วิธีหาโหนดและนอคให้ง่ายขึ้น ตัวหารร่วมมาก (GCD) - ความหมาย ตัวอย่าง และคุณสมบัติ
ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด จำนวนธรรมชาติโดยนำจำนวน a และ b มาหารกันโดยไม่มีเศษเหลือ เรียกว่า ตัวหารร่วมมากตัวเลขเหล่านี้ แสดง GCD(a, b)
ลองค้นหา GCD โดยใช้ตัวอย่างตัวเลขธรรมชาติสองตัว 18 และ 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 และ 432
มาแยกย่อยตัวเลขเป็นปัจจัยสำคัญ:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
ลบจากตัวเลขแรกซึ่งไม่ได้อยู่ในตัวเลขที่สองและสาม เราได้รับ:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
อันเป็นผลมาจาก GCD( 324 , 111 , 432 )=3
การหา GCD ด้วยอัลกอริทึมของ Euclid
วิธีที่สองในการหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ อัลกอริทึมของยูคลิด. อัลกอริทึมของยูคลิดมากที่สุด วิธีที่มีประสิทธิภาพการหา จีซีดีคุณจะต้องค้นหาส่วนที่เหลือของการหารตัวเลขและใช้อย่างต่อเนื่อง สูตรที่เกิดซ้ำ.
สูตรที่เกิดซ้ำสำหรับ GCD gcd(a, b)=gcd(b, a mod b)โดยที่ mod b คือเศษเหลือของการหาร a ด้วย b
อัลกอริทึมของยูคลิด
ตัวอย่าง จงหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 7920 และ 594
มาหา GCD( 7920 , 594 ) โดยใช้อัลกอริทึม Euclid เราจะคำนวณส่วนที่เหลือของการหารโดยใช้เครื่องคิดเลข
- 7920 สมัย 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 สมัย 198 = 594 - 3 × 198 = 0
เป็นผลให้เราได้รับ GCD( 7920 , 594 ) = 198
ตัวคูณร่วมน้อย
การหาตัวส่วนร่วมกันเมื่อบวกและลบเศษส่วน ตัวส่วนที่แตกต่างกันต้องรู้และสามารถคำนวณได้ ตัวคูณร่วมน้อย(นค).
ผลคูณของจำนวน "a" คือจำนวนที่ตัวมันเองหารด้วยจำนวน "a" โดยไม่มีเศษเหลือ
ตัวเลขที่เป็นผลคูณของ 8 (นั่นคือ ตัวเลขเหล่านี้จะถูกหารด้วย 8 โดยไม่มีเศษเหลือ): ตัวเลขเหล่านี้คือ 16, 24, 32 ...
ทวีคูณของ 9: 18, 27, 36, 45…
จำนวนที่กำหนด a มีจำนวนทวีคูณมากมายนับไม่ถ้วน ตรงกันข้ามกับตัวหารของจำนวนเดียวกัน ตัวหาร - จำนวนจำกัด
ผลคูณร่วมของจำนวนธรรมชาติสองจำนวนคือจำนวนที่หารด้วยจำนวนทั้งสองนี้ลงตัว.
ตัวคูณร่วมน้อย(LCM) ของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปคือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วยจำนวนเหล่านี้แต่ละตัว
วิธีค้นหา NOC
LCM สามารถพบได้และเขียนได้สองวิธี
วิธีแรกในการค้นหา LCM
วิธีนี้มักใช้กับตัวเลขจำนวนน้อย
- เราเขียนผลคูณสำหรับแต่ละตัวเลขในบรรทัดจนกว่าจะมีผลคูณที่เหมือนกันสำหรับตัวเลขทั้งสอง
- ผลคูณของจำนวน "a" จะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ "K"
ตัวอย่าง. ค้นหา LCM 6 และ 8
วิธีที่สองในการค้นหา LCM
วิธีนี้สะดวกในการใช้ค้นหา LCM สำหรับสามหมายเลขขึ้นไป
จำนวนตัวประกอบที่เหมือนกันในการขยายจำนวนอาจแตกต่างกันได้
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
คำตอบ: LCM (24, 60) = 120
คุณยังสามารถทำให้การค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) เป็นทางการได้ดังต่อไปนี้ ลองหา LCM (12, 16, 24) กัน
24 = 2 2 2 3
ดังที่เราเห็นได้จากการขยายตัวของตัวเลข ปัจจัยทั้งหมดของ 12 จะรวมอยู่ในการขยายของ 24 (จำนวนที่มากที่สุด) ดังนั้นเราจึงเพิ่มเพียง 2 จากการขยายของหมายเลข 16 ไปยัง LCM
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
คำตอบ: LCM (12, 16, 24) = 48
กรณีพิเศษของการค้นหา NOCs
ตัวอย่างเช่น LCM(60, 15) = 60
เนื่องจากจำนวนโคไพรม์ไม่มีตัวหารร่วม ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยจึงเท่ากับผลคูณของจำนวนเหล่านี้
บนเว็บไซต์ของเรา คุณยังสามารถใช้เครื่องคิดเลขพิเศษเพื่อค้นหาตัวคูณร่วมน้อยทางออนไลน์เพื่อตรวจสอบการคำนวณของคุณ
ถ้าจำนวนธรรมชาติหารด้วย 1 กับตัวมันเองลงตัวเท่านั้น จะเรียกว่าจำนวนเฉพาะ
จำนวนธรรมชาติใดๆ หารด้วย 1 กับตัวมันเองลงตัวเสมอ
เลข 2 เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด นี่คือจำนวนเฉพาะที่เป็นเลขคู่เท่านั้น จำนวนเฉพาะที่เหลือเป็นเลขคี่
มีเลขจำนวนเฉพาะมากมาย และเลขตัวแรกคือเลข 2 อย่างไรก็ตาม ไม่มีจำนวนเฉพาะสุดท้าย ในส่วน "เพื่อการศึกษา" คุณสามารถดาวน์โหลดตารางจำนวนเฉพาะได้สูงสุด 997
แต่จำนวนธรรมชาติจำนวนมากหารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ลงตัว
- เลข 12 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12;
- 36 หารด้วย 1 คูณ 2 คูณ 3 คูณ 4 คูณ 6 หาร 12 คูณ 18 คูณ 36
- แยกตัวหารของตัวเลขออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ
จำนวนที่หารลงตัวได้ (สำหรับ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12) เรียกว่าตัวหารของจำนวน
ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ a คือจำนวนธรรมชาติที่หาร หมายเลขที่กำหนด"a" โดยไม่มีเศษเหลือ
จำนวนธรรมชาติที่มีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว เรียกว่า จำนวนประกอบ
โปรดทราบว่าหมายเลข 12 และ 36 มีตัวหารร่วมกัน เหล่านี้คือตัวเลข: 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตัวหารที่ใหญ่ที่สุดของจำนวนเหล่านี้คือ 12
ตัวหารร่วมของตัวเลขที่กำหนดสองตัว "a" และ "b" คือจำนวนที่ทั้งตัวเลขที่กำหนด "a" และ "b" ถูกหารโดยไม่มีเศษเหลือ
ตัวหารร่วมมาก(GCD) ของตัวเลขที่กำหนดสองตัว "a" และ "b" เป็นจำนวนที่มากที่สุดซึ่งทั้งจำนวน "a" และ "b" หารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ
สรุป ตัวหารร่วมมากของตัวเลข "a" และ "b" เขียนได้ดังนี้:
ตัวอย่าง: gcd (12; 36) = 12
ตัวหารของตัวเลขในเรกคอร์ดโซลูชันจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ "D"
เลข 7 และ 9 มีตัวหารร่วมกันเพียงตัวเดียว นั่นคือเลข 1 หมายเลขดังกล่าวเรียกว่า หมายเลขโคไพรม์.
