ด้วยความช่วยเหลือของภาษาใด ๆ คุณสามารถแสดงข้อมูลเดียวกันในคำและวลีที่แตกต่างกัน ภาษาคณิตศาสตร์ก็ไม่มีข้อยกเว้น แต่นิพจน์เดียวกันสามารถเขียนได้หลายวิธี และในบางสถานการณ์ รายการใดรายการหนึ่งจะง่ายกว่า เราจะพูดถึงการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นในบทเรียนนี้

ผู้คนสื่อสารด้วยภาษาต่างๆ สำหรับเรา การเปรียบเทียบที่สำคัญคือคู่ "ภาษารัสเซีย - ภาษาคณิตศาสตร์" ข้อมูลเดียวกันสามารถรายงานในภาษาต่างๆ ได้ แต่นอกเหนือจากนี้ยังสามารถออกเสียงได้แตกต่างกันในภาษาเดียว

ตัวอย่างเช่น: "Peter เป็นเพื่อนกับ Vasya", "Vasya เป็นเพื่อนกับ Petya", "Peter และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" พูดต่างกัน แต่เป็นอันเดียวกัน ด้วยวลีเหล่านี้ เราจะเข้าใจว่าอะไรคือความเสี่ยง

ลองดูวลีนี้: "เด็กชาย Petya และเด็กชาย Vasya เป็นเพื่อนกัน" เราเข้าใจดีว่าอะไรคือความเสี่ยง อย่างไรก็ตามเราไม่ชอบเสียงของวลีนี้ เราทำให้มันง่ายขึ้น พูดเหมือนเดิม แต่เรียบง่ายกว่านี้ไม่ได้หรือ "เด็กชายและเด็กชาย" - คุณสามารถพูดได้ครั้งเดียว: "Boys Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน"

"เด็กผู้ชาย" ... จากชื่อไม่ชัดเจนเหรอว่าพวกเขาไม่ใช่เด็กผู้หญิง เราลบ "เด็กผู้ชาย": "Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" และคำว่า "เพื่อน" สามารถแทนที่ด้วย "เพื่อน": "Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" เป็นผลให้วลีแรกยาวและน่าเกลียดถูกแทนที่ด้วยข้อความที่เทียบเท่าซึ่งพูดได้ง่ายกว่าและเข้าใจได้ง่ายกว่า เราได้ทำให้วลีนี้ง่ายขึ้น พูดให้ง่ายขึ้น คือ พูดให้ง่ายขึ้น แต่ไม่ให้เสีย ไม่ให้ความหมายผิดเพี้ยนไป

สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นในภาษาคณิตศาสตร์ สิ่งเดียวกันสามารถพูดได้แตกต่างกัน การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นหมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าสำหรับนิพจน์ดั้งเดิม มีนิพจน์ที่เทียบเท่ากันจำนวนมาก นั่นคือ นิพจน์ที่มีความหมายเหมือนกัน และจากจำนวนทั้งหมดนี้ เราต้องเลือกสิ่งที่ง่ายที่สุดในความเห็นของเรา หรือสิ่งที่เหมาะสมที่สุดสำหรับจุดประสงค์ต่อไปของเรา

ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ตัวเลข จะเทียบเท่ากับ

มันจะเทียบเท่ากับสองอันแรกด้วย: .

ปรากฎว่าเราได้ทำให้นิพจน์ของเราง่ายขึ้นและพบนิพจน์ที่เทียบเท่าที่สั้นที่สุด

สำหรับ นิพจน์ตัวเลขคุณต้องดำเนินการทั้งหมดและรับนิพจน์ที่เทียบเท่าเป็นตัวเลขเดียวเสมอ

พิจารณาตัวอย่างการแสดงออกตามตัวอักษร . แน่นอน มันจะง่ายขึ้น

เมื่อทำให้นิพจน์ตามตัวอักษรง่ายขึ้น คุณต้องดำเนินการทั้งหมดที่เป็นไปได้

จำเป็นต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์เสมอหรือไม่? ไม่ บางครั้งสัญกรณ์ที่เทียบเท่าแต่ยาวกว่าจะสะดวกกว่าสำหรับเรา

ตัวอย่าง: ลบจำนวนออกจากจำนวน

เป็นไปได้ที่จะคำนวณ แต่ถ้าตัวเลขแรกแสดงด้วยสัญกรณ์เทียบเท่า: การคำนวณจะเป็นแบบทันที:

นั่นคือ นิพจน์อย่างง่ายไม่ได้มีประโยชน์เสมอไปสำหรับเราในการคำนวณเพิ่มเติม

อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่เราต้องเผชิญกับงานที่ฟังดูเหมือน "ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น"

ลดความซับซ้อนของนิพจน์: .

การตัดสินใจ

1) ดำเนินการในวงเล็บที่หนึ่งและสอง: .

2) คำนวณผลิตภัณฑ์: .

เห็นได้ชัดว่านิพจน์สุดท้ายมีรูปแบบที่เรียบง่ายกว่านิพจน์เริ่มต้น เราได้ทำให้มันง่ายขึ้น

เพื่อให้นิพจน์ง่ายขึ้น ต้องแทนที่ด้วยค่าเท่ากัน (equal)

ในการกำหนดนิพจน์ที่เทียบเท่า คุณต้อง:

1) ดำเนินการทุกอย่างที่เป็นไปได้

2) ใช้คุณสมบัติของการบวก การลบ การคูณและการหารเพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

คุณสมบัติของการบวกและการลบ:

1. คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก: ผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงจากการจัดเรียงข้อกำหนดใหม่

2. คุณสมบัติร่วมของการบวก: ในการบวกเลขตัวที่สามเข้ากับผลรวมของเลขสองตัว คุณสามารถบวกเลขตัวที่สองและสามกับเลขตัวแรกได้

3. คุณสมบัติของการลบผลบวกจากตัวเลข: ในการลบผลรวมจากตัวเลข คุณสามารถลบทีละพจน์

คุณสมบัติของการคูณและการหาร

1. สมบัติการสลับที่ของการคูณ: ผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงจากการเรียงสับเปลี่ยนของปัจจัย

2. คุณสมบัติเชื่อมโยง: ในการคูณจำนวนด้วยผลคูณของตัวเลขสองตัว คุณต้องคูณด้วยตัวประกอบตัวแรก แล้วจึงคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยตัวประกอบตัวที่สอง

3. คุณสมบัติการแจกแจงของการคูณ: ในการคูณจำนวนด้วยผลรวม คุณต้องคูณแต่ละพจน์แยกกัน

มาดูกันว่าแท้จริงแล้วเราคิดเลขทางจิตอย่างไร

คำนวณ:

การตัดสินใจ

1) ลองนึกดูว่า

2) แทนตัวคูณแรกเป็นผลรวมของบิตและดำเนินการคูณ:

3) คุณสามารถจินตนาการถึงวิธีการและทำการคูณ:

4) แทนที่ตัวประกอบตัวแรกด้วยผลรวมที่เท่ากัน:

กฎการกระจายยังสามารถใช้ในทิศทางตรงกันข้าม:

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1) 2)

การตัดสินใจ

1) เพื่อความสะดวก คุณสามารถใช้กฎการกระจายได้ เพียงใช้ในทิศทางตรงกันข้าม - นำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ

2) ลองแยกตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

จำเป็นต้องซื้อเสื่อน้ำมันในห้องครัวและโถงทางเดิน พื้นที่ครัว-โถงทางเดิน-. เสื่อน้ำมันมีสามประเภท: สำหรับและรูเบิลสำหรับ จะคนละเท่าไหร่ สามประเภทเสื่อน้ำมัน? (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ภาพประกอบสำหรับสภาพของปัญหา

การตัดสินใจ

วิธีที่ 1 คุณสามารถหาจำนวนเงินที่ต้องใช้ในการซื้อเสื่อน้ำมันในห้องครัวแยกจากกันจากนั้นเพิ่มลงในโถงทางเดินและเพิ่มผลงานที่ได้

การทำให้นิพจน์พีชคณิตง่ายขึ้นเป็นหนึ่งในนั้น ประเด็นสำคัญการเรียนรู้พีชคณิตและทักษะที่มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับนักคณิตศาสตร์ทุกคน การทำให้เข้าใจง่ายช่วยให้คุณลดนิพจน์ที่ซับซ้อนหรือยาวเป็นนิพจน์ธรรมดาที่ใช้งานได้ง่าย ทักษะการทำให้เข้าใจง่ายขั้นพื้นฐานเป็นสิ่งที่ดีแม้สำหรับผู้ที่ไม่กระตือรือร้นเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ เก็บไว้บ้าง กฎง่ายๆคุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิตที่พบได้บ่อยที่สุดโดยไม่ต้องมีความรู้ทางคณิตศาสตร์เป็นพิเศษ

