Kehrwertzahlen, den Kehrwert einer Zahl finden. Zahlen umkehren

Wir geben eine Definition und Beispiele für reziproke Zahlen. Überlege, wie man den Kehrwert einer natürlichen Zahl und den Kehrwert eines gewöhnlichen Bruchs ermittelt. Außerdem schreiben und beweisen wir eine Ungleichung, die die Eigenschaft der Summe reziproker Zahlen widerspiegelt.

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Reziproke Zahlen. Definition

Reziproke Zahlen sind jene Zahlen, deren Produkt Eins ergibt.

Wenn a · b = 1, dann können wir sagen, dass die Zahl a der Kehrwert der Zahl b ist, genauso wie die Zahl b der Kehrwert der Zahl a ist.

Das einfachste Beispiel für reziproke Zahlen sind zwei Einsen. Tatsächlich ist 1 1 = 1, also sind a = 1 und b = 1 zueinander inverse Zahlen. Ein weiteres Beispiel sind die Zahlen 3 und 1 3 , - 2 3 und - 3 2 , 6 13 und 13 6 , log 3 17 und log 17 3 . Das Produkt jedes Paares der obigen Zahlen ist gleich eins. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, wie zum Beispiel bei den Zahlen 2 und 2 3 , dann sind die Zahlen nicht zueinander invers.

Die Definition der reziproken Zahlen gilt für alle Zahlen – natürlich, ganzzahlig, reell und komplex.

So finden Sie den Kehrwert einer gegebenen Zahl

Betrachten wir den allgemeinen Fall. Wenn die ursprüngliche Zahl gleich a ist, dann wird ihr Kehrwert als 1 a oder a-1 geschrieben. Tatsächlich ist a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Bei natürlichen Zahlen und gemeinsamen Brüchen ist es ziemlich einfach, den Kehrwert zu finden. Man könnte sogar sagen, es ist offensichtlich. Wenn Sie eine Zahl finden, die das Inverse einer irrationalen oder komplexen Zahl ist, müssen eine Reihe von Berechnungen durchgeführt werden.

Betrachten Sie die häufigsten Fälle in der Praxis, um den Kehrwert zu finden.

Der Kehrwert eines gemeinsamen Bruchs

Offensichtlich ist der Kehrwert des gemeinsamen Bruchs a b der Bruch b a . Um also den Kehrwert eines Bruchs zu finden, musst du den Bruch einfach umdrehen. Das heißt Zähler und Nenner vertauschen.

Nach dieser Regel kannst du den Kehrwert jedes gewöhnlichen Bruchs fast sofort schreiben. Für den Bruch 28 57 ist der Kehrwert also der Bruch 57 28 und für den Bruch 789 256 die Zahl 256 789.

Der Kehrwert einer natürlichen Zahl

Du kannst den Kehrwert jeder natürlichen Zahl auf die gleiche Weise wie den Kehrwert eines Bruchs finden. Es genügt, eine natürliche Zahl a als gewöhnlichen Bruch a 1 darzustellen. Dann ist sein Kehrwert 1 a . Für natürliche Zahl 3 hat einen Kehrwert von 1 3 , für 666 ist der Kehrwert 1 666 und so weiter.

Besonderes Augenmerk sollte auf die Einheit gelegt werden, da dies die einzige Zahl ist, deren Kehrwert gleich sich selbst ist.

Es gibt keine anderen Paare von reziproken Zahlen, bei denen beide Komponenten gleich sind.

Der Kehrwert einer gemischten Zahl

Die gemischte Zahl hat die Form a b c . Um ihren Kehrwert zu finden, musst du die gemischte Zahl im Samen eines unechten Bruchs darstellen und den Kehrwert für den resultierenden Bruch wählen.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Kehrwert von 7 2 5 finden. Stellen wir zuerst 7 2 5 als unechten Bruch dar: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5 .

Für den unechten Bruch 37 5 ist der Kehrwert 5 37 .

Der Kehrwert einer Dezimalzahl

Ein Dezimalbruch kann auch als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden. Gegenteil finden Dezimalbruch Zahlen kommt darauf an, einen Dezimalbruch als gewöhnlichen Bruch darzustellen und seinen Kehrwert zu finden.