หมายเลขโคไพรม์เป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียว คือเลข 1 GCD ของพวกเขาคือ 1
วิธีหาตัวหารร่วมมาก
หากต้องการค้นหา gcd ของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่สองตัวขึ้นไป คุณต้อง:
เขียนการคำนวณได้สะดวกโดยใช้แถบแนวตั้ง ทางด้านซ้ายของบรรทัด ให้จดเงินปันผลก่อน ทางด้านขวา - ตัวหาร นอกจากนี้ในคอลัมน์ด้านซ้ายเราเขียนค่าส่วนตัว
ลองอธิบายทันทีด้วยตัวอย่าง ลองแยกตัวประกอบของตัวเลข 28 และ 64 เป็นตัวประกอบเฉพาะ
- ขีดเส้นใต้ตัวประกอบเฉพาะที่เหมือนกันในจำนวนทั้งสอง
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
เราหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่เหมือนกันและเขียนคำตอบลงไป
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
คำตอบ: GCD (28; 64) = 4
คุณสามารถจัดเรียงตำแหน่งของ GCD ได้สองวิธี: ในคอลัมน์ (ตามที่ทำไว้ด้านบน) หรือ "ในบรรทัด"
วิธีแรกในการเขียน GCD
ค้นหา GCD 48 และ 36
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
วิธีที่สองในการเขียน GCD
ตอนนี้มาเขียนวิธีแก้ปัญหาการค้นหา GCD ในหนึ่งบรรทัด ค้นหา GCD 10 และ 15
ในเว็บไซต์ข้อมูลของเรา คุณสามารถค้นหาตัวหารร่วมมากทางออนไลน์โดยใช้โปรแกรมตัวช่วยเพื่อตรวจสอบการคำนวณของคุณ
การหาตัวคูณร่วมน้อย วิธีการ ตัวอย่างการหา LCM
เนื้อหาที่แสดงด้านล่างเป็นความต่อเนื่องเชิงตรรกะของทฤษฎีจากบทความภายใต้หัวข้อ LCM - ตัวคูณร่วมน้อย คำจำกัดความ ตัวอย่าง ความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD ในที่นี้จะกล่าวถึง การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM), และ ความสนใจเป็นพิเศษลองมาดูตัวอย่างกัน ก่อนอื่นให้เราแสดงวิธีคำนวณ LCM ของตัวเลขสองตัวในแง่ของ GCD ของตัวเลขเหล่านี้ ต่อไป ให้พิจารณาหาตัวคูณร่วมน้อยโดยแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะ หลังจากนั้นเราจะมุ่งเน้นไปที่การค้นหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไปและให้ความสนใจกับการคำนวณ LCM ของตัวเลขเชิงลบ
การนำทางหน้า
การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน gcd
วิธีหนึ่งในการหาตัวคูณร่วมน้อยขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD ความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่าง LCM และ GCD ช่วยให้คุณสามารถคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัวผ่านตัวหารร่วมมากที่รู้จัก สูตรที่เกี่ยวข้องมีรูปแบบ LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). พิจารณาตัวอย่างการหา LCM ตามสูตรข้างต้น
หาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนสองตัว 126 และ 70
ในตัวอย่างนี้ a=126 , b=70 . ลองใช้ลิงค์ของ LCM กับ GCD ซึ่งแสดงโดยสูตร LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) นั่นคือ ก่อนอื่นเราต้องหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 70 และ 126 หลังจากนั้นเราสามารถคำนวณ LCM ของตัวเลขเหล่านี้ตามสูตรที่เขียนไว้
ค้นหา gcd(126, 70) โดยใช้อัลกอริทึมของ Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 ดังนั้น gcd(126, 70)=14
ตอนนี้เราพบตัวคูณร่วมน้อยที่จำเป็น: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630
LCM(68, 34) คืออะไร ?
เนื่องจาก 68 หารด้วย 34 ลงตัวแล้ว gcd(68, 34)=34 ตอนนี้เราคำนวณตัวคูณร่วมน้อย: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
โปรดทราบว่าตัวอย่างก่อนหน้านี้ตรงกับกฎต่อไปนี้สำหรับการค้นหา LCM สำหรับจำนวนเต็มบวก a และ b: ถ้าจำนวน a หารด้วย b ลงตัว ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้คือ a
การหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ
อีกวิธีในการหาตัวคูณร่วมน้อยคือการแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะ หากเราสร้างผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขเหล่านี้ หลังจากนั้นเราไม่รวมตัวประกอบเฉพาะทั่วไปทั้งหมดที่มีอยู่ในการขยายของตัวเลขเหล่านี้ออกจากผลิตภัณฑ์นี้ ผลคูณที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้
กฎที่ประกาศสำหรับการค้นหา LCM ต่อจากความเท่าเทียมกัน LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) อันที่จริง ผลคูณของจำนวน a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องในการขยายจำนวน a และ b ในทางกลับกัน gcd(a, b) จะเท่ากับผลคูณของปัจจัยเฉพาะทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในการขยายของตัวเลข a และ b (ซึ่งอธิบายไว้ในหัวข้อการค้นหา gcd โดยใช้การสลายตัวเลขให้เป็นปัจจัยเฉพาะ)
ลองมาเป็นตัวอย่าง ให้เรารู้ว่า 75=3 5 5 และ 210=2 3 5 7 . ประกอบผลคูณของปัจจัยทั้งหมดของส่วนขยายเหล่านี้: 2 3 3 5 5 5 7 . ตอนนี้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่ออกจากผลิตภัณฑ์นี้ทั้งในการขยายหมายเลข 75 และในการขยายหมายเลข 210 (ปัจจัยดังกล่าวคือ 3 และ 5) จากนั้นผลิตภัณฑ์จะอยู่ในรูปแบบ 2 3 5 5 7 . ค่าของผลิตภัณฑ์นี้เท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของ 75 และ 210 นั่นคือ LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050
หลังจากแยกตัวประกอบของจำนวน 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้ว ให้หาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้
มาแยกย่อยตัวเลข 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะ: 
เราได้ 441=3 3 7 7 และ 700=2 2 5 5 7 .
ทีนี้มาสร้างผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวเลขเหล่านี้: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 7 ให้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในส่วนขยายทั้งสองออกจากผลิตภัณฑ์นี้ (มีเพียงปัจจัยเดียวเท่านั้น - นี่คือหมายเลข 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . ดังนั้น LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100
LCM(441, 700)= 44 100 .
กฎสำหรับการค้นหา LCM โดยใช้การสลายตัวของตัวเลขให้เป็นปัจจัยสำคัญสามารถกำหนดแตกต่างกันเล็กน้อย ถ้าเราบวกตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายจำนวน b เข้ากับตัวประกอบจากการขยายจำนวน a ค่าของผลิตภัณฑ์ที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของจำนวน a และ b
ตัวอย่างเช่น ลองใช้ตัวเลขเดียวกันทั้งหมด 75 และ 210 การขยายเป็นปัจจัยเฉพาะมีดังนี้: 75=3 5 5 และ 210=2 3 5 7 . สำหรับปัจจัย 3, 5 และ 5 จากการสลายตัวของหมายเลข 75 เราเพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไป 2 และ 7 จากการสลายตัวของหมายเลข 210 เราได้ผลิตภัณฑ์ 2 3 5 5 7 ซึ่งมีค่า LCM(75, 210) .
หาตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648
อันดับแรก เราได้รับการแยกย่อยของตัวเลข 84 และ 648 เป็นตัวประกอบเฉพาะ พวกมันดูเหมือน 84=2 2 3 7 และ 648=2 2 2 3 3 3 3 สำหรับปัจจัย 2 , 2 , 3 และ 7 จากการสลายตัวของหมายเลข 84 เราได้เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไป 2 , 3 , 3 และ 3 จากการสลายตัวของหมายเลข 648 เราได้ผลิตภัณฑ์ 2 2 2 3 3 3 3 7 ซึ่งเท่ากับ 4 536 . ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการของจำนวน 84 และ 648 คือ 4536
การหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป
ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนตั้งแต่สามจำนวนขึ้นไปสามารถหาได้โดยการหา LCM ของจำนวนสองจำนวนอย่างต่อเนื่อง ระลึกถึงทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง ซึ่งให้วิธีค้นหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป
ให้จำนวนเต็มบวก a 1 , a 2 , …, a k ถูกกำหนด, ตัวคูณร่วมน้อย m k ของจำนวนเหล่านี้หาได้โดยการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , …, m k = LCM (m k−1 , a k)
พิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้กับตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนสี่จำนวน
ค้นหา LCM ของสี่หมายเลข 140 , 9 , 54 และ 250
ก่อนอื่นเราพบ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . ในการทำเช่นนี้ โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด เรากำหนด gcd(140, 9) เรามี 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 ดังนั้น gcd(140, 9)=1 ซึ่ง gcd(140, 9)=140 9:gcd(140, 9)= 140 9: 1=1 260 . นั่นคือ ม.2 =1 260 .
