่างเช่น:
ตามกฎของย่อหน้าก่อนหน้า ผลคูณแรกเท่ากับเศษส่วน และผลคูณที่สองเท่ากับเศษส่วน แต่เศษส่วนเหล่านี้เหมือนกัน เนื่องจากสมาชิกของเศษส่วนแตกต่างกันในลำดับของตัวประกอบจำนวนเต็มเท่านั้น และผลคูณของจำนวนเต็มจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อตัวประกอบเปลี่ยนตำแหน่ง
2) ผลิตภัณฑ์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากกลุ่มปัจจัยใด ๆ ถูกแทนที่ด้วยผลิตภัณฑ์ของพวกเขา
ตัวอย่างเช่น:
ผลลัพธ์เหมือนกัน
จากคุณสมบัติการคูณนี้ เราสามารถอนุมานข้อสรุปได้ดังนี้
ในการคูณจำนวนด้วยผลคูณ คุณสามารถคูณจำนวนนี้ด้วยตัวประกอบตัวแรก คูณจำนวนผลลัพธ์ด้วยตัวที่สอง และอื่นๆ
ตัวอย่างเช่น:
3) กฎการกระจายของการคูณ (เกี่ยวกับการบวก) ในการคูณผลรวมด้วยตัวเลข คุณสามารถคูณแต่ละพจน์ด้วยตัวเลขนี้แยกกันแล้วบวกผลลัพธ์
เราอธิบายกฎนี้แล้ว (§ 59) ว่านำไปใช้กับจำนวนเต็ม ยังคงเป็นจริงโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ สำหรับตัวเลขที่เป็นเศษส่วน
ให้เราแสดงในความเป็นจริงว่าความเท่าเทียมกัน
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(กฎการกระจายของการคูณในส่วนที่เกี่ยวกับการเพิ่ม) ยังคงเป็นจริงแม้ว่าตัวอักษรจะหมายถึงตัวเลขที่เป็นเศษส่วนก็ตาม ลองพิจารณาสามกรณี
1) สมมติก่อนว่าตัวประกอบ m เป็นจำนวนเต็ม เช่น m = 3 (a, b, c เป็นตัวเลขใดๆ) ตามนิยามของการคูณด้วยจำนวนเต็ม เราเขียนได้ (จำกัดความง่ายไว้ที่สามเทอม):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
บนพื้นฐานของกฎการบวกแบบเชื่อมโยง เราสามารถละเว้นวงเล็บทั้งหมดทางด้านขวาได้ การใช้กฎการสลับที่ของการบวก และกฎการรวมกันอีกครั้ง เราสามารถเขียนด้านขวาใหม่ได้อย่างชัดเจนดังนี้:
(ก + ก + ก) + (ข + ข + ข) + (ค + ค + ค).
(ก + ข + ค) * 3 = ก * 3 + ข * 3 + ค * 3.
ดังนั้นกฎหมายการกระจายในกรณีนี้จึงได้รับการยืนยัน
การคูณและการหารเศษส่วน
ครั้งที่แล้วเราได้เรียนรู้วิธีการบวกและลบเศษส่วน (ดูบทเรียน "การบวกและการลบเศษส่วน") ช่วงเวลาที่ยากที่สุดในการกระทำเหล่านั้นคือการนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม
ถึงเวลาจัดการกับการคูณและการหารแล้ว ข่าวดีก็คือการดำเนินการเหล่านี้ง่ายกว่าการบวกและการลบ ในการเริ่มต้น ให้พิจารณากรณีที่ง่ายที่สุด เมื่อมีเศษส่วนที่เป็นบวกสองส่วนโดยไม่มีส่วนจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน
ในการคูณเศษส่วนสองส่วน คุณต้องคูณตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน ตัวเลขแรกจะเป็นตัวเศษของเศษส่วนใหม่ และตัวเลขที่สองจะเป็นตัวส่วน
ในการหารเศษส่วนสองส่วน คุณต้องคูณเศษส่วนแรกด้วยวินาทีที่ "กลับด้าน"
จากคำนิยาม การแบ่งเศษส่วนจะลดลงเป็นการคูณ หากต้องการพลิกเศษส่วน ให้สลับตัวเศษและตัวส่วน ดังนั้นบทเรียนทั้งหมดเราจะพิจารณาการคูณเป็นหลัก
อันเป็นผลมาจากการคูณ เศษส่วนที่ลดลงสามารถเกิดขึ้นได้ (และมักจะเกิดขึ้น) - แน่นอนว่าจะต้องลดลง หากหลังจากการลดลงทั้งหมดเศษส่วนไม่ถูกต้องควรแยกส่วนทั้งหมดออก แต่สิ่งที่จะไม่เกิดขึ้นกับการคูณคือการลดลงเป็นตัวส่วนร่วม: ไม่มีวิธีขวาง ปัจจัยสูงสุด และตัวคูณร่วมน้อย
ตามคำจำกัดความเรามี:
การคูณเศษส่วนที่มีเศษส่วนเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วนที่เป็นลบ
หากมีเศษส่วนเป็นจำนวนเต็ม จะต้องแปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง จากนั้นให้คูณตามรูปแบบที่ร่างไว้ข้างต้นเท่านั้น
หากมีเครื่องหมายลบในตัวเศษ ในตัวส่วน หรืออยู่ข้างหน้าเศษส่วน สามารถนำออกจากขีดจำกัดของการคูณหรือลบออกทั้งหมดตามกฎต่อไปนี้:
- บวก ลบ ให้ ลบ;
- เชิงลบสองรายการยืนยัน
จนถึงปัจจุบัน กฎเหล่านี้พบได้เฉพาะเมื่อบวกและลบเศษส่วนที่เป็นลบเท่านั้น เมื่อต้องกำจัดเศษส่วนทั้งหมด สำหรับผลิตภัณฑ์ พวกเขาสามารถทำให้เป็นข้อมูลทั่วไปเพื่อ "เผา" หลายๆ ลบพร้อมกัน:
- เราขีดฆ่า minuses ออกเป็นคู่ ๆ จนกว่าพวกมันจะหายไปอย่างสมบูรณ์ ในกรณีที่รุนแรงสามารถอยู่รอดได้หนึ่งลบ - อันที่ไม่พบการแข่งขัน
- หากไม่มีการลบเหลืออยู่ การดำเนินการจะเสร็จสมบูรณ์ - คุณสามารถเริ่มการคูณได้ หากไม่ได้ขีดฆ่าเครื่องหมายลบสุดท้าย เนื่องจากไม่พบคู่ เราจะนำออกจากขีดจำกัดของการคูณ คุณจะได้เศษส่วนที่เป็นลบ
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:
เราแปลงเศษส่วนทั้งหมดเป็นเศษส่วน จากนั้นเรานำเศษส่วนออกไปนอกขอบเขตของการคูณ สิ่งที่เหลืออยู่จะถูกคูณตามกฎปกติ เราได้รับ:
ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าเครื่องหมายลบที่อยู่หน้าเศษส่วนที่ไฮไลท์ไว้ ทั้งส่วน, หมายถึงเศษส่วนทั้งหมดโดยเฉพาะ ไม่ใช่เฉพาะส่วนจำนวนเต็ม (ใช้กับสองตัวอย่างสุดท้าย)
ยังให้ความสนใจกับ ตัวเลขติดลบ: เมื่อคูณ จะอยู่ในวงเล็บ สิ่งนี้ทำเพื่อแยกเครื่องหมายลบออกจากเครื่องหมายคูณและทำให้สัญลักษณ์ทั้งหมดแม่นยำยิ่งขึ้น
ลดเศษส่วนได้ทันที
การคูณเป็นการดำเนินการที่ลำบากมาก ตัวเลขที่นี่ค่อนข้างใหญ่ และเพื่อให้งานง่ายขึ้น คุณสามารถลองลดเศษส่วนให้มากขึ้นได้ ก่อนการคูณ. โดยพื้นฐานแล้ว ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเป็นปัจจัยธรรมดา ดังนั้นจึงสามารถลดลงได้โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน ลองดูตัวอย่าง:
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:
ตามคำจำกัดความเรามี:
ในตัวอย่างทั้งหมด ตัวเลขที่ลดลงและสิ่งที่เหลืออยู่จะถูกทำเครื่องหมายด้วยสีแดง
โปรดทราบ: ในกรณีแรก ตัวคูณจะลดลงอย่างสมบูรณ์ หน่วยยังคงอยู่ในสถานที่ซึ่งโดยทั่วไปแล้วสามารถละเว้นได้ ในตัวอย่างที่สอง เป็นไปไม่ได้ที่จะลดให้สมบูรณ์ แต่จำนวนการคำนวณทั้งหมดยังคงลดลง
อย่างไรก็ตาม ห้ามใช้เทคนิคนี้ในการบวกและลบเศษส่วนเด็ดขาด! ใช่ บางครั้งมีตัวเลขที่คล้ายกันที่คุณต้องการลด ที่นี่ ดู:
คุณไม่สามารถทำอย่างนั้นได้!
ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเนื่องจากเมื่อเพิ่มเศษส่วน ผลรวมจะปรากฏในตัวเศษของเศษส่วน ไม่ใช่ผลคูณของตัวเลข ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้คุณสมบัติหลักของเศษส่วน เนื่องจากคุณสมบัตินี้เกี่ยวข้องกับการคูณของตัวเลขโดยเฉพาะ
ไม่มีเหตุผลอื่นในการลดเศษส่วน ดังนั้นวิธีแก้ไขที่ถูกต้องสำหรับปัญหาก่อนหน้าจะเป็นดังนี้:
อย่างที่คุณเห็นคำตอบที่ถูกต้องนั้นไม่สวยงามนัก โดยทั่วไปควรระวัง
การคูณเศษส่วน.
ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนหรือเศษส่วนด้วยตัวเลขอย่างถูกต้อง คุณจำเป็นต้องรู้ กฎง่ายๆ. ตอนนี้เราจะวิเคราะห์กฎเหล่านี้โดยละเอียด
การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน.
ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคำนวณผลคูณของตัวเศษและผลคูณของตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้
พิจารณาตัวอย่าง:
เราคูณตัวเศษของเศษส่วนแรกกับตัวเศษของเศษส่วนที่สอง และเรายังคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกกับตัวส่วนของเศษส่วนที่สองด้วย
การคูณเศษส่วนด้วยจำนวน.
เริ่มต้นด้วยกฎ จำนวนใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ \(\bf n = \frac \)
ลองใช้กฎนี้สำหรับการคูณ
เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) ถูกแปลงเป็นเศษส่วนคละ
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อคูณตัวเลขด้วยเศษส่วน ให้คูณตัวเลขด้วยตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลงตัวอย่าง:
การคูณเศษส่วนคละ.
ในการคูณเศษส่วนคละ ก่อนอื่นคุณต้องแสดงเศษส่วนคละแต่ละส่วนเป็นเศษเกิน จากนั้นจึงใช้กฎการคูณ ตัวเศษคูณด้วยตัวเศษ ตัวส่วนคูณด้วยตัวส่วน
การคูณเศษส่วนและจำนวนนับ
คำถามที่เกี่ยวข้อง:
วิธีคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน?
