Wie man Gleichungen mit unterschiedlichem Grad löst. Exponentialgleichungen. Umfassender Leitfaden (2019)

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In der Phase der Vorbereitung auf die Abschlussprüfung müssen Gymnasiasten ihre Kenntnisse zum Thema "Exponentialgleichungen" verbessern. Die Erfahrung der vergangenen Jahre zeigt, dass solche Aufgaben Schulkindern gewisse Schwierigkeiten bereiten. Daher müssen Gymnasiasten unabhängig von ihrem Vorbereitungsniveau die Theorie sorgfältig beherrschen, sich die Formeln merken und das Prinzip der Lösung solcher Gleichungen verstehen. Wenn die Absolventen gelernt haben, mit dieser Art von Aufgaben umzugehen, können sie beim Bestehen der Prüfung in Mathematik mit hohen Punktzahlen rechnen.

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Beim Wiederholen der behandelten Materialien stehen viele Schüler vor dem Problem, die Formeln zu finden, die zum Lösen der Gleichungen benötigt werden. Nicht immer ist ein Schulbuch zur Hand und die Auswahl der notwendigen Informationen zu einem Thema im Internet dauert lange.

Das Bildungsportal Shkolkovo lädt Studenten ein, unsere Wissensdatenbank zu nutzen. Wir setzen komplett um neue Methode Vorbereitung auf die Abschlussprüfung. Wenn Sie auf unserer Seite studieren, können Sie Wissenslücken erkennen und sich genau auf die Aufgaben konzentrieren, die die größten Schwierigkeiten bereiten.

Die Lehrer von "Shkolkovo" sammelten, systematisierten und präsentierten alles, was für eine erfolgreiche Lieferung notwendig ist Material VERWENDEN auf die einfachste und zugänglichste Weise.

Die wichtigsten Definitionen und Formeln werden im Abschnitt „Theoretische Referenz“ vorgestellt.

Zur besseren Aneignung des Stoffes empfehlen wir Ihnen, die Aufgaben zu üben. Schauen Sie sich die Beispiele auf dieser Seite an. Exponentialgleichungen mit einer Lösung, um den Berechnungsalgorithmus zu verstehen. Fahren Sie danach mit den Aufgaben im Abschnitt "Kataloge" fort. Sie können mit den einfachsten Aufgaben beginnen oder direkt zur Lösung komplexer Exponentialgleichungen mit mehreren Unbekannten oder übergehen. Die Übungsdatenbank auf unserer Website wird laufend ergänzt und aktualisiert.

Die Beispiele mit Indikatoren, die Ihnen Schwierigkeiten bereitet haben, können Sie zu den "Favoriten" hinzufügen. So kannst du sie schnell finden und die Lösung mit dem Lehrer besprechen.

Um die Prüfung erfolgreich zu bestehen, lernen Sie jeden Tag auf dem Shkolkovo-Portal!

Vorlesung: "Methoden zum Lösen von Exponentialgleichungen."

1 . Exponentialgleichungen.

Gleichungen, die Unbekannte im Exponenten enthalten, heißen Exponentialgleichungen. Die einfachste davon ist die Gleichung ax = b, wobei a > 0 und a ≠ 1.

1) Für b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Für b > 0 hat die Gleichung unter Verwendung der Monotonie der Funktion und des Wurzelsatzes eine einzelne Wurzel. Um es zu finden, muss b als b = añ, ax = bс ó x = c oder x = logab dargestellt werden.

Exponentialgleichungen durch algebraische Transformationen führen zu Standardgleichungen, die mit folgenden Methoden gelöst werden:

1) Methode der Reduktion auf eine Base;

2) Bewertungsmethode;

3) grafische Methode;

4) die Methode zur Einführung neuer Variablen;

5) Faktorisierungsmethode;

6) Exponential - Potenzgleichungen;

7) Exponential mit einem Parameter.

2 . Methode der Reduktion auf eine Basis.

Das Verfahren basiert auf folgender Eigenschaft von Graden: Wenn zwei Grade gleich sind und ihre Basen gleich sind, dann sind ihre Exponenten gleich, d.h. es sollte versucht werden, die Gleichung auf die Form zu bringen

Beispiele. Löse die Gleichung:

1 . 3x=81;

Lassen Sie uns die rechte Seite der Gleichung in der Form 81 = 34 darstellen und die Gleichung schreiben, die dem Original 3 x = 34 entspricht; x = 4. Antwort: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> und gehe zur Gleichung für Exponenten 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Antwort: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Beachten Sie, dass die Zahlen 0,2, 0,04, √5 und 25 Potenzen von 5 sind. Machen wir uns das zunutze und wandeln die ursprüngliche Gleichung wie folgt um:

, woher 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, woraus wir die Lösung x = -1 finden. Antwort 1.

5. 3x = 5. Nach Definition des Logarithmus ist x = log35. Antwort: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Schreiben wir die Gleichung um als 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, d.h..png" width="181" height="49 src="> Also x - 4 =0, x = 4. Antwort: vier.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Unter Verwendung der Eigenschaften von Potenzen schreiben wir die Gleichung in der Form zB x+1 = 2, x =1. Antwort 1.

Aufgabenbank Nr. 1.

Löse die Gleichung:

Versuch Nummer 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) keine Wurzeln
	1) 7;1 2) keine Wurzeln 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test Nr. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) keine Wurzeln 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Bewertungsmethode.

Der Wurzelsatz: Wenn die Funktion f (x) auf dem Intervall I zunimmt (abnimmt), die Zahl a ein beliebiger Wert ist, der von f in diesem Intervall angenommen wird, dann hat die Gleichung f (x) = a eine einzelne Wurzel auf dem Intervall I.

Beim Lösen von Gleichungen durch das Schätzverfahren werden dieses Theorem und die Monotonieeigenschaften der Funktion verwendet.

Beispiele. Gleichungen lösen: 1. 4x = 5 - x.

Lösung. Schreiben wir die Gleichung um als 4x + x = 5.

1. Wenn x \u003d 1, dann 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 wahr ist, dann ist 1 die Wurzel der Gleichung.

Die Funktion f(x) = 4x wächst auf R und g(x) = x wächst auf R => h(x)= f(x)+g(x) wächst auf R als Summe der steigenden Funktionen, x = 1 ist also die einzige Wurzel der Gleichung 4x = 5 – x. Antwort 1.

Lösung. Wir schreiben die Gleichung in die Form um .

1. wenn x = -1, dann , 3 = 3-wahr, also ist x = -1 die Wurzel der Gleichung.

2. beweisen, dass es einzigartig ist.

3. Die Funktion f(x) = - nimmt mit R ab, und g(x) = - x - nimmt mit R ab => h(x) = f(x) + g(x) - nimmt mit R ab, als Summe von abnehmenden Funktionen. Nach dem Wurzelsatz ist also x = -1 die einzige Wurzel der Gleichung. Antwort 1.

Aufgabenbank Nr. 2. löse die Gleichung

a) 4x + 1 = 6 - x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Verfahren zur Einführung neuer Variablen.

Die Methode ist in Abschnitt 2.1 beschrieben. Die Einführung einer neuen Variablen (Substitution) erfolgt in der Regel nach Transformationen (Vereinfachung) der Terme der Gleichung. Betrachten Sie Beispiele.

Beispiele. R Essensgleichung: 1. .

Schreiben wir die Gleichung anders um: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Lösung. Schreiben wir die Gleichung anders um:

Bezeichnen Sie https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nicht geeignet.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> ist eine irrationale Gleichung. Beachten Sie das

Die Lösung der Gleichung ist x = 2,5 ≤ 4, also ist 2,5 die Wurzel der Gleichung. Antwort: 2.5.

Lösung. Lassen Sie uns die Gleichung in der Form umschreiben und beide Seiten durch 56x+6 ≠ 0 teilen. Wir erhalten die Gleichung

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, also..png" width="118" height="56">

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung - t1 = 1 und t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Lösung . Wir schreiben die Gleichung in die Form um

und beachten Sie, dass es sich um eine homogene Gleichung zweiten Grades handelt.