ขั้นตอน

คำจำกัดความที่สำคัญ

1. สมาชิกที่คล้ายกันเหล่านี้คือสมาชิกที่มีตัวแปรในลำดับเดียวกัน สมาชิกที่มีตัวแปรเดียวกัน หรือสมาชิกอิสระ (สมาชิกที่ไม่มีตัวแปร) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เช่น คำรวมตัวแปรหนึ่งตัวในระดับเดียวกัน รวมตัวแปรที่เหมือนกันหลายตัว หรือไม่รวมตัวแปรเลย ลำดับของเงื่อนไขในนิพจน์ไม่สำคัญ

   • ตัวอย่างเช่น 3x 2 และ 4x 2 เป็นเหมือนเงื่อนไขเพราะมีตัวแปร "x" ของลำดับที่สอง (ในกำลังสอง) อย่างไรก็ตาม x และ x 2 ไม่ใช่สมาชิกที่คล้ายกัน เนื่องจากพวกมันมีตัวแปร "x" ของคำสั่งที่แตกต่างกัน (ตัวที่หนึ่งและตัวที่สอง) ในทำนองเดียวกัน -3yx และ 5xz ไม่ใช่สมาชิกที่คล้ายกันเพราะมีตัวแปรต่างกัน

2. การแยกตัวประกอบ.นี่คือการค้นหาตัวเลขดังกล่าว ซึ่งผลคูณของตัวเลขดังกล่าวจะนำไปสู่หมายเลขเดิม จำนวนเดิมสามารถมีได้หลายปัจจัย ตัวอย่างเช่น เลข 12 สามารถแยกย่อยได้เป็นตัวประกอบต่อไปนี้: 1 × 12, 2 × 6 และ 3 × 4 เราจึงกล่าวได้ว่าตัวเลข 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 เป็นตัวประกอบของ หมายเลข 12 ตัวประกอบจะเหมือนกับตัวหาร นั่นคือตัวเลขที่หารด้วยจำนวนเดิม

   • เช่น ถ้าคุณต้องการแยกตัวประกอบของเลข 20 ให้เขียนดังนี้ 4×5.
   • โปรดทราบว่าเมื่อแยกตัวประกอบ ตัวแปรจะถูกนำมาพิจารณาด้วย ตัวอย่างเช่น 20x = 4(5x).
   • จำนวนเฉพาะไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เนื่องจากหารด้วยตัวมันเองและ 1 ลงตัวเท่านั้น

3. จดจำและปฏิบัติตามคำสั่งการปฏิบัติงานเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด

   • วงเล็บ
   • ระดับ
   • การคูณ
   • แผนก
   • ส่วนที่เพิ่มเข้าไป
   • การลบ

   แคสติ้งไลค์เมมเบอร์

   1. เขียนนิพจน์นิพจน์พีชคณิตที่ง่ายที่สุด (ซึ่งไม่มีเศษส่วน ราก และอื่นๆ) สามารถแก้ไขได้ (ทำให้ง่ายขึ้น) ในไม่กี่ขั้นตอน

      • ตัวอย่างเช่น ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. กำหนดสมาชิกที่คล้ายกัน (สมาชิกที่มีตัวแปรลำดับเดียวกัน สมาชิกที่มีตัวแปรเดียวกัน หรือสมาชิกอิสระ)

      • ค้นหาคำที่คล้ายกันในนิพจน์นี้ เงื่อนไข 2x และ 4x มีตัวแปรลำดับเดียวกัน (ตัวแรก) นอกจากนี้ 1 และ -3 เป็นสมาชิกอิสระ (ไม่มีตัวแปร) ดังนั้น ในนิพจน์นี้ ศัพท์ 2x และ 4xมีความคล้ายคลึงกันและสมาชิก 1 และ -3ก็คล้ายกัน

   3. ให้สมาชิกที่คล้ายกัน.ซึ่งหมายถึงการเพิ่มหรือลบและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

      • 2x+4x= 6 เท่า
      • 1 - 3 = -2

   4. เขียนนิพจน์ใหม่โดยคำนึงถึงเงื่อนไขที่กำหนดคุณจะได้นิพจน์ง่ายๆ ที่มีเงื่อนไขน้อยลง นิพจน์ใหม่เท่ากับต้นฉบับ

      • ในตัวอย่างของเรา: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2นั่นคือ นิพจน์ดั้งเดิมถูกทำให้เรียบง่ายและใช้งานได้ง่ายขึ้น

   5. สังเกตลำดับการดำเนินการเมื่อมีการส่งคำที่คล้ายกันในตัวอย่างของเรา การนำคำศัพท์ที่คล้ายกันมาใช้นั้นเป็นเรื่องง่าย อย่างไรก็ตาม ในกรณีของนิพจน์ที่ซับซ้อนซึ่งมีสมาชิกอยู่ในวงเล็บและเศษส่วนและรากศัพท์ การนำคำศัพท์ดังกล่าวมานั้นไม่ใช่เรื่องง่าย ในกรณีเหล่านี้ ให้ปฏิบัติตามคำสั่งของการดำเนินการ

      • ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x ในที่นี้ อาจเป็นความผิดพลาดที่จะกำหนด 3x และ 2x เป็นเงื่อนไขที่เหมือนกันในทันทีและอ้างถึงพวกมัน เพราะก่อนอื่นคุณต้องขยายวงเล็บ ดังนั้นให้ดำเนินการตามลำดับ
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x ตอนนี้เมื่อนิพจน์ประกอบด้วยการดำเนินการบวกและการลบเท่านั้น คุณสามารถใช้คำที่คล้ายกันได้
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   วงเล็บตัวคูณ

   1. ค้นหาตัวหารร่วมมาก (gcd) ของค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของนิพจน์ GCD เป็นจำนวนที่มากที่สุดซึ่งนำค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของนิพจน์มาหารลงตัว

      • ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการ 9x 2 + 27x - 3 ในกรณีนี้ gcd=3 เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ ของนิพจน์นี้หารด้วย 3 ลงตัว

   2. หารพจน์แต่ละพจน์ด้วย gcdผลลัพธ์ที่ได้จะมีค่าสัมประสิทธิ์น้อยกว่าในนิพจน์เดิม

      • ในตัวอย่างของเรา หารพจน์แต่ละพจน์ด้วย 3
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • มันเปิดออกการแสดงออก 3x2 + 9x-1. มันไม่เท่ากับสำนวนเดิม

   3. เขียนนิพจน์เดิมเท่ากับผลคูณของ gcd คูณนิพจน์ผลลัพธ์นั่นคือ ใส่นิพจน์ผลลัพธ์ในวงเล็บ และใส่ GCD ออกจากวงเล็บ

      • ในตัวอย่างของเรา: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. ลดความซับซ้อนของนิพจน์เศษส่วนโดยนำตัวคูณออกจากวงเล็บทำไมถึงเอาตัวคูณออกจากวงเล็บอย่างที่เคยทำก่อนหน้านี้? จากนั้นเพื่อเรียนรู้วิธีลดความซับซ้อน การแสดงออกที่ซับซ้อนเช่นนิพจน์เศษส่วน ในกรณีนี้ การใส่ตัวประกอบออกจากวงเล็บสามารถช่วยกำจัดเศษส่วน (จากตัวส่วน) ได้

      • ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์เศษส่วน (9x 2 + 27x - 3)/3 ใช้วงเล็บเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์นี้
        • แยกตัวประกอบ 3 ออกมา (อย่างที่คุณเคยทำ): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • โปรดทราบว่าทั้งตัวเศษและตัวส่วนตอนนี้มีเลข 3 ซึ่งสามารถลดลงได้ และคุณจะได้นิพจน์: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • เนื่องจากเศษส่วนใดๆ ที่มีเลข 1 ในตัวส่วนจะเท่ากับตัวเศษ นิพจน์เศษส่วนดั้งเดิมจึงถูกทำให้ง่ายขึ้นเป็น: 3x2 + 9x-1.

   เทคนิคการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติม

4. พิจารณาตัวอย่างง่ายๆ: √(90) เลข 90 สามารถแยกเป็นตัวประกอบได้ดังนี้ 9 และ 10 และจากสารสกัด 9 ตัว รากที่สอง(3) และนำ 3 ออกจากใต้ราก
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นด้วยพลังในบางนิพจน์ มีการดำเนินการคูณหรือหารพจน์ที่มีดีกรี ในกรณีของการคูณพจน์ด้วยฐานเดียว องศาของพวกมันจะถูกเพิ่ม ในกรณีของการหารพจน์ที่มีฐานเดียวกัน องศาของพจน์นั้นจะถูกลบออก

   • ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15) ในกรณีของการคูณ ให้เพิ่มเลขยกกำลัง และในกรณีของการหาร ให้ลบออก
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายกฎสำหรับการคูณและหารพจน์ที่มีดีกรี
     • การคูณพจน์ที่ยกกำลังจะเท่ากับการคูณพจน์ด้วยตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก x 3 = x × x × x และ x 5 = x × x × x × x × x ดังนั้น x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) หรือ x 8
     • ในทำนองเดียวกัน การหารพจน์ด้วยกำลังก็เท่ากับการหารพจน์ด้วยตัวมันเอง x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x) เนื่องจากพจน์ที่คล้ายกันที่อยู่ในทั้งเศษและส่วนสามารถลดลงได้ ผลคูณของ "x" สองตัวหรือ x 2 จึงยังคงอยู่ในตัวเศษ

• ระวังเครื่องหมาย (บวกหรือลบ) ไว้หน้าเงื่อนไขของนิพจน์เสมอ เนื่องจากหลายคนมีปัญหาในการเลือกเครื่องหมายที่ถูกต้อง
• ขอความช่วยเหลือหากจำเป็น!
• การปรับนิพจน์พีชคณิตให้ง่ายขึ้นนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย แต่ถ้าคุณลงมือทำ คุณสามารถใช้ทักษะนี้ไปตลอดชีวิต

นิพจน์ การแปลงนิพจน์

การแสดงพลัง (การแสดงออกที่มีพลัง) และการเปลี่ยนแปลง

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงการแปลงนิพจน์ด้วยพลัง ขั้นแรก เราจะมุ่งเน้นไปที่การแปลงที่ทำด้วยนิพจน์ชนิดใดๆ รวมถึงนิพจน์ยกกำลัง เช่น วงเล็บเปิด การลดคำที่คล้ายกัน จากนั้นเราจะวิเคราะห์การแปลงที่เกิดขึ้นโดยเฉพาะในนิพจน์ที่มีองศา: การทำงานกับฐานและเลขยกกำลัง การใช้คุณสมบัติขององศา เป็นต้น

การนำทางหน้า

การแสดงออกของพลังคืออะไร?

คำว่า "การแสดงพลัง" นั้นแทบไม่พบในหนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตร์ แต่มักจะปรากฏในชุดของปัญหา ซึ่งออกแบบมาเพื่อเตรียมสอบ Unified State และ OGE โดยเฉพาะ หลังจากวิเคราะห์งานที่จำเป็นต้องดำเนินการใด ๆ กับนิพจน์กำลัง เป็นที่ชัดเจนว่านิพจน์กำลังถูกเข้าใจว่าเป็นนิพจน์ที่มีองศาในรายการ ดังนั้นสำหรับตัวคุณเองคุณสามารถใช้คำจำกัดความต่อไปนี้:

คำนิยาม.

การแสดงออกของพลังเป็นการแสดงออกที่มีอำนาจ

มาเลย ตัวอย่างของการแสดงพลัง. ยิ่งไปกว่านั้น เราจะนำเสนอพวกเขาตามพัฒนาการของมุมมองจากระดับที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติไปจนถึงระดับที่มีตัวบ่งชี้จริงเกิดขึ้น

อย่างที่คุณทราบ ขั้นแรกให้คุณทำความคุ้นเคยกับระดับของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ ในขั้นตอนนี้ การแสดงพลังที่ง่ายที่สุดประเภทแรก 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 เป็นต้น

หลังจากนั้นไม่นาน มีการศึกษากำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ซึ่งนำไปสู่การปรากฏของนิพจน์ยกกำลังที่มีกำลังจำนวนเต็มลบ ดังต่อไปนี้: 3 −2, , ก −2 +2 ข −3 + ค 2

ในชั้นเรียนอาวุโสพวกเขากลับไปที่องศาอีกครั้ง มีการแนะนำระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นเหตุเป็นผลซึ่งนำไปสู่การปรากฏของนิพจน์พลังงานที่สอดคล้องกัน: , , เป็นต้น สุดท้าย องศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะและนิพจน์ที่มีเลขชี้กำลังจะพิจารณา: , .

เรื่องไม่ได้จำกัดอยู่แค่การแสดงพลังที่ระบุไว้: ต่อไปตัวแปรจะแทรกซึมเข้าไปในเลขชี้กำลังและมี ตัวอย่างเช่น นิพจน์ดังกล่าว 2 x 2 +1 หรือ . และหลังจากทำความคุ้นเคยแล้ว นิพจน์ที่มีกำลังและลอการิทึมเริ่มปรากฏขึ้น เช่น x 2 lgx −5 x lgx

ดังนั้นเราจึงพบคำถามว่าการแสดงออกของพลังคืออะไร ต่อไปเราจะเรียนรู้วิธีแปลงร่าง

ประเภทหลักของการแปลงการแสดงออกของพลัง

ด้วย Power Expression คุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์พื้นฐานของนิพจน์ได้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถขยายวงเล็บ แทนที่นิพจน์ตัวเลขด้วยค่าของมัน เพิ่มคำที่เหมือนกัน และอื่นๆ ในกรณีนี้จำเป็นต้องปฏิบัติตามขั้นตอนที่ยอมรับสำหรับการดำเนินการ ลองยกตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของนิพจน์กำลัง 2 3 ·(4 2 −12) .

การตัดสินใจ.

ตามลำดับของการกระทำ เราจะดำเนินการในวงเล็บก่อน ที่นั่น ประการแรก เราแทนที่กำลังของ 4 2 ด้วยค่าของมัน 16 (ดูว่าจำเป็นหรือไม่) และประการที่สอง เราคำนวณความแตกต่าง 16−12=4 . เรามี 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราแทนที่กำลังของ 2 3 ด้วยค่าของมัน 8 หลังจากนั้นเราจะคำนวณผลคูณ 8·4=32 นี่คือค่าที่ต้องการ

ดังนั้น, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

ตอบ:

2 3 (4 2 −12)=32 .

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงพลัง 3 ก 4 ข −7 −1+2 ก 4 ข −7.

การตัดสินใจ.

เห็นได้ชัดว่า นิพจน์นี้มีคำที่คล้ายกัน 3 · a 4 · b − 7 และ 2 · a 4 · b − 7 และเราสามารถย่อคำเหล่านี้:

ตอบ:

3 ก 4 ข −7 −1+2 ก 4 ข −7 =5 ก 4 ข −7 −1.

ตัวอย่าง.

แสดงการแสดงออกที่มีอำนาจเป็นผลิตภัณฑ์

การตัดสินใจ.

ในการรับมือกับงานอนุญาตให้แสดงหมายเลข 9 เป็นกำลังของ 3 2 และการใช้สูตรการคูณแบบย่อในภายหลังผลต่างของกำลังสอง:

ตอบ:

นอกจากนี้ยังมีการแปลงที่เหมือนกันจำนวนหนึ่งซึ่งมีอยู่ในการแสดงออกของพลัง ต่อไปเราจะวิเคราะห์พวกเขา

การทำงานกับฐานและเลขยกกำลัง

มีองศาในพื้นฐานและ / หรือตัวบ่งชี้ที่ไม่ใช่แค่ตัวเลขหรือตัวแปร แต่เป็นนิพจน์ ตัวอย่างเช่น ลองเขียน (2+0.3 7) 5−3.7 และ (a (a+1)−a 2) 2 (x+1)

เมื่อทำงานกับนิพจน์ดังกล่าว คุณสามารถแทนที่ทั้งนิพจน์ในฐานของระดับและนิพจน์ในตัวบ่งชี้ด้วยนิพจน์ที่เท่ากันบน DPV ของตัวแปร กล่าวอีกนัยหนึ่งตามกฎที่เราทราบเราสามารถแปลงฐานของระดับแยกจากกันและแยกกัน - ตัวบ่งชี้ เป็นที่ชัดเจนว่าผลลัพธ์ของการเปลี่ยนแปลงนี้ทำให้ได้นิพจน์ที่เหมือนกันกับต้นฉบับ

การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวช่วยให้เราทำให้การแสดงออกด้วยพลังง่ายขึ้นหรือบรรลุเป้าหมายอื่น ๆ ที่เราต้องการ ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ยกกำลัง (2+0.3 7) 5−3.7 ที่กล่าวถึงข้างต้น คุณสามารถดำเนินการกับตัวเลขในฐานและเลขชี้กำลัง ซึ่งจะทำให้คุณสามารถยกกำลัง 4.1 1.3 ได้ และหลังจากเปิดวงเล็บและนำพจน์ที่เหมือนกันมาไว้ในฐานของดีกรี (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) เราก็จะได้พจน์ยกกำลังในรูปแบบที่ง่ายกว่า a 2·(x+1) ) .