คำตอบ: ผลคูณของเศษส่วนธรรมดาคือการคูณของตัวเศษกับตัวเศษ, ตัวส่วนกับตัวส่วน ในการรับผลคูณของเศษส่วนคละ คุณต้องแปลงเศษส่วนนั้นให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมและคูณตามกฎ
จะคูณเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกันได้อย่างไร?
คำตอบ: ไม่สำคัญว่าตัวส่วนของเศษส่วนจะเหมือนกันหรือต่างกัน การคูณเกิดขึ้นตามกฎสำหรับการหาผลคูณของตัวเศษกับตัวเศษ ตัวส่วนกับตัวส่วน
จะคูณเศษส่วนคละได้อย่างไร?
คำตอบ: ก่อนอื่น คุณต้องแปลงเศษส่วนคละเป็นเศษเกินก่อนแล้วจึงหาผลคูณตามกฎการคูณ
จะคูณจำนวนด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?
คำตอบ: เราคูณจำนวนด้วยตัวเศษและปล่อยตัวส่วนไว้เท่าเดิม
ตัวอย่าง #1:
คำนวณผลคูณ: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)
ตัวอย่าง #2:
คำนวณผลคูณของจำนวนและเศษส่วน: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)
ตัวอย่าง #3:
เขียนส่วนกลับของเศษส่วน \(\frac \)?
คำตอบ: \(\frac = 3\)
ตัวอย่าง #4:
คำนวณผลคูณของสองส่วนกลับ: a) \(\frac \times \frac \)
ตัวอย่าง #5:
เศษส่วนที่ผกผันร่วมกันสามารถเป็น:
ก) ทั้งเศษส่วนที่เหมาะสม
b) เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมพร้อมกัน;
c) จำนวนธรรมชาติในเวลาเดียวกัน?
สารละลาย:
ก) ลองใช้ตัวอย่างเพื่อตอบคำถามแรก เศษส่วน \(\frac \) ถูกต้อง ส่วนกลับจะเท่ากับ \(\frac \) - เศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง คำตอบ: ไม่
b) ในการแจกแจงเศษส่วนเกือบทั้งหมด ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ แต่มีตัวเลขบางตัวที่เข้าเงื่อนไขของการเป็นเศษเกินในเวลาเดียวกัน ตัวอย่างเช่น เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมคือ \(\frac \) ส่วนกลับคือ \(\frac \) เราได้เศษเกินสองส่วน คำตอบ: ไม่เสมอไปภายใต้เงื่อนไขบางประการ เมื่อตัวเศษและตัวส่วนเท่ากัน
ค) จำนวนธรรมชาติคือจำนวนที่เราใช้ในการนับ เช่น 1, 2, 3, .... หากเราใช้ตัวเลข \(3 = \frac \) ดังนั้นส่วนกลับจะเป็น \(\frac \) เศษส่วน \(\frac \) ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ ถ้าเราดูตัวเลขทั้งหมด ส่วนกลับจะเป็นเศษส่วนเสมอ ยกเว้น 1 ถ้าเราใช้เลข 1 ส่วนกลับจะเป็น \(\frac = \frac = 1\) เลข 1 เป็นเลขธรรมชาติ คำตอบ: พวกมันสามารถเป็นจำนวนธรรมชาติพร้อมกันได้ในกรณีเดียวเท่านั้น ถ้าจำนวนนี้คือ 1
ตัวอย่าง #6:
ทำผลคูณของเศษส่วนคละ: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)
สารละลาย:
ก) \(4 \คูณ 2\frac = \frac \ครั้ง \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)
ตัวอย่าง #7:
จำนวนสองจำนวนกลับเป็นจำนวนคละพร้อมกันได้หรือไม่?
ลองดูตัวอย่าง ลองใช้เศษส่วนคละ \(1\frac \) หาส่วนกลับของมัน สำหรับสิ่งนี้ เราแปลมันเป็นเศษส่วนไม่เหมาะสม \(1\frac = \frac \) . ส่วนกลับจะเท่ากับ \(\frac \) เศษส่วน \(\frac \) เป็นเศษส่วนที่เหมาะสม คำตอบ: เศษส่วนที่ผกผันร่วมกันสองตัวไม่สามารถเป็นจำนวนคละพร้อมกันได้
การคูณทศนิยมด้วยจำนวนธรรมชาติ
การนำเสนอสำหรับบทเรียน
ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงขอบเขตทั้งหมดของงานนำเสนอ ถ้าคุณสนใจ งานนี้โปรดดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม
- แนะนำนักเรียนให้รู้จักกฎการคูณเศษส่วนทศนิยมด้วยจำนวนธรรมชาติ หน่วยบิต และกฎการแสดงเศษส่วนทศนิยมเป็นเปอร์เซ็นต์อย่างสนุกสนาน พัฒนาความสามารถในการใช้ความรู้ที่ได้รับในการแก้ปัญหาตัวอย่างและปัญหา
- พัฒนาและเปิดใช้งาน การคิดอย่างมีตรรกะนักเรียน ความสามารถในการระบุรูปแบบและทำให้เป็นภาพรวม เสริมสร้างความจำ ความสามารถในการร่วมมือ ให้ความช่วยเหลือ ประเมินผลงานและผลงานของกันและกัน
- เพื่อปลูกฝังความสนใจในคณิตศาสตร์ กิจกรรม ความคล่องตัว ความสามารถในการสื่อสาร
อุปกรณ์: กระดานโต้ตอบ, โปสเตอร์พร้อมไซเฟอร์แกรม , โปสเตอร์พร้อมข้อความของนักคณิตศาสตร์
- เวลาจัดงาน.
- การนับปากเปล่าเป็นภาพรวมของเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้ การเตรียมการสำหรับการศึกษาเนื้อหาใหม่
- คำอธิบายของเนื้อหาใหม่
- การบ้าน
- พลศึกษาคณิตศาสตร์.
- ลักษณะทั่วไปและการจัดระบบของความรู้ที่ได้มา รูปแบบเกมใช้คอมพิวเตอร์.
- การวัดผล
2. พวกวันนี้บทเรียนของเราจะค่อนข้างผิดปกติเพราะฉันจะไม่ใช้มันคนเดียว แต่กับเพื่อนของฉัน และเพื่อนของฉันก็ผิดปกติเช่นกันตอนนี้คุณจะเห็นเขา (คอมพิวเตอร์การ์ตูนปรากฏขึ้นบนหน้าจอ) เพื่อนของฉันมีชื่อและเขาสามารถพูดคุย คุณชื่ออะไรเพื่อน? Komposha ตอบกลับ: "ฉันชื่อ Komposha" วันนี้คุณพร้อมที่จะช่วยฉันหรือยัง ใช่! ถ้าอย่างนั้นเรามาเริ่มบทเรียนกันเลย
วันนี้ฉันได้รับไซเฟอร์แกรมที่เข้ารหัสแล้ว พวกเราต้องแก้ไขและถอดรหัสไปด้วยกัน (มีการติดโปสเตอร์บนกระดานด้วย นับช่องปากสำหรับการบวกและการลบเศษส่วนทศนิยมซึ่งเป็นผลมาจากการที่พวกเขาได้รับรหัสต่อไปนี้ 523914687. )
Komposha ช่วยในการถอดรหัสรหัสที่ได้รับ จากการถอดรหัสจะได้คำว่า MULTIPLICATION การคูณคือ คำสำคัญหัวข้อของบทเรียนวันนี้ หัวข้อของบทเรียนจะปรากฏบนจอภาพ: "การคูณเศษส่วนทศนิยมด้วยจำนวนธรรมชาติ"
พวกเรารู้ว่าการคูณทำได้อย่างไร จำนวนธรรมชาติ. วันนี้เราจะพิจารณาการคูณเลขทศนิยมด้วยจำนวนธรรมชาติ การคูณเศษส่วนทศนิยมด้วยจำนวนธรรมชาติถือเป็นผลรวมของพจน์ ซึ่งแต่ละพจน์มีค่าเท่ากับเศษส่วนทศนิยมนี้ และจำนวนพจน์เท่ากับจำนวนธรรมชาตินี้ ตัวอย่างเช่น 5.21 3 = 5.21 + 5, 21 + 5.21 = 15.63 ดังนั้น 5.21 3 = 15.63 เราได้รับ 5.21 เป็นเศษส่วนธรรมดาของจำนวนธรรมชาติ
และในกรณีนี้ เราได้ผลลัพธ์เดียวกันคือ 15.63 ทีนี้ ละเว้นเครื่องหมายจุลภาค ลองใช้เลข 521 แทนเลข 5.21 แล้วคูณด้วยเลขธรรมชาติที่กำหนด ที่นี่เราต้องจำไว้ว่าในปัจจัยใดปัจจัยหนึ่ง เครื่องหมายจุลภาคจะถูกย้ายไปทางขวาสองตำแหน่ง เมื่อคูณตัวเลข 5, 21 และ 3 เราจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 15.63 ในตัวอย่างนี้ เราจะย้ายเครื่องหมายจุลภาคไปทางซ้ายทีละสองหลัก ดังนั้นปัจจัยอย่างใดอย่างหนึ่งเพิ่มขึ้นกี่เท่าของก็ลดลงหลายเท่า จากจุดที่คล้ายกันของวิธีการเหล่านี้ เราได้ข้อสรุป
เพื่อทวีคูณ ทศนิยมเป็นจำนวนธรรมชาติ คุณต้อง:
1) ละเว้นเครื่องหมายจุลภาคทำการคูณจำนวนธรรมชาติ
2) ในผลคูณของผลลัพธ์ ให้คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคทางด้านขวาของอักขระให้มากที่สุดเท่าที่มีในเศษส่วนทศนิยม
ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงบนจอภาพซึ่งเราวิเคราะห์ร่วมกับ Komposha และพวก: 5.21 3 = 15.63 และ 7.624 15 = 114.34 หลังจากที่ฉันแสดงการคูณด้วยเลขกลม 12.6 50 \u003d 630 ต่อไป ฉันหันไปคูณเศษส่วนทศนิยมด้วยหน่วยบิต ฉันแสดงตัวอย่างต่อไปนี้: 7.423 100 \u003d 742.3 และ 5.2 1,000 \u003d 5200 ดังนั้นฉันจึงแนะนำกฎสำหรับการคูณเศษส่วนทศนิยมด้วยหน่วยบิต:
ในการคูณเศษส่วนทศนิยมด้วยหน่วยบิต 10, 100, 1,000 ฯลฯ จำเป็นต้องย้ายเครื่องหมายจุลภาคไปทางขวาในเศษส่วนนี้ด้วยจำนวนหลักที่มีศูนย์ในบันทึกหน่วยบิต
ฉันจบคำอธิบายด้วยการแสดงออกของเศษส่วนทศนิยมเป็นเปอร์เซ็นต์ ฉันเข้าสู่กฎ:
หากต้องการแสดงทศนิยมเป็นเปอร์เซ็นต์ ให้คูณด้วย 100 แล้วใส่เครื่องหมาย %
ฉันยกตัวอย่างในคอมพิวเตอร์ 0.5 100 = 50 หรือ 0.5 = 50%
4. ในตอนท้ายของคำอธิบายฉันให้พวกเขา การบ้านซึ่งแสดงบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ด้วย: № 1030, № 1034, № 1032.
