Diese Lektion ist für diejenigen gedacht, die gerade erst anfangen, Exponentialgleichungen zu lernen. Beginnen wir wie immer mit einer Definition und einfachen Beispielen.

Wenn Sie diese Lektion lesen, dann vermute ich, dass Sie bereits zumindest ein minimales Verständnis der einfachsten Gleichungen haben - linear und quadratisch: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ usw. Solche Konstruktionen lösen zu können, ist absolut notwendig, um nicht in dem jetzt zu behandelnden Thema „hängen“ zu bleiben.

Also Exponentialgleichungen. Lassen Sie mich Ihnen ein paar Beispiele geben:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Einige von ihnen mögen Ihnen komplizierter erscheinen, andere sind im Gegenteil zu einfach. Aber alle eint ein wichtiges Merkmal: Sie enthalten eine Exponentialfunktion $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Daher führen wir die Definition ein:

Eine Exponentialgleichung ist jede Gleichung, die eine Exponentialfunktion enthält, d.h. ein Ausdruck der Form $((a)^(x))$. Neben der angegebenen Funktion können solche Gleichungen beliebige andere algebraische Konstruktionen enthalten - Polynome, Wurzeln, Trigonometrie, Logarithmen usw.

Gut. Definition verstanden. Jetzt stellt sich die Frage: Wie löst man diesen ganzen Mist? Die Antwort ist einfach und komplex zugleich.

Beginnen wir mit der guten Nachricht: Aus meiner Erfahrung mit vielen Studenten kann ich sagen, dass für die meisten Exponentialgleichungen viel einfacher sind als die gleichen Logarithmen, und noch mehr Trigonometrie.

Aber es gibt auch schlechte Nachrichten: Manchmal werden die Ersteller von Aufgaben für alle Arten von Lehrbüchern und Prüfungen von „Inspiration“ heimgesucht, und ihr drogengeplagtes Gehirn beginnt, so brutale Gleichungen zu produzieren, dass es nicht nur für Schüler problematisch wird, sie zu lösen - sogar viele Lehrer bleiben bei solchen Problemen hängen.

Reden wir jedoch nicht über traurige Dinge. Und kehren wir zu den drei Gleichungen zurück, die ganz am Anfang der Geschichte gegeben wurden. Versuchen wir, jeden von ihnen zu lösen.

Erste Gleichung: $((2)^(x))=4$. Nun, mit welcher Potenz muss die Zahl 2 potenziert werden, um die Zahl 4 zu erhalten? Vielleicht das Zweite? Immerhin ist $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — und wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten, d.h. tatsächlich $x=2$. Danke, Cap, aber diese Gleichung war so einfach, dass sogar meine Katze sie lösen konnte. :)

Betrachten wir die folgende Gleichung:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Aber hier ist es etwas schwieriger. Viele Schüler wissen, dass $((5)^(2))=25$ das Einmaleins ist. Einige vermuten auch, dass $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ im Wesentlichen die Definition negativer Exponenten ist (ähnlich der Formel $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Schließlich vermuten nur wenige Auserwählte, dass diese Fakten kombiniert werden können und die Ausgabe das folgende Ergebnis ist:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Somit wird unsere ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Und das ist jetzt auch schon komplett gelöst! Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Exponentialfunktion, auf der rechten Seite der Gleichung steht eine Exponentialfunktion, sonst gibt es nichts als sie. Daher ist es möglich, die Basen zu „verwerfen“ und die Indikatoren dumm gleichzusetzen:

Wir haben die einfachste lineare Gleichung, die jeder Schüler in nur wenigen Zeilen lösen kann. Okay, in vier Zeilen:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Wenn Sie nicht verstehen, was in den letzten vier Zeilen passiert ist, kehren Sie unbedingt zum Thema „lineare Gleichungen“ zurück und wiederholen Sie es. Denn ohne eine klare Aneignung dieses Themas ist es für Sie zu früh, sich mit Exponentialgleichungen zu befassen.

\[((9)^(x))=-3\]

Na, wie entscheidest du dich? Erster Gedanke: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, also kann die ursprüngliche Gleichung so umgeschrieben werden:

\[((\links(((3)^(2)) \rechts))^(x))=-3\]

Dann erinnern wir uns, dass beim Potenzieren eines Grades die Indikatoren multipliziert werden:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Und für eine solche Entscheidung bekommen wir eine ehrlich verdiente Zwei. Denn wir haben mit der Gelassenheit eines Pokémon das Minuszeichen vor die Drei hoch genau diese Drei gestellt. Und das kannst du nicht. Und deshalb. Schauen Sie sich an verschiedene Grade Dreiergruppen:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Beim Kompilieren dieser Tafel habe ich nicht so schnell pervertiert: Ich habe positive Grade und negative und sogar gebrochene Grade berücksichtigt ... nun, wo ist hier mindestens eine negative Zahl? Er ist nicht da! Und das kann es nicht sein, denn die Exponentialfunktion $y=((a)^(x))$ nimmt erstens immer nur positive Werte(Wie viele multiplizieren nicht eins oder dividieren durch zwei - es wird immer noch sein positive Zahl), und zweitens ist die Basis einer solchen Funktion, die Zahl $a$, per Definition eine positive Zahl!

Nun, wie löst man dann die Gleichung $((9)^(x))=-3$? Nein, es gibt keine Wurzeln. Und in diesem Sinne sind Exponentialgleichungen quadratischen sehr ähnlich - es kann auch keine Wurzeln geben. Aber wenn in quadratischen Gleichungen die Anzahl der Wurzeln durch die Diskriminante bestimmt wird (die Diskriminante ist positiv - 2 Wurzeln, negativ - keine Wurzeln), dann hängt in Exponentialgleichungen alles davon ab, was rechts vom Gleichheitszeichen steht.

Damit formulieren wir die zentrale Schlussfolgerung: Die einfachste Exponentialgleichung der Form $((a)^(x))=b$ hat genau dann eine Wurzel, wenn $b>0$. Wenn Sie diese einfache Tatsache kennen, können Sie leicht feststellen, ob die Ihnen vorgeschlagene Gleichung Wurzeln hat oder nicht. Diese. Lohnt es sich überhaupt, es zu lösen, oder schreiben Sie sofort auf, dass es keine Wurzeln gibt.

Dieses Wissen hilft uns um ein Vielfaches, wenn wir komplexere Probleme lösen müssen. In der Zwischenzeit genug Texte - es ist Zeit, den grundlegenden Algorithmus zum Lösen von Exponentialgleichungen zu studieren.

Wie man Exponentialgleichungen löst

Also formulieren wir das Problem. Es ist notwendig, die Exponentialgleichung zu lösen:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Gemäß dem zuvor verwendeten "naiven" Algorithmus ist es notwendig, die Zahl $b$ als Potenz der Zahl $a$ darzustellen:

Wenn anstelle der Variablen $x$ ein beliebiger Ausdruck steht, erhalten wir außerdem eine neue Gleichung, die bereits gelöst werden kann. Zum Beispiel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Und seltsamerweise funktioniert dieses Schema in etwa 90% der Fälle. Was ist dann mit den anderen 10%? Die restlichen 10 % sind leicht "schizophrene" Exponentialgleichungen der Form:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Mit welcher Potenz müssen Sie 2 erhöhen, um 3 zu erhalten? In der ersten? Aber nein: $((2)^(1))=2$ ist nicht genug. In dieser Sekunde? Weder noch: $((2)^(2))=4$ ist zu viel. Was dann?