การใช้คุณสมบัติพลังงาน

หนึ่งในเครื่องมือหลักสำหรับการแปลงนิพจน์ด้วยพลังคือความเท่าเทียมกันที่สะท้อนถึง ให้เราระลึกถึงสิ่งสำคัญ สำหรับจำนวนบวกใดๆ a และ b และจำนวนจริงตามอำเภอใจ r และ s คุณสมบัติยกกำลังต่อไปนี้จะคงอยู่:

• a r a s = a r+s ;
• r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

โปรดทราบว่าสำหรับเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และเลขชี้กำลังบวก ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวเลข a และ b อาจไม่เข้มงวดนัก ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับผลบวก a เท่านั้น แต่ยังรวมถึงผลลบด้วย และสำหรับ a=0

ที่โรงเรียน ความสนใจหลักในการแปลงการแสดงออกของพลังนั้นมุ่งเน้นไปที่ความสามารถในการเลือกคุณสมบัติที่เหมาะสมและนำไปใช้อย่างถูกต้อง ในกรณีนี้ ฐานขององศามักจะเป็นค่าบวก ซึ่งช่วยให้คุณใช้คุณสมบัติขององศาได้โดยไม่มีข้อจำกัด เช่นเดียวกับการแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรเป็นฐานขององศา - พื้นที่ของค่าที่อนุญาตไม่ได้ของตัวแปรมักจะเป็นเช่นนั้นบนฐานเท่านั้น ค่าบวกซึ่งทำให้คุณสามารถใช้คุณสมบัติขององศาได้อย่างอิสระ โดยทั่วไป คุณต้องถามตัวเองอยู่เสมอว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้คุณสมบัติขององศาในกรณีนี้ เนื่องจากการใช้คุณสมบัติที่ไม่ถูกต้องอาจทำให้ ODZ แคบลงและปัญหาอื่นๆ ประเด็นเหล่านี้จะกล่าวถึงในรายละเอียดและตัวอย่างในบทความ การแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติขององศา ที่นี่เราจำกัดตัวเองด้วยตัวอย่างง่ายๆ

ตัวอย่าง.

แสดงนิพจน์ a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 เป็นเลขยกกำลังที่มีฐาน a

การตัดสินใจ.

ขั้นแรก เราแปลงปัจจัยที่สอง (a 2) −3 ด้วยคุณสมบัติของการเพิ่มกำลังให้เป็นกำลัง: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. ในกรณีนี้ การแสดงพลังเริ่มต้นจะอยู่ในรูปแบบ a 2.5 ·a −6:a −5.5 เห็นได้ชัดว่ายังคงใช้คุณสมบัติการคูณและหารเลขยกกำลังด้วยฐานเดิมที่เรามี
ก 2.5 ก -6:ก -5.5 =
ก 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
ก −3.5−(−5.5) =a 2 .

ตอบ:

ก 2.5 (ก 2) -3:ก -5.5 \u003d ก 2.

คุณสมบัติยกกำลังจะใช้เมื่อแปลงนิพจน์ยกกำลังทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าของนิพจน์ยกกำลัง

การตัดสินใจ.

ความเท่าเทียมกัน (a·b) r =a r ·b r ใช้จากขวาไปซ้าย ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากนิพจน์ดั้งเดิมเป็นผลิตภัณฑ์ของแบบฟอร์มและอื่นๆ และเมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้จะรวมกัน: .

เป็นไปได้ที่จะดำเนินการแปลงนิพจน์ดั้งเดิมด้วยวิธีอื่น:

ตอบ:

.

ตัวอย่าง.

กำหนดนิพจน์ยกกำลัง a 1.5 −a 0.5 −6 ให้ป้อนตัวแปรใหม่ t=a 0.5

การตัดสินใจ.

ระดับ a 1.5 สามารถแสดงเป็น 0.5 3 และต่อไปตามคุณสมบัติของระดับในระดับ (a r) s =a r s ที่ใช้จากขวาไปซ้าย แปลงเป็นรูปแบบ (a 0.5) 3 . ดังนั้น, ก 1.5 -ก 0.5 -6=(ก 0.5) 3 -ก 0.5 -6. ตอนนี้มันง่ายที่จะแนะนำตัวแปรใหม่ t=a 0.5 เราได้รับ t 3 −t−6

ตอบ:

เสื้อ 3 −t−6 .

การแปลงเศษส่วนที่มีเลขยกกำลัง

นิพจน์ยกกำลังสามารถมีเศษส่วนที่มีกำลังหรือแทนเศษส่วนดังกล่าวได้ การแปลงเศษส่วนพื้นฐานใดๆ ที่มีอยู่ในเศษส่วนใดๆ นั่นคือ เศษส่วนที่มีองศาสามารถลดลง ลดลงเป็นตัวส่วนใหม่ ทำงานแยกกันกับตัวเศษและแยกกันกับตัวส่วน เป็นต้น เพื่อแสดงคำข้างต้น ให้พิจารณาคำตอบของตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงพลัง .

การตัดสินใจ.

การแสดงพลังนี้เป็นเศษส่วน ลองใช้ตัวเศษและตัวส่วนกัน ในตัวเศษ เราเปิดวงเล็บและทำให้นิพจน์ที่ได้รับหลังจากนั้นง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของเลขยกกำลัง และในส่วนที่เราแสดงคำที่คล้ายกัน:

และเรายังเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวส่วนโดยวางเครื่องหมายลบไว้หน้าเศษส่วน: .

ตอบ:

.

การลดเศษส่วนที่มีกำลังให้กับตัวส่วนใหม่นั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกับการลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะให้กับตัวส่วนใหม่ ในขณะเดียวกันก็พบปัจจัยเพิ่มเติมและคูณด้วยตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน เมื่อดำเนินการนี้ เป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การจดจำว่าการลดลงเป็นตัวส่วนใหม่อาจทำให้ DPV แคบลงได้ เพื่อป้องกันไม่ให้สิ่งนี้เกิดขึ้น จำเป็นที่ปัจจัยเพิ่มเติมจะไม่หายไปสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปรจากตัวแปร ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม

ตัวอย่าง.

นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนใหม่: a) หารด้วย a, b) ถึงตัวส่วน

การตัดสินใจ.

ก) ในกรณีนี้ มันค่อนข้างง่ายที่จะทราบว่าปัจจัยเพิ่มเติมใดที่ช่วยให้บรรลุผลลัพธ์ที่ต้องการ นี่คือตัวคูณ a 0.3 เนื่องจาก a 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a โปรดทราบว่าในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร a (นี่คือชุดของจำนวนจริงที่เป็นบวกทั้งหมด) ระดับ 0.3 จะไม่หายไป ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ที่จะคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด โดยปัจจัยเพิ่มเติมนี้:

b) เมื่อดูที่ตัวส่วนอย่างใกล้ชิดมากขึ้น เราพบว่า

และการคูณนิพจน์นี้ด้วยจะได้ผลรวมของลูกบาศก์ และ นั่นคือ และนี่คือตัวส่วนใหม่ที่เราต้องนำเศษส่วนเดิมมา

เราจึงพบปัจจัยเสริม นิพจน์ไม่หายไปในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร x และ y ดังนั้นเราสามารถคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนได้:

ตอบ:

ก) , ข) .

นอกจากนี้ยังไม่มีอะไรใหม่ในการลดเศษส่วนที่มีองศา: ตัวเศษและตัวส่วนจะแสดงเป็นตัวประกอบจำนวนหนึ่ง และตัวประกอบเดียวกันของตัวเศษและตัวส่วนจะลดลง

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วน: ก) , ข).

การตัดสินใจ.