Teilen Sie die Gleichung durch 42x, erhalten wir

Ersetzen Sie https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Antwort: 0; 0,5.

Aufgabenbank Nr. 3. löse die Gleichung

Prüfung Nr. 3 mit Antwortauswahl. Mindestniveau.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
À2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) keine Wurzeln 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) keine Wurzeln 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Prüfung Nr. 4 mit Antwortauswahl. Allgemeine Ebene.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
À2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) keine Wurzeln

5. Methode der Faktorisierung.

1. Löse die Gleichung: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Lösung..png" width="169" height="69"> , woher

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Lösung. Nehmen wir 6x auf der linken Seite der Gleichung heraus und 2x auf der rechten Seite. Wir erhalten die Gleichung 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Da 2x >0 für alle x ist, können wir beide Seiten dieser Gleichung durch 2x dividieren, ohne befürchten zu müssen, Lösungen zu verlieren. Wir erhalten 3x = 1ó x = 0.

Lösung. Wir lösen die Gleichung durch Faktorisieren.

Wir wählen das Quadrat des Binoms

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ist die Wurzel der Gleichung.

Gleichung x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test Nr. 6 Allgemeine Ebene.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponential - Potenzgleichungen.

An die Exponentialgleichungen schließen sich die sogenannten Exponentialgleichungen an, also Gleichungen der Form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Wenn bekannt ist, dass f(x) > 0 und f(x) ≠ 1, dann wird die Gleichung, wie die Exponentialgleichung, durch Gleichsetzen der Exponenten g(x) = f(x) gelöst.

Wenn die Bedingung die Möglichkeit von f(x)=0 und f(x)=1 nicht ausschließt, müssen wir diese Fälle beim Lösen der Potenzgleichung berücksichtigen.

1..png" width="182" height="116 src=">

Lösung. x2 +2x-8 - macht für jedes x Sinn, weil ein Polynom, also die Gleichung äquivalent zur Menge ist

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. Exponentialgleichungen mit Parametern.

1. Für welche Werte des Parameters p hat die Gleichung 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) eine eindeutige Lösung?

Lösung. Führen wir die Änderung 2x = t, t > 0 ein, dann nimmt Gleichung (1) die Form t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 an. (2)

Die Diskriminante von Gleichung (2) ist D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Gleichung (1) hat eine eindeutige Lösung, wenn Gleichung (2) eine positive Wurzel hat. Dies ist in folgenden Fällen möglich.

1. Wenn D = 0, also p = 1, dann hat Gleichung (2) die Form t2 – 2t + 1 = 0, also t = 1, daher hat Gleichung (1) eine eindeutige Lösung x = 0.

2. Wenn p1, dann 9(p – 1)2 > 0, dann hat Gleichung (2) zwei verschiedene Wurzeln t1 = p, t2 = 4p – 3. Die Menge der Systeme erfüllt die Bedingung des Problems

Wenn wir t1 und t2 in die Systeme einsetzen, haben wir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Lösung. Lassen dann nimmt Gleichung (3) die Form t2 – 6t – a = 0 an. (4)

Lassen Sie uns die Werte des Parameters a finden, für die mindestens eine Wurzel der Gleichung (4) die Bedingung t > 0 erfüllt.

Führen wir die Funktion f(t) = t2 – 6t – a ein. Folgende Fälle sind möglich.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Fall 2. Gleichung (4) hat eine eindeutige positive Lösung, wenn

D = 0, wenn a = – 9, dann nimmt Gleichung (4) die Form an (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Fall 3. Gleichung (4) hat zwei Wurzeln, aber eine davon erfüllt nicht die Ungleichung t > 0. Dies ist möglich, wenn

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Somit hat Gleichung (4) bei a 0 eine einzige positive Wurzel . Dann hat Gleichung (3) eine eindeutige Lösung

Für ein< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

wenn ein< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
wenn a = – 9, dann x = – 1;

wenn a  0, dann

Vergleichen wir die Methoden zum Lösen der Gleichungen (1) und (3). Beachten Sie, dass beim Lösen von Gleichung (1) auf eine quadratische Gleichung reduziert wurde, deren Diskriminante ein volles Quadrat ist; somit wurden die Wurzeln von Gleichung (2) sofort durch die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung berechnet, und dann wurden Schlussfolgerungen bezüglich dieser Wurzeln gezogen. Gleichung (3) wurde auf eine quadratische Gleichung (4) reduziert, deren Diskriminante kein perfektes Quadrat ist. Daher ist es ratsam, beim Lösen von Gleichung (3) Theoreme über die Position der Wurzeln eines quadratischen Trinoms und zu verwenden ein grafisches Modell. Beachten Sie, dass Gleichung (4) unter Verwendung des Vieta-Theorems gelöst werden kann.

Lassen Sie uns komplexere Gleichungen lösen.

Aufgabe 3. Lösen Sie die Gleichung

Lösung. ODZ: x1, x2.

Lassen Sie uns einen Ersatz einführen. Sei 2x = t, t > 0, dann nimmt die Gleichung als Ergebnis der Transformationen die Form t2 + 2t – 13 – a = 0 an. (*) Lassen Sie uns die Werte von a finden, für die mindestens eine Wurzel von die Gleichung (*) erfüllt die Bedingung t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Antwort: wenn a > - 13, a  11, a  5, dann wenn a - 13,

a = 11, a = 5, dann gibt es keine Wurzeln.

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Diese Lektion ist für diejenigen gedacht, die gerade erst anfangen, Exponentialgleichungen zu lernen. Beginnen wir wie immer mit einer Definition und einfachen Beispielen.

Wenn Sie diese Lektion lesen, dann vermute ich, dass Sie bereits zumindest ein minimales Verständnis der einfachsten Gleichungen haben - linear und quadratisch: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ usw. Solche Konstruktionen lösen zu können, ist absolut notwendig, um nicht in dem jetzt zu behandelnden Thema „hängen“ zu bleiben.

Also Exponentialgleichungen. Lassen Sie mich Ihnen ein paar Beispiele geben:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Einige von ihnen mögen Ihnen komplizierter erscheinen, andere sind im Gegenteil zu einfach. Aber alle eint ein wichtiges Merkmal: Sie enthalten eine Exponentialfunktion $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Daher führen wir die Definition ein:

Eine Exponentialgleichung ist jede Gleichung, die eine Exponentialfunktion enthält, d.h. ein Ausdruck der Form $((a)^(x))$. Neben der angegebenen Funktion können solche Gleichungen beliebige andere algebraische Konstruktionen enthalten - Polynome, Wurzeln, Trigonometrie, Logarithmen usw.

Gut. Definition verstanden. Jetzt stellt sich die Frage: Wie löst man diesen ganzen Mist? Die Antwort ist einfach und komplex zugleich.

Beginnen wir mit der guten Nachricht: Aus meiner Erfahrung mit vielen Studenten kann ich sagen, dass für die meisten Exponentialgleichungen viel einfacher sind als die gleichen Logarithmen, und noch mehr Trigonometrie.

Aber es gibt auch schlechte Nachrichten: Manchmal werden die Ersteller von Aufgaben für alle Arten von Lehrbüchern und Prüfungen von "Inspiration" heimgesucht, und ihr drogengeplagtes Gehirn beginnt, so brutale Gleichungen zu produzieren, dass es nicht nur für Studenten problematisch wird, sie zu lösen - sogar viele Lehrer bleiben bei solchen Problemen hängen.

Reden wir jedoch nicht über traurige Dinge. Und kehren wir zu den drei Gleichungen zurück, die ganz am Anfang der Geschichte gegeben wurden. Versuchen wir, jeden von ihnen zu lösen.

