Algebraische ausdrücke online umwandeln. Vereinfachung von booleschen Ausdrücken

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Mit Hilfe einer beliebigen Sprache können Sie dieselben Informationen in verschiedenen Wörtern und Sätzen ausdrücken. Mathematische Sprache ist keine Ausnahme. Aber derselbe Ausdruck kann auf unterschiedliche Weise äquivalent geschrieben werden. Und in manchen Situationen ist einer der Einträge einfacher. Wir werden in dieser Lektion über das Vereinfachen von Ausdrücken sprechen.

Menschen kommunizieren in verschiedenen Sprachen. Ein für uns wichtiger Vergleich ist das Paar „Russische Sprache – mathematische Sprache“. Dieselben Informationen können in verschiedenen Sprachen gemeldet werden. Aber abgesehen davon kann es in einer Sprache unterschiedlich ausgesprochen werden.

Zum Beispiel: „Peter ist mit Wasja befreundet“, „Wasja ist mit Petja befreundet“, „Peter und Wasja sind befreundet“. Anders gesagt, aber ein und dasselbe. Mit jedem dieser Sätze würden wir verstehen, was auf dem Spiel steht.

Schauen wir uns diesen Satz an: "Der Junge Petya und der Junge Vasya sind Freunde." Wir verstehen, worum es geht. Wir mögen jedoch nicht, wie dieser Satz klingt. Können wir es nicht vereinfachen, sagen wir dasselbe, aber einfacher? "Junge und Junge" - Sie können einmal sagen: "Jungen Petya und Vasya sind Freunde."

"Boys" ... Ist es nicht aus ihren Namen ersichtlich, dass sie keine Mädchen sind? Wir entfernen die "Jungs": "Petya und Vasya sind Freunde." Und das Wort "Freunde" kann durch "Freunde" ersetzt werden: "Petya und Vasya sind Freunde." Infolgedessen wurde der erste, lange, hässliche Satz durch eine äquivalente Aussage ersetzt, die einfacher zu sagen und leichter zu verstehen ist. Wir haben diesen Satz vereinfacht. Vereinfachen bedeutet, es einfacher zu sagen, aber nicht zu verlieren, die Bedeutung nicht zu verzerren.

Dasselbe passiert in der mathematischen Sprache. Dasselbe kann man auch anders sagen. Was bedeutet es, einen Ausdruck zu vereinfachen? Das bedeutet, dass es für den ursprünglichen Ausdruck viele äquivalente Ausdrücke gibt, also solche, die dasselbe bedeuten. Und aus all dieser Menge müssen wir die unserer Meinung nach einfachste oder für unsere weiteren Zwecke geeignetste auswählen.

Betrachten Sie beispielsweise einen numerischen Ausdruck. Es wird äquivalent sein.

Es wird auch den ersten beiden entsprechen: .

Es stellt sich heraus, dass wir unsere Ausdrücke vereinfacht und den kürzesten äquivalenten Ausdruck gefunden haben.

Bei numerischen Ausdrücken müssen Sie immer die ganze Arbeit erledigen und den äquivalenten Ausdruck als einzelne Zahl erhalten.

Betrachten Sie ein Beispiel für einen wörtlichen Ausdruck . Offensichtlich wird es einfacher sein.

Vereinfachen wörtliche Ausdrücke Sie müssen alle möglichen Schritte ausführen.

Muss ein Ausdruck immer vereinfacht werden? Nein, manchmal ist eine äquivalente, aber längere Notation für uns bequemer.

Beispiel: Subtrahieren Sie die Zahl von der Zahl.

Es ist möglich zu rechnen, aber wenn die erste Zahl durch ihre äquivalente Notation dargestellt würde: , dann würden die Berechnungen sofort erfolgen: .

Das heißt, ein vereinfachter Ausdruck ist für uns nicht immer von Vorteil für weitere Berechnungen.

Nichtsdestotrotz stehen wir sehr oft vor einer Aufgabe, die sich nur nach „Ausdruck vereinfachen“ anhört.

Den Ausdruck vereinfachen: .

Lösung

1) Aktionen in der ersten und zweiten Klammer ausführen: .

2) Berechnen Sie die Produkte: .

Offensichtlich hat der letzte Ausdruck eine einfachere Form als der erste. Wir haben es vereinfacht.

Um den Ausdruck zu vereinfachen, muss er durch ein Äquivalent (equal) ersetzt werden.

Um den äquivalenten Ausdruck zu bestimmen, müssen Sie:

1) alle möglichen Aktionen ausführen,

2) Verwenden Sie die Eigenschaften der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, um Berechnungen zu vereinfachen.

Eigenschaften von Addition und Subtraktion:

1. Kommutativgesetz der Addition: Die Summe ändert sich durch die Umordnung der Terme nicht.

2. Assoziativgesetz der Addition: Um zur Summe zweier Zahlen eine dritte Zahl zu addieren, addiert man zur ersten Zahl die Summe der zweiten und dritten Zahl.

3. Die Eigenschaft, eine Summe von einer Zahl zu subtrahieren: Um die Summe von einer Zahl zu subtrahieren, können Sie jeden Term einzeln subtrahieren.

Eigenschaften der Multiplikation und Division

1. Das Kommutativgesetz der Multiplikation: Das Produkt ändert sich nicht durch eine Permutation von Faktoren.

2. Assoziativgesetz: Um eine Zahl mit dem Produkt zweier Zahlen zu multiplizieren, können Sie sie zuerst mit dem ersten Faktor multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit dem zweiten Faktor multiplizieren.

3. Das Distributivgesetz der Multiplikation: Um eine Zahl mit einer Summe zu multiplizieren, müssen Sie sie mit jedem Term separat multiplizieren.

Mal sehen, wie wir tatsächlich mentale Berechnungen durchführen.

Berechnung:

Lösung

1) Stellen Sie sich vor, wie

2) Stellen wir den ersten Multiplikator als Summe der Bitterme dar und führen die Multiplikation durch:

3) Sie können sich vorstellen, wie und multiplizieren:

4) Ersetzen Sie den ersten Faktor durch eine äquivalente Summe:

Das Distributivgesetz kann auch in umgekehrter Richtung verwendet werden: .

Folge diesen Schritten:

1) 2)

Lösung

1) Der Einfachheit halber können Sie das Verteilungsgesetz verwenden, verwenden Sie es einfach in die entgegengesetzte Richtung - nehmen Sie den gemeinsamen Faktor aus den Klammern.

2) Nehmen wir den gemeinsamen Teiler aus Klammern heraus

In der Küche und im Flur muss Linoleum gekauft werden. Küchenbereich - Flur -. Es gibt drei Arten von Linoleum: für und Rubel für. Wie viel wird jeder von drei Arten Linoleum? (Abb. 1)

Reis. 1. Illustration für den Zustand des Problems

Lösung

Methode 1. Sie können separat herausfinden, wie viel Geld für den Kauf von Linoleum in der Küche benötigt wird, und es dann dem Flur hinzufügen und die resultierenden Arbeiten addieren.

