ด้วยความช่วยเหลือของบทเรียนนี้ คุณจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผลและระบบของความไม่เท่าเทียมกัน ระบบของความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผลได้รับการแก้ไขด้วยความช่วยเหลือของการแปลงที่เทียบเท่า การพิจารณานิยามของความสมมูลถือเป็นวิธีการแทนที่อสมการเศษส่วน-ตรรกยะด้วยกำลังสอง และยังเข้าใจว่าอะไรคือความแตกต่างระหว่างอสมการกับสมการ และวิธีการแปลงที่เทียบเท่ากัน

พีชคณิตเกรด 9

การทำซ้ำครั้งสุดท้ายของหลักสูตรพีชคณิตเกรด 9

ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลและระบบของพวกเขา ระบบความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผล

1.1 เชิงนามธรรม.

1. การแปลงความเท่าเทียมกันของอสมการตรรกยะ

ตัดสินใจ ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลหมายถึงการหาทางแก้ไขทั้งหมด ต่างจากสมการตรงที่ เมื่อแก้อสมการ ตามกฎแล้วจะมีคำตอบจำนวนอนันต์ การแก้ปัญหาจำนวนอนันต์ไม่สามารถตรวจสอบได้โดยการแทนที่ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องแปลงความไม่เท่าเทียมกันเดิมในลักษณะที่ในแต่ละบรรทัดถัดไปจะได้รับความไม่เท่าเทียมกันด้วยชุดของโซลูชันเดียวกัน

ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลแก้ได้ด้วย เทียบเท่าหรือการแปลงที่เทียบเท่ากัน การแปลงดังกล่าวไม่บิดเบือนชุดของโซลูชัน

คำนิยาม. ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลเรียกว่า เทียบเท่าถ้าชุดของโซลูชันของพวกเขาเหมือนกัน

เพื่อกำหนด ความเท่าเทียมกันใช้เครื่องหมาย

2. การแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน

อสมการที่หนึ่งและสองคืออสมการเศษส่วน วิธีการแก้ปัญหาเหล่านี้เป็นความต่อเนื่องตามธรรมชาติของวิธีการแก้อสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง

ลองย้ายตัวเลขทางด้านขวาไปทางซ้ายด้วยเครื่องหมายตรงข้ามกัน

เป็นผลให้ 0 จะยังคงอยู่ทางด้านขวา การแปลงนี้เทียบเท่า นี้แสดงโดยเครื่องหมาย

ลองทำการกระทำที่พีชคณิตกำหนด ลบ "1" ในอสมการแรกและ "2" ในอสมการที่สอง

3. การแก้ความไม่เท่าเทียมกันโดยวิธีช่วงเวลา

1) มาแนะนำฟังก์ชั่นกัน เราจำเป็นต้องรู้ว่าเมื่อใดที่ฟังก์ชันนี้มีค่าน้อยกว่า 0

2) ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน: ตัวส่วนไม่ควรเป็น 0 "2" คือจุดพัก สำหรับ x=2 ฟังก์ชันไม่มีกำหนด

3) ค้นหารากของฟังก์ชัน ฟังก์ชันคือ 0 ถ้าตัวเศษเป็น 0

ค่าที่ตั้งไว้จะแบ่งแกนตัวเลขออกเป็นสามช่วง ซึ่งเป็นช่วงของค่าคงที่ ในแต่ละช่วงเวลา ฟังก์ชันจะคงเครื่องหมายไว้ ให้เรากำหนดเครื่องหมายในช่วงแรก แทนค่าบางอย่าง ตัวอย่างเช่น 100 เป็นที่ชัดเจนว่าทั้งตัวเศษและตัวส่วนมีค่ามากกว่า 0 ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนทั้งหมดเป็นบวก

ให้เรากำหนดสัญญาณในช่วงเวลาที่เหลือ เมื่อผ่านจุด x=2 เฉพาะตัวส่วนเท่านั้นที่เปลี่ยนเครื่องหมาย ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนทั้งหมดจะเปลี่ยนเครื่องหมายและจะเป็นลบ ลองทำการสนทนาที่คล้ายกัน เมื่อผ่านจุด x=-3 เฉพาะตัวเศษเท่านั้นที่เปลี่ยนเครื่องหมาย ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนจะเปลี่ยนเครื่องหมายและเป็นบวก

เราเลือกช่วงเวลาที่สอดคล้องกับเงื่อนไขความไม่เท่าเทียมกัน แรเงาแล้วเขียนเป็นความไม่เท่าเทียมกัน

4. การแก้ความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้อสมการกำลังสอง

ข้อเท็จจริงที่สำคัญ

เมื่อเปรียบเทียบกับ 0 (ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด) เศษส่วนสามารถแทนที่ด้วยผลคูณของตัวเศษและตัวส่วน หรือตัวเศษหรือตัวส่วนสามารถสลับกันได้

ที่เป็นเช่นนี้เพราะความไม่เท่าเทียมกันทั้งสามมีเงื่อนไขว่า u และ v สัญญาณที่แตกต่างกัน. ความไม่เท่าเทียมกันทั้งสามนี้มีค่าเท่ากัน

เราใช้ข้อเท็จจริงนี้และแทนที่อสมการเศษส่วน-ตรรกยะด้วยกำลังสอง

ลองแก้อสมการกำลังสองกัน

มาแนะนำ ฟังก์ชันกำลังสอง. มาหารากเหง้าและสร้างภาพร่างของกราฟกัน

ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจึงขึ้น ภายในช่วงของรูท ฟังก์ชันจะคงเครื่องหมายไว้ เธอเป็นลบ

นอกช่วงรูต ฟังก์ชันจะเป็นบวก

วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแรก:

5. การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

มาแนะนำฟังก์ชัน:

ให้เราหาช่วงความคงตัวของมัน:

ในการทำเช่นนี้ เราจะหารากและจุดที่ไม่ต่อเนื่องของโดเมนของฟังก์ชัน เราตัดจุดพักออกเสมอ (x \u003d 3/2) เราตัดรากออกโดยขึ้นอยู่กับเครื่องหมายอสมการ ความไม่เท่าเทียมกันของเรานั้นเข้มงวด ดังนั้นเราจึงตัดรากออก

มาวางป้ายกัน:

มาเขียนวิธีแก้ปัญหากัน:

มาจบการแก้ปัญหาของระบบกัน ให้เราหาจุดตัดของเซตของคำตอบของอสมการแรกกับเซตของคำตอบของอสมการที่สอง

การแก้ระบบอสมการหมายถึงการหาจุดตัดของเซตของคำตอบของอสมการที่หนึ่งและเซตของคำตอบของอสมการที่สอง ดังนั้นเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่หนึ่งและที่สองแยกจากกัน จำเป็นต้องเขียนผลลัพธ์ที่ได้ลงในระบบเดียว

ให้เราอธิบายคำตอบของอสมการแรกบนแกน x

>>คณิตศาสตร์: ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผล

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลกับตัวแปรหนึ่งตัว x คือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ - นิพจน์ตรรกยะ เช่น นิพจน์พีชคณิตซึ่งประกอบด้วยตัวเลขและตัวแปร x โดยใช้การดำเนินการบวก ลบ คูณ หาร และยกกำลังตามธรรมชาติ แน่นอน ตัวแปรสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรอื่น ๆ ได้ แต่ในทางคณิตศาสตร์ ตัวอักษร x มักนิยมใช้มากกว่า