Zum Beispiel gibt es einen Bruch 5, 128. Finden wir seinen Kehrwert. Zuerst wandeln wir die Dezimalzahl in einen gewöhnlichen Bruch um: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Für den resultierenden Bruch ist der Kehrwert der Bruch 125641.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel.

Beispiel. Kehrwert einer Dezimalzahl ermitteln

Finde den Kehrwert des periodischen Dezimalbruchs 2 , (18) .

Konvertieren Sie dezimal in normal:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 + . . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Nach der Übersetzung können wir den Kehrwert des Bruchs 24 11 leicht aufschreiben. Diese Nummer wird offensichtlich 11 24 sein.

Bei einem unendlichen und sich nicht wiederholenden Dezimalbruch wird der Kehrwert als Bruch mit einer Einheit im Zähler und dem Bruch selbst im Nenner geschrieben. Zum Beispiel für den unendlichen Bruch 3 , 6025635789 . . . der Kehrwert ist 1 3 , 6025635789 . . . .

In ähnlicher Weise werden für irrationale Zahlen, die nicht periodischen unendlichen Brüchen entsprechen, Kehrwerte als Bruchausdrücke geschrieben.

Zum Beispiel ist der Kehrwert von π + 3 3 80 80 π + 3 3 , und der Kehrwert von 8 + e 2 + e ist 1 8 + e 2 + e.

Reziproke Zahlen mit Wurzeln

Unterscheidet sich die Form zweier Zahlen von a und 1 a , dann ist es nicht immer einfach festzustellen, ob die Zahlen zueinander invers sind. Dies gilt insbesondere für Zahlen, die ein Wurzelzeichen in ihrer Notation haben, da es normalerweise üblich ist, die Wurzel im Nenner wegzulassen.

Wenden wir uns der Praxis zu.

Beantworten wir die Frage: Sind die Zahlen 4 - 2 3 und 1 + 3 2 reziprok?

Um herauszufinden, ob die Zahlen zueinander invers sind, berechnen wir ihr Produkt.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Das Produkt ist gleich eins, was bedeutet, dass die Zahlen zueinander invers sind.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel.

Beispiel. Reziproke Zahlen mit Wurzeln

Schreiben Sie den Kehrwert von 5 3 + 1 auf.

Du kannst sofort schreiben, dass der Kehrwert gleich dem Bruch 1 5 3 + 1 ist. Wie wir bereits gesagt haben, ist es jedoch üblich, die Wurzel im Nenner loszuwerden. Multiplizieren Sie dazu Zähler und Nenner mit 25 3 - 5 3 + 1 . Wir bekommen:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Reziprokzahlen mit Potenzen

Angenommen, es gibt eine Zahl, die gleich einer Potenz der Zahl a ist. Mit anderen Worten, die Zahl a potenziert mit n. Der Kehrwert von a n ist a - n . Lass es uns überprüfen. Tatsächlich: a n a - n = a n 1 1 a n = 1 .

Beispiel. Reziprokzahlen mit Potenzen

Finde den Kehrwert von 5 - 3 + 4 .

Gemäß dem oben Gesagten ist die gewünschte Zahl 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Kehrwerte mit Logarithmen

Für den Logarithmus der Zahl a zur Basis b ist der Kehrwert die Zahl, gleich dem Logarithmus Zahlen b zur Basis a.

log a b und log b a sind reziproke Zahlen.

Lass es uns überprüfen. Aus den Eigenschaften des Logarithmus folgt, dass log a b = 1 log b a , also log a b · log b a .

Beispiel. Kehrwerte mit Logarithmen

Ermitteln Sie den Kehrwert von log 3 5 - 2 3 .

Der Kehrwert des Logarithmus von 3 zur Basis 3 5 - 2 ist der Logarithmus von 3 5 - 2 zur Basis 3.

Der Kehrwert einer komplexen Zahl

Wie bereits erwähnt, gilt die Definition der reziproken Zahlen nicht nur für reelle Zahlen, sondern auch für komplexe.

Normalerweise werden komplexe Zahlen in der algebraischen Form z = x + i y dargestellt. Der Kehrwert davon wird ein Bruch sein

1 x + ich y . Der Einfachheit halber kann dieser Ausdruck verkürzt werden, indem Zähler und Nenner mit x - i y multipliziert werden.