Sachkundige Studenten haben es wahrscheinlich schon erraten: In solchen Fällen, in denen es unmöglich ist, „schön“ zu lösen, ist „schwere Artillerie“ mit dem Fall verbunden - Logarithmen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass mithilfe von Logarithmen jede positive Zahl als Potenz jeder anderen positiven Zahl (mit Ausnahme von Eins) dargestellt werden kann:

Erinnern Sie sich an diese Formel? Wenn ich meinen Schülern von Logarithmen erzähle, warne ich Sie immer: Diese Formel (es ist auch die logarithmische Grundidentität oder, wenn Sie so wollen, die Definition des Logarithmus) wird Sie sehr lange verfolgen und am meisten „auftauchen“. unerwartete Orte. Nun, sie tauchte auf. Schauen wir uns unsere Gleichung und diese Formel an:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Wenn wir annehmen, dass $a=3$ unsere ursprüngliche Zahl auf der rechten Seite ist und $b=2$ die eigentliche Basis der Exponentialfunktion ist, auf die wir die rechte Seite so reduzieren wollen, erhalten wir Folgendes:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Wir haben eine etwas seltsame Antwort bekommen: $x=((\log )_(2))3$. Bei einer anderen Aufgabe würden viele mit einer solchen Antwort zweifeln und anfangen, ihre Lösung noch einmal zu überprüfen: Was wäre, wenn irgendwo ein Fehler wäre? Ich beeile mich, Sie zu erfreuen: Hier liegt kein Fehler vor, und Logarithmen in den Wurzeln von Exponentialgleichungen sind eine ziemlich typische Situation. Also gewöhn dich dran. :)

Nun lösen wir analog die verbleibenden zwei Gleichungen:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rechtspfeil x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Das ist alles! Die letzte Antwort kann übrigens auch anders geschrieben werden:

Wir waren es, die den Multiplikator in das Argument des Logarithmus eingeführt haben. Aber niemand hindert uns daran, diesen Faktor zur Basis hinzuzufügen:

In diesem Fall sind alle drei Optionen richtig - es ist nur verschiedene Formen Aufzeichnungen mit der gleichen Nummer. Welche Sie in dieser Entscheidung auswählen und aufschreiben, liegt bei Ihnen.

So haben wir gelernt, beliebige Exponentialgleichungen der Form $((a)^(x))=b$ zu lösen, wobei die Zahlen $a$ und $b$ strikt positiv sind. Die harte Realität unserer Welt ist jedoch, dass solch einfache Aufgaben Sie sehr, sehr selten treffen werden. Häufiger werden Sie auf Folgendes stoßen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Na, wie entscheidest du dich? Kann man das überhaupt lösen? Und wenn ja, wie?

Keine Panik. Alle diese Gleichungen lassen sich schnell und einfach auf die einfachen Formeln reduzieren, die wir bereits betrachtet haben. Sie müssen sich nur ein paar Tricks aus dem Algebra-Kurs merken können. Und natürlich gibt es hier keine Regeln für das Arbeiten mit Abschlüssen. Ich werde jetzt über all das sprechen. :)

Transformation von Exponentialgleichungen

Das erste, woran man sich erinnern sollte, ist, dass jede Exponentialgleichung, egal wie komplex sie sein mag, auf die eine oder andere Weise auf die einfachsten Gleichungen reduziert werden muss – genau die, die wir bereits betrachtet haben und die wir zu lösen wissen. Mit anderen Worten, das Schema zum Lösen einer Exponentialgleichung sieht folgendermaßen aus:

1. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung auf. Zum Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Mach irgendeinen dummen Scheiß. Oder sogar irgendein Mist namens "Transform the Equation";
3. Als Ausgabe erhalten Sie die einfachsten Ausdrücke wie $((4)^(x))=4$ oder so ähnlich. Darüber hinaus kann eine Anfangsgleichung mehrere solcher Ausdrücke gleichzeitig liefern.

Mit dem ersten Punkt ist alles klar - sogar meine Katze kann die Gleichung auf ein Blatt schreiben. Auch beim dritten Punkt scheint es mehr oder weniger klar zu sein - wir haben oben schon eine ganze Reihe solcher Gleichungen gelöst.

Aber was ist mit dem zweiten Punkt? Was sind die Transformationen? Was in was umwandeln? Und wie?

Nun, lass es uns herausfinden. Zunächst möchte ich auf Folgendes hinweisen. Alle Exponentialgleichungen werden in zwei Typen unterteilt:

1. Die Gleichung setzt sich aus Exponentialfunktionen mit gleicher Basis zusammen. Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Die Formel enthält Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen. Beispiele: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ und $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Beginnen wir mit Gleichungen des ersten Typs - sie sind am einfachsten zu lösen. Und bei ihrer Lösung wird uns eine Technik wie die Auswahl stabiler Ausdrücke helfen.

Hervorheben eines stabilen Ausdrucks

Schauen wir uns diese Gleichung noch einmal an:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Was sehen wir? Die vier werden in unterschiedlichem Maße angehoben. Aber all diese Potenzen sind einfache Summen der Variablen $x$ mit anderen Zahlen. Daher müssen die Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen beachtet werden:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]

Einfach ausgedrückt, die Addition von Exponenten kann in ein Produkt von Potenzen umgewandelt werden, und die Subtraktion lässt sich leicht in eine Division umwandeln. Versuchen wir, diese Formeln auf die Potenzen aus unserer Gleichung anzuwenden:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Wir schreiben die ursprüngliche Gleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache um und sammeln dann alle Terme auf der linken Seite:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -elf; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Die ersten vier Terme enthalten das Element $((4)^(x))$ – nehmen wir es aus der Klammer:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Es bleibt, beide Teile der Gleichung durch den Bruch $-\frac(11)(4)$ zu dividieren, also im Wesentlichen mit dem umgekehrten Bruch multiplizieren - $-\frac(4)(11)$. Wir bekommen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

Das ist alles! Wir haben die ursprüngliche Gleichung auf die einfachste reduziert und die endgültige Antwort erhalten.

Gleichzeitig haben wir beim Lösen den gemeinsamen Faktor $((4)^(x))$ entdeckt (und sogar aus der Klammer genommen) - das ist der stabile Ausdruck. Es kann als neue Variable bezeichnet werden, oder Sie können es einfach genau ausdrücken und eine Antwort erhalten. In jedem Fall lautet das Kernprinzip der Lösung wie folgt:

Finden Sie in der ursprünglichen Gleichung einen stabilen Ausdruck, der eine Variable enthält, die leicht von allen Exponentialfunktionen zu unterscheiden ist.

Die gute Nachricht ist, dass fast jede Exponentialgleichung einen solchen stabilen Ausdruck zulässt.

Aber es gibt auch schlechte Nachrichten: Solche Ausdrücke können sehr schwierig sein, und es kann ziemlich schwierig sein, sie zu unterscheiden. Schauen wir uns also ein anderes Problem an:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Vielleicht hat jetzt jemand eine Frage: „Pascha, bist du bekifft? Hier sind verschiedene Basen - 5 und 0,2. Aber versuchen wir mal, eine Potenz zur Basis 0,2 umzurechnen. Lassen Sie uns zum Beispiel den Dezimalbruch loswerden und ihn auf das Übliche bringen:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Wie Sie sehen können, erschien die Zahl 5 immer noch, wenn auch im Nenner. Gleichzeitig wurde der Indikator negativ umgeschrieben. Und jetzt erinnern wir uns an eine der wichtigsten Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Hier habe ich natürlich ein wenig geschummelt. Denn für ein vollständiges Verständnis musste die Formel zur Beseitigung negativer Indikatoren wie folgt geschrieben werden:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ rechts))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Andererseits hinderte uns nichts daran, nur mit einer Fraktion zu arbeiten:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ rechts))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

In diesem Fall müssen Sie jedoch in der Lage sein, einen Abschluss auf einen anderen Abschluss anzuheben (ich erinnere Sie daran: In diesem Fall werden die Indikatoren addiert). Aber ich musste die Brüche nicht "umdrehen" - vielleicht wird es für jemanden einfacher. :)

In jedem Fall wird die ursprüngliche Exponentialgleichung umgeschrieben als:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Es stellt sich also heraus, dass die ursprüngliche Gleichung noch einfacher zu lösen ist als die zuvor betrachtete: Hier müssen Sie nicht einmal einen stabilen Ausdruck herausgreifen - alles wurde von selbst reduziert. Es bleibt nur zu bedenken, dass $1=((5)^(0))$, woraus wir erhalten:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

Das ist die ganze Lösung! Wir haben die endgültige Antwort: $x=-2$. Gleichzeitig möchte ich einen Trick anmerken, der uns alle Berechnungen stark vereinfacht hat:

Achten Sie bei Exponentialgleichungen darauf, loszuwerden Dezimalbrüche, konvertieren Sie sie in normal. Dadurch können Sie die gleichen Grundlagen der Abschlüsse sehen und die Lösung erheblich vereinfachen.

Kommen wir nun zu komplexeren Gleichungen, in denen es unterschiedliche Basen gibt, die im Allgemeinen nicht durch Potenzen aufeinander reduzierbar sind.

Verwenden der Exponenteneigenschaft

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir zwei besonders harte Gleichungen haben:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Die Hauptschwierigkeit besteht hier darin, dass nicht klar ist, was und auf welche Grundlage zu führen ist. Wo Ausdrücke setzen? Wo sind die Gemeinsamkeiten? Davon gibt es nichts.

Aber lass uns versuchen, den anderen Weg zu gehen. Wenn es keine vorgefertigten identischen Basen gibt, können Sie versuchen, sie zu finden, indem Sie die verfügbaren Basen faktorisieren.