จะใช้กฎสามข้อที่ได้กำหนดไว้ข้างต้นใน § 1 เมื่อใช้กฎเหล่านี้ ความไม่เท่าเทียมกันของตรรกยะจะถูกแปลงเป็นรูปแบบ / (x) > 0 โดยที่ / (x) เป็นพีชคณิต เศษส่วน (หรือพหุนาม) ต่อไป แยกตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน f (x) เป็นตัวประกอบของรูปแบบ x - a (แน่นอน เป็นไปได้) และใช้วิธีการแบบช่วงเวลาซึ่งเราได้กล่าวไปแล้วข้างต้น (ดูตัวอย่างที่ 3 ก่อนหน้านี้ วรรค)

ตัวอย่าง 1แก้ความไม่เท่าเทียมกัน (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0

วิธีการแก้.พิจารณานิพจน์ f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2)

เปลี่ยนเป็น 0 ที่จุด 1,-1,2; ทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวน เส้นตัวเลขถูกแบ่งโดยจุดที่ระบุเป็นสี่ช่วง (รูปที่ 6) ซึ่งแต่ละนิพจน์ f (x) ยังคงเป็นเครื่องหมายคงที่ เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ เราจะดำเนินการสี่อาร์กิวเมนต์ (สำหรับแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้แยกกัน)

ใช้จุด x ใดๆ จากช่วง (2 จุดนี้จะอยู่บนเส้นจำนวนทางด้านขวาของจุด -1 ทางด้านขวาของจุดที่ 1 และทางด้านขวาของจุดที่ 2 ซึ่งหมายความว่า x> -1, x> 1, x> 2 (รูปที่ 7) แต่จากนั้น x-1>0, x+1>0, x - 2> 0 และด้วยเหตุนี้ f (x)> 0 (เป็นผลคูณของอสมการตรรกยะของสามบวก จำนวน).ดังนั้น อสมการ f (x ) > 0.

หาจุด x ใดๆ จากช่วง (1,2) จุดนี้ตั้งอยู่บนเส้นจำนวนทางด้านขวาของจุดที่ -1 ทางด้านขวาของจุดที่ 1 แต่อยู่ทางด้านซ้ายของจุดที่ 2 ดังนั้น x\u003e -1, x\u003e 1 แต่ x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

หาจุด x ใดๆ จากช่วง (-1,1) จุดนี้อยู่บนเส้นจำนวนทางด้านขวาของจุด -1 ทางด้านซ้ายของจุดที่ 1 และด้านซ้ายของจุดที่ 2 ดังนั้น x > -1 แต่ x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (เป็นผลคูณของจำนวนลบสองตัวและจำนวนบวกหนึ่งตัว) ดังนั้นในช่วงเวลา (-1,1) ความไม่เท่าเทียมกัน f (x)> 0 จะคงอยู่

สุดท้าย หาจุด x ใดๆ จากรังสีเอกซ์ (-oo, -1) จุดนี้อยู่บนเส้นจำนวนทางด้านซ้ายของจุด -1 ทางด้านซ้ายของจุดที่ 1 และทางด้านซ้ายของจุดที่ 2 ซึ่งหมายความว่า x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

มาสรุปกัน เครื่องหมายของนิพจน์ f (x) ในช่วงเวลาที่เลือกดังแสดงในรูปที่ 11. เราสนใจสิ่งเหล่านั้นที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกัน f (x) > 0 โดยใช้แบบจำลองทางเรขาคณิตที่แสดงในรูปที่ 11 เรากำหนดว่าความไม่เท่าเทียมกัน f (x) > 0 เป็นไปตามช่วงเวลา (-1, 1) หรือบนลำแสงเปิด
ตอบ: -1 < х < 1; х > 2.

ตัวอย่าง 2แก้ความไม่เท่าเทียมกัน
วิธีการแก้.ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราจะดึงข้อมูลที่จำเป็นจากรูปที่ 11 แต่มีการเปลี่ยนแปลงสองอย่างเมื่อเทียบกับตัวอย่างที่ 1 ประการแรกเนื่องจากเราสนใจว่าค่าของ x ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันของ f(x) อย่างไร< 0, нам придется выбрать промежутки ประการที่สอง เรายังพอใจกับจุดที่ได้รับความเท่าเทียมกัน f (x) = 0 นี่คือจุด -1, 1, 2 เราทำเครื่องหมายไว้ในภาพด้วยความหมองคล้ำและรวมไว้ในคำตอบ ในรูป 12 แสดงแบบจำลองทางเรขาคณิตของการตอบสนอง ซึ่งไม่ยากที่จะย้ายไปยังบันทึกการวิเคราะห์
ตอบ:
ตัวอย่างที่ 3แก้ความไม่เท่าเทียมกัน
วิธีการแก้. ให้เราแยกตัวประกอบตัวเศษและตัวหารของเศษส่วนพีชคณิต fx ทางด้านซ้ายของอสมการ ในตัวเศษเรามี x 2 - x \u003d x (x - 1)

ในการแยกตัวประกอบกำลังสองกำลังสอง x 2 - bx ~ 6 ที่มีอยู่ในตัวส่วนของเศษส่วน เราหารากของมัน จากสมการ x 2 - 5x - 6 \u003d 0 เราพบ x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6 ดังนั้น (เราใช้สูตรในการแยกตัวประกอบกำลังสองไตรนาม: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2))
ดังนั้นเราจึงแปลงความไม่เท่าเทียมกันให้อยู่ในรูป

พิจารณานิพจน์:

ตัวเศษของเศษส่วนนี้เปลี่ยนเป็น 0 ที่จุด 0 และ 1 และเปลี่ยนเป็น 0 ที่จุด -1 และ 6 มาทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวน (รูปที่ 13) เส้นตัวเลขถูกหารด้วยจุดที่ระบุเป็นห้าช่วง และในแต่ละช่วง นิพจน์ fx) จะคงเครื่องหมายคงที่ไว้ การโต้เถียงในลักษณะเดียวกับในตัวอย่างที่ 1 เราได้ข้อสรุปว่าสัญญาณของนิพจน์ fx) ในช่วงเวลาที่เลือกดังแสดงในรูปที่ 13. เราสนใจว่า f (x) ที่ไม่เท่ากัน< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 คำตอบ: -1

ตัวอย่างที่ 4แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

วิธีการแก้.เมื่อแก้สมการเชิงเหตุผล ตามกฎแล้ว พวกเขาต้องการปล่อยให้เหลือเพียงเลข 0 ทางด้านขวาของอสมการ ดังนั้น เราแปลงอสมการเป็นรูปแบบ

ไกลออกไป:

จากประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าถ้าด้านขวาของอสมการมีเฉพาะตัวเลข 0 จะสะดวกกว่าที่จะให้เหตุผลเมื่อทั้งตัวเศษและตัวส่วนทางด้านซ้ายมีสัมประสิทธิ์นำเป็นบวก แล้วเรามีอะไรบ้าง เรามีทุกอย่างใน ตัวส่วนของเศษส่วนในแง่นี้ตามลำดับ (สัมประสิทธิ์สูงสุดคือสัมประสิทธิ์ที่ x 2 คือ 6 - จำนวนบวก) แต่ไม่ใช่ทุกอย่างตามลำดับในตัวเศษ - สัมประสิทธิ์นำหน้า (สัมประสิทธิ์ที่ x) คือ -4 ( ตัวเลขติดลบ). การคูณอสมการทั้งสองส่วนด้วย -1 และเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการเป็นตรงกันข้าม เราจะได้อสมการที่เทียบเท่ากับมัน