5. เพื่อให้พวกเขาพักผ่อนเล็กน้อยเพื่อรวมหัวข้อเราทำเซสชั่นพลศึกษาทางคณิตศาสตร์ร่วมกับ Komposha ทุกคนยืนขึ้น แสดงให้ชั้นเรียนดูตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว และพวกเขาต้องตอบว่าตัวอย่างนั้นถูกต้องหรือไม่ถูกต้อง หากแก้ไขตัวอย่างได้อย่างถูกต้องให้ยกมือขึ้นเหนือหัวแล้วตบมือ หากตัวอย่างไม่ถูกต้องให้ยืดแขนออกไปด้านข้างแล้วนวดนิ้ว
6. และตอนนี้คุณพักผ่อนน้อย คุณสามารถแก้ปัญหาได้ เปิดตำราของคุณไปที่หน้า 205 № 1029. ในงานนี้จำเป็นต้องคำนวณค่าของนิพจน์:
งานปรากฏบนคอมพิวเตอร์ เมื่อไขปริศนาได้ ภาพหนึ่งก็ปรากฏขึ้นพร้อมกับภาพเรือ ซึ่งเมื่อต่อครบแล้วแล่นออกไป
การแก้ปัญหานี้บนคอมพิวเตอร์ จรวดค่อยๆ พัฒนา แก้ไขตัวอย่างสุดท้าย จรวดบินหนีไป ครูให้ข้อมูลเล็ก ๆ น้อย ๆ กับนักเรียน:“ ทุก ๆ ปีจากดินแดนคาซัคจาก Baikonur cosmodrome ขึ้นสู่ดวงดาว ยานอวกาศ. ใกล้กับ Baikonur ประเทศคาซัคสถานกำลังสร้าง Baiterek cosmodrome แห่งใหม่
รถยนต์จะแล่นได้ไกลแค่ไหนใน 4 ชั่วโมง ถ้าความเร็วของรถคือ 74.8 กม./ชม.
บัตรของขวัญ ไม่รู้จะให้อะไรกับคนสำคัญของคุณ เพื่อน พนักงาน ญาติ? ใช้ประโยชน์จากข้อเสนอพิเศษของเรา: "บัตรกำนัลของ Blue Osoka Country Hotel" ใบรับรอง […]
การดำเนินการอื่นที่สามารถทำได้ด้วยเศษส่วนธรรมดาคือการคูณ เราจะพยายามอธิบายกฎพื้นฐานเมื่อแก้ปัญหา แสดงวิธีคูณเศษส่วนสามัญด้วยจำนวนธรรมชาติ และวิธีคูณเศษส่วนสามัญสามส่วนขึ้นไปอย่างถูกต้อง
ลองเขียนกฎพื้นฐานก่อน:
คำจำกัดความ 1
ถ้าเราคูณเศษส่วนธรรมดาหนึ่งตัว ตัวเศษของเศษส่วนผลลัพธ์จะเท่ากับผลคูณของตัวเศษของเศษส่วนเดิม และตัวส่วนกับผลคูณของตัวส่วน ในรูปแบบตัวอักษร สำหรับสองเศษส่วน a / b และ c / d สามารถแสดงเป็น a b · c d = a · c b · d
มาดูตัวอย่างการใช้กฎนี้อย่างถูกต้องกัน สมมติว่าเรามีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับหนึ่งหน่วยตัวเลข จากนั้นพื้นที่ของรูปจะเป็น 1 ตาราง หน่วย. ถ้าเราแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่าๆ กัน โดยมีด้านเท่ากับ 1 4 และ 1 8 ของหน่วยตัวเลข เราจะได้ว่ามันประกอบด้วยสี่เหลี่ยม 32 รูป (เนื่องจาก 8 4 = 32) ดังนั้นพื้นที่ของแต่ละคนจะเท่ากับ 1 32 ของพื้นที่ของตัวเลขทั้งหมดนั่นคือ 1 32 ตร.ม. หน่วย
เรามีส่วนที่แรเงาที่มีด้านเท่ากับ 5 8 หน่วยตัวเลขและ 3 4 หน่วยตัวเลข ดังนั้นในการคำนวณพื้นที่จำเป็นต้องคูณเศษส่วนแรกด้วยส่วนที่สอง ก็จะเท่ากับ 5 8 3 4 ตารางเมตร หน่วย แต่เราสามารถนับได้ว่ามีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากี่รูปที่อยู่ในแฟรกเมนต์: มี 15 รูป พื้นที่ทั้งหมดคือ 1532 ตร.ว.
เนื่องจาก 5 3 = 15 และ 8 4 = 32 เราสามารถเขียนสมการได้ดังนี้
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
เป็นการยืนยันกฎที่เราได้กำหนดไว้สำหรับการคูณเศษส่วนธรรมดา ซึ่งแสดงเป็น a b · c d = a · c b · d มันทำงานเหมือนกันสำหรับทั้งเศษส่วนที่เหมาะสมและไม่เหมาะสม สามารถใช้ในการคูณเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันและตัวส่วนเท่ากัน
ลองวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาต่าง ๆ สำหรับการคูณเศษส่วนธรรมดา
ตัวอย่างที่ 1
คูณ 7 11 ด้วย 9 8
สารละลาย
ในการเริ่มต้น เราคำนวณผลคูณของตัวเศษของเศษส่วนที่ระบุโดยการคูณ 7 ด้วย 9 เราได้ 63 จากนั้นเราคำนวณผลคูณของตัวส่วนและรับ: 11 8 = 88 . ลองเขียนคำตอบจากตัวเลขสองตัว: 63 88
วิธีแก้ปัญหาทั้งหมดสามารถเขียนได้ดังนี้:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
คำตอบ: 7 11 9 8 = 63 88 .
หากในคำตอบเรามีเศษส่วนที่ลดทอนได้ เราต้องทำการคำนวณให้เสร็จและดำเนินการลดส่วนนั้น หากเราได้เศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง เราต้องเลือกเศษส่วนทั้งหมดจากเศษส่วนนั้น
ตัวอย่างที่ 2
คำนวณผลคูณของเศษส่วน 4 15 และ 55 6 .
สารละลาย
ตามกฎที่ศึกษาข้างต้น เราต้องคูณตัวเศษด้วยตัวเศษ และตัวส่วนคูณด้วยตัวส่วน รายการโซลูชันจะมีลักษณะดังนี้:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
เราได้รับเศษส่วนที่ลดลงเช่น อันที่มีเครื่องหมายของการหารด้วย 10 ลงตัว
มาลดเศษส่วนกัน: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9 เป็นผลให้เราได้เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมซึ่งเราเลือกส่วนทั้งหมดและรับจำนวนผสม: 22 9 \u003d 2 4 9
คำตอบ: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
เพื่อความสะดวกในการคำนวณ เรายังสามารถลดเศษส่วนเดิมก่อนที่จะดำเนินการคูณ ซึ่งเราต้องนำเศษส่วนไปอยู่ในรูป a · c b · d เราแยกย่อยค่าของตัวแปรเป็นปัจจัยอย่างง่ายและยกเลิกค่าเดียวกัน
ให้เราอธิบายว่าสิ่งนี้มีลักษณะอย่างไรโดยใช้ข้อมูลของปัญหาเฉพาะ
ตัวอย่างที่ 3
คำนวณผลิตภัณฑ์ 4 15 55 6 .
สารละลาย
ลองเขียนการคำนวณตามกฎการคูณ เราจะสามารถ:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
เนื่องจาก 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 และ 6 = 2 3 ดังนั้น 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
คำตอบ: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
การแสดงออกที่เป็นตัวเลขซึ่งการคูณเศษส่วนธรรมดาเกิดขึ้นมีคุณสมบัติการสับเปลี่ยน นั่นคือ ถ้าจำเป็น เราสามารถเปลี่ยนลำดับของปัจจัยได้:
a bc d = c d a b = a c b d
วิธีคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ
ลองเขียนกฎพื้นฐานทันทีแล้วลองอธิบายในทางปฏิบัติ
คำจำกัดความ 2
ในการคูณเศษส่วนธรรมดาด้วยจำนวนธรรมชาติ คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนนี้ด้วยจำนวนนี้ ในกรณีนี้ ตัวส่วนของเศษส่วนสุดท้ายจะเท่ากับตัวส่วนของเศษส่วนสามัญเดิม การคูณเศษส่วน a b ด้วยจำนวนธรรมชาติ n สามารถเขียนเป็นสูตร a b · n = a · n b .
สูตรนี้เข้าใจได้ง่ายถ้าคุณจำได้ว่าจำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาที่มีตัวส่วนเท่ากับหนึ่ง นั่นคือ:
a b n = a bn 1 = a n b 1 = a n b
ให้เราอธิบายแนวคิดของเราด้วยตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม
ตัวอย่างที่ 4
คำนวณผลคูณของ 2 27 คูณ 5
สารละลาย
จากการคูณตัวเศษของเศษส่วนเดิมด้วยตัวประกอบที่สอง เราได้ 10 ตามกฎข้างต้นเราจะได้ 10 27 เป็นผลลัพธ์ วิธีแก้ปัญหาทั้งหมดได้รับในโพสต์นี้:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
คำตอบ: 2 27 5 = 10 27
เมื่อเราคูณจำนวนธรรมชาติด้วยเศษส่วนร่วม เรามักจะต้องลดผลลัพธ์หรือแสดงเป็นจำนวนคละ
ตัวอย่างที่ 5
เงื่อนไข: คำนวณผลคูณของ 8 คูณ 5 12 .
สารละลาย
ตามกฎข้างต้น เราคูณจำนวนธรรมชาติด้วยตัวเศษ ผลลัพธ์ที่ได้คือ 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 เศษส่วนสุดท้ายมีสัญญาณของการหารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้นเราต้องลดมันลง:
LCM (40, 12) \u003d 4 ดังนั้น 40 12 \u003d 40:4 12:4 \u003d 10 3
ตอนนี้เราต้องเลือกส่วนจำนวนเต็มและเขียนคำตอบที่เสร็จแล้ว: 10 3 = 3 1 3
ในรายการนี้ คุณสามารถดูวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3
เรายังสามารถลดเศษส่วนได้โดยการแยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วนออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ และผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเหมือนกันทุกประการ
คำตอบ: 5 12 8 = 3 1 3 .
นิพจน์ตัวเลขที่จำนวนธรรมชาติคูณด้วยเศษส่วนยังมีคุณสมบัติการกระจัด กล่าวคือ ลำดับของตัวประกอบจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์:
a b n = n a b = a n b
วิธีคูณเศษส่วนร่วมตั้งแต่สามตัวขึ้นไป
เราสามารถขยายไปถึงการคูณเศษส่วนสามัญด้วยคุณสมบัติเดียวกันกับที่เป็นลักษณะของการคูณจำนวนธรรมชาติ สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของแนวคิดเหล่านี้
ต้องขอบคุณความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติการเชื่อมโยงและการสลับที่ มันเป็นไปได้ที่จะคูณสาม เศษส่วนทั่วไปและอื่น ๆ. อนุญาตให้จัดเรียงตัวประกอบในสถานที่เพื่อความสะดวกยิ่งขึ้นหรือจัดวงเล็บในลักษณะที่จะทำให้นับได้ง่ายขึ้น
ลองแสดงตัวอย่างวิธีการทำ
ตัวอย่างที่ 6
คูณเศษส่วนร่วมสี่ส่วน 1 20 , 12 5 , 3 7 และ 5 8 .