Beginnen wir mit der ersten Gleichung:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Sie können aber auch das Gegenteil tun - bilden Sie die Zahl 21 aus den Zahlen 7 und 3. Dies ist auf der linken Seite besonders einfach, da die Indikatoren beider Grade gleich sind:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]

Das ist alles! Sie haben den Exponenten aus dem Produkt entfernt und sofort eine schöne Gleichung erhalten, die in ein paar Zeilen gelöst werden kann.

Kommen wir nun zur zweiten Gleichung. Hier ist alles viel komplizierter:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

In diesem Fall erwiesen sich die Brüche als irreduzibel, aber wenn etwas reduziert werden kann, reduzieren Sie es unbedingt. Dabei ergeben sich oft interessante Gründe, mit denen Sie bereits arbeiten können.

Leider ist uns nichts eingefallen. Aber wir sehen, dass die Exponenten links im Produkt entgegengesetzt sind:

Zur Erinnerung: Um das Minuszeichen im Exponenten loszuwerden, musst du nur den Bruch „umdrehen“. Schreiben wir also die ursprüngliche Gleichung um:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

In der zweiten Zeile haben wir einfach die Summe aus dem Produkt nach der Regel $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, und in letzterem haben sie einfach die Zahl 100 mit einem Bruch multipliziert.

Beachten Sie nun, dass die Zahlen links (an der Basis) und rechts etwas ähnlich sind. Wie? Ja, offensichtlich: es sind Potenzen der gleichen Zahl! Wir haben:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Somit wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Gleichzeitig können Sie rechts auch einen Abschluss mit derselben Basis erhalten, für den es ausreicht, nur den Bruch zu „umdrehen“:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Schließlich nimmt unsere Gleichung die Form an:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Das ist die ganze Lösung. Seine Hauptidee ist, dass selbst wenn verschiedene Basen x versuchen wir auf und ab, diese Gründe auf ein und dasselbe zu reduzieren. Dabei helfen uns elementare Transformationen von Gleichungen und die Regeln für die Arbeit mit Potenzen.

Aber welche Regeln und wann zu verwenden? Wie kann man verstehen, dass man in einer Gleichung beide Seiten durch etwas teilen muss und in einer anderen - die Basis der Exponentialfunktion in Faktoren zerlegen muss?

Die Antwort auf diese Frage ergibt sich aus der Erfahrung. Versuchen Sie sich zuerst einfache Gleichungen, und verkomplizieren Sie dann die Aufgaben nach und nach - und sehr bald werden Ihre Fähigkeiten ausreichen, um jede Exponentialgleichung aus demselben USE oder jede unabhängige / Testarbeit zu lösen.

Und um Ihnen bei dieser schwierigen Aufgabe zu helfen, schlage ich vor, eine Reihe von Gleichungen von meiner Website herunterzuladen, um eine unabhängige Lösung zu erhalten. Alle Gleichungen haben Antworten, sodass Sie sich jederzeit selbst überprüfen können.

Ausrüstung:

• Computer,
• Multimedia-Projektor,
• Bildschirm,
• Anhang 1(Folienpräsentation in PowerPoint) „Methoden zum Lösen von Exponentialgleichungen“
• Anlage 2(Lösung einer Gleichung wie „Drei verschiedene Gradbasen“ in Word)
• Anhang 3(Handout in Word für die praktische Arbeit).
• Anhang 4(Handzettel in Word für Hausaufgaben).

Während des Unterrichts

1. Organisationsphase

• Botschaft des Unterrichtsthemas (an die Tafel geschrieben),
• die Notwendigkeit eines verallgemeinernden Unterrichts in den Klassen 10-11:

Die Phase der Vorbereitung der Schüler auf die aktive Aneignung von Wissen

Wiederholung

Definition.

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Variable im Exponenten enthält (der Schüler antwortet).

Anmerkung des Lehrers. Die Exponentialgleichungen gehören zur Klasse der transzendentalen Gleichungen. Dieser schwer auszusprechende Name deutet darauf hin, dass solche Gleichungen im Allgemeinen nicht in Form von Formeln gelöst werden können.

Sie können nur durch näherungsweise numerische Verfahren auf Computern gelöst werden. Aber was ist mit Prüfungsfragen? Der ganze Trick besteht darin, dass der Prüfer die Aufgabe so formuliert, dass sie gerade noch eine analytische Lösung zulässt. Mit anderen Worten, Sie können (und sollten!) solche identischen Transformationen durchführen, die die gegebene Exponentialgleichung auf die einfachste Exponentialgleichung reduzieren. Dies ist die einfachste Gleichung und heißt: die einfachste Exponentialgleichung. Es ist gelöst Logarithmus.

Die Situation bei der Lösung einer Exponentialgleichung ähnelt einer Reise durch ein Labyrinth, das eigens vom Ersteller des Problems erfunden wurde. Aus diesen sehr allgemeinen Überlegungen folgen ganz konkrete Empfehlungen.

Um Exponentialgleichungen erfolgreich zu lösen, müssen Sie:

1. Kennen Sie nicht nur aktiv alle exponentiellen Identitäten, sondern finden Sie auch Wertesätze der Variablen, auf denen diese Identitäten definiert sind, damit Sie bei Verwendung dieser Identitäten keine unnötigen Wurzeln erwerben und vor allem nicht verlieren Lösungen der Gleichung.

2. Kenne aktiv alle exponentiellen Identitäten.

3. Führen Sie mathematische Transformationen von Gleichungen klar, detailliert und fehlerfrei durch (übertragen Sie Terme von einem Teil der Gleichung in einen anderen, vergessen Sie nicht, das Vorzeichen zu ändern, reduzieren Sie den Bruch auf einen gemeinsamen Nenner usw.). Das nennt man mathematische Kultur. Gleichzeitig sollten die Berechnungen selbst automatisch von Hand erfolgen und der Kopf über den allgemeinen roten Faden der Lösung nachdenken. Es ist notwendig, Transformationen so sorgfältig und detailliert wie möglich vorzunehmen. Nur so ist eine korrekte und fehlerfreie Lösung gewährleistet. Und denken Sie daran: Ein kleiner Rechenfehler kann einfach eine transzendente Gleichung erzeugen, die im Prinzip nicht analytisch gelöst werden kann. Es stellt sich heraus, dass Sie sich verirrt haben und gegen die Wand des Labyrinths gelaufen sind.

4. Kennen Sie die Methoden zur Lösung von Problemen (dh kennen Sie alle Wege durch das Labyrinth der Lösung). Für die richtige Orientierung in jeder Phase müssen Sie (bewusst oder intuitiv!):

• definieren Gleichungstyp;
• Merken Sie sich den entsprechenden Typ Lösungsmethode Aufgaben.

Das Stadium der Verallgemeinerung und Systematisierung des untersuchten Materials.

Der Lehrer führt zusammen mit den Schülern unter Einbeziehung eines Computers eine Übersichtswiederholung aller Arten von Exponentialgleichungen und Methoden zu ihrer Lösung durch und erstellt ein allgemeines Schema. (Das Trainingscomputerprogramm von L. Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000" wird verwendet, der Autor der PowerPoint-Präsentation ist T. N. Kuptsova.)

Reis. eines. Die Abbildung zeigt ein allgemeines Schema aller Arten von Exponentialgleichungen.

Wie aus diesem Diagramm ersichtlich ist, besteht die Strategie zum Lösen von Exponentialgleichungen darin, diese Exponentialgleichung zunächst auf die Gleichung zu reduzieren, mit den gleichen Grundlagen , und dann - und mit denselben Exponenten.

Nachdem Sie eine Gleichung mit denselben Basen und Exponenten erhalten haben, ersetzen Sie diesen Grad durch eine neue Variable und erhalten eine einfache algebraische Gleichung (normalerweise gebrochen rational oder quadratisch) in Bezug auf diese neue Variable.

Indem Sie diese Gleichung lösen und eine umgekehrte Substitution vornehmen, erhalten Sie am Ende eine Reihe einfacher Exponentialgleichungen, die gelöst werden Gesamtansicht Logarithmen verwenden.

Abseits stehen Gleichungen, in denen nur Produkte (privater) Potenzen auftreten. Mit Hilfe von Exponentialidentitäten ist es möglich, diese Gleichungen sofort auf eine Basis zu bringen, insbesondere auf die einfachste Exponentialgleichung.

Überlegen Sie, wie eine Exponentialgleichung mit drei verschiedenen Gradbasen gelöst wird.

