อุปกรณ์:

• คอมพิวเตอร์,
• โปรเจ็กเตอร์มัลติมีเดีย,
• หน้าจอ,
• เอกสารแนบ 1(การนำเสนอภาพนิ่งใน PowerPoint) “วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลัง”
• ภาคผนวก 2(การแก้สมการแบบ “สาม ฐานที่แตกต่างกันองศา" ใน Word)
• ภาคผนวก 3(เอกสารแจกใน Word for ฝึกงาน).
• ภาคผนวก 4(เอกสารแจกใน Word สำหรับการบ้าน)

ระหว่างเรียน

1. เวทีองค์กร

• ข้อความของหัวข้อบทเรียน (เขียนไว้บนกระดาน)
• ความต้องการบทเรียนทั่วไปในเกรด 10-11:

ขั้นตอนการเตรียมนักเรียนสำหรับการดูดซึมความรู้

การทำซ้ำ

คำนิยาม.

สมการเลขชี้กำลังคือสมการที่มีตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง (นักเรียนตอบ)

บันทึกของครู สมการเลขชี้กำลังอยู่ในคลาสของสมการยอดเยี่ยม ชื่อที่ออกเสียงยากนี้บ่งชี้ว่าสมการดังกล่าว โดยทั่วไปแล้วจะไม่สามารถแก้ไขได้ในรูปของสูตร

สามารถแก้ไขได้โดยวิธีตัวเลขโดยประมาณบนคอมพิวเตอร์เท่านั้น แต่คำถามในการสอบล่ะ? เคล็ดลับทั้งหมดคือการที่ผู้ตรวจสอบเขียนปัญหาในลักษณะที่ยอมรับวิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณสามารถ (และควร!) ทำการแปลงที่เหมือนกันซึ่งลดค่าที่กำหนด สมการเลขชี้กำลังสู่สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด นี่คือสมการที่ง่ายที่สุดและเรียกว่า: สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด แก้ได้ ลอการิทึม.

สถานการณ์ที่มีการแก้สมการเลขชี้กำลังคล้ายกับการเดินทางผ่านเขาวงกต ซึ่งผู้รวบรวมปัญหาเป็นผู้คิดค้นขึ้นเป็นพิเศษ จากข้อพิจารณาทั่วไปเหล่านี้ คำแนะนำที่เฉพาะเจาะจงค่อนข้างจะตามมา

ในการแก้สมการเลขชี้กำลังได้สำเร็จ คุณต้อง:

1. ไม่เพียงแต่รู้ข้อมูลประจำตัวเลขชี้กำลังทั้งหมดอย่างแข็งขัน แต่ยังค้นหาชุดของค่าของตัวแปรที่กำหนดตัวตนเหล่านี้ เพื่อที่ว่าเมื่อใช้ข้อมูลประจำตัวเหล่านี้ เราจะไม่ได้รับรากที่ไม่จำเป็น และยิ่งกว่านั้น จะไม่สูญเสีย แก้สมการ

2. รู้อัตลักษณ์เลขชี้กำลังทั้งหมดอย่างแข็งขัน

3. ดำเนินการแปลงสมการทางคณิตศาสตร์ในรายละเอียดอย่างชัดเจนและปราศจากข้อผิดพลาด (โอนเงื่อนไขจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังส่วนอื่น อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม ฯลฯ) สิ่งนี้เรียกว่าวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ ในเวลาเดียวกัน การคำนวณด้วยตนเองควรทำโดยอัตโนมัติ และหัวหน้าควรคำนึงถึงเส้นบอกแนวทั่วไปของสารละลาย จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงอย่างระมัดระวังและละเอียดที่สุด วิธีนี้เท่านั้นที่จะรับประกันได้ว่าโซลูชันที่ถูกต้องและปราศจากข้อผิดพลาด และจำไว้ว่า: ความคลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์เพียงเล็กน้อยสามารถสร้างสมการเหนือธรรมชาติซึ่งตามหลักการแล้วไม่สามารถแก้ไขได้ในเชิงวิเคราะห์ ปรากฎว่าคุณหลงทางและวิ่งเข้าไปในกำแพงของเขาวงกต

4. รู้วิธีการแก้ปัญหา (นั่นคือ รู้เส้นทางทั้งหมดผ่านเขาวงกตของการแก้ปัญหา) สำหรับการวางแนวที่ถูกต้องในแต่ละขั้นตอน คุณจะต้อง (อย่างมีสติหรือสัญชาตญาณ!):

• กำหนด ประเภทสมการ;
• จำประเภทที่สอดคล้องกัน วิธีการแก้ปัญหางาน

ขั้นตอนการวางนัยทั่วไปและการจัดระบบของเนื้อหาที่ศึกษา

ครูร่วมกับนักเรียนโดยใช้คอมพิวเตอร์ ดำเนินการทบทวนภาพรวมของสมการเลขชี้กำลังทุกประเภทและวิธีการแก้สมการ และร่างโครงร่างทั่วไป (ใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ฝึกอบรมของ L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000" ผู้เขียนงานนำเสนอ PowerPoint คือ T.N. Kuptsova)

ข้าว. หนึ่ง.รูปแสดงโครงร่างทั่วไปของสมการเลขชี้กำลังทุกประเภท

ดังที่เห็นได้จากแผนภาพนี้ กลวิธีในการแก้สมการเลขชี้กำลังคือการลดสมการเลขชี้กำลังนี้เป็นสมการ อย่างแรกเลย ที่มีฐานเดียวกัน , แล้วก็ - และ ที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน

เมื่อได้สมการที่มีฐานและเลขชี้กำลังเท่ากัน คุณจึงแทนที่ดีกรีนี้ด้วยตัวแปรใหม่ แล้วได้สมการพีชคณิตอย่างง่าย (ปกติแล้วจะเป็นเศษส่วนตรรกยะหรือกำลังสอง) เทียบกับตัวแปรใหม่นี้

โดยการแก้สมการนี้และทำการแทนที่แบบผกผัน คุณจะจบลงด้วยชุดของสมการเลขชี้กำลังอย่างง่ายที่แก้ได้ใน ปริทัศน์โดยใช้ลอการิทึม

สมการแยกจากกันซึ่งมีเฉพาะผลิตภัณฑ์ของอำนาจ (ส่วนตัว) เท่านั้นที่เกิดขึ้น การใช้ข้อมูลเฉพาะตัวแบบเลขชี้กำลัง เป็นไปได้ที่จะนำสมการเหล่านี้มาไว้ในฐานเดียวโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

พิจารณาวิธีการแก้สมการเลขชี้กำลังที่มีองศาฐานต่างกันสามฐาน

(ถ้าครูมีโปรแกรมคอมพิวเตอร์สอนโดย L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000" โดยปกติเราจะทำงานกับดิสก์ถ้าไม่ใช่คุณสามารถพิมพ์สมการประเภทนี้สำหรับแต่ละโต๊ะได้ดังแสดงด้านล่าง .)

ข้าว. 2.แผนแก้สมการ

ข้าว. 3.เริ่มแก้สมการ

ข้าว. สี่.จุดสิ้นสุดของการแก้สมการ

ลงมือปฏิบัติ

กำหนดประเภทของสมการและแก้มัน

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

สรุปบทเรียน

ให้คะแนนบทเรียน

จบบทเรียน

สำหรับครู

แบบแผนของคำตอบการทำงานจริง

ออกกำลังกาย:จากรายการสมการ ให้เลือกสมการประเภทที่ระบุ (ใส่จำนวนคำตอบลงในตาราง):

1. สามฐานที่แตกต่างกัน
2. สองฐานที่แตกต่างกัน - เลขชี้กำลังต่างกัน
3. ฐานของอำนาจ - พลังของเลขตัวเดียว
4. ฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังต่างกัน
5. ฐานเลขชี้กำลังเดียวกัน - เลขชี้กำลังเดียวกัน
6. ผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ
7. องศาที่แตกต่างกันสองฐาน - ตัวบ่งชี้เดียวกัน
8. สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

1. (ผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ)

2. (ฐานเดียวกัน - เลขชี้กำลังต่างกัน)

การบรรยาย: "วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลัง"

1 . สมการเลขชี้กำลัง

สมการที่มีไม่ทราบค่าในเลขชี้กำลังเรียกว่าสมการเลขชี้กำลัง สมการที่ง่ายที่สุดคือ ax = b โดยที่ a > 0 และ a ≠ 1

1) สำหรับ b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) สำหรับ b > 0 โดยใช้ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันและทฤษฎีบทรูท สมการจะมีรากเดียว ในการค้นหา b ต้องแสดงเป็น b = aс, ax = bс ó x = c หรือ x = logab

สมการเลขชี้กำลังโดย การแปลงพีชคณิตนำไปสู่สมการมาตรฐานซึ่งแก้ได้ด้วยวิธีต่อไปนี้

1) วิธีการลดเหลือฐานเดียว

2) วิธีการประเมิน

3) วิธีกราฟิก

4) วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่

5) วิธีการแยกตัวประกอบ;

6) เลขชี้กำลัง - สมการกำลัง

7) เลขชี้กำลังพร้อมพารามิเตอร์

2 . วิธีการลดให้เหลือเพียงหลักเดียว

วิธีการนี้ยึดตามคุณสมบัติขององศาต่อไปนี้: ถ้าสององศาเท่ากันและฐานเท่ากัน เลขชี้กำลังจะเท่ากัน กล่าวคือ สมการควรพยายามลดรูป

ตัวอย่าง. แก้สมการ:

1 . 3x=81;

ให้แสดงด้านขวาของสมการในรูปแบบ 81 = 34 และเขียนสมการที่เทียบเท่ากับ 3 x = 34 เดิม x = 4. คำตอบ: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> และไปที่สมการของเลขชี้กำลัง 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5 คำตอบ: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

โปรดทราบว่าตัวเลข 0.2, 0.04, √5 และ 25 ยกกำลัง 5 ลองใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้และแปลงสมการดั้งเดิมดังนี้:

, ดังนั้น 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2 จากที่เราพบคำตอบ x = -1 คำตอบ: -1.