วิธีแก้ไข: ขั้นแรกให้บันทึกงาน เราได้ 1 20 12 5 3 7 5 8 . เราต้องคูณตัวเศษและตัวส่วนทั้งหมดเข้าด้วยกัน: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .
ก่อนที่เราจะเริ่มการคูณ เราสามารถทำให้มันง่ายขึ้นเล็กน้อยสำหรับตัวเราเองและแยกย่อยตัวเลขบางตัวให้เป็นตัวประกอบเฉพาะสำหรับการลดลงต่อไป วิธีนี้จะง่ายกว่าการลดเศษส่วนที่เสร็จแล้ว
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
คำตอบ: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280
ตัวอย่างที่ 7
คูณ 5 ตัวเลข 7 8 12 8 5 36 10 .
สารละลาย
เพื่อความสะดวก เราสามารถจัดกลุ่มเศษส่วน 7 8 กับเลข 8 และเลข 12 กับเศษส่วน 5 36 เนื่องจากจะทำให้การลดลงในอนาคตชัดเจนสำหรับเรา เป็นผลให้เราได้รับ:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3
คำตอบ: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter
§ 87. การบวกเศษส่วน
การบวกเศษส่วนมีความคล้ายคลึงกับการบวกจำนวนเต็มหลายประการ การบวกเศษส่วนคือการกระทำที่ประกอบด้วยความจริงที่ว่าตัวเลข (คำศัพท์) ที่กำหนดหลายตัวรวมกันเป็นตัวเลขเดียว (ผลรวม) ซึ่งมีหน่วยและเศษส่วนของหน่วยคำศัพท์ทั้งหมด
เราจะพิจารณาสามกรณีตามลำดับ:
1. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
2. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
3. การบวกจำนวนคละ.
1. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
พิจารณาตัวอย่าง: 1/5 + 2/5 .
ใช้ส่วน AB (รูปที่ 17) ใช้เป็นหน่วยแล้วแบ่งออกเป็น 5 ส่วนเท่า ๆ กัน จากนั้นส่วน AC ของส่วนนี้จะเท่ากับ 1/5 ของส่วน AB และส่วนของซีดีส่วนเดียวกัน จะเท่ากับ 2/5 AB
จะเห็นได้จากภาพวาดว่าหากเรานำส่วน AD มาใช้ ก็จะเท่ากับ 3/5 AB แต่โฆษณาส่วนคือผลรวมของส่วน AC และ CD อย่างแม่นยำ ดังนั้น เราสามารถเขียน:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
เมื่อพิจารณาเงื่อนไขเหล่านี้และจำนวนผลลัพธ์ เราเห็นว่าตัวเศษของผลรวมได้มาจากการบวกตัวเศษของเงื่อนไข และตัวส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
จากนี้เราได้รับกฎต่อไปนี้: ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากัน
พิจารณาตัวอย่าง:
2. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
มาบวกเศษส่วนกัน: 3/4 + 3/8 ก่อนอื่นต้องลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด:
ไม่สามารถเขียนลิงก์กลาง 6/8 + 3/8; เราได้เขียนไว้ที่นี่เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น
ดังนั้น ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน ก่อนอื่นคุณต้องนำเศษส่วนเหล่านั้นไปหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด บวกตัวเศษและเซ็นชื่อตัวส่วนร่วม
พิจารณาตัวอย่าง (เราจะเขียนปัจจัยเพิ่มเติมเกี่ยวกับเศษส่วนที่เกี่ยวข้อง):
3. การบวกจำนวนคละ.
มาบวกเลขกัน: 2 3 / 8 + 3 5 / 6
ก่อนอื่นให้เรานำส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขมาเป็นตัวส่วนร่วมแล้วเขียนใหม่อีกครั้ง:
ตอนนี้เพิ่มจำนวนเต็มและเศษส่วนตามลำดับ:
§ 88. การลบเศษส่วน
การลบเศษส่วนถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับการลบจำนวนเต็ม นี่เป็นการกระทำที่เมื่อพิจารณาจากผลรวมของสองเทอมและหนึ่งในนั้น จะพบอีกเทอมหนึ่ง ลองพิจารณาสามกรณีตามลำดับ:
1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
2. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
3. การลบจำนวนคละ
1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
พิจารณาตัวอย่าง:
13 / 15 - 4 / 15
ลองใช้ส่วน AB (รูปที่ 18) ใช้เป็นหน่วยแล้วแบ่งออกเป็น 15 ส่วนเท่า ๆ กัน จากนั้นส่วน AC ของส่วนนี้จะเท่ากับ 1/15 ของ AB และส่วน AD ของส่วนเดียวกันจะตรงกับ 13/15 AB ลองแยกส่วน ED อีกอันออก เท่ากับ 4/15 AB
เราต้องลบ 4/15 จาก 13/15 ในภาพวาด หมายความว่าต้องลบส่วน ED ออกจากส่วนโฆษณา เป็นผลให้ส่วน AE จะยังคงอยู่ ซึ่งเป็น 9/15 ของส่วน AB เราจึงสามารถเขียนได้ว่า
ตัวอย่างที่เราทำแสดงให้เห็นว่าตัวเศษของผลต่างได้มาจากการลบตัวเศษ และตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม
ดังนั้น ในการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องลบตัวเศษของตัวลบออกจากตัวเศษของตัวส่วนลบและปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากัน
2. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
ตัวอย่าง. 3/4 - 5/8
ขั้นแรก ให้ลดเศษส่วนเหล่านี้ให้เป็นตัวหารร่วมที่น้อยที่สุด:
ลิงค์กลาง 6 / 8 - 5 / 8 ถูกเขียนไว้ที่นี่เพื่อความชัดเจน แต่สามารถข้ามได้ในอนาคต
ดังนั้น ในการลบเศษส่วนออกจากเศษส่วน คุณต้องนำเศษส่วนนั้นไปหาตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุดก่อน จากนั้นจึงลบตัวเศษของตัวลบออกจากตัวเศษของตัวส่วนลบและลงชื่อตัวส่วนร่วมใต้ผลต่าง
พิจารณาตัวอย่าง:
3. การลบจำนวนคละ
ตัวอย่าง. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
นำส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวลบและตัวลบมาเป็นตัวหารร่วมที่ต่ำที่สุด:
เราลบทั้งหมดออกจากทั้งหมดและเศษส่วนออกจากเศษส่วน แต่มีบางกรณีที่เศษส่วนของตัวลบมีค่ามากกว่าส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวลบ ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องใช้หนึ่งหน่วยจากส่วนจำนวนเต็มที่ลดลง แบ่งออกเป็นส่วนที่แสดงส่วนที่เป็นเศษส่วน และเพิ่มส่วนที่เป็นเศษส่วนของส่วนที่ลดลง จากนั้นการลบจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้า:
§ 89. การคูณเศษส่วน
เมื่อศึกษาการคูณเศษส่วน เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้:
1. การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
2. การหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด
3. การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
4. การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน
5. การคูณจำนวนคละ.
6. แนวคิดเกี่ยวกับความสนใจ
7. การหาเปอร์เซ็นต์ของจำนวนที่กำหนด ลองพิจารณาตามลำดับ
1. การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มมีความหมายเหมือนกับการคูณจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม การคูณเศษส่วน (ตัวคูณ) ด้วยจำนวนเต็ม (ตัวคูณ) หมายถึงการรวมพจน์ที่เหมือนกัน โดยแต่ละพจน์มีค่าเท่ากับตัวคูณ และจำนวนพจน์เท่ากับตัวคูณ
ดังนั้น หากคุณต้องการคูณ 1/9 ด้วย 7 ก็สามารถทำได้ดังนี้:
เราได้ผลลัพธ์อย่างง่ายดาย เนื่องจากการกระทำลดลงเหลือการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน เพราะฉะนั้น,
การพิจารณาการกระทำนี้แสดงให้เห็นว่าการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มจะเท่ากับการเพิ่มเศษส่วนนี้หลายเท่าเมื่อมีหน่วยเป็นจำนวนเต็ม และเนื่องจากการเพิ่มขึ้นของเศษส่วนทำได้โดยการเพิ่มจำนวนเศษ
หรือโดยการลดตัวส่วนลง 
จากนั้น เราสามารถคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็ม หรือหารตัวส่วนด้วยตัวส่วน ถ้าเป็นไปได้
จากที่นี่เราได้รับกฎ:
ในการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็มนี้และทิ้งตัวส่วนไว้เท่าเดิม หรือถ้าเป็นไปได้ ให้หารตัวส่วนด้วยตัวเลขนี้ โดยไม่เปลี่ยนแปลงตัวเศษ
เมื่อคูณ จะใช้ตัวย่อได้ เช่น
2. การหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนดมีปัญหามากมายที่คุณต้องค้นหาหรือคำนวณส่วนหนึ่งของตัวเลขที่กำหนด ความแตกต่างระหว่างงานเหล่านี้กับงานอื่น ๆ คือพวกเขาให้จำนวนของวัตถุหรือหน่วยการวัดและคุณต้องค้นหาส่วนหนึ่งของตัวเลขนี้ซึ่งระบุด้วยเศษส่วนบางส่วน เพื่ออำนวยความสะดวกในการทำความเข้าใจ ก่อนอื่นเราจะยกตัวอย่างปัญหาดังกล่าวก่อนแล้วจึงแนะนำวิธีการแก้ไข
ภารกิจที่ 1ฉันมี 60 รูเบิล 1 ใน 3 ของเงินนี้ฉันใช้ไปกับการซื้อหนังสือ หนังสือราคาเท่าไหร่?
ภารกิจที่ 2รถไฟต้องครอบคลุมระยะทางระหว่างเมือง A และ B เท่ากับ 300 กม. เขาได้ครอบคลุม 2/3 ของระยะทางนั้นแล้ว นี่กี่กิโลเมตร?
ภารกิจที่ 3มีบ้าน 400 หลังในหมู่บ้าน 3/4 หลังเป็นอิฐส่วนที่เหลือเป็นไม้ มีบ้านอิฐกี่หลัง?