ลองแยกตัวประกอบตัวเศษและตัวหารของเศษส่วนพีชคณิต ในตัวเศษทุกอย่างง่าย:
การแยกตัวประกอบของไตรนามกำลังสองที่มีอยู่ในตัวส่วนของเศษส่วน

(เราใช้สูตรสำหรับการแยกตัวประกอบกำลังสองไตรโนเมียลอีกครั้ง)
ดังนั้นเราจึงลดความไม่เท่ากันในรูป

พิจารณานิพจน์

ตัวเศษของเศษส่วนนี้เปลี่ยนเป็น 0 ที่จุดและตัวส่วน - ที่จุด เราสังเกตจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวน (รูปที่ 14) ซึ่งหารด้วยจุดที่ระบุเป็นสี่ช่วง และในแต่ละช่วง นิพจน์ f (x) คงเครื่องหมายคงที่ (สัญญาณเหล่านี้แสดงในรูปที่ 14) เรามีความสนใจในช่วงเวลาเหล่านั้นซึ่งความไม่เท่าเทียมกันfx< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

ในตัวอย่างทั้งหมดที่พิจารณา เราแปลงความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดให้เป็นความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ f (x) > 0 หรือ f (x)<0,где
ในกรณีนี้ จำนวนตัวประกอบในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนสามารถเป็นเท่าใดก็ได้ จากนั้นจุด a, b, c, e ถูกทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน และกำหนดเครื่องหมายของนิพจน์ f (x) ในช่วงเวลาที่เลือก เราสังเกตว่าทางด้านขวาสุดของช่วงเวลาที่เลือก ความไม่เท่าเทียมกัน f (x) > 0 เป็นที่พอใจ จากนั้นเครื่องหมายของนิพจน์ f (x) จะสลับกันตามช่วงเวลา (ดูรูปที่ 16a) การสลับนี้แสดงให้เห็นอย่างสะดวกด้วยความช่วยเหลือของเส้นโค้งคลื่น ซึ่งลากจากขวาไปซ้ายและจากบนลงล่าง (รูปที่ 166) ในช่วงเวลาเหล่านั้นที่เส้นโค้งนี้ (บางครั้งเรียกว่าเส้นโค้งของเครื่องหมาย) อยู่เหนือแกน x จะเกิดความไม่เท่าเทียมกัน f (x) > 0 โดยที่เส้นโค้งนี้อยู่ใต้แกน x ความไม่เท่าเทียมกันของ f (x)< 0.

ตัวอย่างที่ 5แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

วิธีการแก้.เรามี

(ทั้งสองส่วนของอสมการก่อนหน้านี้คูณด้วย 6)
หากต้องการใช้วิธีเว้นช่วง ให้ทำเครื่องหมายจุดบนเส้นจำนวน (ที่จุดเหล่านี้ ตัวเศษของเศษส่วนที่อยู่ทางด้านซ้ายของอสมการจะหายไป) และจุด (ที่จุดเหล่านี้ ตัวส่วนของเศษส่วนที่ระบุจะหายไป) โดยปกติ คะแนนจะถูกทำเครื่องหมายเป็นแผนผัง โดยคำนึงถึงลำดับที่พวกเขาปฏิบัติตาม (ซึ่งอยู่ทางขวา ซึ่งอยู่ทางซ้าย) และไม่ได้ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับมาตราส่วน เป็นที่ชัดเจนว่า สถานการณ์มีความซับซ้อนมากขึ้นกับตัวเลข การประมาณการครั้งแรกแสดงให้เห็นว่าตัวเลขทั้งสองมีขนาดใหญ่กว่า 2.6 เล็กน้อย ซึ่งไม่สามารถสรุปได้ว่าตัวเลขใดมีขนาดใหญ่กว่าและน้อยกว่า สมมุติ (สุ่ม) ว่า แล้ว
มันกลับกลายเป็นความไม่เท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าการคาดเดาของเราได้รับการยืนยันแล้ว: อันที่จริง
ดังนั้น,

เราทำเครื่องหมาย 5 จุดที่ระบุในลำดับที่ระบุบนเส้นจำนวน (รูปที่ 17a) จัดเรียงสัญญาณของนิพจน์
ตามช่วงเวลาที่ได้รับ: ทางด้านขวาสุด - เครื่องหมาย + แล้วสัญญาณจะสลับกัน (รูปที่ 176) ให้เราวาดเส้นโค้งของสัญญาณและเลือก (โดยการแรเงา) ช่วงเวลาที่มีความไม่เท่าเทียมกัน f (x) > 0 ที่เราสนใจ (รูปที่ 17c) สุดท้าย เราคำนึงว่าเรากำลังพูดถึงความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวด f (x) > 0 ซึ่งหมายความว่าเราสนใจจุดที่นิพจน์ f (x) หายไปด้วย นี่คือรากของตัวเศษของเศษส่วน f (x) เช่น คะแนน เราทำเครื่องหมายไว้ในรูปที่ 17 ในความมืดมิด (และแน่นอนรวมอยู่ในคำตอบ) ตอนนี้นี่คือรูป 17c ให้แบบจำลองทางเรขาคณิตที่สมบูรณ์สำหรับการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนด

วิธีการเว้นวรรค- นี่เป็นวิธีสากลในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเกือบทั้งหมดที่เกิดขึ้นในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน มันขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชั่นดังต่อไปนี้:

1. ฟังก์ชันต่อเนื่อง g(x) สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้เฉพาะที่จุดที่เท่ากับ 0 เท่านั้น ในทางกราฟิก หมายความว่ากราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถเคลื่อนที่จากระนาบครึ่งหนึ่งไปยังอีกระนาบหนึ่งได้ก็ต่อเมื่อตัดผ่าน x- แกน (เราจำได้ว่าพิกัดของจุดใดๆ ที่วางอยู่บนแกน OX (แกน abscissa) เท่ากับศูนย์ นั่นคือ ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้คือ 0):

เราจะเห็นว่าฟังก์ชัน y=g(x) ที่แสดงบนกราฟตัดกับแกน OX ที่จุด x= -8, x=-2, x=4, x=8 จุดเหล่านี้เรียกว่าศูนย์ของฟังก์ชัน และในขณะเดียวกัน ฟังก์ชัน g(x) จะเปลี่ยนเครื่องหมาย

2. ฟังก์ชั่นนี้ยังสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นศูนย์ของตัวส่วนได้ - ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคุณสมบัติที่รู้จักกันดี:

เราจะเห็นว่าฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมายที่รูทของตัวส่วน ณ จุดนั้น แต่จะไม่หายไปเมื่อใดก็ตาม ดังนั้น ถ้าฟังก์ชันประกอบด้วยเศษส่วน ก็สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในรากของตัวส่วนได้

2. อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันไม่ได้เปลี่ยนเครื่องหมายที่รูทของตัวเศษหรือที่รูทของตัวส่วนเสมอไป ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=x 2 ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายที่จุด x=0:

เพราะ สมการ x 2 \u003d 0 มีสองรากที่เท่ากัน x \u003d 0, ที่จุด x \u003d 0 ฟังก์ชันเหมือนเดิมจะเปลี่ยนเป็น 0 สองครั้ง รูตดังกล่าวเรียกว่ารูทของการทวีคูณที่สอง

การทำงาน เปลี่ยนเครื่องหมายที่ศูนย์ของตัวเศษ แต่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายที่ศูนย์ของตัวส่วน: เนื่องจาก root เป็นรูทของหลายหลากที่สอง นั่นคือ ของหลายหลากคู่:

สำคัญ! ที่รากของความหลายหลากเท่าๆ กัน ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย

บันทึก! ใดๆ ไม่เชิงเส้นความไม่เท่าเทียมกันของหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีการของช่วงเวลา

ฉันเสนอรายละเอียดให้คุณซึ่งคุณสามารถหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดได้เมื่อ ตัดสินใจไม่ได้ ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น .