Erste Gleichung: $((2)^(x))=4$. Nun, mit welcher Potenz muss die Zahl 2 potenziert werden, um die Zahl 4 zu erhalten? Vielleicht das Zweite? Immerhin ist $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — und wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten, d.h. tatsächlich $x=2$. Danke, Cap, aber diese Gleichung war so einfach, dass sogar meine Katze sie lösen konnte. :)

Betrachten wir die folgende Gleichung:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Aber hier ist es etwas schwieriger. Viele Schüler wissen, dass $((5)^(2))=25$ das Einmaleins ist. Einige vermuten auch, dass $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ im Wesentlichen die Definition negativer Exponenten ist (ähnlich der Formel $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Schließlich vermuten nur wenige Auserwählte, dass diese Fakten kombiniert werden können und die Ausgabe das folgende Ergebnis ist:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Somit wird unsere ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Und das ist jetzt auch schon komplett gelöst! Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Exponentialfunktion, auf der rechten Seite der Gleichung steht eine Exponentialfunktion, sonst gibt es nichts als sie. Daher ist es möglich, die Basen zu „verwerfen“ und die Indikatoren dumm gleichzusetzen:

Wir haben die einfachste lineare Gleichung, die jeder Schüler in nur wenigen Zeilen lösen kann. Okay, in vier Zeilen:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Wenn Sie nicht verstehen, was in den letzten vier Zeilen passiert ist, kehren Sie unbedingt zum Thema „lineare Gleichungen“ zurück und wiederholen Sie es. Denn ohne eine klare Aneignung dieses Themas ist es für Sie zu früh, sich mit Exponentialgleichungen zu befassen.

\[((9)^(x))=-3\]

Na, wie entscheidest du dich? Erster Gedanke: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, also kann die ursprüngliche Gleichung so umgeschrieben werden:

\[((\links(((3)^(2)) \rechts))^(x))=-3\]

Dann erinnern wir uns, dass beim Potenzieren eines Grades die Indikatoren multipliziert werden:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Und für eine solche Entscheidung bekommen wir eine ehrlich verdiente Zwei. Denn wir haben mit der Gelassenheit eines Pokémon das Minuszeichen vor die Drei hoch genau diese Drei gestellt. Und das kannst du nicht. Und deshalb. Schauen Sie sich die verschiedenen Potenzen des Tripels an:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Beim Kompilieren dieses Tablets habe ich nicht so schnell wie möglich pervertiert: Ich habe positive Grade und negative und sogar gebrochene Grade berücksichtigt ... nun, wo ist mindestens einer eine negative Zahl? Er ist nicht da! Und das kann es nicht sein, denn die Exponentialfunktion $y=((a)^(x))$ nimmt erstens immer nur positive Werte(egal wie viel Sie mit eins multiplizieren oder durch zwei dividieren, es wird immer noch eine positive Zahl sein), und zweitens ist die Basis einer solchen Funktion – die Zahl $a$ – per Definition eine positive Zahl!

Nun, wie löst man dann die Gleichung $((9)^(x))=-3$? Nein, es gibt keine Wurzeln. Und in diesem Sinne sind Exponentialgleichungen quadratischen sehr ähnlich - es kann auch keine Wurzeln geben. Aber wenn drin quadratische Gleichungen Die Anzahl der Wurzeln wird durch die Diskriminante bestimmt (die Diskriminante ist positiv - 2 Wurzeln, negativ - keine Wurzeln), dann hängt bei Exponentialen alles davon ab, was rechts vom Gleichheitszeichen steht.

Damit formulieren wir die zentrale Schlussfolgerung: Die einfachste Exponentialgleichung der Form $((a)^(x))=b$ hat genau dann eine Wurzel, wenn $b>0$. Wenn Sie diese einfache Tatsache kennen, können Sie leicht feststellen, ob die Ihnen vorgeschlagene Gleichung Wurzeln hat oder nicht. Diese. Lohnt es sich überhaupt, es zu lösen, oder schreiben Sie sofort auf, dass es keine Wurzeln gibt.

Dieses Wissen hilft uns um ein Vielfaches, wenn wir komplexere Probleme lösen müssen. In der Zwischenzeit genug Texte - es ist Zeit, den grundlegenden Algorithmus zum Lösen von Exponentialgleichungen zu studieren.

Wie man Exponentialgleichungen löst

Also formulieren wir das Problem. Es ist notwendig, die Exponentialgleichung zu lösen:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Gemäß dem zuvor verwendeten "naiven" Algorithmus ist es notwendig, die Zahl $b$ als Potenz der Zahl $a$ darzustellen:

Wenn anstelle der Variablen $x$ ein beliebiger Ausdruck steht, erhalten wir außerdem eine neue Gleichung, die bereits gelöst werden kann. Zum Beispiel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Und seltsamerweise funktioniert dieses Schema in etwa 90% der Fälle. Was ist dann mit den anderen 10%? Die restlichen 10 % sind leicht "schizophrene" Exponentialgleichungen der Form:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Mit welcher Potenz müssen Sie 2 erhöhen, um 3 zu erhalten? In der ersten? Aber nein: $((2)^(1))=2$ ist nicht genug. In dieser Sekunde? Weder noch: $((2)^(2))=4$ ist zu viel. Was dann?

Sachkundige Studenten haben es wahrscheinlich schon erraten: In solchen Fällen, in denen es unmöglich ist, „schön“ zu lösen, ist „schwere Artillerie“ mit dem Fall verbunden - Logarithmen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass mithilfe von Logarithmen jede positive Zahl als Potenz einer anderen dargestellt werden kann positive Zahl(ohne Einheit):

Erinnern Sie sich an diese Formel? Wenn ich meinen Schülern von Logarithmen erzähle, warne ich Sie immer: Diese Formel (es ist auch die logarithmische Grundidentität oder, wenn Sie so wollen, die Definition des Logarithmus) wird Sie sehr lange verfolgen und am meisten „auftauchen“. unerwartete Orte. Nun, sie tauchte auf. Schauen wir uns unsere Gleichung und diese Formel an:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Wenn wir annehmen, dass $a=3$ unsere ursprüngliche Zahl auf der rechten Seite ist und $b=2$ die eigentliche Basis der Exponentialfunktion ist, auf die wir die rechte Seite so reduzieren wollen, erhalten wir Folgendes:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Wir haben eine etwas seltsame Antwort bekommen: $x=((\log )_(2))3$. Bei einer anderen Aufgabe würden viele mit einer solchen Antwort zweifeln und anfangen, ihre Lösung noch einmal zu überprüfen: Was wäre, wenn irgendwo ein Fehler wäre? Ich beeile mich, Sie zu erfreuen: Hier liegt kein Fehler vor, und Logarithmen in den Wurzeln von Exponentialgleichungen sind eine ziemlich typische Situation. Also gewöhn dich dran. :)

Nun lösen wir analog die verbleibenden zwei Gleichungen:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rechtspfeil x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Das ist alles! Die letzte Antwort kann übrigens auch anders geschrieben werden:

Wir waren es, die den Multiplikator in das Argument des Logarithmus eingeführt haben. Aber niemand hindert uns daran, diesen Faktor zur Basis hinzuzufügen:

In diesem Fall sind alle drei Optionen richtig - es ist nur verschiedene Formen Aufzeichnungen mit der gleichen Nummer. Welche Sie in dieser Entscheidung auswählen und aufschreiben, liegt bei Ihnen.

So haben wir gelernt, beliebige Exponentialgleichungen der Form $((a)^(x))=b$ zu lösen, wobei die Zahlen $a$ und $b$ strikt positiv sind. Die harte Realität unserer Welt ist jedoch, dass solch einfache Aufgaben Sie sehr, sehr selten treffen werden. Häufiger werden Sie auf Folgendes stoßen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Na, wie entscheidest du dich? Kann man das überhaupt lösen? Und wenn ja, wie?