ตอนนี้เราพบว่า m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . ลองคำนวณผ่าน gcd(1 260, 54) ซึ่งกำหนดโดยอัลกอริทึมยุคลิดเช่นกัน: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 จากนั้น gcd(1 260, 54)=18 ดังนั้น LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 นั่นคือ ม. 3 \u003d 3 780
ยังคงต้องค้นหา m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . ในการทำเช่นนี้ เราพบ GCD(3 780, 250) โดยใช้อัลกอริทึมยุคลิด: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . ดังนั้น gcd(3 780, 250)=10 ดังนั้น LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 นั่นคือ ม. 4 \u003d 94 500
ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของสี่จำนวนเดิมคือ 94,500
LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .
ในหลายกรณี ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนตั้งแต่สามจำนวนขึ้นไปหาได้สะดวกโดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนที่กำหนด ในกรณีนี้ควรปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้ ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนหลายจำนวนมีค่าเท่ากับผลคูณซึ่งประกอบด้วยดังนี้: ตัวประกอบที่หายไปจากการขยายจำนวนที่สองจะถูกเพิ่มเข้ากับตัวประกอบทั้งหมดจากการขยายจำนวนแรก ตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายจำนวนที่สามจะถูกเพิ่มเข้ากับตัวประกอบที่ได้รับ และอื่น ๆ
พิจารณาตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้การแยกจำนวนออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ
หาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนห้าจำนวน 84 , 6 , 48 , 7 , 143
อันดับแรก เราได้รับการแยกย่อยของตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะ: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 2 3 , 7 (7 เป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกันกับการสลายตัวเป็นตัวประกอบเฉพาะ) และ 143=11 13 .
ในการค้นหา LCM ของตัวเลขเหล่านี้ คุณต้องเพิ่มปัจจัยของตัวเลขตัวแรก 84 (คือ 2 , 2 , 3 และ 7) เข้ากับตัวประกอบของตัวเลขตัวที่สอง 6 . การขยายหมายเลข 6 ไม่มีปัจจัยที่ขาดหายไป เนื่องจากทั้ง 2 และ 3 มีอยู่แล้วในการขยายหมายเลขแรก 84 . นอกเหนือจากตัวประกอบ 2 , 2 , 3 และ 7 เราเพิ่มตัวประกอบที่ขาดหายไป 2 และ 2 จากการขยายตัวของเลขตัวที่สาม 48 เราจะได้ชุดตัวประกอบ 2 , 2 , 2 , 2 , 3 และ 7 . ไม่จำเป็นต้องเพิ่มปัจจัยให้กับชุดนี้ในขั้นตอนถัดไป เนื่องจากมี 7 อยู่ในนั้นแล้ว สุดท้าย ปัจจัย 2 , 2 , 2 , 2 , 3 และ 7 เราบวกปัจจัยที่ขาดหายไป 11 และ 13 จากการขยายจำนวน 143 เราได้ผลิตภัณฑ์ 2 2 2 2 3 7 11 13 ซึ่งเท่ากับ 48 048 .
ดังนั้น LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
การหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ
บางครั้งมีงานบางอย่างที่คุณต้องค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ซึ่งตัวเลขหนึ่ง จำนวนหลายตัว หรือทั้งหมดเป็นค่าลบ ในกรณีเหล่านี้ทั้งหมด ตัวเลขติดลบคุณต้องแทนที่ด้วยจำนวนตรงข้าม จากนั้นหา LCM ของจำนวนบวก นี่เป็นวิธีการหา LCM ของจำนวนลบ ตัวอย่างเช่น LCM(54, −34)=LCM(54, 34) และ LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888)
เราทำเช่นนี้ได้เนื่องจากเซตของผลคูณของ a เหมือนกับเซตของผลคูณของ −a (a และ −a เป็นจำนวนตรงข้ามกัน) อันที่จริง ให้ b เป็นผลคูณของ a แล้ว b หารด้วย a ลงตัว และแนวคิดเรื่องการหารลงตัวยืนยันการมีอยู่ของจำนวนเต็ม q ที่ b=a q แต่ความเท่าเทียมกัน b=(−a)·(−q) ก็จะเป็นจริงเช่นกัน ซึ่งโดยอาศัยแนวคิดเดียวกันเรื่องการหาร หมายความว่า b หารด้วย −a ลงตัว นั่นคือ b เป็นผลคูณของ −a ข้อความตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน ถ้า b เป็นผลคูณของ −a แล้ว b ก็เป็นผลคูณของ a เช่นกัน
หาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ −145 และ −45
ลองแทนที่จำนวนลบ -145 และ -45 ด้วยจำนวนตรงข้ามกัน 145 และ 45 เรามี LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) เมื่อพิจารณาแล้ว gcd(145, 45)=5 (เช่น ใช้อัลกอริทึมยุคลิด) เราจะคำนวณ LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มลบ −145 และ −45 คือ 1,305
www.cleverstudents.ru
เรายังคงศึกษาการหาร ในบทเรียนนี้ เราจะพิจารณาแนวคิดต่างๆ เช่น จีซีดีและ นอค.
จีซีดีเป็นตัวหารร่วมมาก
นอคเป็นตัวคูณร่วมน้อย
หัวข้อค่อนข้างน่าเบื่อ แต่จำเป็นต้องเข้าใจ หากไม่เข้าใจหัวข้อนี้ คุณจะไม่สามารถทำงานกับเศษส่วนได้อย่างมีประสิทธิภาพ ซึ่งเป็นอุปสรรคอย่างแท้จริงในวิชาคณิตศาสตร์
ตัวหารร่วมมาก
คำนิยาม. ตัวหารร่วมมากของตัวเลข กและ ข กและ ขหารโดยไม่เหลือ
เพื่อให้เข้าใจนิยามนี้ดี เราแทนที่แทนตัวแปร กและ ขตัวเลขสองตัวใดๆ เช่น แทนตัวแปร กแทนเลข 12 และแทนตัวแปร ขหมายเลข 9 ตอนนี้ลองอ่านคำจำกัดความนี้:
ตัวหารร่วมมากของตัวเลข 12 และ 9 เป็นจำนวนที่มากที่สุดโดย 12 และ 9 หารโดยไม่เหลือ
เป็นที่ชัดเจนจากคำจำกัดความว่าเรากำลังพูดถึงตัวหารร่วมของเลข 12 และ 9 และตัวหารนี้เป็นตัวหารที่ใหญ่ที่สุดในบรรดาตัวหารที่มีอยู่ทั้งหมด ต้องหาตัวหารร่วมมาก (gcd) นี้
ในการหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัว จะใช้สามวิธี วิธีแรกค่อนข้างใช้เวลานาน แต่ช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของหัวข้อได้ดีและรู้สึกถึงความหมายทั้งหมด
วิธีที่สองและสามนั้นค่อนข้างง่ายและทำให้สามารถค้นหา GCD ได้อย่างรวดเร็ว เราจะพิจารณาทั้งสามวิธี และสิ่งที่จะใช้ในทางปฏิบัติ - คุณเลือก
วิธีแรกคือหาตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวเลขสองตัวและเลือกตัวหารที่ใหญ่ที่สุด ลองพิจารณาวิธีนี้ในตัวอย่างต่อไปนี้: หาตัวหารร่วมมากของจำนวน 12 และ 9.
