Im Mittel- und Oberstufenkurs beschäftigten sich die Schüler mit dem Thema "Brüche". Allerdings ist dieser Begriff viel weiter gefasst als im Lernprozess vorgegeben. Heutzutage kommt das Konzept eines Bruchs ziemlich häufig vor, und nicht jeder kann einen Ausdruck berechnen, zum Beispiel Brüche multiplizieren.

Was ist ein Bruch?

Es geschah historisch, dass Bruchzahlen aufgrund der Notwendigkeit des Messens auftauchten. Wie die Praxis zeigt, gibt es oft Beispiele für die Bestimmung der Länge eines Segments, des Volumens eines rechteckigen Rechtecks.

Zunächst wird den Studierenden ein solches Konzept als Aktie vorgestellt. Wenn Sie beispielsweise eine Wassermelone in 8 Teile teilen, erhält jeder ein Achtel einer Wassermelone. Dieser eine Teil von acht wird als Aktie bezeichnet.

Ein Anteil, der ½ eines beliebigen Wertes entspricht, wird als Hälfte bezeichnet; ⅓ - Drittel; ¼ - ein Viertel. Einträge wie 5/8, 4/5, 2/4 werden gemeinsame Brüche genannt. Ein gewöhnlicher Bruch wird in einen Zähler und einen Nenner geteilt. Zwischen ihnen befindet sich eine Bruchlinie oder eine Bruchlinie. Ein Bruchstrich kann entweder als horizontale oder als schräge Linie gezeichnet werden. In diesem Fall steht es für das Divisionszeichen.

Der Nenner stellt dar, in wie viele gleiche Anteile der Wert geteilt wird; und der Zähler gibt an, wie viele gleiche Anteile genommen werden. Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter.

Am besten zeigen gemeinsame Brüche auf der Koordinatenlinie. Wenn ein einzelnes Segment in 4 gleiche Teile geteilt wird, wird jeder Teil mit einem lateinischen Buchstaben bezeichnet, dann erhalten Sie als Ergebnis eine hervorragende visuelle Hilfe. Punkt A zeigt also einen Anteil von 1/4 des gesamten Einheitssegments und Punkt B markiert 2/8 dieses Segments.

Sorten von Fraktionen

Brüche sind gewöhnliche, dezimale und gemischte Zahlen. Außerdem können Brüche in echte und unechte Brüche unterteilt werden. Diese Klassifikation ist besser geeignet für gewöhnliche Fraktionen.

Ein echter Bruch ist eine Zahl, deren Zähler kleiner als der Nenner ist. Dementsprechend ist ein unechter Bruch eine Zahl, deren Zähler größer als der Nenner ist. Die zweite Art wird normalerweise als gemischte Zahl geschrieben. Ein solcher Ausdruck besteht aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruchteil. Zum Beispiel 1½. eines - ganzer Teil, ½ - gebrochen. Wenn Sie jedoch einige Manipulationen mit dem Ausdruck durchführen müssen (Brüche dividieren oder multiplizieren, kürzen oder umwandeln), wird die gemischte Zahl in einen unechten Bruch umgewandelt.

Der richtige Bruchausdruck ist immer Weniger als eins, und falsch - größer oder gleich 1.

Unter diesem Ausdruck verstehen sie einen Datensatz, in dem eine beliebige Zahl dargestellt wird, deren Nenner der Bruchausdruck durch eine Eins mit mehreren Nullen ausgedrückt werden kann. Wenn der Bruch korrekt ist, dann ist der ganzzahlige Teil in der Dezimalschreibweise Null.

Brennen Dezimal, müssen Sie zuerst den ganzzahligen Teil schreiben, ihn durch ein Komma vom Bruchteil trennen und dann den Bruchausdruck schreiben. Es ist zu beachten, dass der Zähler nach dem Komma so viele Ziffern enthalten muss, wie Nullen im Nenner vorhanden sind.

Beispiel. Stellen Sie den Bruch 7 21 / 1000 in Dezimalschreibweise dar.

Algorithmus zur Umwandlung eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl und umgekehrt

Es ist falsch, einen unechten Bruch in die Lösung der Aufgabe zu schreiben, also muss er in eine gemischte Zahl umgewandelt werden:

• Teilen Sie den Zähler durch den vorhandenen Nenner;
• in einem speziellen Beispiel ist ein unvollständiger Quotient eine ganze Zahl;
• und der Rest ist der Zähler des Bruchteils, wobei der Nenner unverändert bleibt.

Beispiel. Unechten Bruch in gemischte Zahl umwandeln: 47 / 5 .

Lösung. 47: 5. Der unvollständige Quotient ist 9, der Rest = 2. Also 47 / 5 = 9 2 / 5.

Manchmal müssen Sie eine gemischte Zahl als unechten Bruch darstellen. Dann müssen Sie den folgenden Algorithmus verwenden:

• der ganzzahlige Teil wird mit dem Nenner des Bruchausdrucks multipliziert;
• das resultierende Produkt wird zum Zähler addiert;
• das Ergebnis wird in den Zähler geschrieben, der Nenner bleibt unverändert.

Beispiel. Drücken Sie die Zahl in gemischter Form als unechten Bruch aus: 9 8 / 10 .

Lösung. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ist der Zähler.

Antworten: 98 / 10.

Multiplikation gewöhnlicher Brüche

Du kannst verschiedene algebraische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen durchführen. Um zwei Zahlen zu multiplizieren, musst du den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Außerdem unterscheidet sich die Multiplikation von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern nicht vom Produkt von Brüchen mit gleichen Nennern.

Es kommt vor, dass Sie nach dem Finden des Ergebnisses den Bruch reduzieren müssen. Es ist zwingend erforderlich, den resultierenden Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen. Natürlich kann man nicht sagen, dass ein falscher Bruch in der Antwort ein Fehler ist, aber es ist auch schwierig, ihn die richtige Antwort zu nennen.

Beispiel. Finde das Produkt zweier gewöhnlicher Brüche: ½ und 20/18.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, erhält man nach Auffinden des Produkts eine reduzierbare Bruchschreibweise. Sowohl der Zähler als auch der Nenner sind in diesem Fall durch 4 teilbar, und das Ergebnis ist die Antwort 5 / 9.

Dezimalbrüche multiplizieren

Das Produkt von Dezimalbrüchen unterscheidet sich in seinem Prinzip stark vom Produkt gewöhnlicher Brüche. Das Multiplizieren von Brüchen ist also wie folgt:

• zwei Dezimalbrüche müssen so untereinander geschrieben werden, dass die Ziffern ganz rechts untereinander stehen;
• Sie müssen die geschriebenen Zahlen trotz Kommas multiplizieren, dh als natürliche Zahlen.
• zählen Sie die Anzahl der Ziffern nach dem Komma in jeder der Zahlen;
• in dem nach der Multiplikation erhaltenen Ergebnis müssen Sie rechts so viele Ziffern zählen, wie in der Summe beider Faktoren nach dem Komma enthalten sind, und ein Trennzeichen setzen;
• wenn das Produkt weniger Ziffern enthält, dann müssen so viele Nullen davor geschrieben werden, um diese Zahl abzudecken, ein Komma setzen und einen ganzzahligen Teil gleich Null zuweisen.

Beispiel. Berechne das Produkt zweier Dezimalstellen: 2,25 und 3,6.

Lösung.

