Der Exponent wird verwendet, um das Schreiben der Operation des Multiplizierens einer Zahl mit sich selbst zu vereinfachen. Anstatt zu schreiben, kannst du zum Beispiel schreiben 4 5 (\displaystyle 4^(5))(Eine Erläuterung eines solchen Übergangs finden Sie im ersten Abschnitt dieses Artikels). Exponenten erleichtern das Schreiben von langen oder komplexe Ausdrücke oder Gleichungen; Außerdem lassen sich Potenzen leicht addieren und subtrahieren, was zu einer Vereinfachung eines Ausdrucks oder einer Gleichung führt (z. B. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Notiz: Wenn Sie eine Exponentialgleichung lösen müssen (in einer solchen Gleichung steht die Unbekannte im Exponenten), lesen Sie.

Schritte

Einfache Probleme mit Potenzen lösen

Multipliziere die Basis des Exponenten so oft mit sich selbst, wie der Exponent. Wenn Sie ein Problem mit Exponenten manuell lösen müssen, schreiben Sie den Exponenten als Multiplikationsoperation um, bei der die Basis des Exponenten mit sich selbst multipliziert wird. Zum Beispiel angesichts des Abschlusses 3 4 (\displaystyle 3^(4)). In diesem Fall muss die Basis von Grad 3 4-mal mit sich selbst multipliziert werden: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Hier sind weitere Beispiele:

Multiplizieren Sie zuerst die ersten beiden Zahlen. Zum Beispiel, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Keine Sorge – der Berechnungsprozess ist nicht so kompliziert, wie es auf den ersten Blick scheint. Multipliziere zuerst die ersten beiden Quadrupel und ersetze sie dann durch das Ergebnis. So:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Multiplizieren Sie das Ergebnis (in unserem Beispiel 16) mit der nächsten Zahl. Jedes nachfolgende Ergebnis erhöht sich proportional. Multiplizieren Sie in unserem Beispiel 16 mit 4. So:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Multiplizieren Sie das Ergebnis der Multiplikation der ersten beiden Zahlen mit der nächsten Zahl, bis Sie das endgültige Ergebnis erhalten. Multiplizieren Sie dazu die ersten beiden Zahlen und multiplizieren Sie dann das Ergebnis mit der nächsten Zahl in der Folge. Diese Methode gilt für alle Studiengänge. In unserem Beispiel sollten Sie Folgendes erhalten: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Löse die folgenden Probleme.Überprüfe deine Antwort mit einem Taschenrechner.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Suchen Sie auf dem Taschenrechner nach der Taste mit der Bezeichnung „exp“ oder „ xn (\displaystyle x^(n))“ oder „^“. Mit dieser Taste potenzieren Sie eine Zahl. Es ist praktisch unmöglich, den Grad mit einem großen Exponenten manuell zu berechnen (z 9 15 (\displaystyle 9^(15))), aber der Taschenrechner kann diese Aufgabe problemlos bewältigen. In Windows 7 kann der Standardrechner in den Engineering-Modus geschaltet werden; Klicken Sie dazu auf "Ansicht" -\u003e "Engineering". Um in den normalen Modus zu wechseln, klicken Sie auf "Ansicht" -\u003e "Normal".

   • Überprüfen Sie die erhaltene Antwort mit einer Suchmaschine (Google oder Yandex). Geben Sie den Ausdruck mit der Taste "^" auf der Computertastatur in die Suchmaschine ein, die sofort die richtige Antwort anzeigt (und möglicherweise ähnliche Ausdrücke zum Lernen vorschlägt).

   Addition, Subtraktion, Multiplikation von Potenzen

   1. Sie können Potenzen nur dann addieren und subtrahieren, wenn sie dieselbe Basis haben. Wenn Sie Potenzen mit denselben Basen und Exponenten addieren müssen, können Sie die Additionsoperation durch eine Multiplikationsoperation ersetzen. Zum Beispiel angesichts des Ausdrucks 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Denken Sie daran, dass der Grad 4 5 (\displaystyle 4^(5)) darstellen kann als 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); auf diese Weise, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(wobei 1 +1 =2). Das heißt, zähle die Anzahl ähnlicher Grade und multipliziere dann einen solchen Grad und diese Zahl. Potenzieren Sie in unserem Beispiel 4 mit der fünften Potenz und multiplizieren Sie das Ergebnis dann mit 2. Denken Sie daran, dass die Additionsoperation durch eine Multiplikationsoperation ersetzt werden kann, zum Beispiel: 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Hier sind weitere Beispiele:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Beim Multiplizieren von Potenzen mit derselben Basis werden ihre Exponenten addiert (die Basis ändert sich nicht). Zum Beispiel angesichts des Ausdrucks x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). In diesem Fall müssen Sie nur die Indikatoren hinzufügen und die Basis unverändert lassen. Auf diese Weise, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Hier ist eine visuelle Erklärung dieser Regel:

      Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten multipliziert. Zum Beispiel mit einem Abschluss. Da die Exponenten also multipliziert werden (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Die Bedeutung dieser Regel ist, dass Sie die Leistung multiplizieren (x 2) (\displaystyle (x^(2))) auf sich selbst fünfmal. So:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Da die Basis dieselbe ist, addieren sich die Exponenten einfach: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Ein Exponent mit einem negativen Exponenten sollte in einen Bruch umgewandelt werden (inverse Potenz). Es macht nichts, wenn Sie nicht wissen, was ein Kehrwert ist. Wenn Sie beispielsweise einen Abschluss mit negativem Exponenten erhalten, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), schreibe diese Potenz in den Nenner des Bruchs (setze 1 in den Zähler) und mache den Exponenten positiv. In unserem Beispiel: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Hier sind weitere Beispiele:

      Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert (die Basis ändert sich nicht). Die Divisionsoperation ist das Gegenteil der Multiplikationsoperation. Zum Beispiel angesichts des Ausdrucks 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Subtrahiere den Exponenten im Nenner vom Exponenten im Zähler (verändere die Basis nicht). Auf diese Weise, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Der Grad im Nenner kann wie folgt geschrieben werden: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Denken Sie daran, dass ein Bruch eine Zahl (Potenz, Ausdruck) mit einem negativen Exponenten ist.

   4. Im Folgenden finden Sie einige Ausdrücke, die Ihnen helfen sollen, Energieprobleme zu lösen. Die obigen Ausdrücke decken das in diesem Abschnitt präsentierte Material ab. Um die Antwort zu sehen, markieren Sie einfach das leere Feld nach dem Gleichheitszeichen.

   Lösen von Problemen mit Bruchexponenten

   Ein Grad mit einem gebrochenen Exponenten (z. B. ) wird in eine Wurzelziehoperation umgewandelt. In unserem Beispiel: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Es spielt keine Rolle, welche Zahl im Nenner des Bruchexponenten steht. Zum Beispiel, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) ist die vierte Wurzel von "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Wenn der Exponent ein unechter Bruch ist, dann kann ein solcher Exponent in zwei Potenzen zerlegt werden, um die Lösung des Problems zu vereinfachen. Daran ist nichts Kompliziertes - denken Sie nur an die Regel zum Multiplizieren von Potenzen. Zum Beispiel mit einem Abschluss. Verwandle diesen Exponenten in eine Wurzel, deren Exponent gleich dem Nenner des Bruchexponenten ist, und erhöhe dann diese Wurzel auf den Exponenten, der gleich dem Zähler des Bruchexponenten ist. Denken Sie daran, um dies zu tun 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). In unserem Beispiel:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Einige Taschenrechner haben eine Schaltfläche zum Berechnen von Exponenten (zuerst müssen Sie die Basis eingeben, dann die Schaltfläche drücken und dann den Exponenten eingeben). Es wird als ^ oder x^y bezeichnet.
   3. Denken Sie daran, dass jede Zahl gleich sich selbst zur ersten Potenz ist, zum Beispiel, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Außerdem ist jede Zahl multipliziert oder dividiert mit eins gleich sich selbst, zum Beispiel 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) und 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Wisse, dass der Grad 0 0 nicht existiert (ein solcher Grad hat keine Lösung). Wenn Sie versuchen, einen solchen Abschluss auf einem Taschenrechner oder Computer zu lösen, erhalten Sie eine Fehlermeldung. Aber denken Sie daran, dass jede Zahl hoch Null gleich 1 ist, zum Beispiel, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. In der höheren Mathematik, die mit imaginären Zahlen operiert: e ein ich x = c o s ein x + ich s ich n ein x (\ displaystyle e ^ (a) ix = cosax + isinax), wo ich = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e eine Konstante ist, die ungefähr gleich 2,7 ist; a ist eine beliebige Konstante. Den Beweis dieser Gleichheit findet man in jedem Lehrbuch der höheren Mathematik.