Keine Panik. Alle diese Gleichungen lassen sich schnell und einfach auf die einfachen Formeln reduzieren, die wir bereits betrachtet haben. Sie müssen sich nur ein paar Tricks aus dem Algebra-Kurs merken können. Und natürlich gibt es hier keine Regeln für das Arbeiten mit Abschlüssen. Ich werde jetzt über all das sprechen. :)

Transformation von Exponentialgleichungen

Das erste, woran man sich erinnern sollte, ist, dass jede Exponentialgleichung, egal wie komplex sie sein mag, auf die eine oder andere Weise auf die einfachsten Gleichungen reduziert werden muss – genau die, die wir bereits betrachtet haben und deren Lösung wir kennen. Mit anderen Worten, das Schema zum Lösen einer Exponentialgleichung sieht folgendermaßen aus:

Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung auf. Zum Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Mach irgendeinen dummen Scheiß. Oder sogar irgendein Mist namens "Transform the Equation";
Als Ausgabe erhalten Sie die einfachsten Ausdrücke wie $((4)^(x))=4$ oder so ähnlich. Darüber hinaus kann eine Anfangsgleichung mehrere solcher Ausdrücke gleichzeitig liefern.

Mit dem ersten Punkt ist alles klar - sogar meine Katze kann die Gleichung auf ein Blatt schreiben. Auch beim dritten Punkt scheint es mehr oder weniger klar zu sein - wir haben oben schon eine ganze Reihe solcher Gleichungen gelöst.

Aber was ist mit dem zweiten Punkt? Was sind die Transformationen? Was in was umwandeln? Und wie?

Nun, lass es uns herausfinden. Zunächst möchte ich auf Folgendes hinweisen. Alle Exponentialgleichungen werden in zwei Typen unterteilt:

Die Gleichung setzt sich aus Exponentialfunktionen mit gleicher Basis zusammen. Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Die Formel enthält Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen. Beispiele: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ und $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Beginnen wir mit Gleichungen des ersten Typs - sie sind am einfachsten zu lösen. Und bei ihrer Lösung wird uns eine Technik wie die Auswahl stabiler Ausdrücke helfen.

Hervorheben eines stabilen Ausdrucks

Schauen wir uns diese Gleichung noch einmal an:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Was sehen wir? Die vier werden in unterschiedlichem Maße angehoben. Aber all diese Potenzen sind einfache Summen der Variablen $x$ mit anderen Zahlen. Daher müssen die Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen beachtet werden:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]

Einfach ausgedrückt, die Addition von Exponenten kann in ein Produkt von Potenzen umgewandelt werden, und die Subtraktion lässt sich leicht in eine Division umwandeln. Versuchen wir, diese Formeln auf die Potenzen aus unserer Gleichung anzuwenden:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Wir schreiben die ursprüngliche Gleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache um und sammeln dann alle Terme auf der linken Seite:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -elf; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Die ersten vier Terme enthalten das Element $((4)^(x))$ – nehmen wir es aus der Klammer:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Es bleibt, beide Teile der Gleichung durch den Bruch $-\frac(11)(4)$ zu dividieren, also im Wesentlichen mit dem umgekehrten Bruch multiplizieren - $-\frac(4)(11)$. Wir bekommen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

Das ist alles! Wir haben die ursprüngliche Gleichung auf die einfachste reduziert und die endgültige Antwort erhalten.

Gleichzeitig haben wir beim Lösen den gemeinsamen Faktor $((4)^(x))$ entdeckt (und sogar aus der Klammer genommen) - das ist der stabile Ausdruck. Es kann als neue Variable bezeichnet werden, oder Sie können es einfach genau ausdrücken und eine Antwort erhalten. In jedem Fall lautet das Kernprinzip der Lösung wie folgt:

Finden Sie in der ursprünglichen Gleichung einen stabilen Ausdruck, der eine Variable enthält, die leicht von allen Exponentialfunktionen zu unterscheiden ist.

Die gute Nachricht ist, dass fast jede Exponentialgleichung einen solchen stabilen Ausdruck zulässt.

Aber es gibt auch schlechte Nachrichten: Solche Ausdrücke können sehr schwierig sein, und es kann ziemlich schwierig sein, sie zu unterscheiden. Schauen wir uns also ein anderes Problem an:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Vielleicht hat jetzt jemand eine Frage: „Pascha, bist du bekifft? Hier sind verschiedene Basen - 5 und 0,2. Aber versuchen wir mal, eine Potenz zur Basis 0,2 umzurechnen. Lassen Sie uns zum Beispiel loswerden Dezimalbruch, um es zum Üblichen zu bringen:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Wie Sie sehen können, erschien die Zahl 5 immer noch, wenn auch im Nenner. Gleichzeitig wurde der Indikator negativ umgeschrieben. Und jetzt erinnern wir uns an eine der wichtigsten Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Hier habe ich natürlich ein wenig geschummelt. Denn für ein vollständiges Verständnis musste die Formel zur Beseitigung negativer Indikatoren wie folgt geschrieben werden:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ rechts))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Andererseits hinderte uns nichts daran, nur mit einer Fraktion zu arbeiten:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ rechts))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

In diesem Fall müssen Sie jedoch in der Lage sein, einen Abschluss auf einen anderen Abschluss anzuheben (ich erinnere Sie daran: In diesem Fall werden die Indikatoren addiert). Aber ich musste die Brüche nicht "umdrehen" - vielleicht wird es für jemanden einfacher. :)

In jedem Fall wird die ursprüngliche Exponentialgleichung umgeschrieben als:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Es stellt sich also heraus, dass die ursprüngliche Gleichung noch einfacher zu lösen ist als die zuvor betrachtete: Hier müssen Sie nicht einmal einen stabilen Ausdruck herausgreifen - alles wurde von selbst reduziert. Es bleibt nur zu bedenken, dass $1=((5)^(0))$, woraus wir erhalten:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

Das ist die ganze Lösung! Wir haben die endgültige Antwort: $x=-2$. Gleichzeitig möchte ich einen Trick anmerken, der uns alle Berechnungen stark vereinfacht hat:

Achten Sie in Exponentialgleichungen darauf, Dezimalbrüche zu entfernen und sie in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. Dadurch können Sie die gleichen Grundlagen der Abschlüsse sehen und die Lösung erheblich vereinfachen.

Kommen wir nun zu komplexeren Gleichungen, in denen es unterschiedliche Basen gibt, die im Allgemeinen nicht durch Potenzen aufeinander reduzierbar sind.

Verwenden der Exponenteneigenschaft

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir zwei besonders harte Gleichungen haben:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Die Hauptschwierigkeit besteht hier darin, dass nicht klar ist, was und auf welche Grundlage zu führen ist. Wo Ausdrücke setzen? Wo sind die Gemeinsamkeiten? Davon gibt es nichts.

Aber lass uns versuchen, den anderen Weg zu gehen. Wenn es keine vorgefertigten identischen Basen gibt, können Sie versuchen, sie zu finden, indem Sie die verfügbaren Basen faktorisieren.

Beginnen wir mit der ersten Gleichung:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Aber Sie können immerhin das Gegenteil tun - die Zahl 21 aus den Zahlen 7 und 3 bilden. Dies ist auf der linken Seite besonders einfach, da die Indikatoren beider Grade gleich sind:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]

Das ist alles! Sie haben den Exponenten aus dem Produkt entfernt und sofort eine schöne Gleichung erhalten, die in ein paar Zeilen gelöst werden kann.

Kommen wir nun zur zweiten Gleichung. Hier ist alles viel komplizierter:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

In diesem Fall erwiesen sich die Brüche als irreduzibel, aber wenn etwas reduziert werden kann, reduzieren Sie es unbedingt. Dabei ergeben sich oft interessante Gründe, mit denen Sie bereits arbeiten können.

Leider ist uns nichts eingefallen. Aber wir sehen, dass die Exponenten links im Produkt entgegengesetzt sind:

Zur Erinnerung: Um das Minuszeichen im Exponenten loszuwerden, musst du nur den Bruch „umdrehen“. Schreiben wir also die ursprüngliche Gleichung um:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

In der zweiten Zeile haben wir einfach die Summe aus dem Produkt nach der Regel $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, und in letzterem haben sie einfach die Zahl 100 mit einem Bruch multipliziert.