Beispiel. Der Kehrwert einer komplexen Zahl

Sei eine komplexe Zahl z = 4 + i . Finden wir den Kehrwert davon.

Der Kehrwert von z = 4 + i ist gleich 1 4 + i .

Multipliziere Zähler und Nenner mit 4 - i und erhalte:

1 4 + ich \u003d 4 - ich 4 + ich 4 - ich \u003d 4 - ich 4 2 - ich 2 \u003d 4 - ich 16 - (- 1) \u003d 4 - ich 17.

Zusätzlich zu ihrer algebraischen Form kann eine komplexe Zahl wie folgt in trigonometrischer oder exponentieller Form dargestellt werden:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e ich φ

Dementsprechend sieht die reziproke Zahl so aus:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Stellen wir das sicher:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e ich φ 1 r e ich (- φ) = r r e 0 = 1

Betrachten Sie Beispiele mit der Darstellung komplexer Zahlen in trigonometrischer und exponentieller Form.

Finde die Umkehrung von 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Da r = 2 3 , φ = π 6 , schreiben wir den Kehrwert

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Beispiel. Finden Sie den Kehrwert einer komplexen Zahl

Was ist die Umkehrung von 2 · e i · - 2 π 5 .

Antwort: 1 2 e ich 2 π 5

Die Summe der reziproken Zahlen. Ungleichheit

Es gibt einen Satz über die Summe zweier reziproker Zahlen.

Summe reziproker Zahlen

Die Summe zweier positiver und reziproker Zahlen ist immer größer oder gleich 2.

Wir präsentieren den Beweis des Satzes. Bekanntlich für jeden positive Zahlen a und b das arithmetische Mittel größer oder gleich dem geometrischen Mittel ist. Dies kann als Ungleichung geschrieben werden:

a + b 2 ≥ a b

Wenn wir statt der Zahl b die Inverse von a nehmen, nimmt die Ungleichung die Form an:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Lassen Sie uns ein praktisches Beispiel geben, das diese Eigenschaft veranschaulicht.

Beispiel. Finden Sie die Summe der reziproken Zahlen

Lassen Sie uns die Summe der Zahlen 2 3 und ihren Kehrwert berechnen.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Wie der Satz sagt, ist die resultierende Zahl größer als zwei.

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Absichtserklärung "Parkanskaya Schule Nr. 2 benannt. DI. Mischtschenko

Matheunterricht in der 6. Klasse zum Thema

"Reziproke Zahlen"

Verbrachter Lehrer

Mathematik und Informatik

I Qualifikationskategorie

Balan V.M.

Parkans 2011

P.S. Aufgrund der maximalen Dateigröße (nicht mehr als 3 MB) ist die Präsentation in 2 Teile geteilt. Sie müssen die Folien nacheinander in eine Präsentation kopieren.

Mathematikunterricht in der 6. Klasse zum Thema "Reziproke Zahlen"

Ziel:

1. Führen Sie den Begriff der reziproken Zahlen ein.
2. Lerne, Paare reziproker Zahlen zu identifizieren.
3. Wiederholen Sie die Multiplikation und Kürzung von Brüchen.

Unterrichtstyp : Studium und primäre Konsolidierung von neuem Wissen.

Ausrüstung:

• Computers;
• Signalkarten;
• Arbeitsbücher, Notizbücher, Lehrbücher;
• Zeichenzubehör;
• Präsentation für den UnterrichtAnwendung ).

Einzelaufgabe:Einheit Nachricht.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment.(3 Minuten)

Hallo Leute, setzt euch! Beginnen wir unseren Unterricht! Heute braucht es Aufmerksamkeit, Konzentration und natürlich Disziplin.(Folie 1 )

Als Inschrift für die heutige Lektion habe ich die Worte genommen:

Es wird oft gesagt, dass Zahlen die Welt regieren;

zumindest gibt es keinen Zweifel

dass die Zahlen zeigen, wie es gehandhabt wird.

Und lustige kleine Leute eilen mir zu Hilfe: Pencil und Samodelkin. Sie werden mir bei dieser Lektion helfen.(Folie 2 )

Die erste Aufgabe aus dem Stift besteht darin, Anagramme zu lösen. (Folie 3 )

Erinnern wir uns gemeinsam, was ein Anagramm ist? (Ein Anagramm ist eine Permutation von Buchstaben in einem Wort, das ein anderes Wort bildet. Zum Beispiel "murmur" - "axe").