Das Vereinfachen algebraischer Ausdrücke ist eine davon Schlüsselpunkte Algebra lernen und eine äußerst nützliche Fähigkeit für alle Mathematiker. Durch die Vereinfachung können Sie einen komplexen oder langen Ausdruck auf einen einfachen Ausdruck reduzieren, mit dem Sie leicht arbeiten können. Grundlegende Vereinfachungsfähigkeiten sind auch für diejenigen gut, die sich nicht für Mathematik begeistern. Ein paar behalten einfache Regeln, können Sie viele der häufigsten Arten von algebraischen Ausdrücken ohne besondere mathematische Kenntnisse vereinfachen.

Schritte

Wichtige Definitionen

Ähnliche Mitglieder. Dies sind Elemente mit einer Variablen derselben Ordnung, Elemente mit denselben Variablen oder freie Elemente (Elemente, die keine Variable enthalten). Mit anderen Worten, gleiche Begriffe enthalten eine Variable im gleichen Umfang, enthalten mehrere identische Variablen oder enthalten eine Variable überhaupt nicht. Die Reihenfolge der Begriffe im Ausdruck spielt keine Rolle.
- Beispielsweise sind 3x 2 und 4x 2 wie Terme, weil sie die Variable "x" zweiter Ordnung (in der zweiten Potenz) enthalten. x und x 2 sind jedoch keine ähnlichen Elemente, da sie die Variable "x" unterschiedlicher Ordnung (erster und zweiter) enthalten. Ebenso sind -3yx und 5xz keine ähnlichen Elemente, da sie unterschiedliche Variablen enthalten.
Faktorisierung. Dabei werden solche Zahlen gefunden, deren Produkt zur ursprünglichen Zahl führt. Jede ursprüngliche Zahl kann mehrere Faktoren haben. Beispielsweise kann die Zahl 12 in die folgende Reihe von Faktoren zerlegt werden: 1 × 12, 2 × 6 und 3 × 4, sodass wir sagen können, dass die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6 und 12 Faktoren von sind Zahl 12. Die Faktoren sind die gleichen wie Divisoren , dh die Zahlen, durch die die ursprüngliche Zahl teilbar ist.
- Wenn du zum Beispiel die Zahl 20 faktorisieren möchtest, schreibe es so: 4×5.
- Beachten Sie, dass beim Factoring die Variable berücksichtigt wird. Zum Beispiel 20x = 4(5x).
- Primzahlen können nicht faktorisiert werden, da sie nur durch sich selbst und 1 teilbar sind.
Merken und befolgen Sie die Reihenfolge der Vorgänge, um Fehler zu vermeiden.
- Klammern
- Grad
- Multiplikation
- Aufteilung
- Zusatz
- Subtraktion
Casting wie Mitglieder
1. Schreibe den Ausdruck auf. Die einfachsten algebraischen Ausdrücke (die keine Brüche, Wurzeln usw. enthalten) können in nur wenigen Schritten gelöst (vereinfacht) werden.
  - Vereinfache zum Beispiel den Ausdruck 1 + 2x - 3 + 4x.
2. Definieren Sie ähnliche Elemente (Elemente mit einer Variablen derselben Ordnung, Elemente mit denselben Variablen oder freie Elemente).
  - Finden Sie ähnliche Begriffe in diesem Ausdruck. Die Terme 2x und 4x enthalten eine Variable gleicher Ordnung (erste). Außerdem sind 1 und -3 freie Mitglieder (enthalten keine Variable). Somit sind in diesem Ausdruck die Begriffe 2x und 4xähnlich sind, und die Mitglieder 1 und -3 sind auch ähnlich.
3. Geben Sie ähnliche Mitglieder. Dies bedeutet, sie zu addieren oder zu subtrahieren und den Ausdruck zu vereinfachen.
  - 2x+4x= 6x
  - 1 - 3 = -2
4. Schreiben Sie den Ausdruck unter Berücksichtigung der gegebenen Terme um. Sie erhalten einen einfachen Ausdruck mit weniger Begriffen. Der neue Ausdruck entspricht dem Original.
  - In unserem Beispiel: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, das heißt, der ursprüngliche Ausdruck ist vereinfacht und einfacher zu handhaben.
5. Beachten Sie die Reihenfolge, in der Operationen ausgeführt werden, wenn Sie ähnliche Begriffe umwandeln. In unserem Beispiel war es einfach, ähnliche Begriffe zu verwenden. Bei komplexen Ausdrücken, in denen Glieder in Klammern eingeschlossen sind und Brüche und Wurzeln vorhanden sind, ist es jedoch nicht so einfach, solche Begriffe zu bringen. Befolgen Sie in diesen Fällen die Reihenfolge der Vorgänge.
  - Betrachten Sie beispielsweise den Ausdruck 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Hier wäre es ein Fehler, 3x und 2x gleich als gleiche Terme zu definieren und zu zitieren, weil man erst die Klammern erweitern muss. Führen Sie daher die Vorgänge in ihrer Reihenfolge aus.
    - 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Jetzt, wenn der Ausdruck nur Additions- und Subtraktionsoperationen enthält, können Sie ähnliche Terme umwandeln.
    - x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
    - x 2 + 12x + 3
Den Multiplikator in Klammern setzen
1. Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aller Koeffizienten des Ausdrucks. GCD ist die größte Zahl, durch die alle Koeffizienten des Ausdrucks teilbar sind.
  - Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung 9x 2 + 27x - 3. In diesem Fall ist ggT = 3, da jeder Koeffizient dieses Ausdrucks durch 3 teilbar ist.
2. Teilen Sie jeden Term des Ausdrucks durch ggT. Die resultierenden Terme enthalten kleinere Koeffizienten als im ursprünglichen Ausdruck.
  - Teilen Sie in unserem Beispiel jeden Ausdrucksterm durch 3.
    - 9x2/3=3x2
    - 27x/3=9x
    - -3/3 = -1
    - Es stellte sich der Ausdruck heraus 3x2 + 9x-1. Es ist nicht gleich dem ursprünglichen Ausdruck.
3. Schreiben Sie den ursprünglichen Ausdruck als gleich dem Produkt von ggT mal dem resultierenden Ausdruck. Das heißt, schließen Sie den resultierenden Ausdruck in Klammern ein und setzen Sie den ggT aus Klammern.
  - In unserem Beispiel: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)
4. Vereinfachen von Bruchausdrücken durch Entfernen des Multiplikators aus Klammern. Warum einfach den Multiplikator aus den Klammern nehmen, wie es früher gemacht wurde? Dann, um zu lernen, wie man vereinfacht komplexe Ausdrücke, wie Bruchausdrücke. In diesem Fall kann das Weglassen des Faktors aus der Klammer helfen, den Bruch (vom Nenner) loszuwerden.
  - Betrachten Sie zum Beispiel den Bruchausdruck (9x 2 + 27x - 3)/3. Verwenden Sie Klammern, um diesen Ausdruck zu vereinfachen.
    - Faktor 3 herausrechnen (wie zuvor): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
    - Beachten Sie, dass sowohl Zähler als auch Nenner jetzt die Zahl 3 haben. Dies kann reduziert werden und Sie erhalten den Ausdruck: (3x 2 + 9x - 1) / 1
    - Da jeder Bruch mit der Zahl 1 im Nenner genau gleich dem Zähler ist, vereinfacht sich der ursprüngliche Bruchausdruck zu: 3x2 + 9x-1.
Zusätzliche Vereinfachungstechniken
Betrachten Sie ein einfaches Beispiel: √(90). Die Zahl 90 lässt sich in folgende Faktoren zerlegen: 9 und 10, und aus 9 extrahieren Quadratwurzel(3) und nimm 3 unter der Wurzel heraus.
- √(90)
- √(9×10)
- √(9)×√(10)
- 3×√(10)
- 3√(10)
Ausdrücke mit Potenzen vereinfachen. In einigen Ausdrücken gibt es Multiplikations- oder Divisionsoperationen von Termen mit einem Grad. Bei der Multiplikation von Termen mit einer Basis werden deren Grade addiert; bei der Teilung von Termen mit gleicher Basis werden deren Grade subtrahiert.
- Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Bei der Multiplikation werden die Exponenten addiert und bei der Division subtrahiert.
  - 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
  - (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
  - 48x7+x2
- Das Folgende ist eine Erläuterung der Regel zum Multiplizieren und Dividieren von Termen mit einem Grad.
  - Das Multiplizieren von Termen mit Potenzen entspricht dem Multiplizieren von Termen mit sich selbst. Da zum Beispiel x 3 = x × x × x und x 5 = x × x × x × x × x, dann ist x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) oder x 8 .
  - Ebenso ist das Teilen von Termen durch Potenzen gleichbedeutend mit dem Teilen von Termen durch sich selbst. x 5 / x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Da ähnliche Terme, die sowohl im Zähler als auch im Nenner stehen, gekürzt werden können, bleibt im Zähler das Produkt aus zwei „x“, also x 2 .