Beachten Sie nun, dass die Zahlen links (an der Basis) und rechts etwas ähnlich sind. Wie? Ja, offensichtlich: es sind Potenzen der gleichen Zahl! Wir haben:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Somit wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Gleichzeitig können Sie rechts auch einen Abschluss mit derselben Basis erhalten, für den es ausreicht, nur den Bruch zu „umdrehen“:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Schließlich nimmt unsere Gleichung die Form an:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Das ist die ganze Lösung. Seine Hauptidee ist, dass selbst wenn verschiedene Basen x versuchen wir auf und ab, diese Gründe auf ein und dasselbe zu reduzieren. Dabei helfen uns elementare Transformationen von Gleichungen und die Regeln für die Arbeit mit Potenzen.

Aber welche Regeln und wann zu verwenden? Wie kann man verstehen, dass man in einer Gleichung beide Seiten durch etwas teilen muss und in einer anderen - die Basis der Exponentialfunktion in Faktoren zerlegen muss?

Die Antwort auf diese Frage ergibt sich aus der Erfahrung. Versuchen Sie sich zuerst einfache Gleichungen, und verkomplizieren Sie dann die Aufgaben nach und nach - und sehr bald werden Ihre Fähigkeiten ausreichen, um jede Exponentialgleichung aus demselben USE oder jede unabhängige / Testarbeit zu lösen.

Und um Ihnen bei dieser schwierigen Aufgabe zu helfen, schlage ich vor, eine Reihe von Gleichungen von meiner Website herunterzuladen, um eine unabhängige Lösung zu erhalten. Alle Gleichungen haben Antworten, sodass Sie sich jederzeit selbst überprüfen können.

Was ist eine Exponentialgleichung? Beispiele.

Also eine Exponentialgleichung... Ein neues einzigartiges Exponat auf unserer allgemeinen Ausstellung der verschiedensten Gleichungen!) Wie fast immer ist das Schlüsselwort eines neuen mathematischen Begriffs das entsprechende Adjektiv, das ihn charakterisiert. Also auch hier. Stichwort in dem Begriff "Exponentialgleichung" ist das Wort "demonstrativ". Was bedeutet das? Dieses Wort bedeutet, dass das Unbekannte (x) ist in Bezug auf jeden Abschluss. Und nur dort! Das ist extrem wichtig.

Zum Beispiel diese einfachen Gleichungen:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Oder sogar diese Monster:

2 Sünde x = 0,5

Ich bitte Sie, sofort auf eine wichtige Sache zu achten: in Gründe Grad (unten) - nur Zahlen. Aber in Indikatoren Grad (oben) - eine Vielzahl von Ausdrücken mit x. Absolut beliebig.) Alles hängt von der spezifischen Gleichung ab. Wenn x plötzlich irgendwo anders in der Gleichung auftaucht, zusätzlich zum Indikator (z. B. 3 x \u003d 18 + x 2), ist eine solche Gleichung bereits eine Gleichung gemischter Typ. Solche Gleichungen haben keine klaren Regeln zum Lösen. Daher werden wir sie in dieser Lektion nicht berücksichtigen. Zur Freude der Schüler.) Wir betrachten hier nur Exponentialgleichungen in "reiner" Form.

Generell werden auch reine Exponentialgleichungen nicht in allen Fällen und nicht immer eindeutig gelöst. Aber unter der reichen Vielfalt von Exponentialgleichungen gibt es bestimmte Typen, die gelöst werden können und sollten. Es sind diese Arten von Gleichungen, die wir mit Ihnen betrachten werden. Und die Beispiele werden wir auf jeden Fall lösen.) Also richten wir uns gemütlich ein und - on the road! Wie bei Computer-"Shootern" führt unsere Reise durch die Levels.) Von elementar bis einfach, von einfach bis mittel und von mittel bis komplex. Unterwegs warten Sie auch auf ein geheimes Level - Tricks und Methoden zum Lösen von nicht standardmäßigen Beispielen. Diejenigen, von denen Sie in den meisten Schulbüchern nicht lesen werden ... Na, am Ende erwartet Sie natürlich der Endgegner in Form von Hausaufgaben.)

Level 0. Was ist die einfachste Exponentialgleichung? Lösung der einfachsten Exponentialgleichungen.

Schauen wir uns zunächst einige offene Grundkenntnisse an. Irgendwo muss man ja anfangen, oder? Zum Beispiel diese Gleichung:

2 x = 2 2

Auch ohne Theorien, mit einfacher Logik und gesundem Menschenverstand ist klar, dass x = 2 ist. Sonst gibt es keinen Weg, oder? Kein anderer Wert von x ist gut ... Wenden wir uns nun dem zu Entscheidungseintrag diese coole Exponentialgleichung:

2 x = 2 2

X = 2

Was ist mit uns passiert? Und folgendes geschah. Wir haben tatsächlich die gleichen Basen (Zweier) genommen und ... einfach weggeworfen! Völlig rausgeschmissen. Und, was gefällt, ins Schwarze treffen!

Ja, allerdings, wenn in der Exponentialgleichung links und rechts stehen das Gleiche Zahlen in beliebigem Grad, dann können diese Zahlen verworfen werden und die Exponenten einfach gleichgesetzt werden. Mathematik erlaubt.) Und dann können Sie separat mit Indikatoren arbeiten und eine viel einfachere Gleichung lösen. Es ist großartig, oder?

Hier ist die Schlüsselidee, um jede (ja, genau jede!) Exponentialgleichung zu lösen: Mit Hilfe identischer Transformationen muss sichergestellt werden, dass Links und Rechts in der Gleichung stehen das Gleiche Basiszahlen in verschiedenen Graden. Und dann können Sie dieselben Basen sicher entfernen und die Exponenten gleichsetzen. Und arbeite mit einer einfacheren Gleichung.

Und jetzt erinnern wir uns an die eiserne Regel: Es ist möglich, dieselben Basen genau dann zu entfernen, wenn in der Gleichung links und rechts die Basenzahlen stehen in stolzer Einsamkeit.

Was bedeutet es, in herrlicher Isolation? Das heißt ohne Nachbarn und Koeffizienten. Ich erkläre.

Zum Beispiel in der Gleichung

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Sie können keine Drillinge entfernen! Wieso den? Denn auf der linken Seite haben wir nicht nur eine einsame Drei im Grad, sondern Arbeit 3 3 x-5 . Ein zusätzliches Tripel kommt in die Quere: ein Koeffizient, verstehen Sie.)

Dasselbe kann über die Gleichung gesagt werden

5 3 x = 5 2 x +5 x

Auch hier sind alle Basen gleich – fünf. Aber auf der rechten Seite haben wir keinen einzigen Grad von fünf: es gibt die Summe der Grade!

Kurz gesagt, wir haben das Recht, dieselben Basen nur dann zu entfernen, wenn unsere Exponentialgleichung so und nur so aussieht:

af (x) = ein g (x)

Diese Art von Exponentialgleichung wird aufgerufen das einfachste. Oder wissenschaftlich, kanonisch . Und egal, wie die verdrehte Gleichung vor uns aussieht, auf die eine oder andere Weise werden wir sie auf eine so einfache (kanonische) Form bringen. Oder in einigen Fällen zu Aggregate Gleichungen dieser Art. Dann kann unsere einfachste Gleichung drin sein Gesamtansicht so umschreiben:

F(x) = g(x)

Und alle. Dies wird die äquivalente Transformation sein. Dabei können als f(x) und g(x) absolut beliebige Ausdrücke mit x verwendet werden. Wie auch immer.

Vielleicht wird sich ein besonders neugieriger Schüler fragen: Warum um alles in der Welt verwerfen wir so einfach und einfach die gleichen Basen links und rechts und setzen die Exponenten gleich? Intuition ist Intuition, aber plötzlich stellt sich dieser Ansatz in irgendeiner Gleichung und aus irgendeinem Grund als falsch heraus? Ist es immer legal, die gleichen Bases zu werfen? Leider für eine strenge mathematische Antwort darauf Interesse fragen Sie müssen sich tief und ernsthaft mit der allgemeinen Theorie der Struktur und des Verhaltens von Funktionen befassen. Und ein bisschen genauer - im Phänomen strenge Monotonie. Insbesondere die strikte Monotonie Exponentialfunktionj= ein x. Da es die Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften sind, die der Lösung von Exponentialgleichungen zugrunde liegen, ja.) Eine detaillierte Antwort auf diese Frage wird in einer separaten Speziallektion gegeben, die sich mit der Lösung komplexer nicht standardmäßiger Gleichungen unter Verwendung der Monotonie verschiedener Funktionen befasst.)