(Kinder antworten, was ein Anagramm ist, und erraten die Wörter.)

Gut gemacht! Das Thema der heutigen Lektion ist "Reziproke Zahlen".

Hefte öffnen, Nummer, Klassenarbeit und Unterrichtsthema aufschreiben. (Folie 4 )

Leute, sagt mir bitte, was sollt ihr heute im Unterricht lernen?

(Die Kinder nennen den Zweck der Lektion.)

Das Ziel unseres Unterrichts:

• Finden Sie heraus, welche Zahlen gegenseitig invers genannt werden.
• Lerne, Paare von reziproken Zahlen zu finden.
• Wiederhole die Regeln zum Multiplizieren und Kürzen von Brüchen.
• Entwickeln logisches Denken Studenten.

2. Wir arbeiten mündlich.(3 Minuten)

Wiederholen wir die Regel der Multiplikation von Brüchen. (Folie 5 )

Aufgabe von Samodelkin (Kinder lesen Beispiele und multiplizieren):

Welche Regel haben wir verwendet?

Bleistift bereitete eine schwierigere Aufgabe vor (Folie 6 ):

Was ist ein solches Werk?

Leute, wir haben die Schritte der Multiplikation und Reduktion von Brüchen wiederholt, die beim Lernen eines neuen Themas unverzichtbar sind.

3. Erläuterung des neuen Materials.(15 Minuten) ( Folie 7 )

1. Nimm den Bruch 8/17, setze den Nenner anstelle des Zählers und umgekehrt. Sie erhalten einen Bruchteil 17/8.

Wir schreiben: Der Bruch 17/8 heißt Kehrwert des Bruchs 8/17.

Aufmerksamkeit! Der Kehrwert des Bruchs m/n heißt Bruch n/m. (Folie 8 )

Leute, wie bekommt man trotzdem den Kehrwert dieses Bruchs daraus?(Kinder antworten.)

2. Aufgabe von Samodelkin:

Nennen Sie den Kehrwert eines gegebenen Bruchs.(Kinder rufen.)

Sie sagen über solche Brüche, dass sie zueinander invers sind! (Folie 9 )

Was kann man dann über die Brüche 8/17 und 17/8 sagen?

Antwort: Invers zueinander (wir schreiben auf).

3. Was passiert, wenn Sie zwei Brüche multiplizieren, die zueinander invers sind?

(Arbeiten mit Folien. (Folie 10 ))

Leute! Schau und sag mir, was nicht gleich m und n sein kann?

Ich wiederhole noch einmal, dass das Produkt aller Brüche, die reziprok zueinander sind, gleich 1 ist. (Folie 11 )

4. Es stellt sich heraus, dass Eins eine magische Zahl ist!

Was wissen wir über die Einheit?

Interessante Urteile über die Welt der Zahlen sind uns im Laufe der Jahrhunderte von der pythagoreischen Schule überliefert, von denen uns Boyanzhi Nadya erzählen wird (eine kurze Nachricht).

5. Wir haben uns darauf geeinigt, dass das Produkt beliebiger reziproker Zahlen gleich 1 ist.

Wie nennt man solche Nummern?(Definition.)

Prüfen wir, ob die Brüche reziprok sind: 1,25 und 0,8. (Folie 12 )

Sie können auf andere Weise prüfen, ob die Zahlen zueinander invers sind (2. Weg).

Fassen wir zusammen, Jungs:

Wie überprüfe ich, ob Zahlen zueinander invers sind?(Kinder antworten.)

6. Schauen wir uns nun einige Beispiele für das Finden von Kehrwertzahlen an (wir betrachten zwei Beispiele). (Folie 13)

4. Befestigung. (10 Minuten)

1. Arbeiten Sie mit Signalkarten. Sie haben Signalkarten auf dem Tisch. (Folie 14)

Rot - nein. Grün - ja.

(Letztes Beispiel 0,2 und 5.)

Gut gemacht! Wissen, wie man Paare von reziproken Zahlen identifiziert.

2. Achtung auf den Bildschirm! - wir arbeiten mündlich. (Folie 15)

Finden Sie eine unbekannte Zahl (wir lösen Gleichungen, das letzte 1/3 x \u003d 1).