Achten Sie immer auf die Zeichen (Plus oder Minus) vor den Begriffen eines Ausdrucks, da viele Menschen Schwierigkeiten haben, das richtige Zeichen zu wählen.
Bitten Sie um Hilfe, wenn nötig!
Das Vereinfachen algebraischer Ausdrücke ist nicht einfach, aber wenn Sie es in die Finger bekommen, können Sie diese Fähigkeit ein Leben lang anwenden.

Ausdrücke, Ausdrucksumwandlung

Potenzausdrücke (Ausdrücke mit Potenzen) und ihre Transformation

In diesem Artikel werden wir über das Transformieren von Ausdrücken mit Kräften sprechen. Zunächst konzentrieren wir uns auf Transformationen, die mit Ausdrücken jeglicher Art durchgeführt werden, einschließlich Potenzausdrücken, wie z. B. das Öffnen von Klammern, das Reduzieren ähnlicher Begriffe. Und dann werden wir die Transformationen analysieren, die speziell Ausdrücken mit Graden innewohnen: Arbeiten mit der Basis und dem Exponenten, Verwenden der Eigenschaften von Graden usw.

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Was sind Machtausdrücke?

Der Begriff „Machtausdrücke“ findet sich praktisch nicht in Schulbüchern der Mathematik, taucht aber häufig in Aufgabensammlungen auf, die beispielsweise speziell zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen und die OGE konzipiert sind. Nach der Analyse von Aufgaben, bei denen es erforderlich ist, Aktionen mit Machtausdrücken auszuführen, wird deutlich, dass unter Machtausdrücken Ausdrücke verstanden werden, die Grade in ihren Einträgen enthalten. Daher können Sie für sich die folgende Definition nehmen:

Definition.

Machtausdrücke sind Ausdrücke, die Potenzen enthalten.

Lassen Sie uns bringen Beispiele für Machtausdrücke. Außerdem stellen wir sie danach dar, wie die Entwicklung der Ansichten von einem Abschluss mit natürlichem Indikator zu einem Abschluss mit echtem Indikator erfolgt.

Wie Sie wissen, lernen Sie zuerst den Grad einer Zahl mit natürlichem Exponenten kennen, an dieser Stelle die ersten einfachsten Potenzausdrücke vom Typ 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 usw.

Etwas später wird die Potenz einer Zahl mit ganzzahligem Exponenten untersucht, was zum Auftreten von Potenzausdrücken mit negativen ganzzahligen Potenzen führt, wie z. B.: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

In den Oberstufenklassen kehren sie wieder zu den Abschlüssen zurück. Dort wird ein Grad mit rationalem Exponenten eingeführt, was zum Auftreten der entsprechenden Potenzausdrücke führt: , , usw. Schließlich werden Grade mit irrationalen Exponenten und Ausdrücke, die diese enthalten, betrachtet: , .

Die Sache beschränkt sich nicht auf die aufgeführten Potenzausdrücke: weiter dringt die Variable in den Exponenten ein, und es gibt zum Beispiel solche Ausdrücke 2 x 2 +1 oder . Und nach dem Kennenlernen beginnen Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen zu erscheinen, zum Beispiel x 2 lgx −5 x lgx.

Also haben wir die Frage geklärt, was Machtausdrücke sind. Als nächstes werden wir lernen, wie man sie umwandelt.

Die wichtigsten Arten von Transformationen von Machtausdrücken

Mit Potenzausdrücken können Sie jede der grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken durchführen. Sie können beispielsweise Klammern erweitern, numerische Ausdrücke durch ihre Werte ersetzen, ähnliche Begriffe hinzufügen und so weiter. Natürlich ist es in diesem Fall notwendig, das akzeptierte Verfahren zur Durchführung von Maßnahmen zu befolgen. Lassen Sie uns Beispiele geben.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Potenzausdrucks 2 3 ·(4 2 −12) .

Lösung.

Entsprechend der Reihenfolge der Aktionen führen wir zuerst die Aktionen in Klammern aus. Dort ersetzen wir erstens die Potenz von 4 2 durch ihren Wert 16 (siehe ggf.), und zweitens berechnen wir die Differenz 16−12=4 . Wir haben 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Im resultierenden Ausdruck ersetzen wir die Potenz von 2 3 durch ihren Wert 8 , danach berechnen wir das Produkt 8·4=32 . Dies ist der gewünschte Wert.

So, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Antworten:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Beispiel.

Vereinfachen Sie Potenzausdrücke 3 ein 4 b −7 −1+2 ein 4 b −7.

Lösung.

Offensichtlich enthält dieser Ausdruck ähnliche Terme 3 · a 4 · b − 7 und 2 · a 4 · b − 7 , und wir können sie reduzieren: .

Antworten:

3 ein 4 b −7 −1+2 ein 4 b −7 =5 ein 4 b −7 −1.

Beispiel.

Drücken Sie einen Ausdruck mit Potenzen als Produkt aus.

Lösung.