ขั้นแรก เราหาตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจำนวน 12 ในการทำเช่นนี้ เราแบ่ง 12 เป็นตัวหารทั้งหมดในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 12 หากตัวหารอนุญาตให้หาร 12 โดยไม่มีเศษเหลือ เราจะไฮไลต์เป็นสีน้ำเงินและใส่คำอธิบายที่เหมาะสมในวงเล็บ
12: 1 = 12
(12 หารด้วย 1 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 1 จึงเป็นตัวหารของ 12)
12: 2 = 6
(12 หารด้วย 2 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 2 จึงเป็นตัวหารของ 12)
12: 3 = 4
(12 หารด้วย 3 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 3 จึงเป็นตัวหารของ 12)
12: 4 = 3
(12 หารด้วย 4 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 4 จึงเป็นตัวหารของ 12)
12:5 = 2 (เหลือ 2)
(12 ไม่หารด้วย 5 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 5 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)
12: 6 = 2
(12 หารด้วย 6 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 6 จึงเป็นตัวหารของ 12)
12: 7 = 1 (เหลือ 5)
(12 ไม่หารด้วย 7 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 7 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)
12: 8 = 1 (4 ซ้าย)
(12 ไม่หารด้วย 8 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 8 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)
12:9 = 1 (เหลือ 3)
(12 ไม่หารด้วย 9 โดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น 9 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)
12: 10 = 1 (เหลือ 2)
(12 ไม่หารด้วย 10 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 10 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)
12:11 = 1 (ซ้าย 1)
(12 ไม่หารด้วย 11 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 11 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)
12: 12 = 1
(12 หารด้วย 12 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 12 จึงเป็นตัวหารของ 12)
ทีนี้มาหาตัวหารของเลข 9 กัน โดยตรวจสอบตัวหารทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 9
9: 1 = 9
(9 หารด้วย 1 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 1 จึงเป็นตัวหารของ 9)
9: 2 = 4 (เหลือ 1)
(9 ไม่หารด้วย 2 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 2 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)
9: 3 = 3
(9 หารด้วย 3 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 3 จึงเป็นตัวหารของ 9)
9: 4 = 2 (เหลือ 1)
(9 ไม่หารด้วย 4 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 4 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)
9:5 = 1 (4 ซ้าย)
(9 ไม่หารด้วย 5 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 5 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)
9: 6 = 1 (เหลือ 3)
(9 ไม่หารด้วย 6 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 6 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)
9:7 = 1 (เหลือ 2)
(9 ไม่หารด้วย 7 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 7 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)
9:8 = 1 (ซ้าย 1)
(9 ไม่หารด้วย 8 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 8 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)
9: 9 = 1
(9 หารด้วย 9 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 9 จึงเป็นตัวหารของ 9)
ตอนนี้เขียนตัวหารของตัวเลขทั้งสอง ตัวเลขที่เน้นด้วยสีน้ำเงินคือตัวหาร ลองเขียนออกมา:
เมื่อเขียนตัวหารแล้ว คุณสามารถระบุได้ทันทีว่าตัวใดที่ใหญ่ที่สุดและพบบ่อยที่สุด
ตามคำนิยาม ตัวหารร่วมมากของ 12 และ 9 คือจำนวนที่หาร 12 และ 9 ลงตัว ตัวหารร่วมมากของเลข 12 และ 9 คือเลข 3
ทั้งเลข 12 และเลข 9 หารด้วย 3 ลงตัวโดยไม่เหลือเศษ:
ดังนั้น gcd (12 และ 9) = 3
วิธีที่สองในการค้นหา GCD
พิจารณาวิธีที่สองในการหาตัวหารร่วมมาก แก่นแท้ วิธีนี้คือการนำจำนวนทั้งสองมาเป็นตัวประกอบเฉพาะและคูณตัวร่วม
ตัวอย่างที่ 1. ค้นหา GCD ของตัวเลข 24 และ 18
ขั้นแรก ให้แยกจำนวนทั้งสองออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ:
ตอนนี้เราคูณปัจจัยร่วมของพวกเขา เพื่อไม่ให้สับสนสามารถขีดเส้นใต้ปัจจัยทั่วไปได้
เราดูที่การสลายตัวของเลข 24 ปัจจัยแรกของมันคือ 2 เรากำลังมองหาตัวประกอบเดียวกันในการแยกส่วนของเลข 18 และเห็นว่ามันอยู่ที่นั่นด้วย เราขีดเส้นใต้ทั้งสอง:
เราดูที่การสลายตัวของเลข 24 อีกครั้ง ปัจจัยที่สองของมันคือ 2 เช่นกัน เรากำลังมองหาตัวประกอบเดียวกันในการแยกส่วนของเลข 18 และดูว่าจะไม่มีเป็นครั้งที่สอง แล้วเราไม่ไฮไลท์อะไรเลย
สองตัวถัดไปในการขยายหมายเลข 24 ก็หายไปในการขยายหมายเลข 18 เช่นกัน
เราผ่านไปยังปัจจัยสุดท้ายในการแยกส่วนของหมายเลข 24 นี่คือปัจจัย 3 เรากำลังมองหาปัจจัยเดียวกันในการแยกส่วนของหมายเลข 18 และเราเห็นว่าอยู่ที่นั่นด้วย เราเน้นทั้งสาม:
ดังนั้นปัจจัยทั่วไปของตัวเลข 24 และ 18 คือปัจจัย 2 และ 3 ในการรับ GCD จะต้องคูณปัจจัยเหล่านี้:
ดังนั้น gcd (24 และ 18) = 6
วิธีที่สามในการค้นหา GCD
พิจารณาวิธีที่สามในการหาตัวหารร่วมมาก สาระสำคัญของวิธีนี้อยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลขที่ต้องค้นหาสำหรับตัวหารร่วมมากจะถูกแยกย่อยออกเป็นปัจจัยสำคัญ จากนั้น จากการสลายตัวของหมายเลขแรก ปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการสลายตัวของหมายเลขที่สองจะถูกลบออก จำนวนที่เหลือในการขยายตัวครั้งแรกจะถูกคูณและรับ GCD
ตัวอย่างเช่น ลองหา GCD สำหรับตัวเลข 28 และ 16 ด้วยวิธีนี้ ก่อนอื่น เราแยกย่อยตัวเลขเหล่านี้เป็นปัจจัยเฉพาะ:
เรามีส่วนขยายสองส่วน: และ
จากการขยายหมายเลขแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขที่สอง การขยายเลขสองไม่รวมเจ็ด เราจะลบออกจากส่วนเสริมแรก:
ตอนนี้เราคูณปัจจัยที่เหลือและรับ GCD:
เลข 4 เป็นตัวหารร่วมมากของเลข 28 และ 16 เลขทั้งสองนี้หารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษ:
ตัวอย่างที่ 2ค้นหา GCD ของตัวเลข 100 และ 40
การแยกตัวประกอบของจำนวน 100
แยกตัวประกอบเป็นเลข 40
เรามีส่วนขยายสองส่วน:
จากการขยายหมายเลขแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขที่สอง การขยายจำนวนที่สองไม่รวมหนึ่งห้า (มีเพียงหนึ่งห้า) เราลบมันจากการสลายตัวครั้งแรก
คูณจำนวนที่เหลือ:
เราได้คำตอบว่า 20 ดังนั้น เลข 20 จึงเป็นตัวหารร่วมมากของเลข 100 และ 40 เลขสองตัวนี้หารด้วย 20 ลงตัวโดยไม่เหลือเศษ:
GCD (100 และ 40) = 20
ตัวอย่างที่ 3หา gcd ของตัวเลข 72 และ 128
แยกตัวประกอบเป็นเลข 72
แยกตัวประกอบเป็นเลข 128
2×2×2×2×2×2×2
จากการขยายหมายเลขแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขที่สอง การขยายหมายเลขที่สองไม่รวมแฝดสอง (ไม่มีเลย) เราลบออกจากส่วนขยายแรก:
เราได้คำตอบว่า 8 ดังนั้น เลข 8 จึงเป็นตัวหารร่วมมากของเลข 72 และ 128 เลขสองตัวนี้หารด้วย 8 ลงตัวโดยไม่มีเศษ:
GCD (72 และ 128) = 8
ค้นหา GCD สำหรับตัวเลขหลายตัว
ตัวหารร่วมมากสามารถพบได้สำหรับจำนวนหลายตัว ไม่ใช่เฉพาะสำหรับสอง สำหรับสิ่งนี้ จำนวนที่พบสำหรับตัวหารร่วมมากจะถูกแยกย่อยออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นจะพบผลคูณของตัวประกอบร่วมที่สำคัญของตัวเลขเหล่านี้
ตัวอย่างเช่น ลองหา GCD สำหรับตัวเลข 18, 24 และ 36
แยกตัวประกอบจำนวน 18
การแยกตัวประกอบของจำนวน 24
แยกตัวประกอบจำนวน 36
เรามีส่วนขยายสามส่วน:
ตอนนี้เราเลือกและขีดเส้นใต้ปัจจัยทั่วไปในตัวเลขเหล่านี้ ต้องรวมปัจจัยทั่วไปไว้ในตัวเลขทั้งสามตัว:
เราเห็นว่าตัวประกอบทั่วไปของตัวเลข 18, 24 และ 36 คือตัวประกอบ 2 และ 3 โดยการคูณตัวประกอบเหล่านี้ เราจะได้ GCD ที่เราต้องการ:
เราได้คำตอบเป็น 6 ดังนั้น เลข 6 จึงเป็นตัวหารร่วมมากของเลข 18, 24 และ 36 เลขทั้งสามนี้หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่เหลือเศษ:
GCD (18, 24 และ 36) = 6
ตัวอย่างที่ 2ค้นหา gcd สำหรับตัวเลข 12, 24, 36 และ 42
ลองแยกตัวประกอบแต่ละตัวเลข จากนั้นเราจะหาผลคูณของตัวประกอบร่วมของตัวเลขเหล่านี้
การแยกตัวประกอบของจำนวน 12
แยกตัวประกอบจำนวน 42
เรามีการขยายสี่ส่วน:
ตอนนี้เราเลือกและขีดเส้นใต้ปัจจัยทั่วไปในตัวเลขเหล่านี้ ต้องรวมปัจจัยทั่วไปไว้ในตัวเลขทั้งสี่ตัว:
เราเห็นว่าตัวประกอบทั่วไปของตัวเลข 12, 24, 36 และ 42 คือตัวประกอบ 2 และ 3 โดยการคูณตัวประกอบเหล่านี้ เราจะได้ GCD ที่เราต้องการ:
เราได้คำตอบเป็น 6 ดังนั้น เลข 6 จึงเป็นตัวหารร่วมมากของเลข 12, 24, 36 และ 42 เลขเหล่านี้หารด้วย 6 โดยไม่มีเศษเหลือ:
gcd(12, 24, 36 และ 42) = 6
จากบทเรียนที่แล้ว เรารู้ว่าถ้าจำนวนจำนวนหนึ่งหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งโดยไม่มีเศษเหลือ จะเรียกว่าผลคูณของจำนวนนี้
ปรากฎว่าผลคูณสามารถใช้ร่วมกับตัวเลขหลายตัวได้ และตอนนี้เราจะสนใจผลคูณของตัวเลขสองตัวในขณะที่ควรมีขนาดเล็กที่สุด
คำนิยาม. ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของจำนวน กและ ข- กและ ข กและหมายเลข ข.