5. 3x = 5. ตามนิยามของลอการิทึม x = log35 คำตอบ: บันทึก35.

6. 62x+4 = 33x 2x+8.

ลองเขียนสมการใหม่เป็น 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" width="181" height="49 src="> ดังนั้น x - 4 =0, x = 4 คำตอบ: สี่

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9 ใช้คุณสมบัติของยกกำลัง เราเขียนสมการในรูปแบบ e. x+1 = 2, x =1 คำตอบ: 1.

ธนาคารงานครั้งที่ 1

แก้สมการ:

การทดสอบหมายเลข 1

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ไม่มีราก
	1) 7;1 2) ไม่มีราก 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

การทดสอบ #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) ไม่มีราก 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 วิธีการประเมิน

ทฤษฎีบทราก: หากฟังก์ชัน f (x) เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลา I ตัวเลข a คือค่าใดๆ ที่ f นำมาใช้ในช่วงเวลานี้ ดังนั้นสมการ f (x) = a จะมีรากเดียวในช่วง I

เมื่อแก้สมการด้วยวิธีการประมาณค่า จะใช้ทฤษฎีบทนี้และคุณสมบัติความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง. แก้สมการ: 1. 4x = 5 - x.

วิธีการแก้. ลองเขียนสมการใหม่เป็น 4x + x = 5

1. ถ้า x \u003d 1 แล้ว 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 เป็นจริง ดังนั้น 1 คือรากของสมการ

ฟังก์ชัน f(x) = 4x เพิ่มขึ้นใน R และ g(x) = x กำลังเพิ่มขึ้นบน R => h(x)= f(x)+g(x) เพิ่มขึ้นใน R โดยเป็นผลรวมของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ดังนั้น x = 1 เป็นรากเดียวของสมการ 4x = 5 – x คำตอบ: 1.

2.

วิธีการแก้. เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ .

1. ถ้า x = -1 แล้ว , 3 = 3 จริง ดังนั้น x = -1 จึงเป็นรากของสมการ

2. พิสูจน์ว่าเป็นเอกลักษณ์

3. ฟังก์ชัน f(x) = - ลดลงใน R และ g(x) = - x - ลดลงใน R => h(x) = f(x) + g(x) - ลดลงใน R เป็นผลรวม ของฟังก์ชันที่ลดลง ดังนั้นโดยทฤษฎีบทรูท x = -1 เป็นรูทเดียวของสมการ คำตอบ: -1.

ธนาคารงานครั้งที่ 2 แก้สมการ

ก) 4x + 1 = 6 - x;

ข)

ค) 2x – 2 =1 – x;

4. วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่

วิธีการอธิบายไว้ในหัวข้อ 2.1 การแนะนำตัวแปรใหม่ (การแทนที่) มักจะดำเนินการหลังจากการแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของเงื่อนไขของสมการ พิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่าง. Rกินสม: 1. .

มาเขียนสมการใหม่กัน: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

วิธีการแก้. ลองเขียนสมการใหม่ด้วยวิธีอื่น:

แสดงว่า https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ไม่เหมาะสม

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> เป็นสมการอตรรกยะ โปรดทราบว่า

คำตอบของสมการคือ x = 2.5 ≤ 4 ดังนั้น 2.5 จึงเป็นรากของสมการ คำตอบ: 2.5.

วิธีการแก้. ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแล้วหารทั้งสองข้างด้วย 56x+6 ≠ 0 เราจะได้สมการ

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1 ดังนั้น..png" width="118" height="56">

รากของสมการกำลังสอง - t1 = 1 และ t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

วิธีการแก้ . เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ

และสังเกตว่ามันเป็นสมการเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง

หารสมการด้วย 42x เราจะได้

แทนที่ https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src=">

คำตอบ: 0; 0.5.

ธนาคารงาน #3 แก้สมการ

ข)

ช)

ทดสอบ #3 ที่มีคำตอบให้เลือก ระดับต่ำสุด

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0	1) 2;1 2) -1;0 3) ไม่มีราก 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) ไม่มีราก 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

ทดสอบ #4 ที่มีคำตอบให้เลือก ระดับทั่วไป.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) ไม่มีราก

5. วิธีการแยกตัวประกอบ

1. แก้สมการ: 5x+1 - 5x-1 = 24

Solution..png" width="169" height="69"> จากที่ไหน

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2

วิธีการแก้. ลองเอา 6x ออกมาทางซ้ายของสมการและ 2x ทางขวา เราได้สมการ 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x

เนื่องจาก 2x >0 สำหรับ x ทั้งหมด เราจึงสามารถหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย 2x โดยไม่ต้องกลัวว่าจะสูญเสียคำตอบ เราได้ 3x = 1ó x = 0

3.

วิธีการแก้. เราแก้สมการโดยแฟคตอริ่ง

เราเลือกกำลังสองของทวินาม

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 คือรากของสมการ

สมการ x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0 x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

การทดสอบ #6 ระดับทั่วไป.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) บันทึก43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. เลขชี้กำลัง - สมการกำลัง

สมการเลขชี้กำลังติดกับสิ่งที่เรียกว่าสมการกำลังยกกำลัง กล่าวคือ สมการของรูปแบบ (f(x))g(x) = (f(x))h(x)

หากทราบว่า f(x)>0 และ f(x) ≠ 1 สมการเช่นเดียวกับเลขชี้กำลังจะได้รับการแก้ไขโดยการหาเลขชี้กำลัง g(x) = f(x)

หากเงื่อนไขไม่ได้ยกเว้นความเป็นไปได้ของ f(x)=0 และ f(x)=1 เราต้องพิจารณากรณีเหล่านี้เมื่อแก้สมการกำลังเลขชี้กำลัง

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

วิธีการแก้. x2 +2x-8 - สมเหตุสมผลสำหรับ x ใดๆ เพราะพหุนาม ดังนั้นสมการจึงเท่ากับเซต

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

ข)

7. สมการเลขชี้กำลังพร้อมพารามิเตอร์

1. สำหรับค่าใดของพารามิเตอร์ p สมการ 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) มีคำตอบที่ไม่ซ้ำกัน?

วิธีการแก้. ให้เราแนะนำการเปลี่ยนแปลง 2x = t, t > 0 จากนั้นสมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 (2)

การแยกสมการ (2) คือ D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2

สมการ (1) มีคำตอบเฉพาะถ้าสมการ (2) มีรากเป็นบวกหนึ่งราก เป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้

1. ถ้า D = 0 นั่นคือ p = 1 สมการ (2) จะอยู่ในรูปแบบ t2 – 2t + 1 = 0 ดังนั้น t = 1 ดังนั้น สมการ (1) จึงมีคำตอบเฉพาะ x = 0

2. ถ้า p1 แล้ว 9(p – 1)2 > 0 สมการ (2) จะมีรากต่างกันสองราก t1 = p, t2 = 4p – 3 ชุดของระบบเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา

แทน t1 และ t2 ลงในระบบ เรามี

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

วิธีการแก้. อนุญาต จากนั้นสมการ (3) จะอยู่ในรูปแบบ t2 – 6t – a = 0 (4)

ให้เราหาค่าของพารามิเตอร์ a ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งรูทของสมการ (4) ตรงตามเงื่อนไข t > 0

ให้เราแนะนำฟังก์ชัน f(t) = t2 – 6t – a กรณีต่อไปนี้เป็นไปได้

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

กรณีที่ 2 สมการ (4) มีคำตอบที่เป็นบวกเฉพาะ if

D = 0 ถ้า a = – 9 สมการ (4) จะอยู่ในรูปแบบ (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1

กรณีที่ 3 สมการ (4) มีสองราก แต่หนึ่งในนั้นไม่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน t > 0 สิ่งนี้เป็นไปได้ถ้า

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17"" width="267" height="63">!}

ดังนั้น ที่สมการ a 0 (4) มีรูตบวกเดียว . จากนั้นสมการ (3) จะมีคำตอบเฉพาะ

สำหรับ< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ถ้า< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ถ้า a = – 9 แล้ว x = – 1;

ถ้า  0 แล้ว

ให้เราเปรียบเทียบวิธีการแก้สมการ (1) และ (3) สังเกตว่าเมื่อแก้สมการ (1) ถูกลดให้เป็นสมการกำลังสอง การเลือกปฏิบัติจะเป็นกำลังสองเต็ม ดังนั้น รากของสมการ (2) ถูกคำนวณทันทีโดยสูตรของรากของสมการกำลังสอง จากนั้นจึงสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับรากเหล่านี้ สมการ (3) ถูกลดขนาดเป็นสมการกำลังสอง (4) ซึ่งดิสคริมิแนนต์นั้นไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้นเมื่อแก้สมการ (3) ขอแนะนำให้ใช้ทฤษฎีบทกับตำแหน่งของรากของไตรโนเมียลกำลังสองและ โมเดลกราฟิก โปรดทราบว่าสมการ (4) สามารถแก้ไขได้โดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา

มาแก้สมการที่ซับซ้อนกว่านี้กัน

ภารกิจที่ 3 แก้สมการ

วิธีการแก้. ODZ: x1, x2.