Zur Bewältigung der Aufgabe erlaubt die Darstellung der Zahl 9 als Potenz von 3 2 und die anschließende Verwendung der abgekürzten Multiplikationsformel die Differenz von Quadraten:

Antworten:

Es gibt auch eine Reihe identischer Transformationen, die Machtausdrücken innewohnen. Als nächstes werden wir sie analysieren.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Es gibt Grade, in deren Basis und / oder Indikator nicht nur Zahlen oder Variablen sind, sondern einige Ausdrücke. Als Beispiel schreiben wir (2+0.3 7) 5−3.7 und (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Beim Arbeiten mit solchen Ausdrücken ist es möglich, sowohl den Ausdruck in der Basis des Grads als auch den Ausdruck im Indikator durch einen identisch gleichen Ausdruck auf dem DPV seiner Variablen zu ersetzen. Mit anderen Worten, nach den uns bekannten Regeln können wir die Basis des Abschlusses und den Indikator separat umrechnen. Es ist klar, dass als Ergebnis dieser Transformation ein Ausdruck erhalten wird, der identisch gleich dem ursprünglichen ist.

Solche Transformationen ermöglichen es uns, Ausdrücke mit Potenzen zu vereinfachen oder andere Ziele zu erreichen, die wir brauchen. In dem oben erwähnten Potenzausdruck (2+0,3 7) 5−3,7 können Sie beispielsweise Operationen mit Zahlen in der Basis und im Exponenten durchführen, wodurch Sie zur Potenz von 4,1 1,3 gehen können. Und nachdem wir die Klammern geöffnet und ähnliche Terme in die Basis des Grades (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) eingebracht haben, erhalten wir einen Potenzausdruck einer einfacheren Form a 2·(x+1 ) .

Power-Eigenschaften verwenden

Eines der wichtigsten Werkzeuge zum Transformieren von Ausdrücken mit Potenzen sind Gleichungen, die . Erinnern wir uns an die wichtigsten. Für beliebige positive Zahlen a und b und beliebige reelle Zahlen r und s gelten die folgenden Potenzeigenschaften:

ein r ein s = ein r+s ;
a r:a s =a r−s ;
(ein b) r = ein r b r ;
(a:b) r = a r: b r ;
(a r) s = a r s .

Beachten Sie, dass für natürliche, ganzzahlige und positive Exponenten die Beschränkungen für die Zahlen a und b möglicherweise nicht so streng sind. Beispielsweise gilt für die natürlichen Zahlen m und n die Gleichheit a m ·a n = a m+n nicht nur für positive a , sondern auch für negative und für a=0 .

In der Schule liegt das Hauptaugenmerk bei der Transformation von Machtausdrücken gerade auf der Fähigkeit, die passende Eigenschaft auszuwählen und richtig anzuwenden. In diesem Fall sind die Basen der Abschlüsse in der Regel positiv, wodurch Sie die Eigenschaften der Abschlüsse uneingeschränkt nutzen können. Gleiches gilt für die Transformation von Ausdrücken, die Variablen in die Basen von Graden enthalten - der Bereich unzulässiger Werte von Variablen ist normalerweise so, dass darauf nur die Basen eingehen positive Werte, wodurch Sie die Eigenschaften von Graden frei verwenden können. Im Allgemeinen müssen Sie sich ständig fragen, ob es möglich ist, eine Eigenschaft von Graden in diesem Fall anzuwenden, da eine ungenaue Verwendung von Eigenschaften zu einer Einengung der ODZ und anderen Problemen führen kann. Diese Punkte werden detailliert und mit Beispielen im Artikel Transformation von Ausdrücken unter Verwendung der Eigenschaften von Graden besprochen. Wir beschränken uns hier auf einige einfache Beispiele.

Beispiel.

Drücken Sie den Ausdruck a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 als Potenz mit Basis a aus.

Lösung.

Zuerst transformieren wir den zweiten Faktor (a 2) −3 durch die Eigenschaft, eine Potenz zu einer Potenz zu erheben: (a 2) –3 = a 2 (–3) = a –6. In diesem Fall nimmt der anfängliche Potenzausdruck die Form a 2,5 ·a –6:a –5,5 an. Offensichtlich bleibt es, die Eigenschaften der Multiplikation und Division von Potenzen mit derselben Basis zu verwenden, die wir haben
ein 2,5 ein -6: ein -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5 − (−5,5) = a 2 .

Antworten:

ein 2,5 (ein 2) -3: ein -5,5 \u003d ein 2.

Potenzeigenschaften werden verwendet, wenn Potenzausdrücke sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links transformiert werden.

Beispiel.

Ermitteln Sie den Wert des Potenzausdrucks.

Lösung.

Gleichheit (a · b) r = a r · b r , von rechts nach links angewendet, ermöglicht es Ihnen, vom ursprünglichen Ausdruck zum Produkt der Form und weiter zu gehen. Und wenn Potenzen mit derselben Basis multipliziert werden, summieren sich die Indikatoren: .

Es war möglich, die Transformation des ursprünglichen Ausdrucks auf andere Weise durchzuführen:

Antworten:

Beispiel.

Geben Sie bei einem Potenzausdruck a 1,5 −a 0,5 −6 eine neue Variable t=a 0,5 ein.

Lösung.

Der Grad a 1,5 kann als 0,5 3 dargestellt werden und weiter auf der Grundlage der Eigenschaft des Grads im Grad (a r ) s = a r s von rechts nach links angewendet, in die Form (a 0,5) 3 umgewandelt werden. Auf diese Weise, a 1,5 – a 0,5 – 6 = (a 0,5) 3 – a 0,5 – 6. Jetzt ist es einfach, eine neue Variable t=a 0,5 einzuführen, wir erhalten t 3 −t−6 .

Antworten:

t 3 – t – 6 .

Brüche mit Potenzen umwandeln

Potenzausdrücke können Brüche mit Potenzen enthalten oder solche Brüche darstellen. Alle grundlegenden Bruchtransformationen, die Brüchen jeglicher Art innewohnen, sind vollständig auf solche Brüche anwendbar. Das heißt, Brüche, die Grade enthalten, können gekürzt, auf einen neuen Nenner gekürzt, getrennt mit ihrem Zähler und getrennt mit dem Nenner usw. Um die obigen Worte zu veranschaulichen, betrachten Sie die Lösungen mehrerer Beispiele.

Beispiel.

Machtausdruck vereinfachen .

Lösung.

Dieser Leistungsausdruck ist ein Bruchteil. Lassen Sie uns mit seinem Zähler und Nenner arbeiten. Im Zähler öffnen wir die Klammern und vereinfachen den danach erhaltenen Ausdruck mit den Eigenschaften von Potenzen, und im Nenner präsentieren wir ähnliche Begriffe:

Und wir ändern auch das Vorzeichen des Nenners, indem wir dem Bruch ein Minus voranstellen: .

Antworten:

Das Kürzen von Brüchen mit Potenzen auf einen neuen Nenner erfolgt ähnlich wie das Kürzen von rationalen Brüchen auf einen neuen Nenner. Gleichzeitig wird auch ein zusätzlicher Faktor gefunden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multipliziert. Wenn Sie diese Aktion ausführen, sollten Sie daran denken, dass die Reduzierung auf einen neuen Nenner zu einer Verengung des DPV führen kann. Damit dies nicht passiert, ist es notwendig, dass der zusätzliche Faktor für keine Werte der Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck verschwindet.