คำจำกัดความมีสองตัวแปร กและ ข. ลองแทนเลขสองตัวสำหรับตัวแปรเหล่านี้ เช่น ใช้แทนตัวแปร กแทนเลข 9 และแทนตัวแปร ขลองแทนเลข 12 กัน ทีนี้มาลองอ่านนิยามกัน:
ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของจำนวน 9 และ 12 - นี้ จำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งเป็นตัวคูณ 9 และ 12 . กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันเป็นจำนวนเล็กน้อยที่หารได้โดยไม่มีเศษเหลือด้วยจำนวนนั้น 9 และบนหมายเลข 12 .
เป็นที่ชัดเจนจากคำจำกัดความว่า LCM เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 9 และ 12 ลงตัวโดยไม่มีเศษ จำเป็นต้องหา LCM นี้
มีสองวิธีในการหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) วิธีแรกคือคุณสามารถจดผลคูณแรกของตัวเลขสองตัว จากนั้นเลือกจากผลคูณเหล่านี้ซึ่งจะเป็นตัวเลขทั่วไปสำหรับทั้งตัวเลขและตัวเลขขนาดเล็ก ลองนำวิธีนี้ไปใช้
ก่อนอื่น มาหาผลคูณของเลข 9 กันก่อน ในการหาผลคูณของ 9 คุณต้องคูณเลขเก้านี้ด้วยตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ตามลำดับ คำตอบที่คุณได้รับจะเป็นผลคูณของเลข 9 เริ่มกันเลย หลายรายการจะถูกเน้นด้วยสีแดง:
ตอนนี้เราพบผลคูณสำหรับหมายเลข 12 ในการทำเช่นนี้ เราคูณ 12 ด้วยหมายเลขทั้งหมด 1 ถึง 12 ตามลำดับ
คำนิยาม.จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดที่จำนวน a และ b หารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือเรียกว่า ตัวหารร่วมมาก (gcd)ตัวเลขเหล่านี้
มาหาตัวหารร่วมมากของจำนวน 24 และ 35 กัน
ตัวหารของ 24 จะเป็นตัวเลข 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 และตัวหารของ 35 จะเป็นตัวเลข 1, 5, 7, 35
เราเห็นว่าหมายเลข 24 และ 35 มีตัวหารร่วมกันเพียงตัวเดียว - หมายเลข 1 ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า โคไพรม์.
คำนิยาม.จำนวนธรรมชาติเรียกว่า โคไพรม์ถ้าตัวหารร่วมมาก (gcd) คือ 1
ตัวหารร่วมมาก (GCD)สามารถหาได้โดยไม่ต้องเขียนตัวหารทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนด
การแยกตัวประกอบของตัวเลข 48 และ 36 เราได้:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
จากปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขตัวแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขที่สอง (เช่น ผีสางสองตัว)
เหลือตัวประกอบ 2 * 2 * 3 ผลคูณของมันคือ 12 จำนวนนี้เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 48 และ 36 นอกจากนี้ยังพบตัวหารร่วมมากของตัวเลขสามตัวขึ้นไป
การค้นหา ตัวหารร่วมมาก
2) จากปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวของหนึ่งในตัวเลขเหล่านี้ ให้ขีดฆ่าปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายตัวของตัวเลขอื่น
3) ค้นหาผลคูณของปัจจัยที่เหลือ
หากตัวเลขที่กำหนดทั้งหมดหารด้วยตัวใดตัวหนึ่ง ตัวเลขนี้คือ ตัวหารร่วมมากตัวเลขที่กำหนด
ตัวอย่างเช่น ตัวหารร่วมมากของ 15, 45, 75 และ 180 คือ 15 เนื่องจากเป็นตัวหารจำนวนอื่นๆ ทั้งหมด: 45, 75 และ 180
ตัวคูณร่วมน้อย (LCM)
คำนิยาม. ตัวคูณร่วมน้อย (LCM)จำนวนธรรมชาติ a และ b เป็นจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่เป็นผลคูณของทั้ง a และ b สามารถหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข 75 และ 60 ได้โดยไม่ต้องเขียนผลคูณของตัวเลขเหล่านี้ติดต่อกัน ในการทำเช่นนี้เราจะแยก 75 และ 60 ออกเป็นตัวประกอบง่ายๆ: 75 \u003d 3 * 5 * 5 และ 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5
เราเขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวของตัวเลขตัวแรกและเพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไป 2 และ 2 จากการขยายตัวของตัวเลขที่สอง (นั่นคือเรารวมปัจจัยต่างๆ)
เราได้ตัวประกอบ 5 ตัว 2 * 2 * 3 * 5 * 5 ซึ่งผลคูณของจำนวนนี้คือ 300 จำนวนนี้คือตัวคูณร่วมน้อยของจำนวน 75 และ 60
หาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนตั้งแต่สามจำนวนขึ้นไปด้วย
ถึง หาตัวคูณร่วมน้อยจำนวนธรรมชาติหลายตัว คุณต้อง:
1) ย่อยสลายให้เป็นปัจจัยสำคัญ;
2) เขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวของตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง
3) เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายจำนวนที่เหลือ
4) ค้นหาผลคูณของปัจจัยที่เป็นผลลัพธ์
โปรดทราบว่าหากหนึ่งในจำนวนเหล่านี้หารด้วยจำนวนอื่นๆ ทั้งหมดแล้ว จำนวนนี้จะเป็นจำนวนร่วมที่น้อยที่สุดของจำนวนเหล่านี้
ตัวอย่างเช่น ตัวคูณร่วมน้อยของ 12, 15, 20 และ 60 จะเป็น 60 เนื่องจากหารด้วยจำนวนที่กำหนดทั้งหมด
Pythagoras (ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช) และนักเรียนของเขาศึกษาเรื่องการหารตัวเลข จำนวนที่เท่ากับผลรวมของตัวหารทั้งหมด (ไม่มีตัวนับ) พวกเขาเรียกว่าจำนวนสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น เลข 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) นั้นสมบูรณ์แบบ ตัวเลขที่สมบูรณ์แบบถัดไปคือ 496, 8128, 33,550,336 ชาวพีทาโกรัสรู้จักตัวเลขที่สมบูรณ์แบบสามตัวแรกเท่านั้น ครั้งที่สี่ - 8128 - กลายเป็นที่รู้จักในศตวรรษที่ 1 น. อี ที่ห้า - 33 550 336 - พบในศตวรรษที่ 15 ในปี 1983 ตัวเลขที่สมบูรณ์แบบ 27 ตัวเป็นที่รู้จักแล้ว แต่จนถึงขณะนี้ นักวิทยาศาสตร์ยังไม่ทราบว่ามีจำนวนสมบูรณ์เป็นคี่หรือไม่ หรือมีจำนวนสมบูรณ์มากที่สุดหรือไม่
ความสนใจของนักคณิตศาสตร์โบราณในเรื่องจำนวนเฉพาะเกิดจากการที่จำนวนใด ๆ เป็นจำนวนเฉพาะหรือสามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ นั่นคือ จำนวนเฉพาะเปรียบเสมือนก้อนอิฐที่ใช้สร้างจำนวนธรรมชาติที่เหลือ