มาแนะนำตัวแทนกัน ให้ 2x = t, t > 0 จากนั้นผลของการแปลงสมการจะอยู่ในรูปแบบ t2 + 2t – 13 – a = 0 (*) ให้เราหาค่าของ a ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งรูทของ สมการ (*) เป็นไปตามเงื่อนไข t > 0

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

คำตอบ: ถ้า a > - 13, a  11, a  5, แล้วถ้า a - 13,

a = 11, a = 5 แล้วไม่มีราก

บรรณานุกรม.

1. Guzeev รากฐานของเทคโนโลยีการศึกษา

2. เทคโนโลยี Guzeev: จากการต้อนรับสู่ปรัชญา

ม. "อาจารย์ใหญ่" ครั้งที่ 4, 2539

3. Guzeev และ รูปแบบองค์กรการเรียนรู้.

4. Guzeev และการฝึกฝนเทคโนโลยีการศึกษาแบบบูรณาการ

M. "การศึกษาของประชาชน", 2001

5. Guzeev จากรูปแบบของบทเรียน - สัมมนา

คณิตศาสตร์ ม.2 ปี 2530 หน้า 9 - 11

6. เทคโนโลยีการศึกษาของ Selevko

M. "การศึกษาของประชาชน", 1998

7. เด็กนักเรียน Episheva เรียนรู้คณิตศาสตร์

M. "การตรัสรู้", 1990

8. Ivanov เพื่อเตรียมบทเรียน - เวิร์กช็อป

คณิตศาสตร์ที่โรงเรียนหมายเลข 6, 1990, p. 37-40.

9. แบบจำลองการสอนคณิตศาสตร์ของ Smirnov

คณิตศาสตร์โรงเรียนที่ 1, 1997, p. 32-36.

10. Tarasenko วิธีการจัดระเบียบการทำงานจริง

คณิตศาสตร์ที่โรงเรียนหมายเลข 1, 1993, p. 27 - 28.

11. เกี่ยวกับงานประเภทใดประเภทหนึ่ง

คณิตศาสตร์ในโรงเรียนหมายเลข 2, 1994, หน้า 63 - 64.

12. Khazankin ทักษะความคิดสร้างสรรค์เด็กนักเรียน

คณิตศาสตร์โรงเรียน ครั้งที่ 2, 1989, น. สิบ.

13. สกานาวี สำนักพิมพ์, 1997

14. et al. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ สื่อการสอนสำหรับ

15. งาน Krivonogov ในวิชาคณิตศาสตร์

ม. "1 กันยายน", 2002

16. เชอร์กาซอฟ คู่มือสำหรับนักเรียนมัธยมปลายและ

เข้ามหาวิทยาลัย "เอเอสที - โรงเรียนข่าว", 2545

17. Zhevnyak สำหรับผู้สมัครเข้ามหาวิทยาลัย

มินสค์และ RF "ทบทวน" พ.ศ. 2539

18. เขียน D. การเตรียมตัวสอบวิชาคณิตศาสตร์. M. Rolf, 1999

19. และอื่นๆ เรียนรู้การแก้สมการและอสมการ

ม. "ปัญญา - ศูนย์กลาง", 2546

20.และอื่น ๆ สื่อการศึกษาและฝึกอบรมเพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับ E G E

M. "Intellect - Center", 2546 และ 2547

21 และอื่น ๆ รูปแบบของ CMM ศูนย์ทดสอบของกระทรวงกลาโหมของสหพันธรัฐรัสเซีย, 2002, 2003

22. สมการโกลด์เบิร์ก "ควอนตัม" ครั้งที่ 3 พ.ศ. 2514

23. Volovich M. วิธีการสอนคณิตศาสตร์ให้ประสบความสำเร็จ.

คณิตศาสตร์ 1997 ครั้งที่ 3

24 Okunev สำหรับบทเรียนเด็ก ๆ ! M. การตรัสรู้, 1988

25. Yakimanskaya - การศึกษาเชิงรุกที่โรงเรียน

26. Liimets ทำงานในบทเรียน ม. ความรู้, 1975

สมการเลขชี้กำลังคืออะไร? ตัวอย่าง.

ดังนั้น สมการเลขชี้กำลัง... นิทรรศการใหม่ที่ไม่ซ้ำใครในงานนิทรรศการทั่วไปของเราเกี่ยวกับสมการที่หลากหลาย!) เช่นเดียวกับในกรณีส่วนใหญ่ คีย์เวิร์ดของคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ใหม่ใดๆ คือคำคุณศัพท์ที่เกี่ยวข้องกันซึ่งกำหนดลักษณะเฉพาะ ดังนั้นที่นี่ด้วย คำสำคัญในคำว่า "สมการเลขชี้กำลัง" คือคำว่า "สาธิต". มันหมายความว่าอะไร? คำนี้หมายความว่าสิ่งที่ไม่รู้จัก (x) คือ ในระดับใดระดับหนึ่งและที่นั่นเท่านั้น! นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง

ตัวอย่างเช่น สมการง่าย ๆ เหล่านี้:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

หรือแม้แต่สัตว์ประหลาดเหล่านี้:

2 บาป x = 0.5

ฉันขอให้คุณใส่ใจกับสิ่งสำคัญอย่างหนึ่งทันที: ใน บริเวณองศา (ล่าง) - เฉพาะตัวเลข. แต่ใน ตัวชี้วัดองศา (บนสุด) - การแสดงออกที่หลากหลายด้วย x อะไรก็ได้) ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสมการเฉพาะ หากทันใดนั้น x ออกมาในสมการที่อื่นนอกเหนือจากตัวบ่งชี้ (เช่น 3 x \u003d 18 + x 2) สมการดังกล่าวจะเป็นสมการอยู่แล้ว แบบผสม. สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้ ดังนั้นในบทเรียนนี้เราจะไม่พิจารณาพวกเขา เพื่อความสุขของนักเรียน) ที่นี่เราจะพิจารณาเฉพาะสมการเลขชี้กำลังในรูปแบบที่ "บริสุทธิ์"

โดยทั่วไปแล้ว แม้แต่สมการเลขชี้กำลังล้วนๆ ก็ยังไม่ได้รับการแก้อย่างชัดเจนในทุกกรณีและไม่เสมอไป แต่ในบรรดาสมการเลขชี้กำลังที่หลากหลาย มีบางประเภทที่แก้ได้และควรแก้ สมการประเภทนี้เราจะพิจารณาร่วมกับคุณ และเราจะแก้ตัวอย่างอย่างแน่นอน) ดังนั้นเราจึงตั้งรกรากอย่างสะดวกสบายและอยู่บนท้องถนน! เช่นเดียวกับในคอมพิวเตอร์ "เกมยิงปืน" การเดินทางของเราจะผ่านด่านต่างๆ) ตั้งแต่ระดับพื้นฐานไปจนถึงระดับง่าย จากระดับพื้นฐานไปจนถึงระดับกลาง และระดับกลางไปจนถึงระดับซับซ้อน ระหว่างทาง คุณจะรอระดับความลับ - กลเม็ดและวิธีการแก้ไขตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐาน เรื่องที่คุณจะไม่อ่านในหนังสือเรียนของโรงเรียนส่วนใหญ่... ท้ายที่สุด เจ้านายคนสุดท้ายกำลังรอคุณอยู่ในรูปแบบของการบ้าน)

ระดับ 0. สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดคืออะไร? คำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

เริ่มต้นด้วยการดูพื้นฐานที่ตรงไปตรงมา คุณต้องเริ่มต้นที่ไหนสักแห่งใช่ไหม ตัวอย่างเช่น สมการนี้:

2 x = 2 2

แม้จะไม่มีทฤษฎีใดๆ ด้วยตรรกะง่ายๆ และสามัญสำนึก ก็เป็นที่ชัดเจนว่า x = 2 ไม่อย่างนั้นไม่มีทางหรอก จริงไหม? ไม่มีค่าของ x อื่นใดดี ... ทีนี้มาสนใจกัน รายการตัดสินใจสมการเลขชี้กำลังเย็นนี้:

2 x = 2 2

X = 2

เกิดอะไรขึ้นกับเรา? และต่อไปนี้ก็เกิดขึ้น อันที่จริงแล้วเราเอาและ ... เพิ่งโยนฐานเดียวกัน (สอง)! โยนทิ้งให้หมด และสิ่งที่พอใจ ตีเป้า!

ใช่ แน่นอน ถ้าในสมการเลขชี้กำลังทางซ้ายและขวาเป็น เหมือนตัวเลขในระดับใด ๆ จากนั้นตัวเลขเหล่านี้สามารถทิ้งและเท่ากับเลขชี้กำลัง คณิตศาสตร์อนุญาต) จากนั้นคุณสามารถแยกการทำงานกับตัวบ่งชี้และแก้สมการที่ง่ายกว่ามาก มันเยี่ยมมากใช่มั้ย?

นี่คือแนวคิดหลักในการแก้สมการเลขชี้กำลังใดๆ (ใช่ ทุกประการ!) ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงที่เหมือนกัน มันเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าซ้ายและขวาในสมการคือ เหมือน เลขฐานกำลังต่างๆ จากนั้นคุณสามารถเอาฐานเดียวกันออกและจัดเลขชี้กำลังได้อย่างปลอดภัย และทำงานกับสมการที่ง่ายกว่า

และตอนนี้เราจำกฎเหล็กได้: เป็นไปได้ที่จะลบฐานเดียวกันก็ต่อเมื่อในสมการทางซ้ายและทางขวาตัวเลขฐานคือ ในความเหงาอันภาคภูมิ

ในความโดดเดี่ยวที่ยอดเยี่ยมหมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าไม่มีเพื่อนบ้านและสัมประสิทธิ์ ฉันอธิบาย.