(Wenn der Lehrer ein Lehrcomputerprogramm von L. Ya. Borevsky "Kurs für Mathematik - 2000" hat, dann arbeiten wir natürlich mit der Diskette, wenn nicht, können Sie diese Art von Gleichung für jeden Tisch daraus ausdrucken, wie unten dargestellt .)

Reis. 2. Gleichungslösungsplan.

Reis. 3. Beginnen Sie, die Gleichung zu lösen

Reis. vier. Das Ende der Lösung der Gleichung.

Praktische Arbeit leisten

Bestimme die Art der Gleichung und löse sie.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Zusammenfassung der Lektion

Eine Unterrichtsstunde benoten.

Ende des Unterrichts

Für den Lehrer

Schema der praktischen Arbeitsantworten.

Übung: Wählen Sie aus der Liste der Gleichungen die Gleichungen des angegebenen Typs aus (geben Sie die Nummer der Antwort in die Tabelle ein):

1. Drei verschiedene Basen
2. Zwei verschiedene Basen - verschiedene Exponenten
3. Potenzbasen - Potenzen einer Zahl
4. Gleiche Basen, unterschiedliche Exponenten
5. Gleiche Exponentenbasen - gleiche Exponenten
6. Produkt der Kräfte
7. Zwei verschiedene Abschlussbasen - dieselben Indikatoren
8. Die einfachsten Exponentialgleichungen

1. (Produkt der Potenzen)

2. (gleiche Basen - unterschiedliche Exponenten)

In der Phase der Vorbereitung auf die Abschlussprüfung müssen Gymnasiasten ihr Wissen zum Thema „ Exponentialgleichungen". Die Erfahrung der vergangenen Jahre zeigt, dass solche Aufgaben Schulkindern gewisse Schwierigkeiten bereiten. Daher müssen Gymnasiasten unabhängig von ihrem Vorbereitungsniveau die Theorie sorgfältig beherrschen, sich die Formeln merken und das Prinzip der Lösung solcher Gleichungen verstehen. Wenn die Absolventen gelernt haben, mit dieser Art von Aufgaben umzugehen, können sie beim Bestehen der Prüfung in Mathematik mit hohen Punktzahlen rechnen.

Machen Sie sich bereit für die Prüfung zusammen mit Shkolkovo!

Beim Wiederholen der behandelten Materialien stehen viele Schüler vor dem Problem, die Formeln zu finden, die zum Lösen der Gleichungen benötigt werden. Nicht immer ist ein Schulbuch zur Hand und die Auswahl der notwendigen Informationen zu einem Thema im Internet dauert lange.

Das Bildungsportal Shkolkovo lädt Studenten ein, unsere Wissensdatenbank zu nutzen. Wir setzen komplett um neue Methode Vorbereitung auf die Abschlussprüfung. Wenn Sie auf unserer Seite studieren, können Sie Wissenslücken erkennen und sich genau auf die Aufgaben konzentrieren, die die größten Schwierigkeiten bereiten.

Die Lehrer von "Shkolkovo" sammelten, systematisierten und präsentierten alles, was für eine erfolgreiche Lieferung notwendig ist Material VERWENDEN auf die einfachste und zugänglichste Weise.

Die wichtigsten Definitionen und Formeln werden im Abschnitt „Theoretische Referenz“ vorgestellt.

Zur besseren Aneignung des Stoffes empfehlen wir Ihnen, die Aufgaben zu üben. Sehen Sie sich die Beispiele für Exponentialgleichungen mit Lösungen auf dieser Seite sorgfältig an, um den Berechnungsalgorithmus zu verstehen. Fahren Sie danach mit den Aufgaben im Abschnitt "Kataloge" fort. Sie können mit den einfachsten Aufgaben beginnen oder direkt zur Lösung komplexer Exponentialgleichungen mit mehreren Unbekannten oder übergehen. Die Übungsdatenbank auf unserer Website wird laufend ergänzt und aktualisiert.

Die Beispiele mit Indikatoren, die Ihnen Schwierigkeiten bereitet haben, können Sie zu den "Favoriten" hinzufügen. So kannst du sie schnell finden und die Lösung mit dem Lehrer besprechen.

Um die Prüfung erfolgreich zu bestehen, lernen Sie jeden Tag auf dem Shkolkovo-Portal!

Beispiele:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Wie man Exponentialgleichungen löst

Wenn wir eine Exponentialgleichung lösen, bemühen wir uns, sie auf die Form \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) zu bringen und dann zur Gleichheit der Indikatoren überzugehen, das heißt:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Zum Beispiel:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Wichtig! Aus derselben Logik folgen für einen solchen Übergang zwei Anforderungen:
- Nummer ein links und rechts sollten gleich sein;
- Grad links und rechts müssen "rein" sein, das heißt, es sollten keine Multiplikationen, Divisionen usw.

Zum Beispiel:

Um die Gleichung auf die Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\) zu bringen, werden und verwendet.

Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Lösung:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Wir wissen, dass \(27 = 3^3\). In diesem Sinne wandeln wir die Gleichung um.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Durch die Eigenschaft der Wurzel \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) erhalten wir \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Weiter erhalten wir mit der Gradeigenschaft \((a^b)^c=a^(bc)\) \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Wir wissen auch, dass \(a^b a^c=a^(b+c)\). Wenden wir dies auf die linke Seite an, erhalten wir: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Denken Sie jetzt daran: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Diese Formel kann auch umgekehrt verwendet werden: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Dann ist \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		Wenden wir die Eigenschaft \((a^b)^c=a^(bc)\) auf die rechte Seite an, erhalten wir: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		Und jetzt haben wir die Basen gleich und es gibt keine störenden Koeffizienten usw. Damit wir den Übergang schaffen können.
		Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Lösung: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Wir verwenden wieder die Gradeigenschaft \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) in umgekehrte Richtung. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Denken Sie jetzt daran, dass \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Mit den Eigenschaften des Grades transformieren wir: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Wir sehen uns die Gleichung genau an und sehen, dass sich hier die Ersetzung \(t=2^x\) anbietet. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Wir haben jedoch die Werte \(t\) gefunden, und wir brauchen \(x\). Wir kehren zum X zurück und führen die umgekehrte Substitution durch. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformiere die zweite Gleichung mit der negativen Potenzeigenschaft ... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...und löse bis zur Antwort. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Antworten : \(-1; 1\). Die Frage bleibt - wie kann man verstehen, wann man welche Methode anwendet? Es kommt mit Erfahrung. In der Zwischenzeit haben Sie es nicht herausgefunden, verwenden Sie die allgemeine Empfehlung zum Lösen komplexer Probleme - "Wenn Sie nicht wissen, was zu tun ist - tun Sie, was Sie können." Das heißt, suchen Sie nach Möglichkeiten, wie Sie die Gleichung im Prinzip umwandeln können, und versuchen Sie es - was ist, wenn es herauskommt? Die Hauptsache ist, nur mathematisch begründete Transformationen durchzuführen. Exponentialgleichungen ohne Lösungen Schauen wir uns zwei weitere Situationen an, die Schüler oft verwirren: - eine positive Zahl hoch null ist zum Beispiel \(2^x=0\); - positive Zahl hoch gleich negative Zahl, zum Beispiel \(2^x=-4\). Versuchen wir es mit roher Gewalt zu lösen. Wenn x eine positive Zahl ist, dann wird die gesamte Potenz \(2^x\) nur wachsen, wenn x wächst: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Auch vorbei. Es gibt negative x. Wir erinnern uns an die Eigenschaft \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) und prüfen: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Obwohl die Zahl mit jedem Schritt kleiner wird, wird sie niemals Null erreichen. Der negative Grad hat uns also auch nicht gerettet. Wir kommen zu einem logischen Schluss: Eine positive Zahl hoch beliebiger Potenz bleibt eine positive Zahl. Somit haben beide obigen Gleichungen keine Lösungen. Exponentialgleichungen mit verschiedenen Basen In der Praxis gibt es manchmal Exponentialgleichungen mit unterschiedlichen, nicht aufeinander reduzierbaren Basen und gleichzeitig gleichen Exponenten. Sie sehen so aus: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), wobei \(a\) und \(b\) positive Zahlen sind. Zum Beispiel: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Solche Gleichungen lassen sich leicht lösen, indem man durch einen der Teile der Gleichung dividiert (normalerweise durch die rechte Seite dividiert, also durch \ (b ^ (f (x)) \). Zahl ist in jedem Fall positiv (d. h. wir dividieren nicht durch Null). Wir erhalten: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Lösung: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Hier können wir nicht aus einer Fünf eine Drei machen oder umgekehrt (zumindest ohne Verwendung). Wir können also nicht auf die Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\) kommen. Gleichzeitig sind die Indikatoren gleich. Teilen wir die Gleichung durch die rechte Seite, also durch \(3^(x+7)\) (das können wir tun, weil wir wissen, dass das Tripel in keinem Grad Null sein wird). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Merken Sie sich jetzt die Eigenschaft \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) und verwenden Sie sie von links in umgekehrter Richtung. Rechts kürzen wir einfach den Bruch. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Es schien nicht besser zu werden. Aber denken Sie an eine andere Eigenschaft des Grades: \(a^0=1\), mit anderen Worten: "jede Zahl hoch null ist gleich \(1\)". Das Gegenteil gilt auch: "Eine Einheit kann als jede Zahl dargestellt werden, die mit Null potenziert wird." Wir verwenden dies, indem wir die Basis auf der rechten Seite mit der auf der linken Seite identisch machen. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Wir werden die Fundamente los. Wir schreiben die Antwort. Antworten : \(-7\). Manchmal ist die "Gleichheit" der Exponenten nicht offensichtlich, aber die geschickte Verwendung der Eigenschaften des Grads löst dieses Problem. Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Lösung: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Die Gleichung sieht ziemlich traurig aus... Nicht nur, dass die Basen nicht auf die gleiche Zahl reduziert werden können (sieben wird nicht gleich \(\frac(1)(3)\) sein), sondern auch die Indikatoren sind unterschiedlich... Verwenden wir jedoch den linken Exponenten zwei. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Berücksichtigen Sie die Eigenschaft \((a^b)^c=a^(b c)\) , transformieren Sie auf der linken Seite: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Nun erinnern wir uns an die Eigenschaft der negativen Potenz \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) und transformieren nach rechts: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Halleluja! Die Noten sind gleich! Nach dem uns bereits bekannten Schema handelnd, entscheiden wir vor der Antwort. Antworten : \(2\).