   Warnungen

   • Wenn der Exponent zunimmt, nimmt sein Wert stark zu. Wenn Ihnen also die Antwort falsch erscheint, kann sie sich tatsächlich als wahr herausstellen. Sie können dies überprüfen, indem Sie eine beliebige Exponentialfunktion zeichnen, z. B. 2 x .

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Erinnern wir uns zunächst an die Grundformeln der Grade und ihre Eigenschaften.

Produkt einer Zahl a n mal auf sich selbst passiert, können wir diesen Ausdruck als a a … a=a n schreiben

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. ein n ein m = ein n + m

4. (ein n) m = ein nm

5. ein n b n = (ab) n

7. ein n / ein m \u003d ein n - m

Potenz- oder Exponentialgleichungen- Dies sind Gleichungen, in denen die Variablen Potenzen (oder Exponenten) sind und die Basis eine Zahl ist.

Beispiele für Exponentialgleichungen:

In diesem Beispiel ist die Zahl 6 die Basis, sie steht immer ganz unten, und die Variable x Grad oder Maß.

Lassen Sie uns weitere Beispiele für Exponentialgleichungen geben.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Schauen wir uns nun an, wie Exponentialgleichungen gelöst werden.

Nehmen wir eine einfache Gleichung:

2 x = 2 3

Ein solches Beispiel kann sogar im Kopf gelöst werden. Es ist ersichtlich, dass x = 3 ist. Damit die linke und die rechte Seite gleich sind, müssen Sie schließlich die Zahl 3 anstelle von x eingeben.
Sehen wir uns nun an, wie diese Entscheidung getroffen werden sollte:

2 x = 2 3
x = 3

Um diese Gleichung zu lösen, haben wir entfernt gleiche Gründe(das heißt Zweien) und schrieb auf, was übrig blieb, das sind Grade. Wir haben die Antwort bekommen, nach der wir gesucht haben.

Lassen Sie uns nun unsere Lösung zusammenfassen.

Lösungsalgorithmus Exponentialgleichung:
1. Muss überprüft werden das Gleiche ob die Basen der Gleichung rechts und links sind. Wenn die Gründe nicht dieselben sind, suchen wir nach Optionen, um dieses Beispiel zu lösen.
2. Nachdem die Basen gleich sind, gleichsetzen Grad und lösen Sie die resultierende neue Gleichung.

Lassen Sie uns nun einige Beispiele lösen:

Fangen wir einfach an.

Die Basen auf der linken und rechten Seite sind gleich der Zahl 2, was bedeutet, dass wir die Basis verwerfen und ihre Grade gleichsetzen können.

x+2=4 Die einfachste Gleichung hat sich herausgestellt.
x=4 - 2
x=2
Antwort: x=2

Im folgenden Beispiel sehen Sie, dass die Basen unterschiedlich sind, das sind 3 und 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Zunächst übertragen wir die Neun auf die rechte Seite, wir erhalten:

Jetzt müssen Sie die gleichen Basen herstellen. Wir wissen, dass 9=3 2 . Verwenden wir die Potenzformel (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Wir erhalten 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 jetzt ist klar, dass die Basen auf der linken und rechten Seite gleich und gleich drei sind, was bedeutet, dass wir sie verwerfen und die Grade gleichsetzen können.

3x=2x+16 hat die einfachste Gleichung
3x-2x=16
x=16
Antwort: x=16.

Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Zuerst schauen wir uns die Basen an, die Basen sind zwei und vier unterschiedlich. Und wir müssen gleich sein. Wir transformieren das Quadrupel nach der Formel (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Und wir verwenden auch eine Formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Ergänze die Gleichung:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Wir haben aus den gleichen Gründen ein Beispiel gegeben. Aber andere Nummern 10 und 24 stören uns. Was tun mit ihnen? Wenn Sie genau hinsehen, können Sie sehen, dass wir auf der linken Seite 2 2x wiederholen, hier ist die Antwort - wir können 2 2x aus Klammern setzen:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Lassen Sie uns den Ausdruck in Klammern berechnen:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Wir teilen die ganze Gleichung durch 6:

Stellen Sie sich 4=2 2 vor:

2 2x \u003d 2 2 Basen sind gleich, verwerfen Sie sie und setzen Sie die Grade gleich.
2x \u003d 2 erwies sich als die einfachste Gleichung. Wir teilen es durch 2, wir bekommen
x = 1
Antwort: x = 1.

Lösen wir die Gleichung:

9x - 12*3x +27= 0

Lassen Sie uns transformieren:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Wir erhalten die Gleichung:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Unsere Basen sind die gleichen, gleich 3. In diesem Beispiel ist klar, dass das erste Tripel einen doppelten (2x) Grad hat als das zweite (nur x). In diesem Fall können Sie entscheiden Substitutionsmethode. Die Zahl mit dem kleinsten Grad wird ersetzt durch:

Dann 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Wir ersetzen alle Grade durch x in der Gleichung mit t:

t 2 - 12 t + 27 \u003d 0
Wir bekommen quadratische Gleichung. Wir lösen durch die Diskriminante, wir erhalten:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Zurück zu Variable x.

Wir nehmen t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Das ist,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Eine Wurzel wurde gefunden. Wir suchen den zweiten, ab t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Antwort: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Auf der Website können Sie im Abschnitt HILFE ENTSCHEIDEN, um interessante Fragen zu stellen, wir werden Ihnen auf jeden Fall antworten.

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Erste Ebene

Grad und seine Eigenschaften. Umfassender Leitfaden (2019)

Warum braucht es Abschlüsse? Wo brauchen Sie sie? Warum müssen Sie Zeit damit verbringen, sie zu studieren?

Um alles über Abschlüsse zu erfahren, wofür sie sind und wie Sie Ihr Wissen einsetzen können Alltagsleben Lesen Sie diesen Artikel.

Und natürlich bringt Sie die Kenntnis der Abschlüsse einem erfolgreichen Abschluss näher Passieren der OGE oder dem Einheitlichen Staatsexamen und zum Eintritt in die Universität Ihrer Träume.

Los geht's!)

Wichtiger Hinweis! Wenn Sie anstelle von Formeln Kauderwelsch sehen, leeren Sie Ihren Cache. Drücken Sie dazu STRG+F5 (unter Windows) oder Cmd+R (unter Mac).

ERSTE EBENE

Potenzierung ist die gleiche mathematische Operation wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Jetzt werde ich alles in sehr menschlicher Sprache erklären einfache Beispiele. Passt auf. Beispiele sind elementar, erklären aber wichtige Dinge.

Beginnen wir mit der Addition.

Hier gibt es nichts zu erklären. Ihr wisst schon alles: Wir sind zu acht. Jeder hat zwei Flaschen Cola. Wie viel Cola? Das ist richtig - 16 Flaschen.

Jetzt Multiplikation.

Dasselbe Beispiel mit Cola kann auch anders geschrieben werden: . Mathematiker sind schlaue und faule Leute. Sie bemerken zuerst einige Muster und finden dann eine Möglichkeit, sie schneller zu „zählen“. In unserem Fall bemerkten sie, dass jede der acht Personen die gleiche Anzahl von Cola-Flaschen hatte, und entwickelten eine Technik namens Multiplikation. Stimmen Sie zu, es gilt als einfacher und schneller als.

Um also schneller, einfacher und fehlerfrei zu zählen, müssen Sie sich nur daran erinnern Multiplikationstabelle. Natürlich geht alles auch langsamer, härter und mit Fehlern! Aber…

Hier ist das Einmaleins. Wiederholen.

Und noch ein hübscher:

Und welche anderen kniffligen Zähltricks sind faulen Mathematikern eingefallen? Recht - eine Zahl potenzieren.