ก) อย่างแรก ตัวเศษและตัวส่วนสามารถลดได้ด้วยตัวเลข 30 และ 45 ซึ่งเท่ากับ 15 เห็นได้ชัดว่าคุณสามารถลด x 0.5 +1 และโดย . นี่คือสิ่งที่เรามี:

ข) ในกรณีนี้ ปัจจัยเดียวกันในตัวเศษและตัวส่วนจะไม่สามารถมองเห็นได้ทันที คุณต้องทำการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นเพื่อให้ได้มา ในกรณีนี้จะประกอบด้วยการสลายตัวส่วนเป็นปัจจัยตามความแตกต่างของสูตรกำลังสอง:

ตอบ:

ก)

ข) .

การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนใหม่และการลดเศษส่วนส่วนใหญ่จะใช้เพื่อดำเนินการกับเศษส่วน การดำเนินการจะดำเนินการตามกฎที่ทราบ เมื่อบวก (ลบ) เศษส่วน เศษส่วนจะถูกลดให้เหลือส่วนร่วม หลังจากนั้นเศษจะถูกบวก (ลบ) และตัวส่วนจะยังคงเหมือนเดิม ผลลัพธ์คือเศษส่วนที่ตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนคือผลคูณของตัวส่วน การหารด้วยเศษส่วนคือการคูณด้วยส่วนกลับ

ตัวอย่าง.

ทำตามขั้นตอน .

การตัดสินใจ.

ขั้นแรก เราลบเศษส่วนในวงเล็บ ในการทำเช่นนี้ เรานำพวกมันมาเป็นตัวส่วนร่วม ซึ่งก็คือ แล้วลบตัวเศษ:

ตอนนี้เราคูณเศษส่วน:

เห็นได้ชัดว่าการลดกำลัง x 1/2 เป็นไปได้ หลังจากนั้นเราก็มี .

คุณยังสามารถลดความซับซ้อนของการแสดงพลังในตัวส่วนได้โดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง: .

ตอบ:

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงพลัง .

การตัดสินใจ.

เห็นได้ชัดว่า เศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ (x 2.7 +1) 2 ซึ่งให้เศษส่วนนี้ . ชัดเจนว่าต้องทำอย่างอื่นด้วยกำลังของ x ในการทำเช่นนี้ เราจะแปลงเศษส่วนผลลัพธ์เป็นผลคูณ สิ่งนี้เปิดโอกาสให้เราใช้คุณสมบัติของการแบ่งอำนาจที่มีฐานเดียวกัน: . และในตอนท้ายของกระบวนการ เราจะเปลี่ยนจากผลคูณสุดท้ายไปยังเศษส่วน

ตอบ:

.

และเราเพิ่มเติมว่าเป็นไปได้และในหลายกรณีเป็นที่น่าพอใจที่จะถ่ายโอนปัจจัยที่มีเลขยกกำลังเป็นลบจากตัวเศษไปยังตัวส่วนหรือจากตัวส่วนไปยังตัวเศษโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลัง การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมักจะทำให้การดำเนินการต่อไปง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น นิพจน์ยกกำลังสามารถแทนที่ด้วย

การแปลงนิพจน์ด้วยรากและเลขยกกำลัง

บ่อยครั้งในนิพจน์ที่ต้องการการแปลงบางอย่าง พร้อมด้วยองศาที่มีเลขยกกำลังเศษส่วน ก็มีรูตด้วย หากต้องการแปลงนิพจน์ดังกล่าวเป็นรูปแบบที่ต้องการ ในกรณีส่วนใหญ่ การไปที่รูทหรือพาวเวอร์เท่านั้นก็เพียงพอแล้ว แต่เนื่องจากสะดวกกว่าที่จะทำงานกับองศา พวกเขามักจะย้ายจากรากหนึ่งไปอีกองศาหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ขอแนะนำให้ดำเนินการเปลี่ยนดังกล่าวเมื่อ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมอนุญาตให้คุณแทนที่รากด้วยองศาโดยไม่จำเป็นต้องเข้าถึงโมดูลหรือแยก ODZ ออกเป็นหลายช่วง (เราได้กล่าวถึงรายละเอียดนี้ใน บทความ การเปลี่ยนจากรากเป็นอำนาจและในทางกลับกัน หลังจากทำความคุ้นเคยกับระดับที่มีเลขชี้กำลังที่มีเหตุผลแล้ว จะแนะนำระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัว ซึ่งทำให้สามารถพูดถึงระดับด้วยตัวบ่งชี้จริงโดยพลการได้ ในขั้นตอนนี้ โรงเรียนเริ่มเรียน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งได้รับการวิเคราะห์โดยระดับโดยมีตัวเลขเป็นพื้นฐานและในตัวบ่งชี้ - ตัวแปร ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับนิพจน์ยกกำลังที่มีตัวเลขในฐานของดีกรีและในเลขยกกำลัง - นิพจน์ที่มีตัวแปร และโดยธรรมชาติแล้วความจำเป็นในการแปลงนิพจน์ดังกล่าวจึงเกิดขึ้น

ควรกล่าวว่าการแปลงนิพจน์ของประเภทที่ระบุมักจะต้องทำเมื่อทำการแก้ไข สมการเลขชี้กำลังและ ความไม่เท่าเทียมกันแบบเอกซ์โปเนนเชียลและการแปลงเหล่านี้ค่อนข้างง่าย ในกรณีส่วนใหญ่ จะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของระดับและมุ่งเป้าไปที่การแนะนำตัวแปรใหม่ในอนาคตเป็นส่วนใหญ่ สมการจะช่วยให้เราสามารถแสดงให้เห็นได้ 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

ขั้นแรก เลขชี้กำลังซึ่งเลขชี้กำลังเป็นผลรวมของตัวแปรบางตัว (หรือนิพจน์ที่มีตัวแปร) และตัวเลขจะถูกแทนที่ด้วยผลคูณ สิ่งนี้ใช้กับพจน์แรกและพจน์สุดท้ายของนิพจน์ทางด้านซ้าย:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

ถัดไปความเท่าเทียมกันทั้งสองข้างถูกหารด้วยนิพจน์ 7 2 x ซึ่งใช้เฉพาะค่าบวกของตัวแปร ODZ x สำหรับสมการดั้งเดิม (นี่เป็นเทคนิคมาตรฐานสำหรับการแก้สมการประเภทนี้ เราไม่ได้พูดถึง ในตอนนี้ ดังนั้นให้โฟกัสที่การแปลงนิพจน์ที่มีพลังในภายหลัง ):

ตอนนี้เศษส่วนที่มีกำลังถูกยกเลิกซึ่งให้ .

ในที่สุด อัตราส่วนของกำลังที่มีเลขยกกำลังเท่ากันจะถูกแทนที่ด้วยกำลังของอัตราส่วน ซึ่งนำไปสู่สมการ ซึ่งเทียบเท่ากับ . การแปลงที่ดำเนินการช่วยให้เราสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งลดคำตอบของตัวแปรเดิม สมการเลขชี้กำลังในการแก้สมการกำลังสอง

ไอ. วี. โบอิคอฟ, แอล. ดี. โรมาโนวารวมงานเตรียมสอบ. ส่วนที่ 1 Penza 2546

ด้วยความช่วยเหลือของภาษาใด ๆ คุณสามารถแสดงข้อมูลเดียวกันในคำและวลีที่แตกต่างกัน ภาษาคณิตศาสตร์ก็ไม่มีข้อยกเว้น แต่นิพจน์เดียวกันสามารถเขียนได้หลายวิธี และในบางสถานการณ์ รายการใดรายการหนึ่งจะง่ายกว่า เราจะพูดถึงการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นในบทเรียนนี้

ผู้คนสื่อสารด้วยภาษาต่างๆ สำหรับเรา การเปรียบเทียบที่สำคัญคือคู่ "ภาษารัสเซีย - ภาษาคณิตศาสตร์" ข้อมูลเดียวกันสามารถรายงานในภาษาต่างๆ ได้ แต่นอกเหนือจากนี้ยังสามารถออกเสียงได้แตกต่างกันในภาษาเดียว

ตัวอย่างเช่น: "Peter เป็นเพื่อนกับ Vasya", "Vasya เป็นเพื่อนกับ Petya", "Peter และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" พูดต่างกัน แต่เป็นอันเดียวกัน ด้วยวลีเหล่านี้ เราจะเข้าใจว่าอะไรคือความเสี่ยง

ลองดูวลีนี้: "เด็กชาย Petya และเด็กชาย Vasya เป็นเพื่อนกัน" เราเข้าใจดีว่าอะไรคือความเสี่ยง อย่างไรก็ตามเราไม่ชอบเสียงของวลีนี้ เราทำให้มันง่ายขึ้น พูดเหมือนเดิม แต่เรียบง่ายกว่านี้ไม่ได้หรือ "เด็กชายและเด็กชาย" - คุณสามารถพูดได้ครั้งเดียว: "Boys Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน"