Beispiel.

Brüche auf einen neuen Nenner bringen: a) auf den Nenner a, b) zum Nenner.

Lösung.

a) In diesem Fall ist es ziemlich einfach herauszufinden, welcher zusätzliche Faktor hilft, das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Dies ist ein Multiplikator a 0,3, da a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Beachten Sie, dass im Bereich der akzeptablen Werte der Variablen a (dies ist die Menge aller positiven reellen Zahlen) der Grad a 0,3 nicht verschwindet, daher haben wir das Recht, Zähler und Nenner des gegebenen Bruchs zu multiplizieren durch diesen zusätzlichen Faktor:

b) Wenn wir uns den Nenner genauer ansehen, finden wir das

und die Multiplikation dieses Ausdrucks mit ergibt die Summe der Kubikzahlen und , also . Und das ist der neue Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch bringen müssen.

Wir haben also einen zusätzlichen Faktor gefunden. Der Ausdruck verschwindet nicht im Bereich der akzeptablen Werte der Variablen x und y, daher können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:

Antworten:

A) , B) .

Auch die Kürzung von Brüchen mit Gradzahlen ist nichts Neues: Zähler und Nenner werden als eine bestimmte Anzahl von Teilern dargestellt, und dieselben Teiler von Zähler und Nenner werden gekürzt.

Beispiel.

Kürze den Bruch: a) , B).

Lösung.

a) Zunächst lassen sich Zähler und Nenner um die Zahlen 30 und 45 kürzen, was 15 ergibt. Außerdem können Sie natürlich um x 0,5 +1 und um reduzieren . Hier ist, was wir haben:

b) In diesem Fall sind die gleichen Faktoren in Zähler und Nenner nicht sofort sichtbar. Um sie zu erhalten, müssen Sie vorläufige Transformationen durchführen. In diesem Fall bestehen sie darin, den Nenner gemäß der Quadratdifferenzformel in Faktoren zu zerlegen:

Antworten:

A)

B) .

Das Kürzen von Brüchen auf einen neuen Nenner und das Kürzen von Brüchen wird hauptsächlich verwendet, um Operationen mit Brüchen durchzuführen. Aktionen werden nach bekannten Regeln ausgeführt. Beim Addieren (Subtrahieren) von Brüchen werden diese auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, danach werden die Zähler addiert (subtrahiert) und der Nenner bleibt gleich. Das Ergebnis ist ein Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist. Die Division durch einen Bruch ist die Multiplikation mit seinem Kehrwert.

Beispiel.

Folge den Schritten .

Lösung.

Zuerst subtrahieren wir die Brüche in Klammern. Dazu bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner, nämlich , dann die Zähler subtrahieren:

Jetzt multiplizieren wir Brüche:

Offensichtlich ist eine Reduktion um die Potenz x 1/2 möglich, danach haben wir .

Sie können den Potenzausdruck im Nenner auch vereinfachen, indem Sie die Quadratdifferenzformel verwenden: .

Antworten:

Beispiel.

Machtausdruck vereinfachen .

Lösung.

Offensichtlich kann dieser Bruch um (x 2,7 +1) 2 gekürzt werden, das ergibt den Bruch . Es ist klar, dass mit den Potenzen von x etwas anderes getan werden muss. Dazu wandeln wir die resultierende Fraktion in ein Produkt um. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Eigenschaft der Teilung von Potenzen mit gleichen Basen zu nutzen: . Und am Ende des Prozesses gehen wir vom letzten Produkt zur Fraktion über.

Antworten:

Und wir fügen hinzu, dass es möglich und in vielen Fällen wünschenswert ist, Faktoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner oder vom Nenner auf den Zähler zu übertragen, indem man das Vorzeichen des Exponenten ändert. Solche Transformationen vereinfachen oft weitere Aktionen. Beispielsweise kann ein Potenzausdruck durch ersetzt werden.

Konvertieren von Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen

Oft gibt es in Ausdrücken, in denen einige Transformationen erforderlich sind, neben Graden mit gebrochenen Exponenten auch Wurzeln. Um einen solchen Ausdruck in die gewünschte Form zu bringen, reicht es in den meisten Fällen aus, nur zu Wurzeln oder nur zu Potenzen zu gehen. Da es jedoch bequemer ist, mit Graden zu arbeiten, bewegen sie sich normalerweise von Wurzeln zu Graden. Es ist jedoch ratsam, einen solchen Übergang durchzuführen, wenn die ODZ der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln durch Grade zu ersetzen, ohne auf das Modul zugreifen zu müssen, oder die ODZ in mehrere Intervalle aufzuteilen (wir haben dies ausführlich in der beschrieben). Artikel, der Übergang von Wurzeln zu Potenzen und umgekehrt Nachdem Sie sich mit dem Grad mit einem rationalen Exponenten vertraut gemacht haben, wird ein Grad mit einem irrationalen Indikator eingeführt, der es ermöglicht, von einem Grad mit einem beliebigen reellen Indikator zu sprechen Die Schule beginnt zu lernen Exponentialfunktion, die analytisch durch den Grad gegeben ist, auf dessen Basis eine Zahl steht, und im Indikator - eine Variable. Wir haben es also mit Potenzausdrücken zu tun, die Zahlen in der Basis des Grades und im Exponenten enthalten - Ausdrücke mit Variablen, und natürlich entsteht die Notwendigkeit, Transformationen solcher Ausdrücke durchzuführen.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Transformation von Ausdrücken des angegebenen Typs normalerweise beim Lösen durchgeführt werden muss Exponentialgleichungen Und exponentielle Ungleichungen, und diese Transformationen sind ziemlich einfach. In den allermeisten Fällen basieren sie auf den Eigenschaften des Abschlusses und zielen meist darauf ab, zukünftig eine neue Variable einzuführen. Die Gleichung wird uns erlauben, sie zu demonstrieren 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Zunächst werden die Exponenten, in deren Exponenten die Summe einer Variablen (oder eines Ausdrucks mit Variablen) und einer Zahl steht, durch Produkte ersetzt. Dies gilt für das erste und letzte Glied des Ausdrucks auf der linken Seite:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Als nächstes werden beide Seiten der Gleichheit durch den Ausdruck 7 2 x geteilt, der nur positive Werte für die ODZ-Variable x für die ursprüngliche Gleichung annimmt (dies ist eine Standardtechnik zum Lösen von Gleichungen dieser Art, wir sprechen nicht darüber es jetzt, also konzentrieren Sie sich auf nachfolgende Transformationen von Ausdrücken mit Potenzen ):

Nun werden Brüche mit Potenzen gestrichen, was ergibt .

Schließlich wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Verhältnissen ersetzt, was zur Gleichung führt , was gleichbedeutend ist mit . Die durchgeführten Transformationen ermöglichen es uns, eine neue Variable einzuführen, die die Lösung des Originals reduziert Exponentialgleichung zur Lösung der quadratischen Gleichung

I. V. Boikov, L. D. Romanova Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung. Teil 1. Pensa 2003.

Betrachten Sie beispielsweise einen numerischen Ausdruck. Es wird äquivalent sein.