1. ก่อนอื่นคุณต้องนำความไม่เท่าเทียมกันมาสู่รูปแบบ

พี(x)V0,

โดยที่ V คือเครื่องหมายอสมการ:<,>, ≤ หรือ ≥ สำหรับสิ่งนี้คุณต้อง:

ก) ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางด้านซ้ายของอสมการ

b) ค้นหารากของนิพจน์ผลลัพธ์

c) แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของอสมการ

d) เขียนปัจจัยเดียวกันเป็นดีกรี

ความสนใจ!การกระทำสุดท้ายจะต้องทำเพื่อไม่ให้เกิดข้อผิดพลาดกับการทวีคูณของราก - หากผลลัพธ์เป็นตัวคูณในระดับที่เท่ากัน รูทที่สอดคล้องกันจะมีทวีคูณที่เท่ากัน

2. ใส่รากที่พบบนเส้นจำนวน

3. หากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด วงกลมที่แสดงถึงรากบนแกนตัวเลขจะ "ว่างเปล่า" หากความไม่เท่าเทียมกันนั้นไม่เข้มงวด วงกลมจะถูกทาสีทับ

4. เราเลือกรากของความหลายหลาก - ในนั้น พี(x)เครื่องหมายไม่เปลี่ยนแปลง

5. กำหนดเครื่องหมาย พี(x)ทางด้านขวาของช่องว่าง เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้ค่าที่กำหนดเอง x 0 ซึ่งมากกว่ารูทที่ใหญ่ที่สุดและแทนที่ด้วย พี(x).

ถ้า P(x 0)>0 (หรือ ≥0) ให้ใส่เครื่องหมาย "+" ในช่องขวาสุด

ถ้า P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

เมื่อผ่านจุดที่แสดงถึงรากของหลายหลาก เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนแปลง

7. อีกครั้งที่เราดูเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม และเลือกช่วงเวลาของเครื่องหมายที่เราต้องการ

8. โปรดทราบ! หากความไม่เท่าเทียมกันของเราไม่เข้มงวด เราจะตรวจสอบเงื่อนไขของความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์แยกกัน

9. เขียนคำตอบ

หากเป็นต้นฉบับ ความไม่เท่าเทียมกันมีสิ่งที่ไม่รู้จักในตัวส่วนจากนั้นเราก็โอนเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้ายและลดด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันลงในแบบฟอร์ม

(โดยที่ V คือเครื่องหมายอสมการ:< или >)

ความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดของประเภทนี้เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน

ไม่เข้มงวดความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ

เท่ากับ ระบบ:

ในทางปฏิบัติ หากฟังก์ชันมีรูปแบบ เราจะดำเนินการดังนี้:

1. หารากของตัวเศษและตัวส่วน
2. เราวางไว้บนแกน วงกลมทั้งหมดเว้นว่างไว้ จากนั้น หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด เราจะทาสีทับรากของตัวเศษ และปล่อยให้รากของตัวส่วนว่างเสมอ
3. ต่อไป เราทำตามอัลกอริทึมทั่วไป:
4. เราเลือกรากของหลายหลากคู่ (หากตัวเศษและตัวส่วนมีรากเดียวกัน เราจะนับจำนวนครั้งที่รากเดียวกันเกิดขึ้น) ไม่มีการเปลี่ยนแปลงของเครื่องหมายในรากของหลายหลากแม้แต่
5. เราพบเครื่องหมายบนช่วงขวาสุด
6. เราติดป้าย.
7. ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เคร่งครัด เงื่อนไขของความเท่าเทียมกัน เงื่อนไขของความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์ จะถูกตรวจสอบแยกกัน
8. เราเลือกช่วงเวลาที่จำเป็นและรากที่ยืนแยกกัน
9. เราเขียนคำตอบ

เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น อัลกอริทึมสำหรับการแก้ความไม่เท่าเทียมกันโดยวิธีช่วงเวลา, ดูวิดีโอบทเรียนซึ่งมีการวิเคราะห์ตัวอย่างอย่างละเอียด การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันโดยวิธีช่วงเวลา.

เรายังคงวิเคราะห์วิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่มีตัวแปรเดียวในองค์ประกอบ เราได้ศึกษาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นและกำลังสอง ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นเหตุเป็นผล ในบทความนี้ เราจะอธิบายให้ชัดเจนว่าความไม่เท่าเทียมกันประเภทใดที่เป็นตรรกยะ เราจะบอกคุณว่าประเภทใดบ้างที่แบ่งออกเป็น (จำนวนเต็มและเศษส่วน) หลังจากนั้นเราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาอย่างถูกต้อง ให้อัลกอริธึมที่จำเป็น และวิเคราะห์ปัญหาเฉพาะ

Yandex.RTB R-A-339285-1

แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมที่มีเหตุผล

เมื่อมีการศึกษาหัวข้อการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่โรงเรียน พวกเขาจะนำความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผลมาใช้ทันที พวกเขาได้รับและฝึกฝนทักษะในการทำงานกับการแสดงออกประเภทนี้ ให้เรากำหนดคำจำกัดความของแนวคิดนี้:

คำจำกัดความ 1

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลคือความไม่เท่าเทียมกันกับตัวแปรที่มีนิพจน์ตรรกยะในทั้งสองส่วน

โปรดทราบว่าคำจำกัดความนี้ไม่มีผลกับจำนวนตัวแปรแต่อย่างใด ซึ่งหมายความว่าอาจมีตัวแปรจำนวนมากตามอำเภอใจ ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลกับตัวแปร 1, 2, 3 หรือมากกว่าจึงเป็นไปได้ บ่อยครั้งที่เราต้องจัดการกับนิพจน์ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว น้อยกว่าสองตัวแปร และความไม่เท่าเทียมกันกับตัวแปรจำนวนมากมักจะไม่พิจารณาเลยภายในกรอบของหลักสูตรของโรงเรียน

ดังนั้น เราสามารถเรียนรู้ความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผลโดยดูจากสัญกรณ์ ทั้งทางด้านขวาและด้านซ้ายควรมีนิพจน์ที่มีเหตุผล นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

และนี่คือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

อสมการเหตุผลทั้งหมดแบ่งออกเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน

คำจำกัดความ 2

ความเท่าเทียมกันเชิงตรรกยะของจำนวนเต็มประกอบด้วยนิพจน์ตรรกยะจำนวนเต็ม (ในทั้งสองส่วน)

คำจำกัดความ 3

เศษส่วนความเสมอภาคที่มีเหตุผล- นี่คือความเท่าเทียมกันที่มีนิพจน์เศษส่วนในส่วนใดส่วนหนึ่งหรือทั้งสองส่วน

ตัวอย่างเช่น ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 และ 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 คือ เศษส่วนตรรกยะและ 0 .5 x ≤ 3 (2 - 5 ปี)และ 1: x + 3 > 0- ทั้งหมด.