"เด็กผู้ชาย" ... จากชื่อไม่ชัดเจนเหรอว่าพวกเขาไม่ใช่เด็กผู้หญิง เราลบ "เด็กผู้ชาย": "Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" และคำว่า "เพื่อน" สามารถแทนที่ด้วย "เพื่อน": "Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" เป็นผลให้วลีแรกยาวและน่าเกลียดถูกแทนที่ด้วยข้อความที่เทียบเท่าซึ่งพูดได้ง่ายกว่าและเข้าใจได้ง่ายกว่า เราได้ทำให้วลีนี้ง่ายขึ้น พูดให้ง่ายขึ้น คือ พูดให้ง่ายขึ้น แต่ไม่ให้เสีย ไม่ให้ความหมายผิดเพี้ยนไป

สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นในภาษาคณิตศาสตร์ สิ่งเดียวกันสามารถพูดได้แตกต่างกัน การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นหมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าสำหรับนิพจน์ดั้งเดิม มีนิพจน์ที่เทียบเท่ากันจำนวนมาก นั่นคือ นิพจน์ที่มีความหมายเหมือนกัน และจากจำนวนทั้งหมดนี้ เราต้องเลือกสิ่งที่ง่ายที่สุดในความเห็นของเรา หรือสิ่งที่เหมาะสมที่สุดสำหรับจุดประสงค์ต่อไปของเรา

ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ตัวเลข จะเทียบเท่ากับ

มันจะเทียบเท่ากับสองอันแรกด้วย: .

ปรากฎว่าเราได้ทำให้นิพจน์ของเราง่ายขึ้นและพบนิพจน์ที่เทียบเท่าที่สั้นที่สุด

สำหรับนิพจน์ที่เป็นตัวเลข คุณต้องดำเนินการทั้งหมดและรับนิพจน์ที่เทียบเท่าเป็นตัวเลขเดียวเสมอ

พิจารณาตัวอย่างการแสดงออกตามตัวอักษร . แน่นอน มันจะง่ายขึ้น

เมื่อทำให้นิพจน์ตามตัวอักษรง่ายขึ้น คุณต้องดำเนินการทั้งหมดที่เป็นไปได้

จำเป็นต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์เสมอหรือไม่? ไม่ บางครั้งสัญกรณ์ที่เทียบเท่าแต่ยาวกว่าจะสะดวกกว่าสำหรับเรา

ตัวอย่าง: ลบจำนวนออกจากจำนวน

เป็นไปได้ที่จะคำนวณ แต่ถ้าตัวเลขแรกแสดงด้วยสัญกรณ์เทียบเท่า: การคำนวณจะเป็นแบบทันที:

นั่นคือ นิพจน์อย่างง่ายไม่ได้มีประโยชน์เสมอไปสำหรับเราในการคำนวณเพิ่มเติม

อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่เราต้องเผชิญกับงานที่ฟังดูเหมือน "ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น"

ลดความซับซ้อนของนิพจน์: .

การตัดสินใจ

1) ดำเนินการในวงเล็บที่หนึ่งและสอง: .

2) คำนวณผลิตภัณฑ์: .

เห็นได้ชัดว่านิพจน์สุดท้ายมีรูปแบบที่เรียบง่ายกว่านิพจน์เริ่มต้น เราได้ทำให้มันง่ายขึ้น

เพื่อให้นิพจน์ง่ายขึ้น ต้องแทนที่ด้วยค่าเท่ากัน (equal)

ในการกำหนดนิพจน์ที่เทียบเท่า คุณต้อง:

1) ดำเนินการทุกอย่างที่เป็นไปได้

2) ใช้คุณสมบัติของการบวก การลบ การคูณและการหารเพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

คุณสมบัติของการบวกและการลบ:

1. คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก: ผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงจากการจัดเรียงข้อกำหนดใหม่

2. คุณสมบัติร่วมของการบวก: ในการบวกเลขตัวที่สามเข้ากับผลรวมของเลขสองตัว คุณสามารถบวกเลขตัวที่สองและสามกับเลขตัวแรกได้

3. คุณสมบัติของการลบผลบวกจากตัวเลข: ในการลบผลรวมจากตัวเลข คุณสามารถลบทีละพจน์

คุณสมบัติของการคูณและการหาร

1. สมบัติการสลับที่ของการคูณ: ผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงจากการเรียงสับเปลี่ยนของปัจจัย

2. คุณสมบัติเชื่อมโยง: ในการคูณจำนวนด้วยผลคูณของตัวเลขสองตัว คุณต้องคูณด้วยตัวประกอบตัวแรก แล้วจึงคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยตัวประกอบตัวที่สอง

3. คุณสมบัติการแจกแจงของการคูณ: ในการคูณจำนวนด้วยผลรวม คุณต้องคูณแต่ละพจน์แยกกัน

มาดูกันว่าแท้จริงแล้วเราคิดเลขทางจิตอย่างไร

คำนวณ:

การตัดสินใจ

1) ลองนึกดูว่า

2) แทนตัวคูณแรกเป็นผลรวมของบิตและดำเนินการคูณ:

3) คุณสามารถจินตนาการถึงวิธีการและทำการคูณ:

4) แทนที่ตัวประกอบตัวแรกด้วยผลรวมที่เท่ากัน:

กฎการกระจายยังสามารถใช้ในทิศทางตรงกันข้าม:

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1) 2)

การตัดสินใจ

1) เพื่อความสะดวก คุณสามารถใช้กฎการกระจายได้ เพียงใช้ในทิศทางตรงกันข้าม - นำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ

2) ลองแยกตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

จำเป็นต้องซื้อเสื่อน้ำมันในห้องครัวและโถงทางเดิน พื้นที่ครัว-โถงทางเดิน-. เสื่อน้ำมันมีสามประเภท: สำหรับและรูเบิลสำหรับ เสื่อน้ำมันทั้ง 3 ประเภทราคาเท่าไหร่? (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ภาพประกอบสำหรับสภาพของปัญหา

การตัดสินใจ

วิธีที่ 1 คุณสามารถหาจำนวนเงินที่ต้องใช้ในการซื้อเสื่อน้ำมันในห้องครัวแยกจากกันจากนั้นเพิ่มลงในโถงทางเดินและเพิ่มผลงานที่ได้

เรามาพิจารณาหัวข้อการแปลงนิพจน์ด้วยเลขยกกำลัง แต่ก่อนอื่นเราจะพูดถึงการแปลงจำนวนหนึ่งที่สามารถทำได้ด้วยนิพจน์ใดๆ รวมถึงการแปลงเลขยกกำลังด้วย เราจะเรียนรู้วิธีการเปิดวงเล็บเหลี่ยม การให้เงื่อนไขที่เหมือนกัน การทำงานกับฐานและเลขยกกำลัง การใช้คุณสมบัติของเลขยกกำลัง

Yandex.RTB R-A-339285-1

การแสดงออกของพลังคืออะไร?

ในหลักสูตรของโรงเรียน มีเพียงไม่กี่คนที่ใช้วลี "การแสดงพลัง" แต่คำนี้พบได้เสมอในคอลเล็กชันสำหรับเตรียมสอบ ในกรณีส่วนใหญ่ วลีนี้แสดงถึงนิพจน์ที่มีดีกรีอยู่ในรายการ นี่คือสิ่งที่เราจะสะท้อนให้เห็นในนิยามของเรา

คำจำกัดความ 1

การแสดงออกของพลังเป็นนิพจน์ที่มีองศา

เราให้ตัวอย่างการแสดงออกของเลขยกกำลังหลายตัวอย่าง เริ่มต้นด้วยดีกรีที่มีเลขยกกำลังธรรมชาติและลงท้ายด้วยดีกรีที่มีเลขยกกำลังจริง

การแสดงพลังที่ง่ายที่สุดถือเป็นพลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + ก 2 , x 3 − 1 , (ก 2) 3 เช่นเดียวกับยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . และยกกำลังด้วยจำนวนเต็มลบ: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

การทำงานในระดับที่มีเลขชี้กำลังที่มีเหตุผลและไม่ลงตัวนั้นยากขึ้นเล็กน้อย: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 ก - 1 6 · ข 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

ตัวบ่งชี้สามารถเป็นตัวแปร 3 x - 54 - 7 3 x - 58 หรือลอการิทึม x 2 ล. g x − 5 x ล. x.

