อัลฟ่าหมายถึงจำนวนจริง เครื่องหมายเท่ากับในนิพจน์ด้านบนระบุว่าหากคุณเพิ่มตัวเลขหรืออนันต์ให้กับอนันต์ ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ผลลัพธ์จะเป็นอนันต์เดียวกัน หากเรานำชุดจำนวนธรรมชาติอนันต์มาเป็นตัวอย่าง ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแสดงได้ดังนี้:

เพื่อพิสูจน์กรณีของพวกเขาด้วยสายตา นักคณิตศาสตร์ได้คิดค้นวิธีการต่างๆ มากมาย โดยส่วนตัวแล้ว ฉันมองว่าวิธีการทั้งหมดนี้เป็นการเต้นรำของหมอผีกับรำมะนา โดยพื้นฐานแล้ว พวกเขาทั้งหมดมาจากความจริงที่ว่าห้องพักบางห้องไม่ได้ถูกครอบครองและมีแขกใหม่เข้ามาตั้งรกราก หรือแขกบางคนถูกโยนออกไปที่ทางเดินเพื่อให้มีที่ว่างสำหรับแขก (อย่างมนุษย์ปุถุชน) ฉันนำเสนอมุมมองของฉันเกี่ยวกับการตัดสินใจดังกล่าวในรูปแบบของเรื่องราวที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับสาวผมบลอนด์ เหตุผลของฉันขึ้นอยู่กับอะไร? การย้ายผู้เยี่ยมชมจำนวนไม่ จำกัด ต้องใช้เวลาเป็นอนันต์ หลังจากที่เราออกจากห้องพักแขกห้องแรกแล้ว ผู้เยี่ยมชมคนหนึ่งจะเดินไปตามทางเดินจากห้องของเขาไปยังห้องถัดไปจนกว่าจะหมดเวลา แน่นอน ปัจจัยด้านเวลาสามารถเพิกเฉยอย่างโง่เขลาได้ แต่สิ่งนี้จะมาจากหมวดหมู่ของ "กฎหมายไม่ได้เขียนขึ้นสำหรับคนโง่" ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรากำลังทำ: การปรับความเป็นจริงให้เป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หรือในทางกลับกัน

"โรงแรมไม่มีที่สิ้นสุด" คืออะไร? อินน์แบบอินฟินิตี้คือโรงแรมขนาดเล็กที่มีจำนวนตำแหน่งว่างเสมอ ไม่ว่าจะมีห้องว่างกี่ห้องก็ตาม หากห้องทั้งหมดในโถงทางเดินที่ไม่มีที่สิ้นสุด "สำหรับผู้มาเยี่ยม" ถูกครอบครอง มีโถงทางเดินที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกแห่งที่มีห้องสำหรับ "แขก" จะมีทางเดินดังกล่าวจำนวนไม่สิ้นสุด ในเวลาเดียวกัน "โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด" มีจำนวนชั้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดในอาคารจำนวนไม่สิ้นสุดบนดาวเคราะห์จำนวนอนันต์ในจักรวาลจำนวนอนันต์ที่สร้างขึ้นโดยพระเจ้าจำนวนอนันต์ ในทางกลับกัน นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถย้ายออกจากปัญหาซ้ำซากจำเจ: พระเจ้าอัลลอฮ์ - พระพุทธเจ้าเป็นหนึ่งเดียวเสมอ โรงแรมเป็นหนึ่ง ทางเดินเป็นเพียงแห่งเดียว ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงพยายามเล่นปาหี่เลขลำดับของห้องพักในโรงแรม ทำให้เราเชื่อว่าเป็นไปได้ที่จะ "ผลักห้องที่ไม่ได้ผลัก"

ฉันจะแสดงให้เห็นตรรกะของการให้เหตุผลของฉันกับคุณโดยใช้ตัวอย่างชุดจำนวนธรรมชาติอนันต์ ก่อนอื่น คุณต้องตอบคำถามง่ายๆ ก่อน: มีชุดจำนวนธรรมชาติกี่ชุด - หนึ่งชุดหรือหลายชุด ไม่มีคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามนี้ เนื่องจากเราเป็นผู้คิดค้นตัวเลขขึ้นมาเอง จึงไม่มีตัวเลขในธรรมชาติ ใช่ ธรรมชาติรู้วิธีนับอย่างสมบูรณ์แบบ แต่สำหรับสิ่งนี้ เธอใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่เราไม่คุ้นเคย ตามที่ธรรมชาติคิด ฉันจะบอกคุณอีกครั้ง เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลข เราเองจะเป็นผู้กำหนดจำนวนธรรมชาติที่มีอยู่จำนวนกี่ชุด พิจารณาทั้งสองทางเลือก เนื่องจากเหมาะสมกับนักวิทยาศาสตร์ตัวจริง

ตัวเลือกที่หนึ่ง "ให้เราได้รับ" ชุดตัวเลขธรรมชาติชุดเดียวที่วางอยู่บนหิ้งอย่างสงบ เรานำชุดนี้จากชั้นวาง แค่นั้นแหละ ไม่มีตัวเลขธรรมชาติอื่น ๆ เหลืออยู่บนหิ้งและไม่มีที่ไหนเลยที่จะนำไปใช้ เราไม่สามารถเพิ่มหนึ่งชุดในชุดนี้ เนื่องจากเรามีอยู่แล้ว ถ้าคุณต้องการจริงๆ? ไม่มีปัญหา. เราสามารถนำหน่วยจากชุดที่เราถ่ายไปแล้วกลับไปที่หิ้งได้ หลังจากนั้นเราสามารถนำหน่วยจากชั้นวางและเพิ่มไปยังสิ่งที่เราเหลือได้ เป็นผลให้เราได้รับชุดจำนวนธรรมชาติที่ไม่สิ้นสุดอีกครั้ง คุณสามารถเขียนการปรับเปลี่ยนทั้งหมดของเราดังนี้:

ฉันได้เขียนการดำเนินการในรูปแบบพีชคณิตและสัญกรณ์ทฤษฎีเซต โดยแสดงรายการองค์ประกอบของเซตอย่างละเอียด ตัวห้อยระบุว่าเรามีชุดตัวเลขธรรมชาติชุดเดียวเท่านั้น ปรากฎว่าชุดของจำนวนธรรมชาติจะไม่เปลี่ยนแปลงก็ต่อเมื่อถูกลบออกจากมันและเพิ่มจำนวนเดียวกัน

ตัวเลือกที่สอง เรามีชุดตัวเลขธรรมชาติมากมายหลายชุดบนหิ้ง ฉันขอเน้นย้ำว่า - แตกต่างแม้ว่าจะแยกไม่ออกก็ตาม เราใช้หนึ่งในชุดเหล่านี้ จากนั้นเราก็นำตัวเลขธรรมชาติชุดหนึ่งมาบวกกับชุดที่เราถ่ายไปแล้ว เรายังบวกจำนวนธรรมชาติสองชุดได้อีกด้วย นี่คือสิ่งที่เราจะได้:

ตัวห้อย "หนึ่ง" และ "สอง" ระบุว่าองค์ประกอบเหล่านี้เป็นของชุดที่ต่างกัน ใช่ หากคุณเพิ่มชุดหนึ่งไปยังชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด ผลลัพธ์จะเป็นชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดด้วย แต่จะไม่เหมือนกับชุดเดิม หากมีการเพิ่มชุดอนันต์อื่นในชุดอนันต์ชุดหนึ่ง ผลลัพธ์คือชุดอนันต์ชุดใหม่ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบของสองชุดแรก

ชุดของจำนวนธรรมชาติใช้สำหรับการนับในลักษณะเดียวกับไม้บรรทัดสำหรับการวัด ทีนี้ลองนึกภาพว่าคุณได้บวกหนึ่งเซนติเมตรเข้ากับไม้บรรทัด นี่จะเป็นบรรทัดอื่นแล้วไม่เท่ากับของเดิม

คุณสามารถยอมรับหรือไม่ยอมรับเหตุผลของฉัน - นี่คือธุรกิจของคุณเอง แต่ถ้าคุณประสบปัญหาทางคณิตศาสตร์ ให้พิจารณาว่าคุณกำลังอยู่บนเส้นทางของการใช้เหตุผลผิดๆ หรือไม่ ซึ่งถูกเหยียบย่ำโดยนักคณิตศาสตร์รุ่นต่อรุ่น ท้ายที่สุด ชั้นเรียนคณิตศาสตร์ อย่างแรกเลย สร้างแบบแผนที่มั่นคงของการคิดในตัวเรา จากนั้นจึงเพิ่มความสามารถทางจิตให้กับเรา (หรือในทางกลับกัน พวกเขากีดกันการคิดอย่างอิสระ)

วันอาทิตย์ที่ 4 สิงหาคม 2019

ฉันกำลังเขียนบทความเกี่ยวกับบทความเกี่ยวกับและเห็นข้อความที่ยอดเยี่ยมนี้ใน Wikipedia:

เราอ่านว่า: "... พื้นฐานทางทฤษฎีที่ร่ำรวยของคณิตศาสตร์แบบบาบิโลนไม่มีคุณลักษณะแบบองค์รวมและถูกลดทอนเป็นชุดของเทคนิคที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบทั่วไปและฐานหลักฐาน"

ว้าว! เราฉลาดแค่ไหน และมองเห็นข้อบกพร่องของผู้อื่นได้ดีเพียงใด การที่เรามองคณิตศาสตร์สมัยใหม่ในบริบทเดียวกันนั้นเป็นเรื่องที่อ่อนแอหรือไม่? ถอดความข้อความข้างต้นเล็กน้อยโดยส่วนตัวแล้วฉันได้รับสิ่งต่อไปนี้:

พื้นฐานทางทฤษฎีที่เข้มข้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ไม่ได้มีลักษณะแบบองค์รวมและถูกลดขนาดให้เป็นชุดของส่วนต่างๆ ที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบทั่วไปและฐานหลักฐาน

ฉันจะไม่ไปไกลเพื่อยืนยันคำพูดของฉัน - มันมีภาษาและอนุสัญญาที่แตกต่างจากภาษาและอนุสัญญาของสาขาคณิตศาสตร์อื่น ๆ อีกมากมาย ชื่อเดียวกันในสาขาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันสามารถมีความหมายต่างกัน ฉันต้องการอุทิศวงจรการตีพิมพ์ทั้งหมดให้กับความผิดพลาดที่ชัดเจนที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เจอกันเร็วๆนี้.