Diesen Punkt jetzt im Detail zu erklären, bedeutet nur, einem durchschnittlichen Schulkind das Gehirn herauszunehmen und ihm mit einer trockenen und schweren Theorie vor der Zeit Angst zu machen. Ich werde das nicht tun.) Für unsere Hauptsache dieser Moment eine Aufgabe - lernen, Exponentialgleichungen zu lösen! Das einfachste! Deshalb, bis wir schwitzen und die gleichen Gründe mutig wegwerfen. Das kann, nehmen Sie mich beim Wort!) Und dann lösen wir auch schon die äquivalente Gleichung f (x) = g (x). Sie ist in der Regel einfacher als die ursprüngliche Exponentialfunktion.

Es wird natürlich davon ausgegangen, dass die Leute bereits wissen, wie man mindestens , und Gleichungen schon ohne x in Indikatoren löst.) Wer immer noch nicht weiß, wie, kann diese Seite gerne schließen, die entsprechenden Links entlanggehen und ausfüllen die alten Lücken. Sonst wirst du es schwer haben, ja ...

Ich schweige über irrationale, trigonometrische und andere brutale Gleichungen, die auch bei der Eliminierung von Basen auftauchen können. Aber seien Sie nicht beunruhigt, denn jetzt werden wir Frank Tin nicht in Graden betrachten: Es ist zu früh. Wir werden nur die einfachsten Gleichungen üben.)

Betrachten Sie nun Gleichungen, die zusätzlichen Aufwand erfordern, um sie auf die einfachsten zu reduzieren. Um sie zu unterscheiden, nennen wir sie einfache Exponentialgleichungen. Gehen wir also weiter zum nächsten Level!

Stufe 1. Einfache Exponentialgleichungen. Abschlüsse anerkennen! natürliche Indikatoren.

Die Schlüsselregeln beim Lösen von Exponentialgleichungen sind Regeln für den Umgang mit Abschlüssen. Ohne dieses Wissen und Können geht nichts. Ach. Also, wenn es Probleme mit den Abschlüssen gibt, dann bist du erstmal herzlich willkommen. Außerdem brauchen wir auch. Diese Transformationen (bis zu zwei!) sind die Grundlage für die Lösung aller mathematischen Gleichungen im Allgemeinen. Und nicht nur Vitrinen. Also, wer es vergessen hat, macht auch einen Spaziergang auf dem Link: Ich habe sie aus einem bestimmten Grund angelegt.

Aber nur Aktionen mit Kräften und identischen Transformationen reichen nicht aus. Es erfordert auch persönliche Beobachtung und Einfallsreichtum. Wir brauchen die gleichen Gründe, nicht wahr? Also untersuchen wir das Beispiel und suchen sie in expliziter oder getarnter Form!

Zum Beispiel diese Gleichung:

3 2x – 27x +2 = 0

Erstmal anschauen Gründe. Sie sind anders! Drei und siebenundzwanzig. Aber es ist zu früh, um in Panik zu verfallen und zu verzweifeln. Es ist Zeit, sich daran zu erinnern

27 = 3 3

Die Nummern 3 und 27 sind graduell verwandt! Außerdem Verwandte.) Daher haben wir das Recht, Folgendes aufzuschreiben:

27 x +2 = (3 3) x+2

Und jetzt verbinden wir unser Wissen über Aktionen mit Befugnissen(und ich habe dich gewarnt!). Es gibt so eine sehr nützliche Formel:

(am) n = ein mn

Wenn Sie es jetzt im Kurs ausführen, wird es im Allgemeinen gut:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Das ursprüngliche Beispiel sieht nun so aus:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Toll, die Basen der Abschlüsse haben sich ausgerichtet. Was wir anstrebten. Die Hälfte der Arbeit ist erledigt.) Und jetzt starten wir die grundlegende Identitätstransformation - wir übertragen 3 3 (x +2) nach rechts. Niemand hat die elementaren Aktionen der Mathematik gestrichen, ja.) Wir erhalten:

3 2 x = 3 3(x +2)

Was gibt uns diese Art von Gleichung? Und die Tatsache, dass jetzt unsere Gleichung reduziert wird zur kanonischen Form: Links und rechts sind die gleichen Zahlen (Tripel) in Potenzen. Und beide Drillinge - in herrlicher Isolation. Wir entfernen mutig die Drillinge und erhalten:

2x = 3(x+2)

Wir lösen dies und erhalten:

X=-6

Das ist alles dazu. Das ist die richtige Antwort.)

Und jetzt verstehen wir den Verlauf der Entscheidung. Was hat uns in diesem Beispiel gerettet? Wir wurden durch das Wissen um die Grade des Tripels gerettet. Wie genau? Wir identifiziert Nummer 27 verschlüsselt drei! Dieser Trick (Verschlüsselung der gleichen Basis unter verschiedene Nummern) ist eine der beliebtesten in Exponentialgleichungen! Es sei denn, es ist das beliebteste. Ja, übrigens auch. Deshalb ist Beobachtung und die Fähigkeit, Potenzen anderer Zahlen in Zahlen zu erkennen, bei Exponentialgleichungen so wichtig!

Praktische Ratschläge:

Sie müssen die Macht beliebter Zahlen kennen. Ins Gesicht!

Natürlich kann jeder zwei zur siebten Potenz oder drei zur fünften Potenz erheben. Nicht in meinen Gedanken, also zumindest auf einem Entwurf. Aber in Exponentialgleichungen ist es viel häufiger notwendig, nicht zu potenzieren, sondern im Gegenteil herauszufinden, welche Zahl und in welchem Umfang sich hinter der Zahl verbirgt, sagen wir 128 oder 243. Und das ist schon mehr komplizierter als einfache Potenzierung, sehen Sie. Spüren Sie den Unterschied, wie sie sagen!

Da die Fähigkeit, Grad im Gesicht zu erkennen, nicht nur auf dieser Stufe, sondern auch auf den folgenden nützlich ist, hier eine kleine Aufgabe für dich:

Bestimmen Sie, welche Potenzen und welche Zahlen Zahlen sind:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Antworten (natürlich verstreut):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ja Ja! Wundern Sie sich nicht, dass es mehr Antworten als Aufgaben gibt. Zum Beispiel sind 2 8 , 4 4 und 16 2 alle 256.

Stufe 2. Einfache Exponentialgleichungen. Abschlüsse anerkennen! Negative und gebrochene Exponenten.

Auf dieser Stufe setzen wir unser Wissen über Abschlüsse bereits voll ein. Wir beziehen nämlich negative und gebrochene Indikatoren in diesen faszinierenden Prozess ein! Ja Ja! Wir müssen Macht aufbauen, richtig?

Zum Beispiel diese schreckliche Gleichung:

Schauen Sie sich auch hier zuerst die Fundamente an. Die Grundlagen sind unterschiedlich! Und dieses Mal sind sie einander nicht einmal im Entferntesten ähnlich! 5 und 0,04 ... Und um die Basen zu eliminieren, werden die gleichen benötigt ... Was tun?

Macht nichts! Eigentlich ist alles beim Alten, nur die Verbindung zwischen der Fünf und 0,04 ist optisch schlecht sichtbar. Wie kommen wir raus? Und weiter zum üblichen Bruch in der Zahl 0,04! Und dort, sehen Sie, ist alles geformt.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Es stellt sich heraus, dass 0,04 1/25 ist! Na wer hätte das gedacht!)

Und wie? Jetzt ist die Verbindung zwischen den Zahlen 5 und 1/25 besser zu erkennen? Das ist es...

Und jetzt, nach den Regeln des Betriebs mit Befugnissen mit negativer Indikator lässt sich mit fester Hand schreiben:

Das ist großartig. Also kamen wir zur selben Basis – fünf. Wir ersetzen nun die unbequeme Zahl 0,04 in der Gleichung durch 5 -2 und erhalten:

Wiederum können wir gemäß den Regeln für Operationen mit Potenzen jetzt schreiben:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Für alle Fälle erinnere ich (plötzlich, wer kennt das nicht) daran Grundregeln Aktionen mit Befugnissen gelten für irgendein Indikatoren! Einschließlich für negative.) Sie können also die Indikatoren (-2) und (x-1) gemäß der entsprechenden Regel nehmen und multiplizieren. Unsere Gleichung wird immer besser:

Alles! Außer den einsamen Fünfen in den Abschlüssen links und rechts gibt es nichts weiter. Die Gleichung wird auf die kanonische Form reduziert. Und dann - entlang der Rändelspur. Wir entfernen die Fünfer und setzen die Indikatoren gleich:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Das Beispiel ist fast fertig. Bleibt die elementare Mathematik des Mittelstandes – wir öffnen (richtig!) die Klammern und sammeln links alles:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Wir lösen dies und erhalten zwei Wurzeln:

x 1 = 1; x 2 = 3

Das ist alles.)

Jetzt denken wir noch einmal nach. In diesem Beispiel mussten wir wieder dieselbe Zahl in unterschiedlichem Maße erkennen! Nämlich die verschlüsselte Fünf in der Zahl 0,04 zu sehen. Und diesmal drin negativer Grad! Wie haben wir es gemacht? Unterwegs - auf keinen Fall. Aber nach dem Übergang von einem Dezimalbruch von 0,04 zu einem gewöhnlichen Bruch von 1/25 wurde alles hervorgehoben! Und dann lief die ganze Entscheidung wie am Schnürchen.)

Daher noch ein grüner Praxistipp.

Wenn die Exponentialgleichung Dezimalbrüche enthält, gehen wir von Dezimalbrüchen zu gewöhnlichen Brüchen über. BEI gemeinsame Brüche Es ist viel einfacher, die Potenzen vieler beliebter Zahlen zu erkennen! Nach der Erkennung gehen wir von Brüchen zu Potenzen mit negativen Exponenten über.

Denken Sie daran, dass eine solche Täuschung in Exponentialgleichungen sehr, sehr oft vorkommt! Und die Person ist nicht im Thema. Er schaut zum Beispiel auf die Zahlen 32 und 0,125 und regt sich auf. Es ist ihm nicht bekannt, dass dies dieselbe Zwei ist, nur in unterschiedlichem Maße ... Aber Sie sind bereits im Thema!)

Löse die Gleichung:

Im! Es sieht aus wie ein stiller Horror ... Doch der Schein trügt. Dies ist die einfachste Exponentialgleichung, trotz ihrer Furcht einflößenden Aussehen. Und jetzt zeige ich es dir.)

Zuerst beschäftigen wir uns mit allen Zahlen, die in den Basen und in den Koeffizienten sitzen. Sie sind offensichtlich verschieden, ja. Aber wir gehen trotzdem das Risiko ein und versuchen sie zu machen das Gleiche! Versuchen wir, dorthin zu gelangen die gleiche Anzahl in unterschiedlichen Graden. Und am besten die Anzahl so klein wie möglich. Also, fangen wir an zu entschlüsseln!

Nun, mit den Vieren ist auf einmal alles klar - es ist 2 2 . Also schon etwas.)

Mit einem Bruchteil von 0,25 - es ist noch nicht klar. Muss geprüft werden. Wir verwenden praktische Ratschläge - gehen Sie von der Dezimalzahl zur Normalzahl:

0,25 = 25/100 = 1/4

Schon viel besser. Fürs Erste ist bereits klar ersichtlich, dass 1/4 2 -2 ist. Großartig, und die Zahl 0,25 ähnelt auch einer Zwei.)

So weit, ist es gut. Aber die schlimmste Zahl von allen bleibt - die Quadratwurzel aus zwei! Was tun mit diesem Pfeffer? Lässt es sich auch als Zweierpotenz darstellen? Und wer weiß...

Na, da steigen wir mal wieder in unsere Wissensschatzkiste zum Thema Abschlüsse! Diesmal verbinden wir zusätzlich unser Wissen über die Wurzeln. Ab dem Verlauf der 9. Klasse mussten Sie und ich es ertragen, dass jede Wurzel, wenn gewünscht, immer in einen Grad umgewandelt werden kann mit einem Bruchteil.

So:

In unserem Fall:

Wie! Es stellt sich heraus, dass die Quadratwurzel aus zwei 2 1/2 ist. Das ist es!

Das ist gut! Alle unsere unbequemen Zahlen stellten sich tatsächlich als verschlüsselte Zweien heraus.) Ich behaupte nicht, irgendwo sehr raffiniert verschlüsselt. Aber wir steigern auch unsere Professionalität beim Lösen solcher Chiffren! Und dann ist schon alles klar. Wir ersetzen die Zahlen 4, 0,25 und die Wurzel aus zwei in unserer Gleichung durch eine Zweierpotenz:

Alles! Die Basen aller Grade im Beispiel sind gleich geworden - zwei. Und jetzt werden die Standardaktionen mit Graden verwendet:

binein = bin + n

ein m: ein n = ein m-n

(am) n = ein mn

Für die linke Seite erhält man:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Für die rechte Seite gilt:

Und jetzt begann unsere böse Gleichung so auszusehen:

Für diejenigen, die nicht herausgefunden haben, wie genau diese Gleichung ausgegangen ist, dann geht es hier nicht um Exponentialgleichungen. Die Frage bezieht sich auf Aktionen mit Befugnissen. Ich bat dringend um Wiederholung für diejenigen, die Probleme haben!

Hier ist die Ziellinie! Man erhält die kanonische Form der Exponentialgleichung! Und wie? Habe ich Sie überzeugt, dass es nicht so beängstigend ist? ;) Wir entfernen die Zweien und setzen die Indikatoren gleich:

Es bleibt nur noch, diese lineare Gleichung zu lösen. Wie? Natürlich mit Hilfe identischer Transformationen.) Löse, was schon da ist! Multiplizieren Sie beide Teile mit zwei (um den Bruch 3/2 zu entfernen), verschieben Sie die Terme mit Xs nach links, ohne Xs nach rechts, bringen Sie ähnliche Einsen, zählen Sie - und Sie werden glücklich sein!

Alles soll schön werden:

X=4

Jetzt überdenken wir die Entscheidung. In diesem Beispiel wurden wir durch den Übergang aus gerettet Quadratwurzel zu Grad mit Exponent 1/2. Außerdem hat uns nur eine solche raffinierte Transformation geholfen, überall die gleiche Basis (deuce) zu erreichen, was die Situation gerettet hat! Und wenn es nicht so wäre, hätten wir jede Chance, für immer einzufrieren und dieses Beispiel niemals zu bewältigen, ja ...

Deshalb lassen wir den nächsten Praxistipp nicht außer Acht:

Wenn es Wurzeln in der Exponentialgleichung gibt, gehen wir von Wurzeln zu Potenzen mit gebrochenen Exponenten über. Sehr oft klärt erst eine solche Transformation die weitere Situation.

Natürlich sind negative und gebrochene Potenzen schon viel schwieriger. natürliche Abschlüsse. Zumindest was die visuelle Wahrnehmung und vor allem die Wiedererkennung von rechts nach links betrifft!

Es ist klar, dass es nicht so ist, zum Beispiel eine Zwei hoch -3 oder eine Vier hoch -3/2 zu potenzieren ein großes Problem. Für Kenner.)

Aber gehen Sie zum Beispiel sofort damit klar

0,125 = 2 -3

Oder

Hier regieren nur Übung und reiche Erfahrung, ja. Und natürlich freie Sicht, Was ist ein negativer und ein gebrochener exponent. Und auch - praktische Ratschläge! Ja, ja, die grün.) Ich hoffe, dass sie dir trotzdem dabei helfen, dich in der ganzen bunten Studienvielfalt besser zurechtzufinden und deine Erfolgschancen deutlich zu erhöhen! Vernachlässigen wir sie also nicht. Ich bin nicht umsonst in grün Ich schreibe manchmal.)