ต่อไปนี้คือปัญหาบางส่วนที่เราต้องจัดการเพื่อค้นหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด โดยปกติจะเรียกว่าปัญหาในการหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด
การแก้ปัญหา1.จาก 60 รูเบิล ฉันใช้เวลา 1/3 ไปกับหนังสือ ดังนั้นในการหาราคาหนังสือ คุณต้องหาร 60 ด้วย 3:
วิธีแก้ปัญหา 2ความหมายของโจทย์คือต้องหา 2/3 ของ 300 กม. คำนวณ 1/3 แรกของ 300; สิ่งนี้ทำได้โดยการหาร 300 กม. ด้วย 3:
300: 3 = 100 (นั่นคือ 1/3 ของ 300)
ในการหาสองในสามของ 300 คุณต้องเพิ่มผลหารที่เป็นผลลัพธ์เป็นสองเท่า นั่นคือคูณด้วย 2:
100 x 2 = 200 (นั่นคือ 2/3 ของ 300)
วิธีแก้ปัญหา3.ที่นี่คุณต้องกำหนดจำนวนบ้านอิฐซึ่งเป็น 3/4 ของ 400 ก่อนอื่นให้หา 1/4 ของ 400
400: 4 = 100 (นั่นคือ 1/4 ของ 400)
การคำนวณ สามส่วนจาก 400 ผลหารที่ได้จะต้องเพิ่มเป็นสามเท่า นั่นคือ คูณด้วย 3:
100 x 3 = 300 (นั่นคือ 3/4 ของ 400)
จากการแก้ปัญหาเหล่านี้ เราสามารถได้รับกฎต่อไปนี้:
ในการหาค่าเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด คุณต้องหารจำนวนนี้ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนและคูณผลหารที่ได้ด้วยตัวเศษ
3. การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
ก่อนหน้านี้ (§ 26) มีการพิสูจน์ว่าการคูณจำนวนเต็มควรเข้าใจว่าเป็นการบวกคำที่เหมือนกัน (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20) ในย่อหน้านี้ (ย่อหน้าที่ 1) มีการพิสูจน์แล้วว่าการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มหมายถึงการหาผลรวมของพจน์ที่เหมือนกันเท่ากับเศษส่วนนี้
ในทั้งสองกรณี การคูณประกอบด้วยการหาผลรวมของพจน์ที่เหมือนกัน
ตอนนี้เราไปคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน ที่นี่เราจะพบกับตัวอย่างเช่นการคูณ: 9 2 / 3 เห็นได้ชัดว่าคำจำกัดความของการคูณก่อนหน้านี้ใช้ไม่ได้กับกรณีนี้ เห็นได้ชัดจากความจริงที่ว่าเราไม่สามารถแทนที่การคูณดังกล่าวด้วยการเพิ่มจำนวนที่เท่ากัน
ด้วยเหตุนี้ เราจะต้องให้คำจำกัดความใหม่ของการคูณ กล่าวคือ เพื่อตอบคำถามว่าควรเข้าใจอะไรจากการคูณด้วยเศษส่วน วิธีทำความเข้าใจการกระทำนี้
ความหมายของการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนชัดเจนจากคำจำกัดความต่อไปนี้: การคูณจำนวนเต็ม (ตัวคูณ) ด้วยเศษส่วน (ตัวคูณ) หมายถึงการหาเศษส่วนนี้ของตัวคูณ
กล่าวคือ การคูณ 9 ด้วย 2/3 หมายถึงการหา 2/3 ของเก้าหน่วย ในย่อหน้าที่แล้ว ปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขแล้ว มันง่ายที่จะหาว่าเราลงเอยด้วย 6
แต่ตอนนี้มีความน่าสนใจและ คำถามที่สำคัญ: ทำไมการกระทำที่แตกต่างกันเช่นการค้นหาผลรวม จำนวนเท่ากันและการหาเศษของจำนวนในทางเลขคณิตเรียกคำเดียวกันว่า "คูณ"?
สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการกระทำก่อนหน้า (ทำซ้ำตัวเลขกับเงื่อนไขหลายครั้ง) และการกระทำใหม่ (การหาเศษส่วนของตัวเลข) ให้คำตอบสำหรับคำถามที่เหมือนกัน ซึ่งหมายความว่าเราดำเนินการที่นี่จากการพิจารณาว่าคำถามหรืองานที่เป็นเนื้อเดียวกันได้รับการแก้ไขโดยการกระทำเดียวกัน
เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ ให้พิจารณาปัญหาต่อไปนี้: “ผ้า 1 ม. ราคา 50 รูเบิล ผ้าดังกล่าว 4 ม. ราคาเท่าไหร่?
ปัญหานี้แก้ไขได้โดยการคูณจำนวนรูเบิล (50) ด้วยจำนวนเมตร (4) เช่น 50 x 4 = 200 (รูเบิล)
ลองใช้ปัญหาเดียวกัน แต่จำนวนผ้าจะแสดงเป็นตัวเลขเศษส่วน: "ผ้า 1 ม. ราคา 50 รูเบิล 3/4 m ของผ้าดังกล่าวราคาเท่าไหร่?
ปัญหานี้ต้องแก้ไขด้วยการคูณจำนวนรูเบิล (50) ด้วยจำนวนเมตร (3/4)
คุณยังสามารถเปลี่ยนตัวเลขได้หลายครั้งโดยไม่เปลี่ยนความหมายของโจทย์ เช่น ใช้ 9/10 ม. หรือ 2 3/10 ม. เป็นต้น
เนื่องจากปัญหาเหล่านี้มีเนื้อหาเหมือนกันและต่างกันเพียงตัวเลข เราจึงเรียกการดำเนินการที่ใช้ในการแก้ปัญหาเหล่านี้ว่าคำเดียวกัน - การคูณ
จำนวนเต็มคูณด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?
ลองนำตัวเลขที่พบในปัญหาล่าสุด:
ตามคำจำกัดความ เราต้องหา 3/4 ของ 50 อันดับแรก เราหา 1/4 ของ 50 แล้วตามด้วย 3/4
1/4 ของ 50 คือ 50/4;
3/4 ของ 50 คือ
เพราะฉะนั้น.
พิจารณาตัวอย่างอื่น: 12 5/8 = ?
1/8 ของ 12 คือ 12/8
5/8 ของเลข 12 คือ .
เพราะฉะนั้น,
จากที่นี่เราได้รับกฎ:
ในการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มด้วยตัวเศษของเศษส่วนและทำให้ผลคูณนี้เป็นเศษ และลงชื่อตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนดให้เป็นตัวส่วน
เราเขียนกฎนี้โดยใช้ตัวอักษร:
เพื่อให้กฎนี้ชัดเจนอย่างสมบูรณ์ ควรจำไว้ว่าเศษส่วนสามารถถือเป็นผลหารได้ ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ในการเปรียบเทียบกฎที่พบกับกฎสำหรับการคูณจำนวนด้วยผลหารซึ่งกำหนดไว้ใน§ 38
ต้องจำไว้ว่าก่อนทำการคูณคุณควรทำ (ถ้าเป็นไปได้) ตัด, ตัวอย่างเช่น:
4. การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนมีความหมายเหมือนกับการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน นั่นคือ เวลาคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องหาเศษส่วนในตัวคูณจากเศษส่วนแรก (ตัวคูณ)
กล่าวคือ การคูณ 3/4 ด้วย 1/2 (ครึ่งหนึ่ง) หมายถึงการหาครึ่งหนึ่งของ 3/4
คุณจะคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?
ลองมาดูตัวอย่าง: 3/4 คูณ 5/7 ซึ่งหมายความว่าคุณต้องค้นหา 5/7 จาก 3/4 . หา 1/7 แรกของ 3/4 แล้วตามด้วย 5/7
1/7 ของ 3/4 จะแสดงดังนี้:
5 / 7 หมายเลข 3 / 4 จะแสดงดังนี้:
ดังนั้น,
อีกตัวอย่าง: 5/8 คูณ 4/9
1/9 ของ 5/8 คือ
4/9 หมายเลข 5/8 คือ .
ดังนั้น, 
จากตัวอย่างเหล่านี้ สามารถอนุมานกฎต่อไปนี้:
ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษด้วยตัวเศษ และตัวส่วนคูณด้วยตัวส่วน และทำให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษและผลคูณที่สองเป็นตัวส่วน
กฎนี้สามารถเขียนโดยทั่วไปได้ดังนี้
เมื่อคูณจำเป็นต้องทำการลดลง (ถ้าเป็นไปได้) พิจารณาตัวอย่าง:
5. การคูณจำนวนคละ.เนื่องจากจำนวนคละสามารถถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมได้ สถานการณ์นี้จึงมักใช้เมื่อคูณจำนวนคละ ซึ่งหมายความว่าในกรณีที่ตัวคูณหรือตัวคูณหรือตัวประกอบทั้งสองแสดงเป็นจำนวนคละ จำนวนเหล่านั้นจะถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม คูณ เช่น จำนวนคละ: 2 1/2 และ 3 1/5 เราเปลี่ยนแต่ละส่วนให้เป็นเศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง จากนั้นเราจะคูณเศษส่วนที่เกิดขึ้นตามกฎการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน:
กฎ.ในการคูณจำนวนคละ คุณต้องแปลงเป็นเศษเกินก่อนแล้วจึงคูณตามกฎการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน
บันทึก.หากปัจจัยใดปัจจัยหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม การคูณสามารถทำได้ตามกฎการกระจายดังนี้:
6. แนวคิดเกี่ยวกับความสนใจเมื่อแก้ปัญหาและเมื่อทำการคำนวณเชิงปฏิบัติต่างๆ เราใช้เศษส่วนทุกชนิด แต่เราต้องระลึกไว้เสมอว่าปริมาณจำนวนมากไม่ยอมรับ แต่เป็นการแบ่งย่อยตามธรรมชาติสำหรับพวกมัน ตัวอย่างเช่น คุณสามารถรับหนึ่งร้อย (1/100) ของรูเบิล มันจะเป็นเพนนี สองในร้อยคือ 2 kopecks สามในร้อยคือ 3 kopecks คุณสามารถรับ 1/10 ของรูเบิล มันจะเป็น "10 kopecks หรือ 1 สลึง คุณสามารถรับหนึ่งในสี่ของรูเบิลได้ เช่น 25 kopecks ครึ่งรูเบิล นั่นคือ 50 kopecks (ห้าสิบ kopecks) แต่พวกเขากลับสวม ตัวอย่างเช่น อย่าใช้ 2/7 รูเบิล เพราะรูเบิลไม่ได้แบ่งออกเป็นส่วนที่เจ็ด
หน่วยวัดน้ำหนัก เช่น กิโลกรัม อนุญาตให้แบ่งทศนิยมก่อน เช่น 1/10 กก. หรือ 100 ก. และเศษส่วนของกิโลกรัม เช่น 1/6, 1/11, 1/ 13 เป็นเรื่องแปลก
โดยทั่วไป การวัด (เมตริก) ของเราเป็นแบบทศนิยมและอนุญาตให้แบ่งย่อยด้วยทศนิยม
อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าการใช้วิธีแบ่งปริมาณแบบเดียวกัน (แบบเดียวกัน) จะมีประโยชน์และสะดวกมากในหลายกรณี ประสบการณ์หลายปีได้แสดงให้เห็นว่าการแบ่งที่เหมาะสมเช่นนี้คือการแบ่ง "ร้อย" ลองพิจารณาตัวอย่างบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับการปฏิบัติของมนุษย์ที่หลากหลายที่สุด
1. ราคาหนังสือลดลง 12/100 ของราคาก่อนหน้า
ตัวอย่าง. ราคาก่อนหน้าของหนังสือคือ 10 รูเบิล เธอลงไป 1 รูเบิล 20 กป.