ตัวอย่างเช่น ในสมการ

3 3 x-5 = 3 2 x +1

คุณไม่สามารถลบแฝดสาม! ทำไม เพราะทางซ้ายเราไม่ได้มีดีกรีอยู่แค่สามคน แต่ งาน 3 3 x-5 . ทริปเปิ้ลพิเศษเข้ามาขวางทาง: คุณเข้าใจสัมประสิทธิ์)

สามารถพูดได้เหมือนกันเกี่ยวกับสมการ

5 3 x = 5 2 x +5 x

ที่นี่เช่นกัน ฐานทั้งหมดเหมือนกัน - ห้า แต่ทางขวาเราไม่มีดีกรีห้าเดียว นั่นคือผลรวมขององศา!

กล่าวโดยสรุป เรามีสิทธิ์ที่จะลบฐานเดียวกันก็ต่อเมื่อสมการเลขชี้กำลังของเรามีลักษณะดังนี้ และมีลักษณะดังนี้:

เอฉ (x) = ก (x)

สมการเลขชี้กำลังประเภทนี้เรียกว่า ง่ายที่สุด. หรือในทางวิทยาศาสตร์ บัญญัติ . และไม่ว่าสมการบิดเบี้ยวที่อยู่ตรงหน้าจะเป็นอย่างไร ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เราจะลดสมการนี้ให้อยู่ในรูปแบบง่ายๆ (ตามบัญญัติ) ดังกล่าว หรือในบางกรณีถึง มวลรวมสมการประเภทนี้ จากนั้นสมการที่ง่ายที่สุดของเราสามารถเขียนใหม่ในรูปแบบทั่วไปได้ดังนี้:

F(x) = ก.(x)

และนั่นแหล่ะ นี่จะเป็นการแปลงที่เทียบเท่ากัน ในขณะเดียวกัน นิพจน์ใดๆ ที่มี x ก็สามารถใช้เป็น f(x) และ g(x) ได้ อะไรก็ตาม.

บางทีนักเรียนที่อยากรู้อยากเห็นเป็นพิเศษจะถามว่า: ทำไมเราจึงทิ้งฐานเดียวกันทางซ้ายและขวาอย่างง่ายดายและง่ายดายและเท่ากับเลขชี้กำลัง สัญชาตญาณก็คือสัญชาตญาณ แต่จู่ๆ ในสมการบางอย่างและด้วยเหตุผลบางอย่าง วิธีการนี้จะกลับกลายเป็นว่าผิด? ถูกต้องตามกฎหมายเสมอหรือไม่ที่จะโยนฐานเดิม?น่าเสียดายสำหรับคำตอบทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดสำหรับสิ่งนี้ สนใจ สอบถามคุณต้องเจาะลึกและจริงจังในทฤษฎีทั่วไปของโครงสร้างและพฤติกรรมของฟังก์ชัน และเฉพาะเจาะจงอีกเล็กน้อย - ในปรากฏการณ์ ความน่าเบื่อหน่ายที่เข้มงวดโดยเฉพาะความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวด ฟังก์ชันเลขชี้กำลังy= x. เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของฟังก์ชันที่รองรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง ใช่) คำตอบโดยละเอียดสำหรับคำถามนี้จะให้ไว้ในบทเรียนพิเศษที่แยกต่างหากซึ่งอุทิศให้กับการแก้สมการที่ไม่ได้มาตรฐานที่ซับซ้อนโดยใช้ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันต่างๆ)

เพื่ออธิบายประเด็นนี้โดยละเอียดในตอนนี้ เป็นเพียงการนำสมองของเด็กนักเรียนธรรมดาๆ ออกมา และทำให้ตกใจเขาล่วงหน้าด้วยทฤษฎีที่แห้งแล้งและหนักหน่วง ฉันจะไม่ทำเช่นนี้) สำหรับหลักของเรา ช่วงเวลานี้งาน - เรียนรู้การแก้สมการเลขชี้กำลัง!ง่ายที่สุด! ดังนั้นจนกว่าเราจะเหงื่อออกและกล้าโยนเหตุผลเดียวกันออกไป มัน สามารถใช้คำพูดของฉันมัน!) จากนั้นเราก็แก้สมการเทียบเท่า f (x) = g (x) ตามกฎแล้วจะง่ายกว่าเลขชี้กำลังเดิม

แน่นอนว่ามีคนรู้วิธีแก้อยู่แล้วอย่างน้อย และสมการ โดยที่ไม่มี x ในอินดิเคเตอร์) ใครยังไม่รู้วิธีปิดหน้านี้ เดินตามลิงค์ที่เหมาะสมแล้วกรอกลงไป ช่องว่างเก่า มิฉะนั้นคุณจะลำบากใช่ ...

ฉันเงียบเกี่ยวกับสมการที่ไม่ลงตัว ตรีโกณมิติ และสมการที่โหดร้ายอื่นๆ ที่สามารถเกิดขึ้นได้ในกระบวนการกำจัดฐาน แต่อย่าตื่นตระหนกเพราะตอนนี้เราจะไม่พิจารณาระดับปริญญาที่ตรงไปตรงมา: มันเร็วเกินไป เราจะฝึกเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น)

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการที่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพื่อย่อให้เหลือน้อยที่สุด เรียกพวกมันว่า สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย. มาต่อกันที่ระดับถัดไปกันเถอะ!

ระดับ 1 สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย รับรู้องศา! ตัวชี้วัดทางธรรมชาติ

กฎสำคัญในการแก้สมการเลขชี้กำลังคือ กฎสำหรับการจัดการกับองศา. หากปราศจากความรู้และทักษะนี้ อะไรๆ ก็จะไม่เกิดผล อนิจจา. ดังนั้น หากมีปัญหากับปริญญา คุณก็สามารถเริ่มต้นได้ นอกจากนี้เรายังต้องการ . การแปลงเหล่านี้ (มากถึงสอง!) เป็นพื้นฐานสำหรับการแก้สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดโดยทั่วไป และไม่เพียงแต่โชว์ผลงานเท่านั้น ดังนั้นใครก็ตามที่ลืมไปเดินเล่นบนลิงค์ด้วย: ฉันใส่มันด้วยเหตุผล

แต่การกระทำที่มีพลังและการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันเท่านั้นไม่เพียงพอ นอกจากนี้ยังต้องมีการสังเกตส่วนบุคคลและความเฉลียวฉลาด เราต้องการเหตุผลเดียวกัน ใช่ไหม ดังนั้นเราจึงตรวจสอบตัวอย่างและค้นหาในรูปแบบที่ชัดเจนหรือปลอมแปลง!

ตัวอย่างเช่น สมการนี้:

3 2x – 27x +2 = 0

ดูครั้งแรกที่ บริเวณ. พวกเขาแตกต่าง! สามและยี่สิบเจ็ด แต่มันเร็วเกินไปที่จะตื่นตระหนกและสิ้นหวัง ถึงเวลาต้องจำไว้

27 = 3 3

เบอร์ 3 กับ 27 เป็นญาติสายตรง! ยิ่งกว่านั้นญาติโยม) ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์จดบันทึก:

27 x +2 = (3 3) x+2

และตอนนี้เราเชื่อมโยงความรู้ของเราเกี่ยวกับ การกระทำกับองศา(และฉันเตือนคุณแล้ว!) มีสูตรที่มีประโยชน์มาก:

(น) n = a mn

ตอนนี้ถ้าคุณเรียกใช้ในหลักสูตร โดยทั่วไปแล้วจะออกมาดี:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

ตัวอย่างเดิมตอนนี้มีลักษณะดังนี้:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

เยี่ยมมาก ฐานขององศาอยู่ในแนวเดียวกัน สิ่งที่เรามุ่งมั่นเพื่อ เสร็จไปครึ่งงานแล้ว) และตอนนี้เราเริ่มการแปลงเอกลักษณ์พื้นฐาน - เราโอน 3 3 (x +2) ไปทางขวา ไม่มีใครยกเลิกการกระทำเบื้องต้นของคณิตศาสตร์ใช่) เราได้รับ:

3 2 x = 3 3(x +2)

อะไรทำให้เรามีสมการแบบนี้? และความจริงที่ว่าตอนนี้สมการของเราลดลง เป็นรูปแบบบัญญัติ: ทางซ้ายและทางขวาเป็นเลขยกกำลังเดียวกัน (สามเท่า) และแฝดแฝดทั้งสอง - อยู่อย่างโดดเดี่ยวอย่างวิเศษ เราลบแฝดสามอย่างกล้าหาญและรับ:

2x = 3(x+2)

เราแก้ปัญหานี้และรับ:

X=-6

นั่นคือทั้งหมดที่มีให้ นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง)

และตอนนี้เราเข้าใจขั้นตอนการตัดสินใจแล้ว อะไรช่วยเราไว้ในตัวอย่างนี้ เราได้รับความรอดจากความรู้เรื่ององศาสามชั้น ว่าอย่างไร? เรา ระบุหมายเลข 27 เข้ารหัสสาม! เคล็ดลับนี้ (การเข้ารหัสฐานเดียวกันภายใต้ ตัวเลขต่างๆ) เป็นหนึ่งในสมการเลขชี้กำลังที่ได้รับความนิยมมากที่สุด! เว้นแต่จะเป็นที่นิยมมากที่สุด ใช่และโดยวิธีการ นั่นคือเหตุผลที่การสังเกตและความสามารถในการรับรู้กำลังของตัวเลขอื่น ๆ ในตัวเลขมีความสำคัญมากในสมการเลขชี้กำลัง!

คำแนะนำในทางปฏิบัติ:

คุณจำเป็นต้องรู้พลังของตัวเลขยอดนิยม ต่อหน้า!