เราได้วิเคราะห์ความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผลและระบุประเภทหลัก เราสามารถไปยังภาพรวมของวิธีแก้ปัญหาได้

สมมุติว่าเราต้องหาคำตอบของอสมการจำนวนเต็มที่เป็นเหตุเป็นผล ร(x)< s (x) ซึ่งประกอบด้วยตัวแปร x เพียงตัวเดียว โดยที่ ร(x)และ ส(x)เป็นทั้งหมด สรุปตัวเลขหรือนิพจน์และเครื่องหมายอสมการอาจแตกต่างกัน เพื่อแก้ปัญหานี้ เราต้องแปลงมันและรับความเท่าเทียมกันที่เท่าเทียมกัน

เริ่มต้นด้วยการย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้าย เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

ของรูปแบบ r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

เรารู้ว่า r(x) − s(x)จะเป็นค่าจำนวนเต็ม และนิพจน์จำนวนเต็มใดๆ สามารถแปลงเป็นพหุนามได้ มาแปลงร่างกันเถอะ r(x) − s(x)ใน ชั่วโมง(x) . นิพจน์นี้จะเป็นพหุนามที่เท่ากันทุกประการ เมื่อพิจารณาว่า r (x) − s (x) และ h (x) มีพิสัยของค่า x ที่เป็นไปได้เท่ากัน เราสามารถส่งต่อไปยังอสมการ h (x)< 0 (≤ , >, ≥) ซึ่งจะเท่ากับของเดิม

บ่อยครั้งการแปลงแบบง่ายๆ ดังกล่าวจะเพียงพอที่จะแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน เนื่องจากผลลัพธ์อาจเป็นอสมการเชิงเส้นหรือกำลังสอง ซึ่งค่านั้นคำนวณได้ไม่ยาก ลองมาดูประเด็นเหล่านี้กัน

ตัวอย่าง 1

สภาพ:แก้อสมการจำนวนเต็มตรรกยะ x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

วิธีการแก้

เริ่มต้นด้วยการย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปด้านซ้ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

ตอนนี้เราได้ดำเนินการทั้งหมดที่มีพหุนามทางซ้ายเสร็จแล้ว เราก็ไปยังอสมการเชิงเส้นได้ 3 x − 2 ≤ 0เทียบเท่ากับสิ่งที่ได้รับในสภาพ การแก้ปัญหาเป็นเรื่องง่าย:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

ตอบ: x ≤ 2 3 .

ตัวอย่าง 2

สภาพ:หาทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

วิธีการแก้

เราถ่ายโอนนิพจน์จากด้านซ้ายไปด้านขวา และทำการแปลงเพิ่มเติมโดยใช้สูตรคูณแบบย่อ

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

จากการแปลงค่าของเรา เราได้ค่าความไม่เท่าเทียมกันที่จะเป็นจริงสำหรับค่า x ใดๆ ดังนั้น จำนวนจริงใดๆ ก็สามารถเป็นคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมได้

ตอบ:จำนวนจริงใดๆ

ตัวอย่างที่ 3

สภาพ:แก้ความไม่เท่าเทียมกัน x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

วิธีการแก้

เราจะไม่โอนอะไรจากด้านขวาเนื่องจากมี 0 . เริ่มกันเลยโดยการแปลงด้านซ้ายเป็นพหุนาม:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

เราได้รับอสมการกำลังสองที่เทียบเท่ากับอสมการดั้งเดิม ซึ่งสามารถแก้ไขได้ง่ายหลายวิธี ลองใช้วิธีการแบบกราฟิก

มาเริ่มด้วยการคำนวณรากของไตรนามกำลังสองกัน − 2 x 2 + 11 x + 6:

D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, 5, x 2 \ u003d 6

ตอนนี้ในไดอะแกรมเราทำเครื่องหมายศูนย์ที่จำเป็นทั้งหมด เนื่องจากสัมประสิทธิ์นำหน้ามีค่าน้อยกว่าศูนย์ กิ่งก้านของพาราโบลาบนกราฟจะมองลงมาด้านล่าง

เราต้องการพื้นที่พาราโบลาที่อยู่เหนือแกน abscissa เนื่องจากเรามีเครื่องหมาย > ในความไม่เท่าเทียมกัน ช่วงเวลาที่ต้องการคือ (− 0 , 5 , 6) ดังนั้นช่วงของค่านี้จึงเป็นคำตอบที่เราต้องการ

ตอบ: (− 0 , 5 , 6) .

นอกจากนี้ยังมีกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น เมื่อทางซ้ายเราได้พหุนามของตัวที่สามหรือมากกว่า ระดับสูง. เพื่อแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว ขอแนะนำให้ใช้วิธีช่วงเวลา ก่อนอื่นเราคำนวณรากทั้งหมดของพหุนาม ชั่วโมง(x)ซึ่งส่วนใหญ่มักจะทำโดยการแยกตัวประกอบพหุนาม

ตัวอย่างที่ 4

สภาพ:คำนวณ (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .

วิธีการแก้

มาเริ่มกันเช่นเคยโดยการย้ายนิพจน์ไปทางซ้ายหลังจากนั้นจะต้องเปิดวงเล็บและลดคำที่คล้ายกัน

(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

ผลลัพธ์ของการแปลง เราได้ค่าเท่ากันกับค่าเดิม ทางซ้ายมีพหุนามของดีกรีที่สาม เราใช้วิธีการแบบช่วงเวลาเพื่อแก้ปัญหา

อันดับแรก เราคำนวณรากของพหุนาม ซึ่งเราต้องแก้สมการลูกบาศก์ x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. มันมีรากที่มีเหตุผลหรือไม่? พวกเขาสามารถเป็นหนึ่งในตัวหารของเทอมอิสระเท่านั้นเช่น ระหว่างตัวเลข ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 เราแทนที่พวกมันด้วยสมการดั้งเดิมและพบว่าตัวเลข 1, 2 และ 3 จะเป็นรากของมัน

ดังนั้นพหุนาม x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6สามารถอธิบายเป็นสินค้าได้ (x − 1) (x − 2) (x − 3)และความไม่เท่าเทียมกัน x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 สามารถนำเสนอเป็น (x − 1) (x − 2) (x − 3)< 0 . ด้วยความไม่เท่าเทียมกันเช่นนี้ เราจะกำหนดเครื่องหมายบนช่วงเวลาได้ง่ายขึ้น

ต่อไป เราทำตามขั้นตอนที่เหลือของวิธีช่วงเวลา: วาดเส้นจำนวนและชี้บนมันด้วยพิกัด 1 , 2 , 3 . พวกเขาแบ่งเส้นตรงออกเป็น 4 ช่วงซึ่งจำเป็นต้องกำหนดสัญญาณ เราแรเงาช่องว่างด้วยเครื่องหมายลบ เนื่องจากอสมการเดิมมีเครื่องหมาย < .

เราต้องเขียนคำตอบพร้อมเท่านั้น: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​​​.