วันเสาร์ที่ 3 สิงหาคม 2019

จะแบ่งเซตออกเป็นเซตย่อยได้อย่างไร? ในการทำเช่นนี้ คุณต้องป้อนหน่วยวัดใหม่ ซึ่งมีอยู่ในองค์ประกอบบางอย่างของชุดที่เลือก ขอ​พิจารณา​ตัว​อย่าง.

ขอให้มีกันเยอะๆนะครับ แต่ประกอบด้วยสี่คน ชุดนี้สร้างขึ้นบนพื้นฐานของ "คน" มากำหนดองค์ประกอบของชุดนี้ผ่านตัวอักษร เอตัวห้อยที่มีตัวเลขจะแสดงเลขลำดับของแต่ละคนในชุดนี้ ขอแนะนำหน่วยวัดใหม่ "ลักษณะทางเพศ" และแสดงด้วยตัวอักษร ข. เนื่องจากลักษณะทางเพศมีอยู่ในทุกคน เราจึงคูณแต่ละองค์ประกอบของชุด แต่เกี่ยวกับเพศ ข. สังเกตว่าชุด "คน" ของเราตอนนี้กลายเป็นชุด "คนที่มีเพศ" แล้ว หลังจากนั้นเราสามารถแบ่งลักษณะทางเพศเป็นเพศชายได้ bmและของผู้หญิง bwลักษณะทางเพศ ตอนนี้ เราสามารถใช้ตัวกรองทางคณิตศาสตร์ได้: เราเลือกลักษณะทางเพศอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ ไม่สำคัญว่าตัวผู้หรือตัวเมียตัวใด หากมีอยู่ในบุคคล เราก็คูณมันด้วยหนึ่ง ถ้าไม่มีเครื่องหมายดังกล่าว เราจะคูณมันด้วยศูนย์ แล้วเราก็ใช้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนตามปกติ ดูสิ่งที่เกิดขึ้น

หลังจากการคูณ การลดลง และการจัดเรียงใหม่ เราได้เซตย่อยสองชุด: เซตย่อยเพศผู้ bmและส่วนย่อยของผู้หญิง bw. ในทำนองเดียวกันนักคณิตศาสตร์ให้เหตุผลเมื่อพวกเขาใช้ทฤษฎีเซตในทางปฏิบัติ แต่พวกเขาไม่ให้เราลงรายละเอียด แต่ให้ผลลัพธ์ที่สมบูรณ์แก่เรา - "ผู้คนจำนวนมากประกอบด้วยกลุ่มย่อยของผู้ชายและกลุ่มย่อยของผู้หญิง" โดยปกติคุณอาจมีคำถามว่าคณิตศาสตร์ประยุกต์ในการแปลงข้างต้นได้ถูกต้องเพียงใด? ฉันกล้ารับรองกับคุณว่าอันที่จริงการแปลงนั้นทำถูกต้องแล้ว การรู้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ของเลขคณิต พีชคณิตบูลีน และส่วนอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ก็เพียงพอแล้ว มันคืออะไร? คราวหน้าจะเล่าให้ฟังค่ะ

สำหรับ supersets เป็นไปได้ที่จะรวมสองชุดเป็น superset เดียวโดยการเลือกหน่วยการวัดที่มีอยู่ในองค์ประกอบของสองชุดนี้

อย่างที่คุณเห็น หน่วยวัดและคณิตศาสตร์ทั่วไปทำให้ทฤษฎีเซตกลายเป็นอดีตไปแล้ว สัญญาณที่บ่งบอกว่าทฤษฎีเซตนั้นไม่ดีนักก็คือว่าสำหรับทฤษฎีเซตนั้น นักคณิตศาสตร์ได้คิดค้น ภาษาของตัวเองและการกำหนดของตัวเอง นักคณิตศาสตร์ทำในสิ่งที่หมอผีเคยทำ หมอผีเท่านั้นที่รู้วิธี "ใช้" "ความรู้" ของตนอย่างถูกต้อง "ความรู้" นี้สอนเรา

สุดท้ายนี้ ฉันต้องการแสดงให้คุณเห็นว่านักคณิตศาสตร์จัดการอย่างไร

วันจันทร์ที่ 7 มกราคม 2019

ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสตกาล นักปรัชญาชาวกรีกชื่อ Zeno แห่ง Elea ได้คิดค้น aporias ที่มีชื่อเสียงของเขา ซึ่งมีชื่อเสียงมากที่สุดคือ aporia "Achilles and the Tortoise" นี่คือเสียง:

สมมุติว่าอคิลลิสวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและอยู่ข้างหลังเต่าพันก้าว ในช่วงเวลาที่ Achilles วิ่งระยะทางนี้ เต่าคลานไปหนึ่งร้อยก้าวไปในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลิสวิ่งไปร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว เป็นต้น กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด Achilles จะไม่มีวันไล่ตามเต่า

เหตุผลนี้กลายเป็นเรื่องที่น่าตกใจสำหรับคนรุ่นต่อ ๆ มา อริสโตเติล, ไดโอจีเนส, คานท์, เฮเกล, กิลเบิร์ต... ทั้งหมดนี้ถือว่าไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ถือว่าอาพอเรียของซีโน ช็อกหนักมากจน" ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปในขณะนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่มีความคิดเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้ง ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีการทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาประเด็นนี้ ; ไม่มีใครกลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับในระดับสากล ..."[วิกิพีเดีย" Aporias ของ Zeno "] ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงคืออะไร

จากมุมมองของคณิตศาสตร์ Zeno ใน aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนแปลงจากค่าเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้หมายถึงการใช้แทนค่าคงที่ เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือยังไม่ได้นำไปใช้กับ aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะปกติของเราทำให้เราติดกับดัก โดยความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับส่วนกลับกัน จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะช้าลงจนหยุดนิ่งในขณะที่ Achilles ไล่ตามเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถแซงเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะที่เราคุ้นเคย ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ เส้นทางที่ตามมาแต่ละส่วนจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะมันจึงน้อยกว่าครั้งก่อนสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงถูกต้องที่จะบอกว่า "อคิลลิสจะแซงเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยของเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนเป็นค่าส่วนกลับ ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในช่วงเวลาที่อคิลลิสวิ่งพันก้าว เต่าคลานไปหนึ่งร้อยก้าวไปในทิศทางเดียวกัน ในช่วงเวลาถัดไป เท่ากับครั้งแรก จุดอ่อนจะวิ่งต่อไปอีกพันก้าว และเต่าจะคลานหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้ Achilles เร็วกว่าเต่าแปดร้อยก้าว

วิธีการนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งเชิงตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจเทียบได้นั้นคล้ายกับคำว่าอคิลลีสกับเต่าของซีโนมาก เรายังไม่ได้ศึกษา คิดใหม่ และแก้ปัญหานี้ และจะต้องไม่ค้นหาวิธีแก้ปัญหาในจำนวนมาก แต่ในหน่วยการวัด

aporia ที่น่าสนใจอีกอย่างของ Zeno เล่าถึงลูกศรที่บินได้:

ลูกศรที่บินได้นั้นไม่มีการเคลื่อนไหว เนื่องจากในแต่ละช่วงเวลามันหยุดนิ่ง และเนื่องจากมันหยุดนิ่งในทุกช่วงเวลา มันจึงหยุดนิ่งอยู่เสมอ

ใน Aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะถูกเอาชนะได้ง่ายมาก - เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรบินวางอยู่ที่จุดต่าง ๆ ในอวกาศซึ่งอันที่จริงแล้วเป็นการเคลื่อนไหว มีจุดอื่นที่จะสังเกตที่นี่ จากภาพถ่ายรถหนึ่งภาพบนท้องถนน เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่หรือระยะห่างของรถคันดังกล่าว ในการพิจารณาข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่ของรถ จำเป็นต้องใช้ภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกัน ณ จุดต่างๆ ในเวลาที่ต่างกัน แต่ไม่สามารถใช้เพื่อกำหนดระยะทางได้ ในการกำหนดระยะห่างจากรถ คุณต้องมีรูปถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่างๆ ในอวกาศในเวลาเดียวกัน แต่คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่จากจุดเหล่านั้นได้ (โดยปกติ คุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณได้) อยากเน้นอะไร ความสนใจเป็นพิเศษคือสองจุดในเวลาและจุดสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสนเพราะมันให้โอกาสในการสำรวจที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2561

ฉันบอกคุณไปแล้วว่าด้วยความช่วยเหลือที่หมอผีพยายามจัดเรียงความเป็นจริง "" พวกเขาทำมันได้อย่างไร? การก่อตัวของฉากเกิดขึ้นได้อย่างไร?

มาดูคำจำกัดความของชุดกันดีกว่า: "ชุดขององค์ประกอบต่าง ๆ ที่คิดขึ้นเป็นชุดเดียว" ตอนนี้รู้สึกถึงความแตกต่างระหว่างสองวลีนี้: "คิดได้ในภาพรวม" และ "คิดได้ในภาพรวม" วลีแรกคือผลลัพธ์สุดท้ายคือฝูงชน วลีที่สองคือการเตรียมการเบื้องต้นสำหรับการก่อตัวของชุด ในขั้นตอนนี้ ความเป็นจริงถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบที่แยกจากกัน ("ทั้งหมด") จากนั้นจะเกิดมวล ("ทั้งหมดเดียว") ในเวลาเดียวกัน ปัจจัยที่อนุญาตให้คุณรวม "ทั้งหมด" เป็น "ทั้งหมดเดียว" จะได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบ มิฉะนั้น หมอจะไม่ประสบความสำเร็จ ท้ายที่สุด หมอผีรู้ล่วงหน้าว่าพวกเขาต้องการแสดงชุดใดให้เราดู

ฉันจะแสดงกระบวนการพร้อมตัวอย่าง เราเลือก "ของแข็งสีแดงในสิว" - นี่คือ "ทั้งหมด" ของเรา ในเวลาเดียวกันเราจะเห็นว่าสิ่งเหล่านี้มีคันธนูและไม่มีคันธนู หลังจากนั้นเราเลือกส่วนหนึ่งของ "ทั้งหมด" และสร้างชุด "ด้วยธนู" นี่คือวิธีที่หมอผีเลี้ยงตัวเองโดยเชื่อมโยงทฤษฎีเซตกับความเป็นจริง

ตอนนี้มาทำเคล็ดลับเล็กน้อย ลองใช้ "ก้อนสิวด้วยธนู" และรวม "ทั้งหมด" เหล่านี้ด้วยสีโดยเลือกองค์ประกอบสีแดง เรามี "สีแดง" มากมาย ตอนนี้เป็นคำถามที่ยาก: ชุดที่ได้รับ "พร้อมคันธนู" และ "สีแดง" เป็นชุดเดียวกันหรือสองชุดต่างกันหรือไม่ หมอผีเท่านั้นที่รู้คำตอบ แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขาเองไม่รู้อะไรเลย แต่อย่างที่พวกเขาพูดก็เป็นเช่นนั้น

ตัวอย่างง่ายๆ นี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเซตนั้นไร้ประโยชน์อย่างสิ้นเชิงเมื่อพูดถึงความเป็นจริง ความลับคืออะไร? เราสร้างชุด "สิวเสี้ยนแดงติดโบว์" การก่อตัวเกิดขึ้นตามหน่วยการวัดที่แตกต่างกันสี่หน่วย: สี (สีแดง), ความแข็งแรง (ของแข็ง), ความหยาบ (เป็นรอย), ของประดับตกแต่ง (ด้วยธนู) มีเพียงชุดของหน่วยวัดเท่านั้นที่ทำให้สามารถอธิบายวัตถุจริงในภาษาของคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ. นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน

ตัวอักษร "a" ที่มีดัชนีต่างกันหมายถึงหน่วยวัดที่ต่างกัน ในวงเล็บ จะเน้นหน่วยของการวัดตามที่มีการจัดสรร "ทั้งหมด" ในขั้นตอนเบื้องต้น หน่วยวัดตามที่ตั้งชุดนั้นถูกนำออกจากวงเล็บ บรรทัดสุดท้ายแสดงผลสุดท้าย - องค์ประกอบของชุด อย่างที่คุณเห็น หากเราใช้หน่วยเพื่อสร้างเซต ผลลัพธ์จะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับการกระทำของเรา และนี่คือคณิตศาสตร์ ไม่ใช่การเต้นรำของหมอผีกับรำมะนา หมอผีสามารถ "โดยสัญชาตญาณ" เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เดียวกัน โดยโต้แย้งด้วย "ความชัดเจน" เนื่องจากหน่วยการวัดไม่รวมอยู่ในคลังแสง "ทางวิทยาศาสตร์" ของพวกเขา

ด้วยความช่วยเหลือของหน่วยการวัด มันง่ายมากที่จะแยกหนึ่งชุดหรือรวมหลายชุดเป็นซุปเปอร์เซ็ตเดียว มาดูพีชคณิตของกระบวนการนี้กันดีกว่า

วันเสาร์ที่ 30 มิถุนายน 2561

หากนักคณิตศาสตร์ไม่สามารถลดแนวคิดเป็นแนวคิดอื่นได้ พวกเขาก็ไม่เข้าใจอะไรเลยในวิชาคณิตศาสตร์ ฉันตอบ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร คำตอบนั้นง่ายมาก: ตัวเลขและหน่วยการวัด

วันนี้ทุกสิ่งที่เราไม่ได้ใช้เป็นของชุดใดชุดหนึ่ง (ตามที่นักคณิตศาสตร์รับรองกับเรา) อ้อ คุณเห็นรายการชุดที่คุณสังกัดอยู่ในกระจกบนหน้าผากของคุณหรือเปล่า? และฉันไม่เห็นรายการดังกล่าว ฉันจะพูดมากกว่านี้ - ในความเป็นจริงไม่มีสิ่งเดียวที่มีแท็กพร้อมรายการชุดที่เป็นของสิ่งนี้ ชุดเป็นสิ่งประดิษฐ์ของหมอผี พวกเขาทำมันได้อย่างไร? มาดูประวัติศาสตร์ให้ลึกขึ้นอีกนิดและดูว่าองค์ประกอบของฉากนั้นเป็นอย่างไร ก่อนที่นักคณิตศาสตร์-หมอจะแยกพวกมันออกจากฉาก

นานมาแล้ว เมื่อยังไม่มีใครเคยได้ยินวิชาคณิตศาสตร์ และมีเพียงต้นไม้และดาวเสาร์เท่านั้นที่มีวงแหวน ฝูงองค์ประกอบป่าจำนวนมากได้เดินเตร่ไปตามทุ่งทางกายภาพ พวกเขามีลักษณะเช่นนี้

ใช่ ไม่ต้องแปลกใจ จากมุมมองของคณิตศาสตร์ องค์ประกอบทั้งหมดของเซตมีความคล้ายคลึงกันมากที่สุด เม่นทะเล- จากจุดหนึ่งเช่นเข็มหน่วยวัดจะยื่นออกมาในทุกทิศทาง สำหรับผู้ที่ ฉันเตือนคุณว่าหน่วยการวัดใดๆ สามารถแสดงทางเรขาคณิตเป็นส่วนของความยาวตามอำเภอใจและตัวเลขเป็นจุด ในเชิงเรขาคณิต ปริมาณใดๆ สามารถแสดงเป็นกลุ่มของส่วนที่ยื่นออกมาใน ด้านต่างๆจากจุดหนึ่ง จุดนี้เป็นจุดศูนย์ ฉันจะไม่วาดงานศิลปะเรขาคณิตนี้ (ไม่มีแรงบันดาลใจ) แต่คุณสามารถจินตนาการได้อย่างง่ายดาย

หน่วยวัดใดเป็นองค์ประกอบของเซต สิ่งใดที่อธิบายองค์ประกอบนี้จากมุมมองที่ต่างกัน เหล่านี้เป็นหน่วยวัดโบราณที่บรรพบุรุษของเราใช้และทุกคนลืมไปนานแล้ว เหล่านี้เป็นหน่วยวัดที่ทันสมัยที่เราใช้ตอนนี้ สิ่งเหล่านี้เป็นหน่วยวัดที่เราไม่รู้จัก ซึ่งลูกหลานของเราจะเกิดขึ้นและจะใช้อธิบายความเป็นจริง

เราหารูปทรงเรขาคณิต - แบบจำลองที่เสนอขององค์ประกอบของชุดมีการแสดงทางเรขาคณิตที่ชัดเจน แล้วฟิสิกส์ล่ะ? หน่วยวัด - นี่คือการเชื่อมต่อโดยตรงระหว่างคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ หากหมอไม่รู้จักหน่วยวัดว่าเป็นองค์ประกอบที่สมบูรณ์ของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ นี่แหละคือปัญหาของพวกเขา โดยส่วนตัวแล้วฉันไม่สามารถจินตนาการถึงวิทยาศาสตร์ที่แท้จริงของคณิตศาสตร์ได้หากไม่มีหน่วยวัด นั่นคือเหตุผลที่ในตอนต้นของเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีเซต ฉันพูดถึงมันในฐานะยุคหิน

แต่เรามาดูสิ่งที่น่าสนใจที่สุดกันดีกว่า - พีชคณิตขององค์ประกอบของเซต พีชคณิต องค์ประกอบของเซตเป็นผลคูณ (ผลคูณ) ของปริมาณต่าง ๆ ดูเหมือนนี้

ฉันจงใจไม่ได้ใช้อนุสัญญาที่นำมาใช้ในทฤษฎีเซต เนื่องจากเราพิจารณาองค์ประกอบของเซตใน สภาพแวดล้อมทางธรรมชาติที่อยู่อาศัยก่อนการถือกำเนิดของทฤษฎีเซต ตัวอักษรแต่ละคู่ในวงเล็บหมายถึงค่าที่แยกจากกัน ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขที่ระบุด้วยตัวอักษร " น" และหน่วยวัดตามตัวอักษร " เอ" ดัชนีใกล้ตัวอักษรแสดงว่าตัวเลขและหน่วยวัดต่างกัน องค์ประกอบหนึ่งของชุดสามารถประกอบด้วยค่าจำนวนอนันต์ (ตราบใดที่เราและลูกหลานของเรามีจินตนาการเพียงพอ) แต่ละ วงเล็บแสดงทางเรขาคณิตโดยส่วนที่แยกจากกัน ในตัวอย่าง กับเม่นทะเล วงเล็บหนึ่งอันคือหนึ่งเข็ม

หมอผีสร้างชุดจากองค์ประกอบต่างๆ ได้อย่างไร อันที่จริงตามหน่วยวัดหรือตามตัวเลข โดยไม่เข้าใจอะไรเลยในวิชาคณิตศาสตร์ พวกเขานำเม่นทะเลที่แตกต่างกันมาและตรวจสอบอย่างละเอียดเพื่อค้นหาเข็มเดียวที่ใช้สร้างชุด หากมีเข็มดังกล่าว ธาตุนี้ก็จะเป็นของชุด หากไม่มีเข็มดังกล่าว ธาตุนี้ก็ไม่ได้มาจากชุดนี้ หมอผีบอกเราเกี่ยวกับกระบวนการทางจิตและเรื่องทั้งหมด

อย่างที่คุณอาจเดาได้ องค์ประกอบเดียวกันสามารถอยู่ในชุดต่างๆ ได้ ต่อไป ฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่าเซต เซตย่อย และเรื่องไร้สาระอื่นๆ ของชามานิกเกิดขึ้นได้อย่างไร อย่างที่คุณเห็น "เซตต้องไม่มีสององค์ประกอบที่เหมือนกัน" แต่ถ้ามีองค์ประกอบเหมือนกันในชุด เซตดังกล่าวจะเรียกว่า "มัลติเซ็ต" สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะของความไร้สาระดังกล่าว นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงที่ได้รับการฝึกฝนซึ่งจิตไม่มีคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนทั่วไป โดยเทศนาแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่งวิศวกรที่สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานระหว่างการทดสอบสะพาน หากสะพานพังลง วิศวกรระดับปานกลางก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังของการสร้างของเขา หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มากความสามารถได้สร้างสะพานอื่นๆ

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนตัวอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "mind me, I'm in the house" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือสายหนึ่งที่เชื่อมโยงมันกับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ให้เรานำทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์มาประยุกต์ใช้กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์เป็นอย่างดี และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่โต๊ะเงินสด จ่ายเงินเดือน ที่นี่นักคณิตศาสตร์มาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาแล้ววางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่าง ๆ ซึ่งเราใส่ตั๋วเงินในสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเรานำบิลหนึ่งใบจากแต่ละกองและให้ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" แก่นักคณิตศาสตร์ เราอธิบายคณิตศาสตร์ว่าเขาจะได้รับตั๋วเงินที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีองค์ประกอบเหมือนกันไม่เท่ากับเซตที่มีองค์ประกอบเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะใช้ได้: "คุณสามารถนำไปใช้กับคนอื่นได้ แต่ไม่ใช่กับฉัน!" นอกจากนี้ การรับรองจะเริ่มขึ้นว่ามีหมายเลขธนบัตรที่แตกต่างกันในธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถถือเป็นองค์ประกอบที่เหมือนกันได้ เรานับเงินเดือนเป็นเหรียญ - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะจำฟิสิกส์อย่างเมามัน: เหรียญต่าง ๆ มีปริมาณสิ่งสกปรกต่างกันโครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมสำหรับแต่ละเหรียญนั้นมีเอกลักษณ์ ...

และตอนนี้ฉันมีมากที่สุด สนใจ สอบถาม: ขอบเขตที่เกินกว่าที่องค์ประกอบของชุดหลายชุดกลายเป็นองค์ประกอบของชุดและในทางกลับกันคืออะไร? ไม่มีบรรทัดดังกล่าว - ทุกอย่างตัดสินใจโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ที่นี่ไม่ได้ใกล้เคียงเลย

ดูนี่. เราเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ของทุ่งเหมือนกันซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าพิจารณาชื่อสนามเดียวกัน ได้เยอะ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น องค์ประกอบชุดเดียวกันเป็นทั้งชุดและชุดหลายชุดพร้อมกัน ถูกยังไง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์-ชาแมน-ชูลเลอร์หยิบไพ่ที่กล้าหาญออกจากแขนเสื้อและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับเซตหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวใจเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อให้เข้าใจว่าหมอผีสมัยใหม่ทำงานอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริง ก็เพียงพอแล้วที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็นโดยไม่มี

เครื่องคิดเลขช่วยให้คุณเพิ่มตัวเลขเป็นพาวเวอร์ออนไลน์ได้อย่างรวดเร็ว ฐานของดีกรีสามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้ (ทั้งจำนวนเต็มและจำนวนจริง) เลขชี้กำลังอาจเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนจริงก็ได้ และทั้งค่าบวกและค่าลบก็ได้ ควรจำไว้ว่าการเพิ่มเป็นยกกำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มไม่ได้กำหนดไว้สำหรับจำนวนลบ ดังนั้นเครื่องคิดเลขจะรายงานข้อผิดพลาดหากคุณยังคงพยายามทำเช่นนี้

เครื่องคิดเลของศา

ขึ้นสู่อำนาจ

การยกกำลัง: 46086

พลังธรรมชาติของตัวเลขคืออะไร?

หมายเลข p เรียกว่ากำลังที่ n ของจำนวน a ถ้า p เท่ากับจำนวน a คูณด้วยตัวมันเอง n ครั้ง: p \u003d a n \u003d a ... a
n - เรียกว่า เลขชี้กำลังและหมายเลข a - ฐานองศา.

จะเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติได้อย่างไร?

เพื่อให้เข้าใจวิธีเพิ่มจำนวนต่างๆ ให้เป็นกำลังธรรมชาติ ให้พิจารณาตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่าง 1. ยกเลขสามยกกำลังสี่ นั่นคือจำเป็นต้องคำนวณ 3 4
วิธีการแก้: ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น 3 4 = 3 3 3 3 = 81
ตอบ: 3 4 = 81 .

ตัวอย่าง 2. ยกกำลังห้ายกกำลังห้า นั่นคือจำเป็นต้องคำนวณ 5 5
วิธีการแก้: ในทำนองเดียวกัน 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125
ตอบ: 5 5 = 3125 .

ดังนั้น การเพิ่มจำนวนเป็น องศาธรรมชาติก็แค่คูณมันด้วยตัวมันเอง n ครั้ง

พลังลบของจำนวนคืออะไร?

กำลังลบ -n ของ a คือหนึ่งหารด้วย a กำลังของ n: a -n =

ในกรณีนี้ เลขชี้กำลังลบจะมีอยู่เฉพาะสำหรับตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ มิฉะนั้น การหารด้วยศูนย์จะเกิดขึ้น

จะเพิ่มจำนวนเป็นจำนวนเต็มลบได้อย่างไร?

หากต้องการเพิ่มจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ให้เป็นกำลังลบ คุณต้องคำนวณค่าของตัวเลขนี้เป็นกำลังบวกเท่ากันแล้วหารด้วยผลลัพธ์

ตัวอย่าง 1. ยกเลขสองยกกำลังสี่ลบ นั่นคือจำเป็นต้องคำนวณ 2 -4

วิธีการแก้: ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น 2 -4 = = = 0.0625

ตอบ: 2 -4 = 0.0625 .

ในการดำเนินการต่อของการสนทนาเกี่ยวกับดีกรีของตัวเลข การจัดการกับการหาค่าของดีกรีเป็นเหตุเป็นผล กระบวนการนี้มีชื่อว่า การยกกำลัง. ในบทความนี้ เราจะศึกษาวิธีการยกกำลัง ขณะที่สัมผัสกับเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด - ธรรมชาติ จำนวนเต็ม ตรรกยะ และอตรรกยะ และตามธรรมเนียม เราจะพิจารณาโดยละเอียดถึงวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างการเพิ่มจำนวนในระดับต่างๆ

การนำทางหน้า

"การยกกำลัง" หมายถึงอะไร?

เริ่มต้นด้วยการอธิบายสิ่งที่เรียกว่าการยกกำลัง นี่คือคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

คำนิยาม.

การยกกำลังคือการหาค่ายกกำลังของจำนวน

ดังนั้น การหาค่ายกกำลัง a ด้วยเลขชี้กำลัง r และเพิ่มจำนวน a ยกกำลัง r จึงเป็นสิ่งเดียวกัน ตัวอย่างเช่น หากงานคือ "คำนวณค่ากำลัง (0.5) 5" ก็สามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้: "เพิ่มตัวเลข 0.5 ยกกำลัง 5"

ตอนนี้คุณสามารถไปที่กฎที่ทำการยกกำลังได้โดยตรง

การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ

ในทางปฏิบัติ มักจะใช้ความเท่าเทียมกันตามรูปแบบ . นั่นคือเมื่อเพิ่มจำนวน a เป็นกำลังเศษส่วน m / n รากของดีกรีที่ n จากจำนวน a จะถูกดึงออกมาก่อน หลังจากนั้นผลลัพธ์จะถูกยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม m

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างการเพิ่มกำลังเศษส่วน

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของดีกรี

วิธีการแก้.

เราแสดงสองวิธีแก้ไข

วิธีแรก. โดยนิยามของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน เราคำนวณค่าของดีกรีภายใต้เครื่องหมายของรูทหลังจากนั้นเราแยกออก รากลูกบาศก์: .

วิธีที่สอง โดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนและบนพื้นฐานของคุณสมบัติของราก ความเท่าเทียมกันนั้นเป็นจริง . ตอนนี้แยกราก สุดท้าย ยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม .

เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์ที่ได้จากการเพิ่มกำลังเศษส่วนเกิดขึ้นพร้อมกัน

ตอบ:

โปรดทราบว่าเลขชี้กำลังเศษส่วนสามารถเขียนเป็นทศนิยมหรือ คละจำนวนในกรณีเหล่านี้ควรแทนที่ด้วยเศษส่วนธรรมดาที่เกี่ยวข้องหลังจากนั้นควรทำการยกกำลัง

ตัวอย่าง.

คำนวณ (44.89) 2.5 .

วิธีการแก้.

เราเขียนเลขชี้กำลังในรูปของเศษส่วนธรรมดา (ถ้าจำเป็น ดูบทความ): . ตอนนี้เราทำการยกกำลังเป็นเศษส่วน:

ตอบ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

ควรกล่าวด้วยว่าการเพิ่มจำนวนเป็นกำลังที่มีเหตุมีผลเป็นกระบวนการที่ค่อนข้างลำบาก (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวเศษและตัวส่วนของเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนเป็นจำนวนที่ค่อนข้างมาก) ซึ่งมักใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

โดยสรุปของย่อหน้านี้ เราจะพิจารณาการสร้างเลขศูนย์เป็นกำลังเศษส่วน เราให้ความหมายต่อไปนี้กับระดับเศษส่วนของศูนย์ของรูปแบบ: เพราะเรามี ในขณะที่ไม่มีการกำหนดศูนย์ถึงกำลัง m/n ดังนั้น เลขศูนย์ถึงกำลังเศษส่วนบวกจะเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น . และศูนย์ในกำลังลบเศษส่วนก็ไม่สมเหตุสมผล เช่น นิพจน์และ 0 -4.3 ไม่สมเหตุสมผล

ขึ้นสู่อำนาจที่ไร้เหตุผล

บางครั้งจำเป็นต้องหาค่าดีกรีของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ในกรณีนี้ สำหรับวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ มักจะเพียงพอที่จะได้ค่าของระดับถึงเครื่องหมายที่แน่นอน เราทราบทันทีว่าค่านี้คำนวณในทางปฏิบัติโดยใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ตั้งแต่เพิ่มเป็นir ระดับเหตุผลต้องใช้เอง จำนวนมากการคำนวณที่ยุ่งยาก แต่อย่างไรก็ตามเราจะอธิบายสาระสำคัญของการกระทำในแง่ทั่วไป

เพื่อให้ได้ค่าโดยประมาณของกำลังของ a ที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ จะใช้ค่าประมาณทศนิยมของเลขชี้กำลัง และคำนวณค่าของเลขชี้กำลัง ค่านี้เป็นค่าโดยประมาณของระดับของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ ยิ่งการประมาณค่าทศนิยมของตัวเลขมีความแม่นยำมากขึ้นในตอนแรกเท่าใด ค่าองศาก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น

ยกตัวอย่าง ลองคำนวณค่าโดยประมาณของยกกำลัง 2 1.174367... . ลองใช้ค่าประมาณทศนิยมของตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัวต่อไปนี้: ตอนนี้เรายก 2 เป็นพลังตรรกยะที่ 1.17 (เราอธิบายสาระสำคัญของกระบวนการนี้ในย่อหน้าก่อนหน้า) เราได้รับ 2 1.17 ≈ 2.250116 ทางนี้, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . หากเราใช้ค่าประมาณทศนิยมที่แม่นยำยิ่งขึ้นของเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว เช่น เราจะได้ค่าดีกรีเดิมที่แม่นยำยิ่งขึ้น: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

บรรณานุกรม.

• Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I. , Chesnokov A.S. , Shvartburd S.I. ตำราคณิตศาสตร์ Zh สำหรับ 5 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราสำหรับ 7 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราสำหรับ 8 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราเรียนสำหรับ 9 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
• Kolmogorov A.N. , Abramov A.M. , Dudnitsyn Yu.P. และอื่นๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A. , Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค)

เหตุใดจึงต้องมีองศา

คุณต้องการพวกเขาที่ไหน

ทำไมคุณต้องใช้เวลาศึกษาพวกเขา?

หากต้องการเรียนรู้เกี่ยวกับระดับทั้งหมด อ่านบทความนี้

และแน่นอนว่า การรู้องศาจะทำให้คุณใกล้สอบผ่านได้สำเร็จมากขึ้น

และเข้าสู่มหาวิทยาลัยในฝันของคุณ!

ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)

ระดับแรก

การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์แบบเดียวกับการบวก การลบ การคูณหรือการหาร

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างด้วยภาษามนุษย์เป็น ตัวอย่างง่ายๆ. ระวัง. ตัวอย่างเป็นพื้นฐาน แต่อธิบายสิ่งที่สำคัญ

เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม

ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้อยู่แล้วทุกอย่าง: มีพวกเราแปดคน แต่ละขวดมีโคล่าสองขวด โคล่าเท่าไหร่คะ? ใช่แล้ว - 16 ขวด

ตอนนี้คูณ

ตัวอย่างเดียวกันกับโคล่าสามารถเขียนได้หลายวิธี: นักคณิตศาสตร์เป็นคนเจ้าเล่ห์และขี้เกียจ พวกเขาสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างในตอนแรก แล้วจึงหาวิธี "นับ" ให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าแต่ละคนในแปดคนมีโคล่าจำนวนเท่ากัน และสร้างเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า

ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และปราศจากข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ. แน่นอน คุณสามารถทำทุกอย่างช้าลง หนักขึ้น และผิดพลาดได้! แต่…

นี่คือตารางการคูณ ทำซ้ำ.

และอีกอันที่สวยกว่า:

และนักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีกลอุบายการนับอื่น ๆ อะไรอีกบ้าง? ถูกต้อง - การเพิ่มตัวเลขเป็นกำลัง.

การเพิ่มจำนวนขึ้นเป็นกำลัง

หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนี้เป็นยกกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองยกกำลังห้าคือ และพวกเขาแก้ปัญหาดังกล่าวในใจ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้นและไม่มีข้อผิดพลาด

ในการทำเช่นนี้คุณเพียงแค่ต้อง จำสิ่งที่เน้นสีในตารางพลังของตัวเลข. เชื่อฉันสิ มันจะทำให้ชีวิตคุณง่ายขึ้นมาก

ว่าแต่ทำไมชั้นที่สองถึงเรียกว่า สี่เหลี่ยมตัวเลขและตัวที่สาม ลูกบาศก์? มันหมายความว่าอะไร? เป็นคำถามที่ดีมาก ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์

ตัวอย่างชีวิตจริง #1

เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน

ลองนึกภาพสระสี่เหลี่ยมขนาดเมตรคูณเมตร สระว่ายน้ำอยู่ในสวนหลังบ้านของคุณ ร้อนจนอยากเล่นน้ำเลย แต่...สระไม่มีก้น! มีความจำเป็นต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? ในการพิจารณาสิ่งนี้ คุณจำเป็นต้องรู้พื้นที่ด้านล่างของสระ

คุณสามารถนับได้โดยการใช้นิ้วจิ้มว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อเมตร หากกระเบื้องของคุณเป็นเมตรคุณจะต้องมีชิ้นส่วน ง่าย... แต่เธอเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องจะค่อนข้างสูง ซม. และจากนั้นคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับด้วยนิ้วของคุณ" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้น ที่ด้านหนึ่งของก้นสระ เราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านด้วย กระเบื้องด้วย คูณด้วยคุณจะได้ไพ่ ()

สังเกตไหมว่าเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวเองเพื่อหาพื้นที่ก้นสระ? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากมีการคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงสามารถใช้เทคนิคการยกกำลังได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีเพียงสองตัวเลข คุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามาก และยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยลงอีกด้วย . สำหรับการสอบนี่สำคัญมาก)
ดังนั้นสามสิบถึงระดับที่สองจะเป็น () หรือคุณสามารถพูดได้ว่าสามสิบกำลังสองจะเป็น กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นกำลังสองได้เสมอ และในทางกลับกัน ถ้าคุณเห็นสี่เหลี่ยม มันจะเป็นยกกำลังสองของจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพยกกำลังสองของตัวเลข

ตัวอย่างชีวิตจริง #2

นี่คืองานสำหรับคุณ นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข ... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการนับจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ ... ถ้าคุณสังเกตว่ากระดานหมากรุกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านหนึ่ง คุณก็จะสามารถยกกำลังแปดได้ รับเซลล์ () ดังนั้น?

ตัวอย่างชีวิตจริง #3

ตอนนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (ปริมาตรและของเหลววัดเป็นลูกบาศก์เมตร คาดไม่ถึงใช่มั้ย) วาดสระ: ด้านล่างขนาดหนึ่งเมตรและลึกหนึ่งเมตรแล้วลองคำนวณจำนวนลูกบาศก์ที่วัดหนึ่งเมตรต่อเมตรจะเข้า สระน้ำ.

เพียงแค่ชี้นิ้วของคุณและนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่…ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม… ได้เงินมาเท่าไหร่? ไม่ได้หายไป? นับด้วยนิ้วยากไหม? ดังนั้น! ยกตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของพูล คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงของพูลเข้าด้วยกัน ในกรณีของเราปริมาตรของพูลจะเท่ากับลูกบาศก์ ... ง่ายกว่าใช่ไหม?

ลองนึกภาพว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและเจ้าเล่ห์จะขนาดไหนหากพวกเขาทำให้มันง่ายเกินไป ลดทุกอย่างเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเดียวกันนั้นคูณด้วยตัวมันเอง ... และนี่หมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้ว พวกมันทำในหนึ่งการกระทำ: สามในลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนแบบนี้:

เหลือเท่านั้น จำตารางองศา. แน่นอน เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ ถ้าคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับด้วยนิ้วของคุณ

ในที่สุด เพื่อที่จะเกลี้ยกล่อมคุณว่าปริญญาถูกคิดค้นโดยรองเท้าไม่มีส้นและคนฉลาดแกมโกงเพื่อแก้ปัญหาชีวิตของพวกเขา และไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างจากชีวิต

ตัวอย่างชีวิตจริง #4

คุณมีล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี คุณจะมีรายได้อีกล้านต่อทุกๆ ล้าน นั่นคือเงินล้านของคุณแต่ละล้านตอนต้นปีแต่ละปีจะเพิ่มเป็นสองเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่งและ "นับด้วยนิ้วของคุณ" แสดงว่าคุณเป็นคนขยันและ .. โง่ แต่เป็นไปได้มากว่าคุณจะให้คำตอบในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้นในปีแรก - สองครั้งสองครั้ง ... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้นอีกสองครั้งในปีที่สาม ... หยุด! คุณสังเกตว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองครั้งเดียว สองยกกำลังห้าเป็นล้าน! ลองนึกภาพว่าคุณมีการแข่งขันและผู้ที่คำนวณได้เร็วกว่าจะได้เงินนับล้านนี้ ... มันคุ้มค่าไหมที่จะจำองศาของตัวเลข คุณคิดอย่างไร?

ตัวอย่างชีวิตจริง #5

คุณมีล้าน ในช่วงต้นปี คุณจะได้รับรายได้เพิ่มอีก 2 ต่อทุกๆ ล้าน มันเยี่ยมมากใช่มั้ย? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลอีก ... น่าเบื่อแล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามตัวคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นกำลังที่สี่คือหนึ่งล้าน คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ

ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มจำนวนขึ้นเป็นกำลัง คุณจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก ลองมาดูเพิ่มเติมว่าคุณสามารถทำอะไรกับองศาได้บ้างและสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับพวกเขา

ข้อกำหนดและแนวคิด ... เพื่อไม่ให้สับสน

ก่อนอื่น มากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขชี้กำลังคืออะไร? มันง่ายมาก - นี่คือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบนสุด" ของกำลังของตัวเลข ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย ...

ในขณะเดียวกัน อะไรนะ ฐานของปริญญาดังกล่าว? ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่าง ที่ฐาน

นี่คือภาพเพื่อให้คุณแน่ใจ

ดีและใน ปริทัศน์เพื่อสรุปและจดจำได้ดีขึ้น ... ระดับที่มีฐาน "" และเลขชี้กำลัง "" จะอ่านว่า "ถึงระดับ" และเขียนดังนี้:

กำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ

คุณคงเดาได้แล้วว่า: เพราะเลขชี้กำลังคือ ตัวเลขธรรมชาติ. ใช่ แต่มันคืออะไร ตัวเลขธรรมชาติ? ประถม! จำนวนธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการ: หนึ่ง สอง สาม ... เมื่อเรานับรายการ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้าสิบ" เช่นกัน นี่ไม่ใช่ตัวเลขธรรมชาติ คุณคิดว่าตัวเลขเหล่านี้คืออะไร?

ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มจะรวมจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ตัวเลขตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ) และตัวเลข Zero นั้นเข้าใจง่าย - นี่คือตอนที่ไม่มีอะไรเลย และจำนวนลบ ("ลบ") หมายถึงอะไร แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อแสดงหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดเงินคงเหลือในโทรศัพท์ของคุณเป็นรูเบิล แสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลโอเปอเรเตอร์

เศษส่วนทั้งหมดคือ สรุปตัวเลข. คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก. หลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาไม่มีตัวเลขธรรมชาติเพียงพอที่จะวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขามาพร้อมกับ สรุปตัวเลข… น่าสนใจใช่ไหม

นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? ในระยะสั้นไม่มีที่สิ้นสุด ทศนิยม. ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ

สรุป:

ลองนิยามแนวคิดของดีกรี ซึ่งเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือจำนวนเต็มและบวก)

1. จำนวนใด ๆ ยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
2. การยกกำลังสองตัวเลขคือการคูณด้วยตัวมันเอง:
3. ในการลูกบาศก์ตัวเลขคือการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:

คำนิยาม.การเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังธรรมชาติคือการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองด้วย:
.

คุณสมบัติองศา

คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณเห็นตอนนี้

มาดูกันว่าคืออะไร และ ?

ตามคำจำกัดความ:

มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?

ง่ายมาก: เราเพิ่มปัจจัยเข้ากับปัจจัย และผลลัพธ์ก็คือปัจจัย

แต่ตามนิยาม นี่คือดีกรีของจำนวนที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ: ซึ่งจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์

วิธีการแก้:

ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์

วิธีการแก้:สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นคงจะเป็นเหตุผลเดียวกัน!
ดังนั้นเราจึงรวมองศากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

เฉพาะผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจเท่านั้น!

ไม่ว่าในกรณีใดคุณควรเขียนว่า

2. นั่นคือ -กำลังของตัวเลข

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ มาดูคำจำกัดความของดีกรีกัน:

ปรากฎว่านิพจน์คูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือ ตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

อันที่จริงสิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่า "การยึดตัวบ่งชี้" แต่คุณไม่สามารถทำได้ทั้งหมด:

เรามาจำสูตรคูณย่อกัน: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง?

แต่นั่นไม่เป็นความจริงเลย

ปริญญาที่มีฐานเป็นลบ

ถึงจุดนี้ เราได้พูดคุยกันแค่ว่าเลขชี้กำลังควรเป็นเท่าใด

แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน?

เป็นองศาจาก ตัวบ่งชี้ธรรมชาติพื้นฐานอาจเป็น เลขอะไรก็ได้. ที่จริงแล้ว เราสามารถคูณจำนวนใดๆ ต่อกันได้ ไม่ว่าจะเป็นบวก ลบ หรือแม้แต่คู่

ลองคิดดูว่าเครื่องหมาย ("" หรือ "") ใดจะมีองศาของจำนวนบวกและลบ

ตัวอย่างเช่น ตัวเลขจะเป็นบวกหรือลบ? แต่? ? ประการแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกกันกี่จำนวน ผลลัพธ์จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย ท้ายที่สุด เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: "ลบคูณลบให้บวก" นั่นคือหรือ แต่ถ้าเราคูณด้วย มันจะออกมา

กำหนดด้วยตัวคุณเองว่านิพจน์ต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

คุณจัดการ?

นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลัง แล้วใช้กฎที่เหมาะสม

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างไม่ได้น่ากลัวอย่างที่คิด: ไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นบวกเสมอ

ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เหมือนกันใช่หรือไม่? ไม่แน่นอนตั้งแต่ (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป!