Achtung bei der Frage: Wann ergeben zwei Zahlen im Produkt 1?(Kinder antworten.)

5. Minute Sportunterricht.(2 Minuten)

Machen Sie jetzt eine Pause vom Bildschirm - ruhen wir uns aus!

1. Schließe deine Augen, schließe deine Augen ganz fest, öffne deine Augen scharf. Mach das 4 mal.
2. Halten Sie Ihren Kopf gerade, Augen erhoben, gesenkt, Blick nach links, Blick nach rechts (4 Mal).
3. Neigen Sie Ihren Kopf nach hinten und senken Sie ihn nach vorne, sodass Ihr Kinn auf Ihrer Brust ruht (2 Mal).

6. Wir konsolidieren das neue Material weiter [ 3], [ 4].(5 Minuten)

Wir haben uns ausgeruht, und jetzt die Konsolidierung von neuem Material.

Im Lehrbuch Nr. 563, Nr. 564 - an der Tafel. (Folie 16)

7. Das Ergebnis der Lektion, Hausaufgaben. (3 Minuten)

Unser Unterricht neigt sich dem Ende zu. Sagt mir, Leute, was haben wir heute in der Stunde Neues gelernt?

1. Wie erhält man reziproke Zahlen?
2. Was sind reziproke Zahlen?
3. Wie finde ich den Kehrwert einer gemischten Zahl zu einer Dezimalzahl?

Haben wir den Zweck der Lektion erreicht?

Öffnen wir die Tagebücher, schreiben die Hausaufgaben auf: Nr. 591 (a), 592 (a, c), 595 (a), Punkt 16.

Und jetzt bitte ich Sie, dieses Rätsel zu lösen (wenn noch Zeit ist).

Vielen Dank für die Lektion! (Folie 17)

Literatur:

1. Mathematik 5-6: Lehrbuch-Gesprächspartner. L. N. Shevrin, A.G. Gein, I.O. Korjakow, M. V. Volkov, - M.: Aufklärung, 1989.
2. Mathematik Klasse 6: Unterrichtspläne nach dem Lehrbuch von N.Ya. Vilenkina, W.I. Schochow. LA Tapilina, T.L. Afanasiev. - Wolgograd: Lehrer, 2006.
3. Mathematik: Lehrbuch Klasse 6. N.Ja.Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd.-M.: Mnemosyne, 1997.
4. Reise von Pencil und Samodelkin. Y. Druschkow. - M.: Libellenpresse, 2003.

Vorschau:

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Beschriftungen der Folien:

1 „Es wird oft gesagt, dass Zahlen die Welt regieren; zumindest zeigen die zahlen, wie es gehandhabt wird.“ JOHANN WOLFGANG GOETHE

3 UM DAS THEMA DER HEUTIGEN LEKTION ZU LERNEN, MÜSSEN SIE ANAGRAME LÖSEN! 1) ICHLAS-ZAHL 2) DORB-BRUCH 3) YTEANBOR RÜCKSEITE 4) INOMZAV GEGENSEITIG GERATEN? ENTFERNEN SIE JETZT EIN ÜBERMÄSSIGES WORT, BESTELLEN SIE DEN REST!

4 UMKEHRZAHLEN

5 BRUCHBRÜCKE MULTIPLIKATION MÜNDLICH BERECHNEN: Gut gemacht!

6 JETZT IST DIE MISSION SCHWERER! RECHNEN: GUTE KOLLEGEN!

1 Was erhält man, wenn man zwei Brüche multipliziert, die die Kehrwerte voneinander sind? Mal sehen (mit mir schreiben): ACHTUNG! DAS PRODUKT DER ZUEINANDER GEGENÜBERGEHENDEN FRAKTIONEN IST GLEICH EINS! WAS WISSEN WIR ÜBER DIE EINHEIT? ERINNERN!