แน่นอน ใครๆ ก็สามารถยกกำลังสองยกกำลังเจ็ดหรือยกกำลังสามยกกำลังห้าได้ ไม่ได้อยู่ในความคิดของฉันดังนั้นอย่างน้อยก็ในร่าง แต่ในสมการเลขชี้กำลัง บ่อยครั้งมากที่ไม่จำเป็นต้องยกกำลัง แต่ในทางกลับกัน เพื่อค้นหาว่าจำนวนใดและขอบเขตใดที่ซ่อนอยู่หลังจำนวนนั้น กล่าวคือ 128 หรือ 243 และนี่ก็มากกว่านั้นแล้ว ซับซ้อนกว่าการยกกำลังอย่างง่าย คุณเห็นไหม รู้สึกถึงความแตกต่างอย่างที่พวกเขาพูด!

เนื่องจากความสามารถในการจดจำองศาบนใบหน้าจึงมีประโยชน์ไม่เพียงแต่ในระดับนี้ แต่ในระดับต่อไปนี้ด้วย จึงเป็นงานเล็กๆ น้อยๆ สำหรับคุณ:

กำหนดว่าอำนาจใดและตัวเลขใดเป็นตัวเลข:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

คำตอบ (กระจัดกระจายแน่นอน):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

ใช่ ๆ! อย่าแปลกใจที่มีคำตอบมากกว่างาน ตัวอย่างเช่น 2 8 , 4 4 และ 16 2 เป็น 256 ทั้งหมด

ระดับ 2 สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย รับรู้องศา! เลขชี้กำลังลบและเศษส่วน

ในระดับนี้ เราใช้ความรู้เกี่ยวกับองศาของเราอย่างเต็มที่แล้ว กล่าวคือ เราเกี่ยวข้องกับตัวบ่งชี้เชิงลบและเศษส่วนในกระบวนการที่น่าสนใจนี้! ใช่ ๆ! เราต้องสร้างพลังใช่ไหม?

ตัวอย่างเช่น สมการที่น่ากลัวนี้:

ดูรากฐานอีกครั้งก่อน ฐานไม่ต่างกัน! และคราวนี้พวกเขาไม่ได้เหมือนกันเลยแม้แต่น้อย! 5 และ 0.04... และเพื่อกำจัดฐาน จำเป็นต้องมีฐานเดียวกัน... จะทำอย่างไร?

ไม่เป็นไร! อันที่จริงแล้ว ทุกอย่างเหมือนกัน เพียงการเชื่อมต่อระหว่างห้าถึง 0.04 นั้นมองเห็นได้ไม่ดีนัก เราจะออกไปได้อย่างไร? และไปที่เศษส่วนปกติในจำนวน 0.04 กัน! คุณจะเห็นว่าทุกอย่างก่อตัวขึ้น)

0,04 = 4/100 = 1/25

ว้าว! ปรากฎว่า 0.04 คือ 1/25! แล้วใครจะไปคิดล่ะ!)

ยังไงดี? ตอนนี้การเชื่อมต่อระหว่างตัวเลข 5 กับ 1/25 ง่ายขึ้นหรือไม่? นั่นคือสิ่งที่มันเป็น...

และตอนนี้ตามกฎการดำเนินงานที่มีอำนาจด้วย ตัวบ่งชี้เชิงลบสามารถเขียนด้วยมือที่มั่นคง:

เป็นสิ่งที่ดี. ดังนั้นเราจึงได้ฐานเดียวกัน - ห้า ตอนนี้เราแทนที่ตัวเลขที่ไม่สบายใจ 0.04 ในสมการด้วย 5 -2 และรับ:

อีกครั้งตามกฎการดำเนินการที่มีอำนาจ เราสามารถเขียนได้ว่า:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

เผื่อจะนึก (อยู่ๆ ใครไม่รู้) ว่า กฎพื้นฐานการกระทำที่มีอำนาจถูกต้องสำหรับ ใดๆตัวชี้วัด! รวมถึงค่าลบด้วย) ดังนั้นอย่าลังเลที่จะใช้และคูณตัวบ่งชี้ (-2) และ (x-1) ตามกฎที่เกี่ยวข้อง สมการของเราดีขึ้นเรื่อยๆ:

ทุกอย่าง! นอกจากคนขี้เหงาในองศาทางซ้ายและขวาแล้ว ไม่มีอะไรอื่นอีกแล้ว สมการจะลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติ แล้ว - ตามรอยหยัก เราลบห้าและเท่ากับตัวบ่งชี้:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

ตัวอย่างใกล้เสร็จแล้ว คณิตศาสตร์เบื้องต้นของชนชั้นกลางยังคงอยู่ - เราเปิด (ถูกต้อง!) วงเล็บและรวบรวมทุกอย่างทางด้านซ้าย:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

เราแก้ปัญหานี้และรับสองราก:

x 1 = 1; x 2 = 3

แค่นั้น)

ทีนี้ลองคิดดูใหม่ ในตัวอย่างนี้ เราต้องจำตัวเลขเดิมในองศาที่แตกต่างกันอีกครั้ง! กล่าวคือเพื่อดูการเข้ารหัสห้าในจำนวน 0.04 และครั้งนี้ใน องศาติดลบ!เราทำมันได้อย่างไร? กำลังเดินทาง - ไม่มีทาง แต่หลังจากเปลี่ยนจาก เศษส่วนทศนิยม 0.04 เศษส่วนธรรมดา 1/25 ทุกอย่างถูกเน้น! จากนั้นการตัดสินใจทั้งหมดก็เหมือนกับเครื่องจักร)

ดังนั้นคำแนะนำเชิงปฏิบัติที่เป็นมิตรกับสิ่งแวดล้อมอีกประการหนึ่ง

หากมีเศษส่วนทศนิยมในสมการเลขชี้กำลัง เราก็ย้ายจากเศษส่วนทศนิยมไปเป็นเศษส่วนธรรมดา ที่ เศษส่วนทั่วไปมันง่ายกว่ามากที่จะรับรู้พลังของตัวเลขยอดนิยมมากมาย! หลังจากที่รับรู้แล้ว เราก็เปลี่ยนจากเศษส่วนเป็นยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังลบ

โปรดทราบว่าการหลอกลวงในสมการเลขชี้กำลังเกิดขึ้นบ่อยมาก! และบุคคลนั้นไม่อยู่ในเรื่อง ตัวอย่างเช่น เขาดูตัวเลข 32 และ 0.125 แล้วอารมณ์เสีย ไม่รู้เป็นผีคนเดียวกันแต่ใน องศาที่แตกต่าง… แต่คุณอยู่ในหัวเรื่องแล้ว!)

แก้สมการ:

ใน! ดูเหมือนสยองขวัญเงียบ ๆ ... อย่างไรก็ตามการปรากฏตัวเป็นการหลอกลวง นี่คือสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด แม้จะน่ากลัวก็ตาม รูปร่าง. และตอนนี้ฉันจะแสดงให้คุณเห็น)

อันดับแรก เราจัดการกับตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ในฐานและในสัมประสิทธิ์ ต่างกันอย่างเห็นได้ชัดใช่ แต่เรายังคงเสี่ยงและพยายามทำให้มัน เหมือน! ลองไปที่ เลขเดียวกันในองศาที่ต่างกัน. และควรเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ มาเริ่มถอดรหัสกันเลย!

ทุกอย่างชัดเจนด้วยสี่พร้อมกัน - มันคือ 2 2 . มีบางอย่างอยู่แล้ว)

ด้วยเศษ 0.25 - ยังไม่ชัดเจน จำเป็นต้องตรวจสอบ เราใช้คำแนะนำที่เป็นประโยชน์ - เปลี่ยนจากทศนิยมเป็นธรรมดา:

0,25 = 25/100 = 1/4

ดีขึ้นมากแล้ว ตอนนี้เห็นได้ชัดเจนว่า 1/4 คือ 2 -2 เยี่ยม และเลข 0.25 ก็คล้ายกับผี)

จนถึงตอนนี้ดีมาก แต่จำนวนที่เลวร้ายที่สุดยังคงอยู่ - รากที่สองของสอง!จะทำอย่างไรกับพริกไทยนี้? มันสามารถแสดงเป็นกำลังสองได้หรือไม่? และใครจะรู้...

อีกครั้งที่เราปีนเข้าไปในคลังความรู้เกี่ยวกับองศา! คราวนี้เราเชื่อมต่อความรู้ของเราเพิ่มเติม เกี่ยวกับราก. จากหลักสูตร ป.9 เธอกับฉันต้องทนว่ารากใด ๆ ที่ต้องการสามารถเปลี่ยนเป็นดีกรีได้เสมอ ด้วยเศษส่วน

แบบนี้:

ในกรณีของเรา:

ยังไง! ปรากฎว่าสแควร์รูทของสองคือ 2 1/2 แค่นั้นแหละ!

ไม่เป็นไร! ตัวเลขที่น่าอึดอัดทั้งหมดของเรากลับกลายเป็นว่าหลอกลวง) ฉันไม่เถียงที่ไหนสักแห่งที่เข้ารหัสอย่างซับซ้อนมาก แต่เรายังเพิ่มความเป็นมืออาชีพในการแก้ตัวเลขดังกล่าวอีกด้วย! แล้วทุกอย่างก็ชัดเจนอยู่แล้ว เราแทนที่ตัวเลข 4, 0.25 และรากของสองในสมการด้วยกำลังสอง:

ทุกอย่าง! ฐานขององศาทุกองศาในตัวอย่างกลายเป็นค่าเดียวกัน - สอง และตอนนี้มีการใช้การกระทำมาตรฐานพร้อมองศา:

เป็นหนึ่ง = เป็น + น

a m:a n = a m-n

(น) n = a mn

สำหรับด้านซ้ายคุณจะได้รับ:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

สำหรับด้านขวาจะเป็น:

และตอนนี้สมการชั่วร้ายของเราเริ่มมีลักษณะดังนี้:

สำหรับผู้ที่ไม่รู้ว่าสมการนี้ออกมาเป็นอย่างไร คำถามไม่ได้เกี่ยวกับสมการเลขชี้กำลัง คำถามเกี่ยวกับการกระทำที่มีอำนาจ ขอย้ำด่วนสำหรับผู้ที่มีปัญหา!

นี่คือเส้นชัย! ได้รูปแบบบัญญัติของสมการเลขชี้กำลังแล้ว! ยังไงดี? ฉันเคยเชื่อไหมว่ามันไม่น่ากลัวขนาดนั้น? ;) เราลบ deuces และเท่ากับตัวบ่งชี้:

มันยังคงเป็นเพียงการแก้สมการเชิงเส้นนี้เท่านั้น ยังไง? ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงที่เหมือนกันแน่นอน) แก้สิ่งที่มีอยู่แล้ว! คูณทั้งสองส่วนด้วยสอง (เพื่อลบเศษส่วน 3/2) ย้ายเงื่อนไขด้วย Xs ไปทางซ้ายโดยไม่มี Xs ไปทางขวา นำสิ่งที่เหมือนกันมานับ - แล้วคุณจะมีความสุข!

ทุกอย่างควรออกมาอย่างสวยงาม:

X=4

ตอนนี้ มาทบทวนการตัดสินใจกันใหม่ ในตัวอย่างนี้ เราได้รับการช่วยเหลือจากการเปลี่ยนผ่านจาก รากที่สอง ถึง องศาที่มีเลขชี้กำลัง 1/2. ยิ่งกว่านั้นการเปลี่ยนแปลงที่ฉลาดแกมโกงเท่านั้นที่ช่วยให้เราทุกหนทุกแห่งเข้าถึงพื้นฐานเดียวกัน (deuce) ซึ่งช่วยสถานการณ์ได้! และถ้าไม่ใช่เพราะเรื่องนี้ เราก็คงจะมีโอกาสหยุดนิ่งตลอดไปและไม่เคยรับมือกับตัวอย่างนี้เลย ใช่ ...

ดังนั้นเราจึงไม่ละเลยคำแนะนำที่เป็นประโยชน์ต่อไป:

หากมีรากอยู่ในสมการเลขชี้กำลัง เราก็ย้ายจากรากหนึ่งเป็นยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน บ่อยครั้งที่การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวทำให้สถานการณ์กระจ่างขึ้น

แน่นอนว่าพลังลบและเศษส่วนนั้นยากกว่ามาก องศาธรรมชาติ. อย่างน้อยก็ในแง่ของการรับรู้ทางสายตาและโดยเฉพาะอย่างยิ่งการจดจำจากขวาไปซ้าย!

เป็นที่ชัดเจนว่าการเพิ่มโดยตรงเช่น 2 ยกกำลัง -3 หรือ 4 ยกกำลัง -3/2 ไม่เป็นอย่างนั้น ปัญหาใหญ่. สำหรับผู้รู้)

แต่ไปยกตัวอย่างทันทีว่า

0,125 = 2 -3

หรือ

ที่นี่เท่านั้นกฎการฝึกฝนและประสบการณ์อันยาวนานใช่ และแน่นอน มุมมองที่ชัดเจน เลขชี้กำลังลบและเศษส่วนคืออะไรและยัง - คำแนะนำที่ใช้งานได้จริง! ใช่ ใช่ พวกนั้น เขียว.) ฉันหวังว่าพวกเขาจะยังช่วยให้คุณนำทางได้ดีขึ้นในทุกองศาที่หลากหลายและเพิ่มโอกาสในการประสบความสำเร็จของคุณอย่างมาก! ดังนั้นอย่าละเลยพวกเขา ฉันไม่ได้ไร้สาระ สีเขียวฉันเขียนบางครั้ง)

ในทางกลับกัน หากคุณกลายเป็น "คุณ" แม้จะมีพลังพิเศษเช่น ลบและเศษส่วน ความเป็นไปได้ของคุณในการแก้สมการเลขชี้กำลังจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก และคุณจะสามารถจัดการกับสมการเลขชี้กำลังได้เกือบทุกประเภท ถ้าไม่มี งั้น 80 เปอร์เซ็นต์ของสมการเลขชี้กำลังทั้งหมด - แน่นอน! ใช่ฉันไม่ได้ล้อเล่น!

ดังนั้นส่วนแรกของความคุ้นเคยกับสมการเลขชี้กำลังจึงได้ข้อสรุปเชิงตรรกะ และในระหว่างการออกกำลังกาย ฉันขอแนะนำให้แก้ไขเล็กน้อยด้วยตัวเอง)

แบบฝึกหัดที่ 1

เพื่อให้คำพูดของฉันเกี่ยวกับการถอดรหัสองศาลบและเศษส่วนไม่ไร้ประโยชน์ฉันเสนอให้เล่นเกมเล็ก ๆ น้อย ๆ!

แสดงตัวเลขเป็นกำลังสอง:

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย):

เกิดขึ้น? ยอดเยี่ยม! จากนั้นเราก็ทำภารกิจการต่อสู้ - เราแก้สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายและสะดวกที่สุด!

ภารกิจที่ 2

แก้สมการ (คำตอบทั้งหมดเป็นระเบียบ!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

คำตอบ:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

เกิดขึ้น? แน่นอนง่ายกว่ามาก!

จากนั้นเราแก้เกมต่อไปนี้:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

คำตอบ:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

และตัวอย่างเหล่านี้เหลือ? ยอดเยี่ยม! คุณกำลังเติบโต! ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างเพิ่มเติมให้คุณทานเล่น:

คำตอบ:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

และตัดสินใจแล้ว? ครับ นับถือ! ฉันถอดหมวกออก) ดังนั้นบทเรียนจึงไม่ไร้ประโยชน์และระดับเริ่มต้นของการแก้สมการเลขชี้กำลังถือได้ว่าเป็นผู้เชี่ยวชาญที่ประสบความสำเร็จ ข้างหน้า - ระดับถัดไปและสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น! และเทคนิคและวิธีการใหม่ๆ และตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐาน และเซอร์ไพรส์ใหม่) ทั้งหมดนี้ - ในบทเรียนหน้า!

มีบางอย่างไม่ทำงาน? เป็นไปได้มากว่าปัญหาอยู่ใน. หรือใน. หรือทั้งสองอย่างพร้อมกัน ที่นี่ฉันไม่มีกำลัง ฉันสามารถเสนอสิ่งเดียวเท่านั้น - อย่าเกียจคร้านและเดินผ่านลิงก์)

ยังมีต่อ.)

ไปที่ช่อง youtube ของเว็บไซต์ของเราเพื่อรับทราบบทเรียนวิดีโอใหม่ทั้งหมด

ขั้นแรก ให้นึกถึงสูตรพื้นฐานขององศาและคุณสมบัติของมัน

ผลิตภัณฑ์ของตัวเลข เอเกิดขึ้นด้วยตัวเอง n ครั้ง เราสามารถเขียนนิพจน์นี้เป็น a … a=a n

1. 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

สมการกำลังหรือเลขชี้กำลัง- สมการเหล่านี้เป็นสมการที่ตัวแปรอยู่ในกำลัง (หรือเลขชี้กำลัง) และฐานคือตัวเลข

ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:

ในตัวอย่างนี้ เลข 6 เป็นฐาน อยู่ด้านล่างเสมอ และตัวแปร xองศาหรือวัด

ให้เรายกตัวอย่างเพิ่มเติมของสมการเลขชี้กำลัง
2 x *5=10
16x-4x-6=0

ตอนนี้เรามาดูกันว่าสมการเลขชี้กำลังแก้ได้อย่างไร?

ลองใช้สมการง่ายๆ:

2 x = 2 3

ตัวอย่างดังกล่าวสามารถแก้ไขได้แม้ในใจ จะเห็นว่า x=3 ท้ายที่สุด เพื่อให้ด้านซ้ายและขวาเท่ากัน คุณต้องใส่เลข 3 แทน x
ตอนนี้เรามาดูกันว่าการตัดสินใจครั้งนี้ควรทำอย่างไร:

2 x = 2 3
x = 3

ในการแก้สมการนี้ เราได้ลบ เหตุเดียวกัน(นั่นคือ ดูซ) และจดสิ่งที่เหลืออยู่ นี่คือองศา เราได้คำตอบที่เรากำลังมองหา

ตอนนี้ขอสรุปวิธีแก้ปัญหาของเรา

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง:
1. ต้องตรวจสอบ เหมือนไม่ว่าจะเป็นฐานของสมการทางขวาและทางซ้าย หากเหตุผลไม่เหมือนกัน เรากำลังหาตัวเลือกเพื่อแก้ไขตัวอย่างนี้
2. หลังจากที่ฐานเท่ากันแล้ว เท่ากับองศาและแก้สมการใหม่ที่เกิดขึ้น

ทีนี้มาแก้ตัวอย่างกัน:

มาเริ่มกันง่ายๆ

ฐานทางซ้ายและขวาเท่ากับเลข 2 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถละทิ้งฐานและเทียบองศาของพวกมันได้

x+2=4 สมการที่ง่ายที่สุดปรากฏออกมาแล้ว
x=4 - 2
x=2
คำตอบ: x=2

ในตัวอย่างต่อไปนี้ คุณจะเห็นว่าฐานต่างกัน ซึ่งได้แก่ 3 และ 9

3 3x - 9 x + 8 = 0

เริ่มต้นด้วยเราโอนเก้าไปทางขวาเราได้รับ:

ตอนนี้คุณต้องสร้างฐานเดียวกัน เรารู้ว่า 9=3 2 . ลองใช้สูตรกำลัง (a n) m = a nm กัน

3 3x \u003d (3 2) x + 8

เราได้ 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าฐานทางด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากันและเท่ากับสาม ซึ่งหมายความว่าเราสามารถทิ้งมันและเท่ากับองศา

3x=2x+16 ได้สมการที่ง่ายที่สุด
3x-2x=16
x=16
คำตอบ: x=16.

ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

ก่อนอื่น เราดูที่ฐาน ฐานแตกต่างกันสองและสี่ และเราต้องเหมือนกัน เราแปลงสี่เท่าตามสูตร (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

และเรายังใช้สูตรหนึ่ง a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

เพิ่มในสมการ:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แต่เลข 10 กับ 24 อื่นๆ มารบกวนเรา จะทำอย่างไรกับพวกเขา? หากคุณมองใกล้ ๆ คุณจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเราทำซ้ำ 2 2x นี่คือคำตอบ - เราสามารถใส่ 2 2x ออกจากวงเล็บ:

2 2x (2 4 - 10) = 24

มาคำนวณนิพจน์ในวงเล็บ:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

เราหารสมการทั้งหมดด้วย 6:

ลองนึกภาพ 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 ฐานเหมือนกัน ทิ้งมันและเท่ากับองศา
2x \u003d 2 กลายเป็นสมการที่ง่ายที่สุด เราหารด้วย 2 เราจะได้
x = 1
คำตอบ: x = 1

มาแก้สมการกัน:

9 x - 12*3 x +27= 0

มาแปลงร่างกันเถอะ:
9 x = (3 2) x = 3 2x

เราได้รับสมการ:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

ฐานของเราเท่ากัน เท่ากับ 3 ในตัวอย่างนี้ เห็นได้ชัดว่าสามชั้นแรกมีดีกรีเป็นสองเท่า (2x) มากกว่าวินาทีที่สอง (แค่ x) ในกรณีนี้คุณตัดสินใจได้ วิธีการทดแทน. ตัวเลขที่มีดีกรีน้อยที่สุดจะถูกแทนที่ด้วย:

จากนั้น 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

เราแทนที่องศาทั้งหมดด้วย x ในสมการด้วย t:

เสื้อ 2 - 12t + 27 \u003d 0
เราได้สมการกำลังสอง เราแก้ไขผ่านการเลือกปฏิบัติ เราได้รับ:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

กลับไปที่ตัวแปร x.

เราใช้ t 1:
เสื้อ 1 \u003d 9 \u003d 3 x

นั่นคือ,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:
เสื้อ 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
คำตอบ: x 1 \u003d 2; x 2 = 1

บนเว็บไซต์คุณสามารถในส่วนช่วยตัดสินใจถามคำถามที่น่าสนใจเราจะตอบคุณอย่างแน่นอน

เข้าร่วมกลุ่ม

แก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

อะไร สมการเลขชี้กำลัง? นี่คือสมการที่นิรนาม (x) และนิพจน์ที่อยู่ใน ตัวชี้วัดบางองศา และที่นั่นเท่านั้น! มันเป็นสิ่งสำคัญ

นั่นแหละ ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:

3 x 2 x = 8 x + 3

บันทึก! ในฐานขององศา (ด้านล่าง) - เฉพาะตัวเลข. ที่ ตัวชี้วัดองศา (ด้านบน) - การแสดงออกที่หลากหลายด้วย x หากทันใดนั้น x ปรากฏในสมการที่อื่นที่ไม่ใช่ตัวบ่งชี้ เช่น

นี่จะเป็นสมการแบบผสม สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้ เราจะไม่พิจารณาพวกเขาในตอนนี้ ที่นี่เราจะจัดการกับ แก้สมการเลขชี้กำลังในรูปแบบที่บริสุทธิ์ที่สุด

อันที่จริง แม้แต่สมการเลขชี้กำลังล้วนๆ ก็ไม่ได้ถูกแก้อย่างชัดเจนเสมอไป แต่มีสมการเลขชี้กำลังบางประเภทที่สามารถและควรแก้ได้ เหล่านี้คือประเภทที่เราจะดู

คำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

เริ่มจากสิ่งที่พื้นฐานมาก ตัวอย่างเช่น:

แม้จะไม่มีทฤษฎีใด ๆ โดยการเลือกอย่างง่าย ๆ เป็นที่ชัดเจนว่า x = 2 ไม่มีอะไรมากใช่มั้ย!? ไม่มีม้วนค่า x อื่น ๆ ทีนี้มาดูคำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนนี้กัน:

เราทำอะไรลงไปบ้าง? อันที่จริงเราเพิ่งโยนก้นเดียวกันออก (สามเท่า) โยนทิ้งให้หมด และสิ่งที่พอใจ ตีเครื่องหมาย!

แท้จริงแล้วถ้าในสมการเลขชี้กำลังทางซ้ายและทางขวาคือ เหมือนตัวเลขในระดับใด ๆ ตัวเลขเหล่านี้สามารถลบออกและเลขชี้กำลังเท่ากัน คณิตศาสตร์ช่วยให้ มันยังคงแก้สมการที่ง่ายกว่ามาก มันดีใช่มั้ย?)

อย่างไรก็ตาม ขอให้จำไว้อย่างแดกดัน: คุณจะถอดฐานออกได้ก็ต่อเมื่อเลขฐานทางด้านซ้ายและด้านขวาอยู่ในการแยกชั้นที่ยอดเยี่ยมเท่านั้น!โดยไม่มีเพื่อนบ้านและสัมประสิทธิ์ใดๆ สมมติว่าในสมการ:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , หรือ

ลบดับเบิ้ลไม่ได้!

เราเข้าใจสิ่งที่สำคัญที่สุดแล้ว วิธีออกจากความชั่วร้าย นิพจน์เลขชี้กำลังเป็นสมการที่ง่ายกว่า

“นี่มันยุคสมัยนี่นะ!” - คุณพูด. "ใครจะให้ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการควบคุมและการสอบ!"

บังคับให้ตกลง ไม่มีใครจะ แต่ตอนนี้ คุณรู้แล้วว่าจะต้องไปที่ใดเมื่อต้องแก้ตัวอย่างที่สับสน จำเป็นต้องนึกถึงเมื่อเลขฐานเดียวกันอยู่ทางซ้าย - ทางขวา แล้วทุกอย่างจะง่ายขึ้น อันที่จริง นี่คือความคลาสสิกของคณิตศาสตร์ เรานำตัวอย่างดั้งเดิมและแปลงเป็นที่ต้องการ เราจิตใจ. ตามกฎของคณิตศาสตร์แน่นอน

พิจารณาตัวอย่างที่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพื่อให้ง่ายที่สุด มาเรียกพวกเขาว่า สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย

คำตอบของสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย ตัวอย่าง.

เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง กฎหลักคือ การกระทำที่มีอำนาจหากปราศจากความรู้เกี่ยวกับการกระทำเหล่านี้ ก็จะไม่มีอะไรเกิดขึ้น

ในการดำเนินการกับองศา เราต้องเพิ่มการสังเกตส่วนบุคคลและความเฉลียวฉลาด เราต้องการเลขฐานเดียวกันหรือไม่? ดังนั้นเราจึงมองหาพวกเขาในตัวอย่างในรูปแบบที่ชัดเจนหรือเข้ารหัส

เรามาดูวิธีการทำในทางปฏิบัติ?

ให้เรายกตัวอย่าง:

2 2x - 8 x+1 = 0

แวบแรกที่ บริเวณพวกเขา... พวกเขาแตกต่างกัน! สองและแปด แต่มันเร็วเกินไปที่จะท้อแท้ ถึงเวลาต้องจำไว้

สองและแปดเป็นญาติกันในระดับปริญญา) ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะเขียน:

8 x+1 = (2 3) x+1

หากเราจำสูตรจากการกระทำที่มีอำนาจ:

(n) m = นาโนเมตร ,

โดยทั่วไปแล้วใช้งานได้ดี:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

ตัวอย่างเดิมมีลักษณะดังนี้:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

เราโอน 2 3 (x+1)ทางด้านขวา (ไม่มีใครยกเลิกการกระทำเบื้องต้นของคณิตศาสตร์!) เราได้รับ:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

นั่นคือทั้งหมดที่ การถอดฐาน:

เราแก้สัตว์ประหลาดตัวนี้และรับ

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

ในตัวอย่างนี้ การรู้ถึงพลังของทั้งสองช่วยเราได้ เรา ระบุในแปด ผีสางที่เข้ารหัส เทคนิคนี้ (การเข้ารหัสฐานทั่วไปภายใต้ตัวเลขต่างกัน) เป็นเคล็ดลับที่นิยมอย่างมากในสมการเลขชี้กำลัง! ใช่ แม้แต่ในลอการิทึม ต้องสามารถรับรู้พลังของตัวเลขอื่น ๆ เป็นตัวเลขได้ นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง

ความจริงก็คือการเพิ่มจำนวนใด ๆ ให้กับกำลังใด ๆ นั้นไม่ใช่ปัญหา ทวีคูณ แม้กระทั่งบนกระดาษ แค่นั้นเอง ตัวอย่างเช่น ทุกคนสามารถยกกำลัง 3 ยกกำลัง 5 ได้ 243 จะกลายเป็นถ้าคุณรู้ตารางการคูณ) แต่ในสมการเลขชี้กำลังบ่อยครั้งมากขึ้นไม่จำเป็นต้องยกกำลัง แต่ในทางกลับกัน ... เลขอะไร ขนาดไหนซ่อนอยู่หลังหมายเลข 243 หรือพูด 343... ไม่มีเครื่องคิดเลขที่จะช่วยคุณที่นี่

คุณต้องรู้พลังของตัวเลขบางตัวด้วยสายตา ใช่ ... เรามาฝึกกันไหม?

กำหนดว่าอำนาจใดและตัวเลขใดเป็นตัวเลข:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

คำตอบ (แน่นอน!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

หากมองใกล้จะมองเห็น ข้อเท็จจริงที่แปลกประหลาด. มีคำตอบมากกว่าคำถาม! มันเกิดขึ้น... ตัวอย่างเช่น 2 6 , 4 3 , 8 2 คือ 64 ทั้งหมด

สมมติว่าคุณได้จดบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับความคุ้นเคยกับตัวเลขแล้ว) ฉันขอเตือนคุณว่าเราใช้สำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง ทั้งหมดนี้คลังความรู้ทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งจากชนชั้นกลางตอนล่าง คุณไม่ได้ตรงไปโรงเรียนมัธยมใช่ไหม?

ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง การใส่ตัวประกอบร่วมในวงเล็บมักจะช่วยได้มาก (สวัสดีถึงเกรด 7!) มาดูตัวอย่างกัน:

3 2x+4 -11 9 x = 210

และอีกครั้งกับลุคแรก - บนสนาม! ฐานขององศาต่างกัน ... สามและเก้า และเราต้องการให้พวกเขาเหมือนกัน ในกรณีนี้ความปรารถนาค่อนข้างเป็นไปได้!) เพราะ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

ตามกฎเดียวกันสำหรับการกระทำที่มีองศา:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

เยี่ยมมาก คุณสามารถเขียน:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แล้วยังไงต่อ!? สามไม่สามารถโยนออก ... ทางตัน?

ไม่เลย. จดจำกฎการตัดสินใจที่เป็นสากลและทรงพลังที่สุด ทั้งหมดงานคณิตศาสตร์:

ถ้าไม่รู้จะทำอะไรก็ทำไปเลย!

คุณดูทุกอย่างเกิดขึ้น)

อะไรอยู่ในสมการเลขชี้กำลังนี้ สามารถทำ? ใช่ ทางซ้ายขอวงเล็บโดยตรง! ปัจจัยทั่วไปของ 3 2x บ่งบอกถึงสิ่งนี้อย่างชัดเจน มาลองดูกัน แล้วเราจะเห็นว่า:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

ตัวอย่างดีขึ้นเรื่อยๆ!

เราจำได้ว่าเพื่อที่จะกำจัดฐาน เราจำเป็นต้องมีระดับบริสุทธิ์ โดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ เลข 70 กวนใจเรา เราหารสมการทั้งสองข้างด้วย 70 เราจะได้:

โอปป้า! ทุกอย่างเป็นไปด้วยดี!

นี่คือคำตอบสุดท้าย

อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นที่การแล่นออกนอกพื้นที่เดียวกัน แต่การชำระบัญชีไม่ได้เกิดขึ้น สิ่งนี้เกิดขึ้นในสมการเลขชี้กำลังประเภทอื่น มาประเภทนี้กันเถอะ

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.

มาแก้สมการกัน:

4 x - 3 2 x +2 = 0

ครั้งแรก - ตามปกติ ไปที่ฐานกันเถอะ ไปที่ผีสาง

4 x = (2 2) x = 2 2x

เราได้รับสมการ:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

และที่นี่เราจะแขวน เทคนิคก่อนหน้านี้จะไม่ทำงาน ไม่ว่าคุณจะหมุนอย่างไร เราจะต้องได้รับจากคลังแสงของวิธีที่มีประสิทธิภาพและหลากหลายวิธีอื่น ก็เรียกว่า การแทนที่ตัวแปร

สาระสำคัญของวิธีการนั้นง่ายอย่างน่าประหลาดใจ แทนที่จะเป็นหนึ่งไอคอนที่ซับซ้อน (ในกรณีของเราคือ 2 x) เราเขียนอีกอันหนึ่งที่ง่ายกว่า (เช่น t) การแทนที่ที่ดูเหมือนไร้ความหมายเช่นนี้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์!) ทุกอย่างชัดเจนและเข้าใจได้!

ดังนั้นให้

จากนั้น 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

เราแทนที่สมการกำลังทั้งหมดด้วย x ด้วย t:

ตื่นแล้วเหรอ?) สมการกำลังสองยังไม่ลืม? เราแก้ไขผ่านการเลือกปฏิบัติ เราได้รับ:

ที่นี่สิ่งสำคัญคือไม่หยุดเมื่อมันเกิดขึ้น ... นี่ไม่ใช่คำตอบเราต้องการ x ไม่ใช่ t เรากลับไปที่ Xs นั่นคือ ทำการทดแทน ครั้งแรกสำหรับเสื้อ 1:

นั่นคือ,

พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:

อืม... ซ้าย 2 x ขวา 1... มีปัญหา? ใช่ไม่เลย! ก็เพียงพอแล้วที่จะจำ (จากการกระทำที่มีองศาใช่ ... ) ว่าความสามัคคีคือ ใดๆตัวเลขเป็นศูนย์ ใดๆ. สิ่งที่คุณต้องการ เราจัดให้ เราต้องการสอง วิธี:

ตอนนี้นั่นคือทั้งหมด มี 2 ​​ราก:

นี่คือคำตอบ

ที่ การแก้สมการเลขชี้กำลังในตอนท้ายบางครั้งมีการแสดงออกที่น่าอึดอัดใจ พิมพ์:

จากเจ็ดคนผีผ่านระดับง่าย ๆ ไม่ทำงาน พวกเขาไม่ใช่ญาติ ... ฉันจะอยู่ที่นี่ได้อย่างไร บางคนอาจสับสน ... แต่ผู้ที่อ่านหัวข้อ "ลอการิทึมคืออะไร" ในไซต์นี้ ยิ้มเท่าที่จำเป็นและจดคำตอบที่ถูกต้องอย่างแน่นอน:

ไม่มีคำตอบดังกล่าวในงาน "B" ในการสอบ มีจำนวนเฉพาะที่ต้องการ แต่ในงาน "C" - ได้อย่างง่ายดาย

บทเรียนนี้แสดงตัวอย่างการแก้สมการเลขชี้กำลังที่พบบ่อยที่สุด มาเน้นที่ตัวหลักกัน

เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. ก่อนอื่นเราดูที่ บริเวณองศา มาดูกันว่าทำไม่ได้ เหมือน.ลองทำสิ่งนี้โดยใช้อย่างแข็งขัน การกระทำที่มีอำนาจอย่าลืมว่าตัวเลขที่ไม่มี x ก็เปลี่ยนเป็นองศาได้เช่นกัน!

2. เราพยายามนำสมการเลขชี้กำลังมาอยู่ในรูปเมื่อด้านซ้ายและขวาเป็น เหมือนตัวเลขในระดับใดก็ได้ เราใช้ การกระทำที่มีอำนาจและ การแยกตัวประกอบสิ่งที่สามารถนับเป็นตัวเลขได้ - เรานับ

3. หากคำแนะนำที่สองไม่ได้ผล เราพยายามใช้การแทนที่ตัวแปร ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นสมการที่แก้ได้ง่าย บ่อยที่สุด - สี่เหลี่ยม หรือเศษส่วนซึ่งยังลดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

4. ในการแก้สมการเลขชี้กำลังให้สำเร็จ คุณต้องรู้องศาของตัวเลขบางตัว "จากการมอง"

ตามปกติ เมื่อสิ้นสุดบทเรียน คุณจะได้รับเชิญให้แก้ไขเล็กน้อย) ด้วยตัวคุณเอง จากง่ายไปซับซ้อน

แก้สมการเลขชี้กำลัง:

ยากขึ้น:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

ค้นหาผลิตภัณฑ์จากราก:

2 3-x + 2 x = 9

เกิดขึ้น?

ตัวอย่างที่ซับซ้อนที่สุด (แต่ในใจ ... ได้รับการแก้ไขแล้ว):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

อะไรน่าสนใจกว่ากัน? นี่เป็นตัวอย่างที่ไม่ดีสำหรับคุณ ค่อนข้างดึงยากขึ้น ฉันจะบอกใบ้ว่าในตัวอย่างนี้ ความเฉลียวฉลาดและที่สุด กฎสากลปัญหาคณิตศาสตร์ทั้งหมด)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

ตัวอย่างง่ายกว่าเพื่อการผ่อนคลาย):

9 2 x - 4 3 x = 0

และสำหรับขนม หาผลรวมของรากของสมการ:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

ใช่ ๆ! นี่คือสมการแบบผสม! ซึ่งเราไม่ได้พิจารณาในบทเรียนนี้ และสิ่งที่ต้องพิจารณาพวกเขาจะต้องแก้ไข!) บทเรียนนี้ค่อนข้างเพียงพอที่จะแก้สมการ ต้องใช้ความเฉลียวฉลาด ... และใช่เกรดเจ็ดจะช่วยคุณได้ (นี่เป็นคำใบ้!)

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค):

หนึ่ง; 2; 3; สี่; ไม่มีวิธีแก้ปัญหา 2; -2; -5; สี่; 0.

ทุกอย่างประสบความสำเร็จหรือไม่? ยอดเยี่ยม.

มีปัญหา? ไม่มีปัญหา! ในส่วนพิเศษ 555 สมการเลขชี้กำลังเหล่านี้ได้รับการแก้ไขพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด อะไร ทำไม และทำไม และแน่นอนว่ายังมีข้อมูลที่มีค่าเพิ่มเติมเกี่ยวกับการทำงานกับสมการเลขชี้กำลังทุกประเภท ไม่เพียงแต่กับสิ่งเหล่านี้)

คำถามสุดท้ายที่น่าพิจารณา ในบทนี้ เราทำงานกับสมการเลขชี้กำลัง ทำไมฉันไม่พูดอะไรเกี่ยวกับ ODZ ที่นี่ในสมการนี่เป็นสิ่งสำคัญมาก อย่างไรก็ตาม ...

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์