Eine Zahl potenzieren

Wenn Sie eine Zahl fünfmal mit sich selbst multiplizieren müssen, sagen Mathematiker, dass Sie diese Zahl in die fünfte Potenz erheben müssen. Zum Beispiel, . Mathematiker erinnern sich, dass zwei hoch fünf ist. Und sie lösen solche Probleme im Kopf – schneller, einfacher und fehlerfrei.

Dazu brauchen Sie nur Merken Sie sich, was in der Tabelle der Zahlenpotenzen farbig hervorgehoben ist. Glauben Sie mir, es wird Ihr Leben viel einfacher machen.

Übrigens, warum heißt der zweite Grad Quadrat Nummern und die dritte Würfel? Was bedeutet das? Eine sehr gute Frage. Jetzt haben Sie sowohl Quadrate als auch Würfel.

Beispiel #1 aus dem wirklichen Leben

Beginnen wir mit einem Quadrat oder der zweiten Potenz einer Zahl.

Stellen Sie sich einen quadratischen Pool vor, der Meter für Meter misst. Der Pool ist in Ihrem Hinterhof. Es ist heiß und ich möchte wirklich schwimmen. Aber ... ein Pool ohne Boden! Es ist notwendig, den Boden des Beckens mit Fliesen abzudecken. Wie viele Fliesen benötigen Sie? Um dies zu bestimmen, müssen Sie die Fläche des Beckenbodens kennen.

Sie können einfach zählen, indem Sie mit dem Finger hineinstecken, dass der Boden des Pools Meter für Meter aus Würfeln besteht. Wenn Ihre Fliesen Meter für Meter sind, benötigen Sie Stücke. Ganz einfach... Aber wo hast du so eine Kachel gesehen? Die Fliese wird eher cm für cm sein und dann wird man mit „Fingerzählen“ gequält. Dann musst du multiplizieren. Wir werden also auf einer Seite des Beckenbodens Fliesen (Stücke) und auf der anderen Seite auch Fliesen anbringen. Durch Multiplizieren mit erhalten Sie Kacheln ().

Haben Sie bemerkt, dass wir dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert haben, um die Fläche des Beckenbodens zu bestimmen? Was bedeutet das? Da dieselbe Zahl multipliziert wird, können wir die Potenzierungstechnik anwenden. (Wenn du nur zwei Zahlen hast, musst du sie natürlich trotzdem multiplizieren oder potenzieren. Aber wenn du viele davon hast, dann ist das Potenzieren viel einfacher und es gibt auch weniger Fehler in den Berechnungen .Für die Prüfung ist dies sehr wichtig).
Also, dreißig bis zum zweiten Grad werden (). Oder Sie können sagen, dass dreißig zum Quadrat sein wird. Mit anderen Worten, die zweite Potenz einer Zahl kann immer als Quadrat dargestellt werden. Und umgekehrt, wenn Sie ein Quadrat sehen, ist es IMMER die zweite Potenz einer Zahl. Ein Quadrat ist ein Bild der zweiten Potenz einer Zahl.

Beispiel #2 aus dem wirklichen Leben

Hier ist eine Aufgabe für Sie, zählen Sie, wie viele Quadrate auf dem Schachbrett sind, indem Sie das Quadrat der Zahl verwenden ... Auf der einen Seite der Zellen und auf der anderen auch. Um ihre Anzahl zu zählen, müssen Sie acht mit acht multiplizieren, oder ... wenn Sie feststellen, dass ein Schachbrett ein Quadrat mit einer Seite ist, können Sie acht quadrieren. Zellen bekommen. () Damit?

Beispiel #3 aus dem wirklichen Leben

Jetzt der Würfel oder die dritte Potenz einer Zahl. Das gleiche Becken. Aber jetzt müssen Sie herausfinden, wie viel Wasser in diesen Pool gegossen werden muss. Du musst das Volumen berechnen. (Volumen und Flüssigkeiten werden übrigens in Kubikmetern gemessen. Unerwartet, oder?) Zeichne einen Pool: einen Meter großen und einen Meter tiefen Boden und versuche zu berechnen, wie viele Meter mal Meter große Würfel in deinen hineinkommen Schwimmbad.

Einfach mit dem Finger zeigen und zählen! Eins, zwei, drei, vier … zweiundzwanzig, dreiundzwanzig … Wie viel ist herausgekommen? Nicht verloren gegangen? Ist es schwierig, mit dem Finger zu zählen? Damit! Nehmen Sie ein Beispiel von Mathematikern. Sie sind faul, also haben sie bemerkt, dass man Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren muss, um das Volumen des Pools zu berechnen. In unserem Fall entspricht das Volumen des Pools Würfeln ... Einfacher, oder?

Stellen Sie sich nun vor, wie faul und schlau Mathematiker sind, wenn sie sich das zu einfach machen. Alles auf eine Aktion reduziert. Sie bemerkten, dass Länge, Breite und Höhe gleich sind und dass dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird ... Und was bedeutet das? Das bedeutet, dass Sie den Abschluss verwenden können. Was Sie also einmal mit dem Finger gezählt haben, machen sie in einer Aktion: Drei in einem Würfel ist gleich. Es ist so geschrieben:

Bleibt nur die Gradtabelle auswendig lernen. Es sei denn natürlich, Sie sind so faul und schlau wie Mathematiker. Wenn Sie gerne hart arbeiten und Fehler machen, können Sie mit dem Finger weiterzählen.

Nun, um Sie endgültig davon zu überzeugen, dass Abschlüsse von Faulenzern und schlauen Menschen erfunden wurden, um ihre Lebensprobleme zu lösen, und nicht, um Ihnen Probleme zu bereiten, hier noch ein paar Beispiele aus dem Leben.

Beispiel #4 aus dem wirklichen Leben

Sie haben eine Million Rubel. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million eine weitere Million. Das heißt, jede Ihrer Millionen verdoppelt sich zu Beginn eines jeden Jahres. Wie viel Geld wirst du in Jahren haben? Wenn Sie jetzt dasitzen und „mit dem Finger zählen“, dann sind Sie ein sehr fleißiger Mensch und … dumm. Aber höchstwahrscheinlich werden Sie in ein paar Sekunden eine Antwort geben, weil Sie schlau sind! Also, im ersten Jahr - zwei mal zwei ... im zweiten Jahr - was geschah, um zwei weitere, im dritten Jahr ... Halt! Sie haben bemerkt, dass die Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird. Zwei hoch fünf ist also eine Million! Stellen Sie sich jetzt vor, Sie haben einen Wettbewerb und derjenige, der schneller rechnet, bekommt diese Millionen ... Lohnt es sich, sich an die Zahlengrade zu erinnern, was denken Sie?

Beispiel #5 aus dem wirklichen Leben

Du hast eine Million. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie zwei weitere für jede Million. Es ist großartig, oder? Jede Million wird verdreifacht. Wie viel Geld wirst du in einem Jahr haben? Lass uns zählen. Das erste Jahr - mit multiplizieren, dann das Ergebnis mit einem anderen ... Es ist schon langweilig, weil Sie schon alles verstanden haben: Drei wird mal mit sich selbst multipliziert. Die vierte Potenz ist also eine Million. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass drei hoch vier oder ist.

Jetzt wissen Sie, dass Sie Ihr Leben viel einfacher machen werden, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Lassen Sie uns einen weiteren Blick darauf werfen, was Sie mit Abschlüssen machen können und was Sie darüber wissen müssen.

Begriffe und Konzepte ... um nicht verwirrt zu werden

Lassen Sie uns also zuerst die Konzepte definieren. Wie denkst du, was ist exponent? Es ist ganz einfach – das ist die Zahl, die „an der Spitze“ der Potenz der Zahl steht. Nicht wissenschaftlich, aber klar und leicht zu merken ...

Nun, gleichzeitig, was eine solche Studienbasis? Noch einfacher ist die Zahl, die ganz unten an der Basis steht.

Hier ist ein Bild, damit Sie sicher sein können.