2 ZWEI ZAHLEN, DEREN PRODUKT GLEICH EINS IST, WERDEN REIHENZAHLEN GENANNT ÜBERPRÜFEN SIE, OB DIE BRÜCHE 1,25 UND 0,8 REIHENZAHLEN SIND SCHREIBEN SIE SIE IN FORM VON GEWÖHNLICHEN BRÜCHEN: UMKEHRZAHLEN Sonst kann durch Multiplikation geprüft werden:

3 Beweisen wir, dass der Kehrwert der Zahl 0,75 ist. Wir schreiben: , und den Kehrwert davon Wir finden die Zahl invers zur Zahl Wir schreiben die gemischte Zahl als unechten Bruch: Der Kehrwert dieser Zahl

4 ARBEITEN MIT SIGNALKARTEN JA NEIN SIND DIE ZAHLEN VERKEHRT?

5 MÜNDLICH ARBEITEN: DIE UNBEKANNTE NUMMER FINDEN:

6 WIR ARBEITEN IN NOTIZBÜCHERN. TUTORIAL-SEITE 8 9 №5 63

7 DANKE FÜR DIE LEKTION?

Vorschau:

Analyse

Matheunterricht in der 6. Klasse

MOU "Parkanskaya OOSh No. 2 benannt nach. D. I. Mischtschenko

Lehrer Balan V.M.

Unterrichtsthema: „Reziproke Zahlen“.

Die Lektion baut auf der Grundlage früherer Lektionen auf, das Wissen der Schüler wurde mit verschiedenen Methoden getestet, um herauszufinden, wie die Schüler das vorherige Material gelernt haben und wie diese Lektion in den nächsten Lektionen „funktionieren“ wird.

Die Phasen des Unterrichts sind logisch nachgezeichnet, ein fließender Übergang von einem zum anderen. Sie können die Integrität und Vollständigkeit der Lektion nachverfolgen. Die Aneignung von neuem Material erfolgte selbstständig durch die Schaffung einer Problemsituation und deren Lösung. Ich glaube, dass die gewählte Struktur des Unterrichts rational ist, da Sie alle Ziele und Ziele des Unterrichts in einem Komplex umsetzen können.

Derzeit wird der Einsatz von IKT im Unterricht sehr aktiv eingesetzt, so Balan V.M. verwendet Multimedia für mehr Übersichtlichkeit.

Der Unterricht fand in der 6. Klasse statt, wo das Niveau der Arbeitsfähigkeit, des kognitiven Interesses und des Gedächtnisses nicht sehr hoch ist, es gibt einige Jungs, die Lücken im Faktenwissen haben. Daher wurden in allen Phasen des Unterrichts verschiedene Methoden zur Aktivierung der Schüler angewendet, die es ihnen nicht erlaubten, sich der Monotonie des Materials zu entledigen.

Um das Wissen der Schüler zu testen und zu bewerten, wurden Folien mit vorgefertigten Antworten zum Selbsttest und zum gegenseitigen Testen verwendet.

Während des Unterrichts versuchte der Lehrer, die geistige Aktivität der Schüler zu intensivieren, indem er die folgenden Techniken und Methoden anwendete: ein Anagramm zu Beginn des Unterrichts, ein Gespräch, eine Geschichte der Schüler "Was wissen wir über die Einheit?, Sichtbarkeit, Arbeit mit Signalkarten.

Daher denke ich, dass der Unterricht kreativ ist, er ist ein integrales System. Die Unterrichtsziele wurden erreicht.

Mathematiklehrerin der 1. Kategorie /Kurteva F.I./

Umgekehrte - oder reziproke - Zahlen werden als Zahlenpaar bezeichnet, das, wenn es multipliziert wird, 1 ergibt. An sich Gesamtansicht Nummern sind vertauscht. Ein charakteristischer Sonderfall reziproker Zahlen ist ein Paar. Die Inversen sind etwa die Zahlen; .

So finden Sie den Kehrwert

Regel: Sie müssen 1 (eins) durch die angegebene Zahl teilen.

Beispiel 1.

Gegeben ist die Zahl 8. Ihr Kehrwert ist 1:8 oder (die zweite Variante ist vorzuziehen, weil eine solche Notation mathematisch korrekter ist).