คุณอาจสังเกตเห็นว่าจำนวนเฉพาะในอนุกรมของจำนวนธรรมชาติเกิดขึ้นไม่สม่ำเสมอ - ในบางส่วนของอนุกรมมีจำนวนมากกว่า ในส่วนอื่นๆ - น้อยกว่า แต่ยิ่งเราเคลื่อนไปตามชุดตัวเลขมากเท่าไร จำนวนเฉพาะก็ยิ่งหายากขึ้นเท่านั้น คำถามเกิดขึ้น: มีจำนวนเฉพาะสุดท้าย (มากที่สุด) อยู่หรือไม่? Euclid นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ในหนังสือ "Beginnings" ซึ่งเป็นหนังสือเรียนหลักทางคณิตศาสตร์มาเป็นเวลาสองพันปี ได้พิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะมากมายนับไม่ถ้วน นั่นคือ หลังจำนวนเฉพาะแต่ละตัวจะมีจำนวนเฉพาะที่มากกว่า
ในการค้นหาจำนวนเฉพาะ นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกอีกคนหนึ่งในยุคเดียวกัน เอราทอสเทเนส ได้คิดวิธีการดังกล่าวขึ้นมา เขาเขียนตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึงจำนวนหนึ่ง จากนั้นขีดฆ่าหน่วยซึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ จากนั้นขีดฆ่าตัวเลขทั้งหมดที่อยู่หลัง 2 (ตัวเลขที่ทวีคูณของ 2 เช่น 4, 6, 8 เป็นต้น) ตัวเลขแรกที่เหลืออยู่หลังจาก 2 คือ 3 จากนั้นหลังจากสอง ตัวเลขทั้งหมดที่อยู่หลัง 3 จะถูกขีดฆ่า (ตัวเลขที่เป็นผลคูณของ 3 เช่น 6, 9, 12 เป็นต้น) ในท้ายที่สุด มีเพียงจำนวนเฉพาะเท่านั้นที่ยังไม่ถูกขีดฆ่า
หนึ่งในงานที่ทำให้เกิดปัญหากับเด็กนักเรียนสมัยใหม่ที่คุ้นเคยกับการใช้เครื่องคิดเลขที่ติดตั้งในอุปกรณ์ทั้งแบบอยู่กับที่และนอกสถานที่ คือการค้นหาตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลขตั้งแต่สองตัวขึ้นไป
เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์หากไม่รู้ว่ากำลังถามอะไรอยู่ ในการทำเช่นนี้คุณต้องรู้ว่านิพจน์นี้หมายความว่าอย่างไรใช้ในวิชาคณิตศาสตร์
ต้องการทราบ:
- ถ้าใช้เลขอะไรนับวัตถุต่างๆ ได้ เช่น เก้าเสา สิบหกหลัง ก็เป็นไปตามธรรมชาติ ที่เล็กที่สุดของพวกเขาจะเป็นหนึ่งเดียว
- เมื่อจำนวนธรรมชาติหารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่น จำนวนที่น้อยกว่าจะถูกเรียกว่าเป็นตัวหารของจำนวนที่มากกว่า
- ถ้าจำนวนที่แตกต่างกันตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปหารด้วยจำนวนหนึ่งโดยไม่มีเศษเหลือ แสดงว่าจำนวนหลังจะเป็นตัวหารร่วม (OD)
- OD ที่ใหญ่ที่สุดเรียกว่าตัวหารร่วมมาก (GCD)
- ในกรณีเช่นนี้ เมื่อจำนวนมีตัวหารธรรมชาติเพียงสองตัว (ตัวมันเองและตัวหารหนึ่ง) จะเรียกว่าจำนวนเฉพาะ สิ่งที่เล็กที่สุดในหมู่พวกเขาคือผีสาง นอกจากนี้ยังเป็นเลขคู่ตัวเดียวในซีรีส์ของพวกเขา
- หากตัวเลขสองตัวมีตัวหารร่วมกันมากสุดของหนึ่ง พวกมันจะเป็นโคไพรม์
- จำนวนที่มีตัวหารมากกว่า 2 ตัว เรียกว่า จำนวนประกอบ
- กระบวนการเมื่อพบปัจจัยเฉพาะทั้งหมดซึ่งเมื่อคูณกันจะให้ค่าเริ่มต้นในผลคูณทางคณิตศาสตร์ เรียกว่า การสลายตัวเป็นปัจจัยสำคัญ นอกจากนี้ปัจจัยเดียวกันในการขยายตัวสามารถเกิดขึ้นได้มากกว่าหนึ่งครั้ง
ในวิชาคณิตศาสตร์ เครื่องหมายต่อไปนี้ได้รับการยอมรับ:
- ตัวหาร D (45) = (1; 3; 5; 9; 45)
- OD (8;18) = (1;2).
- GCD (8;18) = 2.
วิธีต่างๆ ในการค้นหา GCD
คำถามที่ง่ายที่สุดในการตอบ วิธีค้นหา NODเมื่อจำนวนที่น้อยกว่าเป็นตัวหารของจำนวนที่มากกว่า มันจะเป็นตัวหารร่วมมากในกรณีนี้
ตัวอย่างเช่น GCD (15;45) = 15, GCD (48;24) = 24
แต่กรณีดังกล่าวในวิชาคณิตศาสตร์นั้นหายากมาก ดังนั้นในการค้นหา GCD จึงมีการใช้เทคนิคที่ซับซ้อนมากขึ้น แม้ว่าจะยังแนะนำให้ตรวจสอบตัวเลือกนี้ก่อนเริ่มงานก็ตาม
วิธีการสลายตัวเป็นปัจจัยสำคัญ
หากคุณต้องการค้นหา GCD ของตัวเลขที่แตกต่างกันตั้งแต่สองตัวขึ้นไปก็เพียงพอแล้วที่จะแยกย่อยแต่ละปัจจัยออกเป็นปัจจัยง่ายๆ จากนั้นดำเนินการคูณจำนวนเหล่านั้นที่อยู่ในแต่ละตัวเลข
ตัวอย่างที่ 1
พิจารณาวิธีค้นหา GCD 36 และ 90:
- 36 = 1*2*2*3*3;
- 90 = 1*2*3*3*5;
GCD (36;90) = 1*2*3*3 = 18.
ทีนี้มาดูวิธีการหากัน กรณีเลขสามตัวยกตัวอย่าง 54; 162; 42.
เรารู้วิธีแยกย่อย 36 แล้ว เรามาจัดการกับส่วนที่เหลือกัน:
- 162 = 1*2*3*3*3*3;
- 42 = 1*2*3*7;
ดังนั้น GCD (36;162;42) = 1*2*3 = 6
ควรสังเกตว่าไม่จำเป็นต้องเขียนหน่วยในการสลายตัว
พิจารณาวิธีการ การแยกตัวประกอบนั้นง่ายเพียงใดสำหรับสิ่งนี้ ทางด้านซ้าย เราจะเขียนจำนวนที่เราต้องการ และทางด้านขวา เราจะเขียนตัวหารอย่างง่าย
คอลัมน์สามารถคั่นด้วยเครื่องหมายแบ่งหรือแถบแนวตั้งธรรมดา
- 36 / 2 เราจะดำเนินกระบวนการแบ่งของเราต่อไป
- ต่อ 18/2;
- 9/3 และอีกครั้ง;
- 3 / 3 ตอนนี้ค่อนข้างเป็นพื้นฐาน
- 1 - ผลลัพธ์พร้อมแล้ว
ที่ต้องการ 36 \u003d 2 * 2 * 3 * 3
วิธีแบบยุคลิด
ตัวเลือกนี้เป็นที่รู้จักของมนุษย์มาตั้งแต่สมัยอารยธรรมกรีกโบราณ ซึ่งง่ายกว่ามาก และมีสาเหตุมาจาก Euclid นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ แม้ว่าก่อนหน้านี้จะใช้อัลกอริทึมที่คล้ายกันมากก็ตาม วิธีนี้คือการใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้เราหารจำนวนที่มากกว่าด้วยจำนวนที่เหลือด้วยจำนวนที่น้อยกว่า จากนั้นเรานำตัวหารของเราไปหารด้วยเศษที่เหลือและดำเนินการในลักษณะนี้ต่อไปในวงกลมจนกว่าการหารจะเสร็จสมบูรณ์ ค่าสุดท้ายจะกลายเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ
ลองยกตัวอย่างการใช้อัลกอริทึมนี้:
ลองค้นหาว่า GCD ใดสำหรับ 816 และ 252:
- 816/252 = 3 และเศษที่เหลือคือ 60 ตอนนี้เราหาร 252 ด้วย 60
- 252 / 60 = 4 เวลาที่เหลือคือ 12 มาทำกระบวนการแบบวงกลมกันต่อ หารหกสิบด้วยสิบสอง
- 60 / 12 = 5 เนื่องจากครั้งนี้เราไม่ได้รับส่วนที่เหลือ เราจึงได้ผลลัพธ์พร้อมแล้ว สิบสองจะเป็นค่าที่เรากำลังมองหา
ดังนั้นในตอนท้ายของกระบวนการของเรา เราได้ NOD (816;252) = 12.