Na und rein Gesamtansicht um zu verallgemeinern und sich besser zu merken ... Ein Grad mit einer Basis "" und einem Exponenten "" wird als "bis zum Grad" gelesen und wie folgt geschrieben:

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten

Sie haben es wahrscheinlich schon erraten: weil der Exponent ist natürliche Zahl. Ja, aber was ist natürliche Zahl? Elementar! Natürliche Zahlen sind diejenigen, die zum Zählen beim Auflisten von Artikeln verwendet werden: eins, zwei, drei ... Wenn wir Artikel zählen, sagen wir nicht: „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“. Wir sagen auch nicht „ein Drittel“ oder „null Komma fünf Zehntel“. Das sind keine natürlichen Zahlen. Was glauben Sie, was diese Zahlen sind?

Zahlen wie „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“ beziehen sich auf ganze Zahlen. Im Allgemeinen umfassen ganze Zahlen alle natürlichen Zahlen, Zahlen, die natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind (dh mit einem Minuszeichen genommen werden) und eine Zahl. Null ist leicht zu verstehen - das ist, wenn es nichts gibt. Und was bedeuten negative ("minus") Zahlen? Aber sie wurden hauptsächlich erfunden, um Schulden zu kennzeichnen: Wenn Sie ein Guthaben in Rubel auf Ihrem Telefon haben, bedeutet dies, dass Sie dem Betreiber Rubel schulden.

Alle Brüche sind Rationale Zahlen. Wie sind sie entstanden, denken Sie? Sehr einfach. Vor mehreren tausend Jahren entdeckten unsere Vorfahren, dass ihnen etwas fehlte natürliche Zahlen zum Messen von Länge, Gewicht, Fläche etc. Und sie kamen auf Rationale Zahlen… Interessant, nicht wahr?

Es gibt auch irrationale Zahlen. Was sind das für Zahlen? Kurz gesagt, endlos Dezimal. Wenn Sie beispielsweise den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser teilen, erhalten Sie eine irrationale Zahl.

Zusammenfassung:

Lassen Sie uns das Konzept des Grads definieren, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (dh ganzzahlig und positiv).

1. Jede Zahl hoch 1 ist gleich sich selbst:
2. Eine Zahl quadrieren heißt, sie mit sich selbst multiplizieren:
3. Eine Zahl in die dritte Potenz zu bringen heißt, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren:

Definition. Erhöhen Sie eine Zahl auf natürlichen Grad bedeutet eine Zahl mit sich selbst multiplizieren:
.

Grad Eigenschaften

Woher kommen diese Eigenschaften? Ich zeige es dir jetzt.

Mal sehen, was ist und ?

A-Priorat:

Wie viele Multiplikatoren gibt es insgesamt?

Es ist ganz einfach: Wir haben Faktoren zu den Faktoren hinzugefügt, und das Ergebnis sind Faktoren.

Aber per Definition ist dies der Grad einer Zahl mit einem Exponenten, also: , der bewiesen werden musste.

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung:

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung: Es ist wichtig, dies in unserer Regel zu beachten Notwendig muss der selbe grund sein!
Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

nur für Potenzprodukte!

Das darfst du auf keinen Fall schreiben.

2. das heißt -te Potenz einer Zahl

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt, laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann dies als "Einklammern des Indikators" bezeichnet werden. Aber Sie können dies niemals vollständig tun:

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben?

Aber das ist nicht wahr, wirklich.

Abschluss mit negativer Basis

Bis zu diesem Punkt haben wir nur besprochen, was der Exponent sein sollte.

Aber was soll die Basis sein?

In Grad von natürlicher Indikator die Grundlage kann sein irgendeine Nummer. Tatsächlich können wir jede Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen (" " oder "") Grad positiver und negativer Zahlen haben werden?

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? UND? ? Beim ersten ist alles klar: egal wie viel positive Zahlen wir haben uns nicht multipliziert, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind ein wenig interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ Das heißt, bzw. Aber wenn wir mit multiplizieren, stellt sich heraus.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Hast du es geschafft?

Hier die Antworten: In den ersten vier Beispielen ist hoffentlich alles klar? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In Beispiel 5) ist auch nicht alles so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie die Basis gleich ist - der Grad ist gleichmäßig, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird.

Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht die gleiche, oder? Offensichtlich nicht, da (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach!

6 Praxisbeispiele

Analyse der Lösung 6 Beispiele

Wenn wir den achten Grad nicht beachten, was sehen wir hier? Werfen wir einen Blick auf das Programm der 7. Klasse. Also denk daran? Das ist die abgekürzte Multiplikationsformel, nämlich die Differenz von Quadraten! Wir bekommen:

Wir schauen uns den Nenner genau an. Es sieht sehr nach einem der Zählerfaktoren aus, aber was ist falsch? Falsche Reihenfolge der Begriffe. Wenn sie ausgetauscht würden, könnte die Regel gelten.

Aber wie macht man das? Es stellt sich heraus, dass es sehr einfach ist: Hier hilft uns der gerade Grad des Nenners.

Die Begriffe haben auf magische Weise die Plätze gewechselt. Dieses "Phänomen" gilt für jeden Ausdruck in gleichem Maße: Wir können die Zeichen in Klammern frei ändern.

Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Vorzeichen ändern sich gleichzeitig!

Kommen wir zurück zum Beispiel:

Und nochmal die Formel:

ganz wir nennen die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze (also mit dem Vorzeichen "") und die Zahl.

positive ganze Zahl, und es ist nicht anders als natürlich, dann sieht alles genauso aus wie im vorigen Abschnitt.

Schauen wir uns nun neue Fälle an. Beginnen wir mit einem Indikator gleich.

Jede Zahl hoch null ist gleich eins:

Wie immer fragen wir uns: Warum ist das so?

Betrachten Sie etwas Macht mit einer Basis. Nimm zum Beispiel und multipliziere mit:

Also multiplizierten wir die Zahl mit und bekamen dasselbe wie es war -. Mit welcher Zahl muss multipliziert werden, damit sich nichts ändert? Das ist richtig, auf. Meint.

Wir können dasselbe mit einer beliebigen Zahl tun:

Wiederholen wir die Regel:

Jede Zahl hoch null ist gleich eins.

Aber von vielen Regeln gibt es Ausnahmen. Und hier ist es auch da - das ist eine Zahl (als Basis).

Einerseits muss sie beliebig gleich sein – egal wie sehr man Null mit sich selbst multipliziert, man bekommt immer noch Null, das ist klar. Aber andererseits muss sie, wie jede Zahl bis zum Nullgrad, gleich sein. Also, was ist die Wahrheit davon? Die Mathematiker beschlossen, sich nicht einzumischen und weigerten sich, Null mit Null zu potenzieren. Das heißt, jetzt können wir nicht nur durch Null dividieren, sondern auch mit Null potenzieren.

Gehen wir weiter. Zu den ganzen Zahlen gehören neben natürlichen Zahlen und Zahlen auch negative Zahlen. Um zu verstehen, was ein negativer Grad ist, machen wir dasselbe wie beim letzten Mal: ​​Wir multiplizieren eine normale Zahl mit derselben in einem negativen Grad:

Von hier aus ist es bereits einfach, das Gewünschte auszudrücken:

Nun erweitern wir die resultierende Regel beliebig:

Also formulieren wir die Regel:

Eine Zahl zu einer negativen Potenz ist die Umkehrung derselben Zahl zu einer positiven Potenz. Aber zur selben Zeit Basis darf nicht null sein:(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Fassen wir zusammen:

I. Ausdruck ist nicht in Groß-/Kleinschreibung definiert. Wenn, dann.

II. Jede Zahl hoch null ist gleich eins: .

III. Eine Zahl, die nicht gleich Null zu einer negativen Potenz ist, ist die Umkehrung derselben Zahl zu einer positiven Potenz: .

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Nun, wie üblich, Beispiele für eine unabhängige Lösung:

Aufgabenanalyse zur eigenständigen Lösung:

Ich weiß, ich weiß, die Zahlen sind beängstigend, aber bei der Prüfung muss man auf alles gefasst sein! Lösen Sie diese Beispiele oder analysieren Sie deren Lösung, wenn Sie es nicht lösen konnten, und Sie werden lernen, wie Sie in der Prüfung leicht damit umgehen können!

Erweitern wir den Kreis der als Exponent „geeigneten“ Zahlen weiter.

Jetzt bedenke Rationale Zahlen. Welche Zahlen nennt man rational?

Antwort: alles, was als Bruch dargestellt werden kann, wobei und außerdem ganze Zahlen sind.

