Wie man eine einfache Gleichung mit Logarithmen löst. Logarithmische Gleichungen lösen - Letzte Lektion

die Schönheit

Algebra Klasse 11

Thema: "Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen"

Unterrichtsziele:

lehrreich: Aufbau von Wissen über verschiedene Wege Lösen von logarithmischen Gleichungen, die Fähigkeit, sie in jeder spezifischen Situation anzuwenden und eine beliebige Lösungsmethode zu wählen;

Entwicklung: Entwicklung von Fähigkeiten zum Beobachten, Vergleichen, Anwenden von Wissen in einer neuen Situation, Erkennen von Mustern, Verallgemeinern; Bildung von Fähigkeiten zur gegenseitigen Kontrolle und Selbstkontrolle;

lehrreich: Erziehung zu einem verantwortungsvollen Umgang mit pädagogischer Arbeit, sorgfältige Wahrnehmung des Unterrichtsstoffs, Genauigkeit der Aufzeichnungen.

Unterrichtsart : eine Lektion zur Einarbeitung in neues Material.

"Die Erfindung des Logarithmus hat die Arbeit des Astronomen verkürzt und sein Leben verlängert."
Der französische Mathematiker und Astronom P.S. Laplace

Während des Unterrichts

I. Festlegung des Unterrichtsziels

Die untersuchte Definition des Logarithmus, die Eigenschaften von Logarithmen und die logarithmische Funktion ermöglichen uns die Lösung logarithmische Gleichungen. Alle logarithmischen Gleichungen, egal wie komplex sie sind, werden mit denselben Algorithmen gelöst. Wir werden diese Algorithmen heute in der Lektion betrachten. Es gibt wenige von ihnen. Wenn Sie sie beherrschen, ist jede Gleichung mit Logarithmen für jeden von Ihnen machbar.

Schreiben Sie das Thema der Lektion in Ihr Notizbuch: "Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen". Ich lade alle zur Zusammenarbeit ein.

II. Aktualisierung des Grundwissens

Machen wir uns bereit, das Thema der Lektion zu studieren. Sie lösen jede Aufgabe und schreiben die Antwort auf, Sie können die Bedingung nicht schreiben. Partnerarbeit.

1) Für welche Werte von x macht die Funktion Sinn:

in)

(Antworten werden für jede Folie überprüft und Fehler werden aussortiert)

2) Stimmen die Funktionsgraphen überein?

a) y = x und

b)und

3) Schreiben Sie die Gleichungen in logarithmische Gleichungen um:

4) Schreiben Sie die Zahlen als Logarithmen zur Basis 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Berechnen :

6) Versuchen Sie, die fehlenden Elemente in diesen Gleichheiten wiederherzustellen oder zu ergänzen.

III. Einführung in neues Material

Die Anweisung wird auf dem Bildschirm angezeigt:

"Die Gleichung ist der goldene Schlüssel, der alles mathematische Sesam aufschließt."
Der moderne polnische Mathematiker S. Koval

Versuchen Sie, die Definition einer logarithmischen Gleichung zu formulieren. (Eine Gleichung, die eine Unbekannte unter dem Vorzeichen des Logarithmus enthält ).

In Betracht ziehendie einfachste logarithmische Gleichung: Protokoll a x = b (wobei a>0, a ≠ 1). Da die logarithmische Funktion am Set zunimmt (oder abnimmt). positive Zahlen und alle reellen Werte nimmt, dann folgt aus dem Wurzelsatz, dass diese Gleichung für jedes b und darüber hinaus nur eine Lösung hat, und zwar eine positive.

Erinnere dich an die Definition eines Logarithmus. (Der Logarithmus der Zahl x zur Basis a ist der Exponent, mit dem die Basis a erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten ). Aus der Definition des Logarithmus folgt sofort, dassa in ist so eine Lösung.

Schreiben Sie den Titel auf:Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen

1. Per Definition des Logarithmus .

So entstehen die einfachsten Gleichungen der Form.

In Betracht ziehenNr. 514 (a ): Löse die Gleichung

Wie schlagen Sie vor, es zu lösen? (Per Definition des Logarithmus )

Lösung . , Also 2x - 4 = 4; x = 4.

Antwort: 4.

In dieser Aufgabe ist 2x - 4 > 0, da> 0, so dass keine Fremdwurzeln auftreten können, undÜberprüfung ist nicht erforderlich . Die Bedingung 2x - 4 > 0 in dieser Aufgabe muss nicht ausgeschrieben werden.

2. Potenzierung (Übergang vom Logarithmus des angegebenen Ausdrucks zu diesem Ausdruck selbst).

In Betracht ziehenNr. 519(g): Protokoll 5 ( x 2 +8)- Protokoll 5 ( x+1)=3 Protokoll 5 2

Welche Funktion ist Ihnen aufgefallen?(Die Basen sind gleich und die Logarithmen der beiden Ausdrücke sind gleich) . Was kann getan werden?(potenzieren).

Dabei ist zu berücksichtigen, dass jede Lösung unter allen x enthalten ist, für die die Logarithmusausdrücke positiv sind.

Lösung: ODZ:

X 2 +8>0 zusätzliche Ungleichheit

Protokoll 5 ( x 2 +8) = Protokoll 5 2 3 + Protokoll 5 ( x+1)

Protokoll 5 ( x 2 +8)= Protokoll 5 (8 x+8)

Potenzieren Sie die ursprüngliche Gleichung

x 2 +8= 8 x+8

wir bekommen die gleichungx 2 +8= 8 x+8

Lösen wir es:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Antwort: 0; acht

Im AlgemeinenÜbergang zu einem gleichwertigen System :

Die gleichung

(Das System enthält eine redundante Bedingung - eine der Ungleichungen kann ignoriert werden).

Frage an die Klasse : Welche dieser drei Lösungen hat Ihnen am besten gefallen? (Methodendiskussion).

Sie haben das Recht, in irgendeiner Weise zu entscheiden.

3. Einführung einer neuen Variablen .

In Betracht ziehenNr. 520(g) . .

Was haben Sie bemerkt? (Das quadratische Gleichung relativ zu log3x) Ihre Vorschläge? (Neue Variable einführen)

Lösung . ODZ: x > 0.

Lassen, dann nimmt die Gleichung die Form an:. Diskriminante D > 0. Nullstellen nach Satz von Vieta:.