Multiplikation gemischter Brüche

Um das Produkt zweier gemischter Brüche zu berechnen, müssen Sie die Regel zum Multiplizieren von Brüchen verwenden:

• wandle gemischte Zahlen in unechte Brüche um;
• finde das Produkt von Zählern;
• finden Sie das Produkt der Nenner;
• schreibe das Ergebnis auf;
• Vereinfachen Sie den Ausdruck so weit wie möglich.

Beispiel. Finde das Produkt von 4½ und 6 2 / 5.

Eine Zahl mit einem Bruch multiplizieren (Brüche mit einer Zahl)

Neben dem Finden des Produkts zweier Brüche, gemischter Zahlen, gibt es Aufgaben, bei denen Sie mit einem Bruch multiplizieren müssen.

Um also das Produkt aus einem Dezimalbruch und einer natürlichen Zahl zu finden, benötigen Sie:

• schreibe die Zahl so unter den Bruch, dass die Ziffern ganz rechts übereinander stehen;
• finden Sie die Arbeit trotz des Kommas;
• Trennen Sie im erhaltenen Ergebnis den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma und zählen Sie rechts die Anzahl der Zeichen nach dem Dezimalkomma im Bruch.

Um einen gewöhnlichen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, solltest du das Produkt aus dem Zähler und dem natürlichen Faktor finden. Wenn die Antwort ein reduzierbarer Bruch ist, sollte er umgewandelt werden.

Beispiel. Berechne das Produkt aus 5 / 8 und 12.

Lösung. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Antworten: 7 1 / 2.

Wie Sie im vorherigen Beispiel sehen können, war es notwendig, das resultierende Ergebnis zu reduzieren und den falschen Bruchausdruck in eine gemischte Zahl umzuwandeln.

Außerdem gilt die Multiplikation von Brüchen auch für die Suche nach dem Produkt einer Zahl in gemischter Form und einem Naturfaktor. Um diese beiden Zahlen zu multiplizieren, sollten Sie den ganzzahligen Teil des gemischten Faktors mit der Zahl multiplizieren, den Zähler mit demselben Wert multiplizieren und den Nenner unverändert lassen. Gegebenenfalls müssen Sie das Ergebnis so weit wie möglich vereinfachen.

Beispiel. Finden Sie das Produkt von 9 5 / 6 und 9.

Lösung. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Antworten: 88 1 / 2.

Multiplikation mit den Faktoren 10, 100, 1000 oder 0,1; 0,01; 0,001

Die folgende Regel folgt aus dem vorherigen Absatz. Um einen Dezimalbruch mit 10, 100, 1000, 10000 usw. zu multiplizieren, müssen Sie das Komma um so viele Ziffern nach rechts verschieben, wie im Multiplikator nach Eins Nullen stehen.

Beispiel 1. Finden Sie das Produkt von 0,065 und 1000.

Lösung. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Antworten: 65.

Beispiel 2. Finden Sie das Produkt von 3,9 und 1000.

Lösung. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Antworten: 3900.

Wenn Sie eine natürliche Zahl und 0,1 multiplizieren müssen; 0,01; 0,001; B. 0,0001 usw., sollten Sie im resultierenden Produkt das Komma um so viele Ziffern nach links verschieben, wie Nullen vor Eins stehen. Gegebenenfalls werden einer natürlichen Zahl ausreichend viele Nullen vorangestellt.

Beispiel 1. Finden Sie das Produkt von 56 und 0,01.

Lösung. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Antworten: 0,56.

Beispiel 2. Finden Sie das Produkt von 4 und 0,001.

Lösung. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Antworten: 0,004.

Das Auffinden des Produkts verschiedener Brüche sollte also keine Schwierigkeiten verursachen, außer vielleicht die Berechnung des Ergebnisses; Auf einen Taschenrechner kann man in diesem Fall einfach nicht verzichten.

Eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren ist eine einfache Aufgabe. Aber es gibt Feinheiten, die Sie wahrscheinlich in der Schule verstanden haben, aber inzwischen vergessen haben.

Wie man eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert - ein paar Terme

Wenn du dich daran erinnerst, was Zähler und Nenner sind und wie sich ein echter Bruch von einem unechten unterscheidet, überspringe diesen Absatz. Es ist für diejenigen, die die Theorie völlig vergessen haben.

Der Zähler ist der obere Teil des Bruchs - was wir dividieren. Der Nenner ist der untere. Das teilen wir.
Ein echter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist. Ein unechter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich dem Nenner ist.

Wie man eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert

Die Regel zum Multiplizieren einer Ganzzahl mit einem Bruch ist sehr einfach - wir multiplizieren den Zähler mit der Ganzzahl und berühren den Nenner nicht. Zum Beispiel: zwei mal ein Fünftel – wir bekommen zwei Fünftel. Vier mal drei Sechzehntel ist zwölf Sechzehntel.

Die Ermäßigung

Im zweiten Beispiel kann der resultierende Bruch reduziert werden.
Was bedeutet das? Beachten Sie, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner dieses Bruchs durch vier teilbar sind. Teilen Sie beide Zahlen durch gemeinsamer Teiler und heißt - kürze den Bruch. Wir bekommen drei Viertel.

Unechte Brüche

Aber angenommen, wir multiplizieren vier mal zwei Fünftel. Habe acht Fünftel. Das ist der falsche Bruch.
Es muss in die richtige Form gebracht werden. Dazu müssen Sie einen ganzen Teil daraus auswählen.
Hier müssen Sie die Division mit Rest verwenden. Wir bekommen eins und drei im Rest.
Ein Ganzes und drei Fünftel ist unser richtiger Bruch.

Das Korrigieren von fünfunddreißig Achtel ist etwas schwieriger: Die Zahl, die siebenunddreißig am nächsten liegt und durch acht teilbar ist, ist zweiunddreißig. Wenn wir teilen, bekommen wir vier. Wir subtrahieren zweiunddreißig von fünfunddreißig - wir bekommen drei. Ergebnis: vier ganze und drei Achtel.

Gleichheit von Zähler und Nenner. Und hier ist alles sehr einfach und schön. Wenn Zähler und Nenner gleich sind, ist das Ergebnis nur eins.

In diesem Artikel werden wir analysieren Multiplikation gemischter Zahlen. Lassen Sie uns zuerst die Regel zum Multiplizieren gemischter Zahlen aussprechen und die Anwendung dieser Regel beim Lösen von Beispielen in Betracht ziehen. Als nächstes werden wir über die Multiplikation einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl sprechen. Schließlich lernen wir, wie man eine gemischte Zahl und einen gewöhnlichen Bruch multipliziert.

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Multiplikation gemischter Zahlen.

Multiplikation gemischter Zahlen kann auf das Multiplizieren gewöhnlicher Brüche reduziert werden. Dazu genügt es, gemischte Zahlen in unechte Brüche umzuwandeln.

Schreiben wir auf Multiplikationsregel für gemischte Zahlen:

• Zunächst müssen die zu multiplizierenden gemischten Zahlen durch unechte Brüche ersetzt werden;
• Zweitens müssen Sie die Regel anwenden, einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren.

Betrachten Sie Beispiele für die Anwendung dieser Regel, wenn Sie eine gemischte Zahl mit einer gemischten Zahl multiplizieren.

Führe eine Multiplikation mit gemischten Zahlen durch und .

Zunächst stellen wir die multiplizierten gemischten Zahlen als unechte Brüche dar: und . Jetzt können wir die Multiplikation gemischter Zahlen durch die Multiplikation gewöhnlicher Brüche ersetzen: . Wenden wir die Regel der Multiplikation von Brüchen an, erhalten wir . Der resultierende Bruch ist irreduzibel (siehe reduzierbare und irreduzible Brüche), aber er ist falsch (siehe reguläre und unechte Brüche), daher bleibt es, um die endgültige Antwort zu erhalten, den ganzzahligen Teil aus dem unechten Bruch auszuwählen: .

Lassen Sie uns die gesamte Lösung in einer Zeile schreiben: .

.

Betrachten Sie die Lösung eines anderen Beispiels, um die Fähigkeiten zum Multiplizieren gemischter Zahlen zu festigen.

Führen Sie die Multiplikation durch.

Lustige Zahlen und sind gleich den Brüchen 13/5 bzw. 10/9. Dann . An dieser Stelle ist es an der Zeit, sich an die Bruchreduktion zu erinnern: Wir werden alle Zahlen im Bruch durch ihre Erweiterungen in Primfaktoren ersetzen, und wir werden die Reduktion derselben Faktoren durchführen.

Multiplikation einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl

Nachdem Sie die gemischte Zahl durch einen unechten Bruch ersetzt haben, Multiplikation einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl wird auf die Multiplikation eines gewöhnlichen Bruchs und einer natürlichen Zahl reduziert.

Multiplizieren Sie die gemischte Zahl und die natürliche Zahl 45 .

Eine gemischte Zahl ist dann ein Bruch . Lassen Sie uns die Zahlen im resultierenden Bruch durch ihre Erweiterungen in Primfaktoren ersetzen, eine Reduktion vornehmen, wonach wir den ganzzahligen Teil auswählen: .

.

Die Multiplikation einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl erfolgt manchmal bequem unter Verwendung des Verteilungsgesetzes der Multiplikation in Bezug auf die Addition. In diesem Fall ist das Produkt einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl gleich der Summe der Produkte des ganzzahligen Teils durch die gegebene natürliche Zahl und des Bruchteils durch die gegebene natürliche Zahl, d. h. .

Berechne das Produkt.

Wir ersetzen die gemischte Zahl durch die Summe der ganzen und gebrochenen Teile, danach wenden wir das Distributivgesetz der Multiplikation an: .

Multiplizieren einer gemischten Zahl und eines gemeinsamen Bruchs Es ist am bequemsten, auf die Multiplikation gewöhnlicher Brüche zu reduzieren, wobei die multiplizierte gemischte Zahl als unechter Bruch dargestellt wird.

Multipliziere die gemischte Zahl mit dem gemeinsamen Bruch 4/15.

Wenn wir die gemischte Zahl durch einen Bruch ersetzen, erhalten wir .

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Multiplikation von Bruchzahlen

§ 140. Definitionen. 1) Die Multiplikation einer Bruchzahl mit einer ganzen Zahl ist genauso definiert wie die Multiplikation ganzer Zahlen, nämlich: eine Zahl (Multiplikator) mit einer ganzen Zahl (Multiplikator) zu multiplizieren bedeutet, eine Summe identischer Terme zu bilden, bei der jeder Term gleich dem Multiplikanden und die Anzahl der Terme gleich dem Multiplikator ist.

Mit 5 multiplizieren bedeutet also, die Summe zu finden:
2) Eine Zahl (Multiplikator) mit einem Bruch (Multiplikator) zu multiplizieren bedeutet, diesen Bruchteil des Multiplikators zu finden.

So findet man einen Bruch aus angegebene Nummer, die wir zuvor betrachtet haben, nennen wir jetzt Multiplikation mit einem Bruch.

3) Eine Zahl (Multiplikator) mit einer gemischten Zahl (Faktor) zu multiplizieren bedeutet, den Multiplikanden zuerst mit der ganzen Zahl des Faktors, dann mit dem Bruchteil des Faktors zu multiplizieren und die Ergebnisse dieser beiden Multiplikationen zu addieren.

Zum Beispiel:

Die nach der Multiplikation erhaltene Zahl wird in allen diesen Fällen aufgerufen Arbeit, also genauso wie beim Multiplizieren ganzer Zahlen.

Aus diesen Definitionen wird deutlich, dass die Multiplikation von Bruchzahlen eine immer mögliche und immer eindeutige Handlung ist.

§ 141. Zweckmäßigkeit dieser Definitionen. Um zu verstehen, wie zweckmäßig es ist, die letzten beiden Definitionen der Multiplikation in die Arithmetik einzuführen, nehmen wir folgendes Problem:

Eine Aufgabe. Der Zug fährt bei gleichmäßiger Fahrt 40 km/h; Wie kann man herausfinden, wie viele Kilometer dieser Zug in einer bestimmten Anzahl von Stunden zurücklegt?

Wären wir bei der einen Definition der Multiplikation geblieben, die in der Arithmetik der ganzen Zahlen (Addition gleicher Glieder) angegeben ist, dann hätte unser Problem drei verschiedene Lösungen, nämlich:

Wenn die angegebene Stundenzahl eine ganze Zahl ist (z. B. 5 Stunden), müssen zur Lösung des Problems 40 km mit dieser Stundenzahl multipliziert werden.

Wenn eine bestimmte Anzahl von Stunden als Bruch ausgedrückt wird (z. B. Stunden), müssen Sie den Wert dieses Bruchs aus 40 km ermitteln.

Wenn die angegebene Anzahl von Stunden gemischt ist (z. B. Stunden), müssen 40 km mit einer in der gemischten Zahl enthaltenen ganzen Zahl multipliziert und zum Ergebnis ein solcher Bruchteil von 40 km hinzugefügt werden, wie er in der ist gemischte Zahl.

Die von uns gegebenen Definitionen erlauben es uns, eine allgemeine Antwort auf alle diese möglichen Fälle zu geben:

40 km müssen mit der angegebenen Stundenzahl multipliziert werden, wie hoch diese auch immer sein mag.

Wenn also die Aufgabe in präsentiert wird Gesamtansicht So:

Ein gleichmäßig fahrender Zug legt v km pro Stunde zurück. Wie viele Kilometer legt der Zug in t Stunden zurück?

dann können wir unabhängig von den Zahlen v und t eine Antwort ausdrücken: Die gewünschte Zahl wird durch die Formel v · t ausgedrückt.

Notiz. Das Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl bedeutet nach unserer Definition dasselbe wie das Multiplizieren einer gegebenen Zahl mit diesem Bruch; Daher bedeutet beispielsweise das Finden von 5% (dh fünf Hundertstel) einer bestimmten Zahl dasselbe wie das Multiplizieren der angegebenen Zahl mit oder mit; 125% einer gegebenen Zahl zu finden, ist dasselbe wie diese Zahl mit oder mit zu multiplizieren usw.

§ 142. Eine Anmerkung darüber, wann eine Zahl durch Multiplikation zunimmt und wann sie abnimmt.

Bei der Multiplikation mit einem echten Bruch verringert sich die Zahl, bei der Multiplikation mit einem unechten Bruch erhöht sich die Zahl, wenn dieser unechte Bruch größer als eins ist, und bleibt unverändert, wenn er gleich eins ist.
Kommentar. Bei der Multiplikation von Bruchzahlen sowie ganzen Zahlen wird das Produkt gleich Null genommen, wenn einer der Faktoren gleich Null ist, also.

§ 143. Ableitung von Multiplikationsregeln.

1) Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren. Lassen Sie den Bruch mit 5 multiplizieren. Dies bedeutet, um das 5-fache zu erhöhen. Um einen Bruch um 5 zu erhöhen, genügt es, seinen Zähler um das Fünffache zu erhöhen oder seinen Nenner zu verkleinern (§ 127).

Deshalb:
Regel 1. Um einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler mit dieser ganzen Zahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen; Stattdessen können Sie auch den Nenner des Bruchs durch die angegebene ganze Zahl dividieren (wenn möglich) und den Zähler gleich lassen.

Kommentar. Das Produkt aus einem Bruch und seinem Nenner ist gleich seinem Zähler.

So:
Regel 2. Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren und dieses Produkt zum Zähler machen und den Nenner des gegebenen Bruchs als Nenner signieren.
Regel 3. Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, musst du den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und das zweite zum Nenner des Produkts machen.

Kommentar. Diese Regel lässt sich auch auf die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl und einer ganzen Zahl mit einem Bruch anwenden, wenn wir nur die ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner Eins betrachten. So:

Somit sind die drei nun genannten Regeln in einer enthalten, die sich allgemein wie folgt ausdrücken lässt:
4) Multiplikation gemischter Zahlen.

Regel 4. Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, musst du sie in unechte Brüche umwandeln und dann gemäß den Regeln für die Multiplikation von Brüchen multiplizieren. Zum Beispiel:
§ 144. Herabsetzung der Multiplikation. Beim Multiplizieren von Brüchen sollte, wenn möglich, vorab gekürzt werden, wie die folgenden Beispiele zeigen:

Eine solche Kürzung ist möglich, weil sich der Wert eines Bruchs nicht ändert, wenn Zähler und Nenner gleich oft gekürzt werden.

§ 145. Produktänderung bei Faktoränderung. Das Produkt von Bruchzahlen ändert sich bei einer Änderung der Faktoren genauso wie das Produkt von ganzen Zahlen (§ 53), nämlich: Wenn Sie einen beliebigen Faktor mehrmals erhöhen (oder verringern), wird das Produkt größer (oder kleiner). ) um den gleichen Betrag .

Also, wenn im Beispiel:
Um mehrere Brüche zu multiplizieren, muss man ihre Zähler untereinander und die Nenner untereinander multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und das zweite zum Nenner des Produkts machen.

Kommentar. Diese Regel kann auch auf solche Produkte angewendet werden, bei denen einige Faktoren der Zahl ganzzahlig oder gemischt sind, wenn wir nur die ganze Zahl als einen Bruch mit dem Nenner eins betrachten und gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln. Zum Beispiel:
§ 147. Grundeigenschaften der Multiplikation. Zur Multiplikation von Bruchzahlen gehören auch jene Eigenschaften der Multiplikation, die wir für ganze Zahlen angegeben haben (§ 56, 57, 59). Lassen Sie uns diese Eigenschaften spezifizieren.

1) Das Produkt ändert sich nicht, wenn die Orte der Faktoren geändert werden.

Zum Beispiel:

In der Tat ist nach der Regel des vorherigen Absatzes das erste Produkt gleich dem Bruch und das zweite gleich dem Bruch. Aber diese Brüche sind gleich, weil sich ihre Terme nur in der Reihenfolge der ganzzahligen Faktoren unterscheiden und das Produkt ganzer Zahlen sich nicht ändert, wenn die Faktoren die Plätze wechseln.

2) Das Produkt ändert sich nicht, wenn irgendeine Gruppe von Faktoren durch ihr Produkt ersetzt wird.

Zum Beispiel:

Die Ergebnisse sind die gleichen.

Aus dieser Eigenschaft der Multiplikation können wir die folgende Schlussfolgerung ableiten:

Um eine Zahl mit einem Produkt zu multiplizieren, können Sie diese Zahl mit dem ersten Faktor multiplizieren, die resultierende Zahl mit dem zweiten multiplizieren und so weiter.

Zum Beispiel:
3) Das Distributivgesetz der Multiplikation (in Bezug auf die Addition). Um die Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, kannst du jeden Term separat mit dieser Zahl multiplizieren und die Ergebnisse addieren.

Dieses Gesetz ist von uns (§ 59) auf ganze Zahlen angewendet erklärt worden. Sie bleibt unverändert für Bruchzahlen gültig.

Zeigen wir in der Tat, dass die Gleichheit

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(das Verteilungsgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition) bleibt auch dann gültig, wenn die Buchstaben Bruchzahlen bedeuten. Betrachten wir drei Fälle.

1) Nehmen wir zunächst an, dass der Faktor m eine ganze Zahl ist, zum Beispiel m = 3 (a, b, c sind beliebige Zahlen). Nach der Definition der Multiplikation mit einer ganzen Zahl kann man schreiben (der Einfachheit halber auf drei Terme beschränkt):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Aufgrund des assoziativen Additionsgesetzes können wir alle Klammern auf der rechten Seite weglassen; Wenn wir das kommutative Additionsgesetz und dann wieder das Kombinationsgesetz anwenden, können wir die rechte Seite offensichtlich wie folgt umschreiben:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Damit ist das Distributivgesetz in diesem Fall bestätigt.

Multiplikation und Division von Brüchen

Letztes Mal haben wir gelernt, wie man Brüche addiert und subtrahiert (siehe die Lektion "Brüche addieren und subtrahieren"). Der schwierigste Moment bei diesen Aktionen war es, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Jetzt ist es an der Zeit, sich mit Multiplikation und Division zu befassen. Die gute Nachricht ist, dass diese Operationen noch einfacher sind als Addition und Subtraktion. Betrachten Sie zunächst den einfachsten Fall, wenn es zwei positive Brüche ohne einen ausgezeichneten ganzzahligen Teil gibt.

Um zwei Brüche zu multiplizieren, musst du ihre Zähler und Nenner separat multiplizieren. Die erste Zahl ist der Zähler des neuen Bruchs und die zweite der Nenner.

Um zwei Brüche zu dividieren, musst du den ersten Bruch mit der „umgekehrten“ Sekunde multiplizieren.

Aus der Definition folgt, dass sich die Division von Brüchen auf die Multiplikation reduziert. Um einen Bruch umzudrehen, vertauschst du einfach Zähler und Nenner. Daher werden wir uns in der gesamten Lektion hauptsächlich mit der Multiplikation befassen.

Als Ergebnis der Multiplikation kann ein gekürzter Bruch entstehen (und kommt oft vor) – natürlich muss gekürzt werden. Wenn sich nach allen Kürzungen herausstellt, dass der Bruch falsch ist, sollte der ganze Teil darin unterschieden werden. Was aber bei der Multiplikation genau nicht passieren wird, ist die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner: keine Kreuzverfahren, maximale Faktoren und kleinste gemeinsame Vielfache.

Per Definition haben wir:

Multiplikation von Brüchen mit einem ganzzahligen Teil und negativen Brüchen

Wenn die Brüche einen ganzzahligen Teil enthalten, müssen sie in unechte umgewandelt werden - und erst dann nach den oben skizzierten Schemata multipliziert werden.

Wenn im Zähler eines Bruchs, im Nenner oder davor ein Minus steht, kann es nach folgenden Regeln aus den Grenzen der Multiplikation genommen oder ganz entfernt werden:

1. Plus mal Minus ergibt Minus;
2. Zwei Verneinungen ergeben eine Bejahung.

Bisher begegnete man diesen Regeln nur beim Addieren und Subtrahieren von negativen Brüchen, wenn es darum ging, den ganzen Teil loszuwerden. Für ein Produkt können sie verallgemeinert werden, um mehrere Minuspunkte auf einmal zu „verbrennen“:

1. Wir streichen die Minuspunkte paarweise durch, bis sie vollständig verschwinden. Im Extremfall kann ein Minus überleben - derjenige, der keine Übereinstimmung gefunden hat;
2. Wenn keine Minuspunkte mehr vorhanden sind, ist die Operation abgeschlossen - Sie können mit dem Multiplizieren beginnen. Wenn das letzte Minus nicht durchgestrichen ist, da es kein Paar gefunden hat, nehmen wir es aus den Grenzen der Multiplikation heraus. Sie erhalten einen negativen Bruch.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Wir übersetzen alle Brüche in unechte Brüche und entfernen dann die Minuszeichen außerhalb der Grenzen der Multiplikation. Was übrig bleibt, wird nach den üblichen Regeln multipliziert. Wir bekommen:

Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass sich das Minus vor einem Bruch mit einem hervorgehobenen ganzzahligen Teil speziell auf den gesamten Bruch bezieht und nicht nur auf seinen ganzzahligen Teil (dies gilt für die letzten beiden Beispiele).

Achten Sie auch darauf negative Zahlen: Wenn sie multipliziert werden, werden sie in Klammern eingeschlossen. Dies geschieht, um die Minuszeichen von den Multiplikationszeichen zu trennen und die gesamte Notation genauer zu machen.

Brüche im laufenden Betrieb kürzen

Die Multiplikation ist eine sehr mühsame Operation. Die Zahlen hier sind ziemlich groß, und um die Aufgabe zu vereinfachen, können Sie versuchen, den Bruch noch weiter zu reduzieren vor Multiplikation. Tatsächlich sind Zähler und Nenner von Brüchen im Wesentlichen gewöhnliche Faktoren und können daher unter Verwendung der grundlegenden Eigenschaft eines Bruchs gekürzt werden. Schauen Sie sich die Beispiele an:

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Per Definition haben wir:

In allen Beispielen sind die reduzierten Zahlen und deren Reste rot markiert.

Bitte beachten Sie: Im ersten Fall wurden die Multiplikatoren komplett reduziert. Einheiten blieben an ihrer Stelle, die im Allgemeinen weggelassen werden können. Im zweiten Beispiel konnte keine vollständige Reduzierung erreicht werden, aber die Gesamtzahl der Berechnungen nahm trotzdem ab.

Verwenden Sie diese Technik jedoch auf keinen Fall beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen! Ja, manchmal gibt es ähnliche Zahlen, die Sie einfach reduzieren möchten. Hier, schau:

Das kannst du nicht!

Der Fehler tritt auf, weil beim Addieren eines Bruchs die Summe im Zähler eines Bruchs erscheint und nicht das Produkt von Zahlen. Daher ist es unmöglich, die Haupteigenschaft eines Bruchs anzuwenden, da sich diese Eigenschaft speziell mit der Multiplikation von Zahlen befasst.

Es gibt einfach keinen anderen Grund, Brüche zu kürzen, also sieht die richtige Lösung der vorherigen Aufgabe so aus:

Wie Sie sehen können, stellte sich heraus, dass die richtige Antwort nicht so schön war. Seien Sie im Allgemeinen vorsichtig.

Multiplikation von Brüchen.

Um einen Bruch mit einem Bruch oder einen Bruch mit einer Zahl richtig zu multiplizieren, müssen Sie es wissen einfache Regeln. Wir werden diese Regeln nun im Detail analysieren.

Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren.

Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, musst du das Produkt der Zähler und das Produkt der Nenner dieser Brüche berechnen.

Betrachten Sie ein Beispiel:
Wir multiplizieren den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs, und wir multiplizieren auch den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs.

Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren.

Beginnen wir mit der Regel jede Zahl kann als Bruch dargestellt werden \(\bf n = \frac \) .

Lassen Sie uns diese Regel für die Multiplikation verwenden.

Der unechte Bruch \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) wurde in einen gemischten Bruch umgewandelt.

Mit anderen Worten, Wenn Sie eine Zahl mit einem Bruch multiplizieren, multiplizieren Sie die Zahl mit dem Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert. Beispiel:

Multiplikation gemischter Brüche.

Um gemischte Brüche zu multiplizieren, musst du zuerst jeden gemischten Bruch als unechten Bruch darstellen und dann die Multiplikationsregel anwenden. Der Zähler wird mit dem Zähler multipliziert, der Nenner mit dem Nenner.

Multiplikation von reziproken Brüchen und Zahlen.

Verwandte Fragen:
Wie multipliziert man einen Bruch mit einem Bruch?
Antwort: Das Produkt gewöhnlicher Brüche ist die Multiplikation des Zählers mit dem Zähler, des Nenners mit dem Nenner. Um das Produkt gemischter Brüche zu erhalten, musst du sie in einen unechten Bruch umwandeln und gemäß den Regeln multiplizieren.

Wie multipliziert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern?
Antwort: Es spielt keine Rolle, ob sie gleich sind oder verschiedene Nenner Bei Brüchen erfolgt die Multiplikation nach der Regel, das Produkt des Zählers mit dem Zähler, des Nenners mit dem Nenner zu finden.

Wie multipliziert man gemischte Brüche?
Antwort: Zuerst musst du den gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln und dann das Produkt nach den Regeln der Multiplikation finden.

Wie multipliziert man eine Zahl mit einem Bruch?
Antwort: Wir multiplizieren die Zahl mit dem Zähler und lassen den Nenner gleich.

Beispiel 1:
Berechnen Sie das Produkt: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Beispiel #2:
Berechnen Sie das Produkt aus einer Zahl und einem Bruch: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

Beispiel #3:
Schreibe den Kehrwert des Bruchs \(\frac \)?
Antwort: \(\frac = 3\)

Beispiel #4:
Berechnen Sie das Produkt zweier Kehrwerte: a) \(\frac \times \frac \)

Beispiel #5:
Können umgekehrte Brüche sein:
a) beide echten Brüche;
b) gleichzeitig unechte Brüche;
c) gleichzeitig natürliche Zahlen?

Lösung:
a) Lassen Sie uns ein Beispiel verwenden, um die erste Frage zu beantworten. Der Bruch \(\frac \) ist korrekt, sein Kehrwert ist gleich \(\frac \) - ein unechter Bruch. Antwort: nein.

b) bei fast allen Aufzählungen von Brüchen ist diese Bedingung nicht erfüllt, aber es gibt einige Zahlen, die gleichzeitig die Bedingung erfüllen, ein unechter Bruch zu sein. Zum Beispiel ist der unechte Bruch \(\frac \) , sein Kehrwert ist \(\frac \). Wir erhalten zwei unechte Brüche. Antwort: nicht immer unter bestimmten Bedingungen, wenn Zähler und Nenner gleich sind.

c) Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die wir beim Zählen verwenden, zum Beispiel 1, 2, 3, .... Wenn wir die Zahl \(3 = \frac \) nehmen, dann ist ihr Kehrwert \(\frac \). Der Bruch \(\frac \) ist keine natürliche Zahl. Wenn wir alle Zahlen durchgehen, ist der Kehrwert immer ein Bruch, außer 1. Wenn wir die Zahl 1 nehmen, dann ist ihr Kehrwert \(\frac = \frac = 1\). Die Zahl 1 ist eine natürliche Zahl. Antwort: Sie können nur in einem Fall gleichzeitig natürliche Zahlen sein, wenn diese Zahl 1 ist.

Beispiel #6:
Bilden Sie das Produkt gemischter Brüche: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

Lösung:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

Beispiel #7:
Kann zwei sich gegenseitig Gegenseitigkeit gleichzeitig gemischte Zahlen sein?

Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir einen gemischten Bruch \(1\frac \), finden seinen Kehrwert, dazu übersetzen wir ihn in einen unechten Bruch \(1\frac = \frac \) . Sein Kehrwert ist gleich \(\frac \) . Der Bruch \(\frac \) ist ein echter Bruch. Antwort: Zwei zueinander inverse Brüche können nicht gleichzeitig gemischte Zahlen sein.

Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl

Präsentation für den Unterricht

Aufmerksamkeit! Die Folienvorschau dient nur zu Informationszwecken und stellt möglicherweise nicht den vollen Umfang der Präsentation dar. Wenn Sie interessiert sind diese Arbeit Bitte laden Sie die Vollversion herunter.

• Machen Sie die Schüler auf unterhaltsame Weise mit der Regel bekannt, einen Dezimalbruch mit einer natürlichen Zahl, mit einer Biteinheit zu multiplizieren, und mit der Regel, einen Dezimalbruch als Prozentsatz auszudrücken. Entwickeln Sie die Fähigkeit, das erworbene Wissen bei der Lösung von Beispielen und Problemen anzuwenden.
• Entwickeln und aktivieren logisches Denken Schüler, die Fähigkeit, Muster zu erkennen und zu verallgemeinern, das Gedächtnis zu stärken, die Fähigkeit zur Zusammenarbeit, Hilfestellung zu geben, ihre Arbeit und die Arbeit der anderen zu bewerten.
• Interesse an Mathematik, Aktivität, Mobilität, Kommunikationsfähigkeit fördern.

Ausrüstung: interaktive Tafel, ein Plakat mit einem Chiffrogramm, Plakate mit Aussagen von Mathematikern.

1. Zeit organisieren.
2. Mündliches Zählen ist eine Verallgemeinerung von zuvor gelerntem Material, Vorbereitung auf das Studium von neuem Material.
3. Erklärung des neuen Materials.
4. Hausaufgabe.
5. Mathematischer Sportunterricht.
6. Verallgemeinerung und Systematisierung des erworbenen Wissens in Spielform einen Computer benutzen.
7. Benotung.

2. Leute, heute wird unsere Stunde etwas ungewöhnlich, denn ich werde sie nicht alleine verbringen, sondern mit meinem Freund. Und mein Freund ist auch ungewöhnlich, jetzt wirst du ihn sehen. (Ein Cartoon-Computer erscheint auf dem Bildschirm.) Mein Freund hat einen Namen und er kann sprechen. Wie ist dein Name, Freund? Komposha antwortet: "Mein Name ist Komposha." Bist du bereit, mir heute zu helfen? JAWOHL! Dann fangen wir mit dem Unterricht an.

Heute habe ich ein verschlüsseltes Chiffre erhalten, Leute, das wir gemeinsam lösen und entziffern müssen. (Ein Poster ist an der Tafel mit angebracht mündliche Zählung für die Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen, wodurch die Jungs den folgenden Code erhalten 523914687. )

Komposha hilft, den empfangenen Code zu entschlüsseln. Als Ergebnis der Dekodierung wird das Wort MULTIPLIKATION erhalten. Multiplikation ist Stichwort Themen des heutigen Unterrichts. Das Thema der Lektion wird auf dem Monitor angezeigt: „Multiplizieren eines Dezimalbruchs mit einer natürlichen Zahl“

Leute, wir wissen, wie man multipliziert natürliche Zahlen. Heute betrachten wir die Multiplikation von Dezimalzahlen mit einer natürlichen Zahl. Die Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer natürlichen Zahl kann als Summe der Glieder betrachtet werden, von denen jedes gleich diesem Dezimalbruch ist, und die Anzahl der Glieder ist gleich dieser natürlichen Zahl. Zum Beispiel: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Also 5,21 3 = 15,63. Wenn wir 5,21 als gewöhnlichen Bruch einer natürlichen Zahl darstellen, erhalten wir

Und in diesem Fall haben wir dasselbe Ergebnis von 15,63 erhalten. Nehmen wir nun, das Komma ignorierend, die Zahl 521 statt der Zahl 5,21 und multiplizieren mit der gegebenen natürlichen Zahl. Dabei müssen wir bedenken, dass bei einem der Faktoren das Komma um zwei Stellen nach rechts verschoben wird. Wenn wir die Zahlen 5, 21 und 3 multiplizieren, erhalten wir ein Produkt gleich 15,63. In diesem Beispiel verschieben wir nun das Komma um zwei Stellen nach links. Um wie oft also einer der Faktoren erhöht wurde, wurde das Produkt um so viele Male reduziert. Basierend auf den ähnlichen Punkten dieser Methoden ziehen wir eine Schlussfolgerung.

Um eine Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, benötigen Sie:
1) Ignorieren Sie das Komma, führen Sie die Multiplikation natürlicher Zahlen durch;
2) Trennen Sie im resultierenden Produkt mit einem Komma rechts so viele Zeichen, wie ein Dezimalbruch vorhanden ist.

Auf dem Monitor werden folgende Beispiele angezeigt, die wir zusammen mit Komposha und den Jungs analysieren: 5,21 3 = 15,63 und 7,624 15 = 114,34. Nachdem ich die Multiplikation mit einer runden Zahl 12,6 50 \u003d 630 gezeigt habe. Als nächstes wende ich mich der Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer Biteinheit zu. Ich zeige die folgenden Beispiele: 7,423 100 \u003d 742,3 und 5,2 1000 \u003d 5200. Also führe ich die Regel zum Multiplizieren eines Dezimalbruchs mit einer Biteinheit ein:

Um einen Dezimalbruch mit den Biteinheiten 10, 100, 1000 usw. zu multiplizieren, muss das Komma in diesem Bruch um so viele Stellen nach rechts verschoben werden, wie es Nullen im Biteinheitsdatensatz gibt.

Ich beende die Erklärung mit dem Ausdruck eines Dezimalbruchs in Prozent. Ich gebe die Regel ein:

Um eine Dezimalzahl als Prozentsatz auszudrücken, multipliziere sie mit 100 und füge das %-Zeichen hinzu.

Ich gebe ein Beispiel auf einem Computer 0,5 100 = 50 oder 0,5 = 50%.

4. Am Ende der Erklärung gebe ich den Jungs Hausaufgaben, die auch auf dem Computermonitor angezeigt wird: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Damit sich die Jungs ein wenig ausruhen, um das Thema zu festigen, machen wir zusammen mit Komposha eine mathematische Sportstunde. Alle stehen auf, zeigen der Klasse die gelösten Beispiele und sie müssen antworten, ob das Beispiel richtig oder falsch ist. Wenn das Beispiel richtig gelöst ist, heben sie die Hände über den Kopf und klatschen in die Handflächen. Wird das Beispiel nicht richtig gelöst, strecken die Jungs die Arme seitlich aus und kneten mit den Fingern.

6. Und jetzt hast du ein wenig Ruhe, du kannst die Aufgaben lösen. Öffnen Sie Ihr Lehrbuch auf Seite 205, № 1029. In dieser Aufgabe ist es notwendig, den Wert von Ausdrücken zu berechnen:

Aufgaben werden auf dem Computer angezeigt. Wenn sie gelöst sind, erscheint ein Bild mit dem Bild eines Bootes, das, wenn es vollständig zusammengebaut ist, davonsegelt.

Beim Lösen dieser Aufgabe am Computer entwickelt sich die Rakete allmählich, beim Lösen des letzten Beispiels fliegt die Rakete davon. Der Lehrer gibt den Schülern eine kleine Information: „Jedes Jahr heben Sie aus dem kasachischen Land vom Kosmodrom Baikonur zu den Sternen ab Raumschiffe. Kasachstan baut in der Nähe von Baikonur sein neues Kosmodrom Baiterek.

Wie weit fährt ein Auto in 4 Stunden, wenn die Geschwindigkeit des Autos 74,8 km/h beträgt?

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Eine weitere Operation, die mit gewöhnlichen Brüchen durchgeführt werden kann, ist die Multiplikation. Wir werden versuchen, seine Grundregeln beim Lösen von Problemen zu erklären, zeigen, wie ein gewöhnlicher Bruch mit einer natürlichen Zahl multipliziert wird und wie man drei oder mehr gewöhnliche Brüche richtig multipliziert.

Schreiben wir zuerst die Grundregel auf:

Bestimmung 1

Wenn wir einen gewöhnlichen Bruch multiplizieren, ist der Zähler des resultierenden Bruchs gleich dem Produkt der Zähler der ursprünglichen Brüche und der Nenner dem Produkt ihrer Nenner. In wörtlicher Form kann dies für zwei Brüche a / b und c / d ausgedrückt werden als a b · c d = a · c b · d.

Schauen wir uns ein Beispiel an, wie man diese Regel richtig anwendet. Nehmen wir an, wir haben ein Quadrat, dessen Seite gleich einer numerischen Einheit ist. Dann beträgt die Fläche der Figur 1 Quadrat. Einheit. Wenn wir das Quadrat in gleich große Rechtecke mit Seiten gleich 1 4 und 1 8 der numerischen Einheit teilen, erhalten wir, dass es jetzt aus 32 Rechtecken besteht (weil 8 4 = 32). Dementsprechend wird die Fläche von jedem von ihnen gleich 1 32 der Fläche der gesamten Figur sein, d.h. 1 32 qm Einheiten.

Wir haben ein schattiertes Fragment mit Seiten gleich 5 8 numerischen Einheiten und 3 4 numerischen Einheiten. Dementsprechend ist es zur Berechnung seiner Fläche erforderlich, den ersten Bruchteil mit dem zweiten zu multiplizieren. Es wird 5 8 3 4 Quadratmetern entsprechen. Einheiten. Aber wir können einfach zählen, wie viele Rechtecke in dem Fragment enthalten sind: Es gibt 15 davon, was bedeutet, dass die Gesamtfläche 1532 Quadrateinheiten beträgt.

Da 5 3 = 15 und 8 4 = 32 sind, können wir die folgende Gleichung schreiben:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Es ist eine Bestätigung der von uns formulierten Regel zum Multiplizieren gewöhnlicher Brüche, die ausgedrückt wird als a b · c d = a · c b · d. Es funktioniert für echte und unechte Brüche gleich; Es kann verwendet werden, um Brüche mit unterschiedlichen und gleichen Nennern zu multiplizieren.

Analysieren wir die Lösungen mehrerer Probleme zur Multiplikation gewöhnlicher Brüche.

Beispiel 1

Multipliziere 7 11 mit 9 8 .

Lösung

Zunächst berechnen wir das Produkt der Zähler der angegebenen Brüche, indem wir 7 mit 9 multiplizieren. Wir haben 63. Dann berechnen wir das Produkt der Nenner und erhalten: 11 8 = 88 . Lassen Sie uns die Antwort aus zwei Zahlen zusammensetzen: 63 88.

Die gesamte Lösung kann wie folgt geschrieben werden:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Antworten: 7 11 9 8 = 63 88 .

Wenn wir in der Antwort einen reduzierbaren Bruch erhalten haben, müssen wir die Berechnung vervollständigen und seine Reduktion durchführen. Wenn wir einen unechten Bruch erhalten, müssen wir daraus den ganzen Teil auswählen.

Beispiel 2

Bruchprodukt berechnen 4 15 und 55 6 .

Lösung

Gemäß der oben untersuchten Regel müssen wir den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Der Lösungseintrag sieht folgendermaßen aus:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Wir haben einen reduzierten Bruch erhalten, d.h. eine, die ein Zeichen der Teilbarkeit durch 10 hat.

Reduzieren wir den Bruch: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. Als Ergebnis haben wir einen unechten Bruch erhalten, aus dem wir den ganzen Teil auswählen und eine gemischte Zahl erhalten: 22 9 \u003d 2 4 9.

Antworten: 4 15 55 6 = 2 4 9 .

Zur Vereinfachung der Berechnung können wir auch die ursprünglichen Brüche kürzen, bevor wir die Multiplikationsoperation durchführen, für die wir den Bruch auf die Form a · c · b · d kürzen müssen. Wir zerlegen die Werte der Variablen in einfache Faktoren und streichen dieselben.

Lassen Sie uns anhand der Daten eines konkreten Problems erklären, wie das aussieht.

Beispiel 3

Berechnen Sie das Produkt 4 15 55 6 .

Lösung

Schreiben wir die Berechnungen basierend auf der Multiplikationsregel. Wir werden im Stande sein zu:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Da 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 und 6 = 2 3 , dann 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 .

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Antworten: 4 15 55 6 = 2 4 9 .

Numerischer Ausdruck, bei der die Multiplikation gewöhnlicher Brüche stattfindet, hat ein Kommutativgesetz, d. h. wir können bei Bedarf die Reihenfolge der Faktoren ändern:

ein b c d = c d ein b = ein c b d

Wie man einen Bruch mit einer natürlichen Zahl multipliziert

Schreiben wir gleich die Grundregel auf und versuchen sie dann in der Praxis zu erklären.

Bestimmung 2

Um einen gewöhnlichen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, musst du den Zähler dieses Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren. In diesem Fall ist der Nenner des letzten Bruchs gleich dem Nenner des ursprünglichen gewöhnlichen Bruchs. Die Multiplikation eines Bruchs a b mit einer natürlichen Zahl n kann als Formel a b · n = a · n b geschrieben werden.

Diese Formel ist leicht zu verstehen, wenn Sie sich daran erinnern, dass jede natürliche Zahl als gewöhnlicher Bruch mit einem Nenner gleich eins dargestellt werden kann, das heißt:

ein b n = ein b n 1 = ein n b 1 = ein n b

Lassen Sie uns unsere Idee anhand konkreter Beispiele erläutern.

Beispiel 4

Berechne das Produkt von 2 27 mal 5 .

Lösung

Als Ergebnis der Multiplikation des Zählers des ursprünglichen Bruchs mit dem zweiten Faktor erhalten wir 10. Aufgrund der obigen Regel erhalten wir als Ergebnis 10 27. Die vollständige Lösung finden Sie in diesem Beitrag:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Antworten: 2 27 5 = 10 27

Wenn wir eine natürliche Zahl mit einem gemeinsamen Bruch multiplizieren, müssen wir das Ergebnis oft kürzen oder als gemischte Zahl darstellen.

Beispiel 5

Bedingung: Berechne das Produkt von 8 mal 5 12 .

Lösung

Nach obiger Regel multiplizieren wir eine natürliche Zahl mit dem Zähler. Als Ergebnis erhalten wir 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Der letzte Bruch hat Zeichen der Teilbarkeit durch 2, also müssen wir ihn kürzen:

LCM (40, 12) \u003d 4, also 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3

Jetzt müssen wir nur noch den ganzzahligen Teil auswählen und die fertige Antwort aufschreiben: 10 3 = 3 1 3.

In diesem Eintrag sehen Sie die gesamte Lösung: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

Wir könnten den Bruch auch kürzen, indem wir Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegen, und das Ergebnis wäre genau dasselbe.

Antworten: 5 12 8 = 3 1 3 .

Ein numerischer Ausdruck, bei dem eine natürliche Zahl mit einem Bruch multipliziert wird, hat ebenfalls die Verschiebungseigenschaft, das heißt, die Reihenfolge der Faktoren beeinflusst das Ergebnis nicht:

ein b n = n ein b = ein n b

Wie man drei oder mehr gemeinsame Brüche multipliziert

Wir können die gleichen Eigenschaften, die für die Multiplikation natürlicher Zahlen charakteristisch sind, auf die Multiplikation gewöhnlicher Brüche ausdehnen. Dies ergibt sich aus der eigentlichen Definition dieser Konzepte.

Dank der Kenntnis der Assoziations- und Kommutativeigenschaften ist es möglich, drei oder mehr gewöhnliche Brüche zu multiplizieren. Es ist zulässig, die Faktoren zur besseren Übersichtlichkeit stellenweise anders anzuordnen oder die Klammern so anzuordnen, dass das Zählen erleichtert wird.

Lassen Sie uns ein Beispiel zeigen, wie das gemacht wird.

Beispiel 6

Multipliziere vier gemeinsame Brüche 1 20 , 12 5 , 3 7 und 5 8 .

Lösung: Zuerst nehmen wir die Arbeit auf. Wir erhalten 1 20 12 5 3 7 5 8 . Wir müssen alle Zähler und alle Nenner miteinander multiplizieren: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .

Bevor wir mit der Multiplikation beginnen, können wir es uns etwas einfacher machen und einige Zahlen zur weiteren Reduktion in Primfaktoren zerlegen. Dies wird einfacher sein, als die daraus resultierende fertige Fraktion zu reduzieren.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

Antworten: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.

Beispiel 7

Multipliziere 5 Zahlen 7 8 12 8 5 36 10 .

Lösung

Der Einfachheit halber können wir den Bruch 7 8 mit der Zahl 8 und die Zahl 12 mit dem Bruch 5 36 gruppieren, da uns dies zukünftige Kürzungen klar macht. Als Ergebnis erhalten wir:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Antworten: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter

Multiplikation und Division von Brüchen.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Diese Operation ist viel schöner als Addition-Subtraktion! Weil es einfacher ist. Ich erinnere Sie daran: Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die Zähler (dies wird der Zähler des Ergebnisses sein) und die Nenner (dies wird der Nenner sein) multiplizieren. Also:

Zum Beispiel:

Alles ist sehr einfach. Und bitte nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen! Brauche ich hier nicht...

Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, musst du umdrehen zweite(das ist wichtig!) brechen und multiplizieren, also:

Zum Beispiel:

Wenn die Multiplikation oder Division mit ganzen Zahlen und Brüchen abgefangen wird, ist es in Ordnung. Wie bei der Addition machen wir aus einer ganzen Zahl mit einer Einheit im Nenner einen Bruch – und los! Zum Beispiel:

In der High School muss man sich oft mit dreistöckigen (oder sogar vierstöckigen!) Brüchen auseinandersetzen. Zum Beispiel:

Wie bringt man diesen Bruch in eine anständige Form? Ja, ganz einfach! Verwenden Sie die Division durch zwei Punkte:

Aber vergessen Sie nicht die Teilungsreihenfolge! Im Gegensatz zur Multiplikation ist dies hier sehr wichtig! Natürlich werden wir 4:2 oder 2:4 nicht verwechseln. Aber in einem dreistöckigen Bruchteil ist es leicht, einen Fehler zu machen. Bitte beachten Sie zum Beispiel:

Im ersten Fall (Ausdruck links):

Im zweiten (Ausdruck rechts):

Fühle den Unterschied? 4 und 1/9!

Wie ist die Teilungsreihenfolge? Oder Klammern oder (wie hier) die Länge horizontaler Striche. Entwickle ein Auge. Und wenn es keine Klammern oder Bindestriche gibt, wie:

dann dividieren-multiplizieren der Reihe nach von links nach rechts!

Und noch ein sehr einfacher und wichtiger Trick. Bei Aktionen mit Abschlüssen wird es sich für Sie als nützlich erweisen! Teilen wir die Einheit durch einen beliebigen Bruch, zum Beispiel durch 13/15:

Der Schuss ist übergesprungen! Und es passiert immer. Wenn Sie 1 durch einen beliebigen Bruch teilen, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt.

Das sind alle Aktionen mit Brüchen. Die Sache ist recht simpel, gibt aber mehr als genug Fehler. Notiz praktische Ratschläge, und sie (Fehler) werden weniger!

Praktische Tipps:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit Bruchausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit! Das sind keine gewöhnlichen Worte, keine guten Wünsche! Dies ist eine dringende Notwendigkeit! Führen Sie alle Berechnungen in der Prüfung als vollwertige Aufgabe mit Konzentration und Klarheit durch. Es ist besser, zwei zusätzliche Zeilen in einen Entwurf zu schreiben, als beim Rechnen im Kopf zu vermasseln.

2. In den Beispielen mit verschiedene Typen Brüche - gehen Sie zu gewöhnlichen Brüchen.

3. Wir reduzieren alle Brüche bis zum Anschlag.

4. Wir reduzieren mehrstufige Bruchausdrücke auf gewöhnliche, indem wir die Division durch zwei Punkte verwenden (wir folgen der Divisionsreihenfolge!).

5. Wir teilen die Einheit gedanklich in einen Bruch auf, indem wir einfach den Bruch umdrehen.

Hier sind die Aufgaben, die Sie erledigen müssen. Antworten werden nach allen Aufgaben gegeben. Verwenden Sie die Materialien zu diesem Thema und praktische Ratschläge. Schätzen Sie, wie viele Beispiele Sie richtig lösen könnten. Das erste Mal! Ohne Taschenrechner! Und die richtigen Schlüsse ziehen...

Erinnere dich an die richtige Antwort ab dem zweiten (insbesondere dritten) Mal erhalten - zählt nicht! So ist das harte Leben.

So, im Prüfungsmodus lösen ! Das ist übrigens die Vorbereitung auf die Prüfung. Wir lösen ein Beispiel, wir prüfen, wir lösen folgendes. Wir haben alles entschieden - wir haben noch einmal vom ersten bis zum letzten geprüft. Und nur nach schau dir die Antworten an.

Berechnung:

Haben Sie sich entschieden?

Suchen Sie nach Antworten, die zu Ihren passen. Ich habe sie eigens in einem Durcheinander aufgeschrieben, weg von der Versuchung sozusagen ... Hier sind sie, die Antworten, mit Semikolon aufgeschrieben.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Und jetzt ziehen wir Schlüsse. Wenn alles geklappt hat - glücklich für dich! Elementares Rechnen mit Brüchen ist nicht dein Problem! Sie können ernsthaftere Dinge tun. Wenn nicht...

Sie haben also eines von zwei Problemen. Oder beides gleichzeitig.) Unkenntnis und (oder) Unaufmerksamkeit. Aber das lösbar Probleme.

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