Zu verstehen, was ist "Bruch Grad" Betrachten wir einen Bruch:

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung potenzieren:

Erinnere dich jetzt an die Regel „Grad zu Grad“:

Welche Zahl muss potenziert werden, um zu erhalten?

Diese Formulierung ist die Definition der Wurzel des 1. Grades.

Ich möchte Sie daran erinnern: Die Wurzel der Potenz einer Zahl () ist eine Zahl, die, wenn sie potenziert wird, gleich ist.

Das heißt, die Wurzel des . Grades ist die Umkehroperation der Potenzierung: .

Es stellt sich heraus, dass. Offensichtlich kann dieser Spezialfall erweitert werden: .

Fügen Sie nun den Zähler hinzu: Was ist das? Die Antwort ist mit der Power-to-Power-Regel leicht zu bekommen:

Aber kann die Basis eine beliebige Zahl sein? Schließlich kann die Wurzel nicht aus allen Zahlen gezogen werden.

Keiner!

Denke an die Regel: Jede gerade Potenzierte Zahl ist eine positive Zahl. Das heißt, es ist unmöglich, Wurzeln mit geradem Grad aus negativen Zahlen zu ziehen!

Und das bedeutet, dass solche Zahlen nicht mit einem geraden Nenner auf eine gebrochene Potenz erhoben werden können, dh der Ausdruck macht keinen Sinn.

Was ist mit dem Ausdruck?

Aber hier taucht ein Problem auf.

Die Zahl kann beispielsweise als andere, gekürzte Brüche oder dargestellt werden.

Und es stellt sich heraus, dass es existiert, aber nicht existiert, und dies sind nur zwei verschiedene Datensätze mit derselben Nummer.

Oder ein anderes Beispiel: einmal, dann kannst du es aufschreiben. Aber sobald wir den Indikator anders schreiben, bekommen wir wieder Ärger: (das heißt, wir haben ein völlig anderes Ergebnis!).

Um solche Paradoxien zu vermeiden, bedenken Sie nur positiver Basisexponent mit gebrochenem Exponenten.

Also wenn:

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Potenzen mit rationalem Exponenten sind sehr nützlich, um Ausdrücke mit Wurzeln umzuwandeln, zum Beispiel:

5 Praxisbeispiele

Analyse von 5 Beispielen für die Ausbildung

Nun, jetzt - das Schwierigste. Jetzt werden wir analysieren Grad mit einem irrationalen Exponenten.

Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für Grade mit einem rationalen Exponenten, mit Ausnahme von

In der Tat sind irrationale Zahlen per Definition Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (das heißt, irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen).

Beim Studium von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht.

Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird;

...Null Leistung- dies ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, das heißt, sie hat noch nicht begonnen, sich zu multiplizieren, was bedeutet, dass die Zahl selbst noch nicht einmal aufgetreten ist - daher ist das Ergebnis nur eine bestimmte „Zahl leer“ , nämlich die Zahl;

...negativer ganzzahliger Exponent- es ist, als hätte ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

Übrigens verwendet die Wissenschaft oft einen Grad mit einem komplexen Exponenten, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl.

Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach, Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte am Institut zu verstehen.

WO WIR SICHER SIND, DASS SIE GEHEN WERDEN! (wenn du lernst, wie man solche Beispiele löst :))

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

Analyse von Lösungen:

1. Beginnen wir mit der bereits üblichen Regel zur Anhebung eines Abschlusses auf einen Abschluss:

Sehen Sie sich jetzt die Partitur an. Erinnert er dich an etwas? Wir erinnern uns an die Formel zur abgekürzten Multiplikation der Differenz von Quadraten:

In diesem Fall,

Es stellt sich heraus, dass:

Antworten: .

2. Wir bringen Brüche in Exponenten auf die gleiche Form: entweder beide dezimal oder beide gewöhnlich. Wir bekommen zum Beispiel:

Antwort: 16

3. Nichts Besonderes, wir wenden die üblichen Eigenschaften von Graden an:

FORTGESCHRITTENES LEVEL

Definition von Grad

Der Grad ist ein Ausdruck der Form: , wobei:

• — Basis des Abschlusses;
• - Exponent.

Grad mit natürlichem Exponenten (n = 1, 2, 3,...)

Eine Zahl mit der natürlichen Potenz n zu potenzieren bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:

Potenz mit ganzzahligem Exponenten (0, ±1, ±2,...)

Wenn der Exponent ist positive ganze Zahl Anzahl:

Erektion auf Nullleistung:

Der Ausdruck ist unbestimmt, weil einerseits bis zu jedem Grad dies ist und andererseits jede Zahl bis zum ten Grad dies ist.

Wenn der Exponent ist Ganzzahl negativ Anzahl:

(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Noch einmal zu Nullen: Der Ausdruck ist im Fall nicht definiert. Wenn, dann.

Beispiele:

Grad mit rationalem Exponenten

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Grad Eigenschaften

Um das Lösen von Problemen zu erleichtern, versuchen wir zu verstehen: Woher kommen diese Eigenschaften? Beweisen wir sie.

Mal sehen: was ist und?

A-Priorat:

Auf der rechten Seite dieses Ausdrucks erhält man also das folgende Produkt:

Aber per Definition ist dies eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, das heißt:

Q.E.D.

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung : .

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung : Es ist wichtig, das in unserer Regel zu beachten Notwendig müssen die gleiche Grundlage haben. Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

Noch ein wichtiger Hinweis: Diese Regel - nur für Potenzprodukte!

Das darf ich auf keinen Fall schreiben.

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Ordnen wir es so um:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt, laut Definition ist dies die -te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann dies als "Einklammern des Indikators" bezeichnet werden. Aber das schaffst du nie im Ganzen:!

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben? Aber das ist nicht wahr, wirklich.

Macht mit negativer Basis.

Bis zu diesem Punkt haben wir nur diskutiert, was sein sollte Index Grad. Aber was soll die Basis sein? In Grad von natürlich Indikator die Grundlage kann sein irgendeine Nummer .

Tatsächlich können wir jede Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist. Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen ("" oder "") Grad positiver und negativer Zahlen haben werden?

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? UND? ?

Mit dem ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind ein wenig interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ Das heißt, bzw. Aber wenn wir mit () multiplizieren, erhalten wir -.

Und so weiter bis ins Unendliche: Bei jeder weiteren Multiplikation ändert sich das Vorzeichen. Es ist möglich, solche zu formulieren einfache Regeln:

1. auch Grad, - Zahl positiv.
2. Eine negative Zahl, errichtet in seltsam Grad, - Zahl Negativ.
3. Eine positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
4. Null hoch jede Potenz ist gleich Null.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Hast du es geschafft? Hier sind die Antworten:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In den ersten vier Beispielen ist hoffentlich alles klar? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

In Beispiel 5) ist auch nicht alles so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie die Basis gleich ist - der Grad ist gleichmäßig, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird. Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht die gleiche, oder? Offensichtlich nicht, da (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach. Hier müssen Sie herausfinden, was weniger ist: oder? Wenn Sie sich das merken, wird klar, dass die Basis kleiner als Null ist. Das heißt, wir wenden Regel 2 an: Das Ergebnis wird negativ sein.

Und wieder verwenden wir die Definition von Grad:

Alles ist wie immer - wir schreiben die Definition von Graden auf und teilen sie ineinander, teilen sie in Paare und erhalten:

Lassen Sie uns vor der Analyse der letzten Regel einige Beispiele lösen.

Berechnen Sie die Werte von Ausdrücken:

Lösungen :

Wenn wir den achten Grad nicht beachten, was sehen wir hier? Werfen wir einen Blick auf das Programm der 7. Klasse. Also denk daran? Das ist die abgekürzte Multiplikationsformel, nämlich die Differenz von Quadraten!

Wir bekommen:

Wir schauen uns den Nenner genau an. Es sieht sehr nach einem der Zählerfaktoren aus, aber was ist falsch? Falsche Reihenfolge der Begriffe. Wenn sie umgekehrt wären, könnte Regel 3 angewendet werden, aber wie macht man das? Es stellt sich heraus, dass es sehr einfach ist: Hier hilft uns der gerade Grad des Nenners.