Wenn Sie andererseits selbst mit solch exotischen Potenzen wie negativ und gebrochen „Sie“ werden, werden Ihre Möglichkeiten beim Lösen von Exponentialgleichungen enorm erweitert, und Sie werden bereits in der Lage sein, mit fast jeder Art von Exponentialgleichungen umzugehen. Nun, wenn nicht, dann 80 Prozent aller Exponentialgleichungen – ganz sicher! Ja, ja, ich scherze nicht!

Damit ist unser erster Teil der Bekanntschaft mit Exponentialgleichungen zu seinem logischen Abschluss gekommen. Und als Training zwischendurch schlage ich traditionell vor, ein bisschen alleine zu lösen.)

Übung 1.

Damit meine Worte über das Entschlüsseln negativer und gebrochener Grade nicht umsonst sind, schlage ich vor, ein kleines Spiel zu spielen!

Drücken Sie die Zahl als Zweierpotenz aus:

Antworten (durcheinander):

Passiert? Exzellent! Dann machen wir einen Kampfeinsatz - wir lösen die einfachsten und einfachsten Exponentialgleichungen!

Aufgabe 2.

Gleichungen lösen (alle Antworten sind ein Durcheinander!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Antworten:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Passiert? Tatsächlich viel einfacher!

Dann lösen wir folgendes Spiel:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Antworten:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Und diese Beispiele von einem links? Exzellent! Du wächst! Dann haben wir hier noch ein paar Beispiele für Sie zum Naschen:

Antworten:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Und ist es entschieden? Na, Respekt! Ich nehme meinen Hut ab.) Die Lektion war also nicht umsonst, und das anfängliche Niveau der Lösung von Exponentialgleichungen kann als erfolgreich gemeistert angesehen werden. Ahead - die nächsten Level und komplexere Gleichungen! Und neue Techniken und Ansätze. Und nicht standardmäßige Beispiele. Und neue Überraschungen.) All dies - in der nächsten Lektion!

Etwas hat nicht funktioniert? Die Probleme liegen also höchstwahrscheinlich in . Oder im . Oder beides gleichzeitig. Hier bin ich machtlos. Ich kann mal wieder nur eines anbieten - sei nicht faul und stöbere durch die Links.)

Fortsetzung folgt.)

Ausrüstung:

Computer,
Multimedia-Projektor,
Bildschirm,
Anhang 1(Folienpräsentation in PowerPoint) „Methoden zum Lösen von Exponentialgleichungen“
Anhang 2(Lösung einer Gleichung wie „Drei verschiedene Gradbasen“ in Word)
Anhang 3(Handzettel in Word für praktische Arbeit).
Anhang 4(Handzettel in Word für Hausaufgaben).

Während des Unterrichts

1. Organisationsphase

Botschaft des Unterrichtsthemas (an die Tafel geschrieben),
die Notwendigkeit eines verallgemeinernden Unterrichts in den Klassen 10-11:

Die Phase der Vorbereitung der Schüler auf die aktive Aneignung von Wissen

Wiederholung

Definition.

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Variable im Exponenten enthält (der Schüler antwortet).

Anmerkung des Lehrers. Die Exponentialgleichungen gehören zur Klasse der transzendentalen Gleichungen. Dieser schwer auszusprechende Name deutet darauf hin, dass solche Gleichungen im Allgemeinen nicht in Form von Formeln gelöst werden können.

Sie können nur durch näherungsweise numerische Verfahren auf Computern gelöst werden. Aber was ist mit Prüfungsfragen? Der ganze Trick besteht darin, dass der Prüfer die Aufgabe so formuliert, dass sie gerade noch eine analytische Lösung zulässt. Mit anderen Worten, Sie können (und sollten!) solche identischen Transformationen durchführen, die die gegebene Exponentialgleichung auf die einfachste Exponentialgleichung reduzieren. Dies ist die einfachste Gleichung und heißt: die einfachste Exponentialgleichung. Es ist gelöst Logarithmus.

Die Situation bei der Lösung einer Exponentialgleichung ähnelt einer Reise durch ein Labyrinth, das eigens vom Ersteller des Problems erfunden wurde. Aus diesen sehr allgemeinen Überlegungen folgen ganz konkrete Empfehlungen.

Um Exponentialgleichungen erfolgreich zu lösen, müssen Sie:

1. Kennen Sie nicht nur aktiv alle exponentiellen Identitäten, sondern finden Sie auch Wertesätze der Variablen, auf denen diese Identitäten definiert sind, damit Sie bei Verwendung dieser Identitäten keine unnötigen Wurzeln erwerben und vor allem nicht verlieren Lösungen der Gleichung.

2. Kenne aktiv alle exponentiellen Identitäten.

3. Führen Sie mathematische Transformationen von Gleichungen klar, detailliert und fehlerfrei durch (übertragen Sie Terme von einem Teil der Gleichung in einen anderen, vergessen Sie nicht, das Vorzeichen zu ändern, reduzieren Sie den Bruch auf einen gemeinsamen Nenner usw.). Das nennt man mathematische Kultur. Gleichzeitig sollten die Berechnungen selbst automatisch von Hand erfolgen und der Kopf über den allgemeinen roten Faden der Lösung nachdenken. Es ist notwendig, Transformationen so sorgfältig und detailliert wie möglich vorzunehmen. Nur so ist eine korrekte und fehlerfreie Lösung gewährleistet. Und denken Sie daran: Ein kleiner Rechenfehler kann einfach eine transzendente Gleichung erzeugen, die im Prinzip nicht analytisch gelöst werden kann. Es stellt sich heraus, dass Sie sich verirrt haben und gegen die Wand des Labyrinths gelaufen sind.

4. Kennen Sie die Methoden zur Lösung von Problemen (dh kennen Sie alle Wege durch das Labyrinth der Lösung). Für die richtige Orientierung in jeder Phase müssen Sie (bewusst oder intuitiv!):

definieren Gleichungstyp;
Merken Sie sich den entsprechenden Typ Lösungsmethode Aufgaben.

Das Stadium der Verallgemeinerung und Systematisierung des untersuchten Materials.

Der Lehrer führt zusammen mit den Schülern unter Einbeziehung eines Computers eine Übersichtswiederholung aller Arten von Exponentialgleichungen und Methoden zu ihrer Lösung durch und erstellt ein allgemeines Schema. (Das Trainingscomputerprogramm von L. Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000" wird verwendet, der Autor der PowerPoint-Präsentation ist T. N. Kuptsova.)

Reis. eines. Die Abbildung zeigt ein allgemeines Schema aller Arten von Exponentialgleichungen.

Wie aus diesem Diagramm ersichtlich ist, besteht die Strategie zum Lösen von Exponentialgleichungen darin, diese Exponentialgleichung zunächst auf die Gleichung zu reduzieren, mit den gleichen Grundlagen , und dann - und mit denselben Exponenten.

Nachdem Sie eine Gleichung mit denselben Basen und Exponenten erhalten haben, ersetzen Sie diesen Grad durch eine neue Variable und erhalten eine einfache algebraische Gleichung (normalerweise gebrochen rational oder quadratisch) in Bezug auf diese neue Variable.

Indem Sie diese Gleichung lösen und eine inverse Substitution vornehmen, erhalten Sie eine Reihe einfacher Exponentialgleichungen, die auf allgemeine Weise mit Logarithmen gelöst werden.

Abseits stehen Gleichungen, in denen nur Produkte (privater) Potenzen auftreten. Mit Hilfe von Exponentialidentitäten ist es möglich, diese Gleichungen sofort auf eine Basis zu bringen, insbesondere auf die einfachste Exponentialgleichung.

Überlegen Sie, wie eine Exponentialgleichung mit drei verschiedenen Gradbasen gelöst wird.

(Wenn der Lehrer ein Lehrcomputerprogramm von L. Ya. Borevsky "Kurs für Mathematik - 2000" hat, dann arbeiten wir natürlich mit der Diskette, wenn nicht, können Sie diese Art von Gleichung für jeden Tisch daraus ausdrucken, wie unten dargestellt .)