เราได้จัดการกับคำถามว่าการแสดงออกของพลังคืออะไร ทีนี้มาดูการเปลี่ยนแปลงของพวกมันกัน

ประเภทหลักของการแปลงการแสดงออกของพลัง

ก่อนอื่น เราจะพิจารณาการแปลงเอกลักษณ์พื้นฐานของนิพจน์ที่สามารถทำได้ด้วยการแสดงพลัง

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณค่าการแสดงออกของพลังงาน 2 3 (4 2 - 12).

การตัดสินใจ

เราจะดำเนินการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดตามลำดับการกระทำ ในกรณีนี้ เราจะเริ่มต้นด้วยการดำเนินการในวงเล็บ: เราจะแทนที่ระดับด้วยค่าดิจิทัลและคำนวณความแตกต่างระหว่างตัวเลขทั้งสอง เรามี 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

มันยังคงอยู่สำหรับเราที่จะแทนที่ปริญญา 2 3 ความหมายของมัน 8 และคำนวณสินค้า 8 4 = 32. นี่คือคำตอบของเรา

ตอบ: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

ตัวอย่างที่ 2

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้วยพลัง 3 ก 4 ข − 7 − 1 + 2 ก 4 ข − 7.

การตัดสินใจ

นิพจน์ที่ให้เราในเงื่อนไขของปัญหามีคำศัพท์ที่คล้ายกันซึ่งเราสามารถนำมา: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

ตอบ: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1

ตัวอย่างที่ 3

แสดงนิพจน์ที่ยกกำลัง 9 - b 3 · π - 1 2 เป็นผลคูณ

การตัดสินใจ

ให้เลข 9 เป็นตัวแทนของพลัง 3 2 และใช้สูตรคูณแบบย่อ:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

ตอบ: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

และตอนนี้ เรามาวิเคราะห์การแปลงที่เหมือนกันซึ่งสามารถนำไปใช้กับนิพจน์ยกกำลังได้โดยเฉพาะ

การทำงานกับฐานและเลขยกกำลัง

ระดับในฐานหรือเลขชี้กำลังสามารถมีตัวเลข ตัวแปร และนิพจน์บางอย่างได้ ตัวอย่างเช่น, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7และ . เป็นการยากที่จะทำงานกับบันทึกดังกล่าว มันง่ายกว่ามากที่จะแทนที่นิพจน์ในฐานขององศาหรือนิพจน์ในเลขยกกำลังด้วยนิพจน์ที่เท่ากัน

การเปลี่ยนแปลงของระดับและตัวบ่งชี้นั้นดำเนินการตามกฎที่เรารู้จักโดยแยกจากกัน สิ่งที่สำคัญที่สุดคือผลลัพธ์ของการแปลงจะได้นิพจน์ที่เหมือนกับต้นฉบับ

จุดประสงค์ของการแปลงคือเพื่อทำให้นิพจน์ดั้งเดิมง่ายขึ้นหรือเพื่อหาวิธีแก้ปัญหา ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่เราให้ไว้ข้างต้น (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 คุณสามารถดำเนินการเพื่อไปยังระดับ 4 , 1 1 , 3 . เมื่อเปิดวงเล็บ เราสามารถนำพจน์ที่เหมือนกันมาไว้ในฐานของดีกรีได้ (ก (ก + 1) − ก 2) 2 (x + 1)และรับการแสดงพลังในรูปแบบที่เรียบง่าย ก 2 (x + 1).

การใช้คุณสมบัติพลังงาน

คุณสมบัติขององศาที่เขียนเป็นความเท่าเทียมกันเป็นหนึ่งในเครื่องมือหลักสำหรับการแปลงนิพจน์ด้วยองศา เรานำเสนอสิ่งสำคัญที่นี่โดยพิจารณาจากสิ่งนั้น กและ ขแต่อย่างใด ตัวเลขที่เป็นบวก, ก รและ ส- จำนวนจริงโดยพลการ:

คำจำกัดความ 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r - s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

ในกรณีที่เรากำลังจัดการกับเลขธรรมชาติ จำนวนเต็ม เลขยกกำลังบวก ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวเลข a และ b อาจเข้มงวดน้อยกว่ามาก ตัวอย่างเช่น ถ้าเราพิจารณาถึงความเท่าเทียมกัน a m a n = a m + n, ที่ไหน มและ น – จำนวนเต็มมันจะเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ a ทั้งบวกและลบรวมถึงสำหรับ เอ = 0.

คุณสามารถใช้คุณสมบัติขององศาได้โดยไม่มีข้อ จำกัด ในกรณีที่ฐานขององศาเป็นบวกหรือมีตัวแปรที่มีช่วงของค่าที่ยอมรับได้ซึ่งฐานจะใช้เฉพาะค่าบวกเท่านั้น ในความเป็นจริงภายใต้กรอบของหลักสูตรโรงเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ หน้าที่ของนักเรียนคือการเลือก คุณสมบัติที่เหมาะสมและการใช้งานที่ถูกต้อง

เมื่อเตรียมตัวเข้ามหาวิทยาลัย อาจมีงานที่การใช้คุณสมบัติที่ไม่ถูกต้องจะทำให้ ODZ แคบลงและปัญหาอื่น ๆ ในการแก้ปัญหา ในส่วนนี้เราจะพิจารณาเพียงสองกรณีดังกล่าว ข้อมูลมากกว่านี้ในคำถามสามารถพบได้ในหัวข้อ "การแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของเลขยกกำลัง"

ตัวอย่างที่ 4

เป็นตัวแทนของการแสดงออก ก 2 , 5 (ก 2) - 3: ก - 5 , 5เป็นองศาที่มีฐาน ก.

การตัดสินใจ

ในการเริ่มต้น เราใช้คุณสมบัติการยกกำลังและแปลงปัจจัยที่สองโดยใช้คุณสมบัตินั้น (ก 2) - 3. จากนั้นเราก็ใช้คุณสมบัติของการคูณและการหารเลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกันคือ

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = ก 2 .

ตอบ:ก 2 , 5 (ก 2) − 3: ก − 5 , 5 = ก 2

การแปลงพจน์ของเลขยกกำลังตามคุณสมบัติขององศาสามารถทำได้ทั้งจากซ้ายไปขวาและในทิศทางตรงกันข้าม

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาค่าของนิพจน์ยกกำลัง 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

การตัดสินใจ

หากเราใช้ความเท่าเทียมกัน (a b) r = a r b rจากขวาไปซ้ายเราจะได้ผลคูณของแบบฟอร์ม 3 7 1 3 21 2 3 แล้ว 21 1 3 21 2 3 . มาเพิ่มเลขชี้กำลังเมื่อทำการคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21

มีอีกวิธีในการแปลง:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

ตอบ: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

ตัวอย่างที่ 6

ให้การแสดงออกที่มีอำนาจ ก 1 , 5 − ก 0 , 5 − 6ให้ป้อนตัวแปรใหม่ เสื้อ = 0 , 5.

การตัดสินใจ

ลองนึกภาพปริญญา ก 1 , 5ยังไง ก 0 , 5 3. การใช้คุณสมบัติองศาในระดับ (a r) s = a r sจากขวาไปซ้ายและรับ (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . ในนิพจน์ผลลัพธ์ คุณสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ได้อย่างง่ายดาย เสื้อ = 0 , 5: รับ เสื้อ 3 − เสื้อ − 6.

ตอบ:เสื้อ 3 − เสื้อ − 6

การแปลงเศษส่วนที่มีเลขยกกำลัง

เรามักจะจัดการกับนิพจน์กำลังสองแบบที่มีเศษส่วน: นิพจน์คือเศษส่วนที่มีดีกรีหรือมีเศษส่วนดังกล่าว การแปลงเศษส่วนพื้นฐานทั้งหมดใช้ได้กับนิพจน์ดังกล่าวโดยไม่มีข้อจำกัด พวกเขาสามารถลดลงนำมาที่ส่วนใหม่ทำงานแยกกันกับเศษและส่วน ลองอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 7

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ยกกำลัง 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2

การตัดสินใจ

เรากำลังจัดการกับเศษส่วน ดังนั้นเราจะทำการแปลงทั้งตัวเศษและตัวส่วน:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

ใส่เครื่องหมายลบหน้าเศษส่วนเพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวส่วน: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

ตอบ: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

เศษส่วนที่มีกำลังจะถูกลดให้เป็นตัวส่วนใหม่ในลักษณะเดียวกับเศษส่วนตรรกยะ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องหาตัวประกอบเพิ่มเติมและคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน จำเป็นต้องเลือกปัจจัยเพิ่มเติมในลักษณะที่ไม่หายไปสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรจากตัวแปร ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม

ตัวอย่างที่ 8

นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนใหม่ a) a + 1 a 0, 7 เป็นตัวส่วน ก, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 ถึงตัวส่วน x + 8 y 1 2 .