Wenn Sie es mit multiplizieren, ändert sich nichts, oder? Aber jetzt sieht es so aus:

Die Begriffe haben auf magische Weise die Plätze gewechselt. Dieses "Phänomen" gilt für jeden Ausdruck in gleichem Maße: Wir können die Zeichen in Klammern frei ändern. Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: alle Zeichen ändern sich gleichzeitig! Es kann nicht durch Änderung ersetzt werden, nur ein beanstandetes Minus an uns!

Kommen wir zurück zum Beispiel:

Und nochmal die Formel:

Also jetzt die letzte Regel:

Wie werden wir es beweisen? Natürlich, wie immer: Erweitern wir das Konzept des Abschlusses und vereinfachen es:

Nun, lassen Sie uns jetzt die Klammern öffnen. Wie viele Buchstaben werden es sein? mal durch Multiplikatoren - wie sieht es aus? Dies ist nichts anderes als die Definition einer Operation Multiplikation: Insgesamt stellte sich heraus, dass es Multiplikatoren gab. Das heißt, es ist per Definition eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten:

Beispiel:

Grad mit irrationalem Exponenten

Neben Informationen zu den Abschlüssen für das Durchschnittsniveau werden wir den Abschluss mit einem irrationalen Indikator analysieren. Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für einen Grad mit einem rationalen Exponenten, mit der Ausnahme, dass irrationale Zahlen per Definition Zahlen sind, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (d.h , irrationale Zahlen sind alle reelle Zahlen außer rationale).

Beim Studium von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht. Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird; eine Zahl bis zum Grad null ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, das heißt, sie hat noch nicht begonnen, sich zu multiplizieren, was bedeutet, dass die Zahl selbst noch nicht einmal aufgetreten ist - daher ist das Ergebnis nur a bestimmte „Vorbereitung einer Nummer“, nämlich eine Nummer; ein Grad mit einem ganzzahligen negativen Indikator - es ist, als ob ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, dh die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern geteilt.

Es ist äußerst schwierig, sich einen Grad mit einem irrationalen Exponenten vorzustellen (ebenso wie es schwierig ist, sich einen 4-dimensionalen Raum vorzustellen). Vielmehr ist es ein rein mathematisches Objekt, das Mathematiker geschaffen haben, um das Konzept eines Grades auf den gesamten Zahlenraum auszudehnen.

Übrigens verwendet die Wissenschaft oft einen Grad mit einem komplexen Exponenten, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl. Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach, Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte am Institut zu verstehen.

Was machen wir also, wenn wir einen irrationalen Exponenten sehen? Wir versuchen unser Bestes, um es loszuwerden! :)

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

1)

2)

3)

Antworten:

1. Erinnere dich an die Quadratdifferenz-Formel. Antworten: .
2. Wir bringen Brüche in dieselbe Form: entweder beide Dezimalzahlen oder beide gewöhnliche. Wir erhalten zum Beispiel: .
3. Nichts Besonderes, wir wenden die üblichen Eigenschaften von Graden an:

ABSCHNITT ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grad heißt ein Ausdruck der Form: , wobei:

Grad mit ganzzahligem Exponenten

Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (d. h. ganzzahlig und positiv).

Grad mit rationalem Exponenten

Grad, dessen Indikator negative und Bruchzahlen sind.

Grad mit irrationalem Exponenten

Exponent, dessen Exponent ein unendlicher Dezimalbruch oder eine Wurzel ist.

Grad Eigenschaften

Merkmale von Abschlüssen.

• Negative Zahl erhöht auf auch Grad, - Zahl positiv.
• Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
• Eine positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
• Null ist gleich jeder Potenz.
• Jede Zahl hoch null ist gleich.

JETZT HAST DU EIN WORT...

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Und viel Erfolg bei deinen Prüfungen!

Ausdrücke, Ausdrucksumwandlung

Potenzausdrücke (Ausdrücke mit Potenzen) und ihre Transformation

In diesem Artikel werden wir über das Transformieren von Ausdrücken mit Kräften sprechen. Zunächst konzentrieren wir uns auf Transformationen, die mit Ausdrücken jeglicher Art durchgeführt werden, einschließlich Potenzausdrücken, wie z. B. das Öffnen von Klammern, das Reduzieren ähnlicher Begriffe. Und dann werden wir die Transformationen analysieren, die speziell Ausdrücken mit Graden innewohnen: Arbeiten mit der Basis und dem Exponenten, Verwenden der Eigenschaften von Graden usw.

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Was sind Machtausdrücke?

Der Begriff „Machtausdrücke“ findet sich praktisch nicht in Schulbüchern der Mathematik, taucht aber häufig in Aufgabensammlungen auf, die beispielsweise speziell zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen und die OGE konzipiert sind. Nach der Analyse von Aufgaben, bei denen es erforderlich ist, Aktionen mit Machtausdrücken auszuführen, wird deutlich, dass unter Machtausdrücken Ausdrücke verstanden werden, die Grade in ihren Einträgen enthalten. Daher können Sie für sich die folgende Definition nehmen:

Definition.

Machtausdrücke sind Ausdrücke, die Potenzen enthalten.

Lassen Sie uns bringen Beispiele für Machtausdrücke. Außerdem stellen wir sie danach dar, wie die Entwicklung der Ansichten von einem Abschluss mit natürlichem Indikator zu einem Abschluss mit echtem Indikator erfolgt.

Wie Sie wissen, lernen Sie zuerst den Grad einer Zahl mit natürlichem Exponenten kennen, an dieser Stelle die ersten einfachsten Potenzausdrücke vom Typ 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 usw.

Etwas später wird die Potenz einer Zahl mit ganzzahligem Exponenten untersucht, was zum Auftreten von Potenzausdrücken mit negativen ganzzahligen Potenzen führt, wie z. B.: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

In den Oberstufenklassen kehren sie wieder zu den Abschlüssen zurück. Dort wird ein Grad mit rationalem Exponenten eingeführt, was zum Auftreten der entsprechenden Potenzausdrücke führt: , , usw. Schließlich werden Grade mit irrationalen Exponenten und Ausdrücke, die diese enthalten, betrachtet: , .

Die Sache beschränkt sich nicht auf die aufgeführten Potenzausdrücke: weiter dringt die Variable in den Exponenten ein, und es gibt zum Beispiel solche Ausdrücke 2 x 2 +1 oder . Und nach dem Kennenlernen beginnen Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen zu erscheinen, zum Beispiel x 2 lgx −5 x lgx.

Also haben wir die Frage geklärt, was Machtausdrücke sind. Als nächstes werden wir lernen, wie man sie umwandelt.

Die wichtigsten Arten von Transformationen von Machtausdrücken

Mit Potenzausdrücken können Sie jede der grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken durchführen. Sie können beispielsweise Klammern öffnen, ersetzen numerische Ausdrücke ihre Werte, bringen ähnliche Begriffe usw. Natürlich ist es in diesem Fall notwendig, das akzeptierte Verfahren zur Durchführung von Maßnahmen zu befolgen. Lassen Sie uns Beispiele geben.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Potenzausdrucks 2 3 ·(4 2 −12) .

Entscheidung.

Entsprechend der Reihenfolge der Aktionen führen wir zuerst die Aktionen in Klammern aus. Dort ersetzen wir erstens die Potenz von 4 2 durch ihren Wert 16 (siehe ggf.), und zweitens berechnen wir die Differenz 16−12=4 . Wir haben 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Im resultierenden Ausdruck ersetzen wir die Potenz von 2 3 durch ihren Wert 8 , danach berechnen wir das Produkt 8·4=32 . Dies ist der gewünschte Wert.

Damit, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Antworten:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Beispiel.

Vereinfachen Sie Potenzausdrücke 3 ein 4 b −7 −1+2 ein 4 b −7.

Entscheidung.

Offensichtlich enthält dieser Ausdruck ähnliche Terme 3 · a 4 · b − 7 und 2 · a 4 · b − 7 , und wir können sie reduzieren: .

Antworten:

3 ein 4 b −7 −1+2 ein 4 b −7 =5 ein 4 b −7 −1.

Beispiel.

Drücken Sie einen Ausdruck mit Potenzen als Produkt aus.

Entscheidung.

Zur Bewältigung der Aufgabe erlaubt die Darstellung der Zahl 9 als Potenz von 3 2 und die anschließende Verwendung der abgekürzten Multiplikationsformel die Differenz von Quadraten:

Antworten:

Es gibt auch eine Reihe identischer Transformationen, die Machtausdrücken innewohnen. Als nächstes werden wir sie analysieren.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Es gibt Grade, in deren Basis und / oder Indikator nicht nur Zahlen oder Variablen sind, sondern einige Ausdrücke. Als Beispiel schreiben wir (2+0.3 7) 5−3.7 und (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Beim Arbeiten mit solchen Ausdrücken ist es möglich, sowohl den Ausdruck in der Basis des Grads als auch den Ausdruck im Indikator durch einen identisch gleichen Ausdruck auf dem DPV seiner Variablen zu ersetzen. Mit anderen Worten, nach den uns bekannten Regeln können wir die Basis des Abschlusses und den Indikator separat umrechnen. Es ist klar, dass als Ergebnis dieser Transformation ein Ausdruck erhalten wird, der identisch gleich dem ursprünglichen ist.

Solche Transformationen ermöglichen es uns, Ausdrücke mit Potenzen zu vereinfachen oder andere Ziele zu erreichen, die wir brauchen. In dem oben erwähnten Potenzausdruck (2+0,3 7) 5−3,7 können Sie beispielsweise Operationen mit Zahlen in der Basis und im Exponenten durchführen, wodurch Sie zur Potenz von 4,1 1,3 gehen können. Und nachdem wir die Klammern geöffnet und ähnliche Terme in die Basis des Grades (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) eingebracht haben, erhalten wir einen Potenzausdruck einer einfacheren Form a 2·(x+1 ) .

Power-Eigenschaften verwenden

Eines der wichtigsten Werkzeuge zum Transformieren von Ausdrücken mit Potenzen sind Gleichungen, die . Erinnern wir uns an die wichtigsten. Für beliebige positive Zahlen a und b und beliebige reelle Zahlen r und s gelten die folgenden Potenzeigenschaften:

• ein r ein s = ein r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ein b) r = ein r b r ;
• (a:b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Beachten Sie, dass für natürliche, ganzzahlige und positive Exponenten die Beschränkungen für die Zahlen a und b möglicherweise nicht so streng sind. Beispielsweise gilt für die natürlichen Zahlen m und n die Gleichheit a m ·a n = a m+n nicht nur für positive a , sondern auch für negative und für a=0 .

In der Schule liegt das Hauptaugenmerk bei der Transformation von Machtäußerungen gerade auf der Wahlfähigkeit geeignetes Grundstück und richtig anwenden. In diesem Fall sind die Basen der Abschlüsse in der Regel positiv, wodurch Sie die Eigenschaften der Abschlüsse uneingeschränkt nutzen können. Gleiches gilt für die Transformation von Ausdrücken, die Variablen in die Basen von Graden enthalten - der Bereich unzulässiger Werte von Variablen ist normalerweise so, dass darauf nur die Basen eingehen positive Werte, wodurch Sie die Eigenschaften von Graden frei verwenden können. Im Allgemeinen müssen Sie sich ständig fragen, ob es möglich ist, eine Eigenschaft von Graden in diesem Fall anzuwenden, da eine ungenaue Verwendung von Eigenschaften zu einer Einengung der ODZ und anderen Problemen führen kann. Diese Punkte werden detailliert und mit Beispielen im Artikel Transformation von Ausdrücken unter Verwendung der Eigenschaften von Graden besprochen. Wir beschränken uns hier auf einige einfache Beispiele.

Beispiel.

Drücken Sie den Ausdruck a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 als Potenz mit Basis a aus.

Entscheidung.

Zuerst transformieren wir den zweiten Faktor (a 2) −3 durch die Eigenschaft, eine Potenz zu einer Potenz zu erheben: (a 2) –3 = a 2 (–3) = a –6. In diesem Fall nimmt der anfängliche Potenzausdruck die Form a 2,5 ·a –6:a –5,5 an. Offensichtlich bleibt es, die Eigenschaften der Multiplikation und Division von Potenzen mit derselben Basis zu verwenden, die wir haben
ein 2,5 ein -6: ein -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5 − (−5,5) = a 2 .

Antworten:

ein 2,5 (ein 2) -3: ein -5,5 \u003d ein 2.

Potenzeigenschaften werden verwendet, wenn Potenzausdrücke sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links transformiert werden.

Beispiel.

Ermitteln Sie den Wert des Potenzausdrucks.

Entscheidung.

Gleichheit (a · b) r = a r · b r , von rechts nach links angewendet, ermöglicht es Ihnen, vom ursprünglichen Ausdruck zum Produkt der Form und weiter zu gehen. Und wenn Potenzen mit derselben Basis multipliziert werden, summieren sich die Indikatoren: .

Es war möglich, die Transformation des ursprünglichen Ausdrucks auf andere Weise durchzuführen:

Antworten:

.

Beispiel.

Geben Sie bei einem Potenzausdruck a 1,5 −a 0,5 −6 eine neue Variable t=a 0,5 ein.

Entscheidung.

Der Grad a 1,5 kann als 0,5 3 dargestellt werden und weiter auf der Grundlage der Eigenschaft des Grads im Grad (a r ) s = a r s von rechts nach links angewendet, in die Form (a 0,5) 3 umgewandelt werden. Auf diese Weise, a 1,5 – a 0,5 – 6 = (a 0,5) 3 – a 0,5 – 6. Jetzt ist es einfach, eine neue Variable t=a 0,5 einzuführen, wir erhalten t 3 −t−6 .

Antworten:

t 3 – t – 6 .

Brüche mit Potenzen umwandeln

Potenzausdrücke können Brüche mit Potenzen enthalten oder solche Brüche darstellen. Alle grundlegenden Bruchtransformationen, die Brüchen jeglicher Art innewohnen, sind vollständig auf solche Brüche anwendbar. Das heißt, Brüche, die Grade enthalten, können gekürzt, auf einen neuen Nenner gekürzt, getrennt mit ihrem Zähler und getrennt mit dem Nenner usw. Um die obigen Worte zu veranschaulichen, betrachten Sie die Lösungen mehrerer Beispiele.

Beispiel.

Machtausdruck vereinfachen .

Entscheidung.

Dieser Leistungsausdruck ist ein Bruchteil. Lassen Sie uns mit seinem Zähler und Nenner arbeiten. Im Zähler öffnen wir die Klammern und vereinfachen den danach erhaltenen Ausdruck mit den Eigenschaften von Potenzen, und im Nenner präsentieren wir ähnliche Begriffe:

Und wir ändern auch das Vorzeichen des Nenners, indem wir dem Bruch ein Minus voranstellen: .

Antworten:

.

Das Kürzen von Brüchen mit Potenzen auf einen neuen Nenner erfolgt ähnlich wie das Kürzen von rationalen Brüchen auf einen neuen Nenner. Gleichzeitig wird auch ein zusätzlicher Faktor gefunden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multipliziert. Wenn Sie diese Aktion ausführen, sollten Sie daran denken, dass die Reduzierung auf einen neuen Nenner zu einer Verengung des DPV führen kann. Damit dies nicht passiert, ist es notwendig, dass der zusätzliche Faktor für keine Werte der Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck verschwindet.

Beispiel.

Brüche auf einen neuen Nenner bringen: a) auf den Nenner a, b) zum Nenner.

Entscheidung.

a) In diesem Fall ist es ziemlich einfach herauszufinden, welcher zusätzliche Faktor hilft, das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Dies ist ein Multiplikator a 0,3, da a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Beachten Sie, dass im Bereich der akzeptablen Werte der Variablen a (dies ist die Menge aller positiven reellen Zahlen) der Grad a 0,3 nicht verschwindet, daher haben wir das Recht, Zähler und Nenner des gegebenen Bruchs zu multiplizieren durch diesen zusätzlichen Faktor:

b) Wenn wir uns den Nenner genauer ansehen, finden wir das

und die Multiplikation dieses Ausdrucks mit ergibt die Summe der Kubikzahlen und , also . Und das ist der neue Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch bringen müssen.

Wir haben also einen zusätzlichen Faktor gefunden. Der Ausdruck verschwindet nicht im Bereich der akzeptablen Werte der Variablen x und y, daher können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:

Antworten:

a) , b) .