ตอบ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

ในบางกรณี ให้ดำเนินการเปลี่ยนจากความไม่เท่าเทียมกัน r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) ถึง h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , โดยที่ ชั่วโมง(x)– พหุนามที่มากกว่า 2 ไม่เหมาะสม สิ่งนี้ขยายไปถึงกรณีที่ง่ายกว่าในการแสดง r(x) − s(x) เป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้นและสแควร์ไตรโนเมียล มากกว่าการแยกตัวประกอบ h(x) ออกเป็นปัจจัยแยกกัน ลองมาดูที่ปัญหานี้

ตัวอย่างที่ 5

สภาพ:หาทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

วิธีการแก้

ความไม่เท่าเทียมกันนี้ใช้กับจำนวนเต็ม ถ้าเราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้าย เปิดวงเล็บและดำเนินการลดเงื่อนไข เราจะได้ x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0

การแก้อสมการนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากคุณต้องมองหารากของพหุนามดีกรีสี่ ไม่มีรากที่มีเหตุผล (เช่น 1 , − 1 , 19 หรือ − 19 ไม่พอดี) และเป็นการยากที่จะหารากอื่น เราจึงใช้วิธีนี้ไม่ได้

แต่มีวิธีแก้ปัญหาอื่นเช่นกัน หากเราโอนนิพจน์จากด้านขวาของอสมการดั้งเดิมไปทางด้านซ้าย เราจะทำการถ่ายคร่อมปัจจัยร่วม x 2 − 2 x − 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่เทียบเท่ากับของเดิม และการแก้ปัญหาจะให้คำตอบที่ต้องการแก่เรา ค้นหาศูนย์ของนิพจน์ทางด้านซ้ายซึ่งเราตัดสินใจ สมการกำลังสอง x 2 − 2 x − 1 = 0และ x 2 − 2 x − 19 = 0. รากของมันคือ 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . เราเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกัน x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยวิธีช่วงเวลา:

ตามภาพ คำตอบคือ - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

ตอบ: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

เราเสริมว่าบางครั้งมันก็เป็นไปไม่ได้ที่จะหารากของพหุนามทั้งหมด ชั่วโมง(x)ดังนั้นเราจึงไม่สามารถแสดงเป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้นและไตรโนเมียลกำลังสองได้ จากนั้นแก้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ h (x)< 0 (≤ , >, ≥) เราไม่สามารถ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ความไม่เท่าเทียมกันของตรรกยะเดิม

สมมติว่าเราต้องแก้อสมการเศษส่วนของรูปแบบ r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) , โดยที่ r (x) และ ส(x)เป็นนิพจน์ตรรกยะ x เป็นตัวแปร นิพจน์ที่ระบุอย่างน้อยหนึ่งรายการจะเป็นเศษส่วน อัลกอริทึมการแก้ปัญหาในกรณีนี้จะเป็นดังนี้:

1. เรากำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับตัวแปร x .
2. เราโอนนิพจน์จากด้านขวาของอสมการไปทางซ้ายและนิพจน์ผลลัพธ์ r(x) − s(x)แสดงเป็นเศษส่วน ในขณะเดียวกันที่ พี(x)และ คิว(x)จะเป็นนิพจน์จำนวนเต็มที่เป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้น, ไตรโนเมียลกำลังสองที่แยกไม่ออกได้ เช่นเดียวกับกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ
3. ต่อไป เราจะแก้ความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นโดยวิธีช่วงเวลา
4. ขั้นตอนสุดท้ายคือการแยกคะแนนที่ได้รับระหว่างการแก้ปัญหาออกจากช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับตัวแปร x ที่เรากำหนดไว้ที่จุดเริ่มต้น

นี่คืออัลกอริธึมสำหรับการแก้อสมการเศษส่วน ส่วนใหญ่มีความชัดเจนคำอธิบายเล็ก ๆ จำเป็นสำหรับวรรค 2 เท่านั้น เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้ายและได้รับ r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) แล้วทำอย่างไรจึงจะนำมาสู่รูปแบบ p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

อันดับแรก เราพิจารณาว่าการเปลี่ยนแปลงที่กำหนดสามารถทำได้ตลอดเวลาหรือไม่ ในทางทฤษฎี มีความเป็นไปได้เช่นนั้นเสมอ เนื่องจากนิพจน์ตรรกยะใดๆ สามารถแปลงเป็นเศษส่วนตรรกยะได้ เรามีเศษส่วนที่มีพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน จำทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตและทฤษฎีบทของเบโซต์ และพิจารณาว่าพหุนามใดๆ ของดีกรีที่ n ที่มีตัวแปรเดียวสามารถเปลี่ยนเป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้นได้ ดังนั้น ตามทฤษฎีแล้ว เราสามารถเปลี่ยนนิพจน์ด้วยวิธีนี้ได้เสมอ

ในทางปฏิบัติ พหุนามแฟคตอริ่งมักเป็นงานที่ค่อนข้างยาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าดีกรีสูงกว่า 4 หากเราไม่สามารถดำเนินการขยายได้ เราก็จะไม่สามารถแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้ แต่ปัญหาดังกล่าวมักจะไม่ได้รับการศึกษาภายในกรอบของหลักสูตรของโรงเรียน

ต่อไป เราต้องตัดสินใจว่าผลลัพธ์ที่ได้คือ p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) เทียบเท่ากับ r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) และแบบเดิม มีความเป็นไปได้ที่มันอาจจะกลายเป็นไม่เท่ากัน

ความเท่าเทียมกันของความไม่เท่าเทียมกันจะมั่นใจเมื่อช่วงของค่าที่ยอมรับได้ พี(x) คิว(x)ตรงกับช่วงของนิพจน์ r(x) − s(x). จากนั้นไม่จำเป็นต้องปฏิบัติตามย่อหน้าสุดท้ายของคำแนะนำในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลแบบเศษส่วน

แต่ช่วงสำหรับ พี(x) คิว(x)อาจกว้างกว่า r(x) − s(x)เช่น โดยการลดเศษส่วน ตัวอย่างจะไปจาก x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 เป็น x x - 1 x + 3 หรือสิ่งนี้อาจเกิดขึ้นได้เมื่อเพิ่มคำที่คล้ายกัน เช่น ที่นี่:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 ถึง 1 x + 3

สำหรับกรณีดังกล่าว ขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมจะถูกเพิ่มเข้าไป เมื่อดำเนินการ คุณจะกำจัดค่าที่ไม่เกี่ยวข้องของตัวแปรที่เกิดขึ้นเนื่องจากการขยายช่วงของค่าที่ถูกต้อง มาดูตัวอย่างกันเพื่อให้ชัดเจนขึ้นว่าเรากำลังพูดถึงอะไร

ตัวอย่างที่ 6

สภาพ:หาคำตอบของความเท่าเทียมเชิงเหตุผล x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1

วิธีการแก้

เราดำเนินการตามอัลกอริทึมที่ระบุข้างต้น ขั้นแรก เรากำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ในกรณีนี้จะกำหนดโดยระบบอสมการ x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 ซึ่งคำตอบคือเซต (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

หลังจากนั้นเราจำเป็นต้องแปลงมันเพื่อให้สะดวกต่อการใช้วิธีการแบบช่วงเวลา ก่อนอื่น เรานำเศษส่วนพีชคณิตมาเป็นตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด (x − 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

เรายุบนิพจน์ในตัวเศษโดยใช้สูตรของกำลังสองของผลรวม:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

ช่วงของค่าที่ถูกต้องของนิพจน์ผลลัพธ์คือ (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) เราเห็นว่ามีความคล้ายคลึงกับที่กำหนดไว้เพื่อความเท่าเทียมเดิม เราสรุปได้ว่าอสมการ x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 เท่ากับอสมการเดิม ซึ่งหมายความว่าเราไม่ต้องการขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึม

เราใช้วิธีการแบบช่วงเวลา:

เราเห็นวิธีแก้ปัญหา ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) ซึ่งจะเป็นคำตอบของอสมการตรรกยะเดิม x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

ตอบ: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

ตัวอย่าง 7

สภาพ:คำนวณวิธีแก้ปัญหา x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .

วิธีการแก้

เรากำหนดพื้นที่ของค่าที่ยอมรับได้ ในกรณีของอสมการนี้จะเท่ากับจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น − 2 , − 1 , 0 และ 1 .

เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้าย:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

จากผลลัพธ์เราเขียน:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

สำหรับนิพจน์ - 1 x - 1 ช่วงของค่าที่ถูกต้องจะเป็นชุดของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นหนึ่งค่า เราเห็นว่าช่วงของค่าขยาย: − 2 , − 1 และ 0 . ดังนั้น เราต้องดำเนินการขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึม

เนื่องจากเรามาถึงความไม่เท่าเทียมกัน - 1 x - 1 > 0 เราสามารถเขียนเทียบเท่าได้ 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

เราไม่รวมคะแนนที่ไม่รวมอยู่ในช่วงค่าที่ยอมรับได้ของความเท่าเทียมกันดั้งเดิม เราจำเป็นต้องแยกออกจาก (− ∞ , 1) ตัวเลข − 2 , − 1 และ 0 . ดังนั้น คำตอบของอสมการตรรกยะ x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 จะเป็นค่า (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

ตอบ: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

โดยสรุป เราได้ให้ตัวอย่างเพิ่มเติมของปัญหาซึ่งคำตอบสุดท้ายขึ้นอยู่กับช่วงของค่าที่ยอมรับได้

ตัวอย่างที่ 8

สภาพ:หาคำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0

วิธีการแก้

พื้นที่ของค่าที่ยอมรับได้ของความไม่เท่าเทียมกันที่ระบุในเงื่อนไขถูกกำหนดโดยระบบ x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.

ระบบนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเพราะ

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกันเดิม 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 ไม่มีคำตอบ เนื่องจากไม่มีค่าของตัวแปรที่จะสร้าง ความรู้สึก.

ตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ที่ การแก้อสมการเชิงเส้นมีเคล็ดลับใหญ่เพียงข้อเดียว: คุณต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันเมื่อหาร (หรือคูณ) อสมการด้วยจำนวนลบ การเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการหมายถึงการเปลี่ยนเครื่องหมาย "น้อยกว่า" เป็นเครื่องหมาย "มากกว่า" หรือในทางกลับกัน ในเวลาเดียวกัน เครื่องหมายบวกสำหรับเครื่องหมายลบ ซึ่งข้ามกฎทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาก่อนหน้านี้ ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนที่ใดๆ ถ้าเราหารหรือคูณอสมการด้วยจำนวนบวก เครื่องหมายอสมการก็ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยน มิฉะนั้น คำตอบของอสมการเชิงเส้นจะเหมือนกันทุกประการกับคำตอบของสมการเชิงเส้น

ในสมการเชิงเส้นและอสมการเหตุผลอื่นๆ ไม่ว่าในกรณีใด คุณควรคูณหรือหารส่วนด้านซ้ายหรือด้านขวาของอสมการด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร (ยกเว้นเมื่อนิพจน์นี้เป็นค่าบวกหรือค่าลบบนแกนตัวเลขทั้งหมด ในกรณีนี้ เมื่อ หารด้วยนิพจน์เชิงลบเสมอ เครื่องหมายอสมการต้องเปลี่ยน และเมื่อหารด้วยนิพจน์ที่เป็นบวกเสมอ เครื่องหมายอสมการจะต้องคงอยู่)

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:

ดำเนินการโดยใช้ วิธีช่วงเวลาซึ่งมีดังนี้

1. เราวาดเส้นพิกัดที่เราใส่ตัวเลขทั้งหมด ฉัน. ตัวเลขเหล่านี้เรียงจากน้อยไปหามากจะแบ่งเส้นพิกัดออกเป็น ( น+1) ช่วงความคงตัวของฟังก์ชัน ฉ(x).
2. ดังนั้น โดยการกำหนดเครื่องหมาย ฉ(x) ที่จุดใด ๆ ของแต่ละช่วงเวลา (โดยปกติจุดนี้จะถูกเลือกจากความสะดวกของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์) เราจะกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลา สิ่งสำคัญคืออย่าแทนที่ขอบเขตของช่วงเวลาในฟังก์ชัน
3. เราเขียนตามช่วงเวลาเหล่านั้นทั้งหมดซึ่งเป็นสัญญาณของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขหลักของความไม่เท่าเทียมกัน

นอกจากนี้ควรสังเกตด้วยว่าไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเครื่องหมายของฟังก์ชันในแต่ละช่วงด้วยการแทนค่าบางค่าจากช่วงเวลานี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะกำหนดในลักษณะนี้ เครื่องหมายของฟังก์ชันในช่วงเวลาเดียวเท่านั้น (โดยปกติจะอยู่ทางด้านขวาสุด) จากนั้นย้ายจากช่วงเวลานี้ไปทางซ้ายตามแกนตัวเลข คุณสามารถสลับสัญญาณของช่วงเวลาตาม หลักการ:

• หากวงเล็บที่ใช้หมายเลขที่เราผ่านนั้นอยู่ใน แปลก กำลังเปลี่ยนไป.
• และถ้าวงเล็บที่สอดคล้องกันอยู่ใน สม่ำเสมอองศาแล้วเมื่อผ่านจุดที่สอดคล้องกันเครื่องหมายอสมการ ไม่เปลี่ยนแปลง.

ในกรณีนี้ควรพิจารณาข้อสังเกตต่อไปนี้ด้วย:

• ในความไม่เท่าเทียมกันอย่างเคร่งครัด (เครื่องหมาย "น้อยกว่า" หรือ "มากกว่า") ขอบเขตของช่องว่างจะไม่รวมอยู่ในคำตอบและบนแกนตัวเลขจะปรากฎเป็นจุดเจาะ
• ในความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด (เครื่องหมาย "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" หรือ "มากกว่าหรือเท่ากับ") ขอบเขตของช่วงเวลาที่นำมาจากตัวเศษ รวมอยู่ในคำตอบเสมอและแสดงเป็นจุดเติม (เพราะ ณ จุดเหล่านี้ ฟังก์ชันจะหายไปจริงๆ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข)
• แต่ขอบเขตที่นำมาจากตัวส่วนในความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวดมักจะถูกวาดเป็นจุดเจาะและใน คำตอบไม่เคยรวม(เนื่องจากตัวส่วนหายไป ณ จุดเหล่านี้ ซึ่งรับไม่ได้)
• ในความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด หากวงเล็บเดียวกันอยู่ในทั้งตัวเศษและตัวส่วน จะไม่สามารถลดลงด้วยวงเล็บนี้ จำเป็นต้องพรรณนาจุดที่เกี่ยวข้องที่เจาะบนแกนและอย่าลืมแยกออกจากคำตอบ ในกรณีนี้เมื่อสลับสัญญาณของช่วงเวลาผ่านจุดนี้ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย

ดังนั้นสิ่งที่สำคัญที่สุดคืออีกครั้ง:เมื่อเขียนคำตอบสุดท้ายในความไม่เท่าเทียมกันอย่าเสียคะแนนแต่ละจุดที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน (นี่คือรากของตัวเศษในความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด) และอย่าลืมแยกรากทั้งหมดของตัวส่วนออกจากคำตอบ ความไม่เท่าเทียมกัน

เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลของรูปแบบที่ซับซ้อนกว่าที่ระบุไว้ข้างต้น จำเป็นต้องลดจำนวนลงในแบบฟอร์มนี้ก่อนด้วยการแปลงเชิงพีชคณิตก่อน จากนั้นจึงใช้วิธีช่วงเวลา โดยคำนึงถึงรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดที่อธิบายไว้แล้ว จึงสามารถแนะนำได้ อัลกอริทึมต่อไปนี้สำหรับการแก้อสมการเชิงเหตุผล:

1. เงื่อนไข เศษส่วน และนิพจน์อื่นๆ ทั้งหมดต้องย้ายไปทางด้านซ้ายของอสมการ
2. หากจำเป็น ให้ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม
3. แยกตัวประกอบตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์
4. แก้ความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นโดยวิธีช่วงเวลา

ในเวลาเดียวกัน ณ ไม่อนุญาตให้แก้ความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผล:

1. คูณเศษส่วนตามขวาง
2. เช่นเดียวกับสมการ คุณไม่สามารถลดปัจจัยด้วยตัวแปรที่ด้านใดด้านหนึ่งของอสมการ หากมีปัจจัยดังกล่าว หลังจากโอนนิพจน์ทั้งหมดไปทางด้านซ้ายของอสมการแล้ว จะต้องนำปัจจัยดังกล่าวออกจากวงเล็บ แล้วคำนึงถึงจุดที่ให้หลังจากการสลายตัวขั้นสุดท้ายของนิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์เป็นปัจจัย
3. แยกพิจารณาตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

เช่นเดียวกับหัวข้ออื่นๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ เมื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันของตรรกยะ คุณสามารถใช้ได้ วิธีการเปลี่ยนตัวแปร. สิ่งสำคัญคือต้องไม่ลืมว่าหลังจากการแทนที่ นิพจน์ใหม่ควรจะง่ายขึ้นและไม่มีตัวแปรเก่า อย่าลืมทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

เมื่อตัดสินใจ ระบบความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลคุณต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดในระบบทีละตัว ระบบต้องการการปฏิบัติตามเงื่อนไขตั้งแต่สองเงื่อนไขขึ้นไป และเรากำลังมองหาค่าของปริมาณที่ไม่รู้จักซึ่งตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดในคราวเดียว ดังนั้นในคำตอบของระบบความไม่เท่าเทียมกันจึงจำเป็นต้องระบุส่วนร่วมของการแก้ปัญหาทั้งหมดของความไม่เท่าเทียมกันของแต่ละบุคคล (หรือส่วนร่วมของช่องว่างแรเงาทั้งหมดที่แสดงคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการ)

เมื่อตัดสินใจ ชุดของความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผลยังแก้ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอย่างในทางกลับกัน ประชากรต้องการการค้นหาค่าทั้งหมดของตัวแปรที่ตรงตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งเงื่อนไข กล่าวคือ เงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่ง หลายเงื่อนไข หรือเงื่อนไขทั้งหมดรวมกัน ในการตอบสนองต่อชุดของความไม่เท่าเทียมกัน ให้ระบุทุกส่วนของคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการ (หรือทุกส่วนของช่องว่างแรเงาทั้งหมดที่แสดงคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการ)

การแก้ความไม่เท่าเทียมกันบางประเภทด้วยโมดูล

ความไม่เท่าเทียมกันของโมดูลสามารถแก้ไขได้และควรแก้ไขโดยการขยายโมดูลตามช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ตามลำดับ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องดำเนินการในลักษณะเดียวกับการแก้สมการด้วยโมดูลโดยประมาณ (รายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง) แต่มีบางกรณีที่ค่อนข้างง่ายซึ่งการแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันของโมดูโลลดลงเป็นอัลกอริธึมที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ:

มาถึงการตัดสินใจ ระบบ:

โดยเฉพาะอย่างยิ่งความไม่เท่าเทียมกัน:

ระบบ:

ถ้าในความไม่เท่าเทียมกันที่คล้ายกัน เราจะแทนที่เครื่องหมาย "น้อยกว่า" ด้วย "มากกว่า":

จากนั้นการตัดสินใจของเขาก็ลงเอยด้วยการตัดสินใจ มวลรวม:

โดยเฉพาะอย่างยิ่งความไม่เท่าเทียมกัน:

สามารถใช้แทนกันได้ จำนวนทั้งหมด:

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องจำไว้ว่าสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน "โมดูลัสน้อยกว่า" เราจะได้ระบบที่ต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขทั้งสองพร้อมกัน และสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน "โมดูลัสที่มากกว่า" เราจะได้ชุดซึ่งต้องเป็นไปตามเงื่อนไขใด ๆ

เมื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลด้วยโมดูลัสของรูปแบบ:

ขอแนะนำให้ดำเนินการอสมการเชิงเหตุผลที่เทียบเท่าต่อไปนี้โดยไม่มีโมดูลัส:

ความเหลื่อมล้ำดังกล่าวไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการแตกราก (ถ้าคุณแยกรากออกอย่างตรงไปตรงมา คุณต้องใส่โมดูลอีกครั้ง และคุณจะกลับไปที่จุดเริ่มต้น หากคุณลืมโมดูล นี่ก็เท่ากับการลืมไป ในตอนเริ่มต้นและแน่นอนว่านี่เป็นความผิดพลาด ) วงเล็บทั้งหมดต้องย้ายไปทางซ้าย และไม่ว่ากรณีใดก็ตามที่เปิดวงเล็บ ให้ใช้สูตรสำหรับความแตกต่างของกำลังสอง

ย้ำอีกครั้งว่าสำหรับ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันประเภทอื่นๆ ทั้งหมดด้วยโมดูลนอกเหนือจากที่ระบุไว้ข้างต้น จำเป็นต้องเปิดโมดูลทั้งหมดที่รวมอยู่ในความไม่เท่าเทียมกันตามช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่และแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น ให้เราจำรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความหมายทั่วไปของอัลกอริทึมนี้:

• อันดับแรก เราพบจุดบนแกนตัวเลขที่นิพจน์แต่ละนิพจน์ด้านล่างโมดูลัสหายไป
• ต่อไป เราแบ่งแกนตัวเลขทั้งหมดเป็นช่วงๆ ระหว่างจุดที่ได้รับ และตรวจสอบเครื่องหมายของแต่ละนิพจน์โมดูลย่อยในแต่ละช่วงเวลา โปรดทราบว่าในการพิจารณาเครื่องหมายของนิพจน์ คุณต้องแทนที่ค่าใดๆ ของตัวแปรจากช่วงนั้นเข้าไป ยกเว้นจุดขอบเขต เลือกค่าตัวแปรที่แทนค่าได้ง่าย
• นอกจากนี้ ในแต่ละช่วงที่ได้รับ เราจะเปิดเผยโมดูลทั้งหมดในความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมตามสัญญาณของช่วงเวลานี้ และแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทางเหตุผลธรรมดาที่เป็นผล โดยคำนึงถึงกฎและรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดของการแก้ความไม่เท่าเทียมกันทั่วไปโดยไม่มีโมดูล
• การแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอย่างที่ได้รับในช่วงเวลาที่กำหนดจะถูกรวมเข้ากับระบบที่มีช่วงนั้นเอง และระบบดังกล่าวทั้งหมดจะรวมกันเป็นชุด ดังนั้น จากการแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด เราเลือกเฉพาะส่วนที่รวมอยู่ในช่วงเวลาที่ได้รับความไม่เท่าเทียมกันนี้ และเขียนส่วนทั้งหมดเหล่านี้ลงในคำตอบสุดท้าย