Wenn Sie nach dem Kehrwert eines gewöhnlichen Bruchs suchen, ist es nicht sehr praktisch, ihn durch 1 zu teilen, weil Die Aufzeichnung wird umständlich. In diesem Fall geht es anders: Der Bruch wird einfach umgedreht, Zähler und Nenner vertauscht. Wenn ein richtiger Bruch angegeben wird, erhält man nach dem Umdrehen einen unechten Bruch, d.h. eine, aus der ein ganzer Teil extrahiert werden kann. Ob Sie dies tun oder nicht, müssen Sie von Fall zu Fall entscheiden. Wenn Sie also mit dem resultierenden umgekehrten Bruch einige Aktionen ausführen müssen (z. B. Multiplikation oder Division), sollten Sie nicht den ganzen Teil auswählen. Wenn der resultierende Bruch das Endergebnis ist, dann ist vielleicht die Auswahl des ganzzahligen Teils wünschenswert.

Beispiel #2.

Einen Bruchteil gegeben. Umgekehrt dazu:.

Wenn du den Kehrwert eines Dezimalbruchs finden willst, dann solltest du die erste Regel anwenden (1 durch eine Zahl teilen). In dieser Situation können Sie auf zwei Arten handeln. Die erste besteht darin, einfach 1 durch diese Zahl in eine Spalte zu teilen. Die zweite besteht darin, einen Bruch aus 1 im Zähler und einer Dezimalstelle im Nenner zu bilden und dann Zähler und Nenner mit 10, 100 oder einer anderen Zahl zu multiplizieren, die aus 1 und so vielen Nullen wie nötig besteht, um den Dezimalpunkt loszuwerden im Nenner. Das Ergebnis wird ein gewöhnlicher Bruch sein, der das Ergebnis ist. Gegebenenfalls müssen Sie es kürzen, einen ganzzahligen Teil daraus extrahieren oder es in Dezimalform umwandeln.

Beispiel #3.

Die angegebene Zahl ist 0,82. Sein Kehrwert ist: . Lassen Sie uns nun den Bruch kürzen und den ganzzahligen Teil auswählen: .

So prüfen Sie, ob zwei Zahlen reziprok sind

Das Verifikationsprinzip basiert auf der Definition von Reziproken. Das heißt, um sicherzustellen, dass die Zahlen zueinander invers sind, müssen Sie sie multiplizieren. Wenn das Ergebnis eins ist, dann sind die Zahlen zueinander invers.

Beispiel Nummer 4.

Angesichts der Zahlen 0,125 und 8. Sind sie reziprok?

Untersuchung. Es ist notwendig, das Produkt von 0,125 und 8 zu finden. Zur Verdeutlichung stellen wir diese Zahlen als gewöhnliche Brüche dar: (kürzen wir den 1. Bruch um 125). Fazit: Die Zahlen 0,125 und 8 sind invers.

Eigenschaften von Kehrwerten

Eigentum Nr. 1

Der Kehrwert existiert für jede andere Zahl als 0.

Diese Einschränkung ist darauf zurückzuführen, dass es unmöglich ist, durch 0 zu teilen, und wenn der Kehrwert von Null bestimmt wird, muss er nur auf den Nenner verschoben werden, d.h. eigentlich durch sie dividieren.

Eigentum Nr. 2

Die Summe zweier reziproker Zahlen ist nie kleiner als 2.

Mathematisch lässt sich diese Eigenschaft durch die Ungleichung ausdrücken: .

Eigenschaft Nr. 3

Das Multiplizieren einer Zahl mit zwei reziproken Zahlen entspricht dem Multiplizieren mit Eins. Lassen Sie uns diese Eigenschaft mathematisch ausdrücken: .

Beispiel Nummer 5.

Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: 3,4 0,125 8. Da die Zahlen 0,125 und 8 Kehrwerte sind (siehe Beispiel #4), ist es nicht nötig, 3,4 mit 0,125 und dann mit 8 zu multiplizieren. Die Antwort lautet hier also 3,4.

Aufgrund der Tatsache, dass fast alle moderne Schulen es die notwendige Ausstattung gibt, um Kindern Videos und verschiedene elektronische Lernressourcen während des Unterrichts zu zeigen, wird es möglich, Schüler besser für ein bestimmtes Fach oder ein bestimmtes Thema zu interessieren. Dadurch steigen die Schülerleistungen und die Gesamtbewertung der Schule.

Es ist kein Geheimnis, dass die visuelle Demonstration während des Unterrichts hilft, Definitionen, Aufgaben und Theorie besser zu behalten und zu verarbeiten. Wenn dies von einer Stimmgebung begleitet wird, dann arbeiten sowohl das visuelle als auch das auditive Gedächtnis für den Schüler gleichzeitig. Daher gelten Video-Tutorials als eines der effektivsten Lernmaterialien.

Es gibt eine Reihe von Regeln und Anforderungen, die Videounterricht erfüllen muss, um für Schüler im entsprechenden Alter so effektiv und nützlich wie möglich zu sein. Der Hintergrund und die Farbe des Textes sollten entsprechend gewählt werden, die Schriftgröße sollte nicht zu klein sein, damit der Text auch von sehbehinderten Schülern gelesen werden kann, und nicht zu groß, um das Sehvermögen zu reizen und Unannehmlichkeiten zu schaffen usw. Besondere Aufmerksamkeit Illustrationen sind ebenfalls vorhanden - sie sollten in Maßen enthalten sein und nicht vom Hauptthema ablenken.

Das Video-Tutorial „Reziproke Zahlen“ ist ein großartiges Beispiel für eine solche Lernressource. Dank ihm kann ein Schüler der 6. Klasse vollständig verstehen, was reziproke Zahlen sind, wie man sie erkennt und wie man mit ihnen arbeitet.

Der Unterricht beginnt mit ein einfaches Beispiel, bei denen zwei gemeinsame Brüche 8/15 und 15/8 werden miteinander multipliziert. Es wird möglich, sich an die Regel zu erinnern, nach der, wie früher untersucht wurde, Brüche multipliziert werden sollten. Das heißt, der Zähler sollte das Produkt der Zähler und der Nenner das Produkt der Nenner sein. Durch die ebenfalls erwähnenswerte Reduktion ergibt sich eine Einheit.

Nach diesem Beispiel gibt der Sprecher eine verallgemeinerte Definition, die parallel auf dem Bildschirm angezeigt wird. Sie besagt, dass Zahlen, die miteinander multipliziert eine Eins ergeben, gegenseitig invers genannt werden. Die Definition ist sehr leicht zu merken, aber sie bleibt sicherer im Gedächtnis, wenn Sie einige Beispiele geben.

Auf dem Bildschirm wird nach der Definition des Begriffs der reziproken Zahlen eine Reihe von Zahlenprodukten angezeigt, die als Ergebnis eine Einheit ergeben.

Um ein verallgemeinertes Beispiel zu geben, das nicht von bestimmten abhängen wird Zahlenwerte, werden die Variablen a und b verwendet, die von 0 verschieden sind. Warum? Schließlich sollten sich Schüler der 6. Klasse darüber im Klaren sein, dass der Nenner eines beliebigen Bruchs nicht gleich Null sein kann, und um gegenseitig reziproke Zahlen anzuzeigen, kann man nicht darauf verzichten, diese Werte in den Nenner zu stellen.

Nachdem er diese Formel hergeleitet und kommentiert hat, beginnt der Ansager mit der Betrachtung der ersten Aufgabe. Die Quintessenz ist, dass Sie den Kehrwert eines gegebenen gemischten Bruchs finden müssen. Um es zu lösen, wird der Bruch in der falschen Form geschrieben und Zähler und Nenner vertauscht. Das erhaltene Ergebnis ist die Antwort. Der Schüler kann es selbstständig überprüfen, indem er die Definition von gegenseitig reziproken Zahlen verwendet.

Das Video-Tutorial ist nicht auf dieses Beispiel beschränkt. Nach der vorherigen wird eine weitere Aufgabe auf dem Bildschirm angezeigt, bei der es notwendig ist, das Produkt von drei Brüchen zu finden. Wenn der Schüler aufmerksam ist, wird er feststellen, dass zwei dieser Brüche reziprok sind, daher wird ihr Produkt gleich eins sein. Aufgrund der Multiplikationseigenschaft kann man zunächst zueinander inverse Brüche multiplizieren und schließlich das Ergebnis, also 1, mit dem ersten Bruch multiplizieren. Der Referent erklärt ausführlich und zeigt den gesamten Prozess Schritt für Schritt am Bildschirm von Anfang bis Ende. Abschließend wird eine theoretische verallgemeinerte Erklärung für die Eigenschaft der Multiplikation gegeben, auf die man sich bei der Lösung des Beispiels verlassen hat.

Um das Wissen sicher zu festigen, lohnt es sich, alle Fragen zu beantworten, die am Ende der Lektion angezeigt werden.