Auch die Kürzung von Brüchen mit Gradzahlen ist nichts Neues: Zähler und Nenner werden als eine bestimmte Anzahl von Teilern dargestellt, und dieselben Teiler von Zähler und Nenner werden gekürzt.

Beispiel.

Kürze den Bruch: a) , b).

Entscheidung.

a) Zunächst lassen sich Zähler und Nenner um die Zahlen 30 und 45 kürzen, was 15 ergibt. Außerdem können Sie natürlich um x 0,5 +1 und um reduzieren . Hier ist, was wir haben:

b) In diesem Fall sind die gleichen Faktoren in Zähler und Nenner nicht sofort sichtbar. Um sie zu erhalten, müssen Sie vorläufige Transformationen durchführen. In diesem Fall bestehen sie darin, den Nenner gemäß der Quadratdifferenzformel in Faktoren zu zerlegen:

Antworten:

a)

b) .

Das Kürzen von Brüchen auf einen neuen Nenner und das Kürzen von Brüchen wird hauptsächlich verwendet, um Operationen mit Brüchen durchzuführen. Aktionen werden nach bekannten Regeln ausgeführt. Beim Addieren (Subtrahieren) von Brüchen werden diese auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, danach werden die Zähler addiert (subtrahiert) und der Nenner bleibt gleich. Das Ergebnis ist ein Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist. Die Division durch einen Bruch ist die Multiplikation mit seinem Kehrwert.

Beispiel.

Folge den Schritten .

Entscheidung.

Zuerst subtrahieren wir die Brüche in Klammern. Dazu bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner, nämlich , dann die Zähler subtrahieren:

Jetzt multiplizieren wir Brüche:

Offensichtlich ist eine Reduktion um die Potenz x 1/2 möglich, danach haben wir .

Sie können den Potenzausdruck im Nenner auch vereinfachen, indem Sie die Quadratdifferenzformel verwenden: .

Antworten:

Beispiel.

Machtausdruck vereinfachen .

Entscheidung.

Offensichtlich kann dieser Bruch um (x 2,7 +1) 2 gekürzt werden, das ergibt den Bruch . Es ist klar, dass mit den Potenzen von x etwas anderes getan werden muss. Dazu wandeln wir die resultierende Fraktion in ein Produkt um. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Eigenschaft der Teilung von Potenzen mit gleichen Basen zu nutzen: . Und am Ende des Prozesses gehen wir vom letzten Produkt zur Fraktion über.

Antworten:

.

Und wir fügen hinzu, dass es möglich und in vielen Fällen wünschenswert ist, Faktoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner oder vom Nenner auf den Zähler zu übertragen, indem man das Vorzeichen des Exponenten ändert. Solche Transformationen vereinfachen oft weitere Aktionen. Beispielsweise kann ein Potenzausdruck durch ersetzt werden.

Konvertieren von Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen

Oft gibt es in Ausdrücken, in denen einige Transformationen erforderlich sind, neben Graden mit gebrochenen Exponenten auch Wurzeln. Um einen solchen Ausdruck in die gewünschte Form zu bringen, reicht es in den meisten Fällen aus, nur zu Wurzeln oder nur zu Potenzen zu gehen. Da es jedoch bequemer ist, mit Graden zu arbeiten, bewegen sie sich normalerweise von Wurzeln zu Graden. Es ist jedoch ratsam, einen solchen Übergang durchzuführen, wenn die ODZ der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln durch Grade zu ersetzen, ohne auf das Modul zugreifen zu müssen, oder die ODZ in mehrere Intervalle aufzuteilen (wir haben dies ausführlich in der beschrieben). Artikel, der Übergang von Wurzeln zu Potenzen und umgekehrt Nachdem Sie sich mit dem Grad mit einem rationalen Exponenten vertraut gemacht haben, wird ein Grad mit einem irrationalen Indikator eingeführt, der es ermöglicht, von einem Grad mit einem beliebigen reellen Indikator zu sprechen Die Schule beginnt zu lernen Exponentialfunktion, die analytisch durch den Grad gegeben ist, auf dessen Basis eine Zahl steht, und im Indikator - eine Variable. Wir haben es also mit Potenzausdrücken zu tun, die Zahlen in der Basis des Grades und im Exponenten enthalten - Ausdrücke mit Variablen, und natürlich entsteht die Notwendigkeit, Transformationen solcher Ausdrücke durchzuführen.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Transformation von Ausdrücken des angegebenen Typs normalerweise beim Lösen durchgeführt werden muss Exponentialgleichungen und exponentielle Ungleichungen, und diese Transformationen sind ziemlich einfach. In den allermeisten Fällen basieren sie auf den Eigenschaften des Abschlusses und zielen meist darauf ab, zukünftig eine neue Variable einzuführen. Die Gleichung wird uns erlauben, sie zu demonstrieren 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Zunächst werden die Exponenten, in deren Exponenten die Summe einer Variablen (oder eines Ausdrucks mit Variablen) und einer Zahl steht, durch Produkte ersetzt. Dies gilt für das erste und letzte Glied des Ausdrucks auf der linken Seite:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Als nächstes werden beide Seiten der Gleichheit durch den Ausdruck 7 2 x geteilt, der nur positive Werte für die ODZ-Variable x für die ursprüngliche Gleichung annimmt (dies ist eine Standardtechnik zum Lösen von Gleichungen dieser Art, wir sprechen nicht darüber es jetzt, also konzentrieren Sie sich auf nachfolgende Transformationen von Ausdrücken mit Potenzen ):

Nun werden Brüche mit Potenzen gestrichen, was ergibt .

Schließlich wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Verhältnissen ersetzt, was zur Gleichung führt , was gleichbedeutend ist mit . Die durchgeführten Transformationen ermöglichen es uns, eine neue Variable einzuführen, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung der quadratischen Gleichung reduziert

I. V. Boikov, L. D. Romanova Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung. Teil 1. Pensa 2003.

Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem Sie sie nacheinander mit ihren Vorzeichen hinzufügen.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 – b n und h 5 – d 4 ist a 3 – b n + h 5 – d 4 .

Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2 .

Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.

Aber Grad verschiedene Variablen und verschiedene Abschlüsse identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.

Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a weder das Doppelte des Quadrats von a noch das Doppelte des Würfels von a ist.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen ausgeführt, nur dass die Vorzeichen des Subtrahends entsprechend geändert werden müssen.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 Std. 2 b 6 - 4 Std. 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzmultiplikation

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie hintereinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ ein m = ein m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ein 2 b 3 y 2 ⋅ ein 3 b 2 y = ein 2 b 3 y 2 ein 3 b 2 y

Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .

Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass, wenn zwei davon multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich ist Summe Grade von Begriffen.

Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, ein n .am = ein m+n .

Für a n wird a so oft als Faktor genommen wie die Potenz von n;

Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

Deshalb, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.

Also a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliziere (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multipliziere (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten - Negativ.

1. Also a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann geschrieben werden als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. ein -n .am = ein m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.

Wird die Summe und Differenz zweier Zahlen zu erhoben Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ein 2 - y 2)⋅(ein 2 + y 2) = ein 4 - y 4 .
(ein 4 - y 4)⋅(ein 4 + y 4) = ein 8 - y 8 .

Gewaltenteilung

Zahlen mit Potenzen können wie andere Zahlen dividiert werden, indem man sie vom Divisor subtrahiert oder sie in Form eines Bruchs darstellt.

Also a 3 b 2 dividiert durch b 2 ist a 3 .

Oder:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Das Schreiben einer 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $\frac(a^5)(a^3)$. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Reihe von Zahlen
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Und ein n+1:a = ein n+1-1 = ein n . Das heißt, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Grad Werte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Auch $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Potenzen sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Reduziere die Exponenten in $\frac(5a^4)(3a^2)$ Antwort: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduziere die Exponenten in $\frac(6x^6)(3x^5)$. Antwort: $\frac(2x)(1)$ oder 2x.

3. Die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduziere die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.

5. Multipliziere (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multipliziere (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliziere b 4 /a –2 mit h –3 /x und an /y –3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

9. Teile (h 3 - 1)/d 4 durch (d n + 1)/h.