2. ธนาคารออมสินจ่ายเงินระหว่างปีให้กับผู้ฝาก 2/100 ของจำนวนเงินที่ฝากเข้าออมทรัพย์
ตัวอย่าง. 500 รูเบิลใส่ลงในโต๊ะเงินสด รายได้จากจำนวนนี้สำหรับปีคือ 10 รูเบิล
3. จำนวนผู้สำเร็จการศึกษาของโรงเรียนหนึ่งแห่งคือ 5/100 ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด
ตัวอย่าง มีนักเรียนเพียง 1,200 คนเรียนที่โรงเรียน 60 คนจบการศึกษาจากโรงเรียน
จำนวนเต็มร้อยเรียกว่า เปอร์เซ็นต์.
คำว่า "ร้อยละ" ยืมมาจาก ภาษาละตินและรากศัพท์ "cent" หมายถึงหนึ่งร้อย ร่วมกับคำบุพบท (pro centum) คำนี้หมายถึง "หนึ่งร้อย" ความหมายของนิพจน์นี้ตามมาจากความจริงที่ว่าในขั้นต้น โรมโบราณดอกเบี้ยคือเงินที่ลูกหนี้จ่ายให้กับผู้ให้กู้ "ทุก ๆ ร้อย" คำว่า "เซ็นต์" ได้ยินในคำที่คุ้นเคยเช่น centner (หนึ่งร้อยกิโลกรัม), เซนติเมตร (พวกเขาพูดว่าเซนติเมตร)
ตัวอย่างเช่น แทนที่จะพูดว่าโรงงานผลิตได้ 1/100 ของผลิตภัณฑ์ทั้งหมดที่ผลิตได้ในช่วงเดือนที่ผ่านมา เราจะพูดว่า: โรงงานแห่งนี้ผลิตได้ 1 เปอร์เซ็นต์ของของเสียในช่วงเดือนที่ผ่านมา แทนที่จะพูดว่า: โรงงานผลิตผลิตภัณฑ์ได้มากกว่าแผนที่กำหนดไว้ 4/100 เราจะพูดว่า: โรงงานเกินแผน 4 เปอร์เซ็นต์
ตัวอย่างข้างต้นสามารถแสดงได้แตกต่างกัน:
1. ราคาหนังสือลดลงร้อยละ 12 ของราคาเดิม
2. ธนาคารออมสินจ่ายเงินให้ผู้ฝากร้อยละ 2 ต่อปีของจำนวนเงินที่ฝากเข้า
3. จำนวนผู้สำเร็จการศึกษาของโรงเรียนหนึ่งแห่งคิดเป็นร้อยละ 5 ของจำนวนนักเรียนทั้งหมดในโรงเรียน
ในการทำให้ตัวอักษรสั้นลง เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนเครื่องหมาย % แทนคำว่า "เปอร์เซ็นต์"
อย่างไรก็ตาม ต้องจำไว้ว่าเครื่องหมาย % มักจะไม่เขียนในการคำนวณ แต่สามารถเขียนในคำสั่งปัญหาและในผลลัพธ์สุดท้าย เมื่อทำการคำนวณ คุณต้องเขียนเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100 แทนจำนวนเต็มด้วยไอคอนนี้
คุณต้องสามารถแทนที่จำนวนเต็มด้วยไอคอนที่ระบุด้วยเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100:
ในทางกลับกัน คุณต้องคุ้นเคยกับการเขียนจำนวนเต็มด้วยไอคอนที่ระบุแทนเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100:
7. การหาเปอร์เซ็นต์ของจำนวนที่กำหนด
ภารกิจที่ 1โรงเรียนได้รับ 200 ลบ.ม. ฟืนเมตรโดยมีฟืนเบิร์ชคิดเป็น 30% มีไม้เบิร์ชเท่าไหร่?
ความหมายของปัญหานี้คือฟืนเบิร์ชเป็นเพียงส่วนหนึ่งของฟืนที่ส่งมอบให้กับโรงเรียน และส่วนนี้แสดงเป็นเศษส่วนของ 30/100 ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับงานค้นหาเศษส่วนของจำนวน เพื่อแก้ปัญหานี้ เราต้องคูณ 200 ด้วย 30/100 (ภารกิจในการหาเศษส่วนของตัวเลขจะแก้ไขได้โดยการคูณจำนวนด้วยเศษส่วน)
ดังนั้น 30% ของ 200 เท่ากับ 60
เศษส่วน 30/100 ที่พบในปัญหานี้สามารถลดลงได้ 10 เป็นไปได้ที่จะทำการลดนี้ตั้งแต่เริ่มต้น วิธีแก้ปัญหาจะไม่เปลี่ยนแปลง
ภารกิจที่ 2มีเด็ก 300 คนจากหลายช่วงอายุในค่าย เด็กอายุ 11 ปีอยู่ที่ 21% เด็กอายุ 12 ปีอยู่ที่ 61% และสุดท้ายคือเด็กอายุ 13 ปีอยู่ที่ 18% มีเด็กแต่ละวัยกี่คนในค่าย?
ในปัญหานี้ คุณต้องทำการคำนวณสามครั้ง นั่นคือ ค้นหาจำนวนเด็กอายุ 11 ปี ต่อจากนั้นอายุ 12 ปี และสุดท้ายอายุ 13 ปี
ดังนั้นที่นี่จำเป็นต้องหาเศษส่วนของจำนวนสามครั้ง มาทำกันเถอะ:
1) มีเด็กอายุ 11 ปีกี่คน?
2) มีเด็กอายุ 12 ปีกี่คน?
3) มีเด็กอายุ 13 ปีกี่คน?
หลังจากแก้ปัญหาแล้ว จะเป็นประโยชน์ในการเพิ่มจำนวนที่พบ ผลรวมของพวกเขาควรเป็น 300:
63 + 183 + 54 = 300
คุณควรใส่ใจกับความจริงที่ว่าผลรวมของเปอร์เซ็นต์ที่กำหนดในเงื่อนไขของปัญหาคือ 100:
21% + 61% + 18% = 100%
นี่แสดงว่าจำนวนเด็กทั้งหมดในค่ายคิดเป็น 100%
3 ดาช่า 3.คนงานได้รับ 1,200 รูเบิลต่อเดือน ในจำนวนนี้ เขาใช้จ่าย 65% สำหรับอาหาร 6% ในอพาร์ตเมนต์และเครื่องทำความร้อน 4% สำหรับค่าน้ำมัน ไฟฟ้า และวิทยุ 10% สำหรับความต้องการทางวัฒนธรรม และ 15% ที่เขาประหยัด ใช้เงินเท่าไหร่กับความต้องการที่ระบุในงาน?
ในการแก้ปัญหานี้คุณต้องหาเศษส่วนของจำนวน 1,200 5 ครั้ง ลองทำดู
1) หมดเงินไปกับค่าอาหารไปเท่าไหร่? งานบอกว่าค่าใช้จ่ายนี้เป็น 65% ของรายได้ทั้งหมดเช่น 65/100 ของจำนวน 1,200 ลองคำนวณกัน:
2) จ่ายเงินเท่าไหร่สำหรับอพาร์ทเมนต์ที่มีเครื่องทำความร้อน? การโต้เถียงเหมือนก่อนหน้านี้ เรามาถึงการคำนวณต่อไปนี้:
3) คุณจ่ายค่าน้ำมัน ค่าไฟ และค่าวิทยุไปเท่าไหร่?
4) ใช้เงินเท่าไหร่กับความต้องการทางวัฒนธรรม?
5) คนงานประหยัดเงินได้เท่าไหร่?
สำหรับการยืนยัน การบวกตัวเลขที่พบในคำถามทั้ง 5 ข้อนี้มีประโยชน์ จำนวนควรเป็น 1,200 รูเบิล รายได้ทั้งหมดคิดเป็น 100% ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบโดยการเพิ่มเปอร์เซ็นต์ที่กำหนดในเงื่อนไขของปัญหา
เราได้แก้ไขปัญหาสามประการ แม้จะมีความจริงที่ว่างานเหล่านี้เกี่ยวกับสิ่งต่าง ๆ (การส่งฟืนสำหรับโรงเรียน, จำนวนเด็กที่มีอายุต่างกัน, ค่าใช้จ่ายของคนงาน) พวกเขาก็แก้ไขด้วยวิธีเดียวกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะในงานทั้งหมดจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขที่กำหนดไม่กี่เปอร์เซ็นต์
§ 90. การหารเศษส่วน
เมื่อศึกษาการหารเศษส่วนเราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้:
1. หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม
2. การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
3. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
4. การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน
5. การหารจำนวนคละ.
6. การหาจำนวนที่กำหนดให้เป็นเศษส่วน
7. การหาตัวเลขโดยเปอร์เซ็นต์
ลองพิจารณาตามลำดับ
1. หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม
ตามที่ระบุไว้ในส่วนของจำนวนเต็ม การหารคือการกระทำที่ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อพิจารณาผลคูณของปัจจัยสองตัว (ตัวหาร) และหนึ่งในตัวประกอบเหล่านี้ (ตัวหาร) จะพบตัวประกอบอีกตัว
การหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็มที่เราพิจารณาในแผนกของจำนวนเต็ม เราพบการหารสองกรณี: การหารโดยไม่เหลือเศษ หรือ "ทั้งหมด" (150: 10 = 15) และการหารด้วยเศษ (100: 9 = 11 และ 1 ในส่วนที่เหลือ) ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่าในขอบเขตของจำนวนเต็ม การหารที่แน่นอนนั้นเป็นไปไม่ได้เสมอไป เพราะการปันผลไม่ได้เป็นผลคูณของตัวหารและจำนวนเต็มเสมอไป หลังจากการแนะนำการคูณด้วยเศษส่วน เราสามารถพิจารณากรณีของการหารจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ (ไม่รวมการหารด้วยศูนย์เท่านั้น)
ตัวอย่างเช่น การหาร 7 ด้วย 12 หมายถึงการหาจำนวนที่ผลคูณของ 12 จะเป็น 7 ตัวเลขนี้คือเศษส่วน 7/12 เนื่องจาก 7/12 12 = 7 อีกตัวอย่างหนึ่ง: 14: 25 = 14/25 เพราะ 14/25 25 = 14
ดังนั้น ในการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องสร้างเศษส่วน ซึ่งตัวเศษเท่ากับตัวหาร และตัวส่วนคือตัวหาร
2. การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
หารเศษส่วน 6 / 7 ด้วย 3 ตามคำจำกัดความของการหารที่ให้ไว้ข้างต้น เรามีผลคูณ (6 / 7) และปัจจัยอย่างใดอย่างหนึ่ง (3) อยู่ที่นี่ จำเป็นต้องค้นหาปัจจัยที่สองซึ่งเมื่อคูณด้วย 3 จะได้ผลคูณที่กำหนด 6/7 เห็นได้ชัดว่าควรมีขนาดเล็กกว่าผลิตภัณฑ์นี้สามเท่า ซึ่งหมายความว่างานที่ตั้งไว้ข้างหน้าคือลดเศษส่วน 6/7 ลง 3 เท่า
เราทราบแล้วว่าการลดเศษส่วนสามารถทำได้โดยการลดตัวเศษหรือเพิ่มตัวส่วน ดังนั้น คุณสามารถเขียน:
ในกรณีนี้ ตัวเศษ 6 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น ตัวเศษควรลดลง 3 เท่า
ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง: 5 / 8 หารด้วย 2 ที่นี่ตัวเศษ 5 ไม่หารด้วย 2 ซึ่งหมายความว่าตัวส่วนจะต้องคูณด้วยตัวเลขนี้:
จากนี้เราสามารถระบุกฎ: ในการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องนำเศษของเศษส่วนนั้นมาหารด้วยจำนวนเต็มนั้น(ถ้าเป็นไปได้), เหลือตัวส่วนเท่ากัน หรือคูณตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนนี้ เหลือตัวเศษเท่ากัน
3. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
ปล่อยให้ต้องหาร 5 ด้วย 1 / 2 เช่น หาตัวเลขที่หลังจากคูณด้วย 1 / 2 จะได้ผลคูณ 5 แน่นอนว่าตัวเลขนี้ต้องมากกว่า 5 เนื่องจาก 1 / 2 เป็นเศษส่วนที่เหมาะสม และเมื่อคูณจำนวนด้วยเศษส่วนต้องมีค่าน้อยกว่าตัวคูณ เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ลองเขียนการกระทำของเราดังนี้: 5: 1 / 2 = เอ็กซ์ ดังนั้น x 1/2 \u003d 5
เราต้องหาตัวเลขดังกล่าว เอ็กซ์ ซึ่งเมื่อคูณด้วย 1/2 จะได้ 5 เนื่องจากการคูณจำนวนหนึ่งด้วย 1/2 หมายถึงการหา 1/2 ของจำนวนนี้ ดังนั้น 1/2 ของจำนวนที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์ คือ 5 และจำนวนเต็ม เอ็กซ์ สองเท่าเช่น 5 2 \u003d 10
ดังนั้น 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
ตรวจสอบ: 
ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ให้มันจำเป็นต้องหาร 6 ด้วย 2 / 3 . ก่อนอื่นลองหาผลลัพธ์ที่ต้องการโดยใช้ภาพวาด (รูปที่ 19)
รูปที่ 19
วาดส่วน AB เท่ากับ 6 ของบางหน่วย และแบ่งแต่ละหน่วยออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กัน ในแต่ละหน่วย สามในสาม (3 / 3) ในส่วน AB ทั้งหมดนั้นใหญ่กว่า 6 เท่า นั่นคือ จ.18/3. เราเชื่อมต่อกับวงเล็บขนาดเล็ก 18 ส่วนที่ได้รับจาก 2; จะมีเพียง 9 ส่วนเท่านั้น หมายความว่า เศษส่วน 2/3 มีอยู่ในหน่วย b 9 ครั้ง หรืออีกนัยหนึ่ง เศษส่วน 2/3 มีค่าน้อยกว่าหน่วยจำนวนเต็ม 6 ครั้งถึง 9 เท่า เพราะฉะนั้น,
จะรับผลลัพธ์นี้ได้อย่างไรโดยไม่ต้องวาดโดยใช้การคำนวณเท่านั้น เราจะโต้แย้งดังนี้: จำเป็นต้องหาร 6 ด้วย 2 / 3 นั่นคือต้องตอบคำถามว่า 6 คูณด้วย 2 / 3 กี่ครั้ง มาดูกันก่อน: 1 / 3 เท่ากับกี่ครั้ง บรรจุอยู่ใน 6? ในหน่วยทั้งหมด - 3 ในสามและใน 6 หน่วย - มากกว่า 6 เท่าคือ 18 ในสาม ในการหาตัวเลขนี้ เราต้องคูณ 6 ด้วย 3 ดังนั้น 1/3 จึงมีอยู่ในหน่วย b เท่ากับ 18 เท่า และ 2/3 อยู่ในหน่วย b ไม่ใช่ 18 เท่า แต่น้อยกว่าครึ่งหนึ่ง นั่นคือ 18: 2 = 9 . ดังนั้น เมื่อหาร 6 ด้วย 2 / 3 เราจึงทำสิ่งต่อไปนี้:
จากที่นี่เราได้กฎสำหรับการหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน ในการหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มนี้ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด และทำให้ผลคูณนี้เป็นเศษ ให้หารด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่กำหนด
เราเขียนกฎโดยใช้ตัวอักษร:
เพื่อให้กฎนี้ชัดเจนอย่างสมบูรณ์ ควรจำไว้ว่าเศษส่วนสามารถถือเป็นผลหารได้ ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ในการเปรียบเทียบกฎที่พบกับกฎสำหรับการหารตัวเลขด้วยผลหารซึ่งกำหนดไว้ใน§ 38 โปรดทราบว่าได้รับสูตรเดียวกันที่นั่น
เมื่อทำการหาร คุณสามารถใช้ตัวย่อได้ เช่น:
4. การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน
ให้มันจำเป็นต้องหาร 3/4 ด้วย 3/8 อะไรจะแสดงถึงจำนวนที่จะได้รับจากการหาร? มันจะตอบคำถามว่าเศษส่วน 3/8 มีกี่ครั้งในเศษส่วน 3/4 เพื่อทำความเข้าใจปัญหานี้มาวาดรูปกัน (รูปที่ 20)
ใช้ส่วน AB ใช้เป็นหน่วยแบ่งออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กันและทำเครื่องหมาย 3 ส่วนดังกล่าว ส่วน AC จะเท่ากับ 3/4 ของส่วน AB ให้เราแบ่งส่วนเริ่มต้นแต่ละส่วนจากสี่ส่วนออกเป็นครึ่ง จากนั้นส่วน AB จะแบ่งออกเป็น 8 ส่วนเท่าๆ กัน และแต่ละส่วนดังกล่าวจะเท่ากับ 1/8 ของส่วน AB เราเชื่อมต่อ 3 ส่วนดังกล่าวด้วยส่วนโค้ง จากนั้นแต่ละส่วน AD และ DC จะเท่ากับ 3/8 ของส่วน AB ภาพวาดแสดงให้เห็นว่าส่วนที่เท่ากับ 3/8 มีอยู่ในส่วนที่เท่ากับ 3/4 2 ครั้งพอดี; ดังนั้นผลลัพธ์ของการหารสามารถเขียนได้ดังนี้:
3 / 4: 3 / 8 = 2
ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง จำเป็นต้องหาร 15/16 ด้วย 3/32:
เราสามารถให้เหตุผลได้ดังนี้ เราต้องการหาตัวเลขที่หลังจากคูณด้วย 3/32 แล้วจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 15/16 ลองเขียนการคำนวณดังนี้:
15 / 16: 3 / 32 = เอ็กซ์
3 / 32 เอ็กซ์ = 15 / 16
3/32ไม่ทราบเลข เอ็กซ์ ทำขึ้น 15/16
1/32 ไม่ทราบเลข เอ็กซ์ เป็น ,
32/32 เบอร์ เอ็กซ์ แต่งหน้า .
เพราะฉะนั้น,
ดังนั้น ในการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของส่วนที่สอง และคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของส่วนที่สอง และทำให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษและ ตัวส่วนที่สอง
ลองเขียนกฎโดยใช้ตัวอักษร:
เมื่อทำการหาร คุณสามารถใช้ตัวย่อได้ เช่น:
5. การหารจำนวนคละ.
เมื่อทำการหารจำนวนคละ พวกเขาจะต้องถูกแปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมก่อน จากนั้นควรแบ่งเศษส่วนที่เกิดขึ้นตามกฎสำหรับการหารจำนวนเศษส่วน พิจารณาตัวอย่าง:
แปลงจำนวนคละเป็นเศษเกิน:
ตอนนี้เรามาแยก:
ดังนั้น ในการหารจำนวนคละ คุณต้องแปลงให้เป็นเศษเกินแล้วหารตามกฎการหารเศษส่วน
6. การหาจำนวนที่กำหนดให้เป็นเศษส่วน
ท่ามกลาง งานต่างๆในเศษส่วนบางครั้งมีค่าของเศษส่วนของจำนวนที่ไม่รู้จักและจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขนี้ โจทย์ประเภทนี้จะตรงกันข้ามกับโจทย์หาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด มีการกำหนดตัวเลขและจำเป็นต้องหาเศษส่วนของจำนวนนี้ ในที่นี้มีการกำหนดเศษส่วนและจำเป็นต้องหาตัวเลขนี้ด้วยตัวเอง ความคิดนี้จะชัดเจนยิ่งขึ้นหากเราหันไปใช้วิธีแก้ปัญหาประเภทนี้
ภารกิจที่ 1ในวันแรก ช่างกระจกได้เคลือบหน้าต่าง 50 บาน ซึ่งคิดเป็น 1/3 ของหน้าต่างทั้งหมดของบ้านที่สร้างขึ้น บ้านนี้มีหน้าต่างกี่บาน?
สารละลาย.ปัญหาบอกว่าหน้าต่างกระจก 50 บานคิดเป็น 1/3 ของหน้าต่างทั้งหมดของบ้าน ซึ่งหมายความว่ามีหน้าต่างทั้งหมดมากกว่า 3 เท่า นั่นคือ
บ้านมีหน้าต่าง 150 บาน
ภารกิจที่ 2ทางร้านจำหน่ายแป้งได้ 1,500 กก. ซึ่งคิดเป็น 3/8 ของแป้งทั้งหมดในร้าน อุปทานเริ่มต้นของแป้งที่ร้านคืออะไร?
สารละลาย.จะเห็นได้จากสภาพของปัญหาที่แป้งที่ขายได้ 1,500 กก. คิดเป็น 3/8 ของสต็อกทั้งหมด หมายความว่า 1/8 ของหุ้นนี้จะน้อยกว่า 3 เท่า กล่าวคือ ในการคำนวณ คุณต้องลด 1,500 คูณ 3 เท่า:
1,500: 3 = 500 (นี่คือ 1/8 ของหุ้น)
เห็นได้ชัดว่าสต็อกทั้งหมดจะใหญ่ขึ้น 8 เท่า เพราะฉะนั้น,
500 8 \u003d 4,000 (กก.)
การจัดหาแป้งขั้นต้นในร้านคือ 4,000 กก.
จากการพิจารณาปัญหานี้สามารถอนุมานกฎได้ดังนี้
หากต้องการค้นหาตัวเลขตามค่าที่กำหนดของเศษส่วน ก็เพียงพอแล้วที่จะหารค่านี้ด้วยตัวเศษของเศษส่วนและคูณผลลัพธ์ด้วยตัวส่วนของเศษส่วน
เราแก้ปัญหาสองข้อในการหาจำนวนที่มีเศษส่วน ปัญหาดังกล่าวซึ่งเห็นได้ชัดเจนจากข้อที่แล้ว แก้ไขได้ด้วยการกระทำสองอย่าง: การหาร (เมื่อพบส่วนหนึ่ง) และการคูณ (เมื่อพบจำนวนเต็ม)
อย่างไรก็ตาม หลังจากที่เราศึกษาเรื่องการหารเศษส่วนแล้ว ปัญหาข้างต้นสามารถแก้ไขได้ในขั้นตอนเดียว นั่นคือการหารด้วยเศษส่วน
ตัวอย่างเช่น งานสุดท้ายสามารถแก้ไขได้ในการกระทำเดียวดังนี้:
ในอนาคตเราจะแก้ปัญหาในการหาตัวเลขด้วยเศษส่วนในการกระทำเดียว - การหาร
7. การหาตัวเลขโดยเปอร์เซ็นต์
ในงานเหล่านี้ คุณจะต้องค้นหาตัวเลขโดยรู้กี่เปอร์เซ็นต์ของตัวเลขนี้
ภารกิจที่ 1ตอนแรก ปีนี้ฉันได้รับ 60 รูเบิลจากธนาคารออมสิน รายได้จากจำนวนเงินที่ฉันออมไว้เมื่อปีที่แล้ว ฉันใส่เงินในธนาคารออมสินไปเท่าไหร่? (สำนักงานเงินสดให้ผู้ฝากเงิน 2% ของรายได้ต่อปี)
ความหมายของปัญหาคือฉันใส่เงินจำนวนหนึ่งไว้ในธนาคารออมสินและนอนที่นั่นเป็นเวลาหนึ่งปี หนึ่งปีผ่านไป ฉันได้รับเงิน 60 รูเบิลจากเธอ รายได้ซึ่งก็คือ 2/100 ของเงินที่ฉันใส่เข้าไป ฉันฝากเงินเท่าไหร่
ดังนั้นเมื่อรู้ว่าส่วนหนึ่งของเงินนี้แสดงเป็นสองวิธี (ในรูเบิลและเศษส่วน) เราต้องหาจำนวนทั้งหมดที่ยังไม่ทราบ นี่เป็นปัญหาทั่วไปในการหาจำนวนที่มีเศษส่วน งานต่อไปนี้ได้รับการแก้ไขโดยแผนก:
ดังนั้นเงิน 3,000 รูเบิลจึงถูกนำไปที่ธนาคารออมสิน
ภารกิจที่ 2ในสองสัปดาห์ ชาวประมงทำตามแผนรายเดือนถึง 64% โดยเตรียมปลาได้ 512 ตัน แผนของพวกเขาคืออะไร?
จากสภาพปัญหาทราบว่าชาวประมงทำแผนสำเร็จไปส่วนหนึ่งแล้ว ส่วนนี้เท่ากับ 512 ตัน ซึ่งคิดเป็น 64% ของแผน เราไม่ทราบว่าต้องเก็บเกี่ยวปลากี่ตันตามแผน การแก้ปัญหาจะประกอบด้วยการค้นหาหมายเลขนี้
งานดังกล่าวแก้ไขได้โดยการหาร:
ดังนั้นตามแผนคุณต้องเตรียมปลา 800 ตัน
ภารกิจที่ 3รถไฟออกจากริกาไปมอสโก เมื่อผ่านหลักกิโลเมตรที่ 276 ผู้โดยสารคนหนึ่งได้ถามเจ้าหน้าที่ที่ผ่านไปว่าได้เดินทางที่เท่าไรแล้ว ผู้นำทางตอบว่า: "เราได้ดำเนินการไปแล้ว 30% ของการเดินทางทั้งหมด" ไกลแค่ไหนจาก ริกา ไป มอสโก?
จะเห็นได้จากสภาพของปัญหาว่า 30% ของการเดินทางจากริกาไปมอสโกคือ 276 กม. เราจำเป็นต้องค้นหาระยะทางทั้งหมดระหว่างเมืองเหล่านี้ เช่น สำหรับส่วนนี้ ให้ค้นหาทั้งหมด:
§ 91. ตัวเลขส่วนกลับ การแทนที่การหารด้วยการคูณ
นำเศษส่วน 2/3 มาจัดเรียงตัวเศษใหม่แทนที่ตัวส่วน เราจะได้ 3/2 เราได้เศษส่วน ส่วนกลับของอันนี้
ในการรับเศษส่วนกลับของเศษส่วนที่กำหนด คุณต้องใส่ตัวเศษแทนตัวส่วน และใส่ตัวส่วนแทนตัวเศษ ด้วยวิธีนี้ เราจะได้เศษส่วนที่เป็นส่วนกลับของเศษส่วนใดๆ ตัวอย่างเช่น:
3/4 , ย้อนกลับ 4/3 ; 5/6 ย้อนกลับ 6/5
เศษส่วนสองตัวที่มีคุณสมบัติเป็นตัวเศษของส่วนแรกเป็นตัวส่วนที่สองและตัวส่วนของส่วนแรกเป็นตัวเศษของส่วนที่สองเรียกว่า ผกผันซึ่งกันและกัน
ทีนี้ลองคิดดูว่าเศษส่วนใดที่จะเป็นส่วนกลับของ 1/2 แน่นอน มันจะเป็น 2 / 1 หรือแค่ 2 หาส่วนกลับของสิ่งนี้ เราได้จำนวนเต็ม และกรณีนี้ไม่ได้ถูกแยกออกจากกัน ในทางตรงกันข้าม สำหรับเศษส่วนทั้งหมดที่มีตัวเศษเป็น 1 (หนึ่ง) ส่วนกลับจะเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น
1/3, ผกผัน 3; 1 / 5, ย้อนกลับ 5
เนื่องจากเมื่อค้นหาส่วนกลับเราพบกับจำนวนเต็มด้วยในอนาคตเราจะไม่พูดถึงส่วนกลับ แต่เกี่ยวกับ ซึ่งกันและกัน.
ลองหาวิธีเขียนส่วนกลับของจำนวนเต็ม สำหรับเศษส่วน สิ่งนี้แก้ไขได้ง่ายๆ: คุณต้องใส่ตัวส่วนแทนตัวเศษ ในทำนองเดียวกัน คุณจะได้รับส่วนกลับของจำนวนเต็ม เนื่องจากจำนวนเต็มใด ๆ สามารถมีส่วนเป็น 1 ดังนั้น ส่วนกลับของ 7 จะเป็น 1 / 7 เนื่องจาก 7 \u003d 7 / 1; สำหรับเลข 10 การกลับกันคือ 1/10 เนื่องจาก 10 = 10/1
ความคิดนี้สามารถแสดงออกได้อีกทางหนึ่ง: ส่วนกลับของจำนวนที่กำหนดจะได้มาโดยการหารด้วยจำนวนที่กำหนด. ข้อความนี้เป็นจริงไม่เพียง แต่สำหรับจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเศษส่วนด้วย อันที่จริง ถ้าคุณต้องการเขียนตัวเลขที่เป็นส่วนกลับของ 5/9 เราก็สามารถนำ 1 มาหารด้วย 5/9 ได้ นั่นคือ
ทีนี้มาชี้ให้เห็นกัน คุณสมบัติจำนวนซึ่งกันและกันซึ่งจะเป็นประโยชน์กับเรา: ผลคูณของจำนวนซึ่งกันและกันมีค่าเท่ากับหนึ่งอย่างแท้จริง:
เมื่อใช้คุณสมบัตินี้ เราสามารถหาส่วนกลับได้ด้วยวิธีต่อไปนี้ มาหาส่วนกลับของ 8 กัน
มาแสดงด้วยตัวอักษรกันเถอะ เอ็กซ์ แล้ว 8 เอ็กซ์ = 1 ดังนั้น เอ็กซ์ = 1 / 8 . ลองหาเลขอีกตัวที่ผกผันกับ 7/12 เขียนแทนด้วยตัวอักษร เอ็กซ์ แล้ว 7/12 เอ็กซ์ = 1 ดังนั้น เอ็กซ์ = 1:7 / 12 หรือ เอ็กซ์ = 12 / 7 .
เราได้แนะนำแนวคิดเกี่ยวกับจำนวนส่วนกลับเพื่อเสริมข้อมูลเล็กน้อยเกี่ยวกับการหารเศษส่วน
เมื่อเราหารเลข 6 ด้วย 3 / 5 ให้ทำดังนี้
จ่าย ความสนใจเป็นพิเศษกับการแสดงออกและเปรียบเทียบกับที่กำหนด: .
หากเราแยกนิพจน์ออกจากกันโดยไม่เกี่ยวข้องกับนิพจน์ก่อนหน้า ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหาว่ามันมาจากไหน: จากการหาร 6 ด้วย 3/5 หรือจากการคูณ 6 ด้วย 5/3 ในทั้งสองกรณีผลลัพธ์จะเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ การหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งสามารถแทนที่ได้โดยการคูณเงินปันผลด้วยส่วนกลับของตัวหาร
ตัวอย่างที่เราให้ไว้ด้านล่างยืนยันข้อสรุปนี้อย่างสมบูรณ์
การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนเป็นเรื่องง่าย แต่มีรายละเอียดปลีกย่อยที่คุณอาจเข้าใจที่โรงเรียน แต่ลืมไปแล้ว
วิธีคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน - พจน์ไม่กี่คำ
หากคุณจำได้ว่าเศษและส่วนคืออะไร และเศษส่วนที่เหมาะสมแตกต่างจากเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมอย่างไร ให้ข้ามย่อหน้านี้ไป มีไว้สำหรับผู้ที่ลืมทฤษฎีไปหมดแล้ว
ตัวเศษคือส่วนบนของเศษส่วน - สิ่งที่เราหาร ตัวส่วนคือตัวล่างสุด นี่คือสิ่งที่เราแบ่งปัน
เศษส่วนที่เหมาะสมคือเศษส่วนที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน เศษเกิน คือ เศษส่วนที่มีตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน
วิธีคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
กฎสำหรับการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนนั้นง่ายมาก - เราคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็มและอย่าแตะตัวส่วน ตัวอย่างเช่น สองคูณด้วยหนึ่งในห้า - เราได้สองในห้า สี่ คูณ สาม สิบหก เป็น สิบสอง สิบหก
การลดน้อยลง
ในตัวอย่างที่สอง เศษส่วนผลลัพธ์สามารถลดลงได้
มันหมายความว่าอะไร? โปรดทราบว่าทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนนี้หารด้วยสี่ลงตัว หารตัวเลขทั้งสองด้วย ตัวหารร่วมกันและเรียกว่า - ลดเศษส่วน เราได้สามในสี่
เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม
แต่สมมติว่าเราคูณสี่คูณสองในห้า ได้แปดในห้า นี่คือเศษส่วนที่ผิด
จะต้องนำมาสู่รูปแบบที่ถูกต้อง ในการทำเช่นนี้คุณต้องเลือกส่วนทั้งหมดจากนั้น
ที่นี่คุณต้องใช้การหารด้วยเศษเหลือ เราได้หนึ่งและสามในส่วนที่เหลือ
หนึ่งเต็มและสามในห้าเป็นเศษส่วนที่เหมาะสมของเรา
การแก้ไข 35/8 นั้นยากขึ้นเล็กน้อย จำนวนที่ใกล้เคียงที่สุดกับ 37 ที่หารด้วย 8 ลงตัวคือ 32 เมื่อหารแล้วเราจะได้สี่ เราลบสามสิบสองออกจากสามสิบห้า - เราได้สาม ผลลัพธ์: สี่ทั้งหมดและสามในแปด
การเท่ากันของตัวเศษและตัวส่วน และที่นี่ทุกอย่างเรียบง่ายและสวยงามมาก เมื่อตัวเศษและตัวส่วนเท่ากัน ผลลัพธ์ที่ได้คือ 1