ดำเนินการหากจำเป็นต้องกำหนด GCD หากระบุมากกว่าสองค่า
เราได้ทราบแล้วว่าจะทำอย่างไรในกรณีที่มีตัวเลขต่างกันสองตัว ตอนนี้เราจะเรียนรู้วิธีดำเนินการหากมี 3 หรือมากกว่า.
แม้จะมีความซับซ้อนชัดเจน งานที่ได้รับไม่มีปัญหาสำหรับเราอีกต่อไป ตอนนี้เราเลือกตัวเลขสองตัวและกำหนดค่าที่เรากำลังมองหา ขั้นตอนต่อไปคือการค้นหา GCD สำหรับผลลัพธ์ที่ได้รับและค่าที่สามของค่าที่กำหนด จากนั้นอีกครั้งเราปฏิบัติตามหลักการที่เรารู้อยู่แล้วเป็นเวลาสี่ในห้าและต่อไปเรื่อย ๆ
บทสรุป
ดังนั้น ด้วยความซับซ้อนที่ดูเหมือนยิ่งใหญ่ของงานที่ตั้งไว้ก่อนเราในตอนแรก อันที่จริง ทุกอย่างเรียบง่าย สิ่งสำคัญคือต้องสามารถดำเนินการแบ่งได้โดยไม่มีข้อผิดพลาดและยึดตามอัลกอริทึมใด ๆ ในสองอย่างที่อธิบายไว้ข้างต้น
แม้ว่าทั้งสองวิธีจะยอมรับได้อย่างสมบูรณ์แบบ โรงเรียนศึกษาทั่วไป วิธีแรกใช้กันทั่วไปมากกว่า. นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าการสลายตัวเป็นปัจจัยสำคัญจำเป็นเมื่อศึกษาหัวข้อการศึกษาถัดไป - คำจำกัดความของตัวคูณร่วมมาก (LCM) แต่ถึงกระนั้นก็เป็นที่น่าสังเกตอีกครั้งว่าการใช้อัลกอริทึมของ Euclid ไม่สามารถถือว่าผิดพลาดได้
วิดีโอ
ด้วยความช่วยเหลือของวิดีโอ คุณสามารถเรียนรู้วิธีหาตัวหารร่วมมาก
ไม่ได้รับคำตอบสำหรับคำถามของคุณ? แนะนำหัวข้อให้กับผู้เขียน
หมายเลขที่สอง: ข=
ตัวคั่นหลักไม่เว้นวรรค" ´
ผลลัพธ์:
ตัวหารร่วมมาก gcd( ก,ข)=6
ตัวคูณร่วมน้อยของ LCM( ก,ข)=468
จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดที่จำนวน a และ b หารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือเรียกว่า ตัวหารร่วมมาก(gcd) ของตัวเลขเหล่านี้ แสดงแทน gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) หรือ hcf(a,b)
ตัวคูณร่วมน้อย(LCM) ของจำนวนเต็มสองจำนวน a และ b เป็นจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย a และ b โดยไม่มีเศษเหลือ แสดง LCM(a,b) หรือ lcm(a,b)
จำนวนเต็ม a และ b เรียกว่า โคไพรม์หากไม่มีตัวหารร่วมกันนอกจาก +1 และ −1
ตัวหารร่วมมาก
ให้สองได้รับ ตัวเลขที่เป็นบวก ก 1 และ ก 2 1). จำเป็นต้องหาตัวหารร่วมกันของตัวเลขเหล่านี้ เช่น พบหมายเลขดังกล่าว λ ซึ่งแบ่งตัวเลข ก 1 และ ก 2ในเวลาเดียวกัน. มาอธิบายอัลกอริทึมกัน
1) ในข้อนี้ คำว่า number จะหมายถึงจำนวนเต็ม
อนุญาต ก 1 ≥ ก 2 และปล่อยให้
ที่ไหน ม 1 , ก 3 เป็นจำนวนเต็ม ก 3 <ก 2 (ส่วนที่เหลือจากการหาร ก 1 บน ก 2 ควรน้อยกว่า ก 2).
ลองแกล้งทำเป็นว่า λ แบ่ง ก 1 และ ก 2 แล้ว λ แบ่ง ม 1 ก 2 และ λ แบ่ง ก 1 −ม 1 ก 2 =ก 3 (การยืนยัน 2 ของบทความ "การหารตัวเลขเครื่องหมายของการหาร") มันเป็นไปตามที่ตัวหารร่วมทุกตัว ก 1 และ ก 2 เป็นตัวหารร่วม ก 2 และ ก 3 . การสนทนายังเป็นจริงถ้า λ ตัวหารร่วมกัน ก 2 และ ก 3 แล้ว ม 1 ก 2 และ ก 1 =ม 1 ก 2 +ก 3 ยังแบ่งออกเป็น λ . ดังนั้นตัวหารร่วม ก 2 และ ก 3 เป็นตัวหารร่วมด้วย ก 1 และ ก 2. เพราะ ก 3 <ก 2 ≤ก 1 แล้วเราสามารถพูดได้ว่าวิธีแก้ปัญหาการหาตัวหารร่วมกันของตัวเลข ก 1 และ ก 2 ลดปัญหาในการหาตัวหารร่วมของตัวเลขได้ง่ายขึ้น ก 2 และ ก 3 .
ถ้า ก 3 ≠ 0 เราก็หารได้ ก 2 บน ก 3 . แล้ว
,
ที่ไหน ม 1 และ ก 4 เป็นจำนวนเต็ม ( ก 4 ส่วนที่เหลือของการแบ่ง ก 2 บน ก 3 (ก 4 <ก 3)). ด้วยเหตุผลที่คล้ายกัน เราได้ข้อสรุปว่าตัวหารร่วมของตัวเลข ก 3 และ ก 4 เหมือนกับตัวหารทั่วไปของตัวเลข ก 2 และ ก 3 , และยังมีตัวหารร่วมกัน ก 1 และ ก 2. เพราะ ก 1 , ก 2 , ก 3 , ก 4 , ... จำนวนที่ลดลงอย่างต่อเนื่อง และเนื่องจากมีจำนวนเต็มระหว่างจำนวนจำกัด ก 2 และ 0 จากนั้นในบางขั้นตอน นส่วนที่เหลือของส่วน กเปิด ก n+1 จะเท่ากับศูนย์ ( ก n+2=0).
.
ตัวหารร่วมทุกตัว λ ตัวเลข ก 1 และ ก 2 เป็นตัวหารของตัวเลขด้วย ก 2 และ ก 3 , ก 3 และ ก 4 , .... ก n และ ก n+1 . บทสนทนายังเป็นจริง ตัวหารร่วมของตัวเลข ก n และ ก n+1 เป็นตัวหารของตัวเลขด้วย ก n−1 และ กน , .... , ก 2 และ ก 3 , ก 1 และ ก 2. แต่ตัวหารร่วม ก n และ ก n+1 เป็นตัวเลข ก n+1 เพราะ ก n และ ก n+1 หารด้วย ก n+1 (จำได้ว่า ก n+2=0). เพราะฉะนั้น ก n+1 เป็นตัวหารของตัวเลขด้วย ก 1 และ ก 2 .
โปรดทราบว่าหมายเลข ก n+1 เป็นตัวหารจำนวนมากที่สุด ก n และ ก n+1 เนื่องจากตัวหารที่มากที่สุด ก n+1 เป็นตัวมันเอง ก n+1 . ถ้า ก n + 1 สามารถแทนเป็นผลคูณของจำนวนเต็มได้ ดังนั้น ตัวเลขเหล่านี้จึงเป็นตัวหารร่วมของจำนวนด้วย ก 1 และ ก 2. ตัวเลข ก n+1 เรียกว่า ตัวหารร่วมมากตัวเลข ก 1 และ ก 2 .
ตัวเลข ก 1 และ ก 2 เป็นได้ทั้งจำนวนบวกและลบ ถ้าหนึ่งในจำนวนนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวหารร่วมมากของจำนวนเหล่านี้จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของจำนวนอื่น ไม่ได้กำหนดตัวหารร่วมมากของเลขศูนย์
อัลกอริทึมข้างต้นเรียกว่า อัลกอริทึมของยูคลิดเพื่อหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน
ตัวอย่างการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนสองจำนวน
หาตัวหารร่วมมากของสองจำนวน 630 และ 434
- ขั้นตอนที่ 1 หารตัวเลข 630 ด้วย 434 ส่วนที่เหลือคือ 196
- ขั้นตอนที่ 2 หารตัวเลข 434 ด้วย 196 ส่วนที่เหลือคือ 42
- ขั้นตอนที่ 3 หารตัวเลข 196 ด้วย 42 ส่วนที่เหลือคือ 28
- ขั้นตอนที่ 4 หารตัวเลข 42 ด้วย 28 ส่วนที่เหลือคือ 14
- ขั้นตอนที่ 5 หารจำนวน 28 ด้วย 14 ส่วนที่เหลือคือ 0
ในขั้นตอนที่ 5 เศษที่เหลือของการหารคือ 0 ดังนั้น ตัวหารร่วมมากของเลข 630 และ 434 คือ 14 โปรดทราบว่าเลข 2 และ 7 เป็นตัวหารของเลข 630 และ 434 ด้วย
หมายเลขโคไพรม์
คำนิยาม 1. ให้ตัวหารร่วมมากของจำนวน ก 1 และ ก 2 เท่ากับหนึ่ง จากนั้นจึงเรียกหมายเลขเหล่านี้ หมายเลขโคไพรม์ที่ไม่มีตัวหารร่วมกัน.
ทฤษฎีบท 1. ถ้า ก 1 และ ก 2 จำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ และ λ จำนวนจำนวนหนึ่ง แล้วหารร่วมของจำนวนใดๆ เล 1 และ ก 2 เป็นตัวหารร่วมของตัวเลขเช่นกัน λ และ ก 2 .
การพิสูจน์. พิจารณาอัลกอริทึมของ Euclid ในการหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข ก 1 และ ก 2 (ดูด้านบน)
.
มันเป็นไปตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทว่าตัวหารร่วมมากของจำนวน ก 1 และ ก 2 , และดังนั้น ก n และ ก n+1 คือ 1 เช่น ก n+1=1.
ลองคูณความเท่าเทียมกันเหล่านี้ด้วย λ , แล้ว
.
ให้ตัวหารร่วม ก 1 λ และ ก 2 คือ δ . แล้ว δ เข้ามาเป็นปัจจัยใน ก 1 λ , ม 1 ก 2 λ และใน ก 1 λ -ม 1 ก 2 λ =ก 3 λ (ดู "การหารจำนวน", แถลงการณ์ 2) ไกลออกไป δ เข้ามาเป็นปัจจัยใน ก 2 λ และ ม 2 ก 3 λ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นปัจจัยใน ก 2 λ -ม 2 ก 3 λ =ก 4 λ .
ด้วยเหตุผลเช่นนี้ เราจึงเชื่อมั่นว่า δ เข้ามาเป็นปัจจัยใน ก n−1 λ และ ม n−1 กน λ , และดังนั้นใน ก n−1 λ −ม n−1 กน λ =ก n+1 λ . เพราะ ก n+1 = 1 แล้ว δ เข้ามาเป็นปัจจัยใน λ . ดังนั้นหมายเลข δ เป็นตัวหารร่วมของตัวเลข λ และ ก 2 .
พิจารณากรณีพิเศษของทฤษฎีบท 1
ผลที่ตามมา 1. อนุญาต กและ คจำนวนเฉพาะมีค่าสัมพัทธ์ ข. จากนั้นผลิตภัณฑ์ของพวกเขา ไฟฟ้ากระแสสลับเป็นจำนวนเฉพาะที่เกี่ยวกับ ข.
จริงหรือ. จากทฤษฎีบทที่ 1 ไฟฟ้ากระแสสลับและ ขมีตัวหารร่วมเท่ากันกับ คและ ข. แต่ตัวเลข คและ ขโคไพรม์ เช่น มีตัวหารร่วมตัวเดียว 1 จากนั้น ไฟฟ้ากระแสสลับและ ขยังมีตัวหารร่วมกันตัวเดียว 1 ดังนั้น ไฟฟ้ากระแสสลับและ ขกันง่ายๆ
ผลที่ตามมา 2. อนุญาต กและ ขจำนวนโคไพรม์และปล่อยให้ ขแบ่ง อัค. แล้ว ขแบ่งและ เค.
จริงหรือ. จากเงื่อนไขการยืนยัน อัคและ ขมีตัวหารร่วมกัน ข. โดยอาศัยทฤษฎีบทที่ 1 ขจะต้องเป็นตัวหารร่วม ขและ เค. เพราะฉะนั้น ขแบ่ง เค.
ข้อ 1 สามารถสรุปได้
ผลที่ตามมา 3. 1. ให้ตัวเลข ก 1 , ก 2 , ก 3 , ..., ก m เป็นจำนวนเฉพาะเมื่อเทียบกับจำนวน ข. แล้ว ก 1 ก 2 , ก 1 ก 2 · ก 3 , ..., ก 1 ก 2 ก 3 ··· ก m , ผลคูณของจำนวนเหล่านี้เป็นจำนวนเฉพาะเมื่อเทียบกับจำนวนนั้น ข.
2. ให้เรามีตัวเลขสองแถว
เพื่อให้ทุกหมายเลขในแถวแรกเป็นจำนวนเฉพาะเมื่อเทียบกับทุกหมายเลขในแถวที่สอง จากนั้นผลิตภัณฑ์
จำเป็นต้องค้นหาตัวเลขดังกล่าวที่หารด้วยแต่ละตัวเลขเหล่านี้
ถ้าจำนวนหารด้วย ก 1 แล้วดูเหมือนว่า สา 1 ที่ไหน สจำนวนหนึ่ง ถ้า ถามเป็นตัวหารร่วมมากของจำนวน ก 1 และ ก 2 แล้ว
ที่ไหน ส 1 เป็นจำนวนเต็ม แล้ว
เป็น ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนนับ ก 1 และ ก 2 .
ก 1 และ ก 2 โคไพรม์ จากนั้นเป็นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนนับ ก 1 และ ก 2:
หาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้
เป็นไปตามจากข้างต้นว่าจำนวนทวีคูณใดๆ ก 1 , ก 2 , ก 3 ต้องเป็นจำนวนหลายตัว ε และ ก 3 และในทางกลับกัน ให้ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนนับ ε และ ก 3 คือ ε 1 . นอกจากนี้จำนวนหลายตัว ก 1 , ก 2 , ก 3 , ก 4 ต้องเป็นจำนวนหลายตัว ε 1 และ ก 4 . ให้ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนนับ ε 1 และ ก 4 คือ ε 2. ดังนั้นเราจึงพบว่าจำนวนทวีคูณทั้งหมด ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,กม. ตรงกับผลคูณของจำนวนเฉพาะบางตัว ε n ซึ่งเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนที่กำหนด
ในกรณีเฉพาะเมื่อตัวเลข ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m coprime แล้วตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนนับ ก 1 , ก 2 ดังรูปข้างต้นมีแบบ (3) นอกจากนี้ตั้งแต่ ก 3 เฉพาะที่เกี่ยวกับตัวเลข ก 1 , ก 2 แล้ว ก 3 เป็นจำนวนสัมพัทธ์เฉพาะ ก 1 · ก 2 (ข้อพิสูจน์ 1). ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนนั้น ก 1 ,ก 2 ,ก 3 เป็นตัวเลข ก 1 · ก 2 · ก 3 . โต้แย้งในลักษณะเดียวกัน เรามาถึงการยืนยันต่อไปนี้
คำแถลง 1. ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนโคไพรม์ ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m เท่ากับผลคูณของมัน ก 1 · ก 2 · ก 3 ··· กม.
คำแถลง 2. จำนวนใดๆ ที่หารด้วยจำนวนโคไพรม์แต่ละตัวลงตัว ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m ยังหารด้วยผลคูณของมันด้วย ก 1 · ก 2 · ก 3 ··· กม.