การตัดสินใจ

ก) เราเลือกปัจจัยที่จะทำให้เราสามารถลดส่วนใหม่ได้ ก 0 , 7 ก 0 , 3 = ก 0 , 7 + 0 , 3 = ก ,ดังนั้นเราจึงใช้เป็นปัจจัยเสริม 0 , 3. ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร a รวมถึงชุดของจำนวนจริงที่เป็นบวกทั้งหมด ในบริเวณนี้ระดับ 0 , 3ไม่ไปที่ศูนย์

คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย 0 , 3:

ก + 1 ก 0, 7 = ก + 1 ก 0, 3 ก 0, 7 ก 0, 3 = ก + 1 ก 0, 3 ก

b) ให้ความสนใจกับตัวส่วน:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

คูณนิพจน์นี้ด้วย x 1 3 + 2 · y 1 6 เราได้ผลรวมของลูกบาศก์ x 1 3 และ 2 · y 1 6 เช่น x + 8 · y 1 2 . นี่คือตัวส่วนใหม่ของเรา ซึ่งเราต้องนำเศษส่วนเดิมมา

เราจึงพบตัวประกอบเพิ่มเติม x 1 3 + 2 · y 1 6 . ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร xและ ยนิพจน์ x 1 3 + 2 y 1 6 ไม่หายไป เราจึงนำเศษส่วนมาคูณกันได้:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

ตอบ:ก) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 ปี 1 2 .

ตัวอย่างที่ 9

ลดเศษส่วน: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - ข 1 4 ก 1 2 - ข 1 2.

การตัดสินใจ

ก) ใช้ตัวหารร่วมมาก (GCD) ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนสามารถลดลงได้ สำหรับหมายเลข 30 และ 45 นี่คือ 15 เราสามารถลดได้ด้วย x 0 , 5 + 1และบน x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

เราได้รับ:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) การปรากฏตัวของปัจจัยที่เหมือนกันไม่ชัดเจน คุณจะต้องทำการแปลงบางอย่างเพื่อให้ได้ตัวประกอบที่เท่ากันในตัวเศษและตัวส่วน ในการทำเช่นนี้ เราขยายส่วนโดยใช้สูตรความแตกต่างของกำลังสอง:

ก 1 4 - ข 1 4 ก 1 2 - ข 1 2 = ก 1 4 - ข 1 4 ก 1 4 2 - ข 1 2 2 = = ก 1 4 - ข 1 4 ก 1 4 + ข 1 4 ก 1 4 - ข 1 4 = 1 ก 1 4 + ข 1 4

ตอบ:ก) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , ข) ก 1 4 - ข 1 4 ก 1 2 - ข 1 2 = 1 ก 1 4 + ข 1 4 .

การดำเนินการหลักกับเศษส่วนรวมถึงการลดส่วนใหม่และการลดเศษส่วน การดำเนินการทั้งสองดำเนินการตามกฎหลายข้อ เมื่อบวกและลบเศษส่วน เศษส่วนจะถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วมก่อน หลังจากนั้นจึงดำเนินการ (การบวกหรือการลบ) ด้วยตัวเศษ ตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม ผลลัพธ์ของการกระทำของเราคือเศษส่วนใหม่ ซึ่งตัวเศษคือผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนคือผลคูณของตัวส่วน

ตัวอย่างที่ 10

ทำตามขั้นตอน x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

การตัดสินใจ

เริ่มต้นด้วยการลบเศษส่วนที่อยู่ในวงเล็บ ลองนำมาหารร่วมกัน:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

ลองลบตัวเศษ:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

ตอนนี้เราคูณเศษส่วน:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

ลดระดับลงกันเถอะ x 1 2, เราได้ 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

นอกจากนี้ คุณสามารถทำให้การแสดงพลังในตัวส่วนง่ายขึ้นโดยใช้สูตรหาผลต่างของกำลังสอง: กำลังสอง: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1

ตอบ: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

ตัวอย่างที่ 11

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ยกกำลัง x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3
การตัดสินใจ

เราลดเศษส่วนลงได้ (x 2 , 7 + 1) 2. เราได้เศษส่วน x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1

มาแปลง x ยกกำลัง x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 กันต่อ ตอนนี้คุณสามารถใช้คุณสมบัติการแบ่งกำลังกับฐานเดียวกัน: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

เราส่งผ่านจากผลคูณสุดท้ายไปยังเศษส่วน x 1 3 8 x 2, 7 + 1

ตอบ: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1

ในกรณีส่วนใหญ่ จะสะดวกกว่าในการโอนตัวคูณที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจากตัวเศษไปยังตัวส่วน และในทางกลับกันโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลัง การดำเนินการนี้ทำให้การตัดสินใจครั้งต่อไปง่ายขึ้น ลองยกตัวอย่าง: นิพจน์ยกกำลัง (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 สามารถแทนที่ด้วย x 3 · (x + 1) 0 , 2

การแปลงนิพจน์ด้วยรากและเลขยกกำลัง

ในงาน มีการแสดงพลังที่ไม่เพียงประกอบด้วยองศาที่มีเลขยกกำลังเศษส่วนเท่านั้น แต่ยังมีรูทด้วย เป็นที่พึงปรารถนาที่จะลดการแสดงออกดังกล่าวเฉพาะรากหรืออำนาจเท่านั้น การเปลี่ยนไปใช้องศาจะดีกว่าเนื่องจากง่ายต่อการใช้งาน การเปลี่ยนดังกล่าวเป็นข้อได้เปรียบโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ DPV ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมทำให้คุณสามารถแทนที่รากด้วยกำลังโดยไม่ต้องเข้าถึงโมดูลัสหรือแยก DPV ออกเป็นหลายช่วง

ตัวอย่างที่ 12

แสดงนิพจน์ x 1 9 x x 3 6 เป็นเลขยกกำลัง

การตัดสินใจ

ช่วงที่ถูกต้องของตัวแปร xถูกกำหนดโดยอสมการสองตัว x ≥ 0และ x · x 3 ≥ 0 ซึ่งกำหนดเซต [ 0 , + ∞) .

ในฉากนี้ เรามีสิทธิ์ที่จะย้ายจากรากสู่อำนาจ:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

การใช้คุณสมบัติขององศา เราลดความซับซ้อนของนิพจน์กำลังผลลัพธ์

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

ตอบ: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

การแปลงกำลังด้วยตัวแปรในเลขยกกำลัง

การแปลงเหล่านี้ค่อนข้างง่ายหากคุณใช้คุณสมบัติของระดับอย่างถูกต้อง ตัวอย่างเช่น, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

เราสามารถแทนที่ผลคูณของระดับโดยพบผลรวมของตัวแปรและตัวเลข ทางด้านซ้าย สามารถทำได้ด้วยพจน์แรกและพจน์สุดท้ายทางด้านซ้ายของนิพจน์:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0

ทีนี้ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 7 2 x. นิพจน์นี้ใน ODZ ของตัวแปร x รับเฉพาะค่าบวก:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

ลองลดเศษส่วนด้วยพลัง เราได้รับ: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

สุดท้าย อัตราส่วนของกำลังที่มีเลขยกกำลังเดียวกันจะถูกแทนที่ด้วยกำลังของอัตราส่วน ซึ่งนำไปสู่สมการ 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 ซึ่งเท่ากับ 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

เราแนะนำตัวแปรใหม่ t = 5 7 x ซึ่งลดคำตอบของสมการเอกซ์โพเนนเชียลดั้งเดิมลงในคำตอบ สมการกำลังสอง 5 เสื้อ 2 − 3 เสื้อ − 2 = 0

การแปลงนิพจน์ด้วยกำลังและลอการิทึม

นิพจน์ที่มีกำลังและลอการิทึมยังพบในปัญหา ตัวอย่างของนิพจน์ดังกล่าว ได้แก่ 1 4 1 - 5 log 2 3 หรือ log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . การแปลงนิพจน์ดังกล่าวดำเนินการโดยใช้วิธีการที่กล่าวถึงข้างต้นและคุณสมบัติของลอการิทึม ซึ่งเราได้วิเคราะห์โดยละเอียดในหัวข้อ "การแปลงนิพจน์ลอการิทึม"

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter