Wie das Multiplizieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Aufstellen eines Gleichungssystems
Multiplikation und Division von Brüchen.
Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")
Diese Operation ist viel schöner als Addition-Subtraktion! Weil es einfacher ist. Ich erinnere Sie daran: Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die Zähler (dies wird der Zähler des Ergebnisses sein) und die Nenner (dies wird der Nenner sein) multiplizieren. Also:
Zum Beispiel:
Alles ist sehr einfach. Und bitte nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen! Brauche ich hier nicht...
Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, musst du umdrehen zweite(das ist wichtig!) brechen und multiplizieren, also:
Zum Beispiel:
Wenn die Multiplikation oder Division mit ganzen Zahlen und Brüchen abgefangen wird, ist es in Ordnung. Wie bei der Addition machen wir aus einer ganzen Zahl mit einer Einheit im Nenner einen Bruch – und los! Zum Beispiel:
In der High School muss man sich oft mit dreistöckigen (oder sogar vierstöckigen!) Brüchen auseinandersetzen. Zum Beispiel:
Wie bringt man diesen Bruch in eine anständige Form? Ja, ganz einfach! Verwenden Sie die Division durch zwei Punkte:
Aber vergessen Sie nicht die Teilungsreihenfolge! Im Gegensatz zur Multiplikation ist dies hier sehr wichtig! Natürlich werden wir 4:2 oder 2:4 nicht verwechseln. Aber in einem dreistöckigen Bruchteil ist es leicht, einen Fehler zu machen. Bitte beachten Sie zum Beispiel:
Im ersten Fall (Ausdruck links):
Im zweiten (Ausdruck rechts):
Fühle den Unterschied? 4 und 1/9!
Wie ist die Teilungsreihenfolge? Oder Klammern oder (wie hier) die Länge horizontaler Striche. Entwickle ein Auge. Und wenn es keine Klammern oder Bindestriche gibt, wie:
dann dividieren-multiplizieren der Reihe nach von links nach rechts!
Und noch ein sehr einfacher und wichtiger Trick. Bei Aktionen mit Abschlüssen wird es sich für Sie als nützlich erweisen! Teilen wir die Einheit durch einen beliebigen Bruch, zum Beispiel durch 13/15:
Der Schuss ist übergesprungen! Und es passiert immer. Wenn Sie 1 durch einen beliebigen Bruch teilen, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt.
Das sind alle Aktionen mit Brüchen. Die Sache ist recht simpel, gibt aber mehr als genug Fehler. Notiz praktische Ratschläge, und sie (Fehler) werden weniger!
Praktische Tipps:
1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit Bruchausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit! Das sind keine gewöhnlichen Worte, keine guten Wünsche! Dies ist eine dringende Notwendigkeit! Führen Sie alle Berechnungen in der Prüfung als vollwertige Aufgabe mit Konzentration und Klarheit durch. Es ist besser, zwei zusätzliche Zeilen in einen Entwurf zu schreiben, als beim Rechnen im Kopf zu vermasseln.
2. In den Beispielen mit verschiedene Typen Brüche - gehen Sie zu gewöhnlichen Brüchen.
3. Wir reduzieren alle Brüche bis zum Anschlag.
4. Wir reduzieren mehrstufige Bruchausdrücke auf gewöhnliche, indem wir die Division durch zwei Punkte verwenden (wir folgen der Divisionsreihenfolge!).
5. Wir teilen die Einheit gedanklich in einen Bruch auf, indem wir einfach den Bruch umdrehen.
Hier sind die Aufgaben, die Sie erledigen müssen. Antworten werden nach allen Aufgaben gegeben. Verwenden Sie die Materialien zu diesem Thema und praktische Ratschläge. Schätzen Sie, wie viele Beispiele Sie richtig lösen könnten. Das erste Mal! Ohne Taschenrechner! Und die richtigen Schlüsse ziehen...
Erinnere dich an die richtige Antwort ab dem zweiten (insbesondere dritten) Mal erhalten - zählt nicht! So ist das harte Leben.
So, im Prüfungsmodus lösen ! Das ist übrigens die Vorbereitung auf die Prüfung. Wir lösen ein Beispiel, wir prüfen, wir lösen folgendes. Wir haben alles entschieden - wir haben noch einmal vom ersten bis zum letzten geprüft. Und nur nach schau dir die Antworten an.
Berechnung:
Haben Sie sich entschieden?
Suchen Sie nach Antworten, die zu Ihren passen. Ich habe sie eigens in einem Durcheinander aufgeschrieben, weg von der Versuchung sozusagen ... Hier sind sie, die Antworten, mit Semikolon aufgeschrieben.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Und jetzt ziehen wir Schlüsse. Wenn alles geklappt hat - glücklich für dich! Elementares Rechnen mit Brüchen ist nicht dein Problem! Sie können ernsthaftere Dinge tun. Wenn nicht...
Sie haben also eines von zwei Problemen. Oder beides gleichzeitig.) Unkenntnis und (oder) Unaufmerksamkeit. Aber das lösbar Probleme.
Wenn Ihnen diese Seite gefällt...
Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)
Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)
Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.
In diesem Artikel werden wir analysieren Multiplikation gemischter Zahlen. Zuerst werden wir die Regel zum Multiplizieren gemischter Zahlen formulieren und die Anwendung dieser Regel beim Lösen von Beispielen betrachten. Als nächstes werden wir über die Multiplikation einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl sprechen. Schließlich lernen wir, wie man eine gemischte Zahl und einen gewöhnlichen Bruch multipliziert.
Seitennavigation.
Multiplikation gemischter Zahlen.
Multiplikation gemischter Zahlen kann auf das Multiplizieren gewöhnlicher Brüche reduziert werden. Dazu genügt es, gemischte Zahlen in unechte Brüche umzuwandeln.
Schreiben wir auf Multiplikationsregel für gemischte Zahlen:
- Zunächst müssen die zu multiplizierenden gemischten Zahlen durch unechte Brüche ersetzt werden;
- Zweitens müssen Sie die Regel anwenden, einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren.
Betrachten Sie Beispiele für die Anwendung dieser Regel, wenn Sie eine gemischte Zahl mit einer gemischten Zahl multiplizieren.
Führe eine Multiplikation mit gemischten Zahlen durch und .
Zunächst stellen wir die multiplizierten gemischten Zahlen als unechte Brüche dar: 
und 
. Jetzt können wir die Multiplikation gemischter Zahlen durch die Multiplikation gewöhnlicher Brüche ersetzen: 
. Wenden wir die Regel der Multiplikation von Brüchen an, erhalten wir 
. Der resultierende Bruch ist irreduzibel (siehe reduzierbare und irreduzible Brüche), aber er ist falsch (siehe reguläre und unechte Brüche), daher bleibt es, um die endgültige Antwort zu erhalten, den ganzzahligen Teil aus dem unechten Bruch zu extrahieren: .
Lassen Sie uns die gesamte Lösung in einer Zeile schreiben: .
.
Betrachten Sie die Lösung eines anderen Beispiels, um die Fähigkeiten zum Multiplizieren gemischter Zahlen zu festigen.
Führen Sie die Multiplikation durch.
Lustige Zahlen und sind gleich den Brüchen 13/5 bzw. 10/9. Dann 
. An dieser Stelle ist es an der Zeit, sich an die Bruchreduktion zu erinnern: Wir ersetzen alle Zahlen im Bruch durch ihre Erweiterungen in Primfaktoren und führen die Reduktion derselben Faktoren durch.
Multiplikation einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl
Nachdem Sie die gemischte Zahl durch einen unechten Bruch ersetzt haben, Multiplikation einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl wird auf die Multiplikation eines gewöhnlichen Bruchs und einer natürlichen Zahl reduziert.
Multiplizieren Sie die gemischte Zahl und die natürliche Zahl 45 .
Eine gemischte Zahl ist dann ein Bruch 
. Lassen Sie uns die Zahlen im resultierenden Bruch durch ihre Erweiterungen in Primfaktoren ersetzen, eine Reduktion vornehmen, wonach wir den ganzzahligen Teil auswählen: .
.
Die Multiplikation einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl erfolgt manchmal bequem unter Verwendung des Verteilungsgesetzes der Multiplikation in Bezug auf die Addition. In diesem Fall ist das Produkt einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl gleich der Summe der Produkte des ganzzahligen Teils durch die gegebene natürliche Zahl und des Bruchteils durch die gegebene natürliche Zahl, d. h. 
.
Berechne das Produkt.
Wir ersetzen die gemischte Zahl durch die Summe der ganzen und gebrochenen Teile, danach wenden wir das Distributivgesetz der Multiplikation an: .
Multiplizieren einer gemischten Zahl und eines gemeinsamen Bruchs Es ist am bequemsten, auf die Multiplikation gewöhnlicher Brüche zu reduzieren, wobei die multiplizierte gemischte Zahl als unechter Bruch dargestellt wird.
Multipliziere die gemischte Zahl mit dem gemeinsamen Bruch 4/15.
Wenn wir die gemischte Zahl durch einen Bruch ersetzen, erhalten wir 
.
www.cleverstudents.ru
Multiplikation von Bruchzahlen
§ 140. Definitionen. 1) Die Multiplikation einer Bruchzahl mit einer ganzen Zahl ist genauso definiert wie die Multiplikation ganzer Zahlen, nämlich: eine Zahl (Multiplikator) mit einer ganzen Zahl (Faktor) zu multiplizieren bedeutet, eine Summe identischer Terme zu bilden, bei der jeder Term gleich dem Multiplikanden und die Anzahl der Terme gleich dem Multiplikator ist.
Mit 5 multiplizieren bedeutet also, die Summe zu finden:
2) Eine Zahl (Multiplikator) mit einem Bruch (Multiplikator) zu multiplizieren bedeutet, diesen Bruchteil des Multiplikanden zu finden.
Wenn wir also einen Bruch einer gegebenen Zahl finden, die wir zuvor betrachtet haben, nennen wir es jetzt Multiplikation mit einem Bruch.
3) Eine Zahl (Multiplikator) mit einer gemischten Zahl (Faktor) zu multiplizieren bedeutet, den Multiplikanden zuerst mit der ganzen Zahl des Faktors, dann mit dem Bruchteil des Faktors zu multiplizieren und die Ergebnisse dieser beiden Multiplikationen zu addieren.
Zum Beispiel:
Die nach der Multiplikation erhaltene Zahl wird in allen diesen Fällen genannt Arbeit, also genauso wie beim Multiplizieren ganzer Zahlen.
Aus diesen Definitionen wird deutlich, dass die Multiplikation von Bruchzahlen eine immer mögliche und immer eindeutige Handlung ist.
§ 141. Zweckmäßigkeit dieser Definitionen. Um zu verstehen, wie zweckmäßig es ist, die letzten beiden Definitionen der Multiplikation in die Arithmetik einzuführen, nehmen wir folgendes Problem:
Eine Aufgabe. Der Zug fährt bei gleichmäßiger Fahrt 40 km/h; Wie kann man herausfinden, wie viele Kilometer dieser Zug in einer bestimmten Anzahl von Stunden zurücklegt?
Wenn wir bei der gleichen Definition der Multiplikation blieben, die in der Arithmetik der ganzen Zahlen (Addition gleicher Glieder) angegeben ist, dann hätte unser Problem drei verschiedene Lösungen, nämlich:
Wenn die angegebene Stundenzahl eine ganze Zahl ist (z. B. 5 Stunden), müssen zur Lösung des Problems 40 km mit dieser Stundenzahl multipliziert werden.
Wenn eine bestimmte Anzahl von Stunden als Bruch ausgedrückt wird (z. B. Stunden), müssen Sie den Wert dieses Bruchs aus 40 km ermitteln.
Wenn die angegebene Anzahl von Stunden gemischt ist (z. B. Stunden), müssen 40 km mit einer in der gemischten Zahl enthaltenen ganzen Zahl multipliziert und zum Ergebnis ein solcher Bruchteil von 40 km hinzugefügt werden, wie er in der ist gemischte Zahl.
Die von uns gegebenen Definitionen erlauben es uns, eine allgemeine Antwort auf alle diese möglichen Fälle zu geben:
40 km müssen mit der angegebenen Stundenzahl multipliziert werden, wie hoch diese auch immer sein mag.
Wenn also die Aufgabe in präsentiert wird Gesamtansicht So:
Ein gleichmäßig fahrender Zug legt v km pro Stunde zurück. Wie viele Kilometer legt der Zug in t Stunden zurück?
dann können wir unabhängig von den Zahlen v und t eine Antwort ausdrücken: Die gewünschte Zahl wird durch die Formel v · t ausgedrückt.
Notiz. Das Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl bedeutet nach unserer Definition dasselbe wie das Multiplizieren einer gegebenen Zahl mit diesem Bruch; Daher bedeutet beispielsweise das Finden von 5% (dh fünf Hundertstel) einer bestimmten Zahl dasselbe wie das Multiplizieren der angegebenen Zahl mit oder mit; 125% einer gegebenen Zahl zu finden, ist dasselbe wie diese Zahl mit oder mit zu multiplizieren usw.
§ 142. Eine Anmerkung darüber, wann eine Zahl durch Multiplikation zunimmt und wann sie abnimmt.
Bei der Multiplikation mit einem echten Bruch verringert sich die Zahl, bei der Multiplikation mit einem unechten Bruch erhöht sich die Zahl, wenn dieser unechte Bruch größer als eins ist, und bleibt unverändert, wenn er gleich eins ist.
Kommentar. Bei der Multiplikation von Bruchzahlen sowie ganzen Zahlen wird das Produkt gleich Null genommen, wenn einer der Faktoren gleich Null ist, also.
§ 143. Ableitung von Multiplikationsregeln.
1) Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren. Lassen Sie den Bruch mit 5 multiplizieren. Dies bedeutet, um das 5-fache zu erhöhen. Um einen Bruch um 5 zu erhöhen, genügt es, seinen Zähler um das Fünffache zu erhöhen oder seinen Nenner zu verkleinern (§ 127).
Deshalb:
Regel 1. Um einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler mit dieser ganzen Zahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen; Stattdessen können Sie auch den Nenner des Bruchs durch die angegebene ganze Zahl dividieren (wenn möglich) und den Zähler gleich lassen.
Kommentar. Das Produkt aus einem Bruch und seinem Nenner ist gleich seinem Zähler.
So:
Regel 2. Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren und dieses Produkt zum Zähler machen und den Nenner des gegebenen Bruchs als Nenner signieren.
Regel 3. Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, musst du den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und das zweite zum Nenner des Produkts machen.
Kommentar. Diese Regel lässt sich auch auf die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl und einer ganzen Zahl mit einem Bruch anwenden, wenn wir nur die ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner Eins betrachten. So:
Somit sind die drei nun genannten Regeln in einer enthalten, die sich allgemein wie folgt ausdrücken lässt:
4) Multiplikation gemischter Zahlen.
Regel 4. Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, musst du sie in unechte Brüche umwandeln und dann gemäß den Regeln für die Multiplikation von Brüchen multiplizieren. Zum Beispiel:
§ 144. Herabsetzung der Multiplikation. Beim Multiplizieren von Brüchen sollte, wenn möglich, vorab gekürzt werden, wie die folgenden Beispiele zeigen:
Eine solche Kürzung ist möglich, weil sich der Wert eines Bruchs nicht ändert, wenn Zähler und Nenner gleich oft gekürzt werden.
§ 145. Produktänderung bei Faktoränderung. Wenn sich die Faktoren ändern, ändert sich das Produkt von Bruchzahlen genauso wie das Produkt von ganzen Zahlen (§ 53), nämlich: Wenn Sie einen beliebigen Faktor mehrmals erhöhen (oder verringern), dann wird das Produkt erhöht (oder verringert) um den gleichen Betrag.
Also, wenn im Beispiel:
Um mehrere Brüche zu multiplizieren, muss man ihre Zähler untereinander und die Nenner untereinander multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und das zweite zum Nenner des Produkts machen.
Kommentar. Diese Regel kann auch auf solche Produkte angewendet werden, bei denen einige Faktoren der Zahl ganzzahlig oder gemischt sind, wenn wir nur die ganze Zahl als einen Bruch mit dem Nenner eins betrachten und gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln. Zum Beispiel:
§ 147. Grundeigenschaften der Multiplikation. Zur Multiplikation von Bruchzahlen gehören auch jene Eigenschaften der Multiplikation, die wir für ganze Zahlen angegeben haben (§ 56, 57, 59). Lassen Sie uns diese Eigenschaften spezifizieren.
1) Das Produkt ändert sich nicht, wenn die Orte der Faktoren geändert werden.
Zum Beispiel:
In der Tat ist nach der Regel des vorherigen Absatzes das erste Produkt gleich dem Bruch und das zweite gleich dem Bruch. Aber diese Brüche sind gleich, weil sich ihre Mitglieder nur in der Reihenfolge der ganzzahligen Faktoren unterscheiden und das Produkt ganzer Zahlen sich nicht ändert, wenn die Faktoren die Plätze wechseln.
2) Das Produkt ändert sich nicht, wenn irgendeine Gruppe von Faktoren durch ihr Produkt ersetzt wird.
Zum Beispiel:
Die Ergebnisse sind die gleichen.
Aus dieser Eigenschaft der Multiplikation kann man folgende Schlussfolgerung ableiten:
Um eine Zahl mit einem Produkt zu multiplizieren, können Sie diese Zahl mit dem ersten Faktor multiplizieren, die resultierende Zahl mit dem zweiten multiplizieren und so weiter.
Zum Beispiel:
3) Das Distributivgesetz der Multiplikation (in Bezug auf die Addition). Um die Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, kannst du jeden Term separat mit dieser Zahl multiplizieren und die Ergebnisse addieren.
Dieses Gesetz ist von uns (§ 59) auf ganze Zahlen angewendet erklärt worden. Sie bleibt unverändert für Bruchzahlen gültig.
Zeigen wir in der Tat, dass die Gleichheit
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(das Verteilungsgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition) bleibt auch dann gültig, wenn die Buchstaben Bruchzahlen bedeuten. Betrachten wir drei Fälle.
1) Nehmen wir zunächst an, dass der Faktor m eine ganze Zahl ist, zum Beispiel m = 3 (a, b, c sind beliebige Zahlen). Nach der Definition der Multiplikation mit einer ganzen Zahl kann man schreiben (der Einfachheit halber auf drei Terme beschränkt):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
Aufgrund des assoziativen Additionsgesetzes können wir alle Klammern auf der rechten Seite weglassen; Wenn wir das kommutative Additionsgesetz und dann wieder das Kombinationsgesetz anwenden, können wir die rechte Seite offensichtlich wie folgt umschreiben:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
Damit ist das Distributivgesetz in diesem Fall bestätigt.
Multiplikation und Division von Brüchen
Letztes Mal haben wir gelernt, wie man Brüche addiert und subtrahiert (siehe die Lektion "Brüche addieren und subtrahieren"). Der schwierigste Moment bei diesen Aktionen war es, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.
Jetzt ist es an der Zeit, sich mit Multiplikation und Division zu befassen. Die gute Nachricht ist, dass diese Operationen noch einfacher sind als Addition und Subtraktion. Betrachten Sie zunächst den einfachsten Fall, wenn es zwei positive Brüche ohne einen ausgezeichneten ganzzahligen Teil gibt.
Um zwei Brüche zu multiplizieren, musst du ihre Zähler und Nenner separat multiplizieren. Die erste Zahl ist der Zähler des neuen Bruchs und die zweite der Nenner.
Um zwei Brüche zu dividieren, musst du den ersten Bruch mit der „umgekehrten“ Sekunde multiplizieren.
Aus der Definition folgt, dass sich die Division von Brüchen auf die Multiplikation reduziert. Um einen Bruch umzudrehen, vertauschst du einfach Zähler und Nenner. Daher werden wir uns in der gesamten Lektion hauptsächlich mit der Multiplikation befassen.
Als Ergebnis der Multiplikation kann ein gekürzter Bruch entstehen (und kommt oft vor) – natürlich muss gekürzt werden. Wenn sich nach allen Kürzungen herausstellt, dass der Bruch falsch ist, sollte der ganze Teil darin unterschieden werden. Was aber bei der Multiplikation genau nicht passieren wird, ist die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner: keine Kreuzverfahren, maximale Faktoren und kleinste gemeinsame Vielfache.
Per Definition haben wir:
Multiplikation von Brüchen mit einem ganzzahligen Teil und negativen Brüchen
Falls in Bruchteilen vorhanden ganzer Teil, müssen sie in falsche umgewandelt - und erst dann nach den oben skizzierten Schemata multipliziert werden.
Wenn im Zähler eines Bruchs, im Nenner oder davor ein Minus steht, kann es nach folgenden Regeln aus den Grenzen der Multiplikation herausgenommen oder ganz entfernt werden:
- Plus mal Minus ergibt Minus;
- Zwei Verneinungen ergeben eine Bejahung.
Bisher begegnete man diesen Regeln nur beim Addieren und Subtrahieren von negativen Brüchen, wenn es darum ging, den ganzen Teil loszuwerden. Für ein Produkt können sie verallgemeinert werden, um mehrere Minuspunkte auf einmal zu „verbrennen“:
- Wir streichen die Minuspunkte paarweise durch, bis sie vollständig verschwinden. Im Extremfall kann ein Minus überleben - derjenige, der keine Übereinstimmung gefunden hat;
- Wenn keine Minuspunkte mehr vorhanden sind, ist die Operation abgeschlossen - Sie können mit dem Multiplizieren beginnen. Wenn das letzte Minus nicht durchgestrichen ist, da es kein Paar gefunden hat, nehmen wir es aus den Grenzen der Multiplikation heraus. Sie erhalten einen negativen Bruch.
Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:
Wir übersetzen alle Brüche in unechte Brüche und entfernen dann die Minuszeichen außerhalb der Grenzen der Multiplikation. Was übrig bleibt, wird nach den üblichen Regeln multipliziert. Wir bekommen:
Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass sich das Minus vor einem Bruch mit einem hervorgehobenen ganzzahligen Teil speziell auf den gesamten Bruch bezieht und nicht nur auf seinen ganzzahligen Teil (dies gilt für die letzten beiden Beispiele).
Achten Sie auch darauf negative Zahlen: Wenn sie multipliziert werden, werden sie in Klammern eingeschlossen. Dies geschieht, um die Minuszeichen von den Multiplikationszeichen zu trennen und die gesamte Notation genauer zu machen.
Brüche im laufenden Betrieb kürzen
Die Multiplikation ist eine sehr mühsame Operation. Die Zahlen hier sind ziemlich groß, und um die Aufgabe zu vereinfachen, können Sie versuchen, den Bruch noch weiter zu reduzieren vor Multiplikation. Tatsächlich sind Zähler und Nenner von Brüchen im Wesentlichen gewöhnliche Faktoren und können daher unter Verwendung der grundlegenden Eigenschaft eines Bruchs gekürzt werden. Schauen Sie sich die Beispiele an:
Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:
Per Definition haben wir:
In allen Beispielen sind die reduzierten Zahlen und deren Reste rot markiert.
Bitte beachten Sie: Im ersten Fall wurden die Multiplikatoren komplett reduziert. Einheiten blieben an ihrer Stelle, die im Allgemeinen weggelassen werden können. Im zweiten Beispiel konnte keine vollständige Reduzierung erreicht werden, aber die Gesamtzahl der Berechnungen nahm trotzdem ab.
Verwenden Sie diese Technik jedoch auf keinen Fall beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen! Ja, manchmal gibt es ähnliche Zahlen, die Sie einfach reduzieren möchten. Hier, schau:
Das kannst du nicht!
Der Fehler tritt auf, weil beim Addieren eines Bruchs die Summe im Zähler eines Bruchs erscheint und nicht das Produkt von Zahlen. Daher ist es unmöglich, die Haupteigenschaft eines Bruchs anzuwenden, da sich diese Eigenschaft speziell mit der Multiplikation von Zahlen befasst.
Es gibt einfach keinen anderen Grund, Brüche zu kürzen, also sieht die richtige Lösung der vorherigen Aufgabe so aus:
Wie Sie sehen können, stellte sich heraus, dass die richtige Antwort nicht so schön war. Seien Sie im Allgemeinen vorsichtig.
Multiplikation von Brüchen.
Um einen Bruch mit einem Bruch oder einen Bruch mit einer Zahl richtig zu multiplizieren, müssen Sie es wissen einfache Regeln. Wir werden diese Regeln nun im Detail analysieren.
Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren.
Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, musst du das Produkt der Zähler und das Produkt der Nenner dieser Brüche berechnen.
Betrachten Sie ein Beispiel:
Wir multiplizieren den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs, und wir multiplizieren auch den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs.
Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren.
Beginnen wir mit der Regel jede Zahl kann als Bruch dargestellt werden \(\bf n = \frac \) .
Lassen Sie uns diese Regel für die Multiplikation verwenden.
Der unechte Bruch \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) wurde umgewandelt in gemischte Fraktion.
Mit anderen Worten, Wenn Sie eine Zahl mit einem Bruch multiplizieren, multiplizieren Sie die Zahl mit dem Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert. Beispiel:
Multiplikation gemischter Brüche.
Um gemischte Brüche zu multiplizieren, musst du zuerst jeden gemischten Bruch als unechten Bruch darstellen und dann die Multiplikationsregel anwenden. Der Zähler wird mit dem Zähler multipliziert, der Nenner mit dem Nenner.
Multiplikation von reziproken Brüchen und Zahlen.
Verwandte Fragen:
Wie multipliziert man einen Bruch mit einem Bruch?
Antwort: Das Produkt gewöhnlicher Brüche ist die Multiplikation des Zählers mit dem Zähler, des Nenners mit dem Nenner. Um das Produkt gemischter Brüche zu erhalten, musst du sie in einen unechten Bruch umwandeln und gemäß den Regeln multiplizieren.
Wie multipliziert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern?
Antwort: Es spielt keine Rolle, ob die Nenner von Brüchen gleich oder verschieden sind, die Multiplikation erfolgt gemäß der Regel zum Ermitteln des Produkts des Zählers mit dem Zähler, des Nenners mit dem Nenner.
Wie multipliziert man gemischte Brüche?
Antwort: Zuerst musst du den gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln und dann das Produkt nach den Regeln der Multiplikation finden.
Wie multipliziert man eine Zahl mit einem Bruch?
Antwort: Wir multiplizieren die Zahl mit dem Zähler und lassen den Nenner gleich.
Beispiel 1:
Berechnen Sie das Produkt: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)
Beispiel #2:
Berechnen Sie das Produkt aus einer Zahl und einem Bruch: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)
Beispiel #3:
Schreibe den Kehrwert des Bruchs \(\frac \)?
Antwort: \(\frac = 3\)
Beispiel #4:
Berechnen Sie das Produkt zweier Kehrwerte: a) \(\frac \times \frac \)
Beispiel #5:
Können umgekehrte Brüche sein:
a) beide echten Brüche;
b) gleichzeitig unechte Brüche;
c) gleichzeitig natürliche Zahlen?
Lösung:
a) Lassen Sie uns ein Beispiel verwenden, um die erste Frage zu beantworten. Der Bruch \(\frac \) ist korrekt, sein Kehrwert ist gleich \(\frac \) - ein unechter Bruch. Antwort: nein.
b) bei fast allen Aufzählungen von Brüchen ist diese Bedingung nicht erfüllt, aber es gibt einige Zahlen, die gleichzeitig die Bedingung erfüllen, ein unechter Bruch zu sein. Zum Beispiel ist der unechte Bruch \(\frac \) , sein Kehrwert ist \(\frac \). Wir erhalten zwei unechte Brüche. Antwort: nicht immer unter bestimmten Bedingungen, wenn Zähler und Nenner gleich sind.
c) Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die wir beim Zählen verwenden, zum Beispiel 1, 2, 3, .... Wenn wir die Zahl \(3 = \frac \) nehmen, dann ist ihr Kehrwert \(\frac \). Der Bruch \(\frac \) ist keine natürliche Zahl. Wenn wir alle Zahlen durchgehen, ist der Kehrwert immer ein Bruch, außer 1. Wenn wir die Zahl 1 nehmen, dann ist ihr Kehrwert \(\frac = \frac = 1\). Die Zahl 1 ist eine natürliche Zahl. Antwort: Sie können nur in einem Fall gleichzeitig natürliche Zahlen sein, wenn diese Zahl 1 ist.
Beispiel #6:
Bilden Sie das Produkt gemischter Brüche: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)
Lösung:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)
Beispiel #7:
Können zwei reziproke Zahlen gleichzeitig gemischte Zahlen sein?
Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir einen gemischten Bruch \(1\frac \), finden seinen Kehrwert, dazu übersetzen wir ihn in einen unechten Bruch \(1\frac = \frac \) . Sein Kehrwert ist gleich \(\frac \) . Der Bruch \(\frac \) ist ein echter Bruch. Antwort: Zwei zueinander inverse Brüche können nicht gleichzeitig gemischte Zahlen sein.
Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl
Präsentation für den Unterricht
Aufmerksamkeit! Die Folienvorschau dient nur zu Informationszwecken und stellt möglicherweise nicht den vollen Umfang der Präsentation dar. Wenn Sie interessiert sind diese Arbeit Bitte laden Sie die Vollversion herunter.
- Machen Sie die Schüler auf unterhaltsame Weise mit der Regel bekannt, einen Dezimalbruch mit einer natürlichen Zahl, mit einer Biteinheit zu multiplizieren, und mit der Regel, einen Dezimalbruch als Prozentsatz auszudrücken. Entwickeln Sie die Fähigkeit, das erworbene Wissen bei der Lösung von Beispielen und Problemen anzuwenden.
- Entwickeln und aktivieren logisches Denken Schüler, die Fähigkeit, Muster zu erkennen und zu verallgemeinern, das Gedächtnis zu stärken, die Fähigkeit zur Zusammenarbeit, Hilfestellung zu geben, ihre Arbeit und die Arbeit der anderen zu bewerten.
- Interesse an Mathematik, Aktivität, Mobilität, Kommunikationsfähigkeit fördern.
Ausrüstung: interaktive Tafel, ein Plakat mit einem Chiffrogramm, Plakate mit Aussagen von Mathematikern.
- Zeit organisieren.
- Mündliches Zählen ist eine Verallgemeinerung von zuvor gelerntem Material, Vorbereitung auf das Studium von neuem Material.
- Erklärung des neuen Materials.
- Hausaufgabe.
- Mathematischer Sportunterricht.
- Verallgemeinerung und Systematisierung des erworbenen Wissens in Spielform einen Computer benutzen.
- Benotung.
2. Leute, heute wird unsere Stunde etwas ungewöhnlich, denn ich werde sie nicht alleine verbringen, sondern mit meinem Freund. Und mein Freund ist auch ungewöhnlich, jetzt wirst du ihn sehen. (Ein Cartoon-Computer erscheint auf dem Bildschirm.) Mein Freund hat einen Namen und er kann sprechen. Wie ist dein Name, Freund? Komposha antwortet: "Mein Name ist Komposha." Bist du bereit, mir heute zu helfen? JAWOHL! Dann fangen wir mit dem Unterricht an.
Heute habe ich ein verschlüsseltes Chiffre erhalten, Leute, das wir gemeinsam lösen und entziffern müssen. (Ein Poster ist an der Tafel mit angebracht mündliche Zählung für die Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen, wodurch die Jungs den folgenden Code erhalten 523914687. )
Komposha hilft, den empfangenen Code zu entschlüsseln. Als Ergebnis der Dekodierung wird das Wort MULTIPLIKATION erhalten. Multiplikation ist Stichwort Themen des heutigen Unterrichts. Das Thema der Lektion wird auf dem Monitor angezeigt: „Multiplizieren eines Dezimalbruchs mit einer natürlichen Zahl“
Leute, wir wissen, wie man multipliziert natürliche Zahlen. Heute betrachten wir die Multiplikation von Dezimalzahlen mit einer natürlichen Zahl. Die Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer natürlichen Zahl kann als Summe der Glieder betrachtet werden, von denen jedes gleich diesem Dezimalbruch ist, und die Anzahl der Glieder ist gleich dieser natürlichen Zahl. Zum Beispiel: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Also 5,21 3 = 15,63. Wenn wir 5,21 als gewöhnlichen Bruch einer natürlichen Zahl darstellen, erhalten wir
Und in diesem Fall haben wir dasselbe Ergebnis von 15,63 erhalten. Nehmen wir nun, das Komma ignorierend, die Zahl 521 statt der Zahl 5,21 und multiplizieren mit der gegebenen natürlichen Zahl. Dabei müssen wir bedenken, dass bei einem der Faktoren das Komma um zwei Stellen nach rechts verschoben wird. Wenn wir die Zahlen 5, 21 und 3 multiplizieren, erhalten wir ein Produkt gleich 15,63. In diesem Beispiel verschieben wir nun das Komma um zwei Stellen nach links. Um wie oft also einer der Faktoren erhöht wurde, wurde das Produkt um so viele Male reduziert. Basierend auf den ähnlichen Punkten dieser Methoden ziehen wir eine Schlussfolgerung.
Multiplizieren Dezimal zu einer natürlichen Zahl benötigen Sie:
1) Ignorieren Sie das Komma, führen Sie die Multiplikation natürlicher Zahlen durch;
2) Trennen Sie im resultierenden Produkt mit einem Komma rechts so viele Zeichen, wie ein Dezimalbruch vorhanden ist.
Auf dem Monitor werden folgende Beispiele angezeigt, die wir zusammen mit Komposha und den Jungs analysieren: 5,21 3 = 15,63 und 7,624 15 = 114,34. Nachdem ich die Multiplikation mit einer runden Zahl 12,6 50 \u003d 630 gezeigt habe. Als nächstes wende ich mich der Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer Biteinheit zu. Ich zeige die folgenden Beispiele: 7,423 100 \u003d 742,3 und 5,2 1000 \u003d 5200. Also führe ich die Regel zum Multiplizieren eines Dezimalbruchs mit einer Biteinheit ein:
Um einen Dezimalbruch mit den Biteinheiten 10, 100, 1000 usw. zu multiplizieren, muss das Komma in diesem Bruch um so viele Stellen nach rechts verschoben werden, wie es Nullen im Biteinheitsdatensatz gibt.
Ich beende die Erklärung mit dem Ausdruck eines Dezimalbruchs in Prozent. Ich gebe die Regel ein:
Um eine Dezimalzahl als Prozentsatz auszudrücken, multipliziere sie mit 100 und füge das %-Zeichen hinzu.
Ich gebe ein Beispiel auf einem Computer 0,5 100 = 50 oder 0,5 = 50%.
4. Am Ende der Erklärung gebe ich den Jungs Hausaufgaben, die auch auf dem Computermonitor angezeigt wird: № 1030, № 1034, № 1032.
5. Damit sich die Jungs ein wenig ausruhen, um das Thema zu festigen, machen wir zusammen mit Komposha eine mathematische Sportstunde. Alle stehen auf, zeigen der Klasse die gelösten Beispiele und sie müssen antworten, ob das Beispiel richtig oder falsch ist. Wenn das Beispiel richtig gelöst ist, heben sie die Hände über den Kopf und klatschen in die Handflächen. Wird das Beispiel nicht richtig gelöst, strecken die Jungs die Arme seitlich aus und kneten mit den Fingern.
6. Und jetzt hast du ein wenig Ruhe, du kannst die Aufgaben lösen. Öffnen Sie Ihr Lehrbuch auf Seite 205, № 1029. In dieser Aufgabe ist es notwendig, den Wert von Ausdrücken zu berechnen:
Aufgaben werden auf dem Computer angezeigt. Wenn sie gelöst sind, erscheint ein Bild mit dem Bild eines Bootes, das, wenn es vollständig zusammengebaut ist, davonsegelt.
Beim Lösen dieser Aufgabe am Computer entwickelt sich die Rakete allmählich, beim Lösen des letzten Beispiels fliegt die Rakete davon. Der Lehrer gibt den Schülern eine kleine Information: „Jedes Jahr heben Sie aus dem kasachischen Land vom Kosmodrom Baikonur zu den Sternen ab Raumschiffe. Kasachstan baut in der Nähe von Baikonur sein neues Kosmodrom Baiterek.
Wie weit fährt ein Auto in 4 Stunden, wenn die Geschwindigkeit des Autos 74,8 km/h beträgt?
Geschenkgutschein Sie wissen nicht, was Sie Ihrem Lebensgefährten, Freunden, Mitarbeitern, Verwandten schenken sollen? Profitieren Sie von unserem Sonderangebot: „Geschenkgutschein des Blue Osoka Country Hotel.“ Der Gutschein […]
Eine weitere Operation, die mit gewöhnlichen Brüchen durchgeführt werden kann, ist die Multiplikation. Wir werden versuchen, seine Grundregeln beim Lösen von Problemen zu erklären, zeigen, wie ein gewöhnlicher Bruch mit einer natürlichen Zahl multipliziert wird und wie man drei oder mehr gewöhnliche Brüche richtig multipliziert.
Schreiben wir zuerst die Grundregel auf:
Bestimmung 1
Wenn wir einen gewöhnlichen Bruch multiplizieren, ist der Zähler des resultierenden Bruchs gleich dem Produkt der Zähler der ursprünglichen Brüche und der Nenner dem Produkt ihrer Nenner. In wörtlicher Form kann dies für zwei Brüche a / b und c / d ausgedrückt werden als a b · c d = a · c b · d.
Schauen wir uns ein Beispiel an, wie man diese Regel richtig anwendet. Nehmen wir an, wir haben ein Quadrat, dessen Seite gleich einer numerischen Einheit ist. Dann beträgt die Fläche der Figur 1 Quadrat. Einheit. Wenn wir das Quadrat in gleich große Rechtecke mit Seiten gleich 1 4 und 1 8 der numerischen Einheit teilen, erhalten wir, dass es jetzt aus 32 Rechtecken besteht (weil 8 4 = 32). Dementsprechend wird die Fläche von jedem von ihnen gleich 1 32 der Fläche der gesamten Figur sein, d.h. 1 32 qm Einheiten.
Wir haben ein schattiertes Fragment mit Seiten gleich 5 8 numerischen Einheiten und 3 4 numerischen Einheiten. Dementsprechend ist es zur Berechnung seiner Fläche erforderlich, den ersten Bruchteil mit dem zweiten zu multiplizieren. Es wird 5 8 3 4 Quadratmetern entsprechen. Einheiten. Aber wir können einfach zählen, wie viele Rechtecke in dem Fragment enthalten sind: Es gibt 15 davon, was bedeutet, dass die Gesamtfläche 1532 Quadrateinheiten beträgt.
Da 5 3 = 15 und 8 4 = 32 sind, können wir die folgende Gleichung schreiben:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Es ist eine Bestätigung der von uns formulierten Regel zum Multiplizieren gewöhnlicher Brüche, die ausgedrückt wird als a b · c d = a · c b · d. Es funktioniert für echte und unechte Brüche gleich; Es kann verwendet werden, um Brüche mit unterschiedlichen und gleichen Nennern zu multiplizieren.
Analysieren wir die Lösungen mehrerer Probleme zur Multiplikation gewöhnlicher Brüche.
Beispiel 1
Multipliziere 7 11 mit 9 8 .
Lösung
Zunächst berechnen wir das Produkt der Zähler der angegebenen Brüche, indem wir 7 mit 9 multiplizieren. Wir haben 63. Dann berechnen wir das Produkt der Nenner und erhalten: 11 8 = 88 . Lassen Sie uns die Antwort aus zwei Zahlen zusammensetzen: 63 88.
Die gesamte Lösung kann wie folgt geschrieben werden:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Antworten: 7 11 9 8 = 63 88 .
Wenn wir in der Antwort einen reduzierbaren Bruch erhalten haben, müssen wir die Berechnung vervollständigen und seine Reduktion durchführen. Wenn wir einen unechten Bruch erhalten, müssen wir daraus den ganzen Teil auswählen.
Beispiel 2
Bruchprodukt berechnen 4 15 und 55 6 .
Lösung
Gemäß der oben untersuchten Regel müssen wir den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Der Lösungseintrag sieht folgendermaßen aus:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Wir haben einen reduzierten Bruch erhalten, d.h. eine, die ein Zeichen der Teilbarkeit durch 10 hat.
Reduzieren wir den Bruch: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. Als Ergebnis haben wir einen unechten Bruch erhalten, aus dem wir den ganzen Teil auswählen und eine gemischte Zahl erhalten: 22 9 \u003d 2 4 9.
Antworten: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Zur Vereinfachung der Berechnung können wir auch die ursprünglichen Brüche kürzen, bevor wir die Multiplikationsoperation durchführen, für die wir den Bruch in die Form a · c · b · d bringen müssen. Wir zerlegen die Werte der Variablen in einfache Faktoren und streichen dieselben.
Lassen Sie uns anhand der Daten eines konkreten Problems erklären, wie das aussieht.
Beispiel 3
Berechnen Sie das Produkt 4 15 55 6 .
Lösung
Schreiben wir die Berechnungen basierend auf der Multiplikationsregel. Wir werden im Stande sein zu:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Da 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 und 6 = 2 3 , dann 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 .
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Antworten: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Numerischer Ausdruck, bei der die Multiplikation gewöhnlicher Brüche stattfindet, hat ein Kommutativgesetz, d. h. wir können bei Bedarf die Reihenfolge der Faktoren ändern:
ein b c d = c d ein b = ein c b d
Wie man einen Bruch mit einer natürlichen Zahl multipliziert
Schreiben wir gleich die Grundregel auf und versuchen sie dann in der Praxis zu erklären.
Bestimmung 2
Um einen gewöhnlichen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, musst du den Zähler dieses Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren. In diesem Fall ist der Nenner des letzten Bruchs gleich dem Nenner des ursprünglichen gewöhnlichen Bruchs. Die Multiplikation eines Bruchs a b mit einer natürlichen Zahl n kann als Formel a b · n = a · n b geschrieben werden.
Diese Formel ist leicht zu verstehen, wenn Sie sich daran erinnern, dass jede natürliche Zahl als gewöhnlicher Bruch mit einem Nenner gleich eins dargestellt werden kann, das heißt:
ein b n = ein b n 1 = ein n b 1 = ein n b
Lassen Sie uns unsere Idee anhand konkreter Beispiele erläutern.
Beispiel 4
Berechne das Produkt von 2 27 mal 5 .
Lösung
Als Ergebnis der Multiplikation des Zählers des ursprünglichen Bruchs mit dem zweiten Faktor erhalten wir 10. Aufgrund der obigen Regel erhalten wir als Ergebnis 10 27. Die vollständige Lösung finden Sie in diesem Beitrag:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Antworten: 2 27 5 = 10 27
Wenn wir eine natürliche Zahl mit einem gemeinsamen Bruch multiplizieren, müssen wir das Ergebnis oft kürzen oder als gemischte Zahl darstellen.
Beispiel 5
Bedingung: Berechne das Produkt von 8 mal 5 12 .
Lösung
Nach obiger Regel multiplizieren wir eine natürliche Zahl mit dem Zähler. Als Ergebnis erhalten wir 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Der letzte Bruch hat Zeichen der Teilbarkeit durch 2, also müssen wir ihn kürzen:
LCM (40, 12) \u003d 4, also 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3
Jetzt müssen wir nur noch den ganzzahligen Teil auswählen und die fertige Antwort aufschreiben: 10 3 = 3 1 3.
In diesem Eintrag sehen Sie die gesamte Lösung: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .
Wir könnten den Bruch auch kürzen, indem wir Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegen, und das Ergebnis wäre genau dasselbe.
Antworten: 5 12 8 = 3 1 3 .
Ein numerischer Ausdruck, bei dem eine natürliche Zahl mit einem Bruch multipliziert wird, hat ebenfalls die Verschiebungseigenschaft, d. h. die Reihenfolge der Faktoren beeinflusst das Ergebnis nicht:
ein b n = n ein b = ein n b
Wie man drei oder mehr gemeinsame Brüche multipliziert
Wir können die gleichen Eigenschaften, die für die Multiplikation natürlicher Zahlen charakteristisch sind, auf die Multiplikation gewöhnlicher Brüche ausdehnen. Dies ergibt sich aus der eigentlichen Definition dieser Konzepte.
Dank der Kenntnis der Assoziations- und Kommutativeigenschaften ist es möglich, drei oder mehr gewöhnliche Brüche zu multiplizieren. Es ist zulässig, die Faktoren zur besseren Übersichtlichkeit stellenweise anders anzuordnen oder die Klammern so anzuordnen, dass das Zählen erleichtert wird.
Lassen Sie uns ein Beispiel zeigen, wie das gemacht wird.
Beispiel 6
Multipliziere vier gemeinsame Brüche 1 20 , 12 5 , 3 7 und 5 8 .
Lösung: Zuerst nehmen wir die Arbeit auf. Wir erhalten 1 20 12 5 3 7 5 8 . Wir müssen alle Zähler und alle Nenner miteinander multiplizieren: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .
Bevor wir mit der Multiplikation beginnen, können wir es uns etwas einfacher machen und einige Zahlen zur weiteren Reduktion in Primfaktoren zerlegen. Dies wird einfacher sein, als die daraus resultierende fertige Fraktion zu reduzieren.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Antworten: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.
Beispiel 7
Multipliziere 5 Zahlen 7 8 12 8 5 36 10 .
Lösung
Der Einfachheit halber können wir den Bruch 7 8 mit der Zahl 8 und die Zahl 12 mit dem Bruch 5 36 gruppieren, da uns dies zukünftige Kürzungen klar macht. Als Ergebnis erhalten wir:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3
Antworten: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .
Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter
§ 87. Addition von Brüchen.
Das Addieren von Brüchen hat viele Ähnlichkeiten mit dem Addieren ganzer Zahlen. Die Addition von Brüchen ist eine Aktion, die darin besteht, dass mehrere gegebene Zahlen (Begriffe) zu einer Zahl (Summe) kombiniert werden, die alle Einheiten und Brüche von Einheiten von Begriffen enthält.
Wir betrachten der Reihe nach drei Fälle:
1. Addition von Brüchen mit gleichem Nenner.
2. Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
3. Addition von gemischten Zahlen.
1. Addition von Brüchen mit gleichem Nenner.
Betrachten Sie ein Beispiel: 1 / 5 + 2 / 5 .
Nehmen Sie das Segment AB (Abb. 17), nehmen Sie es als Einheit und teilen Sie es in 5 gleiche Teile, dann entspricht der Teil AC dieses Segments 1/5 des Segments AB und der Teil desselben Segments CD entspricht 2/5 AB.
Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass, wenn wir das Segment AD nehmen, es gleich 3/5 AB ist; aber das Segment AD ist genau die Summe der Segmente AC und CD. Wir können also schreiben:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Wenn wir diese Terme und den resultierenden Betrag betrachten, sehen wir, dass der Zähler der Summe durch Addition der Zähler der Terme erhalten wurde und der Nenner unverändert blieb.
Daraus erhalten wir folgende Regel: Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie ihre Zähler addieren und denselben Nenner belassen.
Betrachten Sie ein Beispiel:
2. Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
Addieren wir Brüche: 3/4 + 3/8 Zuerst müssen sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner gebracht werden:
Das Zwischenglied 6/8 + 3/8 hätte nicht geschrieben werden können; Wir haben es hier für mehr Klarheit geschrieben.
Um also Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, musst du sie zuerst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen, ihre Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner vorzeichenen.
Betrachten Sie ein Beispiel (wir schreiben zusätzliche Faktoren über die entsprechenden Brüche):
3. Addition von gemischten Zahlen.
Addieren wir die Zahlen: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Bringen wir zunächst die Bruchteile unserer Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner und schreiben sie noch einmal um:
Fügen Sie nun der Reihe nach die ganzzahligen und gebrochenen Teile hinzu:
§ 88. Subtraktion von Brüchen.
Die Subtraktion von Brüchen wird genauso definiert wie die Subtraktion von ganzen Zahlen. Dies ist eine Aktion, bei der aus der Summe von zwei Termen und einem von ihnen ein weiterer Term gefunden wird. Betrachten wir der Reihe nach drei Fälle:
1. Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner.
2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
3. Subtraktion gemischter Zahlen.
1. Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner.
Betrachten Sie ein Beispiel:
13 / 15 - 4 / 15
Nehmen wir das Segment AB (Abb. 18), nehmen es als Einheit und teilen es in 15 gleiche Teile; dann entspricht der AC-Teil dieses Segments 1/15 von AB, und der AD-Teil desselben Segments entspricht 13/15 AB. Lassen Sie uns ein weiteres Segment ED beiseite legen, gleich 4/15 AB.
Wir müssen 4/15 von 13/15 subtrahieren. In der Zeichnung bedeutet dies, dass das Segment ED vom Segment AD subtrahiert werden muss. Infolgedessen bleibt das Segment AE bestehen, was 9/15 des Segments AB entspricht. Wir können also schreiben:
Das von uns gemachte Beispiel zeigt, dass der Zähler der Differenz durch Subtraktion der Zähler erhalten wurde und der Nenner gleich blieb.
Um also Brüche mit gleichem Nenner zu subtrahieren, musst du den Zähler des Subtrahenten vom Zähler des Minuends subtrahieren und den gleichen Nenner belassen.
2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
Beispiel. 3/4 - 5/8
Lassen Sie uns diese Brüche zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen:
Der Zwischenlink 6 / 8 - 5 / 8 wird hier aus Gründen der Übersichtlichkeit geschrieben, kann aber in Zukunft übersprungen werden.
Um also einen Bruch von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie sie zuerst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen, dann den Zähler des Subtrahenten vom Zähler des Minuenden subtrahieren und den gemeinsamen Nenner unter ihrer Differenz signieren.
Betrachten Sie ein Beispiel:
3. Subtraktion gemischter Zahlen.
Beispiel. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
Bringen wir die Nachkommastellen von Minuend und Subtrahend auf den kleinsten gemeinsamen Nenner:
Wir subtrahieren ein Ganzes von einem Ganzen und einen Bruch von einem Bruch. Aber es gibt Fälle, in denen der Bruchteil des Subtrahends größer ist als der Bruchteil des Minuends. In solchen Fällen müssen Sie eine Einheit aus dem ganzzahligen Teil des reduzierten Teils nehmen, sie in die Teile aufteilen, in denen der Bruchteil ausgedrückt wird, und zum Bruchteil des reduzierten Teils hinzufügen. Und dann wird die Subtraktion auf die gleiche Weise wie im vorherigen Beispiel durchgeführt:
§ 89. Multiplikation von Brüchen.
Beim Studium der Multiplikation von Brüchen werden wir die folgenden Fragen berücksichtigen:
1. Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren.
2. Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl.
3. Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch.
4. Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren.
5. Multiplikation gemischter Zahlen.
6. Das Konzept des Interesses.
7. Finden von Prozentsätzen einer gegebenen Zahl. Betrachten wir sie der Reihe nach.
1. Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren.
Das Multiplizieren eines Bruchs mit einer ganzen Zahl hat dieselbe Bedeutung wie das Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einer ganzen Zahl. Einen Bruch (Multiplikand) mit einer ganzen Zahl (Multiplikator) zu multiplizieren bedeutet, die Summe identischer Terme zu bilden, wobei jeder Term gleich dem Multiplikanden und die Anzahl der Terme gleich dem Multiplikator ist.
Wenn Sie also 1/9 mit 7 multiplizieren müssen, können Sie dies folgendermaßen tun:
Wir haben das Ergebnis leicht erhalten, da die Aktion auf das Addieren von Brüchen mit demselben Nenner reduziert wurde. Folglich,
Die Betrachtung dieser Aktion zeigt, dass das Multiplizieren eines Bruchs mit einer Ganzzahl dem Erhöhen dieses Bruchs so oft entspricht, wie es Einheiten in der Ganzzahl gibt. Und da die Erhöhung des Bruchs entweder durch Erhöhen seines Zählers erreicht wird
oder indem man seinen Nenner verringert 
, dann können wir entweder den Zähler mit der ganzen Zahl multiplizieren oder den Nenner durch sie dividieren, falls eine solche Division möglich ist.
Von hier erhalten wir die Regel:
Um einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler mit dieser ganzen Zahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen oder, wenn möglich, den Nenner durch diese Zahl teilen, wobei der Zähler unverändert bleibt.
Beim Multiplizieren sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:
2. Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl. Es gibt viele Aufgaben, bei denen Sie einen Teil einer gegebenen Zahl finden oder berechnen müssen. Der Unterschied zwischen diesen Aufgaben und anderen besteht darin, dass sie die Anzahl einiger Objekte oder Maßeinheiten angeben und Sie einen Teil dieser Nummer finden müssen, der hier auch durch einen bestimmten Bruch angegeben wird. Um das Verständnis zu erleichtern, werden wir zunächst Beispiele für solche Probleme geben und dann die Methode zu ihrer Lösung vorstellen.
Aufgabe 1. Ich hatte 60 Rubel; 1/3 dieses Geldes habe ich für den Kauf von Büchern ausgegeben. Wie viel haben die Bücher gekostet?
Aufgabe 2. Der Zug muss die Strecke zwischen den Städten A und B zurücklegen, die 300 km entspricht. 2/3 dieser Strecke hat er bereits zurückgelegt. Wie viele Kilometer sind das?
Aufgabe 3. Es gibt 400 Häuser im Dorf, 3/4 davon sind aus Backstein, der Rest aus Holz. Wie viele Backsteinhäuser gibt es?
Hier sind einige der vielen Probleme, mit denen wir uns befassen müssen, um einen Bruchteil einer gegebenen Zahl zu finden. Sie werden normalerweise Probleme zum Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl genannt.
Lösung des Problems 1. Ab 60 Rubel. Ich habe 1/3 für Bücher ausgegeben; Um also die Kosten für Bücher zu ermitteln, müssen Sie die Zahl 60 durch 3 teilen:
Problemlösung 2. Die Bedeutung des Problems ist, dass Sie 2 / 3 von 300 km finden müssen. Berechnen Sie das erste 1/3 von 300; Dies wird erreicht, indem 300 km durch 3 geteilt werden:
300: 3 = 100 (das ist 1/3 von 300).
Um zwei Drittel von 300 zu finden, müssen Sie den resultierenden Quotienten verdoppeln, also mit 2 multiplizieren:
100 x 2 = 200 (das sind 2/3 von 300).
Lösung des Problems 3. Hier müssen Sie die Anzahl der Backsteinhäuser bestimmen, die 3/4 von 400 ausmachen. Lassen Sie uns zuerst 1/4 von 400 finden,
400: 4 = 100 (das ist 1/4 von 400).
Berechnen dreiviertel ab 400 ist der resultierende Quotient zu verdreifachen, also mit 3 zu multiplizieren:
100 x 3 = 300 (das sind 3/4 von 400).
Basierend auf der Lösung dieser Probleme können wir die folgende Regel ableiten:
Um den Wert eines Bruchs einer gegebenen Zahl zu finden, musst du diese Zahl durch den Nenner des Bruchs dividieren und den resultierenden Quotienten mit seinem Zähler multiplizieren.
3. Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch.
Zuvor (§ 26) wurde festgelegt, dass die Multiplikation ganzer Zahlen als Addition identischer Terme zu verstehen ist (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). In diesem Absatz (Absatz 1) wurde festgelegt, dass die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl bedeutet, dass die Summe identischer Terme gleich diesem Bruch ist.
In beiden Fällen bestand die Multiplikation darin, die Summe identischer Terme zu finden.
Jetzt gehen wir dazu über, eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren. Hier werden wir zum Beispiel auf eine solche Multiplikation treffen: 9 2 / 3. Es ist ziemlich offensichtlich, dass die vorherige Definition der Multiplikation auf diesen Fall nicht zutrifft. Das zeigt sich daran, dass wir eine solche Multiplikation nicht durch Addition gleicher Zahlen ersetzen können.
Aus diesem Grund müssen wir die Multiplikation neu definieren, d.h. mit anderen Worten, die Frage beantworten, was unter Multiplikation mit einem Bruch zu verstehen ist, wie diese Aktion zu verstehen ist.
Die Bedeutung der Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch ergibt sich aus der folgenden Definition: eine ganze Zahl (Multiplikator) mit einem Bruch (Multiplikator) zu multiplizieren bedeutet, diesen Bruchteil des Multiplikators zu finden.
Das Multiplizieren von 9 mit 2/3 bedeutet nämlich, 2/3 von neun Einheiten zu finden. Im vorherigen Absatz wurden solche Probleme gelöst; Es ist also leicht herauszufinden, dass wir am Ende 6 haben.
Aber jetzt gibt es ein interessantes und wichtige Frage: warum so scheinbar unterschiedliche Aktionen wie das Finden der Summe gleiche Zahlen und den Bruch einer Zahl zu finden, werden in der Arithmetik dasselbe Wort "Multiplikation" genannt?
Dies geschieht, weil die vorherige Aktion (mehrfaches Wiederholen der Zahl mit Begriffen) und die neue Aktion (Finden des Bruchs einer Zahl) eine Antwort auf homogene Fragen geben. Das heißt, wir gehen hier von den Überlegungen aus, dass homogene Fragestellungen bzw. Aufgaben durch ein und dieselbe Handlung gelöst werden.
Um dies zu verstehen, betrachten Sie das folgende Problem: „1 m Stoff kostet 50 Rubel. Wie viel kosten 4 m eines solchen Stoffes?
Dieses Problem wird gelöst, indem die Anzahl der Rubel (50) mit der Anzahl der Meter (4) multipliziert wird, d. H. 50 x 4 = 200 (Rubel).
Nehmen wir das gleiche Problem, aber darin wird die Stoffmenge als Bruchzahl ausgedrückt: „1 m Stoff kostet 50 Rubel. Wie viel kosten 3/4 m eines solchen Stoffes?
Dieses Problem muss auch gelöst werden, indem die Anzahl der Rubel (50) mit der Anzahl der Meter (3/4) multipliziert wird.
Sie können die darin enthaltenen Zahlen auch mehrmals ändern, ohne die Bedeutung der Aufgabe zu ändern, z. B. 9/10 m oder 2 3/10 m usw.
Da diese Probleme den gleichen Inhalt haben und sich nur in Zahlen unterscheiden, nennen wir die Aktionen, die zu ihrer Lösung verwendet werden, das gleiche Wort - Multiplikation.
Wie wird eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert?
Nehmen wir die Zahlen aus dem letzten Problem:
Gemäß der Definition müssen wir 3 / 4 von 50 finden. Zuerst finden wir 1 / 4 von 50 und dann 3 / 4.
1/4 von 50 ist 50/4;
3/4 von 50 ist .
Folglich.
Betrachten Sie ein anderes Beispiel: 12 5 / 8 = ?
1/8 von 12 ist 12/8,
5/8 der Zahl 12 ist .
Folglich,
Von hier erhalten wir die Regel:
Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren und dieses Produkt zum Zähler machen und den Nenner des gegebenen Bruchs als Nenner signieren.
Wir schreiben diese Regel mit Buchstaben:
Um diese Regel ganz klar zu machen, sei daran erinnert, dass ein Bruch als Quotient betrachtet werden kann. Daher ist es sinnvoll, die gefundene Regel mit der in § 38 aufgestellten Regel zum Multiplizieren einer Zahl mit einem Quotienten zu vergleichen
Es muss daran erinnert werden, dass Sie vor der Multiplikation (wenn möglich) Folgendes tun sollten: Schnitte, zum Beispiel:
4. Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren. Das Multiplizieren eines Bruchs mit einem Bruch hat dieselbe Bedeutung wie das Multiplizieren einer Ganzzahl mit einem Bruch, dh wenn Sie einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren, müssen Sie den Bruch im Multiplikator aus dem ersten Bruch (Multiplikator) finden.
Das Multiplizieren von 3/4 mit 1/2 (halb) bedeutet nämlich, die Hälfte von 3/4 zu finden.
Wie multipliziert man einen Bruch mit einem Bruch?
Nehmen wir ein Beispiel: 3/4 mal 5/7. Das bedeutet, dass Sie 5/7 aus 3/4 finden müssen. Finden Sie zuerst 1/7 von 3/4 und dann 5/7
1/7 von 3/4 würde so ausgedrückt werden:
5 / 7 Zahlen 3 / 4 werden wie folgt ausgedrückt:
Auf diese Weise,
Ein weiteres Beispiel: 5/8 mal 4/9.
1/9 von 5/8 ist ,
4/9 Zahlen 5/8 sind .
Auf diese Weise, 
Aus diesen Beispielen lässt sich folgende Regel ableiten:
Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, musst du den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und das zweite Produkt zum Nenner des Produkts machen.
Diese Regel lässt sich allgemein wie folgt schreiben:
Beim Multiplizieren müssen (wenn möglich) Abstriche gemacht werden. Betrachten Sie Beispiele:
5. Multiplikation gemischter Zahlen. Da gemischte Zahlen leicht durch unechte Brüche ersetzt werden können, macht man sich diesen Umstand meist bei der Multiplikation gemischter Zahlen zunutze. Das bedeutet, dass in den Fällen, in denen der Multiplikand oder der Multiplikator oder beide Faktoren als gemischte Zahlen ausgedrückt werden, diese durch unechte Brüche ersetzt werden. Multiplizieren Sie zum Beispiel gemischte Zahlen: 2 1/2 und 3 1/5. Wir verwandeln jeden von ihnen in einen unechten Bruch und multiplizieren dann die resultierenden Brüche gemäß der Regel, einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren:
Regel. Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, musst du sie zuerst in unechte Brüche umwandeln und dann gemäß der Regel der Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch multiplizieren.
Notiz. Wenn einer der Faktoren eine ganze Zahl ist, kann die Multiplikation nach dem Verteilungsgesetz wie folgt durchgeführt werden:
6. Das Konzept des Interesses. Beim Lösen von Problemen und bei verschiedenen praktischen Berechnungen verwenden wir alle Arten von Brüchen. Aber man muss bedenken, dass viele Größen keine, sondern für sie natürliche Unterteilungen zulassen. Zum Beispiel können Sie ein Hundertstel (1/100) eines Rubels nehmen, es wird ein Penny sein, zwei Hundertstel sind 2 Kopeken, drei Hundertstel sind 3 Kopeken. Sie können 1/10 des Rubels nehmen, es sind "10 Kopeken oder ein Cent. Sie können ein Viertel des Rubels nehmen, d. H. 25 Kopeken, einen halben Rubel, d. H. 50 Kopeken (fünfzig Kopeken). Aber sie ziehen praktisch an Nehmen Sie zum Beispiel nicht 2/7 Rubel, da der Rubel nicht in Siebtel unterteilt ist.
Die Maßeinheit für das Gewicht, also das Kilogramm, erlaubt zunächst dezimale Unterteilungen, zum Beispiel 1/10 kg oder 100 g, und solche Bruchteile eines Kilogramms wie 1/6, 1/11, 1/ 13 sind ungewöhnlich.
Im Allgemeinen sind unsere (metrischen) Maße dezimal und erlauben dezimale Unterteilungen.
Es ist jedoch zu beachten, dass es in den unterschiedlichsten Fällen äußerst sinnvoll und bequem ist, die gleiche (einheitliche) Methode zur Unterteilung von Größen zu verwenden. Langjährige Erfahrung hat gezeigt, dass eine solche gut begründete Teilung die „Hundertstel“-Teilung ist. Betrachten wir einige Beispiele, die sich auf die unterschiedlichsten Bereiche menschlicher Praxis beziehen.
1. Der Buchpreis ist um 12/100 des vorherigen Preises gesunken.
Beispiel. Der vorherige Preis des Buches beträgt 10 Rubel. Sie ging um 1 Rubel zurück. 20 Kop.
2. Sparkassen zahlen im Laufe des Jahres 2/100 des eingezahlten Betrags an Sparer aus.
Beispiel. 500 Rubel werden in die Kasse gesteckt, die Einnahmen aus diesem Betrag für das Jahr betragen 10 Rubel.
3. Die Zahl der Absolventen einer Schule betrug 5/100 der Gesamtzahl der Studenten.
BEISPIEL Nur 1.200 Schüler besuchten die Schule, 60 von ihnen absolvierten die Schule.
Das Hundertstel einer Zahl wird Prozent genannt..
Das Wort "Prozent" ist entlehnt Latein und seine Wurzel "cent" bedeutet hundert. Zusammen mit der Präposition (pro centum) bedeutet dieses Wort „für hundert“. Die Bedeutung dieses Ausdrucks ergibt sich daraus, dass zunächst in antikes Rom Zinsen waren das Geld, das der Schuldner „pro Hundert“ an den Verleiher zahlte. Das Wort "Cent" ist in so bekannten Wörtern zu hören: Zentner (einhundert Kilogramm), Zentimeter (sie sagen Zentimeter).
Anstatt beispielsweise zu sagen, dass das Werk im vergangenen Monat 1/100 aller von ihm hergestellten Produkte produziert hat, sagen wir Folgendes: Das Werk hat im vergangenen Monat ein Prozent der Ausschussware produziert. Anstatt zu sagen: Das Werk produzierte 4/100 Produkte mehr als der festgelegte Plan, werden wir sagen: Das Werk übertraf den Plan um 4 Prozent.
Die obigen Beispiele können anders ausgedrückt werden:
1. Der Preis für Bücher ist um 12 Prozent des vorherigen Preises gesunken.
2. Sparkassen zahlen Einlegern jährlich 2 Prozent des angelegten Sparbetrags aus.
3. Die Zahl der Absolventen einer Schule betrug 5 Prozent der Zahl aller Schüler der Schule.
Um den Buchstaben zu verkürzen, ist es üblich, anstelle des Wortes "Prozent" das %-Zeichen zu schreiben.
Es muss jedoch beachtet werden, dass das %-Zeichen normalerweise nicht in Berechnungen geschrieben wird, es kann in die Problemstellung und in das Endergebnis geschrieben werden. Wenn Sie Berechnungen durchführen, müssen Sie mit diesem Symbol einen Bruch mit einem Nenner von 100 anstelle einer ganzen Zahl schreiben.
Sie müssen in der Lage sein, eine ganze Zahl mit dem angegebenen Symbol durch einen Bruch mit einem Nenner von 100 zu ersetzen:
Umgekehrt müssen Sie sich daran gewöhnen, anstelle eines Bruchs mit dem Nenner 100 eine ganze Zahl mit dem angegebenen Symbol zu schreiben:
7. Finden von Prozentsätzen einer gegebenen Zahl.
Aufgabe 1. Die Schule erhielt 200 Kubikmeter. m Brennholz, wobei Birkenholz 30 % ausmacht. Wie viel Birkenholz war da?
Die Bedeutung dieses Problems ist, dass Birkenbrennholz nur ein Teil des Brennholzes war, das an die Schule geliefert wurde, und dieser Teil wird als Bruchteil von 30 / 100 ausgedrückt. Wir stehen also vor der Aufgabe, einen Bruchteil einer Zahl zu finden. Um es zu lösen, müssen wir 200 mit 30 / 100 multiplizieren (Aufgaben zum Finden des Bruchs einer Zahl werden gelöst, indem eine Zahl mit einem Bruch multipliziert wird.).
Also 30% von 200 sind gleich 60.
Der bei dieser Aufgabe auftretende Bruch 30 / 100 kann um 10 reduziert werden. Es wäre möglich, diese Reduktion von Anfang an durchzuführen; die Lösung des Problems würde sich nicht ändern.
Aufgabe 2. Im Lager waren 300 Kinder unterschiedlichen Alters. Kinder im Alter von 11 Jahren machten 21 % aus, Kinder im Alter von 12 Jahren 61 % und schließlich 13-Jährige 18 %. Wie viele Kinder jeden Alters waren im Lager?
Bei dieser Aufgabe müssen Sie drei Berechnungen durchführen, dh nacheinander die Anzahl der Kinder im Alter von 11 Jahren, dann 12 Jahren und schließlich 13 Jahren ermitteln.
Hier muss also dreimal ein Bruchteil einer Zahl gefunden werden. Machen wir das:
1) Wie viele Kinder waren 11 Jahre alt?
2) Wie viele Kinder waren 12 Jahre alt?
3) Wie viele Kinder waren 13 Jahre alt?
Nach Lösung der Aufgabe ist es sinnvoll, die gefundenen Zahlen zu addieren; Ihre Summe sollte 300 sein:
63 + 183 + 54 = 300
Beachten Sie auch, dass die Summe der in der Problembedingung angegebenen Prozentsätze 100 beträgt:
21% + 61% + 18% = 100%
Das deutet darauf hin Gesamtzahl Kinder, die im Lager waren, wurde zu 100 % angenommen.
3 a da cha 3. Der Arbeiter erhielt 1.200 Rubel pro Monat. Davon gab er 65 % für Lebensmittel aus, 6 % für Wohnung und Heizung, 4 % für Gas, Strom und Radio, 10 % für Kulturbedarf und 15 % sparte er. Wie viel Geld wurde für die in der Aufgabe angegebenen Bedürfnisse ausgegeben?
Um dieses Problem zu lösen, musst du fünfmal einen Bruchteil der Zahl 1.200 finden.
1) Wie viel Geld wird für Lebensmittel ausgegeben? Die Aufgabe besagt, dass dieser Aufwand 65 % aller Einnahmen ausmacht, also 65/100 der Zahl 1200. Machen wir die Rechnung:
2) Wie viel Geld wurde für eine Wohnung mit Heizung bezahlt? Wenn wir wie die vorherige argumentieren, kommen wir zu folgender Rechnung:
3) Wie viel Geld haben Sie für Gas, Strom und Radio bezahlt?
4) Wie viel Geld wird für kulturelle Zwecke ausgegeben?
5) Wie viel Geld hat der Arbeiter gespart?
Zur Überprüfung ist es sinnvoll, die in diesen 5 Fragen gefundenen Zahlen zu addieren. Der Betrag sollte 1.200 Rubel betragen. Alle Einnahmen werden zu 100 % angenommen, was leicht zu überprüfen ist, indem man die in der Aufgabenstellung angegebenen Prozentsätze addiert.
Wir haben drei Probleme gelöst. Trotz der Tatsache, dass es bei diesen Aufgaben um verschiedene Dinge ging (Lieferung von Brennholz für die Schule, Anzahl der Kinder unterschiedlichen Alters, Ausgaben des Arbeiters), wurden sie auf die gleiche Weise gelöst. Dies geschah, weil bei allen Aufgaben ein paar Prozent der angegebenen Zahlen gefunden werden mussten.
§ 90. Teilung von Brüchen.
Beim Studium der Division von Brüchen werden wir die folgenden Fragen berücksichtigen:
1. Teilen Sie eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl.
2. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl
3. Division einer ganzen Zahl durch einen Bruch.
4. Division eines Bruchs durch einen Bruch.
5. Division gemischter Zahlen.
6. Finden einer Zahl in Anbetracht ihres Bruchs.
7. Finden einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes.
Betrachten wir sie der Reihe nach.
1. Teilen Sie eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl.
Wie im Abschnitt über ganze Zahlen angedeutet, ist die Division die Handlung, die darin besteht, dass bei gegebenem Produkt aus zwei Faktoren (dem Dividenden) und einem dieser Faktoren (dem Divisor) ein weiterer Faktor gefunden wird.
Die Division einer ganzen Zahl durch eine ganze Zahl haben wir in der Abteilung für ganze Zahlen betrachtet. Wir trafen dort auf zwei Fälle von Division: Division ohne Rest oder "ganz" (150: 10 = 15) und Division mit Rest (100: 9 = 11 und 1 im Rest). Wir können daher sagen, dass im Bereich der ganzen Zahlen eine exakte Division nicht immer möglich ist, da der Dividende nicht immer das Produkt aus dem Divisor und der ganzen Zahl ist. Nach der Einführung der Multiplikation mit einem Bruch können wir jeden Fall der Division ganzer Zahlen als möglich betrachten (nur die Division durch Null ist ausgeschlossen).
Zum Beispiel bedeutet das Teilen von 7 durch 12, eine Zahl zu finden, deren Produkt mal 12 7 wäre. Diese Zahl ist der Bruch 7/12, weil 7/12 12 = 7. Ein weiteres Beispiel: 14: 25 = 14/25, weil 14/25 25 = 14.
Um also eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl zu teilen, müssen Sie einen Bruch bilden, dessen Zähler gleich dem Dividenden ist und dessen Nenner der Divisor ist.
2. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl.
Teilen Sie den Bruch 6 / 7 durch 3. Gemäß der oben gegebenen Definition der Division haben wir hier das Produkt (6 / 7) und einen der Faktoren (3); Es ist erforderlich, einen solchen zweiten Faktor zu finden, der, wenn er mit 3 multipliziert wird, das gegebene Produkt 6 / 7 ergeben würde. Offensichtlich sollte es dreimal kleiner sein als dieses Produkt. Das bedeutet, dass die vor uns gestellte Aufgabe darin bestand, den Bruch 6 / 7 um das Dreifache zu verkleinern.
Wir wissen bereits, dass die Kürzung eines Bruchs entweder durch Verringerung seines Zählers oder durch Erhöhen seines Nenners erfolgen kann. Daher kann man schreiben:
In diesem Fall ist der Zähler 6 durch 3 teilbar, also sollte der Zähler um das Dreifache reduziert werden.
Nehmen wir ein anderes Beispiel: 5 / 8 geteilt durch 2. Hier ist der Zähler 5 nicht durch 2 teilbar, was bedeutet, dass der Nenner mit dieser Zahl multipliziert werden muss:
Darauf aufbauend können wir die Regel aufstellen: Um einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividieren, musst du den Zähler des Bruchs durch diese ganze Zahl dividieren(wenn möglich), den gleichen Nenner belassen, oder den Nenner des Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den gleichen Zähler belassen.
3. Division einer ganzen Zahl durch einen Bruch.
Es sei erforderlich, 5 durch 1 / 2 zu dividieren, d.h. eine Zahl zu finden, die nach Multiplikation mit 1 / 2 das Produkt 5 ergibt. Offensichtlich muss diese Zahl größer als 5 sein, da 1 / 2 ein echter Bruch ist, und wenn eine Zahl mit einem echten Bruch multipliziert wird, muss das Produkt kleiner als der Multiplikand sein. Um es klarer zu machen, schreiben wir unsere Aktionen wie folgt: 5: 1 / 2 = X , also x 1 / 2 \u003d 5.
Wir müssen eine solche Zahl finden X , was, wenn es mit 1/2 multipliziert wird, 5 ergeben würde. Da das Multiplizieren einer bestimmten Zahl mit 1/2 bedeutet, 1/2 dieser Zahl zu finden, also 1/2 der unbekannten Zahl X ist 5 und die ganze Zahl X doppelt so viel, d. H. 5 2 \u003d 10.
Also 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Lass uns das Prüfen: 
Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Es sei erforderlich, 6 durch 2/3 zu teilen. Versuchen wir zunächst, anhand der Zeichnung (Abb. 19) das gewünschte Ergebnis zu finden.
Abb.19
Zeichne ein Segment AB, gleich 6 von einigen Einheiten, und teile jede Einheit in 3 gleiche Teile. In jeder Einheit sind drei Drittel (3 / 3) im gesamten Abschnitt AB 6-mal größer, d.h. E. 18/3. Wir verbinden mit Hilfe von kleinen Klammern 18 erhaltene Segmente von 2; Es wird nur 9 Segmente geben. Das bedeutet, dass der Bruch 2/3 9 mal in b Einheiten enthalten ist, oder anders ausgedrückt, der Bruch 2/3 ist 9 mal kleiner als 6 ganzzahlige Einheiten. Folglich,
Wie erhält man dieses Ergebnis ohne eine Zeichnung, die nur Berechnungen verwendet? Wir argumentieren wie folgt: Es ist erforderlich, 6 durch 2 / 3 zu teilen, d.h. es ist erforderlich, die Frage zu beantworten, wie oft 2 / 3 in 6 enthalten ist. Lassen Sie uns zuerst herausfinden: wie oft ist 1 / 3 in 6 enthalten? In einer ganzen Einheit - 3 Drittel und in 6 Einheiten - 6 mal mehr, d. H. 18 Drittel; Um diese Zahl zu finden, müssen wir 6 mit 3 multiplizieren. Also ist 1/3 in b-Einheiten 18-mal enthalten und 2/3 ist in b-Einheiten nicht 18-mal, sondern halb so oft enthalten, also 18: 2 = 9 Daher haben wir bei der Division von 6 durch 2 / 3 Folgendes getan:
Von hier aus erhalten wir die Regel zum Teilen einer ganzen Zahl durch einen Bruch. Um eine ganze Zahl durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie diese ganze Zahl mit dem Nenner des gegebenen Bruchs multiplizieren und dieses Produkt zum Zähler machen, indem Sie es durch den Zähler des gegebenen Bruchs dividieren.
Wir schreiben die Regel mit Buchstaben:
Um diese Regel ganz klar zu machen, sei daran erinnert, dass ein Bruch als Quotient betrachtet werden kann. Daher ist es sinnvoll, die gefundene Regel mit der in § 38 aufgestellten Regel zum Teilen einer Zahl durch einen Quotienten zu vergleichen. Beachten Sie, dass dort dieselbe Formel erhalten wurde.
Beim Teilen sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:
4. Division eines Bruchs durch einen Bruch.
Es sei erforderlich, 3/4 durch 3/8 zu teilen. Was bezeichnet die Zahl, die als Ergebnis der Teilung erhalten wird? Es wird die Frage beantworten, wie oft der Bruch 3/8 im Bruch 3/4 enthalten ist. Um dieses Problem zu verstehen, machen wir eine Zeichnung (Abb. 20).
Nehmen Sie das Segment AB, nehmen Sie es als Einheit, teilen Sie es in 4 gleiche Teile und markieren Sie 3 solcher Teile. Das Segment AC entspricht 3/4 des Segments AB. Lassen Sie uns nun jedes der vier Anfangssegmente halbieren, dann wird das Segment AB in 8 gleiche Teile geteilt und jeder dieser Teile wird gleich 1/8 des Segments AB sein. Wir verbinden 3 solcher Segmente mit Bögen, dann ist jedes der Segmente AD und DC gleich 3/8 des Segments AB. Die Zeichnung zeigt, dass das Segment gleich 3/8 genau zweimal in dem Segment gleich 3/4 enthalten ist; Das Ergebnis der Division kann also wie folgt geschrieben werden:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Es sei erforderlich, 15/16 durch 3/32 zu teilen:
Wir können so argumentieren: Wir müssen eine Zahl finden, die nach Multiplikation mit 3 / 32 ein Produkt von 15 / 16 ergibt. Schreiben wir die Berechnungen wie folgt:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 unbekannte Nummer X bilden 15 / 16
1/32 unbekannte Zahl X ist ,
32 / 32 Zahlen X bilden .
Folglich,
Um also einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten multiplizieren und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und dem machen zweitens der Nenner.
Schreiben wir die Regel mit Buchstaben:
Beim Teilen sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:
5. Division gemischter Zahlen.
Beim Teilen von gemischten Zahlen müssen sie zuerst in unechte Brüche umgewandelt werden, und dann sollten die resultierenden Brüche gemäß den Regeln zum Teilen von Bruchzahlen geteilt werden. Betrachten Sie ein Beispiel:
Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln:
Jetzt teilen wir uns auf:
Um also gemischte Zahlen zu dividieren, musst du sie in unechte Brüche umwandeln und dann gemäß der Regel zum Dividieren von Brüchen dividieren.
6. Finden einer Zahl in Anbetracht ihres Bruchs.
Unter mehrere Aufgaben Bei Brüchen gibt es manchmal solche, bei denen der Wert eines Bruchteils einer unbekannten Zahl angegeben ist und es erforderlich ist, diese Zahl zu finden. Diese Art von Problem ist umgekehrt zu dem Problem, einen Bruchteil einer gegebenen Zahl zu finden; dort wurde eine Zahl angegeben und es musste ein Bruchteil dieser Zahl gefunden werden, hier wird ein Bruchteil einer Zahl angegeben und es ist erforderlich, diese Zahl selbst zu finden. Diese Idee wird noch deutlicher, wenn wir uns der Lösung dieser Art von Problemen zuwenden.
Aufgabe 1. Am ersten Tag verglasten Glaser 50 Fenster, was 1 / 3 aller Fenster des gebauten Hauses entspricht. Wie viele Fenster hat dieses Haus?
Lösung. Die Aufgabe besagt, dass 50 verglaste Fenster 1/3 aller Fenster des Hauses ausmachen, was bedeutet, dass es insgesamt dreimal mehr Fenster gibt, d.h.
Das Haus hatte 150 Fenster.
Aufgabe 2. Der Laden verkaufte 1.500 kg Mehl, das sind 3/8 des gesamten Mehlbestands im Laden. Was war der anfängliche Mehlvorrat des Ladens?
Lösung. Aus der Problemstellung ist ersichtlich, dass die verkauften 1.500 kg Mehl 3/8 des Gesamtbestandes ausmachen; das bedeutet, dass 1/8 dieses Bestands dreimal weniger ist, d.h. um ihn zu berechnen, müssen Sie 1500 um das Dreifache reduzieren:
1.500 : 3 = 500 (das ist 1/8 der Aktie).
Offensichtlich wird der gesamte Bestand 8-mal größer sein. Folglich,
500 8 \u003d 4.000 (kg).
Der anfängliche Vorrat an Mehl im Lager betrug 4.000 kg.
Aus der Betrachtung dieses Problems kann die folgende Regel abgeleitet werden.
Um eine Zahl durch einen bestimmten Wert ihres Bruchs zu finden, reicht es aus, diesen Wert durch den Zähler des Bruchs zu dividieren und das Ergebnis mit dem Nenner des Bruchs zu multiplizieren.
Wir haben zwei Probleme beim Auffinden einer Zahl in Anbetracht ihres Bruchs gelöst. Solche Probleme werden, wie besonders gut aus dem letzten zu sehen ist, durch zwei Aktionen gelöst: Division (wenn ein Teil gefunden wird) und Multiplikation (wenn die ganze Zahl gefunden wird).
Nachdem wir jedoch die Division von Brüchen studiert haben, können die obigen Probleme in einer Aktion gelöst werden, nämlich: Division durch einen Bruch.
Die letzte Aufgabe kann beispielsweise in einer Aktion wie folgt gelöst werden:
In Zukunft werden wir das Problem lösen, eine Zahl durch ihren Bruch in einer Aktion zu finden - Division.
7. Finden einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes.
Bei diesen Aufgaben müssen Sie eine Zahl finden und einige Prozent dieser Zahl kennen.
Aufgabe 1. Am Anfang laufendes Jahr Ich habe 60 Rubel von der Sparkasse bekommen. Einkommen aus dem Betrag, den ich vor einem Jahr gespart habe. Wie viel Geld habe ich bei der Sparkasse angelegt? (Kassen geben Einlegern 2 % des Einkommens pro Jahr.)
Der Sinn des Problems ist, dass ein bestimmter Geldbetrag von mir in eine Sparkasse gelegt wurde und dort ein Jahr lag. Nach einem Jahr erhielt ich von ihr 60 Rubel. Einkommen, das sind 2/100 des Geldes, das ich eingezahlt habe. Wie viel Geld habe ich eingezahlt?
Wenn wir also den Teil dieses Geldes kennen, der auf zwei Arten ausgedrückt wird (in Rubel und in Bruchteilen), müssen wir den gesamten, noch unbekannten Betrag finden. Dies ist ein gewöhnliches Problem, eine Zahl zu finden, wenn ihr Bruch gegeben ist. Folgende Aufgaben werden durch Teilung gelöst:
Also wurden 3.000 Rubel in die Sparkasse gesteckt.
Aufgabe 2. In zwei Wochen erfüllten die Fischer den Monatsplan zu 64 %, nachdem sie 512 Tonnen Fisch zubereitet hatten. Was war ihr Plan?
Aus dem Zustand des Problems ist bekannt, dass die Fischer einen Teil des Plans abgeschlossen haben. Dieser Teil entspricht 512 Tonnen, was 64 % des Plans entspricht. Wie viele Tonnen Fisch laut Plan geerntet werden müssen, wissen wir nicht. Die Lösung des Problems besteht darin, diese Nummer zu finden.
Solche Aufgaben werden gelöst durch Teilen:
Laut Plan müssen Sie also 800 Tonnen Fisch zubereiten.
Aufgabe 3. Der Zug fuhr von Riga nach Moskau. Als er den 276. Kilometer passierte, fragte einer der Passagiere den vorbeifahrenden Schaffner, wie viel von der Strecke sie bereits zurückgelegt hätten. Darauf antwortete der Schaffner: „Wir haben bereits 30 % der gesamten Fahrt zurückgelegt.“ Wie weit ist es von Riga nach Moskau?
Aus dem Zustand des Problems ist ersichtlich, dass 30 % der Strecke von Riga nach Moskau 276 km lang sind. Wir müssen die gesamte Entfernung zwischen diesen Städten finden, d. h. für diesen Teil das Ganze finden:
§ 91. Reziproke Zahlen. Division durch Multiplikation ersetzen.
Nehmen Sie den Bruch 2/3 und ordnen Sie den Zähler an die Stelle des Nenners, wir erhalten 3/2. Wir haben einen Bruchteil, den Kehrwert von diesem.
Um den Kehrwert eines gegebenen Bruchs zu erhalten, musst du seinen Zähler an die Stelle des Nenners setzen und den Nenner an die Stelle des Zählers. Auf diese Weise können wir einen Bruch erhalten, der der Kehrwert eines beliebigen Bruchs ist. Zum Beispiel:
3/4, umgekehrt 4/3; 5/6, umgekehrt 6/5
Man nennt zwei Brüche, die die Eigenschaft haben, dass der Zähler des ersten der Nenner des zweiten und der Nenner des ersten der Zähler des zweiten ist gegenseitig invers.
Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, welcher Bruch der Kehrwert von 1/2 sein wird. Offensichtlich wird es 2 / 1 oder nur 2 sein. Wenn wir nach dem Kehrwert davon suchen, haben wir eine ganze Zahl erhalten. Und dieser Fall ist kein Einzelfall; im Gegenteil, für alle Brüche mit einem Zähler von 1 (eins) sind die Kehrwerte ganze Zahlen, zum Beispiel:
1 / 3, umgekehrt 3; 1/5, rückwärts 5
Da wir beim Finden von Reziproken auch auf ganze Zahlen gestoßen sind, sprechen wir in Zukunft nicht mehr von Reziproken, sondern von Gegenseitigkeit.
Lass uns herausfinden, wie man den Kehrwert einer ganzen Zahl schreibt. Bei Brüchen wird dies einfach gelöst: Sie müssen den Nenner an die Stelle des Zählers setzen. Auf die gleiche Weise können Sie den Kehrwert einer ganzen Zahl erhalten, da jede ganze Zahl einen Nenner von 1 haben kann. Daher ist der Kehrwert von 7 1 / 7, weil 7 \u003d 7 / 1; für die Zahl 10 ist das Gegenteil 1 / 10, da 10 = 10 / 1
Diese Idee kann man auch anders ausdrücken: Den Kehrwert einer gegebenen Zahl erhält man, indem man eins durch die gegebene Zahl dividiert. Diese Aussage gilt nicht nur für ganze Zahlen, sondern auch für Brüche. In der Tat, wenn Sie eine Zahl schreiben möchten, die der Kehrwert des Bruchs 5 / 9 ist, dann können wir 1 nehmen und durch 5 / 9 teilen, d.h.
Lassen Sie uns nun auf einen hinweisen Eigentum gegenseitig reziproke Zahlen, die uns nützlich sein werden: das Produkt reziproker Zahlen ist gleich eins. Tatsächlich:
Unter Verwendung dieser Eigenschaft können wir Kehrwerte auf folgende Weise finden. Finden wir den Kehrwert von 8.
Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben X , dann 8 X = 1, also X = 1/8 . Lassen Sie uns eine andere Zahl finden, die Umkehrung von 7/12, bezeichnen Sie sie mit einem Buchstaben X , dann 7 / 12 X = 1, also X = 1:7/12 bzw X = 12 / 7 .
Wir haben hier den Begriff der reziproken Zahlen eingeführt, um die Informationen über die Division von Brüchen etwas zu ergänzen.
Wenn wir die Zahl 6 durch 3 / 5 teilen, gehen wir wie folgt vor:
Zahlen Besondere Aufmerksamkeit zu dem Ausdruck und vergleiche ihn mit dem gegebenen: .
Wenn wir den Ausdruck getrennt nehmen, ohne Verbindung mit dem vorherigen, dann ist es unmöglich, die Frage zu lösen, woher er kommt: von der Division von 6 durch 3/5 oder von der Multiplikation von 6 mit 5/3. In beiden Fällen ist das Ergebnis das gleiche. Also können wir sagen dass die Division einer Zahl durch eine andere durch die Multiplikation des Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors ersetzt werden kann.
Die Beispiele, die wir unten geben, bestätigen diese Schlussfolgerung voll und ganz.
Eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren ist eine einfache Aufgabe. Aber es gibt Feinheiten, die Sie wahrscheinlich in der Schule verstanden haben, aber inzwischen vergessen haben.
Wie man eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert - ein paar Terme
Wenn du dich daran erinnerst, was Zähler und Nenner sind und wie sich ein echter Bruch von einem unechten unterscheidet, überspringe diesen Absatz. Es ist für diejenigen, die die Theorie völlig vergessen haben.
Der Zähler ist der obere Teil des Bruchs - was wir dividieren. Der Nenner ist der untere. Das teilen wir.
Ein echter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist. Ein unechter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich dem Nenner ist.
Wie man eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert
Die Regel zum Multiplizieren einer Ganzzahl mit einem Bruch ist sehr einfach - wir multiplizieren den Zähler mit der Ganzzahl und berühren den Nenner nicht. Zum Beispiel: zwei mal ein Fünftel – wir bekommen zwei Fünftel. Vier mal drei Sechzehntel ist zwölf Sechzehntel.
Die Ermäßigung
Im zweiten Beispiel kann der resultierende Bruch reduziert werden.
Was bedeutet das? Beachten Sie, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner dieses Bruchs durch vier teilbar sind. Teilen Sie beide Zahlen durch gemeinsamer Teiler und heißt - kürze den Bruch. Wir bekommen drei Viertel.
Unechte Brüche
Aber angenommen, wir multiplizieren vier mal zwei Fünftel. Habe acht Fünftel. Das ist der falsche Bruch.
Es muss in die richtige Form gebracht werden. Dazu müssen Sie einen ganzen Teil daraus auswählen.
Hier müssen Sie die Division mit Rest verwenden. Wir bekommen eins und drei im Rest.
Ein Ganzes und drei Fünftel ist unser richtiger Bruch.
Das Korrigieren von fünfunddreißig Achtel ist etwas schwieriger: Die Zahl, die siebenunddreißig am nächsten liegt und durch acht teilbar ist, ist zweiunddreißig. Wenn wir teilen, bekommen wir vier. Wir subtrahieren zweiunddreißig von fünfunddreißig - wir bekommen drei. Ergebnis: vier ganze und drei Achtel.
Gleichheit von Zähler und Nenner. Und hier ist alles sehr einfach und schön. Wenn Zähler und Nenner gleich sind, ist das Ergebnis nur eins.