6 ตัวอย่างการฝึก

การวิเคราะห์โซลูชัน 6 ตัวอย่าง

ทั้งหมดเราตั้งชื่อจำนวนธรรมชาติ ตรงกันข้าม (นั่นคือ ถ่ายด้วยเครื่องหมาย "") และตัวเลข

จำนวนเต็มบวกและไม่แตกต่างจากธรรมชาติแล้วทุกอย่างดูเหมือนในส่วนที่แล้ว

ทีนี้มาดูเคสใหม่กัน เริ่มจากตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ

เลขยกกำลังศูนย์ใดๆ มีค่าเท่ากับหนึ่ง:

เช่นเคย เราถามตัวเองว่า ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น

พิจารณาพลังบางอย่างที่มีฐาน ใช้ตัวอย่างเช่นและคูณด้วย:

เราคูณจำนวนนั้นด้วย, ได้เหมือนเดิม -. ต้องคูณด้วยจำนวนใดจึงจะไม่เปลี่ยนแปลง ถูกต้องแล้ว วิธี.

เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:

มาทำซ้ำกฎกัน:

เลขยกกำลังศูนย์ใดๆ มีค่าเท่ากับหนึ่ง

แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎหลายข้อ และนี่ก็อยู่ที่นั่นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)

ในแง่หนึ่ง มันต้องเท่ากับระดับใดๆ ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองเท่าไหร่ คุณก็จะได้ศูนย์ นี่ก็ชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับตัวเลขใดๆ ในระดับศูนย์ มันจะต้องเท่ากัน แล้วความจริงของเรื่องนี้คืออะไร? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจที่จะไม่เข้าไปเกี่ยวข้องและปฏิเสธที่จะเพิ่มกำลังศูนย์ให้เป็นศูนย์ นั่นคือตอนนี้เราไม่เพียงแต่สามารถหารด้วยศูนย์ แต่ยังเพิ่มเป็นศูนย์ด้วย

ไปกันเลยดีกว่า นอกจากจำนวนธรรมชาติและตัวเลขแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่าดีกรีลบคืออะไร ลองทำเหมือนครั้งที่แล้ว: เราคูณจำนวนปกติด้วยค่าลบเท่ากัน:

จากที่นี่มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงความต้องการ:

ตอนนี้เราขยายกฎผลลัพธ์ไปสู่ระดับตามอำเภอใจ:

เรามาตั้งกฎกัน:

จำนวนยกกำลังลบคือการผกผันของจำนวนเดียวกันยกกำลังบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานไม่สามารถเป็นโมฆะได้:(เพราะไม่สามารถแบ่งได้)

มาสรุปกัน:

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตามปกติแล้ว ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

การวิเคราะห์งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ฉันรู้ ฉันรู้ ตัวเลขมันน่ากลัว แต่ในการสอบ คุณต้องพร้อมทุกอย่าง! แก้ตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ และคุณจะได้เรียนรู้วิธีการจัดการกับมันอย่างง่ายดายในข้อสอบ!

ลองขยายช่วงของตัวเลข "เหมาะสม" เป็นเลขชี้กำลังต่อไป

ตอนนี้พิจารณา สรุปตัวเลข.ตัวเลขใดที่เรียกว่าตรรกยะ?

คำตอบ: ทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม นอกจากนี้

ให้เข้าใจว่าคืออะไร "องศาเศษส่วน"ลองพิจารณาเศษส่วน:

ลองยกทั้งสองข้างของสมการยกกำลังกัน:

ตอนนี้จำกฎ "ระดับปริญญา":

ต้องยกกำลังอะไรถึงจะได้?

สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของดีกรีที่ th

ให้ฉันเตือนคุณ: รากของกำลัง th ของจำนวน () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะเท่ากัน

นั่นคือ รากของดีกรี th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:

ปรากฎว่า เห็นได้ชัดว่ากรณีพิเศษนี้สามารถขยายได้: .

ตอนนี้เพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นง่ายมากเมื่อใช้กฎกำลังต่อกำลัง:

แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้

ไม่มี!

จำกฎนี้: ตัวเลขใดๆ ที่ยกกำลังคู่เป็นจำนวนบวก นั่นคือ เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากของดีกรีคู่ออกจากจำนวนลบ!

และนี่หมายความว่าตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถยกกำลังเศษส่วนด้วยตัวส่วนคู่ได้ นั่นคือนิพจน์ไม่สมเหตุสมผล

แล้วการแสดงออกล่ะ?

แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น

ตัวเลขสามารถแสดงเป็นเศษส่วนอื่นๆ เช่น เศษส่วน หรือ

และปรากฎว่ามันมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง และนี่เป็นเพียงสองระเบียนที่แตกต่างกันในจำนวนเดียวกัน

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: หนึ่งครั้ง จากนั้นคุณสามารถจดบันทึกได้ แต่ทันทีที่เราเขียนตัวบ่งชี้ด้วยวิธีที่ต่างออกไป เราก็ประสบปัญหาอีกครั้ง (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)

เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว ให้พิจารณา เฉพาะเลขฐานบวกที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน.

ดังนั้นถ้า:

• - จำนวนธรรมชาติ
• เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง:

ยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะมีประโยชน์มากสำหรับการแปลงนิพจน์ที่มีราก ตัวอย่างเช่น

5 ตัวอย่างการฝึก

การวิเคราะห์ 5 ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม

ตอนนี้ - ยากที่สุด ตอนนี้เราจะวิเคราะห์ องศากับเลขชี้กำลังอตรรกยะ.

กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่นี่เหมือนกันทุกประการกับองศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้น

ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (กล่าวคือ จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาองศาด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ จำนวนเต็ม และเหตุผล ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "ความคล้ายคลึง" หรือคำอธิบายด้วยคำศัพท์ที่คุ้นเคยมากขึ้น

ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังธรรมชาติคือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง

...ศูนย์พลังงาน- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองเพียงครั้งเดียวนั่นคือมันยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าตัวเลขนั้นยังไม่ปรากฏ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "ตัวเลขว่างเปล่า" เท่านั้น คือจำนวน;

...เลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" บางอย่างเกิดขึ้นนั่นคือตัวเลขไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

อีกอย่าง วิทยาศาสตร์มักใช้ดีกรีกับเลขชี้กำลังเชิงซ้อน นั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ

แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงปัญหาดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้วิธีแก้ตัวอย่างดังกล่าว :))

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

การวิเคราะห์โซลูชัน:

1. มาเริ่มกันที่กฎเกณฑ์ปกติแล้วสำหรับการเพิ่มระดับปริญญา:

ระดับสูง

ความหมายของปริญญา

ดีกรีเป็นนิพจน์ของแบบฟอร์ม: โดยที่:

• — ฐานของปริญญา;
• - เลขชี้กำลัง

องศาที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)

การเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองด้วย:

กำลังไฟฟ้าพร้อมเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)

ถ้าเลขชี้กำลังคือ จำนวนเต็มบวกตัวเลข:

การแข็งตัวของอวัยวะเพศ สู่ศูนย์อำนาจ:

นิพจน์ไม่มีกำหนดแน่นอน เพราะในแง่หนึ่ง ระดับใดก็เป็นสิ่งนี้ และในทางกลับกัน ตัวเลขใดๆ ถึงดีกรี th ก็คือนี่

ถ้าเลขชี้กำลังคือ จำนวนเต็มลบตัวเลข:

(เพราะไม่สามารถแบ่งได้)

อีกครั้งเกี่ยวกับค่าว่าง: นิพจน์ไม่ได้กำหนดไว้ในกรณี ถ้าอย่างนั้น.

ตัวอย่าง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

• - จำนวนธรรมชาติ
• เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง:

คุณสมบัติองศา

เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา เรามาลองทำความเข้าใจกันว่า คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กัน

มาดูกันว่าคืออะไรและ?

ตามคำจำกัดความ:

ดังนั้น ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ จะได้ผลิตภัณฑ์ต่อไปนี้:

แต่ตามนิยาม นี่คือกำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:

คิวอีดี

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

วิธีการแก้ : .

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

วิธีการแก้ : เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นต้องมีพื้นฐานเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงรวมองศากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

หมายเหตุสำคัญอีกประการหนึ่ง: กฎนี้ - เฉพาะผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ!

ฉันไม่ควรเขียนสิ่งนั้นไม่ว่าในกรณีใด

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ มาดูคำจำกัดความของดีกรีกัน:

ลองจัดเรียงใหม่ดังนี้:

ปรากฎว่านิพจน์คูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือ ตามคำจำกัดความ นี่คือกำลัง -th ของตัวเลข:

อันที่จริงสิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่า "การยึดตัวบ่งชี้" แต่คุณไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ทั้งหมด :!

เรามาจำสูตรคูณย่อกัน: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง? แต่นั่นไม่เป็นความจริงเลย

พลังที่มีฐานลบ

ถึงตอนนี้เราได้คุยกันแต่สิ่งที่ควรเป็น ดัชนีระดับ. แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน? เป็นองศาจาก เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจเป็น เลขอะไรก็ได้ .

ที่จริงแล้ว เราสามารถคูณจำนวนใดๆ ต่อกันได้ ไม่ว่าจะเป็นบวก ลบ หรือแม้แต่คู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมาย ("" หรือ "") ใดจะมีองศาของจำนวนบวกและลบ

ตัวอย่างเช่น ตัวเลขจะเป็นบวกหรือลบ? แต่? ?

ประการแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกกันกี่จำนวน ผลลัพธ์จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย ท้ายที่สุด เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: "ลบคูณลบให้บวก" นั่นคือหรือ แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -

และอื่นๆ ใน ad infinitum: ทุกครั้งที่มีการคูณ เครื่องหมายจะเปลี่ยนไป เป็นไปได้ที่จะกำหนดเช่น กติกาง่ายๆ:

1. สม่ำเสมอองศา, - หมายเลข เชิงบวก.
2. จำนวนลบ, สร้างขึ้นใน แปลกองศา, - หมายเลข เชิงลบ.
3. จำนวนบวกยกกำลังใดๆ เป็นจำนวนบวก
4. ศูนย์กำลังใด ๆ เท่ากับศูนย์

กำหนดด้วยตัวคุณเองว่านิพจน์ต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

คุณจัดการ? นี่คือคำตอบ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลัง แล้วใช้กฎที่เหมาะสม

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างไม่ได้น่ากลัวอย่างที่คิด: ไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เหมือนกันใช่หรือไม่? ไม่แน่นอนตั้งแต่ (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? ถ้าคุณจำได้ จะเห็นได้ชัดเจนว่า ฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นค่าลบ

และอีกครั้งเราใช้คำจำกัดความของระดับ:

ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาและแบ่งมันออกเป็นคู่ ๆ และรับ:

ก่อนวิเคราะห์กฎข้อสุดท้าย เรามาลองแก้ตัวอย่างกันก่อน

คำนวณค่าของนิพจน์:

โซลูชั่น :

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งสูตร:

ดังนั้นกฎข้อสุดท้าย:

เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอนตามปกติ: มาขยายแนวคิดของระดับและทำให้ง่ายขึ้น:

ทีนี้มาเปิดวงเล็บกัน จะมีกี่ตัวอักษร? คูณด้วยตัวคูณ - หน้าตาเป็นอย่างไร? นี่ไม่ใช่อะไรนอกจากคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ทั้งหมดกลายเป็นตัวคูณ นั่นคือตามคำจำกัดความกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง:

ตัวอย่าง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ

นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับค่าเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่นี่เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้น - ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาองศาด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ จำนวนเต็ม และเหตุผล ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "ความคล้ายคลึง" หรือคำอธิบายด้วยคำศัพท์ที่คุ้นเคยมากขึ้น ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังธรรมชาติคือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง ตัวเลขถึงศูนย์เท่ากับจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองครั้งเดียว นั่นคือ มันยังไม่เริ่มคูณ ซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นเองยังไม่ปรากฏ - ดังนั้น ผลลัพธ์จึงเป็นเพียง a "การเตรียมตัวเลข" บางอย่างคือตัวเลข ระดับที่มีตัวบ่งชี้ลบจำนวนเต็ม - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" นั่นคือตัวเลขไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

เป็นการยากที่จะจินตนาการถึงปริญญาที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับที่จินตนาการถึงพื้นที่ 4 มิติได้ยาก) ค่อนข้างจะเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดของระดับไปยังพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลข

อีกอย่าง วิทยาศาสตร์มักใช้ดีกรีกับเลขชี้กำลังเชิงซ้อน นั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงปัญหาดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

แล้วเราจะทำอย่างไรถ้าเห็นเลขชี้กำลังอตรรกยะ? เรากำลังพยายามอย่างเต็มที่เพื่อกำจัดมัน! :)

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

1)

2)

3)

คำตอบ:

ส่วนสรุปและสูตรพื้นฐาน

ระดับเรียกว่านิพจน์ของแบบฟอร์ม: โดยที่:

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

องศา เลขชี้กำลังซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่นจำนวนเต็มและบวก)

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

องศา ตัวบ่งชี้ที่เป็นจำนวนลบและเศษส่วน

องศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ

เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์

คุณสมบัติองศา

คุณสมบัติขององศา

• ตัวเลขติดลบเพิ่มขึ้นเป็น สม่ำเสมอองศา, - หมายเลข เชิงบวก.
• ตัวเลขติดลบเพิ่มขึ้นเป็น แปลกองศา, - หมายเลข เชิงลบ.
• จำนวนบวกยกกำลังใด ๆ เป็นจำนวนบวก
• ศูนย์เท่ากับพลังใด ๆ
• เลขยกกำลังศูนย์ใดๆ มีค่าเท่ากัน

ตอนนี้คุณมีคำ...

คุณชอบบทความอย่างไร? แจ้งให้เราทราบในความคิดเห็นด้านล่างหากคุณชอบหรือไม่

บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณเกี่ยวกับคุณสมบัติด้านพลังงาน

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ

เขียนในความคิดเห็น

และขอให้โชคดีกับการสอบของคุณ!

เอาล่ะ หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถควบคุมบางสิ่งได้ด้วยตนเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณอยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้คิดออกทฤษฎีในหัวข้อนี้ และขอย้ำอีกครั้งว่า ... มันสุดยอดมาก! คุณดีกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือแค่นี้อาจไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการผ่านการสอบที่ประสบความสำเร็จสำหรับการเข้าศึกษาในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใดฉันจะพูดสิ่งหนึ่ง ...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะได้รับมากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะมีโอกาสมากขึ้นต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเอง...

ต้องทำอย่างไรจึงจะเก่งกว่าคนอื่นในการสอบและในที่สุด ... มีความสุขมากขึ้น?

กรอกมือของคุณเพื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบคุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไข (จำนวนมาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่สามารถทำมันได้ทันเวลา

เหมือนอยู่ในกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลายครั้งเพื่อชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำพวกเขาอย่างแน่นอน

เพื่อที่จะได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุตำราเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมด 99 บทความของบทช่วยสอน - ซื้อตำราเรียน - 899 รูเบิล

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนและเข้าถึงงานทั้งหมดและเปิดอ่านข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” กับ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

พบปัญหาและแก้ไข!

ได้เวลาทำคณิตศาสตร์แล้ว คุณยังจำได้ไหมว่าถ้าสองครั้งคูณสองจะเท่าไหร่?

ถ้าใครลืม - จะมีสี่ ดูเหมือนว่าทุกคนจะจำและรู้ตารางสูตรคูณ แต่ฉันพบคำขอจำนวนมากถึง Yandex เช่น "ตารางสูตรคูณ" หรือแม้แต่ "ดาวน์โหลดตารางสูตรคูณ" (!) สำหรับผู้ใช้ประเภทนี้ เช่นเดียวกับผู้ใช้ขั้นสูงที่สนใจเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมและองศาอยู่แล้ว ฉันโพสต์ตารางเหล่านี้ทั้งหมด คุณสามารถดาวน์โหลดเพื่อสุขภาพของคุณได้! ดังนั้น:

ตารางสูตรคูณ

(ตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 20)

?	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

ตารางสี่เหลี่ยม

(ตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 100)

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100	11 2 = 121 12 2 = 144 13 2 = 169 14 2 = 196 15 2 = 225 16 2 = 256 17 2 = 289 18 2 = 324 19 2 = 361 20 2 = 400	21 2 = 441 22 2 = 484 23 2 = 529 24 2 = 576 25 2 = 625 26 2 = 676 27 2 = 729 28 2 = 784 29 2 = 841 30 2 = 900	31 2 = 961 32 2 = 1024 33 2 = 1089 34 2 = 1156 35 2 = 1225 36 2 = 1296 37 2 = 1369 38 2 = 1444 39 2 = 1521 40 2 = 1600	41 2 = 1681 42 2 = 1764 43 2 = 1849 44 2 = 1936 45 2 = 2025 46 2 = 2116 47 2 = 2209 48 2 = 2304 49 2 = 2401 50 2 = 2500
51 2 = 2601 52 2 = 2704 53 2 = 2809 54 2 = 2916 55 2 = 3025 56 2 = 3136 57 2 = 3249 58 2 = 3364 59 2 = 3481 60 2 = 3600	61 2 = 3721 62 2 = 3844 63 2 = 3969 64 2 = 4096 65 2 = 4225 66 2 = 4356 67 2 = 4489 68 2 = 4624 69 2 = 4761 70 2 = 4900	71 2 = 5041 72 2 = 5184 73 2 = 5329 74 2 = 5476 75 2 = 5625 76 2 = 5776 77 2 = 5929 78 2 = 6084 79 2 = 6241 80 2 = 6400	81 2 = 6561 82 2 = 6724 83 2 = 6889 84 2 = 7056 85 2 = 7225 86 2 = 7396 87 2 = 7569 88 2 = 7744 89 2 = 7921 90 2 = 8100	91 2 = 8281 92 2 = 8464 93 2 = 8649 94 2 = 8836 95 2 = 9025 96 2 = 9216 97 2 = 9409 98 2 = 9604 99 2 = 9801 100 2 = 10000

ตารางองศา

(ตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 10)

1 ต่อพลัง:

2 ต่อกำลัง:

3 ต่อพลัง:

4 ต่อพลัง:

5 ต่อพลัง:

6 ต่อพลัง:

7 สู่อำนาจ:

7 10 = 282475249

8 ต่อกำลัง:

8 10 = 1073741824

9 สู่อำนาจ:

9 10 = 3486784401

10 ต่อพลัง:

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000