Erste Ebene

Exponentialgleichungen. Umfassender Leitfaden (2019)

Hallo! Heute werden wir mit Ihnen besprechen, wie Sie Gleichungen lösen können, die sowohl elementar sein können (und ich hoffe, dass nach dem Lesen dieses Artikels fast alle für Sie so sein werden) als auch solche, die normalerweise "nachgefüllt" werden. Anscheinend, um vollständig einzuschlafen. Aber ich werde versuchen, mein Bestes zu tun, damit Sie jetzt nicht in Schwierigkeiten geraten, wenn Sie mit dieser Art von Gleichung konfrontiert werden. Ich werde jetzt nicht mehr um den heißen Brei herumreden, aber gleich ein kleines Geheimnis verraten: Heute lernen wir Exponentialgleichungen.

Bevor ich mit einer Analyse der Lösungswege fortfahre, werde ich Ihnen sofort einen (ziemlich kleinen) Kreis von Fragen skizzieren, die Sie wiederholen sollten, bevor Sie sich beeilen, dieses Thema zu stürmen. Also zu bekommen bestes Ergebnis, bitte, wiederholen:

1. Eigenschaften und
2. Lösung und Gleichungen

Wiederholt? Wunderbar! Dann fällt es Ihnen nicht schwer zu erkennen, dass die Wurzel der Gleichung eine Zahl ist. Bist du sicher, dass du verstehst, wie ich es gemacht habe? Wahrheit? Dann machen wir weiter. Nun beantworte mir die Frage, was ist gleich der dritten Potenz? Du hast absolut recht: . Acht ist welche Zweierpotenz? Das ist richtig - der dritte! Weil. Nun, versuchen wir nun folgendes Problem zu lösen: Lass mich die Zahl einmal mit sich selbst multiplizieren und erhalte das Ergebnis. Die Frage ist, wie oft habe ich mit sich selbst multipliziert? Sie können dies natürlich direkt überprüfen:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( ausrichten)

Dann kannst du daraus schließen, dass ich mal mit sich selbst multipliziert habe. Wie kann man das sonst verifizieren? Und so geht's: direkt über die Definition des Abschlusses: . Aber Sie müssen zugeben, wenn ich Sie fragen würde, wie oft zwei mit sich selbst multipliziert werden muss, um beispielsweise zu erhalten, würden Sie mir sagen: Ich werde mich nicht täuschen und mit mir selbst multiplizieren, bis Sie blau werden. Und er hätte vollkommen recht. Denn wie kannst du notieren Sie kurz alle Aktionen(und Kürze ist die Schwester des Talents)

wo - das ist das sehr "mal" wenn Sie mit sich selbst multiplizieren.

Ich denke, dass Sie wissen (und wenn Sie es nicht wissen, dringend, sehr dringend die Abschlüsse wiederholen!), dass dann mein Problem in der Form geschrieben wird:

Wie können Sie vernünftigerweise darauf schließen, dass:

Also habe ich in aller Ruhe das Einfachste aufgeschrieben Exponentialgleichung:

Und sogar gefunden Wurzel. Findest du nicht, dass alles ganz trivial ist? Genau das denke ich auch. Hier ist ein weiteres Beispiel für Sie:

Aber was soll man machen? Schließlich kann es nicht als Grad einer (vernünftigen) Zahl geschrieben werden. Lassen Sie uns nicht verzweifeln und bemerken, dass diese beiden Zahlen perfekt in Bezug auf die Potenz derselben Zahl ausgedrückt werden. Was? Recht: . Dann wird die ursprüngliche Gleichung in die Form transformiert:

Von wo, wie Sie bereits verstanden haben, . Lass uns nicht mehr ziehen und aufschreiben Definition:

In unserem Fall bei Ihnen: .

Diese Gleichungen werden gelöst, indem sie auf die Form reduziert werden:

mit anschließender Lösung der Gleichung

Wir haben dies tatsächlich im vorherigen Beispiel getan: Wir haben das bekommen. Und wir haben mit Ihnen die einfachste Gleichung gelöst.

Es scheint nichts Kompliziertes zu sein, oder? Lassen Sie uns zuerst am Einfachsten üben. Beispiele:

Wir sehen wieder, dass die rechte und die linke Seite der Gleichung als Potenz einer Zahl dargestellt werden müssen. Links ist das zwar schon gemacht, aber rechts steht eine Nummer. Aber es ist immerhin in Ordnung, und meine Gleichung verwandelt sich auf wundersame Weise in diese:

Was musste ich hier tun? Welche Regel? Power-to-Power-Regel was lautet:

Was wäre wenn:

Bevor wir diese Frage beantworten, füllen wir mit Ihnen die folgende Tabelle aus:

Wir können leicht feststellen, dass der Wert umso kleiner ist, je kleiner er ist, aber dennoch sind alle diese Werte größer als Null. UND ES WIRD IMMER SO SEIN!!! Die gleiche Eigenschaft gilt für JEDE BASIS MIT JEDEM INDEX!! (für alle und). Was können wir dann über die Gleichung schließen? Und hier ist einer: es hat keine Wurzeln! So wie jede Gleichung keine Wurzeln hat. Jetzt üben wir und Lassen Sie uns einige einfache Beispiele lösen:

Lass uns das Prüfen:

1. Hier wird von Ihnen nichts verlangt, außer dass Sie die Eigenschaften von Potenzen kennen (um die ich Sie übrigens gebeten habe zu wiederholen!). In der Regel führt alles zur kleinsten Basis: , . Dann entspricht die ursprüngliche Gleichung der folgenden: Alles, was ich brauche, ist, die Eigenschaften von Potenzen zu verwenden: Beim Multiplizieren von Zahlen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert, beim Dividieren subtrahiert. Dann bekomme ich: Nun, jetzt gehe ich guten Gewissens von der Exponentialgleichung zur linearen über: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(ausrichten)

2. Im zweiten Beispiel müssen Sie vorsichtiger sein: Das Problem ist, dass wir auf der linken Seite nicht in der Lage sein werden, dieselbe Zahl als Potenz darzustellen. In diesem Fall ist es manchmal nützlich Zahlen als Produkt von Potenzen mit unterschiedlichen Basen, aber gleichen Exponenten darstellen:

Die linke Seite der Gleichung nimmt die Form an: Was hat uns das gegeben? Und hier ist was: Zahlen mit unterschiedlichen Basen, aber gleichem Exponenten können multipliziert werden.In diesem Fall werden die Basen multipliziert, aber der Exponent ändert sich nicht:

Angewandt auf meine Situation ergibt dies:

\begin(ausrichten)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(ausrichten)

Nicht schlecht, oder?

3. Ich mag es nicht, wenn ich zwei Terme auf der einen Seite der Gleichung habe und keine auf der anderen (manchmal ist das natürlich gerechtfertigt, aber das ist jetzt nicht der Fall). Verschieben Sie das Minuszeichen nach rechts:

Ich werde jetzt wie zuvor alles durch die Potenzen des Tripels schreiben:

Ich addiere die Potenzen auf der linken Seite und erhalte eine äquivalente Gleichung

Sie können seine Wurzel leicht finden:

4. Wie in Beispiel drei der Begriff mit einem Minus - eine Stelle auf der rechten Seite!

Links ist bei mir fast alles in Ordnung, außer was? Ja, der „falsche Grad“ der Zwei stört mich. Aber ich kann das leicht beheben, indem ich schreibe: . Eureka - auf der linken Seite sind alle Grundlagen unterschiedlich, aber alle Abschlüsse sind gleich! Wir vermehren uns schnell!

Auch hier ist wieder alles klar: (Falls Sie nicht verstanden haben, wie magisch ich die letzte Gleichheit bekommen habe, machen Sie eine Minute Pause, machen Sie eine Pause und lesen Sie die Eigenschaften des Abschlusses noch einmal genau durch. Wer hat gesagt, dass Sie das überspringen können Grad mit negativem Exponenten? Nun, hier bin ich ungefähr gleich wie niemand). Jetzt bekomme ich:

\begin(ausrichten)
& ((2)^(4\links((x) -9 \rechts)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(ausrichten)

Hier sind die Aufgaben für Sie zum Üben, zu denen ich nur die Antworten gebe (allerdings in „gemischter“ Form). Löse sie, überprüfe sie und wir werden unsere Forschung fortsetzen!

Bereit? Antworten wie diese:

1. irgendeine Nummer

Okay, okay, ich habe Witze gemacht! Hier sind die Umrisse der Lösungen (einige sind ziemlich kurz!)

Glauben Sie nicht, dass es kein Zufall ist, dass ein Bruch auf der linken Seite ein „umgekehrter“ anderer ist? Es wäre eine Sünde, dies nicht zu verwenden:

Diese Regel wird sehr oft beim Lösen von Exponentialgleichungen verwendet, merken Sie sich das gut!

Dann wird die ursprüngliche Gleichung:

Es lösen quadratische Gleichung, erhalten Sie die folgenden Wurzeln:

2. Eine andere Lösung: beide Teile der Gleichung durch den linken (oder rechten) Ausdruck dividieren. Ich dividiere durch das, was auf der rechten Seite steht, dann erhalte ich:

Wo warum?!)

3. Ich will mich gar nicht wiederholen, alles wurde schon so „gekaut“.

4. Äquivalent zu einer quadratischen Gleichung, den Wurzeln

5. Sie müssen die in der ersten Aufgabe angegebene Formel verwenden, dann erhalten Sie Folgendes:

Die Gleichung hat sich zu einer trivialen Identität entwickelt, die für alle gilt. Dann ist die Antwort eine beliebige reelle Zahl.

Nun, hier sind Sie und geübt, um zu entscheiden die einfachsten Exponentialgleichungen. Jetzt möchte ich Ihnen einige Beispiele aus dem Leben geben, die Ihnen helfen zu verstehen, warum sie im Prinzip benötigt werden. Hier werde ich zwei Beispiele geben. Die eine ist ganz alltäglich, die andere eher von wissenschaftlichem als von praktischem Interesse.

Beispiel 1 (kaufmännisch) Lassen Sie Rubel haben, aber Sie wollen es in Rubel verwandeln. Die Bank bietet Ihnen an, dieses Geld zu einem jährlichen Zinssatz mit einer monatlichen Kapitalisierung der Zinsen (monatliche Ansammlung) von Ihnen zu nehmen. Die Frage ist, für wie viele Monate muss man ein Depot eröffnen, um den gewünschten Endbetrag zu kassieren? Eine ziemlich banale Aufgabe, nicht wahr? Ihre Lösung ist jedoch mit der Konstruktion der entsprechenden Exponentialgleichung verbunden: Seien - der Anfangsbetrag, - der Endbetrag, - der Zinssatz für die Periode, - die Anzahl der Perioden. Dann:

In unserem Fall (wenn der Satz pro Jahr ist, dann wird er pro Monat berechnet). Warum ist es unterteilt in? Wenn Sie die Antwort auf diese Frage nicht kennen, merken Sie sich das Thema ""! Dann erhalten wir folgende Gleichung:

Diese Exponentialgleichung kann bereits nur mit einem Taschenrechner gelöst werden (seine Aussehen Hinweise darauf, und dies erfordert Kenntnisse der Logarithmen, mit denen wir etwas später vertraut werden), was ich tun werde: ... Um also eine Million zu erhalten, müssen wir einen Monat lang eine Einzahlung tätigen (nicht sehr schnell, oder?).

Beispiel 2 (ziemlich wissenschaftlich). Trotz seiner, etwas „Isolation“, empfehle ich Ihnen, auf ihn zu achten: er rutscht regelmäßig „in die Prüfung rein!! (die Aufgabe ist der „echten“ Version entnommen) Beim Zerfall eines radioaktiven Isotops nimmt seine Masse nach dem Gesetz ab, wobei (mg) die Anfangsmasse des Isotops ist, (min.) die seit dem verstrichene Zeit ist Anfangsmoment (min.) ist die Halbwertszeit. Zum Anfangszeitpunkt beträgt die Masse des Isotops mg. Seine Halbwertszeit beträgt min. In wie vielen Minuten ist die Masse des Isotops gleich mg? Es ist in Ordnung: Wir nehmen einfach alle Daten und ersetzen sie in der uns vorgeschlagenen Formel:

Teilen wir beide Teile durch "in der Hoffnung", dass wir links etwas Verdauliches bekommen:

Nun, wir haben großes Glück! Es steht auf der linken Seite, dann gehen wir weiter zur äquivalenten Gleichung:

Wo mind.

Wie Sie sehen können, haben Exponentialgleichungen eine sehr reale Anwendung in der Praxis. Jetzt möchte ich mit Ihnen einen anderen (einfachen) Weg besprechen, um Exponentialgleichungen zu lösen, der darauf basiert, den gemeinsamen Teiler aus Klammern zu nehmen und dann die Terme zu gruppieren. Haben Sie keine Angst vor meinen Worten, Sie sind dieser Methode bereits in der 7. Klasse begegnet, als Sie Polynome studiert haben. Wenn Sie beispielsweise den Ausdruck faktorisieren mussten:

Lassen Sie uns gruppieren: den ersten und dritten Begriff sowie den zweiten und vierten. Es ist klar, dass der erste und der dritte die Differenz der Quadrate sind:

und die zweite und vierte haben einen gemeinsamen Faktor von drei:

Dann ist der ursprüngliche Ausdruck äquivalent zu diesem:

Wo man den gemeinsamen Faktor herausnimmt, ist nicht mehr schwierig:

Folglich,

Ungefähr so ​​werden wir beim Lösen von Exponentialgleichungen vorgehen: Suchen Sie nach „Gemeinsamkeit“ unter den Begriffen und entfernen Sie sie aus den Klammern, und dann - komme was wolle, ich glaube, wir werden Glück haben =)) Zum Beispiel:

Rechts ist weit von der Siebenerpotenz entfernt (ich habe es überprüft!) Und links - etwas besser - können Sie natürlich den Faktor a vom ersten und vom zweiten Term "abschneiden" und sich dann damit befassen was du hast, aber lass uns vorsichtiger mit dir umgehen. Ich möchte mich nicht mit den Brüchen beschäftigen, die zwangsläufig durch "Selektion" entstehen, also sollte ich nicht besser aushalten? Dann habe ich keine Brüche: Wie sie sagen, sind sowohl die Wölfe voll als auch die Schafe in Sicherheit:

Zählen Sie den Ausdruck in Klammern. Magisch, magisch stellt sich heraus, dass (überraschenderweise, obwohl was können wir anderes erwarten?).

Dann reduzieren wir beide Seiten der Gleichung um diesen Faktor. Wir bekommen: wo.

Hier ist ein komplizierteres Beispiel (eigentlich ziemlich viel):

Hier ist das Problem! Wir haben hier keine Gemeinsamkeiten! Es ist nicht ganz klar, was jetzt zu tun ist. Und tun wir, was wir können: Zuerst bewegen wir die „Vierer“ in eine Richtung und die „Fünfer“ in die andere:

Lassen Sie uns nun das "Common" links und rechts herausnehmen:

So was nun? Was ist der Vorteil einer so dummen Gruppierung? Auf den ersten Blick ist es überhaupt nicht sichtbar, aber schauen wir tiefer:

Nun, jetzt machen wir es so, dass wir links nur den Ausdruck c haben und rechts alles andere. Wie können wir das machen? Und so geht's: Teilen Sie zuerst beide Seiten der Gleichung durch (damit wir den Exponenten auf der rechten Seite loswerden), und teilen Sie dann beide Seiten durch (damit wir den numerischen Faktor auf der linken Seite loswerden). Schließlich erhalten wir:

Unglaublich! Links haben wir einen Ausdruck und rechts - einfach. Dann schließen wir das sofort

Hier ist ein weiteres Beispiel zur Verdeutlichung:

Ich werde seine kurze Lösung geben (die ich nicht wirklich erklären möchte), versuchen Sie, alle „Feinheiten“ der Lösung selbst herauszufinden.

Nun die endgültige Konsolidierung des abgedeckten Materials. Versuchen Sie, die folgenden Probleme selbst zu lösen. Ich werde nur kurze Empfehlungen und Tipps zu deren Lösung geben:

1. Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:
2. Den ersten Ausdruck stellen wir in der Form dar: , teile beide Teile durch und erhalte das
3. , dann wird die ursprüngliche Gleichung in die Form umgewandelt: Nun, jetzt ein Hinweis - suchen Sie nach, wo Sie und ich diese Gleichung bereits gelöst haben!
4. Stellen Sie sich vor, wie, äh, nun, dann dividieren Sie beide Teile durch, so dass Sie die einfachste Exponentialgleichung erhalten.
5. Nimm es aus den Klammern.
6. Nimm es aus den Klammern.

AUSSTELLUNGSGLEICHUNGEN. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Ich gehe davon aus, dass nach dem Lesen des ersten Artikels, was gesagt wurde Was sind Exponentialgleichungen und wie löst man sie?, beherrschen Sie das notwendige Minimum an Wissen, um die einfachsten Beispiele zu lösen.

Jetzt werde ich eine andere Methode zum Lösen von Exponentialgleichungen analysieren, nämlich

"Methode zur Einführung einer neuen Variablen" (oder Substitution). Er löst die meisten "schwierigen" Probleme zum Thema Exponentialgleichungen (und nicht nur Gleichungen). Diese Methode ist eine der in der Praxis am häufigsten verwendeten. Zunächst empfehle ich Ihnen, sich mit dem Thema vertraut zu machen.

Wie Sie bereits anhand des Namens verstanden haben, besteht die Essenz dieser Methode darin, eine solche Variablenänderung einzuführen, dass sich Ihre Exponentialgleichung auf wundersame Weise in eine verwandelt, die Sie bereits leicht lösen können. Alles, was Ihnen nach dem Lösen dieser sehr „vereinfachten Gleichung“ bleibt, ist eine „umgekehrte Ersetzung“, das heißt, vom Ersetzten zum Ersetzten zurückzukehren. Lassen Sie uns das Gesagte an einem sehr einfachen Beispiel veranschaulichen:

Beispiel 1:

Diese Gleichung wird durch eine „einfache Substitution“ gelöst, wie Mathematiker es abschätzig nennen. In der Tat ist die Substitution hier am offensichtlichsten. Das muss man einfach gesehen haben

Dann wird die ursprüngliche Gleichung:

Wenn wir uns zusätzlich vorstellen, wie, dann ist ziemlich klar, was ersetzt werden muss: natürlich . Was wird dann zur ursprünglichen Gleichung? Und hier ist was:

Sie können seine Wurzeln leicht selbst finden:. Was sollen wir jetzt machen? Es ist Zeit, zur ursprünglichen Variablen zurückzukehren. Was habe ich vergessen einzufügen? Nämlich: Beim Ersetzen eines bestimmten Grades durch eine neue Variable (also beim Ersetzen eines Typs) interessiert mich das nur positive Wurzeln! Warum, können Sie sich leicht selbst beantworten. Wir interessieren uns also nicht für Sie, aber die zweite Wurzel ist für uns durchaus geeignet:

Wo dann.

Antworten:

Wie Sie sehen können, bat der Ersatz im vorherigen Beispiel um unsere Hände. Leider ist dies nicht immer der Fall. Lassen Sie uns jedoch nicht direkt zum Traurigen übergehen, sondern an einem weiteren Beispiel mit einem ziemlich einfachen Ersatz üben

Beispiel 2

Es ist klar, dass höchstwahrscheinlich ersetzt werden muss (dies ist die kleinste der in unserer Gleichung enthaltenen Potenzen), aber bevor eine Ersetzung eingeführt wird, muss unsere Gleichung darauf „vorbereitet“ werden, nämlich: , . Dann können Sie ersetzen, als Ergebnis erhalte ich den folgenden Ausdruck:

Oh Schreck: eine kubische Gleichung mit absolut schrecklichen Formeln für ihre Lösung (na ja, allgemein gesprochen). Aber lasst uns nicht sofort verzweifeln, sondern überlegen, was wir tun sollen. Ich schlage Schummeln vor: Wir wissen, dass wir, um eine „schöne“ Antwort zu erhalten, die Form einer Potenz von drei annehmen müssen (warum sollte das sein, huh?). Und versuchen wir, mindestens eine Wurzel unserer Gleichung zu erraten (ich beginne mit dem Raten von Dreierpotenzen).

Erste Vermutung. Ist keine Wurzel. Ach und äh...

.
Die linke Seite ist gleich.
Rechter Teil: !
Es gibt! Erraten die erste Wurzel. Jetzt wird alles einfacher!

Kennen Sie das Aufteilungsschema "Ecke"? Natürlich wissen Sie, dass Sie es verwenden, wenn Sie eine Zahl durch eine andere dividieren. Aber nur wenige wissen, dass man dasselbe mit Polynomen machen kann. Es gibt ein wunderbares Theorem:

Anwendbar auf meine Situation sagt es mir, was ohne Rest durch teilbar ist. Wie erfolgt die Teilung? So geht das:

Ich schaue mir an, welches Monom ich multiplizieren sollte, um Clear zu bekommen, dann:

Ich subtrahiere den resultierenden Ausdruck von, ich bekomme:

Nun, was muss ich multiplizieren, um zu erhalten? Das ist klar, dann bekomme ich:

und subtrahieren Sie den resultierenden Ausdruck erneut vom verbleibenden:

Nun, im letzten Schritt multipliziere ich mit und subtrahiere von dem verbleibenden Ausdruck:

Hurra, die Teilung ist vorbei! Was haben wir privat angesammelt? Selbstverständlich: .

Dann erhalten wir die folgende Erweiterung des ursprünglichen Polynoms:

Lösen wir die zweite Gleichung:

Es hat Wurzeln:

Dann die ursprüngliche Gleichung:

hat drei Wurzeln:

Wir verwerfen natürlich die letzte Wurzel, da sie kleiner als Null ist. Und die ersten beiden nach der umgekehrten Ersetzung geben uns zwei Wurzeln:

Antworten: ..

Ich wollte Sie mit diesem Beispiel keinesfalls erschrecken, sondern wollte zeigen, dass wir zwar einen recht einfachen Ersatz hatten, dieser jedoch zu einer ziemlich komplexen Gleichung führte, deren Lösung einige besondere Fähigkeiten von uns erforderte . Nun, niemand ist davor gefeit. Aber die Veränderung in diesem Fall war ziemlich offensichtlich.

Hier ist ein Beispiel mit einer etwas weniger offensichtlichen Ersetzung:

Es ist überhaupt nicht klar, was wir tun sollen: Das Problem ist, dass es in unserer Gleichung zwei verschiedene Basen gibt und eine Basis nicht aus der anderen erhalten werden kann, indem man sie mit einer (natürlich vernünftigen) Potenz erhebt. Was sehen wir jedoch? Beide Basen unterscheiden sich nur im Vorzeichen, und ihr Produkt ist die Differenz der Quadrate gleich eins:

Definition:

Daher sind die Zahlen, die in unserem Beispiel Basen sind, konjugiert.

In diesem Fall wäre der kluge Schachzug Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit der konjugierten Zahl.

Zum Beispiel an, dann wird die linke Seite der Gleichung gleich und die rechte Seite. Wenn wir einen Ersatz vornehmen, wird unsere ursprüngliche Gleichung mit Ihnen wie folgt aussehen:

seine Wurzeln, aber wenn wir uns daran erinnern, verstehen wir das.

Antworten: , .

In der Regel reicht die Ersetzungsmethode aus, um die meisten Exponentialgleichungen der "Schule" zu lösen. Die folgenden Aufgaben stammen aus dem USE C1 ( erhöhtes Niveau Schwierigkeiten). Sie sind bereits gebildet genug, um diese Beispiele selbst zu lösen. Ich gebe nur den erforderlichen Ersatz.

1. Löse die Gleichung:
2. Finden Sie die Wurzeln der Gleichung:
3. Löse die Gleichung: . Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zu dem Segment gehören:

Nun zu einigen kurzen Erklärungen und Antworten:

1. Hier genügt es, darauf hinzuweisen, dass und. Dann entspricht die ursprüngliche Gleichung dieser: Diese Gleichung wird gelöst, indem ersetzt wird Führen Sie die folgenden Berechnungen selbst durch. Am Ende reduziert sich Ihre Aufgabe auf die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichung (je nach Sinus oder Cosinus). Wir werden die Lösung solcher Beispiele in anderen Abschnitten diskutieren.
2. Hier kann man sogar auf das Ersetzen verzichten: Es reicht, den Subtrahend nach rechts zu versetzen und beide Basen durch Zweierpotenzen darzustellen: und dann gleich zur quadratischen Gleichung überzugehen.
3. Die dritte Gleichung wird ebenfalls auf eine ziemlich übliche Weise gelöst: Stellen Sie sich vor, wie. Dann erhalten wir durch Ersetzen eine quadratische Gleichung: dann

   Weißt du schon, was ein Logarithmus ist? Nein? Dann lesen Sie dringend das Thema!

   Die erste Wurzel gehört offensichtlich nicht zum Segment und die zweite ist unverständlich! Aber wir werden es sehr bald herausfinden! Denn dann (das ist eine Eigenschaft des Logarithmus!) vergleichen wir:

   Subtrahieren Sie von beiden Teilen, dann erhalten wir:

   Die linke Seite kann dargestellt werden als:

   beide Seiten multiplizieren mit:

   kann dann multipliziert werden

   Dann vergleichen wir:

   seit damals:

   Dann gehört die zweite Wurzel zum gewünschten Intervall

   Antworten:

Wie du siehst, Die Auswahl der Wurzeln von Exponentialgleichungen erfordert eine ziemlich tiefe Kenntnis der Eigenschaften von Logarithmen, daher rate ich Ihnen, beim Lösen von Exponentialgleichungen so vorsichtig wie möglich zu sein. Wie Sie wissen, ist in der Mathematik alles miteinander verbunden! Wie mein Mathelehrer immer sagte: „Mathe kann man nicht über Nacht wie Geschichte lesen.“

In der Regel alle Die Schwierigkeit bei der Lösung von Problemen C1 besteht genau in der Auswahl der Wurzeln der Gleichung.Üben wir mit einem anderen Beispiel:

Es ist klar, dass die Gleichung selbst ganz einfach gelöst wird. Nachdem wir die Substitution vorgenommen haben, reduzieren wir unsere ursprüngliche Gleichung auf Folgendes:

Schauen wir uns zuerst die erste Wurzel an. Vergleiche und: seitdem, damals. (Eigenschaft der logarithmischen Funktion, at). Dann ist klar, dass auch die erste Wurzel nicht zu unserem Intervall gehört. Nun die zweite Wurzel: . Das ist klar (da die Funktion wächst). Es bleibt zu vergleichen und

seitdem, gleichzeitig. Somit kann ich zwischen und "einen Pflock treiben". Dieser Stift ist eine Zahl. Der erste Ausdruck ist kleiner als und der zweite größer als. Dann ist der zweite Ausdruck größer als der erste und die Wurzel gehört zum Intervall.

Antworten: .

Schauen wir uns abschließend ein weiteres Beispiel einer Gleichung an, bei der die Ersetzung eher nicht dem Standard entspricht:

Beginnen wir gleich damit, was Sie tun können und was - im Prinzip können Sie es tun, aber es ist besser, es nicht zu tun. Es ist möglich - alles durch Potenzen von drei, zwei und sechs darzustellen. Wohin führt es? Ja, und wird zu nichts führen: ein Sammelsurium von Abschlüssen, von denen einige ziemlich schwer wegzubekommen sein werden. Was wird dann benötigt? Beachten wir, dass a Und was wird es uns geben? Und die Tatsache, dass wir die Lösung dieses Beispiels auf die Lösung einer ziemlich einfachen Exponentialgleichung zurückführen können! Zuerst schreiben wir unsere Gleichung um als:

Jetzt teilen wir beide Seiten der resultierenden Gleichung in:

Eureka! Jetzt können wir ersetzen, wir erhalten:

Nun, jetzt sind Sie an der Reihe, Probleme für Demonstrationen zu lösen, und ich werde sie nur dazu bringen kurze Kommentare damit du dich nicht verirrst der richtige Weg! Viel Glück!

1. Das Schwierigste! Hier einen Ersatz zu sehen, ist oh, wie hässlich! Trotzdem lässt sich dieses Beispiel vollständig mit lösen Auswahl eines vollen Quadrats. Um es zu lösen, genügt es, Folgendes zu beachten:

Also hier ist dein Ersatz:

(Beachten Sie, dass wir hier mit unserem Ersatz die negative Wurzel nicht verwerfen können !!! Und warum, was denken Sie?)

Um das Beispiel zu lösen, müssen Sie nun zwei Gleichungen lösen:

Beide werden durch den "Standardersatz" gelöst (aber der zweite in einem Beispiel!)

2. Beachten Sie dies und nehmen Sie eine Ersetzung vor.

3. Erweitern Sie die Zahl in teilerfremde Faktoren und vereinfachen Sie den resultierenden Ausdruck.

4. Dividieren Sie den Zähler und den Nenner des Bruchs durch (oder, wenn Sie es vorziehen) und nehmen Sie die Substitution oder vor.

5. Beachten Sie, dass die Zahlen und konjugiert sind.

AUSSTELLUNGSGLEICHUNGEN. FORTGESCHRITTENES LEVEL

Schauen wir uns außerdem einen anderen Weg an - Lösung von Exponentialgleichungen nach dem Logarithmusverfahren. Ich kann nicht sagen, dass die Lösung von Exponentialgleichungen durch diese Methode sehr beliebt ist, aber in einigen Fällen kann uns nur sie zur richtigen Lösung unserer Gleichung führen. Besonders oft wird es verwendet, um das sogenannte " gemischte Gleichungen': Das heißt, diejenigen, bei denen es Funktionen unterschiedlichen Typs gibt.

Zum Beispiel eine Gleichung wie:

im allgemeinen Fall kann sie nur gelöst werden, indem beide Teile logarithmiert werden (z. B. zur Basis), wobei sich die ursprüngliche Gleichung in die folgende verwandelt:

Betrachten wir das folgende Beispiel:

Es ist klar, dass uns nur die ODZ der logarithmischen Funktion interessiert. Dies folgt jedoch nicht nur aus der ODZ des Logarithmus, sondern aus einem anderen Grund. Ich denke, es wird Ihnen nicht schwer fallen, zu erraten, welche.

Nehmen wir den Logarithmus beider Seiten unserer Gleichung zur Basis:

Wie Sie sehen können, führte uns der Logarithmus unserer ursprünglichen Gleichung schnell zur richtigen (und schönen!) Antwort. Üben wir mit einem anderen Beispiel:

Auch hier brauchen wir uns keine Sorgen zu machen: Wir logarithmieren beide Seiten der Gleichung zur Basis, dann erhalten wir:

Machen wir einen Ersatz:

Allerdings haben wir etwas verpasst! Hast du bemerkt, wo ich einen Fehler gemacht habe? Immerhin dann:

was die Anforderung nicht erfüllt (überlegen Sie, woher es kommt!)

Antworten:

Versuchen Sie, die Lösung der folgenden Exponentialgleichungen aufzuschreiben:

Überprüfen Sie nun Ihre Lösung damit:

1. Wir logarithmieren beide Teile zur Basis, vorausgesetzt dass:

(die zweite Wurzel passt uns wegen der Ersetzung nicht)

2. Logarithmus zur Basis:

Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck in die folgende Form umwandeln:

AUSSTELLUNGSGLEICHUNGEN. KURZE BESCHREIBUNG UND GRUNDFORMEL

Exponentialgleichung

Gleichung eingeben:

genannt die einfachste Exponentialgleichung.

Grad Eigenschaften

Lösungsansätze

• Reduktion auf die gleiche Basis
• Reduktion auf denselben Exponenten
• Variable Substitution
• Vereinfachen Sie den Ausdruck und wenden Sie eine der obigen an.