Es wird auch den ersten beiden entsprechen: .

Es stellt sich heraus, dass wir unsere Ausdrücke vereinfacht und den kürzesten äquivalenten Ausdruck gefunden haben.

Bei numerischen Ausdrücken müssen Sie immer die ganze Arbeit erledigen und den äquivalenten Ausdruck als einzelne Zahl erhalten.

Betrachten Sie ein Beispiel für einen wörtlichen Ausdruck . Offensichtlich wird es einfacher sein.

Beim Vereinfachen von wörtlichen Ausdrücken müssen Sie alle möglichen Aktionen ausführen.

Muss ein Ausdruck immer vereinfacht werden? Nein, manchmal ist eine äquivalente, aber längere Notation für uns bequemer.

Beispiel: Subtrahieren Sie die Zahl von der Zahl.

Es ist möglich zu rechnen, aber wenn die erste Zahl durch ihre äquivalente Notation dargestellt würde: , dann würden die Berechnungen sofort erfolgen: .

Das heißt, ein vereinfachter Ausdruck ist für uns nicht immer von Vorteil für weitere Berechnungen.

Nichtsdestotrotz stehen wir sehr oft vor einer Aufgabe, die sich nur nach „Ausdruck vereinfachen“ anhört.

Den Ausdruck vereinfachen: .

Lösung

1) Aktionen in der ersten und zweiten Klammer ausführen: .

2) Berechnen Sie die Produkte: .

Offensichtlich hat der letzte Ausdruck eine einfachere Form als der erste. Wir haben es vereinfacht.

Um den Ausdruck zu vereinfachen, muss er durch ein Äquivalent (equal) ersetzt werden.

Um den äquivalenten Ausdruck zu bestimmen, müssen Sie:

1) alle möglichen Aktionen ausführen,

2) Verwenden Sie die Eigenschaften der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, um Berechnungen zu vereinfachen.

Eigenschaften von Addition und Subtraktion:

1. Kommutativgesetz der Addition: Die Summe ändert sich durch die Umordnung der Terme nicht.

2. Assoziativgesetz der Addition: Um zur Summe zweier Zahlen eine dritte Zahl zu addieren, addiert man zur ersten Zahl die Summe der zweiten und dritten Zahl.

3. Die Eigenschaft, eine Summe von einer Zahl zu subtrahieren: Um die Summe von einer Zahl zu subtrahieren, können Sie jeden Term einzeln subtrahieren.

Eigenschaften der Multiplikation und Division

1. Das Kommutativgesetz der Multiplikation: Das Produkt ändert sich nicht durch eine Permutation von Faktoren.

3. Das Distributivgesetz der Multiplikation: Um eine Zahl mit einer Summe zu multiplizieren, müssen Sie sie mit jedem Term separat multiplizieren.

Mal sehen, wie wir tatsächlich mentale Berechnungen durchführen.

Berechnung:

Lösung

1) Stellen Sie sich vor, wie

2) Stellen wir den ersten Multiplikator als Summe der Bitterme dar und führen die Multiplikation durch:

3) Sie können sich vorstellen, wie und multiplizieren:

4) Ersetzen Sie den ersten Faktor durch eine äquivalente Summe:

Das Distributivgesetz kann auch in umgekehrter Richtung verwendet werden: .

Folge diesen Schritten:

1) 2)

Lösung

1) Der Einfachheit halber können Sie das Verteilungsgesetz verwenden, verwenden Sie es einfach in die entgegengesetzte Richtung - nehmen Sie den gemeinsamen Faktor aus den Klammern.

2) Nehmen wir den gemeinsamen Teiler aus Klammern heraus

In der Küche und im Flur muss Linoleum gekauft werden. Küchenbereich - Flur -. Es gibt drei Arten von Linoleum: für und Rubel für. Wie viel kostet jede der drei Linoleumarten? (Abb. 1)

Reis. 1. Illustration für den Zustand des Problems

Lösung

Methode 1. Sie können separat herausfinden, wie viel Geld für den Kauf von Linoleum in der Küche benötigt wird, und es dann dem Flur hinzufügen und die resultierenden Arbeiten addieren.

Betrachten wir das Thema der Transformation von Ausdrücken mit Potenzen, aber zuerst werden wir auf eine Reihe von Transformationen eingehen, die mit beliebigen Ausdrücken durchgeführt werden können, einschließlich Potenzen. Wir lernen, wie man Klammern öffnet, gleiche Terme angibt, mit Basis und Exponent arbeitet, die Eigenschaften von Potenzen nutzt.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Was sind Machtausdrücke?

Im Schulunterricht verwenden die wenigsten den Ausdruck „Machtausdrücke“, aber dieser Begriff findet sich immer wieder in Sammlungen zur Vorbereitung auf die Prüfung. In den meisten Fällen bezeichnet der Ausdruck Ausdrücke, die Grade in ihren Einträgen enthalten. Dies werden wir in unserer Definition widerspiegeln.

Bestimmung 1

Machtausdruck ist ein Ausdruck, der Grade enthält.

Wir geben mehrere Beispiele für Potenzausdrücke, beginnend mit einem Grad mit einem natürlichen Exponenten und endend mit einem Grad mit einem reellen Exponenten.

Die einfachsten Potenzausdrücke können als Potenzen einer Zahl mit natürlichem Exponenten betrachtet werden: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + ein 2 , x 3 − 1 , (ein 2) 3 . Sowie Potenzen mit Exponent null: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Und Potenzen mit negativen ganzzahligen Potenzen: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Es ist etwas schwieriger, mit einem Grad zu arbeiten, der rationale und irrationale Exponenten hat: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Der Indikator kann eine Variable 3 x - 54 - 7 3 x - 58 oder ein Logarithmus sein x 2 l g x − 5 x l g x.

Wir haben uns mit der Frage beschäftigt, was Machtausdrücke sind. Werfen wir nun einen Blick auf ihre Transformation.

Die wichtigsten Arten von Transformationen von Machtausdrücken

Zunächst betrachten wir die grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken, die mit Potenzausdrücken durchgeführt werden können.

Beispiel 1

Berechnen Sie den Leistungsausdruckswert 2 3 (4 2 − 12).

Lösung

Wir werden alle Transformationen in Übereinstimmung mit der Reihenfolge der Aktionen durchführen. In diesem Fall beginnen wir mit den Aktionen in Klammern: Wir ersetzen den Grad durch einen digitalen Wert und berechnen die Differenz zwischen den beiden Zahlen. Wir haben 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Es bleibt uns, den Abschluss zu ersetzen 2 3 es bedeutet 8 und das Produkt berechnen 8 4 = 32. Hier ist unsere Antwort.

Antworten: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Beispiel 2

Vereinfachen Sie den Ausdruck mit Kräften 3 ein 4 b − 7 − 1 + 2 ein 4 b − 7.

Lösung

Der uns im Zustand des Problems gegebene Ausdruck enthält ähnliche Begriffe, die wir bringen können: 3 ein 4 b − 7 − 1 + 2 ein 4 b − 7 = 5 ein 4 b − 7 − 1.

Antworten: 3 ein 4 b − 7 − 1 + 2 ein 4 b − 7 = 5 ein 4 b − 7 − 1 .

Beispiel 3

Drücken Sie einen Ausdruck mit Potenzen von 9 - b 3 · π - 1 2 als Produkt aus.

Lösung

Stellen wir die Zahl 9 als Potenz dar 3 2 und wenden Sie die abgekürzte Multiplikationsformel an:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Antworten: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Kommen wir nun zur Analyse identischer Transformationen, die speziell auf Potenzausdrücke angewendet werden können.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Der Grad in der Basis oder im Exponenten kann Zahlen, Variablen und einige Ausdrücke enthalten. Zum Beispiel, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 Und . Es ist schwierig, mit solchen Aufzeichnungen zu arbeiten. Viel einfacher ist es, den Ausdruck in der Basis des Grads oder den Ausdruck im Exponenten durch einen identisch gleichen Ausdruck zu ersetzen.

Die Transformationen des Grades und des Indikators erfolgen nach den uns bekannten Regeln getrennt voneinander. Das Wichtigste ist, dass als Ergebnis der Transformationen ein Ausdruck erhalten wird, der mit dem ursprünglichen identisch ist.

Der Zweck von Transformationen besteht darin, den ursprünglichen Ausdruck zu vereinfachen oder eine Lösung des Problems zu erhalten. In dem Beispiel, das wir oben gegeben haben, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 können Sie beispielsweise Operationen ausführen, um zum Grad zu gelangen 4 , 1 1 , 3 . Wenn wir die Klammern öffnen, können wir ähnliche Begriffe in die Basis des Abschlusses einbringen (ein (ein + 1) − ein 2) 2 (x + 1) und erhalten Sie einen Machtausdruck einer einfacheren Form a 2 (x + 1).

Power-Eigenschaften verwenden

Die als Gleichheit geschriebenen Eigenschaften von Graden sind eines der Hauptwerkzeuge zum Transformieren von Ausdrücken mit Graden. In Anbetracht dessen stellen wir hier die wichtigsten vor A Und B ist beliebig positive Zahlen, A R Und S- beliebige reelle Zahlen:

Bestimmung 2

ein r ein s = ein r + s ;
ein r: ein s = ein r - s ;
(ein b) r = ein r b r ;
(a: b) r = ein r: b r ;
(ein r) s = ein r s .

In Fällen, in denen wir es mit natürlichen, ganzzahligen, positiven Exponenten zu tun haben, können die Beschränkungen für die Zahlen a und b viel weniger streng sein. Also zum Beispiel, wenn wir die Gleichheit betrachten ein m ein n = ein m + n, Wo M Und N – ganze Zahlen, dann gilt es für alle Werte von a , sowohl positiv als auch negativ, sowie für a = 0.

Sie können die Eigenschaften von Graden ohne Einschränkungen in Fällen anwenden, in denen die Basen der Grade positiv sind oder Variablen enthalten, deren Bereich akzeptabler Werte so ist, dass die Basen nur positive Werte annehmen. Tatsächlich besteht die Aufgabe des Schülers im Rahmen des Schullehrplans in Mathematik darin, zu wählen geeignetes Grundstück und seine richtige Anwendung.

Bei der Vorbereitung auf den Hochschulzugang kann es Aufgaben geben, bei denen eine ungenaue Anwendung von Eigenschaften zu einer Einengung der ODZ und anderen Schwierigkeiten bei der Lösung führt. In diesem Abschnitt betrachten wir nur zwei solcher Fälle. Mehr Informationen zu der Frage finden Sie im Thema "Umwandlung von Ausdrücken mit den Eigenschaften von Potenzen".

Beispiel 4

Den Ausdruck darstellen a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 als Abschluss mit Basis A.

Lösung

Zunächst nutzen wir die Potenzierungseigenschaft und transformieren damit den zweiten Faktor (ein 2) − 3. Dann verwenden wir die Eigenschaften der Multiplikation und Division von Potenzen mit derselben Basis:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = ein 2 .

Antworten: ein 2 , 5 (ein 2) − 3: ein − 5 , 5 = ein 2 .

Die Transformation von Potenzausdrücken nach der Eigenschaft von Graden kann sowohl von links nach rechts als auch in die entgegengesetzte Richtung erfolgen.

Beispiel 5

Finden Sie den Wert des Potenzausdrucks 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Lösung

Wenden wir die Gleichheit an (ein b) r = ein r b r, von rechts nach links, dann erhalten wir ein Produkt der Form 3 7 1 3 21 2 3 und dann 21 1 3 21 2 3 . Addieren wir die Exponenten beim Multiplizieren von Potenzen mit denselben Basen: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Es gibt eine andere Möglichkeit, Transformationen vorzunehmen:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Antworten: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Beispiel 6

Angesichts eines Machtausdrucks ein 1 , 5 − ein 0 , 5 − 6, geben Sie eine neue Variable ein t = a 0 , 5.

Lösung

Stellen Sie sich den Abschluss vor 1, 5 Wie a 0 , 5 3. Verwenden der Eigenschaft Degree in einem Degree (ein r) s = ein r s von rechts nach links und erhalte (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . In dem resultierenden Ausdruck können Sie einfach eine neue Variable einführen t = a 0 , 5: erhalten t 3 − t − 6.

Antworten: t 3 − t − 6 .

Brüche mit Potenzen umwandeln

Üblicherweise haben wir es mit zwei Varianten von Potenzausdrücken mit Brüchen zu tun: Der Ausdruck ist ein Bruch mit einem Grad oder enthält einen solchen Bruch. Alle grundlegenden Bruchtransformationen sind ohne Einschränkungen auf solche Ausdrücke anwendbar. Sie lassen sich kürzen, auf einen neuen Nenner bringen, mit Zähler und Nenner getrennt arbeiten. Lassen Sie uns dies anhand von Beispielen veranschaulichen.

Beispiel 7

Vereinfache den Potenzausdruck 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Lösung

Wir haben es mit einem Bruch zu tun, also führen wir Transformationen sowohl im Zähler als auch im Nenner durch:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Setze ein Minus vor den Bruch, um das Vorzeichen des Nenners zu ändern: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Antworten: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Brüche, die Potenzen enthalten, werden wie rationale Brüche auf einen neuen Nenner gebracht. Dazu müssen Sie einen zusätzlichen Faktor finden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren. Es ist notwendig, einen zusätzlichen Faktor so zu wählen, dass er für keine Werte der Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck verschwindet.

Beispiel 8

Bringen Sie die Brüche auf einen neuen Nenner: a) a + 1 a 0, 7 auf den Nenner A, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 zum Nenner x + 8 y 1 2 .