Zurück zum Ersatz:oder.

Lösen wir die einfachsten logarithmischen Gleichungen, erhalten wir:

; .

Antworten : 27;

4. Logarithmus beider Seiten der Gleichung.

Löse die Gleichung:.

Lösung : ODZ: x>0, wir logarithmieren beide Seiten der Gleichung zur Basis 10:

. Wenden Sie die Eigenschaft des Logarithmus des Grades an:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Sei lgx = y, dann ist (y + 3)y = 4

, (D > 0) die Nullstellen nach dem Satz von Vieta: y1 = -4 und y2 = 1.

Gehen wir zurück zur Ersetzung, wir erhalten: lgx = -4,; log x = 1,. . Es ist wie folgt: wenn eine der Funktionen y = f(x) erhöht und die andere y = g(x) auf dem Intervall X abnimmt, dann die Gleichung f(x)=g(x) hat höchstens eine Nullstelle auf dem Intervall X .

Wenn es eine Wurzel gibt, dann kann sie erraten werden. .

Antworten : 2

„Die richtige Anwendung von Methoden ist erlernbar,
nur indem man sie auf verschiedene Beispiele anwendet.
Dänischer Mathematikhistoriker G. G. Zeiten

ich v. Hausaufgaben

S. 39 Betrachte Beispiel 3, löse Nr. 514 (b), Nr. 529 (b), Nr. 520 (b), Nr. 523 (b)

V. Zusammenfassung der Lektion

Welche Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen haben wir in der Lektion betrachtet?

In den nächsten Lektionen werden wir uns komplexere Gleichungen ansehen. Um sie zu lösen, sind die untersuchten Methoden nützlich.

Anzeige der letzten Folie:

„Was ist mehr als alles andere auf der Welt?
Platz.
Was ist am klügsten?
Zeit.
Was macht am meisten Spaß?
Erreiche, was du willst."
Thales

Ich möchte, dass jeder das erreicht, was er will. Vielen Dank für Ihre Mitarbeit und Ihr Verständnis.

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Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Arten von personenbezogenen Daten, die wir möglicherweise erfassen, und wie wir diese Daten möglicherweise verwenden.

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Die letzten Videos einer langen Reihe von Lektionen zum Lösen logarithmischer Gleichungen. Diesmal werden wir hauptsächlich mit dem Logarithmus ODZ arbeiten – gerade wegen der falschen Berücksichtigung (oder gar Nichtbeachtung) des Definitionsbereichs passieren die meisten Fehler bei der Lösung solcher Aufgaben.

In diesem kurzen Video-Tutorial analysieren wir die Anwendung der Additions- und Subtraktionsformeln für Logarithmen, sowie beschäftigen uns mit gebrochenen rationalen Gleichungen, mit denen viele Schüler ebenfalls Probleme haben.

Was wird besprochen? Die Hauptformel, mit der ich mich befassen möchte, sieht folgendermaßen aus:

log a (f g ) = log a f + log a g

Dies ist der Standardübergang vom Produkt zur Summe der Logarithmen und umgekehrt. Sie kennen diese Formel wahrscheinlich aus den Anfängen des Studiums der Logarithmen. Allerdings gibt es hier einen Haken.

Solange die Variablen a , f und g gewöhnliche Zahlen sind, gibt es keine Probleme. Diese Formel funktioniert super.

Sobald jedoch Funktionen anstelle von f und g auftreten, stellt sich das Problem, den Definitionsbereich zu erweitern oder einzuengen, je nachdem, wie umgerechnet wird. Überzeugen Sie sich selbst: Im links geschriebenen Logarithmus ist der Definitionsbereich wie folgt:

f > 0

Aber in der rechts geschriebenen Summe ist der Definitionsbereich schon etwas anders:

f > 0

g > 0

Diese Reihe von Anforderungen ist strenger als die ursprüngliche. Im ersten Fall werden wir uns mit der Option f begnügen< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 wird ausgeführt).

Beim Übergang von der linken zur rechten Konstruktion wird also der Definitionsbereich enger. Wenn wir zuerst eine Summe hatten und sie als Produkt umschreiben, dann wird der Definitionsbereich erweitert.

Mit anderen Worten, im ersten Fall könnten wir Wurzeln verlieren, und im zweiten könnten wir zusätzliche bekommen. Dies muss beim Lösen reeller logarithmischer Gleichungen berücksichtigt werden.

Die erste Aufgabe lautet also:

[Bilderüberschrift]

Links sehen wir die Summe der Logarithmen in derselben Basis. Daher können diese Logarithmen addiert werden:

[Bilderüberschrift]

Wie Sie sehen können, haben wir rechts die Null durch die Formel ersetzt:

a = log b b a

Stellen wir unsere Gleichung noch ein wenig um:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung, wir können das Logzeichen streichen und die Argumente gleichsetzen:

(x − 5) 2 = 1

|x−5| = 1

Achtung: Woher kommt das Modul? Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Wurzel des exakten Quadrats genau gleich dem Modul ist:

[Bilderüberschrift]

Dann lösen wir die klassische Gleichung mit dem Modul:

|f| = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒ x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Hier sind zwei Kandidaten für die Antwort. Sind sie Lösungen der ursprünglichen logarithmischen Gleichung? Auf keinen Fall!

Wir haben kein Recht, alles einfach so stehen zu lassen und die Antwort aufzuschreiben. Schauen Sie sich den Schritt an, in dem wir die Summe der Logarithmen durch einen Logarithmus des Produkts der Argumente ersetzen. Das Problem ist, dass wir in den ursprünglichen Ausdrücken Funktionen haben. Daher sollte gefordert werden:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Als wir das Produkt transformierten und ein exaktes Quadrat erhielten, änderten sich die Anforderungen:

(x − 5) 2 > 0

Wann ist diese Anforderung erfüllt? Ja, fast immer! Außer für den Fall, dass x − 5 = 0 ist. Das heißt, die Ungleichung wird auf einen Punkt reduziert:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Wie Sie sehen können, hat es eine Erweiterung des Definitionsbereichs gegeben, über die wir ganz am Anfang der Lektion gesprochen haben. Daher können auch zusätzliche Wurzeln auftreten.

Wie kann man das Auftreten dieser zusätzlichen Wurzeln verhindern? Es ist ganz einfach: Wir schauen uns unsere erhaltenen Wurzeln an und vergleichen sie mit dem Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung. Lass uns zählen:

x (x − 5) > 0

Wir lösen mit der Intervallmethode:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Wir markieren die empfangenen Nummern auf einer geraden Linie. Alle Punkte sind punktiert, weil die Ungleichung streng ist. Wir nehmen jede Zahl größer als 5 und ersetzen:

[Bilderüberschrift]

Uns interessieren die Intervalle (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Wenn wir unsere Wurzeln auf dem Segment markieren, sehen wir, dass x = 4 nicht zu uns passt, weil diese Wurzel außerhalb des Definitionsbereichs der ursprünglichen logarithmischen Gleichung liegt.

Wir kehren zur Bevölkerung zurück, streichen die Wurzel x \u003d 4 und schreiben die Antwort auf: x \u003d 6. Dies ist die endgültige Antwort auf die ursprüngliche logarithmische Gleichung. Alles, die Aufgabe ist gelöst.

Wir gehen zur zweiten logarithmischen Gleichung über:

[Bilderüberschrift]

Wir lösen es. Beachten Sie, dass der erste Term ein Bruch ist und der zweite derselbe Bruch, aber invertiert. Lassen Sie sich vom lgx-Ausdruck nicht einschüchtern – es ist nur ein Logarithmus zur Basis 10, wir können schreiben:

lgx = log 10 x

Da wir zwei umgekehrte Brüche haben, schlage ich vor, eine neue Variable einzuführen:

[Bilderüberschrift]

Daher kann unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Wie du siehst, ist der Zähler des Bruchs ein exaktes Quadrat. Ein Bruch ist Null, wenn sein Zähler Null und sein Nenner nicht Null ist:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Wir lösen die erste Gleichung:

t − 1 = 0;

t = 1.

Dieser Wert erfüllt die zweite Anforderung. Daher kann argumentiert werden, dass wir unsere Gleichung vollständig gelöst haben, aber nur in Bezug auf die Variable t . Erinnern wir uns jetzt, was t ist:

[Bilderüberschrift]

Wir haben das Verhältnis:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx − lgx = −1

logx = −1

Wir bringen diese Gleichung auf die kanonische Form:

lgx = lg 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Als Ergebnis haben wir die einzige Wurzel, die theoretisch die Lösung der ursprünglichen Gleichung ist. Gehen wir jedoch trotzdem auf Nummer sicher und schreiben den Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung aus:

[Bilderüberschrift]

Daher erfüllt unsere Wurzel alle Anforderungen. Wir haben eine Lösung für die ursprüngliche logarithmische Gleichung gefunden. Antwort: x = 0,1. Problem gelöst.

In der heutigen Lektion gibt es nur einen wichtigen Punkt: Beachten Sie bei der Verwendung der Formel für den Übergang von Produkt zu Summe und umgekehrt, dass sich der Definitionsbereich verengen oder erweitern kann, je nachdem, in welche Richtung der Übergang erfolgt.

Wie kann man verstehen, was passiert: Kontraktion oder Expansion? Sehr einfach. Wenn die Funktionen früher zusammen waren und jetzt getrennt wurden, dann hat sich der Definitionsbereich eingeengt (weil es mehr Anforderungen gibt). Waren die Funktionen zunächst getrennt und sind sie jetzt zusammen, dann erweitert sich der Definitionsbereich (es werden weniger Anforderungen an das Produkt als an einzelne Faktoren gestellt).

Angesichts dieser Bemerkung möchte ich anmerken, dass die zweite logarithmische Gleichung diese Transformationen überhaupt nicht benötigt, d.h. wir addieren oder multiplizieren die Argumente nirgendwo. An dieser Stelle möchte ich Sie jedoch auf einen weiteren wunderbaren Trick aufmerksam machen, mit dem Sie die Lösung erheblich vereinfachen können. Es geht darum, eine Variable zu ändern.

Denken Sie jedoch daran, dass keine Ersetzung uns nicht vom Geltungsbereich befreit. Deshalb waren wir, nachdem alle Wurzeln gefunden waren, nicht zu faul und kehrten zur ursprünglichen Gleichung zurück, um ihre ODZ zu finden.

Beim Ändern einer Variablen passiert oft ein ärgerlicher Fehler, wenn die Schüler den Wert von t finden und denken, dass die Lösung zu Ende ist. Auf keinen Fall!

Wenn Sie den Wert von t gefunden haben, müssen Sie zur ursprünglichen Gleichung zurückkehren und sehen, was genau wir mit diesem Buchstaben bezeichnet haben. Als Ergebnis müssen wir eine weitere Gleichung lösen, die jedoch viel einfacher sein wird als die ursprüngliche.

Genau an dieser Stelle wird eine neue Variable eingeführt. Wir teilen die ursprüngliche Gleichung in zwei Zwischengleichungen auf, von denen jede viel einfacher zu lösen ist.

Wie man "verschachtelte" logarithmische Gleichungen löst

Heute studieren wir weiterhin logarithmische Gleichungen und analysieren Konstruktionen, wenn ein Logarithmus unter dem Vorzeichen eines anderen Logarithmus steht. Wir werden beide Gleichungen mit der kanonischen Form lösen.

Heute studieren wir weiterhin logarithmische Gleichungen und analysieren Konstruktionen, wenn ein Logarithmus unter dem Vorzeichen eines anderen steht. Wir werden beide Gleichungen mit der kanonischen Form lösen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir, wenn wir die einfachste logarithmische Gleichung der Form log a f (x) \u003d b haben, die folgenden Schritte ausführen, um eine solche Gleichung zu lösen. Zuerst müssen wir die Zahl b ersetzen:

b = log a a b

Beachten Sie, dass a b ein Argument ist. In ähnlicher Weise ist das Argument in der ursprünglichen Gleichung die Funktion f(x). Dann schreiben wir die Gleichung um und erhalten diese Konstruktion:

log a f(x) = log a a b

Danach können wir den dritten Schritt ausführen - das Vorzeichen des Logarithmus loswerden und einfach schreiben:

f(x) = ein b

Als Ergebnis erhalten wir eine neue Gleichung. In diesem Fall werden der Funktion f(x) keine Beschränkungen auferlegt. An ihrer Stelle kann beispielsweise auch eine logarithmische Funktion stehen. Und dann erhalten wir wieder eine logarithmische Gleichung, die wir wieder auf das Einfachste reduzieren und durch die kanonische Form lösen.

Aber genug der Texte. Lassen Sie uns das eigentliche Problem lösen. Also Aufgabe Nummer 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Wie Sie sehen können, haben wir eine einfache logarithmische Gleichung. Die Rolle von f (x) ist die Konstruktion 1 + 3 log 2 x, und die Zahl b ist die Zahl 2 (die Rolle von a ist auch zwei). Schreiben wir diese beiden wie folgt um:

Es ist wichtig zu verstehen, dass die ersten beiden Zweien von der Basis des Logarithmus zu uns kamen, das heißt, wenn die ursprüngliche Gleichung 5 enthielte, würden wir 2 = log 5 5 2 erhalten. Im Allgemeinen hängt die Basis nur vom Logarithmus ab, der anfänglich in der Aufgabe angegeben ist. Und in unserem Fall ist diese Zahl 2.

Also schreiben wir unsere logarithmische Gleichung um und berücksichtigen dabei, dass die Zwei rechts auch ein Logarithmus ist. Wir bekommen:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Wir gehen zum letzten Schritt unseres Schemas über - wir entfernen die kanonische Form. Wir können sagen, streichen Sie einfach die Zeichen des Protokolls. Aus mathematischer Sicht ist es jedoch unmöglich, "log zu streichen" - richtiger ist es zu sagen, dass wir einfach die Argumente gleichsetzen:

1 + 3 Log 2 x = 4

Von hier aus ist es einfach, 3 log 2 x zu finden:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Wir haben wieder die einfachste logarithmische Gleichung, bringen wir sie zurück auf die kanonische Form. Dazu müssen wir folgende Änderungen vornehmen:

1 = Protokoll 2 2 1 = Protokoll 2 2

Warum gibt es eine Zwei an der Basis? Denn in unserer kanonischen Gleichung links steht der Logarithmus genau zur Basis 2. Wir schreiben die Aufgabe unter Berücksichtigung dieser Tatsache um:

log 2 x = log 2 2

Auch hier verzichten wir wieder auf das Vorzeichen des Logarithmus, d.h. wir setzen die Argumente einfach gleich. Wir haben das Recht dazu, weil die Grundlagen die gleichen sind und weder rechts noch links weitere zusätzliche Aktionen durchgeführt wurden:

Das ist alles! Problem gelöst. Wir haben eine Lösung für die logarithmische Gleichung gefunden.

Beachten Sie! Obwohl die Variable x im Argument enthalten ist (d. h. es gibt Anforderungen für den Definitionsbereich), werden wir keine zusätzlichen Anforderungen stellen.

Wie ich oben sagte, ist diese Prüfung überflüssig, wenn die Variable nur in einem Argument von nur einem Logarithmus vorkommt. In unserem Fall steht x wirklich nur im Argument und nur unter einem Logzeichen. Daher sind keine zusätzlichen Prüfungen erforderlich.

Wenn Sie dieser Methode jedoch nicht vertrauen, können Sie leicht überprüfen, ob x = 2 tatsächlich eine Wurzel ist. Es reicht aus, diese Zahl in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen.

Kommen wir zur zweiten Gleichung, sie ist etwas interessanter:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Wenn wir den Ausdruck innerhalb des großen Logarithmus mit der Funktion f (x) bezeichnen, erhalten wir die einfachste logarithmische Gleichung, mit der wir die heutige Videolektion begonnen haben. Daher ist es möglich, die kanonische Form anzuwenden, für die es notwendig ist, die Einheit in der Form log 2 2 1 = log 2 2 darzustellen.

Umschreiben unserer großen Gleichung:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Wir werden das Vorzeichen des Logarithmus los, indem wir die Argumente gleichsetzen. Wir haben das Recht dazu, weil die Basen links und rechts gleich sind. Beachten Sie auch, dass log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Vor uns liegt wieder die einfachste logarithmische Gleichung der Form log a f (x) \u003d b. Wir gehen zur kanonischen Form über, d.h. wir stellen die Null in der Form log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1 dar.

Wir schreiben unsere Gleichung um und beseitigen das Log-Zeichen, indem wir die Argumente gleichsetzen:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Auch hier erhielten wir umgehend eine Antwort. Es sind keine weiteren Überprüfungen erforderlich, da in der ursprünglichen Gleichung nur ein Logarithmus die Funktion im Argument enthält.

Daher sind keine zusätzlichen Prüfungen erforderlich. Wir können mit Sicherheit sagen, dass x = 1 die einzige Wurzel dieser Gleichung ist.

Aber wenn es im zweiten Logarithmus anstelle von vier eine Funktion von x geben würde (oder 2x nicht im Argument, sondern in der Basis wäre), dann müsste der Definitionsbereich überprüft werden. Andernfalls besteht eine große Chance, auf zusätzliche Wurzeln zu stoßen.

Woher kommen diese zusätzlichen Wurzeln? Dieser Punkt muss sehr klar verstanden werden. Schau dir die Originalgleichungen an: überall steht die Funktion x unter dem Vorzeichen des Logarithmus. Da wir also log 2 x geschrieben haben, setzen wir automatisch die Anforderung x > 0. Sonst macht dieser Satz einfach keinen Sinn.

Wenn wir jedoch die logarithmische Gleichung lösen, werden wir alle Logzeichen los und erhalten einfache Konstruktionen. Hier sind bereits keine Einschränkungen gesetzt, da die lineare Funktion für beliebige Werte von x definiert ist.

Dieses Problem, wenn die Endfunktion überall und immer definiert ist und die Anfangsfunktion keineswegs überall und nicht immer, ist der Grund, warum bei der Lösung von logarithmischen Gleichungen sehr oft zusätzliche Wurzeln auftreten.

Aber ich wiederhole noch einmal: Dies geschieht nur in einer Situation, in der die Funktion entweder in mehreren Logarithmen oder an der Basis eines von ihnen steht. Bei den Problemen, die wir heute betrachten, gibt es im Prinzip keine Probleme, den Definitionsbereich zu erweitern.

Fälle aus verschiedenen Gründen

Diese Lektion ist gewidmet komplexe Strukturen. Die Logarithmen in heutigen Gleichungen werden nicht mehr "leer" gelöst - zuerst müssen Sie einige Transformationen durchführen.

Wir beginnen, logarithmische Gleichungen mit völlig unterschiedlichen Basen zu lösen, die keine exakten Potenzen voneinander sind. Haben Sie keine Angst vor solchen Aufgaben - sie sind nicht schwieriger zu lösen als die einfachsten Designs, die wir oben analysiert haben.

Aber bevor ich direkt zu den Problemen übergehe, möchte ich Sie an die Formel zur Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichungen mit der kanonischen Form erinnern. Stellen Sie sich ein Problem wie dieses vor:

loga f(x) = b

Es ist wichtig, dass die Funktion f (x) nur eine Funktion ist und die Zahlen a und b genau die Zahlen (ohne Variablen x) sein sollten. Natürlich werden wir buchstäblich in einer Minute auch solche Fälle betrachten, in denen es anstelle der Variablen a und b Funktionen gibt, aber darum geht es jetzt nicht.

Wie wir uns erinnern, muss die Zahl b durch einen Logarithmus mit der gleichen Basis a ersetzt werden, die auf der linken Seite steht. Das geht ganz einfach:

b = log a a b

Natürlich bedeuten die Wörter "jede Zahl b" und "jede Zahl a" solche Werte, die den Definitionsbereich erfüllen. Insbesondere befasst sich diese Gleichung nur mit der Basis a > 0 und a ≠ 1.

Diese Voraussetzung ist jedoch automatisch erfüllt, da die ursprüngliche Aufgabe bereits einen Logarithmus zur Basis a enthält – dieser wird sicherlich größer als 0 und ungleich 1 sein. Deshalb setzen wir die Lösung der logarithmischen Gleichung fort:

log a f(x) = log a a b

Eine solche Notation wird als kanonische Form bezeichnet. Seine Bequemlichkeit besteht darin, dass wir das Protokollzeichen sofort loswerden können, indem wir die Argumente gleichsetzen:

f(x) = ein b

Es ist diese Technik, die wir jetzt verwenden werden, um logarithmische Gleichungen mit einer variablen Basis zu lösen. So lass uns gehen!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Was weiter? Jemand wird jetzt sagen, dass Sie den richtigen Logarithmus berechnen oder auf eine Basis reduzieren müssen oder etwas anderes. Und tatsächlich müssen Sie jetzt beide Basen auf die gleiche Form bringen - entweder 2 oder 0,5. Aber lasst uns die folgende Regel ein für alle Mal lernen:

Wenn die logarithmische Gleichung enthält Dezimalstellen, stellen Sie sicher, dass Sie diese Brüche von Dezimalzahlen in gewöhnliche umwandeln. Eine solche Transformation kann die Lösung erheblich vereinfachen.

Ein solcher Übergang muss sofort durchgeführt werden, noch bevor irgendwelche Aktionen und Transformationen durchgeführt werden. Mal schauen:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

Was gibt uns eine solche Aufzeichnung? Wir können 1/2 und 1/8 als negative Exponenten darstellen:

[Bilderüberschrift]

Wir haben die kanonische Form. Gleichen Sie die Argumente und erhalten Sie die klassische quadratische Gleichung:

x 2 + 4 x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Vor uns liegt die gegebene quadratische Gleichung, die mit den Vieta-Formeln leicht zu lösen ist. Sie sollten ähnliche Berechnungen in der High School buchstäblich mündlich sehen:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Das ist alles! Die ursprüngliche logarithmische Gleichung wird gelöst. Wir haben zwei Wurzeln.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es in diesem Fall nicht erforderlich ist, den Gültigkeitsbereich zu definieren, da die Funktion mit der Variablen x nur in einem Argument vorhanden ist. Daher wird der Umfang automatisch durchgeführt.

Damit ist die erste Gleichung gelöst. Kommen wir zum zweiten:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Und nun beachte, dass das Argument des ersten Logarithmus auch als Potenz mit negativem Exponenten geschrieben werden kann: 1/2 = 2 −1. Dann kannst du die Potenzen auf beiden Seiten der Gleichung herausnehmen und alles durch −1 teilen:

[Bilderüberschrift]

Und jetzt haben wir einen sehr wichtigen Schritt bei der Lösung der logarithmischen Gleichung abgeschlossen. Vielleicht hat jemand etwas nicht bemerkt, also lassen Sie es mich erklären.

Schauen Sie sich unsere Gleichung an: Log steht links und rechts, aber der Logarithmus zur Basis 2 steht links und der Logarithmus zur Basis 3 rechts.

Es handelt sich also um Logarithmen mit unterschiedlichen Basen, die nicht durch einfaches Potenzieren aufeinander reduziert werden. Die einzige Möglichkeit, solche Probleme zu lösen, besteht darin, einen dieser Logarithmen loszuwerden. Da wir in diesem Fall immer noch ziemlich einfache Probleme betrachten, wurde der Logarithmus auf der rechten Seite einfach berechnet, und wir haben die einfachste Gleichung erhalten - genau die, über die wir ganz am Anfang der heutigen Lektion gesprochen haben.

Stellen wir die Zahl 2, die rechts steht, als log 2 2 2 = log 2 4 dar. Und dann entfernen wir das Vorzeichen des Logarithmus, wonach uns nur noch eine quadratische Gleichung bleibt:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x − 2 = 0

Vor uns liegt die übliche quadratische Gleichung, die jedoch nicht reduziert wird, da der Koeffizient bei x 2 von Eins verschieden ist. Daher lösen wir es mit der Diskriminante:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 \u003d (–9 - 11) / 10 \u003d -2

Das ist alles! Wir haben beide Wurzeln gefunden, was bedeutet, dass wir die Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung erhalten haben. Tatsächlich ist im ursprünglichen Problem die Funktion mit der Variablen x nur in einem Argument vorhanden. Folglich sind keine zusätzlichen Überprüfungen des Definitionsbereichs erforderlich - beide Wurzeln, die wir gefunden haben, erfüllen sicherlich alle möglichen Einschränkungen.

Dies könnte das Ende des heutigen Video-Tutorials sein, aber zum Abschluss möchte ich noch einmal sagen: Stellen Sie sicher, dass Sie alle Dezimalbrüche in gewöhnliche umwandeln, wenn Sie logarithmische Gleichungen lösen. In den meisten Fällen vereinfacht dies ihre Lösung erheblich.

Selten, sehr selten gibt es Probleme, bei denen das Weglassen von Dezimalbrüchen die Berechnungen nur erschwert. Bei solchen Gleichungen ist jedoch in der Regel zunächst klar, dass es nicht notwendig ist, Dezimalbrüche loszuwerden.

In den meisten anderen Fällen (insbesondere wenn Sie gerade erst anfangen, logarithmische Gleichungen zu lösen), können Sie die Dezimalbrüche loswerden und sie in gewöhnliche Brüche übersetzen. Denn die Praxis zeigt, dass Sie auf diese Weise die spätere Lösung und Berechnung erheblich vereinfachen.

Feinheiten und Tricks der Lösung

Heute wenden wir uns komplexeren Problemen zu und lösen eine logarithmische Gleichung, die nicht auf einer Zahl, sondern auf einer Funktion basiert.

Und selbst wenn diese Funktion linear ist, müssen kleine Änderungen am Lösungsschema vorgenommen werden, deren Bedeutung auf zusätzliche Anforderungen an den Definitionsbereich des Logarithmus hinausläuft.

Schwierige Aufgaben

Diese Lektion wird ziemlich lang sein. Darin werden wir zwei ziemlich ernste logarithmische Gleichungen analysieren, bei deren Lösung viele Schüler Fehler machen. Während meiner Tätigkeit als Nachhilfelehrer in Mathematik bin ich ständig auf zwei Arten von Fehlern gestoßen:

Das Auftreten zusätzlicher Wurzeln aufgrund der Erweiterung des Definitionsbereichs von Logarithmen. Um solche offensiven Fehler zu vermeiden, behalten Sie einfach jede Transformation genau im Auge.
Verlust der Wurzeln aufgrund der Tatsache, dass der Student vergessen hat, einige "subtile" Fälle zu berücksichtigen - auf solche Situationen werden wir uns heute konzentrieren.

Dies ist die letzte Lektion über logarithmische Gleichungen. Es wird lange dauern, wir werden komplexe logarithmische Gleichungen analysieren. Machen Sie es sich bequem, machen Sie sich einen Tee und wir fangen an.

Die erste Gleichung sieht ganz normal aus:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

Wir stellen sofort fest, dass beide Logarithmen invertierte Kopien voneinander sind. Erinnern wir uns an die wunderbare Formel:

log a b = 1/log b a

Allerdings hat diese Formel eine Reihe von Einschränkungen, die entstehen, wenn anstelle der Zahlen a und b Funktionen der Variablen x stehen:

b > 0

1 ≠ a > 0

Diese Anforderungen werden auf der Basis des Logarithmus auferlegt. Andererseits müssen wir in einem Bruch 1 ≠ a > 0 haben, da nicht nur die Variable a im Argument des Logarithmus ist (also a > 0), sondern der Logarithmus selbst im Nenner von steht der Bruchteil. Aber log b 1 = 0, und der Nenner muss ungleich Null sein, also a ≠ 1.

Die Einschränkungen für die Variable a bleiben also erhalten. Aber was passiert mit der Variablen b? Zum einen folgt aus der Basis b > 0, zum anderen folgt die Variable b ≠ 1, weil die Basis des Logarithmus von 1 verschieden sein muss. Insgesamt folgt aus der rechten Seite der Formel, dass 1 ≠ b > 0.

Aber hier ist das Problem: Die zweite Bedingung (b ≠ 1) fehlt bei der ersten Ungleichung auf dem linken Logarithmus. Mit anderen Worten, wenn wir diese Transformation durchführen, müssen wir separat prüfen dass das Argument b von eins verschieden ist!

Hier, lass es uns überprüfen. Wenden wir unsere Formel an:

[Bilderüberschrift]

1 ≠ x – 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Wir haben also bereits aus der ursprünglichen logarithmischen Gleichung gelernt, dass sowohl a als auch b größer als 0 und ungleich 1 sein müssen. Wir können also die logarithmische Gleichung leicht umdrehen:

Ich schlage vor, eine neue Variable einzuführen:

log x + 1 (x − 0,5) = t

In diesem Fall wird unsere Konstruktion wie folgt umgeschrieben:

(t 2 − 1)/t = 0

Beachten Sie, dass wir im Zähler die Differenz von Quadraten haben. Wir zeigen die Differenz von Quadraten mit der abgekürzten Multiplikationsformel:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Ein Bruch ist Null, wenn sein Zähler Null und sein Nenner nicht Null ist. Aber der Zähler enthält das Produkt, also setzen wir jeden Faktor mit Null gleich:

t1 = 1;

t2 = −1;

t ≠ 0.

Wie Sie sehen, passen beide Werte der Variablen t zu uns. Die Lösung endet jedoch nicht dort, weil wir nicht t finden müssen, sondern den Wert von x . Wir kehren zum Logarithmus zurück und erhalten:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Bringen wir jede dieser Gleichungen in kanonische Form:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Im ersten Fall streichen wir das Vorzeichen des Logarithmus und setzen die Argumente gleich:

x − 0,5 = x + 1;

x - x \u003d 1 + 0,5;

Eine solche Gleichung hat keine Wurzeln, daher hat die erste logarithmische Gleichung auch keine Wurzeln. Aber bei der zweiten Gleichung ist alles viel interessanter:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Wir lösen den Anteil - wir bekommen:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Ich erinnere Sie daran, dass es beim Lösen von logarithmischen Gleichungen viel bequemer ist, alle gängigen Dezimalbrüche anzugeben, also schreiben wir unsere Gleichung wie folgt um:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x2 + x – 1/2x – 1/2 – 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

Vor uns liegt die gegebene quadratische Gleichung, sie lässt sich leicht mit den Vieta-Formeln lösen:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 \u003d -1,5;

x2 = 1.

Wir haben zwei Wurzeln - sie sind Kandidaten für die Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung. Um zu verstehen, welche Wurzeln wirklich in die Antwort einfließen, gehen wir zurück zum ursprünglichen Problem. Jetzt überprüfen wir jede unserer Wurzeln, um zu sehen, ob sie mit dem Bereich übereinstimmen:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Diese Anforderungen kommen einer doppelten Ungleichung gleich:

1 ≠ x > 0,5

Von hier aus sehen wir sofort, dass die Wurzel x = −1,5 nicht zu uns passt, aber x = 1 ist ganz zufrieden. Daher ist x = 1 die endgültige Lösung der logarithmischen Gleichung.

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass alle Logarithmen verschiedene Gründe und verschiedene Argumente. Was tun mit solchen Strukturen? Beachten Sie zunächst, dass die Zahlen 25, 5 und 625 Potenzen von 5 sind:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Und jetzt werden wir die bemerkenswerte Eigenschaft des Logarithmus verwenden. Tatsache ist, dass man die Grade aus dem Argument in Form von Faktoren herausnehmen kann:

log a b n = n ∙ log a b

Einschränkungen sind dieser Transformation auch dann auferlegt, wenn anstelle von b eine Funktion steht. Aber bei uns ist b nur eine Zahl, und es ergeben sich keine zusätzlichen Einschränkungen. Schreiben wir unsere Gleichung um:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Wir haben eine Gleichung mit drei Termen, die das Log-Zeichen enthalten. Außerdem sind die Argumente aller drei Logarithmen gleich.

Es ist an der Zeit, die Logarithmen umzudrehen, um sie auf die gleiche Basis zu bringen – 5. Da die Variable b eine Konstante ist, gibt es keine Änderung im Gültigkeitsbereich. Wir schreiben einfach um:

[Bilderüberschrift]

Im Nenner sind erwartungsgemäß die gleichen Logarithmen „herausgekrochen“. Ich schlage vor, die Variable zu ändern:

log 5 x = t

In diesem Fall wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

Schreiben wir den Zähler aus und öffnen die Klammern:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Wir kehren zu unserer Fraktion zurück. Der Zähler muss Null sein:

[Bilderüberschrift]

Und der Nenner ist von Null verschieden:

t ≠ 0; t ≠ –3; t ≠ −2

Die letzten Anforderungen werden automatisch erfüllt, da sie alle an ganze Zahlen "gebunden" sind und alle Antworten irrational sind.

Die fraktional-rationale Gleichung wird also gelöst, die Werte der Variablen t werden gefunden. Wir kehren zur Lösung der logarithmischen Gleichung zurück und erinnern uns, was t ist:

[Bilderüberschrift]

Bringen wir diese Gleichung auf die kanonische Form, erhalten wir eine Zahl mit irrationalem Grad. Lassen Sie sich davon nicht verwirren - auch solche Argumente können gleichgesetzt werden:

[Bilderüberschrift]

Wir haben zwei Wurzeln. Genauer gesagt, zwei Kandidaten für Antworten - prüfen wir sie auf Einhaltung des Geltungsbereichs. Da die Basis des Logarithmus die Variable x ist, benötigen wir Folgendes:

1 ≠ x > 0;

Mit gleichem Erfolg behaupten wir, dass x ≠ 1/125 ist, sonst wird die Basis des zweiten Logarithmus zu Eins. Schließlich ist x ≠ 1/25 für den dritten Logarithmus.

Insgesamt haben wir vier Einschränkungen:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Nun stellt sich die Frage: Erfüllen unsere Wurzeln diese Anforderungen? Auf jeden Fall zufrieden! Weil 5 hoch beliebig größer als Null ist und die Bedingung x > 0 automatisch erfüllt ist.

Andererseits 1 \u003d 5 0, 1/25 \u003d 5 −2, 1/125 \u003d 5 −3, was bedeutet, dass diese Einschränkungen für unsere Wurzeln (die, ich möchte Sie daran erinnern, eine irrationale Zahl enthalten der Indikator) sind ebenfalls erfüllt, und beide Antworten sind Lösungen für das Problem.

Wir haben also die endgültige Antwort. Wichtige Punkte In dieser gibt es zwei Aufgaben:

Sei vorsichtig, wenn du den Logarithmus umkehrst, wenn Argument und Basis umgekehrt sind. Solche Transformationen erlegen dem Definitionsbereich unnötige Beschränkungen auf.
Scheuen Sie sich nicht, Logarithmen umzurechnen: Sie können sie nicht nur umdrehen, sondern auch gemäß der Summenformel öffnen und sie im Allgemeinen gemäß allen Formeln ändern, die Sie beim Lösen von logarithmischen Ausdrücken gelernt haben. Denken Sie jedoch immer daran, dass einige Transformationen den Anwendungsbereich erweitern und andere ihn einschränken.

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Anweisung

Schreibe das Gegebene auf logarithmischer Ausdruck. Wenn der Ausdruck den Logarithmus von 10 verwendet, wird seine Notation verkürzt und sieht so aus: lg b ist der Dezimallogarithmus. Wenn der Logarithmus die Zahl e als Basis hat, dann wird der Ausdruck geschrieben: ln b - natürlicher Logarithmus. Es versteht sich, dass das Ergebnis von any die Potenz ist, mit der die Basiszahl potenziert werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Wenn Sie die Summe zweier Funktionen finden, müssen Sie sie nur einzeln differenzieren und die Ergebnisse addieren: (u+v)" = u"+v";

Um die Ableitung des Produkts zweier Funktionen zu finden, ist es notwendig, die Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten zu multiplizieren und die Ableitung der zweiten Funktion multipliziert mit der ersten Funktion zu addieren: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Um die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen zu finden, ist es notwendig, vom Produkt der Ableitung des Dividenden multipliziert mit der Divisorfunktion das Produkt der Ableitung des Divisors multipliziert mit der Divisorfunktion zu subtrahieren und zu dividieren all dies durch die Divisorfunktion im Quadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Wenn eine komplexe Funktion gegeben ist, muss die Ableitung der inneren Funktion mit der Ableitung der äußeren multipliziert werden. Sei y=u(v(x)), dann y"(x)=y"(u)*v"(x).

Mit dem oben Erhaltenen können Sie fast jede Funktion unterscheiden. Schauen wir uns also ein paar Beispiele an:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Es gibt auch Aufgaben zur Berechnung der Ableitung an einem Punkt. Sei die Funktion y=e^(x^2+6x+5) gegeben, du musst den Wert der Funktion am Punkt x=1 finden.
1) Finde die Ableitung der Funktion: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Berechnen Sie den Wert der Funktion am gegebenen Punkt y"(1)=8*e^0=8

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Nützlicher Rat

Lernen Sie die Tabelle der elementaren Ableitungen. Dies wird viel Zeit sparen.

Quellen:

konstante Ableitung

Was ist also der Unterschied zwischen einer irrationalen Gleichung und einer rationalen? Wenn die unbekannte Variable unter dem Vorzeichen steht Quadratwurzel, dann gilt die Gleichung als irrational.

Anweisung

Die Hauptmethode zum Lösen solcher Gleichungen ist die Methode, beide Seiten anzuheben Gleichungen in ein Quadrat. Jedoch. Das ist natürlich, der erste Schritt ist, das Zeichen loszuwerden. Technisch ist diese Methode nicht schwierig, kann aber manchmal zu Problemen führen. Zum Beispiel die Gleichung v(2x-5)=v(4x-7). Wenn Sie beide Seiten quadrieren, erhalten Sie 2x-5=4x-7. Eine solche Gleichung ist nicht schwer zu lösen; x=1. Aber die Nummer 1 wird nicht vergeben Gleichungen. Wieso den? Ersetzen Sie die Einheit in der Gleichung anstelle des x-Werts, und die rechte und die linke Seite enthalten Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben, das heißt. Ein solcher Wert gilt nicht für eine Quadratwurzel. Daher ist 1 eine fremde Wurzel, und daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

Die irrationale Gleichung wird also mit der Methode des Quadrierens ihrer beiden Teile gelöst. Und nachdem die Gleichung gelöst wurde, müssen fremde Wurzeln abgeschnitten werden. Setzen Sie dazu die gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung ein.

Betrachten Sie einen anderen.
2x+vx-3=0
Natürlich kann diese Gleichung mit der gleichen Gleichung wie die vorherige gelöst werden. Transferverbindungen Gleichungen, die keine Quadratwurzel haben, auf die rechte Seite und verwenden Sie dann die Quadrierungsmethode. Lösen Sie die resultierende rationale Gleichung und Wurzeln. Aber eine andere, elegantere. Geben Sie eine neue Variable ein; vx=y. Dementsprechend erhalten Sie eine Gleichung wie 2y2+y-3=0. Das ist die übliche quadratische Gleichung. Finden Sie seine Wurzeln; y1=1 und y2=-3/2. Als nächstes lösen Sie zwei Gleichungen vx=1; vx \u003d -3/2. Die zweite Gleichung hat keine Nullstellen, aus der ersten finden wir x=1. Vergessen Sie nicht die Notwendigkeit, die Wurzeln zu überprüfen.

Das Lösen von Identitäten ist ganz einfach. Dies erfordert identische Transformationen, bis das Ziel erreicht ist. So wird mit Hilfe einfachster Rechenoperationen die Aufgabe gelöst.

Du wirst brauchen

- Papier;
- Griff.

Anweisung

Die einfachsten Transformationen dieser Art sind algebraisch abgekürzte Multiplikationen (wie das Quadrat der Summe (Differenz), die Differenz der Quadrate, die Summe (Differenz), der Kubik der Summe (Differenz)). Darüber hinaus gibt es viele trigonometrische Formeln, die im Wesentlichen die gleichen Identitäten sind.

Tatsächlich ist das Quadrat der Summe zweier Terme gleich dem Quadrat des ersten plus zweimal dem Produkt aus dem ersten und dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten, d. h. (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Vereinfachen Sie beides

Allgemeine Lösungsprinzipien

Wiederholen Sie aus einem Lehrbuch über mathematische Analyse oder höhere Mathematik, das ein bestimmtes Integral ist. Wie Sie wissen, die Lösung bestimmtes Integral Es gibt eine Funktion, deren Ableitung einen Integranden ergibt. Diese Funktion heißt Stammfunktion. Nach diesem Prinzip werden die Basisintegrale konstruiert.
Bestimmen Sie anhand der Form des Integranden, welches der Tabellenintegrale in diesem Fall geeignet ist. Dies lässt sich nicht immer sofort feststellen. Oft macht sich die tabellarische Form erst nach mehreren Umformungen zur Vereinfachung des Integranden bemerkbar.

Variable Substitutionsmethode

Wenn der Integrand eine trigonometrische Funktion ist, deren Argument ein Polynom ist, versuchen Sie es mit der Methode der Variablenänderung. Ersetzen Sie dazu das Polynom im Argument des Integranden durch eine neue Variable. Bestimmen Sie anhand des Verhältnisses zwischen neuer und alter Variable die neuen Integrationsgrenzen. Finden Sie durch Differenzieren dieses Ausdrucks ein neues Differential in . So erhalten Sie die neue art das frühere Integral, nahe oder sogar entsprechend einem tabellarischen.

Lösung von Integralen zweiter Art

Wenn das Integral ein Integral der zweiten Art ist, der Vektorform des Integranden, müssen Sie die Regeln für den Übergang von diesen Integralen zu skalaren Integralen anwenden. Eine solche Regel ist das Ostrogradsky-Gauß-Verhältnis. Dieses Gesetz ermöglicht es, von der Rotorströmung einer Vektorfunktion zu einem dreifachen Integral über die Divergenz eines gegebenen Vektorfeldes zu gelangen.

Substitution von Integrationsgrenzen

Nachdem die Stammfunktion gefunden wurde, müssen die Integrationsgrenzen ersetzt werden. Setzen Sie zuerst den Wert der Obergrenze in den Ausdruck für die Stammfunktion ein. Sie erhalten eine Nummer. Als nächstes subtrahieren Sie von der resultierenden Zahl eine weitere Zahl, die resultierende untere Grenze für die Stammfunktion. Wenn eine der Integrationsgrenzen unendlich ist, wird sie durch ersetzt Stammfunktion es ist notwendig, an die Grenze zu gehen und herauszufinden, wozu der Ausdruck tendiert.
Wenn das Integral zweidimensional oder dreidimensional ist, müssen Sie die geometrischen Grenzen der Integration darstellen, um zu verstehen, wie man das Integral berechnet. Tatsächlich können beispielsweise im Fall eines dreidimensionalen Integrals die Integrationsgrenzen ganze Ebenen sein, die das zu integrierende Volumen begrenzen.