Lösung

a) Wir wählen einen Faktor, der es uns erlaubt, auf einen neuen Nenner zu reduzieren. ein 0 , 7 ein 0 , 3 = ein 0 , 7 + 0 , 3 = ein , daher nehmen wir als zusätzlichen Faktor eine 0 , 3. Der Bereich der zulässigen Werte der Variablen a umfasst die Menge aller positiven reellen Zahlen. In diesem Bereich ist der Abschluss eine 0 , 3 geht nicht auf null.

Multiplizieren wir Zähler und Nenner eines Bruchs mit eine 0 , 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Achte auf den Nenner:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Multiplizieren Sie diesen Ausdruck mit x 1 3 + 2 · y 1 6 , erhalten wir die Summe der Kuben x 1 3 und 2 · y 1 6 , d.h. x + 8 · y 1 2 . Dies ist unser neuer Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch bringen müssen.

Also haben wir einen zusätzlichen Faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 gefunden. Über den Bereich akzeptabler Werte von Variablen X Und j der Ausdruck x 1 3 + 2 y 1 6 verschwindet nicht, also können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Antworten: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 j 1 2 .

Beispiel 9

Kürze den Bruch: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Lösung

a) Verwenden Sie den größten gemeinsamen Nenner (ggT), um den sich Zähler und Nenner kürzen lassen. Für die Zahlen 30 und 45 ist dies 15 . Wir können auch reduzieren x 0 , 5 + 1 und auf x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Wir bekommen:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Hier ist das Vorhandensein identischer Faktoren nicht offensichtlich. Sie müssen einige Transformationen durchführen, um die gleichen Faktoren in Zähler und Nenner zu erhalten. Dazu erweitern wir den Nenner mit der Quadratdifferenzformel:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Antworten: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Die Hauptoperationen mit Brüchen umfassen das Kürzen auf einen neuen Nenner und das Kürzen von Brüchen. Beide Aktionen werden in Übereinstimmung mit einer Reihe von Regeln ausgeführt. Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen werden die Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, danach werden Aktionen (Addition oder Subtraktion) mit Zählern durchgeführt. Der Nenner bleibt gleich. Das Ergebnis unserer Aktionen ist ein neuer Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist.

Beispiel 10

Führen Sie die Schritte x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 aus.

Lösung

Beginnen wir damit, die Brüche in Klammern zu subtrahieren. Bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Subtrahieren wir die Zähler:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Jetzt multiplizieren wir Brüche:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Lassen Sie uns um ein Grad reduzieren x 1 2, erhalten wir 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Zusätzlich kannst du den Potenzausdruck im Nenner mit der Formel für die Differenz von Quadraten vereinfachen: Quadrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Antworten: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Beispiel 11

Vereinfache den Potenzausdruck x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Lösung

Wir können den Bruch um kürzen (x 2 , 7 + 1) 2. Wir erhalten einen Bruch x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Fahren wir mit der Transformation von x Potenzen x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 fort. Jetzt können Sie die Potenzteilungseigenschaft mit denselben Basen verwenden: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Wir gehen vom letzten Produkt zum Bruch x 1 3 8 x 2, 7 + 1 über.

Antworten: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

In den meisten Fällen ist es bequemer, Multiplikatoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner und umgekehrt zu übertragen, indem man das Vorzeichen des Exponenten ändert. Diese Aktion vereinfacht die weitere Entscheidung. Nehmen wir ein Beispiel: Der Potenzausdruck (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 kann durch x 3 · (x + 1) 0 , 2 ersetzt werden.

Konvertieren von Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen

In Aufgaben gibt es Potenzausdrücke, die nicht nur Grade mit gebrochenen Exponenten enthalten, sondern auch Wurzeln. Es ist wünschenswert, solche Ausdrücke nur auf Wurzeln oder nur auf Potenzen zu reduzieren. Der Übergang zu Graden ist vorzuziehen, da sie einfacher zu handhaben sind. Ein solcher Übergang ist besonders vorteilhaft, wenn der DPV der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen erlaubt, die Wurzeln durch Potenzen zu ersetzen, ohne auf den Modulus zugreifen oder den DPV in mehrere Intervalle aufteilen zu müssen.

Beispiel 12

Drücken Sie den Ausdruck x 1 9 x x 3 6 als Potenz aus.

Lösung

Gültiger Bereich einer Variablen X wird durch zwei Ungleichungen bestimmt x ≥ 0 und x · x 3 ≥ 0 , die die Menge definieren [ 0 , + ∞) .

An diesem Set haben wir das Recht, von den Wurzeln zu Kräften zu wechseln:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Unter Verwendung der Eigenschaften von Graden vereinfachen wir den resultierenden Potenzausdruck.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Antworten: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Potenzen umrechnen mit Variablen im Exponenten

Diese Transformationen sind recht einfach durchzuführen, wenn Sie die Eigenschaften des Grads richtig verwenden. Zum Beispiel, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Wir können das Produkt des Grades ersetzen, in dessen Begriff die Summe einer Variablen und einer Zahl gefunden wird. Auf der linken Seite kann dies mit dem ersten und letzten Term auf der linken Seite des Ausdrucks erfolgen:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Lassen Sie uns nun beide Seiten der Gleichung durch dividieren 7 2x. Dieser Ausdruck auf der ODZ der Variablen x nimmt nur positive Werte an:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Lassen Sie uns die Brüche mit Potenzen kürzen, wir erhalten: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Schließlich wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Verhältnissen ersetzt, was zu der Gleichung 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 führt, was äquivalent zu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 ist x - 2 = 0 .

Wir führen eine neue Variable t = 5 7 x ein, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung reduziert quadratische Gleichung 5 t 2 − 3 t − 2 = 0 .

Umrechnen von Ausdrücken mit Potenzen und Logarithmen

Ausdrücke, die Potenzen und Logarithmen enthalten, finden sich auch in Aufgaben. Beispiele für solche Ausdrücke sind: 1 4 1 - 5 log 2 3 oder log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Die Transformation solcher Ausdrücke erfolgt mit den oben diskutierten Ansätzen und den Eigenschaften von Logarithmen, die wir im Thema „Transformation logarithmischer Ausdrücke“ ausführlich analysiert haben.

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Algebraische ausdrücke online umwandeln. Vereinfachung von booleschen Ausdrücken

Schritte

Wichtige Definitionen

Casting wie Mitglieder

Den Multiplikator in Klammern setzen

Zusätzliche Vereinfachungstechniken

Potenzausdrücke (Ausdrücke mit Potenzen) und ihre Transformation

Was sind Machtausdrücke?

Die wichtigsten Arten von Transformationen von Machtausdrücken

Arbeiten mit Basis und Exponent

Power-Eigenschaften verwenden

Brüche mit Potenzen umwandeln

Konvertieren von Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen

Was sind Machtausdrücke?

Die wichtigsten Arten von Transformationen von Machtausdrücken

Arbeiten mit Basis und Exponent

Power-Eigenschaften verwenden

Brüche mit Potenzen umwandeln

Konvertieren von Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen

Potenzen umrechnen mit Variablen im Exponenten

Umrechnen von Ausdrücken mit Potenzen und Logarithmen